LABORATORNÍ MODULY – katedra fyziky FEL ČVUT v Praze
Sluneční plachetnice Elektrostatický most Magnetické bludiště Dopplerův jev Doppler effect Planckova konstanta Pohyb elektronu Drifty částic
Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia.
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
ELEKTROSTATICKÝ MOST – MOTIVACE
Motivace Ke čtení Návod/Start
Nabité částice mohou snadno vytvářet makroskopické struktury. Coulombovým přitahováním se k sobě může přiblížit kladná a nabitá částice a vytvořit tak vázaný pár. Takový pár se chová jako elementární dipól a dipólovou silou se přitahuje s dalšími podobnými dvojicemi, nebo se samostatnými nabitými částicemi. Coulombova síla je základní silou pro vytváření struktur v mikrosvětě. Je přitažlivá pro částice s opačným nábojem a odpudivá pro částice se stejným nábojem. Pokud jsou částice z kvantového hlediska identické, působí na ně odpudivá síla, která má původ v Pauliho vylučovacím principu. Tato síla například zajistí, že se bílý trpaslík nezhroutí pod vlivem gravitace. Pauliho síla působící mezi částicemi je odpudivou odpovědí látky na přitažlivou elektrostatickou sílu. V našem zjednodušeném modelu bude Pauliho síla působit na všechny částice bez rozdílu.
Otázky Další čtení ↑ ↑ ↑ ↑
V našem zjednodušeném modelu světa působí také tření. Na pohybující se částice působí brzdná síla úměrná jejich rychlosti. Pokud je částice z nějakého místa vymrštěna, je její pohyb postupně tlumen a po chvíli může být přitažena do jiné interakční oblasti. Takové tlumící síly působí i v reálné přírodě. Bez nich by mnoho vázaných struktur bylo nestabilních a i malý podnět zvnějšku by už hotovou strukturu rozbil na původní elementy. Poslední silou v našem modelu je tíže. Pokud zapneme tuto interakci, začnou částice i hotové struktury padat směrem dolů a po chvíli nám zmizí ze zorného pole. Naše mikrosvětová stavebnice zná ale záchranu. Některé částice můžete pevně uchytit v prostoru. V tom okamžiku se stanou pevnými body v simulaci, jakýmisi záchytnými místy. K takové částici se elektrostatiky může přilepit celá hotová struktura (řetízek částic nebo plocha nabitých částic. Z nabitých částic tak za pomoci kotevních částic můžete stavět pevné, ale pružné mosty mezi dvěma místy. A pokud na most položíte nějakou zátěž, buď vydrží, a nebo se rozpadne. Záleží jak moc jste si stavbu promysleli a jak kvalitní most jste z částic postavili. ••• Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia.
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
ELEKTROSTATICKÝ MOST – KE ČTENÍ Elektrostatická síla
Motivace
Mezi dvěma nabitými částicemi působí především Coulombova síla poprvé popsaná francouzským fyzikem Charlesem Coulombem (1736–1806). Potenciální energie dvou interagujících částic je dána vztahem
Ke čtení
(1) Návod/Start Otázky Další čtení ↑ ↑ ↑ ↑
Konstanta KC nastavuje aktuální sílu Coulombovy interakce a můžete ji v průběhu simulace měnit. Příliš vysoká hodnota vám rychle vytvoří malé struktury (dipóly) bez možnosti s nimi dále něco podniknout. Shodně nabité částice vysoká hodnota KC od sebe odmrští takovou rychlostí, že zmizí ze scény. Naopak, příliš malá hodnota způsobí, že se kladně a záporně nabité částice nebudou účinně vázat. Indexy a, b označují částice a probíhají od 1 do celkového počtu částic N. Náboj částice Qa může nabývat hodnoty +1, –1 nebo 0. Působící síla, kterou potřebujeme do našeho modelu je záporně vzatým gradientem potenciální energie a je dána předpisem (2)
Pauliho síla Odpudivou roli hraje „Pauliho“ síla, která je kvantově mechanického původu a zabraňuje nábojům, aby se zhroutily všechny do jednoho bodu (tj. udržuje záporně nabité částice a kladně nabité částice od sebe v konečných vzdálenostech). V různých modelech se pro ni využívají různé předpisy. K nejčastěji používaným předpisům pro potenciál patří:
(3)
První předpis je odpudivou částí Lennardova-Jonesova potenciálu a využívá se nejvíce v teorii molekul. Průběh byl odhadnut z experimentů. Druhý předpis je jednoduchou teoretickou aproximací Pauliho odpuzování. Exponenciální složka zajistí rychlý úbytek síly, jmenovatel je zodpovědný za divergenci síly v nule, tj. znemožní se částicím přiblížit na nulovou vzdálenost při libovolné intenzitě Coulombovy interakce. Třetí předpis je efektivní potenciál soustavy fermionů, která se chová jako plyn. V našem modelu využijeme třetí výraz, silové působení bude dáno záporně vzatým gradientem, tj. (4) Konstantou KP je možné nastavit intenzitu Pauliho odpuzování. Pokud u hotové struktury zvýšíte hodnotu KP, částice se od sebe rozlétnou. Parametr a určuje, v jaké vzdálenosti od sebe vytvoří kladně a záporně nabitá částice vazbu. Tlumení Další silou je tlumení. Obecně jde vždy o sílu závisící na rychlosti, často i velmi komplikovaně. V prvním přiblížení lze použít tlumicí sílu úměrnou rychlosti, znaménko minus znamená, že síla působí proti směru pohybu. Například na letadlo působí tím větší tření o atmosféru, čím se pohybuje rychleji. V našem jednoduchém modelu mikrosvěta tato síla tlumí rozkmitávání částic a umožňuje jim zůstávat ve stabilních nebo metastabilních stavech: (5) Tíže Poslední silou v modelu je tíže, která představuje gravitační projevy Země při povrchu. Samotná gravitace má potenciální energii nepřímo úměrnou vzdálenosti těles a síla je nepřímo úměrná kvadrátu vzdálenosti dvou těles. Tíži můžeme chápat jako Taylorův rozvoj vztahů pro potenciální energii a sílu u povrchu tělesa. Výsledkem rozvoje je tíhová energie úměrná výšce nad povrchem (mgh) a síla, která je konstantní (homogenní pole, F = −mg). U rotujících těles se do tíže zahrnuje i vliv rotace tělesa. V našem modelu bude na částice působit tíže ve tvaru
(6) předpokládáme, že působí ve třetí ose a její intenzita je dána konstantou KG. Tíhovou sílu je možné vypnout.
ELEKTROSTATICKÝ MOST – NÁVOD/START • Klávesy určené pro polohování kamery (tyto funkce zastává také počítačová myš, včetně zvětšení, které obstarává listovací tlačítko myši) ◦ S, F – úhel pohledu, Motivace
◦ E, D – náklon kamery, ◦ W, A – zvětšení.
Ke čtení Návod/Start
• Klávesy zajišťující posun kamery nebo bodu, na který kamera míří (posun v osách x, y zastává také počítačová myš po stisku pravého tlačítka, posun v ose z je možný pomocí listovacího kolečka myši) ◦ H, K – posun v ose x,
Otázky
◦ U, J – posun v ose y, ◦ I, L – posun v ose z.
Další čtení ↑ ↑ ↑ ↑
• Tato skupina kláves určuje způsob vložení částice: ◦ 1 – přímé vložení, přidá částici do bodu, na který kamera hledí, nebo odstraní nejbližší částici, ◦ 2 – nárysná mřížka (xz), vloží částici na plochu mřížky pomocí myši, ◦ 3 – půdorysná mřížka (xy), viz 2, ◦ 4 – bokorysná mřížka (yz), viz 2. • Pomocí těchto kláves se vkládají částice: ◦ Z – vymaže částici, ◦ X – přidá částici bez náboje, ◦ C – přidá kladně nabitou částici, ◦ V – přidá záporně nabitou částici, ◦ B – zafixuje pozici částice. • Skupina kláves nastavujících poměr sil v systému: ◦ 5 – zvýší působení Coulombovy síly, ◦ R – sníží působení Coulombovy síly, ◦ 7 – zvýší působení tlumení, ◦ Y – sníží působení tlumení. • Klávesa G zapíná/vypíná gravitační sílu. • Klávesa T zapíná/vypíná matematický simulátor. • Klávesa Q vrátí zpátky částice na jejich původní pozice při vložení. • MEZERNÍK spustí test konstrukce mostu, během testu se nedají vkládat ani mazat částice, hmotnost testovací částice je nastavitelná.
Doporučená konfigurace počítače: procesor lepší než Intel Atom N280, grafická karta lepší než Intel GMA4500MHD, nejnižší rozlišení: 1366×768 Microsoft Silverlight: Je potřeba udělit oprávnění aplikaci v nabídce Start → Všechny programy → Microsoft Silverlight → Microsoft Silverlight. Na záložce Oprávnění je třeba povolit 3D grafika: použít blokované ovladače zobrazení pro aplikaci http://www.aldebaran.cz/lab/most/StrukturyWeb.html.
ELEKTROSTATICKÝ MOST – OTÁZKY Vyplňte prosím následující jednoduchý test, který ověří, zda jste porozuměli problematice elektrostatických struktur. V jedné otázce může být i několik správných odpovědí nebo nemusí být správná žádná. Po vyplnění stiskněte tlačítko Odeslat. Motivace Ke čtení
1. Coulombova interakce působí na všechny částice působí jen na nabité částice působí na elektrony
Návod/Start
2. Coulombova interakce Otázky Další čtení ↑ ↑ ↑ ↑
je přitažlivá i odpudivá je jen odpudivá je jen přitažlivá 3. Coulombova interakce klesá s první mocninou vzdálenosti klesá s druhou mocninou vzdálenosti nezávisí na vzdálenosti 4. Pauliho síla působí v makrosvětě i v mikrosvětě působí jen v mikrosvětě 5. Gravitace klesá s první mocninou vzdálenosti klesá s druhou mocninou vzdálenosti nezávisí na vzdálenosti 6. Gravitace je přitažlivá i odpudivá je jen odpudivá je jen přitažlivá 7. Gravitace působí na protony a neutrony působí na planety působí na všechna tělesa 8. Zrychlení dosažené tělesem nezávisí na jeho hmotnosti je úměrné hmotnosti je nepřímo úměrné hmotnosti 9. Pohyb těles se počítá z Drakeovy rovnice za pomoci diferenciálních rovnic většinou numericky 10. Tlumicí síla klesá s první mocninou vzdálenosti klesá s druhou mocninou vzdálenosti nezávisí na vzdálenosti nezávisí na rychlosti Odeslat
Obnovit
ELEKTROSTATICKÝ MOST – DALŠÍ ČTENÍ Algoritmus pohybu nabitých částic
Motivace
Pro každou částici sestavíme pohybovou rovnici. Na částici bude působit tlumící síla, tření, tíže a součet Coulombových sil od všech ostatních částic. Výsledná pohybová rovnice nabité částice bude (1)
Ke čtení Návod/Start
což je soustava tří obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro polohy x(t), y(t), a z(t) plachetnice. Výhodnější je ale řešení soustavy šesti rovnic prvního řádu ve tvaru
Otázky
(2)
Další čtení ↑ ↑ ↑ ↑
Známe-li počáteční polohu a rychlost částic, můžeme použít některou standardní metodu na řešení diferenciálních rovnic, například Rungeovu-Kuttovu metodu 4. řádu, která je implementovaná v každém programovém celku pro numerické výpočty (například Mathematica, MATLAB atd.). Pro jistotu zde uvádíme příslušný diferenční předpis: Označme ξ = (r, v) šestici poloh a rychlostí částice, tedy budeme hledat hodnoty ξ1 až ξ6. První tři hodnoty jsou polohy, další tři jsou rychlosti. Námi hledané funkce ξk(t); k = 1, ... 6 splňují soustavu rovnic (2), kterou přepíšeme do tvaru (3) Časovou osu rozdělíme na dílky s intervalem Δt. Předpokládejme, že známe polohu a rychlost v počátečním čase t0. Potom určíme
(4)
a přibližné řešení v čase t + Δt dostaneme ze vztahů (5) Tím známe řešení v čase t + Δt a postup můžeme opakovat. Otázky přesnosti výpočtu, konvergence a případně další metody lze nalézt v odborné literatuře. Materiály souvisící s tématem Na serveru Aldebaran jsme k tématu elektrostatické interakce připravili materiály, ve kterých si prosím vyhledejte příslušné pasáže: [1] Petr Kulhánek: Fyzika I pro KME; Praha 2012, [2] MIT: Kurz elektřiny a magnetizmu 8.02T; lokalizace AGA, 2007.
