FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEI VUT BRNO

Jméno

Kód

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky

FEI VUT BRNO Spolupracoval

Ročník

Předn. skup. Stud. skupina Oddělení

B

1 Měřeno dne

Šuranský Radek Příprava

Opravy

17

Škovran Jan 12 Odevzdáno dne

25.04.2002 Učitel

16.05.2002 Hodnocení Číslo úlohy

Název úlohy

Moment setrvačnosti desky, moment setrvačnosti setrvačníku

5

MOMENT SETRVAČNOSTI DESKY 1. Teoretický úvod do měření Moment setrvačnosti J je skalární veličina, která charakterizuje rozložení hmotnosti v tělese vzhledem k dané ose.Pokud je hmotnost v tělese rozložena rovnoměrně,pak se určí moment setrvačnosti vztahem: J = ∫ r2 dm (i) Kde dm je hmotnost elementu tuhého tělesa ve vzdálenosti r od osy. Moment setrvačnosti je mírou setrvačných vlastností tělesa při otáčivém pohybu. Používá se při popisu vlastností tělesa při rotačním pohybu(je analogický jako hmotnost tělesa v úlohách newtonovské mechaniky,tady se hmotnost považujeme za nezávislou veličinu), moment setrvačnosti závisí na poloze osy rotace. Nejmenší moment setrvačnosti je při rotaci kolem osy procházející těžištěm tělesa – značí se J0,tento moment se také nazývá centrální. Mezi momenty setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem ke dvěma rovnoběžným osám, z nichž jedna prochází těžištěm tuhého tělesa, platí Steinerova věta: (ii) J = J0 + ml2 Kde m je hmotnost tělesa a l je vzdálenost osy rotace od těžiště(tj.vzdálenost obou těchto rovnoběžných os).Moment setrvačnosti je výhodné určovat výpočtem jen u těles jednoduchého tvaru. Např. hom.deska obdélníkového tvaru o rozměrech a,b a hmotnosti m má hlavní moment setrvačnosti vzhledem k ose kolmé na 1 J0 = m a 2 + b2 plochu desky (iii) 12 U těles složitějších tvarů se moment setrvačnosti určuje některou z nepřímých metod měření,např z doby kmitu fyz.kyvadla. Fyz.kyvadlo je každé tuhé těleso o hmotnosti m, které je otáčivé kolem horizontální osy, jejíž vzdálenost od těžiště tělesa je l. Pohybová rovnice tuhého tělesa, otáčejícího se kolem pevné osy, je d 2ϕ (iv) M = Jε = J 2 dt kde M je výsledný moment vnějších sil vzhledem k ose otáčení, J moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose

(

)

2 otáčení a ε = d ϕ2 je úhlové zrychlení.

dt

Vychýlíme-li těleso z rovnovážné polohy o úhel φ, působí na něj tíha momentem, který se snaží vrátit ho zpět do rovnovážné polohy – těleso začne konat kmitavý pohyb. Velikost momentu tíhy (obr. 1.)je: (v) M = − mgl sin ϕ . Záporné znaménko vyjadřuje okolnost, že moment tíhy tělesa M má vždy opačný smysl než výchylka

PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory www.fineprint.cz

Pro malé výchylky z rovnovážné polohy můžeme položit (vi) sin ϕ =& ϕ , takže M = -mglϕ . Chyba, jaké se při tom dopustíme, je při φ = 5° asi 0,05%. Po dosažení rovnice (5) do (3) a malých úpravách obdržíme rovnici d 2ϕ mgl (vii) + ϕ = 0. 2 J d t Tato rovnice je totožná s diferenciální rovnicí harmonického pohybu, v níž (viii) mgl =ω2 J je kvadrát úhlové frekvence kmitavého pohybu kyvadla. Doba kmitu fyzického kyvadla (při jeho nahrazení harmonickým pohybem) rovna T = 2π

(ix)

J mgl

a závisí na vzdálenosti osy od těžiště. Z rovnice (8) obdržíme pro moment setrvačnosti J vztah (x)

2

T  J = mgl   .  2π  Dosadíme-li za J z rovnice (1), určíme nejkratší dobu kmitu z podmínky pro minimum funkce T(l): J 0 + ml 2 dT d  = 2π dl dl  mgl

  = 0.  

Z řešení rovnice (10) vyplývá, že nejkratší doba kmitu nastává pro J 0 = ml02 ,

(xi)

(xii)

kde l0 se nazývá poloměr setrvačnosti. Do této vzdálenosti by se musela soustředit veškerá hmotnost tělesa, aby měla stejný moment setrvačnosti vůči ose, která prochází těžištěm, jako dané těleso.Po experimentálním určení polohy takové osy při níž je doba kmitu nejkratší,vypočítáme J0 takto (ale musíme znát hmotnost tělesa!!)

2.Úkol Stanovte moment setrvačnosti homogenní desky: přímo – z definičního vztahu a experimentálně – z doby kmitu fyzického kyvadla.

3. Postup měření 1. Abychom mohli pro výpočet momentu setrvačnosti J0 použít vztah (iii), musíme znát hmotnost desky a její rozměry. - Hmotnost (není-li uvedena) zjistíme vážením na praktikantských vahách - Opakovaně změříme rozměry desky. Měření zpracujeme obvyklým způsobem. Stanovíme soustavné a vypočtené náhodné chyby měření (absolutní i relativní) a porovnáme je. - Vypočítáme J0. Stanovíme chybu výsledku.


2. Desku, opatřenou několika otvory, upevňujeme postupně tak, aby kývala kolem různých os. - Pro každou osu změříme její vzdálenost li od těžiště a odpovídající dobu kmitu Ti. Měříme n-násobek T, n volíme podle tlumení kmitavého pohybu (obvykle n = 10).Určíme chyby δ(l) a δ(T). - Z každého měření vypočítáme moment setrvačnosti Ji (x). Z chyb přímo měřených veličin vypočítáme chybu δ(J). - Ze všech měření vypočítáme pomocí Steinerovy věty moment setrvačnosti J0. Určíme δ(J0). - Uvedeme rozpětí výsledků J0, určíme nejpravděpodobnější hodnotou J0. 3. Hodnotu J0 určíme z minima funkce T(l). - Sestavíme tabulku hodnot Ti, li pro všechny proměřované osy. - Naměřené hodnoty vyneseme do grafu a proložíme hladkou křivkou. (Při zpracování na PC některých z tabulkových procesorů – např. Microsoft Excel 5.0 – vybereme vhodnou regresivní funkci.) - Z grafu určíme hodnotu l0 (minimum funkce) a z rovnice (xi) vypočítáme J0. - Posoudíme a odhadneme přesnost výsledku získaného touto metodou (promítnutí chyb přímo naměřených hodnot Ti, li chyb grafického zpracování aj.).

4. Použité přístroje a pomůcky homogenní deska, stojan, posuvné měřidlo, metr, stopky

5. Naměřené a vypočtené hodnoty v tabulkách TAB 1: Rozměry homogenní desky,její hmotnost je 1,805kg, délka, šířka a tloušťka jsou uvedeny v tabulce a při výpočtech budu používat aritmetický průměr těchto naměřených veličin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Arit.průměr Čís.měř. Délka 60.0 60.1 59.9 60.0 60.1 59.9 60.0 60.0 59.9 60.1 60.0 [cm] 5.3 5.1 5.2 5.1 5.2 5.3 5.2 5.3 5.1 5.2 Tloušťka 5.2 [mm] Šířka 8.0 7.9 8.0 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1 8.1 8.0 8.0 [cm] TAB 2: Vzdálenost os otáčení od těžiště desky a od konce desky Díra 1 2 3 Vzdálenost od 276 222 175 těžiště [mm] Vzdálenost od 57,6 52,5 47,6 konce desky [cm]

4 124

5 73

6 23

42,5

37,5

32,6

TAB 3 : Vypočtený moment setrvačnosti – experimentálně l(vzdál.díry) [mm]

T1 [s]

T2 [s]

T3 [s]

T4 [s]

prum. T [s]

δ(T) [s]

J [kgm2]

J0 [kgm2]

276 222 175 124 73 23

12,45 11,62 12,04 12,5 13,32 20,95

12,33 11,72 11,59 12,15 13,22 21,23

12,29 11,77 11,90 12,23 13,36 20,67

12,30 11,69 12,12 12,13 13,42 21,10

12,34 11,71 11,91 12,25 13,33 20,97

0,1387 0,1468 0,1596 0,2190 0,0953 0,1256

0,189 0,133 0,111 0,083 0,058 0,045

0,0520 0,0440 0,0550 0,0552 0,0484 0,0444


δ(J) [10-4 kgm2] 2,670 2,690 1,890 1,880 0,790 0,015

δ(J0) [10-4 kgm2] 12,6 26,7 18,9 18,8 7,89 1,49

TAB 4: Určení hodnoty J0 z minima funkce: Ti [s] 1,2339 1,1167 li [m] 0,276 0,222

1,182 0,175

1,219 0,124

1,329 0,073

6. Příklad výpočtu 1. Stanovení průměrné periody a momentu setrvačnosti + všechny odchylky

∑T

12,45 + 12,33 + 12,29 + 12,30 = 12,34 s n 4 σ 0,0854 = 0,0427 s ST = n−1 = n 4 δ (T ) = t n, p ⋅ ST = 3,548⋅ 0,0427 = 0,1387 s T =

i

=

2

 T   12,34  2  = 1,805⋅ 9,81⋅ 0,276 J = mgl  = 0,189 kgm  20 ⋅ π   10 ⋅ 2 ⋅ π  2

2. Centrální moment ze Steinerovy věty: J 0 = J − ml 2 = 0,189 − 1,805 ⋅ 0,276 2 = 0,052 kgm 2  T δ ( J ) = mg   10 ⋅ 2 ⋅ π

2

 mgl  ⋅ δ (l ) + ⋅ 2Tδ (T ) (10 ⋅ 2 ⋅ π )2 

1,805 ⋅ 9,81 ⋅ 0, 276  12,34  δ ( J ) = 1,805 ⋅ 9,81 ⋅ 2 ⋅ 12,34 ⋅ 0,1387 = 2,67 ⋅ 10 − 4 kgm 2  ⋅ 0,001 + 20π  20π  −4 δ ( J 0 ) = δ ( J ) + 2mlδ (l ) = 2,67 ⋅ 10 + 2 ⋅1,805 ⋅ 0,276 ⋅ 0,001 = 1, 26 ⋅10 −3 kgm 2 2

3.Rozsah výsledků a nejpravděpodobnější hodnota J0 (48,5±0,09).10-3 ÷ (58,8±0,81).10-3

∑J

0,056 + 0,0588 + 0,0482 + 0,0515 + 0,0494 + 0,0485 =& 0,0521 kgm 2 n 6 4.výpočet J s rozměru desky 1 1 J 0 = m(a 2 + b 2 ) = 1,805(80, 4 2 + 609,93 2 ) = 56,93 *10 −3 kgm 2 12 12 J0 =

0

=

7. Graf Ti [s] 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

0,05

0,1

0,15

0,2


0,25

0,3

li [m]

2,083 0,023

Z grafu jsme odečetli l0 = 0,176 m , takže: J 0 = ml 02 = 1,805 ⋅ 0,176 2 = 0,0559 kgm 2

8. Závěr Měřili jsme třemi způsoby: Nejprve jsme vypočítali moment setrvačnosti desky, k tomu jsme potřebovali znát hmotnost desky a její rozměry. Rozměry délky jsme měřili metrem s nejmenším dílkem 0,5 mm. Šířkové rozměry jsme měřili posuvným měřidlem s nejmenším dílkem 0,05 mm. Z tohoto důvodu jsou chyby u šířky a délky jiné. Rozměry desky tedy jsou : a = 80,4 ± 0,5 mm ; b = 609,94 ± 0,4 mm. Moment setrvačnosti desky : J0 = (56930 ± 9) . 10-5 kgm2 U počítání momentu setrvačnosti pomocí fyzického kyvadla jsme měřili vzdálenost osy od těžiště a dobu kmitu. Chybu odečtení vzdálenosti jsme určili 1 mm, což byl nejmenší dílek stupnice metru. Čas kmitu jsme měřili 4x. Spočítali jsme moment setrvačnosti J. Ke spočteným hodnotám jsme jsme stanovili chyby. Výsledné hodnoty J0 jsou v rozmezí < (48,5 ± 0,09) ÷ (58,8 ± 0,81) > .10-3 kgm2. Nejpravděpodobnější hodnota J: J0 = 52,1 . 10-3 kgm2. Sestrojili jsme graf závislosti doby kmitu na vzdálenosti od těžiště. Zněj jsme odečetli hodnotu l0, ve které byla doba kmitu minimální. Tato hodnota činí 0,176 m. Vypočítali jsme hodnotu J0 = 55,9 . 10-3. Tento výsledek je nejméně přesný, protože odečtení minimální hodnoty grafu nebylo přesné.

Způsob 1. 2. 3.

J0 [10-3kgm2] 56,93 52,10 55,90

Nepřesnosti výsledků se dají vysvětlit nesprávným odečítáním hodnot, chybou při počítání, nepřesností měřících přístrojů.


Moment setrvačnosti setrvačníku 1. Teoretický úvod do měření Souvislost otáčivého pohybu a momentu setrvačnosti můžeme sledovat na setrvačníku. Je realizován tyčí, na jejíž obou koncích jsou umístěny válečky o stejné hmotnosti. Tyč je uprostřed pevně spojena s hřídelí poloměru r a volně se otáčí kolem pevné vodorovné osy. Moment setrvačnosti setrvačníku je J, jeho hmotnost M. Navineme-li na hřídel lanko se zavěšeným závažím o hmotnosti m a uvolníme setrvačník, dá se celá soustava do pohybu. To ovšem za předpokladu, že moment tíhy závaží vzhledem k ose setrvačníku Mg = rmg je větší než moment sil tření Mt = rFt. Jsou-li síly tření navíc konstantní, bude závaží klesat rovnoměrně zrychleně. Za čas T se vlákno odmotá a závaží (urazí mezi tím dráhu h) odpadne. Jeho rychlost v tomto okamžiku je v = aT a dráha, kterou za čas T 1 urazilo, je h = aT 2 . Spojením obou rovnic dostaneme pro rychlost 2 vztah 2h (i) v= . T v Kruhová rychlost setrvačníku je ω = , po dosazení z (i) r 2h (ii) ω= . rT Z platnosti zákona zachování energie plyne 1 2 1 (iii) mv + Jω 2 + At = mgh 2 2 kde At je práce třecích sil. Jestliže za dobu T je počet otáček setrvačníku n1 (tolikrát vlastně navineme vlákno na hřídel), můžeme At vyjádřit postupně (iv) At = sFt = 2πrn1 Ft = kn1 Ft Po odpadnutí závaží se setrvačník působením sil tření Ft′ za jistou dobu – vykoná přitom n2 otáček – zastaví. I v tomto případě můžeme psát (v) At′ = kn2 Ft′ Ze zákona zachování energie platí (vi) 1 At′ = Jω 2 2 Vyloučením k z rovnic (4), (5) a po dosažení do (6) obdržíme (vii)

nF 1 At = Jω 2 1 t . 2 n 2 Ft′ Pro jednoduchost předpokládejme, že tření je úměrné pouze tlaku v ložiscích setrvačníku (se závažím i bez něj) a tedy hmotnost setrvačníku. Pak Ft M + m Ft = c(M + m ) , Ft′ = cM , a tedy = . Ft′ M Rovnici (7) můžeme pak psát ve tvaru 1 (M + m ) n1 . (viii) At = Jω 2 2 M n2


Dosazením (1), (2), (8), do (3) vyjádříme moment setrvačnosti našeho setrvačnosti našeho setrvačníku následujícím vztahem r 2 m gT 2 − 2h (ix) . J=  (M + m ) n1   2h1 + M n 2   V této rovnici se už vyskytují pouze veličiny, které dovedeme snadno změnit. Orientačním výpočtem po prvním měření zjistíme, zda požadovaná přesnost (běžná úroveň výsledků laboratorních měření je 1 až 5%) umožňuje zanedbat druhé členy v závorce. Pokud ano, zjednoduší se rovnice (9) na r 2 mgT 2 J= . 2h

(

)

2.Úkol Stanovte moment setrvačnosti daného setrvačníku

3.Postup měření 1. Posuvkou změřte průměr hřídele 2. Pro zvolený počet závitů n1 vypočtěte h ( h = 2π r n1). 3. Pro každé n1 změřte také čas T, po který působí moment tíhy závaží na setrvačník a počet n2 otáček setrvačníku do zastavení. Odhaduje i zlomky otáček. 4. Měření opakuje pro různá n1 podle svých časových možností. Pro každé měření proveďte hrubý odhad přesnosti měření. U přímo měřených veličin odhadněte (s přihlédnutím k měřicím přístrojům a svým schopnostem) velikost maximální chyby pro každou z nich. 5. Určete chyby δ(Ji) pro každé měření 6. Porovnejte hodnoty J vypočtené z jednotlivých měření a stanovte interval < Jmax, Jmin >. Jeví-li hodnoty Ji normální rozdělení, vypočítejte nejpravděpodobnější hodnotu J a chybu δ(J). 7. Pokuste se posoudit a procentuálně vyjádřit soustavné chyby metody měření.

4. Použité přístroje a pomůcky Posuvné měřidlo, stopky, setrvačník, závaží

5.Naměřené a vypočtené hodnoty v tabulkách Hmotnost závaží je m = 117 g TAB 1: Délka niti závaží d[mm] 32.74 d [mm]

32.72

TAB 2:perioda a moment setrvačnosti setrvačníku n1 h T1 δ(h) [ot.] [mm] [s] [mm] 0,25 26,798 0,0549 2,91 0,50 53,596 0,1099 3,47 1,00 107,19 0,2199 3,81 2,00 214,38 0,4398 5,46 3,00 321,57 0,6597 6,90

32.68 32.72

n2 [ot.] 10,25 17,25 28,25 71,25 82,75

6. Příklad výpočtu PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory www.fineprint.cz

32.71

T2 [m:s] 1:19,81 1:30,62 1:59,27 2:47,25 3:34,49

32.73

J [kgm2] 3,9*10-5 3,8*10-5 2,3*10-5 2,3*10-5 2,5*10-5

δ(J) [kgm2] 5,9*10-5 2,1*10-5 0,79*10-5 0,50*10-5 0,41*10-5

h = πd n1 = π ⋅ 34,12 ⋅ 0,25 = 26,798 mm δ (h ) = πn1δ (d ) = π ⋅ 0,25 ⋅ 0,7 = 0,022 mm d 2 mgT 2 0,03412 2 ⋅ 0,117 ⋅ 9,81 ⋅ 2,912 = = 3,9 ⋅ 10 −5 kgm 2 8h 8 ⋅ 0,026798 Chyba δ (T ) = 0,2 s J=

δ (J ) =

d 2 mgT 2  δ (d ) δ (T ) δ (h )  0,03412 2 ⋅ 0,117 ⋅ 9,81 ⋅ 2,912 + + = T 4h  d 2h  4 ⋅ 0,026798

δ ( J ) = 7,1 ⋅10 −5 kgm 2

 7 ⋅ 10 −4 0, 2 0,022   0,03412 + 2,91 + 2 ⋅ 0,0267   

Interval Jmin - Jmax (2,5 ± 0,41). 10-5 ÷ (3,9 ± 5,9). 10-5 kgm2 Nejpravděpodobnější hodnota J: J=

∑ J = (3,9 + 3,8 + 2,3 + 2,3 + 2,5) ⋅ 10 n

5

−5

= 2,96 ⋅ 10 −5 kgm 2

7.Závěr Průměr hřídele jsem změřil 5x a spočetl jsem aritmetický průměr jeho hodnoty a chybu měření.Dostal jsem pak tutu hodnotu d = 34,12 ± 0,7 mm.Vypočetl jsem h, moment setrvačnosti setrvačníku a samozřejmě i jeho chybu. Hodnoty J0 se pak pohybují v intervalu (2,5 ± 0,41). 10-5 ÷ (3,9 ± 5,9). 10-5 kgm2 .Odtud je nepravděpodobnější, že J je 2,96*10-5 kgm2. Nepřesnost výsledků měření se vysvětlí špatným odečítáním hodnot,chybou při zaokrouhlování a nepřesností přístrojů.


FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEI VUT BRNO

Recommend Documents