Syst´ emy ˇ Jan Cernock´ y ´ UPGM FIT VUT Brno,
[email protected]
• Vlastnosti line´arn´ıch syst´em˚ u. • Konvoluce – diskr´etn´ı a spojit´y ˇcas. • Vlastnosti konvoluce
1
Syst´ emy • obecnˇe: spojen´ı komponent˚ u, zaˇr´ızen´ı nebo subsyst´em˚ u pro zpracov´an´ı informac´ı nebo povel˚ u (napˇr. ˇr´ızen´ı auta, rafin´erie, populace mravenc˚ u v lese, . . . ). • syst´emy pro n´as: zaˇr´ızen´ı obr´abˇej´ıc´ı, zpracov´avaj´ıc´ı ˇci upravuj´ıc´ı sign´aly.
Syst´ em se spojit´ ym ˇ casem zpracov´av´a sign´aly se spojit´ym ˇcasem, sign´al y(t) je reakc´ı na x(t), znaˇc´ıme: x(t) → y(t). Syst´ em s diskr´ etn´ım ˇ casem zpracov´av´a sign´aly s diskr´etn´ım ˇcasem, sign´al y[n] je reakc´ı na x[n], znaˇc´ıme: x[n] → y[n].
2
Pˇr´ıklad 1 spojit´ y: elektrick´y obvod – Chceme zn´at z´avislost uc (t) na us (t):
c (t) • Proud obvodem: i(t) = us (t)−u R c (t) . • proud kondenz´atorem: i(t) = C dudt 1 c (t) • D´ame to dohromady: dudt + RC uc (t) =
1 RC us (t).
. . . coˇz je diferenci´aln´ı rovnice, kterou m˚ uˇzeme vyˇreˇsit pro dan´e us (t). Pˇr´ıklad 2 diskr´ etn´ı: poˇcet neuron˚ u v m´em mozku se kaˇzd´y mˇes´ıc sniˇzuje o 0.1% plus o to, kolik jsem za dan´y mˇes´ıc vypil alkoholu: y[n] = 0.999y[n − 1] − x[n] Jedn´a se o tzv. diferenˇcn´ı rovnici, kterou m˚ uˇzeme vyˇreˇsit pro dan´y pr˚ ubˇeh x[n] a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku y[0] (poˇcet neuron˚ u pˇri narozen´ı) a zjistit napˇr, kdy nastane y[n] = 0 (tento mˇes´ıc konˇc´ı pˇredn´aˇsky ISS :-). 3
Spojen´ı syst´ em˚ u paraleln´ı, s´eriov´e (kask´adn´ı), zpˇetnovazebn´ı:
´ ´I VLASTNOSTI SYSTEM ´ U ˚ ZAKLADN S pamˇ et´ı / bez pamˇ eti syst´emy s pamˇet´ı jsou schopny udrˇzet (pamatovat si) nˇejakou pˇredeˇslou hodnotu/hodnoty. Syst´emy bez pamˇeti reaguj´ı pouze na okamˇzitou hodnotu vstupu. Pˇr´ıklady: s pamˇ et´ı: neurony v mozku (syst´em si pamatuje pˇredchoz´ı poˇcet neuron˚ u). Pˇr´ıklady: bez pamˇ eti: y(t) = Kx(t). 4
Dalˇs´ı vlastnosti budeme ukazovat na syst´emu pit´ı piva: vstupem je poˇcet vypit´ych piv, v´ystupem je velikost u ´smˇevu:
5
Kauzalita syst´em reaguje pouze na souˇcasn´y ˇci minul´y vstup. Nesm´ı “vidˇet” do budoucnosti. Pivn´ı pˇr´ıklad:
Seri´ ozn´ı pˇr´ıklad – kauz´ aln´ı: y[n] = x[n] − x[n − 1]. Seri´ ozn´ı pˇr´ıklad – nekauz´ aln´ı: y(t) = x(−t). 6
Stabilita omezen´y vstup produkuje omezen´y v´ystup: m˚ uˇzeme naj´ıt takov´a dvˇe kladn´a re´aln´a ˇc´ısla B, C < ∞, ˇze |x(t)| < B → |y(t)| < C |x[n]| < B → |y[n]| < C. Pˇr´ıklad 1: y(t) = tx(t). I pro omezen´y vstup je pro ˇcas t = ∞ hodnota y(t) = ∞ ⇒ nestabiln´ı. Pˇr´ıklad 2: y(t) = ex(t) . Pro omezen´e x(t) v intervalu [−B, B], je y(t) omezen´e v [e−B , e+B ]. Vybereme-li z nich to vˇetˇs´ı, m´ame omezen´ı pro v´ystup C ⇒ syst´em je stabiln´ı.
7
ˇ Casov´ a invariantnost “Syst´em nemˇen´ı sv´e chov´an´ı v ˇcase” - pokud na sign´al x(t) zareagoval sign´alem y(t), na sign´al x(t − t0 ) zareaguje sign´alem y(t − t0 ). Podobnˇe pokud x[n] → y[n], tak x[n − n0 ] → y[n − n0 ]. Pivn´ı pˇr´ıklad:
Seri´ ozn´ı pˇr´ıklad 1: y(t) = sin[x(t)]. Hled´ame-li y(t − t0 ), dosad´ıme modifikovan´y ˇcas jako argument funkce: y(t − t0 ) = sin[x(t − t0 )] a tvrzen´ı plat´ı ⇒ ˇcas. invariantn´ı. 8
Seri´ ozn´ı pˇr´ıklad 2: y[n] = nx[n]. Najdeme protipˇr´ıklad, kter´y nevyhovuje “pokud x[n] → y[n], tak x[n − n0 ] → y[n − n0 ]” ? Pokud x[n] = δ[n] (diskr´etn´ı jednotkov´y impuls), pak y[n] = 0 ∀n. Kdyˇz vstup posuneme: x[n − 1] = δ[n − 1], v´ystupem bude tak´e δ[n − 1]. Naˇsli jsme tedy takov´a x[n] → y[n], pro kter´e x[n − n0 ] nem´a jako v´ystup y[n − n0 ] ⇒syst´em nen´ı invariantn´ı (je promˇenn´y). Linearita 2 podm´ınky: pˇredpokl´ad´ame, ˇze x1 (t) → y1 (t) a x2 (t) → y2 (t). • aditivita: x1 (t) + x2 (t) → y1 (t) + y2 (t). • scaling nebo homogenita: ax1 (t) → ay1 (t). (obdobnˇe pro diskr´etn´ı ˇcas). M˚ uˇzeme dohromady zapsat jako jedinou podm´ınku: ax1 (t) + bx2 (t) → ay1 (t) + by2 (t) ax1 [n] + bx2 [n] → ay1 [n] + by2 [n] 9
Pivn´ı pˇr´ıklad:
10
Seri´ ozn´ı pˇr´ıklad: y(t) = tx(t). Pro libovoln´e x1 (t) a x2 (t) budou v´ystupy: y1 (t) = tx1 (t) a y2 (t) = tx2 (t). Vyrob´ıme x3 (t) = ax1 (t) + bx2 (t). V´ystup: y3 (t) = tx3 (t) = t[ax1 (t) + bx2 (t)] = tax1 (t) + tbx2 (t) = ay1 (t) + by2 (t). Je to line´arn´ı. Linearita bude m´ıt velk´y v´yznam pˇri anal´yze syst´em˚ u: vˇsechny vstupn´ı sign´aly budeme totiˇz rozkl´adat na jednotliv´e impulsy, nech´ame je proj´ıt syst´emem. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je syst´em line´arn´ı, m˚ uˇzeme pak v´ystupn´ı sign´al z´ıskat souˇ ctem reakc´ı na jednotliv´e impulsy! 11
´ LTI SYSTEMY • line´arn´ı, ˇcasovˇe invariantn´ı (linear, time-invariant). • nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı charakteristika tˇechto syst´em˚ u je impulsn´ı odezva - “jak syst´emy reaguj´ı na jednotkov´y impuls?”
Zaj´ım´a n´as ovˇsem odezva syst´emu na obecn´ e sign´ aly x(t) nebo x[n], nejen na jednotkov´e impulsy. Urˇc´ıme ji tak, ˇze obecn´e sign´aly na jednotkov´e impulsy rozloˇ z´ıme, spust´ıme s nimi nˇekolik impulsn´ıch odezev a pak zase seˇcteme! 12
Rozklad disk. sign´ alu na jednotkov´ e impulsy
x[n] =
+∞ X
x[k]δ[n − k].
k=−∞
Reakci syst´emu na posunut´y jednotkov´y impuls δ[n − k] oznaˇc´ıme hk [n]. Je-li syst´em ˇcasovˇe invariantn´ı (a ˇz´adn´e jin´e n´as moment´alnˇe nezaj´ımaj´ı), pak jsou vˇsechny hk [n] stejn´e jako z´akladn´ı h[n], pouze ˇcasovˇe posunut´e: hk [n] = h[n − k]. 13
Kaˇzd´y posunut´y jednotkov´y impuls x[k]δ[n − k] odstartuje “svou” h[n − k] a vyn´asob´ı ji svou velikost´ı. Vˇse se pak mus´ı seˇc´ıst (linearita!), abychom dostali v´ysledek: y[n] =
+∞ X
x[k]h[n − k]
k=−∞
Tento vztah se naz´yv´a konvoluˇ cn´ı suma, kr´ atce konvoluce; zapisujeme: y[n] = x[n] ⋆ h[n]
14
Pˇr´ıklad pro v´yˇse definovan´e h[n] a x[n]:
Na konvoluci se m˚ uˇzeme d´ıvat tak´e tak, ˇze pod sign´al pro v´ypoˇcet kaˇzd´eho v´ystupn´ıho vzorku y[n] pod sign´al “pˇriloˇz´ıme” obr´acenou a patˇriˇcnˇe posunutou impulsn´ı odezvu, vzorky nad sebou vyn´asob´ıme a seˇcteme: 15
k
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y[n]
x[k]
0
0
0
0
2
-1
1
0
0
0
0
n=-2
0
1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
n=-1
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
0
6
n= 0
0
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
n= 1
0
0
0
0
1
2
3
0
0
0
0
3
n= 2
0
0
0
0
0
1
2
3
0
0
0
1
n= 3
0
0
0
0
0
0
1
2
3
0
0
1
n= 4
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
0
0
Konvoluce se velmi dobˇre pˇredv´ad´ı s prouˇzky pap´ıru: • napiˇste si na pap´ır x[n] a h[n], nezapomeˇ nte u obou poznaˇcit, kde je n = 0. • obrat’te h[n], sesad’te ˇcasy n = 0. Pr´avˇe jste dostali h[−k]. • pokud nyn´ı vyn´asob´ıte vzorky nad sebou a seˇctete, dostanete v´ysledek y[0]. Pro dalˇs´ı kladn´a n posouvejte h[−k] doprava. 16
LTI syst´ emy se spojit´ ym ˇ casem budeme cht´ıt podobn´ym zp˚ usobem zapsat sign´al jako sadu impuls˚ u. Jak to ale udˇelat, kdyˇz je sign´al spojit´y ? Opˇet n´am pom˚ uˇze pomocn´a funkce δ∆ (t) s ˇs´ıˇrkou ∆ a v´yˇskou siln´y svˇer´ak.
δ∆ (t) =
1 ∆
0
pro 0 ≤ t ≤ ∆ jinde
Pokud bude ∆ dostateˇcnˇe mal´e, m˚ uˇzeme sign´al aproximovat jako sumu posunut´ych a vyn´asoben´ych δ∆ (t). Aby se x ˆ(t) dostal do stejn´e “v´yˇsky” jako p˚ uvodn´ı x(t), nesm´ıme zapomenout na n´asoben´ı kaˇzd´eho impulsu hodnotou ∆: x ˆ(t) =
∞ X
x(k∆)δ∆ (t − k∆)∆.
k=−∞ 17
1 ∆
a
18
Budeme-li nyn´ı ∆ stlaˇcovat svˇer´akem aˇz k 0, z δ∆ (t) se stane δ(t) a suma pˇrejde na integr´al. x ˆ(t) uˇz nebude aproximace, takˇze vynech´ame stˇr´ıˇsku: Z +∞ x(t) = x(τ )δ(t − τ )dτ. −∞
Kaˇzd´y impuls x(τ )δ(t − τ ) ovˇsem vybud´ı impulsn´ı odezvu syst´emu: δ(t) → h(t),
δ(t − τ ) → h(t − τ ),
19
x(τ )δ(t − τ ) → x(τ )h(t − τ )
Line´arn´ı syst´em vˇsechny takov´e odezvy seˇcte (integruje) pˇres vˇsechna τ a dostaneme celkov´y v´ystup: Z +∞ y(t) = x(τ )h(t − τ )dτ. −∞
20
Tento vztah se naz´yv´a konvoluˇ cn´ı integr´ al, zapisujeme: y(t) = x(t) ⋆ h(t). Interpretace konvoluˇcn´ıho integr´alu: • potˇrebujeme spoˇc´ıtat v´ystup pro nˇejak´e t. • Definujeme τ jako pomocnou ˇcasovou promˇennou, pˇres kterou se bude integrovat. x(τ ) vypad´a stejnˇe jako x(t) (pˇrejmenov´an´ım osy se nic nezmˇen´ı). • h(t − τ ) bude otoˇ cen´ e a posunut´ e do ˇcasu t. • Pron´asob´ıme, spoˇc´ıt´ame integr´al (kdyˇz to jde, zmˇeˇr´ıme plochu pod funkc´ı x(τ )h(t − τ )) a m´ame jednu hodnotu v´ystupu pro ˇcas t. • Goto 1, pro dalˇs´ı ˇcas t.
21
s1(t)
-6
-4
-2
-6
-4
-2
-6
-4
-2
-6
-4
-2
1
0 1 0,5
2
4
6
t
0
2
4
6
t
0 s2( −τ ) 1 0,5
2
4
6
t
0
2
4
6
t
2
4
6
t
s2(t)
s1( τ)
s2(1−τ)
1
1 0,5
-6
-4
-2 0 s1(τ )s2(1−τ) 1 0,5
y(1)
-6
-4
-2 0 s2(2−τ ) 1 0,5
2
4
6
t
-6
-4
-2 0 s1( τ)s2(2−τ ) 1 0,5
2
4
6
t
2
4
6
t
2
4
6
t
-6
-4
-2
y(2)
0 y(t)
2 1 0,5
-6
-4
-2
0
22
Konvoluce – shrnut´ı +∞ X
y[n] = x[n] ⋆ h[n] =
x[k]h[n − k]
k=−∞ +∞
y(t) = x(t) ⋆ h(t) =
Z
x(τ )h(t − τ )dτ.
−∞
VLASTNOSTI KONVOLUCE Komutativita: y[n] = x[n] ⋆ h[n] = h[n] ⋆ x[n] =
+∞ X
x[k]h[n − k] =
k=−∞
y(t) = x(t) ⋆ h(t) = h(t) ⋆ x(t) =
Z
+∞
x(τ )h(t − τ )dτ =
−∞
+∞ X
h[k]x[n − k]
k=−∞
Z
+∞
h(τ )x(t − τ )dτ.
−∞
Pˇri poˇc´ıt´an´ı m˚ uˇzeme tedy bud’ “zmrazit” vstupn´ı sign´al a otoˇcit a posouvat imp. odezvu, nebo to udˇelat naopak. 23
Distributivita – paraleln´ı spojen´ı syst´ em˚ u: y(t) = y1 (t) + y2 (t) = x(t) ⋆ h1 (t) + x(t) ⋆ h2 (t) = x(t) ⋆ [h1 (t) + h2 (t)]. Syst´em m´a celkovou imp. odezvu h(t) = h1 (t) + h2 (t).
Ovˇeˇren´ı: Z Z Z x(τ )h1 (t−τ )dτ + x(τ )h2 (t−τ )dτ = x(τ )[h1 (t−τ )+h2 (t−τ )]dτ = x(t)⋆[h1 (t)+h2 (t)], protoˇze
R
je line´arn´ı operace. Podobnˇe pro diskr´etn´ı: y[n] = x[n] ⋆ [h1 [n] + h2 [n]]. 24
Asociativita – s´ eriov´ e spojen´ı syst´ em˚ u: y(t) = [x(t) ⋆ h1 (t)] ⋆ h2 (t) = x(t) ⋆ [h1 (t) ⋆ h2 (t)]. Syst´em m´a celkovou imp. odezvu h(t) = h1 (t) ⋆ h2 (t).
Ovˇeˇren´ı: y(t) =
Z ·Z v
¸
x(τ )h1 (v − τ )dτ h2 (t − v)dv =
τ
v
= pˇrehozen´ı poˇrad´ı integrace =
Z Z τ
Z
x(τ )
·Z
Z Z
x(τ )h1 (v − τ )h2 (t − v)dτ dv =
τ
x(τ )h1 (v − τ )h2 (t − v)dvdτ =
v
¸
h1 (v − τ )h2 (t − v)dv dτ = . . .
v
Ve vnitˇrn´ım integr´alu zmˇen´ıme promˇennou: v = g + τ a vyuˇzijeme toho, ˇze: 25
R
g
h1 (g)h2 (t − τ − g)dg = h(t − τ ) takˇze v´ysledek je: . . . = x(t)[h1 (t) ⋆ h2 (t)].
Podobnˇe pro diskr´etn´ı syst´emy: y[n] = x[n] ⋆ [h1 [n] ⋆ h2 [n]]. Syst´ emy s pamˇ et´ı a bez : Bez pamˇeti: impulsn´ı odezva m´a jen 1 impuls pro ˇcas 0: h[0] = Kδ[n], takˇze: +∞ X x[k]Kδ[n − k] = Kx[n]. y[n] = x[n] ⋆ h[n] = k=−∞
h(t) = Kδ(t), takˇze: y(t) =
Z
+∞
x(τ )Kδ(t − τ )dτ = Kx(t).
−∞
Zvl´aˇstn´ım pˇr´ıpadem syst´emu bez pamˇeti je identita (dr´at): h[n] = δ[n] h(t) = δ(t). 26
Kauzalita: Syst´em nesm´ı “vidˇet do budoucna”. Pro v´ypoˇcet n-t´eho vzorku se sm´ı pouˇz´ıt jen vzorky < n. Pro v´ypoˇcet t-t´eho ˇcasu se sm´ı pouˇz´ıt jen ˇcasy < t. Toto je splnˇeno, kdyˇz: h[n] = 0 pro n < 0 h(t) = 0 pro t < 0 Mal´e opakov´an´ı, jak se konvoluuje, otoˇcen´a a posunut´a imp. odezva nesm´ı zasahovat za ˇcas n nebo t!.
27
28
U konvoluˇcn´ı sumy a integr´alu m˚ uˇzeme v pˇr´ıpadˇe kauz´aln´ıho syst´emu omezit meze na: +∞ X
x[k]h[n − k] →
n X
+∞ X
x[k]h[n − k],
k=−∞
k=−∞
k=−∞
Z
+∞
x(τ )h(t − τ )dτ →
−∞
Z
h[k]x[n − k] →
∞ X
h[k]x[n − k]
k=0
t
Z
x(τ )h(t − τ )dτ,
−∞
+∞
h(τ )x(t − τ )dτ →
Z
+∞
h(τ )x(t − τ )dτ.
0
−∞
Stabilita: “pokud je vstup omezen´y, v´ystup by mˇel b´yt tak´e nˇejak omezen´y. . . ” Splnˇeno, pokud je imp. odezva absolutnˇe sumabiln´ı/integrabiln´ı (terminologie ?): +∞ X
Z
|h[k]| < ∞,
+∞
−∞
k=−∞
29
|h(t)|dt < ∞.
