KINETIKA ÚNAVOVÝCH TRHLIN Z HLEDISKA LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY Prof. Ing. Jiří Kunz, CSc. Katedra materiálů FJFI ČVUT v Praze

KINETIKA ÚNAVOVÝCH TRHLIN Z HLEDISKA LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY Prof. Ing. Jiří Kunz, CSc. Katedra materiálů FJFI ČVUT v Praze 1. Úvod Únavový proces, ke kterému dochází v konstrukčních částí, vystavených za provozu časově proměnnému zatěžování, se skládá z několika základních, kvalitativně i kvantitativně odlišných dílčích fází, kterými jsou: a) etapa změn fyzikálních a mechanických vlastností, b) nukleace únavové mikrotrhliny v únavových skluzových pásech, na hranicích zrn, na rozhraní mezi inkluzemi a matricí apod. [1], c) šíření únavové mikrotrhliny, výrazně ovlivněné lokálními podmínkami v místě vzniku, d) šíření únavové makrotrhliny. Celý proces únavového porušování je ukončen náhlým statickým dolomem zbylého nosného průřezu daného tělesa (obr. 1).

nukleace

šíření makrotrhliny

šíření mikrotrhliny

stabilní růst

iniciace

statický dolom nestabilní růst

únavový život tělesa nebo konstrukce Obr. 1 - Jednotlivé etapy únavového života cyklicky zatěžované konstrukční části. Podíl jednotlivých etap na únavovém životě výrazně závisí zejména na lokálních podmínkách v místě vzniku únavové trhliny [2]. Šíří-li se trhlina z hladkého povrchu tělesa, pak etapy nukleace a šíření mikrotrhliny (souhrnně se toto počáteční stádium únavového procesu nazývá iniciace) tvoří rozhodující část únavového života (orintačně cca 90%). Pokud se trhlina šíří z inkluze či jiné mikroskopické strukturní vady, stádium nukleace sice odpadá, ale etapa šíření únavové mikrotrhliny opět dominuje (představuje cca 80% únavového života). V obou zmíněných případech jsou běžným zdrojem informací klasické laboratorní únavové zkoušky hladkých či vrubovaných těles kruhového průřezu, jejichž výsledky se obvykle -1-

presentují ve formě Wöhlerových S-N křivek, vyjadřujících závislost počtu cyklů do lomu (tj. sumární charakteristika kvantifikující únavový život bez ohledu na podíl jednotlivých etap) na velikosti amplitudy cyklického zatěžování a na hladině středního napětí. Hlavní charakteristikou odolnosti materiálu vůči únavovému porušování je v tomto případě mez únavy. Naznačený přístup je charakteristický pro konstrukční filosofii „safe life“, ve které se šíření únavové trhliny nepřipouští a tudíž nebere v úvahu. Odlišný případ nastává u konstrukčních částí, u kterých při současných technologických a ekonomických možnostech není možno vyloučit výskyt relativně velkých a ostrých defektů technologického původu. Význam iniciačního stádia (tj. nukleace a šíření miktrotrhliny) je v tomto případě zanedbatelný a délka únavového života prakticky odpovídá délce etapy šíření makroskopické trhliny. Únavová makrotrhlina se od únavové mikrotrhliny liší ve dvou základních aspektech – její chování není ovlivněno lokálními podmínkami v místě jejího vzniku a pro popis jejího růstu již lze použít zákonitostí lomové mechaniky. Použití klasické konstrukční filosofie, založené pouze na mechanických charakteristikách materiálu (např. na mezi kluzu či mezi pevnosti) je v případě přítomnosti ostrých defektů typu trhlina neadekvátní a v řadě případů může vést k podcenění reálné situace. Vlivem přítomnosti trhlin či jiných ostrých defektů dochází nejen ke kvantitativním, ale i kvalitativním změnám - nejde tedy jen o snížení nosného průřezu a s tím související zvýšení napětí. Konstrukční návrh je třeba optimalizovat tak, aby únavová trhlina šířící se z primárního defektu nedosáhla kritické délky (tj. aby nedošlo k poruše) dříve, než bude detekována při plánované prohlídce nebo než daná konstrukce bude odstavena z provozu. Naznačený typ konstrukční filosofie, označovaný jako "damage tolerance", se používá např. u tlakových nádob, potrubí a dalších rozměrných svařovaných konstrukcí [3] nebo u částí draků stíhacích letadel [4],[5],[6]. Jinou konstrukční filosofií, ve které hraje etapa šíření únavových trhlin rozhodující roli, je koncepce "fail-safe", podle které se konstrukce navrhuje tak, aby byla bezpečná i při poruše. Je zřejmé, že v tomto případě je navíc velmi důležitou charakteristikou i zbytková pevnost tělesa s trhlinou. Významnou součástí této konstrukční filosofie jsou průběžné provozní defektoskopické prohlídky. Na základě výsledků těchto prohlídek a poznatků lomové mechaniky se určuje další povolená délka provozu, termín a rozsah oprav, termín úplného odstavení konstrukce z provozu apod. Některé konstrukční části, navrhované podle této koncepce, mohou být zálohované - v průběhu jejich únavového porušování je silový tok převeden na ostatní, dosud neporušené elementy. Tato konstrukční filosofie se používá zejména u civilních dopravních letadel. Poznatků lomové mechaniky lze využít pro stanovení podmínek makroskopického šíření únavové trhliny za daných exploatačních podmínek, pro popis jednotlivých fází etapy stabilního šíření i pro stanovení kriteria ztráty stability trhliny. Pomocí parametrů lomové mechaniky (např. K-faktoru) lze kvantifikovat pole napětí a deformací v okolí čela trhliny v závislosti na způsobu a velikosti zatěžování, tvaru a rozměrech tělesa, velikosti trhliny, vlastnostech konstrukčního materiálu apod. (podrobněji viz např. [7]). Lomová mechanika rovněž umožňuje přenos poznatků a informací, získaných na jednoduchých zkušebních tělesech v laboratorních podmínkách (pro tyto účely se používají obvykle plochá tělesa, na kterých je možno sledovat průběh procesu makroskopického šíření únavové trhliny), na geometricky složité konstrukční komponenty vystavené reálným provozním podmínkám. Objev zmíněných možností uplatnění lomové mechaniky představuje velmi významný pokrok v oblasti výzkumu únavového procesu. Interdisciplinární charakter lomové mechaniky, která využívá poznatků aplikované mechaniky kontinua i fyzikální metalurgie, umožňuje vytvoření objektivních podkladů pro posouzení únosnosti a životnosti konstrukčních částí s trhlinami. Na tyto případy, které jsou v řadě průmyslových odvětví zcela běžné, je zaměřen tento příspěvek, který volně navazuje na tematicky obdobně orientované přednášky, presentované autorem na LŠÚM 2004 [8] a LŠÚM 2006 [9].

-2-

2.

Faktory ovlivňující rychlost šíření únavové trhliny

Rychlost šíření únavové trhliny v = da/dN, která je významnou veličinou charakterizující odezvu materiálu na časově proměnné zatěžování, je ovlivněna celou řadou faktorů. Tyto faktory lze pro názornou orientaci rozdělit do následujících čtyř skupin (upraveno podle [10]): a) charakteristiky zatěžování (obecně ozn. Z), b) geometrické charakteristiky (obecně ozn. A), c) materiálové charakteristiky (obecně ozn. M), d) charakteristiky prostředí (obecně ozn. T). Pomocí uvedené symboliky lze naznačenou závislost vyjádřit v obecném tvaru v  v( Z , A, M , T ) .

(1)

Mezi nejdůležitější charakteristiky zatěžování (Z) patří zejména rozkmit napětí , střední napětí m nebo parametr asymetrie cyklu R = min/max, frekvence zatěžování f, tvar zatěžovacího cyklu (např. sinusový, obdélníkový, pilový apod.), interakce mezi zatěžovacími cykly při zatěžování s proměnnou amplitudou napětí, stav napjatosti (rovinná deformace, rovinná napjatost), zbytková pnutí apod. Nejvýznamnějšími geometrickými charakteristikami tělesa s trhlinou (A) jsou absolutní a relativní rozměry trhliny (např. a, a/W, kde a je délka trhliny a W je šířka tělesa), geometrie trhliny (např. tvar, orientace vůči směru, ve kterém působí zátěžná síla apod.), tvar a rozměry tělesa s trhlinou, tvar a rozměry konstrukčních vrubů apod. Materiálovými charakteristikami (M), významně ovlivňujícími rychlost šíření únavové trhliny, jsou chemické složení slitiny, distribuce legujících prvků a nečistot, mikrostruktura a krystalová struktura, textura (přednostní orientace zrn a jejich hranic), tepelné zpracování (kalení, žíhání), mechanické zpracování (válcování, lisování, obrábění), mechanické vlastnosti (modul pružnosti v tahu a ve smyku, pevnost, tažnost, mez kluzu, lomová houževnatost) apod. Veličinami charakterizujícími prostředí (T) jsou např. teplota, skupenství, parciální tlak poškozujících složek v plynném prostředí, koncentrace poškozujících složek v tekutém (např. vodním) prostředí, elektrický potenciál, kyselost (pH), viskozita, typ radiačních částic a velikost radiačního toku, typ a tloušťka povrchových povlaků, druh použitých inhibitorů atd. V odborné literatuře lze nalézt několik desítek rovnic typu (1), které explicitně charakterizují vliv většího či menšího počtu výše uvedených faktorů (viz např. souhrnné práce [11] až [13]). Čím větší počet faktorů ovlivňujících šíření únavové trhliny tyto vztahy zahrnují, tím jsou složitější a tím větší je i počet parametrů (tj. různých konstant, exponentů atd.), které je třeba znát, což skutečné možnosti jejich uplatnění v praxi značně omezuje. Z hlediska mechaniky kontinua je rychlost šíření únavové trhliny ovlivněna polem napětí v okolí jejího čela, které je výsledkem superpozice: a) lokální odezvy materiálu na vnější silové účinky působící na těleso v daném okamžiku, b) zbytkových pnutí vyvolaných lokální elasto-plastickou odezvou materiálu na předchozí zatěžování, c) zbytkových pnutí technologického původu. Stav napjatosti před čelem trhliny lze charakterizovat některým z lomově mechanických parametrů - v případě únavových trhlin se obvykle používá faktoru intenzity napětí K, na který se v tomto příspěvku omezíme. Složky tenzoru napětí σijk(r,θ) a vektoru posuvu uijk(r,θ) v nejbližším okolí čela trhliny lze v závislosti na K-faktoru obecně vyjádřit ve tvaru K K uik r ,   r f ik*  ,   ijk r ,   f ijk  ,  , resp. (2) E r kde i, j = x, y, z, k = RD, RN,  = Poissonovo číslo materiálu a E = modul pružnosti v tahu. Konkrétní tvary funkcí f ijk  ,  a f ik*  ,  jsou uvedeny např. v [7]. Pole napětí a deformací v okolí čela trhliny je rozhodující pro další vývoj trhliny, tj. např. pro její šíření či zastavení. -3-

3. Faktor intenzity napětí V případě tahového módu porušování I (viz obr. 2), který je v praxi nejčastější, je faktor intenzity napětí definován vztahem 1/ 2 (3) K  lim 2 r   yy r ,0 , r 0

kde yy(r, 0) je tahová složka tenzoru napětí ve směru kolmém na lomovou plochu v místě ležícím ve vzdálenosti r před čelem trhliny (tj. ve směru šíření trhliny - druhá polární souřadnice, definující polohu daného bodu v rovině, je nulová, tj.  = 0).



 Obr. 2 – Schematické znázornění tahového módu porušování I. V případě nekonečně velkého tělesa zatíženého tahovým napětím  dostáváme po dosazení za y(r, 0) pomocí vztahu

 yy r ,   

1 2

 a 

2r 

1 2

 3   1  sin sin  cos 2 2  2 

(4)

(odvození viz [7]) pro  = 0 známou rovnici

K    a 

1/ 2

,

(5)

kde a odpovídá délce trhliny. U reálného tělesa konečných rozměrů bude pole napětí v okolí čela trhliny ovlivněno volnými okraji tohoto tělesa. V těchto případech bude faktor intenzity napětí záviset i na geometrických parametrech, charakterizujících tvar a rozměry tělesa (zejména na šířce W a na délce L - viz obr. 3), což lze obecně vyjádřit vztahy K    a 

1/ 2

f a / W , L / W ,...

(6)

Funkce f(a/W, L/W,...), respektující konečné rozměry tělesa, je tzv. tvarová funkce. Je zřejmé, že rovnice (5), platná pouze pro nekonečná tělesa, je speciálním případem vztahu (6) pro f(a/W,L/W,...) = 1. F/2

F/2

M

a

W

M

F/2

F/2

Obr. 3 – Těleso s okrajovou trhlinou namáhané čistým, resp. čtyřbodovým ohybem.

-4-

Např. u tělesa s okrajovou jednostrannou trhlinou tvarová funkce dále výrazně závisí i na způsobu zatěžování (tah, ohyb atd.) a na okrajových podmínkách (konstantní napětí, resp. konstantní posuv podél horního a dolního okraje tělesa – viz obr. 3 a 4).

L

F = . B.W

L

F = . B.W

a

a

L

W

L

W

F = . B.W

F = . B.W

Obr. 4 – Tahové zatížení tělesa s jednostrannou trhlinou v případě konstantního napětí (σ = konst), resp. posuvu (v = konst), podél horního a dolního okraje tělesa. Míra vlivu uvedených faktorů na průběh tvarové funkce (a tedy i na velikost K-faktoru) je patrná z obr. 5, na kterém jsou porovnány grafy tvarových funkcí pro zatížení tahem při v = konst, resp. σ = konst a pro zatížení čistým (v praxi čtyřbodovým) ohybem.

Obr. 5 - Vliv způsobu zatěžování a okrajových podmínek na průběh tvarové funkce u tělesa s jednostrannou trhlinou (mód I). -5-

Analytické tvary funkcí, graficky znázorněných na obr. 5, jsou následující [14],[15]: TAH v = konst

2  a a a  f    5 20  13  7    W W   W   



1 2

(7)

2

TAH σ = konst

2

OHYB

3

a a a a a f I    1,12  0,231  10,55     21,72     30,39    W W  W  W  W  3

a a a a a f    1,122  1,4   7,33     13,08     14,00    W W  W  W  W 

4

(8)

4

(9)

Pro jiné geometrické konfigurace těles s trhlinou a různé způsoby zatížení lze odpovídající tvarové funkce potřebné pro výpočet faktoru intenzity napětí nalézt např. v [15] až [17]. 4.

Závislost rychlosti šíření únavové trhliny na rozkmitu faktoru intenzity napětí

Z fyzikální podstaty únavového procesu je zřejmé, že nejdůležitější charakteristikou časově proměnného zatěžování je amplituda napětí, tj.

a 

 max   min 2

,

(10)

Na této veličině např. závisí únavový život cyklicky zatěžovaných těles (naznačená závislost bývá presentována ve formě klasických Wöhlerových S-N křivek, mezní hodnota této veličiny odpovídá tzv. mezi únavy). V lomové mechanice se nejčastěji používá rozkmitu napětí, tj.   2 a   max   min ,

(11)

kterému podle rovnice (6) odpovídá rozkmit faktoru intenzity napětí K    a 

1/ 2

f a / W , L / W ,... .

(12)

Veličina K charakterizuje pole napětí a deformací před čelem únavové trhliny a výrazným způsobem ovlivňuje rychlost šíření únavové trhliny v = da/dN. Naznačenou závislost lze obecně vyjádřit ve formě rostoucí funkce

v  vK . .

(13)

Uvedená závislost je konkrétním, ale stále ještě značně obecným příkladem vztahu typu (1). I přes značné rozdíly mezi odezvami různých materiálů na časově proměnné zatěžování má prakticky ve všech případech závislost rychlosti šíření únavové trhliny v = da/dN na rozkmitu faktoru intenzity napětí K kvalitativně obdobný charakter – na základě výsledků značného množství experimentálních prací lze konstatovat, že graf funkce (13) má v log-log souřadnicích obecně esovitý charakter (viz obr. 5). Tento graf lze rozdělit do tří kvalitativně odlišných oblastí, kterými jsou: I Oblast prahových hodnot rozkmitu faktoru intenzity napětí Kp a nízkých rychlostí šíření únavových trhlin. II Oblast lineární závislosti log(v) na log(K), tj. oblast platnosti Parisova vztahu. III Oblast vysokých rychlostí šíření únavových trhlin a závěrečného dolomu, tj. oblast, ve které se hodnota faktoru intenzity napětí odpovídající maximálnímu zatížení v cyklu blíží hodnotě únavové lomové houževnatosti materiálu Kcf a tedy odpovídající rozkmit faktoru intenzity napětí K se blíží hodnotě (1-R).Kcf .

-6-

II

I

III

v = da/dN

K Kp

(1-R)Kcf

Obr. 5 – Obecná závislost rychlosti šíření únavové trhliny v = da/dN na K. V první etapě (ozn. I) již šíření makroskopické únavové trhliny není ovlivněno lokálními podmínkami v místě iniciace a začíná se řídit zákonitostmi lineární lomové mechaniky. Podmínkou však je, aby trhlina byla dostatečně dlouhá. Tento obecný výrok lze kvantifikovat např. nerovností 2 4  K p  a  , (14)    c  která představuje orientační kriterium (podrobněji viz např. [9],[18]), jehož splnění umožní vyjádřit rychlost šíření únavové trhliny jako funkci K. V uvedeném vztahu označuje σc mez únavy hladkého tělesa a Kp prahovou hodnotu rozkmitu faktoru intenzity napětí (prahové hodnoty celé řady konstrukčních materiálů lze nalézt v příručce [19]). Dosadíme-li do vztahu (14) např. únavové charakteristiky nízkouhlíkové oceli (Kp = 6 MPa.ml/2, c = 210 MPa), dostáváme podmínku a ≥ 1,04 mm. Dosáhne-li za daných podmínek při časově proměnném zatěžování tělesa s trhlinou rozkmit faktoru intenzity napětí K zmíněné prahové hodnoty Kp, která závisí zejména na parametru asymetrie cyklu R, na velikosti zrna materiálu d a na prostředí podrobněji viz např. [7]), začne se trhlina šířit. Jde o stabilní šíření, tj. po ukončení zatěžování se trhlina šířit přestává. Ve sledované oblasti I lze konkávní část křivky v  vK  analyticky vyjádřit pomocí vztahu Klesnila a Lukáše [1] v  A K m  K pm , (15) kde A a m jsou konstanty, závislé na materiálu, prostředí apod. V oblasti II má křivka závislosti v = v(K), vyjádřená v logaritmických souřadnicích, obvykle lineární charakter - viz obr. 5; funkci v = v(K) zde lze analyticky vyjádřit pomocí Parisova vztahu [20] v  C K  , n

(16)

který díky své jednoduchosti nalezl v praxi široké uplatnění. Parametry tohoto vztahu, tj. konstantu C a exponent n, které jsou opět závislé na materiálu, prostředí apod., lze snadno určit matematicko-statistickým zpracováním (lineární regresní analýzou) souboru dvojic vzájemně si odpovídajících experimentálních dat (Ki, vi), i = 1, 2,..., k.

-7-

V oblasti III šíření únavové trhliny výrazně ovlivňuje zejména mikrostruktura materiálu, parametr asymetrie cyklu R (resp. střední hodnota napětí m) a tloušťka tělesa B. Kromě uvedených dominantních faktorů zde rychlost šíření únavové trhliny do jisté míry ovlivňuje i prostředí. V oboru vysokých hodnot K (tj. v oblasti, ve které se Kmax blíží hodnotě lomové houževnatosti Kcf - viz obr. 5) se začínají na šíření trhliny kromě únavových mechanismů rostoucí měrou podílet i mechanismy statického porušování (např. tvárný lom - viz obr. 6). Důsledkem je výraznější zrychlování šíření trhliny, než by odpovídalo Parisovu vztahu (16) – v oblasti III má závislost v(K) konvexní charakter.

Obr. 6 – Závislost plošného podílu polí striací na lomové ploše ps na K u slitiny typu AlCuMg. Dosáhne-li rozkmit faktoru intenzity napětí K hodnoty (1-R).Kcf, dojde ke ztrátě stability trhliny a k náhlému porušení zbylého nosného průřezu (toto šíření není podmíněno dalším zvyšováním napětí a má charakter nevratného procesu) – viz obr. 5. Únavovou lomovou houževnatost Kcf, která závisí nejen na charakteristikách prostředí (zejména na teplotě), ale i na geometrických parametrech tělesa s trhlinou (zejména na jeho tloušťce), obecně nelze ztotožňovat s lomovou houževnatostí KIc, určovanou standardním normalizovaným postupem a charakterizující odolnost materiálu vůči ztrátě stability trhliny při statickém zatížení. Poměr Kcf /KIc je ovlivněn mnoha faktory a u cyklicky změkčujících materiálů může být výrazně menší než 1. Tento poměr klesá s rostoucí statickou lomovou houževnatostí KIc [21],[22]. Naznačený trend lze aproximovat empirickým vztahem K cf K Ic  1  b K Ic , (17) kde konstanta b nabývá ve stavu rovinné deformace hodnot (45).10- 3 MPa-1.m-1/2. K analytickému popisu závislosti v(K) v oblasti III se však nejčastěji používá Formanův vztah [23] n n C K  C K  v  , (18) 1  R   K cf  K max  1  R   K cf  K kde C a n jsou konstanty závislé na materiálu, prostředí apod., Kcf je únavová lomová houževnatost a R je parametr asymetrie cyklu. V literatuře se vyskytuje několik víceparametrických regresních vztahů, umožňujících analytický popis závislosti v = v(K) v celém rozsahu K (tj. v oblastech I, II i III). Tyto

-8-

funkce umožňují postihnout typický esovitý tvar závislosti v(K) vynesené v logaritmických souřadnicích (obr. 5). Příkladem může být modifikovaný Formanův vztah [24] C K   K  K p  n

v

1  R  K

cf

 K 

q

p

,

(19)

obsahující šest materiálových parametrů (konstantu C, exponenty n, p, q, prahovou hodnotu Kp a únavovou lomovou houževnatost Kcf. Některé další typy regresních vztahů obdobných vlastností uvádí ve své práci Kohout [25]. 5.

Závislost rychlosti šíření únavové trhliny na parametru asymetrie a dalších charakteristikách zatěžování

Faktor intenzity napětí K je komplexní veličinou, ovlivněnou řadou různorodých faktorů (viz odst. 3), které v souladu se vztahem (13) ovlivňují i rychlost šíření únavové trhliny. Rovnice tohoto typu tedy implicitně vyjadřují závislost rychlosti šíření únavové trhliny na způsobu zatěžování, okrajových podmínkách, vnějším zatížení charakterizovaném rozkmitem napětí , délce trhliny a, šířce tělesa W atd. Další charakteristikou cyklického zatěžování, významně ovlivňující šíření únavové trhliny, je parametr asymetrie cyklu R = min/max, který v podstatě kvantifikuje střední napětí m. Vliv tohoto faktoru souvisí s otevíráním a uzavíráním čela únavové trhliny – obecně totiž neplatí, že by trhlina byla otevřená v celém intervalu napětí (min, max), odpovídajícím rozkmitu napětí , ale pouze v jeho části. Primární příčinou tohoto jevu je reverzní plastická zóna, vznikající při poklesu napětí v odlehčovací části cyklu, vyvolávající v oblasti čela trhliny zbytková tlaková pnutí, která přitlačují obě líce lomu k sobě a tím trhlinu uzavírají. K tomuto uzavření dochází, poklesne-li vnější napětí pod určitou mezní hodnotu cl ≥ min Obdobně v zátěžné části cyklu dojde k opětovnému otevření trhliny až tehdy, dosáhne-li napětí určité hodnoty op ≥ min (pro jednoduchost budeme dále předpokládat cl ≈ op). K šíření únavové trhliny dochází pouze v té části zatěžovacího cyklu, ve které je trhlina plně otevřena, tj. v intervalu (op, max). Napětí op (resp. min, max, ) odpovídá faktor intenzity napětí Kop (resp. Kmin, Kmax, K). Ve skutečnosti se tedy na šíření únavové trhliny nepodílí celý rozkmit faktoru intenzity napětí K = Kmax - Kmin, ale jen jeho část - tzv. efektivní rozkmit faktoru intenzity napětí Kef (viz obr. 7), definovaný vztahem K ef  K max  Kop .

(20)

Obr. 7 – Efektivní rozkmit faktoru intenzity napětí Kef. Relativní část zatěžovacího cyklu, ve které je trhlina plně otevřena, lze charakterizovat poměrem

U

Kef K -9-

,

(21)

který je obecně funkcí celé řady faktorů, které ovlivňují šíření únavové trhliny. Dominantním faktorem, ovlivňujícím otevírání a uzavírání trhliny je parametr asymetrie cyklu R. V odborné literatuře lze nalézt řadu různých empirických vztahů, které tuto závislost vyjadřují analyticky (viz např. souhrnné práce [7],[26],[27]). Obecně lze konstatovat, že U = U(R) je rostoucí, resp. neklesající funkcí. Konkrétní tvar této funkce závisí zejména na materiálu. Příkladem mohou být dvě kvalitativně shodné lineární funkce, charakterizující závislost otevírání a uzavírání únavové trhliny na parametru asymetrie cyklu: pro slitinu typu AlCu4Mg1 [28] (22) U ( R)  0,5  0,4R a pro konstrukční ocele [29] (23) U ( R)  0,75  0,25R Z porovnání obou uvedených závislostí je zřejmé, že vliv materiálu může být dosti výrazný – např. pro míjivý cyklus (R = 0) je otevření trhliny (a tedy i efektivní hodnota rozkmitu faktoru intenzity napětí Kef = U(R).K) u ocelí o 50% větší, než u duralu. Parametr asymetrie cyklu R je čistě mechanickou veličinou, charakterizující pouze poměr minimálního a maximálního napětí v cyklu a je tudíž stejný např. pro min = 50 MPa, max = 150 MPa jako pro min = 150 MPa, max = 450 MPa. Je zřejmé, že v konkrétním případě bude otevírání a uzavírání trhliny záviset rovněž i na absolutní velikosti maximálního napětí v cyklu max a jejím poměru např. k mezi kluzu daného materiálu. 3 RD

 = 0.35  = 1/3

faktor stísnění h

2,5  = 0.3

 = 0.25

2

 = 0.2

1,5

RN

log(r p /B ) 1 0,01

0,1

1

10

Obr. 8 – Závislost faktoru stísnění h na poměru velikosti plastické zóny rp a tloušťky tělesa B. Parametrem této závislosti je Poissonovo číslo . Dalším významným faktorem, ovlivňujícím otevírání a uzavírání trhliny je tzv. faktor stísnění (angl. „constraint factor“) h, který je funkcí jednak poměru velikosti plastické zóny na čele trhliny rp a tloušťky tělesa B, jednak Poissonova čísla materiálu ν 1 2    rp  2  rp   1  c1     2   B   B    , h (24) 1 2  2   rp   rp   1  2  c2     2   B   B    - 10 -

kde c1 a c2 jsou konstanty. Na obr. 8 je graficky znázorněn průběh funkce h  h rp B ;  pro konstanty c1 = 0,6378 a c2 = 0,5402, převzaté z [30] - funkce (24) má klesající charakter, přičemž její maximum (hmax  3 ) odpovídá stavu rovinné deformace a minimum ( hmin  1 ) stavu rovinné napjatosti. 1,0

1,0

h = 0.25 0,9

 max /R p 0.2 = 0.1

0.20

0,9

faktor stísnění h = 1.5

0.15 0,8

0,7

0,6

U (R , h , max /Rp0.2 )

U (R , h , max /Rp0.2 )

0,8

0,7

0,6

 max /R p 0.2 = 0.5 0,5

0,5 0.3

0,4

0.1

0,4

R [1]

R [1] 0,3 -1,0

-0,5

0,0

0,5

0,3 1,0 -1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

Obr. 9 – Příklady závislosti poměru U = ef/K na parametru asymetrie R, faktoru stísnění h a relativní velikosti maximálního napětí max/Rp0,2. Poměr U, definovaný vztahem (21), lze vypočítat pomocí vztahu (upraveno podle [30], podrobněji viz [7]): U

resp.

1  A0  A1 R  A2 R 2  A3 R 3 , 1 R

pro R  0 , (25)

1  A0  A1 R U 1 R

pro  1  R  0 ,

kde 1

    max  h 2  , A1  0,415  0,071h    max , A0  0,825  0,34h  0,05h  cos    R p 0,2   2 R p 0,2  A2  2  3A0  2 A1 , A3  2 A0  A1  1.

(26)

Dosadíme-li do vztahu (25) za Ai (i = 0,1,2,3) pomocí (26), dostáváme závislost typu U  U R;  max / R p 0,2; h  , která je rostoucí funkcí parametru asymetrie cyklu R, relativní velikosti maximálního napětí vyjádřené poměrem max/Rp0,2 a faktoru stísnění h – viz grafy

- 11 -

na obr. 9), resp. dosadíme-li za faktor stísnění h pomocí (24), je poměr U dále rostoucí funkcí Poissonova čísla ν a klesající funkcí poměru velikosti plastické zóny rp a tloušťky tělesa B. V některých experimentálních pracích bylo prokázáno, že poměr U může být ovlivněn i dalšími faktory, charakterizujícími např. prostředí - viz např. souhrnný článek [31]. Na základě koncepce uzavírání a otevírání trhliny lze původní obecnou závislost rychlosti šíření únavové trhliny převést z původního tvaru v  vK  do tvaru v  vK ef  .

(27)

Lze shrnout, že s ohledem na výše uvedené poznatky obecná funkce (27) implicitně vyjadřuje závislost rychlosti šíření únavové trhliny v na následujících faktorech: rozkmitu napětí, parametru asymetrie cyklu, způsobu zatížení, okrajových podmínkách, geometrii trhliny (zejména délce), geometrii a rozměrech tělesa (zejména jeho šířce a tloušťce), mezi kluzu a Poissonově čísle materiálu. Naznačené závislosti jsou však platné až po určité době časově proměnného zatěžování, kdy je pole napětí a deformací (zejména zbytkových) před čelem trhliny plně vyvinuté – v počáteční fázi šíření se čelo trhliny nachází v kvalitativně odlišné oblasti, ovlivněné spíše okrajovými a počátečními podmínkami (nezatížený stav), než polem elasto-plastických deformací, které se účinkem cyklování postupně mění. Důsledkem je relativně nižší uzavírací napětí op (resp. Kop) a tedy větší hodnota Kef , než za jinak shodných podmínek při větší délce trhliny v již stabilizovaném stavu. Orientační představu o míře vlivu tohoto faktoru si lze udělat na základě výsledků, získaných metodou konečných prvků [32],[33] - v citovaném případě délce počáteční délce trhliny a = ao odpovídala hodnota Kef přibližně dvakrát větší, než délce trhliny a  1,02 ao. Uvedená skutečnost je příčinou jevu, ke kterému při únavových zkouškách často dochází – závislost v(ΔK) má zpočátku konstantní nebo dokonce mírně klesající průběh. Z důvodu odstranění tohoto artefaktu je např. v normě ASTM [34] na měření rychlosti šíření únavové trhliny začleněno, že délka trhliny a, od které se měření mohou brát v úvahu, musí splňovat podmínku a  ao  max(1 mm; h; 0,1B) , (28) kde ao je výchozí délka trhlina na začátku experimentu, h je šířka vrubu a B je tloušťka tělesa. Otevírání a uzavírání trhliny obecně závisí na časovém průběhu zatěžování. Veškeré uvedené úvahy se týkaly jednoduchého zatěžování s konstantní amplitudou napětí. V případě složitějších zatěžovacích spekter může být proces otevírání a uzavírání trhliny výrazně ovlivněn nejen parametry jednotlivých cyklů, ale i jejich sousledností apod. Dalších parametrem, charakterizujícím časově proměnné zatěžování tělesa a ovlivňujícím rychlost šíření únavové trhliny, je frekvence zatěžování f. Tento faktor působí v interakci s vlivem prostředí a teplotou. S rostoucí frekvencí obvykle rychlost šíření únavové trhliny za jinak stejných podmínek mírně klesá (viz např. [35]). Závislost rychlosti šíření únavové trhliny na frekvenci zatěžování má mocninný charakter, tj. v  f  , kde exponent λ je materiálová bezrozměrná konstanta velikosti řádově 10-1. K naznačené skutečnosti je třeba přihlédnout např. při aplikaci výsledků laboratorních únavových zkoušek, realizovaných obvykle z ekonomických a časových důvodů při vysokých frekvencích, v praxi, kdy často provozní frekvence zatěžování bývá o několik řádů nižší. Analyticky lze v oblasti II (viz obr. 5) závislost rychlosti šíření únavové trhliny na všech hlavních, výše zmíněných faktorech vyjádřit např. ve tvaru [36] v  C f  U R K  . n

(29)

Vliv ostatních faktorů (chemické složení materiálu a jeho struktura, prostředí, teplota atd.) je implicitně zahrnut v konstantě C a exponentu n.

- 12 -

6. Závěr O rychlosti šíření únavové trhliny rozhoduje pole napětí a deformací před jejím čelem. Toto pole, které je výsledkem interakce mechanického namáhání se strukturou materiálu v procesní zóně před čelem trhliny a je mimo jiné ovlivňované i teplotou a prostředím, lze charakterizovat pomocí některého z parametrů lomové mechaniky - např. pomocí rozkmitu faktoru intenzity napětí ΔK. Lomová mechanika dodává studiu šíření únavových trhlin teoretický fyzikální základ, umožňující přenos experimentálních poznatků, získaných na jednoduchých laboratorních tělesech, na reálné konstrukční části. Při aplikaci poznatků lomové mechaniky v praxi je však třeba dbát na splnění určitých podmínek a respektovat s tím související omezení [8]. Druhou, neméně důležitou součástí komplexního řešení problematiky únavy konstrukčních materiálů je fraktografická analýza lomových ploch porušených těles či konstrukcí, která poskytuje objektivní informace o reálném průběhu únavového procesu za daných podmínek. Umožňuje rovněž posoudit, zda realizované laboratorní experimenty vhodně simulují reálné provozní podmínky v praxi. Literatura [1] [2] [3] [4]

[5]

[6]

[7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]

KLESNIL, M. - LUKÁŠ, P.: Únava kovových materiálů při mechanickém namáhání. Praha, Academia 1976, 222 s. SCHIJVE, J.: Four Lectures on Fatigue Crack Growth. Engng Fracture Mech., 11, 1979, No.1, pp.167-221. HARRISON, J.D.: Damage Tolerant Design. In: Fatigue Crack Growth. 30 Years of Progress. Ed. R.A. Smith. Oxford, Pergamon Press 1984, pp.117-131. SWIFT, T.: Damage Tolerance in Pressurized Fuselages. In: New Materials and Fatigue Resistant Aircraft Design. (Proc. 14th ICAF Symposium, Ottawa). Ed. D.L. Simpson. Cradley Heath, EMAS 1987, s.1-77. KUNZ, J. - SIEGL, J. - NEDBAL, I. - AUGUSTIN, P. - PÍŠTĚK, A.: Application of Quantitative Microfractography in Damage-Tolerance and Fatigue Evaluation of Wing Spar. In: Proc. 24th ICAS. Ed. I. Grant. Optimage Ltd., Edinburgh 2004, 10 p., CD-Rom. SIEGL, J. - NEDBAL, I. - KUNZ, J.: Fatigue Crack Growth History in Concept of Damage Tolerance of Aircraft Structures. In: Proc. Conf. Damage Tolerance of Aircraft Structures. Eds. R. Benedictus et al. TU Delft 2007, 10 p. Flash Disc. KUNZ, J.: Aplikovaná lomová mechanika. 4.vyd. Praha, Česká technika – nakladatelství ČVUT 2005, 272 s. KUNZ, J.: Lineární lomová mechanika – možnosti a omezení aplikace při výzkumu šíření únavových trhlin. In: Proc. LŠÚM ‘2004, VII. ročník. Žilina, ŽU 2004, s.33-43. KUNZ, J.: Šíření únavových trhlin z hlediska lineární lomové mechaniky. In: Proc. LŠÚM ‘2006, VIII. ročník. Žilina, ŽU 2006, s.19-30. WEI, R.P.: Fracture Mechanics Approach to Fatigue Analysis in Design. J. Engng Mat. Tech., Trans. ASME, 100, 1978, April, pp.113-120. WÄSTBERG, S.: Fatigue Crack Propagation Laws - A Review. (Rapport 13.) Stockholm, The Royal Institute of Technology 1975, 10 p. ROMVARI, P. - TOTH, L. - NAGY, G.: Analiz zakonomernostěj rasprostraněnija ustalostych treščin v metallach. Problemy pročnosti, 1980, No.12, s.18-28. CHAND, S. - GARG, B.L.: Crack Propagation Under Constant Amplitude Loading. Engng Fracture Mech., 21, 1985, No.1, pp.1-30. HARRIS, D.O.: Stress Intensity Factors for Hollow Circumferentially Notched Round Bars. J. Bas. Engng, Trans. ASME, Series D, B9, 1967, No.1, pp.49-54. TADA, H. - PARIS, P. - IRWIN, G.: The Stress Analysis of Crack Handbook. Hellertown, PA., Del Research Co. 1973. - 13 -

[16] ROOKE, D.P. - CARTWRIGHT, D.J. Compendium of Stress Intensity Factors. London, Her Majesty’s Stationery Office 1976. [17] MURAKAMI, Y.: Stress Intensity Factors Handbook. Oxford, Pergamon Press 1987, 1456 p. [18] KFOURI, A.P.: Limitations on the Use of the Stress Intensity Factor, K, as a Fracture Parameter in the Fatigue Propagation of Short Cracks. Fatigue Fracture Engng Mater. Struct., 20, 1997, No.12, pp.1687-1698. [19] TAYLOR, D.: A Compendium of Fatigue Thresholds and Growth Rates. Cradley Heath, EMAS 1985, 380 p. [20] PARIS, P.C. - ERDOGAN,F.: A Critical Analysis of Crack Propagation Laws. J. Basic Engng, 85, 1963, No.4, pp.528-534. [21] TROSHCHENKO, V.T. - POKROVSKII, V.V.: Fatigue Fracture Toughness of Metals and Alloys. Part 1. Strength of Materials, 35, 2003, No.1, pp.1-13. [22] TROSHCHENKO, V.T. - POKROVSKII, V.V.: Fatigue Fracture Toughness of Metals and Alloys. Part 2. Strength of Materials, 35, 2003, No.2, pp.105-113. [23] FORMAN, R.G. - KEARNEY, V.E. - ENGLE, R.M.: Numerical Analysis of Crack Propagation in a Cyclic-Loaded Structure. J. Basic Engng, Trans. ASME, 89D, 1967, No.3, pp.459-464. [24] FORMAN, R.G. - HU, T.: Application of Fracture Mechanics on the Space Shuttle. Damage Tolerance of Metallic Structures: Analysis Methods and Applications, ASTM STP 842, ASTM 1984, pp.108-133. [25] KOHOUT, J.: A New Function Describing Fatigue Crack Growth Curves. Int. J. Fatigue, 21, 1999, No.8, pp.813-821. [26] KUMAR, R. - SINGH, K.: Influence of Stress Ratio on Fatigue Crack Growth in Mild Steel. Engng Fracture Mech., 50, 1995, No.3, pp.377-384. [27] FINNEY, J.M. - DEIRMENDJIAN, G.: Delta –K-Effective: Which Formula? Fatigue Fract. Mater. Struct., 15, 1992, No.2, pp.151-158. [28] ELBER, W.: The Significance of Fatigue Crack Closure. Damage Tolerance in Aircraft Structures, ASTM STP 486, Philadelphia, ASTM 1971, pp.230-242. [29] MADDOX, S.J. - CURNEY, T.R. - MUMMEY, A.M. - BOOTH, G.S.: An Investigation of the Influence of Applied Stress Ratio on Fatigue Crack Propagation In Structural Steels. (Research Report 72/1978). Welding Institute 1978. [30] GUO, W. - WANG, C.H. - ROSE, L.R.F.: The Influence of Cross-Sectional Thickness on Fatigue Crack Growth. Fatigue Fracture Engng Mat. Struct., 22, 1999, No.5, pp.437-444. [31] KUMAR, R.: Review on Crack Closure for Constant Amplitude Loading in Fatigue. Engng Fracture Mech., 42, 1992, No.2, pp.389-400. [32] NAKAGAKI, M. - ATLURI, S.N.: Fatigue Crack Closure and Delay Effects under Mode I Spectrum Loading: An Efficient Elastic-Plastic Analysis Procedure. Fatigue Engng Mat. Struct., 1, 1979, No.4, pp.421-429. [33] POOK, L.P.: Linear Elastic Fracture Mechanics for Engineers: Theory and Applications. Southampton, Boston, WIT Press 2000, 154 p. [34] ASTM Standard E739-91. Standard Test Method for Measurement of Fatigue Crack Growth Rates. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.654-681. [35] YOKOBORI, T. - SATO, K.: The Effect of Frequency on Fatigue Crack Propagation Rate and Striation Spacing in 2024-T3 Aluminium Alloy and SM-50 Steel. Engng Fracture Mech., 8, 1976, No.1, pp.81-88. [36] KUNZ, J.: Vliv některých charakteristik zatěžovacího spektra na proces únavového porušování konstrukčních slitin. Kovové materiály, 20, 1982, č.3, s.301-312. Příspěvek byl realizován v rámci výzkumného záměru MSM6840770021.

- 14 -