MECHANIKA KOMPOZITŮ
Prof. RNDr. Ing. Jan Vrbka, DrSc.
Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně
Brno, 2008
Tato publikace vznikla jako součást projektu CZ.04.1.03/3.2.15.2/0285 „Inovace VŠ oborů strojního zaměření“, který je spolufinancován evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
1
OBSAH 1. ÚVOD ………………………………………………………………………………… 4 2. ZÁKLADNÍ POJMY, DEFINICE …………………………………………………. 5 3. KLASIFIKACE KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ ……………………………… 5 4. KOMPOZITNÍ VLÁKNA ………………………………………………………….. 8 4.1. Mechanické vlastnosti vláken …………………………………………………….. 8 4.2. Technologie výroby vybraných vláken …………………………………………… 9 5. MATRICE …………………………………………………………………………… 11 5.1 Mechanické vlastnosti vybraných materiálů matric …………………………….. 11 6. VÝROBA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ …………………………………….. 13 7. MATERIÁLOVÉ CHARAKTERISTIKY KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ … 14 7.1. Materiálové charakteristiky dlohovláknových kompozitů……………………… 14 7.1.1. Směšovací pravidlo pro hustotu ……………………………………………….. 14 7.1.2. Podélný modul pružnosti v tahu a podélná pevnost ………………………….. 16 7.1.3 Příčný modul pružnosti v tahu …………………………………………………. 22 7.1.4. Modul pružnosti ve smyku …………………………………………………….. 28 7.1.5. Poissonovo číslo dlouhovláknového kompozitu ………………………………. 30 7.1.6. Příčná pevnost dlouhovláknového kompozitu ………………………………… 31 8. SOUČINITELÉ TEPLOTNÍ ROZTAŽNOSTI…………………………………... 34 9. MECHANIZMY PORUŠOVÁNÍ DLOUHOVLÁKNOVÝCH KOMPOZITŮ… 35 9.1. Porušování kompozitu podélným tahovým namáháním ……………………… 9.2. Porušování kompozitu podélným tlakovým namáháním ……………………… 9.3. Porušování kompozitu příčným tahovým namáháním ………………………… 9.4. Porušování kompozitu příčným tlakovým namáháním ……………………….. 9.5. Porušování kompozitu smykem ………………………………………………….
35 36 38 39 39
10. KRÁTKOVLÁKNOVÉ KOMPOZITY ………………………………………… 41 10.1. Teorie přenosu zatížení ……………………………………………………….… 41 10.2. Podélný a příčný modul pružnosti krátkovláknového kompozitu …………… 48 10.3. Podélná pevnost krátkovláknového jednosměrného kompozitu ……………... 49 11. KONSTITUTIVNÍ VZTAHY PRO ANIZOTROPNÍ A ORTOTROPNÍ MATERIÁL ……………………………………………………………………..… 53 11.1. Obecný anizotropní materiál …………………………………………………… 54 11.2. Obecný ortotropní materiál …………………………………………………… 56
2
11.3. Transfersálně ortotropní materiál …………………………………………….. 60 11.4. Rovinný anizotropní a ortotropní materiál …………………………………… 62 11.5. Konstitutivní vztahy pro rovinný ortotropní materiál v obecném souřadnicovém systému ………………………………………………………... 64 11.6. Konstitutivní vztahy vyvážené orientované laminátové dvojvrstvy ………… 69 11.7. Konstitutivní vztahy pro rovinný ortotropní materiál s uvažováním teploty. 70 12. PEVNOST ROVINNÉHO ORTOTROPNÍHO MATERIÁLU (ORTOTROPNÍ LAMINY) ……………………………………………………… 72 12.1. Podmínka mezního stavu pevnosti hlavních ortotropních napětí …………… 72 12.2. Podmínka mezního stavu pevnosti hlavních ortotropních přetvoření ……… 74 12.3. Tsai-Hillova kvadratická podmínka mezního stavu pevnosti ……………….. 75 12.4. Vliv znaménka smykového napětí na jeho mezní hodnotu ………………….. 78 13. LAMINÁTOVÉ VRSTEVNATÉ KONSTRUKCE ……………………………. 81 13.1. Laminátová stěna ………………………………………………………………. 81 13.2. Tenkostěnná laminátová válcová tlaková nádoba …………………………… 85 13.3. Tenkostěnná laminátová deska ……………………………………………….. 87 POUŽITÁ LITERATURA ………………………………………………………….. 94
3
1. ÚVOD Současné období má celou řadu charakteristických atributů. Lidská společnost je obecně označována jako znalostní společnost, kde rozhodujícím prostředkem dalšího rozvoje je uplatňování nových poznatků ve všech oborech lidské společnosti, podporované průřezovým využíváním informačních technologií včetně výkonných počítačů, příslušného software, databázových systémů a světových informačních sítí. Jedním z charakteristických rysů moderní doby je stále širší používání kompozitních materiálů, které přináší v klasické oblasti inženýrského konstruování a nejen v ní skutečnou revoluci. V běžné konstruktérské praxi se doposud využívaly a využívají kovové materiály (zejména ocel), které mají homogenní izotropní materiálové a pevnostní vlastnosti. Při pevnostním návrhu konstrukce či mechanické součástky se vybírá použitý materiál tak, aby jeho pevnostní a případně další materiálové charakteristiky odpovídaly místu maximálního namáhání. Z pevnostního pohledu je potom materiál využit pouze v této oblasti, což může být značně neefektivní. Technologie kompozitních materiálů umožňuje vytvořit strukturu, která odpovídá poli napjatosti (či deformace) a která je vysoce pevná tam, kde je vysoké namáhání (resp. vysoce tuhá tam, kde je to vyžadováno) a jinde již takové vlastnosti nemá. Moderní kompozitní materiály mají celou řadu předností ve srovnání s běžnými kovovými konstrukčními materiály - nízká hustota, větší měrná pevnost, lomová houževnatost, odolnost vůči chemickým a povětrnostním vlivům, lepší tepelné a elektroizolační vlastnosti, dobrá prostupnost elektromagnetickým zářením, často snadnější technologie výroby atd. Prezentovaný učební text má čtenáře seznámit především s mechanikou vláknových kompozitních materiálů, ale nebude pomíjet ani důležité technologické aspekty. Základní úlohou bude stanovení důležitých mechanických charakteristik kompozitního materiálu (hustoty, modulů pružnosti, Poissonových čísel, pevností atd.) na základě známých materiálových mechanických vlastností jednotlivých komponent a strukturního složení kompozitního materiálu. V závěrečných kapitolách se budeme zabývat problematikou stanovení prvků matice tuhosti (resp. poddajnosti) u charakteristických konstrukcí z kompozitních materiálů, jmenovitě laminátové stěny a laminátové desky. Je možné s určitou nadsázkou říci, že historie využívání kompozitních materiálů je stejně stará jako lidstvo samo. Již při konstrukci prvních obydlí se používala hlína vyztužená slámou nebo rákosem, známým stavebním prvkem byly cihly vyztužené slámou, překližka byla již známa v dávném Egyptě. V té době se samozřejmě pro stanovení optimálního složení nepoužívaly sofistikované výpočetní metody. Vycházelo se z intuice a z praktických zkušeností. Předkládaný učební text (výuková opora) je určen v rámci Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně především pro posluchače magisterských studijních programů Inženýrská mechanika a biomechanika a Materiálové inženýrství a týká se jmenovitě předmětů Mechanika kompozitů a Aplikovaná mechanika. Pro dobré pochopení prezentovaných poznatků a souvislostí je zapotřebí patřičná znalost statiky, pružnosti a pevnosti, nauky o materiálu a příslušných partií matematiky včetně maticového počtu a to na úrovni absolvovaného bakalářského studia. Autor se snažil o logický výklad látky, důležité vztahy byly odvozeny s patřičným vysvětlením omezujích předpokladů použitých výpočtových modelů i důsledků pro praktické používání, důraz je kladen na pochopení podstaty mechanického chování kompozitních materiálů. Autor zároveň věří, že srozumitelnost textu ocení i další zájemci včetně odborníků z praxe.
4
2. ZÁKLADNÍ POJMY, DEFINICE Kompozitní materiály (kompozity) jsou složené materiály, skládající se ze dvou či více složek, z nichž každá plní jinou specifickou funkci a má jiné materiálové vlastnosti, většinou značně odlišné. V tomto výukovém textu se omezíme na konstrukční kompozitní materiály, které sestávají z nosné části (výztuže) a z matrice, která má spojující funkci a která vytváří vnější tvar tělesa. Nosná část přitom představuje většinou diskontinuální složku kompozitu, kde z jednoho místa výztuže na druhé se nedostaneme v rámci dané složky tj. výztuže, ale musíme jít přes matrici. Matrice z tohoto pohledu je kontinuální složkou kompozitního materiálu. Typickým příkladem jsou vláknové kompozity s tenkými vlákny jako nosnou částí. Základní úlohou mechaniky kompozitních materiálů je stanovení mechanických charakteristik (deformačních a pevnostních) na základě známých mechanických charakteristik složek, při definované struktuře a objemovém složení kompozitu. Vhodnou kombinací složek s využití příslušných výrobních technologií je možné vytvořit nehomogenní anizotropní materiálovou strukturu, která odpovídá deformačním a pevnostním požadavkům na příslušné těleso. Ve srovnání s klasickými kovovými materiály je možné zvýšit pevnost (zejména měrnou pevnost), tuhost, lomovou houževnatost, odolnost proti korozi, upravit tepelnou a elektrickou vodivost, redukovat hmotnost. Nevýhodu je na druhé straně většinou komplikovanější výrobní technologie, vyšší cena, menší odolnost vůči vysokým teplotám, přítomnost zbytkových napětí z titulu výrobní technologie atd.
3. KLASIFIKACE KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ Kompozitní materiály je možné členit z několika hledisek 1) podle materiálu výztuže - kovy ( W , Fe, Cr, Mo, Ti, Ni a jejich slitiny) - nekovy - anorganické materiály - keramické materiály ( Al2O3 , ZrO2 , SiC, TiC,WC, TiB2 , BN atd.) - skla ( E, S ) - C, B - čedič organické materiály - polymery (aramidová vlákna - Kevlar, polyamidová vlákna – Nylon atd.) 2) podle materiálu matrice - kovy ( Al, Ag, Fe, Mg, Ti, Co, Cu, Ni atd. jejich slitiny) - nekovy - anorganické materiály - keramické materiály ( Al2O3 , SiC, SiO2 , TiC, Cr3C2 atd.)
5
organické materiály
- skla ( E, S ) -C - polymery (polyestery, vinylestery, fenolické pryskyřice, epoxidy, polyamidy atd.)
Materiál vláken a materiál matrice je možné kombinovat nejrůznějším způsobem, kompozit může být typu kov – kov, polymer – polymer, keramika – keramika, keramika – kov, keramika – polymer. Samozřejmým předpokladem je však dobrá mezifázová adhese a vhodné deformačně-napěťové vlastnosti. Jako zajímavost lze uvést, že existují kompozity u kterých je materiál výztuže stejný, pouze v jiné formě. Jako příklad je zde možné uvést žárupevný materiál na bázi SiO2 , kdy výztuž je ve formě tenkých vláken a matrice ve formě objemového materiálu. 3) podle geometrického tvaru výztuže (nosné části) - vláknové - částicové - skeletové Charakteristické typy vláknových kompozitů jsou graficky znázorněny na následujícím obrázku [7].
Obr.3.1. Typy vláknových kompozitů Používá se přitom těchto názvů: a) jednosměrná dlouhá vlákna b) jednosměrná krátká vlákna c) dvousměrné vyztužení (křížová tkanina, rohož) d) vícesměrné vyztužení e) náhodná orientace vláken f) náhodná orientace krátkých vláken
6
Obr.3.2 . Prostorové uspořádání vybraných vláknových kompozitů Pro lepší představu slouží obrázek s prostorovým uspořádáním vybraných případů na předchozí stránce (obr.3.2). U částicových kompozitních materiálů (obr.3.3a) jsou vyztužující částice dispergovány v matrici a omezují rozvoj plastických deformací, čímž zvyšují mez kluzu, mez pevnosti a tvrdost a samozřejmě ovlivňují celou dalších vlastností např. tepelnou a elektrickou vodivost. Skeletový kompozitní materiál (obr.3.3b) je tvořen pórovitou matricí prostoupenou souvislým nosným skeletem.
Obr.3.3. Částicový a skeletový kompozitní materiál 4) podle použití - žárupevné, žáruvzdorné, korozivzdorné, aplikace v letectví, strojírenských výrobních technologiích, stavebnictví atd. V dalších kapitolách se budeme zabývat především vláknovými konstrukčními kompozitními materiály. Podrobnější klasifikace těchto kompozitů z hlediska geometrického uspořádání vláken je uvedena na obr.3.4 [1]. Vláknové kompozity jednovrstvé dlouhovláknové
vícevrstvé krátkovláknové (l / d 100)
s jednosměrným s vícesměrným vyztužením vyztužením
lamináty (vrstvy ze stejných mat., různé směry vláken)
s náhodnou orientací vláken
hybridy (vrstvy z různých materiálů)
s přednostní orientací vláken
Obr.3.4. Klasifikace vláknových kompozitů z geometrického pohledu
7
4. KOMPOZITNÍ VLÁKNA Jak již bylo řečeno v úvodu, vlákna vytvářejí nosnou strukturu kompozitních materiálů. Uvedeme si základní mechanické vlastnosti a stručně se seznámíme s technologií výroby vybraných vláken.
4.1. Mechanické vlastnosti vláken Materiálové pevnostní charakteristiky jsou determinovány přítomností nadkritických poruch, kde vzniká a odkud se šíří trhlina, vedoucí finálně k lomu. Je zřejmé, že absolutní počet těchto poruch závisí na objemu materiálu, tj. jeho rozměrech. U vláken uvedenou skutečnost vyjadřuje Griffitův vztah, který je možné psát ve tvaru
Pf
A
B d
(4.1)
kde A a B jsou materiálové konstanty a d je průměr vlákna. 0 by Griffitův vztah má samozřejmě omezenou platnost v krajní poloze, protože pro d pevnost rostla nad všechny meze Pt . Ve skutečnosti nemůžeme překročit tak zvanou
teoretickou pevnost E /10 . Největší pevnost mají tzv. whiskery, což jsou teor monokrystalická kovová vlákna průměru d 1 m a délky l 3 4mm . U tenkých vláken se projevuje negativní vliv délky vlákna na mez pevnosti Pf v důsledku větší pravděpodobnosti poruch u delšího vlákna. Tuto skutečnost dokumentuje experimentálně zjištěná závislost na délce vlákna l pro tenké skleněné vlákno typu E o průměru d
Obr.4.1. Závislost meze pevnosti vlákna
Pf
Pf
5 20 m , viz obr 4.1.
na jeho délce
Vlákna se technologicky vyrábějí ve svazcích a mají náhodné rozdělení poruch, které způsobují lokální koncentraci napětí a mají i poněkud odlišné rozměry. Některá vlákna ve svazku prasknou již při začátku zatěžování. Z těchto důvodů se uvažuje, že je průměrná pevnost vláken ve svazku menší než jednoho taženého vlákna. Mechanické vlastnosti vybraných vláken jsou uvedeny v následující tab. 4.1 [1].
8
Tab.4.1. Mechanické vlastnosti vybraných vláken
Et
Pt
Pt
GPa
MPa
Sklo - E 72,4 Sklo - S 85,5 Grafit - E 390 Grafit - S 240 Bor 385 W 414 Aramid Kevlar 49 130 Azbest 160 SiC 250 Polyethylen PE Spektra 172
3500 4600 2100 2500 2800 4200 2800 3100 2200 3000
Ocel
210
Kde Et je modul pružnost v tahu, pevnost a f ,krit je tažnost.
10 kgm 2,54 2,48 1,9 1,9 2,63 19,3 1,5 2,56 2,6 0,97
340-2500
Pt
3
7,8
je pevnost v tahu,
3
/
MPa / kgm 1,38 1,85 1,1 1,3 1,1 0,22 1,87 1,21 0,85 3,09
f , krit
%
3
2,5 2,5 0,7 0,7 0,8 2,5 1,9 0,9 1,7
0,0440-0,321
je hustota,
Pt
/
je měrná
4.2. Technologie výroby vybraných vláken Výroba kompozitních vláken patří většinou do kategorie pokročilých výrobních technologií a bývá předmětem ochrany duševního vlastnictví. Výchozí materiál (prvek nebo sloučenina) se často liší od finálního materiálu. Samozřejmě musí obsahovat chemické prvky finálního produktu. Obsahem tohoto učebního textu je mechanika kompozitních materiálů a proto se problematikou technologie výroby budeme zabývat pouze okrajově pro dokreslení komplexnosti problematiky. Seznámíme se s výrobní technologií několika typických vláken [2]. SKELNÉ VLÁKNO Vyrábí se tažením z taveniny připravené v platinových pecích. Vlákno je následně ochlazováno a opatřeno ochrannou vrstvou, která brání vlákno před okysličováním a rovněž zvyšuje adhesi a smáčivost organickými matricemi. Skelné vlákno se používá ve dvou základních modifikacích a to typu S (vysoce pevné) a typu E (vysoce tuhé). UHLÍKOVÉ VLÁKNO (1961) Vyrábí se pyrolýzou polyakrylonitrilových vláken PAN. Ta jsou nejprve zahřáta a protahována, aby se získala vhodná orientace molekul. Následuje stabilizace v okysličující atmosféře při teplotě 220 230 0C až 10 hod. Potom se pokračuje grafitizací v inertní atmosféře při 1000 – 1500 0C a dalším protahováním. Dalším technologickým krokem je grafitizace v inertní atmosféře za teplot 2500 – 3000 0C pod napětím. Výsledkem je značná anizotropie materiálových charakteristik, což je možné dokumentovat dokonce záporným
9
longitudinálním součinitelem teplotní vodivosti L ( 0,30 0,37.10 6 K 1 ) . Jiný způsob výroby uhlíkového vlákna využívá jako výchozí surovinu dehtovou smolu. Vnější povrch se upravuje okysličením, aby se zvýšila adhese na polymerní matrici. BÓROVÉ VLÁKNO Vyrábí se vylučováním z plynné fáze halogenidu, jmenovitě směsi trichlóru bóru a vodíku na povrch rozžhaveného vlákna z karbidu wolframu WC o průměru 10 m . Výsledný průměr vlákna bývá v rozmezí 0,1 – 0,2 m . Výhodou bórového vlákna je dobrá adhese k matrici. Nevýhodou pak vysoká hustota ρ a tím i nízká měrná pevnost. Borové vlákno nemůže být ohýbáno a proto se také nedá tkát. Používá se většinou na plošné konstrukce, kde je zapotřebí vysoká tuhost. ARAMIDOVÉ VLÁKNO Aramidové vlákno fy. Dupot je známé pod obchodním označením Kevlar 29 resp. Kevlar 49 pro letecké aplikace. Jde o organické vlákno s vysokou pevností a malou měrnou hmotností. Přesné chemické složení je předmětem obchodního tajemství. Vlákno se vyrábí tak, že polymer rozpuštěný v koncentrované kyselině sírové je vytlačován tryskami do studené vody, kde je propírán a následně sušen na cívkách. Aramidové vlákno je hydroskopické a musí být před impregnací vysušeno.
10
5. MATRICE Hlavní úlohou matrice je zajištění celistvosti kompozitního tělesa, tj. dokonalé spojení nosné části a vytvoření vnějšího tvaru, který musí zajistit řádnou funkci tělesa. Materiálové vlastnosti matrice a vláken musí být v souladu pro dosažení optimálních vlastností celého kompozitu. Specifické funkce matrice je možné vyjádřit v několika bodech: -
-
spojuje vlákna (resp. částice u částičových kompozitů) v kompaktní celek zprostředkuje zatížení vláken v místech vnějšího zatížení, v místech přerušení vláken, mezi vlákny u krátkovláknových kompozitů, mezi vlákny nerovnoměrně zatíženými, přemosťuje trhliny ve vláknech atd. vytváří vnější funkční povrch tělesa a estetický vzhled včetně barvy.
Obecným mechanickým požadavkem na matrici je dobrá adheze k výztuži a dobrá mezní tažnost m,krit .
5.1. Mechanické vlastnosti vybraných matricových materiálů Nejčastěji se používají organické polymerní matrice. Zaměříme se na jejich dvě základní charakteristické skupiny – termosety a termoplasty. Základní vlastností termosetů je skutečnost, že zůstávají v tuhé fázi i po zahřátí, což zvyšuje jejich odolnost vůči creepu a vyšším teplotám. Při procesu vytvrzování dochází ke vzniku tuhé prostorové polymerní sítě. U konstrukčních aplikací vláknových kompozitů tento typ matric převládá. Mechanické vlastnosti u typických termosetů jsou uvedeny v následující tab.5.1 [2]. Tab.5.1. Mechanické vlastnosti vybraných termosetů
Et 3
10 kgm Epoxidová pryskyřice 1,1-1,4 Polyestery 1,1-1,5 Fenolické pryskyřice 1,3 o Polyimidy (až do teploty 350 C ) 1,2-1,9
3
GPa
Pt
MPa
2,1-6,0 35-90 1,3-4,5 45-85 4,4 50-60 3,0-3,1 80-190
m, krit
%
1-10 1-5 1-3 2-40
Termoplasty jsou po vytvrzení tuhé látky, které měknou a tečou při zvýšení teploty nad teplotu kritickou. Po ochlazení opět ztuhnou. Charakteristikou struktury jsou dlouhé lineární molekuly vytvořené opakováním stejných stavebních jednotek. Nevýhodou je veliká viskozita při zpracování, která je o 2-4 řády větší než u termosetů, což přispívá ke vzniku defektů jako jsou bubliny, nesmočené pramence vláken atd. Zlepšení se dosáhne použitím termoplastem předimpregnovaného vlákna, což ale zvyšuje cenu. Výhodou je vysoká tažnost. Matrice z termoplastů převládají u plněných plastů a částicových kompozitů. Mechanické vlastnosti vybraných termoplastů jsou uvedeny v tab.5.2 [2].
11
Tab.5.2. Mechanické vlastnosti vybraných termoplastů
Et 3
10 kgm Polypropylen 0,9 Polyamid 1,42 Polykarbonát 1,21 Polyether 1,31
GPa
3
Pf
m, krit
MPa
%
1,1-1,5 28-41 10-700 2,8-2,4 76-83 60-300 2,1-2,8 62-76 110-130 3,8 70 50-130
U polymerních matric dochází se zvyšující teplotou ke snížení modulu pružnosti Et , meze pevnosti Pt a ke zvýšení tažnosti. Jako příklad můžeme uvést epoxidovou pryskyřici, kde existuje celá řada tvrdidel, katalyzátorů a plnidel. Pro pryskyřici s obchodním názvem EPON ve složení 100 váhových dílů pryskyřice a 39 váhových dílů tvrdidla (diaminodifenylsulfonu) jsou poměry udány v následující tab.5.3. Tab.5.3. Závislost mechanických vlastností epoxidové pryskyřice EPON na teplotě
Teplota o
C 25 120
Et 3
10 kgm 1,22 1,22
3
Pt
f , krit
GPa
MPa
%
2,8 2,1
95,1 46,2
5,5 9,6
12
6. VÝROBA KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ Vlastní výrobní technologie spojení nosné části (vlákna) a pojiva (matrice) závisí do značné míry na materiálu matrice. U kompozitních materiálů s polymerní matricí se používá laminace, tlakového vytlačování (extrusion) či tažení (pultrusion), při použití kovových matric se používá laminování, válcování či vytlačování. Technologické výrobní postupy používané u dlouhovláknových a krátkovláknových kompozitů jsou přehledně uvedeny v následující tabulce [2]: Tab.6.1. Výrobní technologické postupy kompozitních materiálů Výrobní technologie Ruční ukládání Vakuové zpracování v autoklávu Lisování v přípravku Navíjení Válcování tlakem Nastříkávání Přenos kapalné matrice Vytlačování Tváření tahem Vstřikování Prášková metalurgie
Dlouhé vlákno, organická matrice x x
Dlouhé vlákno, kovová matrice
Krátké vlákno x x
x x
x x x
x
x
x x x
x
x x x x x
Nejjednodušší technologie ručního ukládání je téměř výlučně omezena na kompozity s polymerní matricí. Používá se přitom buď tradiční techniky mokrého ukládání (wet lay-up) nebo techniky předimpregnace (pre-preg). V prvním případě je vlákno impregnováno kapalnou matricí přímo ve formě a to buď štětcem nebo nastříkáno pistolí. Tvrdidlo je smícháno s pryskyřicí těsně před aplikací. Nevýhodou této technologie je poměrná nehomogenita struktury. V případě pre-pregu je již vlákno impregnováno u dodavatele tekutou matricí včetně tvrdidla, přičemž může dojít k částečné polymerizaci. K finálnímu vytvrzení a patřičnému ztuhnutí kompozitu potom dochází v autoklávu při zvýšené teplotě u finálního výrobce. V případě výrobního způsobu wet lay-up se používají výztuže ve formě tkaných rohoží, u techniky pre-preg může být výztuž ve tvaru dlouhých vláken, krátkých náhodně uspořádaných vláken či ve formě tkaných rohoží. Více informací o výrobních technikách je uvedeno v [2], [5] a [7].
13
7. MATERIÁLOVÉ MECHANICKÉ CHARAKTERISTIKY KOMPOZITNÍCH MATERÁLŮ Materiálové charakteristiky kompozitních materiálů závisí na materiálových charakteristikách komponent, podílu složek, geometrickém uspořádání výztuže v matrici a kvalitě mezisložkového rozhraní. V praxi jsou tyto charakteristiky značně ovlivněny úrovní technologického výrobního procesu a to zejména pevnostní materiálové charakteristiky. Naším cílem v této kapitole bude stanovit výsledné mechanické materiálové charakteristiky kompozitního materiálu na základě známých charakteristik materiálů komponent a strukturního složení. Přitom budeme vycházet z ideálního výpočtového modelu kompozitního materiálu bez přítomnosti poruch. V prvním kroku se zaměříme na dlouhovláknové jednosměrné kompozitní materiály.
7.1. Materiálové charakteristiky dlouhovláknových jednosměrných kompozitů 7.1.1. Směšovací pravidlo pro hustotu kompozitu Geometrický výpočtový model dlouhovláknového kompozitního materiálu je uveden na obr.7.1.
Obr.7.1. Geometrický výpočtový model dlouhovláknového jednosměrového kompozitu Souřadnicové osy L , T , T ' představují hlavní materiálové osy ( L -longitudinální (podélná), T -transfersální (příčná) a T ' -transfersální (druhá příčná)). V rámci mechaniky kontinua tyto osy odpovídají hlavním ortotropickým osám 1, 2 a 3. V dalším budeme podle potřeby používat obou označení. V f je celkový objem vláken ve vzorku, Vm je celkový objem matrice ve vzorku a Vc je celkový objem vzorku.
14
Příčný průřez reálné vrstvy dlouhovláknového kompozitu (laminy) je uveden na obr.7.2.
Obr.7.2. Příčný průřez laminou Pro další úvahy zavádíme objemové podíly komponent, jmenovitě vláken v f a matrice vm a dále hmotnostní podíly vláken m f a matrice mm pomocí následujících vztahů: vf
Vf
vm
Vc
Mf
mf
mm
Mc
Vm Vc
(7.1)
Mm Mc
(7.2)
Nyní využijeme podmínky zachování objemu a hmoty.
Vc
Vf
Vm
Vi / i
1
Mc
Vf
Vm Vc
Vc
Mf
vf
1 Vc
vm
(7.3)
vi i
Mm
mf
mm
mi i
1
Mf Mc
Mm Mc
mf
mm
mi
(7.4)
i
Je zřejmé, že existuje jednoznačná relace mezi objemovými a hmotnostními podíly a to prostřednictvím hustot . mf
mm
Mf
f
Vf
f
Mc
c
Vc
c
Mm Mc
m c
Vm Vc
m
vf
(7.5)
vm
(7.6)
c
15
Nyní si odvodíme vztah pro hustotu celkovou hmotnost kompozitu: Mc
c
Mf
f
Vf
vf
f
c
.
Vychází se přitom z relace pro
Mm
Vc
c
kompozitu
m
m
Vm /
vm
1 Vc i
(7.7)
vi
i
Předchozí rovnice se nazývá směšovacím pravidlem pro stanovení hustoty kompozitu c . Vztah odvozený pro dvě složky kompozitu, tj. nosnou část (vlákna) a matrici byl analogicky rozšířen na i složek. Hustotu kompozitu
1 vf
c
vm
c
c
mf
f
mf
mm
f
m
mm
m
1 c
je možné vyjádřit rovněž využitím vztahů (7.3), (7.5) a (7.6):
1 mi i
(7.8)
i
Odvozené vztahy platí pro ideální kompozitní materiál bez dutin, které jsou způsobeny např. nedokonalou impregnací vláken. Objemový podíl dutin vd , který bývá měřítkem technologické kvality kompozitu se stanoví pomocí hustot následovně: vd
c ,teor
c ,ex
(7.9)
c ,teor
Kde
c ,teor
je hustota kompozitu vypočítaná pomocí směšovacího pravidla (7.7) resp. (7.8).
7.1.2. Podélný modul pružnosti v tahu a podélná pevnost Prvním krokem je odvození vztahu pro průměrného napětí v kompozitu c v podélném směru, tzv. směšovacího pravidla pro napětí. Přitom se vychází z jednoduchého geometrického výpočtového modelu, který je znázorněn na obr.7.3.
16
Obr.7.3. Silové poměry v příčném řezu dlouhovláknového kompozitu. Výchozím vztahem je podmínka silové ekvivalence v podélném směru Fc
Ff
Fm
(7.10)
c
Sc
f
Sf
m
c
Vc
f
Vf
m
c
f
vf
m
Sm / l
Vm /
vm
1 Vc i
vi ,
(7.11)
i
kde
c
je průměrné podélné napětí v kompozitu,
f
je napětí ve vláknu a
m
je napětí
v matrici, Sc je plocha příčného průřezu kompozitu, S f je plocha průřezů vláken a S m je plocha průřezu matricí. Směšovací pravidlo (7.11) pro napětí v kompozitu c byl odvozeno na základě podmínky statické silové ekvivalence a platí tak bez ohledu na stav materiálu tj. pružný nebo plastický. Umožňuje stanovit tahový diagram kompozitního materiálu, pokud známe tahové diagramy složek. Z analýzy vztahu (7.11) vyplývá, že pokud se chovají v průběhu zatěžování obě komponenty lineárně, potom je tahový diagram kompozitu rovněž lineární. Nelineární chování jedné složky pak vede k nelineárnímu průběhu tahového diagramu kompozitu.
17
Typický průběh tahového diagramu kompozitu je uveden na následujícím obr.7.4.
Obr.7.4. Tahový diagram kompozitního materiálu Tahový diagram kompozitu sestává obvykle ze 4 částí: I - vlákna i matrice se chovají lineárně pružně II - vlákno se chová lineárně pružně, matrice pak pružně plasticky III - vlákno i matrice se chovají pružně plasticky (u vlákna jde o velice malý úsek, těsně před prasknutím) IV - po prasknutí vlákna se matrice chová elasticko plasticky. V úseku I je tedy výsledný tahový diagram lineární, v následujících úsecích II, III a IV potom nelineární. V lineárně pružném úseku I můžeme definovat a následně stanovit modul pružnosti kompozitu Ec v podélném směru. Napěťově-deformační charakteristiky vláken, matrice i kompozitu jsou popsány příslušným Hookeovým zákonem: f
m c
Ef
Em Ec
(7.12)
f
(7.13) (7.14)
m c
U použitého jednoduchého výpočtového modelu (viz obr.7.3) předpokládáme dokonalou adhesi mezi matricí a vláknem a stejné podélné přetvoření. Potom platí jednoduchá relace f
m
(7.15)
c
Dosazením (7.12), (7.13) a (7.14) do rovnice (7.11) obdržíme vztah Ec
c
Ef
f
vf
Em
m
vm
(7.16)
18
a následně s uvážením (7.15) dospějeme k finálnímu výrazu Ec
Ef vf
Em vm
(7.17)
Ei vi i
Tím jsme odvodili výsledný vztah pro modul pružnosti kompozitu Ec . V tomto konkrétním případu se jedná o podélný modul pružnosti v tahu, který obecně označujeme Et , L . Vztah (7.17) se v literatuře označuje jako směšovací pravidlo pro modul pružnosti kompozitu v tahu. V případě dvousložkového kompozitu je možné vyjádřit podélný modul pružnosti Ec pomocí objemového podílu vláken v f dosazením (7.3) do (7.17). Ec
Ef vf
Em vm
Ef vf
Em (1 v f )
(7.18)
Z rovnice (7.13) vyplývá, že modul pružnosti Ec je lineární funkcí objemového podílu vláken v f . Tato skutečnost je graficky vyjádřena na obr.7.5 přímkou označenou L .
Obr.7.5. Závislost modulu pružnosti Ec na objemovém podílu vláken v f Po přetržení vlákna při kritickém přetvoření pro průměrné napětí v kompozitu c
m
vm
m
c
f , krit
je ve vláknu nulové napětí
0 a
f
dostáváme v souladu s relací (7.11) následující vztah:
(1 v f )
(7.19)
Předchozí rovnice již byla použita při tvorbě tahového diagramu kompozitu na obr.7.4 v oblasti IV po přetržení vlákna. Výsledná tahová pevnost dobře navrženého kompozitního materiálu Pc je dána stavem, kdy praskají vlákna, tj. pro kritické přetvoření vláken f f , krit (viz obr.7.4). Uvažujeme opět dvousložkový kompozit. Vyjdeme ze vztahu (7.11) pro napětí v kompozitu uvažováním (7.3) a předchozí podmínky pro přetržení vlákna obdržíme: Pc
Pt , L
Pf
vf
m,
f ,krit
(1 v f )
c
(7.20) 19
a s
Vedle pracovního označení pevnosti kompozitu Pc je v předchozím vztahu použito i obecného označení Pt , L , vyjadřujícího skutečnost, že jde o podélnou pevnost kompozitního materiálu v tahu. U nevhodně navrženého kompozitu s malým objemovým podílem vláken v f a velice tažnou matricí a s vysokým zpevněním v oblasti plastické je pevnost kompozitního materiálu dána stavem, kdy praská matrice, viz obr.7.6.
Obr.7.6. Tahový diagram nevhodně navrženého kompozitního materiálu Již předtím však došlo k přetržení vláken, která žádné zatížení nepřenášejí. V tomto případě vycházíme ze vztahu (7.11) a pro podélnou pevnost kompozitu Pc dostáváme vztah: Pc
Pt , L
Pm
vm
Pm
(1 v f )
(7.21)
Rovnice pro podélnou pevnost Pc dobře a nevhodně navrženého kompozitu (7.20) a (7.21) představují lineární závislosti, které jsou graficky znázorněny na obr.7.7.
Obr.7.7. Závislost podélné pevnosti kompozitu Pc na objemovém podílu vláken dobře (D) a nevhodně (N) navržený kompozit
20
f
pro
Dále zavádíme nové důležité pojmy, jmenovitě kritický objemový podíl vláken v f ,krit a minimální objemový podíl vláken v f ,min . Kritický objemový podíl vláken v f ,krit odpovídá případu, kdy pevnost dobře navrženého kompozitu Pc
Pc
odpovídá pevnosti matrice
Pm
, vyjádřeno matematicky (7.22)
Pm
Po dosazení (7.20) do (7.22) dostáváme vztah
Pc
v f ,krit
Pf
m,
f ,krit
(1 v f ,krit )
Pm
ze kterého vypočteme kritický objemový podíl vláken v f ,krit
v f ,krit
Pm
m,
f ,krit
Pf
m,
f ,krit
(7.23)
Minimální objemový podíl vláken v f ,min odpovídá stavu, kdy jsou pevnosti dobře navrženého kompozitu a nevhodně navrženého kompozitu stejné. V grafu na obr.7.7 jde o průsečík přímek D a N . Tuto skutečnost vyjádříme matematicky Pc
( D)
Pc
(N )
(7.24)
Dosazením (7.20) a (7.21) do (7.24) dostáváme Pf
v f ,min
m,
f ,krit
(1 v f ,min )
Pm
(1 v f ,min )
(7.25)
a následnou algebraickou úpravou obdržíme výsledný vztah pro minimální objemový podíl vláken v f ,min . Pm
v f ,min Pf
m, Pm
f ,krit
m,
(7.26) f ,krit
Aplikace kompozitního materiálu je z pevnostního pohledu opodstatněná pouze tehdy, pokud je pevnost kompozitního materiálu větší než pevnost samotné matrice, vyjádřeno matematicky Pc Pm . V souladu s předchozími odstavci i s grafem na obr.7.7 tento případ nastane tehdy, když objemový podíl vláken bude větší než objemový podíl kritický, tedy v f v f ,krit .
21
Všechny předchozí vztahy byly odvozeny pro ideální kompozitní materiál bez poruch celistvosti a soudržnosti a pro přesnou geometrickou strukturu v souladu s výpočtovým modelem. Podívejme se nyní na některé faktory, které negativně ovlivňují podélnou tuhost ( Et , L ) a podélnou pevnost ( Pt , L ) kompozitu. Směrová dezorientace vláken v podélném směru. Vlákna jsou různých délek. Vlákna ve svazku mají rozdílné pevnosti z důvodu různých průměrů d . Rozdílná kvalita mezifázového rozhraní z důvodu např. nedokonalé impregnace vláken. 5) Koncentrace napětí na koncích vláken (vnější zatížení je přenášeno na vlákna prostřednictvím matrice). 6) Přítomnost zbytkových napětí v důsledku různých součinitelů teplotní roztažnosti vláken a matrice ( f , m ). Tato napětí vznikají jednak v procesu výroby kompozitu jednak za provozu při teplotních změnách. Tato zbytková napětí se při provozu superponují s napětími od vnějšího zatížení. 1) 2) 3) 4)
Přítomnost zbytkových napětí může mít značný vliv na napjatost a deformaci kompozitních materiálů, ve většině případů jejich velikost přesně neznáme a nelze je odstranit tepelným zpracováním jako u kovových materiálů (žíhání na odstranění zbytkových napětí u oceli). Při provozu dochází k superpozici zbytkových napětí s napětími od vnějšího zatížení. Značný význam má kvalita mezifázového rozhraní, zvláště u krátkých vláken. Snaha o zvýšení adheze ale vede na druhé straně ke snížení lomové houževnatosti K IC (snadnější šíření trhlin kompozitem). Mechanické vlastnosti kompozitních materiálů je nutné optimalizovat z komplexního pohledu.
7.1.3. Příčný modul pružnosti v tahu Při odvozování potřebných vztahů budeme vycházet z jednoduchého geometrického modelu kompozitního materiálu, který je uveden na obr.7.8:
Obr.7.8. Rovinný geometrický výpočtový model kompozitního materiálu
22
rovinného
Předpokládáme, že znázorněný vzorek kompozitu je dostatečně veliký, abychom mohli zanedbat okrajové a Poissonovské efekty. Z podmínek rovnováhy uvolněných prvků tělesa vyplývá následující podmínka pro napětí v kompozitu c c
f
(7.27)
m
Dále se budeme zabývat přetvořením kompozitu v příčném směru. Vzhledem k periodické struktuře vzorku se můžeme omezit na jednu charakteristickou dvojici sestávající z jednoho vlákna a jedné vrstvy matrice. Odvozené vztahy budou mít obecnější platnost pro celý vzorek v příčném směru. Pro protažení kompozitu v příčném směru tc dostáváme: tc
tf
(7.28)
tm
Protažení kompozitu a složek je možné vyjádřit pomocí poměrných přetvoření následovně: tc
tc ; t f
c
f
t f ; tm
.t
(7.29)
m m
Dosazením (7.28) do (7.29) dostáváme
c
tc
f
tf
tm /
m
tf l h c
f
m
tc l h
l h tc l h
Vf
tm l h tc l h
f
Vc
m
Vm Vc
Předchozí vztah upravíme zavedením poměrných objemů vláken a matrice v f a vm a dále formálně rozšíříme pro více složek c
T
f
vf
m
vm
i
vi
(7.30)
i
Předchozí vztah představuje tzv. směšovací pravidlo pro stanovení poměrného přetvoření kompozitu c v příčném směru. Naším cílem je nyní stanovení modulu pružnosti Ec v příčném směru. Předpokládáme lineárně pružné chování komponent a tedy i kompozitu a použijeme Hookeův zákon , jmenovitě vztahy (7.12), (7.13) a (7.14). Po dosazení do (7.30) dostáváme c
f
Ec
Ef
vf
m
Em
vm
Vzhledem k relaci (7.27) obdržíme
23
vf
1 Ec
vm Em
Ef
vi Ei
i
(7.31)
V příčném směru platí směšovací pravidlo pro převrácenou hodnoty modulu pružnosti tj. pro poddajnost. Hodnotu modulu pružnosti v tahu v příčném směru Ec Et ,T získáme jednoduchou algebraickou úpravou.
Ec
1
Et ,T
vf
vm Em
Ef
1 vi i Ei
(7.32)
Uvažujeme-li kompozit složený ze dvou komponent, tj. vláken a matrice, potom vzhledem k (7.3) dostáváme
Ec
Et ,T
vf
1 1 vf
Ef
Em
(7.33)
Závislost příčného modulu pružnosti Et ,T na poměrném objemu vláken v f je výrazně nelineární, což prokazuje rovněž graf na obr.7.5 (křivka T), který je nakreslen pro poměr E f / Em 10 . Ze sledovaného grafu vyplývá, že v rámci jednoho dlouhovláknového jednosměrového kompozitu je (s výjimkou krajních poloh, které nemají praktický význam) podélný tahový modul vždy větší než příčný modul, tedy platí následující relace Et ,T
Et , L
(7.34)
Všechny vztahy odvozené v předchozích odstavcích vycházely z podmínek jednoduchého rovinného geometrického výpočtového modelu, znázorněného na obr.7.8., který vystihuje skutečné poměry v kompozitu pouze přibližně. Podstatnější rozdíly vůči realitě můžeme shrnout následovně: -
u skutečného dlouhovláknového kompozitu je na rozdíl od rovinného modelu celý povrch vláken obklopen matricí, přičemž vlákna jsou po průřezu náhodně rozdělena, viz obr.7.2. Důsledkem je skutečnost, že napětí ve vláknu a v matrici se liší, tedy f
-
m
při výpočtu nebyly uvažovány Poissonovské efekty související s rozdílnými Poissonovými čísly materiálu vláken a matrice f a m . Poissonovo číslo vlákna f bývá obvykle menší než matrice m a při zatížení v příčném směru by se chtělo vlákno zkracovat méně než matrice, čemuž ale brání vazba mezi vláknem a matricí. . Vzniká tak smykové napětí τ (viz obr. 7.8), se kterým rovinný model nepočítá.
24
Důsledkem obou uvedených odchylek je skutečnost, že naměřené hodnoty příčného modulu pružnosti v tahu Et ,T ,mer jsou větší než hodnoty teoretické Et ,T ,teor stanovené podle směšovacího pravidla (7.32). V současné době dokážeme výpočtově zvládnout přesnější geometrické modely kompozitního materiálu např. pro rovnoměrné pravidelné sítě vláken v matrici. Analytické řešení využívající např. metodu komplexní proměnné nebo rozvoj funkce v řadu je aplikovatelné pouze u velice jednoduchých případů. Úlohu je však možné řešit numericky a to buď pomocí metody konečných diferencí nebo v současné době zejména pomocí Metody konečných prvků (MKP). Tyto metody je možné použít i pro obecnou nepravidelnou síť vláken. Na základě rozsáhlých opakovaných výpočtů, provedených pro různé objemové hustoty v f vláken je možné sestrojit grafy s obecnější vypovídací hodnotou. Výsledky získané pro pravidelnou mříž vláken pomocí metody konečných diferencí (práce Adamse a Donera [1]) jsou uvedeny na obr.7.9.
Obr.7.9. Závislost poměrného příčného modulu pružnosti kompozitu Et ,T / Em na objemovém podílu vláken v f a poměrném modulu pružnosti vlákna E f / Em Z předchozího grafu mj. vyplývá, při vysoké tuhosti vlákna E f další zvyšování hodnot E f nevede k podstatnému zvýšení příčné tuhosti kompozitu Et ,T . Halpin a Tsai odvodili jednoduché relace pro příčný modul pružnosti Et ,T na základě aproximace exaktnějších vztahů, vycházejících z mikromechaniky kompozitů [1] Et ,T Em
1
vf 1
kde parametr
vf
,
(7.35)
má hodnotu
25
Ef Em Ef
1
(7.36)
Em
Parametr se nazývá míra vyztužení kompozitu a je funkcí geometrie vláken, jejich rozložení v kompozitu a podmínek zatěžování. Pro vlákna kruhového nebo čtvercového a 2 , přičemž a je průřezu je jeho hodnota 2, pro vlákno obdélníkového průřezu potom b šířka vlákna, b je výška vlákna vzhledem k vnějšímu zatížení. Výsledky získané na základě vztahů (7.35) a (7.36) jsou graficky znázorněny na obr.7.10.
Obr.7.10. Závislost poměrného příčného modulu pružnosti kompozitu Et ,T / Em na objemovém podílu vláken v f a poměrném modulu pružnosti vlákna E f / Em dle Halpina a Tsaie Dalším přístupem ke stanovení napjatosti v kompozitu s pravidelnou mříží vláken představuje Hahnova metoda [2]. Autor vzešel z realističtějšího výpočtového geometrického modelu, kdy válcové vlákno je obklopeno matricí rovněž válcového tvaru o poloměru, který odpovídá poměrnému objemu matrice vm v kompozitu, viz obr. 7.11. Zatím co napjatostní a deformační poměry v podélném směru se u tohoto uspořádání podstatněji neliší od rovinného modelu, při namáhání v příčném směru je situace odlišná. Vlákno zde představuje tvrdou a tuhou fázi, která vede ke koncentraci napětí na hranici vlákna.
26
Obr.7.11. Válcový model kompozitního materiálu Stanovením pole napjatosti ve vláknu, obklopeném matricí (obr.7.12) se zabýval Schuvech [2].
Obr.7.12. Průběh radiálního napětí na mezifázovém rozhraní vlákno-matrice V polárních souřadnicích odvodil vztah pro napětí uvnitř vlákna v místě (a, ) a to pro rovinnou deformaci ( z 0 ).
r
( a, )
x
a a a {0,5 [1 K1 ( ) 2 ] 0,5 (1 K 2 ) [3 ( ) 4 4 ( ) 2 ] cos 2 } , r r r
(7.37)
kde K1
E f (1 2
m
) (1
m
) Em (1 2
f
) (1
f
Ef
27
)
(7.38)
E f (1
K1
m
E f (3 4
) Em (1
f
Em (1 m)
)
(7.39)
f )
Pro konkrétní kompozit skelné vlákno/epoxidová pryskyřice ( E f 86,9GPa; Em 3, 45GPa; f 0, 2; m 0,35 ) dostáváme následující rovnici pro radiální napětí na rozhraní vlákno-matrice: r
(r , )
x
r ,max
(0,63652 0,89492 cos 2 )
x ,max
x ,max
r
(
0)
1,53
x
Z předchozího jasně vyplývá, že neplatí předpoklad vyplývající z rovinného geometrického výpočtového modelu f m c a tyto veličiny jsou různé.Tsai a Hahn respektovali tento fakt zavedením koeficientu m
E
f
E
E
. (7.40)
0,1
Z předchozích dvou rovnic vyplývá, že platí již dříve uvedená relace
m
f
.
Pro příčnou poddajnost 1/ Et ,T uvádějí autoři následující vztah: 1 Et ,T
1 vf
E
vm
(
vf Ef
E
vm ) Em
(7.41)
Z čehož vyplývá následující relace pro příčný modul pružnosti Et ,T Ec
Et ,T
vf vf Ef
E
vm
E
vm Em
(7.42)
7.1.4. Modul pružnosti ve smyku Pro odvození použijeme opět jednoduchý rovinný geometrický model dlouhovláknového kompozitu, který je uveden na následujícím obrázku.
28
7.13. Rovinný výpočtový element namáhaný na smyk Posunutí pravého horního rohu kompozitního vzorku je dána posuvem ve vláknech a v matrici uc
uf
(7.43)
um
Uvedené posuvy je možné vyjádřit pomocí zkosů
c
tc
tf
f
m
a tlouštěk t
1 tc
tm /
Po formální úpravě dostaneme směšovací pravidlo pro zkos kompozitu c
vf
f
m
vm
i
vi
c
(7.44)
i
Pokud předpokládáme lineárně pružné chování komponent a tím i kompozitu, platí Hookeův zákon pro prostý smyk c
Gc
c
;
f
Gf
f
;
m
Gm
(7.45)
m
Po dosazení (7.45) do (7.44) obdržíme c
f
Gc
Gf
vf
m
Gm
vm
(7.46)
Z podmínek silové rovnováhy uvolněných částí vzorku na obr.7.13 řezy, které prochází vlákny a matricí platí c
f
(7.47)
m
29
Úpravou (7.46) s uvážením (7.47) dostáváme směšovací pravidlo pro smykovou poddajnost 1/ Gc 1 Gc
vf
vm Gm
Gf
vi Gi
i
(7.48)
a následně vztah pro smykový modul pružnosti kompozitu Gc
Gc
1
GLT
vf Gf
GLT
1 vi i Gi
vm Gm
(7.49)
I zde je zapotřebí si uvědomit, že použitý rovinný geometrický model je velice přibližný. V prostorovém případě s náhodně uspořádanými vlákny (obr.7.2) je při smykovém namáhání napětí ve vláknu f větší než napětí v matrici m , tedy neplatí rovnice (7.47). Podobně jako u příčného namáhání dlouhovláknového kompozitu zavádějí Tsai a Hahn součinitel uvedenou skutečnost vystihuje m
G
f
, který
(7.50)
0,1
G
G
Pro smykovou poddajnost 1/ Gc autoři odvodili následující vztah 1 Gc
1 GLT
1 vf
G
vm
(
vf Gf
G
vm ) Gm
(7.51)
7.1.5. Poissonovo číslo dlouhovláknového kompozitu Vztah pro Poissonovo číslo kompozitu c odvodíme pro prvek znázorněný na LT Obr.7.14, tedy opět pro rovinný geometrický výpočtový model.
Obr.7.14. Charakteristiký periodický prvek kompozitu 30
Napětí v podélném směru sestává z kontrakce vláken tc
tf
c
způsobí v příčném směru kontrakci kompozitu t f a kontrakce matrice tm . L
tc , která
(7.52)
tm
Zúžení kompozitu i složek vyjádříme pomocí poměrných přetvoření: / tc /
/ tc
T
/
/ tf /
/t f
f ,T
/ tm /
/ tm
tc /
m ,T
LT
tf /
(7.53)
L
f
tm
(7.54)
f
m
(7.55)
m
V podélném směru předpokládáme stejné protažení složek, tedy platí l
lf
lm
L
f
(7.56)
m
Po dosazení (7.53), (7.54) a (7.55) do (7.52)dostáváme
tc
LT
L
tf
f
f
tm
m
m
/
1 tc
a po algebraické úpravě a s uvážením (7.56) obdržíme směšovací pravidlo pro Poissonovo číslo dlouhovláknového kompozitu c LT c
LT
f
vf
m
vm
i
vi
(7.57)
i
I v tomto případě je nutné připomenout, že vzhledem k použitému rovinnému výpočtovému modelu je odvozený vztah (7.57) pro Poissonovo číslo pouze přibližný.
7.1.6. Příčná pevnost dlouhovláknového kompozitu Vstupní úvahu provedeme opět pro rovinný geometrický výpočtový model, který je namáhán v příčném směru - viz obr.7.8. V souladu s rovnicí (7.27) platí c T f m . Potom je logické, že kompozit praská v méně pevné části – matrici, je-li splněno: Pc
Pt ,T
(7.58)
Pm
V reálném prostorovém případě (obr.7.2) dochází ke značné koncentraci napětí, zejména na koncích vláken, která vede ke snížení pevnosti. Tuto skutečnost vyjádříme pomocí redukčního součinitele pevnosti P, který v podstatě odpovídá součiniteli koncentrace napětí K. Pro tahovou pevnost v příčném směru Pc Pt ,T potom dostáváme
31
Pm Pc
Pt ,T
P
Pm
(7.59)
K
Hodnota součinitele koncentrace napětí K závisí zejména na objemovém podílu vláken v f a poměrné tuhosti vláken E f / Em , jak ukazuje graf na obr.7.15 pro rovnoměrnou prostorovou síť vláken, převzatý z práce Adamse a Donera [1]. Výpočet napjatosti byl proveden pomocí metody konečných diferencí.
Obr.7.15. Závislost koncentrace napětí na poměrném objemu vláken v f a poměrné tuhosti vláken E f / Em . Z grafu je zřejmé, že s růstem v f i E f / Em se součinitel koncentrace napětí K zvětšuje. Maximální napětí x ,max je ve vyznačených bodech na hranici matrice a vlákna, což je v dobrém souladu s dříve uvedeným řešením dle Schuvecha. V případě, že chování kompozitního materiálu má křehký charakter, vycházejí podmínky mezního stavu pevnosti z poměrných přetvoření. Důležitou pevnostní hodnotou je zde příčné kritické přetvoření T , krit , které se určuje na základě kritického přetvoření matrice m, krit , která je poddajnější a méně pevnou částí kompozitu. Jeho hodnota se určuje na základě jednoduchého vztahu m , krit T , krit
(7.60)
D
kde D je redukční součinitel deformace resp. součinitel koncentrace deformace. Pokud se zanedbají Poissonovské efekty, související s rozdílnou kontrakcí vláken a matrice, potom je možné vyjádřit součinitele koncentrace napětí P a deformace D [1] následovně
32
1 v f (1 P 1 (
4v f
)
0,5
Em ) Ef
(7.61)
E (1 m ) Ef
1
D 1 (
4v f
)
0,5
(7.62)
Em (1 ) Ef
Jiný vztah pro příčné příčné kritické přetvoření z kritického přetvoření matrice
T , krit
m, krit
m, krit
T , krit
pochází od Nielsena [1]. Opět vychází
.
1 3 f
(7.63)
(1 v )
Analýza předchozího vztahu ukazuje, že s růstem objemového podílu vláken v f hodnota kritického poměrného přetvoření složku kompozitu.
T , krit
klesá. Je to logické, protože vlákna představují křehčí
Pokud se vlákna a matrice chovají lineárně pružně až do lomu, potom je možné předchozí vztah upravit aplikací Hookeova zákona tak, aby vyjadřoval vztahy pro napětí, tedy 1 Pt ,T
Et ,T
Pm
Em
(1 v 3f )
Po algebraické úpravě dostáváme vztah pro příčnou tahovou pevnost kompozitu Pm Pt ,T
.Et ,T
Em
1 3 f
Pt ,T
(7.64)
(1 v )
33
8. SOUČINITELÉ TEPLOTNÍ ROZTAŽNOSTI Zahřejeme-li rovnoměrně vzorek dlouhovláknového kompozitu zobrazený na obr.7.1 o teplotu T , potom se vzorek roztáhne ve směru materiálových os L a T , což jsou zároveň hlavní osy ortotropie 1 a 2 . V těchto hlavních ortotropických osách přitom nikde nedochází ke zkosům . Teplotní roztažení v těchto hlavních osách je popsáno dvěma hlavními součiniteli teplotní roztažnosti L a T , které mají obecně různou velikost. Příčný součinitel teplotní roztažnosti T bývá větší než podélný L .Teplotní roztažnost vláken f totiž bývá obvykle menší než je hodnota součinitele m materiálu matrice. Vlákna potom brání roztahování kompozitu v podélném směru. Při kladné objemové deformaci se musí kompozit o to více roztahovat v příčném směru. Pro hlavní součinitele teplotní roztažnosti odvodil Shapery [1] následující vztahy:
L
T
1 ( f Ef vf m Em vm ) EL (1 (1 m ) m vm f ) f vf
Kde hodnota Poissonova čísla LT
f
m
L
(8.2)
LT
je dána směšovacím pravidlem (7.57), tedy
vm
0, 25 se vztah (8.2) zjednoduší do lineární podoby
Pro v f T
vf
LT
(8.1)
f
vf
(1
m
)
m
vm
(8.3)
Charakteristická závislost podélného a příčného součinitele teplotní roztažnosti L a T na objemovém podílu vláken v f je graficky znázorněna na obr.8.1 pro kompozit sklo-epoxy s materiálovými f
0, 20 ,
m
charakteristikami 0,35 , E f
komponent:
70GPa , Em
f
0,5.10 5 K 1 ,
6, 0.10 5 K 1 ,
m
3,5GPa .
Obr.8.1. Závislost podélného a příčného součinitele teplotní roztažnosti objemovém podílu vláken v f pro kompozit sklo-epoxy 34
L
a
T
na
9. MECHANIZMY PORUŠOVÁNÍ DLOUHOVLÁKNOVÝCH KOMPOZITNÍCH MATERIÁLŮ U dlouhovláknových jednosměrných kompozitních materiálů dochází ke vnitřnímu porušování celistvosti mnohem dříve, než se objeví pozorovatelné makroskopické příznaky – okem viditelná trhlina, oddělení částí kompozitu, přetržení vlákna atd. Mezi nejčastější způsoby porušování celistvosti kompozitů patří: -
přetržení vláken vznik mikrotrhlin v matrici oddělení vláken od matrice oddělování vrstev lamin v laminátových kompozitech, tzv. delaminace.
V literatuře se objevují dvě různé definice meze pevnosti kompozitu Pc . Jedna stanovuje pevnost kompozitu jako průměrné napětí v kompozitu v okamžiku lomu, druhá odpovídá okamžiku ztráty lineárního chování kompozitního materiálu. My se přikloníme k první definici, která více odpovídá fyzikálnímu charakteru jevu. Jednosměrové dlouhovláknové kompozity mívají často lineární tahový diagram až do lomu, jak je zřejmé z následujícího obrázku [1]:
Obr.9.1. Tahový diagram pro podélný směr u kompozitu s epoxidovou matricí vyztuženou grafitovými vlákny ( v f 62% ) a bórovými vlákny ( v f 55% ) Vlastní mechanismy porušování celistvosti kompozitů závisejí podstatně na způsobu namáhání. Podívejme se nyní na charakteristické způsoby porušování [1]:
9.1. Porušování kompozitu podélným tahovým namáháním K prvním defektům již dochází při poměrně malém zatížení, což je možné demonstrovat na počtu lomů vláken, zjištěných např. metodou akustické emise – viz obr.9.2.
35
Obr.9.2. Počet lomů vláken v závislosti na poměrném zatížení vzorku
c
/
Pc
Při tahovém podélném namáhání se vyskytují tři základní mechanismy porušení, které závisejí na mechanických vlastnostech komponent a technologii výroby kompozitu: a) křehké porušení b) křehké porušení s vytažením vláken c) křehké porušení s oddělením složek, nebo porušením matrice Vytažení vlákna z matrice závisí na pevnosti vlákna a na přenosu zatížení mezi matricí a vláknem. Uvedené tři případy porušení jsou graficky znázorněny na obr. 9.3.
Obr.9.3. Mechanismy porušování dlouhovláknového kompozitu při podélném tahovém namáhání
9.2. Porušování kompozitu podélným tlakovým namáháním Při tlakovém podélném namáhání kompozitu rozeznáváme čtyři základní mechanismy porušování:
36
a) b) c) d)
příčné tahové porušování mikroprohnutí vláken s extenzní deformací mikroprohnutí vláken se smykovou deformací smykové porušování
které jsou graficky znázorněny na obr.9.4. K mikroprohnutí vláken může dojít již při poměrně malém zatížení, kdy se matrice ještě chová lineárně pružně.
Obr.9.4. Způsoby porušení dlouhlovláknových jednosměrových kompozitů při podélném tlakovém namáhání U mechanismu mikroprohnutí vláken s extenzní deformací (b) není prakticky žádná vazba mezi příčným přetvořením sousedních vláken. Tento případ nastává při malém objemovém podílu vláken v f . První porušení vzniká v matrici v místech s největším tahovým příčným přetvořením (největší extenzí). U mechanismu mikroprohnutí vláken se smykovou deformací ad c) vidíme soufázovou deformaci vláken, což znamená, že existuje vazba mezi deformací sousedních vláken. Tento případ nastává při velkém objemovém podílu vláken v f s hustou sítí vláken. První poruchy vynikají na rozhraní vlákno-matrice smykovým napětím z titulu velikého zkosu
.
Případ d) se od předchozích liší. K porušení celistvosti kompozitu dochází v rovině maximálního globálního smykového napětí a lom jde přes vlákna kompozitu. S rozdílnými mechanismy porušování souvisejí rovněž rozdílné teoretické vztahy pro podélnou pevnost v tlaku Pd ,T . Podmínka mezního stavu pevnosti pro mechanismus příčného tahového porušování ad a) vychází z přetvoření v příčném směru T T
(9.1)
T , krit
Příčnou deformaci
T
vyjádříme pomocí podélné deformace
T
použitím Poissonova čísla
LT
T
L
(9.2)
LT
37
Pro lineárně pružné chování kompozitu platí Pd , L L , krit
(9.3)
EL
Dosazením (9.3) do (9.2) dostáváme pro kritickou deformaci v příčném směru
T , krit
Pd , L T , krit
(9.4)
LT
EL
a odtud vztah pro podélnou pevnost v tlaku
EL
Pd , L
T , krit
(9.5)
Pd , L LT
Aplikací směšovacích pravidel pro podélnou tuhost EL a Poissonovo číslo vztahu pro kritické příčné přetvoření T ,krit dostáváme finální vztah pro Pd , L
LT
a Nielsenova
1
(E f v f
Em vm ).(1 v 3f )
Pd , L f
vf
m
m , krit
(9.6)
vm
Pro případ mikroprohnutí se smykovou deformací (obr.9.4c) podle Rosena platí:
Pd ,T
Gm 1 vf
(9.7)
kde Gm je smykový modul pružnosti matrice.
9.3. Porušování kompozitu příčným tahovým namáháním Příčinou porušování je koncentrace napětí v mezifázovém rozhraní vlákno-matrice a v matrici. Někdy dochází i k příčnému porušování vláken, jsou-li málo pevná. Uplatňují se tyto mechanismy: a) porušování matrice tahovým napětím b) oddělování složek na mezifázovém rozhraní c) štěpení vláken Globální příčný lom probíhá v rovině maximálního hlavního napětí, která je kolmá na směr zatížení c , viz obr.9.5
38
Obr.9.5. Porušování celistvosti při příčném tahovém namáhání
9.4. Porušování kompozitu příčným tlakovým namáháním Dochází ke smykovému porušování matrice, které je obvykle doprovázeno oddělováním složek nebo drcením (štěpením) vláken. Lomová rovina odpovídá rovině maximálního smykového napětí a svírá se směrem vnějšího zatížení c úhel 450 , viz obr.9.6.
Obr.9.6. Porušování celistvosti při příčném tlakovém namáhání Z provedených experimentů vyplývá, že příčná mez pevnosti v tlaku je menší než v tahu, tedy platí relace Pd ,T Pd , L . Pokud se ale zabrání vzájemnému posuvu částí vzorku podél skluzové roviny (roviny lomu) vyztužením, potom jsou obě meze pevnosti stejné, tedy Pd ,T Pd , L .
9.5. Porušování kompozitu smykem K porušování celistvosti kompozitu dochází smykovým porušováním matrice, oddělováním složek nebo kombinací obou těchto mechanismů, viz obr.9.7.
Obr.9.7. Porušování celistvosti kompozitu smykovým namáháním 39
V následující tabulce jsou souhrnně uvedeny základní mechanické a termomechanické charakteristiky vybraných kompozitních materiálů [1]. Všechny tři uvedené kompozity mají matrici z epoxidové pryskyřice. Tab.5. Základní mechanické a termomechanické charakteristiky vybraných kompozitních materiálů
Charakteristiky
E-sklo Kevlar-49 Thornel 300
Objemový podíl vláken - v f [%]
46
60-65
63
1,8
1,38
1,61
39
83
159
1104
1310
1725
Příčný modul pružnosti v tahu - Et ,T [GPa]
10
5,6
10,9
Příčná pevnost v tahu -
36
39
42
Podélný modul pružnosti v tlaku - Ed , L [GPa]
32
73
138
Podélná pevnost v tlaku -
600
286
1366
8
5,6
11
138
138
230
-
2,1 60
6,4 95
0,25 31
0,34 69
0,045 113
5,4
-2,3 - -4,0
0,045
36
35
20,2
Hustota -
c
[103 kgm 3 ]
Podélný modul pružnosti v tahu - Et , L [GPa] Podélná pevnost v tahu -
- [MPa]
Pt , L
Pt ,T
- [MPa]
Pd , L
- [MPa]
Příčný modul pružnosti v tlaku - Ed ,T [GPa] Příčná pevnost v tlaku -
Pd ,T
- [MPa]
Modul pružnosti ve smyku - GLT - [GPa] Pevnost ve smyku - P , LT - [MPa] Poissonovo číslo - LT - [ ] Mezilaminová pevnost - P , LAM - [MPa] Podélný součinitel teplotní roztažnosti Příčný součinitel teplotní roztažnosti -
L T
- [10 6 K 1 ]
- [10 6 K 1 ]
40
10. KRÁTKOVLÁKNOVÉ KOMPOZITY Dlouhovláknové jednosměrové kompozitní materiály vykazují výrazné směrové vlastnosti. Jejich nevýhodou jsou ale malé hodnoty tahového modulu pružnost Et ,T a tahové pevnosti v příčném směru Pt ,T . Často potřebujeme zlepšit mechanické vlastnosti ve všech směrech, zejména pokud přesně neznáme, jak je těleso zatěžováno. V takových případech používáme krátkovláknové kompozity s náhodným směrovým uspořádáním vláken. U krátkovláknových kompozit má rozhodující význam přenos zatížení mezi matricí a vláknem a následně vláknem a matricí.
10.1. Teorie přenosu zatížení Pro odvození uvažujeme jednoduchý geometrický výpočtový model, obsahující jedno vlákno ve směru působícího vnějšího zatížení – viz obr.10.1. Naším cílem je stanovit průběh napětí ve vláknu f ( z ) , které je způsobeno přenosem zatížení z matrice prostřednictvím smykového napětí ( z) , které působí na mezisložkovém rozhraní matrice-vlákno:
Obr.10.1. Geometrický výpočtový model přenosu zatížení v krátkém vláknu Při odvození průběhu normálního napětí ve vláknu f ( z ) vycházíme z osové silové podmínky rovnováhy uvolněného prvku vlákna – viz obr.10.2.
Obr.10.2. Uvolněný prvek vlákna
41
Podmínka rovnováhy ve směru osy z r2 (
d
f
f
r2
)
f
2
r dz
0
Po separaci proměnných dostáváme: d
f
2 ( z ) dz r
( z)
Předchozí vztah integrujeme v odpovídajících mezích
f
d
f
z
2 r
( z)
fo
(10.1)
( z ) dz 0
Vyjádříme integrál na levé straně a po úpravě obdržíme
f ( z)
2 r
f0
Hodnota napětí
f ( z)
2 r
z
( z ) dz
(10.2)
0
f0
na kraji vlákna bývá malá a můžeme ji zanedbat, tedy
z
( z ) dz
(10.3)
0
Abychom mohli vyjádřit integrál na pravé straně předchozí rovnice, musíme znát průběh smykového napětí podél vlákna ( z) . Pro další odvození předpokládáme ideálně tuhoplastický materiálový model matrice, viz obr.10.3. Veličina na vodorovné ose je zkos a k je smyková mez kluzu..
Obr.10.3. Smykový diagram ideálního tuho-plastického materiálu matrice
42
Průběh ( z) je v souladu s obr.10.3 konstantní, zapsáno matematicky ( z)
(10.4)
konst
k
Po dosazení (10.4) do (10.3) a po provedené integraci dostáváme
f
2
( z)
k
z
(10.5)
r
V oblasti přenosu zatížení z matrice na vlákno dostáváme v souladu s (10.5) lineární průběh napětí ve vláknu f ( z ) . U krátkých vláken je maximální napětí s (10.5) obdržíme
f ,max
f
(z
l ) 2
k
f
( z)
f ,max
uprostřed vlákna, tedy v souladu
l
(10.6)
r
Od tohoto místa hodnota napětí ve vláknu f ( z ) postupně lineárně klesá až k nule, v důsledku opačného přenosu zatížení z vlákna na matrici. Pokud je vlákno poněkud delší roste napětí ve vláknu f ( z ) až do místa, kde končí přenos zatížení z deformačních důvodů, tedy tam, kde jsou poměrná přetvoření na hranici matricevlákno z obou stran stejná m
f
c
(10.7)
f .M
kde f , M je mezní hodnota přetvoření vlákna. Odpovídající mezní napětí f , M se stanoví za předpokladu lineárně pružného chování vlákna a matrice a tedy i celého kompozitu, kdy platí f ,M
Ef
c
(10.8)
Ec
Algebraickou úpravou dostáváme Ef f ,M
c
(10.9)
Ec
Hodnotu modulu pružnosti kompozitu lze stanovit na základě směšovacího pravidla (7.17) dle vztahu Ec
Ef vf
Em vm
Ze vztahu (10.9) je patrno, že mezní napětí ve vláknu lineárně závisí na zatížení kompozitu
c
. 43
f ,M
není konstantní hodnotou, ale že
Dále zavádíme příslušnými definicemi dvě nové veličiny, jmenovitě přenosovou délku vlákna lt a kritickou délku vlákna lk . Přenosovou délkou vlákna lt se rozumí délka vlákna nezbytná k dosažení mezního napětí f , M , tedy f ,max
(10.10)
f ,M
Po dosazení (10.6) do (10.10) s uvážením l
lt dostáváme
lt
k
f .M
r
odkud vypočteme přenosovou délku vlákna lt r
f ,M
lt
(10.11)
k
případně poměrnou přenosovou délku lt vztaženou na průměr vlákna d
lt d
f ,M
2
(10.12)
k
Kritickou délkou vlákna lk je délka nezbytná pro dosažení maximálního napětí na úrovni meze pevnosti vlákna Pf , tedy platí f ,max
(10.13)
Pf
Dosazením (10.6) do (10.13) obdržíme s uvážením l lk
k
,
Pf
r
lk
odkud stanovíme kritickou délku vlákna lk lk
r
Pf
,
(10.14)
k
případně poměrnou kritickou délku lk vztaženou k průměru vlákna d lk d
Pf
2
(10.15)
k
44
V návaznosti na nově zavedené veličiny a odvozené vztahy se nyní podívejme na průběh normálného napětí ve vláknu f ( z ) v závislosti na délce vlákna. Graficky je průběh znázorněn společně s průběhem smykového napětí obr.10.4.
( z) na rozhraní vlákno-matrice na
Obr.10.4. Průběh napětí ve vláknu f ( z ) a smykového napětí v závislosti na délce vlákna
na hranici vlákno-matrice
Všechny doposud odvozené vztahy vycházely z jednoduchého geometrického výpočtového modelu zobrazeného na obr.10.1, který předpokládal jedno izolované válcové vlákno ležící ve směru působení vnějšího zatížení a obklopené matricí. Současné výpočetní prostředky umožňují stanovit charakteristické průběhy f ( z ) a ( z) i pro komplikovanější prostorové výpočtové modely (3-D). Pro stanovení napjatosti a deformace v kompozitu se používá metoda konečných diferencí a v poslední době zejména MKP. Na obr.10.5 jsou prezentovány průběhy napětí v oblasti u začátku vlákna pro kompozit s E f / Em 29,5; l / d 10, 4; v f 0, 42 [1] s lineárně pružným chováním..
Obr.10.5. Průběhy napětí Průběh
f
f
( z ) a ( z) v oblasti začátku vlákna
( z ) na předchozím obrázku vykazuje nereálně vysokou hodnotu počátečního
napětí f0 , což souvisí s předpoklady použitého výpočtového modelu, jmenovitě dokonalou adhezí a lineárně pružným chováním materiálů komponent. Naopak dobře je splněna skutečnost, že napětí ve vláknu dosahuje své maximální hodnoty f ,max tam, kde končí přenos, tzn. tam kde je smykové napětí na rozhraní vlákno-matrice nulové (
45
0) .
Pro stejný případ byl vypočten průběh axiálního napětí z a průběh radiálního napětí r v matrici bezprostředně u rozhraní vlákno-matrice. Poměry v oblasti u počátku vlákna jsou graficky znázorněny na obr.10.6.
Obr.10.6. Průběh axiálního napětí z a radiálního napětí r v matrici na rozhraní vláknomatrice při lineárně pružném chování komponent Ukazuje se výrazná koncentrace axiálního napětí z a radiálního napětí r na začátku a také na konci vlákna, což vede k iniciaci poškození právě v těchto oblastech. Dále výpočet ukazuje, že mimo okraje vlákna je radiální napětí záporné ( r 0) , co způsobuje, že kontakt přenáší zatížení z matrice na vlákno i po uvolněním vazeb a to prostřednictvím třecích sil na rozhraní vlákno-matrice. Odlišné průběhy napětí f a byly získány pro pružně plastický materiálový výpočtový model chování komponent u kompozitu s následujícími mechanickými a geometrickými charakteristikami - E f / Em 117; l / d 100; v f 0, 496; m,krit 2, 4% . Výsledky jsou uvedeny na obr.10.7.
Obr.10.7. Průběhy napětí
a
a
r
v oblasti začátku vlákna po pružně plastický výpočtový model
46
Z průběhu složek napětí je vidět maximální napětí ve vláknu
f ,max
, že napětí na počátku vlákna
je velice malé a
f0
se prakticky nemění od místa, kde končí přenos zatížení
0 . To velice dobře odpovídá průběhům z matrice na vlákno, tedy tam, kde získaným pro prezentovaný elementární model přenosu, viz obr.10.4.
Pro další úvahy zavádíme novou veličinu – průměrné napětí ve vláknu vztahem
f
1 l
f
f
a
a to následujícím
l f
(10.16)
( z ) dz
0
V případě jednoduchého výpočtového modelu s lineárním průběhem napětí ve vláknu f ( z ) v oblasti přenosu zatížení dostáváme pro průměrné napětí ve vláknu u krátkého vlákna s délkou menší nebo rovnou přenosové délce lt . 1 (10.16) f f ,max 2 V případě vlákna, jehož délka je větší než přenosová délka lt platí
f
f ,max
(1
lt ) 2l
(10.17)
Z předchozího vztahu je zřejmé, že průměrné napětí ve vláknu f se s růstem délky zvětšuje. Pro konkrétnější představu o uvedené závislosti následuje tab.10.8, která vychází ze vztahu (10.17). Tab.10.8. Závislost poměrného středního napětí
f
/
f ,max
=
f
/
f ,M
na poměrné délce
vlákna l / lt
l / lt 1 2 5 10 50 100
/
f
f ,max
0,5 0,75 0,90 0,95 0,99 0,995
Z tabulky vyplývá, že průměrné napětí ve vláknu maximálnímu, resp. meznímu napětí, tedy
f ,max
47
je pro l / lt = 50 prakticky rovné
f f ,M
.
10.2. Podélný a příčný modul pružnosti krátkovláknového kompozitu Moduly pružnosti krátkovláknového kompozitu je možné stanovit pro každý konkrétní případ pomocí MKP. Na základě množiny takových výsledků pro různé hodnoty systémových proměnných ( E f , Em , v f , l / d ) je možné sestavit grafy, které ale mají omezenou platnost pro daný typ struktury. Pro první konstrukční návrh se většinou používají přibližné obecnější vztahy. Zde uvedeme relace odvozené autory Halpinem a Tsaiem [1] pro podélný a příčný modul pružnosti EL a ET usměrněného kompozitního materiálu (obr.10.8), které vznikly na základě analýzy mikromechaniky krátkovláknových kompozitů.
Obr.10.8. Usměrněný krátkovláknový kompozitní materiál
EL Em
ET Em
2l d
1 1
vf
T T
Ef Em
Ef T
Em Ef Em
L
a
T
se počítají následovně
1
Em L
(10.19)
vf
kde parametry Ef
(10.18)
vf
L
1 2 1
vf
L
(10.20)
l 2 d
1
(10.21) 2
48
Z uvedených vztahů (10.18) – (10.21) vyplývá, že velikost příčného modulu pružnosti ET nezávisí na parametru l / d , což je poměrně logický důsledek posuzované struktury kompozitu. Abychom si udělali přibližnou kvantitativní představu o hodnotách modulů pružnosti kompozitu EL a ET je uveden na obr.10.9 graf, který vznikl aplikací předchozích vztahů dle Halpina a Tsaie na konkrétní usměrněný krátkovláknový kompozit sklo-epoxy s E f / Em 100 .
Obr.10.9. Závislost EL a ET na poměrné délce vlákna l / d a měrném objemu vláken v f V případě náhodné směrové orientace krátkých vláken v matrice dochází k izotropickému chování kompozitního materiálu, kdy modul pružnosti E je pro všechny směry stejný. V literatuře se uvádí důležitý empirický vztah pro jeho určení E
3 EL 8
5 ET 8
(10.22)
Dosazované hodnoty EL a ET se mohou stanovit buď podle předchozích vztahů pro usměrněný krátkovláknový kompozitní materiál se stejným poměrem l / d a měrným objemem vláken v f nebo se stanoví experimentálně.
10.3. Podélná pevnost krátkovláknového jednosměrového kompozitu Základním předpokladem pro odvození je analogická platnost směšovacího pravidla pro podélné napětí, podobně jako u dlouhovláknového kompozitu viz vztah (7.11) c
f
vf
m
vm
(10.23)
49
kde
f
je průměrné napětí ve vláknu.
Podélná tahová pevnost
Pc
krátkovláknového usměrněného kompozitu s délkou
Pt , L
vlákna menší než je délka kritická (l lk ) je determinována stavem, kdy praská matrice. Vzhledem ke krátké délce vlákna zde nemůže dojít k jeho přetržení při jakkoliv velikém zatížení kompozitu c . Využitím směšovacího pravidla (10.23) dostáváme pro podélnou pevnost vztah Pc
Pt , L
f
vf
vm
Pm
vf
f
Pm
U nadkritické délky vlákna je podélná pevnost určena stavem, kdy praská vlákno, tedy
Pc
Pt , L
Pf
vf
m,
f ,krit
vm
vf
Pf
(10.24)
(1 v f )
m,
Pc
f ,krit
Pt , L
dobře navrženého kompozitu
(1 v f )
(10.25)
Rovnice (10.25) představuje lineární závislost podélné meze pevnosti
Pc
Pt , L
na
objemovém podílu vláken v f , která je zobrazena na obr.10.10 přímkou s kladnou směrnicí. V případě nevhodně navrženého kompozitu s malým objemem vláken, menším než je kritický (v f v f ,krit ) je podélná pevnost determinována stavem, kdy praská matrice. Předtím již ale došlo k přetržení vláken ( Pc
Pt , L
Pm
vm
Pm
f
f
0) . Využitím vztahu (10.24) dostáváme
(1 v f ) ,
(10.26)
což představuje lineární závislost meze pevnosti
Pc
Pt , L
na objemovém podílu vláken
v f , která je zobrazena na obr.10.10 přímkou se zápornou směrnicí.
Podobně jako u dlouhovláknového jednosměrného kompozitu definujeme u krátkovláknového usměrněného kompozitu kritický objemový podíl vláken v f , k r i t a minimální objemový podíl vláken v f ,min . Kritický objemový podíl vláken odpovídá případu, kdy je pevnost kompozitu pevnosti matrice Pm , zapsáno matematicky Pc
Pt , L
rovna
(10.27)
Pm
Pro kompozitní materiál s podkritickou délkou vlákna (l definičního vztahu (10.27) obdržíme Pc
Pc
f
v f ,krit
Pm
(1 v f ,krit )
Pm
50
lk ) po dosazení (10.24) do
v f ,krit (
f
Pm
) 0
a odtud v f ,krit
(10.28)
0
Ze vztahu (10.28) vyplývá důležitý závěr, že v případě krátkovláknového kompozitu s podkritickou délkou vlákna (l lk ) jakýkoliv objemový podíl vláken v f v f ,krit 0 zvýší pevnost kompozitního materiálu. Vlákno totiž v tomto případě nemůže prasknout. U kompozitního materiálu s nadkritickou délkou vlákna (l který dosadíme do definičního vztahu (10.27) Pc
Pt , L
v f ,krit
Pf
m,
f ,krit
(1 v f ,krit )
lk ) vyjdeme ze vztahu (10.25),
Pm
a odtud algebraické úpravou získáme výraz pro kritický objemový podíl vláken
v f ,krit
Pm
m,
f ,krit
Pf
m,
f ,krit
(10.29)
Vzhledem k tomu, že průměrné napětí ve vláknu krátkovláknového usměrněného kompozitu Pf odpovídající dosažení meze pevnosti ve vláknu je menší než vlastní pevnost vlákna Pf , vychází hodnota kritického objemového podílu vláken v f ,krit krátkovláknového kompozitu větší než u dlouhovláknového kompozitu se stejnými materiály komponent, což vyplývá z porovnání rovnic (7.23) a (10.29). Stejně jako u dlouhovláknového kompozitu je rovněž definován minimální objemový podíl vláken v f ,min , pro který je podélná pevnost dobře navrženého kompozitu Pc rovna pevnosti nevhodně navrženého kompozitu Pc
Pc
, což vyjádříme matematicky (10.30)
Pc
Po dosazení rovnic (10.25) a (10.26) do předchozího vztahu dostáváme
Pf
v f ,min
m,
f ,krit
(1 v f ,min )
Pm
(1 v f ,min )
(10.31)
ze kterého vypočteme minimální objemový podíl vláken v f ,min
Pm
v f ,min Pf
m, Pm
f ,krit
m,
(10.32) f ,krit
51
Hodnoty kritického objemového podílu vláken v f ,krit
a minimálního objemového podílu
vláken v f ,min je možné vyjádřit graficky jako průsečík příslušných přímek, viz. obr.10.10.
Obr.10.10. Závislost podélné meze pevnosti
Pc
Pt , L
krátkovláknového usměrněného
kompozitu na objemovém podílu vláken v f pro dobře a nevhodně navržený kompozit Na předchozím obrázku je čárkovanou přímkou znázorněna také závislost podélné meze pevnosti dlouhovláknového kompozitu Pc Pt , L na objemovém podílu vláken v f . Z polohy příslušných průsečíků je zřejmé, že hodnoty kritického objemu vláken v f ,krit a minimálního objemu vláken v f ,min u krátkovláknového usměrněného kompozitu jsou větší než v případě dlouhovláknového kompozitu při stejných materiálech komponent.
52
11. KONSTITUTIVNÍ VZTAHY PRO ANIZOTROPNÍ A ORTOTROPNÍ MATERIÁL Hlavním cílem této kapitoly je tvorba výpočtového materiálového modelu na bázi mechaniky kontinua, který reflektuje usměrněnou materiálovou strukturu kompozitního materiálu. Důsledkem je výrazné anizotropní chování materiálu, kdy mechanické vlastnosti materiálu silně závisí na příslušném směru. Podívejme se nyní na zásadní odlišnosti v chování izotropního a anizotropního materiálu, které jsou graficky znázorněny na obr.11.1.
Obr.11.1. Mechanické chování izotopního a anizotropního materiálu Pokud je izotropní materiál namáhán v určitém směru pouze normálným napětím , potom dochází pouze ke změně rozměrů a nikoliv tvaru, platí tedy 0, 0 . V případě působení smykového napětí dojde pouze ke změně tvaru, nikoliv rozměrů, tedy platí 0, 0. Pokud anizotropní materiál namáhán v určitém směru pouze normálním napětím , potom dochází ke změně rozměrů i tvaru, platí tedy 0, 0 , což platí i v případě působení smykového napětí . Naším cílem je stanovení konstitutivních vztahů pro obecný anizotropní materiál a jeho zvláštní případy, jmenovitě obecný ortotropní materiál, transversálně ortotropní materiál a pro rovinný ortotropní materiál. Konstitutivními vztahy přitom rozumíme relace mezi napjatostí definovanou vektorem napětí a deformací určenou vektorem přetvoření , viz dále. Pro další úvahy se omezíme na lineárně pružný materiálový model. Konstitutivní vztahy jsou potom lineární a mají tvar Hookeova zákona.
53
11.1. Obecný anizotropní materiál Jde o nejobecnější materiálový model. Hookeův zákon je možné zapsat v následujícím tenzorovém tvaru Cijkl
ij
(11.1)
i, j, k , l 1, 2,3
kl
případně v zúženém tvaru, který budeme dále používat Cij
i
(11.2)
i, j 1, 2,3, 4,5,6
j
Z důvodu formálního zjednodušeni byla použita Einsteinova sumační symbolika sčítání přes všechny indexy i, j, k , l resp. i , j . Poslední vztah je možné vyjádřit maticově 1
C11
2
C12
C13
C14
C15
C16
1
C21 C22
C23 C24
C25
C26
2
3
C31 C32
C33
C34
C35
C36
3
23
C41 C42
C43 C44
C45
C46
23
31
C51 C52
C53
C54
C55
C56
31
12
C61 C62
C63
C64
C65
C66
12
(11.3)
V předchozím maticovém vztahu byla z důvodu jasného fyzikálního významu zavedena smyková napětí a zkosy a to následujícím přiřazením 4
23
,
5
31
,
6
12
,
4
23
,
5
31
,
6
12
(11.4)
Maticový vztah (11.3) vyjádříme v symbolickém tvaru C
Kde
(11.5) je vektor napětí ,
C je matice tuhosti resp. matice tuhostních materiálových
konstant a je vektor přetvoření. Struktura těchto veličin vyplývá z maticové rovnice (11.3). Relace (11.3) platí pro hlavní souřadnicový systém 1,2,3. Někdy se používá písemné označení vztažené k hlavním materiálovým směrům L, T , T ' , přičemž platí následující relace 1 L, 2 T ,3 T '
(11.6)
Matice materiálových konstant C obsahuje celkem 36 prvků, ale některé jsou vzájemně závislé, což je možné dokázat pomocí měrné energie napjatosti W, resp. jejího diferenciálu (přírůstku) dW .
54
dW
i
d
i
Aplikací (11.2) do předchozího výrazu dostáváme dW
Cij
d
j
i
a po integraci obdržíme 1 Cij 2
W
i
(11.7)
j
Předchozí vztah dvakrát parciálně derivujeme
W
Cij
j
i
2
W
i
Cij
(11.8)
j
Vzhledem k tomu, že u lineárně pružného materiálu platí pro napjatost princip superpozice a nezávisí tedy na pořadí sčítání indexů je možné vztah (11.7) vyjádřit následovně 1 C ji 2
W
j
(11.9)
i
A po dvojnásobné integraci dostáváme 2
W
j
C ji
(11.10)
i
Poněvadž pořadí derivací nemůže ovlivnit mechanické vlastnosti materiálu, z porovnání rovnic (11.8) a (11.10) vyplývá Cij
C ji
(11.11)
C definovaná relací (11.3) je tedy maticí Matice tuhostních materiálových konstant symetrickou, která obsahuje v případě obecného anizotropního materiálu celkem 21 nezávislých materiálových konstant.
V některých případech se používá Hookeův zákon v inverzním tvaru, který vyjadřuje prvky vektoru přetvoření jako lineární kombinaci prvků vektoru napětí . Příslušné vztahy získáme tak, že Hookeův zákon v základním tvaru (11.5) násobíme zleva inverzní maticí tuhosti [C ] 1 , tedy
C
1
C
1
(11.12)
C
55
Inverzní matice tuhosti [C ] 1 se nazývá maticí materiálové poddajnosti s označením [S ] , zapsáno matematicky
[ S ] [C ] 1
(11.13)
Po algebraické úpravě (11.12), spočívající v záměně pravé a levé strany obdržíme s uvážením (11.13) Hookeův zákon v inverzním tvaru { } [C ] 1 { } [ S ] { }
(11.14)
který vyjádříme rovněž pomocí složek 1
S11
S12
S13
S14
S15
S16
1
2
S 21
S 22
S 23
S 24
S 25
S 26
2
3
S31
S32
S33
S34
S35
S36
3
23
S 41
S 42
S 43
S 44
S 45
S 46
23
31
S51
S52
S53
S54
S55
S56
31
12
S61
S62
S 63
S 64
S 65
S 66
12
(11.15)
Matice materiálové poddajnosti [S ] je stejně jako matice materiálové tuhosti symetrickou, kdy platí Sij
S ji
C maticí
(11.16)
a obsahuje celkem 21 nezávislých materiálových konstant.
11.2. Obecný ortotropní materiál U tohoto materiálového modelu existují tři hlavní ortotropní osy 1,2 a 3, které jsou vzájemně ortogonální (viz obr.11.2). Pokud působí v jejich směrech normálová napětí , potom způsobí pouze poměrná přetvoření a nikoliv zkos ( 0, 0) , zatím co smykové napětí způsobí pouze zkos a nikoliv poměrné přetvoření ( 0, 0) .
Obr.11.2. Hlavní ortotropní souřadnicový systém
56
Hookeův zákon obecného ortotropního materiálu v hlavním ortotropním souřadnicovém systému odvodíme z Hookeova zákona obecného anizotropního materiálu (11.3) s uvažováním předchozí charakteristiky hlavních ortotropních os 1
C11
C12
C13
0
0
0
1
2
C21 C22
C23
0
0
0
2
3
C31 C32
C33
0
0
0
3
23
0
0
0
C44
0
0
23
31
0
0
0
0
C55
0
31
12
0
0
0
0
0
C66
12
(11.17)
S uvážením symetrie obsahuje matice tuhosti [C] u obecného ortotropního materiálu celkem 9 nezávislých materiálových konstant. Obdobně úpravou Hookeova zákona v inverzním tvaru pro obecný anizotropní materiál (11.15) obdržíme Hookeův zákon obecného ortotropního materiálu 1
S11
S12
S13
0
0
0
1
2
S 21
S 22
S 23
0
0
0
2
3
S31
S32
S33
0
0
0
3
23
0
0
0
S 44
0
0
23
31
0
0
0
0
S55
0
31
12
0
0
0
0
0
S66
12
(11.18)
Rovněž matice poddajnosti obecného ortrotropického materiálu obsahuje 9 nezávislých materiálových konstant. Jednotlivé prvky matice poddajnosti Sij je možné rovněž stanovit pomocí tzv. inženýrských (fyzikálních) charakteristik, které mají jasný fyzikální či geometrický význam. Do této skupiny patří modul pružnosti E, modul pružnosti ve smyku G a Poissonovo číslo , které byly zavedeny v předmětu Pružnost a pevnost I [8] pro izotropní materiál. V případě ortotropního materiálu mají tyto veličiny navíc směrové indexy v souladu s hlavním ortotropním souřadnicovým systémem 1,2 a 3, viz obr.11.2. Mechanické charakteristiky jsou pochopitelně v různých ortotropních směrech různé. Použitím principu superposice pro zatěžování napětími v hlavních ortotropních směrech 1,2 a 3 (obr.11.3) obdržíme vztahy pro poměrná přetvoření a zkosy. Postupujeme přitom obdobně jako v Pružnosti a pevnosti I pro izotropní materiál.
57
Obr.11.3. Zatížení elementu obecného ortotropního materiálu v hlavních ortotropních směrech Pro poměrná přetvoření a zkosy v hlavních ortotropních směrech dostáváme. 1 1
3
2 21
E1
31
E2
1
2
2
12
E1
E2
3
13
E1
1 23
(11.19)
E3 3 32
(11.20)
E3
2
3
E2
E3
(11.21)
23 23
(11.22)
G23 31
31
(11.23)
G31 12
12
(11.24)
G12
Indexy u složek napětí označují příslušné hlavní ortotropní směry, první index u Poissonových čísel představuje směr působení příslušného napětí, druhý index potom označuje směr kontrakce. Předchozí složkové rovnice napíšeme v maticovém tvaru
58
1 E1 12
21
31
E2
E3
1 E2
32
1
E1
2
13
23
3
E1
E2
23
0
E3
0
0
0
0
0
0 1
1 E3
0
0
1 G23
0
0
0
2 3
31 12
0
0
( 11.25)
23 31
0
0
0
0
1 G31
0
0
0
0
0
0
1 G12
12
A následně symbolicky (11.26)
{ } [S ] { }
Tvar matice poddajnosti [S ] vyplývá z relace (11.25). Matice obsahuje celkem 12 technických materiálových parametrů. Z podmínky symetrie pro matici materiálové poddajnosti [S ] vyplývá velice důležitá vazba mezi technickými materiálovými parametry 21
E2
12
31
;
E1 E3
13
32
23
E1 E3
E2
;
,
(11.27)
zapsáno obecně ij
ji
Ei
Ej
(11.28)
i. j 1,2,3
Jak již bylo uvedeno dříve, obecný ortotropický materiál má 9 nezávislých parametrů, kterými jsou při použití technických materiálových veličin E1 , E2 , E3 , 12 , 23 , 31 , G12 , G23 , G32 . Zbývající tři materiálové parametry 21 , 32 , 13 se stanoví pomocí vztahů (11.27). Porovnáme-li maticové vztahy (11.18) a (11.25) můžeme vyjádřit jednotlivé prvky matice poddajnosti [S ] pomocí technických materiálových charakteristik následovně:
S11
1 ; S12 E1
21
E2
; S13
31
E3
; S21
12
E1
; S22
1 ; S23 E2
32
E3 (11.29)
S31
13
E1
; S32
23
E2
; S33
1 ; S44 E3
1 ; S55 G23 59
1 ; S66 G31
1 G12
Matice tuhosti [C] a matice poddajnosti [S ] jsou podle (11.13) maticemi inverzními a platí pro ně následující transformační vztahy [6]: C11
S 22 S33 S 232 ; C12 S
C13
S12 S 23 S13 S22 ; C23 S
C44
1 ; C55 S44
S13 S 23 S12 S33 ; C22 S
1 ; C66 S55
S33 S11 S132 S
S12 S13 S 23 S11 ; C33 S
S11 S 22 S
S122
(11.30)
1 S66
kde S
2 S11 S22 S33 S11 S23 S22 S132 S33 S122
(11.31)
2S12 S23 S13
Podobně jako u izotopního materiálu jsou hodnoty inženýrských konstant u obecného ortotropního materiálu jistým způsobem omezeny. Pro připomenutí u izotopního materiálu platilo (PPI) [4]: E 0; G 0; 1 0,5. V případě obecného ortotropního materiálu platí následující relace [6]: E1 , E2 , E3 , G23 , G31 , G12 (1
/
23
21
/
23
(
) 0,(1
E2 0,5 ) ,/ E1
12
13
/
(11.32)
0 31
(
) 0,(1
E1 0,5 ) ,/ E2
32
12
/
(
21
(11.33)
) 0
E3 0,5 ) E2 (11.34)
/
23
/ (
E2 0,5 ) ,/ E3
13
/ (
E1 0,5 ) ,/ E3
31
/ (
E3 0,5 ) E1
Ze vztahů (11.33) např. vyplývá, že hodnota Poissonova čísla
ij
může být větší než 0,5,
časté jsou hodnoty větší než 1. Pokud je ij pro některé směry vysoké, potom musí být pro ostatní směry o to menší, protože např. při tahovém namáhání musí být poměrná objemová V / V kladná. změna e
11.3. Tranversálně ortotropní materiál U transversálně ortotropního materiálu existuje jedna hlavní ortotropní rovina, ve které jsou ve všech směrech mechanické vlastnosti stejné. Nechť jest toto rovinou rovina 2,3, viz obr.11.4. Tento případ nastává v praxi u jednosměrného dlouhovláknového kompozitu s dostatečně hustou sítí vláken.
60
Obr.11.4. Hlavní ortotropní souřadnicový systém u transversálně ortotropního materiálu Mechanické vlastnosti ve směru 2 jsou tedy totožné s mechanickými vlastnostmi ve směru 3. Úpravou Hookeova zákona pro obecný ortotropní materiál (11.17) obdržíme C11 1 2
C12
C12
0
0
0
C21 C22
C23
0
0
0
C21 C32
C22
0
0
0
3
0
0
0
31
0
0
0
12
0
0
0
23
1 (C22 C23 ) 0 2 0 C66 0
0
1 2 3
0
(11.35)
23
0
31
C66
12
1 (C22 C23 ) vyplývá z vazby mezi smykovým modulem pružnosti G23 , 2 modulem pružnosti v tahu E2 a Poissonovým číslem 23 v hlavní ortotropní rovině 2,3, kde se materiál chová izotropně. Uvedená relace bude vysvětlena později.
Vztah pro C44
Ze struktury matice materiálové tuhosti [C] je zřejmé, že mechanické chování transversálně ortotropního materiálu je popsáno 5-ti nezávislými materiálovými konstantami. Hookeův zákon v inverzním tvaru pro transversálně ortotropní materiál získáme opět úpravou Hookeova zákona obecně ortotropního materiálu (11.18). 1
S11
S12
S12
0
0
0
1
2
S 21
S 22
S 23
0
0
0
2
3
S 21
S32
S 22
0
0
0
3
23
0
0
0
2 ( S 22
0
0
23
31
0
0
0
0
S66
0
31
12
0
0
0
0
0
S66
12
S23 )
Matice poddajnosti [S ] obsahuje rovněž 5 nezávislých materiálových konstant.
61
(11.36)
Stejně jako u obecného ortotropního materiálu je možné prvky matice poddajnosti [S ] vyjádřit pomocí inženýrských materiálových konstant. Vyjdeme přitom z maticového vztahu (11.25) a uvážíme, že materiál se chová v transversální rovině 23 (viz obr.11.4) izotropně, což znamená, že materiálové charakteristiky ve směru 2 jsou shodné s materiálovými charakteristikami ve směru 3. Tuto skutečnost promítneme do indexů odpovídajících materiálových charakteristik (např. E2 E3 , 13 atd.) a dostáváme následující 12 , maticovou relaci 1 E1
21
21
E2
E2
1 E2
12 1
E1
2
12
23
3
E1
E2
23
0
0
32
E2
31 12
0
0
0
0
0 1
1 E2 0
0
0
0
0
2 3
2(1
23 )
E2
0
0
(11.37)
23 31
0
0
0
0
1 G12
0
0
0
0
0
0 1 G12
12
Výraz pro prvek S 44 je přímou analogií s případem izotropního materiálu, kde platí pro modul E pružnosti ve smyku vztah G . Pěti nezávislými materiálovými konstantami potom 2(1 ) jsou E1 , E2 , 12 , 23 , G12 . Pro stanovení prvků matice tuhosti [C] pomocí prvků matice poddajnosti [S ] můžeme použít vztahů (11.30) a (11.31), které platí v případě obecného ortotropního materiálu.
11.4. Rovinný anizotropní a ortotropní materiál Zvláštním případem obecného prostorového anizotropického materiálu je rovinný anizotropní materiál, který se používá jako výpočtový model tenké vrstvy kompozitu laminy. Předpokládáme, že element leží v hlavní souřadnicové rovině 1,2 (obr.11.2) a v ní je také zatěžován. Jde tedy o rovinnou napjatost a následující napětí jsou nulová 3
31
32
0
(11.38)
V tomto případě se maticová relace (11.3) platící pro obecný prostorový ortotropní materiál zredukuje následovně
62
1
C11
C12
C16
1
2
C21 C22
C26
2
12
C61 C62
C66
12
(11.39)
Z důvodu symetrie obsahuje matice materiálové tuhosti [C] v rovinném případě 6 nezávislých prvků. Inverzní matice materiálové poddajnosti [S ] vypadá následovně 1
S11
S12
S16
1
2
S21
S22
S26
2
12
S61
S62
S66
12
(11.40)
a má rovněž 6 nezávislých prvků. V případě rovinného ortotropního materiálu, pokud jsou souřadnicové osy 1, 2 hlavními ortotropními osami platí v souladu s maticovou relací (11.17) pro obecný ortotropický materiál následující vztah pro Hookeův zákon v základním tvaru 1
C11
C12
0
1
2
C21 C22
0
2
C66
12
12
0
0
(11.41)
Matice tuhosti [C] rovinného ortotropického materiálu tedy obsahuje čtyři nezávislé materiálové konstanty. Inverzní tvar Hookeoova zákona vypadá v souladu s (11.18) následovně 1
S11
S12
0
1
2
S21
S22
0
2
12
0
0
S66
12
(11.42)
Rovněž matice poddajnosti má ve sledovaném případě 4 nezávislé prvky. Pokud použijeme inženýrských materiálových konstant, potom má inverzní Hookeův zákon podle (11.25) pro rovinný případ následující tvar 1 E1 1
0 1
E1
1 E2
0
0
0
1 G12
12 2
21
E2
12
(11.43)
2 12
63
s opět čtyřmi E1 , E2 , 21 , G12 .
nezávislými
inženýrskými
materiálovými
konstantami,
jmenovitě
11.5. Konstitutivní vztahy pro rovinný ortotropní materiál v obecném souřadnicovém systému V předchozí kapitole byly odvozeny konstitutivní vztahy (Hookeův zákon) pro rovinný ortotropní materiál a to pro hlavní ortotropní osy 1,2. Nyní půjde o stanovení Hookeova zákona pro obecný souřadnicový systém x,y (obr.11.5). Postupuje se tak, že napjatost platnou v obecném souřadnicovém systému přepočteme pro směry hlavní, zde aplikujeme Hookeův zákon a vrátíme se zpět do obecného souřadnicového systému.
Obr.11.5. Rovinná napjatost Při odvození využijeme poznatků a vztahů z předmětu Pružnost a pevnost I [8]. Rovinná napjatost v obecném souřadnicovém systému je dána tenzorem napětí T
[T ]
x
xy
xy
y
(11.44)
Normálné napětí v řezu s normálou v hlavním ortotropním směru 1, svírajícím úhel souřadnicovou osou x (obr.11.5) je dáno následující rovnicí (11.45) 1
{ }T { f } { }T [T ] { }
(11.45)
kde { } je směrový vektor hlavního ortotropního směru 1
{ }
cos
sin
T
(11.46)
64
se
Dosazením (11.44) a (11.46) do rovnice (11.45) dostáváme pro hlavní ortotropní napětí vztah { }T [T ] { }
1
cos
sin
x
xy
cos
xy
y
sin
1
a po algebraické úpravě obdržíme
1
x
cos 2
y
sin 2
2
sin
xy
cos
(11.47)
Hlavní ortotropní směr 2 je otočen od směru 1 o úhel / 2 , od osy x tedy o úhel /2. Příslušný směrový vektor označíme { } . Pro hlavní ortotropní napětí 2 dostaneme analogicky s (11.45) { }T [T ] { }
2
sin
x
xy
xy
y
cos
sin
(11.48)
cos
a po algebraické úpravě obdržíme 2
x
sin 2
y
Smykové napětí směru 2, tedy
cos 2
2
sin
xy
(11.49)
představuje geometrický průmět obecného napětí { f } do hlavního
{ }T { f } { }T [T ] { }
12
cos
sin
cos
x
xy
cos
xy
y
sin
(11.50)
a po algebraické úpravě 12
x
sin
cos
Vztahy pro hlavní napětí 1 2 12
sin
y
1
,
2
cos 2
sin 2
2
2
sin sin
cos cos
sin
cos
,
cos
12
xy
(cos 2
sin 2 )
(11.51)
je možné souhrnně vyjádřit pomocí maticového zápisu
2sin
cos
2sin
cos
cos
2
sin
x y
(11.52)
2 xy
Předchozí rovnici vyjádříme symbolicky { h } [T ( )] { o }
(11.53)
65
kde { h } je vektor hlavních ortotropních napětí, { o } je vektor obecných napětí a [T ( )] je směrová transformační matice, jejíž tvar vyplývá z maticové rovnice (11.52).
[T ( )]
cos 2
sin 2
2
2
sin sin
cos cos
sin
cos
2sin
cos
2sin
cos
cos
2
sin
(11.54)
2
Analogické transformační vztahy platí i pro poměrná přetvoření. Ve skriptech Pružnost a pevnost II [4] je uveden vztah pro poměrné přetvoření ve směru e 1 1
{ }T [T ] { }
(11.55)
Kde [T ] je tenzor přetvoření, který má v případě rovinné napjatosti tvar xy x
[T ]
2
(11.56)
xy
2
x
Po dosazení hodnoty směrového vektoru { } hlavního směru 1 (11.46) do rovnice (11.55) dostáváme s uvážením (11.56) xy x 1
{ }T [T ] { }
cos
sin
cos
2
sin
xy y
2
a po úpravě obdržíme výraz
1
x
cos 2
y
sin 2
2
xy
2
sin
cos
(11.57)
Tento transformační vztah pro hlavní ortotropní přetvoření 1 je formálně shodný s transformačním vztahem pro hlavní ortotropní napětí 1 (11.47) s tím rozdílem, že zde místo smykového napětí xy figuruje poloviční zkos xy / 2 . Stejný formální rozdíl se objeví v transformačních vztazích pro hlavní přetvoření 2 a 12 . S ohledem na tuto skutečnost je možné vyjádřit maticový transformační vztah pro hlavní přetvoření { h } analogicky jako pro hlavní napětí { h } (11.52)
66
1
cos 2
sin 2
2
2
sin
2
sin
12
cos cos
sin
cos
2sin
cos
2sin
cos
cos
2
sin
x y
x
[T ( )]
y
(11.58)
2
2
xy
2
xy
2
Nyní definujeme vektor hlavních přetvoření { h } a vektor obecných přetvoření { o } následovně: T
{ h}
1
{ o}
x
2
(11.59)
12
T y
(11.60)
xy
Dále zavádíme transformační matici [ R] tak, aby platilo
1
1 0 0
1
2
0 1 0
2
12
0 0 2
{ h}
{ o}
x
1 0 0
y
0 1 0
xy
0 0 2
1
[ R]
12
12
2
2
x y xy
2
(11.61)
2
x
[ R]
(11.62)
y xy
2
Transformační matice [ R] tedy vypadá následovně
1 0 0 [ R]
0 1 0
(11.63)
0 0 2
Levou i pravou stranu transformačního vztahu (11.58) vynásobíme transformační maticí [ R] a s uvážením (11.61) a (11.62) obdržíme maticovou rovnici pro vektor hlavních přetvoření { h} . { h } [ R] [T ( )] [ R]
1
{ o}
(11.64)
67
Nyní přistoupíme k vlastnímu odvození konstitutivních vztahů rovinného ortotropního materiálu v obecném souřadnicovém systému. Vyjdeme přitom ze vztahu (11.41) pro hlavní ortotropní souřadnicový systém 1
C11
C12
0
1
2
C21 C22
0
2
C66
12
12
0
0
1
[C ]
(11.65)
2 12
Vektor hlavních ortotropních napětí { h } na levé straně předchozí rovnice vyjádříme pomocí vektoru obecných napětí { o } dle (11.53) a vektor hlavních přetvoření na pravé straně upravíme pomocí (11.61) a dále dle (11.58) a (11.62)
x
[T ( )]
1
[C ] [ R]
y xy
x
[C ] [ R] [T ( )]
2 12
x
[C ] [ R] [T ( )] [ R]
y xy
2
1
(11.66)
y xy
2
Tuto maticovou rovnici násobíme zleva inverzní směrovou maticí [T ( )] 1 a po úpravě dostáváme v symbolické podobě { o } [T ( )]
1
[C ] [ R] [T ( )] [ R]
1
{ o } [T ( )]
1
[C ] [T ( )]
1T
(11.67)
{ o}
Rovnici dále formálně zjednodušíme zavedením matice směrových materiálových tuhostních konstant [C ( )] , která je definována následovně [C ( )] [T ( )] 1 [C ] [T ( )]
1T
(11.68)
a má následující vnitřní strukturu
C11 ( ) C12 ( ) C16 ( ) [C ( )]
(11.69)
C21 ( ) C22 ( ) C26 ( ) C61 ( ) C62 ( ) C66 ( )
Je důležité si uvědomit, že matice směrových materiálových tuhostních konstant [C ( )] je maticí plnou a symetrickou plnou, kde platí Cij C ji . Po jejím dosazení do (11.67) dostáváme hledaný Hookeův zákon rovinného ortotropního materiálu v obecném souřadnicovém systému a v symbolickém tvaru { o } [C ( )] { o }
(11.70)
Pro lepší představu uvedeme Hookeův zákon rovněž v kompletním maticovém tvaru
68
x
C11 ( ) C12 ( ) C16 ( )
x
y
C21 ( ) C22 ( ) C26 ( )
y
xy
C61 ( ) C62 ( ) C66 ( )
xy
(11.71)
Pro jednotlivé prvky směrové matice materiálových tuhostních konstant [C ( )] dostáváme následující vztahy [6] C11 ( ) C11 cos 4
2(C12
2C66 ) cos 2
C12 ( ) (C11 C22 4C66 ) cos 2 C22 ( ) C11 sin 4
2(C12
2C66 ) cos 2
C16 ( ) (C11 C12 2C66 ) cos3 C26 ( ) (C12 C22
sin 2
2C66 ) cos
3
sin sin
C66 ( ) (C11 2C12 C22 2C66 ) cos 2
sin 2
C22 sin 4
C12 (cos 4 sin 2
sin 4 )
C22 cos 4 sin 3
(C12 C22 2C66 ) cos (C11 C12 2C66 ) cos sin 2
C66 (cos 4
sin
(11.72)
3
sin 4 )
11.6. Konstitutivní vztahy vyvážené orientované laminové dvojvrstvy Pod pojmem orientované vyvážené dvojvrstvy rozumíme dlouhovláknovou laminu s vlákny ve dvou směrech I a II ( a ) viz obr.11.6.
Obr.11.6. Vyvážená orientovaná dvojvrstva Objemový podíl vláken v obou směrech je stejný, platí tedy v If
v IIf
1 vf 2
(11.73)
Naším cílem je stanovení konstitutivních vztahů ve směru osy x , která je zároveň osou symetrie vyvážené dvojvrstvy. Za předpokladu lineárně pružného chování kompozitního materiálu platí princip superpozice a konstitutivní vztahy vyvážené dvojvrstvy jsou součtem konstitutivních vztahů systému I a systému II pro stejný směr x , což vede k následujícímu maticovému vztahu
69
1 {[C ( )] [C ( 2
{ o } [C ' ( )] { o }
)]} { o } ,
(11.74)
kde [C ' ( )] je matice materiálových tuhostních konstant vyvážené orientované dvojvrstvy s vlákny pod úhly a (viz obr.11.6). Ta je určena vztahem (11.74) pomocí prvků matice tuhostních konstant [C ( )] jednosměrného dlouhovláknového kompozitu, definovaných vztahy (11.72). Vzhledem ke známým vlastnostem goniometrických funkcí sin( ) sin ;cos( ) cos , vypadá matice tuhostních konstant vyvážené dvojvrstvy následovně
[C ' ( )]
C11 ( ) C12 ( )
0
C12 ( ) C22 ( )
0
0
0
(11.75)
C66 ( )
Prvky C11 ( ), C12 ( ), C22 ( ) jsou dány příslušnými vztahy (11.72). Z tvaru matice [C ' ( )] vyplývá, že vyvážená orientovaná dvojvrstva se chová ve směru osy x ortotropně.
11.7. Konstitutivní vztahy pro rovinný ortotropní materiál s uvažováním teploty Nacházíme se v obecném souřadnicovém systému, viz obr.11.5. Předpokládáme, že element rovinného ortotropního materiálu (laminy) leží v místě x, y , je zatížen složkami tenzoru napětí T ( x, y ) a je ohřát o teplotu T ( x, y) . Počítáme s malými poměrnými přetvořeními s intenzitou přetvoření i 5% a lineárně pružným chováním materiálu. Potom platí princip superpozice pro poměrná přetvoření a celkové přetvoření { o }c je rovno součtu elastického přetvoření { o }e od napětí a teplotního přetvoření { o } T od teplotního pole, tedy { o }c
{ o }e { o }
T
(11.76)
Elastickou složku můžeme vyjádřit následovně: { o }e
{ o }c { o }
T
(11.77)
Pro elastickou složku přetvoření { o }e platí Hookeův zákon (11.70), odvozený v předchozích odstavcích { o } [C ( )] { o }e
[C ( )] ({ o }c { o } T )
(11.78)
Nyní musíme stanovit vektor teplotního přetvoření { o } T od teplotního přírůstku T a to pro obecný souřadnicový systém. Pro hlavní souřadnicový systém 1, 2 resp. v materiálových souřadnicích L, T platí v souladu se známými poznatky termomechaniky [11]
70
T
{ h}
T
1
L
2
T
0
0
L
T
1
T
T
0
(11.79)
2
0
Je přirozené, že pokud je zahřát element v hlavním ortotropickém souřadnicovém systému o teplotu T , potom nedochází ke zkosům. Podélný a příčný součinitel teplotního přetvoření se stanoví dle vztahu (8.1) resp. (8.2). Následuje transformace dle (11.58) do obecného souřadnicového systému s uvážením (11.62) T
T
T
T 1
1
2
2
12
0
x
[T ( )]
x
[T ( )] [ R]
y
1 y
xy
2
xy
2
a po matematické úpravě spočívající ve vynásobení obou stran maticové rovnice inverzní maticí ([T ( )] [ R] 1 ) 1 a záměnou pravé a levé strany obdržíme T
T
x
1 1
([T ( )] [ R] )
y
1
1 1
2
([T ( )] [ R] )
0
xy
1 2
. T
(11.80)
0
Zapsáno symbolicky { o}
T
([T ( )] [ R] 1 )
1
{ h}
T,
(11.81)
kde { h } je vektor hlavních součinitelů teplotní roztažnosti v hlavním ortotropním souřadnicovém systému, definovaný následovně
{ h}
T 1
2
T L
(11.82)
T
Vztah (11.81) se dosadí do (11.78), čímž jsme dospěli k finální podobě Hookeova zákona ortotropní laminy s uvažováním teploty.
71
12. PEVNOST ROVINNÉHO ORTOTROPNÍHO MATERIÁLU (ORTOTROPNÍ LAMINY) Naším konkrétním cílem je nyní stanovení podmínek mezního stavu pevnosti pro rovinný ortotropní kompozitní materiál, neboli ortotropní laminu, viz obr.12.1.
Obr.12.1 Element rovinné ortotropní laminy Pro vyjádření podmínek pevnosti kterými jsou:
musíme znát pět pevnostních materiálových konstant,
Podélná mez pevnosti v tahu
Pt , L
Pt ,1
Příčná mez pevnosti v tahu
Pt ,T
Pt ,2
Podélná mez pevnosti v tlaku
Pd , L
Pd ,1
Příčná mez pevnosti v tlaku
Pd ,T
Pd ,2
Smyková mez pevnosti
P , LT
P ,12
Podobně jako v Pružnosti a pevnosti I [4] se při stanovení podmínky mezního stavu pevnosti vychází z jisté charakteristické veličiny. U ortotropních kompozitních materiálů to mohou být hlavní ortotropní napětí nebo hlavní ortotropní přetvoření, případně se využívá energetická podmínka. Podívejme se nyní postupně na jednotlivé používané podmínky mezního stavu pevnosti, a vysvětleme si jejich hlavní charakteristické rysy.
12.1. Podmínka mezního stavu pevnosti hlavních ortotropních napětí Mezního stavu pevnosti je dosaženo, jestliže jedno z hlavních ortotropních napětí dosáhne hodnoty na příslušné mezi pevnosti, viz výše. Ta bude logicky záviset na znaménku příslušného hlavního napětí i (i 1, 2) . i
1
0 Pt ,1
Pt , L
2
Pt ,2
Pt ,T
12
72
P ,12
P , LT
.
0
i
/
1
/
Pd ,1
/
Pd , L
2
/
Pd ,2
Pd ,T
12
P ,12
P , LT
(12.1)
K porušení laminy dojde, jestliže bude splněna alespoň jedna rovnice. Ta zároveň determinuje charakter porušení, což bude blíže vysvětleno později. Například při splnění první rovnice půjde o podélné tahové porušování . Pro větší názornost uvedeme aplikační příklad. Element laminy dle obr.12.2 je zatížen napětím x . Při jaké hodnotě tohoto napětí x , P dojde ke vzniku mezního stavu pevnosti, tj. k porušení celistvosti ?
Obr.12.2. Zatížený element laminy Podle maticové rovnice (11.52) a v souladu s podmínkami pevnosti (12.1) dostáváme pro hlavní ortotropická napětí následující vztahy
L
x
cos 2
P,L
2
T
x
sin
LT
x
sin
(12.2)
P ,T
cos
P , LT
První dva předchozí vztahy platí jak pro tahové tak pro tlakové namáhání, proto tam nejsou uvedeny příslušné spodní indexy t a d . V případě tahového napětí vystupuje na pravé straně příslušná pevnostní hodnota, tj. Pt , L resp. Pt ,T u tlakového napětí potom Pd , L resp. Pd ,T . K porušení rovinné laminy dle obr.12.1 dojde pokud alespoň v jednom ze vztahů (12.2) je na pravé straně znaménko rovnosti, což vede k minimální hodnotě zatížení x vedoucí k poruše celistvosti.
x, P
min{
P, L 2
cos
;
P ,T 2
sin
;
P , LT
sin
cos
(12.3)
}
Závislost x , P na poloze hlavního směru 1 (zde směru vláken) určeném úhlem je znázorněna na obr.12.3.
73
(obr.12.2)
Podle toho, který člen na pravé straně rovnice (12.3) je minimální je také determinován charakter porušování. V případě prvního členu jde o podélné tahové resp. tlakové porušování (podle znaménka L ) – oblast I, u druhého členu jde o příčné porušování tahem nebo tlakem (podle znaménka T ) – oblast III a třetí člen určuje smykové porušování – oblast II. Na obr.12.3 je toto graficky vyjádřeno pro tahová hlavní normálová napětí.
Obr.12.3. Závislost mezního napětí
x,P
na poloze hlavního směru 1, určené úhlem
12.2. Podmínka mezního stavu pevnosti hlavních ortotropních přetvoření Mezního stavu pevnosti je dosaženo, jestliže jedno z hlavních ortotropních přetvoření dosáhne tzv. kritické hodnoty, kdy dochází k porušení celistvosti laminy. Ta bude rovněž záviset na znaménku přetvoření i (i 1, 2) .
0 (prodloužení)
i
1
krit ,t ,1
krit ,t , L
2
krit ,t ,2
krit ,t ,T
12
krit ,12
krit , LT
. (12.3) 0 (zkrácení)
i
/
1
/
krit , d ,1
krit , d , L
/
2
/
krit , d ,2
krit , d ,T
12
krit ,12
krit , LT
Za předpokladu lineárně pružného chování kompozitního materiálu až do porušení celistvosti můžeme stanovit velikosti kritických přetvoření pomocí Hookeova zákona následovně: Pt , L krit ,t , L
Et , L
Pt ,T krit ,t ,T
P , LT krit , LT
Et ,T
GLT (12.4)
Pd , L krit , d , L
Ed , L
Pd ,T krit , d ,T
Ed ,T
Nyní provedeme aplikaci těchto podmínek na případ rovinné laminy zatížené pouze napětím x , viz obr.12.2. Pro stanovení hlavních ortotropních přetvoření použijeme Hookeova zákona
74
pro hlavní souřadnicový systém, jmenovitě vztahů (11.43). Příslušná hlavní napětí L L 2 stanovíme opět pomocí relace (11.52) pro element laminy zatížený dle obr.12.2. L L
T TL
EL
ET
T T
L LT
ET
sin
LT LT
EL
GLT
1 (cos2 EL
LT
sin 2 )
x
krit , L
1 (sin 2 ET
TL
cos2 )
x
krit , L
1
a
(12.5)
cos x
GLT
krit , LT
Při formální úpravě prvních dvou předchozích vztahů byla použita podmínka symetrie matice poddajnosti v inverzním Hookeově zákoně (11.43), kdy platí TL / ET LT / EL . K porušení celistvosti rovinné laminy zatížené dle obr.12.2 dojde, pokud opět alespoň v jednom ze vztahů (12.5) je na pravé straně znaménko rovnosti. To vede na minimální hodnotu zatížení x .
x, P
min{
krit , L
cos 2
EL LT
sin 2
;
ET
krit ,T
sin 2
TL
cos 2
;
GLT
krit , LT
sin
cos
}
(12.6)
Za předpokladu lineárně pružného chování rovinné laminy až do porušení dostáváme s uvážením Hookeova zákona (12.4) následující rovnici
x, P
min{
P,L
cos 2
LT
sin 2
;
P ,T
sin 2
TL
cos 2
;
P , LT
sin
cos
}
(12.7)
Podobně jako v předchozím případě podmínky pevnosti hlavních ortotropních napětí určuje minimální člen na pravé straně rovnice (12.7) charakter porušování rovinné laminy.
12.3. Tsai-Hillova kvadratická podmínka mezního stavu pevnosti Tsai analogicky použil Hillovu podmínku mezního stavu pružnosti (podmínku plasticity) formulovanou pro obecně anizotropní materiál [9] jako podmínku porušení celistvosti ortotropního kompozitního materiálu. Zmíněná podmínka má tvar ( A1
A2 )
2 1
( A3
2 2
A2 )
( A3
A1 )
2 3
2 A2
1
2
(12.8) 2 A1
1
3
2 A3
2
3
2 A4
2 23
2 A5
2 13
2 A6
2 12
1,
kde parametry A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 jsou materiálové pevnostní konstanty, které se stanoví na základě experimentů, kdy je kompozit zatěžován pouze ve směru hlavních ortotropních os, tedy v následujících případech
75
Působí pouze tahové zatížení ve směru 1. Kompozitní materiál praská po dosažení hodnoty hlavního napětí 1 Pt , L . Ostatní hlavní napětí jsou nulová. Dosazením do (12.8) obdržíme ( A1
A2 )
2 Pt , L
1
a odtud
A1
1
A2
(12.9)
2 Pt , L
Působí pouze tahové zatížení ve směru 2. Kompozitní materiál praská po dosažení hodnoty hlavního napětí 2 Pt ,T . Ostatní hlavní napětí jsou nulová. Dosazením do (12.8) obdržíme ( A3
A2 )
2 Pt ,T
1
a odtud
A3
1
A2
(12.10)
2 Pt ,T
Působí pouze smykové zatížení ve směrech 1,2. Kompozitní materiál praská po dosažení hodnoty hlavního smykového napětí 12 P , LT . Ostatní hlavní napětí jsou nulová. Dosazením do (12.8) obdržíme 2 A6
2 P , LT
1
a odtud
1
2 A6
(12.11)
2 P , LT
Působí pouze tahové zatížení ve směru 3. Vzhledem k tomu, že předpokládáme transfersální ortotropní materiál (obr.11.4) s izotropním chováním v hlavní souřadnicové rovině 2,3, dochází k porušení celistvosti po dosažení hodnoty hlavního napětí 3 Pt ,T . Ostatní hlavní napětí jsou nulová. Dosazením do (12.8) dostáváme ( A3
A1 )
2 Pt ,T
1
a odtud
A3
A1
1
(12.12)
2 Pt ,T
Porovnáme-li rovnice (12.10) a (12.12) potom musí platit
A1
A2
(12.13) 76
a po dosazení této relace do (12.9) obdržíme pro A2
1
2 A2
(12.14)
2 Pt , L
Po dosazení vypočtených materiálových konstant do základní rovnice (12.8) obdržíme po algebraické úpravě s uvážením, že pro rovinnou kompozitní laminu jsou některá hlavní napětí nulová ( 3 31 32 ) 0 následující podmínku pevnosti 2 L
L
2 Pt , L
2 T 2 Pt ,T
T 2 Pt , L
2 LT 2 P , LT
1
(12.15)
Uvedená podmínka pevnosti byla odvozena za předpokladu, že všechna hlavní napětí jsou tahová. V případě hlavních normálových napětí různých znamének je možné předchozí rovnici zobecnit následovně 2 L 2 P,L
L
2 T 2 P ,T
T 2 P,L
2 LT 2 P , LT
1
(12.16)
Použitá pevnostní hodnota se potom řídí znaménkem příslušného hlavního ortotropního napětí
0
i
P, L
Pt , L
P ,T
(12.17)
Pt ,T
0
i
P,L
Pd , L
P ,T
(12.18)
Pd ,T
Dále provedeme aplikaci Tsai-Hillovy podmínky pevnosti ortotropního rovinného kompozitu (12.16) na případ rovinné laminy zatížené pouze napětím x , viz obr.12.2. Příslušná hlavní napětí L , T , LT jsou dána rovnicemi (12.2). Po algebraické úpravě vydělením levé i pravé strany rovnice veličinou cos 4 2 P,L
cos 2
sin 2 2 P,L
sin 4 2 P ,T
cos 2
sin 2
2 x,P
1
2 P , LT
2 x,P
získáme vztah
(12.19)
Porovnáme-li všechny tři uvedené podmínky mezního stavu pevnosti ortotropního kompozitního materiálu, potom vidíme mezi nimi charakteristické rozdíly. Podmínky pevnosti hlavních ortotropních napětí (12.3) a hlavních ortotropních přetvoření (12.7) mají na pravé straně tři členy, přičemž člen, který příslušnou rovnici splňuje (tj. minimální člen), zároveň určuje charakter porušování (porušování podélným tahem, příčným tahem, podélným tlakem, příčným tlakem a smykovým mechanizmem). Mezi oběma zmíněnými podmínkami
77
jsou určité kvantitativní rozdíly. Naproti tomu Tsai-Hillova podmínka představuje jednu matematickou rovnici pro všechny mechanismy porušování. Abychom zjistili jaké rozdíly jsou mezi jednotlivými podmínkami, řešme příklad rovinné laminy dle obr.12.2, pro konkrétní kompozitní dlouhovláknovou laminu se skleněnými vlákny v epoxidové pryskyřici s následujícími mechanickými charakteristikami: Pt ,T
/
Pt , L
0, 025;
P , LT
/
Pt , L
0, 05;
Pd , L LT
/
1;
Pt , L
0, 25;
TL
Pd ,T
/
Pt , L
0,125
0, 08 .
Cílem výpočtu je stanovení hodnoty poměrného napětí x , P / P , L , při které dojde k porušení rovinné laminy v závislosti na poloze hlavního ortotropního souřadnicového systému (směru vláken), dané úhlem na obr.12.2. Výsledky jsou graficky znázorněny na následujícím obr.12.4 [1] a to pro dva způsoby namáhání, jmenovitě namáhání v tahu a tlaku.
Obr.12.4. Grafické porovnání podmínek pevnosti dlouhovláknového jednosměrného kompozitního materiálu V případě tahového zatížení představuje svislá osa diagramu na obr.12.4 poměrné napětí x , P / Pd , L . Příslušné křivky se do jisté míry liší. x , P / Pt , L a u tlakového namáhání potom Z grafu vplývají charakteristické kvantitativní rozdíly hodnot poměrných napětí na mezi pevnosti při použití jednotlivých pevnostních podmínek. Navíc existuje i určitý kvalitativní rozdíl. Zatím co podmínka hlavních ortotropických napětí a podmínka hlavních ortotropických přetvoření nám dávají rovněž informaci o mechanizmu porušování (jde o křivky po částech hladké), energetická podmínka Tsai-Hillova vede ke křivce hladké bez členění na úseky podle charakteru porušování kompozitu.
78
12.4. Vliv znaménka smykového napětí na jeho mezní hodnotu Z charakteru uvedených podmínek mezního stavu pevnosti a s ohledem na veliké rozdíly mezi pevnostními materiálovými charakteristikami vyplývá zásadní vliv znaménka smykového napětí xy na jeho mezní pevnostní hodnotu. Pro demonstraci tohoto výroku řešme následující příklad. Element dlouhovláknové jednosměnové laminy je namáhán smykovým napětím prostým smykem xy s kladným a záporným znaménkem, viz obr.12.5. Naším cílem je stanovit při jakých hodnotách xy , P dojde ke vzniku mezního stavu pevnosti v závislosti na poloze hlavního ortotropního směru, resp. směru vláken. Pro demonstraci použijeme podmínku hlavních ortotropních napětí, při použití ostatních podmínek jsou výsledky obdobné.
Obr.12.5. Vliv znaménka smykové namáhání
xy
na jeho mezní pevnostní hodnotu
Pevnostní materiálové charakteristiky dlohovláknové jednosměrové laminy sestávající ze 5MPa , skleněných vláken v epoxidové matrici jsou následující: Pt , L 500MPa , Pt ,T 35MPa . Mezní hodnoty xy , P byly vypočítány pomocí vztahů (12.1) využitím rovnice (11.52) pro stanovení velikosti hlavních napětí u elementu namáhaném prostým smykem (obr.12.3) a to pro tři různé polohy vláken 150 , 450 ,600 . Vypočtené mezní hodnoty xy , P obsahuje následující tabulka. Pd , L
350MPa ,
Pd ,T
75MPa ,
P , LT
79
Tab.12.1. Závislost hodnot mezních smykových napětí
xy , P
na znaménku smykového napětí
a poloze vláken
xy
15 45 60 MPa 39,03 75,36 54,54
xy
MPa
0
9,71
5,00
5,75
Z předchozí tabulky vyplývá zásadní vliv znaménka smykového napětí na velikost mezní pevnostní hodnoty xy , P , která je při záporných znaméncích značně menší . Souvisí to přímo s tou skutečností, že podélná mez pevnosti v tahu větší než podélná mez pevnosti v tlaku
Pd , L
Pt , L
dlouhovláknové laminy je značně
a při záporném znaménku
xy
působí např. při
45 v příčném směru při rovinné napjatosti podle Mohrovy kružnice (PPI) [4] tahové napětí velikosti 2 / xy , P / , které snadno laminu poruší, viz obr.12.5. o
80
13. LAMINÁTOVÉ KONSTRUKCE Typickou praktickou aplikací dlouhovláknových kompozitních materiálů jsou rovinné vrstevnaté laminátové konstrukce, které se skládají z n laminových dlouhovláknových vrstev, viz obr.13.1.
Obr.13.1. Rovinná laminátová vrstevnatá konstrukce Vrstvy k laminátové konstrukce mohou být z různých materiálů a různého konstrukčního provedení. Materiálové charakteristiky ( [C ( k )] ) předpokládáme v rámci jedné vrstvy k konstantní. Může jít o jednosměrnou laminu (obr.13.2) nebo vícesměrnou laminu, např. typu vyvážené orientované dvojvrstvy, viz obr.11.6.
Obr.13.2. Vrstva k typu jednosměrové dlouhovláknové laminy V dalším se zaměříme na dvě typické rovinné vrstevnaté laminátové konstrukce, jmenovitě laminátovou stěnu a laminátovou desku. Naším cílem bude stanovení konstitutivních vztahů těchto konstrukcí, vyjadřujících závislost mezi liniovými vnitřními silovými účinky a deformací střednicové plochy a dále se zaměříme na napjatostní a pevnostní analýzu.
13.1. Laminátová stěna Stěnou rozumíme obecně tenkostěnné těleso (skořepinu), jehož střednicová plocha je rovinná a zůstává rovinnou i v průběhu zatěžování (PPII) [8]. Nedochází tedy k průhybu, deformuje se pouze rovinný element ve střednicové ploše stěny. Vnější silové zatížení působí ve střednicové ploše a momenty silových dvojic jsou k ní kolmé.
81
Při odvození vztahů pro přetvoření vycházíme z Kirchhofova předpokladu teorie skořepin [10], který postuluje, že příčné řezy kolmé ke střednicové ploše zůstávají rovinnými a kolmými ke zdeformované střednicové ploše. Pro vrstevnatou strukturu laminátové stěny z toho vyplývá , že poměrná přetvoření a zkosy ve všech vrstvách k jsou stejné a jsou rovny poměrným přetvořením a zkosům ve střednicové ploše s , což je možné vyjádřit následovně
{ }k
x
x
y
y
xy
k
xy
(13.1)
{ }s s
Důkaz pro složku x je zřejmý z geometrických poměrů znázorněných na obr.13.3. Podle zmíněného Kirchhofova předpokladu jsou prodloužení ve všech vrstvách k stejná a jsou rovna prodloužení střednicové plochy, tedy lk ls . Tomu odpovídají i stejná poměrná přetvoření a
xy
k x
s x
. Totéž platí i pro zbývající složky vektoru přetvoření { }k , jmenovitě
y
.
Napětí a přetvoření v každé vrstvě k jsou v lineárně pružném případě vázána příslušným Hookeovým zákonem (11.70) x
{ }k
x
[C ( k )]
y xy
k
x
[C ( k )]
y xy
xy
k
[C ( k )] { }s
y
(13.2)
s
Kde [C ( k )] představuje matici materiálových tuhostních konstant vrstvy k , které se obecně vrstvu od vrstvy liší. Vzhledem k tomu, že vektor přetvoření { }s je pro celou stěnu konstantní, dostáváme v souladu s (13.2) po vrstvách konstantní průběh složek vektoru napětí { }k se skoky na hranicích vrstev, což je demonstrováno pro složku x na obr.13.3.
Obr.13.3. Průběh složky přetvoření
x
a složky napětí stěny
x
po tloušťce vrstevnaté laminátové
Základním krokem ke stanovení napjatosti je uvolnění elementu stěny a vyjádření působení odříznuté části pomocí příslušných napětí, viz obr.13.4. Předpokládáme obdélníkový tvar střednicové plochy a proto používáme kartézský pravoúhlý souřadnicový systém. 82
Obr.13.4. Uvolněný element stěny, zavedení vnitřních liniových sil V případě stěny se zavádějí tzv. liniové vnitřní síly N x , N y , Txy , liniové momenty jsou zde nulové. Velikost N x , N y , Txy je dána s ohledem na vrstevnatou strukturu laminátové stěny dle obr.13.1 následujícími vztahy. Při závěrečném kroku je vzat v úvahu po částech konstantní průběh složek napětí x , y , xy po tloušťce stěny. h 2
Nx
x
zk
hk
k xy
hk
(13.3)
n xy
k 1 zk
k y k 1
1
1.dz
h 2
hk
n
1.dz
y
n
k x k 1
1
1.dz k 1 zk
xy
1.dz
zk
n
h 2 h 2
Txy
x k 1 zk
y
n
1.dz
h 2 h 2
Ny
zk
n
1.dz k 1
1
Z důvodu formálního zjednodušení zavádíme vektor vnitřních liniových sil {N } {N }
Nx
Ny
Txy
T
(13.4)
Nyní dosadíme konstitutivní vztahy (13.2) do rovnic (13.3) a pro vektor {N } dostáváme
Nx {N }
h 2
Ny Txy
y h 2
h 2
x
xy
1 dz
x
[C ( k )] h 2
x
n
dz
y
[C ( k )]
zk
dz
y
k 1 xy
s
83
zk xy
s
1
x
n
[C ( k )] hk
n
[C ( k )] hk { }s
y
k 1
[ A] { }s
(13.5)
k 1 xy
s
V závěrečném kroku předchozí matematické úpravy byla zavedena matice tahové tuhosti vrstevnaté laminátové stěny [ A] , která mezi sebou váže vektor vnitřních liniových sil {N } a vektor přetvoření střednicové plochy { }s . Tato matice má následující strukturu
[ A]
A11
A12
A16
A21
A22
A26
A61
A62
A66
(13.6)
Rovnice (13.5) představuje tzv. konstitutivní vztahy vrstevnaté laminátové stěny, vyjadřující vazbu mezi liniovými silovými účinky a přetvořením střednice, definovanými příslušnými vektory {N } a { }s . Matice tahové tuhosti [ A] je maticí symetrickou se šesti nezávislými členy, pro které v souladu s (13.5) platí n
A11
C11 ( k ) hk k 1 n
A12
A21
C12 ( k ) hk k 1 n
A16
A61
C16 ( k ) hk k 1
n
A22
(13.7)
C22 ( k ) hk k 1 n
A26
A62
C26 ( k ) hk k 1
n
A66
C66 ( k ) hk k 1
C11 ( k ), C12 ( k ), C16 ( k ), C22 ( k ), C26 ( k ), C66 ( k ) Veličiny jsou definovány pro jednosměrovou dlouhovláknovou laminu vztahy (11.72) a v případě vyvážené orientované dvojvrstvy vyplývají z definičního vztahu (11.75).
Dále se zavádějí průměrná (fiktivní) staticky ekvivalentní napětí ve stěně následujícími vztahy n
Nx h
x
k x
hk
k 1
h n
Ny y
h
k y
hk
k 1
(13.8)
h
84
n k xy
Txy xy
hk
k 1
h
h
Příslušný vektor průměrných staticky ekvivalentních napětí je potom definován následovně { }
T x
y
(13.9)
xz
Naším hlavním cílem v rámci mechaniky kompozitů. bylo určení matice tahové tuhosti rovinné vrstevnaté laminy [ A] (13.6) a (13.7), která determinuje příslušné konstitutivní vztahy (13.5). To však samozřejmě není finálním krokem při pevnostní kontrole resp. při pevnostním návrhu rovinné vrstevnaté laminátové stěny. Příslušnou úlohu mechaniky těles můžeme řešit pro jednoduché případy analyticky, nebo v komplikovanějších případech použitím numerických metod zejména pomocí Metody konečných prvků (MKP), pro variačně formulovanou úlohu mechaniky. Použijeme-li deformační variantu MKP pro dvourozměrné tenkostěnné těleso, potom jsou výsledkem výpočtu posuvy ve střednicové ploše us a vs , ze kterých je možné stanovit vektor přetvoření ve střednicové ploše { }s pomocí geometrických rovnic známých z předmětu Pružnost a pevnost II [8]. Příslušná napětí { }k ve všech vrstvách k vrstevnaté stěny (obr.13.1) potom určíme z Hookeova zákona dle vztahu (13.2). Následuje stanovení hlavních ortotropních napětí { h }k pomocí transformačních relací (11.52). Dalším krokem je pevnostní kontrola v každé vrstvě k pomocí některé z podmínek pevnosti uvedených v předchozí kap.12. O bezpečnosti celé vrstevnaté laminátové stěny rozhoduje nejslabší článek, tj. vrstva s minimální bezpečností.
13.2. Tenkostěnná laminátová válcová tlaková nádoba Častou konstrukční aplikací dlouhovláknových kompozitních materiálů jsou tenkostěnné tlakové nádoby, používané v různých oblastech - plynárenství, chemický průmysl, raketová technika atd.). Kromě dobrých a navíc řiditelných pevnostních vlastností tu často svoji pozitivní roli hraje i odolnost vůči korozi a obecně chemickým vlivům i dobré tepelné izolační vlastnosti ve srovnání s kovy. Osový řez charakteristickou vrstevnatou válcovou stěnou je uveden na obr.13.5.
Obr.13.5. Osový řez tenkostěnnou vrstevnatou válcovou laminátovou stěnou
85
Stěna vrstevnaté laminátové nádoby často sestává ze tří vrstev, přičemž vlákna ve vnitřní a 900 ) a prostřední vrstva bývá typu dvojvrstvé vnější vrstvě mají obvodový směr ( 1 3 ortotropní vyvážené laminy ( 2 ) , viz obr.11.6. Toto konstrukční uspořádání dobře reflektuje skutečnost, že tangenciální napětí t v tlakové nádobě je větší než axiální napětí z (viz dále) a proto je vhodné vyztužit materiál vlákny v tangenciálním směru. Šikmá vlákna ve střední vrstvě potom usnadňují připevnění den nádoby. V Pružnosti a pevnost II [8] byly odvozeny pro axiální a tangenciální napětí z a t ve válcové části tenkostěnné tlakové nádoby uzavřená dny následující vztahy. Přitom se předpokládá, že tato napětí jsou po tloušťce stěny konstantní. Radiální napětí r od tlaku p se u tenkostěnných tlakových nádob, tedy i v našem případě zanedbává. Pro vrstevnatou laminátovou stěnu je nutné tato napětí chápat jako průměrná (virtuální) staticky ekvivalentní napětí.
z
x
p R 2h
(13.10)
t
y
p R h
(13.11)
zt
xy
0
(13.12)
Pro příslušné liniové síly potom v souladu s (13.8) dostáváme Nx
h
x
Ny
h
y
Txy
h
xy
p R 2
(13.13)
p R
(13.14)
0
(13.15)
Konstitutivní vztahy podle (13.5) potom vypadají s uvážením symetrie vláken ve vrstvách vzhledem k ose x následovně
p R 2 p R
A11
A12
0
x
A21
A22
0
y
0
0
0
A66
xy
(13.16) s
Nenulové prvky matice tuhosti [ A] se stanoví pomocí relací (13.7). Vynásobením předchozí rovnice zleva inverzní maticí tuhosti dostáváme pro vektor přetvoření { }s
86
x
A11
A12
0
y
A21
A22
0
p R 2 p R
0
0
A66
0
xy
s
1
(13.17)
Z předchozí maticové rovnice plyne, že zkos xys elementu na střednicové ploše je roven nule. Následuje stanovení napětí v jednotlivých vrstvách dle relace (13.2) a potom pevnostní kontrola stejným způsobem jako v předchozím odstavci u rovinné vrstevnaté laminátové stěny. Uvedený přístup použitý pro napjatostní a pevnostní analýzu je možné aplikovat pouze v případě tenkostěnné laminátové vrstevnaté nádoby, kde je celková tloušťka stěny podstatně R. menší než poloměr křivosti střednicové plochy, tedy h
13.3. Tenkostěnná laminátové deska Deskou rozumíme obecně tenkostěnné těleso (skořepinu), jehož střednicová plocha je před zatížením rovinná . Vnější silové zatížení působí kolmo ke střednicové ploše a momenty silových dvojic v ní leží, viz Pružnost a pevnost II [8].. Dominantní deformací je posuv kolmý ke střednicové ploše w , při zavedené orientaci jde o svislý průhyb, viz obr.13.6. Při odvození vztahů pro přetvoření vycházíme stejně jako v případě rovinné stěny z Kirchhofovy pracovní hypotézy, která předpokládá, že příčné řezy kolmé ke střednicové rovině zůstávají po zatížení rovinnými a kolmými ke zdeformované střednicové rovině (obr.13.6). V této fázi odvozování zatím nepřihlížíme k vrstevnate struktůře desky, která je znázorněna na obr.13.1 a obr.13.2.
Obr.13.6. Deformace stěny
87
Při stanovení deformace v obecném bodě C příčného řezu v místě z vyjdeme z obr.13.6. Pro posuv u ve směru souřadnicové osy x dostáváme
u
us
z tg
us
ws x
z
(13.18)
Index s označuje posuv adekvátního bodu B na střednicové ploše. Pro posuv v ve směru osy y analogicky dostáváme v
vs
ws y
z
(13.19)
Příslušná poměrná přetvoření v obecném bodě C v místě z získáme aplikací známých geometrických rovnic obecné pružnosti [8] na předchozí vztahy (13.18) a (13.19). 2
x
u x
us x
z
y
v y
vs y
z
u y
v x
xy
ws x2
2
ws y2
us y
(13.20)
vs x
2
2z
ws x y
Předchozí relace je možné zapsat v maticové složkové formě a v obecné maticové formě následovně
kx
x
x
y
y
xy
xy
{ } { }s
z
(13.21)
ky k xy
s
z {k} ,
(13.22)
kde k x , k y , k xy jsou složky vektoru křivosti {k} v místě B střednicové plochy (obr.13.1) {k}
kx
ky
k xy
T
(13.23)
a jejich hodnota vyplývá ze vztahů (13.20) a (13.21) 2
kx
ws x2
88
2
ws y2
ky
(13.24)
2
k xy
2
ws x y
Z relace (13.21) vyplývá, že průběh složek přetvoření
x
,
y
,
xy
po tloušťce desky je lineární
a není závislý na vrstevnaté struktuře laminátové stěny, což je ukázáno pro složku obr.13.7.
x
na
S ohledem na malou tloušťku stěny h se předpokládá, že svislý průhyb w v obecném místě C (obr.13.1) je roven svislému průhybu ws adekvátnímu bodu B na střednicové ploše. Z důvodu formálního zjednodušení matematického zápisu nebudeme dále index s psát a vystupující posuvy u, v, w budou představovat posuvy bodů střednicové plochy. Napětí a přetvoření v každé vrstvě k jsou v lineárně pružném případě vázána příslušným Hookeovým zákonem (11.70) do kterého dosadíme relaci (13.21) x
x
[C ( k )]
y xy
[C ( k )] (
y xy
k
kx
x
z
y xy
k
ky ) ,
(13.25)
k xy
s
kde [C ( k )] představuje matici materiálových tuhostních konstant vrstvy k , které se obecně vrstvu od vrstvy liší. Z toho vyplývá, že průběh složek napětí je po částech lineární se skoky na hranicích vrstev. Předchozí relaci zapíšeme rovněž v obecném maticovém tvaru { }k
[C (
k
)] { }k
[C (
k
z {k}) ,
)] ({ }s
(13.26)
Vzhledem k tomu, že vektor přetvoření { }s je pro celou stěnu konstantní, dostáváme v souladu s (13.25) po vrstvách přímkový průběh složek vektoru napětí { }k se skoky na hranicích vrstev, což je demonstrováno pro složku
Obr.13.7. Průběh složky přetvoření
x
x
na obr.13.7.
a složky napětí desky 89
x
po tloušťce vrstevnaté laminátové
Stejně jako v předchozím případě laminátové stěny je základním krokem ke stanovení napjatosti uvolnění elementu desky a vyjádření působení odříznuté části pomocí příslušných napětí, viz obr.13.8.
Obr.13.8. Uvolněný element desky, zavedení vnitřních liniových silových účinků V případě stěny se zavádějí liniové silové účinky, které sestávají z liniových sil N x , N y , Txy a liniové momenty M x , M y , M xy . Pro liniové momenty bylo přitom přijato označení složek používané u teorie skořepin. Např. M x představuje momentovou složku způsobenou napětím x . Jejich velikost je dána následujícími vztahy, které plynou z uvolněného elementu desky na obr.13.8 s uvážením vrstevnaté struktury vrstvy, viz obr.13.1. Pro liniové síly dostáváme h 2
n
Nx
1.dz
x
k 1 zk
h 2 h 2
Ny
n y
n
y
dz
xy
dz
zk
(13.27)
1
zk
1.dz
xy
dz
1
k 1 zk
k 1 zk
h 2
x
1.dz
h 2 h 2
Txy
zk
1
Liniové momenty jsou rovny h 2
Mx
n x
z 1 dz k 1 zk
h 2 h 2
My
n y
h 2
zk x
z dz
y
z dz
(13.28)
1
zk
z 1 dz k 1 zk
1
90
h 2
zk
n
M xy
z 1 dz
xy
z dz
xy k 1 zk
h 2
1
Z důvodu formálního zjednodušení zavádíme vektor vnitřních liniových sil {N }
Nx
Ny
Txy
T
(13.29)
a vektor vnitřních liniových momentů {M }
Mx
My
M xy
T
(13.30)
Nyní dosadíme konstitutivní vztahy (13.25) do rovnic (13.27) a pro vektor liniových sil {N } dostáváme
Nx {N }
Ny
n
1
xy
[C (
k
[C (
k
)] zk
n
[C ( k )] hk ) { }s ( k 1
k xy
s
z dz ) {k}
k 1
1
k y ) dz
zk
dz ) { }s ( zk
n
(
xy
n
)]
k 1
z
y
1
k
zk
n
[C ( k )] ( k 1 zk
kx
x
zk
dz
y k 1 zk
Txy
(
x
zk
n
z
[C ( k )]
2 k
(13.31)
1
zk2 1 ) {k} [ A] { }s [ B] {k} 2
k 1
Vektor liniových momentů {M } získáme obdobně dosazením (13.25) do rovnic (13.28)
Mx {M }
n
My k 1 zk
[C (
k
xy
n
[C ( k )]
xy
1
zk2
s
k y ) dz k xy
zk
[C ( k 1
z2
y
1
k
z.dz ) { }s ( zk
[C ( k )] ( z
n
)]
k 1
k 1
1
zk
n
(
z dz k 1 zk
kx
x
zk
n
y
M xy
(
x
zk
k
z 2 dz ) {k}
)] zk
(13.32)
1
n zk2 1 z3 z3 ) { }s ( [C ( k )] k k 1 ) {k} [ B] { }s [ D] {k} 2 3 k 1
V závěrečných krocích odvozování předchozích vztahů byly zavedeny následující matice tuhosti – matice tahové tuhosti [ A] (stejná jako v případě vrstevnaté rovinné laminátové stěny), matice vazebné tuhosti [ B] a matice ohybové tuhosti [ D] , které jsou definovány následovně 91
n
[ A]
(13.33)
[C ( k )] hk k 1
n
[ B]
[C ( k )]
zk2
zk2 1 2
(13.34)
zk3 zk3 1 3
(13.35)
k 1
n
[ D] [
C ( k )] k 1
Směrová matice tuhosti dlouhovláknové jednosměnové laminy [C ( k )] vystupující v předchozích rovnicích je definována vztahy (11.72) a v případě vyvážené orientované dvojvrstvy relacemi (11.75). Sdružením vztahů pro liniové síly a liniové momenty dostaneme konstitutivní vztahy vrstevnaté laminátové desky, které vyjadřují vazbu mezi liniovými silovými účinky a přetvořením střednicové plochy ve tvaru
{N }
[ A] [ B]
{ }
{M }
[ B] [ D]
{k}
,
(13.36)
který je možné formálně zúžit následovně
{S} [ K ] {d} ,
(13.37)
kde {S} je vektor liniových silových účinků, [ K ] představuje globální matici tuhosti vrstevnaté desky a {d} vektor přetvoření střednicové plochy. Tyto veličiny jsou definovány následovně {S}
[K ]
{d }
{N }
(13.38)
{M } [ A] [ B]
(13.39)
[ B ] [ D]
{ } {k}
(13.40)
Cílem našeho snažení v rámci předmětu Mechanika kompozitů je stanovení globální matice tuhosti rovinné vrstevnaté laminy [ K ] pomocí předchozích vztahů. Tu potom využíváme při řešení úlohy mechaniky těles, v současné době zejména pomocí MKP. V případě klasické deformační varianty MKP pro tenkostěnné skořepinové těleso (úloha 2-D) jsou výsledkem výpočtu složky posuvů bodů střednicové plochy us , vs , ws , ze kterých je možné pomocí geometrických vztahů (13.20) stanovit vektor poměrných přetvoření { } a pomocí vztahů 92
(13.24) vektor křivosti střednicové plochy {k} . Dalším krokem bývá pevnostní kontrola resp. pevnostní návrh vrstevnaté desky. Složky vektoru napětí { }k v každé vrstvě k se vypočítají pomocí rovnice (13.26) a to pro místo nejvzdálenější od střednicové plochy, kde je hodnota napětí v rámci dané vrstvy k maximální s ohledem na ohybový charakter namáhání. Následuje stanovení hlavních ortotropických napětí { h }k pomocí transformačních relací (11.52) a potom pevnostní kontrola v každé vrstvě k pomocí některé z podmínek pevnosti uvedených v předchozí kap.12. O bezpečnosti celé vrstevnaté laminátové stěny rozhoduje nejslabší článek, tj. vrstva s minimální bezpečností.
93
Použitá literatura: [1] Agarwal, B.D., Broutman, L. J.: Vláknové kompozity. SNTL Praha, 1987 [2] Černošek, J.: Úvod do problematiky kompozitních materiálů, VUT v Brně, Fakulta technologická, Zlín, 1992 [3] Chavla, K.K.: Composite materials. Science and Engineering. 2nd ed., Springer Berlin, 1998 [4] Janíček, P., Ondráček, E., Vrbka, J.: Mechanika těles. Pružnost a pevnost I. VUT v Brně, 1992 [5] Jančář, J.: Úvod do materiálového inženýrství polymerních kompozitů. VUT v Brně, 2003 [6] Jones, M.: Mechanics of composite materials. Hemisphere Publishing Corporation, New York, 1975 [7] Míšek, B.: Kompozity. TDS Brno, 2003 [8] Ondráček, E., Vrbka, J., Janíček, P., Burša, J.: Mechanika těles. Pružnost a pevnost II. CERM, Brno, 2006 [9] Hill, R.: The mathematical theory of plasticity. Oxford University Press, London, 1950 [10] Hőschl, C.: Pružnost a pevnost ve strojnictví. SNTL Praha, 1971 [11] Hloušek, J. a kol.: Termomechanika. Nakladatelství VUT v Brně, 1992
94
