Dynamika I - příklady do cvičení
Pomocí jednotek ověřte, zda platí vztah: 2 ⋅ v 2 ⋅ cos 2 α ⋅ (sin β + tgα ⋅ cos β ) L= g ⋅ cos 2 β t= L=
π⋅m 4k ⋅ v m ⋅ ln 2 2k
s( t ) =
∆L =
(
2 v0 1 − e −b t b
)
2 ⋅ k ⋅ v 12 m ⋅ g + g2 + k m
v [m⋅s-1]
L [m]
g [m⋅s-2]
t [s]
v [m⋅s-1]
m [kg]
L [m]
m [kg]
k [kg⋅m-2]
s [m]
v0 [km/hod]
b [s-1]
m = 80 kg
H = 30 m
L = 12 m
1
k [kg⋅m-1]
t [s]
k = 200 N/m
1. cvičení - Kinematika pohybu bodu - přímočarý pohyb 1/1 Pozorovatel, stojící na okraji propasti, upustí dolů kámen. Za dobu T = 35 s uslyší dopad kamene na dno. Určete hloubku propasti H. Nápověda: Rychlost šíření zvuku ve vzduchu při teplotě 20ºC = 343 m/s. Odpor prostředí zanedbejte. Spočítejte, jak dlouho by tento děj trval v Macoše. 1/2 Těleso se z klidu rozjíždí rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a1, dále se pohybuje rovnoměrně konstantní rychlostí v2, a nakonec zpomaluje až do úplného zastavení rovnoměrně zpomaleným pohybem se zrychlením a3 (a3=-a1). Přitom má urazit celkovou dráhu L za celkovou dobu T. Navrhněte kinematické parametry a1=-a3 a v2. T
40. s
L
280. m
1/3 (EL_dyn1_01c_A) Loď pluje počáteční rychlostí v0. Po vypnutí motorů se zastavuje tak, že pro její zrychlení platí vztah: a=-b·v. Určete: 1) Časový průběh rychlosti a dráhy v=v(t), s=s(t) . 2) Za jakou dobu t1 a na jaké dráze s1 klesne rychlost na hodnotu v1. 3) Za jakou dobu t2 a na jaké dráze s2 se loď zcela zastaví. v0
5. km. hod
1
b
0.0023. s
1
v1
1. km. hod
1
1/4 Projektil, vystřelený svisle vzhůru ze Země, stoupá se zrychlením a, závislým na poloze projektilu a=a(y), kde y je výška projektilu nad povrchem Země. Počáteční rychlost projektilu je v0. Určete, jaké maximální výšky H projektil dosáhne. Zamyslete se nad otázkou, co je to tzv. první kosmická rychlost a jak by se dala určit ze vztahů, které jste dosud použili. v0
1 230. m. s
1/5 EL_dyn1_01a_A Bod se pohybuje rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem s neznámým zrychlením a. Jsou dány časy t1 a t2, které bod potřebuje k tomu, aby proběhl dva po sobě jdoucí úseky stejné délky L. Určete zrychlení bodu a. L = 30 m t1 = 6 s t2 = 4 s
2
2. cvičení - Kinematika pohybu bodu - křivočarý pohyb, pohyb po kružnici 2/1 (EL_ZM_13a_A) V čase t=0 je bod B v místě B a pohybuje se po kružnici proti směru hodinových ručiček pohybem rovnoměrně zrychleným s úhlovým zrychlením ε. V témže čase je bod A v místě A a pohybuje se po přímce konstantní rychlostí vA. Určete: 1. Jaká musí být úhlová rychlost ωB0 bodu B v místě B a jeho úhlové zrychlení ε, aby se body A a B potkaly v místech M a N? 2. Jaká bude obvodová rychlost vB bodu B v místě N? 3. Jaké bude tečné zrychlení aBt, normálové zrychlení aBn a celkové zrychlení aB bodu B v místě N? L R = 0,8 m L = 1,8 m vA = 0,5 m/s
R
N
vA
M
A
ε 2/2 B ωB Cykloidní pohyb bodu v rovině je popsán vztahy: x = r.(ωt-sinωt) y = r.(1-cosωt) kde r je geometrický a ω kinematický parametr. Určete průběh obou složek rychlosti (vx a vy) a zrychlení (ax a ay) i celkové rychlosti v a celkového zrychlení a v čase a nakreslete příslušné grafy. Nakreslete trajektorii bodu (cykloida). Řešte v intervalu t=(0,T), kde T = 2π/ω je perioda. Určete maximální hodnotu rychlosti vmax a maximální hodnotu zrychlení amax a časy t1 a t2, ve kterých je těchto parametrů dosaženo. r
ω
20. mm
2.3. s
1
2/3 Místa A a B jsou od sebe vzdálena o vzdálenost L ve vodorovném směru a h ve svislém směru. Z místa B vyjede automobil naznačeným směrem pohybem rovnoměrně zrychleným. O čas t1 později je z místa A vyhozen šikmo vzhůru kámen počáteční rychlostí v0 po úhlem ϕ0. Určete, jaké musí být zrychlení a automobilu, aby na něj dopadl vyhozený kámen. Odpor vzduchu a rozměry automobilu zanedbejte. L
250. m
h
3. m
A
v0
t1
20. s
v0
1 12. m. s
ϕ0
30. deg
ϕ0
h a
a/2
L
C
2/4 Těleso tvaru rovnostranného trojúhelníku s délkou strany a je kloubově uloženo. Je zadána okamžitá rychlost a okamžité celkové zrychlení bodu M. Určete tytéž veličiny pro bod C a zakreslete je do obrázku. a
10. cm
vM
1 2. m. s
aM
B
2 48. m. s
3
M vM aM
2/5 Kámen je vržen šikmo vzhůru počáteční rychlostí v0 po úhlem ϕ0. Vypočtěte: 1) Jaké maximální výšky H kámen dosáhne. 2) Místo dopadu kamene. v0
1 15. m. s
v0
φ0
35. deg
h
1.2. m
b
22. m
α
10. deg
a
2. m
h
ϕ0 a b
α
2/6 Kámen je hozen rychlostí v pod úhlem α na kopci s úhlem sklonu β. Určete vzdálenost L, do které kámen dopadne. v = 7 m/s
α = 45°
β = 30°
M
2/7 Zalomená tyč se otáčí kolem bodu P. Její okamžitá úhlová rychlost je ω, okamžité úhlové zrychlení je ε. Nakreslete vektory rychlosti a zrychlení bodu M na konci tyče a určete jejich velikosti. a = 30 cm b = 12 cm ω = 4 s-1 ε = 10 s-2
b
a
ε
P
ω
2/8 Bod se pohybuje po kružnici o poloměru R. Jeho počáteční rychlost je ω0, pro jeho úhlové zrychlení platí vztah ε = -k⋅⋅ω. Určete, jakou dráhu s urazí, než zastaví. ω = 50 s-1
k = 2 s-1
R = 30 cm
4
3. cvičení - Dynamika pohybu bodu - přímočarý pohyb 1. písemka - Kinematika pohybu bodu 3/1 Po nakloněné plošině sjíždí dolů těleso o hmotnosti m počáteční rychlostí v0. Plošina je skloněná o úhel α, drsnost stykových ploch tělesa a plošiny je vyjádřena součinitelem smykového tření f. 1) Určete, jak velkou vodorovnou silou FB musí být těleso bržděno, aby zastavilo na dráze L. v 2) Určete, jaká bude brzdná doba tB. F B
m = 5 kg v0 = 4 m·s-1
L = 3,5 m f = 0,1
α = 15º
α
3/2 Železniční vůz o hmotnosti m se pohybuje rychlostí v0. Proti směru pohybu působí valivý odpor FV, přímo úměrný tíze vozu (FV=k·G). Ve vzdálenosti L od nárazníku začne brzdit konstantní brzdnou silou FB. 1) Určete, jakým pohybem se bude vůz pohybovat od okamžiku, kdy začal brzdit. Určete časovou závislost jeho rychlosti v=v(t) a s=s(t). 2) Určete, zda vůz narazí na nárazník. Jestliže ano, pak určete, jakou rychlostí vL a za jakou dobu tL vůz narazí. Jestliže ne, určete, za jakou dobu tZ a na jaké dráze LZ vůz zastaví. L L = 20 m m = 20 t v0 = 15 km/hod k = 0,01 FB = 5 kN v
3/3 Šikmý pásový dopravník dopravuje materiál pod úhlem α vzhůru a vrhá jej na sníženou plošinu. Materiál je nasypáván na pás s počáteční rychlostí ve směru pohybu pásu v0. Rychlost pásu je vp. Působením třecí síly je materiál urychlován a posléze vržen šikmo vzhůru. Součinitel smykového tření mezi pásem a materiálem je f. Dráha od místa násypu ke konci pásu je L1. Určete, zda na dráze L1 dojde k vyrovnání rychlosti materiálu a rychlosti pásu. Jestliže ano, určete na jaké dráze Lv (
1.4. m. s
1
L1
4.95. m
vp
4. m. s
1
H2
1.32. m
α
L1
15. deg
f
0.35
h2 α
vp L2
5
4. cvičení - Dynamika pohybu bodu - přímočarý pohyb 4/1 (EL_dyn1_02c_A) Jako skokan bungee jumpingu skáčete z věže výšky H. Jste přivázán(a) na pružném laně tuhosti k. Lano má vlastní nezatíženou délku L. Vaše počáteční rychlost je nulová. Určete: 1) V jaké výšce h nad zemí se zastavíte. 2) Jak by dopadl skokan o hmotnosti 120 kg? Pokud by dopadl až na zem, tak jakou rychlostí? 3) Jaká je mezní hmotnost, do které se na laně dané délky a dané tuhosti nezraníte? Pozn.: U všech výpočtů zanedbejte odpor vzduchu i rozměry skokana. m = 70 kg
H = 60 m
L = 30 m
k = 130 N/m
4/2 (EL_dyn1_02b_A) Loď o hmotnosti m pluje maximální konstantní rychlostí v0 při maximálním výkonu motorů. Náhle je chod motorů otočen a hnací síla se stane stejně velkou brzdnou silou. 1) Určete, za jakou dobu T a na jaké dráze L se loď zcela zastaví. Odpor prostředí uvažujte úměrný druhé mocnině rychlosti (Fo=k·v2). 2) Určete, jakou práci A brzdná síla motorů při brždění vykoná a jaký průměrný výkon P přitom bude podávat. m = 10 t
k = 80 kg/m
v0 = 18 km/hod
4/3 Parašutista o celkové hmotnosti m je vysazen z helikoptéry s nulovou počáteční rychlostí. Nejprve padá volným pádem při zanedbatelném odporu prostředí (Fo=0). V čase t1 se mu otevře padák a začne jeho pád brzdit. Odpor prostředí je přímo úměrný druhé mocnině rychlosti (Fo=b·v2). Rychlost parašutisty se po dostatečně dlouhé době ustálí na vust. Určete: 1) Jakým pohybem (z hlediska rychlosti) se parašutista pohybuje v jednotlivých fázích pohybu: před otevřením padáku, krátce po otevření padáku, po ustálení rychlosti 2) Dráhu h1, kterou parašutista urazí v první fázi pádu a rychlost v1, kterou bude mít na konci této fáze. 3) Koeficient odporu prostředí b ve druhé fázi pádu (otevřený padák). 4) Čas t2 a dráhu h2, na které rychlost klesne na dvojnásobek ustálené rychlosti. 5) Čas t3 a dráhu h3, na které rychlost klesne na 101% ustálené rychlosti. m = 100 kg
vust = 7 m/s
t1 = 5 s
4/4 Válcové těleso o hmotnosti m, výšce h a půdorysném průřezu S je zavěšeno na pružině o tuhosti k a volné délce h0. Současně je ponořeno do kapaliny o měrné hmotnosti ρ a silou F0 je přitlačováno ke dnu. Výška hladiny kapaliny je H1, výška závěsu pružiny nad hladinou je H2. Určete minimální velikost síly F0, která udrží těleso u dna. Po uvolnění tělesa (síla F0 přestane působit) se toto dá do pohybu směrem vzhůru. Určete, jakou rychlostí v1 těleso opustí kapalinu. Pozn.: Nádoba s kapalinou je velmi rozměrná, proto změnu výšky hladiny H1 při vynořování tělesa můžete zanedbat. H1 ρ
350. mm H2 530. mm 3 2 1050. kg. m S 2500. mm
h0 M
250. mm 1.1. kg
h k
380. mm 1 120. N. m
6
5. cvičení - Dynamika pohybu bodu - přímočarý pohyb (D'Alembert, zákony o změně), křivočarý pohyb 5/1 (EL_dyn1_02a_A) Nákladní automobil jede z kopce počáteční rychlostí v0. Silnice je skloněna pod úhlem α. Auto má zastavit na dráze L. Na korbě je volně uložen náklad o hmotnosti m. Určete minimální koeficient tření fmin mezi nákladem a korbou potřebný k tomu, aby náklad při brždění neuklouzl. v0 = 65 km/hod
α = 10°
L = 150 m
m=3t m v α
5/2 Těleso o hmotnosti m je drženo na nakloněné rovině skloněné o úhel α. Je shora pevně spojeno s pružinou o tuhosti k, která je v zabržděné poloze tělesa stlačená o délku ∆L1. Po odbrždění se těleso začne pohybovat. Jakmile pružina dosáhne svou volnou délku, začne na těleso ve směru pohybu působit síla F. Vypočtěte, jakou rychlost bude mít těleso v okamžiku, kdy pružina bude prodloužená o délku ∆L2. Součinitel smykového tření mezi tělesem a nakloněnou rovinou je f. M
30. kg
F
α
200. N
20. deg
f
0.1
k m , α
k
300. N. m
1
∆L1
0.1. m
∆L2
0.2. m
5/3 Hmotný bod o hmotnosti m se pohybuje v kruhové drážce o poloměru r, která leží ve vodorovné rovině. Koeficient smykového tření na vodorovné podložce je f1, na svislé stěně f2. Určete, jakou dráhu s hmotný bod urazí do zastavení, je-li jeho počáteční rychlost v0. m = 2,2 kg
r = 310 mm
f1 = 0,25
r
f2 = 0,35
v0 = 2,8 m/s
f2 v
f1
7
5/4 Tělísko o hmotnosti m se pohybuje v silovém poli, tvořeném cívkou, jejíž proud I=I0·sin(ω ωt) je funkcí času. Při vstupu do silového pole má tělísko počáteční rychlost ve směru vodorovném (osa x) vx0, ve směru svislém (dolů) vy0. Na tělísko působí současně ve směru podélné osy cívky síla Fe=F0·sin(ω ωt), a ve svislém směru tíhová síla G. Určete časový průběh x-ové a y-ové složky rychlosti. Použijte zákona o změně hybnosti. m = 10 g
F0 = 250 N
vx0 = 20 m/s vy0 = 5 m/s
5/5 EL_dyn1_03b_A Kulička o hmotnosti m je zavěšena na provázku délky s, který je uchycen na svislé tyči. Určete, jakou úhlovou rychlostí ω se musí tyč otáčet, aby provázek svíral s tyčí úhel α. Dále určete, jakou silou S bude namáhán provázek. m = 0,5 kg
s = 0,8 m
α = 40°
α
ω
8
s m
6. cvičení - Dynamika soustavy hmotných bodů 2. písemka - Dynamika pohybu bodu 6/1 Těleso má tvar pravoúhlého trojúhelníka o odvěsnách r1 a r2 a je kloubově uloženo. Hmota tělesa je koncentrována do hmotných bodů o hmotnostech m1 a m2 v rozích trojúhelníka. Počáteční a koncová poloha tělesa dle obrázku. Počáteční pohybový stav tělesa je dán rychlostí v1-0 hmotného bodu m1. Těleso se nachází v gravitačním poli Země, pasívní odpory jsou zanedbatelné. Určete rychlosti v1-1 a v2-1 obou hmotných bodů v koncové poloze (při pootočení o 90°). m1 m1 r1
7. kg 0.3. m
m2 r2
3. kg 0.75. m
v1_0
r1
1 0.2. m. s
r2
m2
6/2 Člověk o hmotnosti m1 skočí na vozík o hmotnosti m2, který stojí na vodorovné rovině a je v klidu. Počáteční rychlost člověka je v10. Určete, jakou rychlostí vc se bude pohybovat vozík s v10 člověkem. v20 = 0 m1
80. kg
m2
100. kg
h
1. m
v1
1.2. m. s
1
6/3 Tělesa A a B jsou spojena lanem vedeným přes pevnou kladku. Určete, jakou rychlostí v se bude soustava těles pohybovat v okamžiku, kdy tělesa A a B urazí dráhu L (po odbrždění). Předpokládejte, že tělesa jsou dostatečně velká na to, aby se při pohybu nezměnila konfigurace. Úlohu řešte: a) bez uvažování tření a b) s uvažováním smykového tření s koeficientem f mezi všemi povrchy. mA 40. kg mB 16. kg L 0.5. m α 45. deg f 0.1
6/4 (EL_dyn1_04a_A) Člověk o hmotnosti m1 naskočí rychlostí v10 na vozík o hmotnosti m2, který stojí na vodorovné podložce. Po uražení dráhy L přejde vodorovná podložka v nakloněnou rovinu o úhlu sklonu α. Vozík s člověkem se pohybuje dolů po dobu T a potom člověk vyskočí z vozíku proti směru jízdy rychlostí v1r (relativní vzhledem k vozíku). Určete, jakou rychlostí v2 bude vozík pokračovat v jízdě dolů. Uvažujte valivý odpor přímo úměrný síle, kterou působí vozík na podložku (konstanta v10 úměrnosti k). m1 = 70 kg v10 = 2 m/s L=1m k = 0,05
v20 = 0
m2 = 50 kg v1r = 1 m/s T=6s α = 3°
α
9
7. cvičení - Posuvný a rotační pohyb tělesa 7/1 (EL_dyn1_05b_A) Osobní vozidlo o hmotnosti m jede rychlostí vo. V určitém okamžiku začne brzdit konstantní brzdnou silou působící na zadních kolech. Vozidlo má zastavit na dráze L. Koeficient smykového tření mezi vozovkou a koly bez prokluzu je fo, koeficient smykového tření při prokluzu je f. Těžiště vozidla je ve výšce h nad úrovní vozovky, ve vzdálenosti b před zadními koly. Určete: 1. Velikost zpomalení az potřebného k zastavení na dráze L 2. Zda dojde k prokluzu zadních kol. 3. Pokud k prokluzu dojde, určete, na jaké dráze L2 vozidlo skutečně zastaví a příslušnou hodnotu zpomalení a2. m = 800 kg
l = 3,4 m
h = 0,8 m
b = 1,6 m
v0 = 70 km/hod
L = 50 m
f0 = 0,65
f = 0,5
T
v0
h b l
moment setrvačnosti válce, tyče 7/2 Válec o poloměru R a hmotnosti m rotuje kolem osy konstantními otáčkami n1. V čase t=0 na něj začne působit brzdný moment, který je funkcí času: Mb = k·t . Určete: 1. Dobu tz do zastavení válce. 2. Kolikrát se válec během brždění otočí. 3. Rychlost v2 bodu na obvodu válce v čase t2 od zahájení brždění. 4. Zrychlení a2 bodu na obvodu válce v témže okamžiku. m = 5 kg
R = 0,5 m
k = 2 N·m·s-1
n1 = 100 ot/min
7/3 Tenká tyč o délce L a hmotnosti m je kloubově uchycena v bodě S. Počáteční poloha tyče je svislá, okamžitá poloha tyče je dána úhlem ϕ (ϕ0 = 0). Na konci tyče je bod A, jehož počáteční rychlost je v0A. Určete velikost konstantního brzdného momentu MB, kterým je třeba rotační pohyb tyče brzdit, aby tyč zastavila v poloze dané úhlem ϕz. m = 3 kg v0 = 3,5 m/s
S
L = 0,6 m ϕz = 60º
10
t2 = 1 s A
T ϕ
L
7/4 (EL_dyn1_05a_A) Bedna o hmotnosti m je tažena dolů po nakloněné rovině dolů silou F. Koeficient smykového tření mezi bednou a podložkou je f. Úhel sklonu nakloněné roviny je β. Určete: 1. Jaké bude zrychlení bedny a. 2. Jakou maximální silou F' je možné bednu táhnout, aniž by se překlopila a jaké bude přitom její zrychlení a'. a = 20 cm
b = 30 cm
c = 80 cm
d = 90 cm
F = 200 N
m = 150 kg
f = 0,2
β = 30°
7/5 (EL_dyn1_05c_A) Letmo uložené kolo je poháněno elektromotorem s lineární charakteristikou (viz. graf závislosti hnacího momentu na otáčkách). Počáteční stav kola je klidový. Moment setrvačnosti kola s hřídelem je I. Určete úhlovou rychlost kola ω1 v čase t1 a počet otočení N1, které kolo za čas t1 vykoná. Mo = 200 Nm ωu = 600 s-1
I = 10 kg m2 t1 = 10 s
Mh M0
ωu
11
ω
8. cvičení - Posuvný a rotační pohyb tělesa 8/1 Soustrojí je tvořeno poháněcím motorem a setrvačníkem, spojenými třecí spojkou. V okamžiku sepnutí spojky se motor otáčí otáčkami nM a setrvačník se otáčí stejným směrem otáčkami nS. Moment setrvačnosti setrvačníku je IS, průměr třecí spojky je D, přítlačná síla na spojce je FP a koeficient smykového tření spojky je f. Určete: 1) Dobu tv, za kterou se otáčky setrvačníku vyrovnají s otáčkami motoru. 2) Počet otočení rotoru motoru NM a setrvačníku NS po dobu vyrovnávání otáček. 3) Práci třecí síly, která se ztratí v podobě zahřátí spojky. Pozn.: Charakteristika motoru je "tvrdá", tzn. otáčky D jsou konstantní nezávisle na zatížení. IM IS nM = 1300 ot/min nS = 250 ot/min IS = 8 kg·m2 D = 200 mm FP = 250 N f = 0,45 8/2 Soustrojí je tvořeno hnacím motorem o momentu setrvačnosti IM a pevně k němu připojeným hnaným strojem o momentu setrvačnosti IR (redukovaném na hřídel motoru). Charakteristika pohonu (závislost hnacího momentu na otáčkách) je lineární. Záběrový moment je M0 (hnací moment při nulových otáčkách), otáčky, při nichž hnací moment klesne na nulu, jsou nn. Na soustrojí působí konstantní zatěžující moment MZ (proti směru pohybu). Určete: 1) Pracovní otáčky np, na nichž se chod stroje ustálí za dostatečně dlouhou dobu. 2) Dobu rozběhu tr, za kterou dojde k ustálení otáček (n=95%np). 3) Kolikrát se stroj v době rozběhu otočí - Nr. Motor se rozbíhá z klidu. IM
2 2. kg. m
IR
2 8. kg. m
Mo
180. N. m
nn
1 1500. ot. min
Mz
60. N. m
8/3 (EL_dyn1_05d_A) Tenká tyč o hmotnosti m a délce L je otočně uložena v kloubu A, který je ve vzdálenosti x od těžiště tyče. Určete: 1. Jaké úhlové zrychlení ε bude tyč mít v okamžiku uvolnění z T m B horizontální polohy. A x 2. Jaká bude rychlost vB a zrychlení aB bodu B na konci tyče ve svislé poloze tyče (po otočení o 90°). L 3. Jaká bude reakce RA v kloubu A v poloze, kdy se tyč otočí o 45°. m = 20 kg L=3m x = 0,5 m 8/4 (EL_dyn1_05e_A) Kvádr o rozměrech a, b a c a měrné hmotnosti ρ se otáčí kolem svislé osy procházející jeho těžištěm.. V čase t = 0 s je jeho úhlová rychlost je ω0. V ložiscích působí momenty čepového tření Mč1 a Mč2. Určete: 1. Za jaký čas tz se kvádr zastaví a kolikrát se v průběhu zastavování otočí (Nz). 2. Rychlost v1 a zrychlení a1 bodů v rozích kvádru v čase t1. a = 80 cm c = 15 cm Mč1 = 3 Nm ρ = 5000 kg/m3
Mč1 ω c
b = 20 cm ω0 = 140 rad/s Mč2 = 5 Nm t1 = 60 s
a b Mč2 12
9. cvičení - Obecný rovinný pohyb tělesa R
9/1 Válec o hmotnosti m a poloměru R leží na nakloněné rovině o úhlu sklonu β. V jistém okamžiku je válec odbržděn a účinkem vlastní tíhy se začne valit po nakloněné rovině. Vypočtěte, jakou rychlost získá a jakou dráhu urazí za čas t1. Dále určete minimální koeficient tření nutný k tomu, aby se válec valil bez prokluzu. m = 37 kg
R = 0,5 m
β = 30º
m
β
t1 = 1 s
9/2 (EL_dyn1_07b_A) F m R
β
Na válec o hmotnosti m a poloměru R stojící na rovině začne působit síla F závislá na čase F=k⋅⋅t. Je zadán poloměr valivého odporu ξ. Určete: 1. V jakém čase t1 bude mít střed válce rychlost v1. 2. V jakém čase t2 by se válec odpoutal od podložky a jakou rychlost v2 by přitom měl střed válce. m = 50 kg R = 0,2 m k = 300 kg m s-3 ξ = 5 mm β = 20° v1 = 0,5 m/s
9/3 Těleso tvaru dle obrázku stojí na nakloněné rovině o úhlu sklonu β. Na menším průměru je navinuto lanko, na které působí svislá síla F. Určete: 1. Směr pohybu tělesa (nahoru nebo dolů). 2. Čas t1, za který těleso urazí dráhu L a rychlost středu tělesa v1 v tomto okamžiku. 3. Minimální koeficient tření fmin nutný k tomu, aby se těleso valilo bez prokluzu. Těleso je vyrobeno z materiálu o měrné hmotnosti ρ. L = 7,6 m d = 100 mm
β = 10º r = 150 mm
R r b bb β
F = 100 N ρ = 920 kg/m3 R = 300 mm
9/4 (EL_dyn1_07a_A) Těleso válcového tvaru leží na nakloněné rovině. Jeho hmotnost je m, poloměr R. V jistém okamžiku dojde k jeho odbrždění a těleso se začne odvalovat směrem dolů po nakloněné rovině. Po uražení vzdálenosti L1 těleso narazí na pružinu tuhosti k, která začne brzdit jeho pohyb. Vypočítejte celkovou vzdálenost L, kterou urazí těleso od okamžiku odbrždění do okamžiku zastavení. Pozn.: Uvažujte lineární pružinu, neuvažujte tření mezi tělesem a koncem pružiny. Mezi tělesem a nakloněnou rovinou nedochází k prokluzu. L1 R
m = 50 kg R = 0,4 m k = 3600 N/m α = 20° L1 = 0,6 m
m k
13
α
9/5 Válec o hmotnosti m a poloměru R je uvázán na pružném lanku (pomocí vidlice procházející osou válce). Je odbržděn v poloze, kdy lanko má svou volnou délku, a začne se valit dolů. Určete, při jakém protažení lanka ∆L se válec (poprvé) zastaví. Pozn.: Pružné lanko považujte za lineární pružinu s konstantou tuhosti k. Nápověda: Když se válec poprvé zastaví, nemusí mít nulové zrychlení (může ještě dojít ke kmitání válce). m = 25 kg
R = 8 cm
β = 30°
k = 800 N/m
14
k m R ,
β
10. cvičení - Dynamika soustav těles - metoda uvolňování 3. písemka - Rotační a obecný rovinný pohyb 10/1 Vypočtěte zrychlení, se kterým se bude po odbrždění pohybovat daná soustava těles. Soustava je tvořena dvěma břemeny o hmotnostech m1 a m2 a kladkou o poloměru rk a hmotnosti mk. Tělesa jsou spojena lanem, jehož hmotnost lze zanedbat. Břemeno m1 je taženo po rovné ploše, součinitel smykového tření mezi břemenem a plochou je f. Tření v čepu kladky zanedbejte. m1 = 80 kg
m2 = 40 kg
mk = 20 kg
rk = 8 cm
m1
rk
m2
f = 0,4
10/2 Na buben o hmotnosti mB a poloměru R je navinuto lano, na jehož konci je zavěšeno břemeno hmotnosti m. Kotouč je uložen na čepu o poloměru rč, součinitel čepového tření je fč. Kotouč je zabržděn. V jistém okamžiku dojde k odbrždění a na kotouč začne působit hnací moment. Určete: mB R 1) Jak velký musí být hnací moment MH, aby se břemeno pohybovalo směrem vzhůru se zrychlením a. Hmotnost lana zanedbejte. 2) Počet otáček, které kotouč vykoná, než břemeno dosáhne rychlosti v1. mB = 30 kg rč = 3 cm
R = 10 cm fč = 0,1
m = 80 kg v1 = 2 m/s
a = 0,5 m/s2 m
10/3 Rotor motoru o momentu setrvačnosti I se otáčí počátečními otáčkami no naznačeným směrem. Je bržděn pásovou brzdou, jejíž rameno má zanedbatelnou hmotnost a na jeho konci je závaží hmotnosti m. Průměr brzdného kotouče je D, koeficient smykového tření mezi brzdným kotoučem a pásem je f. Určete: f ω I 1) Brzdnou dobu tB do zastavení rotoru a počet jeho otočení v průběhu brždění NB. 2) Brzdnou dobu tB1 a počet otočení NB1 při opačném smyslu m rotace. I = 3,5 kg·m2 a = 0,3 m
m = 45 kg D = 0,2 m
f = 0,3 n0 = 1100 ot/min R = 0,7 m
15
a
D R
10/4 Soustava je tvořena motorem, který přes řemenový převod pohání pevnou kladku, na které je zavěšeno břemeno o hmotnosti m. Určete, jaký hnací moment motoru je potřebný k vytahování břemene nahoru se zrychlením a. Jsou zadány poloměry jednotlivých kol a momenty setrvačnosti: hřídel s motorem a menším řemenovým kolem má moment setrvačnosti I1, hřídel s větším řemenovým kolem a kladkou I23. Pasivní odpory zanedbejte. I1 = 0,8 kg·m2 I23 = 0,5 kg·m2 m = 200 kg r1 = 10 cm r2 = 25 cm r3 = 15 cm
I1
I23 r3 r2
r1
m a = 0,5 m·s-2
10/4 (EL_dyn1_09a_A) Břemeno je zvedáno pomocí lana navinutého na bubnu o poloměru R. Buben je poháněn přes jednostupňovou převodovku. Na společné hřídeli s bubnem je ozubené kolo 2 s počtem zubů z2, které zabírá s hnacím ozubeným kolem 1 s počtem zubů z1. Určete, jaké musí být otáčky n1 hnacího kola 1, aby se břemeno pohybovalo vzhůru rychlostí vB. R = 15 cm z1 = 27 z2 = 44 vB = 1,2 m/s
R
z1
z2
16
11. cvičení - Dynamika soustav těles - metoda redukce 11/1 Dvoustupňová převodovka je tvořena pastorkem (1), předlohovým hřídelem s kolem (2) a pastorkem (3) a hnaným hřídelem s kolem (4). Počty zubů jednotlivých ozubených kol jsou z1, z2, z3 a z4. Momenty setrvačnosti jsou I1 (pastorek), I23 (předlohový hřídel) a I4 (hnané kolo). Pracovní otáčky pastorku jsou n1, hnaného kola n4. Na pastorek působí hnací moment MH (ve směru pohybu), na hnané kolo působí odporový moment MZ (proti směru pohybu). Určete velikost hnacího momentu MH potřebnou k tomu, aby se převodovka roztočila z klidu na pracovní otáčky za dobu T. I1 = 1,2 kg·m2 z1 = 18 z3 = 21 n4 = 300 ot/min
I23 = 3 kg·m2 z2 = 50 z4 = 45 MZ = 1500 Nm
I4 = 10 kg·m2 T = 20 s
11/2 Válec o hmotnosti mv a poloměru RV je tažen po rovině s konstantním zrychlením a pomocí vrátku, jehož buben má hmotnost mb, poloměr RB a moment setrvačnosti IB. Z pasivních odporů je uváženo valivé tření mezi válcem a podložkou (rameno valivého odporu ξ), tření mezi lanem a nepohyblivým segmentem (součinitel tření fv), čepové tření v ložiskách bubnu (součinitel čepového tření fč, poloměr čepu rč). Součinitel smykového tření mezi válcem a podložkou je f. Určete: 1) Velikost potřebného hnacího momentu MH na bubnu vrátku. 2) Zda nedojde k prokluzu válce na podložce. mv = 50 kg f = 0,15 fv = 0,5 mB = 45 kg rč = 60 mm a = 0,2 m·s-2
RV
Rv = 180 mm ξ = 4 mm RB = 150 mm IB = 0,4 kg·m2 fč = 0,1
rč RB
11/3 Soustava těles je tvořena válcem o poloměru R a hmotnosti mV, kladkou o poloměru rk a momentu setrvačnosti Ik a břemenem o hmotnosti mB. Určete, s jakým zrychlením se soustava bude po odbrždění pohybovat a za jaký čas tL narazí břemeno do překážky ve vzdálenosti L. mV = 200 kg Ik = 0,1 kg·m2 mB = 40 kg
mV
R rk
mB L
RV = 200 mm rk = 60 mm L=3m
17
11/4 (EL_dyn1_10a_A) Planetová převodovka je tvořena nehybným korunovým kolem, centrálním kolem o poloměru rc a momentu setrvačnosti Ic, planetovým kolem o poloměru rp, které je pevně spojeno s nábojovým kolem o poloměru rb - jejich celková hmotnost je mp a celkový moment setrvačnosti Ip. Spojovací tenká tyč má hmotnost mt. Na centrální kolo působí konstantní hnací moment M proti směru hodinových ručiček. Určete: planetové kolo 1. Úhlové zrychlení centrálního kola εc a zrychlení středu planetového kola ap. nábojové kolo 2. Za jaký čas tr dosáhne planetové kolo spojovací tyč úhlové rychlosti ωpr, je-li počáteční stav klidový. Pozn.: Korunové kolo leží ve vodorovné rovině. Ip = 7 kg·m2 mp = 130 kg rp = 0,35 m rb = 0,15 m ωpr = 300 s-1
Ic = 3 kg·m2 mt = 5 kg rc = 0,22 m M = 100 Nm
centrální kolo korunové kolo
18
12. cvičení - Dynamika soustav těles 12/1 (EL_dyn1_10c_A) Na kladkostroji je zavěšeno břemeno o hmotnosti mb, které se při odbrždění nachází ve výšce h nad zemí. Určete, s jakým zrychlením a se bude břemeno pohybovat a jakou rychlostí vh a za jaký čas th dopadne na zem. Poloměr pevné kladky je r1 a její moment setrvačnosti I1, poloměr volné kladky r2, hmotnost m2 a moment setrvačnosti I2. mb = 150 kg r1 = 20 cm I1 = 0,8 kg·m2 r2 = 8 cm
I1
m2 = 10 kg I2 = 0,03 kg·m2
r1
h=1m I2, m2 r2
mb
12/2 Na kladkostroji jsou zavěšena břemena o hmotnostech m1 a m2. Těleso (1) klesá dolů počáteční rychlostí v0. Určete, jak velkou brzdnou silou je třeba působit na těleso (2), aby těleso (1) urazilo do zastavení dráhu L. m1 = 580 kg rk = 0,1 m
m2 = 235 kg L = 3,8 m
mk = 30 kg v0 = 2,1 m/s
12/3 Břemena o hmotnosti m1 a m2 jsou spojena lanem, které je vedeno přes pevný segment. Soustava je zabržděna v poloze, kdy břemeno m2 je ve výšce h nad zemí. Určete, jaká musí být hmotnost břemene m1, aby břemeno m2 dopadlo na zem čtvrtinovou rychlostí, než jakou by dopadlo ze stejné výšky při volném pádu. Uvažujte smykové tření mezi podložkou a břemenem m1 a vláknové tření na pevném segmentu. m2 = 10 kg
h=2m
f = 0,3
fv = 0,4
19
m1
m2
12/4 Kvádr o hmotnosti m1 leží na nakloněné rovině s úhlem sklonu β. Shora se kvádru dotýká válec o hmotnosti m2 a poloměru R. Určete, zda se po odbrždění dá soustava těles do pohybu. Pokud ano, tak s jakým zrychlením a. Součinitel smykového tření mezi tělesy a podložkou i mezi tělesy navzájem je f. m1 = 10 kg f = 0,15
m2 = 50 kg β = 5º
m2 R m1 β
R = 0,2 m
12/5 (EL_dyn1_10b_A) Ozubené kolo A o poloměru rA a momentu setrvačnosti IA zabírá s ozubeným kolem B o poloměru rB a momentu setrvačnosti IB. Na kolu B je osazení poloměru rc, na kterém je navinuto lanko a na konec lanka je připevněno břemeno hmotnosti m. V čepech ozubených kol uvažujte momenty čepového tření MčA a MčB. Určete: 1. S jakým zrychlením a se bude břemeno pohybovat. 2. Jaká bude rychlost v břemene poté, co po odstranění podložky břemeno urazí dráhu L. m = 30 kg rA = 150 mm rB = 240 mm rC = 60 mm L = 75 cm IA = 0,015 kg·m2 IB = 0,2 kg·m2 MčA = 2 Nm MčB = 4 Nm
20
12/7 Soustava těles je tvořena dvěma tělesy o hmotnostech mA a mB a pevnou kladkou o poloměru R, hmotnosti mk a momentu setrvačnosti Ik. Soustava je zabržděna v poloze, kdy se těleso B dotýká podložky. Určete, s jakým zrychlením a se soustava po odbrždění bude pohybovat a jakou rychlost vA bude mít těleso A v okamžiku, kdy dopadne na podložku. Proti pohybu kladky působí moment čepového tření Mc (poloměr čepu je rc, koeficient čepového tření fc. mA = 20 kg mB = 6 kg 2 Ik = 0,07 kg m R = 8 cm rc = 1 cm fc = 0,15
mk = 2 kg
12/8 Břemeno o hmotnosti m je uvázáno na konci lana, které je navinuto na bubnu o poloměru R. Tato soustava je odbržděna v poloze, kdy se závaží nachází ve výšce h nad zemí. Určete, jaká musí být hmotnost bubnu mB, aby břemeno dopadlo na zem poloviční rychlostí, než jakou by dopadlo při volném pádu. V čepu bubnu uvažujte působení momentu čepového tření Mč. Pozn.: Pro účel výpočtu momentu setrvačnosti bubnu je možné buben považovat za válec. Nápověda: Nejdříve z kinematických vztahů určete, s jakým zrychlením a se břemeno bude pohybovat. m = 5 kg
R = 20 cm
h = 0.6 m
Mč = 6 Nm
12/9 Výtah E je přes kladku, která má poloměr rk a moment setrvačnosti Ik, spojen s protizávažím C o hmotnosti mc. Hmotnost výtahu spolu s pasažérem je mE. Určete hnací moment MH, který musí vyvinout motor M, aby se výtah rozjížděl nahoru se zrychlením a. Na společné hřídeli s motorem je buben o poloměru rB, na kterém je navinuto lano, na kterém se spouští výtah. Společný moment setrvačnosti motoru a bubnu je IM. mE = 800 kg Ik = 0.6 kg m2 a = 0,3 m/s2 21
mC = 600 kg rB = 10 cm
rk = 15 cm Im = 2 kg m2
12/10 Setrvačník o poloměru R a hmotnosti m je poháněn motorem přes řemenový převod. Řemenové kolo na společné hřídeli s motorem má poloměr r, společný moment setrvačnosti motoru a řemenového kola je Im. Počáteční stav soustavy je klidový. Určete velikost konstantního hnacího momentu motoru MH potřebného k tomu, aby poté, co se setrvačník N krát otočí, byla jeho úhlová rychlost ωN. ms = 50 kg Im = 6 kg m2
R = 20 cm N = 15
r = 5 cm ωN = 420 ot/min
12/11
Dvě tělesa o hmotnostech mA a mB jsou spojena lanem, které je vedeno přes kladku o poloměru r a hmotnosti mk. Koeficient smykového tření mezi tělesem A a nakloněnou rovinou je f, v čepu kladky uvažujte moment čepového tření Mc. Soustava je odbržděna v poloze, kdy těleso B je ve výšce h nad zemí. Určete, s jakým zrychlením a se soustava bude pohybovat a jakou rychlostí v dopadne těleso B na zem. mA = 70 kg mB = 90 kg r = 10 cm Mc = 4 Nm β = 40° f = 0,15
13. cvičení 4. písemka - Dynamika soustav těles
22
mk = 30 kg h = 1,5 m
"Vstupní" příklady k opravným písemkám 1. a 2. písemka
5a Na rotačně uloženém disku je položeno těleso hmotnosti m ve vzdálenosti r od svislé osy otáčení. Disk se začne otáčet z klidu s konstantním úhlovým zrychlením α. Klidový koeficient smykového tření mezi tělesem a diskem je fo. Určete, za jaký čas t1 se začne těleso posouvat po disku a jaká bude přitom úhlová rychlost disku ω1. m = 5 kg
r = 0,2 m
α = 5 s-2
f0 = 0,5
6a Koule o hmotnosti m klouže po vedení, které má čast ve tvaru kruhového oblouku o poloměru R a část vodorovnou. Celé vedení leží ve svislé rovině. Obloukovou část považujte za dokonale hladkou; tření na vodorovné části je určeno koeficientem smykového tření f. Určete: 1) Jakou vzdálenost d urazí koule na vodorovné části vedení, než zastaví. 2) Jakou silou N bude vedení působit na kouli v okamžiku, kdy se bude nacházet ve vzdálenosti h pod místem, odkud byla vypuštěna. m = 1,5 kg
R=2m
f = 0,1
h=1m
7a Koule o hmotnosti m je připevněna na laně délky R. Pohybuje se tak, že ve svislé rovině opisuje kružnici. V horní poloze (ϕ = 90o) je rychlost koule v. Určete rychlost koule a napětí v laně ve dvou polohách: ϕ = 45o a ϕ= o 270 . m = 5 kg
R=2m
v = 5 m/s
23
2a
A
B
Určete velikost sil F a S, kterými působí kruhová drážka a vodorovná tyč na objímku A o hmotnosti m v okamžiku, kdy objímka B na svislé tyči je ve výšce y, pohybuje se nahoru rychlostí vy a její okamžité zrychlení je ay. Poloměr kruhové drážky je r. y = 100 mm mm/s2 mA = 0,4 kg
r
vy = 600 mm/s
ay = -200
r = 300 mm
8a Koule o hmotnosti m je pomocí dvou lanek připevněna ke svislé tyči. Při rotaci kolem svislé osy tyče jsou lanka napnuta. Určete: 1. Napětí S1 a S2 v obou lankách, je-li úhlová rychlost rotace tyče ω1. 2. Úhlovou rychlost ω2, pro kterou bude spodní lanko natažené, ale nebude namáháno žádnou silou.
m = 10 kg a = 50 cm 10cm
ω = 5 s-1 b = 60 cm
c = 50 cm
d=
9a Koule o hmotnosti m je připevněna na tyči zanedbatelné hmotnosti a je přidržována lankem. Určete napětí S v tyči: 1. Když je koule v poloze zobrazené na obrázku. 2. Bezprostředně poté, co je lanko přestřiženo. 3. V okamžiku, kdy koule dosáhne nejnižší polohy. m = 3 kg
L=2m
24
10a Kvádr o hmotnosti m leží na dokonale hladkém rámu, který je rotačně uložen. V klidovém stavu je pružina prodloužena o délku ∆l a je namáhána silou Fd. Určete: 1. Sílu P, kterou působí zarážka na kvádr, když se rám otáčí kolem svislé osy konstantní úhlovou rychlostí ω. 2. Při jaké úhlové rychlosti ω1 nebude zarážka na kvádr působit žádnou silou? 3. O jakou vzdálenost s se posune kvádr, budeli se rám otáčet úhlovou rychlostí ω2?
m = 5 kg
L=1m
ω0 = 30 ot/min
Fd = 80 N
25
∆l = 10 cm
ω2 = 5 rad/s
3. a 4. písemka Buben o poloměru rb je na společné hřídeli s ozubeným kolem (1) s počtem zubů z1 a modulem ozubení mo. Toto ozubené kolo zabírá s ozubeným kolem (2) s počtem zubů z2. Na společné hřídeli s kolem (2) je řetězové kolo (3) o poloměru r3, které je řetězem spojeno s řetězovým kolem (4) o poloměru r4. Řetězové kolo (4) je na společné hřídeli s elektromotorem. Na bubnu je navinuto lano, na jehož konci je zavěšeno břemeno hmotnosti mt. Moment setrvačnosti hřídele s elektromotorem a řetězovým kolem (4) je I4, moment setrvačnosti hřídele s řetězovým kolem (3) a ozubeným kolem (2) je I2, moment setrvačnosti hřídele s bubnem a ozubeným kolem (1) je Ib. Záběrový moment motoru je konstantní. Proti pohybu bubnu působí moment čepového tření Mčt. Určete: 1. Velikost záběrového momentu Mh1 elektromotoru tak, aby se břemeno pohybovalo směrem vzhůru se zrychlením a. 2. Velikost záběrového momentu Mh2 pro rovnoměrný pohyb směrem dolů. První úkol řešte metodou uvolňování i metodou redukce, výsledky porovnejte.
1a mt = 95 kg mo = 8 mm
rb = 0,32 m Ib = 4,3 kg m2
z1 = 30 I2 = 2 kg m2
Ib rb
I2 z1
z2 = 50 I4 = 5 kg m2
z2 r3
r3 = 0,18 m Mct = 10 Nm
r4 = 0,1 m a = 0,1 ms-2
I4 r4
mt
2a Těleso o hmotnosti mt je uváděno do pohybu tahem lana mt navíjejícího se na buben o hmotnosti mb a poloměru rb. Buben je poháněn elektromotorem přes převodový f mechanismus tvořený řetězovým převodem s řetězovými koly (1) a (2) a ozubeným převodem s koly (3) a (4). Jsou zadány momenty setrvačnosti a poloměry jednotlivých kol. Hnací moment Mh motoru je konstantní, jeho moment setrvačnosti je Im. Koeficient smykového tření mezi tělesem a podložkou je f. Při výpočtu zahrňte vliv čepového tření Mct v čepu bubnu, ostatní pasívní odpory zanedbejte. Zanedbejte i momenty setrvačnosti lana, řetězu a hřídelí. Určete: 1. Zrychlení a, se kterým se těleso bude pohybovat 2. Dobu tL, za kterou se těleso přesune o vzdálenost L. (Počáteční stav je klidový). První úkol řešte metodou uvolňování i metodou redukce, výsledky porovnejte.
mt = 100 kg mb = 200 kg Im = 5 kg m2 rb = 0,5 m f = 0,1 r1 = 8 cm r2 = 14 cm r3 = 26 cm r4 = 35 cm L=1m I1 = 0,008 kg m2 I2 = 0,071 kg m2 I3 = 1,127 kg m2 I4 = 3,701 kg m2
26
rč
rb r4
r3 r2
r1
Mct = 10 Nm Mh = 60 Nm
3a Břemeno C je zvedáno pomocí řemenového převodu. Na řemenové kolo A působí hnací moment M, kolo má hmotnost mA a poloměr rA. Řemenové kolo B spolu s bubnem, na kterém je navinuto lano, mají společnou hmotnost mB a poloměr setrvačnosti iB. Poloměr kola B je rB a poloměr bubnu rb. Hmotnost břemene zavěšeného na laně je mC. Hmotnost kladky je mk, poloměr kladky rk, moment setrvačnosti kladky ik. V čepu kola A působí moment čepového tření McA, v čepu kola B a bubnu moment čepového tření McB a v čepu kladky moment čepového tření Mck. Určete: 1. Zrychlení a, se kterým se břemeno C bude pohybovat. 2. Za jaký čas t1 se břemeno zvedne o výšku h, pokud pohyb začne z klidu, a jakou rychlost v1 přitom bude mít. První úkol řešte metodou uvolňování i metodou redukce, výsledky porovnejte.
mA = 15 kg rA = 100 mm M = 100 Nm
mB = 75 kg rB = 200 mm McB = 4 Nm
mC = 150 kg rb = 100 mm McA = 0,9 Nm
mk = 10 kg rk = 80 mm Mck = 0,5 Nm
iB = 150 mm h=1m
ik = 70 mm
4a Těleso C o hmotnosti mC je na svém menším průměru připevněno pružinou ke stěně a na svém větším průměru má navinuto lano, které je vedeno přes kladku a na jehož volném konci je zavěšeno břemeno A o hmotnosti mA. Menší průměr tělesa C je d, větší průměr je D, poloměr setrvačnosti je iC, tuhost pružiny je k, hmotnost kladky je mk, poloměr kladky rk a v čepu kladky působí moment čepového tření Mct. Koeficient smykového tření mezi tělesem a podložkou je f. Určete: 1. Jaké zrychlení a bude mít břemeno A v poloze, kdy bude pružina protažena o délku ∆l. 2. Zkontrolujte, zda se v této poloze těleso C valí bez prokluzu. První úkol řešte metodou uvolňování i metodou redukce, výsledky porovnejte.
mA = 15 kg iC = 20 cm
mC = 12 kg d = 10 cm
mk = 5 kg D = 30 cm
k = 2 N/mm rk = 10 cm
27
∆l = 5 cm f = 0,25
Mct = 0,2 Nm
