DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE

Závěrečná výzkumná zpráva z řešení projektu FRVŠ 2282/2003/G1

DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ

Michal HAJŽMAN Miroslav BYRTUS Vladimír ZEMAN

Katedra mechaniky, Univerzitní 22, 30614, Plzeň

Leden 2004

1

OBSAH

Obsah 1 Úvod

2

2 Dynamická analýza ozubeného převodu 2.1 Matematický model ozubeného převodu . . . . . . 2.2 Modální analýza linearizovaného modelu . . . . . 2.3 Podmínky stálého záběru . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Modální analýza . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Extrémy deformací ozubení a oblast ztráty 2.4.3 Numerické řešení nelineárního modelu . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . silového záběru . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

3 4 7 7 8 9 9 9

3 Dynamická analýza převodových ústrojí 3.1 Matematický model . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Modální analýza linearizovaného modelu . . . . 3.3 Podmínky stálého záběru . . . . . . . . . . . . . 3.4 Ustálená dynamická odezva převodového ústrojí 3.5 Aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Modální analýza . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Mapa ztráty silového záběru v ozubení . 3.5.3 Numerické řešení nelineárního modelu . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

12 12 14 14 15 16 17 17 17

4 Optimalizace převodových ústrojí 4.1 Optimalizace převodových ústrojí z hlediska potlačení ustálené odezvy . . 4.2 Numerické experimenty na testovací převodovce . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Dílčí závěry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 22 25

Příloha - Rezonanční tabulka

28

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

1 ÚVOD

1

2

Úvod

Tato závěrečná výzkumná zpráva shrnuje hlavní výsledky řešení rozvojového projektu Fondu rozvoje vysokých škol číslo 2282 řešeného v roce 2003 spadajícího do tematického okruhu a specifikace G1 a (Tvůrčí činnost studentů doktorských studijních programů technických oborů) s názvem Dynamická analýza a optimalizace převodových ústrojí. Na řešení se podíleli studenti doktorského studijního oboru Aplikovaná mechanika na Katedře mechaniky FAV ZČU v Plzni Ing. Michal Hajžman (řešitel) a Ing. Miroslav Byrtus (první spoluřešitel) a akademický pracovník, školitel obou doktorandů, Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc. (druhý spoluřešitel). Hlavním cílem řešení projektu bylo rozšíření metody modální syntézy na rozsáhlé systémy s nelineárními vazbami, algoritmizace postupů a vyvinutí speciálních programů použitelných pro dynamickou analýzu a optimalizaci převodových ústrojí s uvažováním možné ztráty silového záběru v ozubení. Za tímto účelem byl nejprve vytvořen model páru vnitřně buzených spoluzabírajících ozubených kol, který sloužil k hlubšímu pochopení probíhajících dějů v ozubeném převodu a k vylepšení metodiky modelování nelineárního zubového záběru s možnou ztrátou kontaktu pracovních boků zubů. Byla vypracována metoda určování stálého silového záběru ozubených kol a dále byla řešena odezva nelineárního modelu páru ozubených kol metodou přímé integrace. Metodika modelování a způsob analýzy vibrací byly dále zobecněny pro rozsáhlé rotující systémy s nelinearitami ve vazbách uvažované včetně statorové části, které jsou modelovány pomocí metody modální syntézy s kondenzací. Takovými systémy jsou právě převodová ústrojí s možnou ztrátou silového záběru v ozubení uvažovaná včetně skříně. Výzkumná zpráva se dále zabývá optimalizací vybraných konstrukčních parametrů převodových ústrojí z hlediska potlačení ustálených vibrací vybuzených vnitřními zdroji buzení. Na základě popsané metodiky bylo vytvořeno vlastní programové vybavení v systému MATLAB, které umožňuje řešit úlohy týkající se modelu páru ozubených kol. Zpracováno bylo rovněž obecné programové vybavení pro modelování převodových ústrojí pomocí metody modální syntézy s kondenzací, modální analýzu převodových ústrojí, vyšetřování ustálené odezvy, určování oblastí stálého silového záběru, vyšetřování časové odezvy nelineárního modelu převodového ústrojí s možností ztráty silového záběru v ozubení a optimalizaci z hlediska potlačení ustálené odezvy. Programové vybavení je aplikováno na ozubený převod s konkrétními parametry a na jednoduchou modelovou převodovku. Výsledky vybraných analýz a výpočtů jsou vždy uvedeny na konci příslušných kapitol.

3

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU

2

Dynamická analýza ozubeného převodu

Ozubené převody jsou vedle vnějších zdrojů buzeny vnitřními zdroji generovanými v záběrech ozubených kol. Ozubená kola jsou v rychlootáčkových pohonových soustavách nejčastěji čelní se šikmými zuby a lze proto předpokládat jako dominantní zdroj buzení kinematické úchylky ozubení. Dynamické vlastnosti ozubených převodů jsou zpravidla výrazně ovlivněny výrobními úchylkami a výškovou modifikací ozubení [2]. Vyjdeme-li z předpokladu zanedbání vlivu kmitání ozubených kol na polohu záběrového bodu, můžeme kinematické úchylky ozubení při jmenovitém statickém zatížení považovat za periodické funkce času s periodou záběru. Ve výpočtovém modelu budeme kinematické úchylky simulovat vsouváním fiktivního klínu o šířce ∆z (t) mezi ideální evolventní spoluzabírající boky zubů (obr. 1). Ve většině prací týkajících se vnitřní dynamiky ozubených převodů se předpokládá zachování kontaktu „pracovníchÿ boků zubů (tzv. nepřerušený záběr typu a). Při relativně malém vnějším statickém zatížení může být kontakt přerušen a relativní pohyb boků zubů hnacího a hnaného kola na záběrové přímce zasahuje do oblasti boční vůle (záběr typu b) nebo může dojít po vymezení vůle uz i ke kontaktu „nepracovníchÿ boků zubů (záběr typu c).

M2 . −ω 2 + ϕ2 a

2

Fz

∆ z (t) a 2

k (t) F

c z c

Fz a

k 1 (t) 1

uz

M1 . ω 1 + ϕ1

(e)

Fz F

a z

a

Fz

a

k z (t) dz uz

c z

k (t) c

Fz

Obrázek 1: Schéma zubového záběru Hlavním cílem této kapitoly je uvést metodu pro modelování kmitání páru ozubených kol pevně nasazených na krátkých ohybově i torzně tuhých hřídelích uložených na poddajných valivých ložiskách (obr. 2). Matematický model v maticové formě respektuje prostorový pohyb obou ozubených kol, změnu tuhosti ozubení střídáním m a m + 1 párů zubů

4


v záběru, gyroskopické účinky a všechny tři možné fáze kontaktu zubů. Hřídele ozubených kol jsou spojeny torzně poddajnými hřídeli s rotujícími kotouči pohonového ústrojí. Předpokládáme, že pohyb kotoučů (krajních řezů hřídelů) není ovlivněn rozkmitáním ozubeného převodu. Model umožňuje analyzovat vliv vnitřních kinematických, vnějších kinematických, parametrických a vnějších silových zdrojů buzení. Pokud kotouče, mezi něž je ozubený převod vřazen, rotují rovnoměrně, pak úhlové rychlosti ω1 a ω2 jsou konstantní a torzní předepnutí ozubeného převodu je definováno konstantními úhly ∆ϕ1 a ∆ϕ2 . Zvláštní zřetel dále uvedené metodiky je kladen na budoucí její zobecnění na převodová ústrojí, kdy je nutné respektovat ohybovou i torzní poddajnost hřídelů, interakci hřídelů se skříní a více párů ozubených kol.

2.1

Matematický model ozubeného převodu

Ozubený převod (dále systém) dekomponujeme na hřídel s hnacím ozubeným kolem (subsystém j = 1) a na hřídel s hnaným ozubeným kolem (subsystém j = 2). Vychýlení subsystémů z polohy, kdy ložiska i pracovní boky zubů jsou nedeformované a v dotyku, vyjádříme vektory zobecněných souřadnic q j = [ u j v j w j ϕ j ϑ j ψ j ]T ,

j = 1, 2 .

(2.1)

Pohybové rovnice subsystémů lze za daných předpokladů zapsat v maticovém tvaru (horní znaménko platí pro j = 1 a dolní pro j = 2) ¨ j (t) + (B j ± ωj Gj )q˙ j (t) + K j q j (t) = ∓Fz δ j + f j (t) , M jq

j = 1, 2 ,

(2.2)

kde M j , B j , K j jsou symetrické matice hmotnosti, tlumení a tuhosti řádu 6 a Gj je antisymetrická matice gyroskopických účinků téhož řádu subsystému j rotujícího úhlovou rychlostí ωj . Vektory f j (t) vyjadřují vnější silové zatížení subsystémů. Pokud respektujeme jen torzní předepnutí ozubeného převodu, lze je vyjádřit ve tvaru f j (t) = [ 0 0 0 kj (∆ϕj − ϕj ) + bj (∆ϕ˙ j − ϕ˙ j ) 0 0 ]T ,

j = 1, 2.

(2.3)

Členy obsahující ϕj , ϕ˙j lze převést na levou stranu pohybové rovnice a doplnit tak matice tlumení a tuhosti subsystémů B j , K j na B ?j , K ?j . Po této úpravě přejdou vektory f j (t) v (2.2) do tvaru f ?j (t) = [ 0 0 0 kj ∆ϕj + bj ∆ϕ˙ j 0 0 ]T , j = 1, 2. (2.4) Pokud úhly ∆ϕj jsou danými funkcemi času, systém je zvnějšku kinematicky buzen. Síla přenášená ozubením Fz soustředěná do centrálního záběrového bodu je obecně nelineární funkcí deformace ozubení ve směru normály k bokům zubů dz = δ T1 q 1 (t) − δ T2 q 2 (t) + ∆z (t)

(2.5)

případně i rychlosti deformace ozubení d˙z , kde vektory δ 1 a δ 2 geometrických parametrů ozubených kol jsou dány výrazy uvedenými na str. 264 v [10]. Souřadnice těchto vektorů je však nutné psát v pořadí 1,2,6,3,5,4, které odpovídá pořadí zobecněných souřadnic v (2.1).

5

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU z2 yi υi −ω 2 t + ϕ 2

β

k2

Si

S2

−( ω 2 t − ∆ϕ 2 )

vi

ψi

γ

ui

wi

xi ϕi

zi S1

k1 β

ω1 t + ϕ 1

ω 1 t + ∆ϕ 1

z1

Obrázek 2: Elastická síla v ozubení Kinematická úchylka ozubení ∆z (t) za daných zjednodušujících předpokladů může být aproximována Fourierovou řadou ∆z (t) =

K X k=1

S ∆C z,k cos k ωz t + ∆z,k sin k ωz t ,

(2.6)

S kde ∆C z,k resp. ∆z,k jsou amplitudy k-té harmonické složky úchylky ozubení měřené na záběrové přímce v zubovém záběru z a ωz je příslušná zubová frekvence ωz = z1 ω1 = z2 ω2 . (e) Elastickou složku síly v ozubení v daném časovém okamžiku Fz (dz , t) můžeme přibližně popsat lineární lomenou funkcí (obr. 1), kde uz představuje boční vůli ozubení na záběrové přímce a směrnice šikmých přímek vyjadřují tuhosti ozubení kza (t) ve fázi záběru a resp. kzc (t) ve fázi záběru c. Zanedbali jsme vliv rozkmitání ozubeného převodu na polohu záběrového bodu a závislost tuhosti ozubení na změně zatížení. Elastickou sílu v ozubení lze pak vyjádřit analyticky ve tvaru

Fz(e) (dz , t) = kza (t)dz − kza (t)dz H(−dz ) + kzc (t)(dz + uz )H(−dz − uz ) ,

(2.7)

kde H je Heavisideova funkce. Poznamenejme, že pro dz < −uz (fáze záběru c) se mění struktura vektorů δ 1 a δ 2 geometrických parametrů ozubených kol ve smyslu změny znamének souřadnic 1,3,4,6 obou vektorů [10]. Celkovou sílu přenášenou ozubením, za předpokladu viskózního tlumení ozubení charakterizovaného koeficientem bz , vyjádříme ve tvaru Fz = kza (t)dz + bz d˙z + fz (dz , t) ,

(2.8)

kde jsme zavedli nelineární složku síly fz (dz , t) = −kza (t)dz H(−dz ) + kzc (t)(dz + uz )H(−dz − uz ) .

(2.9)

6


Zaveďme dále globální vektor q(t) zobecněných souřadnic systému a globální vektor c z geometrických parametrů ozubených kol v záběru " # −δ 1 q 1 (t) , cz = . (2.10) q(t) = q 2 (t) δ2 Celkovou sílu přenášenou ozubením lze pak přepsat do tvaru ˙ z ] + fz (dz , t) . ˙ +∆ Fz = k a (t)[−cT q(t) + ∆z ] + bz [−cT q(t) z

z

(2.11)

z

Matematický model systému (2.2) lze zapsat jako E a ˙ ˙ M q¨ (t)+(B+B z +ωG)q(t)+(K+K z (t))q(t) = [kz (t)∆z (t)+bz ∆z (t)+fz (dz , t)]cz +f (t) , (2.12) kde ? G1 0 X1 0 f 1 (t) ? ? E pro X = M , B , K , G = , X= , f (t) = 0 − rr12 G2 0 X2 f ?2 (t)

K z (t) = kza (t)cz cTz ,

B z = bz cz cTz .

Jeho speciálními tvary jsou: a) model lineární časově invariantní pro kz (t) ≡ kz0 a min dz > 0 (trvale ve fázi záběru t

a při konstantní tuhosti ozubení),

b) model lineární časově variantní (parametrický) pro min dz > 0 (trvale ve fázi záběru t

a), c) model nelineární se ztrátou kontaktu zubů a překmitáváním do oblasti boční vůle pro −uz < min dz < 0 (střídavě ve fázích záběru a, b), t

d) model nelineární se ztrátou kontaktu zubů a vymezováním vůle pro min dz < −uz t

(kombinace fází záběru a, b, c). V modelu (2.12) se vyskytují zdroje buzení: a) vnější kinematické popsané vektorem f E (t), b) parametrické vyjádřené v čase periodicky proměnnou tuhostí ozubení kz (t) = kz0 +

K X k=1

C S kz,k cos kωz t + kz,k sin kωz t

c) vnitřní kinematické úchylkou ozubení ∆z aproximované Fourierovou řadou (2.6). Matematický model (2.12) umožňuje analyzovat vliv jednotlivých i kombinovaných zdrojů buzení na dynamické vlastnosti ozubeného převodu. Základními charakteristikami jsou časový průběh deformace ozubení dz (t), fázová trajektorie deformace ozubení, orbity středů ozubených kol v rovině yz a zejména závislost maximální deformace ozubení na zubové frekvenci ωz (obdoba amplitudové charakteristiky nelineárního modelu).

7


2.2

Modální analýza linearizovaného modelu

Provedením modální analýzy konzervativního linearizovaného časově invariantního modelu systému ¨ (t) + (K + K z ) = 0 , Mq (2.13) přičemž pro matici popisující linearizovanou zubovou vazbu platí K z = kz0 cz cTz , získáme modální matici V a spektrální diagonální matici Λ, jejíž prvky jsou kvadráty vlastních frekvencí. V případě, kdy má tlumení významný vliv na chování systému, je modální analýza prováděna na nekonzervativním linearizovaném časově invariantním modelu ˙ + (K + K z )q(t) = 0 , M q¨ (t) + (B + B z + ωG)q(t)

(2.14)

ve stavovém prostoru. Zavedeme-li stavový vektor q(t) u(t) = , ˙ q(t) můžeme model (2.14) přepsat do stavového prostoru ve tvaru N u(t) ˙ + P u(t) = 0 . Matice N a P mají tvar 0 M , N= M B + B z + ωG

P =

−M 0 0 K + K z (t)

(2.15)

.

Na základě znalosti vlastních frekvencí, vlastních tvarů a buzení systému popsané polyharmonickou řadou, můžeme určit teoretické rezonanční stavy, kdy některá z harmonických složek buzení rezonuje s příslušnou vlastních frekvencí.

2.3

Podmínky stálého záběru

Pro praxi je velmi důležité určit podmínky pro stálý záběr pracovních boků zubů (záběr typu a). Zanedbáme-li parametrický zdroj buzení a za předpokladu konstantních úhlů předepnutí ozubeného převodu ∆ϕ1 , ∆ϕ2 , vektor f E (t) je v čase konstantní f E (t) = f 0 = [ 0 0 0 k1 ∆ϕ1 0 0 0 0 0 k2 ∆ϕ2 0 0 ]T . Matematický model (2.12) přejde v režimu stálého záběru do tvaru ˙ z (t)]cz + f 0 , ˙ + (K + K z )q(t) = [kz ∆z (t) + bz ∆ M q¨ (t) + (B + B z + ωG)q(t)

(2.16)

kde kz je střední tuhost ozubení. Řešení lze hledat ve tvaru součtu statické a kmitavé složky q(t) = q 0 + q dyn (t), kde vektor q 0 = (K + K z )−1 f 0

(2.17)

8


popisuje statickou rovnovážnou polohu kinematicky ideálního systému. Z pohybové rovnice (2.16) pro kmitavou složku pohybu dostaneme ˙ z (t)]cz . (2.18) M q¨ dyn (t) + (B + B z + ωG)q˙ dyn (t) + (K + K z )q dyn (t) = [kz ∆z (t) + bz ∆ e(t) a komplexních Pohybovou rovnici přepíšeme zavedením vektoru komplexních výchylek q e z (t) do tvaru kinematických úchylek ∆ ¨ (t) + (B + B z + ωG)q e z (t) + bz ∆ e˙ z (t)]cz , e e˙ (t) + (K + K z )e Mq q (t) = [kz ∆

e z (t)}. Zřejmě podle (2.6) přičemž q dyn = Re{e q (t)} a ∆z (t) = Re{∆ K X

e z (t) = ∆

k=1

e z,k eikωz t , ∆

(2.20)

ez,k eikωz t , q

(2.21)

e z,k = ∆C − i∆S . Partikulární řešení rovnice (2.24) hledejme ve tvaru kde ∆ z,k z,k e(t) = q

K X k=1

kde pro komplexní amplitudy výchylek platí

(2.19)

e z,k . ez,k = [−M k 2 ωz2 + (B + B z + ωG)ik ωz + K + K z ]−1 cz (kz + ikωz bz )∆ q

(2.22)

Reálný vektor kmitavých složek výchylek je q dyn (t) = Re{e q (t)} =

K X

(Re{e q z,k } cos kωz t − Im{e q z,k } sin kωz t) .

(2.23)

k=1

Podmínka stálého záběru v ustáleném stavu je podle (2.5) a (2.10) vyjádřena výrazem min

t∈<0,10Tz >

dz (t) =

v závislosti na otáčkách n =

2.4

30ω π

min

t∈<0,10Tz >

{−cTz [q 0 + q dyn (t)] + ∆z (t)} > 0

(2.24)

hnacího hřídele.

Aplikace

Metoda je testována na soustavě složené z páru ozubených kol uložených na valivých ložiskách (obrázek 2). Ozubený převod je kinematicky buzen úchylkou ozubení ve tvaru Fourierovy řady. Po vytvoření matematického a následně výpočtového modelu v programovém systému MATLAB byly získány následující výstupy.

9

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 2.4.1

Modální analýza

Výsledky modální analýzy jsou uvedeny v tabulce 1, v níž fν představuje ν-tou vlastní frekvenci, dz je deformace ozubení odpovídající příslušnému vlastnímu tvaru kmitu, α a β jsou reálná a imaginární část vlastního čísla nekonzervativního modelu pro koeficient proporcionálního tlumení ložisek βL = 5 · 10−6 a koeficient viskózního tlumení zubové vazby bz = 1.63 · 103 . ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fν [Hz] 176 541 548 809 810 871 958 1416 1446 1550 1711 4589

dz [m] 0 −4.1 · 10−3 0 −3.71 · 10−3 0 −0.0277 0 0.0422 0 0.0681 0 1.411

αν [Hz] 0.01 9 9 21 21 25 29 63 66 76 92 287

βν [Hz] 176 541 548 808 809 871 958 1414 1444 1548 1709 4580

Tab. 1: Výsledky modální analýzy konzervativního a nekonzervativního modelu pro n = 500 1/min.

2.4.2

Extrémy deformací ozubení a oblast ztráty silového záběru

Pro ilustraci jsou na obr. 3 znázorněny extrémy deformací ozubení ozubeného převodu při dvou různých statických předepnutích v závislosti na otáčkách hnacího hřídele 1. Při velkém statickém předepnutí (∆ϕ1 = ∆ϕ2 = 0.01 rad) je oblast stálého záběru až do otáček . 1 n = 1800 min . Při malém předepnutí (∆ϕ1 = ∆ϕ2 = 0.001 rad) je stálý záběr narušen již . 1 při malých otáčkách n = 400 min . To je zobrazeno na „mapěÿ ztráty silového záběru na obr. 4 v rovině n, ∆ϕ (∆ϕ = ∆ϕ1 = ∆ϕ2 ), kde tmavá oblast odpovídá stálému záběru, světlá oblast kmitání se ztrátou silového záběru. 2.4.3

Numerické řešení nelineárního modelu

Chování ozubeného převodu při nesplnění podmínky (2.24), kdy může docházet ke střídání typu záběru a, b, c, je nutné vyšetřovat na modelu (2.12) metodou přímé integrace při počátečních kinematických podmínkách q(0) = q 0 ,

˙ q(0) = 0.

10

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU −6

10

x 10

8

∆ϕ = 0.01 rad ∆ϕ = 0.001 rad

deformace ozubení

6

4

2

0

−2

PSfrag replacements −4

−6

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

otáčky 1/min Obrázek 3: Extrémy deformace zubového záběru −3

06 1e−

2e −

06

2e−06 1e−06 6

6

−0

−0

1e

1e

1e−06

06 1e−

4

1e−06

5

06

6

6

−0

2e

6

2e−06

2e−0

7

1e−06

∆ϕ = ∆ϕ1 = ∆ϕ2

6

8

3

PSfrag replacements

−0

2e−06

9

6

3e−

3e

1e−

06

x 10

2e−0

10

2 1

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

otáčky 1/min Obrázek 4: Mapa ztráty silového záběru Numerickými experimenty byla prověřena odezva systému při konstantních provozních otáčkách hnacího kola n = 2000 ot/min v rozsahu předepnutí ozubeného převodu ∆ϕ ∈ h10, 100i. Vůle v ozubení byla volena uz = 40 µm na základě geometrických parametrů ozubení. Na obr. 5 jsou ve fázové rovině zobrazeny ustálené fázové trajektorie

11

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 0.5

frag replacements

rychlost deformace ozubení


0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −6


−2

0

2

0

−0.5 −6

−5

x 10

deformace ozubení

−4

x 10

0.15



2 −5

(b) ∆ϕ = 0.004

0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −6

0

deformace ozubení

(a) ∆ϕ = 0.001

frag replacements

−2


−2

deformace ozubení (c) ∆ϕ = 0.0082

0

2 −5

x 10

0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 −2

0

2

4

6

deformace ozubení

8

10 −6

x 10

(d) ∆ϕ = 0.0083

Obrázek 5: Ustálené fázové trajektorie deformace ozubení deformace ozubení pro vybrané statické předpětí. Z grafů fázových trajektorií je patrné, že při malé změně předepnutí z hodnoty ∆ϕ = 0.0082 rad na hodnotu ∆ϕ = 0.0083 rad dojde ke kvalitativní změně průběhu deformace ozubení. Pro ∆ϕ ∈ h1; 8, 2i · 10−3 dochází k překmitávání přes vůli a k nárazu nepracovních boků zubů (kombinace záběru typu a, b, c), kdežto pro ∆ϕ ∈ h8, 3; 10i · 10−3 dochází pouze k překmitávání do vůle (kombinace záběru typu a, b). Další kvalitativní charakteristikou odezvy systému je analýza periody odezvy vůči periodě buzení, resp. vůči periodám buzení v případě víceharmonického buzení. Metodou Poincarého zobrazení [11] byly provedeny řezy v časových hladinách s krokem ∆t = T 1 , kde T1 je perioda první harmonické složky buzení. Tyto řezy jsou na obr. 5 zobrazeny body, které navzájem splývají, což znamená, že perioda odezvy je shodná s periodou buzení. To platí i při kvalitativní změně pohybu popsané výše.

12

3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ

Veškeré časové průběhy byly získány Runge-Kuttovou metodu přímé integrace čtvrtého řádu implementovanou v programovém systému MATLAB 6.5.

3

Dynamická analýza převodových ústrojí

V této kapitole bude předchozí metodika zobecněna pro převodová ústrojí uvažovaná včetně statorové části s možnou ztrátou silového záběru v ozubení. Matematický model bude vytvořen pomocí metody modální syntézy s kondenzací (viz například [14]), která dovoluje modelovat velmi rozsáhlé mechanické systémy dekomponovatelné na subsystémy. Jednou z výhod této metody je, že každý subsystém lze modelovat pomocí jiného programového prostředku dokonce na oddělených pracovištích. Výsledný kondenzovaný model může být poté analyzován s využitím osobního počítače se standardními parametry.

3.1

Matematický model

Převodové ústrojí je dekomponováno na statorovou část a vnitřní rotující vestavbu, která se dále skládá z jednotlivých rotujících hřídelů vázaných ke skříni valivými ložiskovými vazbami a propojených mezi sebou zubovými vazbami. Celý systém je složen z N subsystémů. Uvolněné hřídele rotující úhlovými rychlostmi ωj jsou označeny jako subsystémy j = 1, 2, . . . , N − 1 a skříň je označena jako subsystém j = N , pro nějž platí ωN = 0. Hřídele se diskretizují na konečné dvouuzlové hřídelové prvky a ozubená kola jsou reprezentována jejich hmotností a momenty setrvačnosti (viz [10]). Tvarově složitou skříň je zpravidla nutné modelovat pomocí metody konečných prvků s využitím objemových a skořepinových konečných elementů v některém komerčním MKP systému (ANSYS, MARC, COSMOS/M, SYSTUS, . . . ). Po diskretizaci můžeme matematický model systému dekomponovaného na N subsystémů zapsat (viz [10]) ve tvaru C ¨ j (t) + (B j + ωj Gj )q˙ j (t) + K j q j (t) = f E M jq j (t) + f j ,

j = 1, 2, . . . , N ,

(3.1)

kde M j , B j , Gj a K j jsou čtvercové matice hmotnosti, tlumení, gyroskopických účinků a tuhosti subsystémů, které jsou stejného řádu nj jako dimenze vektoru zobecněných souřadnic subsystému q j (t). Vektor f E j (t) popisuje vnější silové či kinematické buzení. Interakci mezi subsystémy konfiguračním prostoru daným vektorem v globálním zobecněných souřadnic q(t) = q j (t) vyjadřuje globální vektor vazbových sil f C = f C ve tvaru j C

˙ − K B q(t) + f (t) = −B B q(t)

Z X

˙ , cz Fz (t, q, q)

(3.2)

z=1

kde B B a K B jsou matice tlumení a tuhosti linearizovaných valivých ložiskových vazeb (blíže viz [15]). Vektory cz jsou vektory sestavené na základě geometrických parametrů ozubených kol (viz [10]). Sílu přenášenou ozubením z lze zapsat ve tvaru ˙ = kz (t)dz + bz d˙z + fz (dz , t) , Fz (t, q, q)

(3.3)

13


kde kz (t) je časově proměnná tuhost ozubení, bz je koeficient vizkózního tlumení ozubení. Nelineární síla fz (dz , t) vyjadřuje vliv přerušení silové záběru. Deformaci ozubení dz vyjádříme výrazem dz = −cTz q(t) + ∆z (t) , (3.4) který obsahuje kinematickou úchylku ozubení ∆z (t). Nyní zavedeme transformace q j (t) = m V j xj (t) pro j = 1, 2, . . . , N a mj < nj , přičemž m V j ∈ Rnj ,mj jsou modální submatice složené z vybraných vlastních vektorů rozpojených netlumených subsystémů. Model (3.1) lze přepsat s využitím této transformace do kondenzovaného tvaru ¨ (t) + (D + ω0 G + V T B B V + V T B G V )x(t)+(Λ ˙ x + V T K B V + V T K G (t)V )x(t) = Z P = V T [f E (t) + f G (t) + cz fz (dz , t)] . z=1

Model je sestaven v novém konfiguračním prostoru dimenze m = určen vektorem x(t) = [xj (t)]. Matice D = diag(m V j T B j m V j ) ,

G = diag(

ωj m T m V j Gj V j ) , ω0

P

(3.5) mj , m n, který je

V = diag(m V j )

(3.6)

jsou blokově diagonální a Λ = diag(m Λj ) je diagonální matice složená ze spektrálních submatic m Λj ∈ Rmj ,mj rozpojených netlumených subsystémů. Matice m V j , m Λj splňují podmínky ortonormality m

V j M j mV j = I j ,

m

V j K j m V j = m Λj ,

j = 1, 2, . . . , N .

(3.7)

Referenční úhlová rychlost ω0 je zpravidla úhlová rychlost vstupního hřídele. Vzájemná interakce mezi hřídeli prostřednictvím zubových vazeb je vyjádřena maticemi tuhosti a tlumení zubových vazeb K G (t) =

Z X

kz (t)cz cTz ,

z=1

BG =

Z X

bz cz cTz ,

(3.8)

z=1

vektorem vnitřního buzení v zubových vazbách f G (t) =

Z X

˙ z (t)]cz [kz (t)∆z (t) + bz ∆

(3.9)

z=1

PZ a nelineárním vektorem z=1 cz fz (dz , t) reprezentujícím vliv přerušení silového záběru v ozubení. Sestavený kondenzovaný model je silně nelineární a obsahuje několik zdrojů buzení. Zdroje buzení a speciální tvary matematického modelu lze shrnout analogicky jako v předchozí kapitole pro nelineární model zubového záběru.


3.2

14

Modální analýza linearizovaného modelu

Linearizovaný časově invariantní konzervativní model, který lze použít pro modální analýzu, má tvar ¨ (t) + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = 0 , x (3.10) kde časově proměnné tuhosti ozubení byly v maticích tuhosti zubových vazeb nahrazeny konstantními středními tuhostmi ozubení. V případě uvažování tlumení a gyroskopických účinků je nutné linearizovaný časově invariantní nekonzervativní model ¨ (t) + (D + ω0 G + V T B B V + V T B G V )x(t) ˙ x + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = 0

(3.11)

přepsat do stavového prostoru dimenze 2n podobně jako v předchozí kapitole. Více o modální analýze například v [10].

3.3

Podmínky stálého záběru

V této části budeme pracovat s linearizovaným kondenzovaným modelem převodového ústrojí ¨ (t) + (D + ω0 G + V T B B V + V T B G V )x(t) ˙ x T T + (Λ + V K B V + V K G V )x(t) = V T [f E + f G (t)] .

(3.12)

Vektor f E , který reprezentuje torzní předepnutí převodového ústrojí, je sestaven podobně jako v (2.4). Řešení této pohybové rovnice lze rozepsat na součet statické a dynamické složky x(t) = x0 + xdyn (t) . (3.13) Statické řešení je dáno vztahem −1 T x0 = Λ + V (K B + K G ) V V Tf E

(3.14)

Dynamickou složku xdyn (t) vypočítáme jako reálnou část komplexních výchylek ve tvaru e (t) = x

Z X K X z=1 k=1

e z,k eikωz t . x

(3.15)

e z,k , Podobně jako u páru ozubených kol po vyjádření neznámých komplexních amplitud x z partikulárního řešení kondenzovaného modelu (3.12) dostaneme e (t) } = xdyn (t) = Re{ x

Z X K X z=1 k=1

e z,k } cos kωz t − Im{ x e z,k } sin kωz t) . (Re{ x

(3.16)

15

3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ Transformacemi q 0 = V x0 a q dyn = V xdyn a z podmínky min dz (t) = min

t∈h0,Tv i

t∈h0,Tv i

n

−

cT z

q 0 + q dyn (t) + ∆z (t)

o

> 0.

(3.17)

určíme oblasti stálého silové záběru v ozubení z v závislosti na provozních parametrech. Čas Tv , který určuje délku ustálené dynamické odezvy systému pro nalezení extrému, je závislý na budicí frekvenci. Naší snahou je navrhnout tento časový okamžik co nejkratší, aby se minimalizoval výpočetní čas, ale současně aby odezva obsahovala všechny fáze ustáleného kmitání, které je vybuzeno polyharmonicky. Testovací výpočty ukazují, že postačující je hodnota Tv = 10 Tmax , kde Tmax je perioda harmonické složky buzení s nejmenší frekvencí.

3.4

Ustálená dynamická odezva převodového ústrojí

Důležitým zdrojem vnitřního buzení jsou chyby v zubovém záběru způsobené například výrobními či montážními nepřesnostmi. Vektor vnitřního buzení v Z zubových záběrech je vyjádřen ve tvaru (3.9). Pro účely odvození ustálené dynamické odezvy na toto buzení vyjdeme z linearizovaného kondenzovaného modelu (3.12) pro f E = 0 ¨ (t) + (D + ω0 G + V T B B V + V T B G V )x(t) ˙ x + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = V T f G (t)

(3.18)

a z kinematické úchylky ve tvaru (2.20) složené z harmonických složek s frekvencí rovnou k e z,k . Analogicky ve tvaru (3.15) násobku zubové frekvence ωz o komplexních amplitudách ∆ vyjádříme hledané partikulární řešení popisující ustálené vibrace. Neznámé komplexní ame z,k vypočítáme po dosazení vztahů (3.15), (2.20) a (3.9) do rovnice plitudy výchylek x ez,k = [ qiz,k ] (3.18), viz například [10], [14]. Komplexní amplitudy zobecněných výchylek q ustálené odezvy v původním konfiguračním prostoru dostaneme po modální transformaci ez,k = V x e z,k . q

(3.19)

Současně je vhodné zavést také horní efektivní odhad amplitudy i-té zobecněné výchylky v u Z K uX X z,k |qi |2 (3.20) qˆi (n) = t z=1 k=1

jako funkci referenčních otáček n. Zubová frekvence ωz je se vstupními otáčkami n spjata vztahem πn ωz = p z ω0 = p z , (3.21) 30 kde pz je převodový poměr mezi zubovou frekvencí a úhlovou frekvencí vstupního hřídele.


16

Deformace převodového ústrojí při ustálených vibracích je možné kvantifikovat také zavedením amplitud skalární potenciální (deformační) energie převodovky při buzení ktou harmonickou složkou úchylky v zubovém záběru z 1 T Ez,k (n) = xH Λ + V (K + K ) V xz,k , (3.22) B G 2 z,k a je-li to potřeba, lze zavést rovněž deformační energii vybraného subsystému j 1 (j) H (j) (j) Ez,k (n) = xz,k m Λj xz,k . 2

(3.23)

Analogicky se vztahem (3.20) pro zobecněné výchylky lze vypočítat horní efektivní odhady pro deformační energie v u Z K uX X ˆ |Ez,k |2 . (3.24) E(n) =t z=1 k=1

V [10] a [14] jsou zavedeny další veličiny vhodné k popisu ustálené odezvy převodového ústrojí, jako třeba amplitudy deformace ozubení a ložisek, síly přenášené ozubením či reakce v ložiskách. Poslední důležitou veličinou, která by měla být zavedena v tomto odstavci, jsou tzv. rezonanční otáčky nz,k,ν . Jedná se o otáčky vstupního hřídele, při nichž k-tá harmonická složka kinematické úchylky v zubovém záběru z rezonuje s ν-tou vlastní frekvencí systému. To lze zapsat vztahem Ων = kωz a po dosazení z (3.21) nz,k,ν =

3.5

30 Ων . πk pz

(3.25)

Aplikace

Pro testovací úlohy byla využita dvouhřídelová modelová převodovka s jedním zubovým záběrem a čtyřmi valivými ložiskovými vazbami, jejíž model byl převzat z publikace [6].

Obrázek 6: Schematické znázornění testovací převodovky.

17


Schematicky je testovací převodovka znázorněna na obr. 6. Subsystém skřín (j = 3) byl modelován v systému ANSYS, hřídelové subsystémy (j = 1, 2) a následně celý model převodového ústrojí byly modelovány vlastním programovým vybavením v systému MATLAB. 3.5.1

Modální analýza

Byly prováděny různé modální analýzy různých modelů celého systému i subsystémů. Většina výsledků těchto analýz sloužila hlavně pro verifikaci programového vybavení a hlubší pochopení chování modelového převodového ústrojí. Tabulka obsahující vlastních frekvence fν v Hertzích konzervativního modelu převodovky, teoretické rezonanční otáčky (3.25) a deformační energie (3.22) je uvedena v příloze. 3.5.2

Mapa ztráty silového záběru v ozubení

0.12

05

1.3e−

1e−

7e

06

−0

6

1e−

1e−05

6

05

0.09

−0

PSfrag replacements

5

−0

1e

1.3e

4e

6

−0

6

4e

7e−06

7e−06

−0

0.06

1e

∆ϕ = ∆ϕ1 = ∆ϕ2

−05

7e− 06 4e−06 1e−06

Mapa ztráty silového záběru v ozubení modelové převodovky v závislosti na počátečním statickém torzním předpětí ∆ϕ a otáčkách vstupního hřídele je na obrázku 7.

06

4e− 0.03

4e−06 06

1e− 0.01 10

1e−06 500

1000

1500

2000

2500

Otáčky [1/min] Obrázek 7: Mapa ztráty silového záběru pro modelovou převodovku.

3.5.3

Numerické řešení nelineárního modelu

Na modelu (3.5) byla vyšetřena odezva systému metodou přímé numerické integrace při konstantních provozních otáčkách hnacího hřídele n = 1500 ot/min pro různé hodnoty statického předepnutí ∆ϕ a pro zvolenou vůli v ozubení uz = 40 µm. Na obrázku 8 jsou ve fázové rovině zobrazeny ustálené fázové trajektorie deformace ozubení pro vybraná statická předepnutí. Bylo zjištěno, že v případě respektování tuhosti hřídelů, na nichž jsou ozubená kola nasazena, vymizí ostrá kvalitativní změna chování systému, která se projevila ve výsledcích získaných pro model páru ozubených kol. Časové průběhy byly získány Runge-Kuttovou metodu přímé integrace čtvrtého řádu implementovanou v programovém systému MATLAB 6.5.

18

0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −8


−4

−2

0

2


PSfrag replacements



4

0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −5

−4

−3

−2

−1

0

−5

deformace ozubení [µm]

x 10



(b) ∆ϕ = 0.015 rad

0.04

0.02

0

−0.02

−0.04 0

1

2 −5

(a) ∆ϕ = 0.01 rad

PSfrag replacements

1

2

3

4 −6


x 10

(c) ∆ϕ = 0.018 rad

Obrázek 8: Ustálené fázové trajektorie deformace ozubení

x 10

4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ

4

19

Optimalizace převodových ústrojí

Optimalizace, při níž klademe na výsledné vlastnosti mechanického systému určité požadavky, je jedním z hlavních smyslů matematického modelování. Snažíme se najít algoritmy dovolující různými způsoby hledat modifikované parametry systému tak, aby měl systém z námi preferovaného pohledu optimální vlastnosti. Jestliže máme vytvořen postačující parametrizovaný matematický model mechanického systému a jsou provedeny potřebné analýzy, dalším logickým krokem je optimalizace. Potom je nutné zamyslet se nad různými specifickými problémy vyvstávajícími při návrhu optimalizační úlohy. Jedním z těchto problémů je volba cílové (kriteriální) funkce a na to navazující výběr optimalizační metody a parametrů výpočtu. V této kapitole jsou zavedeny různé typy cílových funkcí pro konkrétní úlohu minimalizace ustálených vibrací převodových ústrojí. Převodové ústrojí je uvážováno jako komplexní mechanický systém složený z vnitřní rotující vestavby provázané se statorovou částí (skříní) pomocí pružně-viskózních ložiskových vazeb. Výsledný kondenzovaný model dovoluje analyzovat kmitání rotorové i statorové části převodovky. Jsou zde porovnány výsledky optimalizačních úloh při použití různých typů cílových funkcí a různých optimalizačních metod.

4.1

Optimalizace převodových ústrojí z hlediska potlačení ustálené odezvy

Cílem konstruktérů je navrhnout převodové ústrojí tak, aby mělo pro daný rozsah provozních otáček dobré dynamické vlastnosti. Hlavní snahou je zejména potlačit ustálené vibrace, které způsobují nadměrné chvění a s tím spojený hluk a snižující se životnost stroje. Jedná se tedy o úlohu minimalizace ustálené dynamické odezvy převodového ústrojí. Jestliže máme vytvořen postačující matematický model (3.12) a odvozenu ustálenou odezvu (3.15), dalším důležitým krokem je volba cílové funkce optimalizační úlohy. Tato volba mimo jiné závisí na použitém výpočtovém prostředí a na implementovaných metodách matematické optimalizace. Nejpřirozenější volbou je výběr cílové funkce složené přímo z amplitud ustálených zobecněných výchylek či jejich horních efektivních odhadů (3.20). Uvědomíme-li si, kolik zobecněných souřadnic mají rozsáhlé modely, a že je naším cílem postihnout větší interval otáček, je jasné, že počet výchylek, které by bylo nutné zahrnout do této kriteriální funkce, by byl příliš velký. Proto je výhodnější najít takovou veličinu, která vyjadřuje úroveň kmitání systému pro jedny referenční otáčky, a která je pokud možno skalární. Toto kritérium splňuje například deformační (potenciální) energie (3.22), jenž popisuje jednou skalární hodnotou úroveň deformací mechanického systému pro jedno konkrétní buzení a vybrané otáčky. Protože pracujeme s lineárním systémem, můžeme pro buzení různými harmonickými složkami kinematického buzení a stále stejné otáčky použít rovněž horní efektivní odhady (3.24). V následujících úvahách budeme předpokládat, že chceme minimalizovat ustálené vibrace celé převodovky. Proto budeme pracovat s deformační energií převodového ústrojí vyjádřenou vztahem (3.22) a jejími horními efektivními odhady. Jestliže by


20

bylo naším cílem minimalizovat ustálené vibrace vybraného subsystému nebo skupiny subsystémů, použili bychom pouze jiné vyjádření deformační energie podle (3.23) a všechny ostatní úvahy by dále zůstaly v platnosti. Původní optimalizační (návrhové, konstrukční) parametry ps , s = 1, 2, . . . , S, na nichž závisí hodnota cílová funkce, převedeme na relativní optimalizační parametry vůči původním hodnotám ps0 těchto parametrů na startu p¯s =

ps , ps0

s = 1, 2, . . . , S ,

a sdružíme je do vektoru p¯ = [ p¯s ]. Takto zavedené relativní parametry přinášejí celou řadu výhod, od lepší přehlednosti při vyhodnocování výsledků optimalizace, přes lepší numerický výpočet citlivostí, až po lepší numerickou stabilitu. Jestliže označíme množinu omezujících podmínek O, pomocí níž zavádíme pro návrhové parametry triviální nerovnicová omezení s dolními závorami p¯sd a s horními závorami p¯sh , můžeme obecně definovat optimalizační úlohu se zatím blíže neurčenou cílovou funkcí min ψ(¯ p) , O = p¯s ∈ , s = 1, 2, . . . , S | p¯sd ≤ p¯s ≤ p¯sh . (4.1) p ¯∈ O

Uveďme si nyní šest různých typů cílových funkcí pro úlohu minimalizace ustálených vibrací převodových ústrojí v provozním režimu n ∈ h n0 − ∆n, n0 + ∆n i .

(4.2)

(A) Skalární cílová funkce pro jedny provozní otáčky n0 ˆ 0 , p) ψ(p) ¯ = E(n ¯ . Jedná se o nejjednoduší kriteriální funkci, jejíž výpočet klade nejmenší nároky na čas. Vybrané provozní otáčky n0 jsou zpravidla otáčky uprostřed předpokládaného úzkého provozního intervalu (∆n n0 ) u stacionárních převodových ústrojí nebo otáčky, při kterých nabývá horní efektivní odhad deformační energie maxima. Při použití této cílové funkce se snažíme minimalizovat ustálenou odezvu pouze při vybraných otáčkách a doufáme, že se sníží také odezva v okolí vybraných otáček. Někdy je tato strategie správná a v některých případech se naopak objeví nový rezonanční vrchol v sousední oblasti. (B) Skalární cílová funkce pro více provozních otáček X ˆ i , p) ψ(¯ p) = gi E(n ¯ . i

Tato cílová funkce má tvar váženého součtu horních efektivních odhadů deformačních energií převodovky pro více vybraných provozních otáček z intervalu (4.2). Váhy g i volíme podle toho, zda chceme preferovat určité otáčky či určitý podinterval z vybraných otáček. Výběr otáček ni provádíme podle vlastního uvážení opět podle toho,

21


v které části provozní oblasti (4.2) chceme nejvíce minimalizovat ustálenou odezvu. Běžně se volí tyto otáčky ekvidistantně rozložené po celém intervalu s krokem δn, což lze zapsat vztahem ni = n0 − ∆n + i δn ,

kde i = 0, 1, . . . ,

2∆n . δn

Nevýhody i výhody výběru této kriteriální funkce jsou zřejmé. Její vícekriteriálnost a případný velký počet zahrnutých horních efektivních odhadů ztěžují optimalizační výpočet a prodlužují potřebný čas. Můžeme si být naopak jisti, že při malém kroku δn se nám ve sledovaném intervalu neobjeví vlivem změny parametrů při optimalizaci jiný rezonanční vrchol, který nebude zahrnut do procesu minimalizace. To je samozřejmě při správném navržení vybraných otáček ni velká výhoda. (C) Vektorová cílová funkce pro více provozních otáček h i ˆ i , p) ψ(¯ p) = gi E(n ¯ .

Jestliže máme k dispozici prostředky pro řešení optimalizačních úloh s vektorovou cílovou funkcí, můžeme použít formulaci cílové funkce ve tvaru vektoru složeného, stejně jako v předchozím případě, z vážených hodnot horních efektivních odhadů deformačních energií pro více vybraných otáček. Pro volbu otáček platí vše, co bylo napsáno v předchozím případě (B). Výhody a nevýhody jsou téměř stejné, ale u cílové funkce (C) lze lépe kontrolovat minimalizaci energií pro jednotlivé provozní otáčky, protože jsou všechny hodnoty seřazeny do vektoru, jehož prvky se minimalizují, a nejsou sečteny pouze do jedné skalární hodnoty.

(D) Skalární cílová funkce pro jedny rezonanční otáčky nz,k,ν ψ(p) ¯ = Ez,k (nz,k,ν , p) ¯ . Tato i následující cílové funkce už nejsou složeny z horních efektivních odhadů, ale přímo z deformačních energií (3.22). Výběr energií Ez,k (nz,k,ν , p) ¯ je založen na předpokladu, že existují teoretické rezonanční otáčky nz,k,ν , viz (3.25), při nichž k-tá harmonická složka kinematické úchylky v zubovém záběru z rezonuje s ν-tou vlastní frekvencí. Před startem optimalizační úlohy je nutné vypočítat hodnoty energií Ez,k (nz,k,ν , p¯0 ) pro všechny nz,k,ν spadající do intervalu provozních otáček (4.2) a vybrat takové z, k a ν, pro něž nabývají deformační energie největších hodnot. Do cílové funkce (D) je poté zahrnuta pouze energie s maximální hodnotou na počátku, odpovídající největšímu rezonačnímu vrcholu. V každém výpočtu cílové funkce se nejprve musí provádět modální analýza systému a pro určené k, z a ν vypočítat otáčky nz,k,ν . Výhodou této kriteriální funkce je opět rychlost jejího výpočtu, protože se počítá pouze jedna deformační energie, ale to je naopak její slabinou, jelikož po změně parametrů se může změnit poloha rezonačního vrcholu a může začít rezonavat jiná vlastní frekvence Ων .

22

4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ (E) Skalární cílová funkce pro více rezonančních otáček X ψ(¯ p) = gz,k,ν Ez,k (nz,k,ν , p) ¯ . z,k,ν

Pro zlepšení efektivnosti optimalizace v intervalu rezonančních otáček je výhodné volit cílovou funkci jako vážený součet deformačních energií pro více rezonančních otáček. Tyto otáčky lze volit například tak, že vybereme všechny nz,k,ν , které spadají do provozního intervalu. Tím nám sice vzroste výpočetní čas, ale na druhou stranu minimalizujeme energie pro všechny rezonanční stavy z provozního intervalu. (F) Vektorová cílová funkce pro více rezonančních otáček ψ(¯ p) = [ gz,k,ν Ez,k (nz,k,ν , p) ¯ ]. Stejně jako u cílových funkcí (B) a (C), lze také vážené energie u cílové funkce (E) sdružit do vektoru a sestavit tak vektorovou cílovou funkci (F). Výhody této volby oproti volbě (E) jsou analogické jako v případech (B) a (C). Všechny výše uvedené cílové funkce jsou nelineární, proto musíme mít na paměti, že je nutné použít pro výpočet metody nelineární matematické optimalizace. Námi použité metody jsou popsány v následujícím odstavci. Není také nezbytně nutné volit vazební podmínky pro parametry pouze ve tvaru triviálních omezení, ale je možné, jestliže to dovoluje optimalizační metoda, vybrat jakákoliv jiná omezení požadovaná z konstrukčního hlediska. Jednou z metod pro vylepšení optimalizačního výpočtu, která zde nebyla zmíněna, je tzv. několikaetapové řešení. Optimalizační úloha se řeší v několika krocích, přičemž na startu nového kroku se vždy znovu vyhodnotí maxima deformačních energií a formuluje se nová optimalizační funkce. Chceme-li vybrat z množiny všech návrhových parametrů jenom ty parametry, na jejichž změnu je cílová funkce nejvíce citlivá, je vhodné použít citlivostní analýzu. Analytickým metodám určení citlivosti vlastních čísel rozsáhlých rotujících systémů se věnuje publikace [12], toho lze částečně využít při výběru parametrů pro cílové funkce (D), (E) a (F). Analyticky lze rovněž odvodit vztahy pro citlivost deformační energie na změnu návrhových parametrů. Touto problematikou by se měla zabývat některá z dalších publikací.

4.2

Numerické experimenty na testovací převodovce

Pro numerické testování byla využita modelová převodovka. Výsledný kondenzovaný model, který byl použit pro numerické testování, měl 220 stupňů volnosti (m1 = 60, m2 = 60, m3 = 100). Kinematická úchylka v zubové záběru byla aproximována třemi harmonickými složkami o amplitudách ∆1,1 = 1 · 10−6 m ,

∆1,2 =

∆1,1 , 2

∆1,3 =

∆1,1 . 3

23


Provozní interval otáček vstupního hřídele byl zvolen v rozmezí n ∈ h 2800, 3200 i, tedy podle (4.2) platí n0 = 3000 ot./min a ∆n = 200 ot./min . Pro optimalizační výpočty jsme použili Optimalizační toolbox MATLABu [8], který obsahuje velmi propracované nástroje pro nelineární optimalizaci. Úlohy se skalárními cílovými funkcemi byly řešeny pomocí procedury fmincon a úlohy s vektorovými cílovými funkcemi pomocí procedury fminimax. Obě optimalizační procedury dovolují zavedení všech typů vazbových podmínek včetně nelineárních, jsou založeny na metodách sekvenčního kvadratického programování, více viz [8], a hledají pouze lokální minima kriteriální funkce. Na počátku optimalizace lze volit konstanty řídící ukončování výpočtu a různé jiné řídící parametry. Procedura fminimax, která řeší úlohu minimaxu, dovoluje uživateli určit počet maxim z vektoru cílové funkce, jež se budou při výpočtu minimalizovat. Vstupní (index j = 1) a výstupní (j = 2) hřídel byly diskretizovány na 28 dvouuzlových hřídelových konečných prvků. Na obr. 6 jsou označeny číslem pouze uzly těchto konečných prvků a pro označení prvků platí, že e-tému konečnému prvku na prvním hřídeli přísluší uzly e a e + 1 a e-tému konečnému prvku na druhém hřídeli přísluší uzly e + 15 a e + 16. Jestliže označíme průměr e-tého konečného prvku na j-tém hří(j) deli jako De , lze zavést návrhové parametry DI – DV I tak, aby v nich byly zahrnuty požadavky na rovnost vybraných průměrů v optimalizačním procesu. V našem případě (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) jsme zvolili DI = D1 = D2 = D13 = D14 , DII = D3 = . . . = D6 = D9 = . . . = D12 , (1) (1) DIII = D7 = D8 . První skupina DI zahrnuje užší krajní části hřídele, druhá skupina DII silnější střední část hřídele bez dvou prostředních prvků pod nábojem nalisovaného ozubeného kola a třetí skupina DIII označuje právě zbývající dva konečné prvky pod ozubeným kolem. Analogicky jsou zavedeny tři skupiny DIV , DV a DV I u druhého hřídele. Dalšími optimalizačními parametry je tuhost ozubení kG a tuhosti ložisek kB1 , kB2 , kB3 a kB4 . Tuhostí ložiska zde rozumíme hlavní tuhost ve směru statického zatížení. Vedlejší příčná tuhost a případná axiální tuhost jsou s hlavní tuhostí svázány přes proporcionální koeficienty. Všechny vyjmenované parametry byly zahrnuty do vektoru relativních optimalizačních parametrů p. ¯ Triviální omezení kladené na tyto parametry jsou shrnuty v tab. 2. Během optimalizace se neměnily poměrné útlumy definující materiálové tlumení jednotlivých subsystémů a rovněž stejné jako na startu zůstávaly koeficienty tlumení ozubení a ložiskových vazeb. V systému MATLAB byly implementovány všechny cílové funkce popsané v předchozím odstavci. Výsledné hodnoty optimalizačních parametrů z testovacích úloh jsou zapsány v tab. 3. V tabulce je dále uveden počet vyčíslení cílové funkce během jednotlivých výpočtů feval a výsledný čas výpočtu tv . Váhy gi a gz,k,ν byly ve všech případech rovny jedné. Tab. 2: Horní a dolní závory pro triviální omezení návrhových parametrů. ¯I D

¯ II D

¯ III D

¯ IV D

¯V D

¯V I D

k¯G

k¯B1

k¯B2

k¯B3

k¯B4

p¯ds

0, 9

0, 9

0, 9

0, 9

0, 9

0, 9

0, 5

0, 5

0, 5

0, 5

0, 5

p¯hs

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

2

2

2

2

2

24


Tab. 3: Hodnoty vybraných návrhových parametrů, časy výpočtů a počty výčíslení cílové funkce po optimalizaci s různými cílovými funkcemi. (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

¯I D ¯ II D

0,9

1,041

0,9

0,951

1

0,949

0,9

0,9

0,9

0,933

0,9

0,9

¯ III D ¯ IV D

1,1

0,9

1,016

1,1

1,1

1,1

0,9

1,074

0,914

0,901

0,9

0,933

¯V D ¯V I D

0,9

1,1

0,954

0,904

0,91

0,993

1

1,099

1,099

0,9

0,965

0,999

k¯G k¯B

0,568

0,504

0,524

0,5

0,5

0,571

1,553

2

1,322

0,92

1,563

1,387

k¯B2 k¯B

1,649

0,786

0,879

0,5

1,994

1,018

2

1,837

1,649

0,972

1,36

1,364

k¯B4

0,75

0,584

0,959

0,798

1,929

1,562

feval

341

578

411

167

667

309

3

88,3

123

6

55,8

25,5

1

3

tv [min]

Cílová funkce v případě (A) měla tvar horního efektivního odhadu deformační energie pro otáčky n = 3178 1/min, což jsou otáčky, při nichž nastává pro startovací parametry maximální rezonanční stav. Do cílové funkce (B) byly zahrnuty horní efektivní odhady pro otáčky z provozního intervalu převodovky s krokem δn = 10 1/min a do vektorové cílové funkce (C) s krokem δn = 5 1/min. Navíc byla v případě (C) zvolena minimalizace sta maximálních hodnot z vektoru cílové funkce. Po analýze rezonačních stavů byla do kriteriální funkce (D) vybrána energie Ez,k (nz,k,ν ) pro z = 1, k = 2 a ν = 98, což na startu odpovídá otáčkám nz,k,ν = 3178 1/min. V cílových funkcích (E) a (F) byly zahrnuty energie pro všechny teoretické rezonanční otáčky nz,k,ν spadající do provozního intervalu. Těchto otáček bylo celkem 66 a v případě funkce (F) bylo minimalizováno všech 66 prvků z vektoru cílové funkce. Z tabulky je vidět, že pro každý typ cílové funkce nalezly optimalizační procedury jiné hodnoty výsledných návrhových parametrů. To je dáno samozřejmě rozdílností cílových funkcí a také tím, že procedury z Optimalizačního toolboxu hledají pouze lokální minima. Přesto lze u některých parametrů vysledovat určitý trend, například tuhost ozubení k G by měla být pro snížení ustálené odezvy celého převodového ústrojí menší. Výsledné časy výpočtů (na PC s procesorem Intel Pentium 4 1,8 GHz a pamětí 512 MB) splňují teoretická očekávání, snad jen v případě (F) bylo dosaženo ukončovací podmínky po výrazně kratším čase a méně iteracích. Pro důsledné porovnání všech cílových funkcí bylo zapotřebí vykreslit průběh amplitudových charakteristik deformační energie na širším intervalu otáček. Tři cílové funkce jsou takto porovnány v grafu na obr. 9. Z tohoto srovnání vychází nejlépe cílová funkce typu (E), naopak nejméně efektivní je optimalizace typu (D), kde se už těsně


25

za provozním intervalem otáček objevuje menší rezonanční vrchol. Ze všech provedených testovacích výpočtů a srovnání lze učinit několik závěrů a doporučení. Jestliže nepožadujeme velkou efektivnost minimalizace, zajímá nás pouze úzký provozní režim otáček a požadujeme rychlý výpočet, jsou nejlepší cílové funkce (A) a (D). Chceme-li minimalizovat na širším intervalu otáček s velkou efektivností minimalizace, jsou lepší ostatní cílové funkce. Výhodnější je vždy použít spíše vektorovou cílovou funkci, jsouli k dispozici příslušné metody. Rovněž je výhodnější použít cílové funkce typu (E) a (F), v kterých jsou zahrnuty přímo rezonanční otáčky, a máme jistotu, že nám neunikne žádný rezonanční vrchol v důsledku špatně zvoleného kroku δn u cílových funkcí (B) a (C).

4.3

Dílčí závěry

V přechozích odstavcích jsou popsány různé typy cílových funkcí, které jsou využitelné při minimalizaci ustálené dynamické odezvy převodových ústrojí na buzení kinematickými úchylkami v ozubení. Převodová ústrojí jsou zde uvažována včetně rotorové i statorové části. Cílové funkce jsou navrženy pomocí deformačních energií a jejich horních efektivních odhadů, ale uvedené závěry lze zobecnit také na kriteriální funkce stejných typů obsahující jiné dynamické veličiny, například amplitudy síly přenášené ozubením. Provedené numerické experimenty ukázaly, že chceme-li efektivně minimalizovat ustálenou odezvu na širším intervalu provozních otáček, je nutné použít cílovou funkci složenou z více deformačních energií při různých otáčkách. Výhodný se ukázal především přístup přes teoretické rezonanční otáčky, definované v (3.25). −3

ˆ Deformační energie E(n) [J]

7

x 10

6

5

Před optimalizací Po optimalizaci (C) Po optimalizaci (D) Po optimalizaci (E)

4

3

PSfrag replacements

2

1

0 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500

Otáčky n [1/min]

Obrázek 9: Srovnání výsledků minimalizace deformační energie při ustálených vibracích testovací převodovky pro různé volby cílové funkce.

LITERATURA

26

Literatura [1] Byrtus, M.: Modelling of gearboxes with time dependent meshing stiffness. In Zeszyty naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej, zeszyt nr 21, Proceedings of the conference Applied Mechanics 2003, Jaworzynka, Poland, 2003, pp. 25-30, ISBN 83-917224-3-0. [2] Doležal Z.: Modelování dynamických jevů v záběru moderního čelního ozubení. Výzkumná zpráva VZLÚ - TURBOMOTOR s.r.o. V-018/95, Praha 1995. [3] Dresig, H.: Schwingungen mechanischer Antriebsysteme. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2001. [4] Hajžman, M.: Příspěvek k optimalizaci převodových ústrojí. In Sborník konference Výpočtová mechanika 2003, Západočeská univerzita v Plzni, Plzeň, 2003, pp. 95-104, ISBN 80-7082-999-0. [5] Hajžman, M. — Zeman, V. — Byrtus, M.: Forced vibrations of gearboxes with time dependent meshing stiffnesses. In PAMM — Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics , vol. 3, Wiley-VCH Verlag, Weinheim, 2003, pp. 102-103, ISSN 1617-7061. [6] Kato, M. and kol.: Evaluation of sound power radiated by a gearbox. In Proccedings of the International Gearing Conference 1994, University of Newcastle upon Tyne, 1994, pp. 69–74. [7] Krämer, E.: Dynamics of Rotors and Foundations. Springer-Verlag, Berlin, 1993. [8] Optimization Toolbox User’s Guide. Mathworks, Inc., electronic documentation. [9] Rivin, E.I.: Stiffness and Damping in Mechanical Design. Marcel Dekker, Inc., New York, Basel, 1999. [10] Slavík, J. — Stejskal, V. — Zeman, V.: Základy dynamiky strojů. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1997. [11] Thompson J. M. T., Stewart H. B.: Nonlinear Dynamics and Chaos. John Wiley & Sons, 2002. [12] Zeman, V., Byrtus, M., Hajžman, M.: Eigenvalues sensitivity of the large rotating systems. Proceedings of the Sixth International Conference on Vibration Problems, Liberec, Czech Republic, 2003, full paper on cd-rom. [13] Zeman V., Hlaváč Z.: Dynamics of the car gearbox by the modal synthesis method. In: Proceedings of the Abstract 6th International Conference of Gear Drives, Slovak University of Technology, Trnava 2002, str. 46 (plný text na CD-ROM). [14] Zeman, V. — Hlaváč, Z.: Mathematical modelling of vibration of gear transmissions by modal synthesis method. Proceedings of the Ninth World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms, Milano, Italy, 1995, pp.397−400.

LITERATURA

27

[15] Zeman, V. a kol.: Vibration analysis of the car gearbox. Proceedings of the National Conference with International Participation Engineering Mechanics, Svratka, Czech Republic, 2001, full paper on cd-rom.

Příloha - Rezonanční tabulka ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

fν [Hz] 23 145 160 232 356 387 427 428 442 483 511 547 596 713 801 872 913 1019 1086 1141 1193 1224 1254 1266 1318 1374 1431 1450 1462 1479 1519 1582 1613 1623 1706 1769 1806 1815 1862 1941 1961 1999 2021 2043 2131

nz,1,ν 34 218 240 348 534 581 641 642 664 724 767 821 894 1069 1201 1308 1370 1529 1629 1712 1789 1837 1882 1899 1978 2061 2147 2176 2192 2218 2279 2373 2419 2434 2558 2654 2709 2722 2793 2911 2941 2998 3031 3065 3196

¯z,1,ν [J] E 0.011541 0.000401 0.000401 0.000589 0.000442 0.002661 0.000428 0.000427 0.000418 0.000414 0.000413 0.000415 0.000416 0.000424 0.000431 0.000438 0.000443 0.000456 0.000467 0.000478 0.000491 0.000501 0.000514 0.000520 0.000561 0.000686 0.001451 0.001681 0.001483 0.001088 0.000722 0.000714 0.000798 0.000782 0.000620 0.000623 0.000633 0.000636 0.000655 0.000700 0.000714 0.000739 0.000753 0.000769 0.000861

nz,2,ν 17 109 120 174 267 291 320 321 332 362 383 410 447 535 601 654 685 765 815 856 894 918 941 949 989 1030 1074 1088 1096 1109 1139 1186 1210 1217 1279 1327 1355 1361 1397 1455 1471 1499 1516 1533 1598

28

¯z,2,ν [J] E 0.002885 0.000100 0.000100 0.000147 0.000110 0.000665 0.000107 0.000107 0.000104 0.000103 0.000103 0.000104 0.000104 0.000106 0.000108 0.000110 0.000111 0.000114 0.000117 0.000119 0.000123 0.000125 0.000129 0.000130 0.000140 0.000171 0.000359 0.000422 0.000376 0.000276 0.000181 0.000178 0.000198 0.000193 0.000155 0.000156 0.000158 0.000159 0.000164 0.000175 0.000178 0.000185 0.000188 0.000192 0.000215

nz,3,ν 11 73 80 116 178 194 214 214 221 241 256 274 298 356 400 436 457 510 543 571 596 612 627 633 659 687 716 725 731 739 760 791 806 811 853 885 903 907 931 970 980 999 1010 1022 1065

¯z,3,ν [J] E 0.001282 0.000045 0.000045 0.000065 0.000049 0.000296 0.000048 0.000047 0.000046 0.000046 0.000046 0.000046 0.000046 0.000047 0.000048 0.000049 0.000049 0.000051 0.000052 0.000053 0.000054 0.000056 0.000057 0.000058 0.000062 0.000076 0.000159 0.000188 0.000167 0.000123 0.000081 0.000079 0.000088 0.000086 0.000069 0.000069 0.000070 0.000071 0.000073 0.000078 0.000079 0.000082 0.000084 0.000085 0.000096

ν 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

fν [Hz] 2224 2282 2362 2396 2431 2436 2485 2511 2554 2582 2626 2646 2674 2721 2726 2760 2793 2824 2845 2931 2973 2995 3022 3029 3069 3106 3203 3277 3281 3339 3355 3375 3410 3455 3563 3636 3666 3676 3732 3748 3848 3856 3865 3881 3901

nz,1,ν 3336 3423 3542 3593 3646 3654 3728 3766 3831 3874 3939 3970 4011 4082 4089 4140 4190 4236 4268 4396 4459 4493 4532 4543 4603 4659 4804 4916 4921 5009 5032 5063 5114 5183 5344 5453 5499 5514 5599 5622 5771 5784 5797 5822 5851

¯z,1,ν [J] E 0.001067 0.001339 0.002149 0.002386 0.002206 0.002163 0.001835 0.001798 0.001900 0.002008 0.002086 0.002046 0.001931 0.001738 0.001725 0.001664 0.001646 0.001652 0.001666 0.001829 0.001981 0.002083 0.002225 0.002269 0.002555 0.002903 0.004220 0.005076 0.005090 0.004991 0.004913 0.004823 0.004749 0.004871 0.006220 0.007611 0.008037 0.008138 0.008331 0.008321 0.008700 0.008802 0.008915 0.009176 0.009521

nz,2,ν 1668 1712 1771 1797 1823 1827 1864 1883 1915 1937 1970 1985 2006 2041 2044 2070 2095 2118 2134 2198 2230 2246 2266 2272 2302 2330 2402 2458 2460 2504 2516 2531 2557 2592 2672 2727 2749 2757 2799 2811 2886 2892 2898 2911 2926

29

¯z,2,ν [J] E 0.000267 0.000335 0.000538 0.000598 0.000553 0.000542 0.000460 0.000450 0.000475 0.000502 0.000520 0.000510 0.000481 0.000433 0.000430 0.000415 0.000411 0.000412 0.000416 0.000457 0.000495 0.000521 0.000556 0.000567 0.000638 0.000726 0.001054 0.001268 0.001271 0.001247 0.001227 0.001205 0.001186 0.001217 0.001555 0.001901 0.002007 0.002032 0.002080 0.002078 0.002175 0.002201 0.002229 0.002295 0.002382

nz,3,ν 1112 1141 1181 1198 1215 1218 1243 1255 1277 1291 1313 1323 1337 1361 1363 1380 1397 1412 1423 1465 1486 1498 1511 1514 1534 1553 1601 1639 1640 1670 1677 1688 1705 1728 1781 1818 1833 1838 1866 1874 1924 1928 1932 1941 1950

¯z,3,ν [J] E 0.000119 0.000149 0.000239 0.000266 0.000246 0.000241 0.000204 0.000200 0.000211 0.000223 0.000231 0.000226 0.000214 0.000192 0.000191 0.000184 0.000183 0.000183 0.000185 0.000203 0.000220 0.000231 0.000247 0.000252 0.000284 0.000322 0.000469 0.000563 0.000565 0.000554 0.000545 0.000535 0.000527 0.000541 0.000691 0.000845 0.000892 0.000903 0.000924 0.000923 0.000967 0.000978 0.000991 0.001020 0.001059

ν 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135

fν [Hz] 3922 3960 3991 4094 4120 4160 4190 4238 4257 4268 4311 4352 4385 4415 4473 4576 4587 4601 4628 4694 4747 4784 4851 4909 4930 4970 5015 5022 5117 5146 5180 5221 5289 5322 5348 5368 5373 5376 5383 5393 5431 5448 5477 5514 5543

nz,1,ν 5884 5941 5986 6141 6180 6240 6284 6356 6386 6401 6466 6528 6577 6623 6709 6864 6880 6902 6941 7041 7120 7176 7277 7364 7395 7455 7522 7533 7676 7719 7770 7832 7933 7984 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

¯z,1,ν [J] E 0.009979 0.010997 0.012067 0.017607 0.019325 0.021988 0.023679 0.025096 0.025046 0.024855 0.023009 0.020161 0.017676 0.015405 0.011785 0.007499 0.007191 0.006789 0.006164 0.004961 0.004275 0.003896 0.003395 0.003107 0.003031 0.002913 0.002822 0.002812 0.002805 0.002856 0.002952 0.003127 0.003576 0.003890 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

nz,2,ν 2942 2970 2993 3071 3090 3120 3142 3178 3193 3201 3233 3264 3288 3312 3355 3432 3440 3451 3471 3520 3560 3588 3638 3682 3697 3727 3761 3766 3838 3859 3885 3916 3966 3992 4011 4026 4030 4032 4037 4044 4073 4086 4108 4136 4157

30

¯z,2,ν [J] E 0.002497 0.002752 0.003021 0.004410 0.004840 0.005506 0.005928 0.006280 0.006266 0.006217 0.005753 0.005039 0.004417 0.003849 0.002944 0.001874 0.001797 0.001696 0.001540 0.001240 0.001068 0.000974 0.000848 0.000777 0.000758 0.000728 0.000705 0.000703 0.000701 0.000714 0.000737 0.000781 0.000893 0.000971 0.001039 0.001094 0.001110 0.001117 0.001136 0.001165 0.001274 0.001318 0.001395 0.001487 0.001569

nz,3,ν 1961 1980 1995 2047 2060 2080 2095 2119 2129 2134 2155 2176 2192 2208 2236 2288 2293 2301 2314 2347 2373 2392 2426 2455 2465 2485 2507 2511 2559 2573 2590 2611 2644 2661 2674 2684 2687 2688 2691 2696 2715 2724 2739 2757 2772

¯z,3,ν [J] E 0.001110 0.001224 0.001343 0.001961 0.002152 0.002448 0.002635 0.002791 0.002785 0.002764 0.002557 0.002239 0.001963 0.001710 0.001308 0.000833 0.000799 0.000754 0.000684 0.000551 0.000475 0.000433 0.000377 0.000345 0.000337 0.000324 0.000313 0.000312 0.000311 0.000317 0.000328 0.000347 0.000397 0.000431 0.000462 0.000486 0.000493 0.000496 0.000505 0.000518 0.000566 0.000586 0.000620 0.000661 0.000697

ν 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

fν [Hz] 5580 5590 5604 5620 5637 5659 5670 5693 5708 5754 5824 5857 5893 5909 5960 6042 6083 6141 6192 6228 6237 6317 6353 6401 6444 6460 6471 6507 6549 6627 6716 6790 6810 6814 6840 6884 6915 6948 6989 7013 7028 7051 7095 7105 7129

nz,1,ν 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

¯z,1,ν [J] E 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

nz,2,ν 4185 4193 4203 4215 4228 4244 4253 4270 4281 4315 4368 4393 4420 4432 4470 4531 4562 4606 4644 4671 4678 4738 4765 4801 4833 4845 4853 4880 4912 4971 5037 5092 5107 5110 5130 5163 5186 5211 5242 5260 5271 5288 5321 5329 5346

31

¯z,2,ν [J] E 0.001703 0.001744 0.001811 0.001897 0.001996 0.002144 0.002224 0.002405 0.002531 0.002965 0.003581 0.003745 0.003766 0.003717 0.003352 0.002481 0.002075 0.001597 0.001283 0.001103 0.001064 0.000784 0.000692 0.000589 0.000515 0.000491 0.000476 0.000429 0.000382 0.000314 0.000256 0.000219 0.000211 0.000209 0.000198 0.000183 0.000173 0.000163 0.000152 0.000146 0.000143 0.000137 0.000128 0.000126 0.000122

nz,3,ν 2790 2795 2802 2810 2818 2830 2835 2846 2854 2877 2912 2928 2946 2954 2980 3021 3041 3071 3096 3114 3119 3159 3176 3201 3222 3230 3235 3253 3275 3314 3358 3395 3405 3407 3420 3442 3458 3474 3495 3507 3514 3525 3547 3552 3564

¯z,3,ν [J] E 0.000756 0.000775 0.000804 0.000843 0.000887 0.000953 0.000989 0.001070 0.001126 0.001320 0.001594 0.001667 0.001675 0.001652 0.001489 0.001101 0.000921 0.000709 0.000569 0.000489 0.000472 0.000348 0.000307 0.000262 0.000229 0.000218 0.000211 0.000190 0.000170 0.000139 0.000114 0.000097 0.000094 0.000093 0.000088 0.000081 0.000077 0.000072 0.000067 0.000065 0.000063 0.000061 0.000057 0.000056 0.000054

ν 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225

fν [Hz] 7187 7199 7295 7371 7379 7394 7567 7594 7613 7630 7691 7736 7750 7765 7786 7826 7893 7898 7924 7959 7978 7987 8032 8086 8107 8147 8273 8305 8331 8365 8445 8482 8639 8660 8679 8745 8763 8806 8824 8874 8938 8963 9095 9105 9121

nz,1,ν 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

¯z,1,ν [J] E 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

nz,2,ν 5390 5399 5471 5528 5534 5545 5675 5696 5710 5723 5768 5802 5812 5824 5840 5869 5920 5923 5943 5969 5983 5990 6024 6064 6080 6110 6204 6229 6249 6274 6334 6362 6479 6495 6509 6559 6573 6604 6618 6656 6703 6722 6822 6829 6841

32

¯z,2,ν [J] E 0.000112 0.000110 0.000096 0.000087 0.000086 0.000084 0.000069 0.000067 0.000065 0.000064 0.000060 0.000058 0.000057 0.000056 0.000055 0.000053 0.000050 0.000049 0.000048 0.000047 0.000046 0.000046 0.000044 0.000042 0.000041 0.000040 0.000036 0.000036 0.000035 0.000034 0.000032 0.000031 0.000029 0.000028 0.000028 0.000027 0.000027 0.000026 0.000026 0.000026 0.000025 0.000025 0.000024 0.000024 0.000024

nz,3,ν 3593 3599 3648 3685 3689 3697 3784 3797 3806 3815 3845 3868 3875 3882 3893 3913 3947 3949 3962 3979 3989 3994 4016 4043 4054 4074 4136 4153 4166 4183 4223 4241 4319 4330 4340 4373 4382 4403 4412 4437 4469 4481 4548 4553 4561

¯z,3,ν [J] E 0.000050 0.000049 0.000043 0.000039 0.000038 0.000038 0.000031 0.000030 0.000029 0.000028 0.000027 0.000026 0.000025 0.000025 0.000024 0.000023 0.000022 0.000022 0.000021 0.000021 0.000020 0.000020 0.000020 0.000019 0.000018 0.000018 0.000016 0.000016 0.000015 0.000015 0.000014 0.000014 0.000013 0.000013 0.000012 0.000012 0.000012 0.000012 0.000012 0.000011 0.000011 0.000011 0.000011 0.000011 0.000011

ν 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249

fν [Hz] 9133 9170 9171 9212 9258 9285 9378 9474 9534 9549 10393 10408 11860 11863 11872 11873 12017 12017 12031 12053 13286 13287 13537 13539

nz,1,ν 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

¯z,1,ν [J] E 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

nz,2,ν 6850 6877 6878 6909 6944 6964 7033 7106 7151 7161 7794 7806 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

33

¯z,2,ν [J] E 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024 0.000025 0.000025 0.000089 0.000089 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

nz,3,ν 4567 4585 4586 4606 4629 4643 4689 4737 4767 4774 5196 5204 5930 5931 5936 5936 6008 6008 6016 6026 6643 6644 6769 6769

¯z,3,ν [J] E 0.000011 0.000011 0.000011 0.000011 0.000010 0.000010 0.000011 0.000011 0.000011 0.000011 0.000040 0.000040 0.000066 0.000067 0.000068 0.000068 0.000079 0.000079 0.000079 0.000078 0.000013 0.000013 0.000012 0.000012

DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE

Recommend Documents