Dr. Tarsoly Péter GEODÉZIA II

Dr. Tarsoly Péter

GEODÉZIA II

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geodézia Tanszék 2013

1

Tartalomjegyzék 1.

A SOKSZÖGELÉS ..................................................................................................................................... 4 1.1 A SOKSZÖGVONALAK SZÁMÍTÁSA ................................................................................................................. 4 1.1.1 Egyszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal .......................................................... 5 1.1.2 A kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal ........................................................ 6 1.1.3 A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal ................................................... 8 1.1.4 A beillesztett sokszögvonal ............................................................................................................ 11 1.1.5 Zárt sokszögvonal.......................................................................................................................... 12 1.1.6 A hossz- és keresztirányú záróhiba................................................................................................ 13 1.2 A SOKSZÖGVONALAK VEZETÉSE ................................................................................................................. 14 1.3 A MÉRÉSEKBEN ELKÖVETETT DURVA HIBA MEGKERESÉSE.......................................................................... 14

2.

A SZINTEZÉS ........................................................................................................................................... 16 2.1 A MAGASSÁG FOGALMA, A MAGASSÁGMÉRÉS MÓDSZEREI.......................................................................... 16 2.2 A SZINTEZÉS ALAPELVE .............................................................................................................................. 18 2.3 SZINTEZİMŐSZEREK ÉS TARTOZÉKAIK........................................................................................................ 20 2.3.1 A libellás szintezımőszerek................................................................................................................. 20 2.3.2 A kompenzátoros szintezımőszerek .................................................................................................... 22 2.3.3 Digitális szintezımőszerek .................................................................................................................. 24 2.3.4 A szintezıfelszerelés ........................................................................................................................... 26 2.4 A SZINTEZÉS SZABÁLYOS HIBAFORRÁSAI .................................................................................................... 27 2.4.1 A mérımőszer hibái ............................................................................................................................ 27 2.4.2 A mérıfelszerelés hibái ................................................................................................................. 27 2.4.3 A külsı körülmények okozta hibák ................................................................................................ 28 2.5 A SZINTEZÉS VÉGREHAJTÁSÁNAK GYAKORLATI SZABÁLYAI ................................................................... 30

3.

A TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉS ...................................................................................... 33 3.1 A MAGASSÁGI SZÖG ÉS A ZENITSZÖG .......................................................................................................... 33 3.2 A MAGASSÁGI KÖR ÉS SZERKEZETE, KOMPENZÁTOROK, A MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉS SZABÁLYOS HIBAFORRÁSAI .................................................................................................................................................. 34 3.2.1 A magassági refrakció ........................................................................................................................ 34 3.3 A TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉS ALAPKÉPLETE ................................................................................. 38 3.3.1 A refrakció változása és annak hatása ............................................................................................... 41 3.3.2 A trigonometriai magasságmérés számítási képletei .......................................................................... 42 3.3.2.1 A szimultán mérések módszere ........................................................................................................ 42 3.3.2.2 Trigonometriai szintezés .................................................................................................................. 43 3.3.3 Épületek magasságának meghatározása ............................................................................................ 44 3.3.4 Közelítı trigonometriai magasságmérési eljárások ........................................................................... 46 3.3.5 A trigonometriai magasságmérés megbízhatósága ............................................................................ 47

4.

TÁVOLSÁGOK MÉRÉSE ....................................................................................................................... 48 4.1 A HOSSZMÉRÉS............................................................................................................................................ 48 4.2 A TÁVMÉRÉS ............................................................................................................................................... 51 4.2.1 A geometriai-optikai távolság-meghatározás ..................................................................................... 52 4.2.2 A fizikai távmérés .......................................................................................................................... 53 4.2.2.1 A távmérımőszerek általános felépítése .......................................................................................... 54 4.2.2.2 Az idıméréses távmérés ................................................................................................................... 56 4.2.2.3 A fázisméréses távmérés .................................................................................................................. 57 4.2.3 A légkör energiacsökkentı hatása ................................................................................................. 59 4.2.4 Elektromágneses hullámok terjedési sebessége a légkörben .............................................................. 62 4.2.5 A távmérés hibaforrásai ..................................................................................................................... 64 4.2.6 A távmérés redukciói .......................................................................................................................... 69 4.2.7 A távmérés rövid története .................................................................................................................. 69

5. ELEKTRONIKUS TEODOLITOK, TAHIMÉTEREK ÉS MÉRİÁLLOMÁSOK ................................ 71 5.1 ELEKTRONIKUS KÖRLEOLVASÁS, ELEKTRONIKUS DİLÉSÉRZÉKELİK ......................................................... 71 5.2 AZ ELEKTRONIKUS TAHIMÉTEREK ÉS MÉRİÁLLOMÁSOK KIALAKULÁSA ..................................................... 73

2

5.3 A MÉRİÁLLOMÁSOK FONTOSABB BEÁLLÍTÁSAI ÉS BEÉPÍTETT PROGRAMJAI ........................................... 75 5.3.1 A mérıállomások általános jellemzése ............................................................................................... 75 5.3.2 A mérıállomások fontosabb beállításai .............................................................................................. 78 5.3.3 A mérıállomások fontosabb programjai ............................................................................................ 81 5.3.4 A gyakoribb mérıállomás típusok adatformátuma ............................................................................. 97 5.3.5 Robot-mérıállomások ....................................................................................................................... 100 5.4 MELLÉKLETEK .......................................................................................................................................... 102 6.

SPECIÁLIS GEODÉZIAI MŐSZEREK .............................................................................................. 107 6.1 TÁJOLÓ TEODOLITOK............................................................................................................................. 107 6.1.1 Mágneses tájoló és busszola ............................................................................................................. 108 6.1.2 Busszolás teodolitok ......................................................................................................................... 109 6.1.3 Rátét busszolák ................................................................................................................................. 110 6.1.4 Busszolás teodolitok használata ....................................................................................................... 110 6.2 GIROTEODOLITOK.................................................................................................................................. 112 6.2.1 A pörgettyő ....................................................................................................................................... 112 6.2.2 Különféle pörgettyők......................................................................................................................... 113 6.2.2.1 Szabad pörgettyő ........................................................................................................................... 113 6.2.2.2 Inklinációs pörgettyő ..................................................................................................................... 114 6.2.2.3 Deklinációs pörgettyő .................................................................................................................... 115 6.2.2.4 A giroteodolitok általános felépítése ............................................................................................. 116 6.3 HIDROSZTATIKAI SZINTEZİMŐSZEREK...................................................................................................... 118 6.4 SZABATOS OPTIKAI VETÍTİK ..................................................................................................................... 119

7. HIBAELMÉLET ........................................................................................................................................... 120 7.1 A MÉRÉSI HIBÁK ÉS CSOPORTOSÍTÁSUK .................................................................................................... 120 7.1.1 A durva hiba és az álhiba ................................................................................................................. 120 7.1.2 Szabályos és szabálytalan hiba ......................................................................................................... 121 7.1.3 Hibaelméleti következtetések: ........................................................................................................... 122 7.2 A PONTOSSÁG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG MEGÁLLAPÍTÁSÁRA SZOLGÁLÓ MENNYISÉGEK .................................. 123 7.2.1 A pontosság és megbízhatóság fogalma ........................................................................................... 126 7.2.2 Megbízhatósági mérıszámok ............................................................................................................ 126 7.2.3 A súly fogalma .................................................................................................................................. 127 7.2.4 Közelítı súlyok felvétele a gyakorlatban gyakrabban elıforduló mérésekhez.................................. 129 7.2.5 Két változó kapcsolatának jellemzése ............................................................................................... 130 7.2.6 Mintapéldák lineáris regressziós egyenes paramétereinek meghatározására .................................. 133 7.3 A HIBATERJEDÉS FOGALMA ....................................................................................................................... 135 7.3.1 Hibaterjedés lineáris függvények esetén........................................................................................... 135 7.3.2 Hibaterjedés nem lineáris függvények esetén ................................................................................... 137 7.3.3 Következtetések a hibaterjedés általános képletébıl ........................................................................ 140 7.3.4 Példák a hibaterjedés alkalmazására ............................................................................................... 140 7.4 A KIEGYENLÍTİ SZÁMÍTÁS ALAPELVE ÉS A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE ........................................ 143 7.4.1 A Gauss-féle hibatörvény.................................................................................................................. 144 7.4.2 Egy ismeretlenre végzett közvetlen mérések kiegyenlítése ................................................................ 145 7.4.3 Oda-vissza mérések kiegyenlítése ..................................................................................................... 148 7.4.4 Számolási példák az egy ismeretlenre végzett közvetlen mérések kiegyenlítésére ............................ 148 Egység súlyú mérések kiegyenlítése........................................................................................................... 148 7.5 ZÁRÓHIBÁK ELOSZTÁSA ........................................................................................................................... 150 7.6 A MÉRÉSEK MEGBÍZHATÓSÁGA ÉS A KÖZÉPHIBA, MINT A MEGFIGYELÉSEK SZÁMÁNAK FÜGGVÉNYE........ 153 7.6.1 A mérések ismétlésének hatása – összefüggések a súly és a középhiba között ................................. 154 7.6.2 Számolási példák .............................................................................................................................. 154 8. GYAKORLÓ PÉLDATÁR .......................................................................................................................... 155 9. IRODALOMJEGYZÉK ............................................................................................................................... 169

3

1. A sokszögelés Tetszıleges számú pont relatív helyzetét meghatározhatjuk, ha a pontokat a vízszintes vetületben egyenes vonalakkal összekötjük, és megmérjük a szomszédos pontok vízszintes távolságát, valamint az egyes pontokból kiinduló egyenesek (valóságban szakaszok) egymással bezárt szögét. A pontmeghatározásnak ezt a módját nevezik sokszögelésnek. A

pontokat

összekötı

törtvonalakat

sokszögvonalnak,

az

egyes

oldalakat

sokszögoldalnak, az oldalak egymással bezárt szögét pedig törésszögnek nevezzük (1.1 ábra). A sokszögelés elméletében a mért oldalakat t betővel szokták jelölni, alsó indexbe annak a két pontnak a számát írva, amelyek közé a mért távolság vonatkozik; a törésszögeket pedig β-val szokták jelölni. Mivel minden szomszédos oldal két szöget zár be egymással (egymást 360°-ra egészítik ki), ezért megegyezés alapján törésszögnek minden esetben a haladási irány bal oldalára esı szöget szoktuk tekinteni. Szabatos megfogalmazásban a törésszög az a szög, amelyet a kezdı és végpont megválasztásával kijelölt haladási értelemben a megelızı sokszögoldal leír, ha geodéziai pozitív értelmő forgatással a követı oldalba forgatjuk.

1.1 ábra A sokszögvonal, a sokszögoldal és a törésszög értelmezése A sokszögvonal alakja szerint lehet nyílt, amikor a kezdı és a végpontja két különbözı pont, és lehet zárt, amikor a kezdı és a végpont ugyanaz a pont. A geodéziában elsısorban a nyílt sokszögvonalak fontosak; zárt sokszögvonalak, vagy más néven zárt polygonok csak speciális feladatoknál fordulnak elı (pl. föld alatti felmérések). A sokszögvonal csatlakozó, ha ismert koordinátájú alappontokhoz csatlakozik, és önálló, ha alappontokhoz nem csatlakozik. Ha a sokszögvonalnak csak a kezdıpontja ismert koordinátájú alappont, akkor a sokszögvonal egyszeresen csatlakozó; ha mind a két végpontja ismert, akkor kétszeresen csatlakozó, vagy más néven kapcsolt. Ha nemcsak a sokszögvonal pontjain mérjük a törésszögeket, hanem a kezdı vagy/és a végponton is felállunk, és onnan a sokszögoldalakon kívül más ismert alappontokra is mérünk, akkor a sokszögvonalat tájékozottnak nevezzük. Egyszeresen tájékozott, ha csak a kezdıpontján végzünk tájékozást, és kétszeresen tájékozott, ha a kezdı-és a végponton is tájékozunk.

1.1 A sokszögvonalak számítása A sokszögvonal egyes pontjainak a számításánál az ismert alappontok koordinátáinak és a mért szögeknek segítségével számítjuk az egyes sokszögoldalak tájékozott irányértékeit, majd a távolság ismeretében a haladási iránynak megfelelıen a sokszögpontok koordinátáit. Abban az esetben, ha a sokszögvonal mérése során fölös méréseket is végzünk, a mérési hibák és a meglévı

4

alappontok kerethibái miatt a mérési eredményeink között ellentmondások fognak fellépni. Lehetıségünk lenne ezeknek az ellentmondásoknak a feloldására kiegyenlítı számítások alkalmazásával, azonban a kiegyenlítés folyamatának hosszadalmassága miatt inkább közelítı hibaelosztási eljárásokat alkalmazunk. Ezek a közelítı eljárások a gyakorlati elvárásoknak megfelelı megbízhatóságú adatokat fognak szolgáltatni.

1.1.1 Egyszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal Ebben az esetben az 1, 2, ....n sokszögpontok koordinátáinak meghatározásához mértük a közöttük lévı távolságokat, a törésszögeket; valamint a kezdıponton a szomszédos sokszögpont mellett egy tájékozó pontra is végeztünk iránymérést.

1.2 ábra Egyszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal Ha a rendelkezésünkre álló adatok alapján ki tudjuk számítani az egyes sokszögoldalak tájékozott irányértékét, akkor ezeknek és a mért oldalhosszaknak ismeretében számíthatjuk polárisan egymás után az egyes sokszögpontok koordinátáit. Mivel a kezdıponton mértünk egy tájékozó irányt, ezért az álláspont és a tájékozó pont koordinátáiból tudjuk számolni a δKT irányszöget. Ezután

δ K' 1 = δ KT + β K

(1.1)

képlettel tudjuk számítani az elsı sokszögoldal tájékozott irányértékét. Ha ezt az irányértéket 180°-al megfordítjuk, akkor tudjuk számolni 1-es sokszögpontról a kezdıpontra menı tájékozott irányértéket. Ha ehhez hozzáadjuk az elsı ponton mért törésszöget, akkor megkapjuk az 1-es sokszögpontról a 2es sokszögpontra menı tájékozott irányértéket. Tehát:

δ 12' = δ 1'K + β1 = δ K' 1 ± 180 o + β1

(1.2)

Lényegében az 1.2-es képlet tekinthetı minden sokszögvonal számítás alapjának. Az egyszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal számításának lépéseit a következıkben foglaljuk össze:

5

1. A tájékozó irány irányszögének számítása a kezdıpont és a tájékozó pont koordinátáiból. 2. A sokszögoldalak tájékozott irányértékének számítása az 1.2-es képlet mintája alapján.

δ K' 1 = δ KT + β K δ 12' = δ K' 1 ± 180 + β1 (1.3)

.

δ n' −1,n = δ n' − 2,n −1 ± 180 + β n−1 3. A sokszögoldalak koordinátatengelyekre esı vetületeink számítása.

∆yij = t ij ⋅ sin δ ij' (1.4)

∆xij = t ij ⋅ cos δ ij' 4. A koordináták számítása.

y1 = y K + t K 1 ⋅ sin δ K' 1 = y K + ∆y K 1 y 2 = y1 + t12 ⋅ sin δ 12' = y1 + ∆y12 . y n = y n −1 + t n −1,n ⋅ sin δ n' −1, n = y n −1 + ∆y n −1,n és

(1.5)

x1 = x K + t K 1 ⋅ cos δ x 2 = x1 + t12 ⋅ cos δ

' K1

' 12

= x K + ∆x K 1

= x1 + ∆x12

. x n = x n −1 + t n −1,n ⋅ cos δ n' −1,n = x n −1 + ∆x n −1, n Abban az esetben, ha a kezdıponton nem egy, hanem több tájékozó irányt mérünk, az egyes tájékozó irányokhoz tartozó tájékozási szögekbıl kiszámíthatjuk a súlyozott középtájékozási szöget, és ezután a már megismert módon tudjuk képezni az elsı sokszögoldal tájékozott irányértékét. Ebben az esetben a levezetett tájékozott irányértéket fogjuk az elsı oldal törésszögének tekinteni, amely ’

együttesen tükrözi a számításba bevont tájékozó irányok hatását (βK=δ K1). Ennél a sokszögvonal típusnál nincs fölös mérés, a mérés jóságára nincs ellenırzésünk. Az ilyen sokszögvonalat szabad sokszögvonalnak nevezzük. A számolás jóságára ellenırzés lehet, ha a végén kiszámítjuk a kezdıés végpont koordináta különbségét, és ennek meg kell egyeznie a megfelelı oldalvetületek összegével. A nyílt, önálló sokszögvonalak számítása nagyon hasonló a szabad sokszögvonalhoz. Az önálló sokszögvonalnál természetesen nem mértünk a kezdıponton tájékozó irányt, és nem ismerjük a kezdıpont koordinátáit sem. Ebben az esetben a kezdıpont koordinátáit és a kezdı oldal tájékozott irányértékét a feladat kívánalmainak megfelelıen kell megválasztani.

1.1.2 A kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal A kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal abban különbözik az egyszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonaltól, hogy a végpontja is ismert koordinátájú pont (1.3 ábra).

6

Ebben az esetben ismertek a kezdı- és végpont, továbbá a tájékozó-pont koordinátái. Mérési eredményeink a megfelelı távolságok és törésszögek. Ha a sokszögvonal n darab sokszögpontból áll, akkor ebben az esetben n+1 darab távolság és törésszög mérhetı (az egyszeresen csatlakozó és

1.3 ábra Kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal egyszeresen tájékozott sokszögvonalnál csak n darab távolság és törésszög volt mérhetı). Miután n darab sokszögpont koordinátáinak meghatározásához elegendı n darab távolság és törésszög, ezért van két fölös mérésünk. A fölös mérések lehetıséget adnak a méréseink ellenırzésére. A sokszögoldalak koordinátatengelyekre esı vetülete összegének – abban az esetben, ha kerethibák és mérési hibák nem lennének – meg kellene egyeznie a kezdı-és végpont megfelelı koordináta különbségeivel.

∑ ∑

' ∆ y = t ⋅ sin = yv − y k δ ∑ i =1 i =1 n

n

∆x = ∑ i =1 t ⋅ cos δ ' = x v − x k i =1 n

n

(1.6)

A mérési és a kerethibák miatt ezek a feltételek nem lesznek kielégítve, hanem:

( yV − y K ) − ∑i =1 t ⋅ sin δ ' = ( y v − y k ) − ∑i =1 ∆y = dy n

n

( xV − x K ) − ∑i =1 t ⋅ cos δ = ( x v − x k ) − ∑i =1 ∆x = dx n

n

'

(1.7)

1

ahol a dy és dx mennyiségeket koordináta záróhibának nevezzük. Ha a záróhiba kisebb, mint az ezzel a módszerrel meghatározandó alappontok jellegének megfelelıen megállapított hibahatár, akkor a mérést jónak vehetjük, és a mérést kiegyenlíthetjük olyan módon, hogy a kiegyenlített értékekkel számítva nulla záróhibákat kapjunk. A kiegyenlítéskor nem a hosszadalmas szigorú eljárást alkalmazzuk, hanem csak egy közelítı kiegyenlítést. A mérési eredményekbıl számított oldalvetületeket csak elızetes értéknek tekintjük, és kiszámítva a hosszegységre esı dy

;

dx

∑i=1ti ∑i=1ti n

n

(1.8)

1

Megjegyezzük, hogy mivel dy és dx értékét (kell – van) értelemben képezzük, ezért valójában nem hiba, hanem javítás. A hiba és a javítás azonos nagyságúak, de ellentétes elıjelőek. A szakmai hagyományok alapján nevezzük dy és dx értékét záróhibának. Hasonló példa lehetne erre még a magasságmérésnél megismert indexhiba is.

7

záróhibákat, az egyes oldalvetületeket megjavítjuk a mért oldalhosszak arányában. Például az 1-2 sokszögoldalra az elızetes és a javított oldalvetületek:

∆y12elılızet = t12 ⋅ sin δ12' ∆x12elılızet = t12 ⋅ cos δ12' és ∆y12kiegyenlített = ∆y12elılızet + ∆x12kiegyenlített = ∆x12elılızet +

(1.9)

dy

∑

n

t i =1 i

dx

∑i =1 ti n

⋅ t12 ⋅ t12

A kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal számításának lépéseit a következıkben foglaljuk össze: 1. A tájékozó irány irányszögének számítása. 2. A sokszögoldalak tájékozott irányértékének számítása (1.2). 3. Az elızetes oldalvetültetek számítása (1.4). 4. A koordináta záróhibák és a hosszegységre jutó záróhibák számítása (1.7;1.8). 5. A kiegyenlített oldalvetületek számítása (1.9). 6. A koordináták számítása (1.5). Abban az esetben, ha a kezdıponton nem egy, hanem több tájékozó irányt mértünk, a súlyozott középtájékozási szög felhasználásával kell a kezdı sokszögoldal tájékozott irányértékét levezetni ’

(βK=δ K1).

1.1.3 A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonalat nevezik egyszerően kétszeresen tájékozott sokszögvonalnak is. Abban különbözik az elızıtıl, hogy nemcsak a kezdıponton, hanem a végponton is mértünk tájékozóirányt. Adottak tehát a kezdı-és végpont, valamint a tájékozó-pontok koordinátái. Mérési eredmények az n+1 darab távolság, valamint az n+2 darab törésszög. Ennek megfelelıen három fölös mérésünk van, tehát a mérési eredményeknek három feltételt kell kielégíteniük.

1.4 ábra A kétszeresen tájékozott sokszögvonal

8

Két feltétel megegyezik a kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonalnál részletezett

feltételekkel,

a

dy és

dx

koordináta

záróhibákkal.

A

kétszeresen

tájékozott

sokszögvonalnál ehhez egy harmadik feltétel csatlakozik, amely a tájékozó irányok irányszögei és a mért törésszögek között fejez ki kapcsolatot. A kezdıponton mért tájékozó irány irányszögébıl kiindulva a törésszögek felhasználásával levezethetı az utolsó sokszögoldal tájékozott irányértéke. ’

Mivel a végponton is mértük a βv törésszöget, ezért számíthatjuk a végponton mért tájékozó irány δ VT2 tájékozott irányértékét:

δ VT' 2 = δ nv' ± 180 + β v

(1.10)

Kerethibáktól és mérési hibáktól mentes hálózatot feltételezve az ilyen módon levezetett tájékozott irányértéknek egyenlınek kellene lennie a koordinátákból számítható irányszöggel. Mivel a mérést hibák terhelik, ezért: ' dϕ = δ VT 2 − δ VT 2

(1.11)

A dφ értéket szögszáróhibának nevezzük. A szögzáróhiba gyakorlati kiszámításához nem szükséges az egyes oldalak tájékozott irányértékeinek számításán keresztül elıállítani a végponton ’

mért tájékozó irány tájékozott irányértékét. Elıállíthatjuk δ VT2 értékét a kezdıponton a tájékozó-pontra számított irányszög és a mért törésszögek függvényeként is, ahol n a sokszögpontok száma. A részletes bizonyítás mellékelése nélkül:

δ VT' 2 = δ KT 1 + ∑i =1 β i − ( n + 1) ⋅ 180 n

(1.12)

Azaz

dϕ = δ VT 2 − ( δ KT 1 + ∑i =1 β i − ( n + 1) ⋅ 180) n

(1.13)

A szögzáróhiba egy más értelmezését mutatja be az 1.5 ábra.

1.5 ábra A szögzáróhiba értelmezése N oldalú sokszög alapján

mert


    1 · 180°  ∑    · 360°

  2 · 180°    2  2 · 180°  2 · 90°    1 · 180°

(1.14) (1.15)

ahol N a töréspontok száma (N oldalú sokszög belsı szögeinek az összegének mintájára), s a törésszögek száma. A szögzáróhibának egy harmadik értelmezését mutatja be az 1.6 ábra. Ebben az esetben az egyes szegmensekben (zöld, sárga, kék, piros) lévı szögek összege 180°. Ebb ıl n+1 darab van, ha n a sokszögpontok száma a kezdı- és végpont nélkül, vagy s-1, ha s a törésszögek száma.

9

1.6 ábra A szögzáróhiba értelmezése szegmensek alapján

Ekkor

  1 · 180°    2  1 · 180°    1 · 180°

(1.16)

Az 1.14 képletben szereplı k értéke 0 vagy 1, attól függıen, hogy a sokszögvonal hogyan áll a vetületi síkon. Az 1.5 ábra alapján k értéke 0, az 1.7 ábra alapján k értéke 1. Figyeljük meg a K és V pont helyzetét és a sokszögvonal mérési és számítási haladási irányát.

1.7 ábra A k értelmezése Ha a dφ szögzáróhiba abszolút értéke a megállapított hibahatárnál nem nagyobb, akkor a szögzáróhibát a törésszögekre egyenlıen osztjuk el.

dϕ n+2

(1.17)

A törésszögek mért értékét olyan módon számítjuk, hogy az elızetes mért értékhez hozzáadjuk a javítást:

β ikiegyenlített = β ielılızet +

dϕ n+2

(1.18)

A számítást a kiegyenlített törésszögek ismeretében már a kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonalnál elmondottak szerint végezzük. A számítás menete a következı: 1. A tájékozó irányok irányszögének számítása. 2. A szögzáróhiba és a törésszögek javításának számítása (1.13; 1.14;1.17). 3. A kiegyenlített törésszögek számítása (1.18). 4. A sokszögoldalak tájékozott irányértékének számítása (1.2).

10

5. Az elızetes oldalvetültetek számítása (1.4). 6. A koordináta záróhibák és a hosszegységre jutó záróhibák számítása (1.7;1.8). 7. A kiegyenlített oldalvetületek számítása (1.9). 8. A koordináták számítása (1.5). Abban az esetben, ha mind a kezdı-, mind a végponton több tájékozó irányt is mértünk, a súlyozott középtájékozási szög felhasználásával számítjuk a kezdıponton az elsı sokszögoldal tájékozott ’

’

irányértékét δ K1-et, a végponton pedig az utolsó sokszögoldal tájékozott irányértékét δ vn-t. Ilyenkor a ’

kezdıponton mért törésszögnek magát a δ K1 értéket tekintjük:

β K = δ K' 1

(1.19)

A végponton mért törésszög:

β v = 360 − δ vn'

(1.20)

Ennek megfelelıen mindkét végponton a +x tengellyel párhuzamos irányt tekintjük tájékozó iránynak, azaz:

δ KT 1 = δ VT 2 = 0 .

(1.21)

Több tájékozó irány mérése esetén leegyszerősödik a szögzáróhiba számítása is; ha ugyanis a kezdıpontról az elsı sokszögpontra levezetett tájékozott irányértékhez (βk) hozzáadjuk a sokszögvonalban mért törésszögeket, és az összegbıl levonunk (s-1)×180 fokot (s a törésszögek száma), akkor a szögzáróhibát kapjuk eredményül.

1.1.4 A beillesztett sokszögvonal Ebben az esetben a sokszögvonal ismert alappontból indul, és ismert alappontban végzıdik, de tájékozó irányt egyik végponton sem mérünk (1.8 ábra). A geodéziai gyakorlatban beillesztett sokszögvonal elsısorban sőrőn beépített városok szők utcáiban, vagy nagy kiterjedéső, zárt erdıkben fordul elı.

1.8 ábra A beillesztett sokszögvonal Adottak a kezdı-és végpont koordinátái; mért értékek pedig a távolságok és a törésszögek. A 2n+1 mérési eredménybıl 2n koordináta számítható, a fölös mérések száma egy. A beillesztett sokszögvonal számítását visszavezethetjük a kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal számítására. Tekintsük az 1.9 ábrát.

11

1.9 ábra Beillesztett sokszögvonal számítása a gyakorlatban Számítsuk ki az 1.9 ábrán φ-el jelölet szöget. A φ kiszámításához vegyünk fel egy olyan koordinátarendszert, melynek kezdıpontja K, +x tengelye pedig a K1 oldallal esik egybe. Ebben az esetben az egyes sokszögoldalak tájékozott irányértékei:

δ K' 1 = 0 δ 12' = δ K' 1 ± 180 + β1 ................

(1.22)

' δ nV = δ n' −1,n ± 180 + β n

Ezeknek a tájékozott irányértékeknek és a mért távolságoknak ismeretében számíthatók a sokszögoldalak vetületei a segéd koordináta-rendszerben. A végpontnak számítjuk az elızetes koordinátáit (az 1.9 ábrán (V) jelöli az elızetes ponthelyet). Számítsuk ki mind az elızetes, mind a végleges V pontra vonatkozó irányszögeket és távolságokat a K kezdıponttól. Ezután számítsuk a φ elforgatási szöget valamint az m szorzótényezıt:

ϕ = δ KV − δ K (V ) m=

t KV t K (V )

(1.23)

Ha a sokszögvonalat φ szöggel elforgatjuk, és m-értékkel nyújtjuk/zsugorítjuk, akkor a vonal elızetes (V) végpontja a végleges helyre kerül. A sokszögpont koordinátáinak kiszámításához minden oldal elızetes tájékozott irányértékét φ értékével meg kell változtatni; hasonlóan minden mért oldal hosszát az m-szeresére kell változtatnunk. Kiszámítjuk a végleges oldalvetületeket, majd folyamatos összegzéssel a végpont koordinátái. Ennek meg kell egyeznie a végpont ismert koordinátájával (kerekítési hibáktól eltekintve). A gyakorlati számítások során φ értékének számítása után képezzük minden oldal végleges tájékozott irányértékét, majd pedig a távolságok felhasználásával, az m-szorzótényezı figyelembe vétele nélkül az elızetes oldalvetületeket. Ezekbıl képezzük a koordináta záróhibákat, a hosszegységre jutó javításokat, majd a javításokat elosztjuk a távolságok arányában (1.6-1.9 képletek).

1.1.5 Zárt sokszögvonal Ha a sokszögvonal kezdı-és végpontja azonos, akkor a sokszögvonalat zártnak nevezzük. A zárt sokszögvonalban a törésszögek összegének elméleti értéke elıre ismeretes, hiszen az n oldalú zárt sokszög belsı szögeinek összege (n-2)×180, a külsı szögeké pedig (n+2)×180.

12

A zárt sokszögvonalakban mindig felírható egy szögfeltételi egyenlet:

dϕ = (n + 2) ⋅ 180 − ∑ I =1 β i n

(1.24)

Mivel a kezdı és a végpont egybeesik, ezért számítható koordináta záróhiba is:

dy = ∑i =1 t ⋅ sin δ n

dx = ∑i =1 t ⋅ cos δ n

(1.25)

Látszólag a zárt sokszögvonal ugyanolyan kedvezı mérési ellenırzések szempontjából, mint a kétszeresen tájékozott sokszögvonal, azonban ez csalóka. A zárt sokszögvonal hosszellenırzései érzéketlenek a hosszak részarányos megváltoztatásai iránt. Éppen ezért a geodéziában kerüljük a zárt sokszögvonalak vezetését.

1.1.6 A hossz- és keresztirányú záróhiba A hossz- és keresztirányú záróhiba megértéséhez tekintsük az 1.7 ábrát. A dy és dx koordináta záróhibák után számítható a d vonalas (lineáris) záróhiba.

d = dy 2 + dx 2

(1.26)

A sokszögvonal d vonalas záróhibájának nagysága a mérési hibák és a kerethibák együttes hatásától függ. Az azonos nagyságú d vonalas záróhiba dy és dx összetevıi attól is függnek, hogy a sokszögvonal milyen irányban halad a koordináta-tengelyekhez képest (1.10 ábra). A dy és dx hibák nagyságából tehát nem lehet következtetéseket levonni a mérési hibákra vonatkozóan.

1.10 ábra A vonalas záróhiba, valamint a hossz-és keresztirányú záróhiba értelmezése Ha a d vonalas záróhibát a kezdı- és végpont összekötı egyenesével párhuzamos hosszirányú, és erre merıleges keresztirányú összetevıre bontjuk, és feltételezzük, hogy a sokszögvonal ideálisan nyújtott (törésszögei közel 180 fokosak), akkor kerethibától mentes alappontok esetében a hosszirányú záróhiba a távolság meghatározás pontosságától, a keresztirányú záróhiba pedig a szögmérés pontosságától függ. Ezt a két összetevıt különösen akkor ajánlott kiszámítani, ha a d vonalas záróhiba értéke a vártnál nagyobbra adódik. A hossz- és keresztirányú záróhiba:

13

h = h 1 + h 2 = dy ⋅ sin δ KV + dx ⋅ cos δ KV

(1.27)

k = k 1 − k 2 = dy ⋅ cos δ KV − dx ⋅ sin δ KV

A gyakorlati geodéziai munkák végrehajtása során a mérési eredmények minısítésére az ötödrendő hosszú oldalú és rövid oldalú sokszögelésre vonatkozó hibahatárokat szoktuk figyelembe venni, és amennyiben a szögzáróhiba és a vonalas záróhiba kielégíti az 1.1 táblázatban lévı feltételeket, a mérést jónak szoktuk minısíteni. 1.1 táblázat sokszögelés

típusa

szögzáróhiba („)

vonalas záróhiba (cm)

28+2n

10+10∑t

szabatos

40+2n

6+1.5∑t

belterületi

55+2.5n

10+2.5∑t

külterületi

70+3n

14+3.5∑t

ötödrendő rövid oldalú

n a törésszögek száma ∑t a sokszögvonal hossza kilométerben

1.2 A sokszögvonalak vezetése A sokszögvonalakat lehetıség szerint úgy kell vezetni, hogy mind a két végükön adott alapponthoz csatlakozzanak, és lehetıség szerint mind a két végpontnál lehessen tájékozó irányt mérni. Tájékozó iránynak 200 méternél rövidebb irányt nem szabad felhasználni. Abban az esetben, ha mégis mértünk 200 méternél rövidebb tájékozó irányt, azt a végleges tájékozásban nem használhatjuk fel, csak a durva mérési hibák kiküszöbölésében. A sokszögvonal hossza, azaz a sokszögoldalak összege ne legyen nagyobb 1500 méternél. A sokszögoldalak átlagos hossza ideális esetben 150-200 méter. 50 méteren belül újabb sokszögpontot kijelölni csak a legszükségesebb esetben lehet. Ugyanabban a sokszögvonalban a sokszögoldalak közel egyenlı hosszúak legyenek, mert az iránymérésben kedvezı, ha az elıre és a hátra irányzást a parallaxis újból és újból való eltőntetése nélkül tudjuk elvégezni. A sokszögvonal nyújtott legyen, a törésszögek közel legyenek a 180 fokhoz. Ismert koordinátájú alappont mellett elhaladni nem szabad, ahhoz csatlakozni kell. Ennek lehetséges megoldásaival késıbbi tanulmányaink során fogunk megismerkedni. A sokszögpontok helyének kiválasztásakor ügyelni kell arra, hogy a pont fennmaradása biztosított legyen, a ponton fel lehessen állni mőszerrel, a szomszédos pontokra az irányzást és a mérést akadálytalanul el tudjuk végezni; és ha a sokszögelés részletméréshez készül, akkor a sokszögpontról minél több részletpont legyen látható. A sokszögvonalak nem metszhetik egymást, csak úgynevezett sokszögelési csomópontban találkozhatnak, melynek mérésével és számításával szintén késıbbi tanulmányaink során fogunk találkozni.

1.3 A mérésekben elkövetett durva hiba megkeresése Ha valamelyik sokszögponton a szögmérésben durva hibát követtünk el, azt a pontot, amelynél a törésszög hibás, úgy keressük meg, hogy a sokszögvonalat a kezdı- és a végpontjáról is elkezdjük számítani. Amelyik pontra a két számításból közel egyenlı koordinátákat kapunk, annál a pontnál követtük el nagy valószínőséggel a durva szögmérési hibát. A hosszmérésben elkövetett durva mérési hiba esetén a hibásan mért oldalt azok között az oldalak között kell keresni, amelyek irányszöge közelítıleg egyezik (vagy pont ellentett irányba mutat) a kapott - és a durva hiba miatt a megengedettnél jóval nagyobb – vonalas záróhiba irányának az irányszögével (1.11 ábra).

14

1.11 ábra A mérések közben elkövetett durva hiba megkeresése A szögmérési hibák hatása a sokszögelésben különösen kedvezıtlen azért, mert bármely szög hibája tovább adódik, és ezzel meghamisítja a következı pont helyét. A kedvezıtlen hibaterjedés miatt a szögmérésre különös gondot kell fordítani, Ha a szögmérést gondosan hajtjuk végre, akkor a legnagyobb hiba a mőszer és a prizma felállítási hibájából származik. Az ebbıl származó maximális szögmérési hibákat a 1.2 táblázatban foglaltuk össze, 1 centiméteres külpontosságot feltételezve (Sárdy, 1970): 1. 2 táblázat t 10 m 20 m

∆ 206” 103”

30 m 50 m

69” 41”

100 m 150 m

21” 14”

300 m

7”

A táblázat adatai szerint a felállításból származó hiba különösen rövid oldalak esetén okoz számottevı szögmérési hibát. Emiatt a sokszögelésben a rövid oldalak kerülendıek. Rövid oldal fordul elı abban az esetben, amikor kénytelenek vagyunk valamilyen akadályt kikerülni pl. épület, tó stb. A rövid oldal hatását gondos pontra állással csak csökkenthetjük, ezért számítási módszerrel kell gondoskodnunk a hiba helyhez kötésérıl és ezzel kiküszöbölésérıl. A legjobb megoldás az, ha a rövid sokszögoldal pontjáról mérünk valamilyen ismert koordinátájú alappontra, mert ebben az esetben a rövid oldal tájékozott irányértékét függetleníteni tudjuk a rövid oldalon mért törésszögtıl. A köztes pontokról ismert koordinátájú pontokra való mérést használjuk hosszú sokszögvonalak megbízhatóságának növelésénél is. Ha hálózat szemléletben számítjuk a koordinátákat, úgy a fölös mérések számát növeli egy-egy ismert koordinátájú pont mérésbe vonása, ha kézi úton számítjuk, úgy az ilyen méréseknek a hibák felderítésében és kiküszöbölésében vehetjük hasznát.

15

2. A szintezés A szintezés a magasság meghatározásának egyik legısibb módszere. Az alapelve a kezdetek óta szinte semmit sem változott, és a technológiai fejlıdés is csak az 1980-as évek elején hozott áttörést a szintezés végrehajtásában és mőszereiben. Ebben a fejezetben megismerkedünk az optikai és digitális szintezés eszközeivel, módszereivel és hibaforrásaival, valamint a szintezés végrehajtásának gyakorlati szabályaival. Mielıtt azonban rátérnénk a szintezés elméletének tárgyalására, meg kell ismerkednünk a magasság értelmezésével.

2.1 A magasság fogalma, a magasságmérés módszerei A földi pontok magasságát mindig egy választott alapfelülethez viszonyítva adjuk meg. Alapfelületnek a geodéziában általában valamely középtengerszint magasságában kijelölt ponton átmenı szintfelületet, a geoidot választjuk. Elıfordulhat azonban az is, hogy alapfelületnek nem a geoidot választják, hanem egy másik szintfelületet, vagy valamilyen matematikai felületet. A különbözı magasságfogalmak tárgyalása elıtt ismerkedjünk meg a magyarországi magassági alapfelületek történetével. Magyarországon a helyi jellegő mérnöki munkákhoz, elsısorban a folyószabályozásokhoz az 1700-as évektıl kezdve végeztek szintezéssel történı nagy tömegő magasságmeghatározást. A magyarországi szintezések összekapcsolása az Adriai-tenger szintjével Vásárhelyi Pál nevéhez főzıdik, aki a Tisza és az Al-Duna szabályozásában egyaránt részt vett. Az Osztrák-Magyar Monarchia elsı szintezési hálózatát a bécsi Katonai Földrajzi Intézet tervezte és kivitelezte 1873 és 1913 között. A Monarchia területére hét szintezési fıalappontot terveztek, ezek közül a mai Magyarország területére csak egyetlen alappont esik, a Velencei-hegység gránit kibukkanásába telepített nadapi szintezési ısjegy.(2.1 ábra) A hét fıalappont magasságát és ezzel a hálózat magassági

alapszintjét

a

trieszti

Molo

Sartorio

mareográfjához (tengerszintmérı/regisztráló

berendezés vagy thalattográf) csatlakoztatták. 1875-ben kilenc hónapig tartó megfigyelésbıl meghatározták a móló mellett elhelyezett tárcsa magasságát, majd az ebbıl vezetett szintezési vonalak segítségével a hét fıalappont magasságát. A nadapi szintezési ısjegy Adria feletti magassága 173.8385 méterre adódott. A Monarchia hálózatát súlyos hibák terhelték. Az elsı világháború után Magyarország elvesztette kapcsolatát az Adriaitengerrel, ezért magyarországi hálózat magassági alapfelületetének azt az alapfelületet fogadták el, amely a nadapi fıalappont alatt 173.8385 méterre húzódik. Ezzel létrejött a nadapi magassági alapszint. A második országos szintezést 1921 és 1939 között végezték, és a második világháború után tervezték kiegyenlíteni. A háborúban a pontok 60%-a elpusztult, emiatt új hálózatot kellett tervezni. 2.1 ábra A nadapi szintezési A harmadik országos szintezés 1948-ban kezdıdött és fıalappont 1964-ben fejezıdött be. A tervezésnél felhasználták a már meglévı alappontokat, és az ország területén nyolc fıalappontot létesítettek geológiailag nyugodt környezetben. A cél az volt, hogy olyan sőrőségő hálózatot hozzanak létre, hogy minden településre jusson legalább egy alappont. 1960-ban utasítás jelent meg, amely a balti alapszint használatát írta elı. A Balti-tenger közepes tengerszintjének magasságát a Kronstadt város kikötıjében található mareográf regisztrálja. Ezzel megváltozott minden alappont magassága egy állandónak tekintett értékkel. Ezt az állandót a nadapi fıalappont esetében vezették le; a nadapi fıalappont adriai magasságából le kellett vonni 0.6747

16

métert a balti magasságra való áttéréshez. A balti alapszint tehát magasabb, mint az adriai, azaz a pontok balti magassága mindig kisebb. Az 1970-es évek végén döntés született az Egységes Országos Magassági Alapponthálózat (EOMA) létrehozására. Az EOMA elsırendő pontjai az 1960-as években létesült kéregmozgásvizsgálati pontok lettek, majd az 1980-as években megkezdıdött a másod- és harmadrendő hálózat sőrítése. Az EOMA az 1990-es évek közepére mintegy 60%-ban valósult meg, azonban nem egységesen az ország teljes területén. A Dunántúlon például csak az elsırendő hálózat készült el. Jelenleg folyik az EOMA elsırendő hálózat újramérése, és egyben az elpusztult pontok pótlása. Az alapfelülethez viszonyított magasságot alapfelület feletti, vagy más néven abszolút magasságnak nevezzük. Ha az alapfelület a középtengerszint magasságában található, úgy az abszolút magasság egyben a tengerszint feletti magasság is. Két pont magasságkülönbségén a pontok abszolút magasságának különbségét értjük. Az egyik pont másikra vonatkoztatott magasságkülönbségét nevezzük még relatív magasságnak is. Attól függıen, hogy milyen felületet választunk alapfelületnek, és hogyan viszonyítjuk ezt a pontot az alapfelülethez, többféle magasság fogalom használatos. Valamely pontnak az alapul választott szintfelülettıl az illetı ponton átmenı függıvonalon mért távolsága az úgynevezett ortométeres magasság. A szintfelületek az egyenlítıtıl a sarkvidékek felé összetartanak, ezért az azonos ortométeres magasságú pontok nincsenek ugyanazon a szintfelületen, hanem egy olyan felületen, amely párhuzamos az alapfelülettel (tehát nem szintfelület, mert a szintfelületek nem párhuzamosak!). A szabatos felsıgeodéziai mérésekben nem lehet eltekinteni attól, hogy a szintfelületek nem párhuzamosak, és attól, hogy a függıvonal egy kettıs csavarodású térbeli görbe; az alsógeodéziában azonban megfelelı közelítéssel a szintfelületeket párhuzamosnak tekintjük, a függıvonalat pedig egy függıleges egyenesnek. A felsıgeodéziában több magasság fogalom is használatos. A geopotenciális érték nem hosszúság jellegő mennyiség, hanem a vizsgálat ponton átmenı szintfelületen és az alapfelületen mért potenciálértékek különbsége. A dinamikai magasságot úgy kapjuk, hogy a geopotenciális értéket elosztjuk a normál nehézségi térerısség egy kiválasztott értékével, amely a normál ellipszoidot a 45°-os szé lességi körön jellemzi. A dinamikai magasság már hosszúság jellegő, és az azonos dinamikai magasságú pontok már egy szintfelületen vannak. A normál magasságot megkapjuk, ha a geopotenciális értéket elosztjuk a normál nehézségi térerısségnek a vizsgált pont normál ellipszoid feletti felezıpontjára kiszámított értékével. Az alsógeodéziai számítások során feltételezzük, hogy az alapszintfelület a geoid. Ebben az esetben egy pont abszolút magasságán mindig a pont tengerszint feletti magasságát fogjuk érteni. Két pont magasságkülönbsége pedig minden esetben a két pont tengerszint feletti magasságának a különbsége lesz (2.2 ábra).

2.2 ábra Két pont magasságkülönbségének értelmezése

17

Képletszerően kifejezve a magasságkülönbség:

∆m PQ = m P − m Q

(2.1)

Az 2.1-es képlet a P pontnak a Q pontra vonatkozó magasságkülönbségét jelenti. Természetesen ugyanilyen módon értelmezzük a Q pontnak a P pontra vonatkozó magasságkülönbségét is; ebben az esetben a magasságkülönbség értéke megegyezı lesz a ∆mPQ-val, azonban elıjele vele ellentétes lesz. A különbözı magasságmérési eljárások (szintezés, trigonometriai magasságmérés stb.) a pontok magasságkülönbségeit mérik. Ha a magasságmérésbe olyan pontot is bevonunk, amelynek ismerjük az abszolút (geoid feletti) magasságát, úgy a többi mért pont abszolút magassága is számítható. A földi pontok magasságkülönbségeinek a mérésére az alsógeodéziában az alábbi módszerek használatosak: •

geometriai módszer, azaz a szintezés

•

trigonometriai módszer, azaz a trigonometriai magasságmérés

•

fizikai módszer, azaz a barométeres magasságmérés.

A három említett módszer közül a barométeres magasságmérés mára már elavult, használata esetleg csak expedíciós körülmények között fordulhat elı, ezért tárgyalásától eltekintünk. Ebben a fejezetben csak a szintezés tárgyalásával fogunk foglalkozni, a trigonometriai magasságmérés ismertetése egy másik fejezet témája lesz.

2.2 A szintezés alapelve Ha a P és a Q pont magasságkülönbségét keressük, akkor az a legegyszerőbb eljárás, ha elıállítjuk valamelyik ponthoz tartozó szintfelületet, és megmérjük a P és a Q pontoknak az ettıl számított merıleges távolságát. A két pont magasságkülönbsége ennek a két leolvasásnak a különbségeként számítható (2.3 ábra).

2.3 ábra A szintezés alapelve (Krauter, 1995) Képlettel kifejezve:

∆ m PQ = M P − M Q = (l P ) − (l Q )

(2.2)

A szintezés gyakorlati végrehajtásában nem a szintfelület egy elemi darabját állítjuk elı, hanem a szintfelületnek a mőszer fekvı- és állótengelyének metszéspontján (H) áthaladó érintısíkját. A szintezés feladata tehát az, hogy meghatározza a P és Q pontoknak a szintfelület érintısíkjától

18

mért távolságát. Ehhez a P és a Q ponton egy beosztásokkal ellátott lécet, egy úgynevezett szintezılécet

állítunk

fel függılegesen, és

ezeken egy szintezımőszerrel

leolvasunk. A

szintezımőszert háromlábú állványon lehet elhelyezni a teodolithoz hasonlóan. A szintezımőszer irányvonala vízszintessé tehetı, tehát elı lehet állítani vele az irányvonal magasságában lévı szintfelület vízszintes érintısíkját. A P és a Q pontoknak ettıl az érintısíktól való távolságát úgy határozzuk meg, hogy a vízszintessé tett irányvonallal megirányozzuk a szintezılécet, és azon leolvassuk a vízszintes szál helyzetét. Az 2.3 ábra alapján:

l P = (l P ) + ∆ P l Q = (lQ ) + ∆ Q

(2.3)

azaz ∆m PQ = (l P ) − (l Q ) = l P − lQ − (∆ P − ∆ Q ) = l P − l Q − ∆ P + ∆ Q

Rövid távolságok esetén a szintfelületet gömbbel helyettesíthetjük, tehát ha a mőszert a két léctıl egyenlı távolságra állítottuk fel, azaz dP=dQ, akkor a szimmetria miatt ∆P= ∆Q. Ez azt jelenti, hogy az 2.3-as képletben az utolsó két tag (∆P, ∆Q) összege nulla, vagyis ha az érintısík érintési pontja egyforma távolságra van a P és a Q pontok függılegesétıl, akkor az lP és lQ leolvasások különbsége közvetlenül a két pont magasságkülönbségét adja meg.

∆ m PQ = l P − l Q = M P − M Q A

szintezımőszerrel

egy

állásban

csak

korlátozott

(2.4)

távolságban

lévı

pontok

magasságkülönbsége határozható meg. A távolságot befolyásolja a léc hossza, a terep lejtésviszonyai, másrészt az, hogy a lécleolvasás kellı pontossággal csak korlátozott mőszer-léc távolság esetén végezhetı el. A pontossági követelményektıl függıen a két pont távolsága 40-120 méter között lehet, azaz a mőszer léc távolság 20-60 méter között változhat. Ha a pontok távolsága ennél nagyobb, akkor a magasságmérést több mőszerállásban kell végrehajtani (2.4 ábra).

2.4 ábra A magasságkülönbség meghatározása több mőszerállásban A kiinduló A ponttól a megengedett távolságban (vagy annál kisebb távolságban) felveszünk egy 1-es számú köztes pontot, egy úgynevezett kötıpontot. Leolvasásokkal meghatározzuk az 1-es pont A pont feletti magasságát. A haladás irányával ellentétesen tett leolvasásokat hátra leolvasásnak nevezzük, a haladás irányával egyezı leolvasásokat pedig elıre leolvasásnak. Ezután választunk egy 2-es számú kötıpontot, ügyelve arra, hogy az A-1 és1-2 pontok távolsága azonos legyen. A leolvasásokkal meghatározzuk a 2-es pontnak az 1-es pont feletti magasságát. Mindezt addig ismételjük – ügyelve az azonos mőszer-léc távolságokra – amíg elérünk a B pontig. A két pont magasságkülönbsége:

∆m AB = (l H 1 − l E1 ) + (l H 2 − l E 2 ) + (l H 3 − l E 3 ) + (l H 4 − l E 4 )

(2.5)

19

Az 2.5-ös képletet más formában felírva:

∆m AB = (l H 1 + l H 2 + l H 3 + l H 4 ) − (l E1 + l E 2 + l E 3 + l E 4 )

(2.6)

A menetirányban elıl lévı B pont A pontra vonatkoztatott magasságkülönbségét megkapjuk tehát, ha a hátra leolvasások összegébıl levonjuk az elıre leolvasások összegét.

2.3 Szintezımőszerek és tartozékaik A szintezımőszereket általánosságban három csoportba lehet sorolni: •

Tulajdonképpeni szintezımőszerek: azok a mőszerek, amelyek csak szintezésre használhatóak. Három további alcsoportba lehet ıket sorolni: libellás szintezımőszerek, hagyományos kompenzátoros szintezımőszerek és digitális szintezımőszerek. A továbbiakban ezekkel a mőszerekkel fogunk részletesebben megismerkedni.

•

Egyetemes szintezımőszerek: fı rendeltetésük a szintezés, de vízszintes szögmérésre, optikai távmérésre és esetleg zenitszögmérésre is használhatók. Ebbe a csoportba elsısorban a rögzített távcsövő, távmérıszállal ellátott szintezımőszerek tartoztak; a mai mérnöki gyakorlat már nem használja ıket.

•

Egyetemes mőszerek: azok a mőszerek tartoztak ebben a csoportba, amelyek fı rendeltetése nem a szintezés volt, de fel voltak szerelve szintezılibellával is, így szintezésre is lehetett ıket használni. Egyetemes mőszerek voltak elsısorban a tahiméterek, amelyek a hagyományos topográfiai felmérésnek voltak a mőszerei.

2.3.1 A libellás szintezımőszerek A libellás mőszereknél a távcsı irányvonalának vízszintessé tételére egy csöves libella, az úgynevezett szintezılibella szolgált (2.5 ábra). A távcsı szögnagyítása átlagosan 15-25-szörös, a szintezılibella állandója pedig 30-60”. Amennyiben a szintezılibella tengelye párhuzamos az irányvonallal, akkor a szintezılibella buborékjának középre állítása után az irányvonal vízszintes lesz. A szintezılibellát a távcsı fekvıtengely körüli szabatos forgatásával, a szintezıcsavar segítségével lehetett középre állítani.

2.5 ábra A libellás szintezımőszer (Krauter, 1995) A libellás szintezımőszereken csak az egyszerőbb megoldásokon lehetett közvetlenül szemlélni a szintezılibella buborékját. Általában egy prizmás vetítıberendezés segítségével a két buborék-felet bevetítették vagy az okulárba, vagy egy külön nagyítóba. A szintezıcsavar forgatásával a két buborék

20

ellentétes irányba mozdult el; a távcsı akkor volt vízszintes (volt középen a szintezılibella buborékja), ha a két buborék-felet koincidenciában láttuk. A libellás szintezımőszer vizsgálatakor három feltételnek kell teljesülnie: •

A szelencés libella legyen igazított az állótengelyhez. Amennyiben a szelencés libella igazított az állótengelyhez és a talpcsavarokkal középre állítottuk, akkor a mőszert körbe forgatva a szintezıcsavar használatával a szintezılibella buborékja bármely helyzetben középre hozható. Ha a szelencés libella nem igazított az állótengelyhez, akkor el kell végeznünk az állótengely pontos függılegessé tételét a szintezılibellával a Geodézia I-ben már megismert módon, majd az igazítócsavarok segítségével középre kell állítani a szelencés libella buborékját. A középre állított helyzetet le kell ellenırizni (vagy esetleg meg is kell ismételni) egy 180 fokkal eltérı helyzetben.

•

A fekvı irányszál legyen merıleges az állótengelyre. Megfelelıen pontos lécleolvasást végezni csak abban az esetben lehet, ha nincs szálferdeség. Ha a fekvıszál bal oldalával megirányzunk egy pontot, majd a mőszer parányi forgatásával a pont képét végigvezetjük a fekvıszálon és nem mozdul le róla, akkor a fekvıszál merıleges az állótengelyre. Ellenkezı esetben a mőszert igazítani kell; a diafragmagyőrő segítségével el kell forgatni a szállemezt, és ezzel hozni vízszintes helyzetbe a fekvıszálat.

•

A szintezılibella buborékja legyen igazított a távcsı irányvonalához. A szintezılibella középre állításával a távcsı irányvonala csak abban az esetben lesz vízszintes, ha a buborék tengelye párhuzamos az irányvonallal. Ellenkezı esetben irányvonal-ferdeségrıl beszélünk, amely a szintezés egy nagyon jelentıs hibaforrása. Vizsgálata nagyon fontos a mérnöki gyakorlatban. Közel vízszintes terepen jelöljünk ki két pontot egymástól t távolságra, legalább 30 méterre (2.6 ábra). Álljunk fel a szintezımőszerrel a két ponttól egyenlı távolságra, és határozzuk meg a két pont magasságkülönbségét. A mőszer-léc távolságok egyenlısége miatt az irányvonal ferdesége ugyanolyan mértékben fogja terhelni a hátra és az elıre leolvasást, így hatása a „hátra mínusz elıre” számítási képletnek megfelelıen kiesik. A magasságkülönbséget többszörös ismétléssel határozzuk meg – ezzel is csökkentve a meghatározást

terhelı

hibák

elıfordulásának

lehetıségét

–

és

a

hibátlan

magasságkülönbségnek (∆m) a meghatározott magasságkülönbségek számtani középértékét fogadjuk el.

2.6 ábra Az irányvonal-ferdeség meghatározása Ezután a szintezımőszert áthelyezzük a hátra léc mögé, a legkisebb irányzási távolságnál alig ’ ’ nagyobb tk távolságba. Ezután ismét leolvasunk a hátra és az elıre lécen (l E, l H), és

21

meghatározzuk az irányvonal-ferdeség hatásával terhelt hibás magasságkülönbséget. Ezt a magasságkülönbséget is többszörös ismétléssel határozzuk meg. Az 2.6 ábra alapján:

∆ = l E' + ∆m −l H' = ∆m − (l H' − l E' ) = ∆m − ∆m ' azaz tgγ =

(2.7)

∆ ∆m − ∆m ' = t t

Ahonnan a γ irányvonal-ferdeség kiszámítható. A vízszintes irányvonalhoz tartozó lécleolvasás: ' l kell = l E' − κ

κ = (t k + t ) ⋅ tgγ

(2.8)

A vizsgálat végén a fekvıszálat a szintezıcsavarral a kell leolvasás értékre kell állítani.

2.3.2 A kompenzátoros szintezımőszerek A kompenzátoros szintezımőszereknél elegendı a mőszer állótengelyét csak közelítıleg függılegessé tenni, a távcsı ferdeségét, a távcsıhajlást a kompenzátor már automatikusan kompenzálni fogja, és ezzel állítja elı a vízszintes irányvonalat. A kompenzátorok szerkezeti megoldásairól már volt szó Geodézia I-bıl, ezért ebben a fejezetben a kompenzátorok szerkezeti megoldását már nem tárgyaljuk részletesen, csak annyit említünk meg, hogy a szintezımőszerekben a leggyakrabban ingás felfüggesztéső kompenzátorokat használnak. A kompenzátos szintezımőszerek elınye a libellás szintezımőszerekkel szemben, hogy használatuk gyorsabb és egyszerőbb, kevésbé érzékenyek a hıhatásokra. Hátrányuk az, hogy jármővek mozgásának hatására vagy erıs szélben a kompenzátor rezgésbe jöhet, és ez megnehezíti, vagy éppen lehetetlenné teszi a leolvasás végrehajtását. A kompenzátoros szintezımőszerek távcsöve az alhidádéval össze van kötve, a mőszernek tehát nincs fekvıtengelye. Tételezzük fel, hogy a távcsı irányvonala nem vízszintes, hanem azzal valamilyen α szöget zár be. Az objektív optikai középpontján átmenı vízszintes fénysugár, az úgynevezett fısugárnak a szintezıléc képével alkotott L metszéspontja adja a helyes lécleolvasást. Amennyiben a távcsı pontosan vízszintes lenne, az L döféspont az S szálkereszt középpontban képzıdne le. Nem teljesen vízszintes irányvonal mellett L és S pontok nem esnek egybe (2.7 ábra).

2.7 ábra A kompenzálás elmélete szintezımőszereknél: a, a távcsıhajlás; b, irányvonalvezérlés; c, fısugár-vezérlés (Krauter, 1995)

22

A kompenzátor feladata lényegében az, hogy a kompenzálás tartományán (értéke 8-10’) belül biztosítsa az L lécpont képének és az S pontnak az egybeesését. Ennek két gyakorlati megvalósítása lehetséges: •

Irányvonal-vezérlés. A K pontbeli kompenzátor az S pontot eltolja az L pontba, tehát az irányvonal mozdul el. A leggyakoribb megoldása a szálkereszt ingaszerő felfüggesztése.

•

Fısugár-vezérlés. A kompenzátor az L pontot tolja el az S pontba, azaz megtöri a vízszintes fısugarat. A leggyakoribb megoldása valamely optikai elemnek az ingaszerő felfüggesztése. A kompenzátoros szintezımőszerekkel szemben az alábbi követelményeket támasztjuk:

•

A szelencés libella legyen igazított az állótengelyhez. Vizsgálata és igazítása ugyanolyan módon történik, mint a libellás szintezımőszereknél.

•

A fekvı irányszál legyen merıleges az állótengelyre. Vizsgálata és igazítása ugyanolyan módon történik, mint a libellás szintezımőszereknél.

•

Horizontferdeség. A távcsıhajlást a ferde állótengely okozza, amely a kompenzátor nem megfelelı mőködésébıl származik. Ha a mőszert elforgatjuk az állótengely körül olyan módon, hogy az irányvonal az állótengely dılési síkjába essen, akkor a távcsıhajlás nagysága az állótengely dılési szögével azonos nagyságú lesz. Természetesen két ilyen helyzet van; ezek egymással 180 fokot zárnak be. A két helyzetben a távcsıhajlás értéke azonos mértékő lesz, de elıjele ellentétes. Amennyiben az irányvonal merıleges az állótengely dılési síkjára, úgy a távcsıhajlás értéke nulla lesz. Ha az állótengely ferdesége a kompenzátor kompenzálási tartományán belül van, és a kompenzátor hibátlanul mőködik, úgy a mőszer képes kezelni a távcsıhajlás értékét, és a vízszintes irányvonalhoz tartozó lécleolvasást. Amennyiben az állótengely dılése nagyobb, mint a kompenzátor mőködési tartománya, vagy a kompenzátor nem mőködik megfelelıen, a mőszer nem lesz képes elıállítani a vízszintes horizontsíkot. Ezt a jelenséget horizontferdeségnek nevezzük. Kiküszöbölése a mőszer állótengelyének gondos függılegessé tételével lehetséges (és a szelencés libella állótengelyhez való igazításával), illetve a kompenzátor hibájának esetén mőszerlaboratóriumban, finommechanikai eszközökkel.

•

Az alapirányvonal legyen merıleges az állótengelyre. A vizsgálat célja a libellás szintezımőszerekhez hasonlóan az irányvonal-ferdeség meghatározása. Alapirányvonalnak az irányvonalnak pontosan függıleges állótengely mellett elfoglalt helyzetét tekintjük. A hibátlan ∆m magasságkülönbség meghatározásához a mőszert a két léctıl egyenlı távolságra, a két léc összekötı egyenesén kell meghatározni. A horizontferdeség hatásának kiküszöbölése miatt a magasságkülönbség meghatározását kétszer kell elvégezni, egyszer objektív hátra állásban, egyszer pedig objektív elıre állásban kell középre állítani a szelencés libella buborékját a talpcsavarok segítségével, majd utána elvégezni a leolvasásokat. Ezután át kell állni a hátra léc mögé a mőszer legkisebb leolvasási távolságánál alig nagyobb távolságra, és meg kell határozni az irányvonal ferdeség hatásával terhelt magasságkülönbséget. Ebbıl a leolvasásból a horizontferdeség hatását olyan módon lehet kiküszöbölni, hogy leolvasás elıtt egy rátét libellával az állótengelyt gondosan függılegessé tesszük. A kell leolvasást a libellás szintezımőszereknél ismertetett képlet alapján lehet számolni, majd a kompenzátor megfelelı igazítócsavarjával a fekvıszálat a kell leolvasás értékre tolni.

23

2.3.3 Digitális szintezımőszerek A hagyományos libellás és kompenzátoros szintezımőszerek a mai mérnöki gyakorlatban háttérbe szorultak a digitális szintezımőszerekkel szemben. Elérhetı áruk, a leolvasás automatikussá tétele, egyszerő és gyors kezelésük, esetlegesen beépített programjaik (pl. kiegyenlítés, stb.) új lehetıségeket nyitottak a pontos mérnöki magasságmeghatározásban. A mai digitális szintezımőszerek elıdjét a bonni egyetemen Zetsche professzor irányításával fejlesztették ki 1966-ban. A mőszer bárkódos osztású szintezılécen tudott leolvasni, és speciális

zoom

optikája kompenzálni tudta a méretarány-változást. A méretarány-változás

kompenzálás azt jelenti, hogy az osztásvonások távolsága a képen a léctávolságtól függetlenül mindig azonos marad. A drezdai mőszaki egyetemen 1982-ben kezdıdtek meg azok a kutatások, amelyek eredményeként 1987-re elkészült egy mai értelemben vett digitális szintezımőszer prototípusa, sorozatgyártása azonban sohasem valósult meg.

amelynek Az elsı

sorozatgyártású digitális szintezımőszert a Leica cég mutatta be 19902.8 ábra A Leica NA 2000 digitális szintezımőszer és a hozzá tartozó bárkódos léc egy szakasza

ben (NA2000), amely már egy bárkódos lécrıl tudott automatikus leolvasást

végezni

(2.8

ábra).

Ma

már

több

különbözı

mőszergyártó – Leica, Sokkia, Topcon, Trimble stb. – kínálja eladásra a különbözı pontossági kategóriába sorolható szintezımőszereit. A digitális szintezımőszerek megvalósításakor az jelentette a legnagyobb kihívást, hogy hogyan tudják megvalósítani a bárkódos lécek osztásvonásainak leolvasását, majd a kapott digitális adatok átalakítását számértékekké. A lécleolvasások meghatározása nagyon hasonló a vízszintes, elektronikus körleolvasások (lásd Geodézia I.) meghatározásához (2.9 ábra). A digitális szintezımőszerek geometriai mőködésének alapelve az, hogy a léc megirányzása után a látómezıben megjelenı (és egyben a szálsíkban leképzıdı) léckivágatot az optika leképezi egy CCD (Charge Coupled Device) cellasorra. A léckivágat a szintezılécnek egy szakasza, amelyen meg kell határozni a vízszintes irányvonalnak a döféspontját. A vízszintes irányvonalhoz tartozik egy olyan leolvasás, amelyet a szálkereszt helyett egy kalibrálási eljárással meghatározott cellához rendelnek.

.

2.9 ábra A digitális szintezımőszer geometriai mőködésének elve A bárkódos szintezılécen fekete és fehér osztások vannak, így amikor a léckivágat képe leképzıdik, akkor a CCD érzékelıkön lényegében a beérkezett fényintenzitások képzıdnek le. Ezeket egy analóg-digitál átalakító a jelnégyzetelés módszerével átalakítja bináris számokká, azaz 0 és 1

24

számjegyekké (2.10 ábra). A feldolgozóegységben 0 és 1 számjegyekbıl álló kódsorozatot a kódkorreláció módszerével összehasonlítják egy elıre eltárolt referencia jelsorozattal, és így már értelmezhetıvé válik a léckivágat képe. Ha sikerül a léckódokat értelmezni, akkor egyben meg lehet határozni a vízszintes irányvonalhoz tartozó lécleolvasást is, amelyet a mőszer általában a ferde távolsággal együtt kijelez a kijelzıre.

2.10.ábra A digitális szintezımőszer mérési folyamata

Összefoglalóan a mérés folyamata a digitális szintezımőszerek esetén négy részre osztható: 1. A léc képének rögzítése egy 256-2048 pixellel (képelem) rendelkezı CCD-soron. 2. A léc képének analóg-digitál átalakítása. 3. A digitális kép különbözı módszerekkel (pl. jelnégyzetelés, kód-korreláció stb.) történı kiértékelése. 4. Eredmény kijelzése a kijelzın. (magasságkülönbség, vízszintes távolság) Amikor 1990-ben az elsı digitális szintezımőszert a szakmai nyilvánosság elıtt bemutatták, a fejlesztık szabályos hibáktól mentes méréseket ígértek. A hagyományos szintezımőszerekhez hasonlóan azonban a digitális szintezımőszerek sem tökéletesek, számos gyengeséggel rendelkeznek. A digitális mőszerek optikai-mechanikai felépítése nagyon hasonló a kompenzátoros szintezımőszerekéhez, kiegészítve természetesen a képrögzítés, képfeldolgozás és képkiértékelés megfelelı elemeivel. A kompenzátoros szintezımőszereknél fellépı hibák ennél a mőszercsoportnál is megtalálhatóak. A késıbbiekben ismertetett refrakció és légrezgés a digitális mőszerekre is hatással van, bár nagy elıny, hogy a mőszer egy sávot olvas le, és korlátozható a leolvasott lécsáv magassága. A mőszerek a rezgésekre is érzékenyek, ezért építési környezetben vagy forgalmas út mellett, nagy szélben a leolvasás nehézségekbe ütközhet. A leolvasó egység nagyon érzékeny a léc megvilágítására. Alkonyatkor, sötétebb helyen nem jut elég fény a CCD érzékelıkre, emiatt a mérés félbeszakad. Megoldást jelenthet a léc lámpával történı megvilágítása. Ellenkezı hatás lép fel erıs napsugárzásban, ha közvetlenül a nap irányába álló lécre kell irányozni. Ebben az esetben a CCD

25

érzékelıkre túl erıs fény jut, és a mérés szintén megszakad. Kiküszöbölése objektív védısapkával lehetséges. Ha az irányvonal mintegy 6 centiméterrel a léc teteje fölé, vagy a léc talpa alá esik, akkor a mérés még lehetséges, de kedvezıtlen a hibaterjedés szempontjából. A léc alsó részén történı leolvasást a fenti hiba és a refrakció miatt kerülni kell, azért azt szokták kikötni, hogy a legalacsonyabb leolvasás nem lehet kisebb, mint 0.50 méter. Ha a lécen található szelencés libella buborékját nem megfelelıen állítjuk középre, akkor ennek hatása a léc tetején tett leolvasásnál lesz maximális. Az esetleges léc feletti leolvasások és a szelencés libella nem megfelelıen történı középre állítása miatt bekövetkezı hibák elkerülése végett a léc felsı 0.30-0.50 méteres sávjában nem szabad leolvasni. A mőszerek kiértékelı algoritmusai bizonyos mértékig kezelni tudják a léc kitakarását, de ez nem lehet nagyobb, mint a teljes léchossz 30%-a. Ha a lécet nem merılegesen tartjuk az irányvonalra, akkor a lécelfordulás miatt az érzékelıkön csak a léc egy keskeny sávja képzıdik le, amely adott esetben meghiúsítja a mérést. Mőszerlaboratóriumi vizsgálatok kimutatták, hogy a lécelfordulás mintegy 51°-ig nem okoz jelent ıs hibát. A késıbbiekben ismertetett mőszer- és lécsüllyedési hiba, a szintfelület görbültsége, az irányvonalfedeség és a horizontferdeség, a lécosztás hibái, valamint a léc talpponti hibája szintén befolyásolja a digitális szintezımőszerekkel elérhetı pontosságot.

2.3.4 A szintezıfelszerelés A szintezımőszerek felállításakor nem kell pontra állni, az állótengelyt csak közelítıen kell függılegessé tenni egy szelencés libellával. A szintezımőszerek állványa hasonló a teodolitok mőszerállványához; általában nem olyan robosztus felépítésőek, és gyakran nem összecsúsztatható lábakkal rendelkeznek. A szintezıléc anyaga általában fa vagy üvegszál, újabban alumínium. A léc hossza általában 3 méter, de készülnek ettıl hosszabb és rövidebb lécek is, különösen a speciális mérnökgeodéziai feladatok végrehajtásához (2.11 ábra). A lécek lehetnek egy tagból állóak, félbe hajthatók vagy teleszkóposak. A teleszkópos léceket az illesztésnél fellépı osztáshibák miatt csak kisebb megbízhatóságú szintezési feladatoknál lehet alkalmazni. A lécek hátoldalán szelencés libella van, amely feladata a léctengely függılegesbe állítása. A lécek hátoldalára gyakran szerelnek kihajtható fogantyúkat, amelyek a könnyebb léctartást teszik lehetıvé. A hagyományos lécek centiméteres vagy fél-centiméteres osztásúak, a digitális szintezıléceken pedig kódolt osztásokat alkalmaznak. Nem szabatos szintezésnél szintezısaru biztosítja, hogy a léc magassági helyzete mérés közben ne változzon meg. A szintezısaru öntöttvasból készül, alul körmökkel mélyed a talajba, felsı 2.11 ábra Hagyományos szintezıléc és szintezısaru

része

gömbsüveg

alakú,

amelynek

legmagasabb pontjára kell helyezni a szintezılécet. Ebben az esetben a szintezıléc alsó éle függıleges

léctartás mellett a szintezısaru legmagasabb pontjának érintı egyenese. A szintezısarura helyezett léc magassága változatlan marad, amikor a léc hátra leolvasásból elıre leolvasásba fordul, azaz az új mőszerállás felé. Szabatos méréseknél nem szintezısarut, hanem vascöveket vagy karó tetejébe vert gömbölyőfejő szeget szoktak alkalmazni a lécek alátámasztására.

26

2.4 A szintezés szabályos hibaforrásai A szabályos hibák eredetük szerint lehetnek személyi hibák, a mérımőszer és a mérıfelszerelés hibái, valamint a külsı körülmények okozta hibák. A személyi hibák a szintezésnél a gyakorlati szabályok betartásával elkerülhetıek, ezért ezek tárgyalásával a késıbbiekben nem foglalkozunk. A hibák bemutatásánál feltételezzük, hogy a hibák egymástól függetlenek és szétválaszthatóak, így az eredményt mindig csak az éppen vizsgált hiba hatása terheli. A szintezés szabályos hibái a következık:
A mérımőszer hibái: irányvonal-ferdeség, horizontferdeség, fekvıtengely külpontossága
A mérıfelszerelés hibái: léc talpponti hiba, lécosztás hibái, lécferdeség,
Külsı körülmények okozta hibák: mőszersüllyedés, lécsüllyedés, refrakció, szintfelület görbültségének hatása.

2.4.1 A mérımőszer hibái •

Az irányvonal-ferdeség. Ismertetése, vizsgálata és igazítása megegyezik a libellás és kompenzátoros szintezımőszereknél elmondottakkal.

•

Horizontferdeség. Ismertetése, vizsgálata és igazítása megegyezik a kompenzátoros szintezımőszereknél elmondottakkal. A horizontferdeség hatása nem szabatos méréseknél mérési módszerrel is kiküszöbölhetı, ha a mérést oda-vissza irányban végezzük el.

•

Fekvıtengely külpontossága. Fekvıtengely külpontosságról akkor beszélünk, ha a fekvı- és az állótengely nem metszi egymást. A külpontosság csak abban az esetben okoz hibát, ha az állótengely nem függıleges. Ha az állótengely ferdesége α, és a fekvıtengely külpontossága e, akkor egy lécleolvasásra δl=e×α hatással van, egy mőszerálláson belül meghatározott magasságkülönbségre pedig δ∆m=2×e×α. A képlet mutatja, hogy a hiba veszélyesen halmozódik. Hatása csökkenthetı az állótengely gondos függılegessé tételével. A mőszergyártók törekednek arra, hogy a fekvıtengely szabatosan központos legyen, ezért az ebbıl származó hiba elhanyagolható nagyságrendő. Ha α=15”, e=0.1 mm, akkor δl=1.5 mm és δ∆m=3.0 mm.

2.4.2 A mérıfelszerelés hibái •

Talpponti hiba. Ha a lécosztás kezdıvonása nem esik a léc hossztengelyre merıleges alsó érintısíkjába, akkor a lécnek talpponti hibája van. A talpponti hiba nem befolyásolja a magasságkülönbség meghatározását, ha egyetlen szintezılécet használunk. Két szintezılécet használva az egyetlen mőszerállásban meghatározott magasságkülönbség a két talpponti hiba különbségével lesz hibás. A következı mőszerállásban meghatározott magasságkülönbség ugyanekkora, de ellentétes elıjelő hibával lesz terhelt. Ha a szintezési vonalban összegezzük a mőszerállásokban meghatározott magasságkülönbségeket, és páros számú mőszerállásban mértünk, akkor a két végpont magasságkülönbségébıl a talpponti hiba hatása kiesik. A szintezést – két léc használata esetén - tehát mindig páros számú mőszerállásban kell végrehajtani. A bizonyításhoz vizsgáljunk meg egy két mőszerállásból álló szintezési vonalat, ahol a lécek talpponti hibáját jelölje ∆A és ∆B.

27

∆m PQ = (l P + ∆ A ) − (l1 + ∆ B ) + (l1 + ∆ B ) − (l Q + ∆ A ) = = l P + ∆ A − l1 − ∆ B + l1 + ∆ B − lQ − ∆ A = l P − l1 + ∆ A − ∆ B +

(2.9)

+ l1 − lQ + ∆ B − ∆ A = ∆m P1 + ∆m1Q •

A lécosztás hibája. A szintezés lényegében függıleges irányú hosszmérés, éppen ezért a szintezılécet mind beosztására, mind egységére meg kell vizsgálni, azaz a mérıszalagokhoz hasonlóan komparálni kell. A beosztásra való vizsgálatnál meg kell nézni, vajon az osztásközök egyenlık-e. Az eltérések a beosztás hibái. A léceket általában szabatos osztógépekkel hozzák létre, ezért a beosztás hibái általában elhanyagolhatóak. Az egységre való vizsgálat megállapítja, hogy a lécen méternek kijelölt hosszúság mennyiben tér el a hivatalos métertıl. A lécegység vizsgálatát komparátorral végezzük el. Mivel a léc osztáshibáinak hatása nem küszöbölhetı ki mérési módszerrel, ezért a komparálást meghatározott idıközönként el kell végezni. Szabatos szintezésekhez használt léceknél évente két alkalommal komparálják, általában kora tavasszal és késı ısszel.

•

Lécferdeség. A lécferdeség azt jelenti, hogy a szintezıléc tengelye nem függıleges, hanem azzal valamilyen szöget zár be. Hatása arányos a lécelfordulás szögével, és arányosan növekszik a lécleolvasással. Ha α értékő a lécdılés, és L a lécleolvasás 2

függıleges léctartás mellett, akkor a lécferdeség hatása δ=-α /2×L. A végpontok ∆m 2 magasságkülönbségében a hatása δ∆m=-α /2×∆m. Hatása kiküszöbölhetı a szelencés libella pontos igazításával az állótengelyre, valamint ha a lécet a mérés közben valamilyen kitámasztó eszköz segítségével tartjuk. Ha a léc hátoldalán tartófülek vannak, akkor ez megkönnyíti a léc függılegesben tartását, ha nincsenek rajta tartófülek, akkor a kitámasztást két bot segítségével szokták megoldani. Érdekességként megjegyezzük, hogy hatása 1 fokos ferdeséget feltételezve 3 méteres lécen 0.50 milliméter. Ha α=5° és L=1510, akkor δ=-5.75 mm. Ha ∆m=10 000 mm, és α=5°, akkor δ∆m=-38.1mm.

2.4.3 A külsı körülmények okozta hibák •

Mőszersüllyedés. Amennyiben a hátra és elıre leolvasás között a mőszer magassági

helyzete

megváltozik,

mőszersüllyedésrıl

beszélünk.

Ha

minden

mőszerállásponton fellép a hatása, akkor az összegzett magasságkülönbségben minden mőszerálláspont mőszersüllyedési hibája megjelenik, azaz a hiba halmozódik. Ha feltételezzük, hogy a süllyedés egyenletes egy mőszerálláson belül, és a mérést hátra-elıre, majd elıre-hátra irányban is elvégezzük, akkor a meghatározott magasságkülönbségbıl a mőszersüllyedés okozta hiba kiesik. Ez a szabatos szintezés módszere (H-E-E-H). Legyen a hátra1 leolvasásnál a mőszersüllyedés értéke 0, az elıre1 leolvasásnál ∆, az elıre2 leolvasásnál 2∆, és a hátra2 leolvasásnál 3∆. Ekkor két magasságkülönbséget lehet számolni: ∆      ∆

∆    3∆    2∆     ∆

(2.10)

A két magasságkülönbség számtani középértékébıl a mőszersüllyedés hatása kiesik. A kisebb megbízhatóságú szintezéseknél elegendı a mérést oda-vissza irányban elvégezni, és ekkor – egyenletes és azonos mértékő mőszersüllyedést feltételezve –

28

a közepelt magasságkülönbségbıl a hiba hatása kiesik. A hiba hatását csökkenteni lehet a mőszerlábak gondos letaposásával. •

Lécsüllyedés. Ha a mőszer átállása idején, azaz a szintezılécre végzett elıre leolvasás és az átállás után ugyanarra a szintezılécre végzett hátra leolvasás idıpontja között a szintezıléc helyzete magassági értelemben megváltozik, lécsüllyedésrıl beszélünk. A lécsüllyedés a mőszersüllyedéshez hasonlóan halmozódásra hajlamos hiba. A lécsüllyedés hatásának csökkentésére a kötıponton elhelyezett sarut bele kell taposni a földbe. Amennyiben vascöveket vagy fakarót használunk a kötıponton, úgy azokat megfelelı mélységbe le kell ütni, és célszerően a mérés elıtt egy napig állni kell hagyni ıket. Ez az idıtartam alatt a cövek-föld kölcsönhatás erıi nyugalomba kerülnek, és várhatóan sem süllyedés, sem azzal ellentétes „kiemelkedés” nem fog elıfordulni a mérés közben. Természetesen a hátra és elıre mérések között a lécet a kötıpontról nem szabad levenni, azon el kell fordítani. Ha a szintezést oda-vissza értelemben, egyenletes sebességgel végezzük, akkor a közepelt magasságkülönbségekbıl a hiba hatása kiesik.

•

Refrakció. A légkör egy inhomogén közeg. A fény csak az optikailag egynemő környezetben halad egyenes vonalban, a levegı azonban eltérı sőrőségő és összetételő rétegekbıl áll, tehát a fény rajta áthaladva Snellius-Descart törvénye alapján törést szenved. Ebben a bekezdésben a szintezés szempontjából fontos alsó 3-4 méteres réteg tulajdonságaival fogunk foglalkozni, elsısorban a hımérséklet változásával, amely a legfıbb oka a levegı sőrőségváltozásának, és ezzel a refrakciónak. A Nap sugarai felmelegítik a talajt, az pedig a felette lévı levegıréteget. A hımérséklet nappal a magassággal csökken, éjszaka pedig fordítva, a magassággal nı. Ez azt jelenti, hogy éjszaka alul a hidegebb, tehát sőrőbb levegırétegek helyezkednek el. A Nap felkeltével a talaj elkezd felmelegedni, és a napkelte utáni elsı félórában fellép a léglengés jelensége: egy-egy nagyobb, felmelegedett légtömeg felemelkedése. Ebben az idıszakban szintezni nem szabad, mert a kép a szintezımőszer látómezejében a léglengés hatására lassú periódusú lengı mozgást végez, amely téves lécleolvasáshoz vezethet. A léglengést követı kb. 2 órás idıszakban a távcsıben látható kép nyugodt lesz, majd utána beáll az izotermia állapota: azaz a légkör egyensúlyba kerül, a hımérséklete nem fog változni a magassággal. Az izotermia állapotát követıen az alsó légrétegek már melegebbek lesznek a felettük lévıknél, a légkör állapota labilissá válik. Az izotermia idıszakától számítva kb. 1 óra múlva megkezdıdik az alsó légrétegek felfelé áramlása, azaz légrezgés lép fel. A légrezgés azt jelenti, hogy megindul a melegebb és hidegebb levegı részecskék idıtıl és helytıl függı véletlenszerő helycseréje. A távcsıben a kép remegni kezd. A légrezgés állapota a déli órákban éri el maximumát. Délután a légkör változásai a reggelivel ellentétes sorrendben játszódnak le: légrezgés, izotermia, nyugodt idıszak, léglengés. Szintezésre tehát a legalkalmasabb idıszak a napkelte utáni félórával kezdıdı 2-3 órás idıszak, valamint a napnyugta elıtti félórával végzıdı 2-3 órás idıszak. Vízszintes terepen a refrakció sem nappal, sem éjszaka végzett szintezés esetén nem okoz szabályos hibát a magasságkülönbségben. Lejtıs terepen a hátra és elıre leolvasásnál az irányvonal eltérı magasságban halad a talaj felett, tehát eltérı hımérséklető és sőrőségő rétegben. Ebben az esetben mind nappali, mind éjszakai mérésnél a magasságkülönbséget a refrakcióból eredıen szabályos hiba terheli. A refrakció

29

hatása csökkenthetı, ha nem engedjük az irányvonalat 0.50 méternél alacsonyabban haladni a talaj felett, valamint korlátozzuk a maximális mőszer-léc távolságot. Ennek oka, hogy a refrakciógörbe egy körnek fogható fel, tehát hatása a léctávolság négyzetével arányosan nı. •

Szintfelület görbültségének hatása. Szintezéskor nem a szintfelülettıl, hanem a szintfelület mőszer álláspontbeli érintıjétıl mért távolságot mérjük meg. A szintfelület görbültségének figyelmen kívül hagyása tehát szabályos hibát okoz. Ha azonos mőszer-léc távolságokat veszünk fel, akkor az érintısík mind a két lécnél ugyanolyan mértékben tér el a szintfelülettıl, azaz hatása a két lécleolvasásra azonos értékő lesz. A mőszerállásponton belül a magasságkülönbséget a hátra leolvasás és az elıre leolvasás különbségeként számítjuk, azaz a számított magasságkülönbség értéke mentes a hiba hatásától (lásd 2.3 ábra és 2.3 képlet).

2.5

A szintezés végrehajtásának gyakorlati szabályai Az elızı fejezetekben megismerkedtünk a szintezımőszerek fajtáival, a szintezés szabályos

hibaforrásaival és kiküszöbölésük módjával. végrehajtásának szabályait foglaljuk össze.

Ebben

a

fejezetben

a

szintezés

gyakorlati

A lécet felállítjuk a vonal kezdıpontján, erre a lécre fogjuk végezni az elsı hátra leolvasást. A másik léces elindul a hátsó ponttól, és vagy lépéssel, vagy szalaggal kiméri a léc-mőszer távolságot, és ott megjelöli a mőszerállás helyét. A mőszeres feláll ezen a ponton, míg az elıre léces kimérve az elıbbi léc-mőszer távolságot szintén feláll elıre irányban. A szintezısarut leteszi a földre, jól letapossa, és a közepére helyezi a szintezılécet. Az észlelı miután jól letaposta a mőszer lábait, az állótengelyt közelítıleg függılegessé teszi a szelencés libellával. Megirányozza az irányzó dioptrával vagy a mőszer tetején elhelyezett sínnel a hátra léc középvonalát, majd megszőnteti a parallaxist, és a paránycsavar segítségével elvégzi a pontos irányzást. Az álló irányszálnak és a léc tengelyének fedésbe kell kerülnie. Leolvas a mőszer három szálán négy számjegyet. Az elsı kettıt a lécen megírt számok alapján, a harmadikat az osztások megszámlálásával, a negyediket, azaz a milliméter értéket (centiméteres osztást feltételezve) pedig becsléssel. Az elıre lécen ugyanezt a mőveletsort kell elvégezni azzal a különbséggel, hogy azonos mőszer-léc távolságok esetén az elıre léc irányzásánál már nem lép fel parallaxis. A jegyzıkönyvvezetı felírja a jegyzıkönyvbe a három szálon tett leolvasásokat mind a hátra, mind az elıre léc esetében. Képezi a leolvasásokból a magasságkülönbségeket, és ha azok hibahatáron belül egyeznek, akkor tovább lehet indulni a következı álláspontra. A volt elsı léces nem mozdul, csak óvatosan átforgatja a szintezılécet a másik irányba. Az észlelı vállon tovább viszi a mőszert, és most a volt hátsó léces méri ki a mőszer-léc távolságot elıre irányban. Ha mindig a leendı elıre léces méri ki a mőszer-léc távolságot biztosítani tudjuk a hátra és elıre távolságok egyenlıségét. A második és a további mőszerálláspontokon a fentebb leírt folyamatot kell ismételni. A szintezés legfontosabb gyakorlati szabályait a következıkben lehetne összefoglalni: •

A mőszer-léc távolságok azonosak legyenek.

•

A szelencés libella buborékját az állótengely közelítı függılegessé tételéhez mindig gondosan középre kell állítani a mőszer és a léc esetében is.

•

A hátra és elıre irányzás között a parallaxiscsavarhoz feleslegesen hozzányúlni nem szabad.

•

A mőszerlábakat és a szintezısarut gondosan le kell taposni.

•

A szintezımőszert óvni kell az egyoldalú felmelegedéstıl.

30

•

A szintezést a lehetıségekhez és a pontossági követelményekhez mérten oda-vissza irányban kell végezni.

•

A mérést csak arra alkalmas idıben és egyenletes sebességgel szabad végrehajtani.

•

A mérést páros számú mőszerállásban kell elvégezni.

A szintezési eredményének megbízhatóságát az aprioiri (elızetes) és aposteriori (utólagos) középhibák számításával adhatjuk meg. Az apriori középhibákat a mérések megkezdése elıtt szoktuk kiszámítani, mintegy becslésképpen a végrehajtandó szintezés paramétereinek (pl. szakasz hossza, mőszerállások száma, mőszer-léc távolság stb.) ismeretében. Az aposteriori középhibákat mindig a mérés után számítjuk ki a mérést jellemzı tényleges (tehát nem a tervezett) paraméterek ismeretében, ezzel minısítve a munkánkat. Tételezzük fel, hogy a szintezésbeni lécleolvasásokat csak véletlen jellegő hibák terhelik. A végpontok magasságkülönbségének középhibája (m) a lécleolvasás középhibájától (ml), a szakasz vagy vonal hosszától (L) és a mőszer-léc távolságtól (d) függ. Az apriori középhiba számításának egy módja tehát:

  ! · "

Ha ml=±2mm, L=1 km és d=70 m, akkor m=±7.6 mm.

#

$

(2.11)

Az apriori középhiba meghatározásánál gyakran használjuk a mérıfelszerelést jellemzı középhibát, az irányvonal középingadozását:

α=

m

l d

(2.12)

ahol ml a lécleolvasás középhibája, d a mőszer-léc távolság, α pedig az irányvonal középingadozása. Mivel az α értékét másodpercben szoktuk megadni, ezért

α" =

ml " ⋅ρ d

(2.13)

Kompenzátoros szintezımőszer esetén lécleolvasás középhibája (egyben az irányvonal középingadozása) egyetlen magasságkülönbség ismételt megmérésével határozható meg. Mindkét lécet a mőszertıl d távolságra állítjuk fel, és n-szer mérjük a lécpontok magasságkülönbségét, minden egyes leolvasás elıtt elállítjuk a szelencés libellát, majd pedig újra beállítjuk azt.

m ∆m1 ≈ m ∆m 2 ≈ ... ≈ m ∆mn ; ∆m =

1 ⋅ ∑ ∆m n

v i = ∆m − ∆m i µ ∆m =

∑v

2 i

n −1

(2.14)

;µl =

m ∆m 2

Ha egy n darab mőszerállásból álló vonalat mértünk végig, a mőszer-léc távolságok mindenhol

egyezıek

voltak,

valamint

minden

mőszerálláson

belüli

magasságkülönbséget

ugyanakkora középhibával (m∆m) határoztunk meg, akkor a végpontok magasságkülönbségének középhibája a hibaterjedés törvénye alapján:

m m = m ∆m ⋅ n = m l ⋅ 2 ⋅ n = m l ⋅ 2 n = α ⋅ d ⋅ 2 n

(2.15)

Ha a mőszerállások száma helyett a vonal L hosszát helyettesítjük be, ahol L=n×2d, akkor

mkm = α ⋅ L ⋅ d

( 2.16)

31

Amennyiben L helyére 1 kilométert helyettesítünk be, úgy megkapjuk a szintezés egyirányú apriori (elızetes) középhibáját, amely jól jellemzi a szintezés kilométeres középhibáját. A képletbe α-át radiánban, L és d értékét méterben kell behelyettesíteni, és mm értékét is méterben fogjuk megkapni. Ha a szintezést oda-vissza irányban végeztük, akkor az apriori középhiba:

mm,oda−vissza =

mkm

(2.17)

2

Ha d=30m, ml=±0.3mm, n=22, L=1320 méter, akkor 2.13 szerint α=0.00001, és 2.15 szerint mm=±2mm. Amennyiben a 2.16 képletet használjuk, és L=1000 méter, d=30m, α=0.00001, akkor mkm=±1.73mm. A 2.17 képlet alapján mm, oda-vissza=±1.22mm.

Ha azt is tudni szeretnénk, hogy mekkora a szabályos hibák hatása a végpontok magasságkülönbségében, akkor ki kell számítanunk a szintezés aposteriori (utólagos) középhibáját. Tételezzük fel tehát, hogy a szintezést oda-vissza irányban végeztük, n darab mőszerállásban, és a vonal L hosszúságú volt. Az oda és a vissza irányú szintezéssel meghatározott magasságkülönbségek közötti eltérés, az úgynevezett észlelési differencia legyen ∆. A bizonyítás közreadása nélkül az oda-vissza szintezés kilométeres aposteriori középhibája:

m km =

2 1 n ∆ ⋅ ∑i =1 i 4n Li

(2.18)

Az egyirányban végzett szintezés kilométeres aposteriori középhibája:

m km =

2 1 n ∆i ⋅ ∑i =1 2n Li

(2.19)

Ha ∆=+10 mm, L=1 km, n=16, akkor 2.18 alapján mkm=±1.25mm, és a 2.19 alapján mkm=±1.76mm.

Minél jobban egyezik az apriori és az aposteriori középhiba, annál jobban sikerült a mérésünkbıl a szabályos hibákat kiküszöbölni. Érdekességként megjegyezzük, hogy alappont-meghatározásnál az észlelési differencia értékére szoktak megadni hibahatárokat (2.1 táblázat). 2.1 táblázat Típus

Hibahatár (mm)

Negyedrendő vonalszintezés

15 ⋅ Lkm

Ötödrendő vonalszintezés

30 ⋅ L km

Szabatos szintezésnél nem csak az észlelési differencia, hanem az aposteriori középhiba értékére is szoktak megadni hibahatárokat. Végezetül az apriori kilométeres középhiba függvényében összefoglaljuk a szintezımőszerek típusait (2.2 táblázat). 2.2 táblázat szintezımőszer kilométeres középhiba (mm) szabatos, legnagyobb pontosságú

m km ≤ ±0.5

szabatos, nagy pontosságú

± 0.5 p m km ≤ ±2.0

közepes pontosságú (mérnöki)

± 2.0 p mkm ≤ ±6.0

kis pontosságú (építész)

± 6.0 p mkm ≤ ±20.0

32

3. A trigonometriai magasságmérés A magasságkülönbség tulajdonképpen nem más, mint egy függıleges irányon kijelölt hosszúság, tehát ha a függıleges síkban szögeket mérünk, úgy lehetıségünk nyílik annak meghatározására. Ezt az elvet követi a trigonometriai magasságmérés, amely két ismert vízszintes távolságú pont magasságkülönbségét határozza meg magassági-, vagy zenitszög mérésével. A trigonometriai magasságmérés alkalmazásának elıfeltételei a következık: •

A két pont vízszintes távolsága ismert legyen.

•

A két pont egymásból látható és irányozható legyen.

A trigonometriai magasságmérés elınyei a szintezéssel szemben: •

Alkalmas rövidebb távon nagy magasságkülönbségek meghatározására.

•

A mérési munka kevés, hiszen a magasságkülönbségek meghatározását nagy távolság esetén is csak egy mőszerállásból végezzük.

• Alkalmas megközelíthetetlen pontok magasságának meghatározására. A trigonometriai magasságmérés hátránya a szintezéssel szemben a kisebb pontosság valamint a vízszintes távolság ismeretének a szükségessége.

3.1 A magassági szög és a zenitszög Trigonometriai magasságmérésre alkalmas minden olyan mőszer, amely el van látva magassági körrel. Magassági körrel rendelkezı mőszerrel kétféle szöget is mérhetünk: magassági szöget vagy zenitszöget (3.1 ábra). Egy tetszıleges irány magassági szögén azt a szöget értjük, amelyet a szóban forgó irány a vízszintes vetületével bezár.

A

vízszintes

elevációszögnek,

a

felett

lévı

vízszintes

szöget

régebben

alattiakat

pedig

depressziószögnek nevezték. A mai gyakorlatban már nem használjuk ezeket az elnevezéseket, hanem helyette a magassági szögeket elıjellel látjuk el. A magassági szöget a vízszintestıl felfelé 0-tól +90 fokig számítjuk, a vízszintestıl lefelé pedig 0-tól -90 fokig. Valamely irány hajlásszögét a zenitszöggel vagy más néven a zenittávolsággal is jellemezhetjük. A zenitszög a

függılegestıl

számít

a

geodéziai

pozitív

forgásértelemben, 0-360 fokig számozzuk elıjel nélkül. A magassági szög és a zenitszög között egyszerő összefüggések állnak fent, amelyekbe a magassági szöget elıjel helyesen kell beírni: 3.1 ábra A magassági-, és zenitszög

z + α = 90 o

α = 90 o − z

(3.1)

z = 90 o − α

33

3.2 A magassági kör és szerkezete, kompenzátorok, a magassági szögmérés szabályos hibaforrásai A magassági kör és szerkezeti felépítése, a kompenzátorok mőködési elve és leggyakrabban elıforduló fajtái, a magassági szögmérés szabályos hibaforrásai lényegében ismétlést jelentenek, hiszen mindezekrıl már volt szó Geodézia I-bıl. Fontos azonban ezeknek az ismereteknek a felfrissítése, nem csak azért, mert a zárthelyi dolgozatban és a vizsgán számonkérésre kerülnek, hanem mert a tényleges magassági szögméréssel csak most Geodézia II-bıl találkozunk, továbbá ezen alapvetı ismeretek átismétlése nélkül a trigonometriai magasságmérés alapképlete és végrehajtása nem lennének érthetık. A magassági kör szerkezetével és a kompenzátorok mőködésével kapcsolatos rész megtalálható a Geodézia I jegyzet 6.3.13 fejezetében, a magassági szögmérés szabályos hibaforrásai a 6.6 fejezetben, a hibák hatásának meghatározása (mőszervizsgálat) pedig a 6.7.4 és a 6.7.5 fejezetekben. Részletesebben egyedül a refrakcióval és annak hatásával foglalkozunk, mert ennek a hibahatásnak az ismerete meghatározó jelentıségő a trigonometriai magasságmérés szempontjából.

3.2.1 A magassági refrakció A levegı súlyos és összenyomható közeg, alsó rétegei nyugvó állapotban súlyosabbak, mint a felsı rétegei. A Földet lényegében szintfelületekkel határolt, különbözı sőrőségő levegırétegek veszik körül. A különbözı sőrőségő rétegek törésmutatói különbözıek, vagyis a levegı törésmutatója inhomogén volta miatt nem állandó, hanem értékét állandó jelleggel változtatja. A törésmutató változás hozza magával, hogy a fény útja a levegıben nem egyenes, hanem görbe, mégpedig általános esetben felülrıl nézve domború görbe. A fénytörés miatt a tárgyakat magasabban látjuk, mint ahol azok a valóságban vannak, azaz a látszólagos zenitszög, és a látszólagos magassági szög nem egyezik meg a tényleges zenitszöggel és magassági szöggel, hanem azoktól kis mértékben eltér. A refrakció a magassági szöget nagyobbítja, a zenitszöget pedig kisebbíti.

α látszólago s = α valóságos + ρ zlátszólago s = z valóságos + ρ A

légkör

fizikai

állapotának

és

annak

változásának

(3.2)

következtében

a

refrakció

zenitszögmérésre gyakorolt hatása számottevıbb, mint a vízszintes szögmérésre vonatkozóan. Zenitszögméréskor a refrakció következtében a refrakciógörbe térbeli irány függıleges síkjába esı érintıjét mérjük (3.2 ábra). A valódi és a mért térbeli irány által bezárt szög a refrakciószög, vagy más néven refrakciós szög, amelyet δ-val jelöltünk. A refrakciószög függ a levegı hımérsékletétıl, a légnyomástól, a levegı páratartalmától, valamint helyi, idıben gyorsan változó körülményektıl, például a szél erısségétıl. A refrakciós szög és a meteorológiai változók közötti kapcsolatot közvetett úton, a levegı törésmutatójának ismeretében lehet megadni.

34

δ

3.2 ábra. A magassági refrakció szemléltetése

A fizikából jól ismert a Fermat-elv, amely kimondja, hogy az elektromágneses hullámok, így köztük a fény is, terjedésük során a legrövidebb utat teszik meg. Mivel a közeg sőrősége nem homogén, ezért a fénytörés törvényének megfelelıen a törésszög pontról pontra változik, de a törésmutató és a beesési szög - amely esetünkben nem más, mint a zenitszög – szinuszának a szorzata a görbe mentén állandó. Két különbözı, n1 és n2 törésmutatójú közeg esetén tehát (3.3 ábra):

n1 ⋅ sin ζ1 = n2 ⋅ sin ζ 2

(3.3.)

Vagy általánosabb formábban

n ⋅ sin ζ = állandó

(3.4.)

Ez pedig lehetıséget ad arra, hogy megvizsgáljuk a zenitszög változása és a törésmutató közötti összefüggést, amely pedig már a meteorológiai jellemzık függvénye. Képezzük 3.4 teljes differenciálját. Mivel a jobb oldalon konstans szerepel, így annak deriváltja nulla, azaz:

sin ζ ⋅ dn + n ⋅ cos ζ ⋅ dζ = 0

(3.5)

ζ2

n2

n1

ζ1

≈ ζ1

ρ2

ρ1 ρ1< ρ2

3.3 ábra. A légköri sugártörés két különbözı törésmutatójú közeg határán

Tételezzük fel, hogy ismerjük az n törésmutató térbeli változását leíró vektort, a törésmutató gradiens vektorát, amely merıleges egy adott réteg elemi felületére. Jelöljük ezt a gradiens vektort ∇n -vel (olvasva: nabla n). Hasonlóan a potenciálkülönbség meghatározásánál leírtak szerint, ha a térben egy elemi ds vektor mentén elmozdulunk a gradiens vektorral ζ szöget bezáró irányban, akkor a törésmutató dn változása a ds vektor mentén a gradiens vektor és az elmozdulás vektor skalár szorzataként határozható meg (3.4 ábra):

dn = ∇n ⋅ ds = ∇n ⋅ ds ⋅ cos ζ

(3.6)

35

n2

∇n n1

ds

ζ1

3.4 ábra. A törésmutató változásának meghatározása tetszıleges irányban

A 3.6-ot 3.5-be helyettesítve, és az egyszerőbb olvashatóság érdekében az abszolút értékek jeleit elhagyva:

sin ζ ⋅ ∇n ⋅ ds ⋅ cos ζ + n ⋅ cos ζ ⋅ dζ = 0

(3.7)

Amibıl:

dζ ∇n =− ⋅ sin ζ ds n

(3.8)

A 3.8 által adott differenciálhányados megadja a zenitszög út szerinti változását a törésmutató, a törésmutató változása és a zenitszög függvényében, amely a differenciálgeometriában tanultak szerint nem más, mint az r sugarú refrakció görbe görbülete:

dζ 1 ∇n =g= =− ⋅ sin ζ ds r n

(3.9)

A refrakció görbe alakját a vizsgálatok során körnek tételezik fel (3.5 ábra). A refrakció görbe érintıjének az eltérése az irányzott P pontnál megegyezik a PP’ szakasz hosszával, amely, tekintettel arra, hogy a δ refrakciószög kicsi, közelítıleg egyenlı a ∆=PP’’ szakasz hosszával. Jelöljük t-vel a térbeli távolságot a fekvıtengely H pontja és az irányzott P pont között. Szintén közelítésekkel élve, a HP’’ szakasz hossza azonosnak tekinthetı a t térbeli távolsággal, így alkalmazva Pitagorász tételét:

(r + ∆ )2 = r 2 + t 2

(3.10)

3.5 ábra. A refrakciószög meghatározása adott térbeli irány és távolság alapján

Kifejtve:

r 2 + 2 ⋅ r ⋅ ∆ + ∆2 = r 2 + t 2

(3.11)

36

Mivel ∆ kis érték, ezért négyzete másodrendően kicsiny mennyiség, így 3.11-bıl rendezés után írhatjuk, hogy:

∆=

t2 2⋅r

(3.12)

Viszont ∆ kifejezhetı a refrakciószög függvényében, mivel ∆ = t⋅δ

(3.13)

Így (3.12) és (3.13) alapján:

δ=

t 2⋅r

(3.14)

Behelyettesítve a g refrakciógörbe által adott összefüggését, 3.9-et 3.14-be, kapjuk, hogy:

δ=

t 1 ∇n =− ⋅ t ⋅ sin ζ 2⋅r 2 n

(3.15)

A 3.15-ös összefüggés jelentısége abban van, hogy az eredeti célkitőzésünknek megfelelıen a refrakciószöget kifejeztük a törésmutató és annak változása függvényében adott zenitszögő és térbeli távolságú irány esetén. Ezáltal kapcsolat állítható fel a geodéziai szempontból fontos geometriai mennyiségek és a fizikai jellemzık között. A legtöbb gyakorlati alkalmazásban a törésmutatót elegendı a szárazlevegı paraméterei alapján meghatározni. A λ = 590 nm hullámhosszúságú látható fényre az n törésmutatót a T hımérséklet és a

p légnyomás ismeretében a következıképpen számíthatjuk (Gottwald, 1985):

n = 1+ αλ ⋅

p T

ahol α λ = 78.83 ⋅ 10 − 6

(3.16)

K . hPa

Az 3.16-os összefüggésben a hımérsékletet Kelvinben, a légnyomást hektopascalban kell behelyettesíteni. A ∇n törésmutató változását elsısorban a törésmutató H magasság szerinti változása határozza meg. Ennek értéke: ∇n =

α ⋅p dn = − λ 2 ⋅ (0.0342 + ∇T ) dH T

(3.17)

Az 3.17-ben szereplı ∇ T a hımérséklet magasság szerinti változását, a hımérsékleti gradienst jelöli. A hımérsékleti gradiens értékét ˚C/m vagy K/m dimenzióban szokás megadni. Átlagos értékét 0.006…-0.001 K/m-nek szokás felvenni. Geodéziai alkalmazás szempontjából a törésmutató talajközeli változása a mértékadó. A homogén, egyenletesen napsütött talaj felett a hımérsékleti gradiens elérheti a 0.25 K/m értéket is (Flach, 2000). A refrakciógörbe, valamint a refrakciószög vizsgálatára vonatkozóan számos tanulmány látott napvilágot. Magyarországon kiemelkedı Horváth Kálmán több tanulmánya, a külföldiek közül pedig Kukkamäki és Brocks munkássága. A refrakciógörbe alakját az egyes rétegek sőrősége (törésmutatója) határozza meg. A gyakorlatban legtöbbször elıforduló esetben mind a mőszerállás, mind az irányzott pont a labilis alsó rétegben található, azaz amikor a melegebb levegı helyezkedik el alul, és a hımérséklet a talajfelszíntıl távolodva csökken. Ennek a rétegvastagságnak a középértéke 20…25 méter körüli, de elérheti a 30…35 métert is. A refrakciógörbe ebben a rétegben felülrıl nézve homorú görbe, mivel a hidegebb és sőrőbb rétegek felül helyezkednek el (3.6 ábra).

37

3.6 ábra. A refrakció görbe alakja a labilis alsó rétegben

A talaj közelségére való tekintettel, a hımérsékleti gradiens értéke a refrakciószöget jelentısen befolyásolja. A hımérséklet napi alakulásának a következményeként általában a 10…15 óra között

végzett mérések a legalkalmasabbak magassági szögmérésre, ugyanis a refrakció idıbeli változása ekkor a legkisebb. A légköri tényezık változását teljesen ismerni és megállapítani nem tudjuk, ezért a refrakció értékének meghatározása csak közelítıen lehetséges. A geodéziában az álláspont és az irányzott pont magasságkülönbsége rendesen kicsi érték a két pont távolságához képest, vagy a magassági szög csak csekély mértékben tér el a 0 foktól, vagy másképpen a zenitszög csak kis mértékben tér el a 90 foktól. A refrakció görbe ilyen esetekben jó közelítéssel egy körnek tekinthetı, a refrakció számértéke pedig azonosnak vehetı légköri viszonyok mellett arányos a két pont függılegesei közötti

Ω szög felével (3.5 ábra és 3.2 képlet):

ρ =k⋅

Ω 2

(3.18)

A k arányossági tényezıt refrakcióegyütthatónak vagy másnéven refrakciókoefficiensnek szoktuk nevezni. A k koefficiens átlagos értéke Gauss szerint +0.1306, tehát a refrakció görbe valóban egy erısen lapult görbe.

3.3 A trigonometriai magasságmérés alapképlete Legyen P és Q a megmérendı magasságkülönbség két végpontja (3.7 ábra). A mőszerrel elvégezzük a pontra állást a P ponton a szokott módon, és megmérjük a mőszer h

fekvıtengelyének hP magasságát. A Q ponton felállítunk egy prizmát, a mőszerhez hasonlóan elvégezzük a pontra állást. A pontjelölés felett l magasságban lévı D pontjára magassági

szögmérést végzünk. Itt jegyezzük meg, hogy a szaknyelvben magassági szögmérésnek hívják a zenitszögmérést is, holott a szakma ténylegesen különbséget tesz magassági szög és zenitszög között. A megadott képletekben, amennyiben az α jelölést használjuk, az minden esetben magassági

szöget fog jelenteni, ha pedig a z jelölést használjuk, azalatt a zenitszöget fogjuk érteni. A két pont ∆m magasságkülönbségének levezetésekor tekintettel kell lenni az irányvonal

nem egyenes voltára (a refrakció miatt görbe vonal), továbbá a szintfelület nem sík voltára. Azaz

∆ m = AQ = AB + BC + CE − ED − l = h P − l + BC + CE − ED

(3.19)

A két pont vízszintes távolsága - amelyet a trigonometriai magasságmérés alapképletében d-vel fogunk jelölni – túlzottan nagy nem lehet, ezért a gyakorlati esetekben bizonyos közelítéseket engedhetünk meg.

38

3.7 ábra A trigonometriai magasságmérés

Az elsı közelítés az, hogy a szintfelületnek a függıleges síkkal való metszésvonalát körnek vesszük. Azaz:

BC =

d2 2r

(3.20)

mert, ha M a földtömegközéppont, H a mőszer fekvı- és állótengelyének metszéspontja, C a helyi vízszintes és a Q pont függılegesének metszéspontja, B a szintfelületnek a Q függılegesével alkotott metszéspontja, akkor a 3.8 ábra alapján,

3.8 ábra Az elsı közelítés bizonyításához tartozó ábra

))))
 &  &  )))) '(   &  2 · & · )))) '(  '( ))))
 2 · & · )))) '(  '(

(3.21)

39

))))
'( ))))   '( 2& 2& ))))
'( ))))  '(  2& 2& Mivel a BC nagyságrendekkel kisebb, mint az r (szintfelület H pontbeli görbületi sugara a magassági szög függıleges síkjában), így a kettı hányadosa elhanyagolható lesz, így bizonyítást nyert a 3.20 összefüggés. A második közelítés az, hogy a C-nél lévı szöget derékszögnek véve, számítjuk:

HE = d ' =

d cos α

(3.22)

CE = d ⋅ tgα A harmadik közelítés, hogy a refrakciógörbét pótoljuk H pontbeli simuló körével, melynek sugarát r’nek vesszük. Bizonyítása elvégezhetı a 3.20 mintájára, azaz:

TE =

d '2 2r '

(3.23)

A negyedik közelítés az, hogy az E-nél a DE és a HE-re merıleges ET közötti szöget α-nak vesszük. Azaz:

ED =

TE 1 d '2 1 1 1 d2 1 1 d2 ⋅ = ⋅ ' = ⋅ d '2 ⋅ = ⋅ ⋅ cos α cos α 2r cos α 2r ' cos α cos 2 α 2r ' = cos 3 α 2r '

(3.24)

A magasságkülönbség képlete tehát a következıképpen írható:

∆m = hP − l + d ⋅ tgα +

d2 1 r ⋅ (1 − ⋅ ') 3 2r cos α r

(3.25)

Az r/r’ viszonyszám a refrakcióegyüttható, a k, tehát:

∆m = hP − l + d ⋅ tgα +

d2 k ⋅ (1 − ) 2r cos 3 α

(3.26)

A k refrakcióegyüttható csak nagyobb távolságok esetén veendı figyelembe. Nagy távolság esetén azonban a távolsághoz képest elhanyagolható a magasságkülönbség, azaz α értéke kicsi, tehát a cosinusos tag érezhetı hiba nélkül 1-nek vehetı.

d2 ∆m = hP − l + d ⋅ tgα + ⋅ (1 − k ) 2r

(3.27)

A fenti képlet nevezhetı a trigonometriai magasságmérés alapképletének magassági szög

mérése esetén. Amennyiben nem magassági szöget mérünk, hanem zenitszöget, akkor a képlet a következıképpen változik:

d2 ∆m = hP − l + d ⋅ ctgz + ⋅ (1 − k ) 2r

(3.28)

Szigorú elméleti megfontolásokból az (3.27) és (3.28) képletek nem tekinthetıek szabatosnak, azonban gyakorlati szempontból, még nagyobb távolságok esetén is helyesen fogják megadni a magasságkülönbséget.

40

3.3.1 A refrakció változása és annak hatása A levegı fénytörési viszonyai nem állandóak. Változik annak nyomása, hımérséklete, összetétele, és emiatt változik a refrakció, a refrakcióegyüttható értéke is. Korábban említettük, hogy a refrakció átlagos értékére Gauss adott elıször közelítést (k=+0.1306), az azóta elvégzett vizsgálati

mérések

ettıl

csak

lényegtelenül

eltérı

átlagos

értékeket

eredményeztek.

Ha

megvizsgálnánk azokat az értékeket, amelyekbıl az átlagos refrakcióegyüttható értéket számolták, azt találnánk, hogy azok egymástól és az átlagostól is tetemesen különböznek. Gauss kísérletsorozatában k szélsı értékei +0.21 és -0.11 voltak. A k=r/r’=0 esetben a refrakció vonala

egy egyenes vonal, ezért a negatív k érték azt jelenti, hogy a refrakció felülrıl nézve egy homorú görbe.

A

Gauss

által

talált

+0.21-es

érték

egyáltalán

nem

a

legnagyobb

értéke

a

refrakcióegyütthatónak. A levegı hirtelen állapotváltozásai (erıs lehőlés vagy felmelegedés) néha

extrém nagyságú együtthatókat eredményeznek. Ilyen nem normális refrakcióviszonyok okozzák azt, hogy hegyvidéken néha olyan hegycsúcsokat is látunk, amelyek normál légköri viszonyok mellett nem láthatóak, mert a horizont alatt vannak. Természetesen extrém refrakcióegyüttható értékek mellett geodéziai méréseket végezni nem szabad. A refrakciónak vannak szabályos változásai is, amelyek közül a legfontosabbak a napi

változások. A k értéke a legnagyobb napkelte idején és a kora reggeli órákban (+0.20 körüli), délfelé csökken, a legkisebb érték (kb.+0.10) délben áll be; ezután ismét nı, és napnyugta idején újra eléri a reggeli legnagyobb értéket. A változás sebessége a kora reggeli és késı délutáni órákban a legnagyobb, a legkisebb változások pedig dél körül vannak. Refrakció szempontjából tehát a legkedvezıbb mérési idıszak dél körül van, bár igaz, hogy ebben az idıpontban a légkör nem nyugodt (légrezgés). Az 3.1 táblázatban meg tudjuk nézni, hogy rövidebb távolságok esetén a k=+0.13 átlagos értékkel számítva a trigonometriai magasságmérés alapképletének a szintfelület görbültségét és a refrakció együttes hatását kifejezı:

d2 ⋅ (1 − k ) 2r

(3.29)

tagja milyen értéket vesz fel.

3.1 táblázat

d (m)

d2 ⋅ (1 − k ) 2r ( m)

100

0.001

200

0.003

300

0.006

400

0.011

500

0.017

600

0.025

700

0.033

800

0.044

900

0.055

1000

0.068

41

Az 3.2 táblázat tartalmazza, hogy a refrakcióegyüttható napközbeni változásai mennyire befolyásolják a trigonometriai magasságmérés eredményét. A napi értékek +0.10 és +0.20 között változónak tekinthetıek.

3.2 táblázat

d2 ⋅ (1 − k ) 2r ( m)

k 1km

2km

3km

4km

5km

6km

8km

10km

0.10

0.07

0.28

0.63

1.13

1.76

2.54

4.51

7.05

0.13

0.07

0.27

0.61

1.09

1.70

2.45

4.36

6.82

0.16

0.07

0.26

0.59

1.05

1.65

2.37

4.21

6.58

0.20

0.06

0.25

0.56

1.00

1.57

2.26

4.01

6.27

3.3.2 A trigonometriai magasságmérés számítási képletei A szintfelület görbültségének és a refrakciónak együttes hatása mintegy 400 méteres távolságban éri el az 1 cm-es értéket. Ezért, ha a pontok távolsága nem nagyobb, mint 400 méter, a következı összefüggéseket használjuk magassági-, és zenitszögmérés esetén:

∆m = h − l + d ⋅ tgα ∆m = h − l + d ⋅ ctgz

(3.30)

A refrakcióegyüttható napi változásának hatása 4 km távolságban éri el a 10 cm körüli

értéket. Ez az érték trigonometriai magasságmérés esetén ilyen távolságban még megengedhetı, ezért ha a pontok távolsága 400 és 4000 méter között van, akkor a magasságkülönbségük az 3.27

és 3.28-as képletekkel számítható, ahol k értéke átlagosan +0.13-nak vehetı. Ha a pontok vízszintes távolsága nagyobb, mint 4000 méter, akkor már nem lehet a számítást az átlagos +0.13-as értékkel elvégezni, hanem a tényleges refrakcióegyüttható értéket kell figyelembe venni. Ez nem lehetséges szabatosan, ezért hatását inkább a mérési módszer megválasztásával küszöböljük ki. Két módszert fogunk részletesebben bemutatni: a szimultán

mérési módszert és a trigonometriai szintezést.

3.3.2.1 A szimultán mérések módszere A két végponton egyidejőleg állunk fel mőszerrel (3.9 ábra), és egy idıben mérjük az αP és αQ magassági szögeket (vagy a megfelelı zenitszögeket). A két mérés alapján a P és Q pontok magasságkülönbsége:

d2 2r d2 ∆m P = hP − lQ + d ⋅ ctgz P + (1 − k P ) ⋅ 2r

∆m P = hP − lQ + d ⋅ tgα P + (1 − k P ) ⋅

(3.31)

és

d2 2r d2 ∆mQ = hQ − l P + d ⋅ ctgzQ + (1 − k Q ) ⋅ 2r

∆mQ = hQ − l P + d ⋅ tgα Q + (1 − k Q ) ⋅

(3.32)

képletekbıl két értéket kapunk.

42

3.9 ábra A szimultán mérés

Képezzük ezek számtani középértékét, de figyelembe kell venni azt, hogy ∆mQ ellentétes elıjelő, mint ∆mP, tehát:

∆m P − ∆mQ

hP − hQ

l P − lQ

tgα P − tgα Q

[

]

d2 ⋅ (1 − k P ) − (1 − k Q ) 2 2 2 2 2r (3.33) ∆m P − ∆mQ hP − hQ l P − lQ ctgz P − ctgzQ d 2 ∆m = = + +d⋅ + ⋅ (1 − k P ) − (1 − k Q ) 2 2 2 2 2r ∆m =

=

+

+d⋅

+

[

]

Mivel a méréseket egyidejőleg végeztük, ezért feltételezhetıen kP=kQ, azaz

∆m = ∆m =

∆m P − ∆mQ 2 ∆m P − ∆mQ 2

= =

hP − hQ 2 hP − hQ 2

+ +

l P − lQ 2 l P − lQ 2

+d⋅ +d⋅

tgα P − tgα Q 2 ctgz P − ctgzQ

(3.34)

2

A szimultán mérési eredmények számtani középértékébıl a refrakció értéke kiesik. A gyakorlatban kiszámítják a két magasságkülönbséget a k=+0.13 átlagos értékkel a durva hibák kiszőrése végett, majd ezek számtani középértékét fogadják el végleges mérési eredménynek.

3.3.2.2 Trigonometriai szintezés A trigonometriai szintezésnél a P és Q pont magasságkülönbségének meghatározására egy olyan A ponton állunk fel (3.10 ábra), melynek távolsága a két ponttól azonosnak vehetı, és mérjük az

αP és αQ magassági szögeket (vagy a megfelelı zenitszögeket).

43

3.10 ábra A trigonometriai szintezés

A mérési eredményekbıl számítható:

d P2 ∆m P = h − l P + d P ⋅ tgα P + (1 − k ) ⋅ 2r d P2 ∆m P = h − l P + d P ⋅ ctgz P + (1 − k ) ⋅ 2r

(3.35)

és

∆m Q = h − lQ + d Q ⋅ tgα Q + (1 − k ) ⋅ ∆m Q = h − lQ + d Q ⋅ ctgzQ + (1 − k ) ⋅

d Q2 2r d Q2

(3.36)

2r

A Q és a P pont magasságkülönbsége a két érték elıjelhelyes különbsége, a szintezéshez hasonlóan hátra mínusz elıre értelemben:

(1 − k ) ⋅ (d P2 − d Q2 ) 2r (1 − k ) ∆m = ∆m P − ∆mQ = (l Q − l P ) + (d P ⋅ ctgz P − d Q ⋅ ctgz Q ) + ⋅ (d P2 − d Q2 ) 2r ∆m = ∆m P − ∆mQ = (l Q − l P ) + (d P ⋅ tgα P − d Q ⋅ tgα Q ) +

(3.37)

Ha a dP=dQ, akkor a képlet utolsó tagja nulla. Ez a feltétel nem teljesül maradék nélkül, tehát az utolsó tag értéke valamilyen nagyon kis szám lesz, ezért ennél a képletnél is elegendı a gyakorlati életben a k=+0.13 átlagos érték használata.

3.3.3 Épületek magasságának meghatározása A trigonometriai magasságmérés alkalmas épületek, tornyok és kémények magasságának

meghatározására. Álljunk fel a mőszerrel az épülettıl a magasság 2-3-szorosának megfelelı d távolságban, és mérjük meg a magasság felsı pontjára vonatkozó magassági-, vagy zenitszöget (3.11 ábra).

44

3.11 ábra Épület magasságának meghatározása egy álláspontból

Ekkor

∆m = x + d ⋅ tgα ∆m = x + d ⋅ ctgz

(3.38)

Az x méretet vagy leolvassuk egy szalagon vagy szintezılécen vízszintes távcsıállás mellett, vagy szintén trigonometriai magasságméréssel határozzuk meg. Nehezebb a helyzet, ha a d távolság nem mérhetı meg közvetlenül. Ebben az esetben a mérést két mőszerállásban kell elvégeznünk. Az épület elıtt, attól megfelelıen nagy távolságban választunk két pontot, A-t és B-t; olyan módon hogy az ABQ háromszög lehetıleg egyenlı szárú háromszög legyen (3.12 ábra).

3.12 ábra Épület magasságának meghatározása egyenlı szárú háromszög alapvonaláról

A megoldásnak természetesen feltétele, hogy A-ból B és Q, továbbá B-bıl A és Q irányozható legyen. Felállva az A ponton mérjük a φA vízszintes szöget és az α’ vagy z’ magassági-, vagy zenitszöget. Hasonlóan B-bıl mérjük a φB vízszintes szöget és az α”’ vagy z” magassági-, vagy zenitszöget (d’ és d” számítható szinusz-tételbıl). Ezen kívül mérendı még az alapvonal hossza, az AB távolság, amelyet a-val fogunk jelölni. Az épület magassága ellenırzéssel:

45

∆m = x'+ d ' ⋅ tgα ' ∆m = x'+ d ' ⋅ ctgz'

(3.39)

∆m = x"+ d " ⋅ tgα " ∆m = x"+ d " ⋅ ctgz"

Beépített területen elıfordulhat, hogy nem áll rendelkezésünkre olyan nagy terület, hogy alapvonalat az elıbb említett módon tudjunk kialakítani. Ebben az esetben az A és B pontokat a Q-val egy függıleges síkban, egymás mögött vesszük fel (3.13 ábra). A mérési eredmények az A ponton α’ vagy z’ és x’, a B ponton α” vagy z” és x”.

3.13 ábra Épület magasságának meghatározása sőrő beépítés esetén

∆m = ∆m = ∆m = ∆m = A

páronként

összetartozó

két-két

x'+ d ⋅ tgα ' x'+ d ⋅ ctgz ' x"+ (d + a ) ⋅ tgα " x"+ (d + a ) ⋅ ctgz"

egyenletbıl

a

d

(3.40)

távolság

érték

kiküszöbölésével

a

magasságkülönbség számítható. Például fejezzük ki d-t a második egyenletbıl és írjuk be a negyedikbe:




∆  * + ,-./0

∆  * " da·ctg/ " * " d·ctg/ "  7 · ,-./ " * " 

∆m‐* + ·ctg/ "  7 · ,-./ " /· ,-./ + ctg/ +

∆ · ,-./ +  * " · ,-./ +  ∆ · ,-./ "  * + · ,-./ "  7 · ,-./ " · ,-./ +

∆ · ,-./  ∆ · ,-./  * · ,-./  * · ,-./  7 · ,-./ · ,-./ +

"

"

+

+

"

"

+

(3.41)

3.3.4 Közelítı trigonometriai magasságmérési eljárások A mőszaki gyakorlati életben elıfordulhat, hogy valamilyen objektumnak a magasságát

gyorsan kell meghatározni, de csak tájékoztató jelleggel. Ilyen célra készítenek egyszerő mőszereket is, amelyeket dioptrával szerelnek fel, és velük a magassági szögek könnyen és egyszerően megmérhetıek. Ilyen mőszert használnak például az erdészek a fák magasságának meghatározására.

46

Gyorsan és aránylag pontosan lehet meghatározni fák és tornyok magasságát árnyékok hosszának a megmérésével. (3.14 ábra)

3.14 ábra Objektum magasságának meghatározása az árnyék segítségével

Ismert hosszú pálcát vagy kitőzırudat szúrunk a földbe és egy idıben megmérjük a fa és a kitőzırúd vagy pálca árnyékának hosszát. Egyszerő arányosságot lehet felírni:

∆m =

x ⋅a y

(3.42)

3.3.5 A trigonometriai magasságmérés megbízhatósága Legyen U ismeretlen mennyiség a megmért x, y, z... mennyiségek tetszıleges f függvénye, azaz a függvénykapcsolat: U=f(x, y, z...). Ekkor a hibaterjedés törvénye szerint az U mennyiség középhibája számítható a változók középhibáiból és a függvény egyes változók szerinti parciális deriváltjaiból: 2

 ∂f   ∂f   ∂f  µ =   ⋅ µ 2x +   ⋅ µ 2y +   ⋅ µ 2z + ...  ∂x   ∂z   ∂y  vagy 2

2

(3.43)

2 U

2

 ∂f   ∂f   ∂f  µ U = ±   ⋅ µ 2x +   ⋅ µ 2y +   ⋅ µ 2z + ...  ∂x   ∂z   ∂y  2

2

Alkalmazzuk a hibaterjedés törvényét az (3.27)-es összefüggésre:

µ ∆m = µ 2h + µ l2 + ( tgα +

2 2d ⋅ (1 − k ) 2 2 d d2 2 2 2 µα ) ⋅ µd + ( ) ⋅ + ( − ) ⋅ µk 2r 2r cos 2 α ρ "2

(3.44)

A képletben µh a mőszermagasság, µl a jelmagasság, µα a magassági szögmérés középhibája, µd a távolságmérés középhibája, µk a refrakcióegyüttható középhibája, melynek értékét µk=+/-0.05 értékben szokás felvenni. A szokásos mérési eljárások mellett, 400 méteres távolságig µ∆m=+/-0.01 m, mintegy 4 kilométeres távolságig µ∆m=+/-0.10 m körüli megbízhatóságot lehet elérni. Tételezzük fel, hogy µh= µl=±20mm, µd=±6mm, µα=±5”, µk=±0.05 és r=6378 km. Ha α=0-01-10 és d=1500.000 méter, akkor µ∆m=±29.6 mm.

47

4. Távolságok mérése A geodéziai gyakorlatban a szögek mérése mellett hangsúlyosan fontos szerephez jut a távolságok meghatározása is. De mi is valójában a távolság? A két pont között szalaggal vagy mérıállomással megmért ferde távolság? Vagy a vízszintesre, vagy az alapfelületre, esetleg a vetületre

redukált

távolságot

kell

tényleges

távolság-eredménynek

tekinteni?

A

kérdés

megválaszolása nem egyszerő, azt döntıen befolyásolja a feladat célja és a meghatározásnál elérni kívánt pontosság is. Alappont meghatározásnál, például ha külpontosan mérünk, akkor a külpontközpont távolsága alatt mindig a vízszintes távolságot értjük, de ha már egy szomszédos pontra irányzunk, akkor arra minden esetben ferde távolságot rögzítünk (és zenitszöget). A további számításokhoz ezt a ferde távolságot még át kell alakítanunk, és egy többlépcsıs redukció eredményeként fogjuk megkapni azt a „tényleges” távolságot, amellyel aztán számolni fogunk. Valójában már a ferde távolság is redukciókkal ellátott távolság, hiszen mérıállomásnál javítjuk értékét az összeadóállandó, a szorzóállandó és a szorzótényezı értékével, szalagmérésnél pedig például a komparálási javítással. Vízszintes mérések szempontjából két pont távolsága minden esetben a két pont

alapfelületi megfelelıje közötti legrövidebb ívhossz, azaz a két pontot összekötı legrövidebb felületi vonal hossza. Tételezzük fel, hogy az alapfelületet egy gömbbel helyettesítjük. Illesszünk a két pontra egy függıleges síkot, ez a sík a gömb felületébıl a két pontra illeszkedı legnagyobb gömbi kört fogja kimetszeni. Ennek a legnagyobb gömbi körnek a két pont közé esı ívhossza lesz a két pont közötti távolság. A földmérési feladatoknál a terepen ferde távolságokat mérünk. A terepen mért távolságokat

redukálni kell az alapfelületre. Az átszámítást megkönnyíti az, ha a ferde távolságot elıször egy, a tényleges terep közelében elhelyezkedı, az alapfelülettel párhuzamos gömbfelületre számítjuk át. Az így kapott távolság az alapfelület felett helyezkedik el egy M magasságban, és vízszintes

távolságnak nevezzük. A távolság két végpontján átmenı gömbsugarak összetartóak, hiszen a gömb középpontjában metszik egymást, ezért a vízszintes távolság nagysága függ az alapfelület feletti

magasságtól. A számításokat alsógeodéziában nem az alapfelületen, hanem a vetületi síkban végezzük, ezért az alapfelületi távolságokat át kell számítanunk vetületi távolsággá. Az átszámítás módja az, hogy az alapfelületi távolságot szorozzuk egy un. hossztorzulási tényezıvel, amely az adott vetületet az adott mérési helyen jellemzi. A távolság-meghatározás lehet közvetlen

vagy

közvetett.

A

közvetlen

távolság-

meghatározás azt jelenti, hogy a megmérendı távolság kijelölt egyenese mentén valamilyen ismert hosszúságú mérıeszközt (pl. mérıszalag) ismételten (szalagfekvés) végigfektetünk, és ilyen módon

hosszméréssel határozzuk meg a távolságot. A távolság közvetett meghatározásakor a távolsággal

geometriai

vagy

fizikai

kapcsolatban

álló

mennyiségeket

mérünk

(pl.

elektromágneses sugárzás hullámhosszát) és a távolságot a kapcsolatot kifejezı képletekkel írjuk le. A közvetett távolság-meghatározást távmérésnek nevezzük.

4.1 A hosszmérés Hosszméréskor a meghatározandó távolság két végpontjára illesztett függıleges sík és a

terep metszésvonalának törtvonalas közelítı hosszúságát mérjük meg a mérıeszköznek ismételt végigfektetésével. Egyenesek kitőzésérıl és a szalagmérés végrehajtásáról már volt szó Geodézia Ibıl, így ezt a munkafolyamatot a továbbiakban ismertnek tekintjük. Két pont, A és B távolságát akarjuk meghatározni mérıszalaggal. Elsı közelítésben legyen a két pont távolsága a mérıszalag hosszának egész számú többszöröse, azaz

t = n ⋅ l , ahol n a

48

szalagfekvések száma és l pedig a mérıszalag hossza. Válasszuk ki az egyik tetszıleges szalagfekvést, és számítsuk ki a vízszintesre redukált szalaghosszat:

l vi = l ⋅ cos α i

(4.1)

ahol α a magassági szöget jelenti (4.1 ábra).

4. 1 ábra A ferde távolság redukálása a vízszintesre és az alapfelületre (Krauter,1995) Ha az egyes szalagfekvéseket egyesével redukálnánk, akkor a különbözı Mi magasságok miatt n darab redukciót kellene számolni, amely nagyon idıigényes dolog lenne. Belátható azonban, hogy a végpontok átlagos M magasságában elképzelt vízszintes távolság megegyezik az összes

vízszintesre redukált szalagfekvés összegével. Így ha összegezzük a szalagfekvéseket és ezt az összeget redukáljuk az alapfelületre, akkor n darab redukció helyett csak egyet kell számolni. Irjuk fel a vízszintesre redukált i-dik szalaghosszat a következıképpen:

l vi = l + δ vi

(4.2)

ahol a δvi az i-dik szalaghossz vízszintes redukciója. A redukált szalaghosszak összege a vízszintes távolság a két végpont átlagos M magasságában:

t v = ∑i =1 (l + δ vi ) = n ⋅ l + ∑i =1 δ vi n

n

(4.3)

ahol az elsı tag a tényleges ferde távolság, a második tag pedig a távolság vízszintes redukciója. A

δvi számítása a következı képlettel történik:

δ vi = l vi − l = l ⋅ cos α i − l A

gyakorlatban

nem

a

magassági

szöget,

hanem

a

(4.4) szalagfekvések

végpontjainak

∆m

magasságkülönbségét ismerjük. Ezzel módosul δvi számítása:

∆m 2 ∆ m 4 δ vi = − − 3 2l 8l

(4.5)

A képlet második tagját csak kivételes esetekben szoktuk figyelembe venni, hiszen 20 méteres szalaghossz esetén, ha a végpontok magasságkülönbsége 3 méter, akkor éri csak el az 1 milliméteres értéket.

49

A vízszintes távolságot még redukálnunk kell az alapfelületre. Az alapfelületi távolság és az alapfelületnek tekintett R sugarú gömb felett M magasságban elhelyezkedı vízszintes távolság aránya:

tg tv

=

R = R+M

1 M ≈ 1− M R 1+ R

(4.6)

Az alapfelületi távolság képlete:

t g = tv − tv ⋅

M R

azaz

(4.7)

t g = tv + ∆ g A ∆g-t alapfelületi redukciónak nevezzük. Csak az érdekesség kedvéért megjegyezzük, hogy az R=6380 km sugarú alapfelület felett M=100 méter magasságban elhelyezkedı 100 méteres távolság alapfelületi redukciója -1.6 milliméter (Krauter, 1995). Hosszmérésnél a megmérendı távolságot közvetlenül összehasonlítjuk a mérıszalag hosszával. Gyárilag a mérıszalagra ráírnak egy hosszértéket (pl. 20.000 vagy 50.000 méter), amelyet névleges értéknek nevezünk. A hosszmérés helyes elvégzéséhez ismernünk kell a szalag tényleges

hosszát. Azt a munkafolyamatot, amellyel meg lehet határozni a szalag tényleges hosszát, komparálásnak nevezzük. A komparálás céljára sík és vízszintes felületet alakítunk ki, amelyen a mérıszalag

névleges hosszának megfelelı távolságban milliméter-osztású fémlemezeket rögzítünk. A fémlemezek zérus osztásvonása közötti távolság a komparáló alapvonal hossza, amelyet valamilyen

4.2 ábra Mérıszalag komparálása pontosabb mőszerrel határozunk meg (1.2 ábra). Komparálásnál a mérıszalag végvonásainál egy idıben kell leolvasni egy db baloldali és

egy dj jobboldali értéket elıjelhelyesen. A mérıszalag és a komparáló alapvonal hossza közötti eltérés egyetlen mérésbıl:

d = db + dj

(4.8)

A leolvasásokat 5-10-szeres ismétlés számmal kell elvégezni olyan módon, hogy d értékében a változás maximum 0.3 milliméter lehet. Az egyes mérések elıtt a mérıszalagot kis mértékben el kell

mozgatni, ezzel lehet csökkenteni a leolvasás becslés hibájának az elıfordulását. A mérési eredményekbıl a számtani közép:

50

∆l = ∑i =1 n

di n

(4.9)

majd a mérıszalag tényleges hossza:

l = a + ∆l

(4.10)

A mérıszalag hossza függ a húzóerıtıl és a hımérséklettıl is. A komparálást állandó feszítıerı – 10 daN (dekanewton), amely 10kg tömeg súlyának felel meg – mellett kell végrehajtani, amelyet dinamóméterrel lehet biztosítani. A komparálás közben meg kell mérni a szalag hımérsékletét, és a komparálási jegyzıkönyvben utalni kell arra, hogy a szalag tényleges hossza milyen hımérsékleti értékre vonatkozik. A komparálás eredményei alapján kiszámítható a mérıszalag: •

komparálási javítása dk=l-(l), ahol l a tényleges és (l) a névleges hossz,

•

hımérsékleti javítása dt=α×(t m-t k)×(l), ahol t m a szalag hımérséklete méréskor, t k a szalag

°

°

°

°

hımérséklete komparáláskor, (l) a szalag névleges hossza, α pedig a szalag anyagának -5

hıtágulási együtthatója (ha a mérıszalag acélból van, akkor α=1.1*10 /° C ). A komparált mérıszalaggal végzett mérésbıl kiszámítható a távolság: •

névleges értéke (t)=n×(l)+lm, ahol (l) a szalag névleges hossza, n a szalagfekvések száma, lm pedig a maradék távolság, amely rövidebb, mint egy szalaghossz,

•

komparálási javítási tényezıje:∆k=dk×(t)/(l),

•

hımérsékleti javítási tényezıje:∆t=dt×(t)/(l).

Gondosan végzett szalagméréssel ±2-3 milliméteres középhibát lehet elérni 100 méterenkét, ehhez azonban megfelelı mérıpályát kell kialakítani. A két végpont közötti egyenest a szalagfekvéseknek megfelelı hosszakban jelölt töréspontokkal mőszerrel kell kitőzni, pontosan ismerni kell a szomszédos töréspontok magasságkülönbségét, a szalagot dinamóméterrel kell megfeszíteni, meg kell mérni a szalag mérés közbeni hımérsékletét, gondoskodni kell arról, hogy a szalagfekvések közötti áthelyezéskor a szalag kezdıvonása az elızı szalagfekvés végvonásához kerüljön, továbbá a távolságot oda-vissza irányban kell megmérni. A feldolgozásnál az oda és a vissza mérést külön

kell kezelni, és mind a kettıre meg kell határozni a (t) névleges hosszt. A komparálási és hımérsékleti javítási tényezı ismeretében a tényleges ferde távolság:

t = (t ) + ∆ k + ∆ t

(4.11)

A tényleges ferde távolságot ki kell számítani mind az oda, mind a vissza irányban, majd számítani kell ezeknek vízszintes redukcióját, majd az ilyen módon elıállt oda-vissza irányban értelmezett vízszintes távolságok számtani középértékét. A mérıpálya átlagos magasságának ismeretében számítható az alapfelületi javítás és az alapfelületi távolság, amely a további számítások kiinduló adata lehet. A ma használatos elektrooptikai távmérıkkel 100 méternél nagyobb távolságon is jobb középhiba érhetı el, mint ±2-3 milliméter, ráadásul a mérés nem igényel semmi különösebb elıkészítést, és idıtartama mindösszesen néhány másodperc. Ezzel magyarázható az, hogy a közvetett távolság-meghatározás szinte teljesen háttérbe szorította (néhány feladat kivételével) a hosszmérést.

4.2 A távmérés A közvetett távolság-meghatározás lehet geometriai vagy fizikai távolság-meghatározás. A geometriai távolság-meghatározás mára már idejét múlt, ezért ezzel a témakörrel csak néhány

51

mondat erejéig fogunk foglalkozni, míg a fizikai távmérés a ma használatos modern módszer, ezért ezzel részletesen fogunk foglalkozni.

4.2.1 A geometriai-optikai távolság-meghatározás A geometriai-optikai távolság-meghatározás lényegében egy síkháromszög meghatározását jelenti. Ez a síkháromszög vízszintes helyzető és általános alakú, ha a mérendı távolságon

hosszmérést nem tudunk végezni (pl. a távolság két végpontja egy folyó két partján van). Ilyenkor a háromszög egy másik oldalát és két szögét mérjük meg, a keresett távolságot pedig szinusz-tételbıl számítjuk. Ha tudnánk hosszmérést végezni, de bonyolultsága miatt el akarjuk kerülni, akkor a síkháromszöget különleges alakúra vesszük fel. Az ilyen háromszög egyik oldala lényegesen rövidebb, mint a másik két oldal. A háromszög rövid oldalát optikai mőszerrel vagy annak valamely tartozékával jelöljük ki. A háromszög általában derékszögő; a rövid oldalt alapvonalnak, a vele

szemközti szöget pedig távmérıszögnek (disztométeres szög) szoktuk nevezni. Az optikai távmérés lehet: •

belsı alapvonalú: ha az alapvonal egyik végpontja a mőszerálláspont, és a vízszintes alapvonal a mőszer része,

•

külsı alapvonalú: ha az alapvonal nem a mőszerállásponthoz, hanem a mérendı távolság másik végpontjához csatlakozik, maga az alapvonal tehát nem része a mőszernek, hanem egy a mérıfelszereléshez tartozó vízszintes vagy függıleges lécen kerül szabatos vonások

között kijelölésre. Ha a távmérıszög állandó, akkor az alapvonal hossza változik a mérendı távolság szerint. A változó alapvonalhosszat egy beosztott lécen, úgynevezett távmérılécen lehet leolvasni. Ha az

alapvonal hossza állandó, akkor a távmérıszög nagysága változik a mérendı távolság szerint. A távmérıszöget ebben az esetben teodolittal kell megmérni, az állandó nagyságú alapvonalat pedig egy vízszintes helyzető ún. „bázisléc” végpontjai jelölik ki. Tekintsük az 4.3 ábrát, amely összefoglalóan mutatja a korábban gyakran alkalmazott bázisléces távmérés lényegét. A B ponton elhelyezett b hosszúságú bázisléc vízszintes, merıleges a mérendı távolságra, és felezıpontja a

P pont függılegesébe esik. Ezt a helyzetet a bázislécre szerelt szelencés libella, irányzó dioptra és vetítı segítségével állíthatjuk elı.

4.3 ábra A bázisléces távmérés alapelve

52

Teodolittal megmérjük az ω távmérıszöget. A távmérés pontossága majdnem kizárólag a szög megmérésének pontosságától függ, ezért a távmérıszöget másodperc teodolittal, többszörös ismétléssel kell meghatározni. Mivel vízszintes szöget mérünk, ezért azonnal a vízszintesre redukált távolság számítható:

tv =

ω b ⋅ ctg 2 2

(4.12)

Az 4.3 ábrán látható elrendezést 75 méteres távolságig használták, és ezzel a módszerrel elérhetı középhiba kb. ±1 cm volt. Amennyiben a megmérendı távolság nagyobb volt, mint 75 méter, úgy a távolságot két részletben határozták meg olyan módon, hogy a bázislécet elıször a távolság felezıpontjában állították fel.

4.2.2 A fizikai távmérés A fizikai távmérésnél a mérendı távolságot valamilyen fizikai jelenség felhasználásával vagy fizikai mennyiségek megmérésével határozzuk meg. A leggyakrabban a távméréshez az

elektromágneses sugárzást használják fel. Az elektromágneses sugárzás hullámhossz tartománya nagyon széles, ebbıl a geodézia csak két szők sávot használ fel: •

a centiméteres hullámhosszú rádióhullámokat: az ilyen módszert nevezik mikrohullámú-

vagy rádiótávmérésnek, •

a mikrométeres hullámhosszú látható fény vagy a hozzá közeli infravörös tartományba esı hullámokat: az ilyen módszert nevezik fénytávmérésnek, vagy elterjedtebb nevén

elektrooptikai távmérésnek. A továbbiakban a geodéziai gyakorlatban elterjedtebb elektrooptikai távméréssel foglalkozunk. Minden távmérési módszer alapja az, hogy valamilyen mérıjelet ültetnek egy vivıjelre. Az idıméréses távmérésnél a mérıjel egyetlen impulzus vagy impulzus-sorozat lehet. Ha ismerjük az impulzust hordozó vivıjel terjedési sebességét, akkor meg tudjuk mérni annak futási idejét, azaz azt az idıtartamot, amely idı alatt a vivıjelre ültetett mérıjel a megmérendı távolságot befutja. A

fázisméréses távmérésnél a mérıjel egy periódikusan változó szinuszos jel. Ennek a távmérési módszernek az alapja, hogy a megmérendı távolság mind a két végpontján meg kell mérnünk a

mérıjel rezgésállapotát, azaz a kiinduló állapothoz tartozó rezgésállapot változást. A távmérés eredménye ebben az esetben nagyon hasonló lesz a hosszméréshez. A megmért távolság két

részbıl tevıdik össze: a távolság befutásakor lejátszódott teljes fázisciklusok számából, és egy maradék távolságból, amely nem más, mint egy fázisciklus tört része, azaz a megmért fáziskülönbség. Ha ezt a vegyes számot megszorozzuk egyetlen fázisciklus lejátszódási idejével, akkor megkapjuk a futási idıt, ezzel ezt a módszert lényegében visszavezettük idıméréses távmérésre. A mérıjel vivıhullámra való ültetése azt jelenti, hogy a mérıjellel megváltoztatjuk a vivıjel

amplitúdóját. Ezt a folyamatot amplitúdó-modulációnak nevezzük. A mérıjel a moduláló jel, a vivıjel és a mérıjel összetételébıl származó összetett jel pedig a modulált jel. A végponton elhelyezett visszaverı berendezés, a prizma a jelet visszatéríti a mőszer felé. Visszaérkezéskor a moduláció ellentettje, az úgynevezett demoduláció folyamata zajlik le. Ekkor a mérıjel leválik a vivıjelrıl, és a fényingadozást egy fotódióda áramingadozássá alakítja át. A demodulált jel a modulált jelhez képest idıkéséssel keletkezik (vagy fáziskéséssel a fázisméréses távmérésnél), a távmérés feladata lényegében ennek az idı-vagy fáziskésésnek a meghatározása. A mérıjel tehát a távolságot kétszer futja be, oda és vissza irányban, azaz ezzel a kétutas módszerrel közvetlenül a futási idı kétszerese határozható meg.

A kétszeres futási idı ismeretében természetesen

kiszámítható a távolság egyszeri megtételéhez szükséges idı, majd ezzel összefüggésben a távolság

53

is. A kibocsátott jel egyrészt a távolság kétszeres befutása miatt, másrészt a visszatérítı berendezés okozta energiacsökkenés miatt gyengül, ezért ennek a kétutas módszernek a hatótávolsága

korlátozott.

4.2.2.1 A távmérımőszerek általános felépítése A távmérı mőszerek általános felépítését az alábbi alfejezetben és az 4.5 ábra alapján tekintjük át (Krauter, 1995). A távmérımőszerek az alábbi szerkezeti egységekbıl épülnek fel: •

mérıjelgenerátor: kvarckristály által vezérelt elektromos rezgéskeltı.

Feladata a mérıjel

elıállítása és a frekvencia stabilitása. Az egyértelmő távolság-meghatározás érdekében a mérıjelgenerátor több mérıléptéket állít elı, amelyek egymásnak tízszeres többszörösei. •

segédjelgenerátor: a mérıjel frekvenciájához hasonló frekvenciájú jelsorozatot állít elı, hogy a keverés után elıállított jel kis frekvenciájú legyen.

•

sugárforrás: egy olyan félvezetı dióda, melynek feladata az infravörös vivıhullám elıállítása. A diódát a mérıjel gerjeszti az amplitúdó-moduláció elve alapján.

•

belsı optikai út: a mérısugár útjába helyezett eltérítı prizmarendszer, amely a mérısugarat a mőszeren belül a vevı fotódiódára irányítja. A belsı optikai út azért fontos, mert az elektronikus egységek jelkésleltetı hatása által okozott szabályos hibát ennek segítségével lehet kiküszöbölni. A távméréssel egyidıben ennek a belsı optikai útnak a hosszát is megmérjük. Amennyi idı alatt a hullám a belsı optikai utat befutja, az megegyezik az elektronikus egységek jelkésleltetı hatásával.

•

visszaverı berendezés: a megmérendı távolság mőszerrel átellenes végpontján állítják fel, feladata a mérısugár visszairányítása a mőszerhez. A visszaverı berendezés általában egy jó minıségő üvegbıl készített prizma (lehet fólia is vagy esetleg közvetlenül a megmérendı objektum felülete is), amely egy kockának a testátlóra merılegesen lemetszett sarka. A beesı fény visszaverıdés után a prizmából pontosan a beesés irányába verıdik vissza, így a prizmával elegendı csak közelítıen megirányozni a mőszert. A prizma esetén fontos követelmény, hogy a kocka eredeti három oldala szabatosan merıleges legyen, és mindhárom oldal sík legyen. A prizmák elöregedı alkatrészt nem tartalmaznak, így hosszú idın keresztül, akár más távmérı esetén is felhasználhatók. Az üvegprizmák drága volta miatt, egyéb megoldások is kialakultak az üvegprizmák egyszerőbb, olcsóbb pótlására. Az elsı megoldás, hogy a prizmákat olcsóbb anyagból készítik el, elsısorban mőanyagból. A mőanyag prizmákat a "macskaszem" alakjának megfelelıen készítik. Formájukat tekintve 3-5 mm élhosszúságú, elıl foncsorozott kockasarkokból tevıdnek össze, átmérıjük 3-5 cm. Elınyük, hogy olcsóbbak, mint az üvegprizmák, de a mőszer hatótávolsága jelentısen csökken, és általában nem haladja meg a néhány száz métert. Üvegprizmák helyett elterjedtek még a mérıfóliák is. Ez esetben egy papír vagy mőanyag alaplapra mőanyag gömböket visznek fel, amelyek közét gyantával öntik ki. A mérés hatótávolsága ebben az esetben is lecsökken 100-200 méterre, ezen kívül az összeadóállandójuk is más, mint a mőszerhez rendszeresített prizmák esetében, ráadásul nem minden típusú mőszer képes fóliára mérni. A sötétebb színőek kedvezıtlenebbek, kedvezıbbek a világos, élénk színő fóliák. Az irányzásra készített jelek a fóliákon különbözıek lehetnek, vannak olyanok, amelyeket szabatosan lehet irányozni, és vannak olyanok is, amelyeket nem. Egyes különleges mőszerek képesek távolságot mérni közönséges falfelületre is. Ebben az esetben semmilyen külön visszaverı eszközre nincs szükség. Ez különleges elınyt jelent hozzá nem férhetı távolságok esetén, azonban jelentısen csökkenti a mérhetı távolságot. Ez általában csak lézer vivıhullám esetében valósítható meg, a mérhetı távolság a több tízméteres,

54

esetleg a százméteres tartományba esik. Ezek a mőszerek képesek az irányzáshoz viszonyított 20-30° alatti felületrıl is távolságot mérni.

4.4 ábra Prizma sugármenete, egyszerő prizma és 360°-os prizma • •

szürke ék: a vevı fotódiódát védi a túlságosan erıs sugárzástól. fotódióda: feladata a demoduláció, azaz a mérıjel leválasztása a vivıjelrıl, és a fényingadozás átalakítása áramingadozássá.

•

erısítı: a fotódióda gyenge jelét erısíti a megfelelı szintre.

•

keverık: a moduláló és a demodulált jelet keveri össze a segédjelgenerátor által elıállított jellel, majd ennek az összetett jelnek csak azt az összetevıjét engedi át, amelynek frekvenciája a két jel frekvenciájának különbsége. Ezzel érik el, hogy a kibocsátott jel kisfrekvenciás legyen.

•

fázismérı: feladata a keverık által elıállított kisfrekvenciás jel fáziskülönbségeinek meghatározása

•

számító egység: a fázismérı berendezéstıl és a billentyőzetrıl kapott adatokkal számítja a távolságot, kiírja a kijelzıre és eltárolja a mőszer memóriájába.

A távmérımőszerek általános mőszaki jellemzıi az alábbiak: •

legalább 1 km-es, általában 3-5 km-es hatótávolság a visszaverı prizmarendszer felületének nagyságától,

•

100-400 méteres távmérési hatótávolság fóliára és direkt reflex üzemmódban, azaz közvetlen

•

távméréstıl független 1-5 mm-es távmérési alaphiba, amely kilométerenként 1-5 mm-el

felületre mérve, növekszik, •

kis súly és kis méret, távmérı berendezés a távcsıbe és az alhidádéba építve,

•

alacsony elektromos fogyasztás, hosszú mérési idı,

•

differenciálható távmérési üzemmódok: normál, követı, gyors, precíz,

•

ferde

távolság

és

zenitszög

mérése

után

automatizált

vízszintes

távolság

és

magasságkülönbség számítása.

55

mérıjelgenerátor

keverı

sugárforrás

fotódióda szürke ék

segédjelgenerátor

erısítı

belsı optikai út

prizma

modulált jelbıl keverı fázismérı demodulált jelbıl

számító egység

billentyőzet

kijelzı

adatrögzítı

4.5 ábra Távmérı mőszer vázlatos felépítése (Krauter, 1995)

4.2.2.2 Az idıméréses távmérés A mőszer által kibocsátott elektromágneses hullám a mérendı távolság másik végpontján elhelyezett berendezésrıl visszaverıdik, és visszajut a mőszerbe. A kibocsátás és a visszaérkezés között eltelt idı, tfutási idı megmérésével a távolság kiszámítható:

2 D = v ⋅ t futásiidı (4.13)

azaz D=

v ⋅ t futásiidı 2

ahol v a fény ismertnek tekintett terjedési sebessége a légkörben. A fenti képletet az idıméréses

távmérés alapképletének nevezzük. A futási idı meghatározásához meg kell keresnünk a mérıimpulzusnak azt a pontját, amelynek kibocsátását és beérkezését is egyértelmően mérni tudjuk. A kibocsátott és beérkezı impulzus legkönnyebben azonosítható pontja a két impulzusfüggvény

maximuma. A vevıben elıáll mind a két függvény derivált függvénye; a két derivált függvény zérus értéke indítja el és állítja meg az idımérı eszközt. Az impulzus véges hossza ellenére nincs legkisebb

56

mérhetı távolság. Akár néhány centiméteres távolságok is mérhetıek; az impulzus alakját egy átmeneti jeltároló ırzi: akkor, amikor az impulzus eleje már beérkezett, de a vége még el sem indult. A mérés feldolgozása csak a teljes impulzus beérkezése után indul meg. Az idıméréses távmérés elvén mőködı mőszereknél a mérıjelnek olyan nagy az energiasőrősége, hogy 100-200 méteres távolságig a céltárgyról visszaverıdı jelmennyiség is elég; 300-400 méteres távolságig pedig visszaverı berendezésként fólia is használható. A mérés megvalósításához impulzus-üzemmódban mőködı, nagy fényenergiát rövid idı alatt kibocsátani képes fényforrásra van szükség, továbbá gyors kapcsoló és feldolgozó áramkörökre. Természetesen az is követelmény, hogy mindezeknek a berendezéseknek kicsi legyen a súlya, hogy az ilyen mérıeszközzel felszerelt mőszer terepen könnyen mozgatható legyen. Az idımérés elvén mőködı távmérık csak az 1980-as évek elején jelentek meg a gyakorlatban, míg a fázisméréses távmérık sorozatgyártása már az 1940-es években beindult, polgári célra pedig már az 1960-as években.

4.2.2.3 A fázisméréses távmérés A távolság meghatározásához a mérıjelnek a távolságot kétszer kell befutnia. Ha a fény

terjedési sebessége a légkörben v, az idıegység alatt elıállított mérıjel-periódusok száma, azaz a frekvencia f, akkor egyetlen ciklus alatt a fény:

λ=

v f

(4.14)

távolságot tesz meg. Ezt a távolságot nevezzük a fény hullámhosszának. A futási idı alatt N darab egész fázisciklus játszódik le, azaz N darab egész hullám fér el a megmérendı távolság kétszeresén. Az egész számú fázisciklusok mellett azonban meg kell még határozni az úgynevezett maradék

távolságot is, amely nem más, mint az egész fázisciklusok után fennmaradó csonka ciklus, amelynek hossza rövidebb, mint egy egész. Jelöljük Dcsonka szimbólummal a maradék távolságot:

Dcsonka

=

λ

∆ϕ 2π

(4.15)

A fény a megmérendı távolság kétszeresét futja be:

2 D = N ⋅ λ + Dcsonka

(4.16)

azaz

D=N⋅

λ 2

Dcsonka 2

+

vagyis D=N⋅

(4.17)

λ 2

+

∆ϕ λ ⋅ 2π 2

Az 4.17-es képletet a fázisméréses távmérés alapképletének nevezzük. A fázisméréses távmérés alapképlete nagyon hasonló a hosszmérés alapképletéhez. Hosszmérésnél a megmérendı távolság n darab egész szalagfekvésbıl állt és egy szalagfekvésnél rövidebb maradék távolságból; fázisméréses távmérésnél pedig a megmérendı távolság áll N darab egész fázisciklusból, és egy maradék távolságból áll, amely lényegében egy csonka ciklus, azaz rövidebb, mint egy egész fázisciklus. A fázisméréses távmérés alapképletében szerepelı λ/2 hosszat a távmérés léptékének nevezzük. Nagysága függ az f frekvenciától, valamint az ismertnek tekintett v terjedési sebességtıl.

λ 2

=

v 2f

(4.18)

57

A fázisméréses távmérésnél technikailag a távolság kétféleképpen határozható meg: •

Állandó mérıfrekvencia módszere: a mérıhullám hossza az idıben nem változhat, és

∆φ megmérésével határozzuk meg a maradék távolságot. •

Változtatható mérıfrekvencia módszere: a hullámhossz változtatásával a maradék

távolságot nullává tesszük. Az állandó mérıfrekvencia elvén mőködı távmérésnél a fáziskülönbség mérése idımérésre van visszavezetve. A fázismérı a moduláló és a demodulált jel azonos fázishelyzető pontjainak a

megjelenése közötti idıtartamot méri impulzusszámlálással. Általában két számláló mőködik: az egyik tartalma az egész fázisciklusok számával növekszik, a másik pedig a fáziskülönbséggel (Krauter, 1995).

Dcsonka =

∆ϕ λ n λ ⋅ = ⋅ 2π 2 N 2

(4.19)

Ennél a módszernél nem az eredeti modulált és demodulált jel közötti fáziskülönbséget mérik, hanem a keverık egy alacsonyabb frekvenciát állítanak elı interferenciával olyan módon, hogy az eredı jelnek (modulált vagy demodulált jel, és a segédjelgenerátor által elıállított jel keveréke) csak azt az összetevıjét engedik át, amely a két összetevı jel különbsége. Ezzel azonban a fáziskülönbség változatlan marad. A távmérés léptéke és a megmérendı távolság között az alábbi kapcsolatok állhatnak fenn: •

A léptéket nagyobbra választjuk, mint a megmérendı távolság, ekkor az egész fázisciklusok száma, az N nulla lesz. A távmérés nem pontos, hiszen a fáziskülönbség meghatározásában elkövetett kis hiba is nagy távolsághibát okoz, viszont a kapott

távolság egyértelmő lesz. •

A léptéket kisebbre választjuk a megmérendı távolságnál. Ekkor a távmérés pontos lesz, de nem lesz egyértelmő, mert nem tudjuk, hogy a csonka fázisciklushoz a léptéknek még hányszorosát kell hozzáadni.

Egyetlen léptékkel a távolságot tehát vagy pontosan, vagy egyértelmően lehet meghatározni, ezért a távmérésnél mindig többféle léptéket használnak. A legkisebb léptéket finom léptéknek nevezik, és ennek nagyságától függ a távmérés pontossága. A legnagyobb léptéket durva léptéknek nevezik, ez határozza meg, hogy mekkora távolságig lesz a távmérés egyértelmő. Ha ez nagyobb, mint a távmérı hatótávolsága, akkor a távmérés mindig egyértelmő. A durva lépték általában a távmérési eredmény kilométeres, száz méteres és tízméteres tagjának a meghatározásában vesz részt; a finom lépték pedig a tízméteres tagnál kisebb számjegyek meghatározásában. Ha a mérési eredmény 1258.258 méter, akkor 1250 métert határozunk meg a durva léptékkel, és 8.258 méter pedig a finom léptékkel. A változtatható mérıfrekvencia elvén mőködı mőszerekben a frekvencia tág határok között változtatható a megmérendı távolság függvényében. A távmérés folyamatában elıször keresni kell egy olyan f0 értéket, ahol a csonka fázisciklusok száma, vagyis a maradék távolság nulla. Ebben a helyzetben meg kell mérni f0 frekvencia pontos értékét.

D=N⋅

λ0 2

=N⋅

v 2 f0

(4.20)

Növeljük a frekvenciát a frekvenciasáv felsı széléig. Mindeközben a frekvencia k-szor teljesíti azt a feltételt, hogy a maradéktávolság nullával legyen egyenlı. Mérjük meg az fk+1-dik frekvencia értékét. Ekkor

D = ( N + k + 1) ⋅

λk +1 2

= ( N + k + 1) ⋅

v 2 f k +1

(4.21)

58

Az 4.20-as és at 4.21-es képletekbıl:

N=

(k + 1) ⋅ f 0 f k +1 − f 0

(4.22)

Amely értéket ha egész számra kerekítjük és visszahelyettesítjük 4.20 és 4.21-be, akkor abból a D távolság értéke kiszámítható. Az állandó mérıfrekvencia elvén mőködı mőszerek elterjedtebbek, mert terepi körülmények között könnyebben megoldható volt a frekvencia állandó értéken tartása, mint annak változtatása. Elmondható azonban az is, hogy a változtatható mérıfrekvencia elvén mőködı mőszerek pontosabbak, így térhódításuk a technika fejlıdésével a jövıben várható.

4.2.3 A légkör energiacsökkentı hatása A fizikai távmérık által kibocsátott elektromágneses hullámok a légkörben haladva futják be a mérendı távolságot. A hullámterjedés közege, a levegı nem homogén. A fizikai távmérés a légkör legalsó részében a troposzférában történik, a talaj feletti légrétegben. A mérıhullámok talaj feletti magassága általában néhány méter, ritkán haladja meg a néhányszáz métert, esetleg kilométert. Ebben a levegırétegben az összetétel lényegében azonos: 78 térfogat százalék nitrogén, 21 térfogat százalék oxigénbıl áll. A fennmaradó egy százalék összetétele: hidrogén, széndioxid, ózon, porszemek és más különféle szennyezı anyagok. A légáramlások következtében ez keveredik, és különbözı helyeken más és más értékő jellemzıi lesznek az elektromágneses sugárzás terjedése szempontjából. A fizikai távmérık vevıhullámának szempontjából a légkörnek két hatása fontos: a) Légkör hatására bekövetkezı energiaveszteség, mely elsısorban a mérhetı legnagyobb távolságot befolyásolja. b) A légkör hatása a hullám terjedési sebességére, melyet, mint távolság korrekciót, mint meteorológiai redukciót veszünk figyelembe. Ebben a fejezetben a légkör jelcsökkentı hatásával foglalkozunk és a következı fejezetben adjuk meg a terjedési sebesség változásának hatását a távmérés eredményére. A távmérı által kibocsátott elektromágneses sugárzás csak részben érkezik vissza a

vevıhöz. A vett jelnek olyan erısségőnek kell lenni, hogy az kiértékelhetı legyen. Ha nem éri el azt a szintet, akkor a mőszer nem képes megmérni a távolságot és a mérési folyamat leáll, amit a mőszer hibaüzenettel jelez, ezért gyakorlati szempontból is fontos számunkra, hogy ismerjük az erısség csökkenésének okait. A troposzférában történı áthaladás során csak a deciméteres és annál rövidebb hullámok

gyengülnek. A jelcsökkenés elsıdleges okai a légkörben köd és esıcseppek formájában jelenlévı víz. Ha a vízmolekulák elnyelik az elektromágneses sugarakat (különösen a rádióhullámokat), polarizációs áramok jönnek létre, melyek kisugárzást hoznak létre a tér minden irányába. A milliméteres és az infravörös hullámtartományban a víz és az oxigén molekulák az elektromágneses sugárzás hatására rezgı és forgó mozgást végeznek és, ha ez egyezik saját rezgıszámukkal, akkor elnyelik a közölt energiát, átalakítják belsı molekuláris energiává. Infravörös sugárzás esetén a vízgız, ózon és széndioxid elnyelı hatása is jelentıs. Ebben a sávban jelentıs a lebegı por, víz és füst részecskékben való szóródás is (Csepregi, 2005). A fizikai távmérık esetében fontos szerepe van a vivıhullám hullámhossz megválasztásának. A rádióhullámok (néhány centiméteres, illetve milliméteres hullámok) esetén elıny, hogy párában,

ködben, esıben is lehetıség van nagy távolság megmérésére (50 km). A kisebb összelátási akadályok (fa lombozata) nem hiúsítják meg a távmérést. Nem szükséges szigorú összelátás a távolság kezdı és végpontján elhelyezett mőszerek között, csak közelítıen kell a két mőszert egymás

59

felé irányozni. Ezzel szemben hátrányként jelentkezik, hogy a rádióhullámok az elektromosan vezetı

felületekrıl visszaverıdnek, így több esetben nehéz megállapítani, hogy a közvetlen egyenesen, vagy egy tört út menti távolságot mértük-e. Hátrányként jelentkezik, hogy a két végponton elhelyezendı berendezéseknek közel azonos felépítésőnek kell lenni. Az elektrooptikai távmérık esetén a kibocsátott sugárzás az infravörös (nem látható fény) tartományba esik. Ennek terjedési tulajdonságai jól megegyeznek a látható fény tulajdonságaival, ezért az infravörös sugárzás jelvesztesége is hasonló a látható fényéhez. Közvetlen összelátás

szükséges a két végpont között, azonban visszaverı berendezésként elég egy passzív prizma is. A mérést zavarja, ha a mérési program alatt valami (pl. falevelek, autó, járókelık stb.) megszakítja az összelátást. Ha mégis ilyen akadály lépne fel, akkor a mérési program várakozik, és az akadály megszőnése esetén tovább folytatódik. Hosszabb idejő akadályoztatás esetén a mérési program leáll egy hibaüzenettel (nincs jel), és a távmérést újra kell indítani. Az elsı elektrooptikai távmérık esetén, az 1970-80-as években, a jel megszakadása igen veszedelmes volt, mert minden fénysugár-szakadás esetén újra kellett kezdeni a mérést. Ez sokszor a mérés elhúzódásához vezetett, több esetben a mérés elvégzésének a lehetetlenségében jelentkezett. A korszerő mőszerek esetében csak a mérési program szakad meg és az akadály megszőnése után tovább, folytatódik. Az egyes elektrooptikai távmérıkkel mérhetı legnagyobb távolságot a mőszerismertetık megadják, ez azonban függ a légköri körülményektıl is. A látástávolságnak optimális esetben háromszorosának kell lennie a távmérı hatótávolságának. A mőszer hatótávolsága elsısorban a mőszer által kibocsátott energia mennyiségétıl

függ, ezt azonban a gyártó cég határozza meg tılünk függetlenül. Ezen kívül hatótávolság közvetlen kapcsolatban van a látótávolsággal. A látótávolság az a távolság, amelyrıl egy megfelelı mérető sötét-fekete tárgyat meg tudunk különböztetni környezetétıl. Például mely távolságról láthatjuk egy távoli hegy fı vonalait. Kedvezıtlen, kellemetlen párás, ködös idıben ez jelentısen lecsökkenhet, egyes esetekben – ködös idıben – néhány tíz méterre is. Tiszta, páramentes idıben – esı után – ez az érték természetesen jelentısen megnı. A mőszergyárak a mőszer hatótávolságát általában az átlagosan jó látási viszonyokra adják meg, ami 23 km-es látótávolságnak felel meg. Ennél jobb látási viszonyok mellett valamivel nagyobb távolságot is lemérhetünk. A hatótávolság növelhetı még a prizmaszám növelésével is. Ez azonban a prizmák egy síkon fekvését követeli meg, és csak a mőszergyár típusának és felszerelésének megfelelıen növelhetı. A látótávolság értelmezéséhez hasznos adatok találhatók Alfred Berg 1918-ban megjelent könyvében. Képzeljük el a mőszert egy P mőszerálláspontban (4.6 ábra), ahonnan méréseket végzünk jó látási viszonyok között. Ekkor a látómezı lényegében egy sík, kör alakú felületnek tőnik, amelynek a középpontjában a mőszerálláspont helyezkedik el. A látómezı valójában nem sík, hanem a föld alakja miatt egy görbült felület, amelynek mi az éggömbbel alkotott metszésvonalát érzékeljük a látótávolságunk határaként. Az éggömbnek a földfelszínnel alkotott metszésvonalát nevezzük horizontnak, és ennek az állásponttól mért távolsága az, ami meghatározza a látástávolságot (és ezzel együtt a hatótávolságot is). A 4.6 ábrán a P pont képviseli a mőszerálláspontot, M a Föld tömegközéppontját, a látótávolságot pedig a P pontból a görbült felülethez (esetünkben körhöz) húzott érintık (PA és PA1) határozzák meg. Az A és A1 pontokon keresztülmenı sík metszi ki a gömbnek képzelt földalakból a horizont vonalát. Ezt a vonalat

természetes horizontnak nevezzük. Gyakorlati megfontolásokból nem teszünk különbséget az álláspont magassága és az álláspont felett lévı fekvı- és állótengely metszéspont magassága (mőszermagasság) között, de megemlítjük, hogy szabatos értelmezésben a kettı nem esik egybe. Esetünkben tehát a P pont, mint mőszerálláspont a tengerszint feletti magasságot jelöli.

60

A refrakció következtében a fénysugarak a légkörben nem egyenes vonal, hanem görbült

vonal mentén terjednek. Általános esetben a görbe alakja a Föld felszíne felöl nézve homorú, emiatt a zenitszög értékét csökkenti, a magassági szög értékét pedig növeli. A refrakció következtében fordul elı az, hogy az egyébként a földgörbület miatt a horizont vonala alatt lévı

objektumok is láthatóakká válhatnak pl. tiszta idıben a Csóványosról a Tátra hegyei. Mindez tapasztalati adatok alapján a látótávolság 6-7%-os vagy másképpen kifejezve 1/15 résszel való

megnövekedését jelenti. A 4.6 ábrán a refrakció figyelembevételével kialakuló látótávolságot a PB és PB1 érintık képviselik, majd pedig a B és B1 pontokon keresztülmenı sík metszi ki a gömbnek képzelt földalakból a horizont vonalának egy új értelmezését, a korrigált természetes horizontot.

4.6 ábra A látótávolság értelmezése Tekintsük a 4.6 ábrán a PAM derékszögő háromszöget. MA hossza a földsugárral (r), PM hossza r+hval és PA hossza pedig a látótávolsággal egyezik meg. Pitagorász-tétele alapján írhatjuk fel a

))))  <= )))))  ;= ))))) ;< )))) ))))) ))))) ;<  ;=  <= )))) ;<  &  >  &

következıt:

)))) ;<  &  2 · & · >  >  & )))) ;<  2 · & · >  >  > · 2&  > )))) ;<  ?> · 2 · &  >

A kétszeres földsugár értékéhez képest (6380 km) elhanyagolható nagyságú az álláspont h tengerszint feletti magassága, ezért a zárójelben lévı tagból h értékét el lehet hagyni. Ekkor a képlet a következıképpen alakul:

)))) ;<@ABC  √> · 2&  √> · 12.760  √> · √12.760  3.572 · ">@BC

A refrakció hatása miatt ezt az értéket még meg kell növelni az 1/15 részével, azaz meg kell szorozni 16/15-el a tényleges látótávolság meghatározásához (Berg, 1918): )))) ;<@ABC  3.810 · ?>@BC

(4.23)

A 4.6 ábrán δ-al jelölt szög lényegében az a szög, amely értékkel a légköri sugártörés a magassági

szöget növeli, és a zenitszöget csökkenti. Ennek a szögnek (refrakciós szög) a számítása közelítıen a következı képlettel történik (Berg, 1918):

H  J · ?<@BC I

(4.24)

ahol A a megfigyelı méterben kifejezett szemmagasságát jelöli a földfelszín felett. A 4.3-as táblázat a

δ néhány értékét foglalja össze a szemmagasság változásának függvényében:

61

4.3 táblázat

Szemmagasság (m) δ

2

4

6

10

20

100

300

1500

3000

2.5’

3.6’

4.4’

5.7’

8’

18’

31’

1°10’

1°39’

2

A látómezı km -ben kifejezett értékének meghatározásához a 4.23-as képletbıl kell kiindulni, továbbá abból, hogy a látómezıt kör alakúnak tételezzük fel. A látómezıt definiáló kör sugara a látótávolság, azaz a látómezı területe (Berg, 1918):

K  & · L  3.810 · ?>@BC  · L  3.810 · >@BC · L  45.581 · >@BC

(4.25)

2

A látótávolság (km) és a látómezı (km ) számított értékeit foglalja össze a 4.4 táblázat néhány magyarországi jellemzı hegycsúcsok esetére ideális észlelési körülményekre vonatkozóan:

4.4 táblázat Hegycsúcs Kıris-hegy (Bakony) Meleg-hegy (Velencei-hegység) Írott-kı (Kıszegi-hegység) Nagy-Milic (Zempléni-hegység) Csóványos (Börzsöny) Kékestetı (Mátra) Zengı (Mecsek) János-hegy (Budai-hegység)

Tengerszint feletti magasság (m) 709 352 882 895 938 1014 682 527

Látótávolság (km) 101 71 113 114 117 121 99 87

Látómezı területe 2 (km ) 32317 16045 40202 40795 42755 46219 31086 24021

4.2.4 Elektromágneses hullámok terjedési sebessége a légkörben A fény légüres térben meghatározott sebessége ismert. Ezt az értéket 1983-ban az új métermeghatározás az alábbi értékben állapította meg.

c = 299 792 458 m/s. A légkörben a terjedési sebesség megváltozik és a levegı törésmutatója függvényében, és

v=

c n

(4.26)

értékő lesz, ahol n a levegı törésmutatója. A törésmutató értéke függ:

n = f (p, t, e, λ ) ahol:

p

a légnyomás,

t e

a hımérséklet,

λ

a hullámhossz.

a páranyomás,

A légnyomást barométerek segítségével mérjük. A mechanikus barométerek igen

kényesek a rázkódásra, de általában pontosabbak, mint az elektronikusak. Mértékegységük a Hgmm (higanymilliméter), vagy másnéven torr. Másik mértékegység a hPa (hektoPascal), vagy más néven mbar (milibar). A két különbözı mértékegység között az átszámítást a

760 torr = 1013,25 hPa

(4.27)

képlettel végezhetjük el.

A hımérséklet mérése hımérıkkel történik. A hagyományos higanyos hımérık még pontosabbak, mint az elektronikusak. Magyarországon a Celsius fok a majdnem kizárólagos

egység, azonban angolszász országokban gyakori a Fahrenheit fok használata. Tudományos vizsgálatokban a Kelvin fokot használjuk. C˚=(5/9)(F˚-32)

F˚=(9/5)C˚+32

K˚=273,15+C˚

(4.28)

62

ahol a -273,15 C˚ (0 K) az abszolút O fok. Ennek reciprokat gyakran használjuk

1/273,15=0,003661

(4.29)

a meteorológiai számításoknál.A levegı hımérsékletét mindig azon a helyen kell mérni, ahol a távmérés történik. A páranyomás értéket általában nem mérjük közvetlenül, hanem a száraz és nedves

hımérsékletbıl számítjuk. A leggyakoribb a száraz és nedves hımérséklet mérése úgy, hogy két higanyos hımérıt egymás melletti foglalatba helyezve, egy motor segítségével levegıt áramoltatunk rájuk úgy, hogy az egyik hımérı higanytartálya mellett, szabadon áramlik el a levegı, míg a másikat egy vizes vattával vesszük körül (Ansmann-féle aspirációs hımérı). Az elsıt nevezzük száraz

hımérınek, a másodikat nedves hımérınek hívjuk. A nedves hımérın mért hımérséklet mindig kisebb, mint a száraz hımérıvel mért, mert a nedves hımérınél párolgás van az áramló levegı miatt, és ez hıelvonással jár, ami a levegı hımérsékletét csökkenti. A két hımérsékletbıl számíthatjuk a

páranyomás értékét a Sprung képlet szerint az

N  OP  -  -P  · QJJ · R é .OP  VWU  Y A

ahol

e

a páranyomás torr-ban,

Ew

a telített levegı páranyomása torr-ban,

t

a száraz hımérséklet (Celsius fok),

tw

a nedves hımérséklet (Celsius fok),

p

a légnyomás (torr),

T·U

X

(4.30a)

és a további állandók (víz feletti értékre vonatkozóan)

k = 0,5

α = 7,5

β = 237,3

γ = 0,6609.

A páranyomás értékét számíthatjuk még a Magnus-Tetens empirikus képlete alapján is:

N  6.112 · exp ]

Q.^Q·U °_

b

U °_W `a.J

(4.30b)

A levegı törésmutatóját két lépésben határozhatjuk meg. Elıször az elektrooptikai hullám hossza alapján számítjuk a levegı törésmutatóját Barrell és Sears (1939) képletével (Csepregi, 2005).

0.136 (ncs − 1) ⋅ 10 7 = 2876.04 + 3 16.288 +5 4 2

λ

(4.31)

λ

összefüggéssel. Az elektrooptikai távmérıkben használt infravörös fény hullámhossza 0,9 µm. Ez a levegı ún. csoport törési indexét adja meg, mert a kibocsátott elektromágneses sugárzás nem teljesen homogén, vannak kismértékben eltérı hullámhosszú sugarak is (lényegében több szín keveréke). A megadott összefüggés t =0 C°, p = 760 torr és száraz levegıre vonatkozik 0,03 % széndioxid tartalom mellett. Ezt nevezik normál atmoszférának. A normál atmoszférára vonatkozó törésmutatót ezután át kell számítani a pillanatnyi hımérséklet (t C°) légnyomás (p torr) és páranyomás (e torr) ismeretében a jelenlegi levegıre a

n=

ncs − 1 p 5.5 ⋅ 10 −8 ⋅ − e 1 + αt 760 1 + αt

(4.32)

összefüggéssel. A 4.29-dik képlet a csoport törésmutató értékének beírásával:

300,2307793 p 5.5 ⋅ 10 −8 e n= ⋅ − 1 + αt 760 1 + αt

α = 0,003661

(4.33)

63

A Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Szövetség (IUGG) 1960 évi Helsinkiben tartott ülésén a 4.30-dik képetet ajánlotta alkalmazni. Más összefüggések is ismertek a törésmutató kiszámítására, azonban ezek a képletek csak igen kis eltérést mutatnak a gyakorlatban. A megadott összefüggések segítségével csak a levegı pontbeli (a mérés helyének megfelelı) törésmutatóját tudjuk

meghatározni. A mért távolság vonalán azonban változik a törésmutató értéke, és a távolság számításában az átlagos törésmutatóra is szükségünk van. Ezt úgy határozhatjuk meg, hogy a távolság mentén, több helyen mérjük a légkör állandóit. Általában a leggyakoribb esetekben 1-2 km távolságig elegendı a távolság egyik pontján a mőszer mellett mérni a távolságot. Szabatos távmérés (milliméter és ez alatti középhiba esetén), valamint 1-2 km felett mindkét ponton mérjük a meteorológiai adatokat, és ha lehetıségünk van, közben is. A meteorológiai adatok megmérésének hibája meghatározza a törésmutató hibáját. A parciális deriváltak képzése alapján az alábbi összefüggést írhatjuk fel a törésmutató hibájára (Csepregi, 2005).

dN = 0.4 dp − 1.0dt − 0.05de= 0.4 dp − 1.0dt − 0.06dtw 4.5Táblázat Mennyiség 1 egységgel való hibás mérése

(4.34)

A hiba hatása a távolságra

A légnyomás 1 Hgmm nagyságú hibája esetén

A távolság hibája 0,4 mm kilométerenként

A hımérséklet 1 C˚ nagyságú hibája esetén

A távolság hibája 1,0 mm kilométerenként

A páranyomás 1 Hgmm nagyságú hiba esetén

A távolság hibája 0,05 mm kilométerenként

A nedves hımérséklet 1 C˚ nagyságú hibája

A távolság hibája 0,06 mm kilométerenként

esetén

Ez azt jelenti, hogy az együtthatók a mért mennyiség 1-egységnyi változása esetén megadják a távolság hibáját mm/km egységben. Tekintettel arra, hogy a páranyomás és a nedves hımérséklet fénytávmérı esetén csak igen kis mértékben befolyásolja a mért távolságot, ezért ezt a gyakorlatban általában nem szoktuk mérni. A

meteorológiai javítás tehát:

ppm= 278.96 +

0. 3872p 1 + 0.003661t

p Hgmm

t Co

(4.35)

Különbözı mőszerek esetén a képlet elsı tagja attól függıen változik, hogy a gyártó cég mit tekint az átlagos levegı törésmutató indexének. A mai mőszerek már számítják a redukció értékét,

ha beállítjuk a hımérsékletet és a légnyomást. Korábban táblázatok és nomogrammok szolgáltak a ppm érték meghatározására. Néhány jellemzı adat az átlagos levegı törésmutató indexének (4.35 képlet elsı tagja) megadására különbözı mőszertípusok esetében (Csepregi, 2005):

4.6 Táblázat Geodiméter

275

Nikkon

275

Leica (Wild)

281,8

Pentax

279,75

Sokkia

278,96

Topcon

279,66

Zeiss (Oberkochen)

255,1

Az adatok mőszerenként is változhatnak

4.2.5 A távmérés hibaforrásai A távmérımőszer gyári alapbeállításainak megváltoztatása nélkül mért távolság még nem közvetlenül a ferde távolság lesz, hanem egy elızetes nyers távolság, amelynek redukálását a valódi

64

ferde távolság kinyeréséhez még el kell végeznünk az összeadóállandó, a szorzóállandó és a szorzótényezı értékével. Az összeadóállandó a távmérés egyik legfontosabb hibája, amely minden mérési eredményt ugyanolyan mértékben terhel. A hiba eredete a mőszer és prizma felépítésébıl egyaránt adódik. A mőszer esetén a hiba abból ered, hogy a mőszer elektromos nulla pontja (ahonnan a távolságmérés indul) nem esik egybe a mőszer állótengelyével. A prizma esetében a hiba abból ered, hogy a visszaverıdési pont és a prizma állótengelye nem esik egybe. Az összeadóállandó tehát két részbıl áll, egy mőszerállandóból és egy prizmaállandóból.

t = t m + cm + cp = t m + c

és

c = cm + cp

(4.36)

A mőszer és prizma összeadó állandója együtt jelentkezik, csak a kettı együttes értékét lehet meghatározni. A

mőszer

összeadóállandója

nem

állandó

érték,

a

mőszer

egyes

elektromos

alkatrészeinek öregedése, ezek jellemzıinek megváltozása az összeadó állandót is megváltoztatja, ezért idıszakonként ellenırizni kell a mőszer összeadóállandóját. A prizma összeadóállandója nem

változó mennyiség, mivel nem tartalmaz öregedı alkatrészt, csak a prizma méretétıl és foglalásától, beépítési módjától függ. Az összeadóállandó meghatározásának legegyszerőbb módja, hogy egy jó mérıszalaggal lemérünk egy tetszıleges t távolságot (amelyet hibátlannak tekintünk), és a mőszerrel is meghatározzuk ezt. Ez a megoldás csak egyszerőbb esetekben használható, a hosszmérés (szalaggal végzett mérés) bizonytalansága miatt.

4.7 ábra Az összeadóállandó meghatározás egyszerő esete A másik meghatározási lehetıség egy távolság közvetlen és két részben végzett mérésével valósítható meg. A 4.7 ábrának megfelelıen egy egyenesen (vízszintes és magassági értelemben) kijelölünk három pontot. Az ábra alapján felírhatjuk

t12 + c + t23 + c = t13 + c amibıl c = t13 − (t12 + t23 )

(4.37) (4.38)

A meghatározás elınye, hogy a meghatározás pontossága csak a mőszer pontosságától függ. A fenti elrendezés hátránya, hogy csak a matematikailag szükséges mennyiségeket mérjük és nincs fölös mérésünk, és így nincs ellenırzésünk a meghatározásra. A fenti hárompontos megoldást javíthatjuk úgy, hogy egy egyenesen több pontot, célszerően 5 vagy 7 pontot jelölünk ki, és minden kombinációban mérjük a távolságokat (4.8 ábra).

65

4.8 ábra Összeadóállandó meghatározása minden kombinációban Minden távolság ismeretében az összeadó állandót a

c=−

∑ pij ⋅ tij ∑ pij

ahol :

pij = n − 2( j − i )

(4.39)

képlettel számíthatjuk, ahol •

t ij

az i. pontról a j. pontra mért távolság, mindig az alacsonyabb számú pontról a magasabb

számúra értelmezve i < j. •

pij

•

N a pontok száma. Az

a mért távolság súlya mindig egész szám, de lehet negatív is.

összeadóállandó

meghatározható

még

alapvonalon

is.

Ebben

az

esetben

a

szorzóállandóval együtt történik a meghatározás. A mőszer szorzóállandója a távmérı által elıállított frekvenciától függ, ezért ezt a hibát gyakran nevezzük frekvencia-hibának is. A hiba eredete, hogy a mőszer nem azt a finom mérési

frekvenciát állítja elı, ami tervezett, hanem attól eltérı értéket. A frekvencia meghatározza a λ =

v/f összefüggés alapján a hullámhosszat, azaz a mérıhullám hullámhossza nem a szükséges nemzetközi méter adott számú többszöröse. A hiba jellege olyan, mint mérıszalaggal történı mérés esetén, ha a mérıszalag hossza nem egyezik meg tényleges, nemzetközi méterben kifejezett értékével, hosszával. A hiba hosszabb idıszakon keresztül állandó érték, azonban a mőszer belsı elektronikus alkatrészeinek öregedése, hibája miatt változik. Ezért a használt mőszereknél minden javítás után, de legalább kétévenként ellenırizni szükséges. A hiba meghatározását kétféle módon végezhetjük. Az egyik megoldása tisztán fizikai-

elektromos úton történik. Laboratóriumban frekvenciamérı berendezéssel megmérik a mőszer frekvenciáját, és ebbıl határozzák meg a mőszer szorzóállandóját. A megoldás hátránya, hogy szabatos frekvenciamérı berendezésre van szükség 10-6 - 10-7 pontossággal. A másik megoldás az alapvonalon történı meghatározás. Alapvonal alatt, olyan geodéziai úton meghatározott vonalakat értünk, melynek egy egyenesben lévı pontjainak távolságát

szabatosan (néhány tizedmilliméterre) meghatározták. Az alapvonalak hossza 5-800 métertıl 1-2 kmig terjed. A pontokat különleges állandósítással, általában pillérekkel valósítják meg. Egy alapvonalon általában 5-7 pillért helyeznek el. Az alapvonal hosszát nagypontosságú mőszerekkel, Mekometerrel ME5000 mőszerrel vagy Väisälä-féle interferométerrel határozzák meg. A szorzóállandó meghatározása úgy történik, hogy az alapvonal távolságait (lehetıleg minden kombinációban) lemérik a vizsgálandó mőszerrel. Képezzük az alapvonal távolságok és a

mért távolságok különbségét:

66

∆ k = sk − t k

(4.40)

képletnek megfelelıen, ahol sk az alapvonal távolság, tk pedig a mért távolság. Ezután egy ∆ = y és t =

x matematikai koordináta rendszerben felrakjuk az összetartozó pontokat.(4.9 ábra)

4.9 ábra A szorzóállandó meghatározása

A ponthalmazra illeszthetı

∆ = m⋅ t + c (4.41) 2 egyenes m meredeksége a távmérı szorzóállandóját adja, míg a c tengelymetszet a mőszer

összeadó állandója. Ezt egyszerőbb esetben grafikusan végezzük el, de ma már többnyire számítjuk regressziós egyenesként. Gyakran a ponthalmazra nem egyenest, hanem egy hatványsort illesztenek, mely

∆ = a0 + a1 ⋅ t + a2 ⋅ t 2 + ⋅⋅⋅

(4.42)

alakú (Csepregi, 2005). Gyakorlati tapasztalatok alapján a hatványsort nem érdemes 2-3 foknál magasabb fokszámra felírni. Sıt elméleti szemontból a második hatvány felírása sem indokolt határozottan. A 4.10-es ábrán egy alapvonalon végzett vizsgálat jegyzıkönyvét mutatjuk. A harmadik lényeges hibaforrás az 4.2.4-es fejezetben említett meteorológiai javítás, azaz a

szorzótényezı. A távmérés

léptéke, amelyet

a mőszergyártók

határoztak

meg, csak

a

meghatározáskor mért nkell törésmutató érték esetén lesz igaz. Ha változik a törésmutató, akkor ebben az esetben változik a lépték értéke is. A törésmutató értékét tehát meg kell határozni a mérés helyszínén a légnyomás és a hımérséklet megmérésével. Ezek ismeretében az 4.32-es képlettel szabatosan számítható a kilométeres meteorológiai javítás milliméterben, azaz a ppm érték. A ppm érték ismeretében a javított távolság:

t met = t mért + ppm⋅ t mért ⋅ 10−6

(4.43)

Megjegyezzük, hogy a ppm érték számítása nem a mérıszemély feladata, hanem a mőszer a hımérséklet és légnyomás értékek megadása után automatikusan képezi azt, és figyelembe veszi a távmérési eredmény képzésénél. A távmérés eredményeit még további hibák is terhelik, ezek azonban olyan jellegőek, hogy nem lehet, vagy igen bizonytalan korrekcióként, redukcióként figyelembe venni ıket. Ezek közül az egyik legfontosabb a fázishiba. Ez a távmérık fázismérésének hibájából adódik. Jól kimérhetı egy szabatosan ismert hosszúságú szakaszokból álló mérıpályán, ahol a prizmát a mőszer alapléptékén belül eltoljuk, és minden pontra mérjük a távolságot. A hibátlan értékek és a mért távolságok eltérése eltolt szinuszhullámot mutat, ahol a hullám amplitúdója több milliméter nagyságrendő. A fázishiba a távolság nagyságával csökken, ezért nem vesszük figyelembe a mérések során.

2

Az egyenes meredeksége, az egyenes két tetszıleges adatpontja közötti függıleges és vízszintes távolságának a hányadosa, azaz megmutatja, hogy egy egységnyi X irányú változáshoz, mekkora Y irányú változás tartozik.

67

Távmérı kalibrálás az Iszkaszentgyörgyi alapvonalon 2003. április 1. távolság jele 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 1 5 2 5 3 5 4 5 1 4 2 4 3 4 1 3 2 3 1 2

mért 768,022 720,044 672,004 576,007 384,029 383,993 336,014 287,975 191,977 192,015 144,041 95,997 96,017 48,039 47,978

szorzó állandó összeadó állandó egy mérés szórása

Leica TC307 87053, eredeti egyes prizma eltérés kiegy. elt. javítás 2x szórás -0,43 -0,31 0,12 1,73 0,05 -0,34 -0,39 1,59 0,36 -0,37 -0,73 1,45 -0,43 -0,43 0,00 1,19 2,48 -0,54 -3,02 0,85 -2,91 -0,54 2,37 0,85 -1,43 -0,57 0,86 0,83 -2,12 -0,60 1,52 0,84 -1,91 -0,66 1,25 0,96 0,00 -0,66 -0,66 0,96 -3,52 -0,69 2,83 1,05 0,79 -0,72 -1,51 1,16 0,21 -0,72 -0,93 1,16 0,69 -0,75 -1,44 1,28 -0,48 -0,75 -0,27 1,28

0,6 -0,8

szórása szórása

1,7 0,7 1,6

mm/km mm mm

4.10 ábra Távmérı kalibrálása az iszkai alapvonalon (Csepregi, 2005) A fázishomogenitás hibája akkor jelentkezik, ha nem a mőszer által kibocsátott fénynyaláb közepével irányozzuk meg a távolság végpontját jelölı prizmát. Egyes mőszerek hanggal (a hang erısségének növekedésével) vagy egy kis kijelzın megjelenı szimbólummal jelzik a visszaérkezı jel erısségét. Jó mérést csak akkor végezhetünk, ha az elektromos fénykúp tengelyével irányozzuk meg a prizmát. A fázishomogenitás hibáját úgy küszöböljük ki, hogy mindig a legnagyobb visszaérkezı jellel irányozzuk meg a pontot a távméréskor. A prizmával meg kell irányozni a távmérı mőszert, erre leggyakrabban egy egyszerő dioptra szolgál a prizma burkolatán. A gyakorlatban ez a hiba néhány tíz fokos hiba esetén nem befolyásolja a mérés eredményét, de csökkenti a prizma felületét és így kevesebb fény jut vissza a mőszerbe. Ma már készítenek, úgynevezett körprizmákat – melyeket lényegében hat prizmából szerelnek össze – és amelyek bármilyen irányból irányozhatók. A telepfeszültség értéke lényegesen befolyásolja a mérés végrehajthatóságát, azonban nem befolyásolja a mőszer mérési pontosságát. Nem megfelelı telepfeszültség alatt a távmérés nem

68

végezhetı el. A telepfeszültség alsó határértéke, ahol a mőszer még engedélyezi a távmérést mőszertípus függı, általában 9-12 Volt közé esik. A távmérımőszer a távolságot a kezdı és végpont között, a refrakció által meghatározott ív mentén méri. Azonban úgy értelmezzük, mint a két pont közötti húr mellett mért távolságot. A kettı eltérése tíz kilométernél rövidebb távolságok esetén elhanyagolható.

4.2.6 A távmérés redukciói A méréseket a terepen végezzük, ezeket a távolság adatokat át kell számítani a számítás felületére. A távolságokat több lépésben számítjuk át. Az egyes átszámításokat redukciók formájában végezzük el. A redukciók általában kis értékőek, ezért igen fontos a redukciók értékét és elıjelét figyelni. A redukciók egy részét már méréskor figyelembe vehetjük, ezért ügyelni kell, hogy ne hagyjunk ki valamelyik redukciót, de hiba az is, ha valamelyik redukciót kétszer is számítunk. A mőszerrel meghatározott távolságot elıször meteorológiai redukcióval kell ellátni az 4.40es képlet alapján. Ezt

a

távolságot

térbeli

ferde

távolsággá

alakítjuk

a

mőszer

szorzó-

és

összeadóállandójának figyelembe vételével. A meteorológiai redukcióval ellátott távolságot a

t ferde = t met + c + m⋅ t met

(4.44)

képlettel számítjuk át a térbeli ferde távolság ívhosszára. Az ívhossz és a húrhossz közötti eltérés csak 30 km-nél éri el az 1 mm-t, ezért ez alatti távolságoknál figyelmen kívül hagyjuk. A ferde távolságot vízszintesre kell redukálni, ezt kétféleképpen tehetjük meg. Az egyik lehetıség, ha ismerjük a két pont magasságkülönbségét, akkor a vízszintes távolság 2 t vísz = t ferde − ∆H 2 = t ferde ⋅ sin z

(4.45)

összefüggéssel számítható. Azonban a második képlet a levegı sugártörése miatt csak kis távolságoknál, 300 m-nél rövidebb távolságoknál használható. Ennél nagyobb távolságoknál számítani kell elıbb a magasságkülönbséget a refrakció figyelembevételével és utána az elsı képlettel számítjuk a vízszintes távolságot. A vízszintes távolságot tovább kell redukálni a geoidra, azaz meg kell határoznunk a tengerszinten mért távolságot. Ezt

∆t geoid = −

H t vísz R

és

t geoid = t vísz + ∆t geoid

(4.46)

képletekkel végezhetjük el. További redukció, hogy a Föld gömbnek képzelt felületérıl áttérjünk a számítás síkjára. Ez a vetületi redukció attól függ, hogy milyen vetületi rendszert használunk. Magyarországon az EOV-t, az Egységes Országos Vetületi rendszert használjuk általában. Erre a vetületre történı áttérés:

(

(

)

)

∆t EOV = − 70 + X EOV ⋅ 10 −5 − 200 ⋅ 123 ⋅ 10 −3 ⋅ t geoid t EOV = t geoid + ∆t EOV

(4.47)

A vetületi redukció értéke -7....+20 cm között változik kilométerenként.

4.2.7 A távmérés rövid története Armand Hippolyte Louis Fizeau (1819-1896) 1849-ben a fény terjedési sebesség meghatározására végzett kísérlete és a Albert Abraham Michelson (1852 -1931) kísérlet 1887-ben is, módosított értelmezésben távmérésnek is tekinthetı.

69

1923-ban a finn Yrjö Väisälä (1891 – 1971) kidolgozta a fényinterferencia elvén mőködı távolság meghatározásra alkalmas mérés elvét és egy készüléket készített, melyet ma is használnak alapvonalmérésre (Väisälä-féle interferométer). A korszerő elektrooptikai távmérés megoldása a svéd Erik Bergstrand (1904 – 1987) elgondolása és kísérletei alapján 1948-ban valósult meg. A mőszert az AGA cég 1950-tıl szériában gyártotta. A mőszer használata elsı formájában még rendkívül nehézkes volt mérete és súlya, valamint kezelésének körülményessége miatt. A folyamatos fejlesztés alapján 1967-ben Magyarországon is megjelentek az AGA Geodiméter-6 típusai. Ennek nyomán a készülı alapponthálózat méréseinél egyre fontosabb szerepet kapott a távmérés. A cég az óta is készít Geodiméter/Trimble néven korszerő elektronikus mőszereket. Lényegében ugyanebben az idıben folytak kutatások Dél-Afrikában is. Trevor Lloyd Wadley (1920 – 1981) vezetésével kialakult a tellurometer elv, amikor rádióhullámok

megjelölésével, modulációjával végezték el a távolság-meghatározást. A Wadley tervei alapján készült mőszer 1957-ben jelent meg. Ugyanezen elv alapján valósult meg Magyarországon a GET-

B1 távmérımőszer, melybıl több példány készült. Késıbb, a 60-as évek elején a GET-A1 mőszer prototípusát is kifejlesztették. A mőszerek fejlıdésében igen fontos volt a GaAs (gallium arsenaid) félvezetı dióda

megjelenése, mely közvetlen amplitúdó modulációt tett lehetıvé. Ezzel a fényforrással mőködı távmérıkben feleslegessé válik az egyik korábban legproblematikusabb rész, a modulátor. Az áramfelvétel jelentısen csökken, és ennek következtében jelentıs súlycsökkenés érhetı el. Az elsı mőszer – mely ezzel a diódával megjelent – a WILD gyár Di10 (Distomat) jelő mőszere. Ez kis súlyával alig 10 kg felett, gyors, alig több mint 1 perces mérési idejével jelentıs változást hozott a felmérési munkákban. Ezzel a mőszerrel vált elıször lehetıvé, hogy a részletpontokat megfelelı pontossággal, gyorsan és gazdaságosan mérjük be poláris mérési eljárással. Az elektronika térhódításával a szögmérı mőszerekbe is beépítették az elektronikus szögérzékelıket. Ez lehetıvé tette az elektronikus távmérık és teodolitok összeépítését, és így létrejöttek az elektronikus tahiméterek és ezek fejlıdésével kialakultak a mérıállomások. Az elsı elektronikus tahimétert 1960-ban mutatták be a római olimpián, ahol a dobószámok eredményeit

Reg Elta-14 jelő mőszerrel (Zeiss Opton, Oberkochen) mérték meg (Csepregi, 2005).

70

5. Elektronikus teodolitok, tahiméterek és mérıállomások A következı néhány fejezetben röviden áttekintjük az elektronikus mőszerek fejlıdését az elektronikus teodolitoktól kezdve egészen a mérıállomásokig, továbbá a teljesség igénye nélkül áttekintjük a beépített, legfontosabb programokat. Ebben a jegyzetrészben lesznek majd olyan témakörök is, amelyek részben vagy egészben már elhangzottak Geodézia I-bıl, azonban átismétlésük, vagy részletesebb tárgyalásuk elengedhetetlenül szükséges a késıbbi anyagrészek elsajátításához. Természetesen az ebben a jegyzetrészben leírtak a Geodézia I-ben elhangzottakkal együtt képeznek egy szerves egészet; például a kompenzátorokról, vagy az elektronikus körleolvasásokról csak ismétlés jelleggel lesz szó, azonban feltételezzük a korábbi tananyagból jövı részletesebb ismeretüket. A szöveg egységének a megırzése érdekében, a mőszereket, azok fejlıdését képek formájában egy külön mellékletben lehet nyomon követni.

5.1 Elektronikus körleolvasás, elektronikus dılésérzékelık Az elektronikus teodolitok igen bonyolult, szabatos, optikai, finom-mechanikai és elektronikai mőszerek, amelyek mikroprocesszorokkal vezérelt folyamat végrehajtásra, mérés automatizálásra képesek. Az elektronikus teodolitoknál a leolvasás elektronikus úton történik, és ezt a digitális leolvasást a mőszer kijelzi. Az elsı digitális teodolitokat a hatvanas évek elején a Breithaupt cég készítette Németországban. Magyarországon a Magyar Optikai Mővekben (MOM) Ko-B1 néven készült néhány példány a hatvanas évek végén, de nem került sorozatgyártásra (Csepregi, 2005). Az automatikus leolvasás legegyszerőbb megoldását a kódkörök segítségével valósítják meg. Két alapvetı módszere alakult ki: az abszolút kódkiolvasás és a számlálásos (inkrementális) módszer.

5.1 ábra Vonalkódos osztású kör A kódkiolvasás módszerénél az 5.1. ábrának megfelelıen egymás mellett koncentrikusan

kódköröket hoznak létre, melyek a kettes számrendszerben adják meg a fıleolvasás értékét. A beosztásvonásokat a szélsı, legnagyobb sugarú kör hordozza, a további, fokozatosan csökkenı sugarú sávok, a beosztásvonások mellé rendelt számokat hordozzák. Általában 10 kódsáv használatos, és a kört 1024 részre osztják. A kettes számrendszerben a leolvasás értékek egy-egy számértékét a beljebb lévı kódgyőrőkrıl olvassák le, amelyet aztán átalakítanak a 360-as fokrendszerbe. A gyakorlatilag elérhetı leolvasást a vonalak sőrősége határozza meg. A kódkörök letapogatását általában optikai rendszerrel végzik a világos és sötét mezık megkülönböztetésével (5.2 ábra). Ekkor a kódköröket üveglemezen hozzák létre. Más esetben a kódköröket mágneses formában valósítják meg; a leolvasást ekkor a mágneses és mágnesezetlen részek megkülönböztetésével oldják meg.

71

A kódleolvasás hátránya, hogy az osztásszéleknek szabatosan egy sugáron kell lenni. Ha valamelyik kódkörön egy elolvasási hiba, érzékelési hiba történik, akkor a durva hibát okoz. Ezért alakultak ki más kódolási módszerek és végül ezért alakult ki olyan módszer, mely csak a legkisebb osztásokat tartalmazza limbuszkörön és ezeket valamilyen módszerrel, megszámolják. A kódkiolvasás módszerét abszolút módszernek nevezik, mert a kezdıvonás kódolt zérus számmal van megjelölve, és a leolvasáskor az index és a kör egymáshoz képest mozdulatlan. Az osztásvonások megszámlálásának módszerét nevezik számlálásos

módszernek (5.3 ábra). Ennél csak egyetlen körön hoznak létre egyetlen

osztást. A tengely körüli forgatáskor az érzékelı számolja az elıtte elhaladó osztások számát, és a zérusvonás csak a mőszer kikapcsolásáig jelölıdik meg. A számláláshoz biztosítani kell, hogy a

forgatás

irányát

különböztetni,

ezt

is

meg

tudjuk

leggyakrabban

két

érzékelıvel oldják meg, amelyek a két lehetséges mozgásirányban különbözı elı. Az osztott kör

jeleket állítanak

egyenlı szélességő átlátszó és nem

5.2 ábra A kódkör letapogatása (Csepregi, 2005)

mezıkbıl

átlátszó

áll.

Az

index

szerepét egy fotoelektromos érzékelı (dióda) képviseli. Erre a mozgás közben váltakozó ismétlıdı fénymennyiség esik. Így az érzékelı által létrehozott jel is periódikusan változik. Egy periódus egy osztás egységnyi elfordulásának hatására jön létre, az átlátszó vagy átlátszatlan jelölés szélességének megfelelıen. Az ehhez tartozó középponti szög a körleolvasás élességének felel meg. Ezzel az eljárással egy 40 mm sugarú körön 50 000 osztást tudunk létrehozni. Ez megfelel közelítıen 8 mgon vagy 3,2" (szögmásodperc) szögértékének. A

számlálásos

módszer

esetén

a

kezdıosztás értékét valamilyen módon meg kell határozni. A 0 osztást a mőszerek inicializálásával adjuk meg. Ez azt jelenti, hogy a mőszert bekapcsolás után körbe

kell forgatni addig, míg fel nem veszi a 0 értéket. A korábbi mőszerek esetében ezt csak a magassági körök esetén kellett elvégezni, a mai mérıállomások esetén ezt már a vízszintes körök esetén is meg kell tenni.

Magassági

távcsövét

a

értelemben

vízszintes

mőszer

a

irányon

kellett

átvezetni és a távcsı vízszintes helyzetében

5.3. ábra Az osztávonások megszámlálásának módszere

felvette a 0 értéket. A fıleolvasás után szükséges azok továbbosztásával

a

finom

leolvasás

meghatározása is, erre többféle lehetıség van. A kódkiolvasás mellett általában a fotoelektromos interpolációt alkalmazzák, a számlálásos módszer mellett pedig a Moire-sávrendszert. A fotoelektromos interpoláció lényege, hogy egy

72

plánparalel üveglemez szögelfordulását mérik a kiinduló helyzettıl az osztások koincidencia helyzetéig; a meghatározott szögelfordulás arányos lesz a csonkaleolvasás értékével. A számlálásos módszernél az ún. Moire-vonalak alapján határozzák meg a csonkaleolvasás értékét (5.4 ábra). Ez alapján az eredeti osztásra rávisznek vagy rávetítenek egy attól kismértékben

eltérı osztást. Kialakul egy eredı osztás, amely hol sőrőbb, hol vékonyabb, mint az eredeti osztás volt. Az eredı osztásban periódikus változások figyelhetık meg, és ahol egy felnagyított osztásrész keletkezik, oda helyezik el a csonkaleolvasás meghatározásához a diódákat.

5.4 ábra A Moire-hatás Az elektronikus teodolitokba általában beépítenek egy elektronikus libellát (5.5 ábra), ami a hagyományos csöves libellát pótolja. A libella kijelzését vagy számszerő formában vagy egy libellakép grafikus rajzával oldják meg. A libella, mint kompenzátor mőködik, tehát folyamatosan érzékeli az

állótengely dılését. Ezzel alkalmas arra is, hogy az állótengely ferdeségébıl származó hibát számítással figyelembe vegye és a megjavított körleolvasást jelezze ki. A dılésérzékelık lehetnek egytengelyőek vagy kéttengelyőek, attól függıen, hogy egy irányban vagy két

irányban

végzik

meghatározását.

el

a

dılés

Egyirányú

dılésérzékelık esetében mindig a mőszer fekvıtengelyének irányában határozzák meg a dılést.

5.5 ábra Elektronikus dılésérzékelı

5.2 Az elektronikus tahiméterek és mérıállomások kialakulása A távmérı és szögmérı mőszerek egymástól függetlenül alakultak ki. Kapcsolatuk folyamatosan fejlıdött és fejlıdik mind a mai napig. Elıször, mint két külön szerkezeti egység vettek részt a mérések végrehajtásában (önálló távmérı és szögmérı mőszerek), majd megjelentek a szögmérı mőszerek távcsövére vagy alhidádéjára telepíthetı távmérık (rátét távmérık), végül technikailag megoldódott a két szerkezeti egység integrálása, és létrejöttek az elektronikus

tahiméterek, majd késıbb a mérıállomások. A következı bekezdésekben röviden áttekintjük a mérımőszerek fejlıdését az önálló szerkezeti egységként mőködı szög-, és távmérı mőszerektıl kezdve egészen a robot mérıállomásokig. Az írott anyagot a mellékletben található képek egészítik ki, amelyek tudománytörténeti érdekességként szemléltetik az ebben a fejezetben elhangzottakat. •

Önálló távmérık. A távmérık fejlıdésének kezdetén a távmérık önálló mőszerek voltak, a szögmérı mőszerrel való kapcsolatuk csak kényszerközpontosítással volt lehetséges. Ma az önálló távmérık még két területen élnek. Az egyik a nagy hatótávolságú mőszerek, melyekkel 20 km feletti távolságok mérhetık; hatótávolságuk mintegy 50 km. A másik terület a szabatos

73

távmérık csoportja, amelyek alkalmazásával a mérhetı távolság megbízhatósága mm alatti. A legpontosabb mőszerekkel már 0,2 mm +0,2 ppm pontosság érhetı el. Ezek a mőszerek különleges mérnöki feladatok elvégzésére alkalmasak pl. Mekometer ME5000. •

Önálló teodolitok. Az önálló elektronikus teodolitok elsısorban ipari mérırendszerekben (bıvebb kifejtése a Mérnökgeodézia címő tárgyban lesz) kerülnek alkalmazásra szabatos szög-, és iránymérések végrehajtására. Ilyen feladatok megoldására a szögmérés leolvasó képessége 1", vagy az alatti pl. STANDA DT 2.

•

Rátét távmérık. A szögmérı és távmérı mőszerek összeépítésének elsı lépcsıjét jelentették. Ezeknél a mőszereknél a teodolitra helyezték fel a távmérıt kétféle módon. A gyakoribb változat volt, hogy a távmérıt a teodolit távcsövére szerelték fel. A teodolit és a távmérı távcsıvét párhuzamossá tették egymással, majd mivel a két távcsı irányzásnál együtt mozgott, ezért elegendı volt az irányzást csak a teodolit távcsövével elvégezni. Hátránya volt, hogy a távcsı erısen terhelte a mőszer fekvıtengelyét és a magassági kötıcsavart, és külön meg kell akadályozni, hogy a távcsı elıre billenjen a kötıcsavar megoldásakor. Erre rugós ívet használtak legtöbbször, de elıfordult, hogy ellensúlyt szereltek a távcsı alá (Csepregi, 2005). A másik megoldás, hogy a távmérıt a teodolit alhidádé oszlopára szerelték. Ebben az esetben hátrányként jelentkezett, hogy magasság értelemben külön kellett irányozni a távmérı távcsövével. A rátét távmérıket csak olyan esetekben használták, amikor elegendı volt a távmérést cm élesen végezni, és a szögmérésnél is elegendı volt az 5-10" élességő mérés pl. RED2A. E kategória mára már teljesen kiszorult a gyakorlatból. Rövid ideig tartó tovább fejlıdésüket az jelentette, hogy az elektronikus teodolitot össze lehetett kötni a rátét távmérı elektronikus adatkimenetével, és egy külsı kézi számítógéprıl, adatrögzítırıl lehetett vezérelni a digitális terepi adatgyőjtést. Ekkor a felszerelés alkalmazhatósága az adatrögzítı programjától függött.

•

Elektronikus tahiméterek. A teodolit és távcsı összeépítésével létrejöttek az elektronikus tahiméterek. Ezeknél a mőszereknél a teodolit távcsöve magába foglalja közvetlenül a távmérı adó- és vevıoptikáját is. Néhány esetben külön optika van, de ezeket mindig közös házba építik, így az irányvonal és a távmérı optikai tengelye összeigazított. Ezt a szerkezeti megoldást alkalmazták még az elsı mérıállomás-típusok esetében is pl. GEODIMETER 400. A távcsı szerkezeti elemeit a távcsı alatt és felett helyezik el, ennek következtében megnı a távcsı burkolata és kialakul az elektronikus tahiméterekre jellemzı jellegzetes kört közelítı sokszögő távcsıforma pl. WILD TC1600, TOPCON ET-1 stb. A mőszereken egy különálló több soros kijelzın jelennek meg a mérési eredmények. A mőszer alhidádé oszlopán, vagy a távcsı alatti részen alakították ki a kapcsoló- és az adatbeviteli billentyőzetet, melyen keresztül vezérelhetjük a különbözı mőveleteket, beállítási lehetıségeket. A mőszerekhez általában két külsı csatlakozási lehetıség van. Az egyik az adatok forgalmát teszik lehetıvé, a másik a külsı akkumulátor csatlakoztatását teszi lehetıvé. Az adatkimeneten keresztül csatlakoztathatunk a mőszerhez külsı adatrögzítıt, ahol a mért és az adatrögzítı billentyőzetén bevitt adatokat tárolhatjuk.

•

Mérıállomások.

Az

elektronikus

tahiméterek

továbbfejlıdésével

alakultak

ki

a

mérıállomások. Az angol szó (total station) tükörfordításából különbözı torz elnevezések („totális állomás”, „totális mérıállomás”) jöttek létre, amelyek helytelenül elıfordulnak a szaknyelvben. Ezek helyett a szaknyelvben a mérıállomás szó használatos. Minden esetben kerüljük az angolos, divatos hangzású szavakat, és használjuk helyettük a magyar megfelelıjét. Mérıállomás alatt azt a mőszert értjük, amikor a mőszerbe beépítették magát az adatrögzítıt is a szögmérı-, és távmérı egység mellé. Az elektronikus tahiméter és a

74

mérıállomás között nincs éles határ, a mérıállomások programját legtöbbször lehet pótolni egy külsı adatrögzítıvel. Ma a fejlıdés iránya az egy-emberes mérıállomások, vagy más néven a robot mérıállomások felé mutat. Szinte minden mőszergyártónak létezik már a piacon olyan mőszere, amely szervomotoros vezérléssel, a prizma felöl irányítva képes az irány-, és távmérési feladatok megoldására, az adatok tárolására, valamint a különbözı programok futtatására. A technikai fejlıdés feladata ma már nem az, hogy megoldja a távmérés és iránymérés szerkezeti elemeinek egy mőszerben történı integrálását, hanem sokkal inkább az, hogy olyan mőszereket, olyan mérés

vezérlı programokat fejlesszen ki, amelyek nagymértékben tudják könnyíteni a terepen dolgozó geodéták munkáját. A mőszergyártók kezdenek szakítani a hagyományos geodéziai szemlélettel, és sok olyan technikai újítást is bevetnek, amelyek geodéziai alkalmazása eddig nem került elıtérbe. Vannak olyan robot mérıállomások, amelyek képesek a földi fotogrammetriából ismert mérıfényképek készítésére és kiértékelésére, és vannak olyanok is, amelyeknél már nincsen szükség a hagyományos irányzásra, hanem egy laptop képernyıjén keresztül, video kapcsolat kialakításával a kurzor vagy az egér segítségével tudják végrehajtani az irányzást, majd a képernyın a mérıállomás kijelzıjét látva az adattárolást. A felhasználó számára írt programok egyre feladat-specifikusabbak; a korábban csak jelentıs manuális számítással megoldható feladatok ma már a mérıállomásba telepített programok segítségével akár terepen is kiszámíthatóak és szerkeszthetıek, eredményeik internetes kapcsolaton keresztül akár az irodába vagy a megrendelı számára tovább küldhetıek.

Jelentıs fejlıdési irányt jelent a mérıállomások és mőholdas helymeghatározásra alkalmas vevıkészülékek integrációja. Ezek a mőszerek egyaránt alkalmasak a mérıállomásokkal és a mőholdas vevıkkel kapcsolatos feladatok elvégzésére is.

5.3 A mérıállomások fontosabb beállításai és beépített programjai Az

angol

földmérési

és

távérzékelési

szervezet

(Ordnance

Survey,

www.ordnancesurvey.co.uk) honlapján olvasható definíció szerint a mérıállomás egy olyan mőszer, amely egy integrált egységben valósítja meg a szögmérést, távmérést, adatrögzítést és adat-kezelést, valamint az adatok feldolgozását. A Deutscher Verein für Vermessungswesen (www.dvw.de) nevő német földmérı szervezet szerint a mérıállomás vízszintes és magassági szögek mérésére, távmérésre, valamint a mérési eredmények tárolására alkalmas eszköz. Összefoglalóan tehát elmondhatjuk, hogy a mérıállomás egy egységben valósítja meg a vízszintes- és magassági

szögmérést, a távmérést, a nyers vagy koordinátával jellemezhetı mérési eredményeinek tárolását, kezelését, átalakítását és számítások végrehajtását.

5.3.1 A mérıállomások általános jellemzése A mérıállomások lényegében beépített számítógéppel rendelkeznek, mely a mérés vezérlésén kívül az adatok tárolását és különbözı számítások végrehajtását is lehetıvé teszi (5.6 ábra). A tárolás több módon megoldható a mőszer belsı adattárolójában. Az adatok kiolvasásához a mőszert csatlakoztatni kell egy számítógéphez, és az adatokat kábelen keresztül vagy kártyaolvasón keresztül kell kiolvasni. A kábeles megoldás idıigényes, azon kívül a kiolvasó kábelek nem megfelelı tárolás és használat során gyakran szálsérülést szenvednek, és így használhatatlanná válnak. A másik megoldás, ha valamilyen kártyára, kivehetı adatlemezre történik a tárolás. Ennek elınye, hogy csak az adatkártyát kell bevinni az irodába és ott egy külön kártyaolvasóval végezhetjük el az adatok átvitelét. Ennek hátránya, hogy a kártyák általában speciálisak, így csak egy mőszerhez használhatók, és szükség van még egy külön kártyaolvasó egységre is. A korábbi években a kártya minden esetben

PCMCIA-kártyát (Personal Computer Memory Card International Association) vagy SD-kártyát

75

(Secure Digital) jelentett, ma már azonban elterjedt a CF-kártyák (Compact Flash) használata is. A kártyák fejlıdésével nemcsak a kártyák fizikai mérete változott (csökkent), hanem a rajtuk tárolható adatok mennyisége is megnıtt. Míg korábban nagyon jónak számított egy 256 Megabytos SD-kártya, addig ma már nem ritka a 8-16 Gigabytos CF-kártyák alkalmazása sem. A Bluetooth-on vagy infraporton történı adatátvitel a hazai földmérési gyakorlatban még nem terjedt el. A mőszerek lehetıvé teszik a kétirányú adatforgalmat. Egyrészt a mőszerbıl adatokat vihetünk át az irodai számítógépbe, másrészt adatokat vihetünk át az irodai számítógépbıl a mőszerbe, vagy a kártyára, amit a terepen használhatunk. Kábeles adat kiolvasásnál vagy adat rátöltésnél oda kell figyelnünk a kommunikációs paraméterek helyes megválasztására. Amennyiben nem a helyes beállításokkal dolgozunk „Communication failed” hibaüzenetet fogunk kapni, amely nem a mőszer vagy a számítógép hibájára utal, hanem mindösszesen a nem helyes kiolvasási paraméterek megválasztására. Ezeknek a paramétereknek a mőszerben és a számítógépen párban meg kell egyezniük.

.

5.6 ábra A mérıállomások szerkezetének vázlatos felépítése Kártya kiolvasásnál, illetve adat rátöltésnél már egyszerőbb a dolgunk. A kártyát elhelyezve a kártyaolvasóban, azt, mint egy USB eszközt lehet csatlakoztatni a számítógépre, majd ott, mind mobil eszköznek a memóriájában tallózni. Sok esetben a meglévı operációs rendszer különbözı programokkal támogatja a kártyán, a mőszeren és a számítógépen lévı adatok menedzselését (pl. Microsoft ActiveSync). Ebben az esetben nem kell a mőszerbıl kivenni a kártyát, hanem azt az USB porton keresztül közvetlenül a számítógépre lehet csatlakoztatni. A mőszer és a számítógép szinkronizációja után egy navigációs ablakban tudjuk a mőveleteket elvégezni. Ritkábban, de az is elıfordul, hogy a mőszer tasztatúrájára pendrive-t lehet csatlakoztatni, arra rátölteni a mőszerbıl az adatokat, és ilyen módon kiolvasni a számítógépre. Természetesen ez a megoldás a számítógépmőszer irányú adatforgalmat is lehetıvé teszi. A mérıállomások fontos része a feldolgozó szoftver. Ezek kialakítása ma még a mőszerkészítı gyárak fejlesztésében történik, ezért több esetben találkozunk olyan megoldásokkal, melyek a magyar szokásoktól eltérnek és ezeket külön meg kell szoknunk. A feldolgozó szoftverek nem tartoznak közvetlenül a mőszerhez, de ezek nélkül nem lehetségesek további adatmőveletek.

76

Képesnek kell lenni fogadni a mőszer adatait és lehetıség szerint több különbözı mőszerek adatait is fel kell tudnia dolgozni. Ezek miatt szükséges, hogy a mőszerek és a feldolgozó programok együtt fejlıdjenek, kövessék és segítsék egymást. Sajnos egyre inkább az a tendencia terjed, hogy a mőszergyártók olyan szoftvereket gyártanak, amelyek csak a saját adatformátumukat képesek kezelni, más mőszerekbıl jövı adatokat vagy egyáltalán nem, vagy csak adatvesztés árán. A mérıállomásokba dılésérzékelıket építenek be, melyek képesek érzékelni az állótengely dılését. A dılési szög ismeretében a vízszintes irányértéket javítja úgy, hogy a leolvasás mentes lesz az állótengely ferdeségbıl származó hibától. Emiatt megengedhetı, hogy az állótengelyt csak közelítıen tegyük függılegessé. Ezért ma már egyes mőszereken nincs csöves libella, az állótengelyt közelítıen egy szelencés libellával tehetjük függılegessé. A mőszer megfelelı vizsgálat után képes meghatározni a fekvıtengely ferdeség, a

kollimáció hiba és az indexhiba értéket. Ezek ismeretében javítja a vízszintes körleolvasás, valamint a magassági körleolvasás értékét. Mivel a mérıállomások szögleolvasásai mentesek a legfontosabb mőszerhibáktól, így gyakran elegendı a méréseket egy távcsıállásban elvégezni. A két távcsıállásban végzett mérés ma már elsısorban az irányzás hibáinak csökkentése miatt szükséges. Jelentıs fejlıdési lépésnek tekinthetı a kötı- és irányítócsavarok kiváltása. A tengelyek körüli forgatást több esetben motorok biztosítják vagy az úgynevezett frikciós (súrlódásos) kötés alakult ki. A mechanikus irányító csavarokat elektronikus csavarok váltották fel. Ez ma már olyan pontosságot biztosít, melyek megfelelnek a hagyományos irányító csavaroknak. A motoros megoldás teszi lehetıvé az irányzás automatikus elvégzését is. Vízszintes irányméréskor elegendı az elsı távcsıállásban elvégezni a mérést. A második távcsıállásban a mőszer a motoros forgatás következtében beáll a megfelelı irányba, és kézzel csak a finom, pontos irányzást kell elvégezni. További fejlıdést jelent, hogy a mőszer képes egyes jelek, pl. prizma megkeresésére. Ezzel lehetıvé válik az egy-emberes módszer kialakítására. Ez a megoldás a felmérı személytıl igen nagy figyelmet követel meg, és nagy fizikai és szellemi igénybevételt jelent. A mérıállomásokkal végzett mérések lehetıség szerint minden szükséges adat rögzítésére alkalmasak. A rögzítendı adatokat két fıbb csoportba oszthatjuk: leíró adatokra és a számszerő

mérési adatoktra. A leíró adatok közül legfontosabbak a munkaterület nevének megadása, mellyel egy új fájlt hozhatunk létre, vagy egy korábbi fájlba léphetünk be és folytathatjuk a korábbi méréseket. Itt adhatjuk meg a legfontosabb, munkaterületre vonatkozó adatokat. A kezelı neve, mőszer típusa és gyártási számának megadása nem minden esetben lehetséges, azonban elıfordulnak a gyakorlatban már olyan billentyőzetek is, amelyek azonos mőszercsalád esetén mérıállomáshoz és GPS-vevıhöz is használhatóak; ebben az esetben a fent felsoroltak definiálása minden esetben fontos. A munkaterülethez általában rendelhetı egy méretaránytényezı, amelynek akkor van jelentısége, ha a mőszer a terepen végzett mérésekbıl koordinátát képez, vagy fordítva, koordinátából kitőzési értéket. 2

Az EOV esetén a méretaránytényezı: 0.99993+0.0000000123×(X-200) , ahol X a munkaterület átlagos X koordinátája km egységben. Meg kell adni a pontazonosító típusát, amely lehet numerikus vagy alfanumerikus. Numerikus pontazonosító esetén a pontszám csak számokból állhat, míg alfanumerikus azonosító eetén tartalmazhat betőket is. A kiolvasásnál majd fontos lesz erre visszaemlékezni, mert a mőszer az eltérı pontazonosító típustól függıen más-más szerkezető mérési állományt készíthet. Meg kell adni a magasságtárolással összefüggı adatokat; a legegyszerőbb esetben mindösszesen annyit, hogy kívánunk-e magasságot tárolni, vagy sem, azaz 3D vagy csak 2D meghatározást fogunk-e végezni. A munkaterület definiálásánál kell megadnunk a távmérésre vonatkozó adatokat is: kérjük-e az atmoszférikus-, földgörbületi-, refrakció okozta-, és alapfelületi redukció számítását vagy sem. Tájékoztatásul megjegyezzük, hogy a földgörbület és a refrakció együttes hatása a magasságkülönbségre 1 km-en kb. 6 cm, a vízszintes távolságra 1 km-en kb 5 cm.

77

Az alapfelületi és vetületi javítás értéke 1 km-en kb. – 9cm. A helyes paraméterek beállítása tehát döntıen befolyásolja a mérés eredményét! A rögzítendı adatok másik csoportja közvetlenül a méréshez tartozik. Ezek egyrészt a mérés álláspontjára vonatkoznak, másrészt közvetlenül a bemérendı pontra. Az álláspontra

vonatkozó adatok elsısorban: a pont száma, Y, X koordinátája, magassága, a mőszermagasság valamint a jellegkód. A mőszerek általában nem teszik lehetıvé, hogy jelöljük a központ jelét, ha külpontosan állunk fel, azt is külön számmal kell jelölnünk. Az álláspont létesítéséhez tartozik a meteorológiai adatok, a hımérséklet és légnyomás megadása, melyeknél vigyázzunk, nehogy régi, durva hibás adat maradjon benn. A hımérséklet mérésében elkövetett 1° C hiba kilométere nként 1 mm hibát okoz, míg a légnyomásban elkövetett 1 Hgmm mérési hiba kilométerenként 0.4 mm eltérést okoz a távmérésben. Az adatok többsége olyan, hogy felkínálja az elızı adatot, és azt megváltoztathatjuk, vagy felülírhatjuk. A korábbi adatot csak tudatosan fogadjuk el. A lehetséges kimenı adatok szempontjából a mérıállomások kétféle adatot képesek rögzíteni: nyers mérési adatokat (irányérték, zenitszög/magassági szög és ferde/vízszintes távolság vagy magasságkülönbség) valamint koordinátákat. A kataszteri geodéziában (ingatlanokhoz kapcsolódó földmérési tevékenység) ma már szinte kizárólag csak koordináták rögzítése történik. A terepen a felhasználó elvégzi az álláspont tájékozását vagy a szabad álláspont meghatározását, majd ezt követıen polárisan beméri a részletpontokat. A mért irányérték és a tájékozási szög ismeretében a mőszer számítja a tájékozott irányértéket, majd a távolság felhasználásával képezi a részletpont koordinátáit. A mőszer adatrögzítıjébe nem a nyers mérési adatok, hanem csak a pont koordinátái tárolódnak, esetleg a kettı együttesen. A felhasználó az irodában a mőszerbıl lényegében egy koordinátajegyzéket olvas ki. A módszer elınye a valós idıben történı koordináta-meghatározás, hátránya azonban, hogy a mérés nem rendelkezik semmiféle hivatalos dokumentációval, azaz a terepen végzett munka „nem állítható vissza” dokumentált módon. Amennyiben nyers mérési adatokat rögzítünk, úgy a terepen mért adatokból a kimenı adatok (koordináták) bármikor elıállíthatóak és számításuk is megfelelıen dokumentálható. Ennek a módszernek elınye tehát a visszaállíthatóság, hátránya, hogy az adatokat utólag kell feldolgozni valamilyen feldolgozó szoftverrel (idıigényes). Nyers mérési adatokat rögzítenek jellemzıen egyes mérnökgeodéziai feladatoknál és geodéziai alappont-meghatározás esetében, ahol a mérési erdmények utólag lesznek csak feldolgozva. Fontos azonban azt is megemlíteni, hogy egyes geodéziai munkák esetében a munkát végzı 10 éves garanciával tartozik a megrendelı felé, illetve olyan feladatok megvalósításában vesz részt, amelyeknek nagy a felelıssége, ezért a geodéta egyéni érdeke, hogy terepen ne csak a koordinátákat rögzítse, hanem a nyers mérési eredményeket is.

5.3.2 A mérıállomások fontosabb beállításai Mérıállomások esetén általában sokféle beállítási lehetıség közül választhatunk. A különbözı lehetıségek ismerete igen fontos, mert hibás beállítás esetén a mérési eredmények is hibásak lesznek és ezeket késıbb javítani körülményes. Általában ezeket a beállításokat elegendı egy alkalommal megtenni a mérések megkezdése elıtt. Azoknál a cégeknél, amelyek szakosodtak egy bizonyos fajta geodéziai tevékenység nagy tömegő végrehajtására, elegendı ezeknek a beállításoknak havi szintő felülvizsgálata, azonban ha egy mőszerrel szerteágazó geodéziai tevékenységet (kataszter, mérnökgeodézia) végzünk, úgy ezeknek a beállításoknak az ellenırzésére akár a napi gyakorlatban is sort kell keríteni, különösen akkor, ha egy mőszerrel nem csak egy terepes csapat dolgozik. Az

elektronikus

tahiméterek

esetén

lehetıség

van

a

mértékegységek

megválasztására. Távolságok esetén a választható mértékegységek a méter és az angolszász országokban használatos foot (láb) (1 láb = 0,3048 m). Magyarországi viszonylatban természetesen a

78

méter használatos, azonban egyre gyakrabban fordul elı, hogy magyar geodéziai szakemberek külföldön vállalnak munkát, akár az Egyesült Királyságban is, és ekkor az ottani megrendelıi igényekhez kell alkalmazkodni. A szögmérés egységei közül számunkra legfontosabb a 360 fokos osztás. A teljes kör 360 fok, és a 60-as számrendszernek megfelelı perc és másodperc tovább bontással. Az ujfok vagy gon osztásnál a teljes kör 400 gon, és ezt a tízes számrendszer szerint osztjuk tovább. Gyakori kisebb osztása a milligon (mg) (1gon = 360/400 fok és 1 mg = 3,24" szögmásodperc). Magyarországon a 360-as fokosztást használjuk egyértelmően, egyes országokban viszont a 400-as fokrendszert alkalmazzák. A limbuszkör számozásának iránya megegyezik az óramutató járásával, azaz balsodrású. A limbusz kör számozásának irányát változtathatjuk jobbsodrásúra is a megszokott balsodrás helyett speciális feladatok végrehajtásánál. Ennek akkor lehet jelentısége, amikor valamilyen megfontolásból a szögeinket matematikai rendszer szerint kell értelmezni (geodéziai értelemben a pozitív forgásirány az óramutató járásával megegyezı, a matematikai koordináta-rendszerben viszont a pozitív forgásirány az óramutató járásával ellentétes). A forgásirány helytelen definiálása a feldolgozásnál kellemetlen következményekkel járhat, mert gyakran a forgásirány változtatása egyetlen gomb lenyomásával (akár véletlen) történik! Több mőszernél a kijelzés élessége is változtatható, általában két érték közül választhatunk. Lehet a hagyományos 1” éles kijelzési módot választani, de lehet a 0.1” élességő kijelzés módot is beállítani. Az is megadható, hogy a kijelzés és az adattárolás azonos formában történjen-e vagy sem; például megadható, hogy a kijelzés 0.1” élességgel történjen, de az adattárolás csak 1” élességgel. Ekkor természetesen a másodperc érték a tizedmásodperc értékek kerekítésébıl fog származni. Külön figyelni kell a meteorológiai adatok mértékegységére. A két legfontosabb érték a hımérséklet és a légnyomás; bármely kettı megmérésében elkövetett egységnyi vagy nagyobb hiba több

milliméteres

eltérést

is

okozhat

a

távmérés

végeredményében. Amennyiben kataszteri munkát végzünk, úgy

ez

a

néhány

mm/km

szorzótényezı

hibás

meghatározásából származó hiba nem releváns (az adott feladat

szempontjából

mérnökgeodéziai

5.7 ábra Hagyományos barométer és hımérı

nem

feladatoknál

mértékadó), gyakran

azonban

elıfordul,

hogy

valamilyen objektum számszerő leíró adatait tizedmilliméteres élességgel kell megadni, és ebben az esetben már nagyon

fontossá válik a meteorológiai adatok pontos meghatározása. A légnyomást barométerek segítségével mérjük (5.7 ábra). Mértékegysége a Hgmm (higanymilliméter), másnéven a torr. Másik mértékegysége a hPa (hektoPascal), vagy más néven mbar (millibar). A két különbözı mértékegység között az átszámítást a 760 torr = 1013,25 hPa

(5.1)

képlettel végezhetjük el. A hımérséklet mérése hımérıkkel történik. Magyarországon a Celsius fok a majdnem kizárólagos egység, azonban angolszász országokban gyakori a Fahrenheit fok használata. Tudományos vizsgálatokban a Kelvin fokot használjuk. C˚=(5/9)(F˚-32)

F˚=(9/5)C˚+32

K˚=273,15+C˚

(5.2)

A hımérséklet és a légnyomás beállításán kívül beállíthatjuk közvetlenül a meteorológiai szorzótényezıt is ppm egységben (mm/km). Ebben az esetben a mért hımérséklet és légnyomás

79

3

adatok alapján a felhasználónak kell kikeresnie egy nomogrammból a szorzótényezı értékét. Ez ma már csak a régebbi típusú mőszerek jellemzıje, az újabb típusú mőszereknél minden esetben a hımérséklet és a légnyomás értéket kell megadni, és a mőszer egy belsı programmal ebbıl képezi a szorzótényezı ppm értékét. Ha közvetlenül csak a ppm értéket lehet beállítani, akkor lehetıség van egyéb távolsággal arányos javítást is számítanunk. Például a tengerszintre, a vetületi síkra történı redukciót és a frekvencia hibából adódó szorzóállandót is be tudjuk állítani egyetlen szorzóállandó formájában. Ez több szempontból elınyös lehet, de ebben az esetben részletesen dokumentálni kell, hogy a szorzóállandót milyen adatokból számítottuk. Ne felejtsük el, hogy ezeknél a típusú mőszereknél ezt az összetett redukciós értéket szorzóállandónak nevezik, azonban szigorú értelmezésben a tényleges szorzóállandó fogalom alatt csak a távmérı hullám névleges és tényleges frekvenciája közötti eltérést értjük. A

refrakció-együttható

(refrakciókoefficiens)

értékének

a

beállítására

elsısorban

trigonometriai magasságmérés végrehajtása esetén van szükség, amennyiben a mért irányok hosszabbak, mint 400 méter. A refrakció tényezı beállításánál a +0.13 és a +0.20 értékek közül választhatunk, és kérhetjük, hogy a magasság számításakor a refrakció és a földgörbület hatását figyelembe vegyük-e vagy sem. A k=+0,13 érték felel meg a látható fény és a nem látható fény refrakciókoefficiensének, ezért mindig ezt állítsuk be. A +0,20 érték a rádióhullámokra vonatkozik, ezért ennek beállítását kerüljük el. A mérések megkezdése elıtt nagyon fontos a helyes szorzóállandó és összeadóállandó értékének a beállítása is. A szorzóállandó azért keletkezik, mert a mőszerben a távmérıhullám gerjesztéséért felelıs kristályok elöregednek, és emiatt a kibocsátott tényleges, és a távolság meghatározáshoz felhasznált, gyárilag beprogramozott névleges frekvencia (ezzel együtt a hullámhossz) eltérnek egymástól. Meghatározása mőszerkalibráló laboratóriumban vagy alapvonalon történı méréssel történik (lásd bıvebben a Távmérés fejezetében). Értékét szintén ppm (mm/km) egységben adják meg. A szorzóállandó felülvizsgálata általában évente szükséges. Az összeadóállandó két részbıl áll: a mőszerállandóból és a prizmaállandóból. A mőszerállandó azt jelenti, hogy a mőszer elektromos zérus pontja nem esik az állótengelyre. A prizmaállandó azt jelenti, hogy a prizma optikai zéruspontja nem esik a vetítıbot tengelyébe, vagy az optikai vetító irányvonalára. A mőszer- és prizmaállandó értékét egy mérıszámként szoktuk figyelembe venni. Gyárilag minden mőszergyártó megadja, hogy saját mőszerével a saját prizmájára mekkora az összeadóállandó értéke, azonban ha a felhasználó ugyanahhoz a mőszerhez másféle prizmát használ, akkor változik az összeadóállandó értéke is, és ennek meghatározása már a felhasználó felelıssége. Az összeadóállandó meghatározásának legegyszerőbb módja, hogy ugyanazt a távolságot lemérjük egy jó mérıszalaggal (hibátlan távolság) és a mőszerrel is. A kettı különbsége adja meg az összeadóállandó értékét. A másik meghatározási lehetıség egy távolság közvetlen és két részben végzett mérésével valósítható meg. A meghatározás elınye, hogy a meghatározás pontossága csak a mőszer pontosságától függ. A fenti elrendezés hátránya, hogy csak a matematikailag szükséges mennyiségeket mérjük és nincs fölös mérésünk, és így nincs ellenırzésünk a meghatározásra. A fenti hárompontos megoldást javíthatjuk úgy, hogy egy egyenesen több pontot, célszerően 5 vagy 7 pontot jelölünk ki, és minden kombinációban mérjük a távolságokat. Az összeadóállandó meghatározásról bıvebben olvashatunk a Távmérés címő fejezetben.

3

több változós függvények síkbeli ábrázolására és az egymáshoz tartozó értékrendszerek megállapítására szolgáló ábra

80

A mérıállomások legfontosabb feladata a térbeli pont helyét meghatározó három adat –

vízszintes irányérték, zenitszög és a ferde távolság – megmérése. E három alapadat az, amit a mőszer közvetlenül mér, minden további adatot ezekbıl számít. Ezek közül a fontosabbak: - vízszintes távolság számítása a ferde távolságból és a zenitszögbıl történik ( t v = t f ⋅ sin z ), - magasságkülönbség számítása a ferde távolságból és a zenitszögbıl történik, a refrakció és földgörbület figyelembevételével, vagy nélküle ( ∆m = tf ⋅ cos z ).

5.3.3 A mérıállomások fontosabb programjai A mérıállomásokban megtalálható programok célja és feladata a felhasználó munkájának könnyítése. Vannak olyan programok, amelyek minden mérıállomásban gyártótól függetlenül megtalálhatók, és vannak olyanok, amelyek gyártófüggık, csak egy egyedi mérıállomás típust jellemeznek. Ennek a fejezetnek célja, hogy röviden ismertesse a minden mérıállomás típusban egységesen megtalálható programokat. A lentebb ismertetett programok a következık: •

szögmérés,

•

poláris koordinátamérés,

•

külpontos részletmérés,

•

kitőzés,

•

útépítés,

•

szabad álláspont,

•

sokszögvonal mérése,

•

közvetett távolságmérés,

•

közvetett magasságmérés,

•

területszámítás,

•

lejtı-százalék meghatározása,

•

zsinórállás kitőzése,

•

mőszerhibák meghatározása,

•

homlokzatfelmérés.

Szögmérés. Régebben gyakran elıforduló feladat volt a szögmérés vagy szorzó szögmérés végzése. Ezt abban az esetben végezték, ha a mőszerrel az irányzást pontosabban lehetett végrehajtani, mint a leolvasást, és a feladat végrehajtásához semmi másra nem volt szükség, csak a két irány egymással bezárt szögére. A szorzó szögméréshez kettıs tengelyő mőszerre volt szükség, a limbuszt lehetett kötni az alhidádéhoz, és akkor együtt mozgott vele, de lehetett mozdulatlanná tenni is, és ebben az esetben csak az alhidádé mozgott a limbusz felett, a limbuszkör viszont mozdulatlan maradt. Ez a megoldás technikailag azt jelentette, hogy a limbuszkör és az alhidádé külön állótengellyel rendelkezett. Egy szög többszöri összeadásával javítani tudjuk egy szög megbízhatóságát. Ez a régi módszer jelent meg ismét a mérıállomásoknál. A mérés lényege, hogy egy szög mérését úgy végezzük el, hogy a kezdı szár megirányozása után a szögmérés megindulásával megirányozzuk a másik szögszárt, majd leállítjuk a szögmérést (rögzítjük a limbuszt az alhidádéhoz), ez után visszairányzunk az elsı szögszárra úgy, hogy a leolvasás nem változik. Ezután ismét bekapcsoljuk a szögmérést (az alhidádé ismét képes elforogni a limbusz felett) és a második szögszárat ismét megirányozzuk úgy, hogy a leolvasások változzanak. Ezzel tulajdonképpen a szög kétszeresét állítottuk elı. Vegyük észre, hogy az elsı meghatározás második szögszárára és a második meghatározás elsı szögszárára mért irányértékeknek meg kell egyeznie. Ez paraméteresen azt jelenti, hogy az n-dik meghatározásban a második szögszárra mért irányérték megegyezik az n+1-dik

81

meghatározásban az elsı szögszárra mért értékkel. Ezt többször megismételjük. A szög n-szeri megmérése után a szög értékét a

α=

l n − l1 képlettel számíthatjuk. A régebbi típusú mőszereken n

egy közvetlen HOLD feliratú gomb szolgált a szorzó szögmérés végrehajtásához nélkülözhetetlen limbusz-kötés megvalósítására; a mai mőszerek már azonban nem rendelkeznek ezzel a funkcióval, hanem a limbuszkör kötését a program vezérli elektronikusan. A szög n-szeri megmérésekor a mőszer minden vízszintes kör kötés után kijelzi a mért szögnek az átlagtól való eltérését, vagy tetszés szerint választva az elsı vagy elızı meghatározástól való eltérését.

Poláris koordinátamérés. A geodézia egyik alapfeladata a polárisan bemért pontok koordinátáinak számítása az álláspont és a tájékozó irányok koordinátáinak megadása, és a tájékozás elvégzése után. Ebben az esetben tehát nem nyers mérési adatok kerülnek tárolásra a terepen, hanem koordináták. Amennyiben nyers adatokat tárolnánk, úgy elegendı lenne az álláspont megadása után a mőszer részletmérés programját használni, és ebben folytatólagosan tárolni a tájékozó irányokra és a részletpontokra menı mérési eredményeket. Nyers adatok tárolása esetén a feldolgozás minden esetben utólag történik irodában; itt kerül majd sor az álláspont és a tájékozó irányok koordinátáinak megadására, a tájékozás számítására, valamint a polárisan bemért részletpontok koordinátáinak meghatározására. Koordinátamérés esetén az álláspont létesítésekor legfontosabb mővelet (az álláspont számának, koodinátáinak és a mőszermagasság értékének megadása után) az álláspont tájékozása terepen. Ennek megoldására két módszer terjedt el: tájékozás egy ismert koordinátájú vagy több ismert koordinátájú pontra. Az egy ismert koordinátájú pontra való tájékozásnál a tájékozó pont számának megadása után a mőszer vagy kijelzi a belsı memóriában elızetes adatbevitel eredményeként eltárolt koordinátát, vagy figyelmeztetı üzenet kijelzése után felkínálja a kiválasztott pont koordinátáinak bevitelét billentyőzetrıl. Ha ez utóbbi megoldást választjuk, legyünk nagyon figyelmesek, nehogy a koordinátát elgépeljük! A tájékozó pont megadása után mérést kell végeznünk rá, vagy csak vízszintes szöget, vagy ha lehetséges a vízszintes szög mellett távolságot is (természetesen 3D felméréseknél zenitszög és jelmagasság is mérésre és tárolásra kerül). A mőszer a koordinátákból és a mért irányértékbıl számítja a tájékozási szöget, azaz a limbuszkör nulla osztásvonásának a vetületi északi iránnyal bezárt szögét. Amennyiben több tájékozó irányt is mérni akarunk, azok koordinátáit nem célszerő a terepen kézzel bevinni, sokkal célravezetıbb azokat elızetesen az irodában a mőszer belsı memóriájába beolvasni. A program indítása után nagyon gyakran elıre definiálni kell az iránysorozatot, azaz a mérendı irányok egymás utáni sorrendjét. Ebben az esetben a mérés közben a kötött sorrendtıl eltérni nem lehet. Több szabadságot biztosít, ha szabadon irányozhatunk, és egy listából tallózva mérés közben választhatjuk ki a következı tájékozó pontot. Minden pontra vonatkozóan tároljuk a vízszintes szöget (esetleg távolságot, zenitszöget és jelmagasságot), majd a mőszer a koordináták alapján számítja a tájékozási szögeket, és a súlyozott középtájékozási szöget. A mért irányok mellé általában az irányeltérés kerül kijelzésre, amely nem más, mint a tájékozási szögeknek a súlyozott középtájékozási szögtıl való eltérése. Az irányeltérések vizsgálatával eldönthetjük, hogy elfogadjuk a tájékozás eredményét, vagy valamelyik irányt kihagyjuk, vagy újra mérjük. Az irányeltérésben durva hiba jelentkezhet a tájékozó irány koordinátájának elgépelése,

hibás

irányzás

vagy

a

ponthely sérülése,

megváltozása

miatt.

Negyedrendő

alappontoknál gyakran elıfordul, hogy a fejelı kı nincs a megfelelı helyen, ezért nem illeszkedik az ilyen pontra számított tájékozási szög a többi közé. Az ilyen irányt vagy kihagyjuk, vagy a fejelı követ eltávolítva a földalatti pontjelre mérünk. Ha újramérünk egy pontot, akkor a mőszer figyelmeztetni fog, hogy ilyen pontszámú pontra már van mérés. Ez nemcsak tájékozó irányok, hanem részletmérés esetén is igaz, sıt nemcsak állásponton belül, hanem álláspontok között is. Választhatjuk, hogy a

82

mőszer a mérés eredményét ellenırzésre használja fel, ekkor az elızı méréshez képesti eltérés (szög vagy koordináta eltérés) egy külön rekordba tárolódik, de az eredeti mérési eredmény nem íródik felül. Másik lehetıség az észlelés tárolása, amely egy új rekord létrehozását jelenti. A felülírást választva a korábbi mérési eredmény felülíródik az aktuális mért értékkel. A középérték tárolásával az eredeti mérési eedmény és az aktuális mérési eredmény középértéke fog tárolódni. Ha a mérést két távcsıállásban végeztük, akkor ez a funkció egy újabb elsı távcsıállás rekordot fog létrehozni. Ha koordináta-mérést végzük, akkor a már létezett koordináta és az újonnan meghatározott koordináta kerül közepelésre, és a középértékük pedig tárolásra. A részletpontok mérése általában külön menübe, vagy programrészbe való belépéssel lehet. A részletpontok esetén a legfontosabb leíró adatok: pontszám, jellegkód, jelmagasság. A pontszám az állásponthoz hasonlóan numerikus vagy alfanumerikus lehet. Külön kell foglalkozni a ponthoz kapcsolódó attribútum adatok megadásával. Ez a pont jellemzıje, mely megadja, hogy a mért részletpont milyen jellegő, pl. épület, birtokhatár, árok, töltés lába, vagy teteje stb. A pont jellemzıje változhat a felmérések során, attól függıen, hogy milyen területet mérünk fel és milyen célra végezzük a felmérést. A pont jellegét valamilyen jellegkód lista alapján adjuk meg. Ezt a listát még a felmérés elıtt létrehozhatjuk, de lehetıvé kell tenni, hogy a késıbbiekben bıvítsük. A jellegkódolás lényegében a mért pont alfanumerikus kóddal való ellátása. Ez az egyszerőbb esetekben csak kiegészító információ (pl. karó, szeg stb), bonyolultabb esetekben pedig az automatikus térképszerkesztést lehetıvé tevı információ (242=vonal eleje (2), folyamatos (4), burkolatszél (2)). Sok esetben a mőszerek csak numerikus adatként kezelik a pont jellegét. Ezzel egy sorszámot kell bevinnünk, amely megadja az adott jellegkódnak egy listán elfoglalt helyét, amelyhez a tényleges tartalom van rendelve (1=kı, 2=karó, 3=hilti stb.). A pont jellemzıjének kódszám alapján történı megadása nehézkes, csak gyakorlott észlelık képesek ezt a folyamatot hiba nélkül kezelni, és csak abban az esetben, ha hosszabb idın keresztül azonos kódlista alapján dolgoznak. Egyes mőszereknél elıtérbe került a kódok

névvel,

alfanumerikus

formában

történı

megadása egy kódlistában, mely jobban megfelel a köznapi gondolkodásnak. Ha aktív állapotra állítjuk a kódlistát, akkor a jelleg elsı betőjének bevitele után megjelenik a kódlista, és innen választhatjuk, ki a megfelelı pontjelleget. Egyszerre több kódlistán is lehet a mőszerben, melybıl csak egy aktív hívható. A koordináták számítása feltételezi, hogy elızetesen elvégeztük a vízszintes kör tájékozását. Ha ezt nem tettük meg, akkor a mőszer a vízszintes kör nulla

osztásához

viszonyított

helyi

koordinátákat

számít. Azt, hogy elegendıek-e a mőszer helyi rendszerében megadott koordináták, vagy országos

5.8 ábra A relatív koordinátamérés sémája

koordinátákra van szükség, esetleg egy speciális

elhelyezéső helyi rendszerre, minden esetben a feladat célja dönti el. Amennyiben még az álláspont koordinátáit sem tudjuk megadni, hanem azoknak 0-t adunk meg, úgy relatív koordinátamérésrıl beszélünk (5.8 ábra). A relatív szó arra utal, hogy bemérés után a pontok kölcsönös helyzete (a térben egymáshoz képest elfoglalt helyzete) megfelelı lesz, azonban abszolút értelemben (a Földhöz kötött vonatkozási rendszerben) nem lesznek elhelyezve.

Sok, különösen mérnökgeodéziai feladat

végrehajtásánál elegendı ilyen relatív koordinátamérés. Ezekben az esetekben csak a pontok relatív helyzete számít, az abszolút értelmő elhelyezkedése nem.

83

Külpontos részletmérés. A részletpontok meghatározását általában központosan végezzük. Azonban gyakori, hogy a mőszerállásról nem látjuk a részletpontot, ilyen esetben külpontosan határozzuk meg. Külpontos mérés esetén a részletpont meghatározásához további adatokat is kell mérni, ami rontja a központ meghatározásának megbízhatóságát. Lehetıség szerint központosan mérjük be a részletpontokat. A külpontos részletmérésre különbözı esetek alakultak, ezeket a mőszerek és a feldolgozó szoftverek is támogatják. A következıkben az öt, leggyakrabban használt külpontos meghatározást fogjuk áttekinteni. Elıször nézzük az álkülpontos mérést vagy másnéven köríves külpontot, amikor az irányt a központra mérjük, a távolságot és a zenitszöget pedig a külpontban elhelyezett prizmára (5.9 ábra). E két különbözı helyre végzett mérést egyetlen mérésnek tekinti a program, és mint központos mérést számolja ki. Ezt a megoldást olyan esetben alkalmazzuk, mikor a prizmát nem

tudjuk

a

központban

elhelyezni,

pl.

épületsarkok, kerítésoszlopok, villanyoszlopok esetén. A méréskor ügyelni kell, hogy a prizmát úgy helyezzük el, hogy a valódi részletpont

5.9 ábra Az álkülpontosság

központ és a külpont távolsága egyenlı legyen a mőszerállásponttól. Ez egy íven való külpont

elhelyezést jelent, amit csak kis külpontossági érték esetén biztosíthatunk. Ebben az esetben a pont magassága a külpont magassága lesz, erre figyelni kell amennyiben magasságmeghatározást is végzünk.. A második eset a valódi külpontosság, amikor feltételezzük az egyszerőség kedvéért, hogy a központ a külponthoz képest csak a mőszer

felé,

vagy

jobbra,

mőszertıl

távolabb

vagy

balra

helyezkedhet el merıleges irányban (5.10 ábra). Négy lehetıség van a központ külpont elhelyezkedésére. Az 5.10-es ábrának megfelelıen a méréskor meg kell adni a központ

5.10 ábra A valódi részletpont külpontosság

irányát

a

négy

jellemzı

közül

valamelyikkel: a prizma a mőszer felöl nézve a központhoz képest jobbra, balra, elıre, vagy hátra helyezkedik el. Ezen kívül még egy adat a külpontosság távolsága. A külpontos mérés végrehajtására a mőszergyártók gyakran ajánlanak egy prizmarúdra végzendı mérési eljárást. Ennek lényege, hogy egy prizmarúdra két prizmát szerelnek fel (5.11 ábra). Ennek ismert a hossza és a két prizma távolsága. Méréskor a rúd végét a bemérendı pontra helyezik és mérik mindkét prizmára az irányértéket, zenitszöget és távolságot. A két prizmahely ismeretében térbeli extrapolálással számítható a prizma csúcsa, azaz a központ koordinátája. A mérés hátránya, hogy a rúd mozdulatlanságát biztosítani kell, és a központ meghatározása extrapolálással történik.

84

5.11 ábra Kétprizmás külpontos mérés Az 5.12-es a) ábra szerint két segédpontot (K1 és K2) kell felvennünk a mérendı objektum síkjában, például egy mérendı épület falsíkjában. A sík bármely pontjának (P1) koordinátái egy ismert függıleges sík és egy ismert általános helyzető egyenes metszéspontjaként számíthatók. A P2 pont térbeli helyzete a P1 ponton átmenı és az elızı síkra merıleges vízszintes vagy függıleges síknak, és a B álláspontról mért iránynak a döféspontjaként meghatározható. Lehetséges, hogy a segédpontokat nem tudjuk a mérendı pontok síkjában felvenni, hanem csak azokkal párhuzamosan, tılük t távolságra (5.12 b) ábra). A meghatározandó pontok koordinátáit a térbeli egyenesek és az alapsíktól t távolságra elhelyezkedı függıleges sík metszéseként kapjuk. Ezeket a külpontossági mérési módszereket épületek homlokzatának felmérésére szokták javasolni, abban az esetben, ha a sík és az egyenes hajlásszöge nem lesz soha kisebb, mint 30°.

5.12 ábra Külpontos részletpont a két segédpont függıleges síkjában Egyetlen pont helyett három vagy több segédpontot mérni különösen gazdaságtalan, ezért az 5.13-as a) ábrán bemutatott módszert csak kivételesen alkalmazzák mérıállomások esetében. Meg kell azonban említenünk, hogy ezen az elven alapul a mőholdas helymeghatározás egyetlen olyan szóba jöhetı módszere, amely lehetıvé teszi mőholdas vevıvel épület sarokpontjainak bemérését. Az épület bemérhetetlen P pontja helyett az épületfalsíkok kihosszabbításában könnyen kijelölhetı három segédpontot mérünk. A P pont legyen a K3 talppontja a K1 és K2 egyenesen. Nem szükséges ebben az esetben kiegészítı adatokat mérni, egyedül a geometriai feltételek szigorú betartása mellett kell a mérést végrehajtani. Ha P-t nem lehet megközelíteni, akkor két egyenes metszéspontjaként határozható meg (5.13 b)).

5.13 ábra Kettınél több segédpont alkalmazása

85

Kitőzés. A kitőzések célja a tervezett létesítmények vagy szerkezeti elemek terv szerinti helyének kijelölése a természetben. A kitőzést a terv szerint elıírt pontossággal, gyorsan és gazdaságosan kell végrehajtani. Kitőzni terepen alapvetıen kétféle dolgot lehet: koordinátát vagy elıre definiált irányszöget és távolságot. A terepi munka megkezdése elıtt az irodában a mőszer koordináta-kezelı menüpontjának felhasználásával el kell végeznünk az álláspontok, tájékozó irányok és kitőzendı pontok

koordinátáinak

belsı

memóriába

való

bevitelét.

A

bevitel

történhet

manuálisan

bebillentyőzéssel, és beolvasással, valamilyen, a mőszer számára megfelelı koordináta-jegyzékben. A manuális bevitel a sok hibalehetıség miatt csak néhány pont esetében gazdaságos, minden más esetben célszerő a koordináta-jegyzékbıl való beolvasást választani. A tájékozás végrehajtása után a mőszer ellenırzi, hogy van-e a munkaállományhoz rendelt koordináta-jegyzék, ha van, automatikusan felkínálja azt, ha nincs lehetıségünk van választásra egy navigátor ablakban, vagy a manuális adatbevitelre. A koordináta-listából tetszés szerint törölhetünk, bıvíthetjük azt, módosíthatjuk a pontok jellemzıit (pl. pontszám, jelleg stb.), de az is lehet, hogy egy kezdı-és végpontjával definiált intervallumot adunk hozzá az aktuális feladathoz. További lehetıség a keresısugár szerinti leválogatás, amikor a listába csak azok a pontok kerülnek, amelyek az állásponttól egy megadott távolságon belül vannak, vagy a kód megadása, amely azonos kódú pontok leválogatását teszi lehetıvé. A kiválasztott pontokat célszerő irányszög alapján rendezni, amely lehetıvé teszi, hogy az irányszögeket az óramutató járása szerint növekvı vagy csökkenı sorrendben kínálja fel a mőszer, ezzel rövidítve a két pont közötti irányzási idıt, és gyorsítva a kitőzés menetét. A kitőzendı pont kiválasztása után alapesetben a kijelzın a következı adatok láthatók: •

Cél irány – a kitőzendı irányérték,

•

Cél Mkör – a kitőzendı zenitszög, ha térbeli kitőzést végzünk,

•

Tferde – a kitőzendı ferde távolság,

•

IrÉrt – a vízszintes kör aktuális állása,

•

Mszög – a magassági kör aktuális állása (zenitszög vagy magassági szög),

•

d. Irány – a kitőzendı irányérték és az aktuális irányérték különbsége.

A kitőzés során a feladatunk, hogy a mőszert addig forgassuk az alhidádé körül, amíg a d.Irány értéke nulla lesz, azaz a kitőzendı irányérték és az aktuális irányérték meg nem egyezik egymással, továbbá addig forgassuk a távcsövet a fekvıtengely körül, amíg az Mszög értéke meg fog egyezni a Cél Mkör értékével, a prizma irányba állítása után pedig a távmérés eredményeképpen a Tferde értékének a kitőzendı távolság értékével kell megegyeznie. A prizma irányba állítását végezhetjük kézjelekkel beintéssel,

rövidebb

távolságok

esetén

szóbeli

utasításokkal, illetve kitőzıfény használatával. Ez olyan látható fény, mely jobboldalon piros, baloldalon zöld színő (5.14 ábra). Ez jelentısen segíti a kitőzést végzı személy munkáját. A fény színébıl tudja, hogy

5.14 ábra Balra kitőzıfény színlátóknak (zöld és melyik irányba kell elmozdulni. Ha a megfelelı irányba van, akkor fehér fényt lát a kitőzı. A piros), jobbra pedig színvakoknak (rövid és hosszú villogás)

távolságmérés eredményét egy hasonlóan célszerő megoldással lehet közölni a kitőzı személlyel. A

mőszer kijelzıjét át lehet helyezni a prizma tartóbotjára és a mőszer kezelését a prizmától is el lehet végezni. A kapcsolatot a mőszerrel rádióhullámokkal lehet biztosítani. Így a kijelzın a prizmát kezelı látja a távolságot is, és tudja, hogy milyen irányba – elıre, vagy hátra – kell mozognia. A kitőzések gyakorlati végrehajtása során elsı lépésben vízszintes értelemben tőzzük ki a ponthelyet, majd utána magassági értelemben. A vízszintes értelmő kitőzés menüablakában a Cél Mkör beállításával közelítıleg végeztük csak el a magassági értelmő kitőzést. Át lehet lépni egy

86

következı menüablakba, ahol a jelmagasság pontosítása után a pontos magassági értelmő kitőzés végezhetı el. A Fel vagy Le mezıben a prizmabot szükséges emelési vagy süllyesztési értékét lehet látni. A magassági külpont értékét szintén itt lehet beállítani, alapértelmezetten ez nulla. Elıfordulhat azonban, hogy a tervezett magasság nem tőzhetı ki, mert a föld alá kerülne. Ekkor a megadott magassági külpont értékével kitőzhetı egy magassági jel a tényleges pont felett. Ha a kitőzendı pont a kitőzhetı felett lenne, akkor a magassági külpontosság értéke negatív lenne. Irányszögek és távolságok kitőzése csak abban különbözik a fent ismertetett folyamattól, hogy az álláspont tájékozása után nem manuális koordináta bevitelt, vagy koordináta-listát kell választanunk, hanem az irányszög bevitel menüpontra kell ráállnunk. Az irányszögek bevitele alapértelmezett esetben fok-percmásodpercben történik a 360-as rendszerben, a távolságoké pedig méterben milliméter élesen. Ettıl eltérı mértékegységben vagy élességgel történı megadás beállítása a mőszer konfigurációs menüjében lehetséges. A kitőzések általános menetét az 5.15 ábra foglalja össze

.

5.15 ábra A kitőzés végrehajtásának folyamatábrája Amikor a figuráns a kitőzendı ponthely közelébe ért, a mőszer kijelzi a még meglévı ellentmondásokat. A gyakorlatban a prizma irányba intése után mérünk rá egy távolságot, és a távmérés befejezése után értelmezzük a még meglévı ellentmondásokat. Ezt a programok kétféle

87

módon adják meg: a koordináta eltérések kijelzésével, vagy a helyi mért irányhoz viszonyított eltérések megadásával. A mért eltérések értelmezését az 5.16-os ábrán szemléltetjük. A

pont

bemérése

után

a

mőszer a kitőzendı pont és a prizma helye közötti eltérést adja meg. A mért ponthely

és

a

kitőzendı

ponthely

koordináta különbsége alapján ∆N = ∆x és ∆E = ∆y kijelzésével. Ez a terepen nehezen

kezelhetı

adat,

mert

a

prizmánál nem ismerjük az északi irány helyzetét, így ezen eltérések alapján nehézkes a ponthely elmozdítása. A másik

lehetıség,

helyi

eltérések

kérése, ekkor a koordináta eltéréseket egy olyan helyi rendszerben kapjuk

5.16 ábra Kitőzési eltérések értelmezése

meg, melyek abszcissza tengelye a

mőszertıl távolodva pozitív, az ordináta tengely pedig ennek +90o-kal való elforgatásával kapható. Az eltéréseket közölve a prizmát kezelı figuránssal, már értelmezni tudja az adatokat és elmozdítja a prizmát az eltéréseknek megfelelıen. Az új ponthelyet ismételten bemérjük és döntünk, hogy az eltérések elfogadhatók vagy sem. Ha elfogadhatónak tekintjük, akkor véglegesen megjelöljük a ponthelyet. A kitőzött pontot bemérjük, és a tervezett és kitőzött ponthely közötti eltéréseket, mint a kitőzés maradék ellentmondásait dokumentációként eltároljuk a kitőzés pontosságára vonatkozóan. A mérıállomásokkal összetett kitőzési feladatokat is elvégezhetünk, amelyek elsısorban a vonalas létesítmények (pl. út, vasút, közmő, gát stb.) kitőzéséhez kapcsolódnak. Ezek közé tartozik az egy egyenesben lévı pontok folyamatos kitőzése, a vonalban állás ellenırzése vagy az ívek kitőzése. Egyenesben lévı pontok kitőzésekor elıször kitőzzük a vonal kezdıpontját, majd utána a vonal végpontját. Lehetıség még az is, hogy a kezdıpont megadása után az egyenest irányszög és magassági szög vagy lejtés megadásával definiáljuk. A növekmény mezıben meg kell adnunk, hogy milyen távolság-közökben szeretnénk az egyenes közbeesı pontjait kitőzni, továbbá megadhatunk egy ordináta értéket is, amely lehetıvé teszi a tengelyvonaltól balra vagy jobbra esı pontok kitőzését is. Ennek inverz feladata a vonalban állás ellenırzése. Feladatunk ekkor az, hogy az alapvonal definiálás után ellenırizzük, hogy a közbeesı pontok mennyire illeszkednek az egyenesbe. Egy eltolási paraméter megadásával nemcsak az alapvonalba esı pontokat, hanem egy azzal párhuzamos egyenesben lévı pontokat is ellenırizhetünk. Az eltéréseket a kitőzési ellentmondásoknak megfelelıen eltárolhatjuk, de lehetıségünk van közvetlenül a kitőzés menübe átlépni is, és a nem megfelelı helyen lévı pont helyét pontosítani. Hasonlóan megoldható az egy íven fekvı pontok kitőzése. Az ív kezdıpontjának megadása után definiálnunk kell az ívet megfelelı paramétereivel. Meg kell adnunk a kitőzés haladási irányát, amely lehet bal irányú – az óramutató járásával ellentétes, és lehet jobb irányú – az óramutató járásával egyezı. A kezdıpont és az irány megadását követıen az ív paraméterek közül legalább egy kitöltése kötelezı. Ezek lehetnek: az ív vége, ív középpontja, az érintık metszéspontja (tangenspont). Az ív további részleteinek számítását már a program fogja elvégezni. Ha a fent nevezett három paraméternél kevesebbet ad meg, akkor a következı hat paraméter valamelyikét kell megadni az ívkitőzés végrehajtásához: sugár, középponti szög, ív eleje és ív vége közötti távolság az íven mérve, ív eleje és ív vége közötti távolság a húron mérve, érintıhossz (tangenshossz), az ív eleje pontról a

88

sarokpontra menı irányszög. A szükséges adatok megadása alapján a program számítja az ív további részleteit, és a felhasználó által kért pontok koordinátáit. A magasságokat az ív részletpontokhoz a mőszer lineáris interpolációval számítja. Ez azon a feltevésen alapszik, hogy a középpont és a metszéspont magassága megegyezı az ívközéppont magasságával. Ez nem minden esetben igaz, de elfogadható közelítést jelent. A részletpontok kitőzése tobbféle módon történhet. Történhet ívhossz megadásával, amely a részletpont kezdıponttól mért távolságát jelenti az íven mérve. Ha mindehhez egy ordináta értéket is megadunk, akkor a definiált ívvel párhuzamos íven lévı pontot tudunk kitőzni. Lehetıség van húr-ív eltérés megadására, amely a szomszédos ívpontok által meghatározott húr és a hozzá tartozó ivhossz közötti eltérést maximalizálja. Ez természetesen geometriailag megadott darabszámú pont kitőzését jelenti, azonban az is lehet, hogy a kitőzendı pontok darabszámát adjuk meg, és a mőszer ehhez képest határozza meg a húr-ív viszonyt. A lehetıségek függenek attól, hogy az egyes programok milyen kitőzési lehetıségre vannak felkészítve.

Útépítés. A mérıállomások alkalmasak az útépítéssel összefüggı geodéziai feladatok teljeskörő támogatására. Az útépítéssel összeföggı, beépített programok a következık: •

Útválasztás: a mőszerben már meglévı, elızıleg definiált út kiválasztása.

•

Úttest kitőzése: pontok kitőzése megadott szelvény és ordináta értékek alapján.

•

Út felmérése: az út jellemzı adatainak felmérése poláris részletméréssel.

•

Keresztszelvény mérése: megadott keresztszelvény távolság alapján az út keresztszelvény pontjainak felmérése poláris részletméréssel.

•

Útdefiniálás:

a

nyomvonal

vízszintes

és

magassági

értelmő

meghatározása

és

keresztszelvények megadása. •

Út adatok szemléje: az út definíció áttekintése.

•

Minta-keresztszelvény definiálása: új minta keresztszelvény létrehozása, vagy már meglévı módosítása.

•

Minta-keresztszelvény szemle: meglévı mintakeresztszelvények áttekintése.

A mérıállomásokba épített útépítés program nem úttervezésre készült, azonban ez a feladat is elvégezhetı vele. Az út adatok kétféle módon állhatnak rendelkezésre: számítógépen vagy papír térképen. Amennyiben rendelkezünk az út tervének számítógépes változatával, úgy ebben az esetben a mőszerhez tartozó feldolgozó program segítségével ezt át tudjuk alakítani olyan formátumba, amely közvetlenül beolvasható a mőszer belsı memóriájába. Papír térkép alapján az út adatok mőszerbe vitele kétféle módon lehetséges: útelemek és útpontok alapján. Az útelemekkel történı definíció vízszintes és magassági adatok, minta-keresztszelvények, túlemelés és szélesítés értékek megadásával történik. Az útpontok adatán történı definiálás a konkrét pontok helyzeti adatainak a megadását jelenti. Az útelemekkel történı definiálás bonyolultabb, azonban kevesebb manuális munkát igényel, mint az útpontok alapján történı megadás, amely lényegében megegyezik a koordinátás pontok megadásával és kitőzésével. Megjegyezzük azonban, hogy az útelemek megadása után a mőszer a beépített programok segítségével ugyancsak pont koordinátákat fog számolni a kitőzendı pontokra, azonban ebben az esetben ez teljesen automatikusan történik a felhasználó aktív közremőködése nélkül. Az útelemekkel történı definiálás általános menete a következı (5.17 ábra): 1. A középvonal definiálása vízszintes értelemben egymáshoz kapcsolódó elemek megadásával, amelyek lehetnek pontok, egyenesek, ívek, átmeneti ívek. Minden egyes elemnek ott kell kezdıdnie, ahol az elızı véget ér. Egy meghatározott nyomvonalat általában köztes helyen már nem lehet javítani, csak az egész újradefiniálása engedélyezett.

89

2. A középvonal definiálása magassági értelemben, magassági ívek és parabolák sorozatának megadásával. Az egyenes szakaszokat nulla hosszúságú görbeként kell definiálni. Az egyes görbék megadása a magassági metszéspont megadásával történik. Egy meghatározott magassági nyomvonalat nem lehet javítani köztes helyen, csak az egészet újradefiniálni, azonban a vízszintes nyomvonaltól függetlenül át lehet helyezni teljes egészében. A magassági nyomvonalnak nem kell feltétlenül ott kezdıdnie, ahol a vízszintes nyomvonalnak, lehet, hogy a vízszintes nyomvonal a 0+100-as szelvénynél kezdıdik, a magassági pedig a 0+90-nél.

5.17 ábra Útlemek definiálása: hosszelvény, minta-keresztszelvény, magassági lekerekítés 3. Minta-keresztszelvények definiálása kapcsolódó pontok sorozataként, mely pontok mindig az elızı ponthoz vannak viszonyítva. Magasságilag egy pont lehet feljebb vagy lejjebb, mint az elızı. A minta-keresztszelvények az úttól függetlenül definiálhatóak, így ugyanazt a mintát több útnál is fel lehet használni. 4. Keresztszelvények definiálása azon minta-keresztszelvények megadásával, amelyek a középvonalhoz kapcsolódnak. 5. Túlemelés definiálás, amely lehetıvé teszi a szélesítés alkalmazását, ahol szükséges. 6. Út-definíciók bemásolása az aktuális munkaállományba. Az utak függetleníthetık az aktuális koordináta-rendszertıl. Ha a nyomvonal kezdıpontjának van koordinátája vízszintes és magassági értelemben, úgy a nyomvonalat koordináta-rendszerbe illesztettnek tekintjük. Ha a kezdıpont koordinátáit nullának vesszük, akkor a nyomvonal nincs koordináta-rendszerbe illesztve, a magasságot pedig magassági külpontosságként kell megadnunk. 7. Ha az út koordinátás, akkor meg kell adnunk az elsı álláspont koordinátáit, vagy az álláspont szelvény és eltérés értékét. Ha az út nem koordinátás, úgy az álláspont definiálása csak szelvény és eltérés értékekkel lehetséges. Hasonló módon kell definiálni a tájékozó pontokat is: koordinátával vagy szelvény és eltérés értékkel. 8. Az álláspont létesítés és a tájékozás végrehajtása után következhet a felmérés vagy a kitőzés. Koordináta-rendszerbe illesztett út esetén ez természetesen koordinátásan történik, koordináta-rendszerbe nem illesztett út esetén pedig szelvények megadásával. Ez utóbbi esetben a mőszer kiszámítja a vízszintes és magassági nyomvonalból a megadott szelvényre

90

esı középvonal helyzetét, majd az aktuális minta-keresztszelvény kerül alkalmazásra a középvonalra merılegesen. Az útépítéshez kapcsolódó felmérések lényegében azonosak a poláris részletméréssel, a kitőzés pedig a koordinátával adott pontok kitőzésével egyezik meg. A döntı különbség a kitőzésnél az, hogy míg általános geodéziai feladatoknál a kitőzés csak síkban történik, addig útépítésnél szinte mindig térbeli kitőzést kell végezni. Az 5.18-es ábrán összefoglaljuk az útépítésekhez kapcsolódó kitőzések általános menetét.

5.18 ábra Út kitőzésének általános menete Szabad álláspont. A mérıállomások elterjedésével szükségessé vált, hogy új ponton történı felállás (ismeretlen koordinátájú pont) esetén is elvégezhetı legyen a felmérési, kitőzési munka. A célszerőség és gazdaságosság azt kívánja meg, hogy az álláspont helyét ott válasszuk ki, ahol a feladat elvégzése szempontjából a legkedvezıbb. Itt felállva a mőszerrel, a látható és mérhetı pontok alapján elıször meghatározzuk az álláspont koordinátáit, majd utána elvégezzük a részletmérési vagy kitőzési feladatokat. Az álláspont helyét úgy választjuk ki, hogy a további feladat szempontjából a legjobb irányzási lehetıségeket biztosítsa. Ez lehet szántóföld közepén vagy egy telek közepén is, ahol az állandósításra nincs lehetıségünk, vagy fel sem merül ennek szükségessége. A szabad álláspont létrehozásakor két szempontra kell figyelnünk. Az egyik a pont koordinátáit olyan pontossággal határozzuk meg, hogy az megfeleljen az alappont követelményeinek, másrészt a bemért részletpontok

is

megfelelı

pontossággal

meghatározhatók

legyenek.

A

szabad

álláspont

meghatározása csak belsı álláspontról mért irányokkal és távolságokkal történik (5.19 ábra). A szabad álláspont meghatározásának lehetıségei a következık: •

három irányérték mérése, a hátrametszés esete,

•

két távolság mérése, az ívmetszés esete,

•

két irányérték valamint egy távolság mérése, a külpont meghatározásának esete,

•

több irány és távolság mérése, kiegyenlítés lehetısége.

91

5.19 ábra A szabad álláspont meghatározásának három alapesete Minden mőszer képes a geometriailag a megoldáshoz szükséges mérési eredmény megmérése után az álláspont koordinátáinak számítására, azonban a legtöbb esetben méréseinket fölös mérések bevonásával végezzük. Ebben az esetben a mőszer kiegyenlítéssel számítja az álláspont koordinátáit, amelyet csak a maradék ellentmondások értékelése után szabad elfogadni. A régebbi változatok megkövetelték, hogy minden ismert pontra mérjünk irányt és távolságot is. Ma már ez nem követelmény; lehet olyan pont is, amelyre csak irányt vagy csak távolságot mérünk. A kiegyenlítés után eredményül – a koordinátákon kívül – a mőszer meghatározza a tájékozási szöget is. Ezzel a szabad álláspont meghatározásával az álláspont létesítése is megtörténik, így utána azonnal elvégezhetjük a felmérési vagy kitőzési feladatot is. A mérıállomások a szabad álláspont meghatározását vagy a legkisebb négyzetek módszere szerint, vagy a súlyozott legkisebb abszolút értékek módszere szerint végzik. A szabad álláspont program kiválasztása után egyes mőszerek esetében a mérendı iránysorozatot elıre kell írni, míg más mőszerek esetében az irányzás tetszıleges, menet közben változtatható. Amennyiben szükséges az irányok elıreírása, úgy ebben az esetben a mérés közben ettıl eltérni nem lehet. A számítás végrehajtásához szükséges minimális irány és távolság számítása után a mőszer a következı lehetıségeket fogja felkínálni: számítom a helyzetet, további iránysorozat mérése, iránysorozat szemléje. A számítom a helyzetet lehetıség lehetıvé teszi az addig mért adatok alapján az álláspont koordinátáinak meghatározását. Amennyiben a további iránysorozat mérése lehetıséget választjuk, úgy további pontokat mérhetünk, és vonhatunk be a számításba. Az iránysorozat szemléje menüpont alatt megtekinthetjük az eddig mért pontokat és mérési eredményeket. A számítás funkciót választva a mőszer kiszámítja az álláspont koordinátáit, és azokat kijelzi a kijelzıre. Önmagában ez azonban nem elegendı ahhoz, hogy eldöntsük, az álláspontot a megfelelı megbízhatósággal sikerülte meghatároznunk, ezért a mőszer tájékoztat bennünket a meghatározás megbízhatóságát jellemzı megbízhatósági mérıszámokról. A megbízhatósági mérıszámok sokfélék lehetnek: koordinátaközéphibák, a hibaellipszis adatai vagy az álláspont létrehozása utáni tájékozás maradék ellentmondásai. A koordináta-középhibák lényegében azt mutatják, hogy az álláspont koordinátái milyen megbízhatósággal rendelkeznek, éppen ezért a legtöbb esetben ezt szoktuk használni a mérés megbízhatóságának a megítéléséhez. A hibaellipszis nagy- és kistengelyének értéke lényegében a meghatározásban

jelenlévı

bizonytalanság

mértéke

számszerően

kifejezve.

Az

álláspont

koordinátáinak elfogadása után a poláris részletmérés vagy kitőzés további elıfeltétele az álláspont tájékozása. A megbízhatóság megítéléséhez szintén egy lehetıség a tájékozás utáni maradék ellentmondások vizsgálata: az irányeltérés és lineáris eltérés feladat céljától függı pontossági követelmények szerinti megítélése. Az álláspont koordinátáit csak abban az esetben szabad

92

elfogadni, amennyiben azok kielégítik az elızetesen velük szemben támasztott pontossági követelményeket, a hibásan definiált álláspontról mért poláris pontok koordinátái, vagy a kitőzött pontok ponthelyei is hibásak lesznek!

Sokszögvonal mérése. Sokszögvonal mérése kétféle módon történhet: vagy nyers mérési adatokat rögzítünk és a sokszögvonalat irodában, valamilyen utófeldolgozó szoftverrel számítjuk ki, vagy terepen azonnal koordinátaszámítás történik a mérıállomás beépített programjának segítségével. A mérés megkezdését ebben az eetben is az ismert pontok koordinátáinak mőszer belsı memóriájába töltése elızi meg. Terepen felállva a sokszögvonal kezdıpontján el kell végeznünk a sokszögvonal elıírását. Meg kell adni a kezdı- és végpont, valamint a tájékozó irányok pontszámát és koordinátáját (listából választva vagy bebillentyőzve), valamint a további sokszögpontok pontszámát. A kezdı- és végponton lehetıségünk van az iránysorozat elıre írására is, és akkor ebben az esetben a mőszer a teljes mérési folyamatot vezérelni fogja; azonban az is lehetıség, hogy nem definiáljuk elıre az iránysorozatot, és akkor a mőszer a mérési folyamatnak csak a köztes sokszögpontokra esı részét fogja vezérelni, a kezdı- és végponton végrehajtott mérést nem (5.20 ábra). A végpont megadása nem minden mőszer esetében szükséges, a végpont értelmezése történhet a következı módon is: •

az álláspontról több irányba is lehet haladni (elágazás),

•

az álláspontnak adott a koordinátája,

•

a bebillentyőzött állásponton van észlelés olyan pontra, amelynek van koordinátája,

•

visszairányzás a kezdıpontra,

•

a sokszögpontok darabszáma elér egy felsı határt.

A mérési folyamat befejezése után a mőszer kijelzi a szögzáróhiát valamint a koordináta-záróhibákat, és beállítástól függıen a hossz- és keresztirányú záróhibákat is. Választanunk kell, hogy az eltéréseket milyen módon osszuk el; általában a hagyományos szemléletnek megfelelı elosztást célszerő választani: a szögzáróhibát egyenlı mértékben a törésszögek számának megfelelıen, a koordináta-záróhibákat pedig a távolságok arányában célszerő elosztani. A hiba-elosztás megadása után a mőszer számítja a sokszögpontok végleges koordinátáit, majd eltárolja azokat.

5. 20ábra Sokszögvonal elıreírása, valamint a záróhibák megjelenítése Közvetett távolságmérés. Cél két olyan pont távolságának meghatározása, amely pontok egyike sem

alkalmas

mőszerálláspont

létrehozására

(5.21

ábra).

A

legtöbb

esetben

ellenırzı

távolságmérésre használják, amelyet mérıszalag használata helyett ilyen módon oldanak meg. A mérési eredmény lehet ferde vagy vízszintes távolság és magasságkülönbség. Ha nem csak két pont között, hanem több pont között kell ellenırzı mérést végezni, akkor a bemérés után kétféle adatot számíthatunk: •

távolságot mindig az elızı ponttól, amelyet a polygonos távmérés módszerének nevezünk,

93

•

távolságot mindig az elsı ponttól, amelyet a sugaras távmérés módszerének nevezünk.

5.21 ábra Közvetett távolságmérés Közvetett magasságmérés. A hozzá nem férhetı (elérhetetlen) pontok magasságát közvetett magasságméréssel tudjuk meghatározni (5.22 ábra). Egy prizmát kell elhelyezni a mérendı pont alatt és indítani a közvetett magasságmérési programot. Ekkor elıször távolságot és zenitszöget mérünk a prizmára, majd a távcsövet a fekvıtengely körül mozgatva, a mőszer folyamatosan kijelzi a pont fölött megirányzott pont magasságát. Ha az elıkészítés során a prizmamagasságot is megadjuk, akkor ezt is beszámítja. Ezzel a programmal épületek, vezetékek magasságát határozhatjuk meg.

5.22 ábra Közvetett magasságmérés végrehajtása Területszámítás. A program célja egy töréspontjaival bemért alakzat területének meghatározása (5.23 ábra). A feladat megoldásának feltétele, hogy a töréspontokra irányértéket és távolságot tudjunk mérni. Az utolsó töréspont bemérése után a bejárt terület, mint egy zárt polygon jelenik meg a kijelzın. A terület meghatározásához legalább három pontból álló alakzat szükséges. Egy referenciasík megadásával kiszámítható a mért terület és a referenciasík alkotta test térfogata is, amely a földmunkával járó építıipari munkák egyik meghatározó geodéziai feladata (kubatúra számítás). Az alakzat területének számítása után elvégezhetjük az alakzat felosztását is adott ponton átmenı egyenes vagy adott egyenessel párhuzamos egyenes segítségével, majd az így számított töréspontokat közvetlenül kitőzhetjük.

5.23 ábra Területszámítás mérıállomással

94

Lejtı-százalék meghatározása. Elsısorban közmővekkel (víz, villany, gáz, csatorna) összefüggı munkák esetén alkalmazzuk. A cél egy út, vezeték, csı vagy egyéb vonalas létesítmény esésének megadása százalékos formában (5.24 ábra). A mőszerrel felállunk a vonalas létesítmény egy tetszıleges pontján, és lemérjük a mőszermagasságot. Ugyanilyen magasságra kihúzzuk a prizmabotot, és felállunk vele a létesítmény egy másik pontján. Mérjük a prizmára a ferde távolságot és a zenitszög kijelzése helyett az esés %-os kijelzését választjuk.

5.24 ábra Lejtés százalékos megadása Zsinórállás kitőzése. Zsinórállással az épület csomópontjait (sarkait) és a külsı falait jelölik ki olyan módon, hogy fából 90° -os metsz ıdéső állványokat szegelnek, amelyeket a leendı faltól kb. 1 méter távolságra állítanak fel. A deszkalapok felsı síkját vízszintesbe állítják, rájuk zsinórokat feszítenek ki, melyek metszése adja majd meg a keresett pontokat (5.25 ábra). A feladat elsı lépéseként egy alapvonalat kell kijelölni. Az alapvonal valamely létesítmény tervezett pontjaihoz igazodik. Ezután az alapvonaltól adott távolságra ki kell jelölnünk a terepen egy úgynevezett referencia egyenest, amelyhez képest a zsinórállás már egyszerőbb kitőzési módszerekkel is kijelölhetı. A referencia egyenes az alapvonalhoz képest hossz-és keresztirányú eltolással, adott esetben elforgatással is rendelkezik.

5.25 ábra Zsinórállás kitőzése Mőszerhibák. Mérési program a legfontosabb mőszerhibák meghatározására. Ezek segítségével a mőszer kollimáció hibáját, a fekvıtengely ferdeség hibáját és az indexhibát tudjuk meghatározni. A kollimáció és az indexhiba meghatározásához elegendı egyetlen pont irányzása két távcsıállásban. Ebben az esetben célszerő meredek irányt választani, mert ugyan az indexhiba nem függ össze a zenitszöggel, azonban a kollimáció hiba hatása a zenitszög függvényében változik, meredek irányok esetében nagyobb, vízszinteshez közeli irányok esetén pedig kisebb. Ha egy mérési folyamatban

95

szeretnénk meghatározni az indexhiba, kollimáció hiba valamint a fekvıtengely ferdeség értékét is, úgy célszerő egy függıleges egyenesre, egy függızsinórra három különbözı helyen mérni. Az egyik irány megközelítıen vízszintes legyen, a másik két irány a vízszintestıl felfelé és lefelé lehetıleg minél meredekebb irányban helyezkedjen el. A mérést követıen a mőszer számítja az egyes hibákat jellemzı értékeket. A mőszerekbe általában beállítható ez az érték, vagy a meghatározás után rögzítıdnek a következı meghatározásig. A hibákból adódó korrekciókat a mőszer automatikusan beszámítja a körleolvasásokba, és javítja a leolvasás értékét.

Homlokzatfelmérés. A program egy elıre definiált referenciasík és az irányvonal döféspontját számítja. Általában épülethomlokzatok felmérésére használják, amikor a mérendı pontokra csak irányt tudunk mérni (5.26 ábra). A referenciasík megadásának a következı lehetıségei vannak: •

A referenciasíkot két pontjával adjuk meg, és feltételezzük, hogy a falsík függıleges. Az épület falsíkjának két pontjára kell mérnünk; erre a két pontra helyezhetünk prizmát vagy fóliát is, de direkt reflex (falfelületrıl visszaverıdı jel) üzemmódban is dolgozhatunk.

5.26 ábra Referenciasík definiálása a sík három pontjának megmérésével •

A falsík három, nem egy egyenesre esı pontjára mérünk irányt és távolságot. A három pont által definiált sík lesz a referenciasík, amely értelemszerően már nem csak függıleges lehet. Ez a referenciasík definiálásának leggyakoribb módja.

•

A falsík háromnál több pontjára mérünk irányt és távolságot. A program egy kiegyenlítı síkot fog számolni, és minden a sík meghatározásába bevont pont esetében kiírja a maradék ellentmondásokat. A síkra kevésbé illeszkedı pontokat ki tudjuk hagyni a számításból.

A referenciasík definiálása után sorra megmérjük a homlokzat mérendı pontjait poláris részletméréssel. A program számítja ezek koordinátáit vagy a síkhoz kötött rendszerben, vagy a mőszer koordináta-rendszerében. A nem a falsíkban elhelyezkedı épületelemeket külpontos pontként kell kezelni, és meg kell adni a ki- vagy beugrás mértékét. Ha prizma nélküli üzemmódban dolgozunk (direkt reflex), akkor a mőszer automatikusan kiszámítja ezeknek a pontoknak a referenciasíktól való távolságát. A homlokzatfelmérés elvét használják a geodéziai mőszerek más speciális feladatoknál is. Ezeknél a feladatoknál a cél az, hogy egy elıre definiált alak és a megvalósult alak közötti eltéréseket meghatározzuk a felület letapogatásával. Ennek típikus példája az úgynevezett konvergencia mérés. Ebben az esetben valamilyen föld alatti létesítmény (pl. alagút) terhelés hatására bekövetkezı alakváltozásának mérése a cél. A mőszer egy elıre definiált minta-keresztszelvénnyel hasonlítja

96

össze a tényleges mérésbıl kiértékelt keresztszelvényt, és az eltéréseket pontonként kimutatja. Mérnökgeodéziában gyakran elıforduló feladat, amikor valamilyen mérnöki szerkezet megvalósult alakját kell felmérni és összehasonlítani egy tervezett alakkal; ebben az esetben is a létesítmény alakjelzı pontjainak mőszeres bemérése jelenti a megoldást (5.27 ábra).

5.27 ábra A bal oldalon konvergencia mérés látható egy alagút esetében, középen egy hajógyárban a megvalósult szerkezeti elemek felmérése, jobb oldalon pedig egy felületmérés eredményeként elıállított épület modellje

5.3.4 A gyakoribb mérıállomás típusok adatformátuma A mőszergyártók saját belsı, úgynevezett natív formátumban tárolják a mérési adatokat és a kiegészítı információkat. Minden gyártó készít a saját mőszeréhez egy feldolgozó szoftvert, azonban ez a szoftver nem képes feldolgozni a más mérıállomások formátumában megadott adatokat. Jelenleg nem létezik olyan szabványosított adatcsereformátum, amelyet minden mérıállomás elı tudna állítani, és amelyet minden feldolgozó szoftver egységesen tudna fogadni. A pontraállás, állótengely függılegessé tétele után a mőszert bekapcsoljuk, majd elindítjuk a megfelelı mérési programot. A munkaterület definiálása és az álláspont létrehozása után a mőszerben, az elıre definiált koordináta-fájl és jellegkód lista alapján elvégezzük az adatgyőjtési folyamatot (5.28 ábra). A mőszer a konfigurációs beállításokban definiáltak szerint fog mőküdni (pl. kijelzıvilágítás, adat kijelzés idıtartama, távmérési mód stb.), és az elıre meghatározott mőszerhibák hatásával javítja, majd tárolja a mért eredményeket. A mérési folyamat egy „log” fájlban tárolódni fog, amely lényegében egy naplófájl, a mőszer mérés közbeni beállításain kívül a mérési sorrendet, a mőszerhibák értékét és a redukciók értékét is tárolni fogja. A mért adatok egy úgynevezett rögzítési maszk szerint fognak tárolódni. A rögzítési maszk definiálja, hogy mely mért, és levezetett értékek tárolódjanak. A rögzítési maszk azonban nem definiálja értelemszerően a megjelenítési maszkot; lehet, hogy az adatok más rendszer szerint tárolódjanak, mint amilyen maszk szerint kijelzésre kerülnek. A mérési folyamat megkezdése elıtt nagyon fontos a mőszer konfigurációs beállításaink és a rögzítési és megjelenítési maszknak az ellenırzése, mert ezek beállításai egyértelmően meg fogják határozni azoknak az adatoknak a körét, amelyek a mőszerbıl irodában kiolvashatóak lesznek. Ebben az alfejezetben a gyakoribb mérıállomás típusok – Leica, Sokkia, Trimble, Topcon – adatformátumait ismertetjük vázlatosan. Megjegyezzük azonban, hogy ezeknek a mérési fájloknak az értelmezésére csak abban az esetben van szükség, ha terepen nyers mérési adatokat rögzítünk, amennyiben terepen koordináta-mérés történt, úgy irodában végeredményképpen csak egy koordináta-jegyzéket tudunk kiolvasni. Az is lehetıséget jelent még, hogy a mérési jegyzıkönyvet beolvassuk valamilyen feldolgozó szoftverbe, és utána, az adott szoftver formátumában szerkesztjük

ıket tovább.

97

5.28 ábra Az adatrögzítés folyamatábrája A Leica típusú mőszerek a leggyakrabban GSI8 vagy GSI16 formátumban tárolják az adatokat (5.29 ábra).

5.29 ábra A GSI8/GSI16 adatformátum A mérési fájl egy rekordja azonos hosszúságú mezıkbıl áll. Minden mezı egy kódszámmal kezdıdik, amely utal a benne foglalt adatra. A 21-es a vízszintes szöget jelöli, a 22-es a zenitszöget, a 31-es a ferde távolságot. A helyi értékek jobbra vannak igazítva és nincsenek benne tizedespontok vagy más elválasztójelek. Az üres karakterek helyén nulla van, ezzel biztosítva a fix karakterszélességet. Az álláspontnál a második mezı kódja 84. Az elsı mezı kötött, kódja 11. Az elsı részében a folytatólagos rekord sorszám szerepel, a második részében a pontszám. GSI8 formátumnál ez csak 8 karakter lehet, GSI16 formátumnál pedig 16 karakter. A mőszermagasság kódja 88, a jelmagasságé 87, az y koordinátái 85, az x koordinátáé 86. A Sokkia adatrekordja is egy kóddal indul (5.30 ábra). Az egyes mezık helye itt is kötött a formátumban. Az álláspont a 02TP kóddal kezdıdik, amelyet a három koordináta és a mőszermagasság követ. A jelmagasság kódja 03NM. Az irányzott pont adatai elsı távcsıállásban a 09F1 kód után következnek, a második távcsıállás kódja 09F2. A mért adatok sorrendje: pontszám, távolság, zenitszög, irányérték és pontjelleg. A pontazonosítók vagy 4 karakteres numerikus formátumúak, vagy 16 karakteres alfanumerikus formátumúak. Ezt még a mőszerben a munkaterület definiálásakor meg kell adni. A mért szögadatok nem fok-perc-másodperc formátumban, hanem decimális formában szerepelnek.

98

5.30 ábra A Sokkia formátum A Trimble mőszerek esetében a felhasználó elıre megadhatja egy UDS-fájlban (User Defined Sequences), hogy milyen mérési és kiegészítı adatokat kíván tárolni (5.31 ábra). Egy UDS fájl több sorból állhat, de minden sorban csak egy mezı lehet. A mezı egy kódszámmal indul, amely definiálja az adat típusát, majd következik egy egyenlıségjel után a tényleges adat. Az álláspont kódja 2, a mőszermagasságé 3, a pontjellegé 4, a hımérsékleté és a légnyomásé 56 és 74, az irányzott ponté 5, a mérési eredményeké 7,8,9 az irányérték, zenitszög és távolság sorrendjében, a jelmagasság kódja pedig 6.

5.31 ábra A Trimble adatformátum A Topcon adatformátuma kevésbé áttekinthetı, mert a mezık egymás után következnek sortörés nélkül (5.32). A mezıket alulvonás jel választja el, az egy álláspontra vonatkozó adatok aposztróf jelek között vannak. Egy álláspontra vonatkozóan a mezık sorrendje: álláspont száma, jellege, mőszermagasság; irányzott pont száma, ferde távolság, zenitszög, irányérték, vízszintes távolság, pontjelleg, jelmagasság. Ha távolságmérés nem történt a részletpontra, akkor az irányzott pont száma után < jel következik.

5.32 ábra A Topcon adatformátuma

99

5.3.5 Robot-mérıállomások A robot-mérıállomások programozott szög- és iránymérés, távmérés és adatrögzítés végrehajtására képes elektronikus mőszerek. A mőszerrel összekapcsolt személyi számítógép vagy programozható adatrögzítı a mérés tervezett idıpontjában vezérli a mőszer automatikáját és végrehajtja a felhasználó által elıre megadott mőveletsort. Az alhidádé és a távcsı forgatása a szervomotorok segítségével történik (5.33 ábra).

5.33 ábra Sokkia, Leica, Trimble és Topcon robot-mérıállomások Az automatika elvégzi a szimmetrikus megvilágítottságú látómezı megkeresésével a pontos irányzást, majd a beálított tárolási maszknak megfelelıen elvégzi az adatrögzítést. A legtöbb mőszer a mérés elvégzése után a következı mérésig energiatakarékos üzemmódba kapcsol. A robot-mérıállomásokat elıszeretettel alkalmazzák kis elmozdulások és alakváltozások mérésére a mérnökgeodéziai mozgásvizsgálatokban. Az irányhossz ismeretében a körleolvasások változásából az elmozdulás vagy az alakváltozás irányvonalra merıleges összetevıje egyszerően kiszámítható. A mérés nem igényel felügyeletet, az elsı, úgynevezett keresıforduló megmérése után a mérés akár veszélyes vagy egészségre ártalmas körülmények között is végrehajtható. Ilyen „embertıl-független” folyamatos mérıállomás-monitoring rendszer került kiépítésre a Bıs-Nagymarosi vízlépcsı esetében és a budapesti 4-es metro építkezése esetében is. A tervezık és geodéták folyamatosan nyomon tudják követni a mérnöki szerkezetekben bekövetkezı alakváltozásokat, és így a lehetıségeknek megfelelıen gyorsan és pontosan tudnak beavatkozni rendkívüli helyzetek esetén (5.34 ábra).

5.34 ábra Topcon IS robot-mérıállomás és képalkotó rendszere, amely lehetıvé teszi a kijelzın keresztül történı irányzást A robot-mérıállomások megjelenésével egyidıben új fogalmak is megjelentek a geodéziai szakszó használatban. Ezek a fogalmak azoknak az új technológiai elemeknek a megnevezését takarják, amelyek ténylegesen lehetıvé teszik az egy-emberes megoldások kialakítását.

100

Automatikus célfelismerés. Jelentısége abban rejlik, hogy a felhasználónak elegendı csak az irányzó dioptrával durván megirányozni a célpontot; a finom irányzást elvégzi a mőszer automatikája. Elınyei: •

állandó pontos irányzás a prizma közepére a felhasználótól függetlenül,

•

az irányzás gyors, észlelı fáradságától független végrehajtása,

•

nem szükséges a parallaxis teljes megszüntetése,

• bármilyen prizmával kompatibilis a rendszer. Automatikus célkövetés. Az elsı mérés után követi a prizmát és mozgás közben bármelyik mérési adat rögzíthetı anélkül, hogy a célkövetés megszakadna. Különösen kényelmes használata a 360°-os prizmával, mert ebben az esetben nem kell a prizmát a mőszer felé fordítani. Felhasználási területe: •

topográfiai felmérések,

•

kódolt felmérések további térinformatikai alkalmazásokhoz,

• kitőzések. Pontkeresés. A pontkeresı másodperceken belül megtalálja a prizmát jelvesztés esetén. A bekapcsolt pontkeresés segítségével a mőszer forgat és kiküld egy függıleges helyzető lézer legyezıt. Amint a legyezı eléri a prizmát, a mőszer megállítja a forgatást, az automatikus célkövetés átveszi az irányítást és finoman megirányozza a pontot teljesen automatikusan. A pontkeresı funkció használata hasznos az elsı méréshez, vagy ahhoz, hogy ismét megtalálja a prizmát, ha az automatikus célkövetés teljesen elvesztette azt. Távirányító rendszer. A kezelıbe (controller) épített rádió modem lehetıvé teszi a célpont mellıl mérést (5.35 ábra). A távirányítón és a mőszeren lévı kijelzı és billentyőzet egymással kompatibilisek. A távirányító technikával felszerelt mérıállomások azok, amelyek tényleges lehetıvé teszik az egy-emberes mérés megvalósítását. A távirányítás segítségével nemcsak a hagyományos mérıállomásos felmérés és kitőzés technológia vezérelhetı a prizma mellıl, hanem egyes mőszertípusok esetében a mőszer alhidádéjára vagy a prizmabotra, a prizma fölé szerelt GPS-vevı is ugyanazzal a távvezérlıvel vezérelhetı. Image Station. Az Image Station a robot mérıállomás és a fényképezıgép egyesítésébıl jön létre. Használatával a felhasználó képes az érintıképernyın keresztül történı irányzásra. Az irányzás elvégzéséhez elegendı a kijelzı képén megjelenı kamerakép bármely részét kijelölni, majd a szervomotor segítségével a mőszer a helyes irányba fordul. Ennek a pontossága nem közelíti meg a távcsı segítségével történı irányzás pontosságát, azonban durva irányzások végrehajtására tökéletesen alkalmas. A mőszer 360°-os tartományban képes fényképet készíteni , azzel képi információt is szolgáltatva a munkához. A fénykép készítéséhez a robot mérıállomások akár 20x-os nagyítással is rendelkezhetnek.

5.35 ábra Trimble robot-mérıállomás és távvezérlıje valamint Sokkia egy-emberes mérıállomás munka közben

101

5.4 Mellékletek

1. ábra A geodéziai mőszerek fejlıdésének négy ciklusa

2.ábra KERN E2 és KERN ET2 elektronikus teodolit

3. ábra ZEISS TH2 elektronikus teodolit

102

4. ábra STANDA DT2 1”-es digitális teodolit

5. ábra Distomat WILD DI 3000 rátét távmérı

6. ábra SOKKISHA RED2A rátét távmérı

7. ábra AGA/GEODIMETER 14 rátét távmérı

103

8. ábra Mekometer ME5000

9. ábra HP3820A elektronikus tahiméter 1974-bıl

10. ábra KERN DM501 elektronikus távmérı az 1970-es ével ekejérıl

11. ábra MRA 101 és CF 1000 rádiótávmérı (tellurométer) és szabatos visszaverı berendezése

104

12. ábra WILD TC1600, TOPCON ET-1 elektronikus tahiméterek, valamint AGA/GEODIMETER egyes, és hármas prizma

13.ábra GEODIMETER 400 mérıállomás

14. ábra TOPCON GPT 8203A mérıállomás külsı adatrögzítıvel

15. ábra ZEISS REC ELTA mérıállomás

105

16. ábra LEICA TM5000 mérıállomás GAUSS törtokulárral zenitvetítés végrehajtásához

17. ábra Hagyományos teodolit és robot mérıállomás szerkezeti rajza, szembetőnı a hagyományos mőszerekben az optikai elemek túlsúlya

106

6. Speciális geodéziai mőszerek Az eddigi tanulmányaink során megismerkedtünk az általános geodézia mindennapos gyakorlatában használt mérımőszerekkel: a teodolittal, elektronikus tahiméterrel, mérıállomással és a szintezımőszerrel. Ebben a jegyzetrészben olyan speciális geodéziai mérımőszerekrıl lesz szó, amelyek egyes különleges feladatok megoldásánál fordulhatnak elı.

6.1

Tájoló teodolitok

A teodolitok tetszıleges nagyságú vízszintes és magassági szögek mérésére alkalmas mőszerek. Iránymérésnél egy pontból kiinduló térbeli irányok vízszintes vetületének relatív (egymáshoz viszonyított) helyzetét mérjük meg a limbuszkör 0-osztásához viszonyítva, amely helyzete álláspontonként változó. A tájoló teodolitok az irányok helyzetét kötött kezdıirányhoz (a

csillagászati vagy mágneses északi irányhoz) viszonyítva határozzák meg. A velük való mérés pontossága kisebb, a mérés idıszükséglete pedig több mint a hagyományos iránymérésnél. Általában akkor szoktuk alkalmazni ıket, ha valamilyen okból egy adott terepen nem tudunk tájékozó irányokat mérni (pl. bánya, erdı stb.). Geodéziai szempontból háromféle északi irányt különböztetünk meg (6.1 ábra).

6.3 ábra A háromféle északi irány

1. Csillagászati

észak:

Nevezik

másféleképpen

földrajzi

északnak

is.

Az

álláspont

függılegesére illeszkedı, a Föld forgástengelyével párhuzamos sík jelöli ki. Alsógeodéziai munkáknál iránya idıben állandónak tekinthetı, felsıgeodéziai munkáknál azonban már figyelembe kell venni a pólusmozgás és pólusvándorlás jelenségét is. 2. Geodéziai észak: Nevezik másképpen hálózati vagy vetületi, térképi északnak is. A geodéziai koordináta-rendszerben a ponton átmenı +X tengellyel párhuzamos egyenes északi ága. Iránya a helytıl és a vetületi rendszertıl függıen változik, azonban idıben állandó.

107

3. Mágneses észak: A Föld mágneses pólusa által meghatározott északi irány. A mágneses pólus vándorlása miatt idıben változó irány. Száz évvel ezelıtt Kanada sarkvidéki szigeteinél volt megtalálható, ma azonban folyamatosan vándorol Oroszország sarkvidéki tájai felé.

Valamely irány északi iránnyal bezárt szögét az északi iránytól függıen nevezzük el. Csillagászati azimut (ACs) a csillagászati északkal, mágneses azimut (Am) a mágneses északkal, irányszög (δ) a geodéziai északkal bezárt szög. Az északi irányok közötti szög megnevezésére is külön neveket használunk: 1. Meridián konvergencia: a csillagászati észak és a geodéziai észak közötti szög. Pozitív, ha a geodéziai észak a csillagászati északtól keletre tér el. ACs=δ+µ

(6.1)

2. Mágneses deklináció: nevezik másképpen mágneses elhajlásnak is. A csillagászati észak és mágneses észak közötti szög. Pozitív, ha a mágneses észak kelet felé tér el a csillagászati északtól. ACs=Am+∆

(6.2)

3. Mágneses tájékozási szög: a mágneses északi irány és a geodéziai északi irány közötti szög. Pozitív, ha a térképi északi irány a mágneses északi irányhoz viszonyítva kelet felé tér el. Am=δ+κ

(6.3)

Tehát a mágneses tájékozási szög a meridián konvergencia és a mágneses deklináció különbsége:

Κ=µ-∆

(6.4)

A mágneses északi irány helyzete periódikusan változik. Évszázados változás a mágneses mezınek Föld körüli változásából adódik eddig nem tisztázott okból. Ennek változása Magyarországon átlagosan 6-8 ívperc (1 ívperc 1/21600-ad része a teljes kör kerületének) évenként és iránya az óramutató járásával ellentétes. A napi változást a Földrıl kívülrıl érkezı elektromos sugárzások okozzák. Ennek értéke 5-15 perc is lehet, a legnagyobb értéket dél körül veszi fel, a legkisebbet pedig reggel és este. A napi ingadozást az évszakok is befolyásolják, nyáron nagyobb, télen pedig kisebb mértékő. Ha a déli órákban nem végzünk méréseket, a napi hatástól el lehet tekinteni. Ugrásszerő változásokat elektromos viharok (az elektromos tér gyors idı-és térbeli változása) idézhetnek elı, ezek 1-2 fokos eltérést is jelenthetnek, ezért ilyen esetben nem szabad mérni. Állandó, helyi zavarokat okozhatnak a környezetben lévı, nagy tömegben elıforduló mágneses anyagok vagy kızetek. Ezeket a helyi zavarokat mágneses anomáliáknak szoktuk nevezni. A mágneses mőszerek emiatt nem tartalmazhatnak mágneses anyagot, és nem használhatjuk olyan környezetben, ahol mágneses anyagok vannak beépítve (vasbeton épület, vasút, elektromos vezetékek stb.).

6.1.1 Mágneses tájoló és busszola A mágnestő, ha forgó csapra helyezzük, a Föld mágneses erıtere következtében észak-déli irányba áll be. Ha a mágnestő forgástengelyét egy osztott kör középpontjába helyezzük el, akkor ezt a legegyszerőbb mágneses azimutot mérı eszközt tájolónak nevezzük. Az osztott kört az

108

óramutató járásával ellentétesen számozzák úgy, hogy a 0-180 fokos osztás párhuzamos legyen a tájoló rajzoló élével vagy a dioptrával (6.2 ábra). A

mágneses

azimut

meghatározását

úgy

végezhetjük, hogy a tájoló rajzoló élét vagy a dioptrát a kérdéses irányba állítjuk és leolvassuk a mágnesestő helyzetét, az osztott kör külpontossága és a mágnestő külpontossága miatt mind a két végét. A leolvasás közvetlenül az irány mágneses azimutját adja. A tájolók osztott körének legkisebb osztásegysége 1 fok, így a mágneses azimutot becsléssel 6-12 perc élesen lehet meghatározni. Ha a tájolót irányzó berendezéssel is

6.2 ábra A tájoló és használata

felszerelik, akkor ezt az eszközt busszolának nevezzük. Ennek leggyakoribb kivitele a dioptrás körbusszola. Az irányzó berendezést a busszola házához rögzítik, míg az osztott kört közvetlenül a mágnestőhöz kapcsolják. A kör számozása az óramutató járásával egyezı (geodéziai pozitív forgásértelem), az irányvonal helyzetéhez tartozó mágneses azimut értékét a mőszerházon elhelyezett indexen lehet leolvasni (6.3 ábra).

6.3 ábra Dioptrás körbusszola

6.1.2 Busszolás teodolitok A

mágnestővel

egybeépített

teodolitokat

busszolás

teodolitoknak nevezzük. A busszolás teodolitok osztáskörére gyakran közvetlenül rászerelik a mágnestőt, így az osztott kör a mágnestővel együtt mozog. Az osztott kört az óramutató járásával megegyezı irányban számozzák, így ez a mőszer vízszintes köre is. Az osztott kör leemelhetı a tőrıl (arretált helyzet) és ekkor a mőszertalp részhez szorítható, így a mőszer, mint egyszerő teodolit is használható. A mőszerrıl dezarretált

helyzetben (amikor a kör a mágnestővel együtt leng) közvetlenül a mágneses azimutot tudjuk leolvasni. A busszolás teodolitokat magassági körrel is ellátják és a távcsı látómezejében tahiméter (távmérı) szálak is vannak, így a mőszer közvetlenül alkalmazható tahiméterként is. A leggyakrabban használt busszolás teodolit a Wild T0 jelő mőszer volt (6.4 ábra).

6.4 ábra A Wild T0 busszolás teodolit

109

6.1.3 Rátét busszolák A teodolitok kiegészítı felszereléseként gyakran készítenek a teodolit alhidádé oszlopára rögzíthetı rátét busszolákat. A rátét busszolák lehetnek teljes-körőek és csonka-körőek. A teljes-

körő rátét busszolákat úgy használjuk, mint a busszolás teodolitokat, tehát az irányok mágneses azimutját közvetlenül a rátét busszolán olvashatjuk le. A csonka-körő busszolák csak az északi

irány beállítására szolgálnak. Két kivitelük van: a szekrénybusszola, amely az indexen kívül néhány osztást is tartalmaz, így szögek mérésére is alkalmas, és a semmilyen osztást nem tartalmazó csı-

busszola (6.5 ábra). Geodéziai szempontból ez utóbbinak van jelentısége.

6.5 ábra Szekrénybusszola (a), csıbusszola sugármenete (b), csıbusszola látómezeje koincidenciába hozás elıtt (c), és koincidencia helyzetben (d) A mágnestő két végén egy-egy 90 fokkal felhajlított szár van, melyeket a csıbusszola végén lévı optikán keresztül kell koincidenciába hozni a teodolit vízszintes irányító csavarjával. A koincidenciába állítást az teszi lehetıvé, hogy a mágnestő felfekvı csúcsa fölött elhelyezett állótükör az észlelıhöz közelebb lévı mágnestővéget a távolabbi tővéggel összevetíti. Koincidencia állásban a távcsı irányvonala a mágneses meridiánban van, illetve azzal mindig ugyanazt a szöget zárja be. Ha ebben a helyzetben leolvassuk a teodolit vízszintes körét, rögzítettük a mágneses észak irányát, mint tájékozó irányt. A csıbusszola irányba állási pontossága 3-5 perc körül van.

6.1.4 Busszolás teodolitok használata A busszolás teodolitokat és mőszereket használatba vételük elıtt meg kell vizsgálni, hogy az alapvetı igazítási és használati feltételeknek megfelelnek-e (mőszerekkel szemben támasztott geometriai követelmények teljesülése). A körosztás középpontjának a mágnestő forgástengelyében kell lennie. Ezt több helyzetben a mágnestő két végén tett leolvasásokkal lehet ellenırizni. Az eltéréseknek mindenütt 180

foknak kell lennie. A két végen tett leolvasások számtani középértéke mentes az esetleges külpontossági hiba hatásától.

A mágnestőnek jól mágnesezettnek és a tő ágyazásának épnek kell lennie. Ezt úgy lehet ellenırizni, hogy valamilyen vastárgy közelítésével a mágnestőt többször kilendítjük és minden

kitérés után a tőnek mindig ugyanabba a helyzetbe kell visszatérnie. A mőszert óvni kell az ütésektıl és a rázkódásoktól.

110

A mágnestő mágneses tengelyének nem szabad eltérnie a mágnestő geometriai tengelyétıl, körhöz kapcsolt mágnestő esetében a 0-180 fokos osztásokhoz tartozó átmérıtıl. Ez a tő átfektetésével állapítható meg, de erre csak kivételes esetekben van lehetıség. A busszolás mőszerek használata esetén vigyázni kell arra, hogy a mőszerálláspont közelében ne legyenek vastárgyak (vaskerítés, vasúti vágány, vasbeton szerkezet, elektromos vezeték stb.). A mőszerláb vassarui nem fejtenek ki észrevehetı hatást a mágnestőre, mert alatta közel szimmetrikusan helyezkednek el. A mőszer közvetlen közelében tartózkodó mérıszemélyeknél nem lehetnek vasból készült tárgyak (pl. kulcs, bicska, kalapács stb.).

A mágneses tájékozási szöget célszerő a mérések elıtt ismert koordinátájú pontokra végzett méréssel megállapítani (6.6 ábra). Felállunk egy ismert koordinátájú alapponton és leolvassuk a mágneses északi irányt a csıbusszola koincidenciába hozása után (lm). Ezután mérünk ismert koordinátájú pontokra is irányértékeket. Számítjuk az ismert koordinátájú pontokra vonatkozó irányszögeket, majd képezzük a tájékozási szögeket, és utána pedig a súlyozott középtájékozási szöget. A mágneses tájékozási szöget a következıképpen számíthatjuk:

Κ=360-zk-lm

(6.5)

Ezt a mágneses tájékozási szöget néhány kilométeres körzeten belül bárhol használhatjuk. Ha egy ismeretlen koordinátájú ponton állunk fel, akkor az irányok irányszögét (tájékozott irányértékét) a következıképpen vezethetjük le. Leolvassuk a mágneses északi irány helyzetét a csıbusszola középre állításával (l’m) és mérjük a meghatározandó pontokra menı l’1, l’2..... Irányértékeket. Elıször számítjuk az álláspont z’ tájékozási szögét. z’=360-l’m-κ

(6.6)

Ebbıl már számítható az egyes irányok tájékozott irányértéke a következı összefüggéssel:

δ’i=li+z’

(6.7)

6.6 ábra A mágneses tájékozási szög meghatározása ismert ponton (a) és új ponton (b)

111

6.2

Giroteodolitok A giroteodolitok a csillagászati északi irány meghatározására szolgáló mőszerek. Az irány

azimutját a mőszer egy fizikai elv (perdületmegmaradás törvénye) alapján határozza meg. A mőszerek alapvetıen két részbıl épülnek fel: pörgettyő, azaz az északi irány meghatározására szolgáló egység; és a teodolit rész, azaz az iránymérésre szolgáló egység. A giroteodolitok alapelve Léon Foucault-tól (1819 – 1868) származik. 1852-ben végzett ingakísérletei bizonyították, hogy az ingaszerően felfüggesztett pörgettyő forgástengelye alkalmas az északi irány meghatározására.

6.2.1 A pörgettyő A nagy sebességgel forgó merev testet pörgettyőnek nevezzük. Gyakorlatban 4

asztatikus , erımentes pörgettyőket használunk, amelyek körszimmetrikus tömegeloszlásúak, forgástengelyük

átmegy

a

súlyponton

és

egybeesik

a

tömegszimmetria

tengellyel.

Csapágyazásuknak súrlódásmentesnek kell lennie. A giroteodolitok mőködésének a megértéséhez néhány fizikai fogalom átismétlésére van szükség. Egy körpályán mozgó tárgy impulzus

momentuma, azaz perdülete alatt a tömeg, a tengelytıl való távolság négyzetének és a szögsebesség szorzatát értjük.

Ι i = m i ⋅ ri 2 ⋅ ω

(6.8)

Forgó test esetén a testet alkotó összes elemi rész impulzus momentumát összegezni kell:

Ι = Q ⋅ω

(6.9)

A képletben Q a forgó test tehetetlenségi nyomatéka:

Q = m i ⋅ ri 2 A

tehetetlenségi

nyomaték

idı

momentum

giroteodolitok

szerinti

pörgettyőjét

az

impulzus

deriváltja. úgy

(6.10)

A

készítik,

hogy annak impulzus momentuma nagy

legyen. Ennek megfelelıen a motorok forgási sebessége 20 000-30 000 fordulat/perc körül van.

A

mai

fordulat/perc motorokat

gyakorlatban

inkább

szögsebességő alkalmaznak,

3000

szinkron

amelyek

tömege

körülbelül fél kilogramm és átmérıjük 6 cm körüli. A gyorsan forgó erımentes pörgettyő szimmetria helyzete

tengelyének, mindaddig

nem

forgástengelyének változik,

amíg

tengelyére külsı erı nem hat. Külsı erı hatására a pörgettyő tengelye kimozdul eredeti

6.7.ábra A precesszió

helyzetébıl úgy, hogy a keletkezı forgatónyomaték hatására bekövetkezı elmozdulás iránya merıleges lesz a tengely és az erıhatás irányára is. A pörgettyőnek ezt az elmozdulását precessziónak nevezzük. A pörgettyő súlypontjában ható nehézségi erı forgatónyomatékot gyakorol

4

közömbösített egyensúlyi helyzető, helyzetét megtartó, a külsı zavaró hatástól függetlenített

112

a pörgettyőnek az alátámasztással vagy felfüggesztéssel való érintkezési pontja körül. A forgatónyomaték iránya vízszintes, és hatására a pörgettyő precesszálni kezd, vagyis tengelye elmozdul a forgatónyomaték irányába. A forgástengely egy függıleges körkúp, egy úgynevezett precessziós kúp palástja mentén fog mozogni (6.7 ábra). A jelenség pontosabb megértéséhez tekintsük az 6.8 ábrát. A pörgettyő az y tengely körül forog ω szögsebességgel. Ugyanilyen irányú Q0 impulzusnyomatéka is. Forgassuk el kereket az x tengely körül egy kis ωF szögsebességgel. ∆t idı elteltével a forgástengely új, az eredetivel ∆κ szöget bezáró

helyzetbe

kerül.

Az

impulzusnyomaték döntı része a kerék saját tengely körüli forgásából adódik, mert az x tengely körüli lassú forgásának járuléka csekély. Nagysága nem változik meg, viszont iránya kis ∆κ mértékben eltér az eredetitıl. Az eltérés nagysága:

6.8 ábra A T forgatónyomaték származtatása

∆Q = Q0 ⋅ ∆κ

(6.11)

Ennek következtében fellép egy T forgatónyomaték, amely az impulzusnyomaték idıbeli változásának mértéke.

T=

∆Q Q0 ⋅ ∆κ = = Q0 ⋅ ω F ∆t ∆t

(6.12)

Ha a különbözı mennyiségek irányát is figyelembe vesszük, láthatjuk, hogy ha ωF az x tengely irányába mutat, Q az y tengely irányába, akkor T z tengely irányú lesz. Tehát a pörgettyő tengelyének

ωF tengely körüli elforgatásának hatására fellép egy forgatónyomaték, amely merıleges a pörgettyő forgástengelyére és a külsı forgatás tengelyére. A T forgatónyomaték hatására fellép egy +F és –F erıpár a T-y síkra merılegesen, mely a pörgettyő tengelyét igyekszik elforgatni. Ez az erıpár azért jön létre, mert a motor tengelyét az eredeti helyzetébıl kimozdítva azt az ωF tengely körül forgatjuk. Ez Newton harmadik törvényébıl következik, amely megköveteli, hogy egyenlı nagyságú, de ellentétes irányú erık hassanak a pörgettyőre.

6.2.2 Különféle pörgettyők A pörgettyők szabad tengely körüli forgásának stabilitása, és a forgatónyomaték hatására keletkezı precesszió és a forgástengely elfordításakor fellépı pörgettyő nyomaték a pörgettyőnek számos

felhasználási

lehetıséget

biztosít

a

mőszeriparban.

A

következı

alfejezetben

megismerkedünk a különféle pörgettyőkkel és azok alkalmazási területeivel.

6.2.2.1 Szabad pörgettyő Azért, hogy a pörgettyő impulzustengely bármilyen helyzetet elfoglalhasson, úgy kell a tengelyt felfüggeszteni, hogy mindhárom irányban szabadon mozoghasson. A három tengely lehet egy jobbsodrású derékszögő koordináta-rendszer három tengelye (6.9 ábra). Az így felfüggesztett pörgettyőt három szabadságfokúnak nevezzük. Ennek megvalósulása a kardanikus felfüggesztés.

113

A pörgettyő forgástengelyét (x) a belsı kardángyőrővel fogathatóan lehetıleg súrlódás és imbolygásmentesen csapágyazzák. Ezt ugyanilyen módon egy külsı kardángyőrőbe fogják be úgy, hogy a forgástengelyre merıleges tengely (y) körül elforgatható legyen. A külsı kardángyőrőt az y tengelyre merılegesen elhelyezett z tengellyel fogják be a külsı rendszert meghatározó keretbe. Így a pörgettyő három tengely körül foroghat, azaz három szabadságfokú pörgettyőnek nevezzük. Megjegyezzük még, hogy a pörgettyők esetében az x tengely É-D-i irányú, az y tengely NY-K-i irányú, a z tengely pedig függıleges irányú szokott lenni. A három szabadságfokú pörgettyő megtartja a

tengelyének térbeli helyzetét. Ezt a pörgettyőt állandó irány

kitőzésére,

vagy

navigálásnál

állandó

irány

tartására alkalmazzák (pl. repülı, hajó, rakéta stb.). A három szabadságfokú pörgettyő tengelye a Föld felszínén mindig ugyanazon állócsillag felé mutat. A Föld egy világőrben mozgó pörgettyőnek tekinthetı. A Föld felszínén lévı pontokat a pólushoz

viszonyítva

határozzuk

meg.

pólust

A

a

Föld

forgástengelyének megfelelıen vesszük fel, így a térbeli geocentrikus koordináta-rendszer közvetlenül kapcsolódik a Föld fizikai forgásához. A Föld a tengelye körül egy csillagnap alatt végez el egy fordulatot,

6.9 ábra A szabad pörgettyő

-5 -1

szögsebessége: 7.292*10 s . A Földdel együtt forog minden földhöz kapcsolt tárgy is, így egy földhöz kapcsolt pörgettyő, amelynek egyik szabadságfokát megkötöttük (két szabadságfokú pörgettyő), az elızıekben leírt precesszáló mozgást fog végezni. Geodéziai szempontból kétféle, kétszabadság fokú pörgettyőnek van jelentısége: 1. Inklinációs pörgettyő: földrajzi szélesség meghatározására alkalmas. A forgástengelyén kívül csak a meridián síkjában képes forogni. 2. Deklinációs pörgettyő: északi irány mutatására vagy meridián keresésére szokták használni. A forgástengelyén kívül csak a helyi vízszintes síkban foroghat. A mőszerállásponton áthaladó meridián csillagászati északi irányának meghatározására alkalmas. Ezt a fajta pörgettyőt alkalmazzák a giroteodolitokban.

6.2.2.2 Inklinációs pörgettyő Az inklinációs pörgettyő olyan két szabadságfokú pörgettyő, amelynek forgástengelye (x tengely) csak a meridián síkjában (y tengely körül) fordulhat el, azaz a z tengely mentén merevített. Az 6.10-es ábrának megfelelıen a motor impulzus nyomatéka x tengely (É-D) irányú:

Iω = Q ⋅ ω p

(6.13)

A pörgettyő a Föld forgása következtében elfordul a Föld forgástengelyével párhuzamos vektor körül egy ωF szögsebességgel, amelynek következtében fellép egy y tengely irányú (NY-K) nyomaték:

M ( inkl ) = Q ⋅ ω p ⋅ ω F ⋅ sin β

(6.14)

Ennek a nyomatéknak hatására a pörgettyő tengelye elfordul a Föld forgástengelye irányába (mert az impulzusnyomaték x irányú, forgatónyomaték y irányú, tehát az F erı, amelynek hatására a forgástengely elfordul a meridián síkjában hat). A precesszió addig tart, amíg a pörgettyő tengelye be nem fordul a Föld forgástengelyének irányába (azaz β=0), és a precessziós nyomaték megszőnik.

114

6.10 ábra Az inklinációs pörgettyő pörgetty és a horizont meghatározó berendezés Ilyen elrendezés mellett a mőszerrel a földrajzi szélesség meghatározható, vagy ez utóbbi ismeretében a vízszintes sík elıállítható. Ennek az elvnek az ismeretében készítik a horizont

meghatározó berendezéseket, amelyeknek nagy szerepe van a hajózásnál és a repülésnél. Közvetlen geodéziai felhasználást a légi felvételek készítésénél nyer.

6.2.2.3 .2.2.3 Deklinációs pörgettyő pörgetty Ha a két szabadságfokú pörgettyő olyan, hogy saját tengely (x tengely) körüli forgásán kívül

csak vízszintes síkban tud elfordulni (z tengely körül), akkor deklinációs pörgettyőrıl beszélünk (az y tengely merevített).. A Föld felszínén lévı deklinációs pörgettyő precessziós nyomatékának nyoma meghatározásához bontsuk fel a Föld forgásának szögsebesség vektorát (ωF) az állásponton

áthaladó függıleges (ωFV) és vízszintes irányú (ωFH) összetevıkre (6.11 ábra). ábra)

6.11 ábra A deklinációs pörgettyő pörgetty és precessziós nyomatékának származtatása

ω FV = ω F ⋅ sin ϕ ω FH = ω F ⋅ cos ϕ

(6.15)

115

Az ωFV függıleges irányú összetevı hatására nem keletkezik precessziós nyomaték, mert a pörgettyő z tengelyének az irányába esik. Az ωFH vízszintes öszetevıt bontsuk fel két további

részre. Egy a motor tengelyével egyezı ωFHT és egy a motor tengelyére merıleges ωFHM összetevıre.

ω FHM = ω FH ⋅ sin α = ω F ⋅ cos ϕ ⋅ sin α ω FHT = ω FH ⋅ cos α = ω F ⋅ cos ϕ ⋅ cos α

(6.16)

Ezen két összetevı közül a motor tengely irányú összetevı nem hoz létre precessziós

nyomatékot. A motor tengelyre merıleges összetevı azonban precessziós forgatónyomatékot hoz létre, amely nyomaték iránya függıleges lesz, mert az impulzus nyomaték és a szögsebesség vektor is vízszintes. A létrejövı, úgynevezett irányító nyomaték nagysága:

M P = I ⋅ ω F ⋅ cos ϕ ⋅ sin α = QP ⋅ ω P ⋅ ω F ⋅ cosϕ ⋅ sin α

(6.17)

A nagyobb irányító nyomaték eléréséhez növelni kellene a Q tehetetlenségi nyomatékot, ami a motor és a mőszer súlyának a növelését jelentené. A szögsebesség növelése elsısorban technikai nehézségekbe ütközik továbbá a mérés idıtartamát is jelentısen megnövelné. A pörgettyő irányító

nyomatéka a meridián és az x tengely közötti α szögtıl is függ. A precessziós mozgás megindulásakor a tengelyre négy precessziós nyomaték hat, ez a nyomaték a tengelyt a meridián sík felé mozdítja el. Az elmozdulás következtében csökken az α szög, és ezzel együtt a precessziós nyomaték is. A tengelyvég gyorsulása egyre kisebb lesz, sebessége pedig a meridiánál lesz a legnagyobb. A meridiánsík elérésekor a precessziós nyomaték megszőnik (α=0), de a rendszer mozgási energiája következtében tovább halad egyre csökkenı sebességgel mindaddig, amíg mozgási energiájánál nagyobb nem lesz az ellenkezı irányú precessziós nyomaték. A motor

tengelyvége a meridiánsík körül lengéseket végez, amely a fellépı veszteségek miatt egyre kisebb amplitúdójú (tágasságú) lesz. A pörgettyők gyakorlati kivitelénél a függıleges tengelyt úgy hozzák létre, hogy a motor

házát egy tartószálon felfüggesztik, és így egy függıleges önbeálló ingát hoznak létre. A felfüggesztés miatt a pörgettyő tengelye nem csak a vízszintes, hanem a függıleges síkban is lengéseket végez, így a pálya alakja egy erısen lapított ellipszisre fog hasonlítani.

A létrejövı precessziós nyomaték és a lengési idı függ az álláspont földrajzi szélességétıl. A precessziós nyomaték nagysága a pólus felé közeledve egyre csökken, azt elérve megszőnik. A lengésidı a pólus felé haladva egyre nagyobb lesz, míg a póluson végtelen naggyá válik. Ennek gyakorlati jelentısége abban rejlik, hogy a giroteodolitok pontossága az egyenlítın a legjobb, és észak felé haladva egyre kisebb lesz. A pontosság csökkenésével együtt nı a mérés idıtartama is, ezért északi korlátként a giros mőszereket a 70-dik szélességi fokig szokták használni.

6.2.2.4 A giroteodolitok általános felépítése A geodéziai célra szolgáló giroteodolitok leggyakrabban ingás felfüggesztésőek. A Magyar Optikai Mővek annak idején számos világviszonylatban is értékelt mőszert gyártott, közöttük giroteodolitokat is: a GiB és GiC mőszercsaládot. A giroteodolitok három fı részbıl állnak (6.12 ábra): 1. teodolit-rész, amely iránymérésre szolgál, 2. pörgettyő-rész, amely iránymutatásra szolgál, 3. generátor, azaz áramátalakító a megfelelı akkumulátorral. A teodolit-rész megegyezik egy szabatos másodperc teodolittal, eltérés a könnyebb használhatóság érdekében csak szerkezeti kiegészítésben van. A vízszintes irányítócsavar végtelenített, hogy a mérés során ne jelentsen akadályt a parányi mozgatás tartományának

116

korlátozása. A mőszert el kell látni olyan eszközzel és optikával, amely lehetıvé teszi a mőszer és az osztott körök mesterséges fénnyel történı megvilágítását. A teodolithoz közvetlenül kapcsolódik a pörgettyős-rész. Ez lehet egybe épített, amikor a pörgettyő a teodolit alatt helyezkedik el, és lehet rátét pörgettyő, amikor a teodolit és a pörgettyő külön részt alkotnak, ám összekapcsolhatóak.

6.12 ábra GiB11 giroteodolit szerkezeti rajza és használat közben földalatti mérésnél A pörgettyő-rész fı része a nagy fordulatszámú, nagy tehetetlenségő pörgettyő motor. A tengelyük golyóscsapágyas, amely biztosítja a motor ingadozásmentes járását. A motort egy motorházban helyezik el, amelynek belsı tere vagy vákum, vagy héliummal töltik ki. A motorházat a súlypontja felett egy lapos téglalap keresztmetszető, acél tartószálra függesztik. Ez a tengely biztosítja a motor tengelyének vízszintes síkban való elfordulását. A tartószál csavarodási nyomatéka befolyásolja a motor lengését, ezért a tartószálat speciális tulajdonságokkal rendelkezı acélból készítik. Mérés közben ez a szál hordja a mőszer súlyát és egyben az áramvezetı szál szerepét is betölti. A felfüggesztés lehetıvé teszi a motor tengely és tartószál körüli elmozdulását, ezen kívül még elmozdulhat egy vízszintes tengely körül is, de ezt a súlypont feletti bekötés gátolja. Ezt a típusú pörgettyőt nevezik két és fél szabadságfokú pörgettyőnek. A

giroszkóppal

fejlesztése

az

egyre

felszerelt

mőszerek

magasabb

fokú

automatizáltság felé halad. A fejlıdésnek alapvetıen két iránya van: a lengéspálya különbözı helyzeteinek

automatizált módon

történı regisztrálása, továbbá az északi irányba álló

rendszerek

fejlesztése.

mőszerek

6.13 ábra A lézergiroszkóp elvi felépítése

fejlıdése

mőszerekkel

Ez

utóbbi

elsıdlegesen a elvén mőködı

rendszerek közül nyomatékkiegyenlítés

várható.

jelentısen

Ilyen

lehetne

típusú

növelni

a

mérési pontosságot, és csökkenteni a mérés idıtartamát. A közepes pontossági igények kielégítésére alkalmasak a lézergiroszkópok, amelyek fejlıdése mind a mai napig tart. Georges Sagnac (1869 - 1928) kísérletei igazolták, hogy a szögelfordulásra érzékeny lézerkeret is alkalmas az északi irány meghatározására. A lézergiroszkóp három vagy több tükre és fényvezetıje sík, zárt áramkört alkot. A zárt körben két ellentétes irányú infravörös, monokromatikus és koherens fény hald végig (6.13 ábra). A tükör fényvisszaverése és a kimenı jel okozta energiaveszteséget az áramkörbe épített optikai kvantumgenerátor folyamatosan

117

pótolja. A rendszernek az optikai győrő síkjára merıleges tengely körüli forgásakor a forgás irányában megtett fényút hosszabb, mint a forgással ellentétes irányú fényút. A nagyobb utat megtevı sugár frekvenciája csökken, a másiké nı. A keletkezı frekvencia-csúszást optikai vagy elektronikai úton meg lehet határozni. Az észak irány meghatározásához a rezonátor áramkörének síkját függıleges helyzetbe hozzák és a függıvonal körül addig forgatják, amíg a frekvenciacsúszás értéke nulla nem lesz. A Föld forgási szögsebesség vektorának az áramkör síkjának merılegesére vonatkoztatott vetülete akkor lesz zérus, amikor a lézerforrás áramkörének síkja egybeesik az állásponton áthaladó meridiánsíkkal. A gyorsan pörgı mechanikus elemek elmaradása miatt nagy stabilitású, megbízható mőszereket lehet elıállítani lézertechnika segítségével.

6.3 Hidrosztatikai szintezımőszerek Szintezéskor egy szintfelületet állítunk elı, és ettıl mérjük a pontok merıleges távolságát. A szintfelület elıállítását végezhetjük a hagyományos módon egy optikai szintezımőszer segítségével, de lehetıségünk van arra is, hogy definiáljuk a szintfelület egy elemi darabját egy a közlekedı edények elvén mőködı mőszer, a hidrosztatikai szintezımőszer segítségével. A szintfelület darabját a mőszer csıvezetékében lévı szabad folyadékfelszín hozza létre. A hidrosztatikai szintezımőszer két mérıberendezésbıl

(mérıhenger) és az azokat összekötı folyadékkal töltött rugalmas csıbıl (tömlı) áll (6.14 ábra). A mőszer sajátos szerkezeti felépítése miatt

kisebb

csak

lévı

távolságban

pontok

magasságkülönbségének meghatározására alkalmas (30-50 méter), bár

különleges

végrehajtható

kiegészítı

ilyen

berendezésekkel

mőszerrel.

Széles

vonalszintezés

folyók,

is

tengerszorosok

átszintezéséhez több száz méter vagy néhány kilométer hosszú hidrosztatikai

szintezımőszereket

is

használtak.

Érdekességként

megjegyezzük, hogy a 20. század elején, amikor Németország elcserélte Angliával Zanzibár „főszer szigetét” az észak német partok elıtt található Helgoland szigetére, akkor a kontinensrıl a szigetre ilyen hidrosztatikai szintezımőszerrel vitték át a magasságot. A 6.14 ábra A Meisser-féle hidrosztatikai szintezést már az ókorban is ismerték, és egyszerőbb hidrosztatikai formában mind a mai napig használja az építıipar. A geodéziai szintezımőszer szempontból fontos, nagy pontosságú hidrosztatikai szintezımőszerek gyártása az 1930-as években

indult meg. Mindegyik közös tulajdonsága, hogy a folyadékfelszín távolságát a ponttól egy mikrométer csavarral mozgatott tővel lehet megmérni. A mérıcsúcsot mindig felülrıl vezetik a folyadékfelszínhez, és érintkezését a folyadékkal egyszerőbb esetben szemrevételezéssel, precízebb esetben elektromos regisztrálással oldják meg. Magyarországon a gyakorlatban a Meisser-féle hidrosztatikai mőszerek használata terjedt el. A mőszer üvegbıl készült mérıhengereit elölrıl fémfoglalat védi. Ebben mozgatható a mérıcsúcs egy mikrométer csavarral. A mérıcsúcs helyzetét egy 100 mm hosszú beosztásos skálán olvashatjuk le milliméter élesen. A mikrométer dobról 0.01 mm-t közvetlenül leolvashatunk, az ezredmillimétereket pedig becsülhetjük. A mőszer méréskor egy beépített lemezen fekszik fel a speciális gömbölyő fejő csapokra. A mőszer lecsúszását szorítócsavarok és egy támasztó kengyel oldja meg. A mőszer függılegességét az állítógyőrőkre szerelt csavarok segítségével állíthatjuk be a szelencés libella középre hozásával. A mérés megkönnyítése érdekében a mőszert egy indikátor-lámpával szerelték fel, amely azonnal felvillan, amint a mérıcsúcs elérte a folyadék felszínét. Egy csıfekvéssel maximum 10 cm magasság különbség határozható meg.

118

6.4 Szabatos optikai vetítık A mérnökgeodéziai gyakorlatban, elsısorban az építıipari geodéziában gyakori feladat pontok szabatos módon történı fel- vagy levetítése, vagy az egy függılegesbe esı pontok kijelölése. Ezt a geodézia klasszikus mőszereivel és felszereléseivel nem lehet megoldani. A teodolittal vagy mérıállomással két oldalról való vetítés ugyan megoldást jelentene, azonban az építési környezet, a hely hiánya az esetek többségében ezt nem teszi lehetıvé. Ilyen típusú feladatok megoldására alakították ki a szabatos optikai vetítıket. A függıleges vetítésnek alapvetıen két formája alakult ki: a mechanikai és az optikai

vetítés. A mechanikai vetítés eszköze a függı, amelynél a zsinór jelöli ki a függıleges egyenest. Nagyobb magasságkülönbségek esetén vékony acélhuzalt alkalmaznak; 100 méteres vetítésig 0.5 mm vékony és 20-50 kg súllyal terhelhetı. Föld feletti méréskor ritkán alkalmazzák nehézkessége miatt, azonban föld alatti méréseknél a rossz látási körülmények miatt gyakrabban használják. Ebben az esetben több száz méter is lehet az átvetítendı távolság; ekkor már több száz kilogramm súlyú vetítıket használnak olajjal történı lengéscsillapítással. Az optikai vetítés elvégezhetı bármely olyan geodéziai mőszerrel, amelynek irányvonala

függılegessé tehetı. Pentaprizmák és tört okulárok segítségével egy szintezımőszer, teodolit vagy mérıállomás is alkalmas lehet vetítésre, ám a szabatos megoldások elérése miatt ezekre a feladatokra külön geodéziai mőszercsaládot hoztak létre. Az optikai vetítık fı része egy távcsı, melynek

irányvonala

szabatosan

függılegessé tehetı. A függılegessé tételhez

megfelelı

érzékenységő

libella vagy kompenzátor szolgál. Az optikai vetítık felcserélhetık mőszereivel

kényszerközpontosan a

megfelelı és

gyártók

prizmáival,

állótengelyük körül körülforgathatóak a

6.15 ábra Zenitvetítı és nadírvetítı

mőszerhibák

kiküszöbölése

érdekében. A mőszerek általában csak egyirányú vetítésre alkalmasak: felvetítık, azaz zenitvetítık; és levetítık, azaz nadírvetítık (6.15 ábra). A mőszerek elnevezése mindig arra utal, hogy hová vetítünk velük, fel, azaz a zenit irányába, vagy le, azaz a nadír irányába. A mindkét irányú vetítésre alkalmas mőszereknél egy váltóprizma teszi lehetıvé a vetítési irány megváltoztatását. Az is elıfordul, hogy egy mőszerben két távcsövet alakítanak ki, egyet a fel, egyet pedig a levetítéshez. Az optikai vetítıket a vetítés módja szerint két csoportba osztjuk: 1. síkbeli vetítık, amelyek segítségével egy függıleges sík állítható elı, 2. térbeli vetítık, amelyek egy függıleges egyenes létrehozására alkalmasak. A mai gyakorlatban gyakrabbak még a síkbeli vetítık, azaz a csak egy irányban kompenzáló vetítık, azonban az egyre bonyolultabb kompenzátor szerkezetek kialakításával a síkbeli vetítık, lassan teret fognak veszíteni a térbeli vetítıkkel szemben. A térbeli vetítık már képesek a kétirányú kompenzálásra, és ezzel jelentısen csökkentik a mérési idıtartamot, valamint a mérıszemély figyelmetlenségébıl bekövetkezı esetleges mérési hiba valószínőségét.

119

7. Hibaelmélet Ebben a fejezetben megismerkedünk a mérési hibák jelleg szerinti csoportosításával, a geodéziában használt megbízhatósági mérıszámokkal, a hibaterjedés törvényével, valamint a kiegyenlítés feladatával és az elsı kiegyenlítési csoporttal.

7.1 A mérési hibák és csoportosításuk A mérés eredménye általában nem egyezik a mérendı mennyiség valódi, hibátlan

mérıszámával. A mérés során olyan mérési eredményt kapunk, mely többé-kevésbé hibás. Hiba alatt a meghatározandó mennyiség mért és valódi értékének különbségét értjük. A mérési hibák létezésérıl fölös mérések végzésével gyızıdhetünk meg. Fölös mérés akkor keletkezik, ha több adatot mérünk meg, mint amennyi a megoldani kívánt feladat matematikailag egyértelmő meghatározásához feltétlenül szükséges. A fölös mérés elnevezésbıl nehogy félreértés származzék. Ezeket egyáltalán nem felesleges megmérni. Jelentıségük – amint a késıbbiekben látni fogjuk – fıleg pontosság növelı szerepükben van. Fölös méréseket két, egymástól jól elkülöníthetı módon állíthatunk elı. Az egyik mód ugyanannak a mennyiségnek többszöri megmérése. Egyetlen egy mennyiség meghatározására elvileg elegendı azt egyszer megmérni. Abban az esetben, ha egy mennyiséget egymástól függetlenül n-szer mérünk meg, akkor (n-1) fölös mérés keletkezik. Ha méréseinket olyan módon végeztük, hogy a mérıeszköz leolvasó képességét teljesen kihasználtuk, azt fogjuk tapasztalni, hogy az egyes mérési eredmények – a mérési hibák következtében – általában különböznek egymástól. A fölös mérések végzésének másik módja az, hogy egymással

összefüggésben lévı mennyiségek közül többet mérünk meg, mint amennyi az összefüggést (rendszerint

geometriai

feltételt)

kifejezı

egyenlet,

illetve

egyenletrendszer

egyértelmő

megoldásához szükséges. Ebben az esetben azt fogjuk tapasztalni – ugyancsak a mérési hibák jelenléte miatt -, hogy a mérési eredmények nem elégítik ki ellentmondásmentesen az egyenletet, illetve egyenleteket pl. egy síkháromszög belsı szögeinek meghatározásához elegendı két szöget megmérni, a harmadik szög mérıszáma az

α + β + ϕ = 180 o

egyenletbıl számítható. Ha mind a

három belsı szöget megmérjük, akkor egy fölös mérés keletkezik. Azt fogjuk tapasztalni, hogy a három mérési eredmény összege – a mérési hibák miatt – eltér 180 foktól. A mérési hibák a mérıeszközök tökéletlenségébıl és az észlelı hibáiból, valamint a mérés külsı körülményeinek és ezek idıbeli változásának hatásából származnak. A mérési hibákat természetük szerint több csoportba sorolhatjuk. A különféle természető hibák más módon hatnak a mérési eredményekre, és hatásukat más módon kell figyelembe venni és csökkenteni. A mérési hibákat vizsgálva, elıször a durva hibákra kell rámutatnunk, hogy ezután a további tárgyalásokból kirekeszthessük azokat.

7.1.1 A durva hiba és az álhiba Durva hibának nevezzük azt a hibát, amelyik lényegesen felülmúlja az alkalmazott mérıeszközzel és módszerrel végrehajtott mérésben még eltőrhetı legnagyobb hibaértéket. Durva hibát követünk el akkor, ha tévesen olvassuk le a méter értékét, vagy ha szögmérı mőszernél rosszul olvassuk le a fokokat, vagy nem azt a pontot mérjük, amelyik szükséges. A durva hiba oka legtöbbször az észlelı figyelmetlensége, az észleléshez szükséges koncentrálás hiánya. A durva hibával terhelt mérési eredményt nem használhatjuk fel, az ilyen mérést meg kell ismételni. A durva hibák elleni védekezésül, méréseinket mindig a leggondosabban kell végrehajtani. Gondos munka mellett is elkövethetünk véletlenül durva hibát. Ezért méréseinket célszerő a

120

körülményektıl függıen mindig úgy végrehajtani, hogy a durva hibák felfedezhetık legyenek. Erre egységes, minden esetben gazdaságosan alkalmazható végrehajtási módot megadni nem lehet, de megemlíthetjük, hogy egy ilyen gyakran használt mód a fölös mérések végzése. A mérésekben és a feldolgozásban szintén durva eltérést okoznak az un. álhibák. Álhiba az olyan

hiba,

amely

a

mérési

eredményekbıl

levezetett

értékekben

hibás

képleteknek

eredményeképpen jelentkezik. Oka lehet a mérést vagy számítást végzı személy figyelmetlensége is, de lehet a nem megfelelı mérési vagy számítási módszer alkalmazása is. Az álhibák elleni védekezésül a méréseinket és a számításokat mindig a lehetı leggondosabban, megfelelıen átgondoltan kell végeznünk. A durva hibákat kirekesztve további tárgyalásainkból, az összes egyéb mérési hibát két alapvetı csoportba: a szabályos és szabálytalan hibák csoportjába sorolhatjuk.

7.1.2 Szabályos és szabálytalan hiba Szabályos hibának azokat hibákat nevezzük, amelyeknek számértéke a mérések megismétlése alkalmával vagy állandó marad, vagy változik, de ebben egyoldalú tendencia mutatkozik. Ebbe a csoportba rendkívül sokféle mérési hiba tartozik. Magukkal az egyes mérési eljárások szabályos hibaforrásaival a mérési eljárásokat ismertetı fejezetben foglalkoztunk. A szabályos hibák néhány jellegzetes típusba sorolhatók. 1. Amelyek szabályossága abban nyilvánul meg, hogy értékük a mérések ismétlése során nem változik, állandó marad. Ezeket állandó hibának nevezzük. Ilyen jellegő szabályos hiba a fizikai távmérık összeadó állandója, a szintezı lécek talpponti hibája, a magassági szögmérés indexhibája, stb. 2. Amelyek hatása függ a mérendı mennyiség nagyságától: pl. mérıszalagok, szintezılécek komparálási hibája, fizikai távmérık frekvencia hibája, mérıszalagok meghúzásánál a húzóerı állandó hibájának hatása. Más esetben a hiba a mérendı mennyiséggel kapcsolatban lévı más mennyiségtıl függ pl. a kollimáció hiba, a fekvıtengely ferdeségi hiba hatása, amely a magassági szögtıl függ. Szintezésnél a mőszer igazítási hibájának hatása a „hátra” és „elıre” irányzás távolságkülönbségével arányos. 3. Ugyanannak a mennyiségnek az ismételt megmérésekor változik az egyes mérési eredményekbe jutó szabályos hiba számértéke, de az egyes hibák elıjele még mindig állandó. Ilyen hiba a szintezésnél a léc nem függıleges voltának (ferdeségének) a hatása, vagy szalagmérésnél a szalag vízszintes kígyózásából keletkezı hiba. A mérési eredmény értéke változhat ugyan attól függıen, hogy az egyes méréseknél milyen mértékő a mérıszalag végeinek az egyeneshez viszonyított kitérése, de mindig a ténylegesnél nagyobb mérıszámot kapunk. Így a mérési hiba elıjele mindig ugyanaz. Határesetként elképzelhetı zérus értékő hiba, amikor véletlenül minden mérıszalag vég ráesik az egyenesre, de ellentétes elıjelő hiba nem léphet fel. 4. Végül vannak olyan típusú szabályos hibaforrások, amelyeknek hatására egyes mérési eredmények hibája nemcsak a számértékre változik, hanem elıjelre is. Az egyes szabályos hibák elıjelének változása azonban olyan, hogy elıjelük túlnyomóan azonos. Ezekre a típusú szabályos hibákra csak az jellemzı, hogy összegük és így számtani középértékük is zérustól különbözı szám pl. szintezésnél a szintezési szakaszok záróhibájának összege általában pozitív a lécsüllyedés következtében.

121

Véletlen, vagy szabálytalan hibáknak azokat a hibákat nevezzük, amelyek a mérés megismétlése alkalmával mind elıjelre, mind – bizonyos határok között – nagyságra nézve is a véletlen szerint jelentkeznek. A szabálytalan hibák keletkezése nagyon sok, túlnyomóan ismeretlen hibaforrásra vezethetı vissza. Ezeknek a hibaforrásoknak az okai azok az elemi állapotváltozások, amelyek a mérés alatt a mőszerben, az észlelıben és a mérés közegében végbe mennek. Gazdaságossági szempontból gyakran ismert szabályos hibákat nem küszöbölünk ki, mert hatása az elvárt pontossági értéknél kisebb pl. hosszmérésnél a mérıszalagot gyakran kézzel húzzuk meg és így a feszítıerı nem állandó. Iránymérésnél csak egy távcsıállásban mérünk. Szintezésnél gyakran elegendı csak lépéssel kimérni a távolságot. Így az ezekbıl eredı hibákat is a szabálytalan hibák közé rendeljük ezeknél a méréseknél, annak ellenére, hogy nagyon jól ismerjük ezek kiküszöbölési módjait. A szabályos hibák bizonyos rendszerességgel, meghatározott elıjellel befolyásolják a mérési eredményeket, éppen ezért a szabályos hibák kiküszöbölésére vagy hatásuk csökkentésére törekszünk. A szabálytalan vagy véletlen hibák értéküket mind elıjelre, mind bizonyos határokon belül nagyságra is rendszertelenül változtatják. Mivel a valószínőség szerint minden mérési sorozatban egyenlıen lehetnek azonos nagyságú pozitív és negatív elıjelő véletlen (szabálytalan) hibák, nagyobb számú mérés esetén feltehetjük, hogy a mérési sorozat véletlen hibáinak középértéke és így összege is zérus. A feltevés helyessége annál valószínőbb, minél több mérésbıl áll a mérési sorozat. A valódi hiba valamely mennyiség valódi értékének és a mért vagy mérési eredménybıl levezetett értékének különbsége. A valódi értéket általában nem ismerjük, így a valódi hiba inkább csak elméleti fogalom. Valódi érték pl. egy háromszög szögeinek összege, és ha a szögeket megmértük, összegükre a valódi hiba ugyan megállapítható, de az egyes mérési eredmények valódi hibája mégis meghatározhatatlan marad. A hibaelméletben elıforduló levezetések és képletek könnyebb megértése végett a továbbiak tárgyalása elıtt célszerően egyszerősítı jelöléseket vezetünk be. Az összegzés egyszerősítı jelölése:

ε 1 + ε 2 + ... + ε n = [ε ]1n

(7.1)

amennyiben egyértelmőm az összegzés (i=1-tıl n-ig), akkor csak sima kapcsos zárójelet használunk.

ε 1 + ε 2 + ... + ε n

A középérték képzés egyszerősítı jelölése:

n

=ε

(7.2)

7.1.3 Hibaelméleti következtetések: •

A mérési eredményekben lévı valódi hiba (ε) általánosságban minden esetben egy szabályos és egy szabálytalan részbıl tevıdik össze: ε= εszabályos+ εszabálytalan

•

A szabályos hiba középértéke nem nulla, hanem valamilyen számérték; ha a szabályos hibából levonjuk annak középértékét, a maradék a szabálytalan hibához hasonlóan nulla középértékő lesz (7.1 táblázat). A szabálytalan hiba középértéke nulla (7.2 táblázat).

•

Bármely mérés hibája: ε=θ+ ∆ , ahol - ε » a valódi hiba, - θ » az állandó hiba, vagy valamilyen törvényszerőségnek engedelmeskedı szabályos hiba, - ∆ » a szabálytalan hiba.

A 7.1 táblázat a szabályos hiba középérték számítására mutat be példát. Az ε az indexhibát jelöli. Az indexhiba állandó hiba, amelynek értékei kismértékben eltérnek egymástól a mérést befolyásoló külsı körülmények, személyi hibák és a mőszer szerkezeti tökéletlensége miatt. A

122

számtani középértéke nem nulla, hanem 9.43, amelyet kilencre kerekítünk. Ha minden egyes indexhiba értékébıl kivonjuk a számtani középértéket, akkor a maradék számok középértéke már nulla lesz, illetve annyival tér el a nullától, amennyivel az eredeti számtani középértéket kerekítettük (0.43).

7.1 táblázat ε ∆=ε-c) +10 +1 +8 -1 +12 +3 +6 -3 +9 0 +10 +1 +11 +2 d)=66/7=9.43≈9 ∆ =3/7=0.43≈0 A 7.2 táblázat a szabálytalan hiba számtani középértékét mutatja be. Szabatos iránymérést végzünk háromszög szögzáróhibájának meghatározására, minden forduló elıtt elvégezzük a pontra állást újból, így az állótengely ferdeségébıl származó hiba véletlenszerő lesz, a többi fellépı szabályos hibák hatásától eltekintünk. A szögek összegének 180°-nak kell lennie. A számtani közép értéke nullához fog tartani. Minél több mérést vonunk be a számításba, annál közelebb lesz a számtani középérték a nullához.

7.2 táblázat α+β+γ 180-(α+β+γ) 179-59-50 +10 180-00-12 -12 179-59-44 +16 179-59-58 +2 180-00-02 -2 179-59-49 -11 179-59-53 +7 180-00-09 -9 180-00-01 -1 179-59-56 +4 ε-=4/10=-0.4”≈0

7.2 A pontosság és megbízhatóság megállapítására szolgáló mennyiségek Valószínőségi változónak nevezzük azokat a mennyiségeket, amelyek értékét a véletlen befolyásolja. Egy valószínőségi változó diszkrét, ha megszámolhatóan sok értéke lehet, és folytonos, ha megszámlálhatatlanul sok értéke lehet. A mérési eredmények folytonos valószínőségi változók, annak ellenére, hogy értéküket csak korlátozott élességgel határozzuk meg, mert ezen értékek végtelen sok lehetséges érték kerekítésébıl származnak. A folytonos valószínőségi változókat két tulajdonságuk vizsgálatával jellemezhetjük: az eloszlásfüggvénnyel és a sőrőségfüggvénnyel. Az eloszlásfüggvény (7.1 ábra) definíciója: Valamely ξ folytonos valószínőségi változó F(x) eloszlásfüggvénye az e=ξ<x esemény valószínőségét írja le, tehát 0≤F(x)≤1. Monoton nem csökkenı, tehát F(x1) ≤F(x2), ha x1 ≤x2. Annak a valószínősége, hogy ξ a (c, d) tartományba esik: F(d)-F(c).

123

7.1 ábra Az eloszlásfüggvény A sőrőségfüggvény (7.2 ábra) definíciója: Az f(x) sőrőségfüggvény az eloszlásfüggvény derivált függvénye, f(x)≥0, végtelen határok közötti integrálja 1-el egyenlı. Annak a valószínősége, hogy ξ a (c, d) tartományba esik:

d

∫ f ( x)dx. c

7.2. ábra A sőrőségfüggvény Az eloszlások egyike a Gauss által meghatározott, geodéziában használt normális eloszlás. Ha a valószínőségi változó értékét nagyszámú egymástól független véletlen tényezı befolyásolja úgy, hogy a tényezık külön-külön csak igen kis mértékben érvényesülnek és a hatások összeadódnak, akkor a valószínőségi változó normális eloszlású. A normális eloszlás sőrőségfüggvénye:

f ( x) =

 ( x − a) 2  1 exp −  2σ 2  σ 2π 

(7.4)

Ahol - „a” a várható érték - „σ” a szórás - „exp” a természetes logaritmus e alapjának a szögletes kitevıjő hatványa.

zárójelben megadott

A normális eloszlás sőrőségfüggvényének a képe a haranggörbe vagy más néven Gauss-

görbe. (7.3 ábra)

124

•

helyzetét a várható érték határozza meg, meg

•

alakját a szórás határozza meg, meg

•

inflexiós pontja (ahol a görbe görbületet vált) a várható értékhez képest szimmetrikusan és attól σ távolságra helyezkedik el,

•

kisebb szórású eloszlás haranggörbéje meredekebb, nagyobb szórásúé laposabb.

7.3 ábra A haranggörbe Annak a valószínősége, hogy a ξ normális eloszlású valószínőségi változó értéke a várható érték körüli és a szórás egy-, két-,, háromszorosának megfelelı szélességő intervallumba esik:

P(−σ ≤ ξ − a ≤ +σ ) = 0.6827 P(−2σ ≤ ξ − a ≤ +2σ ) = 0.9545 P(−3σ ≤ ξ − a ≤ +3σ ) = 0.9973.

(7.5)

Tehát 99.7% valószínőségő, hogy a normális eloszlású valószínőségi változó értéke a várható érték 5

körüli +/-3σ tartományba esik . A fent nevezett tételt a geodéziában a három szigma szabályként (7.4 ábra) szokták nevezni, és széleskörően alkalmazzák a kiegyenlítı számításokban. Grafikusan a következı ábrán lehet szemléltetni: kerekítve az esetek 68%-ban a valószínőségi változó (véletlen hiba) értéke a kék sávba fog esni (a szórás egyszeres intervallumába), kerekítve 95%-ban 95% a lilával jelölt sávba (a szórás kétszeres intervallumába), és 99%-ban 99% hogy a pirossal jelölt sávba (a szórás háromszoros intervalluma).

7.4 ábra A három szigma szabály 5

Tehát megállapítható, llapítható, hogy 1000 esetbıl esetb kb.997 esetben a várható értéktıll az esemény realizációja legfeljebb a szórásának 3-szorosával tér el.

125

7.2.1 A pontosság és megbízhatóság fogalma Jelöljük U-val a mérés tárgyát képezı mennyiség hibátlan értékét, L-el a mérési eredményt, εal a valódi hibát.

•

Ekkor U=L-ε illetve ε=L-U azaz

•

Valódi hiba=hibás érték – hibátlan érték.

A pontosság a valódi hiba abszolút értéke. Ugyanazon mérési eredmények közül az a pontosabb, amelyik hibája abszolút értékre nézve kisebb. Mivel a valódi hiba ismeretlen, ezért a valódi pontosság is ismeretlen, minden esetben csak közelítıleg lehet meghatározni.

Megbízhatóság: a mérési eredmények egymáshoz való viszonyát fejezi ki, azt mutatja meg, hogy mi az az intervallum, amelyen belül a mérési eredmények szóródnak (7.5 ábra). A pontosság és megbízhatóság közötti összefüggéseket a következı ábrán lehet szemléltetni:

7.5 ábra A pontosság és a megbízhatóság szemléltetése Vagyis: 1. A legvalószínőbb érték annál közelebb van a hibátlan értékhez, minél pontosabb a mérés, 2. Annál meredekebb a haranggörbe, minél megbízhatóbbak a mérések.

7.2.2 Megbízhatósági mérıszámok Valamely mennyiség meghatározására több mérési sorozatot mérhetünk. Mindegyik mérési sorozathoz tartozik egy hibasorozat. Az a mérési sorozat a megbízhatóbb, amelyiknek hibasorozata szőkebb határok között mozog, és amelyikben kisebb a nagyobb értékő hibák száma. Az egyes mérési sorozatok és az egyes sorozatokba tartozó mérések megbízhatóságának

megítélésére empirikus (tapasztalati) mérıszámok szolgálnak. Ezeket a mérıszámokat gyakorlati és elméleti megfontolások alapján önkényesen vették fel. Ezek a mérıszámok csak a megbízhatóságot jellemzik, de javító hatásuk nincs, tehát a mérési értékek vagy a végeredmény megjavítására nem használható fel. Valószínőség-számításban és matematikai statisztikában is hasonló mérıszámokat használnak. Laplace (1749 – 1827) a megbízhatóság mérıszámául az átlagos hibát (középeltérés, vagy átlagos abszolút eltérés) vezette be. Ez a véletlen hibák abszolút értékének számtani középértéke:

ϑ=Σ

∆ n

=

[∆ ]

(7.6)

n 126

Az ún. középhibát Gauss (1777 – 1855) vezette be és a kiegyenlítı számításokban általában ezt használjuk. A középhiba (szórás, standard deviáció) a véletlen hibák négyzetének középértékébıl vont négyzetgyök, jelölésére geodéziában

µ

és m használatos, matematikában a

[∆ ]

σ , vagy s bető.

2

µ=

(7.7)

n

A gyökvonásból származó ± kettıs elıjel is figyelmeztet arra, hogy a mérıszámnak javító hatása nincs, csak a megbízhatósági határaira utal. A középhiba sokkal érzékenyebb, mint az átlagos hiba. Összehasonlításul nézzünk egy számszerő példát. Legyen két hibasorozat: ε = +4, -7, -3, +7, -4 ;

ϑ= µ=

ε = -15, +4, -1, 0, +5

25 = 5,00; 5

ϑ=

139 = ±5,27; 5

µ=

25 = 5,00; 5 267 = ±7,31; 5

Az átlagos hiba a két sorozatot egyenlı megbízhatóságúnak minısíti, a középhiba ellenben megmutatja, hogy az elsı sorozat megbízhatóbb, mint a második. A középhibát rendszerint a vonatkozó mennyiség után írjuk ± elıjellel. pl.: t = 1233,162 m ± 0,014 m Egyes munkálatokban – pl. szintezéshez, asztronómiai mérésekhez – a megbízhatóság mérıszámául az ún. valószínő hibát is használják. Ennek alapgondolata az, hogy a meghatározott mennyiség valódi hibája – a valószínőség szerint – a nagyság sorrendjébe szedett hibasorozat közepén foglal helyet. Értékét a középhibából az átlagos viszony alapján szokták számítani:

... = 0,674,8498 µ A 7.6 és 7.7 képletekkel adott megbízhatósági mérıszámok és a mért mennyiség nagyságának hányadosát relatív hibának nevezzük. Ha pl. valamely t = 542,2000 m hosszúság középhibája:

µ t = ±10,2mm , akkor a relatív középhiba: u t 0,0102 = = 1 : 53157 t 542,2

(7.8)

7.2.3 A súly fogalma A középhiba fordítva arányos a megbízhatósággal. A gyakorlati számításokhoz célszerő volt egy olyan mérıszámot is bevezetni, amely a megbízhatósággal egyenes arányban áll. Ez a megbízhatósági mérıszám a súly. A súly fordítva arányos a középhiba négyzetével:

pi =

µ02 µi2

(7.9)

127

ahol

µ 02 egy mindig pozitív, dimenzió nélküli tiszta szám. A pozitív elıjelet a másodfokú hatványkitevı

biztosítja. A súly ennek megfelelıen a középhiba négyzetének reciprok értékével azonos dimenziójú 2

pozitív mennyiség, tehát, ha pl. a középhiba milliméterben adott, akkor a súly dimenziója 1/mm . Ha a súly az egységgel egyenlı, akkor

egységsúlyú

mennyiség

µ 0 számérték = µ i számérték , vagyis a µ 0

középhibájának

a

számértéke.

A

µ0

értéket

érték a a

pi = 1

súlyegység

középhibájának nevezzük. Ha ismerjük a súlyegység középhibáját, akkor a mérési sorozattal kapcsolatos bármely mennyiség középhibáját, feltételezve, hogy súlyát ismerjük:

µi =

µ0

(7.10)

pi

képlettel számíthatjuk. Ez a képlet a hibaszámítás egyik legfontosabb képlete, amely végig kísér a kiegyenlítı számítások egészén. Az a körülmény, hogy a súlyegység középhibája dimenzió nélküli, a súly pedig

dimenziós, lehetıvé teszi, hogy egy, vagy több ismeretlennek kiegyenlítéssel való meghatározásába különbözı fajta méréseket (pl. szög- és hosszméréseket) is bevonhassunk és meghatározhassuk valamennyi mérési eredmény középhibáját is. A súly definíciója és (7.9-7.10) értelmében a mérési sorozattal kapcsolatos két tetszıleges mennyiség középhibájára és súlyára a következı arány áll fenn:

µ12 : µ 22 =

1 1 : p1 p2

(7.11)

A súlyok önmagukban csupán az egyes mennyiségek megbízhatóságának arányát mutatják. Ahhoz, hogy belılük a megbízhatóság számszerő értékére következtethessünk, legalább az egyik mennyiség, vagy a súlyegység középhibájának az ismerete szükséges. A mérési eredmények hatását a kiegyenlítéssel meghatározandó mennyiségek értékének a kialakulására, nagymértékben befolyásolja a mérési eredmények súlyának egymáshoz viszonyított aránya, a súlyarány. A kiegyenlítésben tulajdonképpen nem is a súlyok számszerő értékének, hanem egymáshoz viszonyított arányuknak van jelentısége. Ennél fogva szabadon választhatjuk meg azt a mennyiséget, amelyet egy kiegyenlítésen belül súlyegységnek kívánunk tekinteni; a súlyegység középhibájának számértéke nyilvánvalóan annak a középhibának a számértékével lesz egyenlı, amely a felvett súlyegységhez tartozik. Ha pl. mérési eredményeink középhibái:

µ1 = ±2mm

µ 2 = ±3mm

µ 3 = ±4mm

és az elsı mérést tekintjük súlyegységnek, akkor a súlyok ( µ 0

p1 =

4 ; 4mm 2

p2 =

4 ; 9mm 2

p3 =

= µ1 )

4 ; 16mm 2

Ha pedig a második mérést választjuk súlyegységnek, akkor

µ 0 = µ 2 és így

128

pi =

32

p1 =

9 4mm 2

miatt

µi

p2 =

9 9mm 2

p3 =

9 16mm 2

A súlyok aránya, mint látjuk változatlan marad. Gyakran a mérési sorozatban elı sem forduló mennyiséget választunk súlyegységnek pl. abból a célból, hogy a súlyokra kerek értékeket vagy pedig az egységtıl lehetıleg ne nagyon eltérı értékeket kapjunk. Így pl. ha az elıbbi adatokhoz súlyegységnek a 12” középhibájú mennyiséget választjuk, akkor a

p1 =

144 = 36mm −2 ; 4

p2 =

144 = 16mm − 2 9

µ 02 µ i2

pi =

p3 =

miatt

144 = 9mm −2 16

Az arányok most is változatlanul ugyanazok, mint az elıbbiekben. Az is magától értetıdik, hogy a (7.10) képletet alkalmazva valamely mennyiség középhibájára – függetlenül a súlyegység megválasztásától – mindig ugyanazt az értéket kapjuk. Pl. a 2. mérési eredményre a három változatnak megfelelıen a

µ2 =

2 4 9

= ±3mm;

µ i = µ 0 / pi

=

3 9 9

képlet alapján

= ±3mm;

=

12 144 9

= ±3mm

7.2.4 Közelítı súlyok felvétele a gyakorlatban gyakrabban elıforduló mérésekhez Hosszmérési eredmények középhibáját a távolság függvényében szokás felvenni úgy, hogy a hosszmérés középhibája a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekszik (az egységnyi távolság mérésének középhibája):

µt = t ⋅ µe

(7.12)

A súlyok arányát

1 1 1 pe : pt1: pt 2 = : : t t1 t 2

(7.13)

Hosszméréshez a súlyegységet a mérendı távolságnak megfelelıen 10; 100; vagy 1000 méteres távolságban célszerő felvenni. Ha a legutóbbi távolságot vesszük súlyegységnek, akkor az

me értéket

129

kilométeres középhibának nevezzük és

m km -rel jelöljük. Optikai távmérés esetén is a mérıszalaggal

való hosszméréshez hasonlóan járunk el.

Fizikai távmérésnél a mérımőszerek prospektusai megadnak a távmérés pontosságára vonatkozóan egy távolságtól független, és egy attól függı hiba értéket is (pl. 2mm+2ppm). Ennek jelentése, hogy minden távolság mérése 2mm-es pontossággal jellemezhetı, plusz ehhez még hozzájön kilométerenként 2 mm. Amennyiben a mért távolság kisebb vagy nagyobb, mint 1 km, úgy a 2mm távolságtól függı hiba arányos része jellemzi a távmérést.

Szintezési vonalban a középhiba értékét a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekedınek tekintjük.

µ sz = t µ e

(7.14)

Ennek megfelelıen a súlyok arányát

pe : p sz1 : p sz 2 =

1 1 1 : : te t2 t3

(7.15)

A súlyegységet 100 m; 1 km, esetleg 10 km egységben szokás felvenni. Trigonometriai magasságmérésnél – ha a számított magasságkülönbségeket tekintjük mérési eredménynek, a meghatározott magasságkülönbség megbízhatósága:

µ m = tµ e

(7.16)

a súlyok aránya:

p1 : p 2 : p3 =

1 t2

2

:

1 t3

(7.17)

2

A teodolittal való irányzás, iránymérés irányértékeit vagy egyenlı súlyúnak vesszük, vagy pedig az irányhosszak arányában súlyozzuk. Az utóbbi esetben célszerő súlyegységnek az 1 km hosszú irányt választani. Ha a számításban különféle dimenziójú mennyiségek együtt fordulnak elı, akkor ezek súlyát a

µ 02 pi = 2 µi képlet alapján számítjuk úgy, hogy az összes mérési eredménynél ugyanazt a a

µi

µ 02 értéket választjuk,

értékét pedig abban a dimenzióban helyettesítjük be, amibe a hozzá tartozó javításokat is fogjuk

számítani.

7.2.5 Két változó kapcsolatának jellemzése Geodéziai mérések esetén sok esetben nem egyetlen számértékkel jellemezzük a mérési eredményeinket, hanem gyakran két (esetleg több) egymással kapcsolatos mennyiséget mérünk pl. szabatos hosszmérések esetén mérjük a hımérsékletet is, vagy épület süllyedések esetén mérjük az épületben lévı csapok süllyedését és ezekhez igen szorosan kapcsolódik a mérés idıpontja. Két változó kapcsolatának jellemzésére a matematikából megismert kovariancia és

korrelációs

együtthatók

értékét

használjuk.

Ezek

a

számértékek

a

középhiba

(szórás)

számértékével kapcsolatosak.

130

A kovariancia értékét x és y mérési eredmények között

[ε ε ]

c xy =

x

y

(7.18a)

n

kifejezés jelöli, ahol εx az x és εy az y mennyiség valódi hibája. A kovariancia értéke tetszıleges szám lehet. A c dimenziós szám függ a hibák nagyságától is, ezért a kapcsolat becslésére közvetlenül nem használható. Ha a kovariancia értékét redukáljuk az x és y mennyiség középhibájának

µx

és

µy

szorzatával, akkor a korrelációs együttható értékéhez jutunk.

r=

c

(7.18b)

µxµy

Az r korrelációs együttható értéke +1 és -1 közötti dimenzió nélküli szám. Ha x és y között lineáris kapcsolat áll fenn, akkor r = +1; -1. Ha az r értéke 0, akkor a két mennyiség nem korrelált egymáshoz viszonyítva. Az r = 0 érték nem jelent függetlenséget, mert lehet, hogy az egyik változó növekedésével 2

a másik változó középhibája növekszik. Használjuk még az r értékét is, amelyet determináltsági koefficiensnek nevezünk, és azt mutatja meg, hogy az egyik mennyiség változásából mennyire lehet következtetni a másik mennyiség változására. Mivel a 7.18a képletben nem ismerjük a valódi hibákat, ezért c és r kiszámítására tapasztalati értékeket használunk. Ha x és y a mért értékek és *e és f) a

számtani középértékek:

,

@*  *e  · f  f)C 1 , & g · h g  "

@gi jge k C j

(7.18c)

@f  f) C h  l 1

Az xi és yi ponthalmazra a legjobban illeszkedı egyenest regressziós egyenesnek (mintapélda 68. oldal) nevezzük. Három lehetısége van: 1. Az x koordináták hibátlanok, csak az y koordináták kapnak javítást. A javítások párhuzamosak az y tengellyel. 2. Az y koordináták hibátlanok, csak az x koordináták kapnak javítást. A javítások párhuzamosak az x tengellyel. 3. Mind a két koordináta hibás. A javítások merılegesek az egyenesre. A három egyenesre jellemzı, hogy átmennek a ponthalmaz súlypontján, az 1-es és 2-es megoldás közötti szöget nevezzük regressziós szögnek, a 3-dik megoldás mindig ezen belül van, ahhoz az egyeneshez közelebb, amelynek irányszöge jobban eltér a 45°-tól. Geodéziai gyakorlatban, amennyiben xi és yi mértékegysége azonos, a 3-dik megoldást használjuk (pl. vízszintes koordináták), amennyiben különbözı a mértékegységük, úgy az 1-es vagy 2-es megoldást (pl. süllyedésmérés: magasságok és idıpont). Az 1-es megoldás esetében: Az egyenes iránytangense:

 

@gi jge ·hi jh)C @gi jge k C

131

m  7&,-.| |

Az egyenes iránya:

oph · ph q  @g

A javítások négyzetösszege: ahol

tN-  tN- u

x y v*w  * 2

x  · *w  * x q ofw  f

A súlyegység középhibája:

A javítások: ph  *  *e  ·   f  f) A 2-es megoldás esetében:

x y v*w  * 2

 *  *e 

A 3-as megoldás esetében: Az egyenes iránytangense: Az egyenes iránya: és A javítások négyzetösszege: ahol

opf·pf q

u

j

i

@pg · pg C  @h

x  · *w  * x q ofw  f

Bk

z{  "

2

m  7&,-.| |

ahol

A javítások: pg 

x y vfw  f

i

A javítások négyzetösszege:

hi jh)

x  · f  f x q o*w  * w

rsU

)k C i jh

x  · f  f x q o*w  * w x y vfw  f z{  "

2

@p* ·p* C

(7.19b)

u

j

a  -.Ha

-.2a  @g jgeik Cj@hi jh)k C ·@g jge ·h jh)C i

Ha  90  a

@p{ · p{ C 

i

ogi jge k qWohi jh)k qj|

(7.19c)

x  · ~f  f x q  @*w  * x 2 C  @~f  f x }  "2 · o*w  * w w

A súlyegység középhibája:

(7.19a)

oh jh)k q

Az egyenes iránya:

A súlyegység középhibája:

k i jge  C

  @g jgei·h jh)C

Az egyenes iránytangense:

tN-  tN- u

rsU

z{  "

A javítások: p{  *  *e  · wHa  f  f) · ,€Ha

op0 ·p0 q j

2

C

2

Egyszerőbb a számítás abban az esetben, ha az R→P funkciót használjuk a számológépen (Pol vagy tθ funkció) és ∆x helyére @*  *e  C  @f  f) C visszük be, ∆y helyére pedig 2 ·

@*  *e  · f  f)C értéket. Ekkor az elsı eredmény W lesz, a második pedig 2φ3.

A lineáris regressziót gyakran alkalmazzuk a geodéziai problémamegoldásban, például

mozgásvizsgálatoknál vagy a távmérı egyidejő összeadó és szorzóállandó meghatározásánál alapvonalon végzett mérések esetében (68. oldal).

132

7.2.6 Mintapéldák lineáris regressziós egyenes paramétereinek meghatározására 1. Adottak egy P pont öt különbözı idıpontban meghatározott vízszintes koordinátái. Határozza meg a P pont mozgását leíró lineáris regressziós egyenes paramétereit! Ssz. 1 2 3 4 5 Középérték

yi 14.20 14.18 14.30 14.25 14.23 14.23

xi 30.42 30.49 30.39 30.41 30.42 30.43

x yi- -3 -5 +7 +2 0 1

x xi-‚ -1 +6 -4 -2 -1 -2

Mivel y és x mértékegysége azonos, ezért a 3. típusú megoldást kell felhasználnunk az egyenes paramétereinek meghatározásánál, azaz amikor a javítások merılegesek az egyenesre. Elsı lépésben a Microsoft Excel program segítségével illesszünk egy egyenest a ponthalmazra, majd határozzuk meg az egyenes egyenletét és a determináltsági koefficienst.

A számított paraméterek: sx=3.808, sy=4.664, c= -14.75, r= -0.830 Det=1565 Az egyenes iránya:φ3=128-05-46 Az egyenes iránytangense: m3= -1.276 A javítások négyzetösszege: 11.744 W=121.511 A súlyegység középhibája: 2.661 Egy pont megbízhatósága: 2.661 cm Javítások az egyes pontokhoz tartozóan:

Ssz. 1 2 3 4 5 ∑

v0 [cm] -2.64 1.64 1.17 -0.34 -0.79 -0.96

133

2. Adottak egy M pont nyolc különbözı idıpontban meghatározott magasságai. Határozza meg az M pont mozgását leíró lineáris regressziós egyenes paramétereit! Dátum

Ssz. (y) mi (x)

2009.10.25. 2010.03.20. 2010.10.02. 2011.03.12. 2011.09.28. 2012.03.10. 2012.10.18. 2013.03.12. Középérték

1 2 3 4 5 6 7 8 4.5

105.346 105.338 105.332 105.325 105.321 105.320 105.317 105.317 105.327

x xi-‚ x yi- [mm] -3.5 19 -2.5 11 -1.5 5 -0.5 -2 0.5 -6 1.5 -7 2.5 -10 3.5 -10 0 0

Mivel az adatok mértékegysége különbözı (dátum és magasság), és az y tengelyen a dátumokat ábrázoljuk, az x tengelyen pedig a magasságokat, ezért a 2-es típusú megoldást kell választanunk. Ekkor csak a magasságok kapnak javítást, azaz a javítások az x tengellyel párhuzamosak, az y koordináták (dátum) hibátlanok. Elsı lépésben a Microsoft Excel program segítségével illesszünk egy egyenest a ponthalmazra, majd határozzuk meg az egyenes egyenletét és a determináltsági koefficiens értékét. A dátumokat a sorszámmal helyettesítjük.

A számított paraméterek: sx=2.449, sy=10.664, c= -24.86, r= -0.952 Det=3156 Az egyenes iránytangense: m2= -0.2414 Az egyenes iránya: 103-34-14 A javítások négyzetösszege: 75.14 A súlyegység középhibája: 3.539 Egy pont megbízhatósága: 3.539 mm Javítások az egyes pontokhoz tartozóan:

Ssz. 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑

vx [mm] -4.501 -0.644 1.214 4.071 3.929 0.786 -0.356 -4.499 0 134

7.3 A hibaterjedés fogalma A hibaelmélet kimondja, ha hibával terhelt mennyiségekbıl valamilyen ismert függvény vagy függvények segítségével újabb mennyiségeket határozunk meg, akkor azok is hibával terheltek. A

hibaterjedés törvénye azt fejezi ki, hogy a meghatározó adatok megbízhatósági mérıszámainak ismeretében hogyan határozhatjuk meg a meghatározott mennyiségek megbízhatósági mérıszámait. Ha a geodéziai mérési eredmények független valószínőségi változónak, akkor a mérési eredmények függvényei is független valószínőségi változók. A hibaterjedés törvénye lehetıséget ad, hogy a függvények megbízhatósági mérıszámait meghatározzuk. A mért mennyiségek jellemzésére geodéziában a középhiba értékét használjuk, így hibaterjedés esetén is a meghatározott mennyiség középhibáját határozzuk meg.

7.3.1 Hibaterjedés lineáris függvények esetén Tétel: Egy állandó számmal való szorzás esetén a szorzat középhibáját úgy kapjuk, hogy a mért mennyiség középhibáját megszorozzuk a megadott állandó számmal. A függvénykapcsolat U=a×x, az x mennyiségre végzett mérések eredményei: x1, x2, ....xn. Helyettesítsük be a mérési eredményeket az eredeti függvénykapcsolatba. Mivel n darab mért mennyiségünk van, ezért n darab ilyen függvénykapcsolatot tudunk felírni.

U1 = a ⋅ x1 U 2 = a ⋅ x2 ................ U n = a ⋅ xn Az egyes U értékek valódi hibái: εU1, εU2,... εUn, a mérési eredmények valódi hibái: εx1, εx2,... εxn . Ekkor:

U1 + ε U 1 = a ⋅ ( x1 + ε x1 ) U 2 + ε U 2 = a ⋅ ( x2 + ε x 2 ) ..................................... U n + ε Un = a ⋅ ( xn + ε xn ) de a ⋅ x1 + ε U 1 = a ⋅ x1 + a ⋅ ε x1 a ⋅ x2 + ε U 2 = a ⋅ x2 + a ⋅ ε x 2 ......................................... a ⋅ xn + ε Un = a ⋅ xn + a ⋅ ε xn vagyis

ε U 1 = a ⋅ ε x1 εU 2 = a ⋅ ε x2 .................. ε Un = a ⋅ ε xn

135

Négyzetre emelve, majd összegezve:

ε U2 1 = a 2 ⋅ ε x21 ε U2 2 = a 2 ⋅ ε x22 .................... 2 ε Un = a 2 ⋅ ε xn2

összegezve :

[ε ] = a ⋅ [ε ] 2 U

Jobb és bal oldalt osztva n-el:

2

2 x

[ε ] = a ⋅ [ε ] 2 U

2 x

2

n

n

De a Gauss-féle középhiba képlete miatt:

[ε ] = µ 2 U

n

[ε ] = µ 2 x

n

2 U

2 x

µU2 = a 2 ⋅ µ x2 µU = a ⋅ µ x

(7.20)

Ezzel bebizonyítottuk, hogy egy állandó számmal való szorzás esetén a szorzat középhibáját úgy kapjuk, hogy a mért mennyiség középhibáját megszorozzuk a megadott állandó számmal.

Tétel: összeg vagy különbség középhibájának négyzete egyenlı az egyes tagok középhibájának négyzetösszegével. Legyen a függvényünk: U=x+y, a mérési eredmények: x1, y1, x2, y2, ... xn, yn. Az egyes U értékek valódi hibái: εU1, εU2,... εUn, a mérési eredmények valódi hibák: εx1, εy1, εx2, εy2, ... εxn, εyn. Ekkor:

U 1 = x1 + y1 U 2 = x2 + y 2 .................. U n = xn + y n és U 1 + ε U 1 = ( x1 + ε x1 ) + ( y1 + ε y1 ) U 2 + ε U 2 = ( x2 + ε x 2 ) + ( y 2 + ε y 2 ) ................................................. U n + ε Un = ( xn + ε xn ) + ( y n + ε yn ) de x1 + y1 + ε U 1 = ( x1 + y1 ) + (ε x1 + ε y1 ) x2 + y2 + ε U 2 = ( x2 + y2 ) + (ε x 2 + ε y 2 ) .......................................................... xn + yn + ε Un = ( xn + yn ) + (ε xn + ε yn ) tehát

ε U 1 = ε x1 + ε y1 εU 2 = ε x2 + ε y2 ...................... ε Un = ε xn + ε yn

136

Négyzetre emelve:

ε U2 1 = ε x21 + 2 ⋅ ε x1 ⋅ ε y1 + ε y21 ε U2 2 = ε x22 + 2 ⋅ ε x 2 ⋅ ε y 2 + ε y22 ......................................... 2 2 = ε xn2 + 2 ⋅ ε xn ⋅ ε yn + ε yn ε Un

összegezve

[ε ] = [ε ]+ [2 ⋅ ε ⋅ ε ]+ [ε ] [ε ] = [ε ] + [2 ⋅ ε ⋅ ε ] + [ε ] 2 U

2 x

x

2 y

y

2 U

2 x

x

n

n

n

2 y

y

n

Mivel εx és εy ugyanolyan valószínőséggel lehet pozitív vagy negatív, ezért ha n a végtelen felé tart:

[2 ⋅ ε

⋅ε y

x

n Ekkor:

]→0

[ε ] = [ε ] + [ε ] 2 U

2 x

2 y

n de

n

n

[ε ] = µ ; [ε ] = µ ; [ε ] = µ 2 U

n tehát

2 U

2 x

n

2 y

2 x

n

2 y

µU2 = µ x2 + µ y2 (7.21)

µU = ± µ x2 + µ y2

Azaz tetszıleges lineáris függvény középhibája, ha a függvény alakja U=±ax±by ±cz ±... ±const:

µU = ± (a ⋅ µ x ) 2 + (b ⋅ µ y ) 2 + (c ⋅ µ z ) 2 + ...

(7.22)

ha

µ x = µ y = µ z = ... = µ µU = ± µ ⋅ a 2 + b 2 + c 2 + ...

(7.23)

7.3.2 Hibaterjedés nem lineáris függvények esetén Nem

lineáris

függvények

középhibája:

a

legegyszerőbben

valamilyen

lineáris

függvényre vezetjük vissza Taylor-sorba fejtéssel; csak a lineáris tagokat tartjuk meg, és ezekre alkalmazzuk a fent megismert törvényszerőségeket. A hibaterjedés tehát alkalmazható 6

minden olyan függvényre, amely folytonos, differenciálható és Taylor-sorba fejthetı. A csak

6

A Taylor-sor általános összefüggése: K*  ∑‡ {

ƒ „ ·… !

· *  7

137

lineáris tagok megtartása és az összes többi felsırendő tag elhanyagolása megengedhetı közelítést jelent. Legyen U ismeretlen mennyiség a megmért x, y, z... mennyiségek tetszıleges f függvénye, ezek valódi hibái εU, εx, εy, εz ..., középhibái µU, µx, µy, µz ... A függvénykapcsolat: U=f(x, y, z...). Az x, y, z ... mennyiségek meghatározására általában n számú mérést végzünk, így az eredmények x1, y1, z1...,x2, y2, z2...,xn, yn, zn..., ezek valódi hibái εx1, εy1, εz1 ..., εx2, εy2, εz2..., εxn, εyn, εzn... .Ha ezeket behelyettesítjük az f függvénybe, U értékére különbözı eredményeket fogunk kapni.

U1 = f ( x1 , y1 , z1 ,...) U 2 = f ( x2 , y2 , z 2 ,...) ................................ U i = f ( xi , yi , zi ,...) ............................... U n = f ( xn , yn , zn ,...) Ragadjuk ki az i-dik értéket:

U i = f ( xi , yi , zi ,...) ahol U i + ε Ui = U , xi + ε xi = x, yi + ε yi = y, zi + ε zi = z ,...

U i + ε Ui = f ( xi + ε xi , yi + ε yi , zi + ε zi ,...)

ε Ui = f ( xi + ε xi , yi + ε yi , zi + ε zi ,...) − f ( xi , yi , zi ,...) Az f függvényt sorba fejtve és csak a lineáris tagokat tartva meg:

∂f ∂f ∂f ⋅ ε xi + ⋅ ε yi + ⋅ ε zi + ... − f ( xi , yi , zi ,...) ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f ε Ui = ⋅ ε xi + ⋅ ε yi + ⋅ ε zi + ... ∂x ∂y ∂z

ε Ui = f ( xi , yi , zi ,...) +

Emeljük négyzetre, és írjuk fel i=1-tıl n-ig: 2

 ∂f   ∂f   ∂f  =   ⋅ ε x21 +   ⋅ ε y21 +   ⋅ ε z21 + ... + 2 ⋅ f x ⋅ f y ⋅ ε x1 ⋅ ε y1 + ...  ∂x   ∂z   ∂y  2

ε

2 U1

2

2

 ∂f   ∂f   ∂f  ε =   ⋅ ε x22 +   ⋅ ε y22 +   ⋅ ε z22 + ... + 2 ⋅ f x ⋅ f y ⋅ ε x 2 ⋅ ε y 2 + ...  ∂x   ∂z   ∂y  ............................................................................................................. 2

2

2 U2

2

 ∂f   ∂f   ∂f  ε =   ⋅ ε xi2 +   ⋅ ε yi2 +   ⋅ ε zi2 + ... + 2 ⋅ f x ⋅ f y ⋅ ε xi ⋅ ε yi + ...  ∂x   ∂z   ∂y  ............................................................................................................. 2

2

2 Ui

2

 ∂f   ∂f   ∂f  2 2 2  ⋅ ε xn +   ⋅ ε yn +   ⋅ ε zn + ... + 2 ⋅ f x ⋅ f y ⋅ ε xn ⋅ ε yn + ... ∂ x ∂ y ∂ z       összegezve 2

2

2 ε Un =

2

[ε ] =  ∂∂fx  ⋅ [ε ]+  ∂∂fy  ⋅ [ε ]+  ∂∂fz  ⋅ [ε ]+ ... + 2 ⋅ f 2

2 U





2 x





2

2 y





2 z

x

[

]

⋅ f y ⋅ ε x ⋅ ε y + ...

138

A valódi hibák elıjele éppen úgy lehet pozitív, mint negatív, ezért a kettıs szorzatok elıjele is részben pozitív, részben negatív, így azok összege ha a tagok száma a végtelen felé tart, zérus felé konvergál. 2

[ε ] =  ∂∂fx  ⋅ [ε ]+  ∂∂fy  ⋅ [ε ]+  ∂∂fz  ⋅ [ε ]+ ... 2

2 U

osztva n-el:



2 x





2

2 y





2 z



[ε ] =  ∂f  ⋅ [ε ] +  ∂f  ⋅ [ε ] +  ∂f  ⋅ [ε ] + ...     2

2

n

2

2 x

 ∂x 

 ∂y   

n

2

2 y

2 z

 ∂z 

n

n

de

[ε ] = µ ; [ε ] = µ ; [ε ] = µ ; [ε ] = µ ;... 2 U

2 x

2 U

n

2 x

n

2 y

2 y

n

2 z

2 z

n

2

 ∂f   ∂f   ∂f  2 2 2  ⋅ µ x +   ⋅ µ y +   ⋅ µ z + ... ∂ x ∂ y ∂ z       2

2

µU2 =  vagy

(7.24) 2

 ∂f   ∂f   ∂f  2 2 2  ⋅ µ x +   ⋅ µ y +   ⋅ µ z + ...  ∂x   ∂z   ∂y  2

2

µU = ± 

Ha a súlyokat ismerjük, akkor a számított érték súlya az ismert

µ u2 =

1 pu

µ x2 =

1 px

µ y2 =

1 py

µ z2 =

1 pz

(7.25)

kifejezések felhasználásával:

1  ∂f = pu  ∂ x

2

2

 1  ∂ f  1  ∂f  +  +     px  ∂ y  p y  ∂ z

(7.26)

2

 1  + ...  pz

alakban adható meg. Valamely függvény megfelelı középhibáját a következı lépésekben határozhatjuk meg: 1. Képezzük a meghatározandó mennyiség parciális differenciálhányadosait sorba minden mérési

eredmény

szerint

és

kiszámítjuk

ezek

értékét

a

mérési

eredmények

behelyettesítésével. 2. Szorozzuk a parciális differenciálhányadosok négyzetre emelt értékét a megfelelı középhiba négyzetével. 3. A szorzatokat összegezzük és négyzetgyököt vonunk, így kapjuk a meghatározott mennyiség középhibáját. A számítás során vigyázni kell, hogy a hosszméréseket és a hosszközéphibákat ugyanabban a mértékegységben helyettesítsük be (pl. mindent cm-ben). A szög-egységeket és szög-középhibákat radiánban kell behelyettesíteni, tehát a másodpercbe átváltott értékeket osztani kell egy radián másodpercben kifejezett értékével ρ=206265-el. A hibaterjedés törvényének felhasználása a geodéziai gyakorlatban két esetben válhat szükségessé. Az elsı eset, mikor meglévı mérési eredmények és ismert középhibák alapján becsülni kívánjuk a számított érték középhibáját. Második esetben, ha egy meghatározott középhibájú

139

meghatározás érdekében meg kívánjuk tervezni, hogy milyen módon és milyen megbízhatósággal végezzük el a méréseket.

7.3.3 Következtetések a hibaterjedés általános képletébıl Az alábbi következtetéseket a levezetések mellızése nélkül fogalmazzuk meg.

µU =

µ

számtani középérték középhibája egység súlyú mérés esetén

n pU = n ⋅ p U = a⋅x akkor µU = a ⋅ µ x

számtani középérték súlya egység súlyú mérés esetén

mérési eredmény többszöröse függvény középhibája

2

1 a = pU p x

mérési eredmény többszöröse függvény súlya

U = ax + by + cz + ... akkor

µU = a 2 µ x2 + b 2 µ y2 + c 2 µ z2 + ...

összeg függvény középhibája

1 a 2 b2 c2 = + + + ... pU p x p y p z

összeg függvény súlya

7.3.4 Példák a hibaterjedés alkalmazására 1. Egy AC hosszúságot két darabban tudtuk csak megmérni, az AB és BC darabban, mikor AB+BC=AC. A kapott értékek:AB=112,000m±0,015m és BC=108,420 ±0.050m. Mekkora AC középhibája? AC=112,000+108,420=220,420m

µ AC = ± µ 2AB + µ 2BC = ± (0,015) 2 + (0,050) 2 = ±0,052m Vagyis AC=220,420m ±0.052m 2. Egy álláspontról megmértünk két irányértéket lA-t és lB-t. Számítsuk ki a köztük lévı szöget, és annak középhibáját! lA=34-48-52 ±20”; lB=122-35-21 ±10”; S=lB-lA=87-46-29

∂S ∂S = +1; = −1 ∂l B ∂l A 2

2

 ∂S   ∂S   ⋅ µ 2A +   ⋅ µ 2B = ±22" µS = ±  ∂ l ∂ l  B  A Vagyis S=87-46-29 ±22”

140

3. Megmértük egy téglalap alakú földrészlet hosszát és szélességét. Mennyi a terület és annak a középhibája? a=20.00m±5cm; b=80.00m ±20cm T=a*b=1600.0000m2

∂T ∂T = b = 80.00m; = a = 20.00m ∂a ∂b

 ∂T   ∂T  µ T = ±   ⋅ µ a2 +   ⋅ µ 2b = ± b 2 ⋅ µ a2 + a 2 ⋅ µ 2b = ±5,7 m 2  ∂a   ∂b  2

2

Vagyis: T=1600.0000m2 ±5,7m2 Tanulság: a rövidebb oldal középhibája a hosszabb oldallal szerepel szorzatban, a hosszabb oldal középhibája pedig a rövidebb oldallal. Elméletileg ez azt jelentené, hogy a rövidebb oldalt gondosabban kell megmérnünk, mint a hosszabb oldalt, a gyakorlatban azonban minden oldat, hosszúságtól függetlenül ugyanolyan megbízhatósággal kell meghatároznunk. 4. Adott egy kör sugara, mekkora a kerületének és területének a középhibája? r=12,000m±0.005m K=2*Π*r=75.398m T=r2*Π=452.39000m2 ∂K = 2⋅π ∂r

µK = ±

(2 ⋅ π )2 ⋅ µ 2r

= ±0.0314 m

∂T = 2⋅π⋅r ∂r µT = ±

(2 ⋅ π ⋅ r )2 ⋅ µ 2r

= ±0.377 m 2

Vagyis: K=75.398m ±0.0314m; T=452.39000m2 ±0.377m2 5. Megmértük egy háromszög két szögét és egy oldalát, számítsuk ki a b oldalt és határozzuk meg a középhibáját! α=32-43-15±2”; β=59-03-21 ±5”; a=312,24 ±1cm; b=?; µb=? sin β sin α ∂b 1⋅ sin β + a ⋅ 0 sin β = = ∂a sin α sin α ∂b 0 ⋅ sin α − a ⋅ sin β ⋅ cos α − a ⋅ sin β cos α = = ⋅ = −b ⋅ ctgα ∂α sin 2 α sin α sin α ∂b 0 ⋅ sin β + a ⋅ cos β sin β cos β = = a⋅ ⋅ = b ⋅ ctgβ ∂β sin α sin α sin β

b = a⋅

2

2

2

 ∂b   ∂b   ∂b   sin β  2  2  2  5  2 µb = ±   ⋅ µ a2 +   ⋅ µα2 +   ⋅ µ β2 = ±   ⋅ (0.01) + (− b ⋅ ctgα ) ⋅   + (b ⋅ ctgβ ) ⋅   = ±1.896cm  ∂a   ∂α   sin α   ∂β   ρ"   ρ"  2

2

Vagyis: b=495.42 ±1.9cm

2

141

6. Egy háromszögnek megmértük három oldalát, határozzuk meg az α szöget és annak középhibáját! a=526.35m±1.5cm; b=843.12m ±1.5cm; c=1206.45m ±1.5cm  b2 + c2 − a 2   = 21 − 45 − 57 2 bc  

α = arccos ∂α =− ∂a

 − 2a  ⋅   b 2 + c 2 − a 2   2bc   1 −  2bc   1

2

de cos α =

b2 + c2 − a 2 2bc

ezért ∂α 1  − 2a  =− ⋅  ∂a 1 − cos 2 α  2bc  mivel sin 2 α + cos 2 α = 1 ∂α 1  − 2a  2a a =− ⋅ = = sin α  2bc  2bc sin α 2T ∂a mert 2T = bc sin α

1 ∂α =− sin α ∂b

 2b ⋅ 2bc − (b 2 + c 2 − a 2 ) ⋅ (2c + 2b ⋅ 0)  ⋅ = 4b 2c 2   2 2 3 2 1  4b c − (2b c + 2c − 2a c)   = =− ⋅ sin α  4b 2 c 2   4b 2c − 2b 2c − 2c 3 + 2a 2c)  1  2b 2 c − 2c 3 + 2a 2 c)    = ⋅  = − ⋅  4b 2 c 2 sin α  4b 2 c 2    1  2c ⋅ (b 2 − c 2 + a 2 )  1  b2 − c2 + a 2    = =− ⋅  = − ⋅  sin α  2c ⋅ 2b 2c sin α  2b 2 c   =−

1 sin α

2 2 2  a ⋅ (b 2 − c 2 + a 2 )   b2 − c2 + a2   a  b −c +a        = = − = − 2  2  = − bc sin α  ⋅  α α sin 2 sin 2 2 ⋅ b c a ⋅ ⋅ b c ab         a =− ⋅ cos γ 2T

142

∂α 1 =− ∂c sin α

[(

) ] =

 2c ⋅ 2bc − b 2 + c 2 − a 2 ⋅ 2b ⋅ 4b 2 c 2 

(

)

 

1  4bc 2 − 2b 3 + 2c 2b − 2a 2b  1  2bc 2 − 2b 3 + 2a 2b  =− ⋅ ⋅ =− = sin α  4b 2c 2 sin α  4b 2c 2   2 2 2 2 2 2 1  2b ⋅ (c − b + a )  1 c −b + a  = − =− ⋅  ⋅ = 2 sin α  2b ⋅ (2bc ) sin α 2bc 2  a c2 − b2 + a2 a =− ⋅ =− ⋅ cos β bc sin α 2ac 2T

 ∂α   ∂α   ∂α  2 2 µα = ±   ⋅ µ a2 +   ⋅ µb +   ⋅ µc = ∂ a ∂ b ∂ c       2

2

2

= ± (0.001395) 2 ⋅ 0.0152 + (−0.000735) 2 ⋅ 0.0152 + (0.001122) 2 ⋅ 0.0152 = ±0.000029028 de

µα = ±0.000029028 ⋅ ρ " = ±5.99" Vagyis: α=21-45-57±5.99”

7.4 A kiegyenlítı számítás alapelve és a legkisebb négyzetek módszere Az elızıekben már láttuk, hogy a mérési eredmények mindig hibákkal terheltek. A mérési hibák következtében, ha ugyanazt a mennyiséget úgy határozzuk meg, hogy a mérések száma több mint a meghatározáshoz szükséges mérések száma (tehát fölös méréseket is végzünk), akkor különbözı mérésekbıl számítva a meghatározandó értéket, különbözı eredményeket kapunk. A fölös mérések végzésére a gyakorlatban mindig szükség van azért, hogy az ismeretlenek meghatározására ellenırzésünk legyen. Így a meghatározott mennyiségekre mindig többféle értéket számíthatunk. Másrészt alapvetı követelmény, hogy a meghatározásokat egyértelmően hajtsuk végre. Például tekintsünk egy iránymérésekkel meghatározott alappontot, amelyet négy különbözı külsı pontból határoztunk meg. Két-két irányt kiválasztva, elvégezhetjük a pont koordinátáinak számítását elımetszéssel. Két különbözı háromszögbıl számítva, két különbözı koordináta értéket kapunk ugyanarra a pontra. Ezek az értékek nem térnek el ugyan lényegesen, de feltétlenül szükséges – a pont felhasználhatósága érdekében, - hogy a koordináta értéke egyértelmő legyen. Ilyen ellentmondással egyszerőbb esetekben is találkozhatunk pl. egy szakasz többszöri megmérése után az egymásnak ellentmondó mérési eredmények alapján egyértelmően kell megadnunk a szakasz hosszát. Az ilyen jellegő feladatokkal a kiegyenlítı számítás foglalkozik.

A

kiegyenlítı

számítás

feladata

egyértelmő.

Olyan

módon

kell

megváltoztatnunk,

megjavítanunk az egyes mérési eredményeket, hogy azok ellentmondás nélkül kielégítsék a köztük fennálló matematikai feltételeket. Ez az egyetlen kikötés azonban még végtelen sok lehetıséget hagy az ellentmondások megszüntetésére. Ezért még további feltétel szükséges a javítások végrehajtására. Ilyen feltétel

143

többféle módon felvehetı; ezek a feltételek olyanok, hogy a javítások valamilyen függvényét minimalizálják. Ennek a feltételnek a felvétele minden esetben önkényes. Ezt a feltételt Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) elgondolása alapján a következı formában szokás felvenni.

[ pvv] →

min

(7.27)

Tehát a javítások súlyozott négyzetösszege minimum legyen. Ezt nevezzük a legkisebb négyzetek módszerének. A feltétel felvehetı más formában is. Pafnutyij Lvovics Csebisev (1821 – 1894) az abszolút értékben legnagyobb javítás minimalizálását kötötte ki.

/ v max / = min

(7.28)

A (7.27) és (7.28) feltételeken kívül más feltételeket is felvehetünk és azok mindegyike más-más javítási értékrendet (javítások sorozatát) jelenti. A (7.27) feltétel alapján meghatározott értékrendszert legvalószínőbb javítási értékrendszernek nevezzük. Az így meghatározott érték a legvalószínőbb, vagy a legmegbízhatóbb érték. A (7.28) feltétel alapján meghatározott értékeket legkedvezıbb értékeknek nevezzük. A geodéziai gyakorlatban majdnem kizárólag a legkisebb négyzet-(összeg)-ek módszerét alkalmazzuk. A legkisebb négyzetek módszerének leírását elıször Legendre (1752 – 1833) francia matematikus közölte 1806-ban. Gauss elsı közlése 1809-ben jelent meg errıl a témáról. Ugyanebben az idıben az amerikai Adrain (1775 – 1843) is közli tılük függetlenül a legkisebb négyzetek módszerét (1808).A legkisebb négyzetek módszere nem nyugszik feltétlenül vitathatatlan alapokon, de a gyakorlat, mint egy hasznos elvet, eljárást általánosan alkalmazza.

7.4.1 A Gauss-féle hibatörvény A méréseket terhelı hibákra Gauss a következı hibatörvényt állította fel: 1. Egyenlı nagyságú pozitív és negatív hibák elıfordulásának valószínősége egyenlı.

V (+ ∆ ) = V (− ∆ )

(7.29)

2. A hibák elıfordulásának valószínősége a hibák nagyságának növekedésével csökken. Nagy hibák ritkábban, kis hibák gyakrabban fordulnak elı.

V (∆ )∠V (∆ + ∆ϕ )

(7.30)

ahol ∆φ a ∆ véletlen hiba kis mértékő változását jelenti. 3. A második pont alatti kifejezés szélsı értékekre értelmezve: a/ Végtelen nagyságú hiba elıfordulási valószínősége 0 V( ∞)=0

(7.31)

b/ Legnagyobb valószínősége a 0 nagyságú hiba elkövetésének van. V ( 0 ) = max

(7.32)

144

7.4.2 Egy ismeretlenre végzett közvetlen mérések kiegyenlítése A kiegyenlítés végrehajtása egyenlı megbízhatóságú (súlyú) mérési eredményekkel Közvetlennek nevezzük a mérést, ha magát a meghatározandó mennyiséget mérjük meg: pl. ha két pont távolságát kívánjuk ismerni és ezért megmérjük a két pontot összekötı legrövidebb vonaldarab (síkon egyenes darab) hosszát. Ha a mérést megismételjük, vagyis többször mérjük meg a meghatározandó mennyiséget, akkor a mérés elkerülhetetlen véletlen vagy szabályos hibái miatt általában egymástól eltérı mérési eredményeket kapunk. Ha valamennyi mérés egyenlı megbízhatóságú, akkor a meghatározni kívánt mennyiség legvalószínőbb értéke a mérési eredmények számtani közepe. Ez a legkisebb négyzetek módszerének alaptétele. A most következı levezetés ezért inkább csak példája kíván lenni annak, miként lehet általános esetben is a legvalószínőbb értéket meghatározni; egyúttal pedig arra is szolgálhat, hogy mintegy ellenırzése legyen annak, hogy a kiindulásul felvett számtani középérték tényleg megfelel a

vv

→

min.

feltételnek. A vv kifejezés a pvv általános kifejezésbıl úgy származik, hogy az egyenlı megbízhatóságú mérési eredmények közös súlyértékét vesszük fel súlyegységnek, tehát valamennyi mérésre vonatkozóan p = 1. Legyenek az egyenlı megbízhatóságú mérési eredmények:

L1 L2 ....Ln (ahol a mérési eredmények

száma: n).A legvalószínőbb javítások és négyzetük a még egyenlıre ismeretlen x legvalószínőbb érték alapján, valamint a

[vv]

érték:

v1 = x − L1

v12 = x 2 − 2 L1 x + L12

v 2 = x − L2

v 22 = x 2 − 2 L2 x + L22

…………..

……………………

v n = x − Ln

v n2 = x 2 − 2 L n x + L n2

[vv] = nx 2 − 2[L]x + [LL]

[vv] függvénynek ott van szélsı értéke, ahol az x szerinti elsı differenciálhányados zérus: d [vv] = 2nx − 2[L] = 0

A

dx

Ebbıl az egyenletbıl a legvalószínőbb érték:

x=

[L] n

vagyis a mérési eredmények számtani

középértéke. A

[vv] függvény x szerinti második differenciálhányadosa

d 2 [vv] = 2n mindig pozitív szám (n dx 2

a mérések száma), tehát a függvénynek tényleg minimuma van. Nem szabad elfeledkezni arról, hogy a

[vv]

érték valójában dimenzió nélküli mennyiség, mert az egyenlı megbízhatóságú mérések

súlyát 1-nek vesszük fel. Az ide sorolható feladatok megoldásakor a következı lépésekben kell a kiegyenlítést elvégezni:

145

1. A mérési eredmények felírása

L1 , L2 ,...Ln

2. A legvalószínőbb érték képzése

x=

3. A javítások számítása

v1 = x − L1

(7.33)

[L]

(7.34)

n

………….

(7.35)

v n = x − Ln 4. Ellenırzés 5. A javítások négyzetösszegének számítása 6. A súlyegység középhibája (dimenzió nélkül)

µo =

[v] = 0 [vv] [vv]

(7.36) (7.37) (7.38)

n −1

egy mérési eredmény középhibája

µi = µ0

(dimenziós mennyiség)

p x = [p] = n

7. A legvalószínőbb érték súlya

8. A legvalószínőbb érték középhibája (dimenziós mennyiség)

(7.39)

µx =

µ0 px

=

[vv]

n / n − 1/

(7.40)

A kiegyenlítés végrehajtása különbözı megbízhatóságú (súlyú) mérési eredményekkel Ha valamely mennyiség meghatározására különbözı megbízhatóságú méréseket végeztünk, akkor a

[ pvv] függvény minimumát kell keresnünk. Legyenek a keresett mennyiség meghatározására

közvetlenül végzett mérések eredményei: ki a legvalószínőbb javításokat és a

L1 , L2 ,.....Ln , a mérések súlya: p1 , p 2 ,....... p n . Számítsuk

[ pvv]

összeg kifejezést. A meghatározandó mennyiség

legvalószínőbb értékét x-el jelölve:

v1 = x − L1

p1v12 = p1 x 2 − 2 p1 xL1 + p1 L12

v 2 = x − L2

p 2 v 22 = p 2 x 2 − 2 p 2 xL2 + p 2 L22

…………...

v n = x − Ln

…………………………........

p n v n2 = p n x 2 − 2 p n xL n + p n L2n

[ pvv] = [ p]x 2 − 2[ pL]x + [ pLL] A függvény szélsı értékének helyét az x szerinti elsı differenciálhányadosból számítjuk:

d [ pvv] pL = 2[ p ]x − 2[ pL] = 0 ,ebbıl a legvalószínőbb érték: x = , vagyis a mérési eredmények dx P

súlyozott számtani közepe. A második differenciálhányados:

d 2 [ pvv ] = 2[ p ] dx 2 mindig pozitív szám, tehát a függvénynek minimuma van. Vizsgáljuk még a

[ pv]

értéket:

146

v1 =

v2 =

[ pL] − L [ p] 1 [ pL] − L p

[ pL] − L p

[ pL] − p L

p2 v2 = p 2

2

………………

vn =

p1v1 = p1

1 1

[ p]

[ pL] − p [ p]

2

L2

n

Ln

……………………….

pn vn = pn

n

[ pL] − p [ p]

__________________

[ pv] = [ p] [ pL] − [ pL] = 0 [ p]

Ha tehát a mérési eredmények különbözı megbízhatóságúak (különbözı súlyúak), akkor a súllyal szorzott javítások összege zérus. A kiegyenlítés lépései: 1. A mérési eredmények felírása

L1 , L2 ,...Ln

(7.41)

2. A súlyok felírása

p1 , p 2 ,... p n

(7.42)

3. A legvalószínőbb érték számítása

x=

4. A javítások számítása

v1 = x − L1 ,...v n = x − Ln

(7.44)

5. Ellenırzés

[ pv] = 0

(7.45)

[ pvv]

6. A négyzetösszeg számítása

[ pL] [ p]

(7.46)

µ0 =

7. A súlyegység középhibája 8. A legvalószínőbb érték súlya

p x = [ p]

9. A legvalószínőbb érték középhibája

µx =

µ0 px

[ pvv]

(7.47)

n −1

(7.48)

=

10. Az egyes (egységsúlyú) mérési eredmények középhibája

A 10. lépésben meghatározott

(7.43)

[ pvv] [ p](n − 1) µi =

µ0 pi

(7.49)

=

µ0 1

= µ0

(7.50)

µ i értékek, a még ki nem egyenlített mérési eredmények középhibái.

Mivel a kiegyenlített mérési eredmények, az

Li + vi mennyiségek mind egyenlık a megmért

mennyiség legvalószínőbb értékével, ezért a mérési eredmények kiegyenlített értékének középhibája megegyezik a legvalószínőbb érték középhibájával,

µ x -el. 147

7.4.3 Oda-vissza mérések kiegyenlítése Egy mennyiség meghatározására két egyenlı megbízhatóságú mérést végeztünk (pl. egy távolságot megmértünk oda-vissza irányban). A mérési eredmények: L1, L2.

•

A kiegyenlítés lépései:

d = L2 − L1 x = L1 +

d 2

d 2 d µx = 2

µ=

az észlelési differencia

(7.51)

a legvalószínőbb érték

(7.52)

a mérési eredmény középhibája

(7.53)

a legvalószínőbb érték középhibája

(7.54)

7.4.4 Számolási példák az egy ismeretlenre végzett közvetlen mérések kiegyenlítésére Egység súlyú mérések kiegyenlítése Ugyanazt a távolságot hatszor megmértük. Határozzuk meg a távolság legvalószínőbb értékét és a kiegyenlített érték középhibáját. A mérési eredmények:

159,34

159,24

159,36

159,31

159,17

159,26

A számításokat az alábbi táblázatban végezzük:

L

p

X

1

159.34

1

159.28

2

159.36

3

v=x-L (m)

v

2

µ (m)

µx (m) 0.03

-0.06

0.0036

0.07

1

-0.08

0.0064

0.07

159.17

1

0.11

0.0121

0.07

4

159.24

1

0.04

0.0016

0.07

5

159.31

1

-0.03

0.0009

0.07

6

159.26

1

0.02

0.0004

0.07

∑

955.68

6

0

0.0250

[L] = 159,28m

Kiegyenlített érték

x=

Kiegyenlített érték súlya

p x = [ p] = 6

Súlyegység középhibája

µ0 =

n

[vv] n −1

=

0,0250 = ± 0,07 5 148

µx =

Kiegyenlített érték középhibája

µ0 = ±0.03 px

Egyes mérési eredmények középhibája

µ0

(egységsúlyú mérési eredmény középhibája)

µi =

Tehát a kiegyenlített távolság és középhibája

x = 159,28 m ± 0,03 m

1=

± 0,07m

Különbözı súlyú mérések kiegyenlítése Két pont magasságkülönbségét határoztuk meg három különbözı útvonalon végzett szintezéssel, mindegyik szakaszon oda-vissza irányban is elvégezve a mérést. A mérési eredmények: L1 =

10,0413 m

L2 =

10,0428 m

t = 6 km

L3 =

10,0589 m

L4 =

10,0571 m

t = 5 km

L5 =

10,0322 m

L6 =

10,0277 m

t = 7,5 km

Szintezésnél a mérési eredmények súlyát a távolsággal fordított arányban szokás felvenni: p = 1/t A számlálóban 1 helyett bármilyen más számot is szerepeltethetünk attól függıen, hogy milyen távolságra végzett szintezést tekintünk egységsúlyú szintezésnek. A következıkben mi válasszunk 30 km távolság szintezését egységsúlyúnak, ekkor mindegyik szintezés súlya egész szám lesz.

p1 = p 2 =

30 =5 6

p3 = p 4 =

30 =6 5

p5 = p 6 =

30 =4 7,5

A számítások során minden mérési eredményt mm dimenzióban használunk fel úgy, hogy 10.0 m-t minden mérési eredménybıl elhagyunk. A súlyok dimenziója mm

−2

lesz.

A számítások az alábbi táblázatban követhetık:

Sorszám

µ0

µx

µi

dim.nélk.

dim.nélk.

mm

mm

+19,5

76

28.2

5.1

12.6

+2,4

+12,0

29

12.6

-13,7

-82,2

1126

11.5

x

vi = x − Li

mm-1

mm

mm

5

206.5

45.2

+3,9

42,8

5

214.0

58,9

6

353.4

Li

pi

p i Li

mm

mm-2

1.

41,3

2. 3.

p i vi mm-1

pi vi vi

149

4.

57,1

6

342.6

-11,9

-71,4

850

11.5

5.

32,2

4

128.8

+13,0

+52,0

676

14.1

6.

27,7

4

110.8

+17,5

+70,0

1225

14.1

∑

260

30

1356.1

-0,1≈0

3982

x=10.0000+0.0452= 10,0452 m a kiegyenlített érték. Ellenırzés:

[ pv] = 0

A számpéldában 0,1-et kaptunk, ami a számítás élességének megfelelıen 0-nak tekinthetı, mert

[ pv] = − 0,1 = 0,003mm∠ 0,1 mm p

30

µ0 =

2

[ pvv] == 28,2 n −1

p x = [ p ] = 30 mm −2

az utolsó értékes tizedesjegy fele

a súlyegység középhibája a kiegyenlített érték súlya

µx =

µ0 = 5,1mm px

a kiegyenlített érték középhibája

µi =

µ0 pi

az egyes mérési eredmények középhibája

A számítás alapján a két pont magasságkülönbsége és középhibája: m = 10,0452 m ±5,1 mm

Oda-vissza mérések kiegyenlítése Egy távolságot oda-vissza megmértünk. Az egyenlı megbízhatóságú mérési eredmények:

•

L1=100.182m, L2=100.115m

d = L 2 − L1 = −0.067 x = L1 + µ=

d = 100.149m 2

d

= ±0.047m 2 d µ x = = ±0.034m 2

7.5 Záróhibák elosztása Tehát a legvalószínőbb érték és középhibája: 100.149m±0.034m 150

Geodéziai gyakorlatban igen gyakori feladat, hogy a mérési eredmények összegének egy

megadott

számértéknek

kell

lenni.

Ilyen

feladat

az,

amikor

a

kétszeresen

tájékozott

sokszögvonalaknál a szögzáró-hibát (vagy a vonalas záróhiba Y és X irányú vetületét) elosztjuk a törésszögekre (illetve az oldalvetületekre). Felmerül ez szintezési, vagy trigonometriai magassági vonalak kiegyenlítése esetén is. Ugyanez a helyzet, amikor egy háromszögben mindhárom szöget megmérjük és a záróhiba értékét elosztjuk az egyes törésszögekre. Ezeknél a feladatoknál egy feltételi egyenletet írhatunk fel:

L1 + v1 + L2 + v 2 + L3 + v3 + ... = U ahol

L1 , L2 , L3 ...Ln

(7.55)

mérési eredmények,

v1 , v2 , v3 ...vn

mérési eredmények javítása,

U

a mérési eredmények összegének hibátlan értéke (vagy hibátlannak tekinthetı értéke).

Az ismert

L1 , L2 , L3 ... Ln mérési eredményeket, valamint az ismert U hibátlan értéket vonjuk össze

egyetlen értékké. Ezt az értéket záróhibának (∆) nevezzük.

U −

∑

n i =1

( L i + v i ) = U − ∑ i =1 L i − n

∑

∆ = U − ( L 1 + L 2 + L 3 + ... L n ) = U −

n i =1

vi = 0

∑

i =1

n

(7.56)

Li

Ez alapján a feltételi egyenlet a következıképpen írható fel:

v1 + v 2 + v3 + ....v n = ∆

(7.57)

A javítások értékét úgy kell meghatározni, hogy azok súlyozott négyzetösszege minimum legyen. Az egyes mérési eredmények súlyai legyenek rendre

p1 p 2 p 3 ... p n . Az egyes javításoknak a mérési

eredményhez tartozó súllyal fordított arányban kell lenni. Tehát a nagyobb súlyú, megbízható mérési eredményhez tartozó javítás kisebb legyen, mint a kevésbé megbízható kisebb súlyú méréshez tartozó javítás. Ez alapján

v1 =

k ; p1

v2 =

k p2

v3 =

k p3

…..

vn =

k pn

(7.58)

ahol a k egyenlıre ismeretlen számérték. Írjuk be a súlyok reciprok értékeit:

1 = qi ; pi

v1 = q1 k ;

v2 = q2 k ;

v3 = q 3 k ….

vn = qn k

(7.59)

Az 7.59 egyenletet beírva a 7.57 egyenletbe, a következıt kapjuk: q1k

+ q 2 k + q 3 k + ...q n k − ∆ = 0

(7.60)

amibıl a k értéke:

151

k=

∆ [qi ]

(7.61)

Ezután már számíthatók az egyes mérések javításai a (7.58) képletek alapján. Végül megjegyezzük, hogy a gyakorlatban a súly kifejezést ilyen esetekben gyakran a súlyok reciprok értékére is használják nem teljesen szabatosan.

Számpéldák a záróhibák elosztására

A pont

Távolság

neve, vagy

(t) ( km )

Mért magasságkülönbség ( m )

Kiegyenlített

qi = t Oda

Vissza

Közép

száma

magasságkülönbség

Magasság (m)

(m) SZINTEZÉSI VONAL KIEGYENLÍTÉSE

164 1

128,948 0,5

+2,348

-2,350

+2

2,351

131,299

-1,848

129,451

+ 2,349 2

1,0

-1,848

+1,856

+4

3

2,0

+0,420

-0,406

+8 +0,413

+0,421

129,072

4

1,5

-1,038

+1,049

+6

-1,038

128,034

+2,467

131,301

-1,852

-1,044 185

0,7

+2,468

-2,460

+3 +2,464

∑=5,7

+2,350

-2,311

+2,330

+2,353 ∆=+23 mm

TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGI VONAL KIEGYENLÍTÉSE Mért magasságkülönbség ( m ) 916 76

Magasság (m)

2

q=t 1,6

2,6

Oda

Vissza

Közép

Kiegy. mg.kül (m)

167,37

+10,36

-10,42

-2

+10,37

177,74

-15,29

162,45

+10,39 77

1,0

1,0

-15,25

+15,31

-1 -15,28

78

2,8

7,8

-6,50

+6,38

-6 -6,44

-6,50

155,95

79

2,1

4,4

+2,95

-2,90

-3

+2,89

158,84

+0,64

159,48

-5,57

153,91

+2,92 80

1,8

3,2

+0,63

-0,68

-2

923

2,5

6,2

-5,48

+5,58

-4 -5,53

∑=25,2

-13,29

+13,27

-13,28

+0,66

-13,46 ∆=-18 mm

152

7.6 A mérések megbízhatósága és a középhiba, mint a megfigyelések számának függvénye A megbízhatóság annál nagyobb, minél kisebb a középhiba, vagyis minél kisebb az a határérték, amellyel az abszolút helyes értéket megközelítettük.Legyen a legvalószínőbb érték megbízhatósága H, az egyes mérések megbízhatósága h:

H= h=

1

µx

1

a legvalószínőbb érték megbízhatósága

(7.62)

az egyes mérések megbízhatósága

(7.63)

µ

mivel 1

µx

= n⋅

1

µ

H = n ⋅h

µx =

µ n

a legvalószínőbb érték megbízhatósága mindig nagyobb, mint az egyes mérések megbízhatósága (7.64) a legvalószínőbb érték középhibája a megfigyelések számának négyzetgyöke arányában csökken

(7.65)

A 7.65 képlettel adott függvényt ábrázolva a 7.6 ábrán (µ értékének változása csak függıleges irányban tolná el a függvényt):

µx =

µ n

ha µ =1 akkor

µx =

(7.66)

1 n

7.6 ábra A középhiba és a mérés ismétlésszámának kapcsolata Következtetések: 1. A középhiba az elsı öt ismétlésig gyorsan csökken. 2. 20-24 ismétlés után alig csökken.

3. A megbízhatóság növelésére csak 5-10, legfeljebb 20-25 ismétlést célszerő végezni, ennél nagyobb ismétlésszámot csak tudományos vizsgálatok indokolnak.

153

7.6.1 A mérések ismétlésének hatása – összefüggések a súly és a középhiba között Tételezzünk fel ugyanannak a mennyiségnek a meghatározására két mérési sorozatot ugyanazzal a mőszerrel, ugyanolyan körülmények között.

µ x1 =

µ n1

; µx2 =

µ

(7.71)

n2

Mivel n1 és n2 nem egyenlı, ezért µx1 és µx2 sem egyenlı, és x1 és x2 különbözı súlyúak. A súly a megfigyelések számától függ.

µ x1 =

µ p1

; µ x2 =

µ p2

µ = µ x1 ⋅ p1 ; µ = µ x 2 ⋅ p2 µ x1 ⋅ p1 = µ x 2 ⋅ p2

a két egyenlet bal oldala egyenlı egymással

tehát p1 µ x22 = p2 µ x21 általában p1 µ 22 n1 = = p2 µ12 n2

(7.72)

7.6.2 Számolási példák 1. Egy mérésünk középhibája µ1=±10”, súlya p=1, mekkora lesz a súlya annak a három mérésnek, amelyeknek középhibája 8”, 7”, és 6”?

p1 µ 22 = p2 µ12 1 82 = ; p 2 = 1 .6 p2 10 2 1 72 = 2 ; p 2 = 2 .0 p2 10 1 62 = 2 ; p 2 = 2 .8 p2 10 2. Egy szögmérésnél a súlyegység középhibája µ0=±4.5”. Hányszor kell megmérnünk ugyanazt a szöget egy olyan mőszerrel, melynél az egyszeri mérés középhibája

µ=±11.2”, hogy a súlya szintén 1 legyen?

p1 µ 22 1 11.2 2 = ; = ; p2 = 0.16 p2 µ12 p2 4.5 2 p1 n1 0.16 1 = ; = ; n2 = 6.25 ≈ 6 p 2 n2 1 n2 154

3. Egy háromszög belsı szögeit három különbözı mőszerrel mértük. Az α szöget egy olyan mőszerrel, melynek középhibája ±2”, a β szöget olyannal, melynek középhibája ±3”, a γ szöget olyannal, melynek középhibája ±5”. Hányszor kell az egyes szögeket megmérnünk az egyes mőszerekkel, ha azt akarjuk, hogy mindhárom szögnek a súlya 1 legyen, ha a súlyegység középhibája µ0=1?

n=

µ2 µ2 = = µ2 2 1 µ0

mert µx =

µ n

azaz n α = µ α2 = 4 n β = µ β2 = 9 n γ = µ 2γ = 25

Ha tehát az α szöget 4-szer, a β szöget 9-szer, a γ szöget 25-ször mérem meg, akkor a középhibák 1”-el lesznek egyenlık, a súlyok pedig 1-el. Az eredmény olyan, mintha ugyanazzal a mőszerrel végeztem volna a mérést, mégpedig egy olyannal, melynek középhibája 1”. 4. Egy háromszögben az α szöget háromszor, a β szöget négyszer mértük. A súlyok az ismétlés számmal arányosak, mekkora lesz a γ szög súlya, és mekkora az egyes szögek középhibája, ha a súlyegység középhibája 10”?

1 1 1 1 1 7 = + = + = pγ pα p β 3 4 12 pγ =

12 = 1.714 7

és

µi =

µ0 pi

azaz 10" = ±5.77" 3 10" µβ = = ±5.00" 4 10" µγ = = ±7.64" példatár 1.714

µα =

8. Gyakorló

A mellékelt mérési jegyzıkönyv és koordinátajegyzék alapján végezze el a sokszögvonal számítását! Pontszám Áp. 2424 1000 1 1001 Áp.2425 1002

Irányérték Távolság 42-19-32 139-27-00 323-52-01

19.32

54-43-56

155

Pontszám 2424 2425 1000 1001 1002 1003

Y 648403.87 648455.04 648377.44 648362.07 648452.09 648490.82

X 264666.12 264675.06 264718.00 264654.56 264722.47 264646.87

1003 2 Áp.1 2 2424 Áp.2 2425 1

186-31-05 298-33-20 131-09-06 273-07-00

19.27

78-19-35 306-13-40

16.90

A mellékelt koordináta-jegyzék és a mérési jegyzıkönyv kivonat alapján számolja ki a sokszögvonalat! A pont száma Álláspont:35 37 1 39 34 Álláspont:38 39 3 37

I.és II. Távolság középértéke 59-58-10 80-10-09 131-45-00 180-17-00 206-57-00 216-09-10 268-47-00

33.05

A pont száma Álláspont:1 35 2 Álláspont:2 1 3 Álláspont:3 2 38

I.és II. Távolság Pontszám középértéke 34 206-41-00 35 68-27-19 57.83 37 38 307-16-00 39 107-20-02 60.49 295-44-00 91-08-05

Y

X

4935.23 4911.08 4999.62 5114.03 5005.32

5934.20 6050.80 6130.58 6069.65 5996.89

63.16

156

Álláspont : ……………………………………… Irányzott pont

……….. év …………………………….. hó ………. nap

I. távcsıállás

Közp. jav

Irányérték a

Tájékozási

II. távcsıállás

I. és II. közép

központban

szög

°

°

’

’’

’

’’

°

’

’’

°

’

r = ………………..

p⋅z (e’’)

Irányszög ’’

p

°

’

’’

e’’

E [cm]

Mért Távolság

Y

X

Számított

157

Álláspont : ……………………………………… Irányzott pont

……….. év …………………………….. hó ………. nap

I. távcsıállás

Közp. jav

II. távcsıállás

I. és II. közép

°

°

’

’’

’

’’

Irányérték a

Tájékozási

központban

szög

°

’

’’

°

’

r = ………………..

p⋅z (e’’)

Irányszög ’’

p

°

’

’’

e’’

E [cm]

Mért Távolság

Y

X

Számított

158

Pontszám

Törésszög

sinδ logsinδ

logt sinδ

Javítás

Javítás

Irányszög δn-δn-1+βn±180°

logt

Távolság t

∆Y

∆X

cosδ logcosδ

logt cosδ

°

’

„

+

-

+

-

(∆Y)

(∆X)

Y

X

Pontszám

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II.

Törésszög

sinδ logsinδ

logt sinδ

Javítás

Javítás

Irányszög δn-δn-1+βn±180°

logt

Távolság t

∆Y

∆X

cosδ logcosδ

logt cosδ

°

’

„

160

+

-

+

-

(∆Y)

(∆X)

Y

X

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II.

Lh-Le hátra

elıre

54 1K

1718 1602 1486

1503 1388 1274

1K 2K

1859 1748 1637

1653 1541 1429

2K 100

1512 1302 1094

1741 1530 1319

100 3K

1342 1254 1167

1585 1497 1409

3K 4K

1952 1631 1310

1859 1539 1219

4K 5K

1343 1228 1114

1403 1288 1173

5K 101

1633 1515 1397

1630 1513 1396

101 6K

1900 1785 1671

1939 1825 1711

6K 7K

1511 1416 1321

1648 1552 1456

7K 55

1653 1485 1317

1598 1430 1262

+

-

Szakaszvégpontok magasságkülönbsége

+

-

Javítás

Magasságkülönbség

Lécleolvasások

Távolság

Pontszám

A mellékelt ötödrendő vonalszintezés jegyzıkönyve alapján határozza meg a 100, 101 pontok magasságát! Javított magasságkülönbség A pont abszolút magassága

130.216

130.068

161

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II.

Pontszám

A melléklet negyedrendő vonalszintezés jegyzıkönyve és a magasságszámítási jegyzıkönyv felhasználásával határozza meg a 201, 202, 203-as pontok magasságát. Lécleolvasások

Oda szintezés Magasságkülönbség Lh-Le

hátra

elıre

1004 1K

2153 1953 1752

2314 2113 1912

2316 2116 1916

2152 1951 1750

1K 2K

2833 2628 2425

2511 2307 2103

2512 2307 2102

2835 2630 2425

2K 201

1953 1728 1503

1899 1675 1451

1901 1676 1451

1952 1727 1502

201 3K

1508 1390 1274

1493 1375 1257

1490 1373 1256

1509 1392 1275

3K 4K

2836 2551 2266

2414 2130 1846

2415 2131 1847

2834 2550 2266

2003 1748 1493

2114 1859 1604

2116 1862 1608

2000 1746 1492

202 5K

1314 1212 1109

1294 1191 1089

1292 1189 1086

1313 1211 1109

5K 6K

1744 1542 1342

1893 1692 1491

1890 1690 1490

1743 1543 1343

6K 203

2318 2084 1851

2220 1988 1754

2221 1988 1755

2321 2088 1855

2113 1828 1544

2249 1965 1680

2250 1967 1684

2115 1832 1549

4K 202

203 1005

+

-

Vissza szintezés Magasságkülönbség Lécleolvasások Lh-Le hátra elıre + -

162

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II.

Magasságszámítási jegyzıkönyv Pontszám

Távolság km

t2

Mért magasságkülönbség [m] oda vissza közép

Kiegyenlített magasságkülönbség [m]

Magasság [m]

1004

236.418

201 202 203 1005

236.857

Számítsa ki trigonometriai magasságmérésbıl a magasságkülönbségeket méterben centiméter élességgel a földgörbület és refrakció figyelembevételével és anélkül is. R=6378 km, k=0.13. h [m] 1.54 1.63 1.50 1.46 1.52 1.38 1.68 1.56 1.60 1.49 1.55 1.56 1.52 1.45

l[m] 1.36 1.48 1.52 1.45 1.56 1.42 1.52 1.54 1.46 1.56 1.62 1.45 1.38 1.44

d [m] 149.15 500.50 786.53 203.76 1414.26 936.42 614.26 544.48 799.02 829.43 587.52 302.25 415.14 104.96

α

z 89-56-14

0-04-11 89-58-26 -0-02-51 92-36-41 0-02-36 89-59-14 -0-05-11 91-14-20 0-09-14 89-52-58 -0-06-56 90-14-14 0-01-11

Számolja ki a magasságkülönbséget méterben centiméter élességgel a szimultán mérések módszerével. hP [m] 1.56 1.44 1.60 1.45 1.36 1.55 1.47 1.68 1.52 1.48

hQ [m] 1.52 1.55 1.54 1.48 1.48 1.45 1.36 1.25 1.45 1.56

lP [m] 1.48 1.49 1.47 1.53 1.45 1.42 1.58 1.63 1.50 1.44

lQ [m] 1.52 1.41 1.45 1.52 1.58 1.45 1.52 1.43 1.47 1.47

d [m] 4058.25 4588.52 5322.14 6879.39 4555.04 5897.74 6741.15 6325.29 5788.96 5478.96

163

zP 89-52-14

zQ 89-55-58

90-05-25

89-52-47

89-15-52

90-14-12

90-01-51

90-01-30

89-19-52

89-01-47

αP

αQ

0-01-52

0-05-46

-0-01-14

0-14-23

0-02-25

0-00-45

0-01-55

-0-00-33

-0-00-10

0-00-58

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II.

Számolja ki a magasságkülönbséget méterben centiméter élességgel a trigonometriai szintezés módszerével. R=6378 km, k=0.13. lP [m] 1.45 1.43 1.58 1.56 1.52 1.50 1.49 1.47 1.48 1.58

lQ [m] 1.54 1.50 1.48 1.47 1.56 1.55 1.56 1.58 1.50 1.50

dP [m] 4131.12 4855.25 5002.04 5858.65 4152.17 6857.49 5241.63 4013.78 4785.52 4075.14

dQ [m] 4131.05 4854.99 5002.00 5858.60 4152.30 6857.40 5241.78 4014.00 4785.90 4075.00

zP 89-59-02

zQ 89-59-58

89-58-14

90-01-41

89-25-25

89-59-52

91-41-07

89-59-36

90-05-05

89-59-52

αP

αQ

0-01-10

0-01-47

0-05-20

0-01-52

-0-01-00

0-00-55

0-01-19

-0-01-02

-0-00-58

0-01-12

Gyakorló feladatok hibaelméletbıl és az elsı kiegyenlítési csoportból 1. Egy egyenesre esı A, B és C pontok között megmértük az AB és BC távolságot. Ismerjük a mérés középhibáját. Mennyi az AC távolság és középhibája? tAB=48.96m±5cm és tBC=93.46m±3cm 2. Megmértük egy szög két szárát, az l1 és l2 irányértéket. Számoljuk ki a szög középhibáját. l1=38-43-15±10” és l2=198-07-28±8” 3. Számítsuk ki egy szög súlyát, ha a két szögszár irányértékének súlya p1 és p2! 4. Mennyi a szög középhibája, ha az irányértékek középhibája µ1 és µ2! 5. Egy háromszögben megmértük mindhárom szöget. Mennyi a háromszögzárás középhibája, ha minden szög azonos középhibájú µα=µβ=µγ! 6. Mennyi a háromszögzárás középhibája, ha az egyes pontokon iránymérés történt, melynek középhibája ±1.5”? 7. Ismerjük egy hálózatban a háromszögzárások értékét. Mennyi a mérés középhibája, ha szögmérés történt és mennyi a középhiba, ha iránymérés történt? ∆1=+3”, ∆2= -4”, ∆3=+2”, ∆4=+8”, ∆5= -7”, ∆6=+1”, ∆7= -5”, ∆8=+4” 8. Egy távmérı mőszer pontossága 3mm+2mm/km. Mennyi egy 1742.25 m távolság középhibája, ha a távolságot egyszer mértük meg? Mennyi a távolság középhibája, ha a távolságot 4-szer mértük meg és a középértéket számítottuk? Mennyi a távolság relatív középhibája az elsı és a második esetben? 9. Egy távmérı középhibája 2mm+1mm/km. Egy 3 km-es távolságot akarunk meghatározni úgy, hogy a középhibája jobb legyen, mint 1.5 mm. Hányszor mérjük meg a távolságot? 10. Egy téglalap alakú földrészlet területét határozzuk meg. A hosszabbik oldala 75.00m±10cm, rövidebbik oldala 25.00m±2cm. Mennyi a földrészlet területe és középhibája? 11. Egy kör alakú tartály térfogatát kell meghatároznunk. Kerületét tudtuk mérni, ez 28.12m±5cm. Magassága 4.82m±2cm. Mennyi a tartály sugara és középhibája? Mennyi az alapterülete és középhibája? Mennyi a tartály térfogata és középhibája? 12. Egyenesre méréskor megmérjük az egyenes kezdıpontjából a végpont és a közbensı pont közötti szöget, valamint a közbensı pontig a távolságot. Mennyi a pont távolsága az egyenestıl és mennyi a középhibája? α=0-00-25±2”, a távolság t=98.00m±10cm. 13. Trigonometriai magasságméréssel meghatároztuk egy pont magasságát. Mennyi a magasság és a középhibája? z=93-42-25±5”, tv=1842.75m±10cm, h=1.48m±1cm, l=2.93m±2cm. 14. Megmértük egy négyszöglető földrészlet sarokpontjainak koordinátáit. Határozzuk meg a területet a háromszög-módszerrel, valamint a terület középhibáját, ha a

164

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II. koordináták középhibája ±5cm. 1 (275.93, 705.49), 2 (345.04, 738.12), 3 (359.72, 759.18), 4 (299.58, 775.01) 15. Mennyi a poláris pont koordinátájának középhibája, ha az álláspont koordinátái y=1342.18, x=2428.72 és középhibájuk ±3cm, a tájékozott irányérték δ=253-1228±30”, a távolság t=150.42m±2cm. 16. Számítsuk ki az irányszög és a távolság középhibáját, ha a koordináták A(2425.38, 3842.53), B(2975.81, 3148.02) és középhibájuk 2 cm és függetlenek egymástól! 17. Mennyi az összeadó állandó középhibája, ha az ABC egyenesen mért távolságok: AB=528.328m±3mm, BC=307.749m±3mm és AC=836.105m±3mm. 18. Egy tartály térfogatát határozzuk meg. Alapterületének hossza 8.42m±2cm, szélessége 5.91m±1cm és magassága 3.59m±1cm. Mennyi a tartály térfogata és középhibája? 19. Egy háromszögben megmértünk egy oldalt és két szöget. Az oldal hossza a=573.12m±1.5cm, a szemközti szög α=49-15-24±5”, az oldalon fekvı szög β=70-3119±4”. Mekkora a b oldal hossza és középhibája? 20. Egy háromszögben megmértünk két oldalt és az egyik oldallal szemben fekvı szöget. Mennyi a másik oldallal szemben fekvı szög és középhibája? a=394.25m±2cm, α=3225-42±10”, b=457.22m±3cm. 21. Egy háromszög láncolatban minden szög 60°. Középhibájuk ±5”, a kezdıoldal hossza 25km±1cm. Mennyi a 10. háromszög után a számított oldal középhibája? Mennyi ugyancsak a 10. háromszög után az oldal középhibája, ha a szögek nagysága csak 30°? 22. Egy háromszögben megmértük mind a három oldalt. Mennyi az a oldallal szemben szög és középhibája? a=812.53m±2.5cm, b=705.72m±2.0cm, fekvı c=512.75m±1.5cm 23. Külpontos iránymérést végeztünk. A külpontosság mértéke r=0.97m±3mm, a külpontosság tájékozási szöge 125-42-10±1’, az irány hossza t=1542.73m±5cm. Mennyi a központosítási javítás és középhibája? Mennyi a központosított irányérték középhibája, ha a mért külpontos irányérték középhibája 3”? Melyik irányba a legkedvezıbb a helyzet, és melyik irányba a legkedvezıtlenebb? 24. Egy derékszögő háromszögben megmértük az egyik befogót és a mellette fekvı szöget. Mennyi a másik befogó és mennyi a középhibája? a = 953, 52 m ± 1,2 cm, β = 14 - 52 - 26 ± 9” 25. Számítsa ki a háromszög harmadik oldalát és középhibáját, ha ismerjük két oldalát és a köztük lévı szöget. a=48.07m±1.2cm, b=115.20m±1cm, γ=10º51’18”±15” 26. Számítsa ki a vízszintes távolság középhibáját, ha ismerjük a ferde távolságot és a zenitszöget. tf=657.258m±1.3cm, Z=84º13’18”±10” 27. Adott egy sokszögvonal kezdıpontja A, a kezdıpontról mért tájékozó irány (T), továbbá az egyes pontokon (A,1,2) mért távolságok és irányértékek. Mekkora lesz az 1-es és 2-es sokszögpontok koordinátája, és mekkora lesz a középhibájuk? YA=653248.290m±30mm XA=214553.020±30mm YT=654010.510m±15mm XT=215030.090±15mm tA1=148.171m t12=120.415m A távmérı pontossága: 3mm+2ppm lA1=94-12-28±5” lAT=49-29-11±5” l12=199-15-42±5” l1A=30-10-26±5”

165

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II. 28. A mellékelt koordináta-jegyzék és mérési jegyzıkönyv alapján számolja ki a 3,4,5,6,7 pontok országos rendszerbeli koordinátáit és középhibáit. A mérési vonal az 1-es pontról indul a 2-es pont felé. Az 1,2 pontok koordinátáinak középhibája µx=µy=±1.5cm és az abszcissza és ordináta meghatározás középhibája µa=µb=±3.0cm. A mért távolság 59.32m±2.0cm. Pontszám 3 4 5 6 7

Pontszám Y X 1 650189.17 240250.82 2 650248.41 240249.23

a -4.73 4.27 19.82 26.94 36.80

b 3.29 3.15 7.81 -8.45 2.35

29. A mellékelt koordináta-jegyzék és mérési jegyzıkönyv alapján számolja ki a 12,13,14,15,16,17,18 pontok országos rendszerbeli koordinátáit és középhibáit. A mérési vonal a 10-es pontról indul a 11-es pont felé. A 10, 11 pontok koordinátáinak középhibája µy= ±2.2 cm, µx=±1.5cm és az abszcissza és ordináta meghatározás középhibája µa= 3.5 cm, µb=±3.1cm. A mért távolság 67.30m±0.5cm. Pontszám Y X 10 650193.91 240196.31 11 650257.49 240218.53

Pontszám 12 13 14 17 18 15 16

a -5.08 -3.83 12.37 29.83 50.83 70.84 70.86

b 2.19 -3.56 1.94 -2.26 -2.52 2.99 -3.95

30.A mellékelt koordináta-jegyzék alapján számolja ki az 1,2,3,4,5,6,7,8 pontok ortogonális kitőzési méreteit és abszcissza és ordináta értékeinek középhibáját arra a mérési vonalra vonatkozóan, melynek kezdıpontja a 106-os, végpontja pedig a 107-es alappont. µy106= ±3.2cm, µx106= ±3.2cm, µykitőzendı pontok= ±3.5cm, µxkitőzendı pontok= ±3.5cm, µδ=15”. Pontszám 106 107 1 2 3 4 5 6 7 8

Y 648410.70 648483.05 648418.62 648422.80 648426.32 648434.25 648439.97 648458.91 648463.53 648470.57

166

X 264617.75 264609.61 264629.52 264626.66 264611.04 264618.52 264610.82 264615.66 264620.28 264603.77

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II. 31. A mellékelt koordináta-jegyzék alapján számolja ki az 1,2,3,4,5,6 pontok ortogonális kitőzési méreteit és abszcissza és ordináta értékeinek középhibáját arra a mérési vonalra vonatkozóan, melynek kezdıpontja a 100-as, végpontja pedig a 107-es alappont. µy100= ±1.2cm, µx100= ±1.2cm, µykitőzendı pontok= ±2.5cm, µxkitőzendı pontok= ±2.0cm, µδ=5”. Pontszám 100 107 1 2 3 4 5 6

Y 648418.70 648464.14 648423.44 648428.18 648432.75 648436.89 648446.54 648456.95

X 264637.24 264646.63 264641.64 264637.75 264637.41 264643.16 264644.09 264643.41

Határozzuk meg a kiegyenlített értéket az alábbi egyenlı súlyú távolság mérési eredmények alapján. Számítsuk ki a súlyegység középhibáját, a kiegyenlített érték középhibáját és a mérési eredmények kiegyenlítés utáni középhibáját! 215.34m 215.25m 215.30m

215.27m 215.29m 215.31m

215.26m 215.37m 215.27m

215.30m 215.32m 215.35m

Határozzuk meg a kiegyenlített értéket az alábbi egyenlı súlyú szögmérési eredmények alapján. Számítsuk ki a súlyegység középhibáját, a kiegyenlített érték középhibáját és a mérési eredmények kiegyenlítés utáni középhibáját! 27-02-59” 27-02-56”

27-03-03” 27-03-02”

27-02-57” 27-03-01”

27-02-57” 27-02-57”

Határozzuk meg a kiegyenlített értéket az alábbi különbözı súlyú szögmérési eredmények alapján. Számítsuk ki a súlyegység középhibáját, a kiegyenlített érték középhibáját és a mérési eredmények kiegyenlítés utáni középhibáját! Mérési eredmény 36-14-53” 36-14-53” 36-14-58” 36-14-55”

súly 0.9 0.7 2.0 1.2

Mérési eredmény 36-14-59” 36-15-04” 36-15-08” 36-15-07”

súly 0.5 1.8 1.5 0.9

Számítsa ki a kiegyenlített értéket a szögmérési eredmények és a középhibák alapján. Határozza meg a súlyegység középhibáját, a kiegyenlített érték középhibáját és súlyát! Mérési középhiba Mérési középhiba Mérési középhiba eredmények eredmények eredmények 2-17-34.1” ±1.0” 2-17-35.8” ±1.0” 2-17-35.4” ±0.5” 2-17-33.4” ±1.0” 2-17-32.0” ±0.9” 2-17-32.0” ±1.0” 2-17-33.9” ±0.7” 2-17-33.0” ±0.8” 2-17-34.7” ±0.8” 2-17-32.5” ±0.6” 2-17-31.4” ±1.0” 2-17-32.9” ±0.5”

167

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II.

Határozzuk meg a kiegyenlített értéket az alábbi különbözı súlyú távolság mérések alapján. Számítsuk ki a súlyegység középhibáját, a kiegyenlített érték középhibáját és a mérési eredmények kiegyenlítés utáni középhibáját! Mérési eredmény 274.532m 274.538m 274.529m 274.539m 274.537m

súly 1.2 1.0 1.5 1.1 0.8

Mérési eredmény 274.535m 274.534m 274.533m 274.534m 274.536m

súly 0.7 0.9 1.3 1.0 1.2

Határozzuk meg a kiegyenlített értéket az alábbi egyenlı súlyú szabatos szintezési eredmények alapján. Számítsuk ki a súlyegység középhibáját, a kiegyenlített érték középhibáját és a mérési eredmények kiegyenlítés utáni középhibáját! 1.23872m 1.23838m

1.23875m 1.23803m

1.23785m 1.23792m

1.23797m 1.23807m

Határozzuk meg a kiegyenlített értéket az alábbi egyenlı súlyú szögmérési eredmények alapján. Számítsuk ki a súlyegység középhibáját, a kiegyenlített érték középhibáját és a mérési eredmények kiegyenlítés utáni középhibáját! 218-17-57.1” 218-17-58.0” 218-17-57.9” 218-18-00.5”

218-17-56.5” 218-17-57.8” 218-17-57.0” 218-18-00.1”

218-18-01.1” 218-17-59.8” 218-17-58.5” 218-17-59.7”

Adottak egy P pont tíz különbözı idıpontban meghatározott vízszintes koordinátái. Határozza meg a P pont mozgását leíró lineáris regressziós egyenes paramétereit, ha mind a két koordinátát hibával terheltnek tekintjük! Ssz. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 602896.45 602896.52 602896.55 602896.59 602896.66 602896.70 602896.85 602896.86 602896.90 602897.00

xi 205420.05 205420.06 205420.11 205420.19 205420.30 205420.32 205420.35 205420.39 205420.56 205420.60

Adottak egy M pont tíz különbözı idıpontban meghatározott magasságai. Határozza meg az M pont mozgását leíró lineáris regressziós egyenes paramétereit! Dátum Ssz. mi (x) 108.95 2009.10.25. 1 108.94 2010.03.20. 2

168

Dr. Tarsoly Péter: Geodézia II.

2010.10.02. 2011.03.12. 2011.09.28. 2012.03.10. 2012.10.18. 2013.03.12. 2013.09.16. 2014.02.22.

3 4 5 6 7 8 9 10

108.95 108.90 108.81 108.83 108.77 108.73 108.70 108.68

9. Irodalomjegyzék Bácsatyai L.(2003):Geodézia erdı- és környezetmérnököknek, Geomatikai Közlemémyek MTA FKK GGKI, Sopron Berg A.(1918): Geographisches Wanderbuch, Teubner Verlag, Leipzig Busics Gy. (2009): Adatgyőjtés 1-2., elektronikus jegyzet, NYME-GEO, Budapest Busics Gy., Csepregi Sz.(1997): Poláris részletmérés segédpontokkal, Geodézia és Kartográfia, XLIX. Évfolyam, 1997/3 szám Csepregi Sz. (2005):Mérıállomások, elektronikus jegyzet, NYME-GEO, Budapest Csepregi Sz. (1977): Geodéziai alapismeretek I-II-III., SE-FFFK, Székesfehérvár Deumlich-Steiger (2002): Instrumentenkunde der Vermessungstechnik, Wichmann Verlag Fasching A. (1914): A földméréstan kézikönyve. Magyar Királyi Pénzügyminisztérium, Budapest Fialovszky L.(1979):Geodéziai mőszerek, Mőszaki Könyvkiadó, Budapest Geodéziai számítások (1959): Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, szerk.: Dr. Vincze Vilmos Gyenes R.(2006): A geomatika alapjai, fıiskolai jegyzet, NyME-GEO, Székesfehérvár Hazay István szerkesztésében: Geodéziai kézikönyv I-III. (1956-1960). Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest Krauter A. (1995):Geodézia, Mőegyetemi Kiadó, Budapest Leica TPS 1200 kezelési kézikönyv, 2008 Martin D., Gatta G.(2006): Calibration of Total Stations Instruments at the ESRF, XXIII FIG Congress, Munich, Germany Oltay K.,Rédey I.(1962):Geodézia, Tankönyvkiadó, Budapest Sárdy A.(1985):Geodéziai alapismeretek I-II.,Tankönyvkiadó, Budapest Sébor J. (1953): Geodézia I., Mezıgazdasági Kiadó, Budapest Sokkia Series 10, SET 210, SET 310, SET 510, SET 610, felhasználói kézikönyv, 2001 Staiger R. (2009): Push the Button – or Does the „Art of Measurement” still exists?, University of Applied Sciences, Bochum, Chair of FIG Comission 5, Germany Topcon GPT-series, kezelési kézikönyv, 2001 Trimble 5503 kezelési kézikönyv, 2006 Yildiz F., Karabork H., Yakar M., Altuntas C., Karasaka L., Goktepe A.(2007): 3D modelling by advanced total station, Selcuk University, Engineering Faculty, XXI International CIPA Symposium, Athens, Greece

169