Dr. Csepregi Szabolcs, Tarsoly Péter
HIBAELMÉLET
Székesfehérvár, 2008
Tartalomjegyzék
1. A MÉRÉSI HIBÁK ÉS CSOPORTOSÍTÁSUK ............................................................................................ 3 1.1. A DURVA HIBA ÉS AZ ÁLHIBA ....................................................................................................................... 3 1.2. SZABÁLYOS ÉS SZABÁLYTALAN HIBA........................................................................................................... 4 1.3. HIBAELMÉLETI KÖVETKEZTETÉSEK: ............................................................................................................ 6 1.4. A KÖZÉP-TELJESHIBA ÉS A KÖZÉP-VÉLETLENHIBA ....................................................................................... 6 2. A PONTOSSÁG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG MEGÁLLAPÍTÁSÁRA SZOLGÁLÓ MENNYISÉGEK ..... 7 2.1. A PONTOSSÁG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG FOGALMA ............................................................................................. 9 2.2. MEGBÍZHATÓSÁGI MÉRİSZÁMOK .............................................................................................................. 10 2.3. A SÚLY FOGALMA ...................................................................................................................................... 11 2.4. KÖZELÍTİ SÚLYOK FELVÉTELE A GYAKORLATBAN GYAKRABBAN ELİFORDULÓ MÉRÉSEKHEZ ................. 13 2.5. KÉT VÁLTOZÓ KAPCSOLATÁNAK JELLEMZÉSE............................................................................................ 15 3. A HIBATERJEDÉS FOGALMA .................................................................................................................. 15 3.1. HIBATERJEDÉS ADOTT SZÁMMAL VALÓ SZORZÁS ESETÉN .......................................................................... 16 3.2. HIBATERJEDÉS ÖSSZEG ÉS KÜLÖNBSÉG ESETÉN ......................................................................................... 17 3.3. HIBATERJEDÉS ÁLTALÁNOS ESETBEN ......................................................................................................... 19 3.4. KÖVETKEZTETÉSEK A HIBATERJEDÉS ÁLTALÁNOS KÉPLETÉBİL ................................................................ 22 3.5. PÉLDÁK A HIBATERJEDÉS ALKALMAZÁSÁRA .............................................................................................. 23 4. A KIEGYENLÍTİ SZÁMÍTÁS ALAPELVE ÉS A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE .......... 27 4.1 A GAUSS-FÉLE HIBATÖRVÉNY ..................................................................................................................... 28 4.2. EGY ISMERETLENRE VÉGZETT KÖZVETLEN MÉRÉSEK KIEGYENLÍTÉSE ....................................................... 28 4.2.1. A kiegyenlítés végrehajtása egyenlı megbízhatóságú mérési eredményekkel ................................... 28 4.2.2. A kiegyenlítés végrehajtása különbözı megbízhatóságú mérési eredményekkel ............................... 30 4.3. ODA-VISSZA MÉRÉSEK KIEGYENLÍTÉSE ...................................................................................................... 32 4.4. SZÁMPÉLDÁK AZ EGY ISMERETLENRE VÉGZETT KÖZVETLEN MÉRÉSEK KIEGYENLÍTÉSÉRE ........................ 32 4.4.1. Egységsúlyú mérések kiegyenlítése.................................................................................................... 32 4.4.2. Különbözı súlyú mérések kiegyenlítése ............................................................................................. 34 4.4.3. Oda-vissza mérések kiegyenlítése...................................................................................................... 35 5. ZÁRÓHIBÁK ELOSZTÁSA ......................................................................................................................... 36 6. A MÉRÉSEK MEGBÍZHATÓSÁGA ÉS A KÖZÉPHIBA MINT A MEGFIGYELÉSEK SZÁMÁNAK FÜGGVÉNYE ..................................................................................................................................................... 39 6.1. A MÉRÉSEK ISMÉTLÉSÉNEK HATÁSA – ÖSSZEFÜGGÉSEK A SÚLY ÉS A KÖZÉPHIBA KÖZÖTT ........................ 40 6.2. SZÁMOLÁSI PÉLDÁK ................................................................................................................................... 41 7. FELHASZNÁLT IRODALOM ..................................................................................................................... 43
2
1. A mérési hibák és csoportosításuk A mérés eredménye általában nem egyezik a mérendı mennyiség valódi, hibátlan mérıszámával. A mérés során olyan mérési eredményt kapunk, mely többé-kevésbé hibás. Hiba alatt a meghatározandó mennyiség mért és valódi értékének különbségét értjük. A mérési hibák létezésérıl fölös mérések végzésével gyızıdhetünk meg. Fölös mérés akkor keletkezik, ha több adatot mérünk meg, mint amennyi a megoldani kívánt feladat matematikailag egyértelmő meghatározásához feltétlenül szükséges. A fölös mérés elnevezésbıl nehogy félreértés származzék. Ezeket egyáltalán nem felesleges megmérni. Jelentıségük - amint a késıbbiekben látni fogjuk - fıleg pontosság növelı szerepükben van. Fölös méréseket két, egymástól jól elkülöníthetı módon állíthatunk elı. Az egyik mód ugyanannak a mennyiségnek többszöri megmérése. Egyetlen egy mennyiség meghatározására elvileg elegendı azt egyszer megmérni. Abban az esetben, ha egy mennyiséget egymástól függetlenül n-szer mérünk meg, akkor (n-1) fölös mérés keletkezik. Ha méréseinket olyan módon végeztük, hogy a mérıeszköz leolvasó képességét teljesen kihasználtuk, azt fogjuk tapasztalni, hogy az egyes mérési eredmények – a mérési hibák következtében – általában különböznek egymástól. A fölös mérések végzésének másik módja az, hogy egymással összefüggésben lévı mennyiségek közül többet mérünk meg, mint amennyi az összefüggést (rendszerint geometriai feltételt) kifejezı egyenlet, illetve egyenletrendszer egyértelmő megoldásához szükséges. Ebben az esetben azt fogjuk tapasztalni – ugyancsak a mérési hibák jelenléte miatt -, hogy a mérési eredmények nem elégítik ki ellentmondásmentesen az egyenletet, illetve egyenleteket. Pl. egy síkháromszög belsı szögeinek meghatározásához elegendı két szöget megmérni, a harmadik szög mérıszáma az α + β + ϕ = 180 o egyenletbıl számítható. Ha mind a három belsı szöget megmérjük, akkor egy fölös mérés keletkezik. Azt fogjuk tapasztalni, hogy a három mérési eredmény összege – a mérési hibák miatt – eltér 180 foktól. A mérési hibák a mérıeszközök tökéletlenségébıl és az észlelı hibáiból, valamint a mérés külsı körülményeinek és ezek idıbeli változásának hatásából származnak. A mérési hibákat természetük szerint több csoportba sorolhatjuk. A különféle természető hibák más módon hatnak a mérési eredményekre, és hatásukat más módon kell figyelembe venni és csökkenteni. A mérési hibákat vizsgálva, elıször a durva hibákra kell rámutatnunk, hogy ezután a további tárgyalásokból kirekeszthessük azokat.
1.1. A durva hiba és az álhiba Durva hibának nevezzük azt a hibát, amelyik lényegesen felülmúlja az alkalmazott mérıeszközzel és módszerrel végrehajtott mérésben még eltőrhetı legnagyobb hibaértéket. Durva hibát követünk el akkor, ha tévesen olvassuk le a méter értékét, vagy ha szögmérı mőszernél rosszul olvassuk le a fokokat, vagy nem azt a pontot mérjük, amelyik szükséges.
3
A durva hiba oka legtöbbször az észlelı figyelmetlensége, az észleléshez szükséges koncentrálás hiánya. A durva hibával terhelt mérési eredményt nem használhatjuk fel, az ilyen mérést meg kell ismételni. A durva hibák elleni védekezésül, méréseinket mindig a leggondosabban kell végrehajtani. Gondos munka mellett is elkövethetünk véletlenül durva hibát. Ezért méréseinket célszerő a körülményektıl függıen mindig úgy végrehajtani, hogy a durva hibák felfedezhetık legyenek. Erre egységes, minden esetben gazdaságosan alkalmazható végrehajtási módot megadni nem lehet, de megemlíthetjük, hogy egy ilyen gyakran használt mód a fölös mérések végzése. A mérésekben és a feldolgozásban szintén durva eltérést okoznak az un. álhibák. Álhiba az olyan hiba, amely a mérési eredményekbıl levezetett értékekben hibás képleteknek eredményeképpen jelentkezik. Oka lehet a mérést vagy számítást végzı személy figyelmetlensége is, de lehet a nem megfelelı mérési vagy számítási módszer alkalmazása is. Az álhibák elleni védekezésül a méréseinket és a számításokat mindig a lehetı leggondosabban, megfelelıen átgondoltan kell végeznünk. A durva hibákat kirekesztve további tárgyalásainkból, az összes egyéb mérési hibát két alapvetı csoportba: a szabályos és szabálytalan hibák csoportjába sorolhatjuk.
1.2. Szabályos és szabálytalan hiba Szabályos hibának azokat hibákat nevezzük, amelyeknek számértéke a mérések megismétlése alkalmával vagy állandó marad, vagy változik, de ebben egyoldalú tendencia mutatkozik. Ebbe a csoportba rendkívül sokféle mérési hiba tartozik. Magukkal az egyes mérési eljárások szabályos hibaforrásaival a mérési eljárásokat ismertetı fejezetben foglalkozunk. A szabályos hibák néhány jellegzetes típusba sorolhatók. 1. Amelyek szabályossága abban nyilvánul meg, hogy értékük a mérések ismétlése során nem változik, állandó marad. Ezeket állandó hibának nevezzük. Ilyen jellegő szabályos hiba a fizikai távmérık összeadó állandója, a szintezı lécek talpponti hibája, a magassági szögmérés indexhibája, stb. 2. Amelyek hatása függ a mérendı mennyiség nagyságától: Pl. mérıszalagok, szintezılécek komparálási hibája. Fizikai távmérık frekvencia hibája, mérıszalagok meghúzásánál a húzóerı állandó hibájának hatása. Más esetben a hiba a mérendı mennyiséggel kapcsolatban lévı más mennyiségtıl függ. Pl. a kollimáció hiba, a fekvıtengely ferdeségi hiba hatása, amely a magassági szögtıl függ. Szintezésnél a mőszer igazítási hibájának hatása a „hátra” és „elıre” irányzás távolságkülönbségével arányos. 3. Amelyeknek hatására még ugyanannak a mennyiségnek az ismételt megmérésekor is változik az egyes mérési eredményekbe jutó szabályos hiba számértéke, de az egyes hibák elıjele még mindig állandó. Ennek a hibának az oka a szintezésnél a léc nem függıleges voltának (ferdeségének) a hatása. A mérési eredmény értéke változhat ugyan attól függıen, hogy az egyes méréseknél milyen mértékő a mérıszalag végeinek az egyeneshez viszonyított kitérése, de mindig a ténylegesnél nagyobb mérıszámot kapunk. Így a mérési hiba elıjele mindig ugyanaz. Határesetként elképzelhetı zérus értékő hiba, amikor véletlenül minden mérıszalag vég ráesik az egyenesre, de ellentétes elıjelő hiba nem léphet fel.
4
4. Végül vannak olyan típusú szabályos hibaforrások, amelyeknek hatására egyes mérési eredmények hibája nemcsak a számértékre változik, hanem elıjelre is. Az egyes szabályos hibák elıjelének változása azonban olyan, hogy elıjelük túlnyomóan azonos. Ezekre a típusú szabályos hibákra csak az jellemzı, hogy összegük és így számtani középértékük is zérustól különbözı szám. Pl. szintezésnél a szintezési szakaszok záróhibájának összege általában pozitív a lécsüllyedés következtében. Véletlen, vagy szabálytalan hibáknak azokat a hibákat nevezzük, amelyek a mérés megismétlése alkalmával mind elıjelre, mind – bizonyos határok között – nagyságra nézve is a véletlen szerint jelentkeznek. A szabálytalan hibák keletkezése nagyon sok, túlnyomóan ismeretlen hibaforrásra vezethetı vissza. Ezeknek a hibaforrásoknak az okai azok az elemi állapotváltozások, amelyek a mérés alatt a mőszerben, az észlelıben és a mérés közegében végbe mennek. Gazdaságossági szempontból gyakran ismert szabályos hibákat nem küszöbölünk ki, mert ez a feladat minıségét nem befolyásolja. Pl. hosszmérésnél a mérıszalagot gyakran kézzel húzzuk meg és így a feszítıerı nem állandó. Tahimetriánál csak egy távcsıállásban mérünk. Szintezésnél gyakran elegendı csak lépéssel kimérni a távolságot. Így az ezekbıl eredı hibákat is a szabálytalan hibák közé rendeljük ezeknél a méréseknél, annak ellenére, hogy nagyon jól ismerjük ezek kiküszöbölési módjait. Az elızıekben megismerkedtünk a szabályos és szabálytalan hibával; a mérési eredményben lévı valódi hiba (jel: e vagy ε) általában ebbıl a két hibafajtából tevıdik össze, azaz Valódi hiba = szabályos hiba + szabálytalan hiba A szabályos hibák bizonyos rendszerességgel, meghatározott elıjellel befolyásolják a mérési eredményeket. A szabályos hibák kiküszöbölésére vagy hatásuk csökkentésére törekszünk. A szabályos hibák kívül állnak a kiegyenlítı számítás körén; elıfordulhat azonban, hogy valamilyen szabályos hibát éppen a kiegyenlítés módszerével határozunk meg. A szabálytalan vagy véletlen hibák értéküket mind elıjelre, mind bizonyos határokon belül nagyságra is rendszertelenül változtatják. Mivel a valószínőség szerint minden mérési sorozatban egyenlıen lehetnek azonos nagyságú pozitív és negatív elıjelő véletlen (szabálytalan) hibák, nagyobb számú mérés esetén feltehetjük, hogy a mérési sorozat véletlen hibáinak középértéke és így összege is zérus. A feltevés helyessége annál valószínőbb, minél több mérésbıl áll a mérési sorozat. Egyes esetekben különbséget teszünk szabálytalan és véletlen hiba között. A véletlen hibák körét a szabálytalan hibák körén belül értelmezzük úgy, hogy a szabálytalan hibákból levonjuk a ki nem küszöbölt szabályos hibák hatását, és véletlen hiba alatt csak az így megmaradó hibarészt értjük. A véletlen hibák elkerülhetetlenek, mérési eredményeinket mindig terhelik. A kiegyenlítı számítás a véletlen hibákkal terhelt mérési eredményekkel foglalkozik. A valódi hiba valamely mennyiség valódi értékének és a mért vagy mérési eredménybıl levezetett értékének különbsége. A valódi értéket általában nem ismerjük, így a valódi hiba inkább csak elméleti fogalom. Valódi érték pl. egy háromszög szögeinek összege, és ha a szögeket megmértük, összegükre a valódi hiba ugyan megállapítható, de az egyes mérési eredmények valódi hibája mégis meghatározhatatlan marad.
5
A hibaelméletben elıforduló levezetések és képletek könnyebb megértése végett a továbbiak tárgyalása elıtt célszerően egyszerősítı jelöléseket vezetünk be. Az összegzés egyszerősítı jelölése: ε 1 + ε 2 + ... + ε n = [ε ]1
n
Ha a határok magától érthetıdıek:
[ε ]
A középérték képzés egyszerősítı jelölése:
ε 1 + ε 2 + ... + ε n n
=ε
1.3. Hibaelméleti következtetések: •
A mérési eredményekben lévı valódi hiba (ε) általánosságban minden esetben egy szabályos és egy szabálytalan részbıl tevıdik össze: ε= εszabályos+ εszabálytalan • A szabályos hiba középértéke nem nulla, hanem valamilyen számérték; ha a szabályos hibából levonjuk annak középértékét, a maradék a szabálytalan hibához hasonlóan nulla középértékő lesz. • Bármely mérés hibája: ε=a+ εv, ahol -„a” »a szabályos hiba középértékének és az állandó nagyságú hibának összege, az állandó hiba -εv »a véletlen hiba, amely összetevıdik a szabálytalan hibából és abból a részbıl, ami a szabályos hibából visszamarad, ha belıle annak középértékét levonjuk, a véletlen hiba középértéke zérus (hasonlóan a szabálytalan hibához)
1.4. A közép-teljeshiba és a közép-véletlenhiba Ha a mérési eredmény hibála állandó és véletlen részt is tartalmaz, akkor a középhibának is lesz állandó és véletlen része. ε 1 = a + ε v1
ε 2 = a + ε v2 .......... .......
ε n = a + ε vn négyzetre emelve
ε 21= a 2 + 2aε v1 + ε v21 ε 22= a 2 + 2aε v 2 + ε v22
.......... .......... .......... .
ε n2= a 2 + 2aε vn + ε vn2 összegezve
[ε ] = na + [2aε ] + [ε ] 2
2
v
2 v
osztva n-el
[ε ] = a + [2aεv] + [ε ] 2
2 v
2
n
n
n
[ε ] = µ ; [2aεv] = 0; [ε ] = µ 2 v
2
2
n
n
µ =a +µ 2
2
2 v
n
2 v
µ» a közép-teljeshiba µv» a közép-véletlenhiba a» a hiba állandó része
6
2. A pontosság és megbízhatóság megállapítására szolgáló mennyiségek Valószínőségi változónak nevezzük azokat a mennyiségeket, amelyek értékét a véletlen befolyásolja. Egy valószínőségi változó diszkrét, ha megszámálhatóan sok értéke lehet, és folytonos ha nem megszámlálhatóan sok értéke lehet. A mérési eredmények folytonos valószínőségi változók, annak ellenére, hogy értéküket csak korlátozott élességgel határozzuk meg, mert ezen értékek végtelen sok lehetséges érték kerekítésébıl származnak. A folytonos valószínőségi változókat két tulajdonságuk vizsgálatával jellemezhetjük: az eloszlásfüggvénnyel és a sőrőségfüggvénnyel. Az eloszlásfüggvény definíciója: Valamely ξ folytonos valószínőségi változó F(x) eloszlásfüggvénye az e=ξ<x esemény valószínőségét írja le, tehát 0≤F(x)≤1. Monoton nem csökkenı, tehát F(x1) ≤F(x2), ha x1 ≤x2. Annak a valószínősége, hogy ξ a (c, d) tartományba esik: F(d)-F(c).
A sőrőségfüggvény definíciója: Az f(x) sőrőségfüggvény az eloszlásfüggvény derivált függvénye, f(x)≥0, végtelen határok közötti integrálja 1-el egyenlı. Annak a valószínősége, hogy ξ a (c, d) tartományba esik: d
∫ f ( x)dx. c
7
Az eloszlások egyike a Gauss által meghatározott, geodéziában használt normális eloszlás. Ha a valószínőségi változó értékét nagyszámú egymástól független véletlen tényezı befolyásolja úgy, hogy a tényezık külön-külön csak igen kis mértékben érvényesülnek és a hatások összeadódnak, akkor a valószinőségi változó normális eloszlású. A normális eloszlás sőrőségfüggvénye:
f ( x) =
( x − a) 2 1 exp − 2σ 2 σ 2π
Ahol - „a” a várható érték - „σ” a szórás - „exp” a természetes logaritmus e alapjának a szögletes kitevıjő hatványa.
zárójelben megadott
A normális eloszlás sőrőségfüggvényének a képe a haranggörbe vagy másnéven Gauss-görbe. • helyzetét a várható érték határozza meg • alakját a szórás határozza meg • inflexiós pontja (ahol a görbe görbületet vált) a várható értékhez képest szimmetrikusan és attól σ távolságra helyezkedik el • kisebb szórású eloszlás haranggörbéje meredekebb, nagyobb szórásúé laposabb.
Annak a valószínősége, hogy a ξ normális eloszlású valószínőségi változó értéke a várható érték körüli és a szórás egy-, két-, háromszorosának megfelelı szélességő intervallumba esik: P(−σ ≤ ξ − a ≤ +σ ) = 0.6827 P(−2σ ≤ ξ − a ≤ +2σ ) = 0.9545 P(−3σ ≤ ξ − a ≤ +3σ ) = 0.9973.
Tehát 99.7% valószínőségő, hogy a normális eloszlású valószínőségi változó értéke a várható érték körüli +/-3σ tartományba esik. A fent nevezett tételt a geodéziában a három szigma szabályként szokták nevezni, és széleskörően alkalmazzák a kiegyenlítı számításokban. Grafikusan a következı ábrán lehet szemléltetni: kerekítve 68% az esély arra, hogy a valószínőségi változó értéke a kék sávba fog esni (a szórás egyszeres intervallumába),
8
kerekítve 95% az esélye hogy a lilával jelölt sávba ( a szórás kétszeres intervallumába), és 99% hogy a pirossal jelölt sávba. ( a szórás háromszoros intervalluma)
2.1. A pontosság és megbízhatóság fogalma Jelöljük U-val a mérés tárgyát képezı mennyiség hibátlan értékét, L-el a mérési eredményt, ε-al a valódi hibát. • Ekkor U=L+ε illetve ε=L-U azaz • Valódi hiba=hibás érték – hibátlan érték. A pontosság a valódi hiba abszolút értéke. Ugyanazon mérési eredmények közül az a pontosabb, amelyik hibája abszolút értékre nézve kisebb. Mivel a valódi hiba ismeretlen, ezért a valódi pontosság is ismeretlen, minden esetben csak közelítıleg lehet meghatározni. Megbízhatóság: a mérési eredmények egymáshoz való viszonyát fejezi ki, azt mutatja meg, hogy mi az az intervallum, amelyen belül a mérési eredmények szóródnak. A pontosság és megbízhatóság közötti összefüggéseket a következı ábrán lehet szemléltetni:
9
Vagyis: 1. A legvalószínőbb érték annál közelebb van a hibátlan értékhez, minnél pontosabb a mérés 2. Annál meredekebb a haranggörbe, minél megbízhatóbbak a mérések.
2.2. Megbízhatósági mérıszámok Valamely mennyiség meghatározására több mérési sorozatot mérhetünk. Mindegyik mérési sorozathoz tartozik egy hibasorozat. Az a mérési sorozat a megbízhatóbb, amelyiknek hibasorozata szőkebb határok között mozog, és amelyikben kisebb a nagyobb értékő hibák száma. Az egyes mérési sorozatok és az egyes sorozatokba tartozó mérések megbízhatóságának megítélésére empirikus mérıszámok szolgálnak. Ezeket a mérıszámokat gyakorlati és elméleti megfontolások alapján önkényesen vették fel. Ezek a mérıszámok csak a megbízhatóságot jellemzik, de javító hatásuk nincs, tehát a mérési értékek vagy a végeredmény megjavítására nem használható fel. Valószínőség-számításban és matematikai statisztikában is használnak. Az itt használt elnevezéseket is megadjuk zárójelben.
hasonló
mérıszámokat
Laplace a megbízhatóság mérıszámául az átlagos hibát (középeltérés, vagy átlagos abszolút eltérés) vezette be. Ez a hibák abszolút értékének számtani középértéke:
ϑ=Σ
(ε ) [ε ] = n n
,ahol n a mérési sorozatban foglalt mérések száma, ε a sorozat egyes méréseihez tartozó valódi hibát jelöli, ϑ pedig a mérési sorozat mindegyik mérésére jellemzı átlagos hiba. (Gauss az összegzés jelölésére a [ε ] jelet használta. A kiegyenlítı számításokban ez a jelölés szokásos. Az ún. középhibát Gauss vezette be és a kiegyenlítı számításokban általában ezt használjuk. A középhiba (szórás, Standard deviáció) a négyzetét varianciának nevezik (a valódi hibák négyzetének középértékébıl vont négyzetgyök: (jelölésére geodéziában µ és m használatos, matematikában σ , vagy s bető szokásos). m=µ
[ε ] 2
n
,ahol n a mérési sorozatban foglalt mérések száma, ε a sorozat egyes méréseihez tartozó valódi hibát jelöli, m pedig a mérési sorozat mindegyik mérésére egyformán jellemzı középhiba (egy mérési eredmény középhibája). A gyökvonásból származó ± kettıs elıjel is figyelmeztet arra, hogy a mérıszámnak javító hatása nincs.
10
A középhiba sokkal érzékenyebb, mint az átlagos hiba. Összehasonlításul nézzünk egy számszerő példát. Legyen két hibasorozat: ε = +4, -7, -3, +7, -4 ; 25 ϑ= = 5,00; 5 139 µ= = ±5,27; 5
ε = -15, +4, -1, 0, +5 25 ϑ= = 5,00; 5 267 µ= = ±7,31; 5
Az átlagos hiba a két sorozatot egyenlı megbízhatóságúnak minısíti, a középhiba ellenben megmutatja, hogy az elsı sorozat megbízhatóbb, mint a második.
A középhibát rendszerint a vonatkozó mennyiség után írjuk ± elıjellel. Pl.: t = 1233,162 m ± 0,014 m (Egyes munkálatokban (pld. szintezéshez, asztronómiai mérésekhez) a megbízhatóság mérıszámául az ún. valószínő hibát is használják. Ennek alapgondolata az, hogy a meghatározott mennyiség valódi hibája – a valószínőség szerint – a nagyság sorrendjébe szedett hibasorozat közepén foglal helyet. Értékét a középhibából az átlagos viszony alapján szokták számítani: ... = 0,674,8498µ Az 1-2 képletekkel adott megbízhatósági mérıszámok és a mért mennyiség nagyságának hányadosát relatív hibának nevezzük. Ha pl. valamely t = 542,2 m hosszúság középhibája: µ t = ±10,2mm , akkor a relatív középhiba:
u t 0,0102 = = 1 : 53157 t 542,2 (A jobboldali arányszámot egyszerően úgy kapjuk meg, ha a középsı rész nevezıjét elosztjuk a számlálóval). R = ε max − ε min
2.3. A súly fogalma A középhiba fordítva arányos a megbízhatósággal. A gyakorlati számításokhoz célszerő volt egy olyan mérıszámot is bevezetni, amely a megbízhatósággal egyenes arányban áll. Ez a megbízhatósági mérıszám a súly. A súly fordítva arányos a középhiba négyzetével: pi =
µ02 µi2
11
,ahol µ 02 egy mindig pozitív, dimenzió nélküli tiszta szám. (A pozitív elıjelet a másodfokú hatványkitevı biztosítja. (A súly ennek megfelelıen a középhiba négyzetének reciprok értékével azonos dimenziójú pozitív mennyiség, tehát, ha pl. a középhiba milliméterben adott, akkor a súly dimenziója mm. Ha a súly az egységgel egyenlı, akkor µ 0 számérték = µ i számérték Vagyis a µ 0 érték a p i = 1 egységsúlyú mennyiség középhibájának a számértéke. A µ 0 értéket a súlyegység középhibájának nevezzük. A súlyegység középhibája és az egységsúlyú mennyiség középhibája között tehát az a különbség, hogy a súlyegység középhibája dimenzió nélküli, az egységsúlyú mennyiség középhibája pedig dimenziós érték. Ha ismerjük a súlyegység középhibáját, akkor a mérési sorozattal kapcsolatos bármely mennyiség középhibáját – feltételezve, hogy súlyát ismerjük – (6) alapján a
µi =
µ0 pi
képlettel számíthatjuk. (Ez a képlet a hibaszámítás egyik legfontosabb képlete, amely végig kísér a kiegyenlítı számítások egészén). Az a körülmény, hogy a súlyegység középhibája dimenzió nélküli, a súly pedig dimenziós, lehetıvé teszi, hogy egy, vagy több ismeretlennek kiegyenlítéssel való meghatározásába különbözı fajta méréseket (pl. szög- és hosszméréseket) is bevonhassunk és meghatározhassuk valamennyi mérési eredmény középhibáját is. A súly definíciója és (7) értelmében a mérési sorozattal kapcsolatos két tetszıleges mennyiség középhibájára és súlyára a következı arány áll fenn:
µ12 : µ 22 =
1 1 : p1 p 2
A súlyok önmagukban csupán az egyes mennyiségek megbízhatóságának arányát mutatják. Ahhoz, hogy belılük a megbízhatóság számszerő értékére következtethessünk, legalább az egyik mennyiség, vagy a súlyegység középhibájának az ismerete szükséges. A mérési eredmények hatását a kiegyenlítéssel meghatározandó mennyiségek értékének a kialakulására, nagymértékben befolyásolja a mérési eredmények súlyának egymáshoz viszonyított aránya, a súlyarány. A kiegyenlítésben tulajdonképpen nem is a súlyok számszerő értékének, hanem egymáshoz viszonyított arányuknak van jelentısége. Ennél fogva szabadon választhatjuk meg azt a mennyiséget, amelyet egy kiegyenlítésen belül súlyegységnek kívánunk tekinteni; a súlyegység középhibájának számértéke nyilvánvalóan annak a középhibának a számértékével lesz egyenlı, amely a felvett súlyegységhez tartozik. Ha pl. mérési eredményeink középhibái:
µ1 = ±2mm
µ 2 = ±3mm
µ 3 = ±4mm 12
és az elsı mérést tekintjük súlyegységnek, akkor a súlyok ( µ 0 = µ1 )
p1 =
4 ; 4mm 2
p2 =
4 ; 9mm 2
p3 =
4 ; 16mm 2
Ha pedig a második mérést választjuk súlyegységnek, akkor µ 0 = µ 2 és így 32
pi =
p1 =
9 4mm 2
miatt
µi
p2 =
9 9mm 2
p3 =
9 16mm 2
A súlyok aránya mint látjuk változatlan marad. Gyakran a mérési sorozatban elı sem forduló mennyiséget választunk súlyegységnek pl. abból a célból, hogy a súlyokra kerek értékeket vagy pedig az egységtıl lehetıleg ne nagyon eltérı értékeket kapjunk. Így pl. ha az elıbbi
µ 02 adatokhoz súlyegységnek a középhibájú mennyiséget választjuk, akkor a pi = 2 miatt µi p1 =
144 = 36mm − 2 ; 4
p2 =
144 = 16mm − 2 9
p3 =
144 = 9mm − 2 16
Az arányok most is változatlanul ugyanazok, mint az elıbbiekben. Az is magától értetıdik, hogy a (7) képletet alkalmazva valamely mennyiség középhibájára – függetlenül a súlyegység megválasztásától – mindig ugyanazt az értéket kapjuk. Pl. a 2. mérési eredményre a három változatnak megfelelıen a µ i = µ 0 / pi képlet alapján
µ2 =
2 4 9
= ±3mm;
=
3 9 9
= ±3mm;
=
12 144 9
= ±3mm
2.4. Közelítı súlyok felvétele a gyakorlatban gyakrabban elıforduló mérésekhez Hosszmérési eredmények középhibáját a távolság függvényében szokás felvenni úgy, hogy a hosszmérés középhibája a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekszik (az egységnyi távolság mérésének középhibája): mt = tme A súlyok arányát 1 1 1 p e : pt1: p t 2 = : : t t1 t 2
13
Hosszméréshez a súlyegységet a mérendı távolságnak megfelelıen 10; 100; vagy 1000 méteres távolságban célszerő felvenni. Ha a legutóbbi távolságot vesszük súlyegységnek, akkor az me értéket kilométeres középhibának nevezzük és mkm -rel jelöljük. Optikai távmérés esetén is a mérıszalaggal való hosszméréshez hasonlóan járunk el. Fizikai távmérésnél általában azonos középhibájúnak és súlyúnak tekintünk minden mérést a távolságtól függetlenül. Szintezési vonalban a középhiba értékét a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekedınek tekintjük. m sz = t me
Ennek megfelelıen a súlyok arányát p e : p sz1 : p sz 2 =
1 1 1 : : t e t 2 t3
A súlyegységet 100 m; 1 km, esetleg 10 km egységben szokás felvenni. Trigonometriai magasságmérésnél – ha a számított magasságkülönbségeket tekintjük mérési eredménynek, a meghatározott magasságkülönbség megbízhatósága: mm = tme a súlyok aránya:
p1 : p 2 : p3 =
1 t2
2
:
1 t3
2
A teodolittal való irányzás, iránymérés irányértékeit vagy egyenlı súlyúnak vesszük, vagy pedig az irányhosszak arányában súlyozzuk. Az utóbbi esetben célszerő súlyegységnek az 1 km hosszú irányt választani. Ha a számításban különféle dimenziójú mennyiségek együtt fordulnak elı, akkor ezek súlyát a pi =
µ 02 µ i2
képlet alapján számítjuk úgy, hogy az összes mérési eredménynél ugyanazt a µ 02 értéket választjuk, a µ i értékét pedig abban a dimenzióban helyettesítjük be, amibe a hozzá tartozó javításokat is fogjuk számítani.
14
2.5. Két változó kapcsolatának jellemzése Geodéziai mérések esetén sok esetben nem egyetlen számértékkel jellemezzük a mérési eredményeinket, hanem gyakran két (esetleg több) egymással kapcsolatos mennyiséget mérünk. Pl. szabatos hosszmérések esetén mérjük a hımérsékletet is. Épület süllyedések esetén mérjük az épületben lévı csapok süllyedését és ezekhez igen szorosan kapcsolódik a mérés idıpontja. Két változó kapcsolatának jellemzésére a matematikából megismert kovariancia és korrelációs együtthatók értékét használjuk. Ezek a számértékek a középhiba (szórás) számértékével kapcsolatosak. A kovariancia értékét x és y mérési eredmények között c xy =
[ε ε ] x
y
n
kifejezés jelöli, ahol ε x az x és ε y az y mennyiség valódi hibája. A kovariancia értéke tetszıleges szám lehet. A c dimenziós szám így függ a hibák nagyságától is, ezért a kapcsolat becslésére közvetlenül nem használható. Ha a kovariancia értékét redukáljuk az x és y mennyiség középhibájának s x és s y szorzatával, akkor a korrelációs együttható értékéhez jutunk.
r=
c sx sy
Az r korrelációs együttható értéke +1 és -1 közötti dimenzió nélküli szám. Ha x és y között lineáris kapcsolat áll fenn, akkor r = +1; -1. Ha az r értéke 0, akkor a két mennyiség nem korrelált egymáshoz viszonyítva. Az r = 0 érték nem jelent függetlenséget, mert lehet, hogy az egyik változó növekedésével a másik változó középhibája növekszik. A kapcsolat jellemzésére használatos még a regressziós egyenes; ezt csak gyakorlati alkalmazás szempontjából fogjuk tárgyalni egy külön fejezetben.
3. A hibaterjedés fogalma A hibaterjedés törvénye azt fejezi ki, ha hibával terhelt mennyiségekbıl valamilyen ismert függvény vagy függvények segítségével újabb mennyiségeket határozunk meg, akkor azok is hibával terheltek. A hibaterjedés törvénye azt fejezi ki, hogy a meghatározó adatok megbízhatósági mérıszámainak ismeretében hogyan határozhatjuk meg a meghatározott mennyiségek megbízhatósági mérıszámait. A geodéziai mérési eredmények valószínőségi változónak tekinthetıek (egymástól függyetlenek és csak szabálytalan hibák terhelik), tehát a mérési eredmények függvényei is valószínőségi változók. A hibaterjedés törvénye lehetıséget ad, hogy a függvények megbízhatósági mérıszámait meghatározzuk.
15
A mért mennyiségek jellemzésére geodéziában a középhiba értékét használjuk, így hibaterjedés esetén is a meghatározott mennyiség középhibáját határozzuk meg.
3.1. Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén Tétel: Egy állandó számmal való szorzás esetén a szorzat középhibáját úgy kapjuk, hogy a mért mennyiség középhibáját megszorozzuk a megadott állandó számmal. A függvénykapcsolat: U=a*x Az x mennyiségre végzett mérések eredményei: x1, x2, ....xn Helyettesítsük be a mérési eredményeket az eredeti függvénykapcsolatba: U1 = a ⋅ x1 U 2 = a ⋅ x2
................ U n = a ⋅ xn
Az egyes U értékek valódi hibái: εU1, εU2,... εUn A mérési eredmények valódi hibái: εx1, εx2,... εxn Ekkor: • U1 + ε U 1 = a ⋅ ( x1 + ε x1 )
U 2 + ε U 2 = a ⋅ ( x2 + ε x 2 ) ..................................... U n + ε Un = a ⋅ ( xn + ε xn ) de a ⋅ x1 + ε U 1 = a ⋅ x1 + a ⋅ ε x1 a ⋅ x2 + ε U 2 = a ⋅ x 2 + a ⋅ ε x 2 ......................................... a ⋅ xn + ε Un = a ⋅ xn + a ⋅ ε xn vagyis
ε U 1 = a ⋅ ε x1 εU 2 = a ⋅ ε x2 ..................
ε Un = a ⋅ ε xn Négyzetre emelve, majd összegezve: • ε U2 1 = a 2 ⋅ ε x21
ε U2 2 = a 2 ⋅ ε x22 .................... 2 = a 2 ⋅ ε xn2 ε Un
összegezve :
[ε ] = a ⋅ [ε ] 2 U
2
2 x
16
Jobb és bal oldalt osztva n-el:
[ε ] = a ⋅ [ε ] 2 U
2 x
2
n
n
De a Gauss-féle középhiba képlete miatt:
[ε ] = µ 2 U
n
[ε ] = µ 2 x
n
2 U
2 x
µU2 = a 2 ⋅ µ x2 µU = a ⋅ µ x Ezzel bebizpnyítottuk, hogy egy állandó számmal való szorzás esetén a szorzat középhibáját úgy kapjuk, hogy a mért mennyiség középhibáját megszorozzuk a megadott állandó számmal.
3.2. Hibaterjedés összeg és különbség esetén Tétel: összeg vagy különbség középhibájának négyzete egyenlı az egyes tagok középhibájának négyzetösszegével. Legyen a függvényünk: U=x+y A mérési eredmények: x1, y1, x2, y2, ... xn, yn Az egyes U értékek valódi hibái: εU1, εU2,... εUn A mérési eredmények valódi hibák: εx1, εy1, εx2, εy2, ... εxn, εyn Ekkor: U1 = x1 + y1 U 2 = x2 + y 2
.................. U n = xn + y n és U1 + ε U 1 = ( x1 + ε x1 ) + ( y1 + ε y1 ) U 2 + ε U 2 = ( x2 + ε x 2 ) + ( y 2 + ε y 2 )
................................................. U n + ε Un = ( xn + ε xn ) + ( yn + ε yn ) de x1 + y1 + ε U 1 = ( x1 + y1 ) + (ε x1 + ε y1 ) x2 + y2 + ε U 2 = ( x2 + y2 ) + (ε x 2 + ε y 2 )
.......................................................... xn + yn + ε Un = ( xn + yn ) + (ε xn + ε yn ) tehát
ε U 1 = ε x1 + ε y1 εU 2 = ε x2 + ε y2 ......................
ε Un = ε xn + ε yn
17
Négyzetre emelve:
ε U2 1 = ε x21 + 2 ⋅ ε x1 ⋅ ε y1 + ε y21 ε U2 2 = ε x22 + 2 ⋅ ε x 2 ⋅ ε y 2 + ε y22 ......................................... 2 2 ε Un = ε xn2 + 2 ⋅ ε xn ⋅ ε yn + ε yn
összegezve
[ε ] = [ε ]+ [2 ⋅ ε ⋅ ε ]+ [ε ] [ε ] = [ε ] + [2 ⋅ ε ⋅ ε ] + [ε ] 2 U
2 x
x
2 y
y
2 U
2 x
x
n
n
n
2 y
y
n
Mivel εx és εy ugyanolyan valószínőséggel lehet pozitív vagy negatív, ezért ha n a végtelen felé tart:
[2 ⋅ ε
x
n
⋅ε y
]→0
Ekkor:
[ε ] = [ε ] + [ε ] 2 U
2 x
2 y
n de
n
n
[ε ] = µ ; [ε ] = µ ; [ε ] = µ 2 U
n tehát
2 U
2 x
n
2 x
2 y
n
2 y
µU2 = µ x2 + µ y2 µU = ± µ x2 + µ y2
Azaz tetszıleges lineáris függvény középhibája, ha a függvény alakja U=±ax±by ±cz ±... ±const:
µU = ± (a ⋅ µ x ) 2 + (b ⋅ µ y ) 2 + (c ⋅ µ z ) 2 + ... ha
µ x = µ y = µ z = ... = µ µU = ± µ ⋅ a 2 + b 2 + c 2 + ...
18
3.3. Hibaterjedés általános esetben Nem lineáris függvények középhibája: a legegyszerőbben valamilyen lineáris függvényre vezetjük vissza Taylor-sorba fejtéssel; csak a lineáris tagokat tartjuk meg, és ezekre alklamazzuk a fent megismert törvényszerőségeket. A hibaterjedés tehát alkalmazható minden olyan függvényre, amely folytonos, differenciálható és Taylor-sorba fejthetı. A csak lineáris tagok megtartása és az összes többi felsırendő tag elhanyagolása megengedhetı közelítést jelent. Legyen U ismeretlen mennyiség a megmért x, y, z... mennyiségek tetszıleges f függvénye, ezek valódi hibái εU, εx, εy, εz ..., középhibái µU, µx, µy, µz ... U=f(x, y, z...) Az x, y, z ... mennyiségek meghatározására általában n számú mérést végzünk, így az eredmények x1, y1, z1...,x2, y2, z2...,xn, yn, zn..., ezek valódi hibái εx1, εy1, εz1 ..., εx2, εy2, εz2..., εxn, εyn, εzn... .Ha ezeket behelyettesítjük az f függvénybe, U értékére különbözı eredményeket fogunk kapni.
U1 = f ( x1 , y1 , z1 ,...) U 2 = f ( x2 , y2 , z 2 ,...) ................................ U i = f ( xi , yi , zi ,...) ............................... U n = f ( xn , yn , z n ,...) Ragadjuk ki az i-dik értéket:
U i = f ( xi , yi , zi ,...) ahol U i + ε Ui = U , xi + ε xi = x, yi + ε yi = y, zi + ε zi = z ,...
U i + ε Ui = f ( xi + ε xi , yi + ε yi , zi + ε zi ,...)
ε Ui = f ( xi + ε xi , yi + ε yi , zi + ε zi ,...) − f ( xi , yi , zi ,...) Az f függvényt sorba fejtve és csak a lineáris tagokat tartva meg:
∂f ∂f ∂f ⋅ ε xi + ⋅ ε yi + ⋅ ε zi + ... − f ( xi , yi , zi ,...) ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f ε Ui = ⋅ ε xi + ⋅ ε yi + ⋅ ε zi + ... ∂x ∂y ∂z
ε Ui = f ( xi , yi , zi ,...) +
19
Emeljük négyzetre, és írjuk fel i=1-tıl n-ig: 2
∂f ∂f ∂f = ⋅ ε x21 + ⋅ ε y21 + ⋅ ε z21 + ... + 2 ⋅ f x ⋅ f y ⋅ ε x1 ⋅ ε y1 + ... ∂x ∂z ∂y 2
ε
2 U1
2
2
∂f ∂f ∂f ε = ⋅ ε x22 + ⋅ ε y22 + ⋅ ε z22 + ... + 2 ⋅ f x ⋅ f y ⋅ ε x 2 ⋅ ε y 2 + ... ∂x ∂z ∂y ............................................................................................................. 2
2
2 U2
2
∂f ∂f ∂f ε = ⋅ ε xi2 + ⋅ ε yi2 + ⋅ ε zi2 + ... + 2 ⋅ f x ⋅ f y ⋅ ε xi ⋅ ε yi + ... ∂x ∂z ∂y ............................................................................................................. 2
2
2 Ui
2
∂f ∂f ∂f ε = ⋅ ε xn2 + ⋅ ε yn2 + ⋅ ε zn2 + ... + 2 ⋅ f x ⋅ f y ⋅ ε xn ⋅ ε yn + ... ∂x ∂z ∂y összegezve 2
2
2 Un
[ε ] 2 U
2
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
∂f ∂f ∂f = ⋅ ε x2 + ⋅ ε y2 + ⋅ ε z2 + ... + 2 ⋅ f x ⋅ f y ⋅ ε x ⋅ ε y + ... ∂x ∂z ∂y 2
2
A valódi hibák elıjele éppen úgy lehet pozitív, mint negatív, ezért a kettıs szorzatok elıjele is részben pozitív, részben negatív, így azok összege ha a tagok száma a végtelen felé tart, zérus felé konvergál.
[ε ] 2 U
2
[ ]
[ ]
[ ]
∂f ∂f ∂f = ⋅ ε x2 + ⋅ ε y2 + ⋅ ε z2 + ... ∂x ∂z ∂y 2
2
osztva n-el:
[ε ] = ∂f ⋅ [ε ] + ∂f ⋅ [ε ] + ∂f ⋅ [ε ] + ... 2
2
n
2
2 x
∂x
∂y
n
2
2 y
∂z
n
2 z
n
de
[ε ] = µ ; [ε ] = µ ; [ε ] = µ ; [ε ] = µ ;... 2 U
n
2 x
2 U
2 x
n
2 y
2 y
n
2
2 z
2 z
n
∂f ∂f ∂f µ = ⋅ µ x2 + ⋅ µ y2 + ⋅ µ z2 + ... ∂x ∂z ∂y vagy 2
2
2 U
2
∂f ∂f ∂f µU = ± ⋅ µ x2 + ⋅ µ y2 + ⋅ µ z2 + ... ∂x ∂z ∂y 2
2
20
Ha a súlyokat ismerjük, akkor a számított érték súlya az ismert mu2 =
1 pu
m x2 =
1 px
m y2 =
1 py
m z2 =
1 pz
kifejezések felhasználásával: 2
2
2
1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f 1 = + + + ... p u ∂ x p x ∂ y p y ∂ z p z alakban adható meg. Valamely függvény megfelelı középhibáját a következı lépésekben határozhatjuk meg: 1. Képezzük a meghatározandó mennyiség parciális differenciálhányadosait sorba minden mérési eredmény szerint és kiszámítjuk ezek értékét a mérési eredmények behelyettesítésével. 2. Szorozzuk a parciális differenciál hányadosok értékét a megfelelı középhibával és négyzetre emeljük ıket. 3. A szorzatokat összegezzük és négyzetgyököt vonunk, így kapjuk a meghatározott mennyiség középhibáját. A számítás során vigyázni kell, hogy a hosszméréseket és a hossz-középhibákat ugyanabban a mértékegységben helyettesítsük be (pl. mindent cmben). A szög-egységeket és szög-középhibákat radiánban kell behelyettesíteni. A hibaterjedés törvényének felhasználása a geodéziai gyakorlatban két esetben válhat szükségessé. Az elsı eset, mikor meglévı mérési eredmények és ismert középhibák alapján becsülni kívánjuk a számított érték középhibáját. Második esetben, ha egy meghatározott középhibájú meghatározás érdekében meg kívánjuk tervezni, hogy milyen módon és milyen megbízhatósággal végezzük el a méréseket.
21
3.4. Következtetések a hibaterjedés általános képletébıl Az alábbi következtetéseket a levezetések mellıze nélkül fogalmazzuk meg.
µU =
µ
n pU = n ⋅ p
számtani középérték középhibája egység súlyú mérés esetén számtani középérték súlya egység súlyú mérés esetén
U = a⋅x akkor µU = a ⋅ µ x
mérési eredmény többszöröse függvény középhibája
1 a2 = pU p x
mérési eredmény többszöröse függvény súlya
U = ax + by + cz + ... akkor
µU = a 2 µ x2 + b 2 µ y2 + c 2 µ z2 + ... 1 a2 b2 c2 = + + + ... pU p x p y p z
összeg függvény középhibája
összeg függvény súlya
22
3.5. Példák a hibaterjedés alkalmazására •
•
1. Egy AC hosszúságot két darabban tuduk csak megmérni, az AB és BC darabban, mikor AB+BC=AC. A kapott értékek:AB=112,00m±0,015m és BC=108,42 ±0.05m. Mekkora AC középhibája? AC=112,00+108,42=220,42m 2 2 µ AC = ± µ AB + µ AC = ± (0,015) 2 + (0,05) 2 = ±0,052m
Vagyis AC=220,42m ±0.052m 2. Egy álláspontról megmértünk két irányszöget lA-t és lB-t. Számítsuk ki a köztük lévı szöget, és annak középhibáját! lA=34-48-52 ±20”; lB=122-35-21 ±10”; S=lB-lA=87-46-29 ∂S ∂S = +1; = −1 ∂l B ∂l A 2
2
∂S ∂S ⋅ µ A2 + ⋅ µ B2 = ±22" µ S = ± ∂ l ∂ l A B
Vagyis S=87-46-29 ±22” 3. Megmértük egy téglalap alakú földrészlet hosszát és szélességét. Mennyi a terület és annak a középhibája? a=20m±5cm; b=80m ±20cm T=a*b=1600m2 ∂T ∂T = b = 80m; = a = 20m ∂a ∂b ∂T ∂T µT = ± ⋅ µ a2 + ⋅ µb2 = ± b 2 ⋅ µ a2 + a 2 ⋅ µ b2 = ±5,7m 2 ∂a ∂b 2
2
Vagyis: T=1600m2 ±5,7m2 Tanulság: Az egyik mérési eredmény mindig a másik középhibájával szerepel, tehát a kisebb méret mindig gondosabban mérendı, mint a nagyobb!
23
4. Adott egy kör sugara, mekkora a kerületének és területének a középhibája? r=12,00m±0.005m K=2*Π*r=75.398m T=r2*Π=452.39m2
∂K = 2 ⋅π ∂r
µ K = ± (2 ⋅ π )2 ⋅ µ r2 = ±0.0314m ∂T = 2 ⋅π ⋅ r ∂r
µT = ± (2 ⋅ π ⋅ r )2 ⋅ µ r2 = ±0.377m 2 Vagyis: K=75.398m ±0.0314m; T=452.39m2 ±0.377m2 5. Megmértük egy háromszög két szögét és egy oldalát, számítsuk ki a b oldalt és határozzuk meg a középhibáját! α=32-43-15±2”; β=59-03-21 ±5”; a=312,24 ±1cm b=?; µb=? sin β sin α ∂b 1⋅ sin β + a ⋅ 0 sin β = = ∂a sin α sin α ∂b 0 ⋅ sin α − a ⋅ sin β ⋅ cos α − a ⋅ sin β cos α = = ⋅ = −b ⋅ ctgα ∂α sin 2 α sin α sin α ∂b 0 ⋅ sin β + a ⋅ cos β sin β cos β = = a⋅ ⋅ = b ⋅ ctgβ ∂β sin α sin α sin β
b = a⋅
2
2
2
∂b ∂b ∂b sin β 2 2 2 5 2 2 2 ⋅ µ β2 = ± ⋅ µa + ⋅ µα + ⋅ (0.01) + (− b ⋅ ctgα ) ⋅ + (b ⋅ ctgβ ) ⋅ = ±1.896cm ∂a ∂α sin α ∂β ρ" ρ" 2
2
2
µb = ±
Vagyis: b=495.42 ±1.9cm
24
6. Egy háromszögnek megmértük három oldalát, határozzuk meg az α szöget és annak középhibáját! •
a=526.35m±1.5cm; b=843.12m ±1.5cm; c=1206.45m ±1.5cm
b2 + c2 − a2 = 21 − 45 − 57 2bc
α = arccos ∂α =− ∂a
− 2a ⋅ b 2 + c 2 − a 2 2bc 1 − 2bc 1
2
de cos α =
b2 + c 2 − a 2 2bc
ezért ∂α 1 − 2a =− ⋅ ∂a 1 − cos 2 α 2bc mivel sin 2 α + cos 2 α = 1 ∂α 1 − 2a 2a a =− ⋅ = = ∂a sin α 2bc 2bc sin α 2T mert 2T = bc sin α
1 2b ⋅ 2bc − (b 2 + c 2 − a 2 ) ⋅ (2c + 2b ⋅ 0) ∂α =− ⋅ = sin α 4b 2c 2 ∂b 2 2 3 2 1 4b c − (2b c + 2c − 2a c) = =− ⋅ sin α 4b 2 c 2 4b 2c − 2b 2c − 2c 3 + 2a 2c) 1 2b 2 c − 2c 3 + 2a 2 c) = ⋅ = − ⋅ 4b 2 c 2 sin α 4b 2 c 2 2 2 2 2 2 2 1 2c ⋅ (b − c + a ) 1 b −c +a = − = =− ⋅ ⋅ 2 2 α sin α 2c ⋅ 2b c sin 2 b c =−
1 sin α
2 2 2 b2 − c2 + a2 a ⋅ (b 2 − c 2 + a 2 ) a b −c +a = = − = − = − ⋅ 2 a ⋅ sin α ⋅ 2b 2c 2ab bc sin α sin α ⋅ 2b c a =− ⋅ cos γ 2T
25
[(
) ]
1 2c ⋅ 2bc − b 2 + c 2 − a 2 ⋅ 2b ∂α =− ⋅ = ∂c sin α 4b 2 c 2
(
)
4bc 2 − 2b 3 + 2c 2b − 2a 2b 1 2bc 2 − 2b 3 + 2a 2b ⋅ = − ⋅ = 4b 2c 2 sin α 4b 2c 2 1 2b ⋅ (c 2 − b 2 + a 2 ) 1 c 2 − b2 + a 2 =− ⋅ = − ⋅ = sin α 2b ⋅ (2bc 2 ) sin α 2bc 2 =−
1 sin α
=−
a c2 − b2 + a2 a ⋅ =− ⋅ cos β bc sin α 2ac 2T
∂α ∂α ∂α 2 2 µα = ± ⋅ µ a2 + ⋅ µb + ⋅ µc = ∂a ∂b ∂c 2
2
2
= ± (0.001395) 2 ⋅ 0.0152 + (−0.000735) 2 ⋅ 0.0152 + (0.001122) 2 ⋅ 0.0152 = ±0.000029028 de
µα = ±0.000029028 ⋅ ρ " = ±5.99"
Vagyis: α=21-45-57±5.99”
26
4. A kiegyenlítı számítás alapelve és a legkisebb négyzetek módszere Az elızıekben már láttuk, hogy a mérési eredmények mindig terheltek hibákkal. A mérési hibák következtében, ha ugyanazt a mennyiséget úgy határozzuk meg, hogy a mérések száma több, mint a meghatározáshoz szükséges mérések száma (tehát fölös méréseket is végzünk), akkor különbözı mérésekbıl számítva a meghatározandó értéket, különbözı eredményeket kapunk. A fölös mérések végzésére a gyakorlatban mindig szükség van azért, hogy a meghatározásukra ellenırzésünk legyen. Így a meghatározott mennyiségekre mindig többféle értéket számíthatunk. Másrészt alapvetı követelmény, hogy a meghatározásokat egyértelmően hajtsuk végre. Például tekintsünk egy iránymérésekkel meghatározott alappontot, amelyet négy különbözı külsı pontból határoztunk meg. Két-két irányt kiválasztva, elvégezhetjük a pont koordinátáinak számítását elımetszéssel. Két különbözı háromszögbıl számítva, két különbözı koordináta értéket kapunk ugyanarra a pontra. Ezek az értékek nem térnek el ugyan lényegesen, de feltétlenül szükséges – a pont felhasználhatósága érdekében, - hogy a koordináta értéke egyértelmő legyen. Ilyen ellentmondással egyszerőbb esetekben is találkozhatunk. Pl. egy szakasz többszöri megmérése után az egymásnak ellentmondó mérési eredmények alapján egyértelmően kell megadnunk a szakasz hosszát. Az ilyen jellegő feladatokkal a kiegyenlítı számítás foglalkozik. A kiegyenlítı számítás feladata egyértelmő. Olyan módon kell megváltoztatnunk, megjavítanunk az egyes mérési eredményeket, hogy azok ellentmondás nélkül kielégítsék a köztük fennálló matematikai feltételeket. Ez az egyetlen kikötés azonban még végtelen sok lehetıséget hagy az ellentmondások megszüntetésére. Ezért még további feltétel szükséges a javítások végrehajtására. Ilyen feltétel többféle módon felvehetı; ezek a feltételek olyanok, hogy a javítások valamilyen függvényét minimalizálják. Ennek a feltételnek a felvétele minden esetben önkényes. Ezt a feltételt Karl Friedrich Gauss elgondolása alapján a következı formában szokás felvenni.
[ pvv] →
min
Tehát a javítások súlyozott négyzetösszege minimum legyen. (Ezt nevezzük a legkisebb négyzetek módszerének) A feltétel felvehetı más formában is. Csebüsev az abszolút értékben legnagyobb javítás minimalizálását kötötte ki. / v max / = min A (21) és (22) feltételeken kívül más feltételeket is felvehetünk és azok mindegyike más-más javítási értékrendet (javítások sorozatát) jelenti. A (21) feltétel alapján meghatározott értékrendszert legvalószínőbb javítási értékrendszernek nevezzük. Az így meghatározott érték a legvalószínőbb, vagy a legmegbízhatóbb érték. A (22) feltétel alapján meghatározott értékeket legkedvezıbb értékeknek nevezzük.
27
A geodéziai gyakorlatban majdnem kizárólag a legkisebb négyzet-(összeg)-ek módszerét alkalmazzuk. A legkisebb négyzetek módszerének leírását elıször Legendre francia matematikus közölte 1806-ban. Gauss elsı közlése 1809-ben jelent meg errıl a témáról. Kb. ugyanebben az idıben az amerikai Adrain is közli tılük függetlenül a legkisebb négyzetek módszerét (1808). A legkisebb négyzetek módszere nem nyugszik feltétlenül vitathatatlan alapokon, de a gyakorlat mint egy hasznos elvet, eljárást általánosan alkalmazza.
4.1 A Gauss-féle hibatörvény A méréseket terhelı hibákra Gauss a következı hibatörvényt állította fel: 1. Egyenlı nagyságú pozitív és negatív hibák elıfordulásának valószínősége egyenlı.
V (+ ε ) = V (− ε ) 2. A hibák elıfordulásának valószínősége a hibák nagyságának növekedésével csökken. Nagy hibák ritkábban, kis hibák gyakrabban fordulnak elı.
V (ε )∠V (ε + ∆ε ) 3. A második pont alatti kifejezés szélsı értékekre értelmezve: a/ Végtelen nagyságú hiba elıfordulási valószínősége 0 V( ∞)=0 b/ Legnagyobb valószínősége a 0 nagyságú hiba elkövetésének van. V ( 0 ) = max
4.2. Egy ismeretlenre végzett közvetlen mérések kiegyenlítése 4.2.1. A kiegyenlítés végrehajtása egyenlı megbízhatóságú mérési eredményekkel Közvetlennek nevezzük a mérést, ha magát a meghatározandó mennyiséget mérjük meg: Pl. ha két pont távolságát kívánjuk ismerni és ezért megmérjük a két pontot összekötı legrövidebb vonaldarab (síkon egyenes darab) hosszát. Ha a mérést megismételjük, vagyis többször mérjük meg a meghatározandó mennyiséget, akkor a mérés elkerülhetetlen véletlen hibái miatt általában egymástól eltérı mérési eredményeket kapunk. Ha valamennyi mérés egyenlı megbízhatóságú, akkor a meghatározni kívánt mennyiség legvalószínőbb értéke (x) a mérési eredmények számtani közepe. Ez a legkisebb négyzetek
28
módszerének alaptétele. A most következı levezetés ezért inkább csak példája kíván lenni annak, miként lehet általános esetben is a legvalószínőbb értéket meghatározni; egyúttal pedig arra is szolgálhat, hogy mintegy ellenırzése legyen annak, hogy a kiindulásul felvett számtani középérték tényleg (megfelel a vv → min. feltételnek. (A vv kifejezés a pvv általános kifejezésbıl úgy származik, hogy az egyenlı megbízhatóságú mérési eredmények közös súlyértékét vesszük fel súlyegységnek, tehát valamennyi mérésre vonatkozóan p = 1). Legyenek az egyenlı megbízhatóságú mérési eredmények: L1 L2 ....Ln (ahol a mérési eredmények száma: n).A legvalószínőbb javítások és négyzetük a még egyenlıre ismeretlen x legvalószínőbb érték alapján, valamint a [vv ] érték:
v1 = x − L1
v12 = x 2 − 2 L1 x + L12
v 2 = x − L2 ………….. v n = xLn
v 22 = x 2 − 2 L2 x + L22 …………………… v n2 = x 2 − 2 Ln x + L n2
[vv] = nx 2 − 2[L]x + [LL] A
[vv]
függvénynek ott van szélsı értéke, ahol az x szerinti elsı differenciálhányados zérus:
d [vv ] = 2nx − 2[L] = 0 dx Ebbıl az egyenletbıl a legvalószínőbb érték: x =
[L] n
vagyis a mérési eredmények számtani
középértéke.
d 2 [vv] A [vv ] függvény x szerinti második differenciálhányadosa = 2n mindig pozitív szám dx 2 (n a mérések száma), tehát a függvénynek tényleg minimuma van. (Nem szabad elfeledkezni arról, hogy a [vv] érték valójában dimenzió nélküli mennyiség, mert az egyenlı megbízhatóságú mérések súlyát 1-nek vesszük fel). Az ide sorolható feladatok megoldásakor a következı lépésekben kell a kiegyenlítést elvégezni: 1. A mérési eredmények felírása 2. A legvalószínőbb érték képzése 3. A javítások számítása
4. Ellenırzés 5. A javítások négyzetösszegének számítása
L1 , L2 ,...Ln [L] x= n v1 = x − L1 …………. v n = x − Ln [v] = 0 [vv]
29
mo =
6. A súlyegység középhibája (dimenzió nélkül) egy mérési eredmény középhibája (dimenziós mennyiség) 7. A legvalószínőbb érték súlya (dimenziós mennyiség)
[vv] n −1
mi = m 0 p x = [n ] mx =
8. A legvalószínőbb érték középhibája
m0 = px
[vv] n / n − 1/
Az egy ismeretlenre végzett, egyenlı megbízhatóságú mérések kiegyenlítését számszerően a 2533.1 példa mutatja be.
4.2.2. A kiegyenlítés végrehajtása különbözı megbízhatóságú mérési eredményekkel Ha valamely mennyiség meghatározására különbözı megbízhatóságú méréseket végeztünk, akkor a [ pvv ] függvény minimumát kell keresnünk. Legyenek a keresett mennyiség meghatározására közvetlenül végzett mérések eredményei: L1 , L2 ,.....Ln A mérések súlya:
p1 , p 2 ,....... p n
Számítsuk ki a legvalószínőbb javításokat és a mennyiség legvalószínőbb értékét x-el jelölve:
v1 = x − L1 v 2 = x − L2 …………... v n = x − Ln
[ pvv]
összeg kifejezést. A meghatározandó
p1v12 = p1 x 2 − 2 p1 xL1 + p1 L12 p 2 v 22 = p 2 x 2 − 2 p 2 xL2 + p 2 L22 …………………………........ p n v n2 = p n x 2 − 2 p n xLn + p n L2n
[ pvv] = [ p ]x 2 − 2[ pL]x + [ pLL] A függvény szélsı értékének helyét az x szerinti elsı differenciálhányadosból számítjuk:
d [ pvv ] = 2[ p ]x − 2[ pL ] = 0 dx Ebbıl a legvalószínőbb érték:
x=
pL P
,vagyis a mérési eredmények súlyozott számtani közepe. A második differenciálhányados:
30
d 2 [ pvv] = 2[ p ] dx 2 mindig pozitív szám, tehát a függvénynek minimuma van. Vizsgáljuk még a
v1 =
v2 =
[ pv ]
értéket:
[ pL] − L [ p] 1 [ pL] − L
2
p ……………… [ pL] − L vn = n p
p1v1 = p1
[ pL] − p L
p2 v2 = p 2
p
1 1
[ pL] − p
2 L2 p ………………………. [ pL] − p L pn vn = p n n n p __________________
[ pv] = [ p] [ pL] − [ pL] = 0 p
Ha tehát a mérési eredmények különbözı megbízhatóságúak (különbözı súlyúak), akkor a súllyal szorzott javítások összege zérus. A kiegyenlítés lépései: 1. A mérési eredmények felírása
L1 , L2 ,...Ln
2. A súlyok felírása
4. A javítások számítása 5. Ellenırzés 6. A négyzetösszeg számítása
p1 , p 2 ,... p n [ pL] x= p v1 = x − L1 ,...v n = x − Ln [ pv] = 0 [ pvv]
7. A súlyegység középhibája
m0 =
8. A legvalószínőbb érték súlya
p x = [ p]
9. A legvalószínőbb érték középhibája
mx =
m0
10. Az egyes mérési eredmények középhibája
mi =
m0
3. A legvalószínőbb érték számítása
[ pvv] n −1
px
=
[ pvv] [ p](n − 1)
pi
A 10. lépésben meghatározott p i értékek, a még ki nem egyenlített mérési eredmények középhibái. Mivel a kiegyenlített mérési eredmények, az Li + vi mennyiségek mind egyenlık
31
a megmért mennyiség legvalószínőbb értékével, ezért a mérési eredmények kiegyenlített értékének középhibája megegyezik a legvalószínőbb érték középhibájával, m x -el.
4.3. Oda-vissza mérések kiegyenlítése Egy mennyiség meghatározására két egyenlı megbízhatóságú mérést végeztünk (pl. egy távolságot megmértünk oda-vissza irányban). A mérési eredmények: L1, L2.
•
A kiegyenlítés lépései:
d = L2 − L1 x = L1 + d 2 d µx = 2
µ=
d 2
az észlelési differencia
a legvalószínőbb érték
a mérési eredmény középhibája
a legvalószínőbb érték középhibája
4.4. Számpéldák az egy ismeretlenre végzett közvetlen mérések kiegyenlítésére 4.4.1. Egységsúlyú mérések kiegyenlítése Ugyanazt a távolságot hatszor megmértük. Határozzuk meg a távolság legvalószínőbb értékét és a kiegyenlített érték középhibáját: A mérési eredmények:
159,34 159,24 159,36 159,31 159,17 159,26 A számításokat az alábbi táblázatban végezzük:
Sorszám 1. 2. 3. 4. 5.
Mérési eredmény L L, m m 159,34 0,34 159,36 0,36 159,17 0,17 159,24 0,24 159,31 0,31
p
v
pv
pvv
m −2 1 1 1 1 1
m
m −1
dim.nélk. m 0,0036 64 121 16 9
-0,06 -0,08 +0,11 +0,04 -0,03
mi
32
6. Össz.:
159,26
0,26 1 1,68
+0,02
4 0,0250
0,00
[L] = 159,00 + 1,68 = 159,28m
Kiegyenlített érték
x=
Kiegyenlített érték súlya
p x = [ p ] = 6m
Súlyegység középhibája
m0 =
Kiegyenlített érték középhibája
mx =
n
[vv]
6
−2
0,0250 = ± 0,07 n −1 5 m0 0,07 px = ± 0,03m 6= =
Egyes mérési eredmények középhibája m0
(egységsúlyú mérési eredmény középhibája)
mi =
Tehát a kiegyenlített távolság és középhibája
x = 159,28 m ± 0,03 m
1=
± 0,07 m
Ez a számítás zsebszámológép segítségével is könnyen elvégezhetı. Az egyes mérési eredményeket az x kijelzı regiszterbe visszük be, majd a ∑+ billentyő lenyomásával a számológép képzi megfelelı tárolókba : n ∑x ∑ x2
a mérési eredmények száma az egyes mérési eredmények összege a mérési eredmények négyzetének összege
A ∑+ billentyő után kijelzi az eddig bevitt mérési eredmények számát. A mérési eredmények bevitele után x billentyő lenyomására számítja a kiegyenlített értéket az − Σx x= n képletnek megfelelıen. A középhiba értékét az s billentyő lenyomása után kapjuk.
m0 = s =
(Σx) 2 n n −1
Σ( x 2 ) −
összefüggés segítségével. Ez az elızıek alapján az m0 súlyegység középhibájának felel meg.
33
4.4.2. Különbözı súlyú mérések kiegyenlítése Két pont magasságkülönbségét határoztuk meg három különbözı útvonalon végzett szintezéssel, mindegyik szakaszon oda-vissza irányban is elvégezve a mérést.
A mérési eredmények: L1 = L3 = L5 =
10,0413 m 10,0589 m 10,0322 m
L2 = L4 = L6 =
10,0428 m 10,0571 m 10,0277 m
t = 6 km t = 5 km t = 7,5 km
Szintezésnél a mérési eredmények súlyát a távolsággal fordított arányban szokás felvenni: p = 1/t A számlálóban 1 helyett bármilyen más számot is szerepeltethetünk attól függıen, hogy milyen távolságra végzett szintezést tekintünk egységsúlyú szintezésnek. A következıkben mi válasszunk 30 km távolság szintezését egységsúlyúnak, ekkor mindegyik szintezés súlya egész szám lesz. p1 = p 2 =
30 =5 6
p3 = p 4 =
30 =6 5
p5 = p 6 =
30 =4 7,5
A számítások során minden mérési eredményt mm dimenzióban használunk fel úgy, hogy 10 m-t minden mérési eredménybıl elhagyunk. A súlyok dimenziója mm −2 lesz. A számítások az alábbi táblázatban követhetık: Sorszám
Li mm
1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen: x = 10000 + Ellenırzés:
pi mm
41,5 42,8 58,9 57,1 32,2 27,7
pi Li −2
5 5 6 6 4 4 30
−1
mm 206,5 214,0 353,4 342,6 128,8 110,8 1356,1
vi = x − Li mm +3,9 +2,4 -13,7 -11,9 +13,0 +17,5
pi vi −1
pi vi vi
dim.nélk. mm +19,5 76 +12,0 29 +82,2 1126 -71,4 850 +52,0 676 +70,0 1225 -0,1≈0 3982
mi = m o / p i mm 12,6 12,6 11,5 11,5 14,1 14,1
1356,1 = 10,045,203 ≈ 10,0452 m a kiegyenlített érték. 30
[ pv] = 0
A számpéldában 0,1-et kaptunk, ami a számítás élességének megfelelıen 0-nak tekinthetı, mert
34
[ pv] = − 0,1 = 0,003mm∠ 0,1 mm p
30 2 [ pvv] = 3982 = 28,2 m0 = n −1 5 p x = [ p ] = 30mm −2 mx =
m0 px
=
28,2 = 5,2mm 30
az utolsó értékes tizedesjegy fele a súlyegység középhibája a kiegyenlített érték súlya a kiegyenlített érték középhibája
A számítás alapján a két pont magasságkülönbsége és középhibája: m = 10,0452 m ±5,2 mm Végezetül határozzuk meg a mérési eredmények alapján a szintezés km-es középhibáját. Elıször számítsuk az 1 km hosszú szintezés súlyát p km =
30 = 30mm − 2 1
Ezután a szintezés km-es középhibája m km =
m0 p km
=
28,2 30
= 5,2
A számpéldában súlyok összege és a felvett egységsúlyú szintezés távolsága csak véletlenül egyezik meg.
4.4.3. Oda-vissza mérések kiegyenlítése Egy távolságot oda-vissza megmértünk. Az egyenlı megbízhatóságú mérési eredmények: • L1=100.13m, L2=100.09m
d = L2 − L1 = −0.04 x = L1 +
d = 100.11m 2
d = ±0.028m 2 d µ x = = ±0.020m 2
µ=
Tehát a legvalószínőbb érték és középhibája: 100.11m±0.020m
35
5. Záróhibák elosztása Geodéziai gyakorlatban igen gyakori feladat, hogy a mérési eredmények összegének egy megadott számértéknek kell lenni. Ilyen feladat az, amikor a kétszeresen tájékozott sokszögvonalaknál a szögzáró-hibát (,vagy a vonalas záróhiba Y és X irányú vetületét) elosztjuk a törésszögekre (,illetve az oldalvetületekre). Felmerül ez szintezési, vagy trigonometriai magassági vonalak kiegyenlítése esetén is. Ugyanez a helyzet, amikor egy háromszögben mindhárom szöget megmérjük és a záróhiba értékét elosztjuk az egyes törésszögekre. Ezeknél a feladatoknál egy feltételi egyenletet írhatunk fel: L1 + v1 + L2 + v 2 + L3 + v3 + ... = L , ahol L1 , L2 , L3
mérési eredmények
v1 , v 2 , v3 L
mérési eredmények javítása a mérési eredmények összegének hibátlan értéke (,vagy hibátlannak tekinthetı értéke)
Az ismert L1 , L2 , L3 ... mérési eredményeket, valamint az ismert L hibátlan értéket vonjuk össze egyetlen értékké. Ezt az értéket záróhibának nevezzük.
∆ = L − ( L1 + L2 + L3 + ...) = [L ] − ∑ Li Ez alapján a feltételi egyenlet a következıképpen írható fel: v1 + v 2 + v3 + ..... = ∆ A javítások értékét úgy kell meghatározni, hogy azok súlyozott négyzetösszege minimum legyen. Az egyes mérési eredmények súlyai legyenek rendre p1 p 2 p 3 .... Az egyes javításoknak a mérési eredményhez tartozó súllyal fordított arányban kell lenni. Tehát a nagyobb súlyú, megbízható mérési eredményhez tartozó javítás kisebb legyen, mint a kevésbé megbízható kisebb súlyú méréshez tartozó javítás. Ez alapján v1 =
k ; p1
v2 =
k p2
v3 =
k p3
,ahol a k egyenlıre ismeretlen számérték. Írjuk be a súlyok reciprok értékeit: 1 = qi ; pi
v1 = q1 k ;
v2 = q 2 k ;
v3 = q3 k
Az 5 egyenletet beírva a 3 egyenletbe, a következıt kapjuk:
36
q 1 k + q 2 k + q 3 k + ... + l = 0 amibıl a k értéke: k=−
l [qi ]
Ezután már számíthatók az egyes mérések javításai a (39.) képletek alapján. A javítások négyzetösszege:
[ pvv] = [ pi .qi k .qi k ] = [qi k 2 ] = [qi ]
l2
[qi ]2
amibıl:
[ pvv] = A súlyegység középhibája:
m0 =
l2 [qi ]
[ pvv] f
,ahol f = 1 a fölös mérések száma. Ezután számíthatjuk egy mérési eredmény középhibáját:
m0
mi =
pi
Végül megjegyezzük, hogy a gyakorlatban a súly kifejezést ilyen esetekben gyakran a súlyok reciprok értékére is használják nem teljesen szabatosan. (A súly definícióját lásd a 232. fejezetben).
Számpéldák a záróhibák elosztására A pont neve, vagy száma
Távolság (t) ( km )
Mért magasságkülönbség ( m ) qi = t Oda
Vissza
Közép
Kiegyenlített magasságkülönbség (m)
Magasság (m)
SZINTEZÉSI VONAL KIEGYENLÍTÉSE 164 1
0,5
+2,348 -2,350
2
1,0
-1,848 +1,856
3
2,0
+0,420 -0,406
4
1,5
-1,038 +1,049
+2 + 2,349 +4 -1,852 +8 +0,413 +6 -1,044
2,351
128,948 131,299
-1,848
129,451
+0,421
129,072
-1,038
128,034
37
185
0,7
+2,468 -2,460
5,7
+2,350 -2,311
916 76
1,6
77
1,0
78
2,8
79
2,1
80
1,8
923
2,5
+3 +2,464 +2,330
+2,467
TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGI VONAL KIEGYENLÍTÉSE q=t 2 2,6 +10,36 -10,42 -2 +10,37 +10,39 1,0 -15,25 +15,31 -1 -15,29 -15,28 7,8 -6,50 +6,38 -6 -6,50 -6,44 4,4 +2,95 -2,90 -3 +2,89 +2,92 3,2 +0,63 -0,68 -2 +0,64 +0,66 6,2 -5,48 +5,58 -4 -5,57 -5,53 25,2 -13,29 +13,27 -13,28
131,301 +2,353 ∆=+23 mm 167,37 177,74 162,45 155,95 158,84 159,48 153,91 -13,46 ∆=-18 mm
38
6. A mérések megbízhatósága és a középhiba mint a megfigyelések számának függvénye A megbízhatóság annál nagyobb, minnél kisebb a középhiba, vagyis minnél kisebb az a határérték, amellyel az abszolút helyes értéket megközelítettük.
•
Legyen a valószínőleg helyes érték megbízhatósága H, az egyes mérések megbízhatósága h:
1
H= h=
µx
a legvalószínőbb érték megbízhatósága
1
egyes mérések megbízhatósága
µ
mivel 1
µx
= n⋅
1
µ
ezért H = n ⋅h
µx =
µ n
A valószínőleg helyes érték megbízhatósága mindig nagyobb, mint az egyes mérések megbízhatósága a valószínőleg helyes érték középhibája a megfigyelések számának négyzetgyöke arányában csökken
A függvény:
µx =
µ n
ha µ =1 akkor
µx =
µ értékének változása csak függıleges irányban tolná el a függvényt
1 n
39
Következtetések:
1. A középhiba az elsı öt ismétlésig gyorsan csökken 2. 20-24 ismétlés után alig csökken 3. A pontosság növelésére csak 5-10, legfeljebb 20-25 ismétlést célszerő végezni, ennél nagyobb ismétlésszámot csak tudományos vizsgálatok indokolnak
6.1. A mérések ismétlésének hatása – összefüggések a súly és a középhiba között Tételezzünk fel ugyanannak a mennyiségnek a meghatározására két mérési sorozatot ugyanazzal a mőszerrel, ugyanolyan körülmények között. µ x1 =
µ n1
; µx2 =
µ n2
Mivel n1 és n2 nem egyenlı, ezért µx1 és µx2 sem egyenlı, és x1 és x2 különbözı súlyúak. A súly a megfigyelések számától függ.
µ x1 =
µ p1
; µ x2 =
µ p2
µ = µ x1 ⋅ p1 ; µ = µ x 2 ⋅ p2
a két egyenlet bal oldala egyenlı egymással
µ x1 ⋅ p1 = µ x 2 ⋅ p2 tehát p1 µ x22 = p2 µ x21 általában p1 µ 22 n1 = = p2 µ12 n2
40
6.2. Számolási példák 1. Egy mérésünk középhibája µ1=±10”, súlya p=1, mekkora lesz a súlya annak a három mérésnek, amelyeknek középhibája 8”, 7”, és 6”?
p1 µ 22 = p2 µ12 1 82 = 2 ; p 2 = 1 .6 p2 10 1 72 = 2 ; p 2 = 2 .0 p2 10 1 62 = ; p 2 = 2 .8 p2 10 2 2. Egy szögmérésnél a súlyegység középhibája µ0=±4.5”. Hányszor kell megmérnünk ugyanazt a szöget egy olyan mőszerrel, melynél az egyszeri mérés középhibája µ=±11.2”, hogy a súlya szintén 1 legyen?
p1 µ 22 1 11.2 2 = = ; p2 = 0.16 ; p2 µ12 p2 4.5 2 p1 n1 0.16 1 = ; = ; n2 = 6.25 ≈ 6 p 2 n2 1 n2 3. Egy háromszög belsı szögeit három különbözı mőszerrel mértük. Az α szöget egy olyan mőszerrel, melynek középhibája ±2”, a β szöget olyannal, melynek középhibája ±3”, a γ szöget olyannal, melynek középhibája ±5”. Hányszor kell az egyes szögeket megmérnünk az egyes mőszerekkel, ha azt akarjuk, hogy mindhárom szögnek a súlya 1 legyen, ha a súlyegység középhibája µ0=1?
p12 ⋅ µ12 n1 = n0 ⋅ 2 2 p0 ⋅ µ 0
p0=1, µ0=1”, n0=1
tehát n1 = µ12 azaz nα = µα2 = 4 nβ = µ β2 = 9 nγ = µγ2 = 25 41
Ha tehát az α szöget 4-szer, a β szöget 9-szer, a γ szöget 25-ször mérem meg, akkor a középhibák 1”-el lesznek egyenlıek, a súlyok pedig 1-el. Az eredmény olyan, mintha ugyanazzal a mőszerrel végeztem volna a mérést, mégpedig egy olyannal, melynek középhibája 1”.
4. Egy háromszögben az α szöget háromszor, a β szöget négyszer mértük. A súlyok az ismétlés számmal arányosak, mekkora lesz a γ szög súlya, és mekkora az egyes szögek középhibája?
1 1 1 1 1 7 = + = + = pγ pα p β 3 4 12 pγ =
12 = 1.714 7
és
µi =
µ0 pi
azaz 10" = ±5.77" 3 10" µβ = = ±5.00" 4 10" µγ = = ±7.64" 1.714
µα =
42
7. Felhasznált irodalom •
Oltay Károly, 1962: Geodézia, Tankönyvkiadó-Budapest, 32-56 old.
•
Sébor János, 1953: Geodézia I., Mezıgazdasági Kiadó,
•
Geodéziai Kézikönyv, 1956: I. kötet, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, szerk.: Hazay István, 145-165 old.
•
Geodéziai számítások, 1959, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, szerk.: Dr. Vincze Vilmos, 379-384 old
7-28 old.
43
