Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ. VASBETON SZILÁRDSÁGTAN az EUROCODE 2 szerint (magasépítés) Az EC és az MSZ összehasonlítása is TANKÖNYV I. AZ ÁBRÁK

Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ

VASBETON SZILÁRDSÁGTAN az

EUROCODE 2 szerint (magasépítés) Az EC és az MSZ összehasonlítása is

TANKÖNYV

I. AZ ÁBRÁK NEd MEdo

Mekkora az NRd határerő?

(alapérték, elsőrendű elmélet)

l = lcol A helyettesítő

kihajlási hossz: lo.

rugalmas befogás hajlításra

BUDAPEST 2010

1

ELŐSZÓ Hazánkban mintegy 2 évtizede bevált szabványok(MSZ) szabályozásával folyik a magasépítési vasbetonszerkezetek tervezése, építése. Az utóbbi időkben, az Európai Uniós csatlakozásunk következtében, elkezdték nálunk is bevezetni az új európai tartószerkezeti szabványokat. Ezek összefoglaló neve EUROCODE(EC). A különböző ágazati szabványok további jelölésekkel vannak ellátva. Így pl. az általunk is tárgyalt vasbetonszerkezeti(betonszerkezeti) szabvány az EUROCODE 2, röviden az EC2 jelzést viseli. A pontosabb adatokat l. a FÜGGELÉK-beli IRODALOM-ban(MSZ EN az EC szabványok hazai megnevezése). Külön IRODALOM van az 1. FEJEZEThez a 20. oldalon. Az EUROCODE szabványrendszer értékelésénél az alábbi szempontokat tartjuk a legfontosabbaknak: ■ a) Tartalmazza-e a legújabb szakmai ismereteket?

■ b) Áttekinthető, világos, tömör, szemléletes, felhasználóbarát, könnyen kezelhető-e? ■ c) A szabvány használatával csökken-e a tervező mérnökök már ma is igen nagy munkája? ■ d) A szabvány hozzásegíti-e a tervező mérnököket gazdaságosabb szerkezetek tervezéséhez? Eddigi ismereteink és tapasztalataink alapján a b)-d) kérdésekre egyértelműen nem a válaszunk. Jelen tankönyv megírásakor arra is kitértünk, hogy az EC2-t az MSZ-szel összehasonlítva mutassuk be. A számítási eljárások algoritmusait igyekszünk a legegyszerűbben megfogalmazni. Az eljárások minél áttekinthetőbb szemléltetésére törekedtünk: ábrák, táblázatok. A tankönyv szerves részét alkotják a SZÁMPÉLDÁK (44 oldal). Feltételezzük, hogy a kapcsolódó más szaktárgyak tudnivalói ismeretesek az olvasó előtt: Szilárdságtan, Mechanika, Statika, Építőanyag-ismeret (beton, betonacél stb.) stb. Teljességre mi sem törekedhettünk, de bízunk abban, hogy könyvünk eleget fog tenni a hallgatók jogos igényeinek. FIGYELEM! A könyvet úgy szerkesztettük meg, hogy az összes ábra egymás után a könyv elején van!

A szerző

BUDAPEST, 2010. december

2

TARTALOM FIGYELEM! A könyv elején van az összes ábra: 5.–96. oldal.

TARTALOM

98

1. FEJEZET: A VASBETONRÓL ÁLTALÁBAN

100

1.1. DEFINÍCIÓ

100

1.2. RÖVID TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS

100

1.3. A VASBETON ELŐNYEI ÉS HÁTRÁNYAI

102

1.4. A VASBETON ÉPÍTŐANYAGAI. ANYAGMODELLEK

103

1.5. A BETON ÉS AZ ACÉLBETÉT EGYÜTTDOLGOZÁSA. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTOK. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

105

1.6. VASALTSÁGI SZINTEK(normálisan vasalt, gyengén vasalt, alulvasalt, túlvasalt)

1.7. A BIZTONSÁGRÓL. MÉRETEZÉSI ELVEK(röviden)

106 108

2. FEJEZET: EUROCODE(EC) ALAPISMERETEK 110 2.1. Ellenőrzési/méretezési elvek. A biztonság szintje. Határállapotok. Hatáskombinációk

110

2.2. Terhelő hatások

112

2.3. Anyagjellemzők(beton, betonacél, feszítőacél)

112

2.4. Vegyes adatok/segédletek

112

3

3. FEJEZET: TEHERBÍRÁSI HATÁRÁLLAPOTOK

113

3.1. HAJLÍTÁS(tiszta) 3.1.1. ELLENŐRZÉS 3.1.2. MÉRETEZÉS

113 114 114

3.2. NYÍRÁS(tiszta)

115

3.3. CSAVARÁS(tiszta csavarás és csavarás + nyírás)

117

3.4. KÜLPONTOS NYOMÁS(ÉS KÖZPONTOS NYOMÁS)

120

4. FEJEZET: HASZNÁLHATÓSÁGI HATÁRÁLLAPOTOK

124

4.1. REPEDÉSKORLÁTOZÁS

124

4.2. FESZÜLTSÉGKORLÁTOZÁS

126

4.3. AZ ALAKVÁLTOZÁSOK KORLÁTOZÁSA(lehajlás)

128

FÜGGELÉK

129

SZÁMPÉLDÁK

157

Az utolsó oldal: a 200. oldal.

4

c, c: concrete=beton f, f, f: failure=törő; szilárdság t: tensile=húzó u: ultimate=végső, határ k: characteristic=minősítési

beton σc [Nmm-2]

nyomás

σcf

σcf :törőszilárdság tanγco ≈ Ecm

2.3. 1. ábra −I. táblázat II. táblázat

εcf ≈ 2,5−3,5 σct : húzószilárdság

fck

εcu

εc[‰]

fctd, fctm

σs

torzított ábra [Nmm ] σsf : szakítószilárdság ftk -2

σsy : folyási határ

betonacél

s: steel=acél t: tensile=húzó k: characteristic=minősítési

húzás

f, f: failure=törő; szilárdság y: yield=folyási u: ultimate=végső, határ

tanγs = Es = 200−206 kNmm

-2

σsy

S500 fyk

2.3. 2. ábra-II. táblázat

εsyk ≈ 1,2−2,5

εsf ≈ 150−200

εs[‰]

εuk Megjegyzések: 1.) Nyomásra hasonló a diagram (de vb.-nél εs ≤ εcf ≈ 2,5−3,5 ‰ ). 2.) Ha a σsy folyási határ elmosódik, akkor ún. egyezményes folyási határt definiálunk: σs,0.2 az a feszültség, amelyhez εmaradó = 0,2% maradó nyúlás tartozik leterhelés után. 3.) Feszítőacéloknál: σs,0.1 az a feszültség, amelyhez εmaradó = 0,1% (leterhelve). FIGYELEM! A jelölések, indexek angolok, de a mechanikai/fizikai tartalom általános érvényű. Érvényes mind az EC-re, mind az MSZ-re. De a 2.3. 1.−3. ábrák szerinti szabványos szilárdsági jellemzők eltérőek a két szabványban.

1.4. 1. ábra A beton és a betonacél valóságos alakhelyes σ–ε diagramja

5

2.3. I. táblázat

εc

a zsugorodási tényező végértéke zsugorodás(sh):εc,sh = εc,sh(t) = εc,sh∞f(t)

εc∞ időfüggvény

εc,sh εc(t)

kúszás(c): εc,c = φεco φ = φ(t) = φ∞f(t)

εc,c

εco

a kúszási tényező végértéke 2.3. I. táblázat

εco t: idő

kezdeti(o) t rugalmas alakváltozás

kúszásnál: t: a megterheléstől eltelt idő (to = τ),

(megterheléskor)

zsugorodásnál: t: a betonozástól eltelt idő

betonozás

A fenti ábrán a kétféle kezdőidőpontot nem különböztettük meg.

εc = εc(t) = εco + εc,c + εc,sh = εco(1+φ) + εc,sh

c: concrete=beton c: creep=kúszás sh: shrinkage=zsugorodás

1.4. 2. ábra A beton tartós alakváltozásai

6

a ∆

∆

P

nem tapadó acélbetét

l a betonra átadódó tapadófeszültségek

−τ jól tapadó acélbetét

Ha nem tapadna az acélbetét a betonhoz, akkor a tartóvégeken ∆ mértékű eltolódás állna elő az acélbetét vége és a tartóvég között.

A τ tapadófeszültségek révén ∆ = 0 alakul ki. A τ tapadófeszültségek közvetítésével az acélbetét húzást kap: Ns1.

τ a nyomatéki teherbírás M Nc MRd = Ns1z z

Az acélbetétekben lévő erőt le kell horgonyozni. Ez azt jelenti, hogy az acélbetétek Ns1erejét átadjuk a betonnak. A tapadófeszültségek révén.

lb

M1 acélbetétek Ø

M2

lb

Ns1

lb ≈ (25−35)Ø

lehorgonyzási hossz

P

b

Kis tapadásnál a tartó ívként működne teherbírási határállapotban. Ez azonban túl nagy repedésekkel járna.

Nc z repedések Ns1

vonórúdként működő húzott vasalás

l erős lehorgonyzás (kampó, hurok) felülnézet

Megjegyzés: a jól tapadó acélbetét bordás felületi kialakítású.

1.5. 1. ábra A beton és az acélbetét együttdolgozása Általános vasbeton szilárdságtan! Nem szabályzati előírások! De az lb nagyságát az EC-ből kell venni.

7

nyírási kengyelek

felhajlítás nyírásra húzott hajlí− tási vasalás

l

repedésmentes: I. feszültségi állapot

h b

fyd húzás

fcd

xiI MserI

nyomás

εc VserI

εs

fctmhúzás nyomás

fyd

berepedt: II. feszültségi állapot

fyd xiII

húzás

MserII fcd nyomás

εc

τ-repedések a hajlítás dominál VserII repedésmentes σ-repedések repedésmentes hajlításra

εs

hajlításra

nyomás

fyd képlékeny: III. feszültségi állapot

fyd húzás

xIII = xc MEd

fcd nyomás εc

a hajlítás dominál

τ-repedések

σ-repedések

VEd

VserI fyd VserII VEd (előjel)

MserI MserII MEd

M

hajlítás

εcu

V

nyírás

1.5. 2. ábra Feszültségi állapotok. A repedezettség növekedése a teher növekedésével (tiszta hajlítás, tiszta nyírás) Általános vasbeton szilárdságtan! Nem szabályzati előírások!

8

εs nyomás

a

Hajlítási repedések és hajlítási törés betonösszemorzsolódás

σc

M

Rossz tapadás esetén nagy koncentrált hajlítási repedés és hajlítási törés. Megjegyzés: pl. régi típusú utófeszített szerkezetben(nincs kiinjektálva).

Jó tapadás esetén több kisebb hajlítási repedés.

b

Nyírási repedések és nyírási törés

betonösszemorzsolódás

fiktív vonal(rajzi hiba)

Nagy ferde repedés, nyírási törés. Az erős lehorgonyzás(kampó, hurok) itt is fontos. felülnézet

V

Megjegyzés: a jól tapadó acélbetét bordás felületi kialakítású.

1.5. 3. ábra Hajlítási törés. Nyírási törés Általános vasbeton szilárdságtan! Nem szabályzati előírások!

9

Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

σcI,u

u: upper=felső

EC

d2

nyomott

σs2,I

h/2 h

MSZ

xiI

d= d1

As2 As1

xiI tengely d−xiI

σs1,I

Mser húzott

σcI,l

a

a

xiI −

I: I. feszültségi állapot

b l: lower=alsó

s: steel=acél

c: concrete=beton

Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiI = bh + (αe−1)As2 + (αe−1)As1 . Statikai nyomaték a felső(u) [nyomott] szélső szálra: + (αe−1)As2d2 + (αe−1)As1d.

SiI,u =

A semleges tengely xiI helyzete: xiI =

.

A tehetetlenségi nyomaték az xiI semleges tengelyre: IiI =

2

2

+ bh(xiI − ) + (αe−1)As2[xiI – d2] + 2

+ (αe−1)As1[ d − xiI ] .

A fentiekben:

αe =

=

.

Itt φ a kúszási tényező: 2.3. I. táblázat.

1.5. 4a). ábra Keresztmetszeti jellemzők I. feszültségi állapotban (repedésmentes). Derékszögű négyszög alakú keresztmetszet

10


σcI,u

beff

u: upper=felső

EC

d2

nyomott

t

MSZ

xiI

σs2,I

h/2 h

d= d1

As2 As1

xiI tengely d−xiI

σs1,I

Mser húzott

σcI,l

a

a b

I: I. feszültségi állapot

l: lower=alsó

c: concrete=beton

xiI

s: steel=acél

Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiI = bh + (beff – b)t + (αe−1)As2 + (αe−1)As1. Statikai nyomaték a felső(u) [nyomott] szélső szálra: SiI,u =

+ (beff – b)

+ (αe−1)As2d2 + (αe−1)As1d.

A semleges tengely xiI helyzete: Ha x < t, akkor is érvé-

iI ≥ t. nyesek a képletek.

xiI =

A tehetetlenségi nyomaték az xiI semleges tengelyre: IiI =

+ bh(

xiI)2 + (beff – b)

2

+ (beff – b)t(xiI – ) + 2

2

+ (αe−1)As2[xiI – d2] + (αe−1)As1[d−xiI ] .

A fentiekben:

αe =

=

.


FIGYELEM! T-alakú keresztmetszetbe nyomott acélbetéteket általában nem teszünk (As2=0). Nem gazdaságosak. Általában csak szerelő/szerkezeti acélbetéteket alkalmazunk a nyomott övben.

1.5. 4b). ábra Keresztmetszeti jellemzők I. feszültségi állapotban (repedésmentes). T– alakú keresztmetszet

11


σcII,u

u: upper=felső

EC

MSZ

d2

nyomott

σs2,II

xiII h/2

h

d= d1

As2 As1

xiII tengely d−xiII

σs1,II ≡ σsII húzott

Mser a

a II: II. feszültségi állapot c: concrete=beton

b l: lower=alsó

s: steel=acél

Statikai nyomaték az xiII semleges tengelyre: + (αe −1)As2(xiII – d2) − αeAs1(d − xiII) = 0,

SxiII =

SxiII = xiII2 + BxiII + C = 0. B = [αeAs1 + (αe−1)As2]

C = –[αeAs1d + (αe−1)As2d2] .

A semleges tengely xiII helyzete: xiII =

√ .

Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiII = bxiII + (αe−1)As2 + αeAs1. A tehetetlenségi nyomaték az xiII tengelyre: IiII =

2

2

+ (αe−1)As2[xiII – d2] + αeAs1[d − xiII] .

A fentiekben:

αe =

=

.


1.5. 5a). ábra Keresztmetszeti jellemzők II. feszültségi állapotban (berepedt). Derékszögű négyszög alakú keresztmetszet

12


σcII,u

beff

u: upper=felső

EC

d2

nyomott

t

xiII

σs2,II h

MSZ

d= d1

As2 As1

xiII tengely d−xiII

σs1,II ≡ σsII

Mser

húzott

a

a b l: lower=alsó

s: steel=acél

II: II. feszültségi állapot c: concrete=beton

Statikai nyomaték az xiII semleges tengelyre: SxiII =

+ (beff – b)t(xiII – ) + (αe−1)As2(xiII – d2) − αeAs1(d – xiII) = 0,

SxiII = xiII2 + BxiII + C = 0. B = [(beff – b)t + αeAs1 + (αe−1)As2 ] C = –[(beff – b)

+ αeAs1d + (αe−1)As2d2] . Ha xiII < t,

A semleges tengely xiII helyzete:

√

xiII =

≥ t.

Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiII = bxiII + (beff – b)t + (αe−1)As2 + αeAs1. A tehetetlenségi nyomaték az xiII tengelyre: IiII =

+ (beff – b)

akkor az előző ábra érvényes, de b = beff .

2

+ (beff – b)t(xiII – ) + 2

2

+ (αe−1)As2[xiII − d2] + αeAs1[d − xiII] .

A fentiekben:

αe =

=

.


FIGYELEM! T-alakú keresztmetszetbe nyomott acélbetéteket általában nem teszünk. Nem gazdaságosak. Általában csak szerelő/szerkezeti acélbetéteket alkalmazunk a nyomott övben.

1.5. 5b). ábra Keresztmetszeti jellemzők II. feszültségi állapotban (berepedt). T – alakú keresztmetszet 13

Az x tengely helyzetének változása az M hajlítónyomaték függvényében:

1a alulvasalt tartó:

3 túlvasalt tartó (ridegen

■ az acélbetétek a repedések megjelenésekor (Mcr) azonnal elszakadnak (εs > εuk ); ■ a II. feszültségi állapot sem alakul ki.

törik): ■ az acélbetétek nem folynak meg (σs < fyd ); ■ a beton szélső szálában létrejön az εcu törési összenyomódás [tervezési értéke].

x

xtúlvasalt

xcI

xiI

xiII

xIII = xc

repesztőnyomaték: Mcr

I. feszültségi állapot

II. feszültségi állapot

MRd

M

III. feszültségi állapot

vasalás nélkül

2 normálisan vasalt tartó:

1b gyengén vasalt tartó:

■ az acélbetétek megfolynak (σs1 = fyd ); ■ a beton szélső szálában létrejön az εcu törési összenyomódás [tervezési értéke]; kialakul a III. feszültségi állapot, azaz a teherbírási határállapot.

■ az acélbetétek a repedések megjelenése után még működnek, meg is folynak (σs = fyd ), de az εcu elérése előtt elszakadnak (εs > εuk ); ■ a II. feszültségi állapot kialakul ugyan, de a III. nem.

εcu= 3,5‰

2.3. 1. ábra

xIII = xc

fcd

As2 xiII h

εs ≤ εuk [ 2 ] 2.3. 2. ábra c: concrete=beton s: steel=acél

σs1 = fyd

σs1

As1

b

1.6. 1. ábra A vasbeton keresztmetszet viselkedése a tönkremenetel pillanatában, különböző vasaltsági szinteken( 1a , 1b , 2 , 3 ) Általános vasbeton szilárdságtan! Nem szabályzati előírások!

14

Értelemszerűen más igénybevételekre is.

MRd

MSZ

HAJLÍTÁS

KÖZPONTOS NYOMÁS

NRd MEd

NEd ΣAs = As1+As2 vasbeton

vasbeton

MRd,vb

NRd,vb b

gyengén vasalt

vb

As2 h As1

gyengén vasalt beton

MRd,gyv =

MRd,c

mMRd,vb

μmin = 0,30% μ = ≤1

mMSZ = 0,67 + 0,33

NRd,c beton

NRd,gyv = mNRd,vb

100

Σμmin = 0,60% Σμ =

MSZ

mI =

100

≤ 1; szakirodalom

Minimális acélbetét százalékok(a teljes betonkeresztmetszetre):

HAJLÍTÁS

NYÍRÁS

húzott : μmin = 0,30% ρmin = 0,15%

μminT = 0,10%

ρminV = 0,10%

nyomott: μ2min = 0,10% (csak gerendában)

KÜLPONTOS NYOMÁS húzott :

μmin = 0,30%

ρmin = 0,15%

nyomott: μ2min = 0,30% Σμmin = 0,60% (húzott is) Σρmin = 0,30%

ρ: EC/MSZ EN, 2.4. II.−IV. táblázat Megjegyezzük, hogy ez a táblázat tájékoztató jellegű, mert a minimális vasalás mennyiségét a fenti számokon kívül képletszerűen is meg kell vizsgálni az EC/MSZ EN szerint. ●Az EC2-nek megfelelő MSZ EN 1992-1-1/2010 szabvány nem ad meg az m-re gyengén vasaltsági redukciós képletet(betonnak tekinti a gyengén vasalt keresztmetszeteket). Ezért az elméleti szempontból is helyes mMSZ tényező képletét itt megadjuk. Továbbá – jobb híján − a fenti mI képletet is bemutatjuk. A mérnök dönthet, hogy a ritka gyengén vasaltsági esetekben melyiket tartja helyesebbnek. Mi az mMSZ tényezőt javasoljuk. ●A vasalt keresztmetszet teherbírásának(R) tervezési értéke nem lehet kisebb, mint a vasalatlan betonkeresztmetszet(c) határteherbírása(MRd,c, NRd,c).

1.6. 2. ábra A gyengén vasalt keresztmetszetek teherbírása(R). Minimális acélbetét százalékok 15

A statikus mérnöki gyakorlat foglalkozik ■ új szerkezetek tervezésével (méretezés, ellenőrzés), ■ meglévő szerkezetek szakértésével, megerősítésével. átalakításával.

ALAPKÉRDÉS: képes-e a szerkezet törés nélkül, továbbá túlzottan nagy alakváltozások nélkül viselni a terheit? Ezen kérdés megválaszolása során 3 alapegyenlet-típust használunk: ► egyensúlyi egyenleteket, ► geometriai (összeférhetőségi) egyenleteket, ► anyagegyenleteket [σ(ε), σ(ε) egyenleteket; 2.3. 1.-3. ábra].

Teherbírási ELLENŐRZÉSI és

MÉRETEZÉSI ELJÁRÁSOK

Egyetlen biztonsági tényezős eljárás: γeng >1

Osztott biztonsági tényezős eljárás: γteher >1, γanyag >1

Biztonsági tényező nélküli eljárás

●σeng megengedett feszültségekkel

● Törési biztonságon alapuló 2. eljárás

● Teljes valószínűségi eljárás (valószínűség-

σeng = ●Törési biztonságon alapuló 1. eljárás Eeng = γengE

E: teher vagy igénybevétel

σH =

számítás, matematikai statisztika stb.)

EM = γteherE E: teher vagy igénybevétel ● Félvalószínűségi eljárás. Ezt használjuk! 1.7. 2.−4. ábra!

FIGYELEM! ●Az EC is hasonló elvi alapokon áll (általános, nemzetközi alapelvek). ●De a biztonság szintje az EC -ben jóval nagyobb.

MSZ EC

2.1. I. táblázat(γG, γQ)

1.7. 1. ábra A szokásos ELLENŐRZÉSI/MÉRETEZÉSI eljárások vázlata

16

f: relatív gyakorisági függvény; 1.7. 3. ábra EM = γMEa MSZ

Ea

5% a valószínűsége, hogy ennél nagyobb teher vagy igénybevétel előfordul rendkívüli érték (földrengés stb.) 99%

50% Ev, Eh

95%

EM

várható érték alapérték

szélsőérték

Er

teher vagy igénybevétel

M: mértékadó, szélső

Eh = Ea = Ev: az Eh használati teher vagy igénybevétel a teher vagy az igénybevétel Ea alapértékével egyenlő. Használati határállapotokhoz (repedéskorlátozás, lehajlások korlátozása).

Ev :várható érték, átlagérték (mérések, statisztika), Ea = Ev: alapérték. EM = γM Ea: a teher vagy az igénybevétel szélsőértéke (M),

γM = γteher: a teher vagy az igénybevétel biztonsági tényezője 1.7. 1. ábra (γM = 1,2–1,4 ). FIGYELEM ! Törési határállapothoz. ●Az EC is hasonló elvi alapokon áll (általános, nemzetközi alapelvek). ●De a biztonság szintje az EC -ben jóval nagyobb. 2.1. I. táblázat(γG, γQ)

MSZ EC 1.7. 2. ábra Az osztott biztonsági tényezős(félvalószínűségi ) ELLENŐRZÉSI/MÉRETEZÉSI eljárás szerinti tervezési terhek vagy igénybevételek(Eh, EM)

17

f: relatív gyakorisági függvény a beton nyomó határfeszültsége; 2.3. 1. ábra

Rbk

σbH

f:relatív gyakorisági függvény ~s

vagy sűrűségfüggvény.

~2s

Eltörünk N db beton próbahengert/kockát. Pl. a σbi =19 Nmm-2 beton törőszilárdság ki = 27-szer fordult elő. A ki szám a σbi törőszilárdság gyakorisága. Az fi = ki/N arányt relatív gyakoriságnak nevezzük.

fi minősítési/alap− érték

2.1. 1. ábra

MSZ 1‰

5%

50%

σbH Rbk szélsőérték

σbv

σbi

betonszilárdság

várható érték

s: a szórás, ami azt fejezi ki, hogy milyen mértékben ingadozik a mért betonszilárdság, –mint minőségi jellemző– a σbv várható érték/átlagérték körül. Az Rbk minősítési érték (pl. C20-nál: 20): 5% a valószínűsége, hogy ennél kisebb betonszilárdság előfordul.

σbv: várható érték, átlagérték (mérések, statisztika), σba = Rbk : alapérték, minősítési érték. 1.7. 1. ábra σbH =

Itt γb = γanyag: a beton biztonsági tényezője törési határállapothoz.

MSZ

V.ö. 2.3. 1. ábra: αR = 0,75–0,95 ;(a hajl.-nyom. szilárdság/hengerszil.); γb=1,3. FIGYELEM!

●Az EC is hasonló elvi alapokon áll (általános, nemzetközi alapelvek). ●De a biztonság szintje az EC -ben jóval nagyobb.

MSZ EC 1.7. 3. ábra


Az osztott biztonsági tényezős(félvalószínűségi ) eljárás szerinti beton nyomó határfeszültség(σbH) az MSZ felfogásában. EC: beton nyomószilárdság tervezési értéke

18

Vizsgáljuk pl. a tiszta hajlítást.

MM

Megfelel, ha MH ≥ MM. MH: határnyomaték/teherbírás, MM: mértékadó nyomaték.

f: relatív gyakorisági függvény fM mértékadó(M)

fH határ(H)

MM

MH

szélsőérték 1.7. 2. ábra

MSZ túllépési valószínűségek: 5%

M

szélsőérték 1.7. 3. ábra 1‰

A tönkremenetel bekövetkezési valószínűsége, azaz a kockázat: ● Használati határállapotban: 10-2 –10-3, tehát minden 100., 1000. szerkezet erősen berepedhet, nagy lehajlásokat végezhet. ●Teherbírási határállapotban: 10-4 –10-5(5%*1‰ = 5*10-5), tehát minden 10 000., 100 000. szerkezet súlyosan károsodhat, összeomolhat.

FIGYELEM! ●Az EC is hasonló elvi alapokon áll (általános, nemzetközi alapelvek). ●De a biztonság szintje az EC -ben jóval nagyobb.

MSZ EC 1.7. 4. ábra


Az osztott biztonsági tényezős(félvalószínűségi) eljárással elvégzett MSZ szerinti ELLENŐRZÉS/MÉRETEZÉS szemléltetése

19

IRODALOM FIGYELEM! Itt az általános vasbeton szilárdságtannal kapcsolatos fontosabb könyveket foglaltuk össze. Az EC-vel kapcsolatos IRODALOM: l.a FÜGGELÉK-ben.

[1] Bölcskei, E.-Dulácska, E.:

Statikusok könyve. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974

[2] Massányi, T.-Dulácska, E.:

Statikusok könyve. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1989

[3] Bölcskei, E.-Tassi, G.:

Vasbetonszerkezetek. Feszített tartók. Tankönyvkiadó, Budapest, 1970

[4] Franz, G.:

Konstruktionslehre des Stahlbetons. Springer-Verlag, Berlin, 1983

[5] Jankó, L.:

Hídépítés. Hídszerkezetek számítása. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980

[6] Jankó, L.:

Vasbeton hídszerkezetek. Műegyetemi Kiadó, 1998

[7] Jankó, L.:

Vasbeton hídszerkezetek. Győr, 2009 drjankolaszlo.uw.hu

[8] Jankó, L.:

Vasbetonszerkezetek. Győr, 2009 drjankolaszlo.uw.hu

[9] Leonhardt, F.:

Vorlesungen über Massivbau. Teil.3. Grundlagen zum Bewehren im Stahlbetonbau. Springer-Verlag, Berlin–New York,1977

[10] Leonhardt, F.:

Vorlesungen über Massivbau. Teil.4. Nachweis der Gebrauchsfähigkeit. Springer-Verlag, Berlin–New York, 1978

[11] Leonhardt, F.:

Vorlesungen über Massivbau. Teil.5. Spannbeton. Springer-Verlag, Berlin–New York, 1980

[12] Leonhardt, F.:

Vorlesungen über Massivbau. Teil.6. Grundlagen des Massivbrückenbaues. Springer-Verlag, Berlin–New York, 1979

[13] Palotás, L.-Balázs, Gy.:

A beton. Mérnöki kézikönyv.1.kötet., 376-436. (Palotás L. szerk.), Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981

20

A tartószerkezetekkel szemben támasztott 3 alapkövetelmény: 1.■ ellenállóképesség(R) a hatásokkal/terhekkel szemben: megfelelés a teherbírási határállapotokban. 2.■ használhatóság: megfelelés a használhatósági határállapotokban. 3.■ tartósság(e 2 határállapoton belül). Határállapotban a tartószerkezet még éppen megfelel a tervezési(d) követelményeknek. gyakoriság [%]

a teherbírás/ellenállás(R) sűrűségfüggvénye

1.7. 3. ábra az igénybevétel(E) sűrűségfüggvénye

Rd = Rk/γc,s

karakterisztikus(k) érték

Ed = EkγG,Q karakterisztikus(k) érték

d: tervezési érték

Ed

Ek

Rd Rk

E, R

2.1. 1. ábra Az ELLENŐRZÉS alapelve a teherbírási határállapotokban: Ed ≤ Rd

Q

tervezési(d)

γQQk

ritka/karakterisztikus(k) η = 1%

Qk ψ1Qk

gyakori

η = 50%

ψ2Qk kvázi-állandó

η = 100%

(tartós)

idő η: előfordulási gyakoriság az élettartamon belül 2.1. 2. ábra Az esetleges terhek (Q) teherszintjei

21

EC

A teher jellege

A teher hatása:

kedvező

kedvezőtlen

Állandó teher

Teherbírási vizsgálathoz (STR).

γG,inf = 1,0

γG,sup = 1.35,

Gk

[Tartós vagy ideiglenes tervezési helyzet]

γG,sup = ξ1,35 = 1,1475

strength

Állandó teher Helyzeti állékonysági vizsgálathoz(EQU) Gk equilibrium

Feszítőerő Pk

γG,inf = 0,9

γG,sup = 1,1

ez a gyakori

ritka (stabilitás)

γp,fav = 1,0

γp,unfav = 1,3

(0,9)

Esetleges teher:

Qk

hasznos teher, szélteher, hóteher

0

(1,2)

γQ = 1,5 ξ = 0,85

EC 2.1. I. táblázat A terhek biztonsági/parciális tényezői

22

egyidejűségi tényező

hasznos teher

ψo

ψ1

ψ2

0,7

0,5

0,3

2,0

0,7

0,5

0,3

5,0

4,0

0,7

0,7

0,6

5,0

7,0

5,0

7,0

0,7

0,7

0,6

5,0

7,0

1,0

0,9

0,8

0,6

0,2

0

0,6

0,2

0

0,6

0,5

0

qk [kNm-2]

Qk [kN]

lakások

2,0

2,0

lépcsők

3,0

2,0

erkélyek

4,0

4,0

Irodák

3,0

beép. bútorokkal sportlétesítmények

Lakóépületek

Középületek

Áruházak

Raktárak

Hóteher (Magyarországon)

Szélteher (Magyarországon)

Hőhatás (nem tűz)

EC 2.1. II. táblázat Egyidejűségi/teherszint tényezők

23

Az EC szerint TH1. Tartós és ideiglenes [építési stb.] tervezési helyzet Ed1 = ∑γGjGkj +

γgj = 1,2÷1,4 qM = ∑γgjgj + γp1p1 +

i≠ 1

γgj= 0,7÷0,8

+ ∑γpiαipi helyzeti

+γQ1ψo1Qk1 + ∑γQiψoiQki

ξ = 0,85 Ed1 = ∑ ξγGjGkj +

Megjegyzés

Az MSZ szerint

és

i≠ 1 i≠ 1

állé-

konysági vizsg. γpi = 1,2÷1,4

αi = 0,6÷0,8

+γQ1Qk1 + ∑γQiψoiQki Megjegyzések: ■ A Pk feszítőerő állandó teherként kezelendő, saját γp –vel. ■ A Qki –ben dinamikus hatás is lehet!

egyidejűségi tényező. A pi –ben dinamikus hatás is lehet (1,0÷1,3)!

TH2. Rendkívüli tervez. helyzet (tűz stb.) Ed2 = ∑Gkj + Ad + ψr1Qk1 + ∑ψ2iQki ψr1: ψ11 vagy ψ21

i≠ 1

TH3. Szeizmikus tervezési helyzet Ed3 = ∑Gkj + AEd + ∑ψ2i Qki Gki : az állandó teher karakterisztikus(k) értéke(várható értéke, alapértéke), Qk1 : a kiemelt esetleges teher karakterisztikus(k) értéke(várható értéke, alapért.), Qki : a többi esetleges teher karakterisztikus(k) értéke(várható értéke, alapért.), Ad : a rendkívüli teher tervezési(d) értéke,

1.7. 2. ábra

AEd : a földrengési teher tervezési(d) értéke, γGj : az állandó teher biztonsági/parciális tényezője (1,35÷0,90), 2.1. I. tábl. γQi : az esetleges teher biztonsági/parciális tényezője (1,35),

2.1. I. tábl.

ψ : egyidejűségi tényező (0,0÷1,0).

2.1. II. tábl.

2.1. III. táblázat Hatáskombinációk (tehercsoportosítások/teherkombinációk) teherbírási(R) határállapotban (TH)

24

Az EC szerint kvázi-állandó

Az MSZ szerint qa = ∑ gj + ζ1p1

quasi-permanent

i≠ 1

+ ∑αiζi pi αi = 0,6÷0,8

(ez a leggyakoribb)

Eser,qp = ∑Gkj + ∑ψ2iQki

Megjegyzés

i≥ 1

Használata: ● vb. kerm. repedéskorlátozás, ● beton nyomófesz. korlátozás, ● alakváltozás (lehajlás) korlátozás.

egyidejűségi tényező. Használata: ζi = 0,5÷1,0 ● repedéskorlátozás, a tartós teher● alakváltozás (lehaj- hányad

lás) korlátozás.

gyakori frequent a σc fesz. korlátozása is Eser,fr = ∑Gkj + ψ11Qk1 + ∑ψ2iQki (a kúszás hatásának csökkentése). i≠ 1

Használata: ● fesz. vb. repedéskorlátozás, ● épületek eltolódásainak, lengéseinek a korlátozása.

ritka/karakterisztikus

characteristic

Eser,char = ∑Gkj + Qk1 +∑ψoiQki i≠ 1 Használata: ● repedésmentesség, ● a hosszirányú repedések korlátozása [a σc betonfesz. korlátozásával], ●a maradó alakv. korlátozása [a σs és a σp acélfesz. korlátozása révén], ● fesz. vb.: dekompresszió (σc ≤ 0). A fenti képletekben: 1.7. 2. ábra Gki : az állandó teher karakterisztikus(k) értéke (várható értéke, alapért.), Qk1 : a kiemelt esetleges teher karakteriszt.(k) értéke (várható értéke, alapért.), Qki : a többi esetleges teher karakteriszt.(k) értéke (várható értéke, alapért.), ψ : egyidejűségi tényező (0,0÷1,0). 2.1. II. táblázat

2.1. IV. táblázat Hatáskombinációk (tehercsoportosítások/teherkombinációk) használhatósági(ser) határállapotokban

25

G: állandó teher; Q: esetleges teher. A biztonsági tényezők a 2.1. I. táblázatból: γG = 1,35; ξγG = 0,85*1,35 =1,1475, γQ = 1,50.

Lakóházat vizsgálunk. Az egyidejűségi tényezők értékei a 2.1. II. táblázatból: ψo = 0,7 ψ1 = 0,5 ψ2 = 0,3

A terhek karakterisztikus(k) értékei:

NQ1k = 350 kN

(szimmetrikus vasalású négyszögkerm.)

NQ2k = 150 kN

HQ1k =5 kN

NGk = 200 kN HQ2k = 35 kN

Hatáskombinációk teherbírási határállapothoz: 1.) Először az NQ1k = 350 kN és a HQ1k = 5 kN terhet emeljük ki: NEd = 1,35*200 MEd = [1,35*0

l = 4,0 m

+ 1,5*0,7*350 + 1,5*0,7*150 = 795,0 kN, + 1,5*0,7*5 + 1,5*0,7*35]4,0 = 168,0 kNm.

NEd = 1,1475*200 + 1,5*350 + 1,5*0,7*150 = MEd = [1,1475*0 + 1,5*5 + 1,5*0,7*35]4,0 =

912,0 kN, 177,0 kNm.

2.) Majd az NQ2k = 150 kN és a HQ2k = 35 kN terhet emeljük ki: NEd = 1,35*200 MEd = [1,35*0

+ 1,5*0,7*150 + 1,5*0,7*350 = 795,0 kN, + 1,5*0,7*35 + 1,5*0,7*5]4,0 = 168,0 kNm.

NEd = 1,1475*200 + 1,5*150 + 1,5*0,7*350 = MEd = [1,1475*0 + 1,5*35 + 1,5*0,7*5]4,0 =

822,0 kN, 231,0 kNm.

Még több hatáskombináció is vizsgálható. Most szemlélet alapján is belátható, hogy a 2.) hatáskombináció a mértékadó(822, 231>>177). Általában teherbírási vonallal(3.4. 9. ábra) történő vagy egyéb ellenőrzéssel lehet csak megállapítani azt, hogy melyik kombináció a mértékadó.

EC 2.1. 3. ábra/1 Hatáskombinációk (tehercsoportosítások/teherkombinációk) teherbírási(R) határállapothoz(tartós tervezési helyzethez)

26


G: állandó teher; Q: esetleges teher.


NQ1k = 350 kN


NQ2k = 150 kN

HQ1k =5 kN

NGk = 200 kN HQ2k = 35 kN

Kvázi-állandó hatáskombináció:

l = 4,0 m Nser,qp = 200 Mser,qp = [0

+ 0,3*350 + 0,3*150 = + 0,3*5 + 0,3*35]4,0 =

350,0 kN, 48,0 kNm.

Gyakori hatáskombinációk: 1.) Először az NQ1k = 350 kN és a HQ1k = 5 kN terhet emeljük ki: Nser,fr = 200 Mser,fr = [0

+ 0,5*350 + 0,3*150 = + 0,5*5 + 0,3*35]4,0 =

420,0 kN, 52,0 kNm.

2.) Majd az NQ2k = 150 kN és a HQ2k = 35 kN terhet emeljük ki: Nser,fr = 200 Mser,fr = [0

+ 0,5*150 + 0,3*350 = + 0,5*35 + 0,3*5]4,0 =

380,0 kN, 76,0 kNm.

Még több hatáskombináció is vizsgálható. Néha szemlélet alapján is, de általában szilárdsági ellenőrzéssel lehet csak megállapítani azt, hogy melyik kombináció a mértékadó. Esetünkben a 2.) hatáskombináció a mértékadó (380, 76>>52).

EC 2.1. 3. ábra/2 Hatáskombinációk (tehercsoportosítások/teherkombinációk) használhatósági(ser) határállapotokhoz

27


G: állandó teher; Q: esetleges teher.


NQ1k = 350 kN


NQ2k = 150 kN

HQ1k =5 kN

NGk = 200 kN HQ2k = 35 kN l = 4,0 m

Ritka/karakterisztikus hatáskombináció: 1.) Először az NQ1k = 350 kN és a HQ1k = 5 kN terhet emeljük ki: Nser,char = 200 Mser,char = [0

+ 350 + 0,7*150 = +5 + 0,7*35]4,0 =

655,0 kN, 118,0 kNm.

2.) Majd az NQ2k = 150 kN és a HQ2k = 35 kN terhet emeljük ki: Nser,char = 200 Mser,char = [0

+ 150 + 0,7*350 = + 35 + 0,7*5]4,0 =

595,0 kN, 154,0 kNm.

Még több hatáskombináció is vizsgálható. Néha szemlélet alapján is, de általában szilárdsági ellenőrzéssel lehet csak megállapítani azt, hogy melyik kombináció a mértékadó. Esetünkben a 2.) hatáskombináció a mértékadó (595, 154>>118).

EC 2.1. 3. ábra/3 Hatáskombinációk (tehercsoportosítások/teherkombinációk) használhatósági(ser) határállapotokhoz

28

JEL

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/67

H/K

fck

12

16

20

25

30

35

40

45

50

fcd

8,0

10,7

13,3

16,7

20,0

23,3

26,7

30,0

33,3

fctd

0,73

0,89

1,0

1,2

1,4

1,5

1,6

1,8

1,9

fctm

1,6

1,9

2,2

2,6

2,9

3,2

3,5

3,8

4,1

fctk0.05

1,12

1,33

1,54

1,82

2,03

2,24

2,45

2,66

2,87

fbd

1,6

2,0

2,3

2,7

3,0

3,4

3,7

4,0

4,3

φ

3,02

2,76

2,55

2,35

2,13

1,92

1,76

1,63

1,53

Ecm

27,0

29,0

30,0

31,0

33,0

34,0

35,0

36,0

37,0

Ecd

18,0

19,3

20,0

20,6

22,0

22,6

23,3

24,0

24,6

Ec,eff

6,7

7,7

8,5

9,3

10,5

11,6

12,7

13,7

14,6

αt

1,0*10-5 1/oC

a beton hőtágulási együtthatója:

fck, fcd, fctd, fctm, fctk0.05, fbd [Nmm-2] : a beton(c) nyomószilárdságának(c) tervezési(d) értéke.

fcd =

Itt αcc = 1,0 épületeknél(magasépítés). Ez a táblázat így készült.

Hidaknál αcc = 0,85!

A biztonsági tényező:

γc = 1,5.

fctk0.05 = 0,7fctm fctd = fctk0.05/γc: a beton(c) húzószilárdságának(t) tervezési(d) értéke. fbd : a kapcsolati(b) nyírószilárdság az acélbetét és a beton között, jó tapadás esetére.

Ecm, Ecd, Ec,eff [kNmm-2] Ecd = Ecm/γc Ec,eff = Ecm/(1+φ) Itt φ = φ∞ = φ(∞ ,28) a kúszási tényező átlagos végértéke, továbbá εc,sh = εc,sh∞ = 0,4 ‰ a zsugorodási tényező végértéke az alábbi feltételek mellett: ■állandó/tartós terhelés; ■képlékeny konzisztencia betonozáskor; ■70% relatív páratartalom; ■100 mm hatékony/helyettesítő vastagság. ■28 napos szilárdság megterheléskor;

2.3. I. táblázat

EC

A betonok(c) anyagjellemzői. Híd esetén αcc = 0,85! L. a 2.3. 1. ábrát.

29

MSZ 15022/1 γb = 1,3 αR = 0,75-0,95 ÚT 2-3.414 (hídszabvány)

σb

γb = 1,3 αR = 0,75-0,95

1,2σbH

Rbk

minősítési(k)

σbH

határ(H)

2

σhH

σbH =

1

εbp= 0,5‰

εbH= 2,5‰

εb

FIGYELEM! A táblázat αcc

EC2 γc = 1,5

= 1,0-val készült!

αcc = 1,0 épületeknél (magasépítés) αcc = 0,85 hidaknál

σc

fck ≤ 50 Nmm-2

fck

karakterisztikus(k)

fcd

tervezési(d)

1

fctm fctd

2

εcp= =0,70‰

fcd =

εcp2=

εcu=

=1,75‰

= 3,5‰

εc

c, c: concrete=beton f, f: failure=törő; szilárdság t: tensile=húzó k: characteristic=minősítési d, d: design=tervezési u: ultimate=határ

2.3. 1. ábra A betonok anyagmodellje az MSZ és az EC szerint

30

JEL

BHS 55.50 B 38.24= B 50.36= B 60.50= hidegen húzott

= S240

= S360

= S500

(EC jelölés) (EC jelölés) (EC jelölés)

C15 = = S500

S500A az EC szerinti, normál duktilitású

(EC jelölés)

(szívósságú, nyújthatóságú)

ftk

380

500

600

550

550

fyk

240

360

500

500

500

fyd

209

313

435

435

435

εuk[‰]

25

25

25

10

25

ξco

0,616

0,553

0,493

0,493

0,493

ξco'

1,14

1,45

2,11

2,11

2,11

ftk [Nmm-2] : a betonacél(s) húzószilárdságának(t) karakterisztikus(k) értéke, fyk [Nmm-2]: a betonacél(s) folyáshatárának(y) karakterisztikus(k) értéke, : a betonacél(s) folyáshatárának(y) tervezési(d)értéke;

fyd =

γs = 1,15

-2

[Nmm ]

Es = 200 [kNmm-2]: a betonacél(s) rugalmassági tényezője, ξco, ξco': mint ξo, ξo' az MSZ-ben, de itt a betonra utaló c index-szel ellátva,

εuk: a betonacél(s) szakadónyúlásának(u) karakterisztikus(k) értéke.

s: steel=acél t: tensile=húzó f, f: failure=törő; szilárdság y: yield=folyási k: characteristic=minősítési d: design=tervezési u: ultimate=határ

2.3. II. táblázat A betonacélok anyagjellemzői.

31

EC L. a 2.3. 2. ábrát.

MSZ 15022/1 γs = 1,15 –1,19 ÚT 2-3.414

σs

γs = 1,15 –1,19

(hídszabvány)

Rsyk

minősítési(k)

σsH

határ(H)

σsH =

húzott–nyomott

εsy

εsH = 15–25‰ εs Es = 206 kNmm-2 (MSZ), Es = 200 kNmm-2 (ÚT 2-3.414)

1.) A betonacél felkeményedő σs – εs diagramjával nem dolgozunk:

εud

Ekkor εud = 0,9εuk! A betonacél szakadónyúlásának tervezési értéke: εud. 2.) A lenti ábra szerinti esetben (nincs felkeményedés): εud = ζεuk. „A” duktilitási/szívóssági osztálynál ζ = 1. „B” és „C” duktilitási osztálynál ζ > 1 is lehetne.

σs

EC2

γs = 1,15

εuk ≥

50-75‰

fyk

karakterisztikus(k)

fyd

tervezési(d) húzott–nyomott

εsy

fyd =

εud = εuk= 25‰

εs

Es = 200 kNmm-2 ”A” duktilitási/szívóssági osztályú betonacél s: steel=acél k: characteristic=minősítési

f: failure=törő; szilárdság d, d: design=tervezési

y: yield=folyási u: ultimate=határ

2.3. 2. ábra A betonacélok anyagmodellje az MSZ és az EC szerint

32

feszítőpászma

Megne-

feszítőhuzal

feszítőrúd

vezés:

jel

Økülső [mm]

Fp100

12,9

Ø

fp0.1,k

[mm]

-2

15,7 15,2 15,7

fp0.1,k -2

[Nmm ]

fpd

fpd

fpd

-2

[Nmm ] 1500

4

-2

[Nmm ] 1520

20

1321

1500

6

1580

5

1520

25

6

1374

830

721

1435

32

1247

1580

-2

[Nmm ] 830

721

1321

1374 Fp150

-2

[mm]

[Nmm ]

1304 Fp139

Ønévleges

[Nmm ]

1304 Fp150

fp0.1,k

1080

939

1435

40

1247

1080

939

Ha fpt,k ≥ 1,1fp,0.1,k,

fpt,k

akkor a feszítőacél(p, p) duktilitás/szívósság szempontjából megfelelő.

εuk[‰]

25 2

Megjegyzés: az Fp jel mögötti szám a keresztmetszeti terület [mm ] –ben.

fpt,k [Nmm-2] : a feszítőacél(p, p) húzószilárdságának(t) karakterisztikus(k) értéke, fp0.1,k: a feszítőacél(p) folyáshatárának(y) karakterisztikus(k) értéke (0,1% maradó nyúláshoz),

: a feszítőacél folyáshatárának(y) tervezési(d) értéke;

fpd =

γs = 1,15

Ep = 195–205 [kNmm-2]: a feszítőacél(p) rugalmassági tényezője (pászma-huzal, rúd),

εuk: a feszítőacél(p) szakadónyúlásának(u) karakterisztikus(k) értéke. 2.3. III. táblázat A feszítőacélok(p) anyagjellemzői.

33

EC L. a 2.3. 3. ábrát.

MSZ 15022/1 γs = 1,33 –1,44 σp

ÚT 2-3.414 (hídszabvány)

γs = 1,36

Rpfk

minősítési(k)

σpH

határ(H) húzott–nyomott

Rpfk:szakítószilárdság

σpH = -2

Ep=195–200 kNmm

εpy

εpH= 25‰

εp

A σpH az Rp0.1k egyezményes folyási határ minősítési értékéből is képezhető (γs = 1,15).

1.) A feszítőacél felkeményedő σp – εp diagramjával nem dolgozunk:

εud

Ekkor εud = 0,9εuk!

A feszítőacél szakadónyúlásának tervezési értéke: εud. 2.) A lenti ábra szerinti esetben (nincs felkeményedés): εud = ζεuk. A szokásos duktilitási/szívóssági osztályoknál ζ = 1. [ζ > 1 is lehetne.] fpt,k: a húzószilárdság karakterisztikus(k) értéke.

σp

EC2

γs = 1,15

fp0.1,k ≈ 0.9fpt,k

fp0.1,k

karakterisztikus(k) tervezési(d)

fpd húzott–nyomott

εpy

Ep=195–205 kNmm-2

εud = εuk= 25‰

fpd =

εp

p, p: prestressing steel=feszítőacél t: tensile=húzó f, f: failure=törő; szilárdság k: characteristic=minősítési d, d: design=tervezési

y: yield=folyási u: ultimate=határ

2.3. 3. ábra A feszítőacélok anyagmodellje az MSZ és az EC szerint

34

A környezeti feltételek osztályai (MSZ EN 206-1) Jel

Környezeti feltételek

Példák

cmin,dur [mm] betonacél feszítőac.

(Nagyon)Száraz környezet. Belső száraz tér; ≤ 35% légnedvességtartalom. Száraz vagy állandóan/tar- Csekély–közepes légnedvesség XC1, C:karboná- tósan nedves környezetben. tartalmú belső terek; víz alatti építmények. tosodás* Nedves, ritkán száraz Víztározók; alapozási szerkezetek; XC2, környezetben, illetve illetve nyitott csarnokok; gépkocsi mérsékelt–magas XC3 mérsékelt nedvesség- tárolók; légnedvesség tartalmú belső terek. tartalom mellett. Mérsékelt nedvesség mellett. Légköri klórszennyeződésnek XD1 kitett felületek; jégolvasztó D: kloridos anyagok nincsenek. korrózió Nedves, ritkán száraz Szigeteletlen úszómedence víz XD2 felőli oldala; kloridtartalmú ipari környezetben.

10 10 15 25

Váltakozóan nedves, illetve Kloridtartalmú szerekkel kezelt száraz térben. hídszerkezetek; járdák; parkolófödémek. víztelítettség Esőnek és fagynak kitett XF3, F: Nagymérvű jégolvasztó anyag nélkül. vízszintes betonfelületek. fagyási/olvadási korrózió

45 55

X0

víz hatásának kitett építmények; talajon fekvő szerelőbetonra öntött vasbeton szerkezet (a szerelőbetonnal együtt) .

XD3

25 35 35 45 40 50

30 40

A megfelelő betonfedés célja: a tartóssági követelmények kielégítése, az acélbetét korrózió és tűzhatás elleni védelme, továbbá a lehorgonyzás biztosítása (a kapcsolati nyírófeszültségek átadása). A cnom névleges betonfedés értéke mind a hosszacélbetétekre, mind a kengyelekre: cmin,b ≈ Ø (az acélbetét átmérője) cnom ≥ Δcdev + max cmin,dur Δcdev=10 mm (elhelyezési pontatlanság) 10 mm ■ 100 éves tervezett élettartam, továbbá koptató hatás esetén (gépjármű, targonca stb.) 10 mm-rel növelendő; ■ C25/30 beton szilárdsági osztály fölött, és különleges minőségellenőrzésnél (pl. előregyártás), továbbá lemez- és falszerkezetek esetén 5 mm-rel csökkenthető.

*Karbonátosodás: a megszilárdult portlandcement kő pH értékének csökkenése (13 →9) a környező levegő széndioxid tartalmának hatására. A lúgos kémhatás

csökkenése a korrózió megkezdődéséhez vezethet.

I. táblázat EC Betonacélok és feszítőacélok cnom névleges betonfedései 2.4.

35

1.6. 2. ábra A vasbeton keresztmetszet húzott betonzónájában alkalmazandó hosszirányú, As1 jelű húzott betonacél mennyiség teherbírási minimális értéke:

As,min = ρminbtd = 0,26

NEd

btd ≥ 0,0015btd.

d MEd

h

As1 ≥ As,min Itt(ρmin = 0,150% − 0,444%): b=bt -2 fctm [Nmm ]:a beton húzószilárdságának(t) várható értéke (m: átlagértéke); 2.3.I. tábl., fyk [Nmm-2]: a betonacél folyáshatárának karakterisztikus(k) értéke; 2.3.II. tábl.,

bt: a húzott betonzóna(átlagos) szélessége, d: a hatásos/dolgozó magasság. Az így kapott As,min nem lehet kisebb, mint a 2.4. III. táblázatbeli As,minr! Amennyiben As1 < As,min, akkor a szerkezet gyengén vasalt. Ez esetben az As1 –nek megfelelő teherbírást (pl. MRd) lecsökkentve −az m = As1/As,min hányadossal− adódik a gyengén vasalt szerkezet teherbírása (pl. MRd,red ): 1.6. 2. ábra. Ugyanúgy kell csökkenteni a teherbírást hajlításnál(MRd), nyírásnál(VRd), csavarásnál(TRd) és külpontos nyomásnál(NRd) stb. A vasbeton szerkezetek keresztmetszeteiben alkalmazandó minimális nyírási betonacél mennyiség (ρw,min = 0,100% − 0,236%): 1.6. 2. ábra √

Asw,min = ρw,minAcw = 0,08

Acw ≥ 0,0010Acw. t = ssinα

Itt

α

VEd

Acw = bwt = bwssinα, ≥ Asw,min bw: a gerincszélesség(legkisebb), b=bw s s: a nyírási acélbetétek távolsága a gerenda hossztengelye mentén mérve, α: a nyírási acélbetétek tengelye és a gerendatengely által bezárt szög, fck [Nmm-2]: a beton nyomószilárdságának karakterisztikus(k) értéke; 2.3. I. tábl., fyk [Nmm-2]: a betonacél folyáshatárának karakterisztikus(k) értéke; 2.3. II. tábl. L. még a 2.4. III. táblázatot és a 2.4. IV. táblázatot is!

EC 2.4. II. táblázat Minimális húzási és nyírási betonacél mennyiségek teherbírási(R) határállapotban

36

A vasbeton keresztmetszet húzott betonzónájában alkalmazandó hosszirányú, As1 jelű húzott betonacél mennyiség repedéskorlátozási (r) minimális értéke:

Mser As,minr = kckAct

.

d h As1 ≥ As,minr

b=bt

Itt

kc: a keresztmetszeten belüli feszültségeloszlás jellegét figyelembe vevő tényező, melynek értéke:

■ tiszta húzás esetén: ■ tiszta hajlítás esetén:

kc = 1.0, kc = 0.4;

A belső erők karja repedéskori megváltozásának a hatását is tartalmazza ez a tényező.

k: a gátolt alakváltozásokat leépítő sajátfeszültségek hatását figyelembe vevő tényező, melynek értéke: ■ ha h ≤ 300 mm vagy b ≤ 300 mm, akkor: k = 1.0, ■ ha h ≥ 800 mm vagy b ≥ 800 mm, akkor: k = 0.65; h: a keresztmetszet teljes magassága;

h b = bt: a húzott betonzóna (átlagos) szélessége; As1 ≥ As,min

b=bt 2

Act [mm ]: az első repedés megjelenése előtti húzott betonzóna keresztmetszeti területe (I. fesz. állapot);

fct,eff ≈ fctm [Nmm-2]: a beton húzószilárdságának(t) várható értéke (m: átlagértéke);

2.3. I. táblázat,

σs [Nmm ]: az első repedés fellépte után a betonacélban megengedett maximális húzófeszültség, melynek értéke általában fyk , -2 fyk [Nmm ]: a betonacél folyáshatárának karakterisztikus(k) értéke; 2.3. II. tábl. -2

Megjegyzés: ha a fenti összefüggésbe a kc = 0.65, k = 0.8, Act ≈ 0,5btd, fct,eff ≈ fctm és σs = fyk értékeket behelyettesítjük, akkor ezt kapjuk:

As,minr = 0,65*0,8(0,5btd)

= 0,26

btd.

Látható, hogy ez az összefüggés a 2.4. II. táblázatban szereplő As,min –nel megegyezik.

EC 2.4. III. táblázat Minimális húzott betonacél mennyiség repedezettségi határállapotban

37

1.6. 2. ábra Az oszlop megengedett minimális hosszirányú betonacél mennyisége:

≥ 0,003Ac.

As,min = 0,1

d h

Itt NEd : a normálerő tervezési(d) értéke, b Ac [mm]: a teljes betonkeresztmetszet (bh derékszögű négyszög keresztm.-nél), fyd [Nmm-2]: a betonacél folyáshatárának tervezési (d) értéke; NEd

As = ΣAsi ≥ As,min

2.3. II. táblázat.

Az oszlopban az összesített As =ΣAsi hosszirányú betonacél megengedett maximális mennyisége:

As,max = 0,040Ac. Átfogásos toldásoknál ennek a 2-szerese megengedett. Az oszlopban a kengyelek(s) megengedett maximális távolsága a következő

Megjegyzés: a fenti maximum természetesen minden vasbeton szerkezeti elemre 3 érték minimuma: vonatkozik (pl. a gerendákra is). NEd (12−20)Ømin (!), d h ss,max = min hmin = min(h,b), ss,max 400 mm. kihajlás

b

b

Itt Ømin a nyomott acélbetétek legkisebb átmérője.

EC 2.4. IV. táblázat Oszlop minimális és maximális betonacél mennyisége teherbírási(R) határállapotban

38

EC d2

MSZ h' EC

As2 xc = ξcd=ξc'd2

h d1 =d

x= ξh=ξ'h'

As'

As1

As

h ht

b

b

εcu=3,5‰ d2

σs2 = fyd fcd σbH 1,25x

1,25xc

εbH=2,5‰ h'

1,25xco

α εsy

xc x MRd σs'= σsH MH

fyd

εs1 ≥ εsy

1,25xo

α

σsH

xco ≥ xc ≥ xco'

εsF εs ≥ εsF

xo ≥ x ≥ xo'

1 Mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak A semleges tengelynek a húzott acélbetétek megfolyása szempontjából értelmezett xco, ill. xo határhelyzete:

xco=ξcod, tgα = ξco =

=

, xo= ξoh,

= [

]

tgα =

ξo =

< 1.

Ha

= [

, ]

< 1.

Ha

xc ≤ xco, azaz ξc= xc/d ≤ ξco,

x ≤ xo, azaz ξ= x/h ≤ ξo,

akkor megfolynak a húzott acélbetétek. akkor megfolynak a húzott acélbetétek.

EC

MSZ EC s: steel=acél c: concrete=beton

1.6. 1. ábra

3.1. 1. ábra/1 A semleges tengely xco, illetve xo határhelyzete. Normálisan vasalt tartó, azaz megfolynak a húzott acélbetétek: σs1 = fyd, σs = σsH

39

MSZ h' EC

EC d2

As2 xc = ξcd=ξc'd2

h d1 =d

x= ξh=ξ'h'

As1

As' As

b

h ht b

gyakori eset nem folyik meg εbH=2,5‰

εcu=3,5‰ fyd > εs2Es= σs2 εs2 < εsy 1,25xc fcd σbH

εs'< εsF 1,25x h'

tgβ=

d2

1,25xco'

β

1,25xo'

β σs'= εs'Es

MH

σsH

fyd

εs1 > εsy

x

MRd σs'< σsH

nem folyik meg ritka eset

xc

xc < xco'

x < xo' εs > εsF

2 A nyomott acélbetétek nem folynak meg A semleges tengelynek a nyomott acélbetétek megfolyása szempontjából értelmezett xco', ill. xo' határhelyzete: – – xco'=ξco'd2, tgβ = = , xo'= ξo'h', tgβ = = ,

ξco' =

=

[

–

]

ξo' =

> 1.

Ha

=

[

–

]

> 1.

Ha

xc ≥ xco', azaz ξc'= xc/d2 ≥ ξco',

x ≥ xo', azaz ξ'= x/h' ≥ ξo',

akkor megfolynak a nyomott acélbetétek. Ha az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az alábbi redukciós képletek alkalmazandók.

Redukciós képletek:

σs2=

–700 ≤ 0

σs2 [Nmm-2]

σs'=

nyomás

–515 ≤ 0

σs' [Nmm-2]

-2

Es = 2,0*105 [Nmm ]

EC s: steel=acél c: concrete=beton

nyomás -2

Es = 2,06*105 [Nmm ]

MSZ EC

3.1. 1. ábra/2 A semleges tengely xco', illetve xo' határhelyzete. A σs2, σs' nyomó acélfeszültség redukciója

40

EC d2

As2

h' xc = ξcd=ξc'd2

h d1=d

MSZ EC

x= ξh=ξ'h'

As'

As1

As

h ht

b

b

εcu=3,5‰ d2

σs2 = fyd fcd σbH

1,25xc

εbH=2,5‰ h'

εsy α

1,25xco

xc x MRd σs'= σsH MH εsF

σs1 εs1 < εsy

1,25xo 1,25x

α

σs

xc ≥ xco

εs < εsF

x ≥ xo

3 A húzott acélbetétek nem folynak meg A semleges tengelynek a húzott acélbetétek megfolyása szempontjából értelmezett xco, ill. xo határhelyzete:

xco= ξcod, tgα = ξco =

=

, xo= ξoh, tgα =

= [

]

ξo =

< 1.

Ha

=

=

[

]

, < 1.

Ha

xc ≤ xco, azaz ξc= xc/d ≤ ξco,

x ≤ xo, azaz ξ= x/h ≤ ξo,

akkor megfolynak a húzott acélbetétek. Ha az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az alábbi redukciós képletek alkalmazandók.

Redukciós képletek:

σs1 =

–700 ≥ 0

σs1[Nmm-2]

σs =

húzás

–515 ≥ 0

σs[Nmm-2]

-2

Es = 2,0*105 [Nmm ]

EC s: steel=acél c: concrete=beton

húzás -2

Es = 2,06*105[Nmm ]

MSZ EC

1.6. 1. ábra

3.1. 1. ábra/3 A semleges tengely xco, illetve xo határhelyzete. Túlvasalt tartó: a húzott acélbetétek nem folynak meg. A σs1, σs húzó acélfeszültségek redukciója

41

Ebben a könyvben az MRd nyomatéki teherbírást csak a beton szélső szála εcu = 3,5‰ mértékű összemorzsolódásának a feltételezésével határozzuk meg [ 3.1. 1. ábra/(1-3) ]. A húzott betonacélok nyúlásáról l. a 2.3. 2. ábrát.

1. eset:

Mind a nyomott, mind a húzott [3.1. 1. ábra/1]

acélbetétek megfolynak

N = Nc +Ns2 = Ns1 xc = ξcd = ? Nc = bxcfcd Ns2 = As2fyd Ns1 = As1fyd zc = d − xc/2 MRd = Nczc + Ns2zs ≥ MEd.

(M1)

(M2)

2. eset: A nyomott acélbetétek nem folynak meg(az EC-nél ritka ez) Ha az (M1) vetületi egyenletből xc = ξcd < xco' adódik, akkor Ns2 = As2|σs2|, azaz a nyomott acélbetétek feszültségének a redukcióját is el kell végezni: 3.1. 1. ábra/2, σs2. Ez a σs2 redukciós képlet alkalmazásával 2. fokú egyenletre vezet. Azt megoldva xc = ξcd −re, az MRd nyomatéki teherbírás tervezési(d) értékét értelemszerűen az (M2) nyomatéki egyenlet szolgáltatja.

3. eset: A húzott acélbetétek nem folynak meg Ha az (M1) egyenletből az adódik, hogy xc = ξcd > xco = ξod , akkor az Ns1 húzóerő képlete az (M1)-ben így módosul: Ns1 = As1σs1. Itt σs1 helyébe a 3.1. 1. ábra/3 szerinti σs = σs1 redukciós képletet kell behelyettesíteni. Íly módon 2. fokú egyenlet adódik. Azt megoldva xc = ξcd−re, az MRd nyomatéki teherbírás tervezési(d) értékét értelemszerűen az (M2) képlet szolgáltatja.

d2 xc/2 xc=ξcd h d= d1 zs

zc

Ns2 Nc

As2

MRd

As1 a

a

Ns1

b

EC

s: steel=acél c: concrete=beton

3.1. 2. ábra/EC Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). Derékszögű négyszög keresztmetszet HAJLÍTÁSI TEHERBÍRÁSÁNAK MRd tervezési(d) értéke. ELLENŐRZÉS

42

Ebben a könyvben az MH határnyomatékokat csak a beton szélső szála εbH = 2,5‰ mértékű összemorzsolódásának a feltételezésével határozzuk meg [3.1. 1. ábra/(1–3)]. A húzott betonacélok nyúlásával nem foglalkozunk.

1. eset:

Mind a nyomott, mind a húzott [3.1. 1. ábra/1]

acélbetétek megfolynak

N = Nb + Ns = H x = ξh = ? Nb = bxσbH Ns = As'σsH H = AsσsH zb = h − x/2 MH = Nbzb + Nszs ≥ MM.

(M1)

(M2)

2. eset: A nyomott acélbetétek nem folynak meg Ha az (M1) egyenletből x = ξh < xo' adódik, akkor Ns = As'|σs'|, azaz a nyomott acélbetétek feszültségének a redukcióját is el kell végezni: 3.1. 1. ábra/2, σs'. Ez a σs' redukciós képlet alkalmazásával 2. fokú egyenletre vezet. Azt megoldva x = ξh−ra, az MH határnyomaték értékét értelemszerűen az (M2) képlet szolgáltatja. Tekintettel kell lenni arra is, hogy Ns ≤ Nb legyen.

3. eset: A húzott acélbetétek nem folynak meg Ha az (M1) egyenletből az adódik, hogy x = ξh > xo = ξoh, akkor a H húzóerő képlete az (M1)-ben így módosul: H = Asσs. Itt σs helyébe a 3.1. 1. ábra/3 szerinti σs összefüggést kell behelyettesíteni. Íly módon 2. fokú egyenlet adódik. Azt megoldva x = ξh-ra, az MH határnyomaték értékét értelemszerűen az (M2) képlet szolgáltatja. Tekintettel kell lenni arra is, hogy Ns ≤ Nb legyen.

b a' x/2

Ns 0

ht

MSZ EC

x = ξh

h zs zb

As'

a

As a

Nb

MH H

3.1. 2. ábra/MSZ Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). Derékszögű négyszög keresztmetszet MH HAJLÍTÁSI HATÁRNYOMATÉKA. ELLENŐRZÉS

43

1.) A nyomott betonkeresztmetszet teljes kihasználtságához tartozó MoT nyomaték(xc = xco) Ncbo = bxcofcd

Ncl = (beff –b)tfcd xco/2

beff t/2 t Ncl/2 zcl = d–t/2

h

EC

MSZ MoEC = Ncbozcbo

xco Ncl/2 Ncbo

zcbo = d–xco/2

T-alakú keresztmetszetben a a nyomott vasalás

As1o a ΔMo = Ncl zcl

gazdaságtalan.

b

MoT = Mo + ΔMo, Mo = bxcofcd(d –xco/2) = bd2fcdξco(1 – ξco/2), ΔMo = Ml = (beff – b)tfcd(d – t/2).

(MT1) (MT2) (MT3)

As2 = 0 .

A fenti összefüggéseket a bordába metsző xco esetére írtuk fel: xc = xco ≥ t. Amennyiben xco < t, azaz az xco a fejlemezen belül marad, akkor a fentiekben b = beff helyettesítendő(derékszögű négyszög). MoT nagyságú nyomatéki ellenállást képes gyakorolni –nyomott vasalás nélkül– a keresztmetszet az Ns1o = As1ofyd nagyságú húzóerő támadáspontjára, ha a húzott vasalás éppen megfolyik(σs1 = fyd). A következő feladatokat már nem tárgyaljuk az MSZ szerint, mert az előzőekben már mindent leírtunk az MSZ szerinti eltérések lényegéről.

beff

As2 = 0

Nc súlypont

h

d= d1

fiktív vonal

zc

MRd = Nczc

As1

EC MSZ EC

xc=ξcd

a

a b

Ns1


3.1. 3. ábra/I Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T– alakú keresztmetszet HAJLÍTÁSI TEHERBÍRÁSÁNAK MRd tervezési(d) értéke. ELLENŐRZÉS

44

2.) Jók-e a betonméretek? Mivel nyomott vasalást nem alkalmazunk(As2 = 0), a keresztmetszet által felvehető nyomaték felső korlátja az MoT érték. Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését:

MEd ≤ MoT?

(MT4)

MEd a külső hajlítónyomaték tervezési(d) értéke(teherbírási határállapothoz). Ha MoT ≥ MEd, akkor a keresztmetszet betonméretei jók, Itt

illetve a beton minősége megfelelő. Ekkor a keresztmetszet hajlítónyomatéki teherbírásának MRd tervezési(d) értéke nagyobb lehet, mint a külső hajlítónyomaték MEd tervezési(d) értéke.

3.) T-alakú-e a ténylegesen működő keresztmetszet? A kérdés megválaszolása előtt meg kell határozni azt az Mlö nyomatékot, ami a

beff széles fejlemez teljes kihasználtságához tartozik: Mlö = Nlözcl = befftfcd(d–t/2 ). (MT5) Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését:

MEd ≤ Mlö?

(MT6)

I. Nézzük most először azt az esetet, amikor MEd ≤ Mlö . Ekkor xc ≤ t. Tehát ez esetben nem T-alakú a ténylegesen működő keresztmetszet. Az xc feszültségi semleges tengely a fejlemezbe metsz, a fejlemez dolgozó része beffxc méretű széles derékszögű négyszög.

zcl = d–t/2

xc=ξcd

beff

Nc= beffxcfcd

t fiktív vonal

Mlö

d= d1 h

> MEd

Nlö = befftfcd

MEd

Ns1ö = Nlö As1 a

Ns1 = Nc

zcl As1ö a


b

b

MSZ

EC

As2 = 0

3.1. 3.ábra/II EC Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T– alakú keresztmetszet HAJLÍTÁSI TEHERBÍRÁSÁNAK MRd tervezési(d) értéke. ELLENŐRZÉS

45

4a.) A feszültségi semleges tengely xc helyzetének a meghatározása Megfolyás(ξc ≤ ξco) esetén az As1 mértékű vasalásban fellépő Ns1 húzóerő nagysága: Ns1 = As1fyd = N = Nc = beffxcfcd. Ebből a feszültségi semleges tengely xc helyzete: xc = ξcd = ≤ ξcod. (MT7a)

A) Ha ξc ≤ ξco, akkor a feltételezettnek megfelelően valóban megfolyik a (húzott) vasalás(σs1 = fyd). B) Ha viszont ξc > ξco, akkor a 3.1. 1. ábra/3 segítségével kell elvégezni a számítást, mégpedig az σs1-re vonatkozó redukciós képlet felhasználásával. Ekkor Ns1 = As1σs1 = As1[560/ξc ─ 700] = Nc = ξcbeffdfcd. Ez azonos a 3.1. 3. ábra/V 2. fokú egyenletével ha b = beff. Az acélbetétek súlyponti nyúlása tegyen eleget az alábbi korlátozásnak:

εs1 =

[d–1,25xc] ≤ εuk .

(MT8)

(MT8a)

Ha ez nem teljesül, akkor –kis nyúlóképességű acélbetétek esetén– az acélbetétek

εs1=εuk nyúlási korlátjával más algoritmust lehetne készíteni(2.3. 2. ábra). tgα1=

beff

As2 = 0

εcu = 3,5‰ Nc = beffxcfcd 1,25xc

t α1

d= d1 h

xc=ξcd Nc

MRd

MEd

fiktív vonal

z = zc = d–xc/2 d–1,25xc Ns1

a

EC

As1 a

εs1

Ns1 = Nc = N

b

MSZ

EC

5.) A hajlítónyomatéki teherbírás MRd tervezési(d) értéke. ELLENŐRZÉS Az N = Nc = beffxcfcd beton nyomóerő karja: z = zc = d − xc/2.

A megfelelés feltétele:

MRd = Nz ≥ MEd kell legyen.

(MT9a)

3.1. 3. ábra/III Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T–alakú keresztmetszet HAJLÍTÁSI TEHERBÍRÁSÁNAK MRd tervezési(d) értéke. ELLENŐRZÉS

46

II. A 3.1. 3. ábra/II 3.) pontjában lévő (MT6) kérdésre a másik válasz az, hogy ténylegesen T-alakú a keresztmetszet. Innen folytatjuk a számítást: Tehát most MEd > Mlö . Ekkor valóban T-alakú a ténylegesen működő keresztmetszet. Az xc feszültségi semleges tengely a bordába metsz: xc > t .

As2 = 0

zcl = d−t/2 t

Ncl = (beff –b)tfcd Nc xc=ξcd

beff

Ncl/2

Ncl/2

d= d1 h

zc

Ncb= bxcfcd As1

EC

MRd = Nczc Ns1

MSZ EC

a zcb = d−xc/2

Ns1 = Nc = Ncl + Ncb b


4b.) A feszültségi semleges tengely xc helyzetének a meghatározása A) Megfolyás esetén(ξc ≤ ξco) az As1 mértékű vasalásban fellépő Ns1 húzóerő nagysága: Ns1 = As1fyd = N = Nc. A fejlemez által felvehető nyomóerő nagysága: Ncl = (beff –b)tfcd. A feszültségi semleges tengely xc helyzetét a bordára jutó Ncb = Ns1 – Ncl = bxcfcd nyomóerőből tudjuk meghatározni: xc = ξcd =

≤ xco = ξcod.

=

(MT7b)

A 3.1. 3. ábra/I-IV-en mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

3.1. 3. ábra/IV Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T–alakú keresztmetszet HAJLÍTÁSI TEHERBÍRÁSÁNAK MRd tervezési(d) értéke. ELLENŐRZÉS

47

B) Legyen most ξc > ξco, azaz a feltételezettel ellentétben nem folyik meg a húzott vasalás (σs1 < fyd). Ezért most az Ns1 = As1σs1 = Nc = Ncl + Ncb vetületi egyenletet úgy írjuk fel, hogy σs1 < fyd (3.1. 1. ábra/3, σs1 redukciós képlet): As1(560/ξc−700) − (beff – b)tfcd – ξcbdfcd = 0. A fenti ξc-ben 2. fokú egyenlet megoldásával megkapjuk a ξc = xc/d paramétert, amellyel a redukciós képlet felhasználásával a σs1 = 560/ξc−700 acél húzófeszültség is megvan.

Az acél húzóerő: Ns1 = As1σs1. Az acélbetétek súlyponti nyúlása tegyen eleget az (MT8) szerinti korlátozásnak.

A beton nyomóerő: Nc = Ns1.

As2 = 0

zcl = d−t/2 t

Ncl = (beff –b)tfcd Nc xc=ξcd

beff

Ncl/2

Ncl/2

d= d1 h

zcl zcb

zcb

Ncb= bxcfcd As1

EC MSZ EC

MRd = Nczc

Ns1 Ns1 = Nc = Ncl + Ncb

a zcb = d−xc/2

b


5.) A hajlítónyomatéki teherbírás MRd tervezési értéke. ELLENŐRZÉS Az Ncl = (beff –b)tfcd nagyságú fejlemez beton nyomóerő karja: zcl = d−t/2. Az Ncb = bxc fcd értékű borda beton nyomóerő karja: zcb = d−xc/2.

A megfelelés feltétele:

MRd = Ncl zcl + Ncbzcb = Nz ≥ MEd.

(MT9b)

3.1. 3. ábra/V Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T– alakú keresztmetszet HAJLÍTÁSI TEHERBÍRÁSÁNAK MRd tervezési(d) értéke. ELLENŐRZÉS Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

48

A kötött méretezés azt jelenti, hogy a keresztmetszet betonméretei adottak, és a külső hajlítónyomaték MEd tervezési(d) értékének felvételéhez szükséges vasalást keressük.

1.) A nyomott betonkeresztmetszet teljes kihasználtságához tartozó Mo nyomaték(xc = xco) Mo = bxcofcd(d – xco/2) = bd2fcdξco(1 – ξco/2).

(KM1)

Mo nagyságú nyomatéki ellenállást képes gyakorolni –nyomott vasalás nélkül– a keresztmetszet az Ns1 = Ns1o= As1ofyd nagyságú acél húzóerő támadáspontjára, ha a húzott vasalás éppen megfolyik(σs1 = fyd). Az Mo nyomaték felvételéhez szükséges Ns1o húzóerő nagysága: Ns1o = Nco = bxcofcd = bdfcdξco.

(KM2)

Ebből az Mo-nak megfelelő szükséges húzott acélbetét mennyiség:

As1o =

(KM3)

.

N = Nco + Ns2 = Ns1

As2 > 0

d2

h d= d1 zs

Ns2 = ΔNs2= ΔNs1 xco=ξcod Nco

xco/2

As2 = ΔAs1

zco

MEd > Mo

As1

EC MSZ EC

a zco = d – xco/2

a b Nco= bxcofcd

Ns1

Mo = Ncoxco s: steel=acél c: concrete=beton

As2 > 0 3.1. 4. ábra/I Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). Derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

49


N= Nco + Ns2 = Ns1

As2 > 0

d2

Ns2 = ΔNs2= ΔNs1 xco=ξcod Nco

xco/2

h d= d1 zs

As2 = ΔAs1

zco

MEd > Mo

As1

EC MSZ EC

a

a

Ns1

zco = d – xco/2

b s: steel=acél c: concrete=beton Nco= bxcofcd Mo = Ncozco

2.) Kell-e nyomott vasalás? Ha MEd > Mo, akkor kell nyomott vasalás(As2 > 0). Ez esetben a ΔM = MEd – Mo

(KM4)

nagyságú nyomatékot acélbetétekből álló, Ns2 = ΔNs2 = ΔNs1 = ΔM/zs nagyságú erőpárral kell felvenni. Az ehhez szükséges acélbetét mennyiség: ΔAs1 = ΔAs2 =

.

(KM5)

Ehhez xc = xco tartozik. A fentiek alapján az összesített húzott és nyomott acélbetét mennyiség:

As1,szüks = As1o + ΔAs1 As2,szüks = ΔAs2

As1,alk, As2,alk.

(KM6)

Itt As1,szüks és As2,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges acélbetét mennyiségek. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak(Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiségek: As1,alk és As2,alk.

3.) ELLENŐRZÉS

As2 > 0

Az As1,alk és As2,alk acélbetét mennyiségekhez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a 3.1. 2.ábra/EC–n láthatók szerint kell elvégezni.

3.1. 4. ábra/II Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). Derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE 50


1.) A nyomott betonkeresztmetszet teljes kihasználtságához tartozó Mo nyomaték(xc = xco) L. a 3.1. 4. ábra/I–n: (KM1).

As2 = 0

xc/2 xc=ξcd h d= d1

zc

MEd < Mo

As1 a

EC

Nc

a zc = d – xc/2

b Nc= bxcfcd

MSZ EC

Ns1 Mc = Nczc


2.) Kell-e nyomott vasalás? Ha MEd ≤ Mo, akkor nem kell nyomott vasalás(As2 = 0). Ez esetben az alábbi egyszerű nyomatéki egyenlőséget írhatjuk fel:

MEd = Nczc = bxcfcd(d – xc/2) = bd2fcdξc(1 – ξc/2).

(KM7)

Ebből egy szokásos

ξc2 + Bξc + C = 0

alakú 2. fokú egyenlet adódik. Itt B < 0 és C > 0. Ennek megoldása:

ξc =

√ =

≤ ξco.

(KM8)

As2 = 0 3.1. 4. ábra/III Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). Derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

51

As2 = 0

xc/2 xc=ξcd h d= d1

zc

MEd < Mo

As1

EC

Nc

a

a

Ns1

b zc = d – xc/2

MSZ EC

Nc= bxcfcd Mc = Nczc s: steel=acél c: concrete=beton

Ezek után már ismeretes a semleges tengely xc = ξcd nagysága is. Ennek felhasználásával az Nc beton nyomóerő értéke is adott, továbbá az Nc nyomóerő egyenlő az Ns1 acél húzóerővel:

Nc = bxcfcd = Ns1. A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik:

As1,szüks =

As1,alk.

(KM9)

Itt As1,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges húzott acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak(Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: As1,alk.

3.) ELLENŐRZÉS Az As1,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a 3.1. 2.ábra/EC–n láthatók szerint kell elvégezni.

As2 = 0 3.1. 4. ábra/IV Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). Derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

52


1.) A nyomott betonkeresztmetszet teljes kihasználtságához tartozó MoT nyomaték(xc = xco) A nyomott zónában csak szerelő/szerkezeti acélbetéteket alkalmazunk. Ncbo = bxcofcd beff Ncl = (beff –b)tfcd t/2 xco/2 t xco Ncl/2 Ncl/2 h zcl = d–t/2 Ncbo zcbo = d–xco/2

EC

MSZ MoEC = Ncbozcbo

T-alakú keresztmetszetben a a nyomott vasalás

As1o a ΔMo = Ncl zcl

gazdaságtalan.

b

MoT = Mo + ΔMo, (KMT1) 2 Mo = bxcofcd(d – xco/2) = bd fcdξco(1 – ξco/2), (KMT2) ΔMo = Ml = (beff – b)tfcd(d – t/2). (KMT3)

As2 = 0 .

A fenti összefüggéseket a bordába metsző xco esetére írtuk fel: xc = xco ≥ t. Amennyiben xco < t, azaz az xco a fejlemezen belül marad, akkor a fentiekben b = beff helyettesítendő(széles derékszögű négyszög). MoT nagyságú nyomatéki ellenállást képes gyakorolni –nyomott vasalás nélkül– a keresztmetszet az Ns1 = Ns1o= As1ofyd húzóerő támadáspontjára, ha a húzott vasalás éppen megfolyik(σs1 = fyd).

beff

As2 = 0

Nc súlypont

fiktív vonal

xc=ξcd

d= d1 h

zc

MSZ EC

MEd

As1

EC a

a b

Ns1


3.1. 5. ábra/I Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE

As2 = 0

Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között. 53

2.) Jók-e a betonméretek? Mivel nyomott vasalást nem alkalmazunk(As2 = 0), a keresztmetszet által felvehető nyomaték felső korlátja az MoT érték. Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését:

MEd < MoT?

(KMT4)

(KMT4)

ahol MEd a külső hajlítónyomaték tervezési(d) értéke. Ha MoT ≥ MEd, akkor a keresztmetszet betonméretei jók, illetve a beton minősége megfelelő. Ekkor a keresztmetszet hajlítónyomatéki teherbírásának MRd tervezési(d) értéke nagyobb lehet, mint a külső hajlítónyomaték MEd tervezési(d) értéke, azaz a keresztmetszet bevasalható.


beff széles fejlemez teljes kihasználtságához tartozik: Mlö = Nlözcl = befftfcd(d–t/2 ). (KMT5) Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését:

MEd ≤ Mlö?

(KMT6)

I. Nézzük most először azt az esetet, amikor MEd ≤ Mlö . Ekkor xc ≤ t. Tehát ez esetben nem T-alakú a ténylegesen működő keresztmetszet. Az xc feszültségi semleges tengely a fejlemezbe metsz, a fejlemez dolgozó része beffxc méretű széles derékszögű négyszög.

zcl = d–t/2

As2 = 0

beff

xc=ξcd

Nc= beffxcfcd

t fiktív vonal

Mlö >MEd

d= d1 h

MEd< Mlö

Ns1ö = Nlö As1 a

Ns1 = Nc

zcl As1ö a

EC

Nlö = befftfcd

b

b

3.1. 5. ábra/II Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE

MSZ EC As2 = 0


4a.) A feszültségi semleges tengely xc helyzetének a meghatározása MEd = Nczc = beffxcfcd(d – xc/2) = beffd2fcdξc(1 – ξc/2).

(KMT7a)


ξc2 + Bξc + C = 0

alakú 2. fokú egyenlet adódik. Itt B < 0 és C > 0. Ennek megoldása: √

ξc =

≤ ξco.

=

(KMT8a)

Mivel a 2.) pont szerint MoT ≥ MEd, a vasalás megfolyik(ξc ≤ ξco). Ekkor az As1 mértékű vasalásban fellépő Ns1 húzóerő nagysága: Ns1 = As1fyd = Nc = beffxcfcd. Egyébként ha ξc > ξco adódnék, akkor a betonméretek növelendők. Az előbbiek szerint azonban ez nem fordulhat elő (MoT ≥ MEd).

zcl = d–t/2

xc=ξcd

beff

Nc= beffxcfcd

t fiktív vonal

Mlö >MEd

d= d1 h

MEd < Mlö

Nlö = befftfcd zc

zcl Ns1ö= Nlö As1 a

As1ö a b

EC

Ns1 = Nc

b

MEd = Nczc

MSZ EC

zc = d – xc/2


As2 = 0 3.1. 5. ábra/III Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

55

Ezek után már ismeretes a semleges tengely xc = ξcd nagysága is. Ennek felhasználásával az Nc beton nyomóerő értéke is adott, továbbá az N = Nc nyomóerő egyenlő a Ns1 acél húzóerővel:

N = Nc = beffxcfcd = Ns1. A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik:

As1,szüks =

As1,alk.

(KMT9)

Itt As1,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges húzott acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak(Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: As1,alk.

zcl = d–t/2

xc=ξcd Nc= beffxcfcd

beff

t

MEd <

fiktív vonal

Mlö

d= d1 h

> MEd

Nlö = befftfcd

Mlö

zcl Ns1ö= Nlö As1 a

As1ö a b

EC

Ns1 = Nc

b

MSZ EC

5.) ELLENŐRZÉS Az As1,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a 3.1. 3. ábrán láthatók szerint kell elvégezni.

As2 = 0 3.1. 5. ábra/IV Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

56


beff széles fejlemez teljes kihasználtságához tartozik: Mlö = Nlözcl = befftfcd(d–t/2 ). (KMT5) Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését:

MEd ≤ Mlö?

(KMT6)

II. A 3.1. 5. ábra/II 3.) pontjában lévő (KMT6) kérdésre a másik válasz az, hogy MEd > Mlö , tehát ténylegesen T-alakú a keresztmetszet. Az xc feszültségi semleges tengely ekkor a bordába metsz: xc > t .

zcl = d–t/2 t

As2 = 0

Ncl/2 d= d1

Ncl = (beff – b)tfcd Nc xc=ξcd

beff

Ncl/2

zcl

h

zcb

Ncb= bxcfcd

MEd >

As1

EC MSZ EC

Ns1 Ns1 = N = Nc = Ncl + Ncb

a zcb = d–xc/2

zcl = d–t/2

Mlö

b


beff

t d= d1 zcl h a

EC

Mlö As1

MSZ EC

As1ö b

Nlö = befftfcd

MEd > Mlö,

Ns1ö= Nlö

tehát T-alakú a keresztmetszet.

Mlö = Nlözcl

As2 = 0

3.1. 5. ábra/V Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között. 57

4b.) A feszültségi semleges tengely xc helyzetének a meghatározása A bordára jutó nyomaték:

ΔMcb = MEd ─ Mcl. Itt Mcl = Nclzcl = (beff – b)tfcd(d – t/2), azaz a fejlemez két oldalsó, bordán kívüli részének megfelelő nyomatéki teherbírás . Ennek ismeretében az alábbi egyszerű nyomatéki egyenlőséget írhatjuk fel:

ΔMcb = Ncbzcb = bxcfcd(d – xc/2) = bd2fcdξc(1 – ξc/2).

(KMT7b)


ξc 2 + Bξc + C = 0

alakú 2. fokú egyenlet adódik. Itt B < 0 és C > 0. Ennek megoldása:

ξc =

√ =

≤ ξco.

(KMT8b)

Az xc = ξcd-hez tartozó, a bordában fellépő Ncb beton nyomóerő, és a fejlemez két oldalsó részében fellépő Ncl beton nyomóerő:

Ncb = bxcfcd, Ncl = (beff ─ b)tfcd. Az eredő Nc beton nyomóerő egyezik az Ns1 acél húzóerővel: N = Nc = Ncb + Ncl = Ns1. Mivel ξc ≤ ξco (2.) pont: MoT ≥ MEd), akkor σs1 = fyd, és így ez a végeredmény. A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik:

As1,szüks =

As1,alk.

(KMT9)

Itt As1,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak(Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: As1,alk.

5.) ELLENŐRZÉS

As2 = 0

Az As1,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a 3.1. 3. ábrán láthatók szerint kell elvégezni.

3.1. 5. ábra/VI Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE

58

1.) Alapösszefüggések Szabad méretezés esetén olyan betonméreteket keresünk, hogy a nyomott betonzónát teljes mértékben kihasználjuk(xc = xco) és nyomott acélbetéteket ne alkalmazzunk: As2 = 0. A megfelelő alapegyenlet azt fejezi ki, hogy az Nc beton nyomóerőnek az Ns1 acél húzóerő támadáspontjára vonatkozó nyomatéka ─mint ellenállás─ azonos a külső hajlítónyomaték MEd tervezési értékével:

MEd = Ncozco .

(SZM1)

Itt zco = d─xco/2 a belső erők karja.

xco = ξcod, Nco = bxcofcd = bdξcofcd, zco = d─xco/2 = d(1─ ξco/2), MEd = Ncozco = bd2ξco(1─ ξco/2)fcd.

(SZM2)

xco/2

As2 = 0

xco= ξcod h

d= d1

zco

Nco

zco As1o

MEd

EC a

a

Ns1o

b

MSZ EC


As2 = 0 3.1. 6. ábra/I Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). Derékszögű négyszög keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSE Mindkét szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

59

2.) A d dolgozó magasság nagysága Az (SZM2) összefüggés alapján felírhatjuk, hogy

d=√

(SZM3)

.

Ebből a d értéke egyszerű gyökvonással adódik. A gerenda teljes h magassága: h = d+a. Ismeretes a feszültségi semleges tengely xco = ξcod nagysága is. Ennek felhasználásával az Nco beton nyomóerő értéke is adott, továbbá az N = Nco beton nyomóerő egyenlő az Ns1 acél húzóerővel:

N = Nco = bxcofcd = Ns1o = Ns1. A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik:

As1,szüks =

As1,alk.

(SZM4)

Itt As1,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak(Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: As1,alk.

3.) ELLENŐRZÉS Az As1,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a 3.1. 2. ábra/EC –n láthatók szerint kell E elvégezni. Megjegyzés: szabad méretezésnél elvileg a gerenda b szélességét is L A megoldás értelemszerűen a fentiek szerint történhet. kereshetjük.

L

As2 = 0 3.1. 6. ábra/II

ETeherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). Derékszögű négyszög keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSE

N

Ő R

60

1.) Alapösszefüggések Szabad méretezés esetén olyan betonméreteket keresünk, hogy a nyomott betonzónát teljes mértékben kihasználjuk( xc = xco) és nyomott acélbetéteket ne alkalmazzunk: As2 = 0. A megfelelő alapegyenlet azt fejezi ki, hogy az Nc beton nyomóerőnek az Ns1 acél húzóerő támadáspontjára vonatkozó nyomatéka ─mint ellenállás─ azonos a külső hajlítónyomaték MEd tervezési(d) értékével:

MEd = Nczc.

(SZTM1)

Itt zc a belső erők karja. Most csak az xco ≥ t esettel foglalkozunk. zcl = d–t/2 beff Ncl = (beff – b)tfcd

As2 = 0

t

Nc xco=ξcod Ncl/2

d= d1

Ncl/2

zcl

h

zcbo

Ncbo= bxcofcd As1

EC MSZ EC

MEd > Mlö

Ns1 Ns1 = Nc = Ncl + Ncbo

a zcbo = d–xco/2

b


A nyomatéki egyenletben figyelembe kell vennünk, hogy az Nc = Ncl + Ncbo nyomóerő 2 részből áll (v.ö. 3.1. 5. ábra/V):

Ncbo = bxcofcd és Ncl = (beff −b)tfcd, MEd = MoT = Ncbozcbo +Nclzcl = bxcofcd(d − xco/2) + (beff − b)tfcd(d − t/2), MEd = d2bξco(1−ξco/2)fcd + d(beff − b)tfcd − (beff − b)(t2/2)fcd. (SZTM2) 2.) A d dolgozó magasság nagysága

As2 = 0

Az (SZTM2) egyenletből az alábbi általános alakú 2. fokú egyenlet vezethető le: d2+ Bd + C = 0. Itt B > 0 és C < 0. Ennek megoldása:

d=

√

(SZTM3)

.

Ehhez xc = xco tartozik.

3.1. 7. ábra/I Teherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T-alakú keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSE

As2 = 0


zcl = d–t/2 t

As2 = 0

Ncl/2 d= d1

Ncl = (beff – b)tfcd Nc xco=ξcod

beff

Ncl/2

zcl

h

zcbo

Ncbo= bxcofcd As1

EC MSZ EC

MEd >

Mlö

Ns1 Ns1 = Nc = Ncl + Ncbo

a zcbo = d–xco/2

b


Ebből a 2. fokú egyenletből d értékét kiszámítva a gerenda teljes h magassága így számítható: h = d + a. nagysága is: xco = ξcod. Ennek felhasználásával az N = Nc = Ncbo + Ncl = bxcofcd + (beff −b)tfcd nyomóerő Ismeretes a feszültségi semleges tengely

értéke is adott, továbbá az N = Nc beton nyomóerő egyenlő az Ns1 acél húzóerővel: N = Nc = Ns1. A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik:

As1,szüks =

As1,alk.

(SZTM4)

Itt As1,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak (Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: As1,alk.

3.) ELLENŐRZÉS Az As1,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! L. a 3.1. 3. ábrát. Megjegyzés: szabad méretezésnél elvileg a gerenda b szélességét, vagy a E fejlemez beff szélességét is kereshetjük. A megoldás értelemszerűen a fentiek szerint történhet.

L

3.1. 7. ábra/II LTeherbírási(R) határállapot(III. fesz. áll.). T-alakú keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSE

As2 = 0

Mindkét E szabvány jelének feltüntetésével (EC, MSZ) arra utalunk, hogy nincs elvi különbség a két szabvány között.

N

62

Magassági rajzi torzítás.

h Adott egy egyszerű kéttámaszú gerenda.

l

p nyomás

∆

húzás x nyomás

σ

h

A gerendát felh bontjuk 2 részre

Mivel a húzott öv hosszabb

y

húzás

lesz és a nyomott öv rövidebb, ∆ eltolódás-különbség lép fel.

τyx

h/2

b

h/2

A ∆ eltolódáskülönbség eltüntetésére τyx csúsztatófeszültségek lépnek fel.

nyomás

τyx

σ

a

húzás

Sokkal kisebb σ feszültségek, mint az a esetben. dx

τxy = τyx

Maxwell Egyensúlyi követelmény.

σ= y

dy τxy

τyx

τ = τxy =

Grashof az elcsúszó keresztmetszet súlypontja Grashof

V M

a kerm. súlypontja

τ

τmax =

h/2

= 1,5

h/4

τ

dM/dx = V. Az M mindig V-vel jár együtt! átlag: V/(bh)

h b

3.2. 1. ábra Nyírófeszültségek(τ) rugalmas, repedésmentes gerendában Általános szilárdságtan! Nem szabvány előírások!

63

Síkbeli feszültségi állapot. Síkbeli feszültségi állapot. Esetünkben: σ = 0. Esetünkben: σy y= 0. σo = (σx+σy)/2 σx/2 σoo = (σx─σy)/2 σx/2

σ2 σ1

α

tan2α =

σx

Főfeszültségek:

τyx

σy

τxy

σx

τxy

σ1,2 = σo ± √

τyx

σ2 σy A főfeszültségek merőlegesek egymásra.

√

σ1,2 =

σ1

(a σ1 főfeszültségek görbéje):

húzótrajektóriák

nyomótrajektóriák (a σ2 főfeszültségek görbéje): Berepedt állapotban (σx = 0) a húzótrajektóriák ferde egyenesek! Repedésmentes gerenda(I.fesz.áll.). Berepedt gerenda(II.fesz.áll.)

α=45o

σ1

σ2

σ2 x

1

σ1 α=45o

y 2

σy = 0 A τxy

kivágottnak képzelt σ1 = τ elemi kocka α=45o

1

σx = 0

σ2 = ─ τ B

1

τyx=τxy=τ

σ2

σy = 0

σ1

σ1

σ2

α<45o

σx

τxy

2

σx

2

τyx=τxy=τ

σ2

σ1

Általános és vasbeton szilárdságtan! Nem szabvány előírások! 3.2. 2. ábra

Nyírófeszültségek(τ) rugalmas állapotokban[I. és II. feszültségi állapot]. Főfeszültségek (σ1, σ2) Általános és vasbeton(II.f.á.) szilárdságtan! Nem szabvány előírások! 64

dx Maxwell Egyensúlyi követelmény.

τxy = τyx

σ = σx = y

dy τxy

τyx

τ = τxy =

Grashof Grashof Sx' = Axkx; Ax: az elcsúszó keresztmetszet területe Ax Sl σ τ elcsúszásra vizsgált síkok

y

σ

τ

y

kx Sfl SG

M M b

V

nyomott(beton, fa, acél) húzott (beton, fa, acél)

σ

V

τ

b

VASBETON VVASBETON

xiI

σ

τ

xiII V SiII

SiI

M

V

M b

b As1 kísérleti

As1

I. fesz. állapot(repedésmentes) S: súlypont i: ideális/idealizált G: gerenda l: lemez fl: fejlemezes gerenda

II. fesz. állapot(berepedt kerm.)

A berepedt vasbeton keresztmetszetben az xiII semleges tengely alatt elméletileg állandó a τ nyírófeszültség (Sx'= const.). Ennek megfelelően a húzótrajektóriák ferde egyenesek (3.2. 2. ábra).

3.2. 3. ábra Nyírófeszültségek(τ) és normálfeszültségek(σ) rugalmas állapotokban[I. és II. feszültségi állapot]. ]; egyszerű esetekben Általános és vasbeton szilárdságtan! Nem szabvány előírások!

65

MSZ

EC 3.2. 2. ábra Főnyomófeszültségek?

3.2. 2. ábra Főnyomófeszültségek?

(betonméretek, betonszilárdság)

ferde acélbetétek 3.2. 6. ábra kengyelek b, bw felső korlát: 3.2. 5. ábra

VRd,max ≥ VEd

(betonméretek, betonszilárdság)

d h ht h

ferde acélbetétek 3.2. 6. ábra b kengyelek felső korlát : 3.2. 5. ábra

(V1)

(T1)

THf ≥ TM

alsó korlát: 3.2. 5. ábra vasalandó

vasalandó

VRd,c

THa

VEd VRd

TM : redukció

TH

: redukció

Határnyíróerőábra

VRd,max

THf

VRd = max(VRd,c; VRd,s) TH = max(THa; [THs+THb]) A nyíróerőábra(VEd, TM ) burkolása(VRd, TH)

L. a 3.2. 6. ábrát!

összesített acélkerm. egy kerm.-ben

VRd,s = z

összesített acélkerm. egy kerm.-ben

σsH(sinα+cosα) A vasalás teherbírása (T2) THs = 0,85h

fywd(1+cotα)sinα

A vasalás teherbírása (V2) z ≈ 0,9d θ = 45o a nyírási repedésnek a tartótg.-lyel bezárt szöge ss ≤ 0,75d; min(h,bw); 400 mm ss ≤ (12–20)Ømin sb ≤ 1,2d o ss αs =90 αb sb

θ = 45o Asw,s

tk ≤ ht,1,5b; min(ht,b); 400 mm tk ≤ 12Ømin tf ≤ 2h

α

tk

Asw,b

Asw,k

3.2. 6. ábra

Asw,f

3.2. 6. ábra

s: stirrup=kengyel b: inclined bar=ferde acélbetét

3.2. 4. ábra/I NYÍRÁS. Az ELLENŐRZÉS lépései I.

66

tf

EC

MSZ

A nyírásra vasalt keresztmetszet által felvehető nyíróerő. A nyírási teherbírás tervezési (d) értéke:

A nyírásra vasalt keresztmetszet által felvehető nyíróerő. A határnyíróerő:

VRd = max(VRd,c;VRd,s). (V3)

TH = THb + THs.

(T3)

VRd,c ≤ VRd ≤ VRd,max. (V4)

THa ≤ TH ≤ THf.

((T3 T4))

ELLENŐRZÉS. A megfelelés feltétele:

VRd ≥ VEd.

ELLENŐRZÉS. A megfelelés feltétele: (V5)

TH ≥ TM .

A VRd,c és a VRd,max mennyiség definícióját l. a 3.2. 5. ábrán.

(T5)

A THa és a THf mennyiség definícióját l. a 3.2. 5. ábrán.

EC

felső THf korlát

MSZ

THb THa

alsó korlát

THs THs =THf

A vasalás THs által felvehető határnyíróerő rész. A keresztmetszet betonrészeire hárítható határnyíróerő rész:

THb = (1 –

)THa ≥ 0.

3.2. 4. ábra/II NYÍRÁS. Az ELLENŐRZÉS lépései II.

67

EC

MSZ

A nyír. teherb. felső korlátja a nyomott ferde rácsrudak teherbírása:

A nyírási teherbírás felső korlátja a főnyomófeszültségekből:

VRd,max = bwzζ(υfcd),

THf = 0,25bhσbH + nfNM, (T6)

(V6)

ahol

ζ = 0,50 kengyelek esetén; ζ = 1,0 ferde acélbetéteknél; ζ = 0,75 kengyelek + ferde

ahol

nf = 0,15 ha NM < 0, azaz nyomás.

acélbetétek esetén. z ≈ 0,9d, a belső erők karja,

υ = 0,6(1 –

nf = 0 ha esetén NM > 0, azaz húzás.

).

NM < 0

■A VRd,max és a VRd,c képletébe nem vettük be az NM normálerő hatását (terjedelmi okokból). ■A VRd,s vasalási teherbírás legalább 50%-át kengyelek kell adják!

Ha VEd ≤ Vrd,c, akkor elvileg nem kell méretezett nyírási vasalás (de: 1.6. 2. ábra, ρminV).

Ha TM ≤ THa, akkor elvileg nem kell méretezett nyírási vasalás (de: 1.6. 2. ábra, μminT)

A „beton” nyírási teherbírása, azaz a nyírási teherbírás alsó korlátja:

A nyírási teherbírás alsó korlátja:

VRd,c = cVbwd,

THa = 0,5bhσhH − naNM, (T7) THa ≤ 0,6bhσhH,

(V7)

ahol cV = 0,12k(100ρlfck)1/3, [Nmm-2] cV ≥ υmin, k = [1+√

ρl =

] ≤ 2,0

ahol

na = 0,1 ha NM < 0, azaz nyomás, na = 0,2 ha NM > 0, azaz húzás.

d[mm]

≤ 0,02,

Asl: a vizsgált keresztmetszetben a

húzott vasalásnak az a része, amely megfelelően le van horgonyozva. A szélső támasznál ez 0 is lehet! υmin = 0,035k3/2fck1/2 [Nmm-2].

NM < 0

3.2. 5. ábra A betonkeresztmetszet által felvehető nyíróerők meghatározása. A nyírási teherbírás alsó korlátja és felső korlátja

68

A j= 2. részszakasz. Itt egy keresztmetszetben

ks = 4 db kengyel (itt 4 szár!) és kb = 2db ferde acélbetét van.

qEd

ss1o αb Asw,b Asw,s ss1 ss1 ss1 ss1 ss1n ss2 ss2 ss2

ss2n

ss3

ss3

h d 45o

a sb1

sb2

sb3

tartótengely

A minimális kengyelezés

d

VRd,c

VEd VRd

VRd,4

VEd,red A

VRd,2

VRd,3

4 szárú kengyel

VRd,1

tny: a nyírásra vasalandó tartószakasz hossza VEd,red :a csökkentés csak a vasaláshoz megengedett!

VRd,max

b: inclined bar=ferde acélbetét s: stirrup=kengyel; s: steel=acél

VRd,c ≤ VRd ≤ VRd,max . (V4)

VRd ≥ VEd . (V5)

VRd,f = (V4) = (V4) VRd,c,VRd,max: 3.2. 5. ábra; VRd,s, VRd: 3.2. 4. ábra VRd,c = (V1) VRd,c = (V1) 3.2. 3.2. 6. 6. ábra ábra A nyíróerőábra nyíróerőábra(V (VEdEd) )burkolása burkolása (V(Rd VRd ) teherbírási(R) ) teherbírási határállapothoz[III. határállapothoz [III.feszültségi feszültségiállapot] állapot]

69

fajlagos elcsavarodás:

φ' = υ =

ω: fajlagos tartótengelyirá-

elcsavarodás:

φ =∫ υdx

nyú(x) öblösödés/eltolódás,

σω = Eωφ'': tartótengelyirányú(x) feszültség,

≈ 0,417E w = υω: tartótengelyirányú(x) öblösödés/eltolódás.

= (…)' G =

It : 3.3. 2. ábra

A támasznál a csavarás felvétele a reakcióerők egy részével történik.

a villás megtámasztás φ = 0 φ'' = 0 σx ≡ σω: tartótengelyirányú(x)

feszültség. A villás megtámasztás felveszi a T-t, de a keresztmetszet x irányban szabadon öblösödhet (w):

saru =

Rt

σx ≡ σω = 0.

T

Rt

b

σω= 0

x, w = υω

T

φ befogási nyomaték terhelő nyomaték

T (t, t, T, T) torsion(al) = csavarás(i)

TV: csavarási/nyírási középpont

szokásos jelölés ez is(vektor)

b merev befogás φ = 0 φ' = 0 φ befogási nyomaték

T TV

T terhelő nyomaték

3.3. 1. ábra Rugalmasságtani csavarási(t,T,T) alapfogalmak. Csavarási megtámasztási fajták 70

I.) Nyitott keresztmetszet be = h1

A τt feszültségek valójában nem lineáris eloszlásúak: 3.3. 3. ábra. i=1

ve = v1

csavarási nyírófeszültségek i=2

τtSi =

h WtSi ≈

hg= h2

bg = v2 i=3

va = v3

ba= h3

S: de Saint−Venant

(t, t, T, T) torsion(al) =

= csavarás(i)

ItSi = ρi

ItS =ΣItSi

hi

v i ≤ hi

ρi = [1−0,63 + 0,052 ]

εi =

≤1

1/3

II.) Zárt keresztmetszet h1 v1 h4= h2

v4

τtBi =

WtBi = 2Aovi v2

hg v3

B: Bredt

h3 = h1 τtBivi = const.; nyírófolyam

It =ItB = 2Aoψ

εi =

≤1

3.3. 6. ábra

Ao= Ak = h1h2 ψ =

3.3. 2. ábra Rugalmasságtani, tiszta csavarási(t,t,T,T) keresztmetszeti jellemzők 71

Az I. feszültségi állapotban a csavart gerenda repedésmentes. A húzásokat is, és a nyomásokat is túlnyomórészt a beton veszi fel. Mint pl. tiszta hajlításnál (1.5. 2. ábra; 1.5. 4a)-4b). ábra). Összehasonlításul l. a hajlítási–nyírási főfeszültségi trajektóriákat a 3.2. 2. ábrán. A terhelést fokozatosan növelve, az első repedések a hosszabbik oldal közepén lépnek fel. Ha a gerendában van kellő mértékű csavarási vasalás, akkor kialakulhat csavarásra is a II. feszültségi állapot. A gerenda a húzótrajektóriáknak megfelelően össszerepedezik. húzott elem, húzótrajektória (σ1)

T

T o

45

τt nyomott elem, nyomótrajektória (σ2)

az első repedések

A csavarási(t) vasalás jellegzetessége, hogy hálót alkot. A hálóvasalás alkalmas a felső ábrán vázolt ferde húzó főfeszültségek felvételére. A hosszvasalást a kerület mentén egyenletesen kell kiosztani. hosszvasalás hajlítási, külpontos nyomási vasalás 3.3. 5.-6. ábra

sts sts sts sts sts sts sts sts sts sts sts sts

kengyelezés Øts/sts

s: stirrup= Ha továbbkengyel növeljük a terhelést, akkor az első repedésből kiindulva A csavarási kengyeleket meg kell különböztetni a nyírásiaktól: 3.2. 6. ábra. kialakul a jellegzetes csavarási torzfelület, a gerenda csavarási teherbírási határállapotba kerül (III. feszültségi állapot). beton nyomóerők

ny

Nnn0yomot

csavarási töréskép kengyel húzóerők

TEd A hosszvasalás húzóerőit nem ábrázoltuk.

repedés

3.3. 3. ábra Tiszta csavarási (nyírás: V = 0) viselkedés rugalmas állapotokban [I. és II. feszültségi állapot]. Csavarási(t,T,T) főfeszültségi trajektóriák. Csavarási teherbírási(R) határállapot [III. feszültségi állapot]. 72

e

qEd [kNm-1] mtEd = qEde [kNm/m]

fajlagos csavarónyomaték

konzollemez

qEd

mtEd

villás megtámasztás 0,5mtEdl =

villás megtámasztás

l

= TEd,m

TEd,1

csavarás

TEd

[kNm]

nyírás

VEd

[kN]

TEd,2

0,5qEdl = = VEd,m

VEd,1

VEd,2 qEd

=

MEd

hajlítás

MEd,1

MEd,m [kNm]

MEd,2

A támaszok közelében: 1 csavarási–nyírási töréskép beton nyomóerők

Közbenső tartomány: 2 hajlítási – csavarási töréskép

TEd,1 VEd,1 +MEd,1

kengyel húzóerők

MEd,2+VEd,2, TEd,2

hajlítási acél húzóerők A csavarási hosszvasalás húzóerőit nem ábrázoltuk.

3.3. 4. ábra Csavart(TEd), nyírt(VEd) és hajlított(MEd) gerenda törésképei teherbírási(R) határállapotban[III. feszültségi állapot]

73

A csavarási(t,T,T) vasalás minden egyéb vasaláson felüli (nyírás, külpontos nyomás)!

TEd

3.3. 3. ábra at: a kengyeltengelyig Asl,t: az összesített csavarási(t) hosszvasalás(l) keresztmetszeti területe. Asw,s,t: 1 szár(!) csavarási(t) kengyel(s) keresztmetszeti területe. sts : a csavarási(t) kengyelek(s) távolsága a gerenda hossztengelye mentén. 3.3. 3. ábra

Øts

h

csavarási(t) kengyel(s), Øts/sts

b = bw

TEd:

a csavarónyomaték tervezési(d) értéke.

TRd,c:

alsó korlát csavarásra(a „beton” csavarási teherbírása) 3.3. 7. ábra. a csavarási teherbírás(R) tervezési(d) értéke(acél). 3.3. 8. ábra. felső korlát csavarásra(a ferde nyomott beton

TRd: TRd,max:

rácsrudak teherbírása)

3.3. 7. ábra. (t,T,T) torsion(al) = csavarás(i), s: steel = acél, vasalás; s: stirrup = kengyel, l: longitudinal = hosszirányú; csavarási(t) hosszvasalás(l).

Megjegyzés: az acélbetéteket/vasalást általában kékkel jelöljük. Most azonban −annak érdekében, hogy a csavarási kengyeleket a nyírási kengyelektől minél jobban megkülönböztessük− alkalmazzuk a narancssárga jelölést is. A csavarási hosszvasalást is hasonlóképpen megkülönböztetjük a hajlítási, külpontos nyomási hosszvasalástól.

EC 3.3. 5. ábra Csavarási(t,T,T) alapfogalmak az EC-nek megfelelően

74

nyírási kengyelek (α=90o) α sts csavarási(t,T,T) kengyelek(s) (α=90o)

ss

bw sb

ferde nyírási acélbetétek

Ez a rajz a hajlítás−külp. nyomás + nyírás + csavarás(t,T,T) vasalását szemlélteti. h Asw,s,t : 1 szár csavarási kengyel Øts/sts keresztmetszeti területe Asl,t : a csavarási(t,T,T) hosszvasalás(l)

összesített keresztmetszeti területe hajlítási–külpontos nyomási – (nyírási) hosszvasalás

at: a kengyeltengelyig

Keresztmetszeti jellemzők: tef

tef tef

hk= = h−tef

A = hbw, u = 2(h+bw), t = A/u, tef = max(t; 2at), Ak = bkhk, uk = 2(hk+bk).

helyettesítő keresztmetszet

h

bk=bw−tef

középvonalak

b,bw

Ak = Ao: 3.3. 2. ábra

EC

MSZ

3.3. 6. ábra Csavarási(t,T,T) keresztmetszeti jellemzők

75

A „beton” csavarási(t,T,T) teherbírása(R); alsó korlát: TRd,c = 2Akfctdtef . (Tt1) Itt

Ak és tef : fctd :

3.3. 6. ábra, 2.3. I. táblázat.

Ha TEd < Trd,c, akkor elvileg nem kell méretezett csavarási vasalás. De minimális nyírási-csavarási vasalás szükséges: 1.6. 2. ábra; 2.4. II. táblázat.

A ferde nyomott rácsrudak csavarási teherbírása; felső korlát:

TRd,max = 2νfcdAktef sinθcosθ.

(Tt2)

Ugyanúgy, mint a nyírásnál a ferde repedés, illetve a nyomott rácsrudak hajlásszögét a vízszinteshez θ = 45o –ra vesszük fel. Tehát sinθcosθ =0,5. Itt ν a beton hatékonysági tényező:

ν = 0,6(1 −

),

és

fcd, fck:

2.3. I. táblázat.

Ha

TRd,max > TEd ,

(Tt3)

akkor a keresztmetszet betonméretei megfelelnek és a betonminőség is megfelel. A keresztmetszet csavarásra bevasalható.

EC 3.3. 7. ábra A csavarási(t,T,T) teherbírás(R) alsó korlátja és felső korlátja(beton teherbírások) az EC szerint

76

A csavarási(t,T,T) vasalás(s) teherbírásának(R) tervezési(d) értéke kengyelezésből(s: steel, s: stirrup) 1, θ=45o

TRd,s,s = 2Ak

cotθ,

a hosszvasalásból(l: longitudinal):

TRd,s,l = 2Ak

EC

(Tt4s)

MSZ (Tt4l)

.

Itt

Asw,s,t ,Asl,t, sts, továbbá Ak és uk: 3.3. 6. ábra, fywd: 2.3. II. táblázat(mint fyd, de nyírásra, csavarásra), A tényleges csavarási(t, T, T) vasalási(s) teherbírás(R) a kettő közül a kisebbik: TRd,s = min(TRd,s,s ; TRd,s,l). (Tt4)

A csavarási(t,T,T) teherbírás(R) TRd tervezési(d) értéke: TRd = max(TRd,c;TRd,s) .

(Tt5)

Ki kell elégülnie az alábbi egyenlőtlenségnek is:

TRd,c ≤ TRd ≤ TRd,max.

(Tt6)

ELLENŐRZÉS A keresztmetszet megfelel tiszta csavarásra(V=0; nincs nyírás), ha teljesül az alábbi egyenlőtlenség: TRd ≥ TEd . (Tt7) Itt TEd a (külső) csavarónyomaték tervezési(d) értéke.

3.3. 8. ábra A csavarási(t, T, T) teherbírás(R) TRd tervezési(d) értéke az EC szerint. ELLENŐRZÉS

77

NYÍRÁS(V) + CSAVARÁS(T) VEd TEd Az előzőekből ismertek a következő teherbírások:

VEd: VRd,c: VRd: VRd,max:

a nyíróerő tervezési(d) értéke. alsó korlát nyírásra; a „beton” nyírási teherbírása 3.2. 5. ábra. a nyírási teherbírás(R) tervezési(d) értéke (acél) 3.2. 4. ábra. felső korlát nyírásra; a ferde nyomott beton rácsrudak teherbírása

3.2. 5. ábra.

TEd:

a csavarónyomaték tervezési(d) értéke.

TRd,c:

alsó korlát csavarásra; a „beton” csavarási teherbírása 3.3. 7. ábra. a csavarási teherbírás(R) tervezési(d) értéke (acél) 3.3. 8. ábra. felső korlát csavarásra; a ferde nyomott beton

TRd: TRd,max:

rácsrudak teherbírása

3.3. 7. ábra. Csavarás és nyírás együttessége esetén méretezett vasalás nélkül megfelel a keresztmetszet, ha teljesül az alábbi feltétel (minimális vasalás szükséges):

+

≤ 1.

(TV I)

Minimális vasalás: 1.6. 2. ábra, 2.4. II. táblázat. VRd,c, TRd,c: l. itt fenn.

3.3. 9. ábra Egyidejű csavarás(t, T, T) és nyírás(V) az EC szerint I.

EC

78

.

TEd VEd ELLENŐRZÉS Megfelel a keresztmetszet csavarás és nyírás együttességére, ha teljesül az alábbi 2 egyenlőtlenség külön-külön (EC: semmi együttdolgozás a kengyelek között! Nagyon gazdaságtalan!): VRd ≥ VEd, (TV IIa) TRd ≥ TEd. (TV IIb) Ezen kívül teljesülnie kell az alábbi egyenlőtlenségnek is(főnyomófeszültségek):

+

(TV III )

≤ 1.

A (TV I) és a (TV III) feltétel ferde egyenessel ábrázolható. Az MSZ jelölései

VEd =TM

TEd = MtM VEd=TM valószínű törési diagram

MSZ EC A VB86/2002

24 éve megfelel.

+

TH,MtH

≤ 1.

TEd = MtM

Az EC előírás abszurd voltát kiemeli az a tény is, hogy az ábrán vázolt ferde egyenes szerint sem szabad ellenőrizni. A ferde egyenes megfelel az MSZ 15022/1−86 előírásának (de ott külön-külön csavarási és nyírási kengyelekkel). Rámutatunk arra, hogy a VB86/2002 programcsomagunkban –saját felelősségünkre− a csavarási kengyelt a nyírási teherbírásnál is figyelembe vettük( diagram). Abból a megfontolásból, hogy a kétféle kengyel együttdolgozik, a keresztmetszet valószínű határállapotbeli törési feltétele az ábra szerinti ferde egyenesnél kedvezőbb görbe. Ennek az egyenlete nem ismert még.

EC 3.3. 10. ábra Egyidejű csavarás(t,T,T) és nyírás(V) az EC szerint II.

79

a szimmetrikus stabilis elágazás P Pm

geometriailag tökéletes alak

P

kihajlás/ elágazás l=lineáris 2

P

Pkr,l 1 elfordulási rugó:

Pm nem létezik

cα yk y

geometriai tökéletlenség (alakhiba)

yk y

yk1 yk2

y

yk

b szimmetrikus labilis elágazás eltolódási rugó: rugalmas ágyazás

P

cy

P

cy

P

Pm

kihajlás/ elágazás Pkr,l l=lineáris

Pkr,l

Pm

2

Pm

1 geometriai tökéletlenség (alakhiba)

yk y

rugalmas (acél, fa)

σ

yk y

geometriailag tökéletes alak

yk1 yk2

y

yk1

1 : elsődleges egyensúlyi út(P−y) 2 : másodlagos/posztkritikus egyensúlyi út(P−y) stabilis

labilis

3.4. 1. ábra Külpontos nyomás(yk) és központos nyomás rugalmas anyagoknál(acél, fa). Jellegzetes egyensúlyi utak(P−y) és kritikus pontok(Pkr,l , Pm) Általános stabilitáselmélet. Nem szabvány előírások! 80

a szimmetrikus

P

stabilis elágazás/kihajlás 2

2a

Pkr = = Pkr,l l=lineáris

I aszimptotája

az

I

rugalmas

σ

acél, fa

y = ψy k Southwell

1

ψ= Az anyag kihasználása nélkül.

F és T a labilis ágon.

x yk

P

stabilitási törés vb. II. fesz. áll.

II

vasbeton

Pkr,vb III

lo

F folyás

T törés szilárdsági törés vb. III. fesz. áll. törési

T

σ F

folyás

határfesz.: σbH

P σsH y

beton törési

εbH

határösszemorzsolódás

εsF σsH

εsH

ε

yk: geometriai tökéletlenség; kezdeti külpontosság stabilis egyensúlyi helyzet labilis egyensúlyi helyzet

y

1 elsődleges egyensúlyi út(P−y) 2 másodlagos/posztkr. egyens. út

3.4. 2. ábra Külpontos nyomás és központos nyomás. A Southwell-féle ψ külpontosságnövelő tényező(rugalmas). Egyensúlyi utak(P−y) különböző anyagmodellekkel(rugalmas, rugalmas−képlékeny) Általános szilárdságtan és stabilitáselmélet. Nem szabvány előírások! 81

Δy

=

αk P

=

,

inflexióspont

Mki = y

k

x

cy

Hki

lo = νl

lo l inflexióspont

A KIHAJLÓ RÚD MODELLJE

z i Mik =

Hik = Hki = H

P αi inflexióspontok

1

4 P

P

P

P

5

P

6 P

lo lo 3a

3b

lo

2

p

l

lo

lo

lo lo

ν=2

ν=1

ν=0,7

ν=0,7 EC

ν=0,5

ν=1

ν=1,12

MSZ

3.4. 3. ábra A síkbeli rúdkihajlás alapesetei. Az lo (helyettesítő) kihajlási hosszak ν tényezői Általános stabilitáselméleti ismeretek. A szabványok is átvették ezeket.

82

A nagyon kis eEd külpontosságok tartománya: ún. elvi központos nyomás NEd d = d1 Ac = bh

As2

d2 y

eEd

geometriai középpont

0 d1 h

As1 b

x

A NRd teherbírás az x és az y irányú teherbírás közül a kisebb.

N lo: a kihajlási hossz; x és y irányban külön-külön. NRd,o = Nud = Acfcd + ΣAsσs σs ≤ 400 Nmm-2 3.4. 7. ábra NRd = NRd,központos,MSZ = φMSZNRd,o NRd,külp α

teherbírási vonal

cotα = eEd

M NRd,külp: az eEd –vel számolt külpontos nyomási teherbírás. Az ún. elvi központos nyomásra az EC−ben nem található olyan közelítő képlet, mint amilyen az MSZ15022/1- ben volt:

φMSZ =

,

θ=

.

MSZ

Ha θ > 2.5, akkor pontosabb eljárásra van szükség. Az EC szerint –a valósággal összhangban− csak külpontos nyomás létezik. Ettől függetlenül, a kézi számítások megkönnyítésére, elvileg létrehozhattak volna egy a fentihez hasonló, egyszerű összefüggést is. Az általunk ismert –EC-n kívüli− ilyen próbálkozások bonyolultak. Egy kezelhető táblázatos segédletet tudunk ajánlani a FÜGGELÉK-beli [I2] Irodalom-ban.

EC bizonyos karcsúsági(lo/d, ill. λ = lo/i) feltételek Megjegyzés: az teljesülése esetén megengedi, hogy a másodrendű hatásoktól(kihajlás) eltekintsünk.

MSZ 3.4. 4. ábra Elvi központos nyomás

83

B

Q

C MMo NM

x

A rúd modellje

eo M

eo =

A

D

NM

alapkülpontosság

az 1. rendű elmélet szerint

A CD rúd legjobban igénybevett C jelű keresztmetszetében az ábra szerint kell meghatározni az eM mértékadó külpontosságot.

lo terhelt alak terv szerinti alak véletlen eltérés Az ek kezdeti külpontosság a szokásos statikai számításból kiadódó eo alapkülpontosság, továbbá a Δeo véletlen jellegű geometriai külpontosság[növekmény] összege:

MSZ θ=

Δeo = (0,06 +

NM ΔetΔeoeo Δet

)h,

ek eM

ek = eo + Δeo,

ahol h a keresztmetszet dolgozó magassága, h NM és lo a (helyettesítő) kihajlási hossz. Az eM mértékadó külpontosság az ek kezdeti külpontosság és a Δet 2. rendű/másodrendű elmélet szerinti külpontosság [növekmény] összege: eM = ek + Δet, ahol Δet = (0,04θ2)h.

σ törési határállapot T

beton törési

εbH

határösszemorzsolódás

σsH εsF σsH

εsH

Δ

e

F folyás

σbH

MSZ

t

ε =

3.4. 5. ábra ( A Δeo és a Δet külpontosság[növekmény], továbbá az eM mértékadó külpontosság számítása az MSZ szerint 0 . 0 84

4

B

Q

C MEdo A rúd modellje

NEd

x

eo M

eo =

A

alapkülpontosság

NEd

az 1. rendű elmélet szerint

D

A CD rúd legjobban igénybevett C jelű keresztmetszetében az ábra szerint kell meghatározni a külpontosság eEd tervezési értékét.

lo

terhelt alak terv szerinti alak véletlen eltérés Az ek kezdeti külpontosság a szokásos statikai számításból kiadódó eo alapkülpontosság, továbbá az ea véletlen jellegű geometriai külpontosság[növekmény] összege: kissé változik az l függvényében

EC

β=

e2

, ha 4m < l < 9m,

√

ea =

NEd e2 ea eo

ek eM

,

e k = e o + e a,

d

NEd

ahol d a keresztmetszet dolgozó magassága, és lo a (helyettesítő) kihajlási hossz, továbbá l = lcol a rúd tényleges hossza (m-ben). A külpontosság eEd tervezési értéke az ek kezdeti külpontosság és az e2 2. rendű/másodrendű elmélet szerinti külpontosság[növekmény] összege:

h

eEd = ek + e2 ≥ (20 mm; h/30), ahol e2 =

EC

. 3.4. 7. ábra

teherbírási határállapot

fcd

εcu

σ

Y folyás fyd =

εsy (

εuk

ε

3.4. 6. ábra 0 Az ea és az e2 külpontosság[növekmény] , továbbá a külpontos. ság eEd tervezési értékének számítása az EC szerint 0 85 4

z

MSZ A 2. rendű elmélet szerinti Δet külpontosság[-növekmény]az MSZ alapján:

Δet NM

A ρ görbület:

=ρ=

= Δet

=

.

εbH=2,5‰

y = Δetsin z lo

Az εs = 1,448 ‰ közelítéssel:

εs

]2h.

Δet = 0,04 [

h y

NM

A 2. rendű elmélet szerinti külpontosság[-növekmény] az EC alapján:

e2 =

a görbület.

=K

Itt

[ ]2

σs

. =

,

ahol εyd =

EC εyd

.

b

εs

εcu=3,5‰

A K= KrKφ mennyiség számítása az egyszerűsített teherbírási vonal jellegzetes értékei segítségével: d Nbal ≈ b(ξcod)fcd, Nud = Acfcd +Asσs. 3.4. 4. ábra h Ac = bh KA = Nud – NEd, KB = Nud – Nbal , N Nmm-2

Kr =

< 1.

KA

Kφ = 1 + βφ > 1, ahol

β = 0,35 +

–

KB

Nud

σs ≤ 400

NEd Nbal

;

λ = , i: tehetetlenségi sugár: √

balance(d)

K = Kr Kφ.

M

3.4. 7. ábra Az e2 és a Δet 2. rendű/másodrendű elmélet szerinti külpontosság[növekmény] elemzése EC MSZ

86

Keresett a teherbírási(R) külpontosság eRd tervezési értéke: NEd (adott) −a

Keresett az eH határkülpontosság:

NM (adott) −a

eRd = ?

eH = ?

xc a

x

0

Ns1

a Nc

Ns2 0:geometriai

zc ds As1

H

Ns 0:geomet-

zb hs

As2

NEd = Nc + Ns2 − Ns1,

As

riai középpont

h ht

As'

xc (N1)

NM = Nb + Ns – H,

x (N1)

(N2)

NM(eH + [ − a]) =

(N2)

eRd

= Nbzb + Nshs, MH = NMeH ≥ MM = = NMeM.

)=

= Nczc + Ns2ds, MRd = NEdeRd ≥ MEd = = NEdeEd.

(N3)

Nb = bxσbH, H = Asσs,

zc = d − xc/2, Ns2 = As2fyd.

Nc = bxcfcd, Ns1 = As1σs1,

Nb

középpont

d h

NEd(eRd +[

0

eH (N3)

zb = h − x/2, Ns = As'σsH ≤ Nb.

A nyomott acélbetétek megfolyásával most nem foglalkozunk (l. alul).

σs1 =

σs =

–700 ≥ 0

σs1[Nmm-2] húzás

–515 ≥ 0

σs[Nmm-2] húzás

EC

MSZ EC

3.1. 1. ábra/3

σs

σs σsH

NRd NH 1

fyd

teherbírási

σs1

húzás

N2

vonal

2

σs

húzás

3

e2

σs2

– fyd

eRd

4

M2 MRd MH

nyomás

e2 =

e2

eH nyomás

−σsH

a nyomott acélbetétek esetenként nem folynak meg

3.4. 8. ábra Külpontos nyomás. A nyomatéki teherbírás(R) MRd tervezési(d) értékének a meghatározása: EC . Az MH határnyomaték: MSZ 87

3.4. 9. ábra Teherbírási vonalak 88

Az Ac,eff = hc,effb hatékony húzott betonkeresztmetszet értelmezése: 2,5(h−d)

hc,eff = min

Gerenda:

ε2 = 0

x h

Ac,eff = hc,effb

ε

d

ε1

Az x = xiII, azaz berepedt állapotban.

hc,eff

a húzott betonzóna b As a húzott acélbetétek összege, és súlypontja

ε2 = 0 ε

h d x

Lemez: hc,eff Ac,eff = hc,effb

a

b

húzott betonzóna

ε1 As

a húzott acélbetétek összege, és súlypontja A keresztmetszeten belüli feszültségeloszlást figyelembe vevő

hajlítás

k2 tényező:

k2 = 0,5

központos húzás

k2 = 1,0

EC 4.1. 1. ábra Repedéskorlátozás. Az EC néhány segédmennyisége

89

merevítő hatás: ζ ,ψ

EC σs

σs

bebetonozott betonacél

MSZ

bebetonozott betonacél

εsII =

εsII =

εsm ≈ εsIIζ

εsm ≈ εsIIψ

σsII

σsII

csupasz betonacél

σscr

csupasz betonacél

σsr

berepedés

berepedés

-2

τ tgτ = Es = 200 kNmm

τ

εs

-2

tgτ = Es= 206 kNmm

εs

Az εsm mennyiség a húzott acélbetét átlagos nyúlása a repedések között; a berepedt, húzott betonzóna merevítő hatását is figyelembe véve (ζ, ψ). I: repedésmentes állapot (I. fesz. állapot) II: berepedt állapot (II. fesz. állapot) 0 ≤ ζ = 1 − β[

2

1≥ψ=1−

] < 1,

β = 1,0 egyszeri, rövididejű terhelés-

δ=

≥ 0.5, ≥ 1.

nél, β = 0,5 tartós, vagy ismétlődő ter- α = 2 bordás(periodikus) acélbetétnél, helésnél. α = 1 sima acélbetétnél; σscr : a húzott acélbetétekben kelet- σ : a szélső, húzott betonszálban bI kező feszültség az Mcr repesztőaz I. fesz. állapot alapján szányomaték hatására (II. fesz. állapot), mítható fiktív húzófeszültség. [a terhek alapértékéből]; σs = σsII: a húzott acélbetétekben fellépő feszültség(II. fesz. állapot) [a kvázi-állandó teherkombinációból]. A merevítő hatást repedéskorlátozási számításoknál nem a ζ csökkentő tényezővel kell számítani, hanem a 4.1. 3. ábrán látható módon:

εsm =

ktfctm

.

4.1. 2. ábra Repedéskorlátozás. A berepedt, húzott betonzóna merevítő hatása („tension stiffening”) 90

repedéstágasság a vastengelyben

Ø

Mcr

As

sr,max wk

repedéstágasság a vastengelyben

Mcr

Mr

M

EC

MSZ

σs σscr

sr,max aM σsI ≈ 0 σsr σsII

τ

εsm =

ασhH

4.1. 1. ábra

ktfctm

4.1. 2. ábra

εsm ≈ εsIIψ =

,

kt = 0,6 rövididejű tehernél,

M = Mser

= 0,4 tartós tehernél; fctm: a beton húzószilárdságának(t) várható értéke(átlagértéke);

εcm =

ψ,

σsr

σsr

σhH

σhH

(S): sr,max = 0,5

= σsII = σbI

D,

, 2.3. I. tábl., (kúszás).

sr,max = 3,4c + 0,425k1k2

Ø

sr,max = 0,5Ar

,

ahol l. még SZÁMPÉLDÁK R6.o. c: a betonfedés a húzott acélbetéteken, 2.4. I. táblázat; k1 = 0,8 bordás acélbetétnél, k1 = 1,6 sima acélbetétnél;

k2= 1,0 – 0,5; ,

Ar =

D,

α = 2 bordás(periodikus) acélbetétnél, α = 1 sima acélbetétnél; σsII: a húzott szélső acélbetétekben

4.1. 1. ábra;

fellépő feszültség(II. fesz. áll.), [a terhek alapértékéből];

σbI: 4.1. 2. ábra.

Ac,eff: 4.1. 1. ábra,

As=As1: a húzott acélbetétek össze-

ψ: 4.1. 2. ábra

sített keresztmetszeti területe; A repedéstág. karakt. (k) értéke:

wk = sr,max(εsm – εcm).

,

ahol

Ø: a húzott acélbetétek átmérője;

ρeff =

ασbI

(S): (D2π/4)σsr = (Dπsr,max/2)ασhH, (A) aM = sr,maxεsm,

kapcsolati nyírófeszültségek a paláston

wk = sr,maxεsc,m , εsc,m = εsm εcm,

As Mr

D

A mértékadó(M) repedéstágasság:

EC

MSZ

aM = 0,5Arψ.

4.1. 3. ábra Repedéskorlátozás. A repedéstágasság meghatározása 91

feszítőacélokat Környezeti osz- Vasbeton szerkezetek és Tapadásos tapadásmentes feszítő- tartalmazó feszített vasbeton tály (2.4. I. táblázat) acélokat tartalmazó szerkezetek feszített vb. szerkezetek Gyakori teherkombináció Kvázi-állandó teherkombináció X0, XC1 wkl = 0,40 mm wkl = 0,20 mm XC2, XC3, XC4

wkl = 0,20 mm,

wkl = 0,30 mm

továbbá kvázi-állandó teherkombin.-ból dekompr. állapot

wkl = 0,30 mm

dekompressziós állapot

XD1, XD2 XS1, XS2, XS3

Dekompressziós állapot: azt kell számítással igazolni, hogy a feszítőacélok körül legalább 25 mm távolságban tengelyirányú húzófeszültségek nem lépnek fel.

σc: nyomás

feszítőacél

FÜGGELÉK, [I5] irodalom.

≥ 25 mm

4.1. I. táblázat repedéstágasság wkl

Repedéskorlátozás. A meghatározása Acélfeszültség

σs [Nmm 160 200 240 280 320 360 400 450

-2

]

határértékének a

Az acélbetét maximális Ømax [mm] átmérője wkl = 0,40 mm wkl = 0,30 mm wkl = 0,20 mm 40 32 20 16 12 10 8 6

32 25 16 12 10 8 6 5

25 16 12 8 6 5 4 −

4.1. II. táblázat Repedéskorlátozás. A wk repedéstágasság (k: karakterisztikus) korlátozása részletes számítás nélkül, a Ømax maximális acélbetét átmérő meghatározásával. Megfelel, ha Ø ≤ Ømax. Ekkor wk ≤ wkl . FÜGGELÉK, [I2] irodalom.

92

A használhatósági teherkombinációk definícióit l. a 2.1. IV. táblázatban: ■kvázi-állandó, ■gyakori, ■ritka/karakterisztikus. Ezekből a terhekből kell az Mser nyomatékokat meghatározni.

Megjegyzések

A feszültségkorlátozás definíciója

fck: a beton(c) nyomó-

Kvázi−állandó teherkombinációból (ez a leggyakoribb):

szilárdságának(c) karakterisztikus(k) értéke. 2.3. I. táblázat

1.)A nyomott beton szélső szálfeszültségének a korlátozása(ρ=0,45): σc ≤ 0,45fck.

σc = σcII,u: a szélső, nyomott betonszálban

fellépő feszültség (II. fesz. állapot):

σcII,u =

xiII.

Az 1.) célja: a kúszás hatásának a csökkentése, elsősorban a lehajlások (alakváltozások) korlátozása érdekében.

σcII,u

Ha xiII

σcII,u ≤ 0,45fck, akkor megfelel.

Mser

Gyakori teherkombinációból: Nincs feszültségkorlátozás. c: concrete=beton f: fracture=törő; szilárdság k: characteristic=minősítési u: upper=felső

4.2. 1. ábra Feszültségkorlátozás I.

93

Megjegyzések

A feszültségkorlátozás definíciója Ritka/karakterisztikus teherkombinációból:

fck: a beton(c) nyomószilárdságának(c) karakterisztikus(k) értéke. 2.3. I. táblázat

1.) A nyomott beton szélső szálfeszültségének a korlátozása(ρ=0,60):

σc ≤ 0,60fck.

Az 1.) célja:

σc = σcII,u: a szélső, nyomott betonszálban

fellépő feszültség(II. fesz. állapot):

σcII,u =

xiII.

Ha

a nyomott betonzóna nagy nyomófeszültségei által előidézett keresztirányú húzásokból származó hosszirányú mikrorepedések korlátozása.

σcII,u

σcII,u ≤ 0,60fck akkor megfelel.

Mser xiII

2.) A húzott acélbetétekben lévő feszültség korlátozása(λ=0,80) : σs ≤ 0,80fyk.

σs = σsII: a szélső, húzott acélbetétekben

d

σsII

fellépő feszültség (II. fesz. állapot):

σsII = αe

(d−xiII).

A 2.) célja: a nagy maradó(képlékeny)

Ha

alakváltozások, korlátozása.

σsII ≤ 0,80fyk , akkor megfelel.

repedések

fyk: a betonacél(s) folyásha-

s: steel=acél y: yield=folyási f: fracture=törő; szilárdság k: characteristic=minősítési

tárának(y) karakterisztikus(k) értéke. 2.3. II. tábl.

Megjegyzések: I.) A repedések korlátozását vasbeton szerkezetek esetén a kvázi-állandó teherkombinációra kell elvégezni. Tapadásos feszített (előfeszített) vasbeton szerkezetek esetén azonban a gyakori teherkombinációval kell számolni. II.) A lehajlásokat vasbeton szerkezetekre és feszített vasbeton szerkezetekre is a kvázi-állandó teherkombinációra kell leellenőrizni.

4.2. 2. ábra Feszültségkorlátozás II.

94

f = (1− ζ)fI + ζfII 4.1. 2. ábra fI : lehajlás repedésmentes keresztmetszettel számítva (I. fesz. állapot), fII : lehajlás berepedt keresztmetszettel számítva (II. fesz. állapot).

kvázi – állandó teher

Fser

leff (1− ζ)fI

ζfII

f

A lehajlás korlátozása: karakterisztikus(k) érték

f = fk ≤ fkl =

.

a lehajlás határértéke L. még a 4.3. 2. ábrát: közelítő számítás. Pontosabb közelítő számítás: FÜGGELÉK, [I2] irodalom.

4.3. 1. ábra A lehajlás meghatározása. A lehajlás korlátozása

95

Statikai rendszer a) gerenda

Karcsúsági Karcsúsági határok: határok:

leff/d

b) lemez d As b

erősen igénybevett keresztmetszet

ρ= Ac = bd

1a

1b

l1

1 leff

=

Megjegyzések

leff/d

enyhén igénybevett d: a hatásos/ keresztmet- hatékony magasság szet

ρ=

=

σs = 250

= 1,5% (Ac 2 = bd)

= 0,5% (Ac 3 = bd)

[Nmm ]

18

25

-2

4 leff : a hatékony fesztávolság

l2 l1

2 leff

leff = l1 < l2

bbefogás

23

32

leff = l1 < l2

25

35

leff = l1 < l2

l2

l1

3 leff

l2 síklemez (gombafödém)

l1

4

21

30

7

10

leff = l2 > l1

l2 l1

5 leff

l2

szabadon felfekvő perem (csuklós):

merev befogás:

FÜGGELÉK, [I10] irodalom alapján.

4.3. 2. ábra Egyszerűsített lehajlási ellenőrzés az leff/d karcsúsági határok betartásával

96

Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ. VASBETON SZILÁRDSÁGTAN az EUROCODE 2 szerint (magasépítés) Az EC és az MSZ összehasonlítása is TANKÖNYV I. AZ ÁBRÁK

Recommend Documents