Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ
VASBETON SZILÁRDSÁGTAN az
EUROCODE 2 szerint (magasépítés) Az EC és az MSZ összehasonlítása is
TANKÖNYV
II. A SZÖVEGES RÉSZ NEd MEdo
Mekkora az NRd határerő?
(alapérték, elsőrendű elmélet)
l = lcol A helyettesítő
rugalmas befogás hajlításra
kihajlási hossz: lo.
BUDAPEST 2010
96
TARTALOM FIGYELEM! A könyv elején van az összes ábra.
TARTALOM
98
1. FEJEZET: A VASBETONRÓL ÁLTALÁBAN
100
1.1. DEFINÍCIÓ
100
1.2. RÖVID TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS
100
1.3. A VASBETON ELŐNYEI ÉS HÁTRÁNYAI
102
1.4. A VASBETON ÉPÍTŐANYAGAI. ANYAGMODELLEK
103
1.5. A BETON ÉS AZ ACÉLBETÉT EGYÜTTDOLGOZÁSA. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTOK. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK
105
1.6. VASALTSÁGI SZINTEK(normálisan vasalt, gyengén vasalt, alulvasalt, túlvasalt)
1.7. A BIZTONSÁGRÓL. MÉRETEZÉSI ELVEK(röviden)
106 108
2. FEJEZET: EUROCODE(EC) ALAPISMERETEK 110 2.1. Ellenőrzési/méretezési elvek. A biztonság szintje. Határállapotok. Hatáskombinációk
110
2.2. Terhelő hatások
112
2.3. Anyagjellemzők(beton, betonacél, feszítőacél)
112
2.4. Vegyes adatok/segédletek
112
97
3. FEJEZET: TEHERBÍRÁSI HATÁRÁLLAPOTOK
113
3.1. HAJLÍTÁS(tiszta) 3.1.1. ELLENŐRZÉS 3.1.2. MÉRETEZÉS
113 114 114
3.2. NYÍRÁS(tiszta)
115
3.3. CSAVARÁS(tiszta csavarás és csavarás+nyírás)
117
3.4. KÜLPONTOS NYOMÁS(ÉS KÖZPONTOS NYOMÁS)
120
4. FEJEZET: HASZNÁLHATÓSÁGI HATÁRÁLLAPOTOK
124
4.1. REPEDÉSKORLÁTOZÁS
124
4.2. FESZÜLTSÉGKORLÁTOZÁS
126
4.3. AZ ALAKVÁLTOZÁSOK KORLÁTOZÁSA(lehajlás)
128
FÜGGELÉK
129
SZÁMPÉLDÁK
157
Az utolsó oldal: a 200. oldal.
98
1. FEJEZET: A VASBETONRÓL ÁLTALÁBAN 1.1. DEFINÍCIÓ A vasbeton betonból és a betonba ágyazott acélbetétekből álló olyan építőanyag, amelyben az említett két alkotóelem együttdolgozik(1.5. pont). Ez
az építőanyag nem homogén (homogén = egynemű, egyféle, egyforma tulajdonságokkal rendelkező; görög), mint pl. az acél, hanem heterogén ( heterogén = másfajta, másnemű, különböző részekből álló, külön-, más-; görög), vagy más szóval inhomogén anyag. L. még az 1.4. pontot. Már az egyik alkotóeleme a beton, önmagában sem homogén, hiszen pl. a beton nyomószilárdsága lényegesen nagyobb, mint a húzószilárdsága. Ebből következően betonból nem készíthetők (vagy csak igen előnytelen módon készíthetők) húzott vagy hajlított szerkezeti elemek. Viszont, ha a betonba acélbetéteket helyezünk, akkor a kapott új anyag, a vasbeton, húzófeszültségek felvételére is alkalmas lesz. A vasbetonban a nyomófeszültségeket a beton hordja, míg a húzófeszültségeket az acélbetétek veszik fel. A két anyag együttdolgozása azért is lehetséges, mert a beton és az acél hőtágulási együtthatója csaknem megegyezik egymással. A tökéletes együttdolgozást(1.5. pont) az acélbetétek felületének rovátkolása, érdesítése bordák kialakításával biztosítja. A beton és az acél tulajdonságainak a kihasználásával új, kedvező teherviselő tulajdonságú/képességű építőanyaghoz jutottunk. A vasbeton tulajdonképpen mesterségesen előállított kő. A vasbeton anyagairól részletesebben az 1.4. pontban írunk.
1.2. RÖVID TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS A mechanika, a statika és a szilárdságtan fejlődésére meghatározó hatású néhány természettudós a kései reneszánszon és az újkoron át a legújabb korig: Leon Battista Alberti (1404-1472), Leonardo da Vinci (1452-1519), Galileo Galilei (1564-1642), Robert Hooke (1635-1703), Isaac Newton (1643-1727), Johann Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783), Charles Coulomb (1736-1806), Louis Navier (1785-1836), Barré de SaintVenant (1797-1886), Benoit P. Clapeyron (1799-1864), George Airy (18011892), Enrico Betti (1813-1892), Carl Culmann (1821-1881), Gustav Kirchhoff (1824-1887), James Maxwell (1831-1879), Heinrich Gerber (18321912), Otto Mohr (1835-1918), Carlo Castigliano (1847-1887), Heinrich Müller-Breslau (1851-1936). 99
A 20. század mechanikai és statikai ismereteinek rohamos bővülése –mások mellett– az alábbiaknak köszönhető (a külföldiek közül): H. Cross, H. Duddeck, Ph. Frank, K. Girkmann, F. Grashof, A. Kleinlogel, J. Melan, G. Mehrtens, R. von Mises, A. Pflüger, A. Pucher, J. Rayleigh, S.P. Timoshenko, J.M.T. Thompson, O.C. Zienkiewicz stb. A vasbeton építés és a vasbeton tudomány úttörői a 19. században és a 20. század elején: F. Coignet, A. Considère, W. Döhring, F. Hennebique, T. Hyatt, Kazinczy Gábor, M. Koenen, J. Monier, R. Saliger, Zielinszki Szilárd, F. Wayss stb. A modern vasbeton tudomány kiemelkedő művelői közül néhány(†): P.W. Abeles, Z.P. Bazant, H. Bechert, K.-W. Bieger, Bölcskei Elemér, Czakó Adolf, F. Czerny, Csonka Pál., F. Dischinger, H. Duddeck, J. Eibl, U. Finsterwalder, E. Freyssinet, G. Franz, K. Girkmann, Y. Guyon, A.A. Gvozgyev, Gyengő Tibor, E. Hampe, W. Herberg, E. Hoyer, K. Kordina, F. Leonhardt, G. Magnel, Ch. Massonnet, C. Menn, Menyhárd István, Mihailich Győző, Mistéth Endre, E. Mörsch, V.I. Murasov, A.H. Nilson, Paulay Tamás, Palotás László, A. Pflüger, A. Pucher, G.S. Ramaswamy, K. Ritter, H. Rüsch, R. Saliger, J. Schlaich, C. Schleicher, K. Stiglat, E. Torroja, H. Trost stb. A vasbeton feltalálása J. Monier párizsi kertész nevéhez fűződik. Monier 1849ben cementhabarcsból virágcserepeket készített, mégpedig úgy, hogy a cementhabarcsba vékony vasbetéteket is tett. A vasbeton építőipari felhasználására F. Coignet francia mérnök tett először javaslatot (1867). Wayss és Bauschinger 1887-ben Bécsben kísérleti eredményeket tett közzé. Ezek a kísérletek megfelelő választ adtak arra az alapvető kérdésre, hogy mik a beton és az acélbetét jó együttdolgozásának a feltételei, továbbá, hogy rozsdásodik-e az acélbetét a betonban. A szilárdsági ellenőrző és méretező számítások az első időkben ezeken a kísérleteken alapultak. A vasbeton kísérleti és elméleti tudományos vizsgálata a 20. század elején nagy lendülettel indult meg. Kiemelkedett az első évtizedekben A. Considère, E. Freyssinet, E. Mörsch, K. Ritter, R. Saliger stb. munkássága. A vasbetonépítés magyarországi úttörője a 20. század első felében Kazinczy Gábor, Zielinszki Szilárd és Mihailich Győző volt. A feszítés területén az első jelentős eredményeket az 1920-as években F. Hoyer, E. Freyssinet és G. Magnel érte el. Az (elő)feszítés alapgondolata az, hogy a vasbetéteket előzetesen megfeszítik, két végükön rögzítik, majd a feszítőerőt a megszilárdult betonra ráengedik. Ezáltal a betonban nyomófeszültség létrehozásával ki lehet küszöbölni azt, hogy a betonban húzófeszültségek ébredjenek. A feszítőerő a beton megfelelő mértékű húzószilárdságát „pótolja”.
A modern vasbeton tudomány eredményeit a tankönyv következő fejezeteiben ismertetjük meg az olvasóval (a nagy neveket l. előbb, bekeretezve). Tömören. Tankönyvünk és oktatási keretünk terjedelmi korlátai miatt a vasbetonépítés történetét tovább nem részletezzük.
100
1.3. A VASBETON ELŐNYEI ÉS HÁTRÁNYAI A vasbeton szinte nélkülözhetetlen, igen elterjedt építőanyag. A vasbeton felhasználási lehetőségei széleskörűek: ■ nagytömegű építmények, vastag szerkezetek(nagy alaptestek, völgyzáró gátak stb.); ■ vékony szerkezetek(lemezek, falak, héjak stb.); ■ a fenti két eset közötti átmeneti szerkezetek(gerendák, oszlopok, keretek, ívek stb.).
A vasbeton előnyei: ● Gyors munkával, tetszőleges és szép alakba önthetőség. ● Tűzállóság(az állékonyság biztosítandó tűz esetére is). ● Nagy merevség (az acélszerkezetekéhez és a faszerkezetekéhez képest). ●A vasbeton szerkezet robusztus(= erős, markos, erőteljes; lat.): földrengésnek, robbanásnak jobban ellenáll, mint az egyéb szerkezetek. ● Viszonylag kis építési költségek. De mérlegelni kell azt is, hogy mekkora legyen az építmény élettartama. A fenntartás költsége ugyanis bizonyos esetekben magas lehet(pl. drága korrózióálló bevonatok). ● Az előző ponthoz: a beton összetevői(homokos-kavics, cement stb.) könnyen hozzáférhetőek, és a kevert beton szállítása sem okoz ma már különösebb nehézséget.
A vasbeton hátrányai: ● Repedésérzékenység. Bár az acélbetétek teherbírási határállapotban stb. jelentős húzófeszültségeket képesek felvenni, a beton berepedését nem képesek meggátolni. A repedések sűrűségét, tágasságát viszont az acélbetétek kedvezően befolyásolhatják. Korrózióvédelmi(beszivárgó vizek, füstgázok stb.) szempontból a repedéskorlátozás igen nagy jelentőségű(4.1. pont). ● Viszonylag alacsony nyomószilárdság. Ezért a nagyon magas szerkezetek (tornyok, magasházak stb.), a nagy fesztávolságú hidak, csarnokok általában acélból gazdaságosabbak. Ennek az az oka, hogy a szokásos/hagyományos vasbetonok nyomószilárdsága az acél nyomószilárdságának az 1/10-1/20-a mértékű csupán, míg a vasbeton térfogatsúlya csak az 1/3-a az acélénak. ● Zsaluzni kell, állványozni kell a helyszínen készített(monolit) vasbeton szerkezetet. Ez munkaigényes, időigényes és anyagigényes tevékenység. Előregyártással ez a hátrány nagymértékben csökkenthető. ● A vasbeton utólagos átalakítása nehézkes. ● A vasbeton kúszik(lassú alakváltozás+ernyedés), zsugorodik (1.4. pont) . ● A fenntartás költsége bizonyos esetekben magas lehet (pl. a korrózióvédelem miatt). Persze ez az acélra is igaz.
101
1.4. A VASBETON ÉPÍTŐANYAGAI. ANYAGMODELLEK Ebben a pontban –helyhiány miatt– a betonra, a betonacélra és a feszítőacélra vonatkozó legszükségesebb ismereteket foglaljuk csak össze. A további részletek iránt érdeklődőknek ajánljuk a 20. oldali IRODALOM–ban és a FÜGGELÉKbeli IRODALOM–ban felsoroltakat. A beton hidraulikus kötőanyagból(cement), vízből és adalékanyagból(homok, homokos-kavics és kavics) álló keverék, mely készítésekor lágy és alakítható, majd a kötési folyamat során fokozatosan megszilárdul(mesterséges kő).
A beton alkotórészei: ■a
kötőanyag a cement, ■ a víz egyrészt lehetővé teszi a cement kötését, másrészt a bedolgozáshoz szükséges folyósságot adja; ■ az adalékanyag a homok és a kavics meghatározott arányú keveréke; ■ az adalékszerek(betonkiegészítők) kémiai és fizikai úton megjavítják a beton egyes tulajdonságait: képlékenyítő, légpórusképző, szilárdulásgyorsító(kötésgyorsító), kötéskésleltető, tömítő stb. szerek.
A friss beton tulajdonságai röviden: :
●a betonösszetétel, ●a vízcementtényező (v/c), ●a konzisztencia(a bedolgozhatóság mértéke): FN = földnedves, KK = kissé képlékeny, K = képlékeny, F = folyós; az MSZ szerint(FÜGGELÉK, IRODALOM); ●a légtartalom, ●a telítettség, ●a szivattyúzhatóság.
A megszilárdult beton tulajdonságai röviden: :
: ●a szilárdság, amit a következők határoznak meg: a cementminőség, a cement kötési ideje, a v/c vízcementtényező, az adalékanyag minősége és szemszerkezete, a keverés módja/időtartama, a szállítás módja, a bedolgozás módja, az utókezelés[nedvesen tartás], a hőmérséklet, az esetleges fagy, a beton kora; ●a tömörség, ●a σ─ε diagramok, a rugalmassági és az alakváltozási tényező (1.4. 1. ábra, 2.3. 1. ábra, 2.3. I. táblázat); 102
●többtengelyű feszültségi állapot van-e, ●a szívósság, ●a fáradás, ●a vízzáróság, ●a fagyállóság, ●a kopásállóság, ●a kúszás, ●a zsugorodás. A beton megnevezésének az MSZ(FÜGGELÉK, IRODALOM) szerint a következőket kell tartalmaznia(az EC szerint értelemszerűen ugyanez): a beton jelét( C ), a beton nyomószilárdsági számjelét(hengerszilárdság/ kockaszilárdság: pl. 25/30), az adalékanyag legnagyobb szemcsenagyságát ( dmax = 25 mm), a konzisztencia fokozatát(pl. KK), a vízzárósági fokozat jelét(pl. vz2), a fagyállósági fokozat jelét(pl. f150), a kopásállósági fokozatot(pl. K10), a légpórusosságot (%-ban), és az esetleg alkalmazott adalékszerek megnevezését. A jelölésnek a következőket mindenképpen meg kell adnia:
C25/30─25─KK. : A beton és a betonacél valóságos alakhelyes σ(ε) diagramja az 1.4. 1. ábrán : látható. A valóságos σ(ε) diagramokkal igen fáradságos lenne a mérnöki munka. Ezért ezen diagramok helyett egyszerűbbeket használunk: a 2.3. 1. ,2. és 3. ábrán a betonnak, a betonacélnak és a feszítőacélnak az MSZ és az EC szabvány szerinti anyagmodelljeit szemléltettük. L. még a 2.3. I., II. és III. táblázatot is.
A kúszás és a zsugorodás :
A beton legfontosabb tulajdonságai közül kiemeljük az időben elhúzódó alakváltozásokat: a kúszást és a zsugorodást. L. az 1.4. 2. ábrán. A kúszás a lassú alakváltozás és az ernyedés együttessége. A lassú alakváltozás a beton tömörödésével kapcsolatos tartós alakváltozás, melyet az jellemez, hogy tartós terhelő erők hatására a beton alakváltozása időben fokozatosan növekszik, majd egy bizonyos végértéket ér el. Tartós terhelő mozgás hatására a beton nyomófeszültségei csökkennek, ugyanakkor a betonacél húzófeszültségei megnövekszenek[egyensúly: járulékos nyomófeszültségek a húzott zónában]. Ezt a jelenséget ernyedésnek nevezzük. Ez a két jelenség szorosan összefügg és a vasbetonban egyszerre jelentkezik. A beton jellegzetes tulajdonsága, hogy száradáskor zsugorodik, nedvesség hatására duzzad. Az εc,sh zsugorodási tényező t = t∞ időpontbeli végértéke: εc,sh∞ . A
φ kúszási tényező azt fejezi ki, hogy a beton εco kezdeti(t = to = 0
időpontbeli) fajlagos rugalmas alakváltozása(összenyomódása) a kúszás hatására
idővel εc = εco + εc,c mértékűre megnövekszik, ahol fajlagos kúszási alakváltozás.
103
εc,c = εc,c(t) = φ(t)εco a
A φ = φ(t) kúszási tényező t = t∞ időpontbeli végértéke: φ∞ . A φ∞ tényező függ a megterhelés to = τ időpontjától is. Ezért az 1.4. 2. ábrán a t idő kúszás esetén a megterhelés to = τ időpontjától értendő, míg zsugorodás esetén a betonozástól. Az ábrán to = τ = 0. A vázolt kúszási folyamatot az ún. lineáris kúszási törvény írja le, amely szerint az εc,c = εc,c(t) = φ(t)εco fajlagos kúszási alakváltozás lineárisan/egyenesen arányos a φ(t) kúszási tényezővel. Az εc teljes fajlagos beton alakváltozás az εco kezdeti fajlagos rugalmas alakváltozás és az εc,c fajlagos kúszási alakváltozás összege(egyelőre az εsh zsugorodás nélkül): εc = εc(t) = εco + εc,c(t) = εco + φ(t)εco = εco(1+φ(t) ), (1.4. 0) vagy rövidebb írásmóddal: εc = εco(1+φ). (1.4. 1) Az εc,sh zsugorodással együtt a teljes fajlagos beton alakváltozás: εc = εco + εc,c + εc,sh = εco(1+φ) + εc,sh. Az 1.4. 2. ábrán az εc,sh zsugorodás és a φ kúszás f(t) időbeli lefutási függvényét azonosnak tekintettük: εc,sh = εc,sh (t) = εc,sh∞f(t) és φ = φ(t) = φ∞f(t). A vasbeton szerkezet kúszás/lassú alakváltozás előidézte megnövekedett alakváltozásait, elmozdulásait (lehajlás stb.) a Fritz-féle látszólagos rugalmassági tényezővel, az Ec,eff ún. alakváltozási tényezővel, azaz az EC megnevezésével a hatékony rugalmassági tényezővel vehetjük figyelembe. Ennek nagysága a t = t∞ időpontban, tartós terhelő erők (önsúly stb.) esetén:
Ec,eff =
.
(1.4. 2)
Itt Ecm a beton rugalmassági tényezőjének a várható értéke: 2.3. I. táblázat. Tartós terhelő mozgás (zsugorodás) esetére a Fritz-féle javaslatot ajánljuk:
Ec,eff =
.
(1.4. 3)
1.5. A BETON ÉS AZ ACÉLBETÉT EGYÜTTDOLGOZÁSA. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTOK. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK Tekintsük az 1.5. 1. ábrát, ahol az a ábrán azt szemléltetjük, hogy az acélbetétek a τ tapadófeszültségek révén kapnak húzóerőt. Érdemes megfigyelni a b ábrán vázolt különleges erőjátékot: ívhatás. Megjegyezzük, hogy a modern vasbeton szilárdságtanban létezik egy olyan irányzat, amelyik a vasbeton szerkezetet nyomott betonrudakból és húzott betonacél rudakból álló speciális rúdszerkezetként modellezi (Jörg Schlaich és a strut-and-tie modell). Ezzel a továbbiakban nem foglalkozunk. 104
A további fejtegetések előtt ismét tekintsük át a 2.3. 1.─3. ábrát, ahol a vasbeton anyagainak anyagmodelljeit láthatjuk. Az 1.5. 2. ábrán egy hajlított-nyírt tartó példáján azt mutatjuk be, hogy a terhelés növekedésével a vasbeton keresztmetszetek 3, egymástól eltérő módon viselkedő feszültségi állapotba kerülnek: ■ Kis terhelésnél a keresztmetszet repedésmentes. Úgy hajlításra, mind nyírásra. Ez az ún. I. feszültségi állapot. Ez mindaddig tart, amíg a beton eléggé alacsony, fctm vagy fctd nagyságú névleges húzószilárdsága (2.3. I. táblázat) ki nem merül. Most eltekintünk attól, hogy az fctm–ben és fctd –ben biztonság is van. ■ A növekvő terhelés egy bizonyos értékénél a keresztmetszetek egy része bereped. Egy bizonyos tehernél hajlításra, és egy másik tehernél nyírásra. Ekkor kezdődik az ún. II. feszültségi állapot. Ez mindaddig tart, amíg a beton fcd nagyságú névleges nyomószilárdságát[a beton nyomószilárdságának tervezési értékét] és/vagy az acélbetétek fyd nagyságú névleges húzószilárdságát[a betonacél folyáshatárának tervezési értékét] el nem érjük. A nyomott acélbetétek is elérhetik az fyd nagyságú névleges nyomószilárdságot. Most eltekintünk attól, hogy az fcd–ben és az fyd–ben biztonság is van. ■ A teher további növelésével a keresztmetszetek berepedése fokozódik. Egy idő után az acélbetétek megfolynak(1.4. 1. ábra és 2.3. 2. ábra: σs = fyd). A nyomott betonzóna fokozatosan képlékenyedik, végül a szélső nyomott betonszál az összemorzsolódás határára kerül, azaz összenyomódása eléri az εcu mértékű határértéket[a beton fajlagos törési összenyomódásának tervezési értékét]. Ez a III. feszültségi állapot. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a most leírt teherhordó viselkedés az ún. normálisan vasalt vasbeton keresztmetszetekre igaz: 1.6. 1. ábra. A tényleges törőteher a fentinél nagyobb, mert a tárgyalt anyagjellemzőkben biztonság is van(1.7. pont). Az 1.5. 3. ábrán a hajlítási törés és a nyírási törés jellegzetes alakjait mutatjuk be. Megállapítható, hogy törekedni kell jó tapadási tulajdonságú acélbetétek alkalmazására. A későbbiekben a repedéskorlátozás tárgyalásánál( 4.1. pont) rámutatunk arra is, hogy a repedések tágassága kisebb, ha kis átmérőjű, sűrű vasalást alkalmazunk. Az 1.5. 4. és 5. ábrán a rugalmasságtani hajlítási KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK meghatározását ismertetjük( I. és II. fesz. állapotban). Az I., a II. és a III. feszültségi állapot jellegzetességeit részletesen tárgyaljuk a 3., és a 4. fejezetben.
1.6. VASALTSÁGI SZINTEK (normálisan vasalt, gyengén vasalt, alulvasalt, túlvasalt) Az 1. 6.1. ábrán a vasbeton keresztmetszetnek a tönkremenetelkor mutatott viselkedését szemléltetjük. Ez a viselkedés a vasaltság mértékétől függ.
105
Ha csak viszonylag csekély vasalást alkalmazunk, akkor a vasalt szerkezet nem tekinthető vasbetonnak: ■ 1a : alulvasalt tartó. Ennél az acélbetétek a repedések megjelenésekor(Mcr) azonnal elszakadnak(εs > εuk). A II. feszültségi állapot sem alakul ki. ■ 1b : gyengén vasalt tartó. Ez esetben az acélbetétek a repedések megjelenése után még működnek, meg is folynak(σs = fyd ), de az εcu elérése előtt elszakadnak(εs > εuk). A II. feszültségi állapot kialakul ugyan, de a III. nem. Most is eltekintünk attól, hogy az anyagjellemzőkben biztonság is van. Az 1a esetet, azaz az alulvasaltságot, mindenképpen el kell kerülnünk, hiszen az előrejelzés nélküli, katasztrófa jellegű törést, hirtelen összeomlást jelent. Az 1b esetben, az ún. gyengén vasalt szerkezeteknél nem erről van szó. Vannak olyan nagyméretű vasbeton szerkezeti elemek, amelyek viszonylag kis igénybevételeket kapnak. Pazarlás lenne ezekben annyi vasalást elhelyezni, mint egy normálisan vasalt szerkezetben. Ilyen pl. az alapozási szerkezetek jó része. A gyengén vasalt szerkezet teherbírását(R) az 1.6. 2. ábrán látható módon kell meghatározni. Először kiszámítjuk a szokásos vasbeton szilárdságtan szerinti teherbírást. Ezután az m ≤ 1 mértékű, a gyengén vasaltság miatti teherbíráscsökkentő tényezővel redukáljuk a vasbeton teherbírást. A szokásos „normális” vasbeton viselkedés akkor áll elő, ha a vasalás eléri, ill. meghaladja az 1.6. 2. ábrán szemléltetett minimális értéket: ■ 2 : normálisan vasalt tartó. Ekkor az acélbetétek megfolynak(σs=fyd). A beton szélső szálában létrejön az εcu határ összenyomódás[a beton fajlagos törési összenyomódásának tervezési értéke]. Kialakul a III. feszültségi állapot(σs = fyd, σc = fcd). Ez esetben a terhelés növekedésével a teherbírási (törési) határállapot fokozatosan, jól látható repedésekkel előrejelezve következik be. Az ilyen tartó általában kellően szívós (viszonylag nagy képlékeny alakváltozások után következik be a tényleges törés). Az esetek túlnyomó többségében ezt a vasalási helyzetet kell előállítani. Előfordulhat az is, hogy túlságosan nagy a húzott vasalás: ■ 3 : túlvasalt tartó(ridegen törik): Erre az jellemző, hogy az acélbetétek nem folynak meg(σs < fyd ), de a beton szélső szálában létrejön az εcu határ összenyomódás[a beton fajlagos törési összenyomódásának tervezési értéke]. Ezt is kerülni kell. Egyrészt, mert gazdaságtalan. Másrészt azért is, mert a törés érdemi repedéses előrejelzés nélkül, ridegen következik be. Az 1.6. 1. ábrán jól látható, hogy az x semleges tengely nagysága az M hajlítónyomaték növekedésének a függvényében egyre csökken.
106
1.7. A BIZTONSÁGRÓL. ELLENŐRZÉSI/MÉRETEZÉSI ELVEK Tankönyvünk keretei nem teszik lehetővé, hogy elmélyedjünk valószínűségelméletben. Néhány alapfogalmat látunk az 1.7. 1.–4. ábrán: gyakoriság, valószínűség stb.
a
A Mechanika és a Tartók statikája tárgyakban azt tanulták meg a hallgatók, hogy mekkora igénybevételek (M, V, N stb.) lépnek fel egy adott tartószerkezetben, mégpedig megadott terhekből. Ezek egyértelműen meghatározott feladatok. Ezután a szilárdságtani ellenőrzések/méretezések során megadott anyagellenállások segítségével ellenőrzik, illetve méretezik a tartókat. Ezekben a számításokban ─ látszólag ─ szó sem lehet valamilyen véletlenszerűségről. Tudomásul kell venni azonban azt, hogy az építményre ható terheket ─ és így az igénybevételeket is ─ továbbá a szerkezet teherbírását is, általában előre meg nem határozható, véletlenszerű tényezők befolyásolják. A gazdaságosság szempontjait is figyelembe véve meg kell elégednünk azzal, hogy az igénybevételeknek a tartó élettartamán belül valószínűen várható legnagyobb értékére(MSZ: MM, TM, NM stb.)–(EC: MEd, VEd, NEd stb.) kell megfeleljen a tartó teherbírásának valószínűen várható legkisebb értéke(MSZ: MH, TH, NH stb.)– (EC: MRd, VRd, NRd stb.). L. az 1.7. 4. ábrát. Hasonlóan kell eljárni a használati esetekben is: repedések korlátozása, lehajlások korlátozása, rezgések korlátozása stb. esetén is, de más valószínűségekkel. Ilyen megközelítésben a biztonság a terv alapján, az abban előírt minőségi kívánalmak(szabványok) szerinti anyagokból és technológiával elkészítendő tartószerkezet használati(repedezettségi, alakváltozási) és teherbírási stb. tartósságának a várható valószínűsége. Egy bizonyos élettartamon belül. Tudomásul vesszük azt, hogy teljesen biztos építmény nincs. Kompromisszumot kell kötnünk az előállítási+fenntartási költségek és a használat alatti(repedezettségi, alakváltozási stb.), továbbá a teherbírási tartósság között. Az 1.7. 1. ábrán összefoglaltuk a szokásos teherbírási ellenőrzési/méretezési eljárások vázlatát. Rámutattunk arra, hogy a továbbiakban ─ a hazai és nemzetközi gyakorlatnak megfelelően ─ az osztott biztonsági tényezős eljárást fogjuk alkalmazni. Az osztott biztonsági tényező azt jelenti, hogy a bizonytalanságokat külön a terhek/igénybevételek oldalán és külön az anyagok ellenállásának az oldalán vesszük figyelembe. Az 1.7. 2. ábrán láthatók a mértékadó[M](tervezési) terhek/igénybevételek meghatározásának az alapelvei. Látható, hogy itt némi valószínűségszámításra is szükség van. Ezért is használjuk a módszerre a félvalószínűségi jelzőt. A γM = 1,2─1,4 nagyságú biztonsági tényezőt úgy állapították meg ─ valószínűségszámítással─ hogy annak a valószínűsége, hogy az építmény élettartama során az EM mértékadó[M](tervezési) tehernél/igénybevételnél nagyobb teher/igénybevétel is éri a szerkezetet, 5% legyen. Ez a mértékadó[M](tervezési) tehernek, mint szélsőértéknek az ún. túllépési valószínűsége. A mértékadó[M](tervezési) teherre/igénybevételre a teherbírási (törési) határállapotok ellenőrzésekor van szükség (1.7. 4. ábra).
107
Az 1.7. 2. ábrán a gyakorisági függvény(sűrűségfüggvény) ún. várható értéke az Ev teher/igénybevétel, amely a mérésekkel, statisztikai kiértékelésekkel kapott terhek/igénybevételek átlagértéke. Ezt a várható értéket tekintjük a teher/igénybevétel alapértékének. Ennek a tartós(!) részére a használati(rugalmas) határállapotok vizsgálatánál van szükség: repedéskorlátozás, alakváltozások/lehajlások korlátozása stb. Az MSZ(FÜGGELÉK, IRODALOM) szerinti hasznos terhek tartós része általában 50%. Az 1.7. 3. ábrán láthatók egy anyagellenállás, nevezetesen példaként a beton határfeszültsége meghatározásának az alapelvei. Látható, hogy itt is szükség van egy kis valószínűségszámításra. Ez az eljárás ui., amint már említettük ún. félvalószínűségi módszer. A γb = 1,3 nagyságú biztonsági tényezőt úgy állapították meg ─ valószínűségszámítással ─ hogy annak a valószínűsége, hogy az építmény élettartama során a σbH beton nyomó határfeszültségnél kisebb törési szilárdság is előfordulhat, 1‰ (ezrelék!) legyen. Ez a beton nyomó határfeszültségének, mint szélsőértéknek az ún. alulmaradási (túllépési) valószínűsége. A gyakorisági függvény (sűrűségfüggvény) ún. várható értéke az a σbv betonszilárdság, amely a mérésekkel, statisztikai kiértékelésekkel kapott betonszilárdságok átlagértéke. De nem ezt a várható értéket tekintjük a betonszilárdság alapértékének, hanem az Rbk minősítési értéket(ennek 5% az alulmaradási valószínűsége). Az αR tényezőt az ábrán definiáltuk. Tekintsük az 1.7. 4. ábrát, ahol az MH ≥ MM alapvető ellenőrzési összefüggést szemléltetjük. Az MM és az MH érték az 1.7. 2.–3. ábra alapján meghatározható. Az igénybevételek fM , továbbá a teherbírások fH gyakorisági görbéjének(sűrűségfüggvény) a felrajzolása alapján megmondhatjuk azt is, hogy mennyi a tönkremenetel bekövetkezési valószínűsége, tehát, hogy mennyi a kockázat. Látható, hogy teherbírásra minden 10 000.─100 0000. szerkezet mehet tönkre. Viszont a használati állapotokbeli károsodások (repedések, lehajlások stb.) bekövetkezési valószínűsége jóval nagyobb: minden 100.─1000. szerkezet károsodhat. A kockázat szintjét a műszaki követelmények és a gazdaságossági megfontolások kompromisszumaként állapították meg. Lényeges az építménytől elvárt megfelelőségi időtartam, a tervezési élettartam is.
Magyarországon a magasépítésben ez általában 50 év, míg egy hídszerkezet esetében 100 év.
FIGYELEM! Az ábrákra ráírtuk, hogy ugyan az MSZ(FÜGGELÉK, IRODALOM) szerinti konkrét számokkal dolgoztunk, de az elvek azonosak az EC-ben is. Viszont a biztonság szintje az EC-ben jóval magasabb.
108
2. FEJEZET: EUROCODE(EC) ALAPISMERETEK Figyelem! A 129. oldaltól a FÜGGELÉK-ben az alapfogalmak/szakkifejezések és a jelölések részletes magyarázata megtalálható. Az EC szerinti jelöléseket össze is hasonlítjuk az MSZ szerinti jelölésekkel!
2.1. Ellenőrzési/méretezési elvek. A biztonság szintje. Határállapotok. Hatáskombinációk A szerkezetek ellenőrzése/méretezése az építő tevékenység fontos eleme. Az épületek és építmények tönkremenetele ugyanis nagy anyagi kárral és életveszéllyel jár. Ugyanakkor a nagy hibát vétő statikus tervezőnek a bíróság előtt is felelnie kell. Az ellenőrzés/méretezés során az adatok alábbi 3 fő csoportjával foglalkozunk: ●a szerkezetre működő hatások/terhek adatai(nagyság, helyzet, időtartam, gyakoriság stb.); ●a szerkezeti anyagok mechanikai jellemzői(szilárdság, rugalmassági tényező stb.); ●a szerkezet geometriai adatai(hossz, keresztmetszeti jellemzők stb.). Az 1950 előtti hazai előírások/szabványok, továbbá a 2000 előtti külföldi szabványok többsége a megengedett feszültségek módszerén, azaz az egységes biztonsági tényezős módszeren alapult(rugalmasságtani elveken). 1.7. 1. ábra. A világon először ─ Menyhárd István és Korányi Imre munkássága nyomán ─ Magyarországon vezették be azt az előírást, amelyik a szerkezetek teherbírásának ellenőrzését a törési/képlékeny határállapot alapján írta elő. Ez 1950-ben történt. Ugyanakkor kialakították az ún. osztott biztonsági tényezős módszert is. Ennél a terhekben meglévő bizonytalanságot a terheknél, a szerkezeti anyagok jellemzőiben lévő bizonytalanságokat a szerkezeti anyagok ellenállása meghatározásánál veszik figyelembe. 1.7. 1. ábra. A 2.1. 1. ábrán megadtuk a határállapot EC szerinti definícióját is. Az EC szabvány két fő határállapot rendszert különböztet meg: ■ a teherbírási határállapotokat(hajlítás, nyírás, nyomás stb.) és ■ a használhatósági határállapotokat(repedéstágasság, lehajlás stb.). Az EC szabványok a teherbírási ellenőrzéseknél szintén osztott biztonsági tényezőkkel dolgoznak. A 2.1. 1. ábrán látható a tartószerkezetekkel szemben támasztott 3 alapkövetelmény is. Ezen az ábrán szemléltetjük a teherbírási határállapotokbeli ELLENŐRZÉS alapelvét is. Az egyes vizsgált értékek %os előfordulási gyakoriságának a függvénye a sűrűségfüggvény(v.ö. 1.7. 3. ábra: gyakorisági függvény; más szóval). 109
Az igénybevétel(E) sűrűségfüggvényében a leggyakrabban előforduló értéket karakterisztikus értéknek nevezzük (ez kb. a várható érték/átlagérték): Ek. Állandó terheknél(EGk = Gk) γG, míg esetleges terheknél(EQk = Qk) γQ a biztonsági/parciális tényező jelölése. A karakterisztikus érték és a biztonsági tényező szorzata az ún. tervezési (d) érték: EGd = EGkγG,
állandó terhekre
és
EQd = EQkγQ esetleges terhekre
.
A terhek biztonsági tényezőinek értékeit a 2.1. I. táblázatban foglaltuk össze. A teherbírás/ellenállás(R) sűrűségfüggvényében az egy bizonyos alulmaradási valószínűséggel előforduló értéket karakterisztikus (k) értéknek nevezzük: Rk(2.1. 1. ábra). A beton(c) biztonsági/parciális tényezőjét γc –vel, míg a betonacél(s) és a feszítőacél biztonsági/parciális tényezőjét γs –sel jelöljük. A karakterisztikus érték és a biztonsági/parciális tényező hányadosa az ún. tervezési(d) érték: betonacélra . Rd = betonra, és Rd = A vasbetonépítésben leggyakrabban használt építőanyagok (beton, betonacél, feszítőacél) biztonsági/parciális tényezőinek értékeit a 2.3. 1.−2.3. 3. ábrán adjuk meg. Ott láthatók a fenti általános jelek(R) konkrétan: fcd, fck, fyd, fyk. Az ELLENŐRZÉS alapelve teherbírási határállapotban(az MSZ is így):
Ed ≤ Rd. Tehát az Ed tervezési(d) igénybevétel (nyomaték, nyíróerő, nyomóerő stb.) kisebb vagy egyenlő kell legyen az Rd teherbírás/ellenállás tervezési(d) értékénél (nyomaték, nyíróerő, nyomóerő stb.). Az ELLENŐRZÉS alapelve használhatósági határállapotban(az MSZ is így):
Ed ≤ Cd. Tehát a használhatósági tervezési(d) igénybevételből számított Ed használhatósági jellemző(lehajlás, repedéstágasság stb.) kisebb vagy egyenlő kell legyen a használhatósági követelmény Cd tervezési(d) értékénél(lehajlás, repedéstágasság stb.). Eddig elég jól megfeleltethetők egymásnak az EC és az MSZ alapelvei. Némileg új az, hogy az EC bevezeti az ún. tervezési helyzet fogalmát. A tervezési helyzet a fizikai feltételek olyan együttese, mely egy bizonyos időtartam során a lehetséges különböző körülményeket jellemzi. E feltételek fennállásának esetére a tervezés keretében igazolni kell, hogy a határállapotokat a szerkezet nem lépi túl. A teherbírási határállapotban megkülönböztetünk tartós(a szokásos használat), ideiglenes(építés, javítás), rendkívüli (tűz, robbanás stb.) és szeizmikus(földrengés) tervezési helyzetet.
110
Most térjünk át a 2.1. 2. ábrára, ahol az esetleges terhek (Q) különböző teherszintjeit szemléltetjük. A legnagyobb előfordulási gyakorisága az ún. kvázi-állandó(tartós) teherszintnek van: ez az élettartam legalább 50%-ában fellép. A gyakori teherszint előfordulási gyakorisága az élettartamon belül sokkal kisebb: 1%. A legkisebb gyakorisága a ritka teherszintnek van. Az EC ezt a tehernagyságot fogadta el karakterisztikus(k) értékként. A karakterisztikus teher 1 éves időszakon belül legfeljebb 2% valószínűséggel lép fel. Ez kb. 50 évenként egyszer előforduló érték. A tervezési élettartam Magyarországon a magasépítésben általában 50 év, míg egy hídszerkezet esetében 100 év. A Q esetleges teher tervezési(d) értékét a Qk karakterisztikus érték és a γQ biztonsági/parciális tényező (2.1. I. táblázat) szorzata szolgáltatja: Qd = γQQk. Az EC a tehercsoportosításokat/teherkombinációkat hatáskombinációknak nevezi. A teherbírási határállapotokban, a fenti tervezési helyzetekben képzendő hatáskombinációkat a 2.1. III. táblázatban foglaltuk össze. A használhatósági határállapotokban érvényes hatáskombinációk a 2.1. IV. táblázatban láthatók. Ezeket lehajlási, repedéskorlátozási stb. ellenőrzéseknél használjuk. A 2.1. II. táblázatbeli különböző ψ egyidejűségi tényezőket a 2.1. 2. ábra segítségével könnyebben értelmezhetjük. L. a 2.1. 3. ábra számpéldáit!
2.2. Terhelő hatások Az állandó és az esetleges jellegű terhelő hatásokat részletesen tárgyalja a FÜGGELÉK-beli Irodalom. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az EC sokkal több és részletesebben meghatározott teherfajtát tartalmaz, mint az MSZ. Nem is beszélve a hatások kombinációinak sokféleségéről: 2.1. III. és 2.1. IV. táblázat. Megjegyezzük, hogy a 2.1. II. táblázat alapján is lehet képünk arról, hogy az EC hasznos terhei általában már karakterisztikus értékükben(tehát biztonsági tényező nélkül) is nagyobbak, mint az MSZ terhei.
2.3. Anyagjellemzők(beton, betonacél, feszítőacél) A 2.3. 1.−3. ábrán és a 2.3. I.−III. táblázatban a tervezéshez szükséges mértékig, táblázatos alakban összefoglaltuk a betonok, a betonacélok és a feszítőacélok legfontosabb anyagjellemzőit.
2.4. Vegyes adatok/segédletek A 2.4. I.−IV. táblázatban összefoglaltunk fontos tervezési alapadatokat, pl. betonfedés, minimális vasalás stb. (a terjedelmi korlátokon belül).
111
3. FEJEZET: TEHERBÍRÁSI HATÁRÁLLAPOTOK 3.1. HAJLÍTÁS(tiszta hajlítás, azaz nincs egyidejű nyírás vagy nyomás) A Mechanika c. tárgyból ismeretes, hogy ennél az igénybevételnél a keresztmetszetet terhelő M hajlítónyomatékból csak σ normálfeszültségek ébrednek. Emlékeztetünk arra, hogy a hajlítás mindig nyírással(V) jár együtt (3.2. 1. ábra). Ebben a pontban röviden összefoglaljuk a hajlítónyomatéki teherbírás MRd tervezési értéke(a határnyomaték) meghatározásának egyszerű elméletét, kiemelve az ELLENŐRZÉS fontosságát: MRd ≥ MEd. Itt MEd a [külső] (hajlító)nyomaték tervezési értéke(a mértékadó hajlítónyomaték). Továbbá megmutatjuk a hajlítási MÉRETEZÉSI módszereket is. Elsősorban ábrák segítségével szemléltetjük a vizsgálatokat, a szöveges rész minimális. Tekintsük a (tiszta) hajlításnál előforduló három jellegzetes σ−ε tartományt: ■ A 3.1. 1. ábra/1−n, azaz az 1 jelű esetben, mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak: ez a normálisan vasalt keresztmetszet (1.6. 1. ábra). Ilyen keresztmetszet tervezésére kell törekednünk. ■ A 3.1. 1. ábra/2−n, azaz a 2 jelű esetben, a nyomott acélbetétek nem folynak meg. Ebben a tartományban a húzott acélbetétek nyúlása egyre inkább megközelítheti az εuk acél határnyúlást (2.3. 2. ábra). Kialakulhat az 1.6. 1. ábrán tárgyalt alulvasalt, illetve gyengén vasalt állapot. ■ A 3.1. 1. ábra/3−n, azaz a 3 jelű esetben, a húzott acélbetétek nem folynak meg. Ekkor túlvasalt keresztmetszetről beszélünk: 1.6. 1. ábra. Ezt kerülnünk kell, mert ez gazdaságtalan és ridegen törik a tartó. A 3.1. 2. ábrán az ellenőrzést az (M1) vetületi egyenlettel kell kezdeni az xc semleges tengely meghatározása céljából. Először célszerű mind a húzott, mind a nyomott betonacélokat megfolytnak tekinteni. Ebből adódóan a σs1 és a σs2 acélfeszültség helyébe a betonacél folyáshatárának fyd tervezési értékét írjuk be. Ha az így kiadódó xc érték ellentmondásban van a σs1–re és a σs2 –re a 3.1. 1. ábra/2,3−n feltüntetett redukciós képletek valamelyikével, azaz a kapott xc–vel vagy a húzott, vagy a nyomott vasalás nem folyik meg, akkor az (M1) képletbe értelemszerűen a σs1–re vagy a σs2−re vonatkozó redukciós képletek valamelyikét kell behelyettesíteni. Így ξc = xc/d−re 2. fokú egyenletet kapunk. A (hajlító)nyomatéki teherbírás MRd tervezési értékét az (M2) nyomatéki összefüggés szolgáltatja: ELLENŐRZÉS. Megfelelés esetén MRd ≥ MEd, ahol MEd a [külső] nyomaték tervezési értéke(a mértékadó nyomaték). 112
3.1.1. ELLENŐRZÉS Az ellenőrzési tudnivalókat 6 ábrán részletesen elemezzük:
1A.) A
derékszögű
négyszög
keresztmetszet
(hajlító)nyomatéki teherbírásának MRd tervezési értéke (a határnyomaték). ELLENŐRZÉS (1 db): 3.1. 2. ábra/EC.
1B.) A T−alakú keresztmetszet teherbírásának nyomaték).
MRd
ELLENŐRZÉS (5 db):
(hajlító)nyomatéki tervezési értéke(a határ3.1. 3. ábra/I−V.
Megjegyzés: a nyomott acélbetétek megfolyásával általában nem kell foglalkozni. Az EC2 szerint a beton fajlagos törési összenyomódásának tervezési értéke εcu = 3,5‰ Ekkora összenyomódás mellett a nyomott acélbetétek általában megfolynak.
3.1.2. MÉRETEZÉS A tervezési tudnivalókat 10+4=14 ábrán foglaltuk össze:
2A.) A derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSe (4 db): 3.1. 4. ábra/I−IV. 2B.) A T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSe (6 db):
3.1. 5. ábra/I−VI.
3A.) A derékszögű négyszög keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSe (2 db): 3.1. 6. ábra/I−II. 3B.) A T−alakú keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSe (2 db):
113
3.1. 7. ábra/I−II.
3.2. NYÍRÁS(tiszta nyírás, nincs csavarás)
3.2.1. I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) 3.2.2. II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) Tekintsük a 3.2. 1. ábrát, amelyen a nyírási jelenség lényegét szemléltetjük. A homogén(egynemű; 1.1. pont ), izotróp(melynek fizikai tulajdonságai egy pontban a tér minden irányában azonosak), lineárisan rugalmas anyagú gerendát gondolatban bontsuk fel az ábrán látható módon két részre, majd terheljük meg. Ekkor a két egymásra helyezett gerenda külön-külön viseli a rá eső terhet. Ennek megfelelően az alsó félgerenda felső szélső szála összenyomódik, míg a felső félgerenda alsó szélső szála megnyúlik. Ezen deformációk eredményeképpen lép fel az ábrán feltüntetett Δ eltolódás-különbség. Ha azt akarjuk, hogy a két fél gerenda együttdolgozzon, akkor a két félgerenda kapcsolati felülete mentén vízszintes irányú (x) τ = τyx csúsztatófeszültségeket kell működtetni. Általában τ nyírófeszültségekről beszélünk, de ebben az esetben jobban kifejezi a fizikai lényeget a csúsztatófeszültség szó. A τ = τyx csúsztatófeszültségek működésének eredményeképpen a Δ eltolódáskülönbség eltűnik, és a két félgerenda h magasságú egységet fog alkotni. Rámutatunk arra, hogy egy dxdy méretű elemi hasáb nyomatéki egyensúlyi feltételéből az következik, hogy a τyx vízszintes (x) nyírófeszültségnek mindig van τxy = τyx nagyságú függőleges (y) párja! Ez a Maxwell-féle reciprocitási tétel speciális alakja. A nyírófeszültségek meghatározására a Grashof-féle képlet szolgál. Egyensúlyi okból a τ = τxy = τyx nyírófeszültségeknek a keresztmetszet menti összege(integrálja) a külső V nyíróerővel kell megegyezzen. Az ábrán feltüntettük a homogén, izotróp, rugalmas anyagú gerendákra a Mechanika c. tárgyból már megismert alapképleteket a σ normálfeszültségek és a τ = τxy nyírófeszültségek meghatározására. A σ normálfeszültségek az M hajlítónyomatékból, míg a τxy nyírófeszültségek a V nyíróerőből származnak. Tudjuk azt is, hogy az M nyomaték és a V nyíróerő között szoros kapcsolat van. Az M hajlítónyomatékkal mindig együtt jár bizonyos nagyságú V nyíróerő is. Nevezetesen dM/dx = V, azaz a nyomatéki függvénynek az x helykoordináta szerinti első deriváltja a nyíróerő (az előjelet szemléletből állapítsák meg!). Derékszögű négyszög keresztmetszet esetén a nyírófeszültségek a gerenda magassága mentén parabolikusan oszlanak meg.
114
Az I. és a II. feszültségi állapotban fellépő feszültségeket jó közelítéssel a 3.2. 2.−3. ábrán látható rugalmasságtani összefüggésekkel lehet számítani. A σ rugalmas normálfeszültségek meghatározását a 4.1. és a 4.2. pontban részletesen megtárgyaljuk. A rugalmas állapotokban (I. és II. feszültségi állapot) ébredő σx, σy (σy=0 általában) normálfeszültségeket és τ = τxy = τyx nyírófeszültségeket, továbbá az előző feszültségekből származtatható σ1 húzó és a σ2 nyomó főfeszültségeket, valamint ezek α hajlásszögét a tartótengelyhez szemlélteti a 3.2. 2. ábra. Ha a gerenda minden pontjában meghatározzuk a σ1, σ2, α mennyiségeket, akkor két egymásra merőleges görbesereget kapunk: ezek a főfeszültségi trajektóriák. Ezeket felrajzolva jobban megismerhetjük a gerenda rugalmas erőjátékát(ívszerű viselkedés is lehetséges; 1.5. 1. ábra). Felhívjuk a figyelmet a 3.2. 3. ábrára, ahol néhány a gyakorlatban sűrűn előforduló keresztmetszethez megrajzoltuk az alakhelyes τ = τxy = τyx diagramokat. Három ábrát a repedésmentes állapothoz és egyet a berepedt állapothoz. Érdemes megfigyelni, hogy a berepedt keresztmetszetben a kísérletek szerint, hogyan módosulnak a τ nyírófeszültségek. Mivel a vasbeton nem homogén, nem izotróp és nem rugalmas anyagú(l. még az 1.1. pontot), a fentiek a vasbetonra csak korlátozott mértékben, azaz viszonylag kis terhelésnél, tekinthetők megfelelőnek.
3.2.3. III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) Tekintsük a 3.2. 4.−6. ábrát. A nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírását az EC2-ben VRd,c–vel jelölik. A VRd,c = (V7) alsó korlát segítségével mindenekelőtt azt kell eldönteni, hogy bereped-e a keresztmetszet nyírásra, azaz szükség van-e nyírási vasalásra: VEd ≤ VRd,c? vagy VEd > VRd,c? Itt VEd a [külső] nyíróerő tervezési(d) értéke(a mértékadó nyíróerő). Ha VEd >VRd,c, akkor szükség van méretezett nyírási vasalásra. Ha VEd ≤ VRd,c, akkor is ajánlatos minimális nyírási vasalás: 1.6. 2. ábra, 2.4. II. táblázat. Az MSZ mellékelt képletével való összehasonlítás világosan mutatja, hogy mennyivel bonyolultabb az EC2 szerinti képlet. A VRd,c képletében szereplő Asl hosszvasalás a csaphatásra(dowel action) utal. Ezután a nyomott ferde rácsrudak teherbírása, azaz a VRd,max=(V6) felső korlát segítségével igazolni kell a betonméretek és a beton szilárdságának az alkalmasságát: VEd ≤ VRd,max? vagy VEd > VRd,max? Ha VEd ≤ VRd,max, akkor a keresztmetszet bevasalható és a (V1) – (V4) összefüggésekkel meg kell határozni a nyírási teherbírás tervezési(d) értékét: VRd , 3.2. 4. ábra. 115
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a nyírási vasalás által felvehető VRd,s nyíróerőnek, azaz a nyírási vasalás teherbírása VRd,s tervezési(d) értékének a képlete −jelen kivételes esetben− lényegében megegyezik az MSZ képletével. A csekély eltérés csak a belső erők karjának szorzójában van (0,85 →0,90). A más trigonometrikus alak azonosságot takar. A kivételes eset azt jelenti, hogy azt az esetet tárgyaltuk, amikor a nyírási repedés(ill. a ferde nyomott ferde rácsrudak) hajlásszöge a vízszinteshez o Θ = 45 . Mint az MSZ-nél, a klasszikus Mörsch-féle modell alapján. A fentiek alapján a nyírási teherbírás VRd tervezési értéke(a határnyíróerő) a VRd,c alsó korlát és a VRd,max felső korlát közé kell essen: (V4). Végül a megfelelést a (V5) feltétel teljesítése jelenti: ELLENŐRZÉS.
3.3. CSAVARÁS(tiszta csavarás és csavarás+nyírás) Mindenekelőtt a 3.3. 1. ábrán bemutatjuk a rugalmasságtani csavarási alapfogalmak közül a legfontosabbakat. Kétféle csavarási megtámasztási fajta látható az ábrán: az a) villás megtámasztás és a b) merev befogás. Az utóbbi megfelel annak, amit a Mechanika c. tárgyban az egyszerű(tiszta) hajlításnál már megismertek a hallgatók. A villás megtámasztásnak az a jellegzetessége, hogy a külső T csavarónyomatékot fel tudja úgy venni, hogy nem gátolja a befogási keresztmetszet pontjainak tartótengelyirányú (x) w öblösödését, tartótengelyirányú torzulását. Ezért a b) esettel ellentétben, az a) esetnél nem keletkeznek a befogásnál σx ≡ σω feszültségek.
járulékos
A csavarás alábbi két fajtáját különböztetjük meg:
1) Tiszta csavarás(de Saint-Venant-féle csavarás; 3.3. 2.−3. ábra) Tiszta csavarásra van igénybe véve az állandó keresztmetszetű, azaz állandó GIt csavarómerevségű gerenda/rúd, ha a két végén egyforma T nagyságú csavarónyomaték/erőpár csavarja, azaz a T csavarónyomaték a rúdtengely mentén állandó. Tiszta csavarásnál a keresztmetszetek pontjainak tartótengelyirányú (x) w eltolódását/öblösödését, valamint a keresztmetszeti idom/kontur keresztirányú torzulását nem akadályozzuk meg. Tiszta csavarásból a rúd keresztmetszeteiben csak
τt
csavarási nyírófeszültségek ébrednek és ezek a tartótengely mentén minden keresztmetszetben ugyanakkorák. A keresztmetszet pontjainak tartótengelyirányú (x) w öblösödése is minden keresztmetszetben azonos nagyságú.
116
2) Gátolt csavarás(hajlító csavarás) Ha a keresztmetszet pontjainak tartótengelyirányú (x) w öblösödését valami gátolja, akkor gátolt csavarásról beszélünk. Ekkor a TV csavarási/nyírási középponton (3.3. 1. ábra) átmenő csavarási tengely a rúd egyetlen olyan alkotója, mely egyenesen marad, a többi alkotó pedig elgörbül és a hosszát is megváltoztatja. A gyakorlatban általában gátolt csavarással van dolgunk. Ha a szekrény keresztmetszetű vasbeton tartót vékony kereszttartó tárcsákkal, diafragmákkal megfelelően merevítjük, akkor a keresztmetszet keresztirányú torzulása elhanyagolhatóan kicsi lesz. Ennek megfelelően a gátlás helyénél kialakuló viszonylag jelentős nagyságú σx ≡ σω (és τω) öblösödési feszültségek a gátlás helyétől távolodva rohamosan csökkennek, majd elhanyagolhatóan kicsik lesznek. Innentől kezdve (majdnem) tiszta csavarás működik. Megjegyezzük, hogy a diafragmák megnehezítik a kivitelezést, ezért e tekintetben kompromisszumra van szükség (a támaszoknál mindenképpen kell diafragma). A tömör rúd csavarásakor a fellépő elhanyagolhatóan kicsi.
σω (és τω)
öblösödési feszültségek hatása
A gátolt csavaráskor fellépő σω (és τω) öblösödési feszültségek a nyitott keresztmetszetű(3.3. 2. ábra), vékonyfalúnak tekintett vasbeton tartók erőjátékát jobban befolyásolják, mint a zárt keresztmetszetű tartók erőjátékát. A gyakorlati esetek többségében azonban a nyitott keresztmetszeteknél is megelégedhetünk ezen hatás közelítő figyelembevételével vagy esetenként az elhanyagolásával. A gyakorlatban szükség van a 3.3. 2. ábrán látható néhány fontosabb repedésmentes keresztmetszet rugalmasságtan szerinti tiszta csavarási keresztmetszeti jellemzőire. A
nyitott
keresztmetszetek
de Saint-Venant-féle (S index)
It = ItS csavarási
tehetetlenségi nyomatékát és Wt = WtS csavarási keresztmetszeti tényezőjét tömör, vastagfalú szelvényekre adtuk meg. Téglalap keresztmetszetnél a hosszabb oldal közepén keletkezik a legnagyobb τt = τtS csavarási nyírófeszültség(3.3. 3. ábra). I-keresztmetszetben(i=1,2,3) a legvastagabb elemben keletkezik a legnagyobb τti = τtSi csavarási nyírófeszültség. A zárt keresztmetszetek Bredt-féle (B index) It = ItB csavarási tehetetlenségi nyomatékát és Wt = WtB csavarási keresztmetszeti tényezőjét szekrényes keresztmetszetekre adtuk meg. Ezeknél a legvékonyabb elemben (i=1,2,3,4) keletkezik a legnagyobb τt = τtB csavarási nyírófeszültség. A zárt keresztmetszetek teljes csavarási tehetetlenségi nyomatéka: It = ItS + ItB, és hasonlóképpen csavarási nyírófeszültség: τt = τtS + τtB.
az eredő
az ItS, WtS, τtS mennyiségek elhanyagol-hatóan kicsinyek az ItB, WtB, τtB mennyiségekhez képest. Vékonyfalú zárt keresztmetszetek esetében
117
A 3.3. 2. ábrán kiemeltük, hogy a t = τtBivi nagyságú ún. nyírófolyam a zárt keresztmetszet középvonala mentén állandó (i=1,2,3,4). Ezen alapszik az a számítási eljárás, amelyik a 3.3. 8. ábrán látható.
3.3.1. I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT (1.5. pont) Repedésmentes keresztmetszet esetén, jó közelítéssel, a fenti általános rugalmasságtani megfontolásokat tekinthetjük érvényesnek.
3.3.2. II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) Berepedt keresztmetszetekre az előző pontbeli eredmények az előzőnél nagyobb közelítést, becslést jelentenek.
3.3.3. III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont); 3.3. 3. és 4. ábra! A berepedt vasbeton keresztmetszet (törési) határállapotbeli csavarási teherbírásának(R) TRd tervezési(d) értéke(csavarási határnyomatéka) a 3.3. 5.−8. ábra segítségével határozható meg. A keresztmetszet csavarási teherbírásának TRd,c alsó korlátja és TRd,max felső korlátja ugyanazt a szerepet tölti be, mint amit már a tiszta nyírásnál részleteztünk: bereped-e csavarásra a keresztmetszet, azaz kell-e csavarási vasalás (TRd,c), illetve a betonméretek jók-e és a betonminőség megfelelő-e (TRd,max)? A csavarási vasalást egymásra merőleges irányú kengyelek és hosszvasak képezik (3.3. 3. és 6. ábra). A 3.3. 8. ábra szerinti (Tt4s) és a (Tt4l) összefüggés szerint meg kell határozni a kengyelek(s) TRd,s,s csavarási teherbírását (csavarási határnyomatékát) és a hosszirányú(l) acélbetétek TRd,s,l csavarási teherbírását(csavarási határnyomatékát), és e kettő közül a kisebb a csavarási vasalás(s) teherbírásának(R) TRd,s,s tervezési(d) értéke(a csavarási vasalási határnyomaték). Végül a megfelelést az (Tt7) feltétel teljesítése jelenti: ELLENŐRZÉS.
3.3.4. Egyidejű CSAVARÁS és NYÍRÁS A 3.3. 9. és 10. ábrán eztésa kérdést is részletesen megtárgyaltuk. Több helyünk nincs. Felhívjuk a figyelmet a 3.3. 4. ábrára, ahol a csavarási−nyírási−hajlítási összetett igénybevételeknél kialakuló törésképeket szemléltetjük.
118
3.4. KÜLPONTOS NYOMÁS (ÉS KÖZPONTOS NYOMÁS) 3.4.0. STABILITÁS A terhelő erők és a terhelő mozgások okozta igénybevételek, valamint alakváltozások(lehajlások) meghatározására általában a homogén, izotróp, repedésmentes, lineárisan rugalmas anyagú tartókra vonatkozó módszereket szabad alkalmazni. A statikai vizsgálatoknál általában az ún. elsőrendű elmélet keretében, kis elmozdulások feltételezésével dolgozhatunk. Ekkor érvényes a megmerevítés elve, azaz a deformálatlan, változatlan tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi/geometriai egyenleteket, amelyek ezen elmélet keretében lineárisak. A linearitás miatt érvényes az egymásrahalmozás/szuperpozíció elve is. Ez az az elmélet, amelyet a hallgatóknak a Mechanika és a Tartók statikája c. tárgy keretében oktattak. Ezzel a módszerrel határozzák meg a hallgatók a különböző tartószerkezetek igénybevételeit (pl. Cross-módszer, erőmódszer stb.). Ilyen módon azonban csak az igen kis alakváltozások tartományában kaphatunk jó eredményeket. Stabilitási vizsgálatokat az elsőrendű elmélettel nem végezhetünk. Stabilitási kérdéseknél, főleg a nagyobb alakváltozások tartományában, a tartó alakváltozásainak az erőjátékra való visszahatásából származó ún. másodrendű hatások(igénybevételnövekmények, alakválto-zás-növekmények) nem hanyagolhatóak el. Ekkor az alakváltozásokkal módosított megváltozott tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi/geometriai egyenleteket. Az elmélet attól másodrendű, hogy az egyensúlyi egyenletek tartalmazzák az alakváltozásokat is, ezért a végeredményként kapott összefüggések nemlineárisak lesznek. Ha a másodrendű hatások jelentősek, akkor stabilitásvizsgálatot kell végezni. Az egyensúly alábbi alapvető típusait különböztetjük meg (3.4. 1. ábra ): a) Stabilisnak(stabilnak, biztosnak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű zavarással(elmozdulással) kimozdítva a szerkezet visszatér az eredeti állapotába, mert az eredeti helyzetben a legkisebb a rendszer potenciális energiája. A tervezőmérnökök számára nyilvánvalóan a stabil egyensúlyi helyzet a legfontosabb, hiszen csak stabil tudjuk a szerkezeteket használni. Azegyensúlyi egyensúlyállapotban alábbi alapvető típusait különböztetjük meg (3.4. 1. ábra ): b) Labilisnak(bizonytalannak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű zavarással(elmozdulással) kimozdítva a szerkezet nem tér vissza az eredeti állapotába, mert az eredeti helyzetben a legnagyobb a rendszer potenciális energiája. c) Kritikusnak nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű zavarással(elmozdulással) kimozdítva az eredeti egyenes egyensúlyi alak/helyzet szomszédságában ismét nyugalmi helyzet áll elő, azaz –változatlan Pkr=Pkr,l kritikus tehernagyság mellett is– létezik egy második egyensúlyi helyzet is, mégpedig kihajlott/kigörbült alakban. Az egyensúlyi helyzet kis környezetében a rendszer potenciális energiája állandó(l index: l. a következő oldalon). A c) eset tulajdonképpen az a) eset és a b) eset közötti átmeneti állapotot jellemzi. A régebbi szakirodalom –nem eléggé szabatos módon– a kritikus egyensúlyi helyzetet indifferens(közömbös) egyensúlyi helyzetnek nevezte. A kritikus egyensúlyi helyzetben az egyensúly elágazik. Ez azt jelenti, hogy a kritikus pontban egyensúly lehetséges az eredeti egyenes alakon kívül egy szomszédos, kihajlott/kigörbült alakban is.
119
Érdemes tanulmányozni a 3.4. 1. ábrát, ahol jellegzetes egyensúlyi utakat mutatunk be. A megfelelő teher (P) – elmozdulás (y) diagramot nevezzük egyensúlyi útnak. Rámutatunk arra, hogy az ábrán vázolt eredményekhez lineárisan rugalmas (a Hookeféle anyagtörvényt követő) anyagmodelleket használtak, továbbá feltételezték azt is, hogy az anyag végtelen szilárdságú és végtelen nyúlóképességű. Lényeges tulajdonsága a stabilitási jelenségeknek, hogy a Pkr=Pkr,l kritikus erő a rúd merevségi jellemzőitől(EI), a rúdhossztól(l), és a megtámasztási viszonyoktól függ . A megtámasztási viszonyokat a 3.4. 3. ábra szerinti szerinti cy eltolódási rugók és cαi, cαk elfordulási rugók merevítő hatása helyettesíti. A kihajló rudat megtámasztó cy eltolódási rugók és cαi, cαk elfordulási rugók rugóállandóit a rudat megtámasztó gerendák, oszlopok, egyéb szerkezetek adataiból lehet meghatározni. A cy[kNm-1] eltolódási rugóállandó az u = Δy = 1[m] egységnyi vízszintes eltolódást előidéző H vízszintes erőt jelenti. A cαi[kNm], illetve a cαk[kNm] elfordulási rugóállandó az αi = 1[1] egységnyi elfordulást előidéző Mik hajlítónyomatékot, illetve az αk = 1[1] egységnyi elfordulást előidéző Mki hajlítónyomatékot jelenti. A rugóállandók meghatározását jelen könyv keretében nincs módunk tárgyalni. A 3.4. 3. ábrán a síkbeli rúdkihajlás alapesetei láthatók. Ezeknél a cy illetve cαi ,cαk
∞ .
Ezek teljesen lágy(konzolvég) vagy teljesen merev vízszintes megtámasztást; illetve teljesen lágy(csukló) vagy teljesen merev hajlítási megtámasztást(befogás) jelentenek. rugók nagysága vagy 0 vagy
A különböző ν tényezőkkel az l=lcol hosszúságú(col=column=oszlop) rúd lo helyettesítő kihajlási hosszát lehet meghatározni:
lo = νl .
(3.4.1.)
Az lo helyettesítő kihajlási hossz segítségével a kihajlást előidéző Pkr = Pkr,l kritikus erő így számítható:
Pkr = Pkr,l = π2
.
(3.4.2.)
Itt az EI mennyiség a rúd hajlítási merevsége a kihajlás síkjában. A fenti összefüggést a stabilitáselmélet első nagy tudósa, Ludwig Euler írta fel. Az l index arra utal, hogy a fenti elágazási kritikus terhek képleteit ún. lineáris elmélettel vezették le. Ez is másodrendű elmélet, hiszen ezzel is figyelembe vesszük az egyensúlyi egyenletekben az alakváltozások hatását. Viszont ez az elmélet csak a kis elmozdulások tartományában érvényes(sajátértékek számítása). Vannak másféle kritikus terhek is(pl. a Pm a 3.4. 1. ábrán) és másféle elméletek, melyek a nagy elmozdulások tartományában is érvényesek. Ilyen elméletekkel határozták meg a 3.4. 1. ábrán látható 2 jelű ún. másodlagos/posztkritikus egyensúlyi utakat, görbéket. Posztkritikus: a kihajlás utáni(a Pkr,l utáni). Miután a vasbeton anyaga nem a fentiekben tárgyalt lineárisan rugalmas anyagú(illetve csak igen kis elmozdulások esetén közelíthető a viselkedése így), a vasbeton berepedését és a képlékeny tulajdonságait legalább utólag figyelembe kell venni: 3.4. 2. ábra.
120
A bonyolult, alapos és sok tudást igénylő eljárás alkalmazása nem a gyakorló mérnökök dolga, ezért a központos és a külpontos nyomás vizsgálatánál jóval egyszerűbb közelítő eljárásokat fogunk alkalmazni. Ezekhez csupán az lo helyettesítő kihajlási hosszra lesz szükség.: 3.4. 3. ábra. Látni fogjuk, hogy a vasbeton szilárdságtan keretében nincs szükség a Pkr=Pkr,l kritikus erő tényleges nagyságára, hanem csak az lo helyettesítő kihajlási hosszra ( l. a 3.4. 2. és a 3.4. 5.−9. ábrát). Ebben a pontban csak különálló, egyedi síkbeli rudak kihajlásával foglalkozunk, azon belül is csupán néhány gyakorlati feladat megoldásának az ismertetésével. Egyéb stabilitási jelenségek, mint a horpadás, kifordulás stb. vasbeton szerkezeteknél igen ritkán fordulnak elő, ezért ezekkel nem foglalkozunk. Ugyanakkor felhívjuk a figyelmet az előregyártott gerendák beemelése közbeni kifordulás stabilitási vizsgálatának a fontosságára.
3.4.1. I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) Ezzel a vasbetonépítési mérnöki gyakorlatban kis jelentőségű témával csak érintőlegesen foglalkozunk. Utalunk arra, hogy az lo helyettesítő kihajlási hossz ismeretében az acélszerkezeteknél/faszerkezeteknél már megtanult módon végezhetjük el a szilárdsági ellenőrzéseket(szélső szálfeszültségek). A megfelelő keresztmetszeti jellemzőket a 1.5. 4. és az 1.5. 5. ábráról vehetjük. A Southwell-féle ψ külpontosságnövelő tényező a 3.4. 2. ábrán látható. Ebből vezették le az acélszerkezetek és a faszerkezetek ellenőrzéséhez a –hallgatók által is már megismert– ψ külpontosságnövelő tényezőket.
3.4.2. II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) Értelemszerűen, mint a 3.4.1. pont.
3.4.3. III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) A következőkben –vasbeton szerkezetekről lévén szó– figyelembe vesszük a keresztmetszetek berepedését és az anyag képlékeny tulajdonságait is.
1.) Az ún. elvi központos nyomás Ez esetben a 3.4. 4. ábra szerint lehet eljárni.
2.) Külpontos nyomás(és húzás) Úgy tekintjük, hogy a keresztmetszetnek van szimmetriatengelye és az NEd normálerővel egyidejű, az elsőrendű elmélet szerinti(a statika szokásos módszereivel meghatározott) MEd,o hajlítónyomaték a szimmetriasíkban működik. Ha a nyomaték a rúd két végén különböző nagyságú, akkor az EC2 megfelelő előírása alapján kell felvenni az MEd,o értékét.
121
A 3.4. 5. – 9. ábrán megmutatjuk, hogy a vasbeton keresztmetszetek szilárdságtani ellenőrzésénél hogyan használhatjuk az eddigi alapvető rugalmasságtani ismereteket is: lo használata. A 3.4. 8. ábrán röviden összefoglaltuk a külpontos nyomási teherbírási(R) számításokat: MRd = ? adott NEd mellett. A 3.4. 8. ábra szerint, amennyiben a [külső] normálerő NEd tervezési(d) értékéhez(a mértékadó nyomóerőhöz) tartozó eRd teherbírási(R) külpontosság(a határkülpontosság) keresésekor mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak, akkor egyszerű a számítás. Viszont az acélbetétek meg nem folyása esetén ξc = xc/d –ben 2. fokú egyenlet adódik. Ehhez az Ns1 acél húzóerő vagy az Ns2 acél nyomóerő képletét a 3.1. 1. ábrán látható redukciós képletekkel kell felírni. A kiskülpontos nyomás(3.4. 8. ábra; 1−2 görberész) kezdeténél az erőtől távolabbi vasalás sem húzott, hanem nyomott(ekkor az Ns1 is nyomóerő). A nyomott acélbetétek meg nem folyása ritkán fordul elő az EC2 szerint. Ezek a beton fajlagos törési határ(u) összenyomódásának az EC2 szerinti viszonylag magas εcu = 3,5‰ tervezési értéke mellett általában megfolynak(az MSZ szerint nem mindig). Az xc semleges tengely helyzetének ismeretében az (N2) egyenletből adódik az NEd –hez tartozó eRd teherbírási(R) külpontosság(a határkülpontosság). Ennek felhasználásával, az (N3) egyenlet segítségével végezzük el az ELLENŐRZÉST. Amennyiben a normálerő teherbírás(R) NRd tervezési(d) értékét(a határerőt) keressük a külpontosság adott eEd tervezési értékéhez(a mértékadó külpontossághoz), akkor a ξc = xc/d –ben 3. fokú (vagy 2. fokú) egyenletet is kaphatunk. A fenti módon az eEd=eRd külpontosság folyamatosan változó tervezési értékeihez(a mértékadó külpontosságokhoz) előállítható a keresztmetszet teherbírási(R) vonala. Ez az NRd normálerő teherbírás(R) tervezési(d) értékeit(határerőit) és MRd = NRdeRd nyomatéki teherbírás(R) tervezési(d) értékeit(határnyomatékait) ábrázoló pontok mértani helye: 3.4. 9. ábra. Az ELLENŐRZÉShez a tengelyekre az NEd, MEd [külső] igénybevételek dimenziótlan alakjait hordtuk fel. Az 1–2 görberész a kiskülpontos nyomást, a 2–3 görberész a nagykülpontos nyomást, a 3–4 görbe(egyenes) a külpontos húzást ábrázolja.
3.) Ferde külpontos nyomás(és húzás) Terjedelmi okokból sajnos ennek a témának a tárgyalásáról egyelőre le kell mondanunk. 122
4. FEJEZET: HASZNÁLHATÓSÁGI HATÁRÁLLAPOTOK 4.1. REPEDÉSKORLÁTOZÁS Repedéskorlátozási vizsgálatra az acélbetétek korrózióvédelme, vízzárás biztosítása és a szerkezet megfelelő esztétikai megjelenése miatt van szükség.
4.1.1. I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) A további összefüggéseket kéttámaszú tartó mezőközepére írjuk fel. A mezőközépi keresztmetszetet M = Mser nagyságú pozitív nyomaték terheli(húzás alul). Mser a használati/üzemi nyomaték, amelyet vasbeton szerkezetek repedéskorlátozásánál a kvázi-állandó terhekkel határozzuk meg (2.1. IV. táblázat). Az xiI, IiI keresztmetszeti jellemzők számítása az 1.5. 4. ábrán látható.
A szélső szálfeszültségek (I. fesz. áll.)
Feszültség a felső, nyomott szélső betonszálban:
σcI,u =
xiI ≤ β1fck .
(4.1.1)
Az egyenlőtlenség formális, mert a repedésmentes vasbeton betonjának a nyomófeszültségét általában nem korlátozzák(EC, MSZ). c: concrete=beton; u: upper =felső; fck: 2.3. I. táblázat
Az alsó, húzott szélső betonszálban ébredő feszültség:
σcI,l =
(h−xiI) ≤ β2fctm.
(4.1.2)
c: concrete=beton; l: lower =alsó; fctm: 2.3. I. táblázat Az egyenlőtlenség formális, mert a vasbeton betonjának a húzófeszültségét általában nem korlátozzák(EC, MSZ). A (4.1.2.) kritériumnak általában akkor van jelentősége, ha repedésmentességet kell teljesíteni(pl. víztartályok esetében). Megjegyezzük, hogy ez általában csak feszítés révén sikerül.
A repesztőnyomaték (cr):
Mcr =
fctm.
(4.1.3)
L. még a SZÁMPÉLDÁK L3. oldalát és itt a 4.1. 2. ábrát.
123
4.1.2. II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT(1.5. pont) Az xiII, IiII keresztmetszeti jellemzők számítása az 1.5. 5. ábrán látható.
A szélső szálfeszültségek (I. fesz. áll.)
Feszültség a felső, nyomott szélső betonszálban:
σcI,u =
xiII ≤ ρfck .
(4.1.4)
c: concrete=beton; u: upper =felső; fck: 2.3. I. táblázat
A ρ tényezőt a 4.2. pontban adjuk meg: feszültségkorlátozás. Feszültség a húzott (alsó) szélső acélbetétekben:
σsII = 𝛂e
(d−xiII) ≤ λfyk.
s=steel,acél;
fyk: 2.3.
(4.1.5)
II. táblázat
A λ tényezőt a 4.2. pontban adjuk meg: feszültségkorlátozás. A repedéstágasság meghatározásának az algoritmusát és tömören az elméletét a 4.1. 1.− 3. ábrán foglaltuk össze. A repedéstágasság wk karakterisztikus értéke a szélső húzott acélbetétek súlyvonalában értendő. A 4.1. 2. ábra szerinti ζ és ψ tényező azt fejezi ki, hogy a betonacélt körbevevő berepedt húzott betonzóna akadályozza a betonacél εs nyúlását, és így a bebetonozott acélbetét rugalmassági tényezője látszólag megemelkedik a minden kényszer nélkül szabadon nyúló csupasz betonacél Es rugalmassági tényezőjéhez képest. Ez a merevítő hatás tulajdonképpen nyúláscsökkentő hatás: εsII εsm ≈ εsIIζ < εsII. Megállapítható, hogy a repedéstágasság wk karakterisztikus értéke csökkenthető: ● a húzott betonzóna minél kisebbre választásával (a szélesség csökkentésével), ● a h gerendamagasság növelésével, ● kis átmérőjű(Ø), sűrű vasalás alkalmazásával! ● a tapadási tényező növelésével, ● az fctm beton húzószilárdság növelésével, ● a betonacél mennyiségének(As) a növelésével. A keresztmetszet megfelel repedéskorlátozásra, ha kielégül az alábbi egyenlőtlenség:
ELLENŐRZÉS:
wk ≤ wkl.
A 4.1. I. táblázatban összefoglaltuk a repedéstágasságok wkl határértékeit.
124
A 4.1. II. táblázat bizonyos esetekben lehetővé teszi a repedéstágasság wk karakterisztikus értéke tételes meghatározásának az elhagyását, illetve a számítás jelentős leegyszerűsítését. Elég a σs = σsII acélfeszültséget –közelítően– kiszámítani. Az acélfeszültség ismeretében a táblázatból kiolvasható az a maximális Ømax acélbetét átmérő, melynek alkalmazása esetén a keresztmetszet repedéstágasságának wk karakterisztikus értéke nem haladja meg a wkl határ repedéstágasságot. De ez a közelítő vizsgálat csak húzóerő nélküli (tisztán hajlított) és h = 200 mmnél nem vastagabb szerkezetek esetében alkalmazható! Fokozottan ügyelni kell továbbá az 2.4. I.-III. táblázat és az EC2 további szerkesztési szabályainak a betartására.
4.2. FESZÜLTSÉGKORLÁTOZÁS L. a 4.1.2. pontban írtakat.
A feszültségkorlátozás definíciója Kvázi-állandó teherkombinációból (ez a leggyakoribb):
1.) A nyomott beton szélső szálfeszültségének a korlátozása(ρ = 0,45): σc ≤ 0,45fck.
σc = σcII,u: a szélső, nyomott betonszálban
fellépő feszültség (II. fesz. állapot):
σcII,u =
xiII.
Ha σcII,u ≤ 0,45fck, akkor megfelel.
Gyakori teherkombinációból: Nincs feszültségkorlátozás.
125
Megjegyzések fck: a beton(c) nyomószilárdságának(c) karakterisztikus(k) értéke. Az 1.) célja: a kúszás hatásának a csökkentése, elsősorban a lehajlások (alakváltozások) korlátozása érdekében. σcII,u xiII Mser
Megjegyzések
A feszültségkorlátozás definíciója Ritka/karakterisztikus teherkombinációból:
fck: a beton(c) nyomószilárdságának(c) karakterisztikus(k) értéke.
1.) A nyomott beton szélső szálfeszültségének a korlátozása(ρ = 0,60): σc ≤ 0,60fck.
σc = σcII,u: a szélső, nyomott betonszálban fellépő feszültség (II. fesz. állapot):
σcII,u =
xiII .
Ha σcII,u ≤ 0,60fck, akkor megfelel.
Az 1.) célja: a nyomott betonzóna nagy nyomófeszültségei által előidézett keresztirányú húzásokból származó hosszirányú mikrorepedések korlátozása.
σcII,u
2.) A húzott acélbetétekben lévő feszültség korlátozása(λ=0,80): σs ≤ 0,80fyk.
σs = σsII: a szélső, húzott acélbetétekben fellépő feszültség(II. fesz. állapot):
σsII = αe
Mser xiII
d
σsII
(d−xiII).
Ha σsII ≤ 0,80fyk , akkor megfelel.
A 2.) célja: a nagy maradó (képlékeny) alakváltozások, korlátozása.
repedések
fyk: a betonacél(s)
folyáshatárának(y) karakterisztikus(k) értéke.
126
4.3. AZ ALAKVÁLTOZÁSOK KORLÁTOZÁSA Az alakváltozásokat egyrészt használhatósági vizuális/pszichológiai okok miatt korlátozzuk.
okok
miatt,
másrészt
A lehajlási ellenőrzés során ki kell mutatni, hogy a maximális f lehajlás fk karakterisztikus értéke nem nagyobb a lehajlás fkl határértékénél:
ELLENŐRZÉS:
f = fk ≤ fkl =
.
á...
A lehajlás fkl határértékét általában leff/250 módon kell meghatározni, ahol leff a hatékony fesztávolság, azaz a tényleges támaszköz. Emlékeztetünk arra, hogy a repedéskorlátozás tárgyalása során, a 4.1. 2. ábra szerinti ζ és ψ tényező azt fejezi ki, hogy a betonacélt körbevevő berepedt húzott betonzóna akadályozza a betonacél εs nyúlását, és így a bebetonozott acélbetét rugalmassági tényezője látszólag megemelkedik a minden kényszer nélkül szabadon nyúló csupasz betonacél Es rugalmassági tényezőjéhez képest. Ez a merevítő hatás tulajdonképpen nyúláscsökkentő hatás: εsII εsm ≈ εsIIζ < εsII. Az ennek megfelelő, a 4.1. 2. ábrán is szereplő ζ csökkentő tényezőt alkalmazzuk a lehajlás meghatározása során. A számítási részleteket l. a 4.3. 1. ábrán. Az f lehajlások korlátozásának tételes számítását jelentősen leegyszerűsítő táblázatot is közlünk: 4.3. 2. ábra. Ha az leff/d arány nem nagyobb, mint ami a táblázatból kiolvasható, akkor az f lehajlás nem lépi túl az fl = leff/250 határértéket. Ez a táblázat bizonyos esetekben lehetővé teszi az f lehajlás karakterisztikus értéke tételes meghatározásának az elhagyását. Fokozottan ügyelni kell az EC2 szerkesztési szabályainak a betartására.
A vasbeton szerkezeteket (is) túlemelve kell megépíteni.
127
Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ
VASBETON SZILÁRDSÁGTAN az
EUROCODE 2
Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ szerint (magasépítés)
Az EC és az MSZ összehasonlítása is
TANKÖNYV
FÜGGELÉK
BUDAPEST 2010
128
IRODALOM (SZABVÁNYOK, KÖNYVEK) 1.) EUROCODE [E1] MSZ EN 1990 (EC0):
A tartószerkezetek tervezésének alapjai
2005
[E2] MSZ EN 1991-1-1 (EC1): 2005
A tartószerkezeteket érő hatások. 1-1. rész. Általános hatások. Sűrűség, önsúly és az épületek hasznos terhei
[E3] MSZ EN 1991-1-2 (EC1): 2005
A tűznek kitett tartószerk. érő hatások. 1-2. rész.
[E4] MSZ EN 1991-1-3 (EC1):
A tartószerkezeteket érő hatások. 1-3. rész. Általános hatások. Hóteher
2005
[E5] MSZ EN 1991-1-4 (EC1): 2007
[E6] MSZ EN 1991-1-5 (EC1): 2005
A tartószerkezeteket érő hatások. 1-4. rész. Általános hatások. Szélhatás A tartószerkezeteket érő hatások. 1-5. rész. Általános hatások. Hőmérsékleti
hatások
[E7] MSZ EN 1990:2002/A1 (EC0): A tartószerkezetek tervezésének alapjai 2008
[E8] MSZ EN 1992-1-1 (EC2) : Betonszerkezetek tervezése (vasbeton is). Általános és épületekre vonatkozó szabá(Eurocode 2: Design of concrete structures) lyok 2010
[E9] MSZ EN 1992-2 (EC2): 2009
[E10] MSZ EN 1991-2 (EC1): 2006
Betonszerkezetek tervezése. Betonhidak. Tervezési és szerkesztési szabályok A tartószerkezeteket érő hatások. 2. rész: Hidak forgalmi terhei (Eurocode 1: Actions on structures. Part 2: Traffic loads on bridges)
129
2.) MSZ
[M1] MSZ 15020-86 Építmények teherhordó szerkezetei erőtani tervezésének általános előírásai [M2] MSZ 15021/1-86 és a 2001. évi módosítás Építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezése.
Magasépítési szerkezetek terhei [M3] MSZ 15021/2-86 Építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezése.
Magasépítési szerkezetek merevségi követelményei [M4] MSZ 15022/1-86 és a 2001. évi módosítás Építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezése.
Vasbeton szerkezetek
130
3.) KÖNYVEK, SZAKCIKKEK
[I1] Bieger, K.-W.:
Stahlbeton– und Spannbetontragwerke nach EC2. Erläuterungen und Anwendungen. Springer Verlag, Berlin-…-New York…Budapest, 1992
[I2] Deák,Gy.-Draskóczy,A.Vasbetonszerkezetek. Tervezés az Ajnlott szakirodalom: -Dulácska,E.-Kollár,L.-Visnovitz,Gy. : [I3] Deák,Gy.-Erdélyi,T.-Visnovitz,Gy. :
21a
Eurocode alapján. BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék, Springer Kft., 2011
A tartószerkezeti tervezés alapjai. Tervezés az Eurocode alapján. BME Szilárdságtani és Tartószerk.Tanszék, Springer Kft., 2006
[I4] Deák,Gy.-Erdélyi,T.Terhek és hatások. -Fernezelyi,S.-Kollár,L.- Tervezés az Eurocode alapján. BME Szilárdság-Visnovitz,Gy. : tani és Tartószerk.Tanszék, Springer Kft., 2006 [I5] Farkas,Gy.-Huszár,Zs.-Kovács,T.-Szalai,K. :
Betonszerkezetek méretezése az Eurocode alapján. Közúti hidak. Épületek BME. Terc Kft. Kiadó, 2006
[I6] Jankó, L.:
Vasbeton szilárdságtan az EC2 szerint. SZE GYŐR, 2010 drjankolaszlo.uw.hu
[I7] Jankó, L.:
Az EC gazdasági következményeiről. I. és II. Közlekedésépítési Szemle, 2009/2, 38-41; és 2009/10, 28-31
[I8] Jankó, L.:
Az EC többletköltségeiről. Beton, 2010/2, 8-12
[I9] Jankó, L.:
Hajlítási többletvasalások EC szerint. Gazdasági Tükörkép magazin (MTM), 2010/4, 56-59
[I10] Kollár, L.:
Vasbetonszerkezetek I. Vasbeton-szilárdságtan az EC2 szerint. Műegyetemi Kiadó, 2002
131
EUROCODE ALAPFOGALMAK és SZAKKIFEJEZÉSEK. JELÖLÉSEK Az alapfogalom vagy szakkifejezés Állandó hatás (G)
Magyarázat/definíció
Angol megnevezés
Olyan hatás, amely egy időszakon belül permanent action nagy valószínűséggel mindvégig permanent['pə:m(ə)nənt]= működik. állandó, tartós action [æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés,ténykedés
dead load = állandó teher dead[ded]= halott, holt, élettelen, mozdulatlan load[loud]= teher, terhelés
imposed/live load = hasznos teher
impose[im'pouz]= előír, L. még: Esetleges hatás.
kivet
live[laiv]=élő,eleven,működő live[liv]= él, lakik
E
igénybevétel (erő, nyomaték)
effect[i'fekt] = okoz,
L. még: Igénybevétel.
eredményez, hatás, következmény
Ellenállás (R) Egy tartószerkezet, egy tartószerkezeti resistance[ri'zistns]=ellenelem vagy azok egy keresztmetszetének állás a külső hatásokkal szembeni, mechanikai tönkremenetel nélkül elérhető teherbírása (pl. hajlítási, nyírási, kihajlási stb.) L. még: Teherbírási határállapotok.
EQU
Helyzeti állékonyság (elvesztése)
132
EQUilibrium [i:kwi'libriəm] = egyensúly
Esetleges hatás (Q)
Olyan hatás, amely nagyságának időbeli variable action változása nem hanyagolható el, és nem variable['veəriəbl] = változó is monoton. action [æk∫ n]= hatás, tett, L. még: Állandó hatás.
cselekedet/cselekvés, ténykedés
L. még: Gyakori…Kváziállandó…Ritka...
load[loud]= teher, terhelés imposed/live load = hasznos teher
impose[im'pouz]= előír, kivet
live[laiv]= élő, eleven, működő live[liv]= él, lakik
Gyakori. Az esetleges hatás gyakori értéke (ψ1Qk)
A Qk karakterisztikus érték ψ1 ≤ 1 szorzóval csökkentett nagysága. Olyan érték, melyet a működő hatás az élettartam 1%-ában halad meg.
frequent value of a variable action frequent['fri:kwənt]= gyakori, ismétlődő value['vælju:]= érték
variable['veəriəbl] = változó action [æk∫ n]= hatás, tett, L. még: Karakterisztikus.
cselekedet/cselekvés, ténykedés
tartószerkezet, vagy egy serviceability limit Használható- A sági határálla- tartószerkezeti elem olyan állapotai, states amikor a használattal kapcsolatos előírt service['sə:vis] = szolgálat, potok
követelmények még éppen teljesülnek. használat, készlet, karbantart, gondoz
serviceable['sə:visəbl]= hasznos, használható
serviceability['sə:visə'biliti] = használhatóság limit['limit]= határ, korlát state[steit]= állapot, helyzet
Határállapotok
A tartószerkezet vagy egy tartószerkezeti limit states elem olyan állapotai, amikor a limit['limit]= határ, korlát tartószerkezet még éppen megfelel a state[steit]= állapot, helyzet tervezési követelményeknek. L. még: Tervezési követelmények.
133
Hatás (F)
1.) A tartószerkezetre ható erők, terhek action[æk∫ n]= hatás, tett, [közvetlen hatások: G, Q]. cselekedet/cselekvés, ténykedés 2.) ●Kényszer-alakváltozások (pl. hőmérsékletváltozás, zsugorodás)
vagy ●kényszer-gyorsulások (földrengés) [közvetett hatások]. L. még: Igénybevétel.
Ideiglenes tervezési helyzet
A tartószerkezet tervezési élettartamánál lényegesen rövidebb időtartamra (vizsgálati időszakra) vonatkozó, nagy valószínűséggel fellépő tervezési helyzet (pl. építés, javítás). L. még: Tervezési helyzet.
Igénybevétel (E)
A hatás következménye ●tartószerkezeti elemeken (pl. nyomaték, nyíróerő, feszültség stb.) vagy ●a teljes szerkezeten (pl. lehajlás, elfordulás). L. még: Hatás.
transient design situation transient['trænziənt] = ideiglenes, átmeneti, múlandó design[di'zain]= tervez, tervezés, tervezési situation[sitju'ei∫ n]= helyzet, állapot
effect of action effect[i'fekt] = okoz, eredményez, hatás, következmény action [æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés,ténykedés
Imperfekció
Geometriai tökéletlenség/pontatlanság. imperfection[impə'fek∫n] A megvalósult tartószerkezet geomet- = tökéletlenség riájának eltérése a tervezett alaktól.
Karakterisztikus. A hatás karakterisztikus értéke (Fk,Gk,Qk)
A hatás alapértéke. ●Állandó hatásoknál (Gk) ez az érték a várható érték/átlagérték. ●Esetleges hatásoknál (Qk) egy adott túllépési valószínűséghez tartozó érték (a várható érték is lehet). L. még: Ritka. L. még az indexeknél: k.
134
characteristic value of an action characteristic[kærəktə'ristik] = jellemző, jellegzetes, jellemvonás, ismertetőjel value['vælju:]= érték action [æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés, ténykedés
Közvetlen hatás
A szerkezetre ható külső erőkből/ direct action direct[di'rekt, dai'rekt] = nyomatékokból származó hatás.
Közvetett hatás
A szerkezetet érő olyan – nem külső erőkből/nyomatékokból származó – fizikai hatás, amely a szerkezet alakjának, méretének, térfogatának megváltozásával jár, és ezek gátlása esetén igénybevételeket okoz. Pl. hőmérsékletváltozás, zsugorodás.
indirect action
karakterisztikus érték ψ2 ≤ 1szorzóval csökkentett nagysága. Olyan érték, melyet a működő hatás az élettartam 50%-ában halad meg.
quasi-permanent value of a variable action quasi['kweizai]= mintegy,
Kvázi-állandó. Az esetleges hatás kváziállandó értéke (ψ2Qk)
közvetlen, nyílt, egyenes action[æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés,ténykedés
A
Qk
Figyelem: ψ2Qk ≤ ψ1Qk (gyakori)
L. még: Karakterisztikus.
indirect[indi'rekt]=közvetett, nem egyenes
action[æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés, ténykedés
látszólagos, félig(-meddig)… jellegű
permanent['pə:m(ə)nənt]= állandó, tartós
value['vælju:]= érték variable['veəriəbl] = változó action [æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés, ténykedés
Névleges érték Nem statisztikai alapon, hanem pl. nominal value megszerzett tapasztalaton vagy fizikai nominal['nominəl]= névleges feltételeken alapuló érték. value['vælju:]= érték
Rendkívüli hatás (A)
Rövid ideig működő, de jelentős nagyságú hatás, mely a tervezési élettartam során egy tartószerkezetre várhatóan nem lép fel, de nem is zárható ki teljes bizonyossággal (tűz, robbanás stb.).
135
accidental action accidental[æksi'dentl] = véletlen
action [æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés, ténykedés
Rendkívüli tervezési helyzet
A szerkezet vagy az arra működő accidental design hatások kivételes feltételek közötti situation működési körülményeit leíró tervezési accidental[æksi'dentl] = véletlen helyzet (tűz, robbanás stb.). design[di'zain]= tervez,
Ritka. Az esetleges hatás ritka értéke (Qk).
L. még: Tervezési helyzet.
tervezés, tervezési situation[sitju'ei∫ n]=helyzet, állapot
A hatás karakterisztikus értéke.
infrequent/rare value of a variable action infrequent[in'fri:kwənt]= nem gyakori, ritka rare[reə*]= ritka
L. még: Karakterisztikus.
STR
Szeizmikus hatás (AE)
value['vælju:]= érték variable['veəriəbl] = változó action [æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés, ténykedés
Szilárdsági és/vagy alaki stabilitási STRength[streŋΘ] =szilárdság tönkremenetel Földrengési hatás.
seismic action seismic['saizmik] = földrengési
action [æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés, ténykedés
Szeizmikus tervezési helyzet
A tartószerkezet működési körülményeit seismic design situation leíró tervezési helyzet földrengés okozta seismic['saizmik] = földrengési kivételes feltételek között. design[di'zain]= tervez,
L. még: Tervezési helyzet.
Tartós tervezési helyzet
A tartószerkezet tervezési élettartamával azonos nagyságrendű időtartamra vonatkozó tervezési helyzet. Általában a szokásos használat körülményeit írja le. L. még: Tervezési helyzet.
136
tervezés, tervezési situation[sitju'ei∫ n]=helyzet, állapot
persistent design situation persistent[pə'sist(ə)nt] = állandó, tartós, folytatódó, ismétlődő design[di'zain]= tervez, tervezés, tervezési situation [sitju'ei∫ n]= helyzet , állapot
load[loud]= teher, terhelés
Teher
A tartószerkezet, vagy egy ultimate limit states Teherbírási határállapotok tartószerkezeti elem olyan állapotai, ultimate['Λltimət]= végső,
amikor a teherbírással kapcsolatos előírt utolsó követelmények még éppen limit['limit]= határ, korlát teljesülnek (összeomlás, törés, tönkre- state[steit]= állapot, helyzet menetelnek tekintendő túlzott alakváltozás). A szerkezet
mértékű
teherbírásának vagy az üzemképességének a határa.
Teherelrende- A nem rögzített hatás helyzetének, load arrangement nagyságának és irányának megadása. load[loud]= teher, terhelés zés
arrangement[ə'reindzsmənt ]=elrendezés, elintézés
Terhelési eset
Egy adott vizsgálat során egyidejűleg load case figyelembe veendő, összetartozó load[loud]= teher, terhelés teherelrendezések, valamint a rögzített case[keis]= eset, ügy, állapot esetleges és állandó hatásokkal együttesen fellépő alakváltozások és geometriai tökéletlenségek/pontatlanságok (imperfekciók).
Tervezési élet- Az a feltételezett időtartam, amelynek design working life során a tartószerkezet, vagy annak egy design[di'zain]= tervez, tartam része az előirányzott, illetve szükséges fenntartás mellett –de jelentős javítási munkák nélkül– tervezett rendeltetésének megfelelően használható.
137
tervezés, tervezési
working['wəkiŋ]= dolgozó, működő
life[laif]= élet
Tervezési hely- A fizikai feltételek olyan együttese, design situation(s) zet (tartós, ideig- mely egy bizonyos időtartam során a design[di'zain]= tervez,
lenes, rendkívüli, lehetséges különböző körülményeket tervezés, tervezési jellemzi. E feltételek fennállásának situation[sitju'ei∫ n]=helyzet, szeizmikus)
esetére a tervezés keretében igazolni kell, hogy a határállapotokat a szerkezet nem lépi túl. L.még: Tartós…Ideiglenes…Rendkí-
állapot
vüli…Szeizmikus.
Olyan egyenlőtlenségek, melyek design criteria Tervezési követelmények teljesülését az egyes határállapotokban design[di'zain]= tervez, tervezés, tervezési
igazolni kell.
criterion[krai'tiəriən]= kritérium, követelmény
criteria[krai'tiəriə]= követelmények
ð
138
Magyarázat/definíció
Indexek b
c, c
ferde nyírási acélbetét, l.még: s: kengyel=stirrup
Angol megnevezés inclined bar; inclined[in'klaind] = lejtős, hajlik ferde; bar = bot, rúd acélbetét concrete['konkri:t]
beton
c
nyomás, nyomó
compress[kəm'pres] =(össze)nyom, compression[kəm'pre∫n] = (össze)nyomás, compressive stress = nyomófeszültség pressure['pre∫ ə*] = nyomás
cr
berepedt, repesztő (pl. Mcr , σscr)
crack[kræk] = reped, repedés, cracking['krækiŋ] = repesztő
d, d, d, d tervez, tervezés, tervezési E
design[di'zain]
teherből keletkező hatás(F) következménye: igénybevétel (nyomaték, nyíróerő stb.)
Ed eff, ef f fav
F
E = effect of action effect[i'fekt] = okoz, eredményez, hatás, következmény action [æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés, ténykedés
az igénybevétel(E) tervezési(d) értéke hatékony, tényleges
effective[i'fektiv]
öv
flange[flændzs]
kedvező
favourable['feiv(ə)rəbl]
hatás, erő; teher
force[fo:s]= erő F = action [æk∫ n]= hatás, tett, cselekedet/cselekvés, ténykedés
g, G
állandó teher
gravity[græviti] = nehézségi erő selfweight[selfweit] = önsúly dead load = állandó teher dead[ded]= halott, holt, élettelen, mozdulatlan
load[loud]= teher, terhelés
L. még: q, Q.
139
inf
alsó
inferior[in'fiəriə*] = alárendelt, alacsonyabban lévő, alsóbbrendű (rosszabb minőségű) lower['louə*] = alsó, alacsonyabb
k
l, l
karakterisztikus
characteristic[kærəktə'ristik]=
anyagjellemzőknél: minősítési terheknél: alap
= jellemvonás,ismertetőjel,
alacsony, alacsonyabb l. még: u
határ
jellemző, jellegzetes
low[lou], lower['louə*] limit
átlag, átlagérték (várható érték)
mean[mi:n] = közép-, átlag
m, M
anyag
material[mə'tiəriəl]
nom
névleges
nominal['nominəl]
P, p
feszítőerő, feszítés, feszítési
prestressing[pri'stresiŋ]=feszítő force[fo:s]= erő
m
prestressing steel=feszítőacél
q, Q
variable action= esetleges hatás variable['veəriəbl] = változó action [æk∫ n]= hatás, tett,
esetleges teher
cselekedet/cselekvés, ténykedés load[loud]= teher, terhelés
L. még: g, G. imposed/live load=hasznos teher impose[im'pouz]= előír, kivet live[laiv]= élő, eleven, működő live[liv]= él, lakik
R
ellenállás, teherbírás
resistance[ri'zist(ə)ns] = ellenállás
Rd
s
az ellenállás(R)/teherbírás tervezési(d) értéke
betonacél, acél
l. még: p
steel[sti:l]=acél reinforcing steel=acélbetét reinforcement=vasalás reinforced concrete=vasbeton
s
stirrup['stirəp]
kengyel
140
ser
használhatósági
service['sə:vis] = szolgálat, használat, készlet, karbantart, gondoz serviceable['sə:visəbl]= hasznos, használható
serviceability['sə:visə'biliti]= használhatóság
of use (directions for use)
sup
felső
superior[su:'piəriə*] = felső, feljebb lévő, magasabb rangú, elöljáró upper['Λpə*] = felső, előkelőbb
t, t t, t, t
u, l
unfav v,V
w
húzó(beton), húzó(acél) csavaró, csavarási, csavarás
határ
pl. εuk, εcu, wkl, fkl
tensile['tensail] = húzó, tension[ten∫ n] = húzás torsional[to:∫ nəl], torsion ultimate['Λltimət] = végső, utolsó limit['limit] = határ(ol), korlát(oz)
kedvezőtlen
unfavourable[Λn'feiv(ə)rəbl]
nyírás
shear[∫ iə*]= nyír, nyírás (shearing)
gerinc (nyírás);
web
nem indexként w a repedéstágasság.
y
folyási
yield[ji:ld] = terem, termés, ad, lazul, megadja magát(yield oneself), behódol
I,II,III
I., II., III. feszültségi állapot
141
Az EUROCODE és az MSZ jelöléseinek összehasonlítása EUROCODE jelölés
MSZ jelölés
1.1. LATIN NAGYBETŰK A
rendkívüli hatás
A
keresztmetszeti terület
Ac beton keresztmetszeti terület Ac,eff repedéskorlátozási ellenőrzésnél
A
keresztmetszeti terület
Ab
beton keresztmetszeti terület
a csavart helyettesítő vékonyfalú keresztmetszet középvonalai által bezárt keresztmetszet területe
a hatékony(eff) húzott betonkeresztmetszet területe; Ac,eff = hc,effb
Ak, Ao
a csavart helyettesítő vékonyfalú keresztmetszet középvonalai által bezárt keresztmetszet területe
Ak
As
az acélbetétek keresztmetszeti területe; esetenként az összesített is a húzott acélbetétek összesített keresztmetszeti területe a nyomott acélbetétek összesített keresztmetszeti területe
As
As1 As2
Asw, Asw
a nyírási acélbetétek összesített keresztmetszeti területe egy keresztmetszeten belül. Értelemszerűen a kengyeleké(s) és a
As As'
a húzott acélbetétek összesített keresztmetszeti területe a nyomott acélbetétek összesített keresztmetszeti területe; oszlopoknál ∑As' vagy ∑As is
ferde acélbetéteké(b) külön-külön: a kengyeleké: Asw,s ;
a nyírási acélbetétek összesített keresztmetszeti területe egy keresztmetszeten belül. Értelemszerűen a kengyeleké(k) és a ferde acélbetét.(f) külön-külön: a kengyeleké: Asw,k ;
a ferde acélbetéteké: Asw,b
a ferde acélbetéteké: Asw,f
Asw, Asw
a VRd,c képletében szereplő hosszirányú(l) húzott acélbetétek keresztmetszeti területe; Asw,s,t 1 db csavarási(t) kengyelszár Asw,k,t 1 db csavarási(t) kengyelszár keresztmetszeti területe keresztmetszeti területe Asl,t a csavarási(t) hosszacélbetétek(l) Asl,t a csavarási(t) hosszacélbetétek összesített keresztmetszeti területe (l) összesített keresztm. területe
Asl
142
E
Igénybevétel: a hatás következménye ●tartószerkezeti elemeken (pl. nyo-
Y
igénybevétel
maték, nyíróerő, feszültség stb.)
●vagy a teljes szerkezeten (pl. lehajlás, elfordulás).
E, E
rugalmassági tényező(általában)
E, E
rugalmassági tényező(általában)
Ec
a beton rugalmassági tényezője
Eb
Ecd
a beton rugalmassági tényezőjének tervezési(d) értéke; Ecd = Ecm/γc, γc = 1,5 a beton rugalmassági tényezőjének várható értéke(átlagértéke), a húrmodulus/szelő modulus várható
Ebo
a beton rugalmassági/alakváltozási tényezője, a beton rugalmassági tényezőjének kezdeti értéke
Ecm
(φ=0); kezdeti érintő modulus
értéke
Ec,eff a beton hatékony rugalmassági tényezője(a kúszás hatásával csök-
Eb
kentett Ecm);
a beton alakváltozási tényezője(a kúszás hatásával csök-
Ec,eff = Ecm/(1+φ), φ ≈ 1,63−2,76 (C45-C16)
kentett Ebo); Eb = Ebo/(1+φ), φ ≈ 1,2−2,1 (C45-C16)
átlagosan
átlagosan
Ep
a feszítőacél rugalmassági tényezője; Ep = (1,95−2,05)*105 Nmm-2
Ep
a feszítőac. rugalm. tényezője; Ep=(1,95−2,0)*105 Nmm-2
Es
a betonacél rugalmassági tényezője; Es = 2,0*105 Nmm-2
Es
a betonacél rugalmassági tényezője; Es = 2,06*105 Nmm-2
G, g
állandó teher/hatás
G, g
állandó teher
Gd, gd
az állandó teher/hatás tervezési(d) értéke
GM, gM
az állandó teher szélsőértéke
Gk, gk
az állandó teher/hatás karakterisztikus(k) értéke
Ga, ga
az állandó teher alapértéke
I
tehetetlenségi nyomaték; IiI és IiII: I. és II. feszültségi állapotban
I
tehetetlenségi nyomaték; IiI és IiII: I. és II. feszültségi állapotban 143
M
Mcr
MEd
nyomaték, hajlítónyomaték
M
nyomaték, hajlítónyomaték
repesztőnyomaték
Mr
repesztőnyomaték
a (hajlító)nyomaték tervezési(d) értéke; MEd ≤ MRd;
MM
mértékadó (hajlító)nyomaték;
a (hajlító)nyomatéki teherbírás tervezési(d) értéke;
MH
MM ≤ MH;
teherbírási határállapotban
MRd Mser
teherbírási határállapotban a (hajlító)nyomaték tervezési érté-
ke használhatósági határállapotban (repedéskorlátozás, lehajlás-
teherbírási határállapotban
Mh Mü
korlátozás)
(hajlítási) határnyomaték; teherbírási határállapotban használati (hajlító)nyomaték, üzemi (hajlító)nyomaték
használhatósági/üzemi határállapotban (repedéskorlátozás, lehajláskorlátozás)
Nc
beton nyomóerő
Ns1
húzóerő az acélbetétekben
Ns2 N NEd
nyomóerő az acélbetétekben normálerő a normálerő tervezési(d) értéke;
Nb H
beton nyomóerő
Ns N NM
nyomóerő az acélbetétekben
NEd ≤ NRd;
normálerő mértékadó erő, mértékadó normálerő; NM ≤ NH;
teherbírási határállapotban
teherbírási határállapotban
NRd
húzóerő az acélbetétekben
a normálerő teherbírás tervezési(d) értéke;
NH
teherbírási határállapotban
határerő, határ normálerő; teherbírási határállapotban
Q, q
esetleges teher/hatás
P, p
esetleges teher
Qd, qd
az esetleges teher/hatás tervezési(d) értéke
PM, pM
az esetleges teher szélsőértéke
Qk, qk
az esetleges teher/hatás karakterisztikus(k) értéke
Pa, pa
az esetleges teher alapértéke
144
T TEd
csavarónyomaték a csavarónyomaték tervezési(d) értéke; TEd ≤ TRd;
Mt MtM
teherbírási határállapotban
csavarási vasalás nélküli MtHa keresztmetszet csavarási teherbírása; TRd,c = 2Akfctdtef a csavarási teherbírás alsó korlátja;
TRd,c a
teherbírási határállapotban
csavarási teherbírás korlátja(betonnyomás);
felső
mértékadó csavarónyomaték;
MtM ≤ MtH;
teherbírási határállapotban
TRd,max a
csavarónyomaték
a csavarási vasalás nélküli keresztmetszet csavarási teherbírása; a csavarási teherbírás alsó korlátja; teherbírási határállapotban
MtHf a csavarási teherbírás felső korlátja(betonnyomás);
teherbírási határállapotban
teherbírási határállapotban
TRd,s a csavarási vasalás(s) teherbírá- MtH,s a csavarási vasalás(s) által felTRd
sának tervezési értéke;
vehető csavar. határnyomaték;
teherbírási határállapotban
teherbírási határállapotban
a csavarási teherbírás tervezési(d) értéke; TRd = max(TRd,c; TRd,s);
MtH
MtH = max(MtHa; MtH,s); teherbírási határállapotban
teherbírási határállapotban
V VEd
nyíróerő
T
a nyíróerő tervezési(d) értéke; VEd ≤ VRd;
TM
nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása; VRd,c = cVbwd a nyírási teherbírás alsó korlátja;
THa
teherbírási határállapotban
felső
THf
teherbírási határállapotban
a nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása; a nyírási teherbírás alsó korlátja; a nyírási teherbírás felső korlátja(betonnyomás) ; teherbírási határállapotban
VRd,s a nyírási vasalás(s) teherbírásának tervezési értéke;
THs
teherbírási határállapotban
VRd
mértékadó nyíróerő; TM ≤ TH;
teherbírási határállapotban
teherbírási határállapotban
nyírási teherbírás korlátja(betonnyomás);
nyíróerő
teherbírási határállapotban
VRd,c a
VRd,max a
a csavarási határnyomaték;
a nyírási vasalás(s) által felvehető határnyíróerő rész; teherbírási határállapotban
a nyírási teherbírás tervezési(d) értéke; VRd = max(VRd,c; VRd,s); teherbírási határállapotban
TH
a határnyíróerő; a nyírási teherbírás; TH = max(THa; [THs+THb]); teherbírási határállapotban
145
1.2. Latin kisbetűk a=h−d a húzott acélbetétek súlypontjának a=ht−h a húzott acélbetétek súlypontat beff
távolsága a húzott széltől a csavarási kengyel tengelyének távolsága a keresztmetszet szélétől a bordával együttdolgozó teljes lemezszélesség; beff = bw+beff1+beff2
bw, b gerincszélesség (legkisebb, nyírás,
csavarás); hajlításnál, külp. nyomásnál derékszögű négyszög alakú kerm.-hez a b jelölést alkalmazzuk
cnom d
at bf
bg,b
jának távolsága a húzott széltől a csavarási kengyel tengelyének távolsága a keresztm. szélétől a bordával együttdolgozó teljes lemezszélesség; beff = bw+beff1+beff2 gerincszélesség (legkisebb, nyírás, csavarás); hajlításnál, külp. nyomásnál derékszögű négyszög alakú kerm.hez a b jelölést alkalmazzuk
névleges betonfedés (a terven)
c
névleges betonfedés (a terven)
hatásos/hatékony magasság; az acélbetétek súlypontjának távolsága a nyomott szélső betonszáltól(ha As2=0);
h
hasznos/dolgozó magasság; a húzott acélbetétek súlypontjának távolsága a nyomott szélső betonszáltól;
d1: mint d, de a húzott acélbeté-
h'
mint h, de a nyomott acélbetéteké
teké(ha As2≠ 0); d2: mint d, de a nyomott acélbetéteké
e
külpontosság
e
külpontosság
eo
az 1. rendű/elsőrendű elmélet szerinti alapkülpontosság a véletlen jellegű geometriai tökéletlenségek miatti járulékos külpontosság(növekmény); a 2. rendű/másodrendű elmélet szerinti külpontosság(növekmény)
eo
az 1. rendű/elsőrendű elmélet szerinti alapkülpontosság a véletlen jellegű geometriai tökéletlenségek miatti járulékos külpontosság(növekmény) a 2. rendű/másodrendű elmélet szerinti külpontosság (növek-
ea e2
Δeo Δet
mény)
eEd
a külpontosság tervezési(d) értéke; eEd = eo + ea + e2;
eM
a mértékadó külpontosság; eM = eo + Δeo + Δet
[teherbírási határállapothoz]
eEd ≤ eRd eRd
eM ≤ eH
a teherbírási külpontosság(d) tervezési értéke
eH
146
a határkülpontosság
f, fk fkl
fcd
fck fctd
fctm fctk0.05
fp0.1k fpd
f tk fy k fyd
lehajlás, a lehajlás karakterisztikus(k) értéke a lehajlás határértéke;
f
fH
határlehajlás
lehajlás
a lehajlás határértéke határlehajlás
a beton nyomószilárdságának tervezési(d) értéke; fcd = αccfck/γc magasépítésnél αcc = 1.0, hídépítésnél αcc= 0.85. a beton nyomószilárdságának karakterisztikus(k) értéke a beton húzószilárdságának(t) tervezési(d) értéke; fctd = fctk0.05/ γc, γc = 1,5 a beton húzószilárdságának(t) várható értéke(m: átlagértéke) a beton húzószilárdságának alsó karakterisztikus(k) értéke(5%-os alulmaradási valószínűség); fctk0.05 = 0,7fctm
σbH
a beton nyomó határfeszültsége
Rbk
a beton nyomószilárdságának minősítési értéke a beton húzó határfeszültsége
a feszítőacél folyáshatárának karakterisztikus(k) értéke a feszítőacél folyáshatárának tervezési(d) értéke fpd = fp0.1k/γs, γs = 1,15
Rpfk
a betonacél húzószilárdságának karakterisztikus(k) értéke a betonacél folyáshatárának karakterisztikus(k) értéke a betonacél folyáshatárának tervezési(d) értéke, fyd = fyk/γs, γs = 1,15
σhH
σpH
Rsyk
σsH
a feszítőacél folyáshatárának minősítési értéke a feszítőacél határfeszültsége
a betonacél folyáshatárának minősítési értéke a betonacél határfeszültsége
fywd
a nyírási betonacél folyás- σsHk, a nyírási betonacél határfeszültsége(k: kengyel,f: ferde határának tervezési(d) értéke σ
g, G
L. a G, g-nél.
fywd,
sHf
g, G 147
acélbetét)
h
a keresztmetszet teljes magassága
hc,eff
repedéskorlátozási ellenőrzésnél a hatékony(eff) húzott betonkeresztmetszet magassága Ac,eff = hc,effb
hf, t
a fejlemez/övlemez vastagsága
kt (repedéskorlátozás)
l
v
a fejlemez/övlemez vastagsága (T-keresztmetszet)
a betonacél tapadási viszonyaitól (repe- függő tényező; déskor- bordás betonacélra k1= 0.8; látozás) sima betonacélra k1= 1.6;
(repedéskorlátozás)
a keresztmetszet teljes magassága
(T-keresztmetszet)
k1
k2
ht
α
tapadási tényező; bordás betonacélra α = 2.0; sima betonacélra α = 1.0
a húzott betonzóna alakjától (az igénybevétel jellegétől) függő tényező hajlítás: k2=0,5; központos húzás: k2=1,0 a teher tartósságától függő tényező tartós: kt=0,4; rövididejű: kt=0,6
hosszúság, fesztáv
lcol leff
az oszlop hossza
lo
(helyettesítő) kihajlási hossz;
l l l, L
a hatékony fesztávolság, a tényleges támaszköz
lo
lo = υlcol
148
hosszúság, fesztáv az oszlop hossza támaszköz
(helyettesítő) kihajlási hossz;
lo = υl
q, Q 1/r
L. a Q, q-nál.
q, Q
a görbület az e2 külpontosság (növekmény) számításánál, l. az e2-t
s
a nyírási acélbetétek távolsága, ss : a kengyelek távolsága, sb : a ferde acélbetétek távolsága
t
sts
sts : a csavarási(t) kengyelek(s)
tt
srm
atávolságatávolsága, repedések átlagos távolsága
srm
távolsága sága
(várható érték)
sr,max a repedések maximális távolsága
tef
t, hf
a csavart vb. keresztmetszet egyenértékű falvastagsága a fejlemez/övlemez vastagsága
a repedések átlagos távolsága (várható érték)
sr,max a repedések maximális távolsága
v
(T-keresztmetszet)
a fejlemez/övlemez vastagsága (T-keresztmetszet)
uk
a csavart helyettesítő vékonyfalú keresztmetszet középvonalai által bezárt keresztmetszet kerülete, l. még Ak
w
repedéstágasság
wk
a repedéstágasság karakterisztikus(k) értéke a repedéstágasság határértéke;
wkl
a nyírási acélbetétek távolsága, tk : a kengyelek távolsága, tf : a ferde acélbetétek távolsága tt : a csavarási(t) kengyelek távolsága sága
a
határ repedéstágasság
149
repedéstágasság
aM
a mértékadó repedéstágasság
aH
a repedéstágasság határértéke, határ repedéstágasság
x
az elfordulási tengely távolsága a nyomott szélső száltól (összenyomódási/nyúlási semleges tengely; εc= 0)
xc
xco
xco'
x
I. feszültségi állapotban xiI, II. feszültségi állapotban xiII, III. feszültségi állapotban 1,25x
x
a nyomott betonzóna magassága (feszültségi semleges tengely;
1,25xc εc= 0
xiI, xiII,1,25xc a nyomott betonzóna magassága (feszültségi semleges tengely;
σc= 0);
σb= 0);
III. feszültségi állapotban
III. feszültségi állapotban
az xc semleges tengely határhelyzete (III. fesz. állapotban). Ha xc ≤ xco , akkor megfolyik a húzott vasalás. az xc semleges tengely határhelyzete (III. fesz. állapotban). Ha xc ≥ xco', akkor megfolyik a nyomott vasalás.
xo
az x semleges tengely határhelyzete (III. fesz. állapotban). Ha x ≤ xo, akkor megfolyik a húzott vasalás.
xo'
az x semleges tengely határhelyzete (III. fesz. állapotban). Ha x ≥ xo', akkor megfolyik a nyomott vasalás.
z
a belső erők karja
z
a belső erők karja
zc
az Nc beton nyomóerő karja/ távolsága az Ns1 acél húzóerőtől
zb
az Nb beton nyomóerő karja/ távolsága a H acél húzóerőtől
zs
az Ns2 acél nyomóerő karja/ távolsága az Ns1 acél húzóerőtől
zs
az Ns acél nyomóerő karja/ távolsága a H acél húzóerőtől
150
2. GÖRÖG BETŰK
α αcc
αe
a nyírási acélbetétek hajlásszöge a tartótengelyhez a teher tartósságát (és egyéb kedvezőtlen hatásokat) kifejező csökkentő tényező; magasépítés: αcc = 1.0, hídépítés: αcc = 0,85.
α
a nyírási acélbetétek hajlásszöge a tartótengelyhez
αe = Es/Ec,eff rugalmassági ténye-
n
n = Es/Eb rugalmassági ténye-
zők aránya
a betonacél tapadási viszonyaitól régen függő tényező; 1/β1 bordás betonacélra k1= 0.8; sima betonacélra k1= 1.6
k1
(repedéskorlátozás)
β
β = 1,0÷0,5: a terhelés időtartamától függő tényező (tartósság, ciklikusság), β = 1,0: ha a teher rövididejű (egyszeri), β = 0,5: ha a teher tartós vagy ismétlődő A berepedt, húzott betonzóna merevítő hatásának (tension stiffening) figyelembevételénél. L. itt: ζ.
151
zők aránya
α
tapadási tényező; bordás betonacélra α = 2.0; sima betonacélra α = 1.0
γ
biztonsági/parciális tényező
γ
biztonsági tényező
γc
γc =1,5 a beton biztonsági/parciális
γb
γc =1,3 a beton biztonsági
γs
γs = 1,15 a betonacél és a feszítőacél biztonsági/parciális tényezője
γs
γs = 1,15 –1,19 a betonacél
γG
az
állandó teher biztonsági /parciális tényezője; γG = 0,85*1,35 = 1,1475 az esetleges teher biztonsági /parciális tényezője; γQ = 1,5
γg
az állandó teher biztonsági té-
γQ
εc
tényezője
fajlagos beton összenyomódás
tényezője
biztonsági tényezője
nyezője; γg = 1,2 ÷1,4
γp
az esetleges teher biztonsági tényezője; γp = 1,2 ÷1,4
εb
fajlagos beton összenyomódás
εbH
a beton fajlagos határ összenyomódása, εbH = 2,5‰ fajlagos kúszási betonösszenyomódás fajlagos zsugorodási betonösszenyomódás
εcm repedéskorlátozási számításoknál a
húzott beton átlagos(m) fajlagos nyúlása εcu, a beton fajlagos törési összeεcu nyomódásának(u) tervezési értéke, εcu = 3,5‰ εc,c fajlagos kúszási betonösszenyomódás; creep=kúszás εc,sh fajlagos zsugorodási betonösszenyomódás; shrinkage=zsugorodás
εp
a feszítőacél fajlagos nyúlása
εud εuk, εuk
εbzs εzs
εf, εp a feszítőacél fajlagos nyúlása
εuk, a feszítőacél fajlagos szakadóεuk nyúlásának(u) karakterisztikus(k) értéke; εuk = 25‰(általában) εuk = 25‰ nyúlása εs a betonacél fajlagos εsm
εbk
/összenyomódása repedéskorlátozási számításoknál az átlagos(m) fajlagos betonacél nyúlás a betonacél fajlagos szakadónyúlásának(u) tervezési(d) értéke; εud = 1,0εuk „A” duktilitású acélnál a betonacél fajlagos szakadónyúlásának(u) karakterisztikus(k) értéke; εuk = 25‰(általában) εuk = 25‰
152
εpH
a feszítőacél fajlagos határnyúlása; εpH = 25‰
εs
a betonacél fajlagos nyúlása /összenyomódása
εsH
a betonacél fajlagos határnyúlása; εsH = 15 ÷25‰
ζ
ζ = 1 – β[
ψ = 1–α/(3σbI/σhH)
]2
a berepedt, húzott betonzóna merevítő hatását kifejező tényező
λ
karcsúsági tényező;
λ=
ξc ξco, ξco'
l. a k1-nél
λ
i=√
karcsúsági tényező;
λ=
a (feszültségi) semleges tengely relatív paramétere, ξc = xc/d
ξ
l. az fctd , fctm −nél
i=√
a (feszültségi) semleges tengely relatív paramétere, ξ = x/h
ξo, ξo' mint a ξ, de xo-lal, xo'-vel
mint a ξc, de xco- lal, xco'-vel
ρ
betonacél hányad; a d hatásos/hatékony magassággal számítva. Pl. derékszögű négyzet keresztmetszetnél a húzott betonacél hányad: ρ = As1/(bd).
μ
betonacél hányad;
ρw
a fajlagos nyírási mennyiség; ρw = Asw/(bwssinα)
μT
a fajlagos nyírási betonacél mennyiség; μT= Asw/(bgtsinα)
σ
normálfeszültség
σ
normálfeszültség
σc
beton nyomófeszültség
σb
beton nyomófeszültség
σp
feszítőacél feszültség
σp
feszítőacél feszültség
reped ések átlago s távols ága
betonacél
153
Pl. derékszögű négyzet keresztmetszetnél a húzott betonacél hányad: μ = As/(bh). A gyengén vasaltsági ellenőrzéshez a teljes keresztmetszeti területtel számítva: μt = As/(bht).
σs acélfeszültség σs1, húzófeszültség az acélbetétek-
σs σs,
ben, nyomófeszültség az acélbetétekσs2 ben σscr a repesztő igénybevételből (Mcr) származó húzófeszültség az acélbetétekben,
σs' σsr
σsII a repedéskorlátozási számításoknál
σsII
a II. feszültségi állapotbeli húzott acélbetétekben ébredő feszültség (a szélső acélbetétek tengelyében); σs = σsII
τ τRd
acélfeszültség húzófeszültség az acélbetétekben, nyomófeszültség az acélbetétekben a repesztő igénybevételből (Mr) származó húzófeszültség az acélbetétekben, a repedéskorlátozási számításoknál a II. feszültségi állapotbeli húzott acélbetétekben ébredő feszültség (a szélső acélbetétek tengelyében);
nyírófeszültség a beton nyírószilárdságának tervezési értéke; τRd = 0,25fctd
τ
nyírófeszültség
υ
az lo (helyettesítő) kihajlási hossz tényezője; lo = υlcol
υ
az lo (helyettesítő) kihajlási hossz tényezője; lo = υl
Ø
az acélbetét átmérője
d
az acélbetét átmérője
φ
kúszási tényező
φ
kúszási tényező
φ
a központosan nyomott oszlop karcsúság miatti csökkentő tényezője
φ
a központosan nyomott oszlop karcsúság miatti csökkentő tényezője
ψ
egyidejűségi tényező
ψ
egyidejűségi tényező
154
3. INDEXEK l. elől: Indexek
Angolul: ferde nyírási acélbetét; l. még: s
f
ferde nyírási acélbetét,
beton
b
beton
c
creep=kúszás
k
kúszás
cr
berepedt, repesztő (pl. Mcr , σscr)
r
berepedt, repesztő (pl. Mr)
b
c, c
H, M határ vagy mértékadó
d, d, tervezési d, d
(szilárdság vagy igénybevétel)
eff, ef hatékony, tényleges pl. leff Ed az igénybevétel (E) tervezési(d)
M
mértékadó igénybevétel (pl. MM, TM, MtM, NM)
H
határ
értéke (pl. MEd, VEd, TEd, NEd) pl. εuk, εcu, wkl, fkl
l, u
határ
m
átlag, átlagérték; várható érték
Rd
á, v
átlag, átlagérték; várható érték
az ellenállás (R)/teherbírás tervezési (d) értéke (pl. MRd, VRd, TRd, NRd)
H
határszilárdság (pl. σbH) vagy határigénybevétel (pl. MH, TH, MtH, NH )
p
feszítés, feszítőerő
f
feszítés, feszítőerő
s s
betonacél, acél
s k
betonacél, acél
kengyel
h, ü
kengyel
ser
használhatósági(rep. korl., lehajlás)
sh
shrinkage=zsugorodás
zs
használati, üzemi(rep. korl., lehajlás) zsugorodás
t, t
húzó(beton), húzó(acél)
h, h
húzó(beton), húzó(acél)
t, cs
csavaró, csavarási, csavarás
t, t, t csavaró, csavarási, csavarás u, l
határ
pl. εuk, εcu, wkl, fkl
H
155
határ
Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ
VASBETON SZILÁRDSÁGTAN az
EUROCODE 2 szerint (magasépítés)
TANKÖNYV
SZÁMPÉLDÁK eo =
NEd
eEd
eo
e2 ea eo
MEdo
véletlen eltérés terhelt alak
terv szerinti alak
A kerm. inhomogenitása miatt nincs külpontosság.
Törési határállapotok
Használhatósági határállapotok
Hajlítás
3+4= 7 db A4
Nyírás Csavarás
7 db A4 4+2= 6 db A4
Külpontos nyomás
4+4= 8 db A4
Repedéskorlátozás Feszültségkorlátozás Lehajlások korlátozása BUDAPEST 2010
156
7 db A4 4 db A4 4 db A4 +1 címlap Σ 44 db A4
H1/1
HAJLÍTÁS H1. Számpélda. ELLENŐRZÉS
Adott a mellékelt ábrán vázolt tisztán hajlított, derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági adataival. A hajlítónyomaték tervezési(d) értéke: MEd = 1405,0 kNm.
FELADAT: mekkora a keresztmetszet nyomatéki teherbírásának MRd tervezési értéke(d) és megfelel-e a keresztmetszet tiszta hajlításra?
Légköri klórszennyeződésnek kitett felületről van szó. Betonfedés: cmin,dur = 35 mm.
1. ALAPADATOK
Kengyelátmérő:
S500
Δcdev (elhelyezési bizonytalanság): 10 mm.
C20/25
A nyomott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 4 db Ø12: d2 = 35+10+12/2+10 = 61 mm.
fyk = 500 Nmm-2 fcd = 13,3 Nmm-2 fyd = 435 Nmm-2 fctd = 1,0 Nmm-2 ξco = 0,493
fctm = 2,2 Nmm-2
A húzott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 10 db Ø25: a = 35+10+25/2+10 = 68 mm.
ξco' = 2,11
Es = 200 kNmm-2 Ecm = 30,0 kNmm-2
εuk = 25‰
10 mm.
A d1 = d hatékony magasság: d = h – a = 800–68 = 732 mm.
φ = 2,55.
d2=61A nyomott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 4 db Ø16: d2 = 35+10+16/2+0 = 53 mm. As2 = 452,4 mm2
h=800
d =732
As1 = 4908,7 mm2 a=68 b = 1000
157
Először a minimális vasalás meglétét ellenőrizzük le:
H1/2
As,min = ρminbtd = (0,26fctm/fyk)btd ≥ 0,0015btd. ρmin = 0,26fctm/fyk = 0,26*2,2/500 = 0,001144 < 0,0015 ρmin = 0,0015. 2 As,min = 0,0015*1000*732 = 1098 mm (bt=b). A teljes húzott acélbetét keresztmetszet (10 db Ø25): As1 = 10*490,87 = As1 = 4908,7 mm2. Mivel As1 >> As,min, a keresztmetszet nem gyengén vasalt.
2. A semleges tengely xc helyzete 2
Nyomásra megfolyás esetén az As2 = 452,4 mm mértékű vasalásban fellépő nyomóerő:
As2
Ns2 = As2fyd = 452,4*435*10−3= d=732 196,8 kN. Húzásra megfolyás esetén az As1 = 4908,7 mm2
As1
mértékű vasalásban fellépő húzóerő:
b=1000
Ns1 = As1fyd = 4908,7*435*10−3= 2135,3 kN.
1,25xc=182,2
Ns1 – Ns2 = 1938,5 kN.
61 xc
fcd σs2 Nc
h=800
εs2=2,328‰ εcu=3,5‰
A feszültségi semleges tengely xc helyzetét vetületi egyenletből határozzuk meg: zs = 671
Ns2
Nc = Ns1 – Ns2= 1938,5 kN, σs1 Nc = bxcfcd = 1000xc13,3 = 13300xc. xc = 1938,5*103/13300 = 145,75 mm, ξc = 145,75/732 = 0,19912 < ξco = 0,493, ξc' = 145,75/61 = 2,3893 > ξco' = 2,11.
zc = 659,1
Ns1
ε
MRd εs1 = 10,56 ‰
68
εs2 = 2,328 ‰ > εsy = 2,175 ‰ εs1 = 10,56 ‰ < εuk = 25 ‰
435 = fyd
σs1 = fyd
Es=200 kNmm-2
13,3=fcd
betonacél (húzott, nyomott)
beton
a szakadónyúlás karakt. értéke
εsy=2,175‰
εs1
εuk=25‰
εcp=0,7‰ εcu=3,5‰
tervezési(d) érték: εud = ζεuk, ζ=1
158
Az acélnyúlások ellenőrzése: ■ ξc = 0,19912 < ξco = 0,493, tehát a feltételezettnek megfelelően megfolyik a húzott vasalás: σs1 = fyd.
H1/3
■ ξc' = 2,3893 > ξco' = 2,11, tehát a feltételezettnek megfelelően
megfolyik a nyomott vasalás is: σs2 = fyd. L. az előző oldali ábrán: εs2 = 2,328 ‰ > εsy = 2,175 ‰. Valóban megfolyik.
Mivel εs1 = 10,56 ‰ < εud = 25 ‰ és εc = εcu = 3,5 ‰, a megoldás kinematikailag lehetséges. Nem kell megvizsgálnunk azt a tönkremeneteli határesetet, amikor a szélső húzott vasak nyúlása εs1 = εud = 25 ‰ mértékű.
3. A nyomatéki teherbírás MRd tervezési(d) értéke Az Nc beton nyomóerő karja: zc = d−xc/2 = 732−145,75/2 = 659,1 mm. A nyomatéki teherbírás MRd tervezési(d) értéke:
MRd = Nczc + Ns2zs = 1938,5*0,6591 + 196,8*0,671 = MRd = 1277,6 + 132,05 = 1409,7 kNm. Nc = Ns1 – Ns2.
61
xc=145,75 fcd
Nc = 2135,3 – 196,8.
Nc
εcu=3,5‰
Ns2 d = 732
zs = 671
zc = 659,1
Ns1
Nc = 1938,5 kN. 68
MRd
4. ELLENŐRZÉS MRd = 1409,7 kNm > MEd = 1405,0 kNm. Tehát megfelel.
159
ε
H2/1
HAJLÍTÁS H2. Számpélda. ELLENŐRZÉS
Adott a mellékelt ábrán vázolt tisztán hajlított, derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági adataival. A hajlítónyomaték tervezési(d) értéke: MEd = 602,0 kNm.
FELADAT: mekkora a keresztmetszet nyomatéki teherbírásának MRd tervezési (d) értéke és megfelel-e a keresztmetszet tiszta hajlításra?
1. ALAPADATOK Légköri klórszennyeződésnek kitett felületről van szó. Betonfedés: cmin,dur = 35 mm.
S500
C20/25
fyk = 500 Nmm-2
fcd = 13,3 Nmm-2
fyd = 435 Nmm-2
fctd = 1,0 Nmm-2
ξco = 0,493
fctm = 2,2 Nmm-2
Kengyelátmérő: 10 mm.
Δcdev (elhelyezési bizonytalanság): 10 mm. A nyomott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 2 db Ø10: d2 = 35+10+10/2+10 = 60 mm.
ξco' = 2,11
Es = 200 kNmm-2 Ecm = 30,0 kNmm-2
εuk = 25‰
φ = 2,55.
Figyelem! A nyomott zónában csak szerelő/szerkezeti vasalást alkalmazunk h = 500 (As2 ≈ 0).
A húzott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 8 db Ø32: a = 35+10+32/2+10 = 71 mm.
d2=60 As2 = 0 d = 429 As1 = 6434,0 mm2 a=71 b = 600
160
Először a minimális vasalás meglétét ellenőrizzük le:
H2/2
As,min = ρminbtd = (0,26fctm/fyk)btd ≥ 0,0015btd. ρmin = 0,26fctm/fyk = 0,26*2,2/500 = 0,001144 < 0,0015 As,min = 0,0015*600*429 = 386 mm2 (bt = b) .
ρmin = 0,0015.
A teljes húzott acélbetét keresztmetszet (8 db Ø32): As1 = 8*804,25=
As1 = 6434,0 mm2. Mivel As1 >> As,min, a keresztmetszet nem gyengén vasalt.
2. A semleges tengely xc helyzete
As1
d=429 Húzásra megfolyás esetén az As1 = 6434,0 mm2 mértékű vasalásban fellépő húzóerő:
h=500
b=600
Ns1 = As1fyd = 6434,0*435*10−3= 2798,8 kN.
1,25xc
xc
fcd
Nc
εcu = 3,5 ‰
zc
Ns1
A feszültségi semleges tengely xc helyzetét egyszerű vetületi egyenletből határozzuk meg:
Nc = Ns1 = 2798,8 kN, σs1 Nc = bxcfcd = 600xc13,3 = 7980xc.
MRd
71
xc = 2798,8*103/7980 = 350,7 mm, ξc = 350,7/429 = 0,8175 > ξco = 0,493,
ε
εs1
tehát nem folyik meg a húzott vasalás. 435 = fyd
σs1 = fyd
Es=200 kNmm-2
betonacél (húzott, nyomott)
13,3=fcd beton
a szakadónyúlás karakt. értéke
εsy=2,175‰
εs1
εuk=25‰
εcp=0,7‰
εcu=3,5‰
tervezési(d) érték: εud = ζεuk, ζ=1
161
H2/3 Mivel nem folyik meg a húzott vasalás (túlvasalt keresztmetszet), most az
Ns1−Nc = 0 vetületi egyenletet úgy írjuk fel, hogy σs1 < fyd:
–700] – 600(ξc429)13,3 = 0.
6434[
σs1 3,42342*10 ξc +4,50380*10 ξc−3,60304*10 = 0, ξc2+1,31558ξc−1,05247 = 0, 6
2
6
√
ξc
6
= 0,5609,
xc = 0,5609*429 = 240,6 mm.
3. Az Ns1 és az Nc belső erő A ξc segítségével először a húzott acélbetétekben ébredő feszültséget határozzuk meg:
σs1 =
−700 =
– 700 = 298,4 Nmm-2 < fyd = 435 Nmm-2.
A megfelelő Ns1 acél húzóerő: Ns1 = As1σs1= 6434,0*298,4*10-3= 1919,9 kN. Az Nc beton nyomóerő: Nc = bxcfcd= 600*240,6*13,3*10-3= 1919,9 kN. A számítás helyességét igazolja, hogy Ns = 1919,9 kN = Nc = 1919,9 kN.
Az acélnyúlás ellenőrzése: εs1 = σs1/Es = 298,4/200 = 1,492‰ < εsy = 2,175‰ .
Mivel εs1 = 1,492 ‰ < εud = 25 ‰ és εc = εcu = 3,5 ‰, a megoldás kinematikailag lehetséges. Nyilvánvalóan nem kell megvizsgálnunk azt a tönkremeneteli határesetet, amikor a szélső húzott vasak nyúlása εs1 = εud = 25 ‰ mértékű.
162
H2/4
4. A nyomatéki teherbírás MRd tervezési(d) értéke
Az N = Nc = 1919,9 kN nagyságú beton nyomóerő karja: z = zc = d−xc/2 = 429−240,6/2 = 308,7 mm. A nyomatéki teherbírás MRd tervezési(d) értéke:
MRd = Nz = 1919,9*0,3087 = 592,6 kNm.
xc=240,6 h=500
fcd
1,25xc=300,75 Nc εcu=3,5‰
d=429 zc=308,7 71
MRd
Ns1
ε
εs1=1,492‰
5. ELLENŐRZÉS
MRd = 592,7 kNm < MEd = 602,0 kNm. Tehát nem felel meg. A keresztmetszetet meg kell magasítani ! Ha lehet. Ha nem, akkor a vasalást kell kissé növelni.
163
NYÍRÁS
Ny1
Adott a mellékelt ábrán vázolt tisztán nyírt, derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági adataival.
FELADAT: mekkora a keresztmetszet nyírási teherbírásának VRd tervezési(d) értéke és megfelel-e a keresztmetszet tiszta nyírásra?
1. ALAPADATOK S500
C20/25
fyk = 500 Nmm-2
fcd = 13,3 Nmm-2
fyd = 435 Nmm-2
fctd = 1,0 Nmm-2
ξco = 0,493
fctm = 2,2 Nmm-2
VEd = γGG + γQQ = VEd = (1,35*0,85)143,6+ +1,5*296,8 = 610,0 kN, a max. nyíróerő tervezési(d) értéke. VEd = 164,8 +445,2 = 610,0 kN
ξco' = 2,11
+
Es = 200 kNmm-2 Ecm = 30,0 kNmm-2
εuk = 25‰
VEd = R
φ = 2,55.
Légköri klórszennyeződésnek kitett felületről van szó. Betonfedés: cmin,dur = 35 mm. Kengyelátmérő: 10 mm.
Δcdev (elhelyezési bizonytalanság): 10 mm. A húzott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 8 db Ø25: a = 35+10+25/2+10 = 68 mm.
As1 = Asl = 3927 mm2 (8Ø25) a=68
600 d = 532
A d1 = d hatékony magasság: h= d = h – a = 600–68 = 532 mm.
Ferde acélbetéteket is alkalmazunk: 3Ø14/420. Ø10/200
bw = 400
Ø10/200 2 db kengyel 1 síkban
164
Nyírási(V) alapfogalmak:
Ny2
VEd:
a nyíróerő tervezési(d) értéke.
VRd,c: VRd: VRd,max:
alsó korlát nyírásra; a „beton” nyírási teherbírása. a nyírási teherbírás(R) tervezési(d) értéke (acél). felső korlát nyírásra; a ferde nyomott beton rácsrudak teherbírása.
A nyíróerőt kengyelekkel és ferde acélbetétekkel vesszük fel. Az EC2 szerint legalább a fele nyíróerőt kengyelekkel kell felvenni.
ks = 4 db Ø10 kengyelszár bw
Itt
bw = 400 mm: a gerincszélesség (legkisebb), ss = ss1 =200 mm: a nyírási kengyelek távolsága a gerenda hossztengelye mentén, ks = 4db Ø10: a nyírási kengyelszárak darabszáma egy keresztmetszetben, αs = 90o: a nyírási kengyelek tengelye és a gerendatengely által bezárt szög, sb = sb1 = 420 mm: a ferde acélbetétek távolsága a gerenda hossztengelye mentén, kb = kb1 = 3db Ø14: a ferde acélbetétek darabszáma egy keresztmetszetben, αb = 45o: a ferde acélbetétek tengelye és a gerendatengely által bezárt szög, αb = 45o ss1=ss2
elméleti befogás
nyírási kengyelek, αs = 90o, 2Ø10/200 ssi ss7
ferde acélbetétek sb1
sb2
sb3 Itt ellenőrzünk.
[kN]
Általában a VEd redukciója is lehetséges.
VEd 610,0
VRd [kN]
165
Ny3 Először a minimális nyírási vasalás meglétét ellenőrizzük le. A vasbeton szerkezetekben alkalmazandó fajlagos minimális nyírási betonacél mennyiség (ρw,min = 0,055% − 0,236%): √
ρw,min = 0,08
= 0,08
√
= 0,0007155 = 0,07155%
0,1000%.
Itt: fck = 20 [Nmm-2]: a beton nyomószilárdságának karakterisztikus(k) értéke; fyk = 500 [Nmm-2]: a betonacél folyáshatárának karakterisztikus(k) értéke. Az alkalmazott összesített kengyelkeresztmetszet: Asw,s = 4*102π/4 = 4*78,54 = 314,15 mm2. Az alkalmazott összesített ferde acélbetét keresztmetszet: Asw,b = 3*142π/4 = 3*153,94 = 461,8 mm2. Betonkeresztmetszetek, melyeken a nyírási acélbetétek működnek: Acw,s = bwsssinαs = 400*200*1,0 = 80 000 mm2, Acw,b = bwsbsinαb = 400*420*0,7071 = 118 794 mm2,
A fajlagos hatékony(effektív) nyírási acélbetét keresztmetszetek és ezek összege:
ρw,s,effektív =
=
= 0,003927 = 0,3927%,
ρw,b,effektív =
=
= 0,003887 = 0,3887%,
ρw,effektív = ρw,s,effektív + ρw,b,effektív = 0,007814 = 0,7814%, Mivel ρw,effektív = 0,007814 = 0,7814% >> ρw,min = 0,0010 = 0,1000% , a keresztmetszet nem gyengén vasalt nyírásra.
166
2. A „beton” nyírási teherbírása; alsó korlát
Ny4
Ha VEd < Vrd,c, akkor elvileg nem kell méretezett nyírási vasalás. De minimális nyírási vasalás szükséges (Ny3. old.). A „beton” nyírási teherbírása:
VRd,c = cVbwd . Esetünkben a normálerő tervezési értéke NEd = 0, ezért a képletek jelentősen egyszerűbbek: cV = 0,12k(100ρl fck)1/3, cV ≥ υmin.
A segédmennyiségek: k = [1+ √
ρl =
] = [1+ √
] = 1,613 < 2.0,
≤ 0,02,
a vizsgált keresztmetszetben a húzott vasalásnak az a része, amely megfelelően le van horgonyozva. A szélső támasznál ez 0 is lehet! Esetünkben Asl = As1 (8Ø25) = 3927 mm2.
Asl: ρl =
= 0,01845 < 0.02,
υmin = 0,035k3/2 fck1/2 = 0,035*1,6133/2 201/2 = 0,3207 [Nmm-2], cV = 0,12k(100ρlfck)1/3 = 0,12*1,613(100*0,01845*20)1/3 = 0,6445 [Nmm-2], cV = 0,6445 [Nmm-2] > υmin= 0,3207 [Nmm-2]. Tehát a „beton” nyírási teherbírása:
VRd,c = cVbwd = 0,6445*400*532*10-3 = 137,2 kN < VEd = 610 kN, ezért szükséges méretezett nyírási vasalás.
167
3. A ferde nyomott rácsrudak nyírási teherbírása;
Ny5
felső korlát o
A VRd nyírási teherbírás meghatározásakor a θ = 45 felvételt alkalmazzuk a nyírási vasalás VRd,s teherbírásához. Itt θ a modellbeli nyírási ferde repedés hajlásszöge a vízszinteshez. Ez a ferde nyomott beton rácsrudak hajlásszöge egyben. Erre a felvételre az EC lehetőséget ad. Íly módon a klasszikus Mörschféle modellhez jutunk (v.ö. MSZ 15 022/1; 1986). Véleményünk szerint gyakorlati mérnökök számára ez a helyes eljárás, nem pedig az, hogy a tervező mérnök a θ felvételével foglalkozzon.
θ
α
VEd VRd,max = bwzζ(υfcd). VRd,max = 400*478,8*0,75*(0,552*13,3)10-3 = 1054,5 kN. Itt
ζ = 0.50 kengyelekhez, ζ = 0.75 kengyelek+ferde acélbetétek esetén (mint most), ζ = 1.00, ha csak ferde acélbetétek vannak, z ≈ 0,9d = 0,9*532 = 478,8 mm, a belső erők karja,
υ = 0,6(1 –
) = 0,6(1 –
) = 0,552 .
Mivel
VRd,max = 1054,5 kN > VEd = 610 kN, a keresztmetszet betonméretei bőven megfelelnek és a betonminőség is megfelel. A keresztmetszet nyírásra bevasalható.
168
4. A nyírási vasalás teherbírásának tervezési(d) értéke VRd,s = Σz
Ny6
(1+cotα)sinα. (v.ö. MSZ 15022/1-86)
Itt
z ≈ 0,9 d =0,9*532=478,8 mm, a belső erők karja, B 500: fyd = fywd = 435 Nmm-2,
ss = ss1 =200 mm:
a nyírási kengyelek távolsága a gerenda hossztengelye mentén, Asw,s = 314,15 mm2, Ny3. oldal αs = 90o: a nyírási kengyelek tengelye és a gerendatengely által bezárt szög,
sb = sb1 = 420 mm:
a ferde acélbetétek távolsága a gerenda hossztengelye mentén, Asw,b = 461,8 mm2, Ny3. oldal αb = 45o: a ferde acélbetétek tengelye és a gerendatengely által bezárt szög, αb = 45o ss1=ss2
elméleti befogás
nyírási kengyelek, αs = 90o, 2Ø10/200 ssi ss7
ferde acélbetétek sb1
sb2
sb3 Itt ellenőrzünk.
[kN]
Általában a VEd redukciója is lehetséges.
VEd VRd
[kN]
610,0 651,1 A VRd,s teherbírási érték 2 részből tevődik össze (kengyelek+ferde acélbetétek): A kengyelek teherbírása:
VRd,s,s =
(1+0)1,0*10-3 = 327,2 kN > 323,9 kN,
A ferde acélbetétek teherbírása:
VRd,s,b =
(1+1,0)0,7071*10-3 = 323,9 kN,
Az összesített acélteherbírás: VRd,s = VRd,s,s + VRd,s,b = 327,2 + 323,9 = 651,1 kN. Teljesül a VRd,s,s = 327,2 kN ≥ 0,5VRd,s = 325,5 kN követelmény is.
169
5. A nyírási teherbírás VRd tervezési(d) értéke
VRd = max(VRd,c;VRd,s),
VRd = max(137,2; 651,1) = 651,1 kN.
Kielégül az alábbi egyenlőtlenség is:
VRd,c = 137,2 kN < VRd = 651,1 kN < VRd,max = 1054,5 kN .
6. ELLENŐRZÉS
VRd = 651,1 kN > VEd = 610,0 kN. Tehát megfelel nyírásra.
170
Ny7
Cs1
CSAVARÁS
Adott a mellékelt ábrán vázolt tisztán csavart(nyíróerő: V=0), derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági adataival. a keresztmetszet tiszta csavarási(t,T,T) teherbírásának(R) TRd tervezési(d) értéke és megfelel-e a keresztmetszet tiszta csavarásra?
FELADAT:
mekkora
1. ALAPADATOK TEd = 47,0 kNm S500
C20/25
fyk = 500 Nmm-2 fcd = 13,3 Nmm-2 fyd = 435 Nmm-2 fctd = 1,0 Nmm-2 ξco = 0,493
FIGYELEM! torsion(al) A csavarási(t,T,T) vasalás(s:steel)minden egyéb vasaláson felüli (nyírás,
fctm = 2,2 Nmm-2
ξco' = 2,11
Es = 200 kNmm-2 Ecm = 30,0 kNmm-2
εuk = 25‰
φ = 2,55.
Légköri klórszennyeződésnek kitett felületről van szó. Betonfedés: cmin,dur = 35 mm. Kengyelátmérő:
külp. nyomás)!
at = 40: a kengyeltengelyig l: longitudinal csavarási(t) hosszvasalás(l) 10Ø10: Asl,t = 785,4 mm2
10 mm.
h=600 csavarási(t) kengyel(s) Ø10/200
sts = 200 mm: a csavarási(t) kengyelek(s)
távolsága a gerenda hossztengelye mentén. 1 szár(!) csavarási(t) kengyel(s):Asw,s,t =78,5 mm2. t: torsion(al)=csavarás(i) s: steel s: stirrup
171
b = bw = 400
Csavarási(t,T,T) alapfogalmak:
TEd:
Cs2
a csavarónyomaték tervezési(d) értéke.
TRd,c: alsó korlát csavarásra; a „beton” csavarási teherbírása. TRd: a csavarási teherbírás(R) tervezési(d) értéke (acél). TRd,max: felső korlát csavarásra; a ferde nyomott beton rácsrudak teherbírása. nyírási kengyelek (α=90o) α
ss
sts csavarási(t,T,T) kengyelek(s) (α=90o) Øts
bw sb
ferde nyírási acélbetétek
Ez a rajz a hajlítás−külpontos nyomás + nyírás +csavarás(t,T,T) vasalását szemlélteti. Ebben a számpéldában csak a tiszta csavarással foglalkozunk (nyíróerő: V=0).
h Øts/sts
Asl,t : a csavarási(t,T,T) hosszvasalás(l) összesített keresztmetszeti területe hajlítási–külpontos nyomási – – (nyírási) hosszvasalás
2. A „beton” csavarási(t,T,T) teherbírása(R); alsó korlát Ha TEd < Trd,c, akkor elvileg nem kell méretezett csavarási vasalás. De minimális nyírási-csavarási vasalás szükséges. A „beton” csavarási(t,T,T) teherbírása(R):
TRd,c = 2Akfctdtef = 2*0,13440*1000*0,12 = 32,2 kNm, TRd,c = 32,2 kNm < TEd = 47,0 kNm, ezért szükséges méretezett csavarási vasalás.
172
Keresztmetszeti jellemzők:
Cs3 2
A = hbw = 0,600*0,400 = 0,2400 m , u = 2(h+bw) = 2(0,600+0,400) = 2,0000 m, at = 40: a kengyeltengelyig t = A/u = 0,1200 m, tef = max(t; 2at) = max(0,12; 0,080) = 0,12 m. csavarási hosszvasalás tef tef Asl,t = 785,4 mm2 (10Ø10)
tef hk= = h−tef = 480
helyettesítő keresztmetszet
h=600 csavarási kengyel Ø10/200
Asw,s,t =78,5 mm2 1 szár!
bk=bw−tef =280
bw = 400
A középvonalak által bezárt téglalap Ak területe és uk kerülete: Ak = bkhk = 0,280*0,480 = 0,1344 m2, uk = 2(hk+bk) = 2(0,480+0,280) = 1,5200 m.
3. A ferde nyomott rácsrudak csavarási teherbírása; felső korlát Ugyanúgy, mint a nyírásnál a ferde repedés, illetve a nyomott rácsrudak hajlásszögét a vízszinteshez θ = 45o –ra vesszük fel.
TRd,max = 2νfcdAktefsinθcosθ= 2*0,5520*13300*0,1344*0,120*0,5 TRd,max = 118,4 kNm. Itt ν a beton hatékonysági tényező:
ν = 0,6(1 −
) = 0,6(1 −
) = 0,5520.
Mivel
TRd,max = 118,4 kNm > TEd = 47,0 kNm, a keresztmetszet betonméretei bőven megfelelnek és a betonminőség is megfelel. A keresztmetszet csavarásra bevasalható.
173
Cs4 644 4. A csavarási(t,T,T) vasalás(s) teherbírásának(R) tervezési(d) 4értéke Csavarási(t,T,T) teherbírás(R) a kengyelezésből(s: stirrup):
Ak = 0,1344 m2: a helyettesítő keresztmetszet területe (középvonal), sts = 200 mm:
a csavarási kengyelek távolsága a gerenda hossztengelye mentén, 1 Ø10 mm-es csavarási(t,T,T) kengyel(s: stirrup): Asw,s,t = 78,5 mm2. -2
B 500: fyd = fywd = 435 Nmm ,
TRd,s,s = 2Ak
steel stirrup
cotθ = 2*0,1344
1,0 = 45,9 kNm.
Csavarási(t,T,T) vasalási(s) teherbírás(R) a hosszvasalásból (l: longitudinal):
uk = 1,5200 m: a helyettesítő keresztmetszet kerülete (középvonal), 10 Ø10mm-es hosszvas: Asl,t = 785,4 mm2.
TRd,s,l = 2Ak
= 2*0,1344
= 60,4 kNm.
A tényleges csavarási(t,T,T) vasalási(s) teherbírás(R) a kettő közül a kisebbik: TRd,s = min(TRd,s,s; TRd,s,l) = min (45,9 ; 60,4) = 45,9 kNm.
5. A csavarási(t,T,T) teherbírás(R) TRd tervezési(d) értéke TRd = max(TRd,c;TRd,s) = max(32,2; 45,9) = 45,9 kNm. Kielégül az alábbi egyenlőtlenség is:
TRd,c = 32,2 kNm < TRd = 45,9 kNm < TRd,max = 118,4 kNm .
6. ELLENŐRZÉS TRd = 45,9 kNm < TEd = 47,0 kNm. Tehát nem felel meg csavarásra.
174
CSAVARÁS + NYÍRÁS
CsNy1
Adott a mellékelt ábrán vázolt csavart + nyírt, derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági adataival.
FELADAT: megfelel-e a keresztmetszet csavarásra és egyidejű nyírásra?
1. ALAPADATOK L. a CSAVARÁS és a NYÍRÁS számpéldánál. Az onnan átvett teherbírásokat a következő oldalon adjuk meg. TEd = 47,0 kNm
VEd = 610,0 kN A csavarási kengyelezésen és a csavarási hosszvasaláson felül külön nyírási vasalás szükséges: nyírási kengyelek, ferde acélbetétek.
csavarási hosszvasalás
Asl,t = 785,4 mm2 (10Ø10)
A TRd csavarási teherbírás h=600 (határnyomaték) meghatározáØ10/200 sakor a kétféle kengyel csavarási kengyel teherbírását(keresztmetszeti teAsw,s,t = rületét) nem összegezhetjük! = 78,5 mm2 L. a CSAVARÁS és a 1 szár! NYÍRÁS számpéldát.
b = bw = 400 αb
nyírási kengyelek: 2*Ø10/200 ss=200 sts=200 2*2 szár Ny1. oldal
sb
ferde acélbetétek: 3db Ø14 nyírásra
175
CsNy2
2. ELLENŐRZÉS
A CSAVARÁS és a NYÍRÁS számpéldánál meghatározott külső igénybevételeket (VEd, TEd) és teherbírásokat így foglaltuk össze:
VEd= VRd,c= VRd= VRd,max= TEd: TRd,c: TRd: TRd,max:
610,0 kN, a nyíróerő tervezési(d) értéke. 137,2 kN, alsó korlát nyírásra. 651,1 kN, a nyírási teherbírás(R) tervezési(d) értéke (acél). 1054,5 kN, felső korlát nyírásra. 47,0 kNm, a csavarónyomaték tervezési(d) értéke. 32,2 kNm, alsó korlát csavarásra. 45,9 kNm, a csavarási teherbírás(R) tervezési(d) értéke(acél). 118,4 kNm, felső korlát csavarásra.
Méretezett vasalás nélkül(tehát minimális vasalással) megfelel a keresztmetszet, ha teljesül az alábbi feltétel:
Esetünkben:
+
≤ 1.
+
= 5,91 > 1.
Tehát szükség van méretezett vasalásra. Megfelel a keresztmetszet csavarás és nyírás együttességére, ha teljesül az alábbi 2 egyenlőtlenség (külön-külön): VRd ≥ VEd, TRd ≥ TEd. Esetünkben: 651,1 kN > 610,0 kN, 45,9 kNm < 47,0 kNm. Tehát nem felel meg a vasalás. A csavarási vasalást kissé meg kell erősíteni. Teljesülnie kell az alábbi egyenlőtlenségnek is:
+ Esetünkben:
≤ 1. = 0,975 < 1, tehát a
+
betonméretek megfelelnek, illetve a betonminőség is jó.
176
KÜLPONTOS NYOMÁS
KNY1/1
KNY1. Számpélda: eEd = ? Adott a mellékelt ábrán vázolt külpontosan nyomott, derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági adataival. A normálerő tervezési(d) értéke: NEd = 1440,0 kN. Az egyidejű hajlítónyomaték elsőrendű elmélet(o) szerinti tervezési(d) értéke: MEdo = 67,7 kNm.
FELADAT: mekkora a külpontosság eEd tervezési(d) értéke?
1. ALAPADATOK NEd = 1440,0 kN S500
C20/25
MEdo = 67,7 kNm
fyk = 500 Nmm-2 fcd = 13,3 Nmm-2 fyd = 435 Nmm-2 fctd = 1,0 Nmm-2 ξco = 0,493
vízszintes eltolódási rugó
fctm = 2,2 Nmm-2
ξco' = 2,11
Es = 200 kNmm-2 Ecm = 30,0 kNmm-2
l = lcol = 4,30 m
εuk = 25‰
a helyettesítő
φ = 2,55.
Légköri klórszennyeződésnek kitett felületről van szó. Betonfedés: cmin,dur = 35 mm. Kengyelátmérő: 6 mm.
kihajlási hossz: lo = 5,20 m rugalmas befogás hajlításra
Δcdev (elhelyezési bizonytalanság): 10 mm. kitett fel etonfedés : acélbetétek cmin,dur = 35 mm. Az egyoldali helye: Kengyelátmérő: 10 mm. 1 sor acélbetét van; 2 db Ø18: (elhelyezési bizonytalanság): 10 mm. a = 35+6+18/2+10 = 60 mm.
d2=60 2
As2 = 509,0 mm h= =400
d =340
As1 = 509,0 mm2
A d1 = d hatékony magasság: d = h – a = 400–60 = 340 mm.
a=60 b = 400
177
Először a minimális vasalás meglétét ellenőrizzük le:
KNY1/2
As,min = 0,1NEd /fyd = 0,1*1440,0*103/435 = 331,0 mm2, As,min = 0,003bh = 0,003*400*400 = 480,0 mm2 > 331,0 mm2. A teljes acélbetét keresztmetszet:
As1+As2 = As = 1018,0 mm2. Mivel As >> As,min, a keresztmetszet nem gyengén vasalt. 2
2
Megjegyzés: As,max = 0,04bh = 0,04*400*400 = 6400 mm >> As = 1018,0 mm .
2. Az elsőrendű elmélet szerinti eo alapkülpontosság A rudat terhelő hajlítónyomatékot a rúd hossza mentén állandónak tekintjük, ezért a megadott MEdo nyomatékkal számolhatunk:
eo = MEdo/NEd = 67,7/1440,0*103 = 47,0 mm. eo > max(20, h/30) = 20 mm.
3. A véletlen jellegű geometriai eltérésekből származó ea külpontosság[-növekmény]
Mivel 4,0 m < l = 4,30 m < 9 m
ea =
lo =
lo = 0,002411lo = 12,5 mm,
ahol
β=
√
=
= 0,4822 < 1.0,
√ l = 4,30 m a rúd/oszlop tényleges hossza,
lo = 5,20 m: a helyettesítő kihajlási hossz.
178
KNY1/3
4. A másodrendű/2. rendű hatásokból származó e2 külpontosság[növekmény] tervezési(d) értéke
435 = fyd
σs1 = fyd
Es=200 kNmm-2
13,3=fcd
betonacél (húzott, nyomott)
beton
a szakadónyúlás karakt. értéke
εsy=2,175‰
εs1
εuk=25‰
εcp=0,7‰
εcu=3,5‰
tervezési(d) érték: εud = ζεuk, ζ=1
εyd =
= 2,1750 ‰.
=
Az alapgörbület: = 4,83333*10-3 .
=
A K= KrKφ mennyiség számítása a teherbírási vonal jellegzetes értékei segítségével: Nbal ≈ b(ξcod)fcd = 400(0,493*340)13,3*10-3 = 891,7 kN, Nud = Acdfcd + Asσs = 400*400*13,3*10-3 + 2*509,0*400*10-3, Nud = 2128,0 + 407,2 = 2535,2 kN.
KA = Nud – NEd = 2535,2 – 1440,0 = 1095,2 kN, KB = Nud – Nbal = 2535,2 – 891,7 = 1643,5 kN, Kr = KA/KB = 0,66638 < 1.
Ebben a pontban:
Nud σs ≤ 400 Nmm-2 NEd Nbal
Kφ = 1 + βφ = 1 + 0,1498*2,55 = 1,3819 > 1, ahol β = 0,35 +
λ=
–
=
= 0,35 +
–
= 0.1498;
= 45,03.
balance(d)
√
K = Kr Kφ = 0,66638*1,3820 = 0,92093.
179
M
A görbület: =K
KNY1/4
= 0,92093*4,83333*10-3
= 1,3091*10-5 [mm-1].
A 2. rendű hatásokból származó e2 külpontosság[-növekmény]: 2
e2 = [ ] = 1,3091*10-5
]2 = 35,9 mm.
5. A külpontosság eEd tervezési(d) értéke A külpontosság eEd tervezési(d) értéke ■az elsőrendű/1. rendű elmélet szerinti eo alapkülpontosság, ■az ea véletlen jellegű geometriai külpontosság[-növekmény] , ■valamint a másodrendű/2. rendű hatásokat is figyelembe vevő e2 külpontosság[-növekmény] összege:
eEd = eo + ea + e2 = 47,0 + 12,5 + 35,9 = 95,4 mm.
eo =
NEd
eEd
eo
e2 ea eo
MEdo
terv szerinti alak véletlen eltérés terhelt alak
A kerm. inhomogenitása miatt nincs külpontosság.
180
KÜLPONTOS NYOMÁS
KNY2/1
KNY2. Számpélda: eRd = ? MRd = ? ELLENŐRZÉS Adott a mellékelt ábrán vázolt külpontosan nyomott, derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági adataival. A normálerő tervezési(d) értéke: NEd = 1440,0 kN. Az előző KNY1. Számpélda szerint a külpontosság eEd tervezési(d) értéke: eEd = 95,4 mm. Az egyidejű hajlítónyomaték tervezési(d) értéke: MEd = NEdeEd = 137,4 kNm.
FELADAT: ■ mekkora a teherbírási külpontosság eRd tervezési(d) értéke? ■ mekkora a nyomatéki teherbírás MRd tervezési(d) értéke?
1. ALAPADATOK NEd = 1440,0 kN S500
C20/25 -2
fyk = 500 Nmm
MEd = 137,4 kNm
-2
fcd = 13,3 Nmm
fyd = 435 Nmm-2 fctd = 1,0 Nmm-2 ξco = 0,493
vízszintes eltolódási rugó
fctm = 2,2 Nmm-2
ξco' = 2,11
Es = 200 kNmm-2 Ecm = 30,0 kNmm-2
l = lcol = 4,30 m
εuk = 25‰
a helyettesítő
φ = 2,55.
Légköri klórszennyeződésnek kitett felületről van szó. Betonfedés: cmin,dur = 35 mm.
rugalmas befogás hajlításra
d2=60
Kengyelátmérő: 6 mm.
Δcdev (elhelyezési bizonytalanság): 10 fel mm. klórszennyeződésnek kitett edés cmin,dur = 35 mm. Az:egyoldali acélbetétek helye: átmérő: 10 mm. 1 sor acélbetét van; 2 db Ø18: a = 35+6+18/2+10 = 60: mm (elhelyezési bizonytalanság) 10. mm.
kihajlási hossz: lo = 5,20 m
2
As2=509,0mm h= =400
d =340
As1 = 509,0 mm2 a=60
A d1 = d hatékony magasság: d = h – a = 400–60 = 340 mm.
b = 400
181
KNY2/2
2. Az egyensúlyi egyenletek b = 400
As2
NEd = 1440,0
b = 400 geometriai középpont d2=60 2
xc eRd = ?
As2 = 509,0 mm
0 h = 400
As1
h/2= 200
d =340
As1 = 509,0 mm2
20022
a=60
NEd = 1440,0 geometriai középpont
As2
fcd Ns2
d2=60
xc eRd = ? h/2= 200
Nc
d =340
0
ds=
zc
h = 400
ds=
zc
280
As1
280
Ns1 a=60
A vetületi egyenlet és az Ns1-re (húzott vasalás) felírt nyomatéki egyenlet:
NEd = Nc + Ns2 − Ns1 NEd(eRd + [h/2–a]) = Nczc + Ns2ds
eRd
(N1), (N2).
3. Az xc feszültségi semleges tengely helyzete Tételezzük fel, hogy mind a nyomott, mind a húzott acélbetétek megfolynak:
Nc = bxcfcd = 400*xc*13,3 = 5320xc, Ns2 = As2fyd = 509,0*435 = 221 415, Ns1 = As1σs1 = 509*435 = 221 415.
(N1): NEd = Nc + Ns2 − Ns1.
182
(N1): NEd = Nc + Ns2 − Ns1, 3 1440*10 = 5320xc + 221 415 − 221 415 = 5320xc.
KNY2/3
Innen az xc feszültségi semleges tengely ξc = xc/d = xc/340 paramétere: ξc = xc/d = xc/340 = 1440*103/(5320*340) = 0,796 > ξco = 0.493, tehát a feltételezettel ellentétben az erőtől távolabbi, azaz most húzott acélbetétek nem folynak meg. Most az (N1) egyenletbe, az Ns1–nél, a σs1 helyébe a már a tiszta hajlításnál is megismert redukciós képletet helyettesítjük be (σs1 < fyd ): Nc = bxcfcd = 400xc13,3 = 5320xc = 5320(ξcd) = (5320*340)ξc = 1 808 800ξc,
Ns2 = As2fyd = 509*435 = 221 415, Ns1 = As1σs1= 509[
–700]. σs1
1 440 000 = 1 808 800ξc + 221 415 – 509[
–700]
1 440 000 = 1 808 800ξc + 221 415 − 285 040/ξc + 356 300, 1 440 000ξc = 1 808 800ξc2 + 221 415ξc − 285 040 + 356 300ξc, 1 808 800ξc2 − 862 285ξc − 285 040 = 0, ξc2 − 0,476717ξc − 0,157585 = 0,
ξc
√
= 0,70139.
Ebből a semleges tengely helyzete:
xc = 0,70139*340 = 238,5 mm. A beton nyomóerő karja: zc = d − xc/2 = 340 −238,5/2 = 220,7 mm.
εcu=3,5‰
1,25xc=298,1
ε
A húzófeszültség nagysága: σs1 = 560/ξc –700 = 560/0,70139 –700 = 98,4 Nmm-2 << fyd = 435 Nmm-2. Az acélnyúlás: εs1 = σs1/Es = 98,4/200 = 0,4920‰. A hajlítási feladatnál látott módon felrajzolva az ε ábrát, ezt a nyúlásértéket kapjuk (kontroll).
183
4. Az (N1) vetületi egyenlet ellenőrzése Most tagonként meghatározzuk a belső erőket: Nc = bxcfcd = 400*238,5*13,3*10-3 = Ns2 = As2fyd = 509*435*10-3 = Ns1 = As1σs = 509*98,4*10
-3
KNY2/4
1268,8 kN, 221,4 kN,
=
50,1 kN.
Kontroll: (N1): NEd = Nc + Ns2 − Ns1 1268,8 + 221,4 − 50,1 = 1440,1 kN ≈ NEd = 1440,0 kN. Tehát a kapott ξc érték helyes.
5. Az eRd teherbírási külpontosság meghatározása (N2): NEd(eRd + [h/2–a]) = Nczc + Ns2ds
eRd
(N2): 1440,0(eRd + [0,400/2–0,060]) = 1268,8*0,2207 + 221,4*0,280 = 342,0. Ebből az eRd teherbírási külpontosság értéke egyszerűen adódik:
eRd = 342,0/1440,0 − 0,140 = 0,0975 m = 97,5 mm. A nyomatéki teherbírás MRd tervezési értéke(d): MRd = NEdeRd = 1440,0*0,0975 = 140,4 kNm.
6. ELLENŐRZÉS MRd = 140,4 kNm > MEd = 137,4 kNm. Tehát megfelel külpontos nyomásra.
184
REPEDÉSKORLÁTOZÁS. ELLENŐRZÉS leff
1. ALAPADATOK S500
R1
Nyomaték állandó teherből: MG = 440,0 kNm.
C20/25
fyk = 500 Nmm-2 fcd = 13,3 Nmm-2 fyd = 435 Nmm-2 fctd = 1,0 Nmm-2 ξco = 0,493
fctm = 2,2 Nmm-2
ξco' = 2,11
Mser MQ = 347,0 kNm
Es = 200 kNmm-2 Ecm = 30,0 kNmm-2
εuk = 25‰
φ = 2,55.
Nyomaték kvázi-állandó hatáskombinációból. Egyidejűségi tényező: ψ2 = 0,60. Mser = MG + ψ2MQ = = 440,0 + 0,60*347,0 = = 648,2 kNm.
Légköri klórszennyeződésnek kitett felületről van szó. Betonfedés: cmin,dur = 35 mm. Kengyelátmérő: 10 mm.
Δcdev (elhelyezési bizonytalanság): 0 mm.
MQ: nyomaték esetleges/hasznos teherből.
A nyomott acélbetétek helye: gköri klórszennyeződésnek kitett fel 1 sor acélbetét 4 db Ø16: tonfedés : cvan; min,dur = 35 mm. d2 = 35+10+16/2+0 = 53 mm . ngyelátmérő: 10 mm. h= velhelyezési bizonytalanság): 10 mm. A húzott acélbetétek helye: =800 1 sor acélbetét van; 8 db Ø25: a = 35+10+25/2+0 = 58 mm. zott acélbetétek helye: A acélbetét d1 = d hatékony magasság: sor van; 8 db Ø25: = h – a = 800–58 = 742 =d35+10+25/2+10 = 68 mm.mm.
d2=53
As2 = 804,25 mm2 d= 742 As1 = 3927,0 mm2
b = 1000
185
a=58
R2 Adott az ábrán látható tisztán hajlított, derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági adataival.
FELADAT:
●a repedéstágasság korlátozása.
Először a repedéskorlátozási minimális vasalás meglétét ellenőrizzük le:
As,min,r = kck(Act)fctm/σs= 0,40*0,65*(0,5bd)2,2/500 = 0,000572bd= = 424,4 mm2. Tiszta hajlítás esetén kc = 0,40. A gátolt alakváltozások, a sajátfeszültségek hatása, h ≥ 800 mm esetén: k = 0,65. Act ≈ 0,5bd = 0,5*1000*742 = 371 000 mm2. És σs ≈ fyk = 500 Nmm-2. A teljes húzott acélbetét keresztmetszet: As = As1 = 3927,0 mm2. Mivel As >> As,min,r , a keresztmetszet nem gyengén vasalt repedéskorlátozásra. Megjegyezzük, hogy a teherbírási minimális acélbetét mennyiség:
As,min = 0,0015bd = 1113 mm2. As = As1 = 3927,0 mm2 >> As,min; tehát a keresztmetszet nem gyengén vasalt teherbírásra. Ez az ellenőrzés arra is rámutat, hogy az As,min,r repedéskorlátozási minimális vasalás egyáltalában nem mértékadó.
2. IGÉNYBEVÉTELEK HASZNÁLHATÓSÁGI(ser) = = REPEDEZETTSÉGI HATÁRÁLLAPOTBAN Nyomatéki igénybevételek: állandó teherből: MG = 440,0 kNm, esetleges teherből: MQ = 347,0 kNm.
ψ2 = 0,60.
Egyidejűségi tényező (középület):
Nyomaték kvázi-állandó hatáskombinációból: Mser = MG + ψ2MQ = 440,0 + 0,60*347,0 = 648,2 kNm.
186
R3
3. A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK
3.1. Keresztmetszeti jellemzők repedésmentes állapotban (I. fesz. állapot) . A rugalmassági/alakváltozási tényezők aránya:
αe =
=
=
= 200/8,45 = 23,6667.
Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiI = bh + (αe−1)As1 + (αe−1)As2 = = 1000*800 + (23,6667−1)3927,0 + (23,6667−1)804,25 = = 8,0000*105 + 8,9012*104 + 1,8229*104 = 9,0724*105 mm2. Statikai nyomaték a felső (nyomott) szélső szálra: SiIt = =
+ (αe−1)As1d + (αe−1)As2d2 = + (23,6667−1)3927,0*742 + (23,6667−1)804,25*53=
= 3,87013*108 mm3.
As2 d2=53 d=742
xiI A semleges tengely helyzete: h=800 xiI =
xiI
= 426,6 mm. As1 b=1000
A tehetetlenségi nyomaték az xiI tengelyre: IiI = =
+ bh( −xiI)2 + (αe−1)As1[d−xiI]2 + (αe−1)As2[xiI−d2]2= + 1000*800(
−426,6)2 +
+ (23,6667−1)3927,0[742−426,6]2 + (23,6667−1)804,25[426,6–53]2 = = 5,46318*1010 mm4.
187
3.2. Keresztmetszeti jellemzők berepedt állapotban (II. fesz. állapot).
R4
Statikai nyomaték az xiII semleges tengelyre: SxiII =
+ (αe–1)As2(xiII−d2) − αeAs1(d−xiII) = 0, + (23,6667–1)804,25(xiII –53) − 23,6667*3927,0(742−xiII) = 0,
xiII2 + 222,3xiII − 139854 = 0. As2
d2=53 xiII h=800
d=742
As1 b =1000
A semleges tengely helyzete: xiII =
√
xiII
,
xiII = 279,0 mm. Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiII = bxiII + (αe–1)As2 + αeAs1 = =1000*279,0 + (23,6667–1)804,25 + 23,6667*3927,0 = 3,90144*105 mm2. A tehetetlenségi nyomaték az xiII tengelyre: IiII = =
+ (αe –1)As2 [xiII – d2]2 + αe As1[d−xiII]2 = +
+ (23,6667–1)*804,25[279,0−53]2 + 23,6667*3927,0[742–279,0]2= = 2,80935*1010 mm4. (= 0,65844bh3/12)
188
R5
4. A REPEDÉSTÁGASSÁG karakterisztikus értéke. ELLENŐRZÉS
4.1. SEGÉDMENNYISÉGEK 4.1.1. A hatékony húzott betonkeresztmetszet Az Ac,eff = hc,eff*b hatékony húzott betonkeresztmetszet nagysága: 2,5(h−d) = 2,5(800−742) = hc,eff = min (h−xiII)/3 = (800−279,0)/3 = h/2 = 800/2 =
145 mm 173,67 mm, 400 mm.
hc,eff = 145 mm,
Ac,eff = hc,eff*b = 145*1000 = 145 000 mm2. 4.1.2. A σsII acél húzófeszültség
σs = σsII: a húzott acélbetétekben fellépő feszültség (II. fesz. állapot): σsII =
𝛂
(742–279,0) = 252,8 Nmm-2.
(d–xiII) =
4.1.3. Az εsm nyúlás Az εsm mennyiség a húzott betonacél átlagos (mean) nyúlása a repedések között, a berepedt, húzott betonzóna merevítő hatásának egyik részét is figyelembe véve (ez a második tag):
εsm =
– ktfctm
– 0,4*2,2*
=
,
εsm = 1,2642*10-3 – 0,1625 *10-3 = 1,1017*10-3 = 1,1017 ‰. ●A kvázi-állandó teher tartós, tehát: kt = 0,40; ●fctm = 2,2 Nmm-2, a beton húzószilárdságának (t) várható értéke (átlagértéke).
189
R6
4.1.4. A repedések sr,max maximális távolsága A repedéstágasság karakterisztikus(k) értéke: wk = sr,max(εsm − εcm).
Mser
Itt sr,max a repedések maximális távolsága. wk tv ≤ tm = 5(c + Ø/2) = 287,5 mm esetén (mint most):
sr,max = 3,4c + 0,425k1k2 ahol
Ø
Vasalás: 8Ø25 tv = 126 mm
Mser
c wk sr,max
A vastengelyben! Azért maximális, mert ennél nagyobb sr-nél közbenső repedés alakulna ki.
,
kengyel
c = 35+10 = 45 mm: a betonfedés a húzott acélbetéteken, k1 = 0,8 bordás acélbetéteknél, k2 = 0,5 hajlításnál, Ø = 25 mm: a húzott acélbetétek átmérője,
ρeff =
= 0,027083, a fajlagos betonacél hányad.
=
sr,max = 3,4*45 + 0,425*0,8*0,5*
= 153 + 156,9 = 309,9 mm.
Figyelem! Amennyiben tv > tm = 5(c + Ø/2), akkor sr,max = 1,3(h – xiII).
4.1.5. Az εcm nyúlás Az εcm mennyiség a húzott beton átlagos (m) nyúlása a repedések között:
εcm = Ec,eff =
εcm =
,
= 8450 Nmm-2 , (kúszás) = 0,10414*10-3.
190
4.2. A REPEDÉSTÁGASSÁG wk karakterisztikus (k) értéke. ELLENŐRZÉS wk = sr,maxεsc,m,
Mser
R7
Mser
ahol εsc,m = εsm − εcm = -3 -3 -3 = 1,1017*10 − 0,10414*10 = 0,9976*10 . wk -3 wk = sr,maxεsc,m = 309,9*0,9976*10 = 0,309 mm,
wk sr,max A vastengelyben!
wk = 0,309 mm > wkl = 0,30 mm.
A wk repedéstágasság kissé nagyobb, mint a wkl határérték, tehát elvileg nem felel meg. A vasalás kissé növelendő. A berepedt, húzott betonzóna merevítő hatásának közelítése ( ζ ): 1.) A repesztőnyomaték: Mcr = fctm
–
= 2,2
*10-6 = 321,88 kNm.
–
2.) Acélfeszültség a repesztőnyomatékból:
σscr =
𝛂
(742–279,0) = 125,5 Nmm-2.
(d–xiII) =
3.) A húzott betonzóna merevítő hatását kifejező ζ tényező:
ζ = 1 – β[
2
]2 = 0,8767,
] = 1 – 0,5[
β = 1,0 egyszeri, rövid idejű tehernél, β = 0,5 tartós vagy ismétlődő tehernél. A kvázi-állandó teher tartós. Ez a tényező tulajdonképpen az ahol
εsc,m ≈ ζεsII összefüggésnek felel meg. Esetünkben εsII = szerint (l. fenn )
= 252,8/200*10-3 = 1,2642*10-3 , és a pontos számítás
εsc,m = 0,9976*10-3 = 0,789*1,2642*10-3 .
Mivel 0,9ζ = 0,9*0,8767 = 0,789, a ζ tényező kb. 10% pontossággal közelít.
191
F1
FESZÜLTSÉGKORLÁTOZÁS. ELLENŐRZÉS 1. ALAPADATOK S500
Nyomaték állandó teherből:MG = 440,0 kNm.
C20/25
fyk = 500 Nmm-2 fcd = 13,3 Nmm-2 fyd = 435 Nmm-2 fctd = 1,0 Nmm-2 ξco = 0,493
fctm = 2,2 Nmm-2
Mser MQ = 347,0 kNm. leff
ξco' = 2,11
Es = 200 kNmm-2 Ecm = 30,0 kNmm-2
εuk = 25‰
MQ: nyomaték esetleges//hasznos
φ = 2,55.
teherből.
Nyomaték kvázi-állandó hatáskombinációból. Egyidejűségi tényező: ψ2 = 0,60. Mser = MG + ψ2MQ = = 440,0 + 0,60*347,0 = = 648,2 kNm.
Légköri klórszennyeződésnek kitett felületről van szó. Betonfedés: cmin,dur = 35 mm. Kengyelátmérő: 10 mm.
Δcdev (elhelyezési bizonytalanság): 0 mm. A nyomott acélbetétek helye: köri klórszennyeződésnek kitett fel onfedés: cmin,dur = 35 mm. 1 sor acélbetét van; 4 db Ø16: yelátmérő: 10 mm. d = 35+ 10 +16/2+0 = 53 mmmm . . h= 2 (elhelyezési bizonytalanság): 10 =800 A húzott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 8 db Ø25: a = 35+10+25/2+0 = 58 mm. zott acélbetétek helye: r acélbetét van; 8 db Ø25: A d1 = d hatékony magasság: 10+25/2+10 = 68 mm. d = h – a = 800–58 = 742 mm. A nyomott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 4 db Ø16: d2 = 35+10+16/2+0 = 53 mm.
192
d2=53
As2 = 804,25 mm2 d= 742 As1 = 3927,0 mm2
b = 1000
a=58
F2 Adott a REPEDÉSKORLÁTOZÁS számpéldában vizsgált tisztán hajlított, derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági adataival, továbbá a keresztmetszeti jellemzőivel (ábra az előző oldalon). A rugalmassági/alakváltozási tényezők aránya:
αe =
=
=
= 200/8,45 = 23,6667.
I. feszültségi állapot (repedésmentes) Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiI = bh + (αe−1)As1 + (αe−1)As2 = 9,0724*105 mm2. xiI
d2=53 d=742
As2
A semleges tengely helyzete: h=800 xiI = 426,6 mm.
xiI
As1 b=1000
A tehetetlenségi nyomaték az xiI tengelyre: IiI =
+ bh( −xiI)2 + (αe−1)As1[d−xiI]2 + (αe−1)As2[xiI−d2]2= = 5,46318*1010 mm4.
II. feszültségi állapot (berepedt) xiII
As2
A semleges tengely helyzete: h=800 d=742 xiII =
√
,
d2= 53 xiII
As1
xiII = 279,0 mm.
b =1000
Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiII = bxiII + (αe–1)As2 + αeAs1 = 3,90144*105 mm2. A tehetetlenségi nyomaték az xiII tengelyre: IiII =
+ (αe –1)As2 [xiII – d2]2 + αe As1[d−xiII]2 = 2,80935*1010 mm4.
193
FELADAT:
●a szélső szálfeszültségek korlátozása.
F3
2. IGÉNYBEVÉTELEK HASZNÁLHATÓSÁGI(ser) HATÁRÁLLAPOTOKBAN Nyomatéki igénybevételek: állandó teherből: MG = 440,0 kNm, esetleges teherből: MQ = 347,0 kNm. Egyidejűségi tényező (középület):
ψ2 = 0,60.
Nyomaték kvázi-állandó hatáskombinációból: Mser = MG + ψ2MQ = 440,0 + 0,60*347,0 = 648,2 kNm. Nyomaték ritka/karakterisztikus hatáskombinációból: Mser = MG + MQ = 440,0 + 347,0 = 787,0 kNm.
3. A SZÉLSŐ SZÁLFESZÜLTSÉGEK KORLÁTOZÁSA. ELLENŐRZÉS
A feszültségkorlátozás definíciója Kvázi-állandó teherkombinációból(ez a leggyakoribb):
1.) A nyomott beton szélső szálfeszültségének a korlátozása(ρ=0,45): σc ≤ 0,45fck.
σc = σcII,u: a szélső, nyomott betonszálban fellépő feszültség (II. fesz. állapot):
σcII,u =
xiII =
279,0 =
σcII,u = 6,44 Nmm < 0,45fck = 0,45*20=
Megjegyzések fck: a beton(c) nyomószi-
lárdságának karakterisztikus(k) értéke. Az 1.) célja:
a kúszás hatásának a csökkentése, elsősorban a lehajlások (alakváltozások) korlátozása érdekében.
σcII,u
-2
= 9,0 Nmm-2.
Tehát megfelel.
Gyakori teherkomb.-ból:
Nincs feszültségkorlátozás.
194
xiII
Mser
Összehasonlításul −képzelt I. fesz. állapotban (ti. bereped)− beton(c) húzófeszültség az alsó(l) szélső szálban:
F4 Mser
xiI
σcI,l =
(h−xiI) =
(800−426,6)= -2
= 4,43 Nmm > fctm.
σcI,l
Megjegyzések
A feszültségkorlátozás definíciója Ritka/karakterisztikus teherkombinációból:
1.) A nyomott beton szélső szálfeszültségének a korlátozása(ρ=0,60): σc ≤ 0,60fck.
σc = σcII,u: a szélső, nyomott betonszálban fellépő
σcII,u =
feszültség (II. fesz. állapot):
xiII =
279,9 =
σcII,u = 7,82 Nmm-2 < 0,60fck = 0,60*20 =
nyomószilárdságának karakterisztikus (k) értéke.
fck: a beton(c)
Az 1.) célja: a nyomott betonzóna nagy nyomófeszültségei által előidézett keresztirányú húzásokból származó hosszirányú mikrorepedések korlátozása.
σcII,u
= 12,0 Nmm-2. Tehát megfelel.
Mser xiII
2.) A húzott acélbetétekben lévő feszültség korlátozása(λ=0,80): σs ≤ 0,80fyk.
d
σs = σsII: a szélső, húzott acélbetétekben fellépő σsII feszültség (II. fesz. állapot):
σsII = αe
(d−xiII) =
σsII = 23,6667
A 2.) célja: (742−279,0) =
σsII = 306,9 Nmm .
a nagy maradó (képlékeny) alakváltozások, korlátozása.
-2
0,80fyk = 0,80*500 = 400,0 Nmm-2,
repedések
fyk: a betonacél(s) folyásha-
σsII = 306,9 Nmm-2 < 0,80fyk = 400,0 Nmm-2.
tárának(y) karakterisz-
Tehát megfelel.
tikus(k) értéke.
195
LEHAJLÁSOK KORLÁTOZÁSA. ELLENŐRZÉS
L1
Adott a REPEDÉSKORLÁTOZÁS számpéldánál megadott tisztán hajlított, derékszögű négyszög alakú keresztmetszet, a teljes geometriájával és a szilárdsági, továbbá a keresztmetszeti adataival (köv. old.). ●a lehajlások korlátozása.
FELADAT:
1. ALAPADATOK S500
Légköri klórszennyeződésnek kitett felületről van szó. Betonfedés: cmin,dur = 35 mm.
C20/25
fyk = 500 Nmm-2 fcd = 13,3 Nmm-2
Kengyelátmérő: 10 mm.
fyd = 435 Nmm-2 fctd = 1,0 Nmm-2 ξco = 0,493
-2
fctm = 2,2 Nmm
ξco' = 2,11
Es = 200 kNmm-2 Ecm = 30,0 kNmm-2
εuk = 25‰
Δcdev (elhelyezési bizonytalanság): 0 mm. A nyomott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 4 db Ø16: d2 = 35+10+16/2+0 = 53 mm. A húzott acélbetétek helye: 1 sor acélbetét van; 8 db Ø25: a = 35+10+25/2+0 = 58 mm.
φ = 2,55.
A d1 = d hatékony magasság: d = h – a = 800–58 = 742 mm. A nyomott acélbetétek helye: d2=53 1 sor acélbetét van; 4 db Ø16: 2 d2 = 35+10+16/2+0 = 53 As2 = 804,25 mmmm. h = 800
d =742 As1 = 3927,0 mm2 a=58 b = 1000
196
L2 A rugalmassági/alakváltozási tényezők aránya:
αe =
=
=
= 200/8,45 = 23,6667.
I. feszültségi állapot (repedésmentes) Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiI = bh + (αe−1)As1 + (αe−1)As2 = 9,0724*105 mm2. xiI
d2=53 d=742
As2
A semleges tengely helyzete: h=800 xiI = 426,6 mm.
xiI
As1 b=1000
A tehetetlenségi nyomaték az xiI tengelyre: IiI =
+ bh( −xiI)2 + (αe−1)As1[d−xiI]2 + (αe−1)As2[xiI−d2]2= = 5,46318*1010 mm4.
II. feszültségi állapot (berepedt) xiII
As2
A semleges tengely helyzete: h=800 d=742 xiII =
√
,
d2= 53 xiII
As1
xiII = 279,0 mm.
b =1000
Az ideális/idealizált(i) keresztmetszeti terület: AiII = bxiII + (αe–1)As2 + αeAs1 = 3,90144*105 mm2. A tehetetlenségi nyomaték az xiII tengelyre: IiII =
+ (αe –1)As2 [xiII – d2]2 + αe As1[d−xiII]2 = 2,80935*1010 mm4.
197
Az alábbi részt a REPEDÉSKORLÁTOZÁS számpéldából vettük át.
L3
A berepedt, húzott betonzóna merevítő hatásának közelítése ( ζ ): 1.) A repesztőnyomaték: Mcr = fctm
–
= 2,2
*10-6 = 321,88 kNm.
–
2.) Acélfeszültség a repesztőnyomatékból:
σscr =
𝛂
-2
(d–xiII) =
(742–279,0) = 125,5 Nmm .
3.) A húzott betonzóna merevítő hatását kifejező ζ tényező:
ζ = 1 – β[
]2 = 1 – 0,5[
]2 = 0,8767,
ahol β = 1,0 egyszeri, rövid idejű tehernél, β = 0,5 tartós vagy ismétlődő tehernél. A kvázi-állandó teher tartós. Ez a ζ tényező tulajdonképpen az
εsc,m ≈ ζεsI összefüggésnek felel meg. I
Esetünkben εsII =
=
*10-3 = 1,2642*10-3 .
A pontos számítás szerint εsc,m = 0,9976*10-3 = 0,789*1,2642*10-3 . Mivel 0,9ζ = 0,9*0,8767 = 0,789, a ζ tényező kb. 10% pontossággal közelít. A lehajlást az alábbi terhelésű és fesztávolságú kéttámaszú tartón fogjuk meghatározni: Fser = 259,3 kN
l = leff = 10,0 m f Az Fser erő a kvázi-állandó hatáskombinációból származik: állandó teher + a hasznos teher ψ2 = 0,6-od része. L. a REPEDÉSKORLÁTOZÁS és a FESZÜLTSÉGKORLÁTOZÁS számpéldában. Esetünkben az egyszerűség kedvéért nyomatékképzési szempontból egyenértékű koncentrált teherrel dolgozunk (csak a lehajlási ellenőrzés szemléltetéséről van szó). F3. old.
A legnagyobb nyomaték: Mser = Fserleff/4 = 259,3*10,0/4 = 648,2 kNm.
198
2. A LEHAJLÁS karakterisztikus értéke ( fk ). ELLENŐRZÉS
L4
A beton hatékony rugalmassági tényezője (alakváltozási tényező):
Ec,eff =
-2
=
= 8450 Nmm , (kúszás)
A maximális lehajlás nagysága repedésmentes keresztmetszet alapulvételével (I. fesz. állapot):
f
fI =
=
= 11,7 mm.
A maximális lehajlás nagysága berepedt keresztmetszet alapulvételével (II. fesz. állapot):
f
fII =
=
= 22,8 mm.
A maximális lehajlás a berepedt, húzott betonzóna merevítő hatásának a figyelembevételével (ζ):
f = fk = (1 – ζ)fI + ζfII. Számszerűen: f = (1 – ζ)fI + ζfII = (1 – 0,8767)11,7 + 0,8767*22,8 = 1,44 + 20,0 ≈ 21,5 mm.
ELLENŐRZÉS: f = fk = 21,5 mm < fkl = Tehát megfelel.
= 40,0 mm.
a lehajlás határértéke
Megjegyzések: 1.) Esetünkben a ζ tényező lehajlást csökkentő hatása csekély. 2.) Ha a repedésmentes és a berepedt tartományokban változó EI hajlítómerevségű tartó alapulvételével számolnánk, jóval kisebb lehajlást kaphatnánk (numerikus integrálás).
199
