BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke
ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT Segédlet v1.14 Összeállította: Koris Kálmán
Budapest, 2009. szeptember 23.
Tartalomjegyzék 1. Adatok
2
1.1. Anyagok
2
1.2. Keresztmetszeti adatok
4
1.3. Statikai váz
4
1.4. Terhek
5
2. Mértékadó terhek és igénybevételek a különböző vizsgálati állapotokban
5
2.1. Vizsgálati állapotok
5
2.2. Mértékadó terhek
6
2.3. Mértékadó igénybevételek
7
3. Vasalás (lágyvasalás és feszítőbetétek) mennyiségének meghatározása
7
4. A tartó teherbírásának ellenőrzése
10
4.1. A keresztmetszet vasalása
10
4.2. Kezdeti állapot (feszítőerő ráengedésének pillanata) ellenőrzése
12
4.3. Feszítési feszültség veszteségek számítása
14
4.4. A nyomatéki teherbírás ellenőrzése
18
4.5. Nyírási vasalás tervezése
20
5. A tartó lehajlásának ellenőrzése
23
6. A tartóvég vizsgálata
28
-1-
1. Adatok 1.1. Anyagok Feszített vasbeton szerkezeteknél a nyomott zóna - a szerkezetbe vitt nyomóerőnek köszönhetően - nagyobb mértékben van kihasználva mint a nem feszített vasbeton tartók esetén, ez általában nagyobb szilárdsági osztályú betonok alkalmazását teszi szükségessé. Az előfeszített tartóknál alkalmazott legalacsonyabb szilárdsági osztály C30/37. Beton: C40/50 N
A nyomószilárdság karakterisztikus értéke: fck = 40
γc = 1.5
2
mm
A kedvezőtlen terhelési hatásokat figyelembe vevő tényező: A nyomószilárdság tervezési értéke:
fcd = α
α = 1
fck
fcd = 26.67
γc
N 2
mm
2
A húzószilárdság várható értéke: A rugalmassági modulus várható értéke:
fctm = 0.3 ⋅ fck
3
⎛ fck + 8 ⎞ E cm = 22⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠ Ecm
A rugalmassági modulus tervezési értéke: E cd = γc A beton határösszenyomódása:
N
fctm = 3.51
2
mm
0.3
kN
E cm = 35.22 E cd = 23.48
2
mm kN 2
mm
εcu = 3.5‰
Betonacél: S500B A rugalmassági modulus értéke: A folyáshatár karakterisztikus értéke: A folyáshatár tervezési értéke:
E s = 200
kN
fyk = 500 fyd =
2
mm
N
fyk γs fyd
A rugalmas nyúlás határa:
εsy =
A határnyúlás karakterisztikus értéke:
εsu = 50‰
Es
-2-
2
mm
γs = 1.15 fyd = 434.8
N
εsy = 2.17 ‰
("B" duktilitási osztály)
2
mm
Feszítőpászma: Fp-100/1770-R2 A pászma jelölésében: 100 - 1 db pászma keresztmetszeti területe [mm2] 1770 - a pászma szakítószilárdságának karakterisztikus értéke [N/mm 2] R2 - a relaxációs osztály (R2 = stabilizált, feszültség alatt megeresztett acél) A feszítőbetétek olyan különleges betonacélok, melyekkel a feszített vasbeton tartókban a feszítőbetét előrenyújtása révén nyomási sajátfeszültségi állapotot hozunk létre. A hagyományos acélbetétekhez képest a feszítőbetétek szilárdsága jóval nagyobb, továbbá nem rendelkeznek határozott folyáshatárral. A feszítőbetétek tényleges és idealizált σ-ε diagramjait az alábbi ábrák szemléltetik:
σp
σp
Rugalmas-képlékeny modell
fpk fp0,1k fp0,1k/γs
fp0,1k
Rugalmas-felkeményedő modell σp fpk fpk/γs fp0,1k fp0,1k/γs
Ep εpu
1‰
Ep
εp
εp
εp
εpu
A feszítőbetétek rugalmassági modulusának tervezési értéke 185 és 205 N/mm 2 között változik, pontosabb adat hiányában feszítőhuzalok és melegen hengerelt, nyújtott és megeresztett feszítőrudak esetén Ep = 205 kN/mm2, feszítőpászma esetén Ep = 195 kN/mm2 érték alkalmazható. A feladatban feszítőpászmákat alkalmazunk, tehát a rugalmassági modulus: E p = 195
kN 2
mm
Az 1 ‰-os egyezményes folyáshatárhoz tartozó feszültség:
fp0.1k = 1500
A szakítószilárdság tervezési értéke:
fpd =
N 2
mm
fp0.1k
fpd = 1304
γs
A feszítőpászma névleges külső átmérője:
ϕp = 12.9mm
1 db pászma névleges keresztmetszeti területe:
Ap100 = 100mm
A rugalmas nyúlás határa:
εpy =
N
2
-3-
fpd Ep
2
mm
εpy = 6.69 ‰
A feszítőpászmák határnyúlását az Eurocode rugalmas-képlékeny anyagmodell alkalmazása esetén nem korlátozza, azonban a Magyarországon gyártott feszítőpászmák tulajdonságait figyelembe véve εpu = 40 ‰-es korlát alkalmazása javasolt. A rugalmas-felkeményedő anyagmodell alkalmazása esetén a feszítőpászmák határnyúlása εpu = 0,9•εpuk = 22,5 ‰ értékre veendő fel. A feladatban a rugalmas-képlékeny anyagmodellt fogjuk alkalmazni, így a határnyúlás: εpu = 40‰
1.2. Keresztmetszeti adatok Előregyártott gerendák esetén a keresztmetszeti méretek nem vehetők fel tetszőlegesen, hanem igazodni kell a gyártó által megadott, járatos (illetve gyártott) méretekhez (lásd feladatkiírás). b
Tartó magassága:
t
Fejlemez szélesség: b = 400mm h = 800mm
Gerinc vastagság:
h
Fejlemez vastagság: t = 160mm bw = 140mm
bw
1.3. Statikai váz A tartóhossz:
ln
ln = 12.3m
Feltámaszkodás: v = 30cm Fesztávolság számítása:
⎛ v h⎞ leff = ln − 2 min ⎜ , ⎟ ⎝ 2 2⎠
h v
v
leff = 12 m
leff
-4-
1.4. Terhek A feladatkiírásban megadott adatok: - a gerendák egymástól való távolsága:
a = 4m
- az állandó teher (szigetelés, burkolatok, gépészet súlya, stb.) alapértéke:
gá = 0.7
- az esetleges teher alapértéke ("C" kat.: gyülekezésre szolgáló terület):
kN 2
m kN
qmk = 3
m
2
A feszített tartóra ható terhek számítása: A vasbeton térfogatsúlya:
ρrc = 25
kN m
3
Az önsúly alapértéke:
gI.k = ⎡b⋅ t + ( h − t) ⋅ bw⎤ ⋅ ρrc
gI.k = 3.84
Az állandó terhek alapértéke:
gII.k = a⋅ gá
gII.k = 2.8
Az állandó terhek biztonsági tényezője:
γG = 1.35
Az esetleges teher alapértéke:
qk = a⋅ qmk
Az esetleges teher biztonsági tényezője:
γQ = 1.5
⎣
⎦
qk = 12
Az esetleges teher kombinációs tényezői ("C" kategória esetén): ψ1 = 0.7
kN m kN m
kN m
ψ 2 = 0.6
2. Mértékadó terhek és igénybevételek a különböző vizsgálati állapotokban 2.1. Vizsgálati állapotok Az előfeszített tartó terhei az időben változnak. A feszített gerenda igénybevételeit jelentősen befolyásolja tartó gyártástechnológiája. Az előfeszített tartókat rendszerint gyártópadon készítik. Először befűzik a feszítőpászmákat a gyártópad végein lévő bakok rendezőibe, majd sajtó segítségével az előírt Δl nyúlással megfeszítik őket. A pászmákat ideiglenesen a gyártópad végein horgonyozzák le, utána beöntik a betont a gyártópad zsaluzatába.
Δl / 2
Δl / 2
P
P gyártópad
-5-
Betonozás után megindul a beton kötése és amikor a szilárdsága már elegendő ahhoz, hogy elviselje a feszítőerő és a kizsaluzás okozta igénybevételeket, akkor a lehorgonyzást megszüntetik. A beton szilárdsága ekkor még nem éri el a tervezett végeleges értéket (körülbelül a tervezett szilárdság 50-75%-a technológiától függően), ezért a kezdeti állapot vizsgálatakor gyengébb betonminőséggel számolunk! A szilárdulást rendszerint kötésgyorsító adalékszer alkalmazásával, vagy hőérleléssel gyorsítják. A feszítőerő ráengedésekor a tartó az önsúly és a feszítés együttes hatására felfelé görbül. Ebben az állapotban a felső szélsőszálban húzás, az alsó-szélsőszálban pedig nyomás lép fel. A feszítőerő ráengedésének pillanatát t1-el jelöljük. t1 időpont – a feszítőerő ráengedése P
P
A gyártópadról való leemelés után az elemeket tárolják, a beépítés helyszínére szállítják, majd daruval beemelik a végleges helyére. Ezeket az ún. átmeneti állapotokat egységesen t2 időpontnak nevezzük. Jelen feladatban az átmeneti állapotok ellenőrzését nem végezzük el. A gerenda végleges helyre történő beemelése és rögzítése után elkészítik födémburkolatot, rögzítik a gépészeti és egyéb berendezéseket. Az épület használatba vétele után a tartóra további állandó és esetleges terhek is hatnak. A szerkezet ezen terhek és a feszítőerő együttes hatására lehajlik. Ez lesz a feszített tartó végleges állapota, melyet t3 időpontnak nevezünk. t3 időpont – végleges állapot pd P
P
2.2. Mértékadó terhek kN
A feszítőerő ráengedésekor (t1): gI.k = 3.84 m Végleges állapotban (t3): - teherbírás számításához:
(
)
pd = γG⋅ gI.k + gII.k + γQ⋅ qk
pd = 26.96
kN m
- tartó repedezettségi állapotának vizsgálatához (gyakori teherkombináció): pser.b = gI.k + gII.k + ψ 1⋅ qk
pser.b = 15.04
kN m
pser.c = 13.84
kN m
- a tartó lehajlásának számításához (kvázi-állandó teherkombináció): pser.c = gI.k + gII.k + ψ 2⋅ qk
-6-
2.3. Mértékadó igénybevételek A mértékadó nyomatékok tartóközépen: A feszítőerő ráengedésekor (t1): Mg =
gI.k⋅ leff
2
Mg = 69.12 kNm
8
Végleges állapotban (t3): - teherbírás számításához:
MEd =
pd⋅ leff
2
MEd = 485.35 kNm
8
- tartó repedezettségi állapotának vizsgálatához (gyakori teherkombináció): Mser.b =
pser.b⋅ leff
2
8
Mser.b = 270.7 kNm
- a tartó lehajlásának számításához (kvázi-állandó teherkombináció): Mser.c =
pser.c⋅ leff
2
8
Mser.c = 249.1 kNm
A mértékadó nyíróerő: Végleges állapotban (t3):
VEd =
pd⋅ leff 2
VEd = 161.78 kN
3. A vasalás (lágyvasalás és feszítőbetétek) mennyiségének meghatározása Az MEd nyomaték felvételéhez szükséges vasmennyiség számítása abban az esetben, ha csak lágyvasalást alkalmaznánk a tartóban (a számítás során feltételezzük, hogy x c < t és az acélbetétek képlékenyek): A hasznos magasságot közelítőleg az alábbi értékre vesszük fel: d = 0.9 ⋅ h
d = 720 mm
Nyomatéki egyensúlyi egyenlet a húzott vasak súlypontjára:
⎛ xc ⎞ MEd = b⋅ xc⋅ α⋅ fcd⎜ d − ⎟ 2⎠ ⎝ A fenti egyenletből meghatározzuk a nyomott zóna magasságát: xc = 66.2 mm
-7-
A kezdeti feltevések ellenőrzése: xc = 66.2 mm
<
xc ξc = d
ξc0 =
<
ξc = 0.092
Tehát helyes volt a feltételezés!
t = 160 mm 560
2
mm 700 + fyd⋅ N
ξc0 = 0.493
Tehát helyes volt a feltételezés!
Az MEd felvételéhez szükséges lágyvas mennyiség: As.szüks =
b⋅ xc⋅ fcd
2
As.szüks = 1625.2 mm
fyd
A feszített tartókban rendszerint vegyesen alkalmazunk lágyvasalást és feszítőbetéteket. A feszítés szükséges mértékét elsősorban gazdaságossági alapon dönthetjük el. A tartóba helyezett lágyvasalás (Ast) és feszítőbetétek (A p) mennyiségének arányát az ún. feszítési fokkal írhatjuk le: χ =
Ap⋅ fpd Ap⋅ fpd + Ast⋅ fyd
Magasépítési szerkezeteknél általában a χ = 0,7...0,8 körüli érték alkalmazása eredményezi a leggazdaságosabb megoldást. A feladatban alkalmazzunk χ = 0,7 értéket. Ez alapján a szükséges lágyvasalás és feszítőbetét mennyiségek: 2
Ast.szüks = ( 1 − χ ) ⋅ As.szüks
Alkalmazott lágyvasalás: 2Ø18
Ast.szüks = 487.6 mm 2 π Ast = 2⋅ ϕst ⋅ 4
2
Ast = 509 mm
fyd Ap.szüks = χ ⋅ As.szüks⋅ fpd
2
Ap.szüks = 379.2 mm Ap.szüks Ap100
A szükséges pászmaszám:
nszüks =
Az alkalmazott pászmaszám:
nalk = 4 db
A kezdeti feszítési feszültség:
σp0 = 1200
N 2
mm
nszüks = 3.79
< min ( 0.75 ⋅ fpk , 0.85⋅ fp0.1k ) = 1275
A pászmák pontos elrendezését a 4. pontban fogjuk felvenni.
-8-
N 2
mm
Megjegyzés: A feszítőpászmák mennyiségének felvétele történhet a gyártó által megadott teherbírási adatok illetve tervezési diagramok felhasználásával is. Ennek a menetét az alábbiakban mutatjuk be. A mértékadó teher végleges állapotban (t 3), a 2.2. pont alapján:
pd = 26.96
A tartó elméleti fesztávolsága:
leff = 12 m
kN m
A fenti két értéket felmérjük az alábbi diagramra és meghatározzuk a metszéspontjuk helyét. A metszésponthoz (felülről) legközelebb eső görbe alapján dönthető el a pászmák szükséges mennyisége.
A diagram alapján 2 sor pászmára van szükség. Tekintettel arra, hogy a diagram soronként 2 darab pászma figyelembevételével készült, a tartóba összesen 4 db pászmát kell elhelyezni. Ez az érték megegyezik az előtervezés során számított mennyiséggel. Megjegyzés: A fenti diagramban a nyomatéki teherbírás értékei rugalmas-felkeményedő feszítőpászma anyagmodell alkalmazásával lettek számítva, továbbá a diagram figyelembe veszi a nyírási teherbírást is ρw = 0,13 %-os nyírási vashányad mellett. A diagram a teherbírási határállapot alapján megengedhető legnagyobb teher értékeket tartalmazza adott fesztávolsághoz, de léteznek a használhatósági határállapot alapján készített diagramok is, melyekkel már előtervezés során figyelembe vehetők a tartó lehajlására és repedéstágasságára vonatkozó korlátozások.
-9-
4. A tartó teherbírásának ellenőrzése 4.1. A keresztmetszet vasalása A szükséges betonfedés értékének számítása: - környezeti osztály: XC3 (mérsékelt relatív páratartalmú épületekben lévő beton) - szerkezeti osztály: S4 (50 éves tervezett élettartam) - tapadási követelmények miatt szükséges minimális betonfedés:
cmin.b = ϕst
- tartóssági követelmények miatt szükséges minimális betonfedés:
cmin.d = 20mm
- a minimális betonfedés:cmin = max ( cmin.b , cmin.d , 10mm)
cmin = 20 mm
- betonfedés növekmény az elhelyezési bizonytalanság miatt:
Δcdev = 5mm
Megjegyzés: Az elhelyezési bizonytalanság értéke normál esetben 10 mm, de szigorúbb minőségellenőrzés (pl. előregyártás) esetén ez az érték csökkenthető, esetenként akár 0 mm is lehet. Előfeszített tartók esetén, pontosabb adat hiányában 5 mm bizonytalanság alkalmazható.
- a betonfedés számítási értéke:c = cmin + Δcdev
c = 25 mm
Az acélbetétek illetve feszítőpászmák közötti minimális távolságok számítása: Az adalékanyag max. szemátmérője:
dg = 16mm
Lágyvasak közötti min. távolság:
Δs = max ϕst , dg + 5mm , 20mm
(
)
Δs = 21 mm
Pászmák közötti min. vízszintes távolság: Δpx = max ( dg + 5mm , 2⋅ ϕp , 20mm)
Δpx = 26 mm
Pászmák közötti min. függőleges távolság: Δpy = max ( dg , 2⋅ ϕp)
Δpy = 26 mm
Alkalmazzunk Ø8-as kengyeleket a tartóban:
ϕw = 8mm
A vasalás kialakítása a fenti mennyiségek figyelembevételével: b
t
≥Δpx
ast
h
dst dp0 dp1
“1” sor
bw
Øp
“0” sor
Øst c
Ap1 Ap0 Ast
c Øst ≥Δs Øw
- 10 -
≥Δpy ≥Δpy Øw
Az alkalmazott vasmennyiségek és hasznos magasságok: - lágyvasalás:
ϕst = 18 mm ϕst ast = c + ϕw + 2
ast = 42 mm
dst = h − ast
dst = 758 mm
2 π Ast = 2⋅ ϕst ⋅ 4
Ast = 509 mm
2
- feszítőpászmák: d0 = h − c − ϕw − ϕst − Δpy − d1 = d0 − 2⋅
ϕp 2
ϕp
d0 = 717 mm
2
− Δpy
d1 = 678 mm 2
Ap = 2⋅ Ap100 0
Ap = 200 mm 0
Ap = 2⋅ Ap100 1
Ap = 200 mm 1
2
A számítás egyszerűsítése végett a pászmákat a súlypontjukba összevonva vesszük figyelembe:
dp =
d0 + d1 2
2
Ap = 400 mm dp = 697 mm
Megjegyzés: Ezen egyszerűsítés alkalmazásával rugalmasrepedésmentes és rugalmas-berepedt állapotban pontos eredményeket kapunk, teherbírási határállapotban azonban az ilyen módon számított eredmények eltérhetnek a tényleges értéktől. A feladatban most megelégszünk az egyszerűsített pászma elrendezés alapján számolt eredményekkel.
- 11 -
dp
Ap = Ap + Ap 0 1
Ap Ast
4.2. Kezdeti állapot (feszítőerő ráengedésének pillanata) ellenőrzése A t1 időpontban a tartó szélsőszál feszültségeit kell ellenőrizni az önsúly alapértékére és a kezdeti feszítőerőre (σp0) rugalmas-repedésmentes keresztmetszet figyelembevételével. Vizsgálandó a tartóközép valamint a tartóvég az alábbiak szerint. A feszítőerő ráengedésekor a beton még nem éri el a tervezett szilárdságát, ezért alacsonyabb szilárdsággal számolunk: A beton szilárdsága a terhelés kezdetekor:
C30/37
A nyomószilárdság karakterisztikus értéke: fck0 = 30 A húzószilárdság karakterisztikus értéke:
fctk0 = 2
A húzószilárdság tervezési értéke:
fctd0 =
N 2
mm N
2
mm
fctk0
fctd0 = 1.33
1.5
22 ⎛ fck0 + 8 ⎞ E cd0 = ⋅⎜ ⎟ γc ⎝ 10 ⎠
A rugalmassági modulus tervezési értéke:
N 2
mm
0.3
E cd0 = 21.89
kN 2
mm
A rugalmassági modulusok hányadosa: αes0 =
Es Ecd0
αes0 = 9.1
Ep
αep0 =
αep0 = 8.9
E cd0
Ideális keresztmetszeti jellemzők rugalmas-repedésmentes állapotban (feltéve, hogy x iI>t): Keresztmetszeti terület: AiI0 = b⋅ t + bw⋅ ( h − t) + ( αes0 − 1) ⋅ Ast + ( αep0 − 1) ⋅ Ap 5
2
AiI0 = 1.609 × 10 mm 2
Statikai nyomaték:
SxiI0 = b⋅
t t+h + bw⋅ ( h − t) ⋅ + αes0 − 1 ⋅ Ast⋅ dst + αep0 − 1 ⋅ Ap⋅ dp 2 2
(
7
)
(
)
3
SxiI0 = 5.347 × 10 mm
Semleges tengely:
xiI0 =
SxiI0 AiI0
xiI0 = 332.3 mm >
Inercia:
t = 160 mm
Tehát helyes volt a feltételezés!
3 2 b ⋅ ( h − t) b⋅ t t⎞ w ⎛ IxiI0 = + b⋅ t⋅ ⎜ xiI0 − ⎟ + 2⎠ 12 12 ⎝
(
)
(
+ αes0 − 1 ⋅ Ast⋅ dst − xiI0 IxiI0 = 1.04 × 10
10
4
mm
- 12 -
3
2
⎞ ⎛h t + bw⋅ ( h − t) ⋅ ⎜ + − xiI0⎟ ... 2 2 ⎝ ⎠
)2 + (αep0 − 1)⋅ Ap⋅ (dp − xiI0)2
Ellenőrzés tartóközépen: A kezdeti feszítőerő és a feszítőerőből származó nyomaték: Np0 = Ap⋅ σp0
Np0 = 480 kN
(
Mp0 = Ap⋅ σp0⋅ dp − xiI0
)
Mp0 = 175.24 kNm
Az alsó-szélsőszál feszültség ellenőrzése: σc.a = −
Np0 AiI0
+
Mg − Mp0 IxiI0
(
⋅ h − xiI0
)
σc.a = −7.76
N
N
< 0.6 ⋅ fck0 = 18 2 2 mm mm
Megfelel! A felső-szélsőszál feszültség ellenőrzése: σc.f = −
Np0 AiI0
−
Mg − Mp0 IxiI0
⋅ xiI0
σc.f = 0.41
N 2
mm
< fctd0 = 1.33
N 2
mm
Megfelel! A fentiekben a "+" előjel húzást, a "-" előjel nyomást jelent. Ellenőrzés a tartóvégen: A szélsőszál feszültségek ellenőrzését a tartóvégen ott hajtjuk végre, ahol a feszítőpászmák már teljesen lehorgonyozódtak a betonban. A feszítőpászmák lehorgonyzási hossza: ηp1 = 3.2
(7 eres pászmák esetén)
η1 = 0.7
(általános esetben, ha tapadási körülmények pontosan nem ismertek)
A tapadási szilárdság:
fbpt = ηp1⋅ η1⋅ fctd0
α1 = 1.25
(hirtelen engedik rá a tartóra a feszítőerőt)
α2 = 0.19
(7 eres pászmák esetén)
A lehorgonyzási hossz alapértéke:
σp0 lpt = α1⋅ α2⋅ ϕp⋅ fbpt
A lehorgonyzási hossz tervezési értéke: lptd = 0.8 ⋅ lpt
fbpt = 2.99
N
lpt = 1.231 m lptd = 0.985 m
Megjegyzés: A fenti képletben 0,8-al vagy 1,2-vel kell lpt-tszorozni attól függően, hogy az adott vizsgálat szempontjából melyik a kedvezőtlenebb. Most a 0,8-at használtuk, mert így adódik nagyobb nyomófeszültség a felső-szélsőszálban, kezdeti állapotban.
- 13 -
2
mm
A reakcióerő az önsúlyból: Rg =
gI.k⋅ leff 2
Rg = 23.04 kN
lbpd
Nyomaték számítása az önsúlyból a vizsgált keresztmetszetben v/2 (figyelemmel kell arra lenni, hogy a lehorgonyzási hosszat a tartó végétől mérjük, a nyomatékot pedig az elméleti támasztól az ábrának megfelelően):
⎛l − ⎜ ptd v ⎝ ⎞ ⎛ Mgv = Rg⋅ ⎜ lptd − ⎟ − gI.k⋅ 2 2 ⎝ ⎠
v⎞
2
elméleti támasz
⎟ 2⎠
fpt
σpd M
Mgv = 17.9 kNm
Mgv
Az alsó-szélsőszál feszültség ellenőrzése: σc.a = −
Np0 Mgv − Mp0 + ⋅ h − xiI0 IxiI0 AiI0
(
)
σc.a = −10.06
N
N
< 0.6 ⋅ fck0 = 18 2 2 mm mm
Megfelel! A felső-szélsőszál feszültség ellenőrzése: σc.f = −
Mgv − Mp0 Np0 − ⋅ xiI0 IxiI0 AiI0
σc.f = 2.05
N 2
mm
> fctd0 = 1.33
N 2
mm
A fentiek alapján a tartóvégen megreped a gerenda. A gyakorlatban a húzószilárdság kismértékű túllépése megengedett (mivel a kialakuló repedések végleges állapotban záródnak), nagyobb mértékű különbség esetén azonban fennáll a tönkremenetel veszélye. Ebben az esetben pl. a tartóvég blokkosításával, vagy a pászmák egy részének "lecsövezésével" csökkenthetők a feszültségek a tartóvégen. Ez utóbbi megoldás azt jelenti, hogy a tartóvégen a pászmák egy részét csőben vezetik, így az nem tudja átadni a betonra a feszítőerőt. Jelen példában ezzel részletesebben nem foglalkozunk, feltételezzük, hogy megfelelő lecsövezés alkalmazásával a szélsőszál feszültségek a határértékek alatt maradnak. 4.3. Feszítési feszültség veszteségek számítása A tartó anyagának lassú alakváltozásai miatt a feszítési feszültség idővel csökken a pászmákban. Végleges állapotban (t3) erre a lecsökkent feszítési feszültségre kell ellenőrizni a tartót. Előfeszített tartóknál általában az alábbi veszteségekkel kell számolni: -
a beton zsugorodásából adódó feszültségveszteség, a beton kúszásából adódó feszültségveszteség, a pászmák relaxációjából adódó feszültségveszteség, a hőérlelésből adódó feszültségveszteség (amennyiben alkalmaztak hőérlelést a gyártás során). - 14 -
A zsugorodásból származó feszültségveszteség A beton zsugorodásából adódó feszültségveszteség értékét az alkalmazott tartóméretek, betonminőség, relatív páratartalom és a tervezett élettartam függvényében lehet számítani. Átlagos beépítési körülmények és magasépítési szerkezetek esetén a beton zsugorodási alakváltozása ~0,5 ‰-re adódik. A példában ezt az értéket fogjuk alkalmazni: A zsugorodási alakváltozás végértéke:
εcs = 0.5‰
A kúszásból származó feszültségveszteség A beton kúszásából adódó feszültségveszteség értékét az alkalmazott tartóméretek, betonminőség, cementtípus, relatív páratartalom és a tervezett élettartam függvényében lehet számítani. Átlagos beépítési körülmények és magasépítési szerkezetek esetén a beton kúszási tényezőjének végértéke ~2,0. A példában ezzel a közelítő értékkel számolunk: A kúszási tényező végértéke:
φ ( t) = 2.0
A pászmák relaxációjából származó feszültségveszteség Abban az esetben, ha nincsen szükség a feszítőpászmák relaxációjának pontosabb vizsgálatára, a relaxációból származó feszültségveszteség értéke az alábbiak szerint számítható:
Δσpr = A⋅
σp0 1000
⋅ ρ1000⋅ e
ahol: σp0 = 1200
μ =
σp0 fpk
⎛ tp ⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ 1000 ⎠
B⋅ μ
N 2
0.75⋅ ( 1 − μ)
a kezdeti feszítési feszültség értéke (rövid idejű veszteségektől eltekintve)
mm
μ = 0.678
ρ1000 - a feszítőbetétek 1000 órás relaxációs vesztesége 20 °C hőmérsékletű tartó esetén. Pontosabb adat hiányában az 1000 órás relaxációs veszteség értéke huzalok alkalmazása esetén 8%, feszítőpászmák esetén 2,5%, melegen hengerelt feszítőrudak esetén pedig 4%. A példában feszítőpászmát alkalmazunk, tehát: ρ1000 = 0.025
tp
- a feszítés óta eltelt idő órákban. A feladatban 50 éves tervezett élettartamot feltételeztünk, így a feszítés óta eltelt idő: tp = 50⋅ 365.25 ⋅ 24
tp = 438300
- 15 -
óra
A
- értéke normál feszítőhuzalok és pászmák alkalmazása esetén 5,39; alacsony relaxiójú feszítőhuzalok és pászmák esetén 0,66; melegen hengerelt feszítőrudak esetén pedig 1,98. A példában alacsony relaxációjú feszítőpászmát alkalmazunk, tehát: A = 0.66
B
- értéke feszítőhuzalok alkalmazása esetén 6,7; feszítőpászmák esetén 9,1; melegen hengerelt feszítőrudak esetén pedig 8,0. A példában feszítőpászmát alkalmazunk, tehát: B = 9.1
A fentiek alapján a pászmák relaxációjából származó feszültségveszteség: σp0 t B⋅ μ ⎛ p ⎞ Δσpr = A⋅ ⋅ ρ1000⋅ e ⋅ ⎜ ⎟ 1000 ⎝ 1000 ⎠
0.75⋅ ( 1 − μ)
Δσpr = 41.12
N 2
mm
A zsugorodásból, kúszásból és relaxációból származó együttes feszültségveszteség A zsugorodás, kúszás és relaxáció együttes hatását az alábbi képlettel vehetjük figyelembe: Δσp.t =
εcs⋅ Ep + 0.8Δσpr + αp⋅ φ ( t) ⋅ σcgp0 Ap ⎛ Ac 2⎞ 1 + αp⋅ ⋅ ⎜1 + ⋅ zcp ⎟ ⋅ ( 1 + 0.8 ⋅ φ ( t) ) Ac Ic ⎝ ⎠
ahol: σcgp0 a betonfeszültség a kvázi-állandó tehercsoportosításból a pászmák környezetében: σcgp0 = −
Np0 Mser.c − Mp0 + ⋅ dp − xiI0 AiI0 IxiI0
(
)
σcgp0 = −0.39
N 2
mm
Ac a beton keresztmetszeti terület: 5
Ac = b⋅ t + bw⋅ ( h − t)
Ic a beton keresztmetszet inerciája: 3 2 b ⋅ ( h − t) b⋅ t t⎞ w ⎛ Ic = + b⋅ t⋅ ⎜ xiI0 − ⎟ + 2⎠ 12 12 ⎝ 9
3
⎞ ⎛h t + bw⋅ ( h − t) ⋅ ⎜ + − xiI0⎟ 2 2 ⎝ ⎠
2
4
Ic = 9.224 × 10 mm
yc a beton keresztmetszet súlypontja (a felső-szélsőszáltól mérve): b⋅ yc =
2
t+h + bw⋅ ( h − t) ⋅ 2 2 Ac
t
2
Ac = 1.536 × 10 mm
yc = 313.3 mm
- 16 -
zcp a feszítőpászmák távolsága a beton keresztmetszet súlypontjától: zcp = dp − yc
zcp = 384.1 mm
αp a pászma és a (végleges) beton rugalmassági modulus várható értékének a hányadosa: αp =
Ep
αp = 5.5
Ecm
A fenti értékek behelyettesítésével a zsugorodásból, kúszásból és relaxációból származó feszítési feszültségveszteség: Δσp.t =
εcs⋅ E p + 0.8Δσpr + αp⋅ φ ( t) ⋅ σcgp0 Ap ⎛ Ac 2⎞ 1 + αp⋅ ⋅ ⎜1 + ⋅ zcp ⎟ ⋅ ( 1 + 0.8 ⋅ φ ( t) ) Ac ⎝ Ic ⎠
Δσp.t = 119.25
N 2
mm
A beton hőérleléséből adódó feszültségveszteség A feladatban feltételezzük, hogy a gyártás során a beton szilárdulását hőérlelés alkalmazásával gyorsították, így számolnunk kell az ebből származó veszteséget is: A hőtágulási együttható: αT = 10− 5 1/°C A hőmérsékletkülönbség: ΔT = 40 °C
(pontosabb adat hiányában 40 °C feltételezhető)
A beton hőérleléséből származó feszültségveszteség értéke: Δσp.T = αT ⋅ ΔT ⋅ E p
Δσp.T = 78
N 2
mm
A hatásos feszítési feszültség A hatásos feszítési feszültség értéke: σpm = σp0 − Δσp.t − Δσp.T
σpm = 1002.8
N
A hatásos feszítési feszültség-hányad: ν =
σpm
ν = 0.84
σp0
A hatásos feszítőerő: Npm = σpm⋅ Ap
Npm = 401.1 kN
- 17 -
2
mm
4.4. A nyomatéki teherbírás ellenőrzése A nyomatéki teherbírást végleges állapotban (t 3) ellenőrizzük, a számításához a rugalmasképlékeny feszítőpászma anyagmodellt használjuk (lásd 1.1. pont). A vetületi egyensúlyi egyenlet (feltételezzük, hogy x c < t és az acélbetétek valamint a feszítőpászmák is képlékenyen viselkednek): b⋅ xc⋅ fcd − Ast⋅ fyd − Ap⋅ fpd = 0
A fenti egyenletből az xc nyomott zóna magasság számítható:
xc = 69.7 mm
Az xc-re vonatkozó feltételezés ellenőrzése: xc = 69.7 mm
<
Tehát helyes volt a feltételezés!
t = 160 mm
Betonacél nyúlásának ellenőrzése: εs = εcu⋅
dst − 1.25xc 1.25xc
εsy = 2.17 ‰ < εs = 27 ‰
<
εsu = 50 ‰
Tehát helyes volt a feltételezés! Feszítőpászma nyúlásának ellenőrzése: εp = εcu⋅
d0 − 1.25xc σpm + Ep 1.25xc
εpy = 6.69 ‰ < εp = 30.5 ‰ <
εpu = 40 ‰
Tehát helyes volt a feltételezés! Amennyiben az adódik, hogy a betonacélok vagy a feszítőpászmák rugalmasan viselkednek, a vetületi egyensúlyi egyenletbe fyd illetve fpd helyett σs-t illetve σp-t kell írni, így xc-re másodfokú egyenletet kapunk. A rugalmas betonacél, illetve feszítőpászma feszültségek: σs = 560⋅
dst − 700 xc
dp σp = σpm + 546⋅ − 682.5 xc
A tartó nyomatéki teherbírása (xc magasságra felírva): xc MRd = b⋅ xc⋅ fcd⋅ + Ast⋅ fyd⋅ dst − xc + Ap⋅ fpd⋅ dp − xc 2
(
MRd = 505.71 kNm >
)
MEd = 485.35 kNm
(
)
Megfelel!
- 18 -
[N/mm2]
Megjegyzés: Abban az esetben, ha a rugalmas-felkeményedő feszítőpászma anyagmodellt (lásd 1.1. pont) használjuk, a teherbírás számítását fokozatos közelítéssel végezhetjük el. Az alábbiakban az elsőként Emil Mörsch által alkalmazott eljárást mutatjuk be. σ
xc1
N1
fcd xc3
fcd xc2
x4
x3
x2
fcd
N2
fcd N3
N4
dp
x1
3,5‰
xc4
ε
σ p1 ε p4 ε p3 ε p2 ε p1
H1
σ s1
σ p2 σ s2
ε pm = σpm / Ep
εp
σ p3
σ p4 σ s3
H2
σ s4
H4
H3
σ p1 σ p2 σ p3 σ p4 σp
Az eljárás során feltételezzük, hogy tönkremenetelkor a betonban az εcu = 3,5 ‰ törési összenyomódás alakul ki. Felveszünk egy x1 semleges tengely magasságot, amiből - a sík keresztmetszetek elvének alkalmazásával - számítható a feszítőpászmák (külső teher okozta) εp1 megnyúlása: εp1 = εcu⋅
dp − x1 x1
A pászma teljes megnyúlása, figyelembe véve a hatásos feszítési feszültségből adódó megnyúlást: εp.tot.1 = εp1 + εpm
ahol:
εpm =
σpm Ep
Az εp.tot.1 nyúlás alapján a feszítőpászmában ébredő σp1 feszültség leolvasható a σ-ε diagramról, az acélbetétekben ébredő feszültség a szokásos módon számítható.
- 19 -
A betonban működő nyomófeszültségek ismeretében kiszámítjuk a keresztmetszetben működő N1 nyomóerőt, betonacélokban és feszítőpászmákban működő húzófeszültségek ismeretében pedig számítható a keresztmetszetben működő H1 húzóerő. Mivel ez a két erő első próbálkozásra általában nem lesz egyenlő, újabb közelítésre van szükség. Felvesszük a semleges tengely magasságát x2 értékre, ami alapján az előzőekhez hasonlóan számíthatók az εp2 és εp.tot.2 pászma nyúlások, a σp2 pászma feszültség valamint a keresztmetszetben műküdő N2 és H2 erők. Ismét ellenőrizzük az erők egyensúlyát, és amennyiben N2 ≠ H2, tovább folytatjuk a fenti eljárást újabb x3, x4, stb. semleges tengely értékek felvételével egészen addíg, míg az i-dik lépésben nem teljesül a vetületi egyensúly, azaz Hi = Ni. A tartó nyomatéki teherbírása az így kapott x ci = 0,8•xi nyomott zóna magasság alapján számítható. A fenti eljárás megoldását régebben grafikus úton, szerkesztéssel keresték meg (ezért szokás az eljárást Mörsch-féle törönyomaték szerkesztésnek is nevezni). Manapság a belső N nyomóerő és H húzóerő egyensúlyát leíró egyenlet megoldását számítógéppel, numerikusan számíthatjuk. 4.5. Nyírási vasalás tervezése A nyírási teherbírás számítását végleges (t3) állapotban végezzük el. A húzott vasalásra vonatkozó helyettesítő hasznos magasság: dh =
Es⋅ Ast⋅ dst + E p⋅ Ap⋅ dp Es⋅ Ast + Ep⋅ Ap
dh = 731.7 mm
Mértékadó igénybevételek a nyírás vizsgálatához: A mértékadó nyíróerő:
VEd = 161.78 kN
(lásd 2.3. pont)
A redukált nyíróerő:
VEd.red = VEd − dh⋅ pd
VEd.red = 142.05 kN
A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása A teherbírás számításához szükséges mennyiségek:
⎛
k = min ⎜ 1 +
⎜ ⎝
200 ⎞ , 2⎟ 1 ⎟ dh⋅ mm
k = 1.52
⎠
A húzott hosszvasalásra vonatkozó vashányad, amibe a megfelelően lehorgonyzott acélbetétek és tapadásos feszítőbetétek számíthatók be:
⎛ Ast + Ap
ρl = min ⎜
⎝
bw⋅ d
⎞
, 0.02⎟
ρl = 9.1 ‰
⎠
- 20 -
A feszítőerőből származó átlagos betonfeszülség a keresztmetszetben:
⎛ Npm
σcp = min ⎜
⎝ Ac
⎞
, 0.2 ⋅ fcd⎟
σcp = 2.61
⎠
N 2
mm
A nyírási vasalás nélküli keresztmetszet teherbírásának alsó korlátja: 3 1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ 2 2 vmin = ⎝ 0.035 ⋅ k ⋅ fck + 0.15 ⋅ σcp⎠ ⋅ bw⋅ dh
vmin = 82.74 kN
A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása: 1 ⎤ ⎤ ⎡⎡ ⎢⎢0.18 ⎥ ⎥ 3 VRd.c = max ⎢⎢ ⋅ k⋅ ( 100⋅ ρl⋅ fck) + 0.15 ⋅ σcp⎥ ⋅ bw⋅ dh , vmin⎥ ⎣⎣ γc ⎦ ⎦
VRd.c = 102.07 kN <
VEd.red = 142.054 kN
Szükség van nyírási vasalásra!
A nyírási teherbírás felső korlátja (a beton nyomási teherbírása alapján) A nyomott beton "rudak" θ hajlásszögének számítása (a NAD alapján) feszített tartók esetén: Normál beton esetén:
βct = 2.4 és η1 = 1
1 ⎤ ⎡ σcp ⎞⎥ ⎢ 3 ⎛ Vc = ⎢βct⋅ η1⋅ 0.1 ⋅ fck ⋅ ⎜ 1 + 1.2 ⋅ ⎟ ⋅ b ⋅ 0.9⋅ dh fcd ⎥ w ⎣ ⎝ ⎠⎦
1.2 + 1.4 ⋅ cotθ = 1−
σcp fcd
Vc = 84.57 kN
cotθ = 3.304
Vc VEd.red
A cotθ-ra vonatkozó korlátozás: 1,0
cotθ
2,0
ez alapján a számításban figyelembe vett hajásszög:
- 21 -
cotθ = 2.0
αcw =
1 if σcp = 0 1+
αcw = 1.098
σcp if 0 < σcp ≤ 0.25 ⋅ fcd fcd
1.25 if 0.25 ⋅ fcd < σcp ≤ 0.5 ⋅ fcd
⎛
2.5 ⋅ ⎜ 1 −
⎝
σcp ⎞ ⎟ if 0.5⋅ fcd < σcp < fcd fcd
⎠
A nyírási vasalás (zárt kengyelek) és a tartó tengelye által bezárt szög: αsw = 90°
⎛ ⎝
A hatékonysági tényező: ν = 0.6 ⋅ ⎜ 1 −
fck ⎞
⎟
ν = 0.504
250 ⎠
A nyírási teherbírás felső korlátja:
⎛ cotθ + cot ( αsw) ⎞ ⎟ 2 1 cotθ + ⎝ ⎠
VRd.max = αcw⋅ bw⋅ 0.9 ⋅ dh⋅ ν⋅ fcd⋅ ⎜ VRd.max = 544.18 kN >
Tehát a tartó nyírásra vasalható!
VEd = 161.78 kN
Nyírási vasalás számítása Az alkalmazott nyírási vasalás zárt kengyelezés: ϕw = 8 mm 2 π Asw = 2⋅ ϕw ⋅ 4
A nyírási acélbetétek keresztmetszeti területe:
2
Asw = 100.5 mm
A szükséges kengyeltávolság: Asw sszüks = ⋅ 0.9 ⋅ dh⋅ fyd⋅ cotθ + cot αsw ⋅ sin αsw VEd.red
(
(
)) (
)
sszüks = 405 mm
Alkalmazott kengyeltávolság:
s = 400mm
Szerkesztési szabályok ellenőrzése: A maximális kengyeltávolság ellenőrzése: smax = 549 mm >
smax = 0.75 ⋅ dh
s = 400 mm
Megfelel!
A nyírási vashányad ellenőrzése: ρw =
Asw s⋅ bw⋅ sin αsw
(
)
ρw = 1.8 ‰
> ρw.min =
0.08 ⋅ fck = 1.01 ‰ fyk
Megfelel! - 22 -
5. A tartó lehajlásának ellenőrzése Használhatósági határállapotban általában ellenőrizni kell a tartó lehajlását és repedéstágasságát, valamint a maradó képlékeny alakváltozások elkerülése miatt ellenőrizni kell, hogy a tartóban ébredő feszültségek nem haladják meg a vonatkozó határértékeket (feszültségek korlátozása). A példában most csak a lehajlás számításával foglalkozunk részletesen. Első lépésben meg kell vizsgálni, hogy használhatósági állapotban bereped-e a tartó. A vizsgálatot a gyakori teherkombinációból származó igénybevételekre kell végezni. A keresztmetszeti jellemzők rugalmas-repedésmentes állapotban, a végleges betonszilárdság figyelembevételével (feltéve, hogy xiI>t): αes =
Es
αes = 8.5
E cd
Ep
αep =
αep = 8.3
Ecd
Keresztmetszeti terület: AiI = b⋅ t + bw⋅ ( h − t) + ( αes − 1) ⋅ Ast + ( αep − 1) ⋅ Ap 5
2
AiI = 1.603 × 10 mm
Statikai nyomaték:
SxiI = b⋅
2
t+h + bw⋅ ( h − t) ⋅ + αes − 1 ⋅ Ast⋅ dst + αep − 1 ⋅ Ap⋅ dp 2 2
t
(
7
)
(
)
3
SxiI = 5.307 × 10 mm
Semleges tengely:
xiI =
SxiI AiI
>
xiI = 330.9 mm
t = 160 mm
Tehát helyes volt a feltételezés!
2 b ⋅ ( h − t) 3 2 t⎞ w h t ⎞ ⎛ ⎛ IxiI = + b⋅ t⋅ ⎜ xiI − ⎟ + + bw⋅ ( h − t) ⋅ ⎜ + − xiI⎟ ... 12 2⎠ 12 ⎝ ⎝2 2 ⎠
b⋅ t
Inercia:
3
(
)
(
+ αes − 1 ⋅ Ast⋅ dst − xiI 10
IxiI = 1.031 × 10
)2 + (αep − 1)⋅ Ap⋅ (dp − xiI)2
4
mm
Mértékadó nyomaték a gyakori teherkombinációból (lásd 2.3. pont): Mser.b = 270.72 kNm
Nyomaték a hatásos feszítőerőből:
(
Mpm = Ap⋅ σpm⋅ dp − xiI
)
Mpm = 146.99 kNm
- 23 -
A repesztőnyomaték: IxiI ⎡ Npm Mpm ⎤ Mcr = ⋅ ⎢fctm + + ⋅ h − xiI ⎥ h − xiI AiI IxiI ⎣ ⎦
(
Mser.b = 270.72 kNm
>
)
Mcr = 279.04 kNm
Mcr = 279.04 kNm
Tehát a keresztmetszet a lehajlás számítása során berepedtnek tekintendő. A tartó lehajlását a kvázi-állandó tehercsoportosításból származó igénybevételekből számítjuk. Az Eurocode előírásainak megfelelően meg kell határozni a rugalmas-repedésmentes keresztmetszet feltételezésével számított, valamint a rugalmas-berepedt keresztmetszet feltételezésével számított lehajlásokat. A tényleges lehajlás (a húzott beton merevítő hatását figyelembe véve) valahol a két érték között lesz. Amennyiben a fentiekben Mser.b < Mcr adódik, a tényleges lehajlás rugalmasrepedésmentes keresztmetszet feltételezésével számítható. A tartó lehajlása rugalmas-repedésmentes keresztmetszet feltételezésével A beton hatákony alakváltozási tényezője a kúszás figyelembevételével: E c.eff =
E cm
E c.eff = 11740
1 + φ ( t)
N 2
mm
Mértékadó igénybevételek: Npm = 401.1 kN Mpm = 146.99 kNm Mser.c = 249.12 kNm
A beton szélsőszál feszültségek: Npm
felső-szélsőszál: σcf.I = − − AiI Npm
alsó-szélsőszál: σca.I = − + AiI
Mser.c − Mpm ⋅ xiI IxiI Mser.c − Mpm ⋅ h − xiI IxiI
(
σcf.I = −5.78
)
σca.I = 2.15
N 2
mm N 2
mm
A σca.I fiktív húzófeszültség érték, tekintet nélkül arra, hogy meghaladja-e a húzószilárdságot. A tartó görbülete mezőközépen: κI =
σcf.I + σca.I h⋅ Ec.eff
κI = 8.44 × 10
A lehajlás értéke rugalmas-repedésmentes állapot feltételezésével: yI =
5 2 ⋅ κI⋅ leff 48
yI = 12.7 mm
- 24 -
−4 1
m
A tartó lehajlása rugalmas-berepedt keresztmetszet feltételezésével A nyomóerővel terhelt, rugalmas-berepedt állapotban lévő vasbeton keresztmetszet x II semleges tengely magassága az alábbi, xII-re harmadfokú egyenletből számítható:
( )
Mgqp xII Npm
( ) SiII ( xII) IiII xII
=
Ahol Mgqp(xII) a mértékadó teherből (p ser.c) és a feszítőerőből származó nyomaték a semleges tengely magasság függvényében, N pm a hatásos feszítőerő, IiII(xII) a berepedt keresztmetszet inerciája, SiII(xII) a berepedt keresztmetszet statikai nyomatéka a semleges tengely magasság függvényében. A mértékadó nyomaték a semleges tengely magasságának függvényében:
(
)
Mgqp ( x) = Mser.c − σpm⋅ Ap⋅ dp − x
A berepedt km. statikai nyomatéka és inerciája a semleges tengely magasságának függvényében: SiII ( x) = b⋅ t⋅ ⎛⎜ x −
⎝
IiII ( x) =
t⎞
⎟ + bw⋅ 2⎠
(b − bw)⋅ t3 + 12
(
( x − t)
2
(
)
(
− αes⋅ Ast⋅ dst − x − αep⋅ Ap⋅ dp − x
2
2
3
)
t x 2 2 b − bw ⋅ t⋅ ⎛⎜ x − ⎟⎞ + bw⋅ + αes⋅ Ast⋅ dst − x + αep⋅ Ap⋅ dp − x 3 2 ⎝ ⎠
)
(
)
(
)
A semleges tengely magasságának számítása a fenti értékek felhasználásával:
( ) ( )
( )⎞
IiII xII ⎛ Mgqp xII f xII = −⎜ SiII xII ⎝ Npm
( )
⎟ =0 ⎠
A fenti, xII-re harmadfokú egyenlet megoldása meghatározható kézzel (pl. Newton-féle iterációs eljárás) vagy számítógéppel. A számított semleges tengely magasság: xII = 476.7 mm
A keresztmetszeti jellemzők xII figyelembevételével:
(
)
5
AII = b⋅ t + xII − t ⋅ bw + αes⋅ Ast + αep⋅ Ap
2
AII = 1.16 × 10 mm
( )
IiII = IiII xII
IiII = 1.22 × 10
10
Nyomaték a végleges feszítőerőből és a mértékadó terhekből:
(
)
Mgqp = Mser.c − σpm⋅ Ap⋅ dp − xII
Mgqp = 160.61 kNm
- 25 -
4
mm
A beton szélsőszál feszültségek: Npm
Mgqp
felső-szélsőszál: σcf.II = − − ⋅ xII AII IiII Npm
σcf.II = −9.74
Mgqp
alsó-szélsőszál: σca.II = − + ⋅ ( h − xII) AII IiII
σca.II = 0.8
N 2
mm
N 2
mm
A σca.II fiktív húzófeszültség érték, tekintet nélkül arra, hogy meghaladja-e a húzószilárdságot. A tartó görbülete mezőközépen: κII =
σcf.II + σca.II h⋅ E c.eff
κII = 1.12 × 10
−3 1
m
A lehajlás értéke rugalmas-berepedt állapot feltételezésével: yII =
5 2 ⋅κ ⋅l 48 II eff
yII = 16.8 mm
A tartó tényleges lehajlása A tényleges lehajlás értéke közelítően az alábbi képlet szerint számítható: yd = ζ ⋅ yII + ( 1 − ζ) ⋅ yI
A ζ tényező értéke feszített tartó esetén a terhelés jellegétől, a repesztőnyomaték, a dekomperssziós nyomaték, illetve a feszítőerőből + külső terhekből származó nyomaték értékeitől függ. A dekompressziós nyomaték az a nyomaték érték, amely hatására a (korábban már megnyílt) repedések záródnak, azaz a rugalmas-berepedt keresztmetszet feltételezésével számított tartón az alsó-szélsőszál feszültség éppen zérussal lesz egyenlő. A dekompressziós nyomaték számítása: A semleges tengely magassága: xII = h
xII = 0.8 m
A keresztmetszeti jellemzők:
SiII = SiII ( h)
SiII = 7.527 × 10 mm
IiII = IiII ( h)
IiII = 4.559 × 10
A dekompressziós nyomaték:
7
IiII M0 = ⋅N + σpm⋅ Ap⋅ dp − h SiII pm
(
- 26 -
)
10
M0 = 201.77 kNm
3 4
mm
A ζ tényező számítása: A teher jellegét figyelembe vevő tényező: β = 0.5 ζ =
0 if 0 if 1 if
( ( (
(tartós terhelés esetén)
) ( ) β⋅ Mcr < M0) ∧ ( Mgqp < M0) β⋅ Mcr < M0) ∧ ( Mgqp ≥ M0)
β⋅ Mcr ≥ M0 ∧ Mgqp < Mcr
⎡ ⎛ β⋅ M − M ⎞ 2⎤ ⎢ cr 0 ⎥ ⎢1 − ⎜ M − M ⎟ ⎥ if 0 ⎠⎦ ⎣ ⎝ pm
(
) (
β⋅ Mcr ≥ M0 ∧ Mgqp ≥ Mcr
)
ζ=0
A tartó tényleges lehajlása: y = ζ ⋅ yII + ( 1 − ζ) ⋅ yI
y = 12.7 mm <
leff 500
= 24 mm
Megfelel!
Megjegyzés: Ha a feszítésből + külső terhekből származó nyomaték értéke (M gqp) kisebb mint a dekompressziós nyomaték (M0), akkor a repedések (a feszítés hatására) záródnak. Ebben az esetben a tartó tényleges lehajlása rugalmas-repedésmentes keresztmetszet feltételezésével számítható, nincs szükség a berepedt állapot vizsgálatára, illetve ζ meghatározására.
- 27 -
6. A tartóvég vizsgálata Előfeszített tartóknál a tartóvégen, a feszítőbetétek lehorgonyzásának környezetében a tartó tengelyére merőleges σy húzófeszültségek alakulnak ki, melyek a tartóvéget megrepeszthetik. A tartóvég közelében a tartó síkbeli feszültségállapotban van, míg a távolabb lévő keresztmetszetekben a feszültségállapot egytengelyűnek tekinthető. A kétfajta feszültségállapot között nincs határozott átmenet, a "megzavart" szakasz hosszát jó közelítéssel az lpt lehorgonyzási hosszal vehetjük egyenlőnek. A következőkben ezen tartószakasz egyensúlyát vizsgáljuk végleges (t3) állapotban. K-K metszet
K-K
K
σx1 σx2
I
I
dI
y
I
I
x
σx
σx3
K h’ / 2
h’ / 2 σy
σI
Fc
Ft σII z
Ι.
ΙΙ.
0,3 h’ 0,6 h’
Fc = Ft Fc 0,15 ⋅ b w ⋅ h ' Ft σII = 0,6 ⋅ b w ⋅ h ' σI =
A keresztirányú σy feszültség a vízszintes I-I metszet mentén harmadfokú parabola eloszlású a h' hosszon. Ezt közelíthetjük egy helyettesítő, 0,9•h' hosszon megoszló, lineárisan változó (I. szakasz) és konstans (II. szakasz) feszültség eloszlással. Az I. és II. szakaszokon ébredő feszültségek Fc és Ft eredői egy erőpárt alkotnak (Ft = Fc). A nyírófeszültségek elhanyagolása esetén ezen erőpár nyomatékának a K-K metszetben fellépő, tartótengely irányú σx feszültségek I-I metszet feletti részének nyomatékát kell egyensúlyoznia. Ebből a feltételből meghatározható a tartóvégen fellépő Ft keresztirányú húzóerő nagysága. Az I-I metszetet a legfelső húzott feszítőbetétek súlypontjának magasságában kell felvenni. A lehorgonyzási hossz tervezési értéke a tartóvég vizsgálathoz: lptd = 1.2 ⋅ lpt
lptd = 1.477 m
- 28 -
A vizsgált szakasz hossza: h' = max ⎡ h + 0.6 ⋅ lptd ⎣
(
2
)2 , lptd⎤⎦
h' = 1.477 m
A K-K metszet távolsága az elméleti támasztól: v
ξ = h' −
ξ = 1.327 m
2
Mértékadó nyomaték a K-K metszetben, végleges állapotban: pd⋅ leff
MEdξ =
2
2
ξ
⋅ ξ − pd⋅ 2
MEdξ = 190.97 kNm
Az I-I vízszintes metszetre vonatkozó hasznos magasság: dI = d1
dI = 678 mm
A vízszintes feszültségek értékei (rugalmas-repedésmentes állapot feltételezésével): σx1 = − σx2 = − σx3 = −
Npm AiI Npm AiI Npm AiI
−
−
+
MEdξ − Mpm IxiI MEdξ − Mpm IxiI MEdξ − Mpm IxiI
⋅ xiI
σx1 = −3.91
(
⋅ xiI − t
)
(
⋅ dI − xiI
σx2 = −3.23
)
σx3 = −1.02
N 2
mm N
2
mm N
2
mm
A vízszintes erők nyomatéka az I-I metszetre:
(
)
(
)
σx1 − σx2 dI − t t t Mx = σx2 ⋅ t⋅ b⋅ ⎛⎜ dI − ⎞⎟ + ⋅ t⋅ b⋅ ⎛⎜ dI − ⎞⎟ + σx3 ⋅ dI − t ⋅ bw⋅ ... 2 2 2⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ σx2 − σx3 2 + ⋅ dI − t ⋅ bw⋅ dI − t ⋅ 2 3
(
)
(
)
(
(
)
)
Mx = 184.17 kNm
A függőleges Fc és Ft erők karja: z = 0.5 ⋅ h'
z = 738.6 mm
A függőleges húzóerő nagysága a K-K és I-I metszetekben ébredő nyomatékok egyenlőségéből: Ft =
Mx z
Ft = 249.35 kN
- 29 -
A szükséges vasalás (zárt kengyelezés) mennyisége: Ft Asw.szüks = fyd
2
Asw.szüks = 573.5 mm
Szükséges kengyel darabszám: n =
Asw.szüks Asw
n = 5.705
Az alkalmazott kengyelek száma: n = 6 Ezt a kengyel mennyiséget a II. szakasz (lásd ábra) mentén kell elhelyezni a tartóvégen. Megjegyzés: Kezdeti állapotban a σx feszültségek rendszerint nem váltanak előjelet, ekkor a belőlük származó nyomaték felülről lefelé haladva monoton növekszik és az előbbieknek megfelelően a legfelső húzott pászmák vonalában lesz a maximuma. Előfordulhat azonban (főleg végleges állapotban), hogy a víszintes feszültségek a K-K metszetben előjelet váltanak. Ilyenkor a nyomatéknak két maximuma lesz (egy pozitív és egy negatív). A negatív maximumot abban a metszetben kapjuk, amelyben a σx feszültségek eredője zérus, vagyis ahol a húzó- és nyomófeszültségek kiegyenlítik egymást. A pozitív maximum továbbra is legfelső húzott pászmák vonalában lesz. Ilyenkor az alábbi ábrának megfelelően meg kell határozni mind a két nyomatéki maxmimumhoz tartozó függőleges húzóerőt, illetve Asy vasalást. σx1
MK-K II A sy =
M +max z ⋅ f yd
II A sy =
M +max z ⋅ f yd
I A sy =
M −max z ⋅ f yd
M +max
σx3
0,3 h’
h’
0,6 h’
MK-K
σx1
M −max σx3 h’
M +max 0,3 h’
0,6 h’
Az utóbbi esetben ügyelni kell arra, hogy a maximális negatív nyomaték az I. szakaszon, míg a maximális pozitív nyomaték a II. szakaszon okoz húzást, tehát mind a két szakaszon kell vasalást alkalmazni a számítás szerinti mennyiségben. A tartóvég vasalásához természetesen még hozzá kell adni a külső terhek okozta nyíróerő felvételéhez szükséges nyírási vasalást.
- 30 -
