Wiskundige functies en toenamediagrammen in TSO en ASO

Wiskundige functies en toenamediagrammen in TSO en ASO Ankie Mestdagh en Gilberte Verbeeck [email protected] [email protected]

De voordracht en de syllabus zijn gebaseerd op de artikels “Functies en veranderingen in de derde graad TSO” en “Een marathonloop: afstanden bij verschillende tijdsintervallen” verschenen in het tijdschrift Uitwiskeling, jaargang 19, nummer 2 (maart 2003) en nummer 3 (mei 2003). Daarnaast is het meeste lesmateriaal getoetst in de praktijk van richtingen TSO (Sociale en Technische Wetenschappen) en ASO (Economie Moderne Talen).

Antwerpen, 22 november 2006 1

Functies en veranderingen in de derde graad TSO Inhoud 1. Inleiding 2. Cursus opgesteld voor 5 Mechanische Vormgevingstechnieken in 2006 – 2007 2.1. Klemtonen van de nascholing 2.2. De cursus … klaar voor een eerste gebruik

1. Inleiding Vanaf het schooljaar 2004-2005 werden de eindtermen in de derde graad ingevoerd. We bekijken het onderdeel ‘Reële functies en algebra’ uit de eindtermen wiskunde TSO en KSO. Deze eindtermen gelden voor alle leerlingen van KSO en TSO, ongeacht het net. Wij richten ons in deze nascholing specifiek tot die leerlingen die het minimaal pakket wiskunde volgen. Maar heel wat van het concrete lesmateriaal dat we aanbieden, is zeker ook in andere richtingen bruikbaar. In ASO-richtingen kan de studie van veranderingen van functies met behulp van differenties en differentiequotiënten een goede voorbereiding zijn op het begrip afgeleide.

De eindtermen De concrete eindtermen luiden: 10. De leerlingen kunnen bijzonderheden van grafieken, eventueel aangevuld met tabellen, aflezen zoals periodiciteit, symmetrieën, stijgen en dalen, extreme waarden, lineaire en exponentiële groei. 11. De leerlingen kunnen grafieken tekenen van enkele eenvoudige functies (mede met behulp van ICT). 12. De leerlingen kunnen veranderingen beschrijven en vergelijken met behulp van differentiequotiënten. 13. De leerlingen kunnen problemen, waarbij een functioneel verband gegeven is, oplossen en die oplossing interpreteren (eventueel met behulp van ICT). Er komen in de eindtermen dus drie thema’s aan bod: grafieken, veranderingen en problemen oplossen. We geven bij elk van deze thema’s wat toelichting.

Grafieken In de eerste en tweede graad maakten de leerlingen reeds kennis met functies. In de derde graad wordt het leren lezen van grafieken en tabellen verder onderhouden. De leerlingen leren van deze grafieken en tabellen eigenschappen van de verbanden aflezen. Veel van deze leerlingen zullen enkel nog op die manier met functies in contact komen. Dit zijn ook dingen die ze in hun dagelijkse leven nodig hebben. Het is daarom belangrijk dat dit aspect van ‘gecijferdheid’ onderhouden wordt. Af en toe kan bij een verband ook een voorschrift opgesteld worden. Zo komen de verschillende voorstellingswijzen van een functie aan bod: een situatie (een verhaal), een grafiek, een tabel en een voorschrift. Dit voorschrift laat toe om onbekende functiewaarden te berekenen. Het is in deze afdelingen niet de bedoeling ook te ‘rekenen’ met moeilijke voorschriften. Vergelijkingen en ongelijkheden kunnen met een grafisch rekentoestel of software op de computer opgelost worden. In de tweede graad werden de eerstegraadsfuncties iets systematischer behandeld: het verband tussen het voorschrift en de grafiek, het nulpunt uit het voorschrift aflezen, … Voor enkele andere functies 2

kan dit nu ook in de derde graad. Een echte studie van de verschillende klassen functies is hier echter niet op zijn plaats. Wat wel aan bod komt is bv. de top en nulpunten van een tweedegraadsfunctie, het voorschrift van exponentiële groei en het verband tussen de groeifactor en het stijgen en dalen van de functie, het periodiek karakter van de sinusfunctie, ...

Veranderingen beschrijven en vergelijken In de wiskunde wordt het begrip afgeleide gebruikt om te beschrijven hoe sterk bij een functie de verandering van de y-waarde is als de x-waarde verandert. Voor ons, wiskundigen, is het een vertrouwd begrip. Toch is het in feite een vrij complex begrip. Het is het meest gesofisticeerde uit een rijtje van drie instrumenten om te meten hoe sterk functiewaarden veranderen. •

De eenvoudigste manier om de verandering in y-waarde te beschrijven, is aan de hand van differenties, het verschil tussen twee functiewaarden: f ( x + h) − f ( x) . Een differentie beschrijft de totale verandering over een interval. In de afgeleide vinden we de differentie terug in de teller van de breuk. • Deze manier van werken voldoet niet altijd. Zo heeft het bijvoorbeeld geen zin om differenties te vergelijken wanneer voor h verschillende waarden genomen worden. Dan moet je een f ( x + h) − f ( x ) differentiequotiënt gebruiken: . Het differentiequotiënt beschrijft de gemiddelde h verandering over een interval (denk bijvoorbeeld aan de gemiddelde snelheid over een tijdsinterval). Ook het differentiequotiënt vinden we terug bij de afgeleide: het is de breuk waarvan de limiet genomen wordt. • De verandering in één punt (bv. de snelheid op een bepaald ogenblik) wordt beschreven door de afgeleide, de limietwaarde van het differentiequotiënt. Elk van deze drie instrumenten kan gebruikt worden om de verandering van de y-waarden te beschrijven. Traditioneel is, ook in de richtingen uit het TSO met weinig uren wiskunde, gebruik gemaakt van de afgeleide om veranderingen te beschrijven. Het begrip afgeleide is echter moeilijk toegankelijk en vaak leerden de leerlingen wel afgeleiden berekenen, maar wisten ze niet goed wat de afgeleide juist voorstelde. (In de rekenregels voor afgeleide functies is het differentiequotiënt ook niet meer zichtbaar.) In eindterm 12 wordt gevraagd om voortaan gebruik te maken van het differentiequotiënt. We vinden dat een verstandige keuze. Zo wordt het wiskundige instrument meer toegankelijk voor leerlingen die niet zo sterk zijn in wiskunde. Door de stap naar de limiet niet te zetten, kunnen we de aandacht echt richten op de verandering van de functie. Op die manier kan de klemtoon verschuiven van techniek naar meer begrip en inzicht. In deze cursus werken we aanvankelijk met differenties: we bestuderen het verloop van een functie aan de hand van toenamediagrammen. In een toenamediagram komen differenties voor in opeenvolgende intervallen die steeds even groot zijn. De leerlingen ontdekken dat een grote toename betekent dat de oorspronkelijke functie steil is, een negatieve toename betekent een daling, … Heel veel aspecten van de verandering van functies die wij traditiegetrouw bij afgeleiden behandelen, kunnen nu al aan bod komen. De ballast van het zware begrip afgeleide hindert nu echter minder. Verderop gebruiken we het differentiequotiënt om veranderingen te vergelijken in intervallen die niet even lang zijn. In concrete situaties komt dit neer op de gemiddelde helling over het interval, de gemiddelde snelheid, … Om de helling, snelheid op een bepaald moment te kennen, kunnen we met de gemiddelde toename over een klein interval werken.

Contexten versus technische oefeningen In deze richtingen vragen leerlingen heel vaak: “Wat kunnen we hiermee doen, wat zijn we hiermee?” Ook wij vinden het belangrijk dat wat de leerlingen leren in de wiskundeles ook bruikbaar is zowel in hun verdere leven als in andere vakken. Daarom bieden we heel wat materiaal aan in contexten. Soms is het misschien zinvol vakoverschrijdend te werken. Anderzijds beseffen we dat het werken in contexten niet eenvoudig is. In vele gevallen hebben deze leerlingen ook een negatief zelfbeeld wat 3

betreft de algemene vakken en hebben ze ook moeilijkheden met taal. Ze vertrekken vaak van: “Ik kan dat niet.” De formulering van de zinnen (korte, duidelijke vraagstelling, niet teveel ruis, …) moet voldoende aandacht krijgen bij het opstellen van werkmateriaal. We moeten ook voldoende ‘technische’ activiteiten inlassen (opstellen van tabellen, toenamediagrammen aanvullen, …) en droge oefeningen waarin de leerlingen de wiskundige aspecten kunnen inoefenen. Maar ook dan vinden we het belangrijk dat leerlingen op hun niveau begrijpen wat ze aan het doen zijn.

Grafisch rekentoestel, computer Wij maken in deze cursus veelvuldig gebruik van een grafisch rekentoestel (TI-83) en de computer. Wij beseffen zeer goed dat, meer nog dan in ASO, de individuele aanschaf van een grafisch rekentoestel niet vanzelfsprekend is. Vaak moeten deze leerlingen ook veel technisch materiaal aanschaffen. Een mogelijkheid is dat de school een voldoende aantal toestellen koopt en de leerlingen die in de klas laat gebruiken. In sommige gevallen kan de leerkracht de grafieken en tabellen zelf met een computer maken en ze op papier aan de leerlingen geven. We gebruiken in deze cursus niet enkel wiskundige software op de computer. Op het internet vind je ook zinvolle grafieken, werkbladen en applets.

Hoe is de cursus opgebouwd? We hebben gewerkt rond concrete lesideeën en maakte onmiddellijk bruikbare werkteksten. Dit wil niet zeggen dat je ze daarom ook als werktekst moet aanbieden in de klas. We denken dat dit kan, maar ze zijn ook bruikbaar als leidraad voor een leergesprek. Het grootste deel van het materiaal dat we gebruiken is verschenen in het tijdschrift Uitwiskeling, jaargang 19 nummer 2. Bijgevolg vind je een aantal van de werkteksten op de website www.uitwiskeling.be. We hebben ons beperkt tot de uitwerking van concreet lesmateriaal voor de eindtermen 10, 12 en 13. Met het verzamelde materiaal werkten we een cursus uit die Ankie in 2006-2007 voor de eerste maal gebruikt in haar klas 5 MV (2 lesuren wiskunde per week). We hebben ervoor gekozen om delen van deze cursus op te nemen. We geven hierbij ook het aantal lesuren dat aan de verschillende delen besteed zal worden. In een eerste hoofdstuk komt basiswiskunde aan bod. Hieraan worden 10 lesuren besteed. In paragraaf 1.1 van dit hoofdstuk geven we aan hoe er in de klas aan eindterm 10 (aflezen van bijzonderheden van grafieken en tabellen) kan gewerkt worden. Je zal merken hoe er geleidelijk aan meer wiskundige aspecten bekeken worden, maar evenzeer dat dit kan aan de hand van concrete en realistische contexten. De volgende 9 paragrafen handelen over de onderwerpen vergelijkingen oplossen, formules omzetten, procentberekeningen, goniometrie, formules in rechthoekige en willekeurige driehoeken, intervallen, stijgen en dalen, formules en verbanden en functies. Deze laatste paragraaf 1.10 hebben we opgenomen omdat er een aantal elementen benoemd worden die we ook in de verdere cursus gebruiken. De hoofdstukken 2, 3 en 4 handelen over tweedegraadsfuncties, exponentiële en goniometrische functies. De leerkracht besteedt hier in de les respectievelijk 8, 6 en 6 lestijden aan. Deze delen van de cursus zijn niet bijgevoegd. Het vijfde hoofdstuk over veranderingen neemt 10 lestijden in beslag. We bestuderen in de eerste paragraaf de studie van de verandering van functies met toenamediagrammen. In paragraaf 2 wordt de stap naar differentiequotiënten gezet en bestuderen we bijgevolg het begrip gemiddelde verandering. In de 3de en laatste paragraaf bestuderen we differentiequotiënten met een kleine stapgrootte om zo enige notie te krijgen van de ogenblikkelijke verandering. Tenslotte geven we in hoofdstuk 6 aan hoe het leren oplossen van problemen ook in deze afdelingen behandeld kan worden. Door gebruik te maken van een computer of grafisch rekentoestel kan het rekenwerk beperkt worden en kan de aandacht gaan naar het vertalen van de problemen. Aan dit laatste hoofdstuk worden 4 lesuren besteed.

4

2. Cursus gebruikt in 5 MV in het schooljaar 2006-2007 2.1. De klemtonen van de nascholing Hoofdstuk 1 1.1 Grafieken en tabellen lezen. In de eerste en de tweede graad maakten de leerlingen al kennis met grafieken en tabellen van verbanden en werd het begrip functie ingevoerd. Ze leerden uit deze grafieken en tabellen eigenschappen van de functies af te lezen. Omwille van de maatschappelijke relevantie is het zinvol dat deze vaardigheid onderhouden wordt en dus ook in de derde graad aan bod komt. Deze paragraaf heeft tot doel om leerlingen creatief te leren zijn met grafieken en tabellen. We bieden vier voorbeelden aan in de vorm van een werktekst. De voorbeelden komen tegemoet aan eindterm 10 over ‘Bijzonderheden van grafieken aflezen en veranderingen beschrijven’. De volgende functies kunnen op analoge wijze behandeld worden: afkoeling of opwarming van een voorwerp, gemiddelde dagtemperatuur voor een heel jaar, daglengte voor een heel jaar, geld sparen op een spaarrekening, … Symmetrie en lineaire en exponentiële groei worden niet expliciet behandeld.

Vertrekken van wat je kent Leerlingen leren werken met grafieken vanaf de lagere school. Een eerste instapvoorbeeld legt de link met wat de leerling al kan, of zou moeten kunnen. In de werktekst moeten leerlingen een grafiek en tabel interpreteren. Extreme waarden komen even aan bod zonder hieraan een abstracte wiskundige activiteit te koppelen. De werktekst kan ingeleid worden door wat informatie over Isaac Newton die aantoonde dat wit licht een mengeling van kleuren is. Wellicht weten de leerlingen hier al iets over uit de wetenschapslessen. Er wordt even gesproken over kleurenblindheid. Veel mensen denken dat kleurenblinden slechts in staat zijn om wit, grijs en zwart waar te nemen. Deze vorm van kleurenblindheid is echter uiterst zeldzaam. Meer voorkomend zijn kleurenblinden die niet in staat zijn om verschil te maken tussen rood en groen of kleurenblinden waarbij de cellen in de ogen ontbreken die gevoelig zijn voor blauw. Een leuke illustratie van een figuur en de verschillende wijzen waarop ze gezien wordt door kleurenblinden met verschillende soorten afwijkingen, vind je op http://www.colorjinn.com/nl/6opkleur/kleurloosheid/kleurbl/kleurbl.html. De werktekst start met achtergrondinformatie die de leerkracht eventueel zelf kan vertellen.

Werken met applets Een mooie applet voor het leren lezen van grafieken is ‘grafieken’ op www.wisweb.nl. De tweede werktekst en de oefeningen zijn gebaseerd op een werkblad dat je op het net bij deze applet vindt. De vragen zijn van een hoger niveau dan in de vorige werktekst. Er zitten ook enkele open vragen in, waarvoor er dus niet altijd één juist antwoord is. Sommige grafieken bieden zeker ook mogelijkheden voor een vakoverschrijdende activiteit. Het eerste voorbeeld wordt best klassikaal behandeld. De oefeningen aan de computer kunnen de leerlingen zelfstandig oplossen. In de laatste vraag moeten de leerlingen zelf zinvolle vragen bedenken bij een grafiek uit een krant of tijdschrift.

5

Hoofdstuk 5 5.1. Veranderingen en toenamediagrammen. Kijken naar veranderingen In het eerste voorbeeld van deze paragraaf lezen en interpreteren we de grafiek en gaan we op zoek naar hoe en waar de grafiek verandert. We trachten echter ook deze veranderingen te meten en berekenen. We willen hiermee een overgang maken naar de iets abstractere aanpak van de studie van veranderingen.

Veranderingen bestuderen met differenties In de volgende drie voorbeelden gaan we een stapje verder en zetten we deze toenames uit in een grafiek (toenamediagram). Zo kunnen we dieper ingaan op die veranderingen. Lineaire, kwadratische en exponentiële groei komen aan bod in de voorbeelden. Geld uitgezet op een spaarboekje groeit exponentieel. Interessant aan dit voorbeeld is dat de toename per jaar een concrete betekenis heeft, het is namelijk de intrest per jaar. De drie voorbeelden bereiden alle elementen van de definitie voor.

Voorbeeldoefeningen en oefeningen We sluiten de paragraaf af met een reeks voorbeeldoefeningen en oefeningen. We vonden hiervoor nog materiaal in [10]. In de oefeningen gebruiken we een aantal grafieken waarvan we het voorschrift niet kennen. De leerlingen moeten toenamediagrammen maken, maar ook interpreteren. Indien er voldoende tijd is, kan het probleem ook ‘omgekeerd’ worden. In twee oefeningen vertrekken we vanuit de toenames en zijn we op zoek naar de oorspronkelijke grafiek. De laatste oefening vestigt de aandacht op de stapgrootte. Als deze te groot is gaat er immers informatie verloren.

5.2. Gemiddelde verandering In heel veel gevallen kan de verandering van functies goed met differenties en toenamediagrammen bestudeerd worden. Als we echter veranderingen willen vergelijken waarbij de stapgroottes niet gelijk zijn, geven differenties een vertekend beeld. Daarom werkt men in zo’n geval met differentiequotiënten (de toename gedeeld door de lengte van het interval). In richtingen waar de stap naar afgeleiden gezet wordt, kan het werken met differentiequotiënten de betekenis van afgeleide voorbereiden: een differentiequotiënt over een voldoende klein interval is een goede benadering voor de afgeleide. Maar in TSO-richtingen met 2 uur wiskunde per week hoeven we die stap dus niet meer te zetten. Aan de hand van enkele concrete werkteksten geven we aan hoe de stap van differenties naar differentiequotiënten in de klas gezet kan worden en hoe leerlingen differentiequotiënten gebruiken om de verandering van functies te vergelijken. Toenamediagrammen geven een globaal beeld van de verandering van een functie. Differentiequotiënten kunnen we eerder gebruiken om de verandering in een bepaald interval te vergelijken met de verandering in een ander interval of de verandering van een andere functie.

Gemiddelde groei In het eerste voorbeeld kijken we naar ‘groeiende kinderen’ en verplichten de gegevens de leerlingen op een natuurlijke manier om de toenames te vergelijken t.o.v. de tijdsintervallen. In een eerste fase berekenen ze de gemiddelde toename (per jaar) over tijdsintervallen die groter zijn dan een jaar. Hier ligt het voor de hand dat er dan gedeeld moet worden door de lengte van het interval. In een tweede fase laten we zien dat de omzetting naar de groeisnelheid per jaar (de gemiddelde toename per jaar) ook kan voor tijdsintervallen kleiner dan een jaar.

6

Gemiddelde snelheid Het tweede voorbeeld is het bekende probleem van ‘heer Bommel’ die niet begreep dat hij te snel reed als hij maar 10 km op 15 minuten had gereden (zie [2] en [5]). In dit voorbeeld is het belangrijk de (gemiddelde) toename over een voldoende klein tijdsinterval te nemen. Er komt aan bod dat de gemiddelde snelheid over een interval overeenkomt met de steilheid van de grafiek en dat dit getal dus een maat is voor de verandering van de afgelegde weg t.o.v. de tijd.

Gemiddelde helling Het laatste voorbeeld legt explicieter het verband tussen de steilheid van een grafiek en het differentiequotiënt. Er wordt ingegaan op de grootte van het interval waarover de gemiddelde helling wordt berekend. Als toemaatje bekijken we de hellingspercentages die soms op verkeersborden staan door een wiskundige bril.

Definities, voorbeeldoefeningen en oefeningen We sluiten de paragraaf weer af met de definities die door de oefeningen werden voorbereid. De voorbeeldoefeningen hebben tot doel het nieuwe begrip in te oefenen. Je herkent enkele ‘droge oefeningen’ en enkele ‘context gerelateerde’. We hebben hier slechts twee oefeningen bijgevoegd. Een eerste oefening komt nog eens terug op het voorbeeld van de gemiddelde groei. De tweede oefening gaat over een parachute. We komen we nog eens terug op het verband tussen de grootte van de (gemiddelde) toename en de mate waarin de oorspronkelijke grafiek verandert. Omdat de valsnelheid na een tijdje constant is, komt de gemiddelde toename overeen met de ogenblikkelijke snelheid. Meer inspiratie voor oefeningen vind je in [10], [11] en de volgende paragraaf.

5.3. Ogenblikkelijke verandering. De ogenblikkelijke verandering moet volgens het leerplan niet meer uitdrukkelijk behandeld worden. We geven een aantal voorbeelden en leiden zo een definitie in voor de benadering van de ogenblikkelijke verandering. Dit kan aan sterkere leerlingen aangeboden worden. Het aangeboden materiaal kan uiteraard gebruikt worden binnen het onderwerp van de vorige paragraaf. We sluiten dit hoofdstuk van veranderingen af met een syntheseoefening waarin alle begrippen nog eens aan bod komen. We vertrekken vanuit een functievoorschrift. De leerlingen moeten van daaruit de formules opstellen. Ze denken met de grafiek en de grootheden na over de betekenis in de context van verandering, gemiddelde verandering en ogenblikkelijke verandering. Dan volgen de “logische” berekeningen van de oefening.

Hoofdstuk 6 We werken enkele voorbeelden uit waarin verschillende wiskundige concepten aan bod komen. De werkteksten zijn opgebouwd rond een extremumprobleem dat opgelost wordt zonder het gebruik van afgeleiden. De leerlingen lossen vergelijkingen en ongelijkheden op en interpreteren de oplossingen. De bedoeling is dat de leerlingen hier gedeeltelijk zelfstandig aan werken en gedeeltelijk in groep begeleid worden.

2.2. De cursus … klaar voor een eerste gebruik We gebruiken een ander lettertype zodat het onderscheid tussen de cursus die aan de leerlingen wordt aangeboden en de andere teksten in deze nascholing duidelijk is. 7

1. Basiswiskunde 1.1

Grafieken en tabellen lezen

1.1.1.

Voorbeelden

1. Kleuren zien Het witte licht van de zon is een mengeling van alle kleuren van de regenboog. De kleuren van het licht kunnen onderscheiden worden aan de hand van verschillende golflengten. Deze golflengten worden uitgedrukt in nanometer (nm), 1nm = 10-9m. Zo is licht met een golflengte tussen 450 en 480 nm blauw. In het netvlies van ons oog

zitten

zogenaamde

kleurenontvangers,

die

de

verschillende

golflengtes

onderscheiden. Bij kleurenblinden ontbreken cellen in de ogen die gevoelig zijn voor bepaalde kleuren. Mensen en dieren zien niet dezelfde kleuren. Zo zijn konijnen vrijwel geheel

kleurenblind. Ze kunnen enkel groen en blauw van elkaar

onderscheiden. Apen zien de meeste kleuren en een vlinder ziet zeer goed rood. Vandaar dat je vlinders vaak ziet op een klaprozenveld. In de onderstaande grafiek zie je welke golflengtes een mens en een honingbij kunnen zien. In de bijgevoegde tabel vind je de golflengte van de verschillende kleuren. Kleur

Golflengte

Ultraviolet

<380 nm

Violet

380 - 420 nm

Blauw-violet

420 - 450 nm

Blauw

450 - 480 nm

Blauw-groen

480 - 510 nm

Groen

510 - 550 nm

Geel-groen

550 - 570 nm

Geel

570 - 590 nm

Oranje

590 - 600 nm

Oranje-rood

600 - 630 nm

Rood

630 - 750 nm

1. Tussen welke golflengten liggen de kleuren die een mens kan zien? 2. Een bepaald type cellen in onze ogen is gevoeliger voor geel. Welke golflengtes kunnen we hiermee zien? 3. Kan een honingbij groen waarnemen? 4. Kan een mens ultraviolet waarnemen? 5. Welke kleuren kan een honingbij niet zien en de mens wel? 6. Welke kleuren kunnen zowel mensen als honingbijen zien? 7. Voor welke kleur is de mens het meest gevoelig? En de honingbij? 8. Hoe zie je dat op de grafiek? 9. Voor welke kleur zijn mens en honingbij even gevoelig? Hoe zie je dat op de grafiek? 8

2. Het verhaal bij een grafiek Vaak kan een verband tussen twee grootheden beschreven worden in woorden. Bijvoorbeeld: ‘hoe ouder hoe langer’ of ‘hoe hoger hoe kouder’. Je kan er ook een grafiek, tabel of formule van maken, die je meer informatie geven. Grafieken vertellen een verhaal. Deze twee grafieken ook.

Je kunt aflezen welke afstand in welke tijd is afgelegd. (Dit is het verband dat deze grafiek weergeeft in woorden beschreven.) Er zijn ook dingen die onmogelijk te achterhalen zijn. Bijvoorbeeld: Wie zijn Jaap en Els? Waar gaan ze naar toe? Hoe reizen ze? … 1. Vertel een verhaal dat bij deze grafiek past. Probeer alle gegevens die je uit de grafiek kan halen in jouw verhaal te gebruiken.

Suggestie: Maak eerst een lijst met alle informatie die je uit de grafiek kunt halen en een lijst met alle informatie die je zelf verzonnen hebt. Volgende vraagjes kunnen ook nog helpen: Wie vertrekt er eerst? Wat doen ze? Rijden, lopen, fietsen, kajakken, wandelen,…? Verplaatsen ze zich even snel? Wie heeft er eerst 20 km afgelegd? 2. Om twee uur ’s middags besluiten Jaap en Els om terug te gaan naar het vertrekpunt. Ze vertrekken op hetzelfde moment en elk gebruikt ongeveer dezelfde reistijd als op de heenreis. Teken voor beiden een mogelijke grafiek.

1.1.2.

OEFENINGEN grafieken en tabellen lezen

1. Een krant vol grafieken In het dagelijks leven kom je allerlei soorten grafieken tegen in tijdschriften, in de krant, op televisie, op het internet, … In de volgende opdrachten ga je gebruik maken van het applet ‘Grafieken’. Het bevat opdrachten waarin je verschillende soorten grafieken tegenkomt. Ga naar de site www.wisweb.nl. Kies ‘applets’ en vervolgens het onderwerp ‘algebra en analyse’ laat ‘alle schoolsoorten’ en ‘alle klassen’ staan. Klik op ‘OK’ en kies het applet ‘Grafieken’.

9

Je verandert van opdracht met behulp van de pijltjes in de hoek rechtsonder. Door op het omgekeerde driehoekje te klikken, krijg je verschillende mogelijke antwoorden. Je kan je antwoorden controleren door op ‘klaar’ te klikken. Opdracht 2 beschrijft een verband tussen temperatuur en tijd, opdracht 5 tussen snelheid en tijd en opdracht 12 tussen windrichting en tijd. 1. Maak opdracht 2. Beschrijf het verband dat deze grafiek weergeeft in woorden. 2. Maak opdracht 5. Beschrijf het verband dat deze grafiek weergeeft in woorden. 3. Maak opdracht 12. Beschrijf het verband dat deze grafiek weergeeft in woorden. 4. Maak opdracht 11. 5. Men zegt dat dit laatste verband (ongeveer) periodiek is. Wat zou men daarmee bedoelen? 6. Waarom is de grafiek van de hoogte van het water in functie van de tijd niet helemaal periodiek? 7. Maak opdracht 10. 8. De grafiek hieronder kun je vinden bij opdracht 10 van het applet ‘Grafieken’.

a) Geef een situatie waarvoor de informatie in deze grafiek belangrijk kan zijn. b) Leg uit waarom het belangrijk zou zijn. c) De volgende tabel geeft de minimum- en

maximumtemperatuur en

gemiddelde temperatuur van 5, 10, 15 en 25 juli. Vul ze aan door de gevraagde temperatuur van de grafiek af te lezen.

5 juli T-minimum

10 juli

15 juli

12 °C

T-gemiddeld T-maximum

25 juli

16 °C 20 °C

d) Hoe zou jij de gemiddelde temperatuur op een dag berekenen?

10

2. Hoe oud zal ik worden? Waarschijnlijk heb je nog niet vaak stilgestaan bij de vraag uit de titel. Je bent immers jong en hebt nog een heel leven voor je. Mocht je echter bv. in Mozambique (zuidelijk Afrika) wonen, dan was de kans groot dat je al in de helft van je leven was! De gemiddelde levensverwachting bij de geboorte is daar 35,46 jaar. In West-Europa ligt de gemiddelde levensverwachting veel hoger. Toch was dit

niet

altijd

zo.

De

onderstaande

grafiek

toont

de

evolutie

van

de

levensverwachting bij de geboorte in België in de vorige eeuw.

1. De grafiek en tabel komen van het Nationaal Instituut voor de Statistiek (NIS) en bevatten dus officiële gegevens. Als je de grafiek vergelijkt met de tabel merk je dat men een fout maakte bij de grafiek. Corrigeer dit. 2. Een meisje werd in 1980 geboren. Wat is haar levensverwachting? Wat betekent dit concreet voor dat meisje? 3. Uit de grafiek kan je je eigen levensverwachting aflezen. Doe dit. Wat zou het resultaat zijn als je van het andere geslacht was? 4. Zoek eens op wat de levensverwachting van je vader en moeder was bij hun geboorte. En van één van je grootouders. 5. Kan je zelf verklaringen bedenken voor je eigen hogere levensverwachting? 6. In de inleiding stond dat de levensverwachting in Mozambique 35,46 jaar is. Heb je enig idee waarom dit zo laag ligt? 11

7. Je ziet dat de grafiek op twee (drie) plaatsen een duik naar beneden maakt. In welke periodes gebeurde dit? Kan je hiervoor een verklaring geven? 8. De grafiek voor de vrouwen ligt hoger dan die van de mannen, maar heeft wel (ongeveer) dezelfde vorm. Hoe moet je dit interpreteren?

12

1.10. Functies Functies 1.10.1 Algemeen Inleidend voorbeeld Een vliegtuig stijgt op. De temperatuur T daalt naarmate de hoogte h toeneemt volgens de formule T = 18 - 6h. 1. Vervolledig de tabel Hoogte h (km)

0

1

2

3

4

5

6

Temperatuur T (°C) 2. Teken de grafiek

Bij elke hoogte behoort één temperatuur. We zeggen dat de temperatuur een functie is van de hoogte. Een formule die aan elk gekozen getal ten hoogste één uitkomst toevoegt, beschrijft een functie.

De formule T = 18 – 6h kan je ook schrijven als functievoorschrift en dit met de haakjesnotatie. Formulenotatie

Haakjesnotatie

T = 18 – 6h

f(h) = 18 – 6h f(x) = 18 – 6x f(x) = –6x + 18

13

Nog enkele voorbeelden van functies: Formulenotatie Formulenotatie

Haakjesnotatie

y = 3x²

g(x) = 3x²

v=

6 t

f(t) =

6 t

We kunnen voor elke hoogte de bijhorende temperatuur berekenen door de functiewaarde te berekenen. Wat is de temperatuur op een hoogte van 2,5 km? f(h) = 18 – 6h f(2,5) = 18 – 6 . 2,5 = 3 Het getal 2,5 dat we invullen noemen we een origineel en de uitkomst 3 is de functiewaarde. functiewaarde De originelen zijn dus de x-waarden en de functiewaarden zijn de y-waarden.

De verzameling originelen van een functie f noemen we het domein van de functie. Notatie :

domf

Bij praktische problemen beschreven met functies, wordt meestal gewerkt binnen een vooraf bepaald domein, het werkdomein genoemd.

1.10.2. OEFENING functies algemeen Een kaars is 18 cm hoog en brandt op in 6 uur. a)

Noteer het voorschrift van deze lineaire functie in formulenotatie met h (hoogte) in cm en t (tijd) in uren

b)

Noteer het voorschrift met de haakjesnotatie.

c)

Maak een grafiek van de functie.

d)

Wat is het praktisch werkdomein van deze functie?

e)

Ligt het punt (5,3) op de grafiek?

f)

Wat is 5 functiewaarde of origineel?

g)

Wat is 3 functiewaarde of origineel?

h)

Bereken de functiewaarde van 4.

14

5.

Veranderingen Veranderingen

In het dagelijks leven maken we voortdurend kennis met zaken die veranderen:


Je groeit dus je lengte verandert als je ouder wordt.




Als je met je fiets of bromfiets rijdt verandert de afstand die je aflegde, tenzij je natuurlijk voor een stoplicht staat. Een berg is een voorbeeld van de hoogte van het landschap (t.o.v. de zeespiegel) dat




verandert. Met alle drukte op de wegen is het moeilijk om met de auto aan een constante




snelheid te rijden, dus ook de snelheid verandert voortdurend. De zomer van 2006 was heel speciaal: juli was te warm en augustus te koud. De




temperatuur verandert ook.


In de winter zijn de dagen korter dan in de zomer. De lengte van de dag verandert.




De kosten die een bedrijf maakt om een aantal producten te maken, veranderen als het meer of minder producten moet maken.

In de vorige voorbeelden komen telkens twee grootheden aan bod waartussen een verband bestaat. Vul de onderstaande tabel aan: Voorbeeld

Eerste grootheid

Tweede grootheid

X

y

Groeien

Tijd

Lengte

Fiets

Tijd

Berg

Horizontale afstand

Auto Zomer

Snelheid Tijd

Winter en zomer Bedrijf

Lengte Aantal producten

Kosten

Het zijn allemaal functies. We zeggen: De lengte van een persoon in functie van de tijd. Maak vergelijkbare zinnen voor de andere voorbeelden: Fiets: Berg: Auto: Zomer: Winter en zomer: Bedrijf: Een functie kunnen we grafisch voorstellen met z’n grafiek. In deze paragraaf lezen en interpreteren we een grafiek en gaan we op zoek naar hoe en waar de grafiek verandert. We trachten echter ook deze veranderingen te meten, te berekenen en grafisch voor te stellen. Hiervoor zullen we de formulenotatie of haakjesnotatie van de functie nodig hebben.

15

5.1 Veranderingen en toenamediagrammen 5.1.1 Voorbeelden Voorbeeld 1: Koorts veroorzaakt door de beet van een jeukmug In sommige delen van de wereld kunnen muggen nare ziektes veroorzaken. Van de jeukmug kun je “Sandfly fever” krijgen. Het is een ziekte die vooral voorkomt in Egypte, India, Iran, Italië en Pakistan. Tijdens de Golfoorlog was het één van de gevreesde ziektes voor de VStroepen. De volgende grafiek geeft de koorts weer in graden Celsius. Het tijdstip 0 stemt overeen met het moment dat de mug gestoken heeft. Het tijdstip 1 is dan 24 uur later.

1.

Wat is de normale lichaamstemperatuur van de patiënt?

2. Hoeveel dagen na de beet krijgt de patiënt koorts? 3. De grafiek toont twee koortsaanvallen. Welke is de ergste? 4. Wat is de hoogste temperatuur die bereikt wordt? 5. Geef twee momenten waarop de temperatuur van de patiënt stijgt en twee waarop de temperatuur daalt. 6. Vul de volgende tabel aan. We meten telkens om middernacht. aantal dagen na de beet

verandering van de Temperatuur

temperatuur t.o.v. één dag vroeger

0 1

0°C

2

– 0,1°C

3 4

16

5 6 7

+0,5°C

8 9

7. Wat betekent de negatieve verandering uit kolom 3 van de vorige vraag.

(De temperatuur is gedaald ten opzichte van de vorige dag.) Je hebt in dit voorbeeld temperatuursverschillen berekend en zo getallen gekoppeld aan de veranderingen die zichtbaar waren op de grafiek. Positieve getallen wijzen op een toename en negatieve getallen wijzen op een afname. De grafiek had een grillige vorm en is er één waarvoor het voorschrift niet gekend is. In het volgende voorbeeld zullen we werken met een grafiek waarvan je het voorschrift wel kent en ga je een stapje verder. Je zal de veranderingen uitzetten in een grafiek (toenamediagram). Zo kunnen we dieper ingaan op die veranderingen.

Voorbeeld 2: Omtrek van een vierkant In dit voorbeeld vergelijken we de omtrek van een vierkant als de zijde toeneemt. Gegeven zijn vierkanten van verschillende afmetingen. 1.

Schrijf de juiste formule voor de omtrek en vul de tweede kolom in.

Zijde z van het

Omtrek O = …

vierkant (in cm)

(in cm)

Verandering van de omtrek (in cm)

0 1 2 3 4 5

Als je de zijde telkens 1cm groter maakt, dan neemt de omtrek ook telkens toe. 2.

Schrijf in de derde kolom hoeveel er bij de omtrek is bijgekomen (in vergelijking met het vorige vierkant).

3.

In de tabel komt een functie voor die voorgesteld wordt door O = 4 z . Is dit een formule- of haakjesnotatie? Zet deze om naar de andere notatie.

4.

Beantwoord de volgende vragen:

a. Bij wiskundige vragen zonder context gebruiken we meestal de veranderlijken x en y. Zet de formulenotatie in vraag 3 om naar een vorm met x en y. 17

b. Wat is de verandering van de omtrek als de zijde toeneemt van 2cm naar 4cm? Deze verandering stellen we symbolisch voor door verandering van de omtrek. Dus

∆y en is bijgevolg de

∆y =

∆y hoort steeds een stapgrootte ∆x . Dat is hier de toename van de zijde. Dus ∆x = Bij een verandering

c. Wat is de verandering van de omtrek als de zijde toeneemt van 1cm naar 5cm?

∆y = ∆x = d. Wat is de verandering van de omtrek als de zijde toeneemt van 1cm naar 4cm?

∆y = ∆x =

We spreken over de verandering van een functie over een bepaald interval en stellen het voor door ∆y . De lengte van dit interval noemen we de stapgrootte en stellen het voor met

∆x

De onderstaande uitspraken over het bovenstaande voorbeeld zijn allemaal juist en hebben dezelfde betekenis:

5.




De omtrek neemt met 8cm toe als de zijde met 2cm toeneemt.




De verandering van de omtrek is 8 over het interval [2,4].




De verandering van de omtrek is 8 bij stapgrootte 2.




De verandering van de functie f over het interval [2,4] is 8

Schrap wat niet past: In de tabel hebben we telkens de verandering van de omtrek berekend over intervallen met gelijke/ongelijke stapgrootte.

6.

Maak de grafiek van de omtrek als functie van de zijde.

18

Als we ook een grafische voorstelling maken van de toenames, dan spreken we van een toenamediagram. 7.

Vervolledig het toenamediagram hieronder

8.

Hoe noem je het soort verband tussen de omtrek en de zijde van een vierkant?

(Recht evenredig, lineair, eerstegraadsfunctie.) 9.

Wat valt je op bij het toenamediagram?

(De toename is constant)

19

Voorbeeld 3: Oppervlakte van een vierkant. In dit voorbeeld vergelijken we de oppervlakte van een vierkant als de zijde toeneemt. Gegeven zijn vierkanten van verschillende afmetingen. 1.

Schrijf de juiste formule voor oppervlakte en vul de tweede kolom in.

Zijde z van het vierkant

Oppervlakte S = …

(in cm)

(in

cm2)

Verandering van de oppervlakte (in cm2)

0 1 2,5 3 6 8 Als je de zijde telkens groter maakt, dan neemt de oppervlakte ook telkens toe. 2.

Bereken in de derde kolom de toename van de oppervlakte (in vergelijking met de oppervlakte van het vorige vierkant).

3.

Beantwoord de volgende vragen:

a. Wat is de verandering van de oppervlakte als de zijde toeneemt van 1cm naar 2,5cm?

b. Wat is de verandering van de oppervlakte over het interval [1,6]? c. Wat is de verandering van de oppervlakte over het interval [3, 6]? 4.

Schrap wat niet past: In de tabel hebben we telkens de verandering van omtrek en oppervlakte berekend over intervallen met gelijke/ongelijke stapgrootte. De stapgrootte stellen we voor door ∆y / ∆x .

5.

Vul in de lege vakjes van de onderstaande tabel één van de volgende termen in bij het juist symbool: toename zijde OF toename oppervlakte

∆x ∆y

20

6.

Maak de grafiek van de oppervlakte als functie van de zijde.

7.

Maak het toenamediagram van de oppervlakte

8.

Hoe noem je het verband tussen de oppervlakte en de zijde van een vierkant?

(Kwadratisch, tweedegraadsfunctie.) 9.

Als je de punten van het tweede toenamediagram verbindt, dan bekom je een …..

(rechte lijn)

21

In het vorige voorbeeld zag je een voorbeeld van lineaire groei en een groei die met een tweedegraadsfunctie kan beschreven worden. In het volgende voorbeeld komt exponentiële groei aan bod.

Voorbeeld 4: Sparen De ouders van Jente openden bij haar geboorte een spaarrekening. Op 1 januari 2007 beschikt Jente over €500. Door haar drukke vrijetijdsbesteding slaagt ze er niet meer in om extra te sparen. Jente besluit echter wel om niet aan haar geld van de spaarrekening te raken. Ze stort dus niets en neemt ook niets op. Het bedrag van de spaarrekening zal bijgevolg enkel veranderen door de jaarlijkse intrestbijschrijving van 3% op 1 januari. 1. Bepaal de intrest die Jente krijgt op 1 januari 2008. 2. We beginnen te rekenen vanaf 1 januari 2007 en laten dit overeenstemmen met t = 0 . Als de tijd (t) in jaren uitgedrukt wordt, welke datum stemt dan overeen met

t = 5?

3. Het bedrag van de spaarrekening kunnen we ook met een functievoorschrift voorstellen. Stel dit op. Je mag kiezen of je de formule- of haakjesnotatie gebruikt. 4. Vul de volgende tabel aan:

Tijd (in jaren)

Bedrag op

t = 0: 1 jan 2007

spaarrekening

Verandering van het bedrag

op

de

spaarrekening

0 1 3 4 7 15

5. Wat betekenen de symbolen

∆x en ∆y in dit voorbeeld?

6. Wat stelt het bedrag in de derde kolom van de bovenstaande tabel telkens voor? Kruis het juiste antwoord aan: o

Het geld dat op de rekening staat.

o

De intrest .

o

Het geld dat je op de rekening stort.

7. Teken de grafiek van het bovenstaande verband. 8. Teken het toenamediagram.

22

9. Beantwoord de volgende vragen: a. Met hoeveel neemt het bedrag op de spaarrekening toe/af van 1/01/2008 tot 1/01/2011? b. Bepaal de verandering van de functie over het interval [0,3] c. Bepaal de stapgrootte bij de verandering in b .

In dit voorbeeld leerde je dat geld dat uitgezet wordt op een spaarboekje exponentieel groeit (als je tenminste geen extra geld stort of geld afhaalt). Interessant aan dit voorbeeld is dat de verandering per jaar een concrete betekenis heeft, het is namelijk de intrest per jaar.

5.1. 5.1.2 1.2 Definities Voorbeeld: Oppervlakte bij een veranderende

Definitie De verandering

∆y van de functiewaarde

f ( x) over een interval [ a, b] is het verschil f (b) − f ( a ) Formule: ∆y = f (b) − f ( a )

En dus is

dit verschil negatief is.

∆x = b − a

∆y = 62 − 42 = 22

De oppervlakte over het interval

verschil positief is en van een afname als

en

De verandering van de oppervlakte over het interval [4, 6] :

f (b) = f (6) = 62 en f (a ) = f (4) = 42

We spreken van een toename als dit

De stapgrootte stellen we voor door

zijde: f(x)=x²

∆x

[4, 6] is

toegenomen.

∆x = 6 − 4 = 2

Een grafiek waarop de veranderingen voorgesteld zijn met verticale staafjes op de horizontale as, noemen we een toenamediagram.

23

5.1.3 Voorbeeldoefeningen. Voorbeeldoefeningen. 1.

De gegevens in de twee eerste kolommen van de onderstaande tabel geven de lengte van een persoon bij een bepaalde leeftijd. Leeftijd in jaar

Lengte in cm

0

53

1

80

2

102

3

107

4

111

5

119

Verandering

a. Bereken telkens de verandering en vul dit in de derde kolom in. b. Teken het toenamediagram. 2.

Bekijk de onderstaande grafiek:

Bepaal de verandering

a. b. c. d. 3.

over het interval [0,1] over het interval [0,2] over het interval [2,3] over het interval [4,6]

Gegeven is de volgende functie:

f ( x) = x 2 + 2 x in het interval [0,3]

a. Maak een tabel waarbij je in de eerste kolom x laat toenemen met een stapgrootte 1, in de tweede kolom bereken je de bijhorende functiewaarde en in de derde kolom bereken je de verandering.

b. Teken het toenamediagram 4.

Gegeven is de volgende functie:

f ( x) = 3 x 2 + 1 . Bepaal de verandering

a. over het interval [3,6]. b. over het interval [-2,10]. 24

5.1.4 Oefeningen. 1. Diepte van een rivier na hevige regenval regenval “Zijn de winterstormen in Frankrijk en de overstromingen in België een gevolg van temperatuursstijgingen?” Frank Deboosere antwoordde hierop: “We kennen de oorzaak hier niet van. Er zijn niet meer orkanen, overstromingen of stormen dan vroeger. Het feit dat er nu grotere overstromingen zijn dan vroeger komt niet doordat het meer regent, maar doordat het water te gemakkelijk afvloeit. Vroeger werd dit door natuurlijke buffers tegengehouden waaronder beemden, sloten, grachten, … Nu hebben we de rivieren recht getrokken; veel natuurlijke buffers zijn verdwenen waardoor meer gebieden overstromen. Daarbij is er veel materiële schade omdat mensen zijn gaan bouwen in overstromingsgebieden!” Als het hevig regent, zwellen de rivieren. De onderstaande grafiek geeft de diepte van een rivier weer tijdens een felle regenbui.

1.

Wat is de normale diepte van de rivier?

2.

Wanneer is de rivier het diepst? Hoe diep is ze dan?

3.

Hoeveel is de diepte dan toegenomen onder invloed van de regen?

4.

Wanneer neemt de diepte van de rivier toe? Wanneer neemt de diepte terug af?

5.

Wanneer is de rivier terug op zijn oorspronkelijke peil?

6.

Bepaal de verandering over de volgende intervallen:

a. [0,4] b. [4,5] c. [4,8] d. [8,9] e. [9,13]

25

7.

Schrap wat niet past in de volgende zin: Het begrip stapgrootte gaat hier over de tijd/de diepte.

8.

Vul de onderstaande tabel aan.

Uur na de start

Diepte

van de regen

rivier

van

de

Toename of afname van de diepte t.o.v. twee uur vroeger

0

10,0 m

2

10,4 m

0,4m

4 6 8

-1,2 m

10 12 14

9.

Wat is de stapgrootte in de bovenstaande tabel?

10. Wat betekenen de negatieve waarden in de laatste kolom? 11. Wanneer neemt de diepte van de rivier het meest toe? 12. Maak een toenamediagram bij de tabel uit vraag 8.

26

Voor- en nadelen nadelen van toenamediagrammen: toenamediagrammen: Kinderen worden groot 2. VoorEen kind groeit niet elk jaar even snel. Als je kinderen onderling vergelijkt, merk je bovendien dat elk kind zijn eigen ‘groeiwijze’ heeft: de ene groeit in een geleidelijk tempo, een andere blijft een hele tijd klein en krijgt dan plots een ‘groeischeut’. Vaak houden ouders in een boekje de lengte bij van hun kinderen. Hieronder vind je twee groeigrafieken die gemaakt werden aan de hand van dergelijke gegevens. Vraag jij thuis eens of je ouders ook voor jou een dergelijke grafiek maakten.

Groeigrafiek van An

Groeigrafiek van Toon

1.

Wat zijn de meest opvallende verschillen tussen beide grafieken?

2.

Geef twee leeftijden waarop Toon groter is dan An en twee leeftijden waarop An groter is dan Toon.

3.

Er is een periode waarin An sneller groeit dan Toon. Wanneer is dit?

4.

Hoe zie je dat op de grafieken?

5.

In een andere periode groeit Toon dan weer sneller dan An. Wanneer?

Toon groeit vanaf zijn eerste tot zijn twintigste levensjaar. In sommige periodes groeit hij echter sneller dan in andere periodes. 6.

Geef een periode waarin Toon sneller en sneller groeit en een periode waarin hij trager en trager groeit.

7.

Hoe zie je dit op de grafiek?

8.

Bepaal voor An de verandering over het interval [10,15].

9.

Wat is de betekenis van de verandering uit vraag 8. in de gegeven context?

27

10. Op de grafieken hieronder heeft men telkens verticale streepjes aangegeven. Wat stellen deze streepjes voor?

(hoeveel centimeter An en Toon gegroeid zijn in het voorbije jaar.) Groeigrafiek van An

Groeigrafiek van Toon

11. Vervolledig de grafiek bij Toon. 12. Hieronder hebben we van die lengtetoenames per jaar een afzonderlijke grafiek gemaakt. Hoe noem je zo’n grafiek?

13. Ook hier is het toenamediagram van Toon niet volledig. Maak dit verder af. 14. Wat is de stapgrootte in het toenamediagram van An?

28

15. De volgende tabel geeft een aantal van de vorige vragen. Verder zie je twee kolommen: één met als titel ‘grafiek’ en één met als titel ‘toenamediagram’. Zet een kruisje als je de vraag kan oplossen met behulp van het gegeven van de titel. Vraag

Grafiek

Toename Diagram

1. Geef een leeftijd waarop Toon groter is dan An 2. Is er een periode waarin An sneller groeit dan Toon? 3. Geef een periode waarin Toon sneller en sneller groeit.

16. Welke vraag kan je niet beantwoorden als je enkel beschikt over het toenamediagram?

(Vraag 1.) 17. Welke vragen kan je beter beantwoorden m.b.v. het toenamediagram en waarom?

(Vraag 1 omdat je nu de hoogtes van de staafjes rechtstreeks kan vergelijken; vraag 2 en 3 omdat je nu moet kijken naar de toename (sneller groeien) of afname (trager groeien) van de staafjes.)

29

3. Trouwen of scheiden? Het aantal huwelijken in het Vlaamse Gewest daalt en het aantal echtscheidingen stijgt. De evolutie van het aantal echtscheidingen per 100 000 inwoners sinds 1990 lezen we af op de volgende grafiek.

1. De procedure voor een echtscheiding met onderlinge toestemming werd voor de eeuwwisseling ingekort tot 6 maanden. Lees op de grafiek af in welk jaar dat gebeurde. Hoe valt dit te verklaren op de grafiek? 2. Gegeven zijn twee bijbehorende toenamediagrammen met verschillende stapgrootte.

Op welk toenamediagram stellen we deze wetswijziging het best vast? 3. Wat is het nadeel van een toenamediagram met een te grote stapgrootte? 4. Hoe groot was sinds 1990 het maximale aantal echtscheidingen per 100 000 inwoners? 5. Hoeveel echtscheidingen waren er toen meer dan in het vorige jaar? En hoeveel minder in het volgende jaar.

30

4. Roken kan je gezondheid schade Op het volgende vergelijkend lijndiagram stellen we vast dat de evolutie van het aantal rokende mannen en vrouwen ouder dan 15 jaar, niet gelijkmatig verloopt.

1. Teken bij elk lijndiagram een toenamediagram met een stapgrootte van 1 jaar.

2. Wanneer is het percentage mannelijke rokers in België het sterkst toegenomen? En het sterkst afgenomen?

3. Waneer is het percentage vrouwelijke rokers in België het sterkst toegenomen? En het sterkst afgenomen?

4. Hoeveel maal is het percentage rokende mannen gedaald?

5. Hoeveel maal is het percentage rokende vrouwen ongewijzigd gebleven?

31

5. Verschillende stapgrootten. Teken bij de gegeven grafiek een toenamediagram met de volgende stapgrootten.

1. Stapgrootte

∆x = 1

2. Stapgrootte

∆x = 2

3. Stapgrootte

∆x = 0,5

4. Welke van de bovenstaande stapgrootten vind jij het beste en waarom?

32

6. De marathonloop Hieronder zie je de tussentijden van de marathon van Peking in 1982 van de winnaar Li Jong Hyong en van de best geklasseerde Belgische deelnemer, Jules Grimon, die tiende werd.

Tijd na: 5km

10km

15km

20km

Halfweg

25km

30km

35km

40km

Eindtijd

Li Jong Hyong

16’31’’

32’56”

49’41”

1:6’31”

1:10’1”

1:21’53”

1:36’47”

1:51’59”

2:7’28”

2:14’44”

Jules Grimon

16’30”

33’11”

49’49”

1:6’24”

1:10’27”

1:23’00”

1:38’50”

1:54’52”

2:10’56”

2:18’14”

Een volledige marathon is 42,2 km lang en halfweg is dus na 21,1 km. 1. Hieronder zie je een grafiek van deze tijden. In welke delen van de wedstrijd was Jules Grimon beter dan de winnaar? Kun je dat goed van deze grafiek aflezen? Zou je dit zo onmiddellijk uit de tabel kunnen aflezen? Wedstrijdverloop marathon Peking 1982

140

120

tijd in minuten

100

80 Jules Grimon Li Jong Hyong 60

40

20

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

afstand

33

2. Maak voor beide lopers voor de eerste 40 km een toenamediagram met een stapgrootte van 5 km. Hiervoor kun je best eerst de tijden van de vorige tabel omzetten in minuten en in decimale vorm.

Tijd na: 5km

10km

15km

20km

Li Jong Hyong Jules Grimon

Halfweg

66,52’

25km

30km

35km

40km

Eindtijd

81,88’

16,5’

114,87’

3. In welke delen van de wedstrijd heeft Jules Grimon sneller gelopen dan de winnaar. Moet je daarvoor de snelheid berekenen?

4. Welke toename bestuderen we hier en wat betekent dit voor de snelheid van de lopers?

5. De computer maakt de toenamediagrammen op de volgende manier. Wat zijn de voordelen en nadelen van deze voorstelling in vergelijking met de vorige? toenames per 5 km 17 tijd in minuten

16,5 16 15,5

Jules Grimon

15

Li Jong Hyong

14,5 14 13,5 5

10

15

20

25

30

35

40

afstand

6. Geef voor beide lopers de gemiddelde snelheid in km/u voor de hele marathon en voor het deel tussen 20 en 25 km.

7. In een marathon plaatst men meestal na elke kilometer een bord. De lopers vergelijken hun snelheden gedurende de wedstrijd dan door te kijken naar de tijd (in minuten) die ze nodig hadden per km. Hoe zouden wij deze getallen noemen?

8. Kunnen wij deze toenames per km uit de bovenstaande tabel halen?

9. Hoe kunnen we ze eventueel benaderen? We spreken dan van de gemiddelde toename van de tijd per kilometer.

34

10. Bereken de gemiddelde toename van de tijd per kilometer voor km 30 tot km 35 en voor km 35 tot km 40 voor beide lopers.

Terug naar de grafiek bij vraag 1. Vanaf km 40 lijken beide grafieken ook evenwijdig. 11. Wat betekent dit voor de toenamediagrammen?

12. Hoe zou je de gemiddelde toename per km voor km 41 en km 42 berekenen?

13. We kunnen deze gemiddelde toenames gebruiken om een benadering van een toenamediagram

met

stapgrootte

1

km

te

maken.

Vul

de

onderstaande

toenamediagrammen aan tot aan 42 km.

Toenames per km 4 3,5

minuten

3 2,5 Jules Grimon

2

Li Jong Hyong

1,5 1 0,5 40

37

34

31

28

25

22

19

16

13

10

7

4

1

0 afstand in km

14. Bereken nu de (gemiddelde) tijd per km tussen km 20 en half weg en tussen half weg en km 25 voor Li Jong Hyong.

15. Gebruik dit om te verklaren dat Li Jong Hyong tussen de 20ste en 25ste km niet echt met een constante snelheid liep.

16. Doe hetzelfde voor Jules Grimon.

35

17. Jules Grimon heeft veel marathons gelopen. Bepaal ook bij de resultaten van een marathon in Berchem in 1979 en in Polen in 1980 de toenames van de tijd per km voor de eerste 5 km en de laatste 2,2 km.

5km

10km

15km

20km

25km

30km

35km

Berchem

16’47’’

31’22”

46’10”

Polen

15’20”

31’13”

47’08”

40km

Eindtijd

1:4’14”

1:19’58”

1:35’34”

1:51’37”

2:9’23”

2:17’58”

1:3’16”

1:18’23”

1:35’35”

1:51’56”

2:9’36”

2:17’31”

18. Hieronder zie je de grafieken van de gemiddelde toenames per kilometer. Vergelijk de grafieken met elkaar en geef commentaar over het wedstrijdverloop. Gemiddelde toenames per kilometer Jules Grimon 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Peking

1

6

11

16

21

26

31

36

41

Gemiddelde toenames per kilometer Jules Grimon

4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Berchem

1

6

11

16

21

26

31

36

41

Gemiddelde toenames per kilometer Jules Grimon 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Polen

1

6

11

16

21

26

31

36

41

36

7. Het probleem omgekeerd: Een vakantie werken Jan heeft zich ingeschreven voor een vakantiewerkkamp. Gedurende twee maanden woont en helpt hij op een boerderij. Hij verblijft de hele periode op de boerderij en alle onkosten die hij maakt worden afgetrokken van zijn loon. Dat loon hangt uiteraard af van het aantal uren dat hij gewerkt heeft. Op het einde van elke week krijgt hij een afrekening en wordt het verdiende geld op zijn rekening geplaatst of moet hij de kosten betalen. Zo verdiende hij tijdens de tweede week van zijn verblijf 120 euro, maar hij deed een uitstap die 70 euro kostte; hij hield dus 50 euro over. Hieronder zie je de afrekening per week in een tabel. 50 in de tabel wil dus zeggen dat hij netto 50 euro verdiend heeft, −50 wil zeggen dat hij meer onkosten had dan loon en dus 50 euro moet betalen.

1.

week

afrekening

1

200

2

50

3

– 20

4

150

5

75

6

– 60

7

30

8

120

9

– 50

Zet deze gegevens om in een grafiek.

37

2.

Maak ook een tabel en een grafiek van het totale bedrag dat Jan tot dan toe verdiend heeft op het einde van elke week.

week

totaal verdiend

1

200

2 3 4 5 6 7 8 9

3.

Wat is het verband tussen beide grafieken?

4.

Kan je ook een grafiek maken van het totale bedrag dat op de rekening staat? Waarom wel/niet?

(Je weet niet wat de startwaarde is op de rekening, tenzij je ervan uitgaat dat Jan startte met 0 euro.)

8. Toenamediagrammen tekenen tekenen Teken een toenamediagram met stapgrootte

∆x = 1 van de volgende functies met

werkdomein [0,5]

a. b.

f ( x) = − x 2 + 5 x − 7 f ( x) = −1, 5 x + 3

c.

f ( x) = 0, 75 x 2 − 3 x

d.

f ( x) = −0, 05 x 3

38

9. Toenamediagram gegeven gegeven 9.1. Hieronder vind je 4 toenamediagrammen en 4 grafieken. Verbind elk toenamediagram met de bijbehorende grafiek.

39

9.2. Hieronder links vind je een toenamediagram, met een stapgrootte van 1 dag, van de koers van de dollar t.o.v. de euro gedurende één week. Vul de grafiek van de koers van de dollar hieronder rechts verder aan. De beginkoers (dag 0) was gelijk aan €0,973.

9.3. Hieronder staat een toenamediagram dat hoort bij een functie f.

1.

Schets hoe de grafiek van f zou kunnen lopen.

2.

Er zijn verschillende mogelijkheden voor de grafiek van f. Waarom?

(Twee redenen: de beginwaarde is niet gekend en we weten niet hoe de functie loopt tussen de stappen van het toenamediagram.)

40

10. Koorts veroorzaakt door de beet van een jeukmug (vervolg)

1.

Vul de onderstaande tabel aan aantal dagen na de beet

verandering van de Temperatuur

temperatuur t.o.v. één dag vroeger

0 2

– 0,1°C

4 6 8

2.

Wat is in deze tabel de stapgrootte?

Op de grafiek zie je duidelijk dat er tijdens de zesde en zevende dag (tussen 5 en 7 op de horizontale as) eerst een temperatuursdaling is, waarna de patiënt terug een koortsaanval krijgt. 3.

Hoe komt het dat je dit verschijnsel niet terugvindt in de tabel bij vraag 1?

(In de tabel staan enkel meetresultaten genomen op het einde van elke tweede dag.) 4.

Bekijk de tabel die we over dit voorbeeld maakten onder het eerste voorbeeld van 5.1.1.. Hoe komt het dat we dit verschijnsel in deze tabel wel terugvinden?

5.

Hoe kan je de evolutie van de temperatuur van de patiënt nog beter volgen?

(door nog meer tussenresultaten te vermelden, bv. de meetresultaten per dag of per halve dag weergeven, kleinere stapgrootte nemen)

41

6.

Meer informatie in de tabel weergeven, heeft ook nadelen. Kan je er één vermelden?

(Te veel informatie maakt het geheel onoverzichtelijk.)

Op het einde van deze paragraaf zouden jullie het volgende moeten kennen: Een verband tussen twee dingen kun je op verschillende manieren duidelijk maken: met woorden, met een formule, met een tabel of met een grafiek. In deze paragraaf hebben we verbanden bestudeerd in een bepaalde context aan de hand van grafieken en tabellen. In sommige voorbeelden of oefeningen kwam een formule aan bod. Op een grafiek kan je stijgen, dalen, maxima en minima goed zien. Twee grafieken die in hetzelfde assenstelsel staan, zijn gemakkelijk te vergelijken. Je kan de overeenkomsten en de verschillen goed zien. Je ziet waar de ene grafiek boven de andere loopt en waar twee grafieken elkaar snijden. Een tabel is handig als je de precieze waarden wilt weten. Toenamediagrammen vormen een grafische voorstelling van de veranderingen. Zij blijken een handig hulpmiddel te zijn om veranderingen te onderzoeken.

42

5.2

Gemiddelde verandering.

5.2.1. 5.2.1. Voorbeelden. Voorbeeld 1: Kinderen worden groot In een vorige voorbeeld over ‘groeiende kinderen’ hadden we het al over ouders die de lengte van hun opgroeiende kinderen bijhouden. We volgen nu een ander meisje (Saar) in haar groei, maar deze keer ontbreken er enkele meetresultaten. Leeftijd lengte (cm) Verandering

180

0

50

160

1

70

140

2

80

120

3

89

100

5

105

7

118

10

140

12

150

20

15

166

0

19

170

20

170

80 60 40

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Uit het bovenstaande lijstje met meetresultaten kan je niet aflezen hoe groot Saar als vierjarige was. 1.

Hoe groot denk jij dat Saar was op dat moment? Hoe vind je deze waarde?

2.

Is het zeker dat Saar exact zo groot was als jij schatte?

3.

Vul de derde kolom van de gegeven tabel aan.

Tijdens haar eerste levensjaar (tussen 0 en 1 jaar) groeide Saar 20 cm. Verderop in de tabel vind je nog een groter verschil tussen twee opeenvolgende meetresultaten. 4.

Hoe groot is dit verschil? Welke leeftijden komen daarmee overeen?

5.

Schrap wat niet past in de volgende zinnen:

a. Het verschil dat je in vraag 4 berekende noemen we de verandering of stapgrootte.

b. De verandering die hoort bij vraag 4 is 22 of 3. c. De stapgrootte die hoort bij vraag 4 is 22 of 3. 6.

Noteer

∆y en ∆x

a. over het interval [0,1] b. over het interval [7,10] 7.

Groeide Saar in de periode tussen 7 en 10 jaar sneller dan in haar eerste levensjaar? Waarom wel/niet? 43

20

8.

9.

Welke berekening heb je in vraag 7 uitgevoerd? Kleur het juiste bolletje. o

∆x ∆y

o

∆y ∆x

We bekijken even de groei van Saar in twee tijdsintervallen:

a. Tussen de leeftijd van 3 en 5 jaar groeide Saar 16 cm. Wat is hier de verandering en de stapgrootte?

b. Hoeveel groeide Saar tussen haar 12de en 15de verjaardag? Geef de bijhorende verandering en stapgrootte.

c. Bereken de gemiddelde verandering in die twee tijdsintervallen en vergelijk de resultaten. 10. Welke van de onderstaande twee breuken geeft de gemiddelde groeisnelheid weer? o

∆x ∆y

o

∆y ∆x

Hieronder zie je in de linkse grafiek de toenames bij de tabel van de lengtes van Saar. De rechtse geeft de gemiddelde groeisnelheid per jaar bij deze gegevens. 11. Welke grafiek geeft volgens jou het beste beeld van de groei van Saar? toenamediagram

gemiddelde groeisnelheid in meter per jaar

25

25

20 20

15 15

10 10

5 5

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

In dit voorbeeld zijn we een nieuw begrip tegengekomen: gemiddelde groeisnelheid. Omdat het voorbeeld over de lengte van Saar gaat en we zeggen dat Saar groeit als haar lengte verandert, kunnen we spreken van gemiddelde groeisnelheid. Bij andere functies hebben we geen naam voor de verandering en spreken we van de

gemiddelde verandering. 12. Geef de juiste symbolen die in dit voorbeeld gebruikt worden voor de volgende begrippen

a. Verandering: b. Stapgrootte: c. Gemiddelde verandering: 44

Snelheidsduivels Voorbeeld 2: Snelhei dsduivels

Heer Bommel was danig uit zijn humeur. Het verkeer in Rommelgem had hem veel oponthoud bezorgd en toen hij zich buiten de bebouwde kom waande, trapte hij het gaspedaal geheel in, zodat de Oude Schicht gierend over de weg vloog. Helaas ontging het hem dat hij zich op een weg bevond waar snelheidsbeperking geboden was en dat wreekte zich. Want daar naderde de politieagent reeds op een brullende motor en stak een hand op. ‘Hebt u zo’n haast, huh?’ vroeg Bulle Bas, een notitieboekje trekkend. ‘Hebt u de borden niet gezien? Kunt u niet lezen?’ ‘Maar ik reed niet te snel!’ riep heer Bommel op piepende toon. ‘In het afgelopen kwartier heb ik niet meer dan 10 km gereden, dat is dus 40 km per uur’. 1. Wat zou Bulle Bas hebben geantwoord op het verweer van heer Bommel? De dagteller in de Oude Schicht wees inderdaad 10km aan. Maar meer informatie over Bommels autoritje geeft de grafiek hieronder.

45

2. Bekijk je antwoord op vraag één opnieuw en bekijk de grafiek. Wil je je antwoord veranderen? 3. Stel je voor dat heer Bommel gelijk zou hebben. Hoe zou die grafiek er dan hebben uitgezien? 4. Hoe noem je de snelheid die Bommel geeft (40 km per uur)? 5. Hoe ver reed Bommel gedurende de eerste 5 minuten en hoe ver gedurende de volgende 5 minuten? 6. Wanneer reed Bommel het snelst? Gedurende de eerste 5 minuten of gedurende de volgende 5 minuten? 7. Om te zien wanneer Bommel het snelste reed, moeten we de snelheid in elk tijdsinterval bepalen. Bereken de gemiddelde snelheid en vul de onderstaande tabel in. Tijdsinterval

Gemiddelde

snelheid

(in km/min) De

eerste

Gemiddelde

snelheid

(in km/h)

vijf

minuten De

volgende

vijf

minuten De

laatste

vijf

minuten

8. Gedurende welk tijdsinterval was de gemiddelde snelheid het grootste? 9. Hoe zie je het antwoord op vraag 8 op de grafiek? 10. In de vragen 5 tot en met 7 zitten weer de begrippen: verandering, stapgrootte en gemiddelde verandering verscholen. Leg uit wat de verschillende begrippen in deze context betekenen. Verandering: Stapgrootte: Gemiddelde verandering: 11. Verbind de begrippen met de juiste symbolen: Verandering

O

O

∆x ∆y

Gemiddelde verandering

O

O

∆x

Stapgrootte

O

O

∆y

O

∆y ∆x

46

Voorbeeld 3: Een steile klim Jan maakt een fietstocht met zijn vrienden in de Ardennen. Ze komen aan een steile weg. Een verkeersbord geeft aan dat het een helling van 10% is. “Dit kan ik nog net” denkt Jan en hij begint aan de beklimming. Hieronder zie je een dwarsdoorsnede van de berg. m 200 180 160 140 120 100 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000 m

1.

Bereken de gemiddelde helling over de hele klim.

2.

Wat is het steilste stuk? Hoeveel procent is de helling daar?

3.

Geeft het bord goed weer wat de fietsers te wachten staat?

4.

Wat is de gemiddelde helling tussen de 500 m en de 800 m?

5.

Betekent dit dat de weg daar vlak is? Waarom wel of waarom niet?

6.

In dit voorbeeld zitten weer de begrippen: verandering, stapgrootte en gemiddelde verandering verscholen. Leg uit wat telkens de verschillende begrippen in deze context betekenen. Verandering: Stapgrootte: Gemiddelde verandering:

7.

Bereken de gemiddelde verandering over twee andere antwoorden zodat je antwoord op vraag 3 nogmaals geïllustreerd wordt.

47

Betekenis van het verkeersbord: Bovenaan op de foto zie je het verkeersbord dat Jan en z’n vrienden ook tegenkwamen. Je kent vast wel de betekenis van deze 10%. Het betekent dat bij een horizontale toename van 100 m een verticale toename van 10 m hoort. Schematisch:

10 m

100 m

De verhouding

10 is de gemiddelde verandering of in deze context de gemiddelde 100

helling. Dit heb je reeds ontmoet. Dit getal wordt de richtingscoëfficiënt van de rechte genoemd. Misschien herinner je je de formule nog om de richtingscoëfficiënt van de rechte door de punten A(x1, y1) en B(x2, y2) te vinden:

y2 − y1 . x2 − x1

y B

y2

verticale

y1

A horizontale x1

x2

x

Je leerde ook over rechthoekige driehoeken. Herinner je je de volgende formule nog:

tan α =

overstaande rechthoekszijde 10 ? Hier is de verhouding dus ook nog eens aanliggende rechthoekszijde 100

de tangens van de hoek

α

α

α

48

We vinden

α

tan α =

10 10 dus α = Bgtan = 5, 710593137° = 5°42 '38 '' 100 100

noemen we de gemiddelde hellingshoek

5.2.2. Definities In de onderstaande tabel vind je een herhaling van de definities die we gebruiken om een nieuw begrip te definiëren: Definitie De verandering

∆y van de functiewaarde

f ( x) over een interval [ a, b] is : ∆y = f (b) − f (a )

De stapgrootte stellen we voor door en

∆x = b − a

∆y f (b) − f (a ) = ∆x b−a

De verandering van de lengte van Saar over het tijdsinterval [7,10] : Is

∆x

De gemiddelde verandering van de functiewaarde f ( x ) over een interval

[ a, b] is :

Voorbeeld: Saar

∆y = 140 − 118 = 22

∆x = 10 − 7 = 3 De gemiddelde verandering van de lengte van Saar over het tijdsinterval [7,10] : Is

∆y 22 = ≈7 ∆x 3

Gemiddelde hellingshoek

α = Bgtan

∆y ∆x

Heeft in dit voorbeeld geen betekenis

Opmerking: De gemiddelde verandering is een getal voor de mate waarin een functie verandert over een interval. Bij sommige functies biedt de Nederlandse taal een specifieke naam voor de gemiddelde verandering: -

Bij de gemiddelde verandering van de lengte t.o.v. de tijd spreken we van gemiddelde groei.

-

Bij de gemiddelde verandering van de afstand t.o.v. de tijd, spreken we van gemiddelde snelheid.

-

Bij de gemiddelde verandering van de hoogte t.o.v. de afstand, spreken we van gemiddelde helling.

De gemiddelde hellingshoek kan gevonden worden uit de volgende betrekking:

tan α =

∆y ∆x

49

5.2.3 Voorbeeldoefeningen. 1. De ouders van Hannes hebben de lichaamslengte van hun zoon van jaar tot jaar opgetekend gedurende de eerste vijf jaar. Je vindt de resultaten in de onderstaande tabel: Leeftijd in jaar

Lengte in cm

0

53

1

80

2

102

3

107

4

111

5

119

Los nu de onderstaande vragen op. Indien je ouders ook jouw lengte optekenden mag je deze oefening met je eigen gegevens maken! a. Bereken de gemiddelde verandering tussen 0 en 2 jaar. b. Bepaal de verandering over de intervallen [0,5] en [0,2]. Welke verandering is het grootst?

2. Gegeven is de volgende functie: a.

f ( x) = 3x 2 + 1

Bepaal de gemiddelde verandering over het interval [3,6]

b. Bepaal de gemiddelde verandering over het interval [-2,10]

3. Een skateboardpiste is gekromd volgens de volgende wiskundige functie:

f ( x) = 0, 01x 4 .

We beschouwen deze functie over het interval [-4,4] om zo de vlakke doorsnede van de piste te bestuderen. a. Teken de grafiek van de functie over het gegeven interval. b. Hoe breed is de skateboardpiste op z’n breedste punt? c. Hoe hoog is de skateboardpiste op z’n hoogste punt? d. Welke naam kunnen we in deze context geven aan de gemiddelde verandering? e. Bereken de gemiddelde verandering over: [0,4], [0,1] en [3,4]. f.

Bereken de gemiddelde hellingshoek over: [0,4], [0,1] en [3,4]

50

4. Gegeven is de volgende functie:

f ( x) = 0, 5 ( x − 2 ) − 1 met domf = [1, 4] 3

a. Bereken de gemiddelde helling van de grafiek over het gegeven werkdomein. b. Bereken de gemiddelde hellingshoek van de grafiek over het gegeven werkdomein.

5. Een steen wordt verticaal omhoog geworpen. De hoogte van de steen wordt gegeven door: f (t ) = −5t 2 + 20t waarbij t de tijd in seconden is, gerekend vanaf het begin van de worp, en f(t) de hoogte in meter op het ogenblik t. De grafiek van f :

Bereken de gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [1, 2].

51

5.2 5.2.4 Oefeningen.

1. Saar en haar mama. Tijdens het derde levensjaar hield de mama van Saar de lengte zelfs om de drie maanden bij. 2 jaar 80 1.

2 jaar 3 maanden 2 jaar 6 maanden 2 jaar 9 maanden 84

87

88

3 jaar 89

In de eerste drie maanden van haar derde levensjaar is Saar 4 cm gegroeid. Maar wat was haar gemiddelde groeisnelheid per jaar?

(4 cm op drie maanden, maar om dit te vergelijken met de andere groeisnelheden zetten we dit ook best om in cm per jaar. De groeisnelheid is dus 16 cm per jaar.) 2.

Bereken ook voor de andere tijdsintervallen de gemiddelde groeisnelheid per jaar.

2. Een parachutesprong Een parachutist springt op 3800 m hoogte uit een vliegtuig. Eerst maakt hij een vrije val. Dan opent hij zijn parachute. In de grafiek hieronder zie je de afgelegde afstand uitgezet tegen de tijd.

1.

Wanneer heeft de parachutist zijn parachute geopend?

2.

Hoe kun je dat aan de grafiek zien?

3.

Op de volgende bladzijde zie je een deel van het toenamediagram met stapgrootte 10 s. Vervolledig het.

4.

De laatste staafjes zijn allemaal even hoog. Wat kan je daaruit besluiten?

5.

Gedurende welke periode is de snelheid van de parachutist het grootst?

6.

Hoe kan je dit aan het toenamediagram zien? 52

7.

Gedurende welke periode neemt de snelheid van de parachutist toe?

8.

Hoe kan je dat aan het toenamediagram zien? toenamediagram parachutesprong 600

toename (in m)

500 400 300 200 100 0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190 200

210

220

230

240

tijd (in s)

9.

Welke gemiddelde snelheid heeft de parachutist net voor hij z’n parachute opent?

10. Met welke snelheid komt de parachutist op de grond?

(Zoals je op de grafiek kan zien, is de grafiek van de afstand net voor het openen van de parachute recht. Omwille van de wrijving wordt de snelheid ook in vrije val constant. Deze snelheid is dus te berekenen als gemiddelde snelheid over een interval.)

53

5.3 5.3

Ogenblikkelijke verandering.

5.3.1. 5.3.1. Voorbeelden. Voorbeeld 1: Bommel en Bulle Bas We bekijken terug het voorbeeld van de snelheidsduivels. Je vindt hieronder de grafiek opnieuw.

1. Je berekende al dat de gemiddelde snelheid gedurende de laatste vijf minuten 60km per uur was. Reed Bommel bijgevolg juist 60km/u wanneer de agent hem deed stoppen? (dit was ongeveer op de 14de minuut) 2. Hoe zou de grafiek eruit zien als Bommel gedurende de laatste 5 minuten heel de tijd 60 km/u zou gereden hebben? Teken deze grafiek op de onderstaande.

3. Een stukje van de grafiek is bijna een rechte lijn. a. Vanaf wanneer veranderde de snelheid van Bommel niet veel meer. Beschouw het stukje grafiek tot de 14de minuut. b. Wat was de gemiddelde snelheid gedurende dit tijdsinterval? c. Bulle Bas mag Bommel een boete geven als hij sneller rijdt dan 50km/h. Krijgt Bommel een boete? 54

4. Als we de gemiddelde snelheid berekenen over een heel klein tijdsinterval, benaderen we heel goed de snelheid op een bepaald moment of de ogenblikkelijke snelheid. Benader de gemiddelde snelheid over het interval [14;14,5].

Voorbeeld 2: De skateboardpiste Een skateboardpiste is gekromd volgens de volgende wiskundige functie:

f ( x) = 0, 01x 4 . We

beschouwen deze functie over het interval [-4,4] om zo de vlakke doorsnede van de piste te bestuderen.

1. In welk punt is de helling het grootste? 2. Reken na dat 1,2 de gemiddelde helling over [2,4] is. 3. Schrap wat niet past a. De helling in A is groter/kleiner dan 1,2 b. De helling in B is groter/kleiner dan 1,2 4. Bereken de gemiddelde hellingen over de verschillende intervallen en vul de volgende tabel aan: Interval

Stapgrootte

[2,4]

2

Gemiddelde helling 1,2

[2,3] [2;2,5] [2;2,1] [2;2,001]

55

De stapgrootte bij het laatste interval is erg klein. De helling in 2 wordt heel goed benaderd door de gemiddelde helling over dit interval. We spreken van de

ogenblikkelijke helling. 5. Benader de ogenblikkelijke helling in het punt B door de gemiddelde helling te berekenen over het interval [3;3,001] 6. Bereken de hellingshoek in het punt B.

Voorbeeld 3: Stenen gooien Een steen wordt verticaal omhoog geworpen. De hoogte van de steen wordt gegeven door: f (t ) = −5t 2 + 20t waarbij t de tijd in seconden is, gerekend vanaf het begin van de worp, en f(t) de hoogte in meter op het ogenblik t. 1. We willen de ogenblikkelijke snelheid van de steen benaderen. Geef de stapgrootte die je moet gebruiken. 2. Benader de ogenblikkelijk snelheid van de steen na 1 seconde.

5.3.2. 5.3.2. Definities. Definitie De verandering

Stenen gooien: f (t ) = −5t 2 + 20t

∆y van de functiewaarde

f ( x) over een interval [ a, b] is : ∆y = f (b) − f (a )

De stapgrootte stellen we voor door en

∆x = b − a

Is

∆x

De gemiddelde verandering van de functiewaarde f ( x ) over een interval

[ a, b] is :

∆y f (b) − f (a ) = ∆x b−a

∆y = 18, 75 − 15 = 3, 75

∆x = 1,5 − 1 = 0,5 De gemiddelde verandering van de hoogte van de steen (gemiddelde snelheid) over het tijdsinterval [1;1,5] :

∆y 3, 75 = = 7,5 ∆x 0,5

De ogenblikkelijke verandering van de functiewaarde f ( x ) over een interval wordt zeer goed benaderd door de gemiddelde verandering bij een stapgrootte van 0,001. ∆x moet zo klein mogelijk genomen worden.

De verandering van de hoogte van de steen over het tijdsinterval [1;1,5] :

∆x moet

De ogenblikkelijke verandering (ogenblikkelijke snelheid) in A wordt zeer goed benaderd door

f (1, 001) − f (1) 0, 009995 = ≈ 10 0, 001 0, 001

naderen naar 0

56

5.3.3. Voorbeeldoefeningen. 1. Een auto rijdt volgens

s = 2t 2 gedurende 5 seconden. De afstand s is uitgedrukt in m.

a. Benader de ogenblikkelijke snelheid na 3 seconden. b. Bereken de gemiddelde snelheid van de start tot het einde. c. Benader de ogenblikkelijke snelheid na 5 seconden.

2. Bereken de helling van de parabool met voorschrift f ( x) =

1 2 x in de gegeven punten A, 4

B, C.

57

5.3.4. Oefeningen. 1. Een artikel uit een Amerikaanse krant.

De 22-jarige Amerikaan Harold Brown heeft niets anders dan knie-, dijbeen- en hielfracturen overgehouden aan een val van 110m door een luchtverversingskanaal in het piramidevormige Transamerica-gebouw in San Francisco. Volgens de dokter is het een wonder dat Brown, die op een betonnen vloer terechtkwam, zijn val heeft overleefd. De jongeman was het gebouw na sluitingstijd binnengedrongen al roepend: ‘Ik wil de man aan de top zien. Ik ben de afgezant Gods’. Achtervolgd door de politie rende hij de trappen op tot hij zich op de 27ste verdieping in het ventilatiekanaal stortte. Men schat dat hij bij zijn val een snelheid ontwikkelde van 160km/h. (Reuters, AFP.)

De formule y = 5 x 2 beschrijft de vrije val van de Amerikaan. Hierbij wordt y uitgedrukt in meter en x in seconden. a. Bereken de snelheid van Brown na 1, 2 en 3 seconden. Druk de snelheid uit in m/s en km/h. b. Na hoeveel seconden valt Brown op de grond? c. Wat is de snelheid van Brown bij het bereiken van de grond? d. Heb je in c de snelheid gevonden die het artikel vermeldt?

2. Voetballen

Vanop 20 meter van het doel ziet Tom dat de doelman te ver van zijn doel staat. Hij probeert de bal door een lob met als baan

y=−

9 2 21 x + x over de doelman te 200 21

krijgen. 1. Benader de ogenblikkelijke helling van de baan van de bal op het moment dat Tom uittrapt. 2. Onder welke hoek trapt Tom de bal uit? 3. Hoe ver heeft Tom de bal getrapt? 4. Het doel is 2,54m hoog. Belandt de bal in het doel?

58

5.3.5. Synthese Synthese oefening veranderingen

Wie een huis wil bouwen, moet zich houden aan stedenbouwkundige voorschriften. Deze voorschriften bepalen de rooilijn, de maximale hoogte van het huis, de toegelaten dakhelling, enz. Het vervallen rustoord ‘Sancta Sepultura’ moet worden gesloopt. Op de plaats van het oude rustoord wil het OCMW een park met onderling verbonden woonblokken aanleggen. De architect heeft in een eerste ontwerp een gemengde compositie met lessenaarsdaken en bolle daken getekend.

Functievoorschrift lessenaarsdak

Functievoorschrift bolvormig dak

1 14 met dom f = [ 1, 9 ] f (x ) = x + 3 3

f (x ) = 8 −

3 met dom f = [ 1, 9 ] x

Volgens de stedenbouwkundige voorschriften mogen deze woningen niet hoger dan 8 meter zijn en mogen de dakhellingen niet steiler zijn dan 70°. De afgeleverde plannen lijken aan beide eisen te voldoen. Toch moet alles zwart op wit worden nagerekend. 1. Teken met behulp van ICT van elk dak de grafiek in het gegeven werkdomein. Druk af. 2. Maak met behulp van ICT van elk dak de tabel in het gegeven werkdomein. Druk af. 3. Welke betekenis heeft x voor het dak? 4. Welke betekenis heeft y voor het dak?

59

5. Noteer de functievoorschriften in formulenotatie met passende symbolen. 6. Welke betekenis heeft een verandering in de context? 7. Welke betekenis heeft een gemiddelde verandering in de context? 8. Welke betekenis heeft een ogenblikkelijke verandering in de context? 9. Bereken de hoogte van elke woningtype. 10. Voldoen de hoogten van de daken aan de stedenbouwkundige voorschriften? 11. Beide woningtypes zijn even breed. Wat is de breedte? 12. Bereken voor elk dak het hoogteverschil tussen het hoogste en het laagste punt. 13. Bereken de gemiddelde helling voor elk dak. 14. Bereken de gemiddelde hellingshoek van elk dak. 15. Zijn de gemiddelde hellingshoeken in overeenstemming met de stedenbouwkundige voorschriften? 16. Welke bezwaren zou de dienst voor ruimtelijke ordening kunnen maken tegen één van deze daken? 10. Teken op je afdruk punt A met coördinaten (1,5) en punt B met coördinaten (9, 23 ). 3 11. In welk punt van het bolvormig dak is de dakhelling het grootst? Punt A of B? 12. Bereken de helling in dit punt. 13. Hoe groot is de hellingshoek van het dak in dit punt? (° ‘ “) 14. Zal de architect zijn plannen moeten wijzigen omwille van de stedenbouwkundige voorschriften?

De architect van het nieuwe rustoord ‘Sancta Sepultura’ heeft uiteindelijk de toestemming gekregen om de woningen met lessenaarsdaken en bolvormige daken te bouwen. Maar nu staat hij voor een moeilijke keuze: welke dakbedekking is het meest geschikt voor de bolvormige daken? Hij raadpleegt een technische fiche met minimale dakhellingen waaraan daken moeten voldoen om waterinsijpeling te voorkomen. Daarna bestudeert hij nogmaals het ontwerp van het bolvormige dak.

60

Technische fiche Dakbedekking

Minimale hellingshoek

Natuurleien

38°

Tegelpannen

35°

Kunstleien

27°

Keramische dakpannen

25°

Beton- en kleidakpannen

22°

Shingles

15°

Roofing

12°

Metalen dakpanplaten

8°

Zinkbanen

2°

15. Bij daken met een kleine helling is de keuze voor de dakbedekking beperkt. In welk punt van het bolvormig dak is de dakhelling het kleinst? Punt A of B? 16. Bereken de helling in dit punt. 17. Hoe groot is de hellingshoek van het dak in dit punt? (° ‘ “) 18. Welke dakbedekking is aangewezen als we rekening houden met de kleinste dakhelling?

61

6.

Problemen oplossen

6.1. 6.1.

Camping

In het reglement van camping ‘De wildertse rust’ staat o.a. het volgende te lezen: Iedere

nieuw aangekomen kampeerder ontvangt vier vlaggetjes en een touw van 30 meter lengte, waarmee hij een rechthoekige kavel moet afperken… Het kampeer terrein wordt aan alle kanten begrensd door een twee meter hoge omheining. In het voorseizoen wordt vaak toegestaan dat deze omheining handig wordt benut bij het uitzetten van een kavel. Eén van de kampeerders dit jaar, Jonas Dockx, heeft het goed bekeken (vindt hij zelf), zie de figuur hieronder.

1. Heeft Jonas zijn touw volledig opgebruikt? Leg uit. 2. Wat is de oppervlakte van het ‘kavel’ dat Jonas afperkte? 3. Teken een andere rechthoekige kavel dat Jonas zou kunnen afperken met zijn touw van 30m. 4. Welke lengte en breedte heeft jouw kavel? Bepaal de bijhorende oppervlakte. 5. Maak een overzicht van de afmetingen en bijhorende oppervlakte van je klasgenoten Naam

lengte

Breedte

Inhoud

Jonas

10m

10m

100m²

6. De vraag is natuurlijk:’Wat is de rechthoek met de grootste oppervlakte die je op deze manier met een touw van 30 meter kunt maken?’ Geef de formule om de oppervlakte van een rechthoek te berekenen. 7. Stel de zijde van de rechthoek langs de omheining gelijk aan x meter (zoals in de onderstaande figuur)

Zijde langs de omheining

10

Berekening andere zijde

30 − 10 = 10 2

30 X

62

Je stelde in deze tabel een formule op die het verband beschrijft tussen de andere zijde en x 8. Verklaar waarom de functie die de oppervlakte van de rechthoek uitdrukt in functie van x het volgende voorschrift heeft: f ( x) = 15 x − 0,5 x 2 9. Leg uit waarom x ≠ 30 in deze context. 10. Bepaal het werkdomein van deze functie. 11. We gaan nu op zoek naar de afmetingen van de rechthoek om een zo groot mogelijk oppervlak te hebben. Vul de volgende tabel aan: X (in m)

f ( x) (in m²)

5

62,5

10 15 20 12. De tabel in vraag 11 doet ons vermoeden dat de zijde langs de omheining 15m moet zijn. We onderzoeken dit door de tabel te verfijnen. Vul de tabel aan: X (in m)

f ( x) (in m²)

10

100

13 16 19 22 13. De tabel in vraag 12 doet ons vermoeden dat de zijde langs de omheining 16m moet zijn. Bekijken we ook de tabel uit vraag 11 dan zou 15m de beste keuze zijn. We onderzoeken dit door de tabel te verfijnen. Vul de tabel aan: X (in m)

f ( x) (in m²)

14 15 16 17 18 14. Maak nog drie verfijningen van de tabel en onderzoek of 15m inderdaad de beste keuze is. X (in m)

f ( x) (in m²)

14,6 14,8 15 15,2 15,4

63

X (in m)

f ( x) (in m²)

X (in m)

f ( x) (in m²)

15. Had Jonas het inderdaad goed bekeken?

6.2.

Taartjesdoos

In een kartonfabriek worden open dozen gemaakt uit vierkante stukken karton met een zijde van 40cm. Aan de vier hoeken worden vierkantjes ingeknipt en gevouwen. Daarna wordt het geheel tot een doos geplakt (zie tekening hieronder)

1. Teken het vierkante stuk karton met zijde 40cm en duid daar de afmetingen die op de tekening gegeven worden aan. 2. Bepaal de afmetingen van de doos als we aan de hoeken 3cm inknippen. Bepaal ook de inhoud bij deze afmetingen. 3. Kies een aantal cm dat je aan de hoeken inknipt. Bepaal de afmetingen en de inhoud van de doos.

4. Maak een overzicht van de afmetingen en bijhorende inhoud van je klasgenoten: Naam

Hoogte

lengte

breedte

Inhoud

5. Je mag een doos kiezen en vullen met pralines. Welke doos uit de tabel in vraag 3 zou jij kiezen? 64

6. De vraag is hier: ‘Bepaal de afmetingen van die doos met de grootste inhoud.’ Geef de formule om de inhoud van de doos te berekenen. 7. Stel dat je xcm aan de hoeken inknipt. inknipt Stel formules op die het verband uitdrukken tussen de afmetingen van de doos en x. x 8. Verklaar waarom de functie die de inhoud van de doos uitdrukt in functie van x het volgende voorschrift heeft: 9. Leg uit waarom

f ( x) = x ( 40 − 2 x )

2

x ≠ 25 in deze context

10. Bepaal het werkdomein van deze functie. 11. Vul de volgende tabel aan: X (in cm)

f ( x) (in cm³)

4

4096

8 12 16 12. De tabel in vraag 9 doet ons vermoeden dat we door 8 cm aan de hoeken in te knippen, een doos maken met de grootste inhoud. We onderzoeken dit door de tabel te verfijnen. Vul de tabel aan en formuleer een nieuw vermoeden. X (in cm)

f ( x) (in cm³)

4

4096

6 8 10 13. Maak nog 3 verfijningen van de tabel uit 11. en zoek het beste getal voor x opdat we een doos zullen maken met een zo groot mogelijke inhoud. X (in cm)

f ( x) (in cm³)

X (in cm)

f ( x) (in cm³)

X (in cm)

f ( x) (in cm³)

65

6.3.

Riemaandrijving

Een riemaandrijving is opgebouwd uit een wiel met een diameter van 40cm en een wiel met een diameter van 60cm. De middelpunten van de wielen liggen 100cm uit elkaar. 1. Schat de lengte van de riem in deze aandrijving. 2. Schat op dezelfde manier de lengte van de riem in een aandrijving die is opgebouwd uit twee wielen met diameter D en d, waarbij de middelpunten een afstand h van elkaar af liggen. Zie de figuur hieronder.

De lengte van de riem kan benaderd worden met de volgende formule: l = 2h + 1,57 ( D + d )

(D − d ) +

2

4h

waarin: - l = lengte van de riem - D = diameter van het grote wiel - d = diameter van het kleine wiel - h = hartafstand van de wielen (afstand tussen de middelpunten) Uiteraard moet je alle maten in dezelfde eenheid opgeven en berekenen. 3. Het laatste gedeelte van deze formule ontbrak hoogst waarschijnlijk in jouw schatting bij opgave 1. a. Waar zitten die extra stukjes riemlengte, ofwel: waarom is deze benadering nauwkeuriger dan jouw schatting? b. Wat gebeurt er met de formule wanneer je een riemaandrijving maakt met twee even grote wielen? c. Is de formule dan nog steeds een benadering? Opmerking bij de formule: 1 2

Hier wordt gebruikt gemaakt van een veeltermbenadering: 1 + x ≈ 1 + x De formule ziet er op het eerste gezicht nogal ingewikkeld uit. In de praktijk valt dat vaak mee, omdat een aantal variabelen in de formule al vast ligt; Dat zijn dus eigenlijk gewoon constante getallen. 4. Jenthe construeert een riemaandrijving: het kleine wiel met een diameter van 20 mm en een groot wiel van 600mm diameter. De hartafstand h kan zij in haar constructie nog vrij kiezen. Stel dat h = x Stel een formule op die het verband tussen de riemlengte l en de hartafstand x beschrijft.

66

5. Jenhte wil de riem zo kort mogelijk maken. Vul de tabel aan en ga op zoek naar de hartafstand die de kortst mogelijk riemlengte levert. Maak indien nodig tabellen met verfijningen. f ( x) (in mm) X (in mm) 100

2014,4

200 300 400 500 600 X (in mm)

f ( x) (in mm)

X (in mm)

f ( x) (in mm)

X (in mm)

f ( x) (in mm)

6. Is er een combinatie van wielformaten te vinden voor de hartafstand die je in 5 vond. Licht je antwoord toe.

67

6.4.

Voorbeeld:Laat Voorbeeld:Laat die zon toch binnen schijnen

Jelle van 6 Hout en Bouw werkt tijdens het weekend bij een bouwondernemer. Momenteel loopt er een opdracht in een bungalowpark. Er worden houten bungalows gebouwd zoals op de onderstaande figuur. De hoogte van de bungalow is 5 m, de breedte 8 m en de lengte 10 m.

5m

8m Het dak zal afgewerkt worden met leisteen uit de streek van Bertrix. Om voldoende af te wateren, moet de helling van het dak minstens 30° zijn. Leisteen voor dakbedekking is ca. 4-6 mm dik zodat het gewicht van een leistenen dak niet meer bedraagt dan 35 kg per m² gedekte oppervlakte. 1.

Reken na dat de helling groot genoeg is.

2.

Bereken het totale gewicht van het dak bij een gewicht van 35 kg per m² gedekte oppervlakte.

De bouwondernemer wil een rechthoekige glaspartij in de zijmuur plaatsen. In die glaspartij is een glazen deur verwerkt. Op twee dakramen na, moet het nodige licht binnenvallen via de zijmuur. Daarom moet de glaspartij zo groot mogelijk zijn. 3.

In de onderstaande voorstelling van de zijmuur van de bungalow is een voorbeeld van een glaspartij getekend. Probeer een rechthoekige glaspartij te tekenen met een grotere oppervlakte dan het getekend voorbeeld.

4.

Teken op een ruitjesblad de zijmuur op schaal 1 : 100.

5.

Teken in de driehoek een rechthoekige glaspartij.

6.

Meet de zijden van de rechthoek die je tekende en bepaal de werkelijke oppervlakte van de rechthoekige glaspartij. 68

7.

Vergelijk de oppervlakte op schaal die jij vond met die van je klasgenoten door de volgende tabel aan te vullen:

Naam leerling

8.

lengte

breedte

Oppervlakte

rechthoek

rechthoek

rechthoek

Ga naar de webstek van uitwiskeling http://www.uitwiskeling.be, klik op applets. Je vindt hier een applet over de bungalow. Door hier te klikken verschijnt op je scherm de driehoek waar we net mee werkten. In deze driehoek is een rechthoek getekend met breedte b en hoogte h. Op de grafiek ernaast wordt in een assenstelsel de oppervlakte van de rechthoek in functie van de halve breedte getekend. Lees de waarde van breedte (b), de halve breedte, de hoogte (h) en de bijbehorende oppervlakte af van de grafiek voor de oppervlakte van de rechthoek die reeds getekend is en vul ze in.

b:

h:

A:

halve breedte:

69

Hieronder vind je een schermafdruk van het applet:

9.

Je kan de grootte van de halve breedte wijzigen en je zal merken dat de oppervlakte wijzigt. Verander de grootte van de halve breedte door het balkje te verschuiven of op de driehoekjes te klikken. Lees de afmetingen en de oppervlakte af en vul de volgende tabel aan.

b

b

2

Oppervlakte

H

rechthoek

0,8 1,5 3 10. Vink ‘Grafiek tonen’ aan. Zoek een waarde van

b 2

die een rechthoek oplevert met

een oppervlakte groter dan 8 m². 11. Zoek de waarde van

b 2

die een rechthoek oplevert met een zo groot mogelijke

oppervlakte. In wat volgt gaan we na hoe we dit probleem kunnen oplossen zonder te gokken en zonder het applet te gebruiken.

70

13. Teken de driehoek in het onderstaande assenstelsel. Zorg ervoor dat de verticale as een symmetrie-as is van de driehoek.

14. Teken in de driehoek in het bovenstaande diagram de rechthoek die hoort bij een rechthoekige glaspartij met breedte 4 m en bepaal de coördinaten van de hoekpunten van deze rechthoek. 15. Welk verband merk je tussen de coördinaten en de oppervlakte van de rechthoek? 16. We stellen nu dat x de halve breedte van de deur is en y de hoogte. hoogte Probeer y exact te bepalen voor de onderstaande waarden van x. Vul de tabel aan.

x

Y

2

2,5

1 3 0,5 17. Beschouw de punten met coördinaat (x,y), waarbij x nog steeds de halve breedte is en y de hoogte. Die liggen allemaal op eenzelfde rechte. Bepaal de vergelijking van deze rechte (of stel een formule op die het verband uitdrukt tussen x en y) en controleer of de waarden die jij vond in vraag 15 voldoen aan de vergelijking. 18. We gaan op zoek naar de oppervlakte van de rechthoeken. Vul de tabel aan:

X

y

oppervlakte rechthoek

2

2,5

10

1 3 0,5

X 71

19. In de vorige tabel heb je het voorschrift van de functie gevonden die die de oppervlakte van de rechthoek uitdrukt in functie van de halve breedte x. Teken de grafiek van deze functie op het onderstaande ruitjesblad.

20. Vergelijk je grafiek met de grafiek uit het applet. 21. Schrijf de vergelijking op die je moet oplossen om te weten voor welke waarden van x de oppervlakte van de gevraagde rechthoekige glaspartij gelijk is aan 8

m2 . 22. Los deze vergelijking op (met de hand, GRM, …). 23. Bij welke waarden van x is de oppervlakte van de rechthoek groter dan 8

m2 ?

24. Ga na of de antwoorden die je in 10 vond, kloppen met je resultaat uit 22. 25. Geef de afmetingen van een rechthoekige glaspartij in de bungalow met een oppervlakte van minstens 8

m2 .

26. We gaan op zoek naar de de rechthoekige glaspartij met de grootst mogelijke oppervlakte. Vul hiertoe de onderstaande tabel in.

X

y

Oppervlakte

0,5

4,375

4,375

1 1,5 2 2,5 3 3,5 72

Deze tabel doet ons vermoeden dat een glaspartij met maximale oppervlakte een halve breedte moet hebben van 2 m. We gaan dit na door de tabel te verfijnen:

x

y

Oppervlakte

1,7

2,875

9,775

1,8 1,9 2 2,1 2,2 27. Wat zijn de afmetingen van een rechthoekige glaspartij met een zo groot mogelijke oppervlakte? 28. De hoogte van een normale deur is 2,10 m. Hoe groot kan de breedte van de glaspartij dan zijn? (Je moet geen rekening houden met de oppervlakte.)

Bibliografie [1] D. De Bock e.a., Afgeleiden en integralen, Acco (Leuven/Amersfoort), 1994. [2] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context, Afgeleiden, Plantyn (Deurne), 1989. [3] H. Staal e.a., Pascal, Wiskunde voor de tweede fase, HAVO verwerkingsboek CM & EM, (Zutphen) 1998. [4] Redactie Uitwiskeling, Analyse, Uitwiskeling 8/4 (1992), 14-53. [5] J. Roels, Verslag van een experiment, Uitwiskeling 5/3 (1989), 2-18. [6] Nelson Blackie, Mathematics in action, Thomas Nelson and Sons Ltd. (UK), 1992. [7] Nationaal instituut voor de statistiek, Mathematische demografie, Sterftetafels 2000 en 1998-2000. [8] K. Matthijs, Statistisch zakboek van België, Lannoo (Tielt), 1994. [9] P. Gevers, e.a., Delta 5 (4 lesuren), Wolters Plantyn (Mechelen), 2003 [10] J. Casteels, e.a. Delta T 5/6 (leerplan B/C), Wolters Plantyn, (Mechelen), 2004 [11] H. van der Kooij, e.a., Twin Beroepsgerichte wiskunde , Thiememeulenhoff (Utrecht), 2003

73