Werkwinkel 4: Wiskundige functies en toenamediagrammen. Syllabus met Werkteksten

Werkwinkel 4: Wiskundige functies en toenamediagrammen Kortrijk 17 november 2007 Gilberte Verbeeck [email protected]

Syllabus met Werkteksten

> grafieken lezen > veranderingen bestuderen met toenames en toenamediagrammen > gemiddelde verandering bestuderen > ogenblikkelijke verandering bestuderen > problemen oplossen

• websites:

www.uitwiskeling.be www.wisweb.nl

• gebaseerd op: "Functies en veranderingen in de derde graad TSO", Uitwiskeling, jaargang 19, nummer 2 (maart 2003). "Een marathonloop: afstanden bij verschillende tijdsintervallen", Uitwiskeling, jaargang 19, nummer 3 (mei 2003).

Het materiaal is intensief voorbereid door de redactie van het tijdschrift ‘Uitwiskeling’. Het mag vrij gebruikt worden mits bronvermelding.

Inhoud 1. Inleiding 2. Cursus opgesteld voor 5 Mechanische Vormgevingstechnieken in 2006 – 2007 2.1. Klemtonen in de (uitgebreide) cursus 2.2. De werkteksten voor de werkwinkel: proeven van de cursus

1. Inleiding In deze werkwinkel werk je met het resultaat van een zoektocht die startte in 2002. Vanaf het schooljaar 2004-2005 werden de eindtermen in de derde graad ingevoerd. Grote veranderingen stonden op til omdat het begrip afgeleide in belang verminderde - zeker in de leerplannen voor richtingen met weinig uren wiskunde. Op 15 november 2003 werd dit verhaal in een eerste versie op de dag van de wiskunde gebracht. Het verhaal is rond: we staan met een vernieuwde en uitgeteste versie terug in Kortrijk. Heel wat werktesten zullen herkenbaar zijn voor leden van het tijdschrift Uitwiskeling. We gebruikten de artikels “Functies en veranderingen in de derde graad TSO” en “Een marathonloop: afstanden bij verschillende tijdsintervallen” verschenen in het tijdschrift Uitwiskeling, jaargang 19, nummer 2 (maart 2003) en nummer 3 (mei 2003). We gebruikten en herwerkten ideeën en oefeningen uit de boeken en handboeken die je in de bibliografie vindt. Ondertussen is het lesmateriaal getoetst in de praktijk van richtingen TSO (Sociale en Technische Wetenschappen) en ASO (Economie Moderne Talen). Verder maakten we een cursus voor een richting met twee uur wiskunde. Deze cursus werd vorige jaar gebruikt in 5 Mechanische Vormgeving door Ankie Mestdagh ([email protected]) in het Don Bosco Mariaberg Instituut te Essen. Zij heeft intensief meegewerkt aan de ontwikkeling ervan. De werkteksten die we tijdens deze werkwinkel behandelen vormen deel van het groter geheel. De uitgebreide versie van deze cursus vind je op de DPB website. In die versie is het onderwerp veranderingen klaar voor gebruik in de klas. Ankie werkte een cursus uit die ook de andere onderwerpen voor de richtingen 5MV behandelt. Geïnteresseerden kunnen met haar contact opnemen.

Het vertrekpunt We bekijken het onderdeel ‘Reële functies en algebra’ uit de eindtermen wiskunde TSO en KSO. Deze eindtermen gelden voor alle leerlingen van KSO en TSO, ongeacht het net. Wij richten ons in deze cursus specifiek tot die leerlingen die het minimaal pakket wiskunde volgen. Maar heel wat van het concrete lesmateriaal dat we aanbieden, is zeker ook in andere richtingen bruikbaar. In ASO-richtingen kan de studie van veranderingen van functies met behulp van differenties en differentiequotiënten een goede voorbereiding zijn op het begrip afgeleide.

De eindtermen De concrete eindtermen luiden: 10. De leerlingen kunnen bijzonderheden van grafieken, eventueel aangevuld met tabellen, aflezen zoals periodiciteit, symmetrieën, stijgen en dalen, extreme waarden, lineaire en exponentiële groei. 11. De leerlingen kunnen grafieken tekenen van enkele eenvoudige functies (mede met behulp van ICT). 12. De leerlingen kunnen veranderingen beschrijven en vergelijken met behulp van differentiequotiënten.

2

13. De leerlingen kunnen problemen, waarbij een functioneel verband gegeven is, oplossen en die oplossing interpreteren (eventueel met behulp van ICT). Er komen in de eindtermen dus drie thema’s aan bod: grafieken, veranderingen en problemen oplossen. We geven bij elk van deze thema’s wat toelichting.

Grafieken In de eerste en tweede graad maakten de leerlingen reeds kennis met functies. In de derde graad wordt het leren lezen van grafieken en tabellen verder onderhouden. De leerlingen leren van deze grafieken en tabellen eigenschappen van de verbanden aflezen. Veel van deze leerlingen zullen enkel nog op die manier met functies in contact komen. Dit zijn ook dingen die ze in hun dagelijkse leven nodig hebben. Het is daarom belangrijk dat dit aspect van ‘gecijferdheid’ onderhouden wordt. Af en toe kan bij een verband ook een voorschrift opgesteld worden. Zo komen de verschillende voorstellingswijzen van een functie aan bod: een situatie (een verhaal), een grafiek, een tabel en een voorschrift. Dit voorschrift laat toe om onbekende functiewaarden te berekenen. Het is in deze afdelingen niet de bedoeling ook te ‘rekenen’ met moeilijke voorschriften. Vergelijkingen en ongelijkheden kunnen met een grafisch rekentoestel of software op de computer opgelost worden. In de tweede graad werden de eerstegraadsfuncties iets systematischer behandeld: het verband tussen het voorschrift en de grafiek, het nulpunt uit het voorschrift aflezen, … Voor enkele andere functies kan dit nu ook in de derde graad. Een echte studie van de verschillende klassen functies is hier echter niet op zijn plaats. Wat wel aan bod komt is bv. de top en nulpunten van een tweedegraadsfunctie, het voorschrift van exponentiële groei en het verband tussen de groeifactor en het stijgen en dalen van de functie, het periodiek karakter van de sinusfunctie, ...

Veranderingen beschrijven en vergelijken In de wiskunde wordt het begrip afgeleide gebruikt om te beschrijven hoe sterk bij een functie de verandering van de y-waarde is als de x-waarde verandert. Voor ons, wiskundigen, is het een vertrouwd begrip. Toch is het in feite een vrij complex begrip. Het is het meest gesofisticeerde uit een rijtje van drie instrumenten om te meten hoe sterk functiewaarden veranderen. •

De eenvoudigste manier om de verandering in y-waarde te beschrijven, is aan de hand van differenties, het verschil tussen twee functiewaarden: f ( x + h) − f ( x) . Een differentie beschrijft de totale verandering over een interval. In de afgeleide vinden we de differentie terug in de teller van de breuk. • Deze manier van werken voldoet niet altijd. Zo heeft het bijvoorbeeld geen zin om differenties te vergelijken wanneer voor h verschillende waarden genomen worden. Dan f ( x + h) − f ( x ) . Het differentiequotiënt moet je een differentiequotiënt gebruiken: h beschrijft de gemiddelde verandering over een interval (denk bijvoorbeeld aan de gemiddelde snelheid over een tijdsinterval). Ook het differentiequotiënt vinden we terug bij de afgeleide: het is de breuk waarvan de limiet genomen wordt. • De verandering in één punt (bv. de snelheid op een bepaald ogenblik) wordt beschreven door de afgeleide, de limietwaarde van het differentiequotiënt. Elk van deze drie instrumenten kan gebruikt worden om de verandering van de y-waarden te beschrijven. Traditioneel is, ook in de richtingen uit het TSO met weinig uren wiskunde, gebruik gemaakt van de afgeleide om veranderingen te beschrijven. Het begrip afgeleide is echter moeilijk toegankelijk en vaak leerden de leerlingen wel afgeleiden berekenen, maar wisten ze niet goed wat de afgeleide juist voorstelde. (In de rekenregels voor afgeleide functies is het differentiequotiënt ook niet meer zichtbaar.) In eindterm 12 wordt gevraagd om voortaan

3

gebruik te maken van het differentiequotiënt. We vinden dat een verstandige keuze. Zo wordt het wiskundige instrument meer toegankelijk voor leerlingen die niet zo sterk zijn in wiskunde. Door de stap naar de limiet niet te zetten, kunnen we de aandacht echt richten op de verandering van de functie. Op die manier kan de klemtoon verschuiven van techniek naar meer begrip en inzicht. In deze cursus werken we aanvankelijk met differenties: we bestuderen het verloop van een functie aan de hand van toenamediagrammen. In een toenamediagram komen differenties voor in opeenvolgende intervallen die steeds even groot zijn. De leerlingen ontdekken dat een grote toename betekent dat de oorspronkelijke functie steil is, een negatieve toename betekent een daling, … Heel veel aspecten van de verandering van functies die wij traditiegetrouw bij afgeleiden behandelen, kunnen nu al aan bod komen. De ballast van het zware begrip afgeleide hindert nu echter minder. Verderop gebruiken we het differentiequotiënt om veranderingen te vergelijken in intervallen die niet even lang zijn. In concrete situaties komt dit neer op de gemiddelde helling over het interval, de gemiddelde snelheid, … Om de helling, snelheid op een bepaald moment te kennen, kunnen we met de gemiddelde toename over een klein interval werken.

Contexten versus technische oefeningen In deze richtingen vragen leerlingen heel vaak: “Wat kunnen we hiermee doen, wat zijn we hiermee?” Ook wij vinden het belangrijk dat wat de leerlingen leren in de wiskundeles ook bruikbaar is zowel in hun verdere leven als in andere vakken. Daarom bieden we heel wat materiaal aan in contexten. Soms is het misschien zinvol vakoverschrijdend te werken. Anderzijds beseffen we dat het werken in contexten niet eenvoudig is. In vele gevallen hebben deze leerlingen ook een negatief zelfbeeld wat betreft de algemene vakken en hebben ze ook moeilijkheden met taal. Ze vertrekken vaak van: “Ik kan dat niet.” De formulering van de zinnen (korte, duidelijke vraagstelling, niet teveel ruis, …) moet voldoende aandacht krijgen bij het opstellen van werkmateriaal. We moeten ook voldoende ‘technische’ activiteiten inlassen (opstellen van tabellen, toenamediagrammen aanvullen, …) en droge oefeningen waarin de leerlingen de wiskundige aspecten kunnen inoefenen. Maar ook dan vinden we het belangrijk dat leerlingen op hun niveau begrijpen wat ze aan het doen zijn.

Grafisch rekentoestel, computer Wij maken in deze cursus veelvuldig gebruik van een grafisch rekentoestel (TI-83) en de computer. Wij beseffen zeer goed dat, meer nog dan in ASO, de individuele aanschaf van een grafisch rekentoestel niet vanzelfsprekend is. Vaak moeten deze leerlingen ook veel technisch materiaal aanschaffen. Een mogelijkheid is dat de school een voldoende aantal toestellen koopt en de leerlingen die in de klas laat gebruiken. In sommige gevallen kan de leerkracht de grafieken en tabellen zelf met een computer maken en ze op papier aan de leerlingen geven. We gebruiken in deze cursus niet enkel wiskundige software op de computer. Op het internet vind je ook zinvolle grafieken, werkbladen en applets.

Hoe is de cursus opgebouwd? We hebben gewerkt rond concrete lesideeën en maakte onmiddellijk bruikbare werkteksten. Dit wil niet zeggen dat je ze daarom ook als werktekst moet aanbieden in de klas. We denken dat dit kan, maar ze zijn ook bruikbaar als leidraad voor een leergesprek. Het grootste deel van het materiaal dat we gebruiken is verschenen in het tijdschrift Uitwiskeling, jaargang 19 nummer 2. Bijgevolg vind je een aantal van de werkteksten op de website www.uitwiskeling.be.

4

We hebben ons beperkt tot de uitwerking van concreet lesmateriaal voor de eindtermen 10, 12 en 13. Met het verzamelde materiaal werkten we een cursus uit die Ankie in 2006-2007 voor de eerste maal gebruikte in haar klas 5 MV (2 lesuren wiskunde per week). De eerste werktekst in deze werkwinkel komt uit het eerste hoofdstuk over ‘Basiswiskunde’ onderdeel ‘Grafieken en tabellen lezen’. De andere werkteksten hebben hun plaats in het hoofdstuk ‘Veranderingen’. We beschrijven hier kort de cursus in zijn geheel en vermelden het aantal lesuren dat aan de verschillende delen besteed werd. In een eerste hoofdstuk komt basiswiskunde aan bod. Hieraan worden 10 lesuren besteed. In paragraaf 1.1 van dit hoofdstuk geven we aan hoe er in de klas aan eindterm 10 (aflezen van bijzonderheden van grafieken en tabellen) kan gewerkt worden. Je zal merken hoe er geleidelijk aan meer wiskundige aspecten bekeken worden, maar evenzeer dat dit kan aan de hand van concrete en realistische contexten. De volgende 9 paragrafen handelen over de onderwerpen vergelijkingen oplossen, formules omzetten, procentberekeningen, goniometrie, formules in rechthoekige en willekeurige driehoeken, intervallen, stijgen en dalen, formules en verbanden en functies. In de laatste paragraaf 1.10 worden een aantal elementen benoemd die we ook in de verdere cursus gebruiken. Vandaar dat deze laatste paragraaf in de uitgebreide versie te vinden is. De hoofdstukken 2, 3 en 4 handelen over tweedegraadsfuncties, exponentiële en goniometrische functies. De leerkracht besteedt hier in de les respectievelijk 8, 6 en 6 lestijden aan. Deze delen van de cursus zijn niet bijgevoegd in de uitgebreide versie van de cursus. Het vijfde hoofdstuk over veranderingen neemt 10 lestijden in beslag. We bestuderen in de eerste paragraaf de studie van de verandering van functies met toenamediagrammen. In paragraaf 2 wordt de stap naar differentiequotiënten gezet en bestuderen we bijgevolg het begrip gemiddelde verandering. In de 3de en laatste paragraaf bestuderen we differentiequotiënten met een kleine stapgrootte om zo enige notie te krijgen van de ogenblikkelijke verandering. In deze syllabus vind je uit elke paragraaf één of meerdere werkteksten uit de uitgebreide cursus. De laatste werktekst komt uit hoofdstuk 6 van de uitgebreide cursus. In dit hoofdstuk geven we aan hoe het leren oplossen van problemen ook in deze afdelingen behandeld kan worden. Door gebruik te maken van een computer of grafisch rekentoestel kan het rekenwerk beperkt worden en kan de aandacht gaan naar het vertalen van de problemen. Aan dit laatste hoofdstuk worden 4 lesuren besteed.

5

2. Cursus gebruikt in 5 MV in het schooljaar 2006-2007 2.1. De klemtonen in de (uitgebreide) cursus Hoofdstuk 1 1.1 Grafieken en tabellen lezen. In de eerste en de tweede graad maakten de leerlingen al kennis met grafieken en tabellen van verbanden en werd het begrip functie ingevoerd. Ze leerden uit deze grafieken en tabellen eigenschappen van de functies af te lezen. Omwille van de maatschappelijke relevantie is het zinvol dat deze vaardigheid onderhouden wordt en dus ook in de derde graad aan bod komt. Deze paragraaf heeft tot doel om leerlingen creatief te leren zijn met grafieken en tabellen. We bieden vier voorbeelden aan in de vorm van een werktekst. De voorbeelden komen tegemoet aan eindterm 10 over ‘Bijzonderheden van grafieken aflezen en veranderingen beschrijven’. De volgende functies kunnen op analoge wijze behandeld worden: afkoeling of opwarming van een voorwerp, gemiddelde dagtemperatuur voor een heel jaar, daglengte voor een heel jaar, geld sparen op een spaarrekening, … Symmetrie en lineaire en exponentiële groei worden niet expliciet behandeld.

Vertrekken van wat je kent Leerlingen leren werken met grafieken vanaf de lagere school. Een eerste instapvoorbeeld legt de link met wat de leerling al kan, of zou moeten kunnen. In de werktekst moeten leerlingen een grafiek en tabel interpreteren. Extreme waarden komen even aan bod zonder hieraan een abstracte wiskundige activiteit te koppelen. De werktekst kan ingeleid worden door wat informatie over Isaac Newton die aantoonde dat wit licht een mengeling van kleuren is. Wellicht weten de leerlingen hier al iets over uit de wetenschapslessen. Er wordt even gesproken over kleurenblindheid. Veel mensen denken dat kleurenblinden slechts in staat zijn om wit, grijs en zwart waar te nemen. Deze vorm van kleurenblindheid is echter uiterst zeldzaam. Meer voorkomend zijn kleurenblinden die niet in staat zijn om verschil te maken tussen rood en groen of kleurenblinden waarbij de cellen in de ogen ontbreken die gevoelig zijn voor blauw. Een leuke illustratie van een figuur en de verschillende wijzen waarop ze gezien wordt door kleurenblinden met verschillende soorten afwijkingen, vind je op http://www.colorjinn.com/nl/6opkleur/kleurloosheid/kleurbl/kleurbl.html. De werktekst start met achtergrondinformatie die de leerkracht eventueel zelf kan vertellen.

Werken met applets Een mooie applet voor het leren lezen van grafieken is ‘grafieken’ op www.wisweb.nl. De tweede werktekst en de oefeningen zijn gebaseerd op een werkblad dat je op het net bij deze applet vindt. De vragen zijn van een hoger niveau dan in de vorige werktekst. Er zitten ook enkele open vragen in, waarvoor er dus niet altijd één juist antwoord is. Sommige grafieken bieden zeker ook mogelijkheden voor een vakoverschrijdende activiteit. Het eerste voorbeeld wordt best klassikaal behandeld. De oefeningen aan de computer kunnen de leerlingen zelfstandig oplossen. In de laatste vraag moeten de leerlingen zelf zinvolle vragen bedenken bij een grafiek uit een krant of tijdschrift.

6

Hoofdstuk 5 5.1. Veranderingen en toenamediagrammen.

Kijken naar veranderingen In het eerste voorbeeld van deze paragraaf lezen en interpreteren we de grafiek en gaan we op zoek naar hoe en waar de grafiek verandert. We trachten echter ook deze veranderingen te meten en berekenen. We willen hiermee een overgang maken naar de iets abstractere aanpak van de studie van veranderingen.

Veranderingen bestuderen met differenties In de volgende drie voorbeelden gaan we een stapje verder en zetten we deze toenames uit in een grafiek (toenamediagram). Zo kunnen we dieper ingaan op die veranderingen. Lineaire, kwadratische en exponentiële groei komen aan bod in de voorbeelden. Geld uitgezet op een spaarboekje groeit exponentieel. Interessant aan dit voorbeeld is dat de toename per jaar een concrete betekenis heeft, het is namelijk de intrest per jaar. De drie voorbeelden bereiden alle elementen van de definitie voor.

Voorbeeldoefeningen en oefeningen We sluiten de paragraaf af met een reeks voorbeeldoefeningen en oefeningen. We vonden hiervoor nog materiaal in [10]. In de oefeningen gebruiken we een aantal grafieken waarvan we het voorschrift niet kennen. De leerlingen moeten toenamediagrammen maken, maar ook interpreteren. Indien er voldoende tijd is, kan het probleem ook ‘omgekeerd’ worden. In twee oefeningen vertrekken we vanuit de toenames en zijn we op zoek naar de oorspronkelijke grafiek. De laatste oefening vestigt de aandacht op de stapgrootte. Als deze te groot is gaat er immers informatie verloren.

5.2. Gemiddelde verandering In heel veel gevallen kan de verandering van functies goed met differenties en toenamediagrammen bestudeerd worden. Als we echter veranderingen willen vergelijken waarbij de stapgroottes niet gelijk zijn, geven differenties een vertekend beeld. Daarom werkt men in zo’n geval met differentiequotiënten (de toename gedeeld door de lengte van het interval). In richtingen waar de stap naar afgeleiden gezet wordt, kan het werken met differentiequotiënten de betekenis van afgeleide voorbereiden: een differentiequotiënt over een voldoende klein interval is een goede benadering voor de afgeleide. Maar in TSO-richtingen met 2 uur wiskunde per week hoeven we die stap dus niet meer te zetten. Aan de hand van enkele concrete werkteksten geven we aan hoe de stap van differenties naar differentiequotiënten in de klas gezet kan worden en hoe leerlingen differentiequotiënten gebruiken om de verandering van functies te vergelijken. Toenamediagrammen geven een globaal beeld van de verandering van een functie. Differentiequotiënten kunnen we eerder gebruiken om de verandering in een bepaald interval te vergelijken met de verandering in een ander interval of de verandering van een andere functie.

7

Gemiddelde groei In het eerste voorbeeld kijken we naar ‘groeiende kinderen’ en verplichten de gegevens de leerlingen op een natuurlijke manier om de toenames te vergelijken t.o.v. de tijdsintervallen. In een eerste fase berekenen ze de gemiddelde toename (per jaar) over tijdsintervallen die groter zijn dan een jaar. Hier ligt het voor de hand dat er dan gedeeld moet worden door de lengte van het interval. In een tweede fase laten we zien dat de omzetting naar de groeisnelheid per jaar (de gemiddelde toename per jaar) ook kan voor tijdsintervallen kleiner dan een jaar.

Gemiddelde snelheid Het tweede voorbeeld is het bekende probleem van ‘heer Bommel’ die niet begreep dat hij te snel reed als hij maar 10 km op 15 minuten had gereden (zie [2] en [5]). In dit voorbeeld is het belangrijk de (gemiddelde) toename over een voldoende klein tijdsinterval te nemen. Er komt aan bod dat de gemiddelde snelheid over een interval overeenkomt met de steilheid van de grafiek en dat dit getal dus een maat is voor de verandering van de afgelegde weg t.o.v. de tijd.

Gemiddelde helling Het laatste voorbeeld legt explicieter het verband tussen de steilheid van een grafiek en het differentiequotiënt. Er wordt ingegaan op de grootte van het interval waarover de gemiddelde helling wordt berekend. Als toemaatje bekijken we de hellingspercentages die soms op verkeersborden staan door een wiskundige bril.

Definities, voorbeeldoefeningen en oefeningen We sluiten de paragraaf weer af met de definities die door de oefeningen werden voorbereid. De voorbeeldoefeningen hebben tot doel het nieuwe begrip in te oefenen. Je herkent enkele ‘droge oefeningen’ en enkele ‘context gerelateerde’. We hebben hier slechts twee oefeningen bijgevoegd. Een eerste oefening komt nog eens terug op het voorbeeld van de gemiddelde groei. De tweede oefening gaat over een parachute. We komen we nog eens terug op het verband tussen de grootte van de (gemiddelde) toename en de mate waarin de oorspronkelijke grafiek verandert. Omdat de valsnelheid na een tijdje constant is, komt de gemiddelde toename overeen met de ogenblikkelijke snelheid. Meer inspiratie voor oefeningen vind je in [10], [11] en de volgende paragraaf.

5.3. Ogenblikkelijke verandering. De ogenblikkelijke verandering moet volgens het leerplan niet meer uitdrukkelijk behandeld worden. We geven een aantal voorbeelden en leiden zo een definitie in voor de benadering van de ogenblikkelijke verandering. Dit kan aan sterkere leerlingen aangeboden worden. Het aangeboden materiaal kan uiteraard gebruikt worden binnen het onderwerp van de vorige paragraaf. We sluiten dit hoofdstuk van veranderingen af met een syntheseoefening waarin alle begrippen nog eens aan bod komen. We vertrekken vanuit een functievoorschrift. De leerlingen moeten van daaruit de formules opstellen. Ze denken met de grafiek en de grootheden na over de betekenis in de context van verandering, gemiddelde verandering en ogenblikkelijke verandering. Dan volgen de “logische” berekeningen van de oefening.

8

Hoofdstuk 6 We werken enkele voorbeelden uit waarin verschillende wiskundige concepten aan bod komen. De werkteksten zijn opgebouwd rond een extremumprobleem dat opgelost wordt zonder het gebruik van afgeleiden. De leerlingen lossen vergelijkingen en ongelijkheden op en interpreteren de oplossingen. De bedoeling is dat de leerlingen hier gedeeltelijk zelfstandig aan werken en gedeeltelijk in groep begeleid worden.

2.2. De werkteksten uit de werkwinkel: proeven van de cursus Het verhaal bij een grafiek: Tweede tekst uit paragraaf 1.1. Grafieken en tabellen lezen. Omtrek van een vierkant: Tweede voorbeeld uit paragraaf 5.1 Veranderingen en toenamediagrammen. Kinderen worden groot: Tweede oefening uit paragraaf toenamediagrammen. (vernieuwde tekst na DVW 2003)

5.1.

Veranderingen

en

De marathonloop: Het eerste deel van de zesde oefening uit paragraaf 5.1. Veranderingen en toenamediagrammen. Kinderen worden groot: Eerste voorbeeld uit paragraaf 5.2. Gemiddelde verandering. Bommel en Bulle Bas: Eerste voorbeeld uit paragraaf 5.3. Ogenblikkelijke verandering Riemaandrijving: Derde oefening uit paragraaf 6. Problemen oplossen Ankie en Gilberte Voor u en onze bronvermelding: Bibliografie [1] D. De Bock e.a., Afgeleiden en integralen, Acco (Leuven/Amersfoort), 1994. [2] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context, Afgeleiden, Plantyn (Deurne), 1989. [3] H. Staal e.a., Pascal, Wiskunde voor de tweede fase, HAVO verwerkingsboek CM & EM, (Zutphen) 1998. [4] Redactie Uitwiskeling, Analyse, Uitwiskeling 8/4 (1992), 14-53. [5] J. Roels, Verslag van een experiment, Uitwiskeling 5/3 (1989), 2-18. [6] Nelson Blackie, Mathematics in action, Thomas Nelson and Sons Ltd. (UK), 1992. [7] Nationaal instituut voor de statistiek, Mathematische demografie, Sterftetafels 2000 en 1998-2000. [8] K. Matthijs, Statistisch zakboek van België, Lannoo (Tielt), 1994. [9] P. Gevers, e.a., Delta 5 (4 lesuren), Wolters Plantyn (Mechelen), 2003 [10] J. Casteels, e.a. Delta T 5/6 (leerplan B/C), Wolters Plantyn, (Mechelen), 2004 [11] H. van der Kooij, e.a., Twin Beroepsgerichte wiskunde , Thiememeulenhoff (Utrecht), 2003

9

Het verhaal bij een grafiek Vaak kan een verband tussen twee grootheden beschreven worden in woorden. Bijvoorbeeld: ‘hoe ouder hoe langer’ of ‘hoe hoger hoe kouder’. Je kan er ook een grafiek, tabel of formule van maken, die je meer informatie geven. Grafieken vertellen een verhaal. Deze twee grafieken ook.

Je kunt aflezen welke afstand in welke tijd is afgelegd. (Dit is het verband dat deze grafiek weergeeft in woorden beschreven.) Er zijn ook dingen die onmogelijk te achterhalen zijn. Bijvoorbeeld: Wie zijn Jaap en Els? Waar gaan ze naar toe? Hoe reizen ze? … 1. Vertel een verhaal dat bij deze grafiek past. Probeer alle gegevens die je uit de grafiek kan halen in jouw verhaal te gebruiken. Suggestie: Maak eerst een lijst met alle informatie die je uit de grafiek kunt halen en een lijst met alle informatie die je zelf verzonnen hebt. Volgende vraagjes kunnen ook nog helpen: Wie vertrekt er eerst? Wat doen ze? Rijden, lopen, fietsen, kajakken, wandelen,…? Verplaatsen ze zich even snel? Wie heeft er eerst 20 km afgelegd?

2. Om twee uur ’s middags besluiten Jaap en Els om terug te gaan naar het vertrekpunt. Ze vertrekken op hetzelfde moment en elk gebruikt ongeveer dezelfde reistijd als op de heenreis. Teken voor beiden een mogelijke grafiek.

10

Omtrek van een vierkant In dit voorbeeld vergelijken we de omtrek van een vierkant als de zijde toeneemt. Gegeven zijn vierkanten van verschillende afmetingen. 1.

Schrijf de juiste formule voor de omtrek en vul de tweede kolom in. Zijde z van het vierkant (in Omtrek O = … cm) (in cm) 0

Verandering van de omtrek (in cm)

1 2 3 4 5 Als je de zijde telkens 1cm groter maakt, dan neemt de omtrek ook telkens toe. 2. 3.

4.

Schrijf in de derde kolom hoeveel er bij de omtrek is bijgekomen (in vergelijking met het vorige vierkant). In de tabel komt een functie voor die voorgesteld wordt door O = 4 z . Is dit een formule- of haakjesnotatie? Zet deze om naar de andere notatie.

Beantwoord de volgende vragen: a. Bij wiskundige vragen zonder context gebruiken we meestal de veranderlijken x en y. Zet de formulenotatie in vraag 3 om naar een vorm met x en y.

b. Wat is de verandering van de omtrek als de zijde toeneemt van 2cm naar 4cm? Deze verandering stellen we symbolisch voor door Δy en is bijgevolg de verandering van de omtrek. Dus Δy = Bij een verandering Δy hoort steeds een stapgrootte Δx . Dat is hier de toename van de zijde. Dus Δx = c. Wat is de verandering van de omtrek als de zijde toeneemt van 1cm naar 5cm?

Δy = Δx = d. Wat is de verandering van de omtrek als de zijde toeneemt van 1cm naar 4cm?

Δy = Δx = We spreken over de verandering van een functie over een bepaald interval en stellen het voor door Δy . De lengte van dit interval noemen we de stapgrootte en stellen het voor met

Δx 11

De onderstaande uitspraken over het bovenstaande voorbeeld zijn allemaal juist en hebben dezelfde betekenis: ƒ De omtrek neemt met 8cm toe als de zijde met 2cm toeneemt. ƒ De verandering van de omtrek is 8 over het interval [2,4]. ƒ De verandering van de omtrek is 8 bij stapgrootte 2. ƒ De verandering van de functie f over het interval [2,4] is 8 5.

Schrap wat niet past: In de tabel hebben we telkens de verandering van de omtrek berekend over intervallen met gelijke/ongelijke stapgrootte.

6.

Maak de grafiek van de omtrek als functie van de zijde.

Als we ook een grafische voorstelling maken van de toenames, dan spreken we van een toenamediagram. 7.

Vervolledig het toenamediagram hieronder

8.

Hoe noem je het soort verband tussen de omtrek en de zijde van een vierkant?

9.

Wat valt je op bij het toenamediagram?

12

Kinderen worden groot Een kind groeit niet elk jaar even snel. Als je kinderen onderling vergelijkt, merk je bovendien dat elk kind zijn eigen ‘groeiwijze’ heeft: de ene groeit in een geleidelijk tempo, een andere blijft een hele tijd klein en krijgt dan plots een ‘groeischeut’. Vaak houden ouders in een boekje de lengte bij van hun kinderen. Hieronder vind je twee groeigrafieken die gemaakt werden aan de hand van dergelijke gegevens.

Groeigrafiek van An

Groeigrafiek van Toon

1. Wat zijn de meest opvallende verschillen tussen beide grafieken? Wat is hiervan de betekenis voor An en voor Toon? 2. Geef twee leeftijden waarop Toon groter is dan An en twee leeftijden waarop An groter is dan Toon. 3. Er is een periode waarin An sneller groeit dan Toon. Wanneer is dit? 4. Hoe zie je dat op de grafieken? 5. In een andere periode groeit Toon dan weer sneller dan An. Wanneer?

Toon groeit vanaf zijn eerste tot zijn twintigste levensjaar. In sommige periodes groeit hij echter sneller dan in andere periodes. 6. Geef een periode waarin Toon sneller en sneller groeit en een periode waarin hij trager en trager groeit.

13

7. Hoe zie je dit op de grafiek?

8. Bepaal voor An de verandering over het interval [10,15].

9. Wat is de betekenis van de verandering uit vraag 8. in de gegeven context?

10. Op de grafieken hieronder heeft men telkens verticale streepjes aangegeven. Wat stellen deze streepjes voor?

Groeigrafiek van An

Groeigrafiek van Toon

11. Vervolledig de grafiek bij Toon.

14

12. Hieronder hebben we van die lengtetoenames per jaar een afzonderlijke grafiek gemaakt. Hoe noem je zo’n grafiek?

13. Ook hier is het toenamediagram van Toon niet volledig. Maak dit verder af. 14. Wat is de stapgrootte in het toenamediagram van An

15. De volgende tabel geeft een aantal van de vorige vragen. Verder zie je twee kolommen: één met als titel ‘grafiek’ en één met als titel ‘toenamediagram’. Zet een kruisje als je de vraag kan oplossen met behulp van het gegeven van de titel. Vraag

Grafiek

Toename Diagram

1. Geef een leeftijd waarop Toon groter is dan An 2. Is er een periode waarin An sneller groeit dan Toon? 3. Geef een periode waarin Toon sneller en sneller groeit. 16. Welke vraag kan je niet beantwoorden als je enkel beschikt over het toenamediagram?

17. Welke vragen kan je beter beantwoorden m.b.v. het toenamediagram en waarom?

15

Marathonloop Hieronder zie je de tussentijden van de marathon van Peking in 1982 van de winnaar Li Jong Hyong en van de best geklasseerde Belgische deelnemer, Jules Grimon, die tiende werd. Tijd na: 5 km

10 km

15 km

20 km

halfweg

25 km

30 km

35 km

40 km

eindtijd

Li Jong Hyong

16’31’’

32’56’’

49’41’’

1:6’31’’

1:10’1’’

1:21’53’’

1:36’47’’

1:51’59’’

2:7’28’’

2:14’44’’

Jules Grimon

16’30’’

33’11’’

49’49’’

1:6’24’’

1:10’27’’

1:23’00”

1:38’50’’

1:54’52’’

2:10’56’’

2:18’14”

Een volledige marathon is 42,2 km lang en halfweg is dus na 21,1 km. 1. Hieronder zie je een grafiek van deze tijden. In welke delen van de wedstrijd was Jules Grimon beter dan de winnaar? Kun je dat goed van deze grafiek aflezen? Zou je dit zo onmiddellijk uit de tabel kunnen aflezen? Wedstrijdverloop marathon Peking 1982

140

120

tijd in minuten

100

80 Jules Grimon Li Jong Hyong 60

40

20

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

afstand

16

2. Maak voor beide lopers voor de eerste 40 km een toenamediagram met een stapgrootte van 5 km. Hiervoor kun je best eerst de tijden van de vorige tabel omzetten in minuten en in decimale vorm. Vul beide tabellen aan. In de tekst voor de leerlingen zijn er maar enkele waarden in de tabellen ingevuld. Tijd na 5 km

10 km

15 km

20 km

halfweg

25 km

30 km

35 km

40 km

Eindtijd

Li Jong Hyong

16,52’

32,93’

49,68’

66,52’

70,02’

81,88’

96,78’

111,98’

127,47’

134,73’

Jules Grimon

16,5’

33,18’

49,81’

66,4’

70,45’

83’

98,83’

114,87’

130,93’

138,23’

25km

30km

35km

40km

Tijdstoename na: 5km

10km

15km

20km

Halfweg

Li Jong Hyong

16,41

16,75

16,84

11,86

14,9

15,2

15,49

Jules Grimon

16,64

16,64

16,58

12,55

15,83

16,04

16,06

Eindtijd

3. In welke delen van de wedstrijd heeft Jules Grimon sneller gelopen dan de winnaar. Moet je daarvoor de snelheid berekenen?

4. Welke toename bestuderen we hier en wat betekent dit voor de snelheid van de lopers?

17

5. De computer maakt de toenamediagrammen op de volgende manier. Wat zijn de voordelen en nadelen van deze voorstelling in vergelijking met de vorige? toenames per 5 km 17 tijd in minuten

16,5 16 15,5

Jules Grimon

15

Li Jong Hyong

14,5 14 13,5 5

10

15

20

25

30

35

40

afstand

18

Kinderen worden groot In een vorige voorbeeld over ‘groeiende kinderen’ hadden we het al over ouders die de lengte van hun opgroeiende kinderen bijhouden. We volgen nu een ander meisje (Saar) in haar groei, maar deze keer ontbreken er enkele meetresultaten.

Leeftijd 0 1 2 3 5 7 10 12 15 19 20

lengte (cm) 50 70 80 89 105 118 140 150 166 170 170

Verandering

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Uit het bovenstaande lijstje met meetresultaten kan je niet aflezen hoe groot Saar als vierjarige was. 1.

Hoe groot denk jij dat Saar was op dat moment? Hoe vind je deze waarde?

2.

Is het zeker dat Saar exact zo groot was als jij schatte?

3. Vul de derde kolom van de gegeven tabel aan. Tijdens haar eerste levensjaar (tussen 0 en 1 jaar) groeide Saar 20 cm. Verderop in de tabel vind je nog een groter verschil tussen twee opeenvolgende meetresultaten. 4.

Hoe groot is dit verschil? Welke leeftijden komen daarmee overeen?

5.

Schrap wat niet past in de volgende zinnen: a. Het verschil dat je in vraag 4 berekende noemen we de verandering of stapgrootte. b. De verandering die hoort bij vraag 4 is 22 of 3. c. De stapgrootte die hoort bij vraag 4 is 22 of 3.

19

18

20

6.

Noteer Δy en Δx a. over het interval [0,1] b. over het interval [7,10]

7.

Groeide Saar in de periode tussen 7 en 10 jaar sneller dan in haar eerste levensjaar? Waarom wel/niet?

8.

Welke berekening heb je in vraag 7 uitgevoerd? Kleur het juiste bolletje.

9.

o

Δx Δy

o

Δy Δx

We bekijken even de groei van Saar in twee tijdsintervallen: a. Tussen de leeftijd van 3 en 5 jaar groeide Saar 16 cm. Wat is hier de verandering en de stapgrootte?

b. Hoeveel groeide Saar tussen haar 12de en 15de verjaardag? Geef de bijhorende verandering en stapgrootte.

c. Bereken de gemiddelde verandering in die twee tijdsintervallen en vergelijk de resultaten.

10. Welke van de onderstaande twee breuken geeft de gemiddelde groeisnelheid weer? o

Δx Δy

o

Δy Δx

20

Hieronder zie je in de linkse grafiek de toenames bij de tabel van de lengtes van Saar. De rechtse geeft de gemiddelde groeisnelheid per jaar bij deze gegevens. 11. Welke grafiek geeft volgens jou het beste beeld van de groei van Saar? toenamediagram

gemiddelde groeisnelheid in meter per jaar

25

25

20 20

15 15

10 10

5 5

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

In dit voorbeeld zijn we een nieuw begrip tegengekomen: gemiddelde groeisnelheid. Omdat het voorbeeld over de lengte van Saar gaat en we zeggen dat Saar groeit als haar lengte verandert, kunnen we spreken van gemiddelde groeisnelheid. Bij andere functies hebben we geen naam voor de verandering en spreken we van de gemiddelde verandering. 12. Geef de juiste symbolen die in dit voorbeeld gebruikt worden voor de volgende begrippen a. Verandering: b. Stapgrootte: c. Gemiddelde verandering:

21

Bommel en Bulle Bas De onderstaande tekst is een vervolg op een tekst uit 5.2. Gemiddelde verandering. In de eerste tekst leerden de leerlingen het voorbeeld kennen en berekenden ze de gemiddelde snelheid over een aantal tijdsintervallen. Ik herhaal de inleiding.

Heer Bommel was danig uit zijn humeur. Het verkeer in Rommelgem had hem veel oponthoud bezorgd en toen hij zich buiten de bebouwde kom waande, trapte hij het gaspedaal geheel in, zodat de Oude Schicht gierend over de weg vloog. Helaas ontging het hem dat hij zich op een weg bevond waar snelheidsbeperking geboden was en dat wreekte zich. Want daar naderde de politieagent reeds op een brullende motor en stak een hand op. ‘Hebt u zo’n haast, huh?’ vroeg Bulle Bas, een notitieboekje trekkend. ‘Hebt u de borden niet gezien? Kunt u niet lezen?’ ‘Maar ik reed niet te snel!’ riep heer Bommel op piepende toon. ‘In het afgelopen kwartier heb ik niet meer dan 10 km gereden, dat is dus 40 km per uur’.

We bekijken terug het voorbeeld van de snelheidsduivels. Je vindt hieronder de grafiek opnieuw.

22

1. Je berekende al dat de gemiddelde snelheid gedurende de laatste vijf minuten 60km per uur was. Reed Bommel bijgevolg juist 60km/u wanneer de agent hem deed stoppen? (dit was ongeveer op de 14de minuut)

2. Hoe zou de grafiek eruit zien als Bommel gedurende de laatste 5 minuten heel de tijd 60 km/u zou gereden hebben? Teken deze grafiek op de bovenstaande.

3. Een stukje van de grafiek is bijna een rechte lijn. a. Vanaf wanneer veranderde de snelheid van Bommel niet veel meer. Beschouw het stukje grafiek tot de 14de minuut.

b. Wat was de gemiddelde snelheid gedurende dit tijdsinterval?

c. Bulle Bas mag Bommel een boete geven als hij sneller rijdt dan 50km/h. Krijgt Bommel een boete?

4. Als we de gemiddelde snelheid berekenen over een heel klein tijdsinterval, benaderen we heel goed de snelheid op een bepaald moment of de ogenblikkelijke snelheid. Benader de gemiddelde snelheid over het interval [14;14,5].

23

Riemaandrijving Een riemaandrijving is opgebouwd uit een wiel met een diameter van 40mm en een wiel met een diameter van 60mm. De middelpunten van de wielen liggen 150mm uit elkaar. 1. Schat de lengte van de riem in deze aandrijving.

2. Schat op dezelfde manier de lengte van de riem in een aandrijving die is opgebouwd uit twee wielen met diameter D en d, waarbij de middelpunten een afstand h van elkaar af liggen. Zie de figuur hieronder.

24

De lengte van de riem kan benaderd worden met de volgende formule: l = 2h + 1,57 ( D + d )

(D − d ) +

2

4h waarin: - l = lengte van de riem - D = diameter van het grote wiel - d = diameter van het kleine wiel - h = hartafstand van de wielen (afstand tussen de middelpunten) Uiteraard moet je alle maten in dezelfde eenheid opgeven en berekenen. 3. Het laatste gedeelte van deze formule ontbrak hoogst waarschijnlijk in jouw schatting bij opgave 1. a. Waar zitten die extra stukjes riemlengte, ofwel: waarom is deze benadering nauwkeuriger dan jouw schatting?

b. Wat gebeurt er met de formule wanneer je een riemaandrijving maakt met twee even grote wielen?

c. Is de formule dan nog steeds een benadering?

Opmerking voor de leerlingen die vragen hebben bij de formule en ze eventueel willen 1 bewijzen :er wordt gebruikt gemaakt van een veeltermbenadering: 1 + x ≈ 1 + x . In 2 de tijd dat er nog geen rekenmachines waren was het handig om benaderings"trucjes" te hebben om wortels en sinussen e.d. te kunnen benaderen. Eigenlijk zit je ekenmachine ook volgebouwd met dat soort trucjes. De gebruikte veeltermbenadering geldt enkel voor x in de buurt van nul.

25

De formule ziet er op het eerste gezicht nogal ingewikkeld uit. In de praktijk valt dat vaak mee, omdat een aantal variabelen in de formule al vast ligt. Dat zijn dus eigenlijk gewoon constante getallen. 4. Jenthe construeert een riemaandrijving: het kleine wiel met een diameter van 20 mm en een groot wiel van 600mm diameter. De hartafstand h kan zij in haar constructie nog vrij kiezen. Stel dat h = x Stel een formule op die het verband tussen de riemlengte l en de hartafstand x beschrijft.

5. Jenhte wil de riem zo kort mogelijk maken. Vul de tabel aan en ga op zoek naar de hartafstand die de kortst mogelijk riemlengte levert. Maak indien nodig tabellen met verfijningen. f ( x) (in mm) X (in mm) 100

2014,4

300 500 700 900 1100 X (in mm)

f ( x) (in mm)

X (in mm)

f ( x) (in mm)

26

X (in mm)

f ( x) (in mm)

6. Kijk na of de hartafstand die je in 5 vond realistisch is voor het set wielen dat Jenthe gebruikt. Licht je antwoord toe.

27