Výpočet obsahu rovinného obrazce Pro výpočet obsahu čtverce, obdélníka, trojúhelníka, kružnice, a dalších útvarů, se kterými se můžeme setkat v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce. Kdybychom chtěli vypočítat obsah plochy ohraničené například osou x a grafem y funkce f na intervalu a , b , můžeme použít pro výpočet tzv. určitý integrál. y
x=a
x=b
Pokud budeme počítat obsah S plochy, která je zvýrazněná na obrázku, tedy shora ohraničené funkcí y f x , která je na intervalu a, b spojitá a kladná,
y = f(x)
b
bude S f x dx .
0
a
b
x
a
Poznámka: Číslo a nazýváme dolní integrační mez, číslo b je horní integrační mez. Potom čteme " Integrál od a do b...". Definici si zde uvádět nebudeme. Výpočet se provede pomocí tzv. Newton-Leibnizovy formule. Je-li f spojitá na intervalu a , b a funkce F je k ní na tomto intervalu primitivní, b
pak
f x dx F x
b a
F b F a .
a
Tedy vypočteme integrací primitivní funkci, potom do ní dosadíme meze a hodnoty odečteme. 2
Příklad: Vypočtěte
x 1dx . 1
Řešení: Funkce y x 1 je na intervalu 1, 2 spojitá. Vypočítáme tedy funkci primitivní a potom do této funkce dosadíme meze. Hodnotou určitého integrálu je rozdíl hodnoty primitivní funkce v horní mezi a hodnoty v dolní mezi. 2
2
x 2 4 1 5 x 1 dx x 2 1 . 2 2 2 1 2 1
Příklad: Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkou y 4x x 2 a osou x . Řešení: Plochu si načrtneme. y
Grafem y 4x x 2 je parabola s osou rovnoběžnou s osou y , vrchol výš než
ohnisko, která protíná osu x v bodech
x 0 a x 4.
x 0
x
Funkce y 4x x 2 je na intervalu 0, 4 spojitá a nezáporná, tedy 4
4
4x 2 x 3 64 32 . S 4x x dx 32 0 0 2 3 3 3 0 0 32 2 Protože jde o obsah plochy, uvádí se obvykle S j , kde j je příslušná jednotka. 3
2
Je-li funkce f , která ohraničuje plochu, na daném intervalu záporná, je obsah b
S f x dx . Kdyby funkce na intervalu a , b měnila znaménko, museli bychom a
integrál rozložit na intervaly, kde je funkce pouze kladná a pouze záporná.
Příklad: Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkou y x 2 4x a osou x . Řešení: Plochu si načrtneme. Grafem y x 2 4x je parabola s osou rovnoběžnou s osou y, ohnisko výš než vrchol, která protíná osu x v bodech x 0 a x 4 .
y
0
Funkce y x 2 4x je na intervalu 4, 0 záporná, proto budeme počítat s absolutní hodnotou .
x
0
0
x 3 4x 2 32 32 2 64 S x 4x dx 0 32 j . 3 2 3 3 3 4 4
2
Obsah plochy ohraničené dvěma křivkami Je-li plocha ohraničena grafy funkcí y f x a y g x a na intervalu a , b platí f x g x pro všechna x a ,b (to znamená, že f ohraničuje plochu shora a g b
zdola), pak S
f x g x dx . a
V tomto případě nezáleží na tom, zda plocha zasahuje i pod osu x. Pokud meze nejsou zadány explicitně (přímky kolmé k ose x ohraničující plochu zleva a zprava), vypočítají se jako x-ové souřadnice průsečíků obou křivek. y
y
x=a
yy
x=b y = f(x)
y = f(x)
y = g(x) a 0
a
b
x
0
x
b
x
y = g(x)
Příklad: Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkou y x 2 a přímkou y x 2 . Řešení: Plochu si načrtneme.
y
Meze integrálu jsou x-ové souřadnice průsečíků
křivek. Hledáme tedy body, ve kterých x 2 x 2 .
Rovnici vyřešíme.
x 2 x 2 0
x
0
x 1,2
1 1 8 1 3 2 2
x1 2 x 2 1
Je vidět, že tento výsledek odpovídá náčrtku. Můžeme dosadit do vzorce a dopočítat. 2
S
x 2 x 2
1
2
x 2 x3 4 8 1 1 9 dx 2x 4 2 . 3 1 2 3 2 3 2 2
Příklad: Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y
2
x
, x y 1 0 a x 3 .
Řešení: Plochu načrtneme. Grafem první funkce je hyperbola. Druhou křivkou je přímka, která je daná obecnou rovnicí, takže pro další výpočty vyjádříme explicitně y x 1. Třetí čarou je přímka kolmá k ose x procházející bodem 3. Budeme tedy počítat obsah křivočarého trojúhelníka.
Horní mez integrálu je zřejmá, dolní mez vypočteme jako souřadnici průsečíku přímky 2 y x 1 a hyperboly y .
y
Vyřešíme rovnici x 1
0
2
x 2 x x 2 2 x x 2 0 x 2x 1 0
x
Pomocí vzorce nebo rozkladem ...
x
/ x
x 1 2, x 2 1
Máme dva průsečíky, protože přímka protíná hyperbolu i ve 3. kvadrantu, ale plocha leží v prvním, tedy hledaný bod je v x 1. 3
3
x 2 2 9 1 S x 1 dx x 2 ln x 3 2 ln 3 1 2 ln1 6 2 ln 3 . x 2 2 1 2 1
Řešené příklady: 1. Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafem funkce y 2 sin x a osou x pro x 0 , . Řešení:
y
Plocha je ohraničená nezápornou funkcí
a osou x . x
0
S 2 sin x dx 2 cos x 0 2 cos cos 0 2 1 1 4 . 0
2. Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafem funkce y x a přímkami y 0 , x 1 a x 2 . Řešení: y
Funkce y x je na intervalu 1, 2 kladná, tedy obsah plochy je:
0
x
2
2
S
1
3 x 2 2 x dx 3 3 2 1
x 3
2
1
2 3
8 1
4 2 2 1,22 . 3
3. Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafy funkcí y x a y x 3 . Řešení: y
Přímka protíná kubickou parabolu v bodech 1, 1, 0, 0 a 1,1. Protože jsou obě funkce liché, je plocha jimi ohraničená ležící ve III. kvadrantu stejná, jako plocha ležící v I. kvadrantu. Tuto symetrii využijeme. Potom
0
x
1
1
x 2 x 4 1 1 1 S 2 x x dx 2 2 0 . 4 0 2 4 2 2 0
3
4. Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y
2
x
, x y 1 0 , y 0 a x 3 .
Řešení: Načrtneme: y
0
x
V příkladu řešeném v textu dříve už jsme měli zadanou tuto hyperbolu a přímky y x 1 a x 3 . Nyní je ale v zadání navíc osa x . Z obrázku je zřejmé, že nemůžeme počítat integrál na intervalu 1, 3 , protože pro x 1,1 je plocha shora ohraničená přímkou y x 1, zatímco pro x 1, 3 je ohraničena obloukem hyperboly. Musíme tedy počítat obsah každé části zvlášť. 1
3
1
x 2 3 S x 1 dx dx x 2 ln x 1 x 2 1 1 1 Do primitivních funkcí dosadíme meze (nejdříve horní mez, potom dolní).
2
1 1 1 1 2 ln 3 2 ln1 2 2 ln 3 . 2 2
5. Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y x 2 2x a y 4x x 2 . Řešení: Plochu načrtneme. První parabola protíná osu x v bodech 0 a 2 a je "otočená nahoru" (ohnisko výš než vrchol). Druhá parabola protíná osu x v bodech 0 a 4 a je "otočená dolů" (vrchol výš než ohnisko). y x
0
Vypočítáme meze integrálu jako x -ové souřadnice průsečíků zadaných parabol. Hledáme body, pro které platí x 2 2x 4x x 2 . 2x 2 6x 0 2x x 3 0 x 1 0, x 2 3 . Ohraničená plocha tedy vzhledem k ose x sahá od 0 do 3, shora je ohraničená parabolou y 4x x 2 a zdola y x 2 2x . Tedy 3
S
4x x x 2
2
2x dx
0
3
6x 2x dx ... zintegrujeme a dosadíme meze 2
0
3
x2 x3 6 2 27 18 0 9 . 3 0 2 Příklady na procvičení: 1. Načrtněte plochu ohraničenou danými křivkami a určete x-ové souřadnice jejich průsečíků. a) y x 2 1 , y 3 x 2 2 b) y 3 , y x
x
c) y x 2 , y 6x x 2 d) x 2 4x y 5 0 , y 2x 3
2. Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami a) y 2 x , y 1 x , x 2
d) y x 2 , y 2 x
b) y x 2 1 , y 2x 4
e) y sinx , y cos x , x 0,
c) y
1 , y 1, x 2 x 1
f) y x 3 , y 0 , y 8 , x 4
Výsledky: 1. a) x 1, b) x 1 1, x 2 2 , c) x 1 0, x 2 3 , d) x 1 2, x 2 4 ; 2. a) c) 2 ln3 , d)
5 , e) 2 2 , f) 20. 6
3 32 , b) , ln 2 3
