Verslag Specialisatie

Verslag Specialisatie Hoofdrekenen

Ietje Vleeshouwers 1135168 [email protected]

Stageschool: Begeleider: Vak:

Léon van der Heiden 1114718 [email protected]

Kalsbeek College Rens Houtman Wiskunde

Versie 3 04-07-2004

1

Inhoudsopgave 1 Inleiding

3

2 Terreinverkenning en keuze 2.1 De sectie wiskunde . . . . . . . . . . . . 2.2 Interview . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Aardrijkskunde . . . . . . . . . . 2.2.2 Natuur-/scheikunde . . . . . . . 2.2.3 Biologie . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Economie . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Diverse vakken . . . . . . . . . . 2.2.6 Wiskunde . . . . . . . . . . . . . 2.3 Rekentest . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Kerndoelen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Keuze van onderwerpen en lesmateriaal

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8

3 Tafels 3.1 Methode van aanleren . . . . . . 3.2 Knelpunten . . . . . . . . . . . . 3.3 Kerndoelen . . . . . . . . . . . . 3.4 Voorstel voor aanleren en toetsen

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

9 9 9 9 10

4 Optellen en aftrekken 4.1 Methode van aanleren . . . . . . 4.2 Knelpunten . . . . . . . . . . . . 4.3 Kerndoelen . . . . . . . . . . . . 4.4 Voorstel voor aanleren en toetsen

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

11 11 11 12 12

5 Delen en vermenigvuldigen 5.1 Methode van aanleren . . . . . . 5.2 Knelpunten . . . . . . . . . . . . 5.3 Kerndoelen . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Kerndoelen BaVo . . . . . 5.3.2 Examenprogramma vmbo 5.4 Voorstel voor aanleren en toetsen

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

13 13 13 14 14 14 14

6 Breuken en procenten 6.1 Methode van aanleren . . . . . . 6.2 Knelpunten . . . . . . . . . . . . 6.3 Kerndoelen . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Kerndoelen BaVo . . . . . 6.3.2 Examenprogramma vmbo 6.4 Voorstel voor aanleren en toetsen

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

15 15 15 16 16 16 16

2

7 Verhoudingen en schaal 7.1 Methode van aanleren . . . . . . 7.2 Knelpunten . . . . . . . . . . . . 7.3 Kerndoelen . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Kerndoelen BaVo . . . . . 7.3.2 Examenprogramma vmbo 7.4 Voorstel voor aanleren en toetsen

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

18 18 18 19 19 19 19

8 Schatten en rekenen met maten 8.1 Methode van aanleren . . . . . . 8.2 Knelpunten . . . . . . . . . . . . 8.3 Kerndoelen . . . . . . . . . . . . 8.4 Voorstel voor aanleren en toetsen

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

20 20 20 21 21

9 Rekenmachines 9.1 Methode van aanleren . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Klas 3: H6 ‘Rekenen met procenten’ 9.2 Knelpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Kerndoelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Kerndoelen BaVo . . . . . . . . . . . 9.3.2 Examenprogramma vmbo . . . . . . 9.4 Voorstel voor aanleren en toetsen . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

22 22 24 24 24 24 24 24

10 Planning 10.1 Brugklas T/H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 2T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 26 28

A Twee voorbeelden rekentest

30

B Kerndoelen B.1 Kerndoelen BaVo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Examenprogramma vmbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 33

C Voorbeelden tafels C.1 Oefenblad brugklas, begin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Oefenblad brugklas, gevorderd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3 Oefenblad tweede klas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 39 39

D Optellen en aftrekken D.1 Diagnostische toets . . D.2 Oefenblad Rijgen . . . D.3 Oefenblad splitsen . . D.4 Oefenblad ‘onder nul’ .

40 40 41 42 43

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

E Oefenblad Breuken

44

F Oefenblad Schaal

46

3

Hoofdstuk 1

Inleiding In de laagste klassen van het middelbaar onderwijs, met name in vmbo-t, zijn er bij de leerlingen problemen met hoofdrekenen. Op het Kalsbeek College in Woerden is dit ook het geval. Iedere docent die in zijn lespraktijk met rekenopgaven te maken heeft beaamt dat er inderdaad knelpunten zijn op dit gebied. Sommige docenten proberen dit zelf op te lossen, anderen zijn van mening dat dit centraal geregeld moet worden, omdat het anders weinig zin heeft. Met deze specialisatieopdracht proberen we een verklaring te vinden voor de rekenproblemen, en zullen we een inventarisatie maken van de belangrijkste knelpunten bij de leerlingen. Vervolgens zullen we per onderwerp een voorstel doen over het integreren in het huidige lesprogramma, en dit voorzien van oefenen toetsmateriaal. Deze aanbevelingen samen zullen als het goed is een methode gaan vormen die voor een verbetering in de hoofdrekenvaardigheden van met name eerste- en tweedeklassers zal zorgen.

4

Hoofdstuk 2

Terreinverkenning en keuze In onze eigen lespraktijk op het Kalsbeek College in Woerden hebben we tijdens onze wiskundelessen verontrustende zaken zien gebeuren bij onze leerlingen. Zo sta je als wiskundedocent bijvoorbeeld aan een tafeltje iets uit te leggen aan een leerling, en die uitleg eindigt als volgt: ‘Juist, en dan doe je dus 12 × 2, en dan krijg je dus?’ Tot verbijstering van de docent is het heel waarschijnlijk dat de voornoemde leerling zijn rekenmachine tevoorschijn tovert en deze som doodleuk intoetst. Bij navraag bij collega’s blijkt ook dat het tegenwoordig helemaal niet vreemd is dat de meest eenvoudige berekeningen of met de rekenmachine worden gedaan, of op een vreselijke manier fout gaan (2 × 3 = 5 . . .). De vaardigheid hoofdrekenen is volgens ons zeker belangrijk, ook al heeft iedereen een rekenmachine. In de supermarkt sta je ook niet op je mobieltje in te toetsen wat je boodschappen ongeveer gaan kosten. Onze angst is dat kinderen die over een paar jaar van school gaan deze vaardigheid niet meer voldoende zullen beheersen. De sectie wiskunde heeft dit probleem een tijd geleden al gesignaleerd, maar om verschillende redenen is de opzet om hier een programma voor op te zetten op niets uitgelopen. Daarom kregen wij vanuit de sectie wiskunde dit probleem voorgelegd. Het is echter niet zo dat de leerlingen alleen bij de wiskundelessen profijt hebben van hoofdrekenvaardigheden. Ook bij andere vakken worden berekeningen uitgevoerd, en daar hebben leerlingen lang niet altijd hun rekenmachine ter beschikking (bij wiskunde kost het al moeite om eraan te denken dit mee te brengen). Het is dus ook belangrijk te weten wat de wensen zijn bij andere vakken.

2.1

De sectie wiskunde

In ht verleden is al eens een poging gedaan tot het opzetten van een hoofdrekenprogramma in de brugklas. Dit zou gaan bestaan uit 7 toetsjes, voor elk onderwerp een. De onderwerpen die indertijd zijn gekozen waren: • Volgorde van bewerkingen (met Mijnheer van Dale) • Schattend rekenen • Procenten • Breuken, optellen en aftrekken • Breuken, vermenigvuldigen en delen • Metriek (kilo, hecto, milli, . . . ) • Algemene herhaling 5

Voorafgaand aan de testjes zou een serie oefensommetjes komen. Het idee is nooit verder uitgewerkt, maar ideeën hieruit zijn wel toegepast in de steunlessen wiskunde. Dat hierover in het verleden al is gesproken bewijst voor ons dat er vanuit de sectie zeker behoefte is aan meer hoofdrekenvaardigheden. Wij zijn echter van mening dat het accent anders zou kunnen liggen, dit zijn toch vooral toepassingen en niet echt hoofdrekenen (tafels, optellen en aftrekken), en daar ligt volgens ons toch de kern van het probleem. In de steunlessen wiskunde, die zijn bedoeld voor leerlingen die extra hulp kunnen gebruiken, worden 5 onderwerpen behandeld: verhoudingen, optellen en aftrekken, vermenigvuldigen, delen en kommagetallen. De serie hulplessen wordt afgesloten met een eindtoets. Uit dit programma valt voor ons informatie te halen die erg bruikbaar kan zijn voor ons eindproduct. We zullen uiteindelijk ook moeten adviseren wat in het lesprogramma terecht komt en wat alleen in de steunles kan blijven. De ervaringen die hiervan al bekend zijn zijn dus erg nuttig voor ons.

2.2

Interview

Na overleg met een aantal collega’s van verschillende (overwegend bèta-) vakken hebben we een beeld gekregen van de vaardigheden die over het algemeen wat te wensen overlaten. Niet al deze vaardigheden vielen direct onder hoofdrekenen. Zo werden het rekenen met schaal en omrekenen van lengtematen als problemen genoemd. Wij denken dat dit ook een duidelijk raakvlak heeft met hoofdrekenen, omdat het vermogen tot schattend rekenen hierbij belangrijk is. het probleem dat vooral door niet-wiskundedocenten als het grootst werd aangemerkt, is het niet meer beheersen van de vermenigvuldigingstafels. Er is ook gebleken dat er behoefte is aan het centraal regelen van hoofdrekenlessen, omdat individuele docenten hier weinig heil in zien als ze de enige zijn (‘dan krijgen ze volgend jaar een ander en vergeten ze het weer’). Bij het interview dat we bij onze collega’s hebben afgenomen hebben we de volgende vragen gesteld, en hier verder op doorgevraagd: 1. Kom je in je lespraktijk rekenproblemen tegen bij leerlingen? 2. Zo ja, op wat voor manier kom je dat tegen? 3. Kun je een specifiek voorbeeld geven van wat je tegenkomt? 4. In welke klassen merk je het vooral? 5. Doe je er zelf iets aan? Zo ja, wat?

2.2.1

Aardrijkskunde

Bij aardrijkskunde worden rekenproblemen opgemerkt, vooral in in de brugklas en in 2T. Leerlingen hebben moeite met het rekenen met bevolkingscijfers (geboortecijfer, sterftecijfer) en met het omrekenen van lengtematen (km, hm, cm). Als remedie heeft een docent een stencil gemaakt met uitleg over deze problemen (wordt bijgevoegd), in overleg met de wiskundesectie. Hij toetst ook wel eens of er een beetje gerekend kan worden (opgave voor het bord), en komt tot de conclusie dat het hoofdrekenen in ieder geval niet snel gaat.

2.2.2

Natuur-/scheikunde

De leerlingen hebben problemen met kruislings vermeningvuldigen, procenten, temperaturen. Specifiek voorbeeld: het is -173 graden, het wordt 23 graden warmer, wat is de nieuwe temperatuur? Onmogelijk zonder rekenmachine (2B). Oplossingen: • Niets doen aan hoofdrekenproblemen, laat ze maar allles intoetsen • Als iets nog niet is behandeld bij wiskunde, er zelf een les aan besteden 6

2.2.3

Biologie

Ook bij biologie moeten soms rekensommen worden opgelost. Er wordt opgemerkt dat vooral tafels niet worden beheerst. 1, 2, 3, 5 en 10 gaan wel, de rest is zeker in de tweede klas rampzalig. Hier zelf iets aan doen? Daar is wiskunde voor.

2.2.4

Economie

In een gesprek met een economieleraar werd ons duidelijk dat de rekenproblemen hier ook spelen. Hij voegde hier echter nog een stelling aan toe: rekenproblemen komen voort uit inziichtproblemen. Hij ziet daardoor ook problemen in het gebruik van het rekenmachine, en stelt voor om hier ook aandacht aan te besteden: leer ze dat apparaat goed besturen.

2.2.5

Diverse vakken

Bij godsdienst en geschiedenis kwam nog naar voren dat het rekenen met jaartallen niet altijd voorspoedig loopt. Bij godsdienst zijn er ook problemen met de indeling van bijbelteksten. Het lijkt erop dat overal waar ook maar enigszins gerekend moet worden, er problemen opduiken.

2.2.6

Wiskunde

Van wiskunde hebben we de meeste collega’s gesproken, dus deze lijst is wat uitgebreider: • De tafels zijn het ergste, die zijn gewoon niet geautomatiseerd, in de brugklas (vooral T/H) kennen ze ze al niet meer, in 2T zijn er zelfs problemen als 3 × 3 = 6. In 2H/V valt het wel mee. • Rekenen over het tiental heen, zoals 14 − 8 = 6 is moeilijk. Rekenen over de nul heen al helemaal. • Ze kunnen niet schatten, zien het verband niet met de werkelijke wereld, dus als het rekenmachine iets totaal anders weergeeft gaat er geen alarm af. • Rekenen met maten is moeilijk, omrekenen lukt vaak slecht, weinig koppeling met de werkelijkheid. • Delen en vermenigvuldigen, is wel een gevolg van het niet kennen van de tafels. Opgaven als 60 : 15 = 4 zijn lastig. Een aantal mogelijke aanpakken die worden toegepast: • In mijn lessen probeer ik een hoop uit mijn hoofd voor te doen, en dat ook bij de leerlingen te stimuleren. • In de brugklassen moet ik gewoon aandacht besteden aan deze problemen tijdens de lessen. Hetzij klassikaal, hetzij individueel. • Kan zelf ook niet goed hoofdrekenen. Doe er niet veel mee, verwijs naar rekenmachine. Ik kan het wel begrijpen maar 8 × 9 niet kunnen uitrekenen is wel erg. • Adviseren rekenmachine te gebruiken: niet meer ermee oefenen, beetje opgegeven. Dus of afspreken om het allemaal niet te doen of juist wel. Als de ene het wel doet en de ander niet heeft het geen zin. Dus of continue lijn of niets doen. • Rekenmachineproblematiek: als iemand een heel ander rekenmachine heeft, geen uitleg hierop, we kunnen niet bezig blijven.

7

2.3

Rekentest

Na een aantal gesprekken met collega’s en een hoop suggesties wilden we zelf eens duidelijk de proef op de som nemen. In een brugklas vmbo-t/havo en in een tweede klas vmbo-t hebben we de volgende rekentest afgenomen:

In bijlage A is zijn twee voorbeelden te vinden van zeer slecht gemaakte rekentesten, als indicatie. Het algemene beeld bij deze test was niet erg positief, er zijn vooral heel erg veel vragen opengelaten. Wat er uitsprong as bijvoorbeeld de opgaven over procenten, de vraag 8 = . . . % van 400 werd in de eerste en tweede klas door slechts 36% resp. 28% goed beantwoord. De leerlingen bleken ook veel moeite te hebben emt handig vermenigvuldigen 6 × 395 = . . . en, zoals we ook konden verwachten, omrekenen van grootheden naar elkaar. De rekentest biedt geen schokkende nieuwe inzichten, maar wel een duidelijke bevestiging van de ons aangereikte vermoedens.

2.4

Kerndoelen

Ten slotten moest er getoetst worden of de door ons belichte vaardigheden wel getoetst worden in de eindexamens. Daarom hebben we ook steeds voor elk onderwerp de kerndoelen bekeken. In de volgende hoofdstukken, waar de onderwerpen die we belangrijk vinden één voor één worden belicht, wordt vaak verwezen naar deze kerndoelen, om te laten zien wat er van de leerlingen wordt

8

verwacht aan vaardigheden. De Kerndoelen BaVo 1998-2003 en de exameneisen voor het vmbo zijn te vinden in Bijlage B.

2.5

Keuze van onderwerpen en lesmateriaal

Door alle bovenstaande activiteiten hebben we een beeld gekregen van wat de belangrijkste onderwerpen zijn om verder uit te werken. We hebben de volgende lijst vastgesteld: 1. Tafels 2. Optellen en aftrekken 3. Delen en vermenigvuldigen 4. Breuken en procenten 5. Verhoudingen en schaal 6. Schatten en rekenen met maten 7. Rekenmachinegebruik Een leerling die bovenstaande onderwerpen beheerst zal binnen en buiten het vak wiskunde niet vaak problemen met rekenwerk tegenkomen. Ons doel is dan ook dat deze vaardigheden op school worden aangeleerd c.q. ‘warm gehouden’. Door het bezoeken van een basisschool hebben we informatie gekregen over hoe dit alles in beginsel is aangeleerd. Mocht een onderwerp pas na de basisschool voor het eerst zijn aangesneden, dan hebben we onze eigen wiskundemethode als informatiebron ter beschikking. In de volgende hoofdstukken wordt per onderwerp beschreven hoe het wordt aangeleerd, waar de problemen zich voordoen en op welke manier wij dit denken te kunnen oplossen.

9

Hoofdstuk 3

Tafels 3.1

Methode van aanleren

Je begint met de tafel van 1, 2, 5 en 10 in groep 5 en langzamerhand gedurende groep 5 komen de andere tafels erbij. Er wordt wel gebruik gemaakt van borden waar de tafel die op dat moment geleerd wordt groot op staat, en die weg wordt gehaald op het moment dat ze de tafel van buiten moeten kennen.

1×4 2×4 3×4 4×4 5×4

= 4 = 8 = 12 = 16 = 20

6×4 7×4 8×4 9×4 10 × 4

= = = = =

24 28 32 36 40

Op elke basisschool is het natuurlijk anders, op sommige scholen zie je wel dat met de hele groep de tafels als het ware ‘opgedreund’ worden. Om te controleren of elk kind de tafels kent, worden ze zo nu en dan één voor één bij de juf of meester geroepen om dan een hele tafel in een keer op te zeggen, en als dat lukt staat er een sticker tegenover bijvoorbeeld. Nog aan het eind van groep 5 en ook in de groepen daarna worden de sommetjes uit de tafels als oefening en herhaling kris kras door elkaar gevraagd. Navraag bij de basisschool leert dat vooral 7 × 8, 9 × 7, 6 × 9 en dergelijke nog wel moeilijk zijn los van de hele tafel.

3.2

Knelpunten

Leerlingen in eerste en tweede klas, zeker op vmbo-t-niveau, hebben vaak moeite met tafels, ze gaan niet automatisch. Dit leidt tot onnodige rekenfouten op repetities en afhankelijkheid van de rekenmachine. Dit is ook een van de symptomen van niet goed kunnen hoofdrekenen die docenten het meest verontrust. Als iemand 2 × 3 = 5 opschrijft of voor 3 × 4 naar zijn rekenmachine grijpt ben je als docent sterk geneigd om hier meteen op te reageren, terwijl een fout die wordt gemaakt die wel over de net geleerde stof gaat op veel meer begrip kan rekenen.

3.3

Kerndoelen

Bij het bestuderen van de Kerndoelen voor de basisvorming en het eindexamenprogramma voor het vmbo wordt niet expliciet gemeld dat de tafels bekend moeten zijn, dit wordt dus als zodanig

10

niet getoetst. Wel wordt dit geimpliceerd doordat de basisvaardigheden moeten worden toegepast. In WI/K/2 Basisvaardigheden wordt onder punt 4, elementaire rekenvaardigheden toepassen, het punt standaardberekeningen correct en efficiënt uitvoeren genoemd. Omdat een ander punt handelt over zakrekenmachinegebruik, gaan wij er vanuit dat hiermee wordt bedoeld dat de standaardberekeningen uit het hoofd moeten gebeuren. Wij zijn van mening dat hiermee zeker de tafels worden bedoeld. Overal waar over basisvaardigheden wordt gesproken wordt volgens ons zeker ook elementair vermenigvuldigen bedoeld. We denken hiermee voldoende motivatie te hebben om van tafeltjes een belangrijk punt te maken.

3.4

Voorstel voor aanleren en toetsen

Wij denken dat dit onderwerp klassikale aandacht verdient, dus voor alle leerlingen. Kinderen die aan het begin van de brugklas de tafels nog van buiten kennen, kunnen in de loop van dat jaar erg veel vergeten als het niet meer van ze wordt gevraagd. Ons voorstel is om regelmatig te laten oefenen (stencil mee naar huis) en op de volgende manieren te toetsen: • (In het begin) toetsen door invulbladen net als oefenbladen te laten maken met erg beperkte tijd, bijvoorbeeld uitdelen en meteen laten beginnen, twee minuten wachten en weer ophalen, zodat iedereen evenveel tijd heeft gehad (max 5-7 minuten) • Mondeling, kinderen in de klas aan het begin van de les willekeurig een som opgeven (6 × 7, 81 : 9, . . . ). Bijhouden hoeveel goede en foute antwoorden er worden gegeven en dit per rapportperiode mee laten tellen als SO-cijfer. Ongeveer 5-6 sommetjes per les (kost nog geen 2 minuten) Beginnen met een eenvoudige serie van de tafels van 1, 2, 3, 5 en 10: 7×1= 4×2= ...

4 × 10 = 3×3=

5×5= 6 × 10 =

Hierna kunnen de moeilijkere tafels worden toegevoegd (4 en 6, 7 en 8, 9), en ook de bijbehorende delingen worden gevraagd, tot een toets er ongeveer zo uit gaat zien: 7×3= 72 : 8 = ...

8×7= 6×9=

81 : 9 = 7 × 10 =

Het lijkt ons belangrijk om hiermee bezig te blijven: Eersteklassers kennen hun tafels nog veel beter dan tweedeklassers, het zakt snel weg na de basisschool. In de tweede klas zijn er mogelijkheden om aan het lijstje toe te voegen, bijvoorbeeld de tafels tot en met 12, en alle kwadraten tot en met 202 , met de bijbehorende wortels. Dit kan op dezelfde manieren worden getoetst als de tafels, en ook door elkaar. Het van buiten kennen van wortels en kwadraten levert veel tijdwinst op, en zorgt dat de leerling beter kan schatten. In Bijlage C zijn voorbeelden te vinden van eerste- en tweedeklas oefenbladen. Wij zijn van mening dat het voor docenten goed mogelijk is om hier variaties op te maken. Een toets zal er hetzelfde uit kunnen zien.

11

Hoofdstuk 4

Optellen en aftrekken 4.1


Het optellen en aftrekken begint natuurlijk al in groep 3 waar het eenvoudig 1 + 1 = 2 en 3 + 4 = 7 in het begin is en later over de tientallen heen, 8 + 7 = 15. Voor aftrekken idem dito, over de tien heen is natuurlijk een stapje verder. In groep 4 komen tientallen aan bod, 34 + 45 en dergelijke en in latere groepen ga je grotere getallen bij elkaar optellen of van mekaar aftrekken, honderdtallen en duizendtallen. Er worden algoritmes aangeleerd om het optellen en aftrekken soepeler te laten verlopen, namelijk: rijgen, splitsen en kolomsgewijs rekenen. • Splitsen: van het tweede getal worden bijvoorbeeld eerst de honderdtallen, dan de tientallen en vervolgens de eenheden afgetrokken (3265 − 473 = 3265 − 400 − 70 − 3) • Rijgen: een methode bij optellen en aftrekken waarbij je het eerste getal intact laat en het tweede getal opsplitst in stukjes waardoor je in etappes de berekening uitvoert. Hierbij wordt een getallenlijn gebruikt. • Kolomsgewijs rekenen: onder elkaar zetten (op papier dus) Als het gaat om uit het hoofd rekenen, dan is automatiseren en memoriseren belangrijk. De benodigde kennis wordt fris gehouden door tempotoetsen en nabesprekingen van sommen.

4.2

Knelpunten

Bij verschillende vakken wordt aangegeven dat de leerlingen moeite hebben met optellen en aftrekken, bijvoorbeeld bij rekenen over het tiental heen. Voorbeelden van sommen die fout gaan als het gaat om optellen en aftrekken: 1. Welke som heeft ongeveer dezelfde uitkomst als 1749 + 698 = (a) 1800 + 1700 (b) 1750 + 700 (c) 1750 + 600 waarbij dan antwoord c wordt gegeven.

12

2. 6217 − 856 = 5351 geeft de volgende antwoorden: • 5561 • 7073 • 5261 • 5391 Deze antwoorden komen vaker voor. Interessant is dan natuurlijk waar die antwoorden vandaan komen, want als je weet hoe de fouten gemaakt worden zijn ze ook beter te voorkomen. Het goede antwoord moet zijn 5361. 5351 vergist zich in een tiental, 5561 in het honderdtal, 7073 was aan het optellen i.p.v. aftrekken. De andere antwoorden zijn ook fout vanwege tiental of honderdtal. Een dergelijke fout kan opgelost worden door optellen en aftrekken te doen volgens het splitsen of rijgen. Stapsgewijs aftrekken in dit geval is dus dat je doet: 6217 − 800 − 50 − 6 = 5417 − 50 − 6 = 5367 − 6 = 5361. Wat bij dit soort sommetjes ook vaak fout gaat is dat de leerling te gehaast is en maar een antwoord geeft. Het is verstandig om dan de leerling te stimuleren er de tijd voor te nemen. Het gaat vanzelf wel sneller.

4.3

Kerndoelen

De volgende kerndoelen staan in het examenprogramma vmbo onder het kopje handig rekenen in alledaagse situaties: De examenkandidaat kan: • schattingen maken over afmetingen en hoeveelheden • het resultaat van een berekening afronden in overeenstemming met de gegeven situatie • bij het oplossen van problemen, enkelvoudige en eenvoudig samengestelde grootheden herkennen en gebruiken, in elk geval grootheden die te maken hebben met lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd, temperatuur, geld en snelheid • rekenen met gangbare maten voor lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd, temperatuur, geld en snelheid • bij het rekenen en vermelden van resultaten gebruik maken van gangbare begrippen en voorvoegsels zoals miljoen, miljard en milli-, centi-, kiloVooral bij het maken van schattingen en het afronden van berekeningen is hoofdrekenen essentieel, in dit geval ook optellen en aftrekken.

4.4


Leerlingen die moeite hebben met snel optellen en aftrekken kunnen er baat bij hebben om dit nog eens goed herhaald te krijgen. Bij een hoofdstuk dat over rekenen gaat raden we aan te beginnen met de toets, Bijlage D.1. Leerlingen die opnieuw slecht scoren krijgen dan vervolgens een of meer van de corresponderende oefenbladen, afhankelijk van welk onderdeel slecht werd gemaakt. Eventueel kan er dan afgesloten worden met nog een toets(je). Leerlingen die hier ook weer slecht zullen gebaat zijn bij extra uitleg (individueel). In bijlage D zijn de opgaven opgenomen, te beginnen met een diagnostische toets, gevolgd door oefenbladen over rijgen, splitsen, en rekenen onder nul.

13

Hoofdstuk 5

Delen en vermenigvuldigen Problemen met vermenigvuldigingen gaan verder dan het al dan niet kennen van de tafels. Ook ingewikkeldere sommen moeten op te lossen zijn uit het hoofd. Ook het uitvoeren van delingen levert vaak problemen op.

5.1


Voor vermenigvuldigen zijn er regels die aangeleerd worden, namelijk de nulregel en de verdeelregel. Bij de nulregel moet men denken aan het vermenigvuldigen automatiseren door in te zien dat er weinig verschil is tussen 4 × 24, 4 × 240, 4 × 2400, enz. Je kunt de nullen er bij denken. Bij de verdeelregel splits je vermenigvuldigingen in stukken die beter te behappen zijn dan het geheel, zoals bijvoorbeeld 48 × 6 = 40 × 6 + 8 × 6. Ook wordt gebruik gemaakt van handige maniertjes bij het rekenen, zoals verdubbelen en halveren, één keer meer of minder strategie. Dus bijvoorbeeld 24 × 75 = 12 × 150 = 6 × 300 = 1800. En dat 99 × 43 = 100 × 43 − 1 × 43 = 4257. Voor het delen wordt het staartdelen steeds minder belangrijk, het is belangrijker dat kinderen zoveel mogelijk uit hun hoofd kunnen. Hierbij wordt wel voortdurend teruggegrepen op de vaardigheden bij het vermenigvuldigen. Delen wordt aangeleerd in de volgende stappen en wel in die volgorde: eerlijk verdelen in hele delen, rest uitdrukken in heel getal, rest verder verdelen tot breuk, breuk uitdrukken in kommagetal, delen in contexten. In eerste instantie wordt delen gezien als een omgekeerde vermenigvuldiging (vleksommen).

24×

=

72

6×

=

84

×9 =

63

1200×

=

3600

Het blijkt daarbij handig om er een context bij te plaatsen om te voorkomen dat kinderen gedachteloos de cijfers heen en weer over de komma schuiven. Daarnaast wordt delen gezien als herhaaldelijk aftrekken, waarbij je als het ware een staartdeling maakt in je hoofd.

5.2

Knelpunten

Leerlingen hebben moeite met het uit het hoofd berekenen van vermenigvuldigingen als 40×12, 5 = en 8 × 25 × 7 =, omdat ze geen handige methode meer kennen om dit te berekenen. Naar het rekenmachine grijpen is in veel gevallen een acceptabele oplossing, maar wij zijn van mening dat de specifieke vaardigheden, benodigd voor dit sooort opgaven, erg nuttig zijn voor het schatten van een uitkomst. Een deling als 2100 : 7 = zou eigenlijk geen problemen mogen opleveren, maar doet dit wel. Het gaat dus eigenlijk vooral om het herkennen van bekende delingen en vermenigvuldigingen (tafels!).

14

5.3 5.3.1

Kerndoelen Kerndoelen BaVo

Domein A: Rekenen, meten en schatten: • De leerlingen kunnen problemen oplossen, waarbij zij om uitkomsten te berekenen, kunnen kiezen tussen hoofdrekenen, de zakrekenmachine, handig rekenen of cijferen. Zij kunnen daarbij herkennen welke bewerkingen aan de orde zijn en de daarbij noodzakelijke berekeningen correct uitvoeren. • De leerlingen kunnen de uitkomst van een berekening en meting schatten, daarbij referentiematen gebruiken en de uitkomsten controleren op orde van grootte.

5.3.2

Examenprogramma vmbo

WI/K/5 Rekenen, meten en schatten: • De kandidaat kan schattingen maken over afmetingen en hoeveelheden • met een rekenmachine optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen • vooraf uitkomsten schatten van berekeningen en meetresultaten • negatieve getallen vermenigvuldigen en delen • hoofdbewerkingen in de afgesproken volgorde toepassen Er ligt in de einddoelen een nadruk op de vaardigheden met het rekenmachine. Het is voor het slagen voor je eindexamen niet nodig om een som als 8 × 25 × 7 = zonder hulpmiddelen te kunnen berekenen. We zien echter ook dat er een aantal malen wordt vermeld dat de leerling voor het daadwerkelijke uitrekenen een idee moet hebben van de orde van grootte van het antwoord. Een punt dat hier zijdelings mee te maken heeft is als laatste vermeld. Voor het succesvol kunnen oplossen van samengestelde opgaven als 60 + 3 × 5 = moet de volgorde van de bewerkingen goed bekend zijn (Hoe Makkelijk Was De Volgorde Ook Alweer?, dus Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Delen en Vermenigvuldigen, Optellen en Aftrekken). Dit wordt aan het begin van de tweede klas aangeleerd maar hieraan moet wellicht zo nu en dan wat opfrissende aandacht worden besteed.

5.4


Uit de interviews blijkt toch vooral een probleem met eenvoudige bewerkingen, dus de tafels en hiervan af te leiden delingen. Uit rekentests blijkt dat vooral ingewikkeldere vermenigvuldigingen en delingen slecht worden gemaakt. Dit zou een stimulans kunnen zijn om de leerlingen op dit gebied bij te spijkeren. Uit de kerndoelen blijkt echter dat het berekenen van dergelijke opgaven niet tot de exameneisen behoort. Wat wel belangrijk is is het schatten van de uitkomst, zodat er geen onzinnige antwoorden worden gegeven door bijvoorbeeld verkeerd intoetsen. 40 × 40 = 160 is een fout die snel en spontaan wordt gemaakt. Zeg je dan, ‘pak je rekenmachine eens’ of ‘hoeveel is 40 × 4 dan?’ Ons voorstel voor dit onderwerp is om het van deze kant te benaderen. Als je als docent tegen een fout als deze aanloopt, maak daar dan een punt van bij de betreffende leerling. Leerlingen die erg veel moeite hebben met vermenigvuldigen en delen kunnen worden doorverwezen naar steunles, waar hiervoor een onderdeel is ingelast.

15

Hoofdstuk 6

Breuken en procenten 6.1


Vanaf de groepen 5 en 6 komen verhoudingen, procenten en breuken aan de orde. Deze drie begrippen hangen heel erg met elkaar samen, vandaar dat ze in combinatie met elkaar aangeleerd worden. Procenten worden ge¨ıntroduceerd als honderdsten, dus als een breuk, er wordt voortdurend teruggerekend zodat duidelijk is dat het gaat om ‘. . . van de honderd’. Bij procenten aanleren wordt verder veel gebruik gemaakt van contexten als opstap naar het formeel rekenen met percentages. Percentages als onderwerp kent nog twee verschillende vormen, namelijk het relatiedeel en het afname- en toenamedeel. Een breuk is een deel/geheel verhouding, en ook schaal is een verhouding. Bij het aanleren van breuken wordt aandacht besteed aan gelijkwaardigheid (zelfde noemer), en de samenhang tussen breuken en verhoudingen wordt duidelijk gemaakt met een dubbele getallenlijn en een verhoudingstabel. Ook wordt bij het aanleren van breuken teruggegrepen naar delen.

6.2

Knelpunten

Breuken en procenten zijn begrippen die vaak moeilijk worden gevonden door leerlingen. In de brugklas wordt dit behandeld, eerst procenten (bij verhoudingen) en vervolgens breuken en procenten. De opzet van de methode die wordt gebruikt (Moderne Wiskunde) is erg praktijkgericht. De leerling krijgt uitgelegd hoe hij van een breuk een decimaal getal maakt met de rekenmachine en hoe hij van een breuk een percentage maakt met een verhoudingstabel. Wij zouden het mooi vinden als de leerling goed in de gaten blijft houden wat deze begrippen precies met elkaar te maken hebben, en niet het trucje blijven toepassen, en weer vergeten waarom het zo is. Het is opvallend dat er vooral de nadruk wordt gelegd op het omzetten naar kommagetallen en vervolgens met de rekenmachine verder rekenen. Het hoofdrekenen met breuken lijkt ons 4 = 16% is in ieder geval eleganter belangrijk, omdat dan de betekenis duidelijker blijft ( 52 × 52 = 25 2 dan 5 = 0, 4, 0, 4 × 0, 4 = 0, 16, dat is dan 16%).

16

6.3

Kerndoelen

6.3.1

Kerndoelen BaVo

Domein A: Rekenen, meten en schatten: • De leerlingen kunnen de zakrekenmachine adequaat gebruiken, in het bijzonder bij het omzetten van breuken, procenten, wortels en machten in eindige decimale getallen. • De leerlingen begrijpen het verband tussen verhoudingen, breuken en decimale getallen en kunnen met gebruikmaking van rekenkundige modellen daarmee eenvoudige berekeningen uitvoeren.

6.3.2


WI/K/5 Rekenen, meten en schatten: • De kandidaat kan met een rekenmachine breuken, procenten, machten en wortels berekenen of benaderen als eindige decimale getallen • in betekenisvolle situaties gelijknamige breuken optellen en aftrekken; eenvoudige breuken vermenigvuldigen en delen • in betekenisvolle situaties eenvoudige en samengestelde breuken vermenigvuldigen met een geheel getal • een verhouding omzetten in een breuk, decimaal getal of percentage Het omzetten van breuken naar decimale met de rekenmachine is ook volgens deze bron een belangrijk punt. Hoofdrekenen met breuken is hieraan duidelijk ondergeschikt. Toch is het niet zo dat de betekenis van de breuk geheel aan de kant kan worden geschoven. Van de eindexamenkandidaat wordt verwacht dat hij gelijknamige breuken kan optellen en aftrekken, dat hij eenvoudige breuken kan vermenigvuldigen en delen en dat hij een breuk, eenvoudig of samengesteld, met een geheel getal kan vermeigvuldigen. Of we van de leerlingen ook moeten vragen dat ze breuken gelijknamig kunnen maken en vereenvoudigen (uit het hoofd) is een punt van discussie. Een feit is dat het rekenen met eenvoudige breuken zoals in het examenprogramma is omschreven niet is terug te vinden in de wiskundeboeken die op het Kalsbeek College worden gebruikt. Het opfrissen van de basisschoolkennis lijkt ons dus gewenst.

6.4


Voor het eerste hoofdstuk over breuken alvast een aantal ‘taartsommen’ laten maken, om te zien of het begrip breuken nog duidelijk is. Dus het laten benoemen van een gekleurd gedeelte van een figuur, of het laten kleuren van een bepaald gedeelte. Nadat breuken zijn behandeld ook hoofdrekensommen laten maken over vereenvoudigen van breuken, optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, misschien ook delen. De oefeningen kunnen beginnen op een eenvoudig niveau: 4 6

=

··· 3

1 3

4 5

=. . . %

1 11

+

2 3

+

= 6 11

=

... 17

12 25

= ...%

21 49

=

··· ···

Dit kan uitgebouwd worden naar moeilijkere opgaven, zodat het rekenen met breuken meer een 1 automatisme wordt. Als procenten meer als breuk worden beschouwd ( 100 = 1%) wordt de scheiding hiertussen kleiner. Wat leerlingen met breuken kunnen kunnen ze dan ook met procenten. De opgave 1% × 1% = 0, 01% is dan ook wat minder vreemd. Oefensommen hierover kunnen volgens ons het beste worden opgegeven als de reguliere stof hier ook ongeveer mee bezig is. Tijdens een hoofdstuk over breuken/procenten kan hier een les aan worden besteed, en dit zou zelfs op de repetitie over het hoofdstuk getoetst kunnen worden. Omdat dit soort onderwerpen niet vaak voor komen in een schooljaar is het verstandig om dit ook tussendoor te doen, als afwisseling op de tafels. In Bijlage E is een oefenblad te vinden waarmee het rekenen met breuken weer ge¨ıntroduceerd kan worden. Taartsommen zijn te vinden in de instap van het hoofdstuk over breuken en verhoudingen in Moderne Wiskunde.

18

Hoofdstuk 7

Verhoudingen en schaal 7.1


Of op de basisschool al gerekend wordt met schaal is sterk afhankelijk van met welke methode er wordt gewerkt. Bijvoorbeeld in de methode ‘pluspunt’ wordt er al wel met schaal gerekend en dat dan in verband met breuken, procenten en vooral verhoudingen. Hier wordt gebruik gemaakt van bijvoorbeeld routekaarten waarbij de werkelijke afstand moet worden bepaald. Als je met schaal gaat rekenen is de verhoudingstabel een onmisbaar instrument. Wat hebben verhoudingen en schaal nu met hoofdrekenen te maken? Eigenlijk is het toepassen van vermenigvuldigen en delen uit je hoofd wat je doet als je met schaal rekent. De verhoudingstabel wordt ook wel schaaltabel genoemd, als het om schaal gaat. Men gebruikt dan een stappenplan: 1. Maak de schaaltabel en vul de schaal in. Dan gebruik je t voor tekening, f voor foto en w voor werkelijkheid. 2. Zet in de tabel wat je weet van de tekening/foto. 3. Zet een vraagteken bij wat je moet uitrekenen. 4. Reken het antwoord uit en herleid dat. Tekening Werkelijkheid

1 400

5 ?

Eigenlijk is dit ook een verhoudingstabel en er wordt ook hetzelfde mee gerekend. Dus wat moet je kunnen? 5 × 400 uit je hoofd... wat ons terugbrengt naar het vermenigvuldigen uit je hoofd.

7.2

Knelpunten

Problemen met rekenen met schaal en verhoudingen komen naast de wiskundelessen ook naar voren bij bijvoorbeeld aardrijkskunde omdat daar veel met schaal gerekend wordt. Hier volgen een paar voorbeelden van wat er zoal fout gaat: Schaal 1 : 250000 betekent 4 cm op de kaart is ... km in werkelijkheid? Deze vraag valt ook onder de categorie ‘omrekenen’. Het goede antwoord moet zijn 10 km. Sommige leerlingen vullen hier niks in, simpelweg omdat ze het niet weten. Andere antwoorden die je krijgt zijn: 0,04 km, 1 km, 4 km, 5 km, 1000 km, 1000000 km en zo verder. De laatste twee zijn duidelijk omrekenfouten. Van veel fouten is de herkomst ook niet geheel duidelijk. Wat belangrijk is in dit geval is dat je de vraag analyseert. Wat willen ze precies weten? Wat betekent de vraag? Je moet de vraag kunnen herleiden tot een sommetje wat je uit je hoofd kunt. Daarom is ook hierbij een stappenplan zeer handig. 4 × 250000 = 1000000 cm. 1000000 cm is 10000 m, en dat is weer 10 km. Het lijkt eenvoudig, maar om het foutloos te doen en er routine in te krijgen is een stappenplan essentieel. 19

7.3 7.3.1


• De leerlingen kunnen rekenen met verhoudingen en schaal. • De leerlingen begrijpen het verband tussen verhoudingen, breuken en decimale getallen en kunnen met gebruikmaking van rekenkundige modellen daarmee eenvoudige berekeningen uitvoeren.

7.3.2


De examenkandidaat kan: • omgaan met gangbare maten en referentiematen • vooraf uitkomsten schatten van berekeningen en meetresultaten • schalen aflezen • uitspraken doen over de orde van grootte en de nauwkeurigheid • verhoudingen vergelijken • een verhouding omzetten in een breuk, decimaal getal of percentage • bij berekeningen een verhoudingstabel gebruiken

7.4


Schaal wordt redelijk goed uitgelegd in Moderne Wiskunde, verhoudingen is iets dat netjes op papier met een tabel ook nog best goed gaat. Het is hier vooral belangrijk dat de leerling de koppeling legt met andere vakken en dus bij aardrijkskunde begrijpt dat hij een verhoudingstabel uit de wiskunde moet gebruiken. Om de leerlingen nog wat context te geven over schaal is er een oefenblad bijgevoegd in Bijlage F.

20

Hoofdstuk 8

Schatten en rekenen met maten 8.1


In basisschoolmethodes vind je weinig terug van hoe schatten wordt aangeleerd. In de brugklas en later in het vmbo wordt altijd met een stappenplan gewerkt van hoe je een som waarbij je moet schatten op moet lossen. Welke stappen je precies neemt, verschilt per methode en ook per docent. Daarnaast verschilt het ook nog per probleem hoe je het aanpakt. Soms wordt bijvoorbeeld gevraagd hoeveel mensen er op een foto staan. Dan is het de bedoeling dat je 1. de foto in een aantal even grote vakken verdeelt 2. het aantal mensen in het vak telt 3. dat aantal vermenigvuldigt met het aantal vakken Bij dit soort vragen, maar ook bij andere vraagstukken waarbij je moet schatten, heb je vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken nodig. Kortom, hoofdrekenvaardigheden zijn gewenst. Er komt wel bij dat je bij schattend rekenen ook bezig bent met praktische situaties en daarom speelt inzicht een grote rol. Het is daarom belangrijk dat je controleert of je een logische uitkomst hebt. Rekenen met maten daarentegen zie je erg vaak terug in basisschool- en ook middelbare schoolmethodes. Daarmee wordt rekenen met cm, dm, m, km enz. bedoeld. In de meeste gevallen wordt het aangeleerd met een schema:

In de brugklas bouwen ze nog voort hierop met ook vierkante en kubieke meters. De nadruk wordt er dan ook op gelegd dat je niet werkt met ‘nullen er af’ of ‘nullen erbij’ en ook niet met de komma verschuiven, wat veel mensen gewend zijn. Het wordt de kinderen aangeleerd om de berekening erbij te schrijven (of te denken, later als het geautomatiseerd is). Bijvoorbeeld 1200 cm : 100 = 12 m.

8.2

Knelpunten

Bij schattend rekenen zijn vrij weinig concrete knelpunten aangezien het meer een toepassing is van andere hoofdrekenvaardigheden. Bij het rekenen met maten daarentegen zijn een hoop 21

knelpunten. Bij wiskunde alleen al uiteraard, maar dat werkt ook door bij natuur- en scheikunde. Vooral in 2e en 3e klassen is het een drama, leerlingen kunnen niet rekenen met maten. Een aantal voorbeelden van fouten die naar voren komen tijdens wiskundelessen en de rekentest: • 2 cm2 = 20 mm2 • 2 cm2 = 20000 mm2 • 2 cm2 = 1 mm2 Ook hierbij weer vragen wij ons af waar deze antwoorden vandaan komen. 20 mm 2 komt doordat vergeten is dat het gaat om mm2 en niet om mm. 20000 mm2 en 1 mm2 zijn minder goed te verklaren.

8.3

Kerndoelen

1. De leerlingen kunnen problemen oplossen, waarbij zij om uitkomsten te berekenen, kunnen kiezen tussen hoofdrekenen, de zakrekenmachine, handig rekenen of cijferen. Zij kunnen daarbij herkennen welke bewerkingen aan de orde zijn en de daarbij noodzakelijke berekeningen correct uitvoeren. 2. De leerlingen kunnen de zakrekenmachine adequaat gebruiken, in het bijzonder bij het omzetten van breuken, procenten, wortels en machten in eindige decimale getallen. 3. De leerlingen kunnen de uitkomst van een berekening en meting schatten, daarbij referentiematen gebruiken en de uitkomsten controleren op orde van grootte. 4. De leerlingen kunnen werken met gangbare maten voor lengte, oppervlakte, inhoud, tijd, hoeken en geld en kunnen hiermee bewerkingen uitvoeren. 5. De leerlingen kunnen rekenen met verhoudingen en schaal. 6. De leerlingen kunnen in betekenisvolle situaties negatieve getallen ordenen, optellen en aftrekken. 7. De leerlingen begrijpen het verband tussen verhoudingen, breuken en decimale getallen en kunnen met gebruikmaking van rekenkundige modellen daarmee eenvoudige berekeningen uitvoeren.

8.4


Op zich is er niks mis met de aanpak van het schema. Het ‘nullen eraf’-idee moet inderdaad losgelaten worden en je moet ook niet de komma verschuiven. Het komt dus neer op vermenigvuldigen met of delen door een tienvoud. Daar zou nog aan toegevoegd moeten worden dat je de verschillende maten waarmee gerekend wordt zo veel mogelijk visualiseert. Als het om dm 3 gaat, pak dan die kubus erbij. Je kan heen en weer lopen in het lokaal en allerlei voorwerpen gebruiken om oppervlakte en inhoud te verduidelijken. Speciale aandacht moet ook gegeven worden aan de rij van de liters. Bij die rij wordt vermenigvuldigd en gedeeld door 10, en niet door 1000, zoals bij de rij van kubieke meters.

22

Hoofdstuk 9

Rekenmachines In dit hoofdstuk kijken we naar de rekenmachine die in de onderbouw veel gebruikt wordt en hoe die gebruikt wordt. De rekenmachine die door de school wordt geadviseerd is de Casio fx-82MS. Veel leerlingen maken dus ook gebruik van deze rekenmachine. Op deze rekenmachine staat de bewerking die je invoert ook in het schermpje en niet alleen het antwoord, volgens ons een groot voordeel. Wat verder opvallend is, is dat het bij negatieve getallen niet uitmaakt welke min-toets je gebruikt. Ze geven allebei het goede antwoord, wat bij oudere rekenmachines niet zo is. Deze worden nog vaak gebruikt door leerlingen die hem hebben overgenomen van een oudere broer of zus. Eigenlijk zou men naar een universele rekenmachine toe moeten werken. Dit soort veranderingen scheppen namelijk alleen maar verwarring. De ene min verschilt namelijk wel degelijk van de ander. De ene min geeft aan dat het om een negatief getal gaat en de andere min staat symbool voor de bewerking aftrekken. De ‘tot de macht’-toets is een ^ op deze rekenmachine, terwijl je die op oudere varianten nog wel eens tegenkwam als y x , of zelfs xy . Je ziet verder dat het kwadraat en de wortel allebei een aparte toets hebben gekregen en niet meer samen op één toets staan, dat scheelt een hoop zoeken.

9.1


In de onderbouw van het vmbo komen we de volgende toepassingen tegen van de rekenmachine:

Klas 1: H4 ‘Breuken’ Hoe kun je een breuk met een geheel getal erin uitrekenen met de rekenmachine? 3:5+7= Hoe bereken je 53 deel van 3 : 5 = 0, 6 0, 6 × 240 = 144

240?

Hoe rond je af op twee decimalen? 6 : 7 = 0, 8571429 → 0, 85|71429 → 0, 86 Hoe kun je een breuk omrekenen naar procenten? 3 : 7 × 100 = 43% Het is bij bovenstaande bewerkingen handig om de toetsen van de rekenmachine erbij te schrijven in het begin, zodat de volgorde goed naar voren komt, en vergissingen worden vermeden.

23

Klas 1: H8 ‘Negatieve getallen’ Bij dit hoofdstuk is het opvallend dat er helemaal geen aandacht aan de rekenmachine wordt besteed. Bij het rekenen met plussen en minnen worden namelijk de meeste fouten gemaakt, ook vaak doordat het verkeerd ingevoerd wordt op de rekenmachine. Verder wordt er in de brugklas geen aandacht besteed aan het rekenen met de rekenmachine.

Klas 2: H1 ‘Oppervlakte en inhoud’ Hoe reken je de omtrek en oppervlakte van een cirkel uit? Bijvoorbeeld een cirkel met straal 9, 18 × π = 56, 54866776 voor de omtrek en 9 × 9 × π = 254, 4690049 voor de oppervlakte. Hoe bereken je de inhoud van een cilinder met straal 8 cm en hoogte 12 cm? 8 × 8 × π = 201, 06 cm2 en 201, 06 × 12 = 2412, 72 cm3 .

Klas 2: H3 ‘Getallen’ Dit is wel het kernhoofdstuk als het om rekenmachines gaat. Hoe is de volgorde waarin je bewerkingen moet uitvoeren? Let erop dat je eerst moet uitrekenen wat tussen haakjes staat, dan vermenigvuldigen en delen en als laatst optellen en aftrekken. En dat altijd van links naar rechts. De Casio fx-82MS heeft in het scherm de berekening al staan, waardoor dit weinig problemen zal geven. De som kan gewoon worden overgetikt en het goede antwoord komt eruit rollen. In deze methode wordt ook nog het verschil tussen voornoemde min-toetsen uitgelegd. Dat bijvoorbeeld ‘vier keer min zes’ op de volgende manier ingetoetst moet worden: 4 × 6 +/– = Op de Casio fx-82MS gaat het zo: 4× – 6 =, waarbij het niet uitmaakt welke min-toets je gebruikt. Waar geen specifieke aandacht aan wordt besteed is het uitrekenen van een kwadraat of een wortel. Dit is wel heel vreemd want dat is zo ongeveer hetgene wat het meest fout gaat. We kijken als voorbeeld even naar het kwadrateren van −7. Op voornoemde Casio namelijk, krijg je bij de volgende combinaties de uitkomsten die erbij staan, wat wel interessant is: −7 x2 = −49 (−7) x2 = 49 Dan nog de worteltoets. Er wordt in het boek vermeld dat het per rekenmachine verschilt of je eerst het getal moet doen of eerst de wortel. In het geval van voornoemde Casio moet je eerst het wortelteken toetsen en daarna het getal waarvan je de wortel wilt uitrekenen. En tot slot de plusparagraaf. Daarin wordt in een som de xy -toets ge¨ıntroduceerd (som P-4) en er wordt bijverteld dat op sommige rekenmachines deze toets y x is. Op onze Casio is het dus een ^ .

Klas 2: H8 ‘Verhoudingen’ Hoe reken je van procenten naar aantallen? 12% van 850 = 850 : 100 × 12 = 102 Hoeveel procent is 45 van 225? 100 : 225 × 45 = 20, dus 20%.

24

9.1.1

Klas 3: H6 ‘Rekenen met procenten’

Hoe bereken je een prijs exclusief BTW als je de prijs inclusief BTW kent? 110 : 117, 5 × 100 = 93, 62 Hoe reken je rente op rente uit? (bijv. verkorte berekening van 6 jaar met 8% rente) 500 × 1, 08 ^ 6 = (afhankelijk van je rekenmachine)

9.2

Knelpunten

Wat zijn nu de problemen? Welke berekeningen kunnen leerlingen niet uitvoeren uit het hoofd? En dan vooral, welke berekeningen daarvan zijn met de rekenmachine nog steeds een probleem? Er is echter een categorie berekeningen die leerlingen niet uit het hoofd kunnen en die ze ook niet uit het hoofd hoeven te kunnen. Zoals bijvoorbeeld 500 euro tien jaar vast zetten tegen een rente van 8%. Welke berekeningen gaan dus nog steeds fout, zelfs met de rekenmachine erbij? • Berekeningen met negatieve getallen • Berekeningen met haakjes • Berekeningen met wortels en kwadraten • Berekeningen met de tot-de-macht toets

9.3 9.3.1


• De leerlingen kunnen de zakrekenmachine adequaat gebruiken, in het bijzonder bij het omzetten van breuken, procenten, wortels en machten in eindige decimale getallen. • De leerlingen kunnen problemen oplossen, waarbij zij om uitkomsten te berekenen, kunnen kiezen tussen hoofdrekenen, de zakrekenmachine, handig rekenen of cijferen. Zij kunnen daarbij herkennen welke bewerkingen aan de orde zijn en de daarbij noodzakelijke berekeningen correct uitvoeren.

9.3.2


De kandidaat kan: • Problemen oplossen en daarbij kan hij/zij om de uitkomsten te berekenen kiezen tussen hoofdrekenen, de zakrekenmachine, handig rekenen of cijferen. • Met een rekenmachine optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. • Met een rekenmachine breuken, procenten, machten en wortels berekenen of benaderen als eindige decimale getallen. • Gebruik maken van de functietoetsen voor omgekeerde, kwadraat, macht, wortel en van de +/- toets. • Gebruik maken van de toets voor y x .

9.4


Voor de 4 punten die bij het onderdeel ‘Knelpunten’ zijn genoemd volgen voorbeelden en een manier van aanpak. 25

Berekeningen met negatieve getallen Voorbeeld: 256 × −37 = −9472 Wat gaat er fout? Leerlingen toetsen de min-toets op de verkeerde plek in. Je kan de leerlingen dan aanleren dat ze altijd de min-toets indrukken v´ oo ´r het negatieve getal. Wat ook erg belangrijk is altijd en dus ook in dit geval is dat gecontroleerd wordt of het antwoord logisch is. Volgens de regel ‘positief × negatief = negatief’ zou er namelijk een negatief antwoord uit moeten komen. Voorbeeld: −452 − −34 = −418 Wat gaat er fout? Ook hier weer wordt de min-toets op de verkeerde plek ingetoetst en er wordt niet gecontroleerd of het antwoord logisch is.

Berekeningen met haakjes Voorbeeld: 5 × (3 + 16) − 6 = 89 Met de rekenmachine die ze nu gebruiken(Casio fx-82MS) is de berekening zichtbaar in het schermpje en is dus ook makkelijker te controleren of de berekening klopt. Bij andere rekenmachines is dat niet het geval en dat kan nog wel eens de verklaring zijn dat het antwoord niet klopt. Het beste is dat erop te letten dat de berekening precies wordt overgenomen van links naar rechts. Ter controle kun je ook de som zelf opdelen in stukjes en dus eerst het gedeelte tussen haakjes uitrekenen. Als dit soort sommen vaak problemen opleveren, zou je die controle eigenlijk altijd uit moeten voeren. Dan wordt de som: 3 + 16 = 19 5 × 19 = 95 95 − 6 = 89

Berekeningen met wortels en kwadraten Dit gedeelte overlapt een beetje met haakjes, omdat je bij wortels en kwadraten goed moet opletten waar je de wortel van neemt of welk getal je kwadrateert. Voorbeeld: (−5)2 = 25 2 − √ 5 = −25 √144 + 25 = 13 144 + 25 = 37 Meestal wordt in de som niet begrepen w´ at er precies gekwadrateerd wordt of waar men de wortel van dient te nemen, maar ook als dit wel begrepen wordt dan wordt het vaak nog verkeerd ingevoerd. Wat hierbij een grote steun kan zijn is dat je altijd haakjes gebruikt om aan te geven wat eerst uitgerekend moet worden. Ook als√het overbodig lijkt. Op die manier pzit je altijd goed en heb je geen verwarring. Bijvoorbeeld bij 144 + 25, dat je daarvan maakt (144) + 25. Ook bij het correct opschrijven kan dit voordelen hebben. Daar moet wel even bij gezegd worden dat voornoemde rekenmachine dit goed ondervangt.

Berekeningen met de ‘tot-de-macht’ toets Deze wordt meestal gebruikt met opgaven over rente. Voorbeeld: 500 × 1, 085 = 734, 66 Wederom gaat dit op de Casio erg goed. Je kan gewoon van links naar rechts intoetsen wat er staat en het gaat goed. Het is op deze rekenmachine een xy -toets. Een paar voorbeelden van dit soort opgaven klassikaal met de rekenmachine doen, zou voldoende moeten zijn.

26

Hoofdstuk 10

Planning Voor de brugklas en tweede klas vmbo-t hebben we parallel aan de jaarplanning zoals die met de sectie is afgesproken een voorstel gemaakt voor het behandelen van de hoofdrekenstof. We hopen dat dit in de komende jaren verfijnd zal worden, en eventueel uitgebreid naar de klassen op andere niveaus, zodat hoofdrekenen weer een vaardigheid wordt die door de leerlingen op een zeker niveau wordt beheerst.

10.1 week 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 1 2 3 4

Brugklas T/H Hfst H1 H1 H1 H2 H2 H2 H2 – H3 H3 H4 H4 H5 H5 GWA H6 H6 – – H7 H7 H9

hoofdrekenen Tafels Tafels Tafels Tafels Tafels

– Rekenen met schaal Rekenen met schaal Breuken Breuken Schatten en rekenen met maten Schatten en rekenen met maten

week 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Hfst H9 H8 H8 H8 – H10 H10 GWA H11 H11 H12 H12 H13 H13 – H13 H14 H14 CP H15 H15 –

hoofdrekenen Delen en vermenigvuldigen

Schatten en rekenen met maten Schatten en rekenen met maten

Tafels Tafels

Tafels Het lijkt ons verstandig om in de brugklas meteen te beginnen met het herhalen van de tafels, op de manier zoals die in Hoofdstuk 3 staat beschreven. Als het gewenste niveau van alle tafels weer kennen tot die van 10 en ook al wat delingen hebben gehad kan dit volgens ons blijven liggen tot verder in het schooljaar, dan kan alles nog eens herhaald worden en kunnen meer delingen 27

worden toegevoegd. De tijd zal leren of dit voldoende is om de tafels paraat te houden, maar deze hoeveelheid (dus parallel aan 3 hoofdstukken) lijkt ons een goede start. Zoals we in Hoofdstuk 3 al hebben vermeld is het niet nodig om halve lessen aan tafels te besteden, bij de meeste lessen zal het volstaan om in de eerste paar minuten van de les een aantal leerlingen snel mondeling een paar sommetjes te vragen.

Rekenen met schaal In de lessen duidelijk aangeven dat er raakvlakken zijn met andere vakken, zoals aardrijkskunde. Als tussendoortje tijdens het hoofdstuk kan het oefenblad van Bijlage F worden gebruikt.

Breuken en procenten Zoals beschreven in Hoofdstuk 6, eerst wat taartsommen laten maken zodat iedereen weet wat het betekent (Instap). Nadat de paragraaf over breuken is behandeld komen de oefeningen zoals in Bijlage E. Het is verstandig om bij de reptitie over Hfst 4 ook een vraag op te nemen met breukensommetjes.

Delen en vermenigvuldigen Hoofdstuk 8 is een goed hoofdstuk om eventuele problemen bij het uitvoeren van vermenigvuldigingen en delingen aan het licht te zien komen. Het bedenken van regels/formules bij opgaven vergt duidelijk een bepaald inzicht in deze bewerkingen. Leerlingen die hier vreselijke moeite mee blijken te hebben kunnen dan bij hulples worden bijgespijkerd.

Schatten en rekenen met maten Bij de hoofdstukken waarbij wordt gerekend met meters, vierkante meters, kilometers, liters, enzovoort, is het erg belangrijk dat dit goed wordt begrepen. Het afgelopen jaar was er al een oefenblad om de leerlingen extra te laten oefenen met dit omrekenen. Het lijkt ons erg verstandig om deze extra aandacht te blijven geven tijdens de lessen. Het is beter om te spreken over delen door duizend in plaats van drie nullen eraf halen, maar een methode die werkt is beter dan niets. Leerlingen dit dit op de basisschool en in de brugklas niet goed oppikken houden hier last van in hun gehele schoolcarrière. Er is voldoende oefenmateriaal beschikbaar in de vorm van de Extra Opgaven en de bestaande stencils, en er is weinig fantasie voor nodig om er ter plekke nog een twintigtal te verzinnen.

28

10.2

2T

week 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 1 2 3 4

Hfst H1 H1 H1 H2 H2 H2 H3 – H3 H3 H4 H4 H4 H5 H5 H5 GWA – – H6 H6 H6

hoofdrekenen Schatten en rekenen met maten Schatten en rekenen met maten Schatten en rekenen met maten Delen en vermenigvuldigen

Rekenmachine Rekenmachine Rekenmachine

Tafels Tafels Tafels

week 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Hfst H7 H7 H7 H8 – H8 H8 GWA H9 H9 H9 H10 H10 H10 – H11 H11 H11 H12 H12 H12 –

hoofdrekenen

Optellen en aftrekken Optellen en aftrekken

Tafels Tafels Tafels

Schatten en rekenen met maten In het eerste hoofdstuk wordt weer gewerkt met oppervlakte en inhoud bij figuren en lichamen. Hoewel er in het boek niet expliciet wordt omgerekend, is het wel nodig om tot de juiste antwoorden te komen. Soms wordt van een figuur met afmetingen in decimeter de inhoud in kubieke meter gevraagd. Het is noodzakelijk om de leerlingen in het begin van het tweede leerjaar weer duidelijk te laten zien hoe het omrekenen werkt. Een goede methode bij dit hoofdstuk is de leerlingen de maten te laten omrekenen v´ oo ´r ze de inhoud of oppervlakte bereken, dus eerst van de decimeters meters maken en dan pas de inhoud uitrekenen.

Delen en vermenigvuldigen Net als in de eerste klas is het verstandig om bij dit (vergelijkbare) hoofdstuk weer goed op te letten of dit wordt begrepen. In de tweede klas is hulples geen optie meer, maar individuele aandacht of verwijzen naar bijles kan natuurlijk wel.

Rekenmachine In hoofdstuk 3 is een uitleg over het gebruik van de rekenmachine essentieel, de beschrijving die in het boed staat klopt vaak niet meer met de rekenmachine die in werkelijkheid wordt gebruikt. Voor elke paragraaf klopt de uitleg niet meer, en de samenvatting dus ook niet. Het is belangrijk om de leerlingen hier steeds goed te demonstreren hoe het wel moet, en eventueel een stencil hiervoor uitdelen of de samenvattig over laten nemen van het bord.

29

Tafels Bij hoofdstuk 5 zien we de ruimte om te beginnen met het herhalen van de tafels die als laatste in de eerste klas zijn gebruikt, maar deze keer met de tafels van 11 en 12 eraan toegevoegd. Aan het eind van het jaar worden hier de kwadraten en bijbehorende wortels aan toegevoegd. Bij hoofdstuk 11 is parate kennis van kwadraten zeer aan te bevelen. Afhankelijk van hoe goed het gaat lijkt het ons zeker niet ondenkbaar om de kwadraten tot en met 20 aan het lijstje toe te voegen, het herkennen van deze getallen levert voordeel op omdat veel opgaven toch geschreven zijn om ‘mooi’ uit te komen.

Optellen en aftrekken Hoofdstuk 7 is voor veel leerlingen een vrij lastig hoofdstuk, maar volgens ons toch een mooi moment om de diagnostische toets voor optellen en aftrekken erbij te halen. Bij de Stelling van Pythagoras moet immers ook veel worden gerekend met grote getallen, en dit gaat regelmatig mis, omdat getallen verkeerdom van elkaar worden afgehaald. Voor de leerlingen die problemen hebben is dan tot de voorjaarsvakantie de tijd om dit bij te spijkeren.

30

Bijlage A

Twee voorbeelden rekentest

31

Bijlage B

Kerndoelen B.1

Kerndoelen BaVo

Domein A: Rekenen, meten en schatten 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

De leerlingen kunnen problemen oplossen, waarbij zij om uitkomsten te berekenen, kunnen kiezen tussen hoofdrekenen, de zakrekenmachine, handig rekenen of cijferen. Zij kunnen daarbij herkennen welke bewerkingen aan de orde zijn en de daarbij noodzakelijke berekeningen correct uitvoeren. De leerlingen kunnen de zakrekenmachine adequaat gebruiken, in het bijzonder bij het omzetten van breuken, procenten, wortels en machten in eindige decimale getallen. De leerlingen kunnen de uitkomst van een berekening en meting schatten, daarbij referentiematen gebruiken en de uitkomsten controleren op orde van grootte. De leerlingen kunnen werken met gangbare maten voor lengte, oppervlakte, inhoud, tijd, hoeken en geld en kunnen hiermee bewerkingen uitvoeren. De leerlingen kunnen rekenen met verhoudingen en schaal. De leerlingen kunnen in betekenisvolle situaties negatieve getallen ordenen, optellen en aftrekken. De leerlingen begrijpen het verband tussen verhoudingen, breuken en decimale getallen en kunnen met gebruikmaking van rekenkundige modellen daarmee eenvoudige berekeningen uitvoeren.

Domein B: Algebra¨ısche verbanden 8.

9. 10. 11.

12.

13. 14.

De leerlingen kunnen eenvoudige verbanden tussen twee variabelen uit de werkelijkheid omzetten in de vier vormen verwoording, tabel, grafiek en (woord)formule en terug. De leerlingen kunnen veranderingen in een verband in de werkelijkheid verwerken in de genoemde vormen. De leerlingen kunnen de beschrijving van een verband in een vorm vervangen door de beschrijving in een andere vorm. De leerlingen kunnen verbanden aflezen, vergelijken, interpreteren en gebruiken bij het oplossen van concrete problemen met behulp van verwoordingen, tabellen, grafieken en (woord)formules. De leerlingen kunnen bij eenvoudige verbanden karakteristieke eigenschappen herkennen en interpreteren, als maximale en minimale waarden en welke waarden van de variabelen zinvol zijn in de gegeven situatie. De leerlingen kunnen regelmaat in getalpatronen en tabellen vaststellen, verwoorden en voortzetten. De leerlingen kunnen bij een gegeven grafiek, eventueel op een gegeven interval, vaststellen of er sprake is van een constant, stijgend, dalend of periodiek verband.

32

15. 16. 17.

18.

De leerlingen kunnen uit specifieke punten, het verloop en de vorm van een grafiek conclusies trekken over de bijbehorende situatie. De leerlingen kunnen in een (woord)formule getallen substitueren voor variabelen. Zij kunnen de waarde van een overblijvende variabele berekenen. De leerlingen kunnen, eventueel in benadering, bepalen wanneer twee eenvoudige verbanden gelijke uitkomsten hebben en bepalen op welke intervallen het ene verband groter is dan het andere. De leerlingen kunnen eenvoudige computerprogramma’s gebruiken bij het oplossen van problemen waarbij verbanden tussen twee variabelen een rol spelen.

Domein C: Meetkunde 19.

De leerlingen kunnen vlakke afbeeldingen van ruimtelijke situaties interpreteren, beschrij ven, zich ruimtelijk voorstellen en al dan niet op schaal weergeven op papier of scherm. Daarbij gaat het om: • foto’s; • patroontekeningen; • plattegronden; • landkaarten; • bouwtekeningen.

20.

21. 22.

23.

24.

De leerlingen kunnen concreet handelen aan de hand van voorstellingen van ruimtelijke figuren en met tastbare voorwerpen. Zij kunnen aanzichten, uitslagen, patronen en dergelijke maken en vlakken uit ruimtelijke figuren op schaal tekenen. De leerlingen kunnen hoeken, lengten, oppervlakten en inhouden van vlakke en ruimtelijke objecten schatten, meten en berekenen. De leerlingen kunnen bij het tekenen, berekenen van hoeken en afstanden en redeneren gebruik maken van eigenschappen van hoeken en van meetkundige begrippen als: evenwijdig, loodrecht en richting. De leerlingen kunnen regelmaat in, en eigenschappen van, meetkundige patronen en objecten beschrijven en gebruiken bij het maken van berekeningen en het uitbreiden en veranderen van deze patronen en objecten. De leerlingen kunnen bij het tekenen, berekenen, concreet handelen en redeneren gebruik maken van instrumenten. Daarbij gaat het om de volgende instrumenten: liniaal, gradenboog, tekendriehoek, passer, zelfgemaakt gereedschap en computer.

Domein D: Informatieverwerking en statistiek 25.

26.

27. 28. 29.

De leerlingen kunnen bij het oplossen van problemen uit de werkelijkheid gebruik maken van grafen of andere visualiseringen van informatie en beoordelen of de visualisering de informatie op een geschikte wijze in beeld brengt. De leerlingen kunnen statistische representaties aflezen en interpreteren. Zij kunnen deze gegevens verwerken en bewerken in tabellen, grafieken of diagrammen en met behulp van centrummaten karakteriseren. De leerlingen kunnen gegevens ten behoeve van statistisch onderzoek systematisch verzamelen, beschrijven en ordenen. De leerlingen kunnen computerprogramma’s gebruiken waarmee zij data met statistische middelen kunnen verwerken. Zij kunnen de bijbehorende output interpreteren. De leerlingen kunnen in eenvoudige, praktische situaties aan de hand van modellen uitspraken doen over mogelijk te verwachten gebeurtenissen en ontwikkelingen.

33

B.2


WI/K/1 Orintatie op leren en werken De kandidaat kan zich orinteren op de eigen loopbaan. De kandidaat kan 1. zich bewust worden van de eigen achtergrond, interesses, motivatie, sterke en zwakke punten door terug te kijken op eigen ervaringen en deze schriftelijk, mondeling en/of beeldend weer te geven 2. de eigen mogelijkheden en interesses in wiskunde verwoorden in het licht van vervolgstudie, beroepen en maatschappelijk functioneren 3. de rol en het belang aangeven van wiskundige kennis en vaardigheden in verschillende maatschappelijke situaties 4. de rol en het belang aangeven van wiskundige kennis en vaardigheden in verschillende arbeidsgebieden en werksoorten 5. de eigen interesse en affiniteit verwoorden met bepaalde arbeidsgebieden, werksoorten, functies en opleidingen 6. onderzoeksvaardigheden, keuzevaardigheden, reflectievaardigheden en sociaal-communicatieve vaardigheden inzetten ten behoeve van het eigen keuzeproces 7. eigen waarden en normen verwoorden ten aanzien van betaalde en onbetaalde arbeid en zorgtaken 8. de betekenis verwoorden van een mogelijke arbeidsrol voor zichzelf en anderen WI/K/2 Basisvaardigheden De kandidaat beheerst een aantal basisvaardigheden. De kandidaat kan 1. zelfstandig leren en werken • een aanpak kiezen voor het uitvoeren van een opdracht • een planning maken • het eigen werk organiseren en op methodische wijze uitvoeren • de voortgang van het eigen werk bewaken • een eenvoudige proces- en productevaluatie maken 2. werken met informatie- en communicatietechnologie • teksten maken en bewerken • gegevens opslaan • berekeningen uitvoeren • zoeksystemen gebruiken • communiceren via e-mail 3. de Nederlandse taal functioneel gebruiken • teksten begrijpend lezen en beluisteren • eenvoudige schriftelijke teksten produceren in correct Nederlands • in gesprekken passende verbale en non-verbale middelen kiezen • zich in uiteenlopende taalsituaties gepast presenteren 4. elementaire rekenvaardigheden toepassen • standaardberekeningen correct en efficiënt uitvoeren • de zakrekenmachine doelmatig gebruiken 5. vaardig omgaan met verbale en cijfermatige informatie • bronnen gebruiken

34

– – – –

vraaggesprekken boeken en ander schriftelijk materiaal audiovisuele bronnen geautomatiseerde gegevensbestanden

• informatie op waarde schatten – kiezen – ordenen • informatie bewerken – samenvatten – tabel opstellen – grafiek tekenen 6. in het leer- en werkproces adequaat omgaan met zichzelf en anderen • sociale conventies in acht nemen • overleggen en onderhandelen met anderen • taken verdelen • zich aan afspraken houden • rekening houden met anderen • kritiek geven en incasseren • een eigen standpunt innemen en verdedigen • samen met anderen werk uitvoeren en presenteren WI/K/3 Leervaardigheden in het vak wiskunde De kandidaat beheerst een aantal strategische vaardigheden die bijdragen tot de ontwikkeling van het eigen leervermogen. De kandidaat kan 1. wiskundige informatie analyseren, beoordelen en weergeven 2. op basis van verwerkte informatie verwachtingen uitspreken en conclusies trekken 3. problemen oplossen en daarbij kan hij/zij om de uitkomsten te berekenen kiezen tussen hoofdrekenen, de zakrekenmachine, handig rekenen of cijferen 4. bij berekeningen een bij de situatie passend rekenmodel kiezen 5. zich bedienen van adequate onderzoeks- en redeneerstrategien 6. relevante gegevens uit een situatie doelmatig weergeven in een geschikte wiskundige representatie (model) 7. situaties waarin wiskundige presentaties, redeneringen of berekeningen voorkomen kritisch beschouwen en beoordelen WI/K/4 Algebra¨ısche verbanden De kandidaat kan 1. tabellen maken, aflezen, vergelijken en interpreteren • een tabel maken, al dan niet op een beeldscherm, van het verband tussen variabelen in een gegeven situatie. Variabelen mogen met meer dan n letter worden aangeduid • regelmatigheden in een tabel vaststellen en beschrijven met woorden, grafieken, woordformules, formules of vuistregels • grootste of kleinste waarde vaststellen in een tabel • controleren of een gegeven verband of standaardverband bij een gegeven tabel hoort

35

• bij een gegeven tabel conclusies trekken over de bijbehorende situatie • bij een gegeven tabel vaststellen welke waarden bij de context zinvol zijn • bij een gegeven tabel beschrijven of het globale verloop van het bijbehorende verband stijgt, daalt, dan wel periodiek lijkt te zijn • het globale verloop van een verband uit een bijbehorende tabel beschrijven • twee verbanden met behulp van de bijbehorende tabellen vergelijken en bepalen of benaderen waar de variabelen een gelijke waarde hebben 2. grafieken tekenen, aflezen, interpreteren en vergelijken • in een gegeven assenstelsel een grafiek tekenen, al dan niet op een beeldscherm, van het verband tussen variabelen in een gegeven situatie • bij een gegeven grafiek vaststellen welke waarden van de variabelen bij de context zinvol zijn • bij een gegeven grafiek vaststellen of er sprake is van een constant, een stijgend, een dalend of een periodiek verband • controleren of een gegeven verband of standaardverband bij een gegeven grafiek hoort • vaststellen of er binnen een gegeven interval sprake is van constant zijn, stijgen of dalen • aflezen welke minima en maxima er op een gegeven interval zijn • uit het verloop, de vorm en de plaats van punten van een grafiek conclusies trekken over de bijbehorende situatie • twee grafieken vergelijken; snijpunt vaststellen en interpreteren • co¨ ordinaten van punten van een grafiek aflezen, berekenen of (met een formule of schaalberekening) benaderen • bij twee grafieken die elkaar snijden de co¨ ordinaten van dat snijpunt aflezen, benaderen en/of berekenen • een grafiek tekenen en analyseren; in het bijzonder hierbij een passende schaalverdeling kiezen en co¨ ordinaten van punten bepalen • vaststellen hoe een verandering in de situatie doorwerkt in de grafiek, gewoonlijk in samenhang met tabel en/of formule 3. werken met woord formules en formules • bij een gegeven woordformule vaststellen, of daarmee in een gegeven situatie het verband tussen de variabelen beschreven is • in een gegeven situatie vaststellen welke variabelen met elkaar in verband staan en een woordformule of formule opstellen die dat verband vastlegt • in een gegeven situatie zelf een woordformule of formule opstellen bij een standaardverband tussen twee variabelen • bij een verandering in een variabele het effect aangeven op de andere variabele, in het bijzonder bij lineaire, evenredige en omgekeerd evenredige verbanden • bij twee functionele verbanden aangeven, eventueel in benadering, waar functiewaarden gelijk zijn en op welke intervallen de ene groter is dan de andere • vaststellen hoe een verandering in de situatie doorwerkt in de formule • uit een formule conclusies trekken over de bijbehorende situatie 4. in een gegeven situatie de voorstellingsvormen tabel, grafiek, (woord)formule of verwoording met elkaar in verband brengen • bij twee verschillende voorstellingsvormen vaststellen of zij hetzelfde verband beschrijven • een voorstellingsvorm vervangen door een andere voorstellingsvorm die hetzelfde verband beschrijft • formuleringen bij de ene voorstellingsvorm vervangen door formuleringen bij een andere voorstellingsvorm • vaststellen of bepaalde waarden van variabelen zinvol zijn voor de gegeven situatie

36

• vaststellen of bepaalde waarden in een voorstellingsvorm zinvol blijven in een andere • vaststellen in welk opzicht een verandering in n voorstellingsvorm invloed heeft op een andere • bij twee functionele verbanden hun som en hun verschil beschrijven met een of meer voorstellingsvormen, mits dat in de gegeven situatie zinvol is • bij een functioneel verband beschrijven hoe bij een gegeven uitgangsvariabele de bijbehorende ingangsvariabele gevonden kan worden 5. rekenen met (woord)formules • in een woordformule of formule een variabele vervangen door een getal en de waarde van de andere variabele berekenen • onderzoeken of twee woordformules hetzelfde verband beschrijven • woordformules omzetten in formules waarin variabelen door n letter worden weergegeven • een formule vervangen door een gelijkwaardige formule • een schakeling van elementaire rekenacties omzetten in een formule en omgekeerd 6. bepaalde standaardverbanden kennen, herkennen en gebruiken • lineaire verbanden herkennen en gebruiken • verbanden van de vorm y = a en x = a herkennen en gebruiken • exponentile verbanden herkennen en gebruiken • wortelverbanden herkennen en gebruiken • machtsverbanden met exponent 2 of 3 herkennen en gebruiken • verbanden van de vorm y = a/x herkennen, gebruiken en hun grafieken tekenen en interpreteren • periodieke verbanden herkennen en gebruiken WI/K/5 Rekenen, meten en schatten De kandidaat kan 1. handig rekenen in alledaagse situaties • schattingen maken over afmetingen en hoeveelheden • het resultaat van een berekening afronden in overeenstemming met de gegeven situatie • bij het oplossen van problemen, enkelvoudige en eenvoudig samengestelde grootheden herkennen en gebruiken, in elk geval grootheden die te maken hebben met lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd, temperatuur, geld en snelheid • rekenen met gangbare maten voor lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd, temperatuur, geld en snelheid • bij het rekenen en vermelden van resultaten gebruik maken van gangbare begrippen en voorvoegsels zoals miljoen, miljard en milli-, centi-, kilo-. 2. een rekenmachine gebruiken • met een rekenmachine optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen • met een rekenmachine breuken, procenten, machten en wortels berekenen of benaderen als eindige decimale getallen • gebruik maken van de functietoetsen voor omgekeerde, kwadraat, macht, wortel en van de +/toets • gebruik maken van de toets voor yx 3. meten en schatten • omgaan met gangbare maten en referentiematen • vooraf uitkomsten schatten van berekeningen en meetresultaten • schalen aflezen

37

• uitspraken doen over de orde van grootte en de nauwkeurigheid 4. basistechnieken inzetten • in betekenisvolle situaties gelijknamige breuken optellen en aftrekken; eenvoudige breuken vermenigvuldigen en delen • in betekenisvolle situaties eenvoudige en samengestelde breuken vermenigvuldigen met een geheel getal • verhoudingen vergelijken • een verhouding omzetten in een breuk, decimaal getal of percentage • bij berekeningen een verhoudingstabel gebruiken • in betekenisvolle situaties negatieve getallen ordenen, optellen en aftrekken • negatieve getallen vermenigvuldigen en delen • hoofdbewerkingen in de afgesproken volgorde toepassen • bij het berekenen en bij het vermelden van resultaten gebruik maken van de wetenschappelijke notatie WI/K/6 Meetkunde De kandidaat kan 1. voorstellingen van objecten en van hun plaats in de ruimte of het platte vlak maken en interpreteren • vlakke tekeningen van ruimtelijke situaties interpreteren en bewerken, zoals fotos, plattegronden, patroontekeningen, landkaarten, bouwtekeningen. Daarbij kan de kandidaat onder andere gebruik maken van kijklijnen, aanzichten, uitslagen, doorsneden, projecties, plattegronden en daarbij, waar mogelijk en zinvol, de computer gebruiken • ruimtelijke situaties beschrijven met taal of getallen, bijvoorbeeld – met woorden – door middel van figuren waaronder driehoek, parallellogram, vierkant, rechthoek, ruit, cirkel, kubus, balk, prisma, piramide, cilinder, kegel en bol – met co¨ ordinaten (ook in de ruimte) – met behulp van richting of hoek en afstand • ruimtelijke voorstellingen, al dan niet op schaal, weergeven al dan niet met concreet materiaal • uit de hierboven genoemde voorstellingen en beschrijvingen conclusies trekken over de bijbehorende objecten en hun plaats in de ruimte 2. schatten, meten en berekenen • schattingen en metingen doen van hoeken, lengten, oppervlakten en inhouden van objecten in de ruimte • lengten in vlakke en ruimtelijke figuren berekenen met behulp van schaal • oppervlakte en omtrek berekenen van driehoek, rechthoek en figuren die daaruit samengesteld zijn, zoals een parallellogram • omtrek en oppervlakte van een cirkel berekenen met behulp van gegeven woordformules of formules • inhoud van kubus en balk berekenen • inhoud van prisma, kegel, piramide, bol en cilinder berekenen met behulp van gegeven woordformules of formules 3. redeneren en tekenen • bij tekenen, berekenen van hoeken en afstanden, en redeneren gebruik maken van meetkundige begrippen en eigenschappen, in het bijzonder – evenwijdigheid

38

– – – – – – –

gelijke verhoudingen lijnsymmetrie regelmatige patronen eigenschappen van hoeken goniometrische verhoudingen in rechthoekige driehoeken draaisymmetrie de stelling van Pythagoras

• bij tekenen, berekenen en redeneren gebruik maken van instrumenten en apparaten, in het bijzonder: liniaal, gradenboog, rechthoekige driehoek, passer, zelfgemaakt gereedschap, zakrekenmachine en computer WI/K/7 Informatieverwerking, statistiek De kandidaat kan 1. statistische gegevens verzamelen, ordenen, weergeven (al dan niet met behulp van de computer) en samenvatten • statistische gegevens verzamelen • statistische gegevens ordenen en weergeven, in het bijzonder met behulp van tabel, lijn-, staaf-, cirkel- en steelbladdiagram • statistische gegevens samenvatten met behulp van gemiddelde, modus of mediaan • statistische gegevens weergeven in een boxplot 2. tabellen en grafische voorstellingen analyseren en interpreteren • statistische gegevens aflezen en interpreteren uit een tabel, lijn-, staaf-, en cirkeldiagram (en vormen die daarvan zijn afgeleid) en daaruit conclusies trekken 3. een situatie analyseren en interpreteren met behulp van een graaf • een situatie onderzoeken die door middel van een graaf is beschreven • bij een gegeven graaf een bijbehorende tabel opstellen • een situatie die door tekst, tabel of kaart is beschreven met behulp van een passende graaf weergeven • conclusies trekken uit een situatie met behulp van een graaf en/of de bijbehorende tabel 4. systematisch tellen in eenvoudige, betekenisvolle en meer complexe situaties 5. in eenvoudige, praktische situaties aan de hand van modellen uitspraken doen over te verwachten gebeurtenissen en ontwikkelingen WI/K/8 Ge¨ıntegreerde wiskundige activiteiten De kandidaat kan • niet-wiskundig geformuleerde probleemsituaties met wiskundige middelen onderzoeken • realistische probleemsituaties mathematiseren • de bij het mathematiseren verkregen voorstellingsvormen zodanig met de diverse vaardigheden uit de andere domeinen bewerken dat hij/zij conclusies kan trekken die zinvol zijn voor de oorspronkelijke probleemsituatie

39

Bijlage C

Voorbeelden tafels C.1

Oefenblad brugklas, begin

Los de volgende sommen op:

3×4= 4×7= 3×9= 40 : 5 = 24 : 3 =

C.2

4×5= 5×8= 5×4= 36 : 4 = 12 : 4 =

5×3= 3×7= 5×2= 25 : 5 = 45 : 9 =

Oefenblad brugklas, gevorderd


9×8= 5×5= 81 : 9 = 28 : 4 = 54 : 6 =

C.3

6×7= 6×9= 72 : 8 = 56 : 7 = 27 : 3 =

4×9= 7×3= 24 : 6 = 36 : 6 = 42 : 7 =

Oefenblad tweede klas


9×9= 6×7= 36 : 3 = 132 = 96 : 6 =

82 = 11 × 12 = 112 = 7√× 9 = 56 121 = √ :8= 81 = 48 √ : 12 = 270 : 3 = 144 =

40

Bijlage D

Optellen en aftrekken D.1

Diagnostische toets

Maak de volgende sommen uit je hoofd: Opgave 1: 3+4= 12 + 9 = 23 + 11 = 49 + 34 = 678 + 643 =

Opgave 2: 18 − 7 = 23 − 4 = 124 − 56 = 71 − 33 = 654 − 389 = Opgave 3: 1, 4 + 3 = 7, 6 + 3, 7 = 2, 43 + 5, 1 = 5, 09 + 2, 3 = 222, 2 + 33, 031 =

Opgave 4: 5, 1 − 3 = 54, 7 − 44, 2 = 487 − 23, 59 = 12, 04 − 3, 1 = 3, 002 − 1, 7 = 41

Opgave 5: 5 − 6, 4 = 34, 88 − 50 = 289, 2 − 402, 03 = 10, 12 − 23, 99 = − 77, 1 + 102, 3 = Opgave 6: 46 + 376 = − 3, 4 − 12, 1 = 46, 05 + 23, 26 = 123, 78 − 205, 27 = 431 + 478 = 56, 21 − 33, 77 = 2, 2 + 12, 9 = 0, 11 − 0, 53 = − 15, 51 + 51, 15 = − 666 − 666 =

D.2

Oefenblad Rijgen

Bij kommagetallen kunnen we de som handig opdelen in verschillende stukjes. Bij grotere getallen is het dan handig om er een getallenlijn bij te tekenen of te denken.

Doe de volgende sommen uit je hoofd: 1, 2 + 2 = 4, 3 + 7, 1 = 5 + 4, 23 = 3, 8 + 5, 3 = 2, 12 + 2, 24 =

Bij kommagetallen delen we de som dus op in stukjes. Bijvoorbeeld: 2, 34 + 3, 13 = 2, 34 + 3 + 0, 10 + 0, 03 = 3, 34 + 0, 1 + 0, 03 = 3, 44 + 0, 03 = 3, 47

Doe de volgende sommen uit je hoofd: 1, 31 + 1, 82 = 2, 03 + 4, 1 = 15, 29 + 6, 19 = 28, 45 + 5, 09 = 3, 6 + 7, 42 =

Bij aftrekken kunnen we de som ook opsplitsen. Bijvoorbeeld: 4, 35 − 2, 41 = 4, 35 − 2 − 0, 40 − 0, 01 = 2, 35 − 0, 40 − 0, 01 = 1, 95 − 0, 01 = 1, 94

42

Doe de volgende sommen uit je hoofd: 6, 43 − 2, 95 = 3, 4 − 2, 22 = 56, 79 − 7, 9 = 33, 33 − 4, 04 = 92 − 31, 67 =

D.3

Oefenblad splitsen

Doe de volgende sommen uit het hoofd: 13 + 8 = 9+4= 12 + 13 = 24 + 57 = 36 + 46 = 51 − 26 = 12 − 9 = 89 − 27 = 33 − 17 = 24 − 6 = Weet je de handige trucjes hiervoor nog? Eerst naar een tiental rekenen, wat hou je over, en dan verder rekenen. Bijvoorbeeld: 47 + 9, dan doe je eerst 47 + 3 = 50, dan moet je er nog 9 − 3 = 6 bij optellen dus 50 + 6 = 56, dus 47 + 9 = 56.

Doe de volgende sommen uit het hoofd: 123 + 548 = 284 + 352 = 169 + 12 = 37 + 688 = 777 + 888 =

Doe ook deze sommen in stapjes. Eerst de honderdtallen, dan de tientallen en als laatste de eenheden. Bijvoorbeeld: 345 + 912 = 345 + 900 + 10 + 2 = 1245 + 10 + 2 = 1255 + 2 = 1257 Bij aftrekken werkt dit op dezelfde manier.

Doe de volgende sommen uit het hoofd: 576 − 144 = 961 − 64 = 613 − 234 = 505 − 434 = 900 − 256 =

43

D.4

Oefenblad ‘onder nul’

N.B.: de kennis van rijgen en splitsen is nodig om deze opgaven te kunnen maken.

Eerst even om er in te komen, maak de volgende sommetjes uit je hoofd: 2−3= 5−8= −4+7= −1+6= −2−5= Net als bij het rekenen naar een tiental, moeten we nu rekenen naar de nul, en dan verder. Dat noemen we handig rekenen. Bijvoorbeeld: 8 − 10 = Eerst naar de nul: 8 − 8 = 0 en dan nog 2 eraf, 0 − 2 = −2 Maak de volgende sommen uit je hoofd: 3 − 4, 6 = 25, 01 − 30 = 7, 7 − 10, 2 = − 3 + 2, 4 = − 2, 9 − 19, 2 = Ook bij kommagetallen en onder nul kun je gebruik maken van handig rekenen. Bijvoorbeeld: 6, 73 − 10, 84 = Nu kijk ik per stapje eerst naar de nul en daarna verder rekenen. 6, 73 − 10 − 0.80 − 0, 04 = − 3, 27 − 0, 80 − 0, 04 = − 4, 07 − 0, 04 = −4, 11 Probeer dit nu zelf, schrijf het eerst op en maak daarna de stappen in je hoofd, bij de volgende sommen: 2, 31 − 4, 52 = 5, 2 − 7, 07 = 3, 09 − 11, 43 = 34, 56 − 43, 65 = 1, 2 − 100, 57 =

44

Bijlage E

Oefenblad Breuken Wat weet je nog van rekenen met breuken? Gelijke noemers Om breuken bij elkaar op te kunnen tellen moet je vaak gelijke noemers maken, van de breuk 13 kan ik bijvoorbeeld 62 maken, door boven en onder de breukstreep met 2 te vermenigvuldigen, net als bij een verhoudingstabel dus! Los de volgende opgaven op: 2 3

=

6

1 2

=

6

2 5

=

10

6 8

=

4

1 3

=

12

1 4

=

12

Breuken optellen en aftrekken Breuken met gelijke noemers mag je bij elkaar optellen door de tellers bij elkaar op te tellen, als de noemers niet gelijk zijn moet je ze eerst gelijk maken, bijvoorbeeld 21 + 31 = 36 + 26 = 56 . Voor aftrekken geldt hetzelfde. Los de volgende opgaven op: 1 3

+

2 3

=

1 2

+

2 3

=

4 5

+

1 2

=

1 2

+

1 4

=

1 3

−

1 5

=

3 5

+

1 2

=

1 3

−

1 4

=

1 4

+

3 12

1 4

−

1 5

1 10

+

3 20

=

= =

45

Vermenigvuldigen en delen Om breuken met elkaar te vermenigvuldigen of te delen hoef je geen gelijke noemers te maken, 6 = 12 . soms moet je de breuk wel vereenvoudigen, bijvoorbeeld 23 × 43 = 12 Los de volgende opgaven op: 1 3

×

1 2

=

1 2

×

3 4

=

1 10

3 4

×

1 3

=

4 5

×

1 3

=

1 6

2 3

×

2 3

=

4 12

×

6 12

=

×

3 10

1 2

=

:

2 10

:

2 5

=

=

Procenten Je weet dat

1 2

hetzelfde is als 50%. Schrijf de volgende breuken als procenten:

1 4

=

1 3

2 5

=

1 10

=

34 50

=

1 100

=

=

46

Bijlage F

Oefenblad Schaal Als je rekent met schaal ga je eigenlijk je hoofdrekenkunsten in de praktijk brengen. Je moet dan bij foto’s of bij tekeningen inschattingen kunnen maken, en daar heb je vaak hoofdrekensommen bij nodig. Voorbeeld:

Op deze foto zie je een schoolgebouw. De schaal die we gebruiken bij deze foto is 1 : 150. Dat betekent dat 1 cm op de foto 150 cm in werkelijkheid is. We willen weten hoe hoog het gebouw is. Nu ga je je hoofdrekenvaardigheden toepassen. Je maakt een schatting van hoeveel cm het gebouw op de foto hoog is, bijvoorbeeld 4 cm. Dan reken je uit, 4 × 150 = 600 cm. Dus het gebouw is 600 cm, oftewel 6 m hoog. Nu even zelf proberen. We gebruiken bij de volgende fotos dezelfde schaal. Maak de volgende vragen en reken daarbij uit het hoofd: 1. Op het plaatje hieronder zie je een hijskraan die een groene container verplaatst. Hoe groot is die groene container?

47

2. Op de foto hierboven zie je een betonmolen waar de bouwvakkers mee aan het werk zijn. Wat zijn de afmetingen van de blauw met oranje betonmolen? Soms is de schaal heel anders, veel groter of juist veel kleiner, maar dan nog kunnen we uit voeten met hoofdrekenen. Het gaat immers nog steeds om vermenigvuldigen of delen.

Hierboven zie je een kaartje van Gouda en omgeving. Bij dit kaartje gebruiken we schaal 1 : 100000. 3. Meneer Houtman gaat een stukje fietsen van Moordrecht naar Haastrecht. Hij fietst dan helemaal langs de IJssel. Hoeveel kilometer gaat hij fietsen?

48

Verslag Specialisatie

Recommend Documents