VÁLLALATI PÉNZÜGYEK I

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet

Dr. Tóth Tamás

VÁLLALATI PÉNZÜGYEK I. oktatási segédanyag

Budapest, 2015.

TARTALOMJEGYZÉK

I. Gazdasági mutatók, alapszámítások ........................................................................................... 2 I.1. Nettó jelenérték mutató ......................................................................................................... 2 I.2. Belső megtérülési ráta mutató ............................................................................................... 2 I.3. Jövedelmezőségi index mutatócsalád ................................................................................... 6 I.3.1. Szabad kapacitások allokálása ......................................................................................... 7 I.3.2. Tőkekorlátos esetek kezelése .......................................................................................... 8 I.4. Éves egyenértékes mutató ................................................................................................... 10 I.5. Egyéb gazdasági mutatók ................................................................................................... 13 I.5.1. Megtérülési idő .............................................................................................................. 13 I.5.2. Könyv szerinti adatokra épülő mutatók ......................................................................... 14 I.6. A jelenérték-számítás technikai alapjai............................................................................... 17 I.6.1. Alapfogalmak, alapjelölések ......................................................................................... 18 I.6.2. Egyszeri pénzáramok .................................................................................................... 18 I.6.3. Egyenletes pénzáram-sorozat (annuitás) ....................................................................... 19 I.6.4. Örökjáradék ................................................................................................................... 20 I.6.5. Lineárisan növekedő pénzáram-sorozat ........................................................................ 21 I.6.6. Exponenciálisan növekedő pénzáram-sorozat............................................................... 22 I.6.7. (Exponenciálisan) növekvő tagú örökjáradék ............................................................... 22 I.6.8. Havi és folyamatos tőkésítés ......................................................................................... 23 I.6.9. Harmonikus jelenérték .................................................................................................. 23

MELLÉKLET: TÁBLÁZATOK

I. Gazdasági mutatók, alapszámítások

I.1. Nettó jelenérték mutató A nettó jelenérték mutató közgazdasági jelentésével, elvi alapjaival már megismerkedtünk. Tudjuk, hogy a tőke költsége feletti teljesítményt, az „értékteremtést”, a „hozzáadott értéket” jelenti. Számításakor minden jövőbeli várható pénzáramot el kell osztanunk (diszkontálnunk kell) az egységnyi időre (egy évre) megadott tőke költségnek a pénzáram bekövetkezési idejéhez illeszkedő hatványával (a kamatos kamatozás (compound interest) elvét követve), majd az így kapott értékeket kell összegeznünk: E ( F1 ) E ( F2 ) E ( F3 ) + + + ... 1 + r (1 + r ) 2 (1 + r ) 3 E ( Fn )

NPV = F0 + ∞

=∑ n =0

(1.)

(1 + r ) n

A beruházás akkor értékes, ha az NPV > 0 . (Az összefüggésben az Fn-ek előjelesen szerepelnek, tehát pl. F0 beruházás esetén negatív.)

I.2. Belső megtérülési ráta mutató A belső megtérülési ráta mutatóval (IRR) is találkoztunk már.1 Tudjuk, hogy egy beruházás belső megtérülési rátája az a hozam, amellyel az adott időszakban befektetett egységnyi összegünket egységnyi időre vetítve átlagosan gyarapítottuk. Ha ezzel a hozammal diszkontálnánk a beruházás pénzáramait, akkor éppen a befektetett tőke értékét kapnánk vissza. Olyan IRR értéket keresünk tehát, amely mellett a befektetett tőke nagysága és a beruházás jelenértéke megegyezik, vagyis, amelynél a beruházás NPV-je zérus lesz.

NPV = F0 +

E ( F1 ) E ( F2 ) E ( Fn ) + + ... + 2 1 + IRR (1 + IRR) (1 + IRR) n

(2.)

E ( Fn ) =∑ =0 n n = 0 (1 + IRR) ∞

A beruházás értékes, ha IRR > ralt. Könnyen belátható, hogy az NPV és IRR szabályok ugyanazt a döntési eredményt adják egy projekt értékességének vizsgálatakor, hiszen beruházások esetén amennyiben a tőkeköltsége kisebb, mint az IRR, akkor az NPV pozitív. Az IRR gazdasági mutatóként való használata igen egyszerű: valósítsunk meg minden olyan beruházási projektet, aminek IRR-je nagyobb a hasonló kockázatú alternatív befektetések hozamánál. Ez a megállapítás – ha helyesen értelmezik – teljes mértékben helytálló. Nem mindig van azonban egyszerű dolgunk e mutató használatakor. Mivel a pénzáramok belső megtérülési rátájának kiszámításánál egy magasabb fokú polinom (egyenlet) zérus helyét kell megadni, így elképzelhető, hogy nem csak egy megoldást kapunk, illetve az is lehet, hogy egy valós megoldás sincs. 1

A módszer másik közismert elnevezése: CFROI (Cash Flow Return on Investment).

NPV

y r% 10

20

30

40

50

1. ábra: Projekt több zérus hellyel.

Annak ellenére, hogy az IRR számítás meglehetősen elterjedt, komoly megoldatlan matematikai problémák nehezítik e mutató alkalmazását. Jelenleg a legfeljebb 4. fokú polinomok zérus helyeinek kiszámítására létezik analitikus megoldás, a magasabb fokú polinomok esetében „próbálgatós”, iterációs módszerrel határozhatók meg a gyökök. Azt tudjuk, hogy egy n-ed fokú polinomnak annyi gyöke van, amennyi a fokszáma. A gyökök azonban lehetnek természetes és komplex számok is. A komplex gyökök hozamként való értelmezésével már sokan kísérleteztek sikertelenül, így ezekre a gyökökre a valós világunkban egyelőre nem létezőként tekintünk. Ugyanakkor kérdések merülnek fel a negatív gyökökkel kapcsolatban is. A negatív hozamú befektetésekre eleve elvetendőként szokás tekinteni, mivel rendszerint még a kockázatmentes hozam is pozitív. Mégis, gyakran előfordul, hogy több valós gyök esetén egyik-másik negatív (pl. F0=-100, F1=10, F2=110 esetén a két valós gyök: IRR1=10%, IRR2=-200%). Különösen a -100%-nál kisebb gyökök értelmezése okozhat gondot, hiszen azok a polinom szakadási pontja (minden polinom tag Fn/(1+x)n alakú) alatt találhatók. Bár vonzónak tűnhet egy negatív „árnyékvilágot” elképzelni különös, szürreális szerződésekkel, eddig nem sikerült tartalommal feltölteni ezt a tartományt. Mindenesetre az ún. Descartes-féle jelszabály szerint egy valós együtthatós polinomnak legfeljebb annyi valós gyöke lehet, mint az együtthatók sorozatában található előjel váltások száma. Például egy olyan pénzáram esetében, amelyben egy beruházást pozitív pénzáramok követnek, amibe később egy negatív pénzáram is közbeékelődik (pl. egy felújítás), annak legfeljebb három valós gyöke, belső megtérülési rátája lehet. A fenti ábrán egy 5 éves projekt IRR függvénye látható váltakozó előjelű pénzáramokkal, 3 valós gyökkel. Egészen az utóbbi időkig ezekben a helyzetekben azt kellett mondanunk, hogy nem határozható meg egyértelműen a belső megtérülési ráta, hiszen a fenti ábra példájánál maradva pl. egy 15%-os tőkeköltség esetében ennél kisebb és nagyobb gyökök is léteznek, amelyekről nem lehetett eldönteni, hogy melyik az „igazi”. Egy egészen friss tudományos áttörés azonban megoldani látszik e problémát. A gondolatmenet megértéséhez először definiáljuk a „tiszta beruházási” (pure investment) vagy „konvencionális” projekteket úgy, hogy abban egy vagy több kezdeti negatív előjelű pénzáramot pozitív előjelű pénzáramok követnek. Egy ilyen projekt NPV függvénye az alábbi ábrához hasonló monoton csökkenő lefutású: NPV

0

10

20

30

40

2. ábra: „Tiszta beruházási” projekt.

50 r%

A konvencionális projektek esetében igaz, hogy a beruházás értékteremtő, ha IRR > ralt. Amennyiben „tiszta hitelezési” (pure loan) projektről van szó, azaz egy kölcsönfelvételt annak rendszeres törlesztése (loan amortization) követ, akkor a függvény alakja monoton növekvő lesz, és a döntési szabály is megváltozik: a hitelezés értékteremtő, ha IRR < ralt. A valóságban persze ritkán találkozhatunk értékteremtő hitellel, hiszen pont a hiteladó szeretne saját értéket teremteni a kölcsönadással, az pedig nálunk értelemszerűen veszteség lesz. NPV

0

10

20

30

40

50 r%

3. ábra: „Tiszta hitelezési” projekt.

A 7. ábrán látható függvénykép pedig ún. „vegyes beruházási” (mixed investment) projekt, amelyet lokális beruházási és hitelezési szakaszok alkotnak. A hosszabb matematikai felvezetést mellőzve először azt kell ellenőriznünk, hogy a tőkeköltség környezetében milyen típusú a projekt. Látható, hogy a függvény két lokális szélsőértéke között a projekt függvényképe egyértelműen beruházási vagy hitelezési projektként viselkedik, így a függvény deriváltjának zérus helyei segítségével határozhatjuk meg az egyes beruházási és hitelezési szakaszok határát. A matematikai bizonyítást szintén mellőzve egy-egy ilyen szakaszon legfeljebb egy gyök található. (A komplex gyököt tartalmazó szakaszok összevonandóak az előző szakasszal, mivel csak a valós gyököket tudjuk értelmezni.) Ezután már csak azt a szakaszt kell tekintenünk, amelyben a tőkeköltség is elhelyezkedik és az ebbe a szakaszba eső valós gyök pozícióját kell ellenőriznünk annak megfelelően, hogy a projekt lokálisan beruházási vagy hitelezési típusú-e. A fenti példánál maradva: a függvényben két hitelezési és egy beruházási szakasz azonosítható a derivált függvény zérus helyei alapján, mivel a 27-30% és a 30%-∞ közötti szakaszok valós gyökök híján egyesülnek a megelőző szakasszal. NPV

y rA2

IRR1

rA1

y’ IRR2

10

hitelezés beruházás

rA3 20

IRR4 IRR3

30

40

r% 50

hitelezés

4. ábra: A projekttípus azonosítása a tőkeköltség környezetében

Jól látható, hogy a projekt belső megtérülési rátája és ezzel értékessége is függ a tőkeköltség nagyságától! Ha a tőkeköltség rA1 akkor a belső megtérülési ráta IRR1 és mivel rA1 környezetében hitelezésként viselkedik a projekt és IRR1
rátájuk alapján teljesen értelmetlen, hiszen az IRR nem hordozza azt az információt, amire egy ilyen összehasonlításhoz szükség lenne. Az NPV számítás előnye itt egyértelmű, mivel a számítás része a tőkeköltség is, így számszerűen összemérhető két tetszőleges projekt értékteremtő képessége. A másik probléma azonos kockázat mellett egymást valamilyen okból kölcsönösen kizáró projektek összehasonlításakor léphet fel, és abból fakad, hogy ez a mutató relatív nagyságokat jelez: egységnyi tőke, egységnyi időszak alatti hozamát mutatja. Ebből az következik, hogy egy magasabb belső megtérülési rátájú, de rövid ideig tartó és/vagy csak kis tőkét igénylő beruházásnál jobb értéktermelő lehet egy alacsonyabb belső megtérülési rátájú, de hosszabb ideig tartó és/vagy nagyobb tőkét mozgató másik projekt. Tekintsük az A és B beruházási programokat!i Pénzáram ($) F0 F1 -10000 +20000 -20000 +35000

Projekt A B

IRR (%)

NPV ha r=10%

100 75

+8182 +11818

1. táblázat: Egymást kölcsönösen kizáró projektek.

Mindkettő jó befektetés, de a B-nek magasabb az NPV-je, ezért mindenképpen jobb. Az IRRszabály alapján viszont inkább az A-t kellene választani. Ezekben az esetekben úgy menthetjük meg az IRR-szabályt, hogy a pénzáramok különbségére (a növekményre) számítjuk ki a belső megtérülési rátát. Ezt a következőképpen tehetjük meg. Először tekintsük a kisebb ráfordítást igénylő javaslatot (esetünkben A-t). Ennek a belső megtérülési rátája 100 százalék, ami bőven meghaladja a 10 százalék tőkeköltséget. Ezért tudjuk, hogy az A program elfogadható. Felmerülhet azonban a kérdés, hogy érdemes-e további 10000 dollárt befektetni a B program kedvéért. Ha a B beruházást valósítjuk meg A helyett, akkor a pótlólagos ráfordítás és bevétel a következőképpen alakul: Pénzáram ($) F0 F1 -10000 +15000

Projekt B-A

IRR (%) +50

NPV ha r=10% +3636

2. táblázat: A két projekt különbsége.

A pótlólagos befektetés IRR értéke 50 százalék, ami még mindig lényegesen magasabb, mint a tőke 10 százalékos alternatíva költsége. Tehát érdemes az A helyett a B beruházást megvalósítani.1 Ha nem a pótlólagos kiadásokat vesszük figyelembe, akkor az IRR nem alkalmas különböző nagyságrendű beruházási programok rangsorolására. Arra is alkalmatlan, hogy olyan ajánlatokat hasonlítson össze, amelyek időben különböző szerkezetű pénzáramokkal rendelkeznek. Tegyük fel, például, hogy egy vállalat C és D ajánlatok közül csak az egyiket választhatja (egyelőre hagyjuk figyelmen kívül E-t):ii

C D E

Pénzáram ($) F2 F3 F4

F5

stb.

IRR (%)

NPV, ha r=10%

F0

F1

-9000

6000

5000

4000

0

0

33

3592

-9000

1800

1800

1800

1800

1800

…

20

9000

-6000

1200

1200

1200

1200

…

20

6000

3. táblázat: Egymást kölcsönösen kizáró projektek.

A C beruházás IRR értéke magasabb, viszont a D beruházás esetében nagyobb az NPV. A következő ábrából megérthetjük, miért ad a két szabály esetenként különböző választ. A folytonos vonal a C beruházás nettó jelenértékét mutatja különböző diszkontráták esetében. Mivel a nettó jelenérték 33 százalék diszkontrátánál lesz zérus, ez a C belső megtérülési rátája. Hasonlóképpen, a szaggatott vonal a D beruházás jelenértékét mutatja különböző diszkontráták 1

Valójában az ilyen pótlólagos pénzáramlás-sorozatok esetén fordulhatnak reálisabban elő előjelváltásokat tartalmazó sorozatok.

mellett. A D beruházásnál az IRR 20 százalék. (Feltételezzük, hogy a D beruházás a végtelenségig bevételt eredményez.) Vegyük észre, hogy a D beruházásnál az NPV mindaddig magasabb, amíg a tőkeköltsége 15,6 százalék alatt van. NPV

0

15,6 20

33,3

C

r%

D 5. ábra: Egymást kizáró projektek belső megtérülési rátái.

Az IRR azért félrevezető, mert a D beruházás megvalósításából származó összes pénzbevétel ugyan nagyobb, de időben később jelentkezik. Ezért van az, hogy amikor a diszkontráta alacsony, akkor a D NPV-je magasabb; amikor a diszkontráta magas, akkor a C NPV-je magasabb. Példánkban a tőkeköltség 10 százalék. Ez azt jelenti, hogy a befektetők hajlandók viszonylag magas árat fizetni az azonos kockázatú hosszú élettartamú értékpapírokért, tehát viszonylag magas árat fognak fizetni a hosszabb élettartamú beruházásokért is. 10 százalék tőkeköltség mellett a D befektetésnek 9000 dollár, a C-nek viszont csak 3592 dollár a jelenértéke. Sokakat megtéveszt ez a példa. Amikor azt kérjük, válasszanak C és D közül, akkor sokan a C-t választják. Ennek – úgy tűnik – az az oka, hogy a C gyorsabban megtérül. Vagyis úgy gondolják, hogy ha a C-t választják, akkor még lesz lehetőségük egy későbbi, például E-hez hasonló program megvalósítására (vegyük észre, hogy az E finanszírozható a C pénzbevételéből), miközben ha D mellett döntenek, akkor nem lesz elég pénzük az E-re. Azt is mondhatnánk, hogy a feltételezésük szerinti a tőkehiány kényszeríti őket a C és D közötti választásra. Amikor azonban ezt a feltételezést figyelmen kívül hagyják, vagyis a tőkehiánytól eltekintenek, akkor elismerik, hogy a D jobb befektetés. Ha valóban vannak tőkekorlátok, akár valósak, akár felülről megszabottak, akkor szabad-e az IRR-szabályt használnunk a projektek rangsorolásához? A válasz: nem. Ebben az esetben az a feladat, hogy megtaláljuk azt a befektetéscsomagot, amelyik belefér a tőkekorlátokba, és a jelenértéke maximális. Az IRR-szabály nem erre szintén nem alkalmas. Az ilyen esetekben használjuk majd a következő alfejezetben tárgyalt jövedelmezőségi indexet. Amikor a C és a D alternatívák közül kell választanunk, akkor legegyszerűbb jelenértékük összehasonlítása. De ha szívünk az IRR-szabályhoz húz, akkor azt úgy használhatjuk, hogy mindig a pótlólagos pénzáramok belső megtérülési rátáját vizsgáljuk. Az eljárás pontosan megegyezik a korábban már bemutatottal. Először ellenőrizni kell, hogy kielégítő-e a C belső megtérülési rátája. Ezek után a D-be történő pótlólagos befektetés hozamát kell megnézni. A D-be való pótlólagos befektetés IRR-je az ábrából is láthatóan 15,6 százalék. Mivel ez magasabb, mint a tőke költsége, érdemes a D-t megvalósítani a C-vel szemben. Eddigi tárgyalásunkat leegyszerűsítettük azzal a feltételezéssel, amely szerint a tőke költsége az F1, F2, F3 ... stb. pénzáramok mindegyikére azonos. Ez nem mindig van így. Az ilyen esetekben legjobb egyszerűen elfelejteni az IRR-szabályt és kiszámolni az NPV-t a fentebb leírtak szerint.

I.3. Jövedelmezőségi index mutatócsalád

I.3.1. Szabad kapacitások allokálása Amennyiben egy már meglévő – nem pótolható – termelési tényezőnek több felhasználási lehetősége is kínálkozik szabad kapacitások allokálási problémájával állunk szemben. Ilyenkor a vállalati szabad kapacitás – ami, mivel „szabad”, így nyilván nem leépíthető – az elsüllyedt költségek kategóriájához tartozik, azaz költségként nem jelenik meg gazdasági számításainkban. Problémát csak az okozhat, hogy egyszerre több projektünk is verseng ezért az ingyenes kapacitásért. Ebben az esetben akkor járunk el helyesen az alternatíva költség szemléletet követve, ha előbb a jövedelmezőségi index (PI, profitability index) mutatócsalád megfelelő változatával kiválasztjuk, hogy melyik projekt, illetve projektek hasznosítják legjobban a felhasznált szabad kapacitást. Ehhez meghatározzuk a versengő j darab projekt NPVj-it – az adott kapacitásfelhasználást nullának véve – az adott kapacitásra vetítve az alábbiak szerint: PI j =

NPV j

(3.)

aj

ahol aj az egyes projektek adott kapacitásra vonatkozó százalékos felhasználási mértéke (capacity utilization). A fenti heurisztika lényegében egy sorba-rendezést jelent, amely sorból annyi projektet tudunk megvalósítani, amennyit az adott kapacitásunk elbír. A többi projekt esetén a szabad kapacitás kihasználásával már nem számolhatunk, úgy kell tekinteni tehát, hogy ezekhez a szükséges kapacitást külön ki kell építeni, be kell szerezni. Megjegyzendő, hogy a fenti allokálási mechanizmus csak egy igen egyszerű megoldást takar, több kapacitás együttes allokálására nem alkalmas. Tekintsünk egy egyszerű példát! A vállalatunknak szabad kapacitása van. Azt, hogy melyik projekt(ek) használhatják „ingyen” a szabad kapacitást, úgy kell eldöntenünk, hogy (az adott kapacitást ingyenesnek véve) egyenként meghatározzuk a projektek NPV-jét, majd a kapott NPV értékeket a kapacitás felhasználási részre vetítjük. Projekt

aj(%)

NPVj

PIj

A

10

180

18

B

50

110

2,2

C D

30 25

150 80

5 3,2

E

30

110

3,67

F

20

350

17,5

4. táblázat: A szabad kapacitásért versengő projektek.

Ezek után az így kapott PIj értékek szerint a projekteket sorba rendezzük: Projekt

aj(%)

NPVj

PIj

A

10

180

18

F

20

350

17,5

C E

30 30

150 110

5 3,67

D

25

80

3,2

B

50

110

2,2

5. táblázat: A szabad kapacitást elnyerő projektek.

Látható, hogy az A, F, C, és E projekteket érdemes a kapacitáshoz rendelni, míg B és D projekthez külön kapacitást kell vásárolni, majd a kapacitás költségeit figyelembe véve B és D NPV-jét újra kell számolni.

I.3.2. Tőkekorlátos esetek kezelése Az NPV vagy az IRR gazdasági mutató azon a feltételezésen alapult, hogy a tulajdonosok vagyonnövekedése akkor a legmagasabb, ha a vállalat minden pozitív nettó jelenértékű projektet megvalósít. Tőkekorlát esetén azonban már nem feltétlenül nyílik mód az összes pozitív nettó jelenértékű projekt megvalósítására, a korlát szabta határokig választanunk kell a pozitív nettó jelenértékű projektek közül. Ezt a helyzetet korlátozott tőkeforrások allokációjának (allocation of scarce resources) nevezik. Ekkor a tőke adagolására (rationing), allokációjára van szükség, tehát kell egy olyan eljárás, amely kiválasztja azt a projekt-portfóliót, amely a vállalat rendelkezésére álló erőforrások felhasználása mellett maximalizálja a nettó jelenértéket. (Ezekben az esetekben a tőke korlátozott mértéke fogható fel egyfajta kapacitáskorlátként.) Az ilyen esetekre is használhatjuk a jövedelmezőségi index mutatót. Szemben az IRR-rel, ez a döntési kritérium már csak egy szempont alapján relatív, a másik alapján abszolút: azt mutatja meg, hogy egységnyi befektetés a befektetés egész időszaka során mekkora értéknövelést biztosít. Definíciója igen egyszerű: PI az NPV és a beruházás abszolút értékének hányadosa:1 PI j =

NPV j

(4.)

F0 j

Felmerülhet a kérdés: a tőkekorlátok vállalatoknál megfigyelhető egyértelmű létezése nem mond ellent a tökéletes tőkepiacok hipotézisének? (Ti. a kockázatokhoz illeszkedő kamatért mindig korlátlan mennyiségben rendelkezésre áll forrás.) Ezek a tőkekorlátok legtöbbször arra vezethetők vissza, hogy a vállalat vezetői attól tartanak, hogy a túlságosan gyors növekedést a vezetés és a szervezet egyszerűen nem viselné el, ezért ők maguk állítják fel ezeket a korlátokat. Az is előfordul, hogy az alulról jövő burjánzó és drágán ellenőrizhető kezdeményezéseket szűri meg a vezetés azzal, hogy költségvetési korlátot határoz meg, így kikényszerítve az „előszűrést”. A legtöbb esetben tehát nem piaci hibáról van szó, pusztán belső ökölszabályok alkalmazásáról. Tekintsünk egy egyszerű példát! A tőkeköltség legyen 12%, és vállalatunknak úgy kell választania a következő beruházási lehetőségek közül, hogy összesen 25 millió $-t használhat csak fel a nulla időpontban: Projekt F0

F1

F2

F3

NPVj (12%)

IRRj

PIj

A

-10

10

20

5

18,43

108%

1,84

B

-5

8

12

-

11,71

154%

2,34

C D

-15 -5

5 10

12 10

5

-0,97 15,46

8% 183%

-0,06 3,09

E

-5

10

5

-

7,91

141%

1,58

F

-10

10

12

4

11,34

79%

1,13

G

-25

50

22

-

37,18

137%

1,49

H

-

-70

120

80

90,11

123%

-

6. táblázat: Forrásokért versenyző beruházási ötletek.

A feladat tehát az, hogy válasszuk ki a fenti projektek közül azt a projekt-együttest, amelyik a legnagyobb összes NPV-t adja a 25 millió $ kezdeti korlát mellett. Látható, hogy csupán a C projekt negatív nettó jelenértékű, azaz, ha nem lenne tőkekorlát, C kivételével mindegyik projektet megvalósítanánk. Ilyen esetekben a jövedelmezőségi index szerint kell sorba rakni a projekteket, és a korlát adta lehetőségig a legjobbakat kell megvalósítani. Projekt

1

F0

F1

F2

F3

NPVj (12%)

IRRj

PIj

A jövedelmezőségi indexet olykor úgy definiálják, mint a jelenérték és a kezdeti beruházás hányadosát, azaz PV /F0. A jövedelmezőségi index ezen változatának másik közismert elnevezése a költség-haszon ráta (CBR, cost benefit ratio), amely a korábbi paradigmából származó költség-haszon elemzés végeredménye. Beláthatjuk, hogy a rangsort az így értelmezett mutató sem változtatja meg, hiszen minden PIj értéke 1-el nagyobb lesz ily módon. Az így felírt hányados lényegében azt fejezi ki, hogy a befektetett összeg hányszorosa a várható értéknövekedés. Bánjunk azonban óvatosan azzal a mutatóval, amelyben a nyers (diszkontálás nélküli) számviteli adatok hányadosát adják meg, hiszen annak a „költség-haszon elemzésnek” nincs túl sok értelme.

D

-5

10

10

5

15,46

183%

3,09

B A

-5 -10

8 10

12 20

5

11,71 18,43

154% 108%

2,34 1,84

E

-5

10

5

-

7,91

141%

1,58

G F

-25 -10

50 10

22 12

4

37,18 11,34

137% 79%

1,49 1,13

H

-

-70

120

80

90,11

123%

-

C

-15

5

12

-

-0,97

8%

-0,06

7. táblázat: A szabad forrásokat elnyerő projektek.

Ilyenkor tehát nem az egyedi nettó jelenértékek alapján kell választanunk, hanem jövedelmezőségi indexek alapján. Látható, hogy a D, B, A és E projekteket valósítjuk meg a 25 millió $-ból, és ezek összesen 53,51 millió $ vagyonnövekedést jelentenek. Vegyük észre, hogy a H projekt annyiból kakukktojás, hogy csak az első évben kezdődik. Mivel a példa szerint csak a beruházás évében van tőkekorlát, így a H-t is megvalósítjuk majd egy év múlva. (H-nak az NPV-jét szintén a 0. időpontra vetítve adtuk meg, a PI erre az évre nem értelmezhető.) Összesen tehát 53,51+90,11 NPV-vel számolhatunk. Sajnos ennek az egyszerű rangsorolási módszernek is megvannak a maga korlátai. Az egyik legsúlyosabb ezek közül az, hogy abban a pillanatban felmondja a szolgálatot, amint több mint egy időszak tőkekorlátos. Tegyük fel, például, hogy a vállalat a jövőben is tőkekorlátok elé néz, mondjuk az első évben csak újabb 20 millió dollár áll majd rendelkezésére. Ebben az esetben egyáltalán nem mindegy az sem, hogy a választott projektek mennyi pénzt teremtenek elő a következő évben. A D, B, A, E választással le kell mondanunk H-ról, hiszen D, B, A és E projektek összesen 38 millió $-t hoznak az első évben és ez a 20 millió újabb forrással kiegészítve sem elegendő H induló 70 milliójának előteremtéséhez. Maradna tehát az 53,51 millió $ összes NPV. Igen ám, de amennyiben a nulla időpontban rendelkezésre álló 25 millióból G-t valósítottuk volna meg, akkor – igaz ugyan, hogy ennek változatnak csak 37,18 millió dollár lenne az NPV-je – G első éves 50 millió $ nettó bevétele már elegendő lenne a 20 milliós korlát 70-re való kiegészítéséhez, és megvalósíthatóvá válna H. Az összes NPV ekkor 37,18+90,11 millió dollár lenne, ami magasabb az 53,51 millió dollárnál. A jövedelmezőségi index alapján elvégzett rangsorolás azért vallott kudarcot ebben a példa-változatban, mert a tőkeforrások két periódusban is korlátosak voltak. Ez a módszer valójában minden olyan esetben alkalmatlanná válik a döntés megalapozására, amikor egynél több korlát létezik a projektek közötti választásban. A másik probléma az, hogy ez a heurisztika csak akkor ad jó megoldást, ha sok a vizsgált szabad kapacitásokhoz képest kellően kis igényű projekt versenyez egymással. Kevesebb projekt esetében könnyen hibás következtetésre juthatunk. Pl. 100 MFt elkölthető összegből két projektet valósíthatunk meg. Az egyik NPV=30 MFt hozzáadott értéket 30 MFt beruházással állít elő, a másik NPV=80 MFt-ot 90 MFt-ból. A PI alapján az első projekt jobb, azonban itt nyilvánvalóan a másodikat érdemes választani. Szükség esetén kifinomultabb módszereket is használhatunk. Ezek legtöbbje a lineáris programozás (LP, linear programming) elvén és technikáján nyugszik. Ezekre a technikákra főként akkor van szükség, ha a vállalat számos beruházási ötlettel rendelkezik, azonban például több évben is tőke- és/vagy egyéb kapacitáskorlátok lépnek fel. Ilyenkor a célfüggvény az, hogy a jelenlegi ismereteink alapján minél magasabb összes nettó jelenértéket adó projekt-portfoliót válasszunk ki az adott korlátok között:

∑ NPV x

i i

→ max

(5.)

Általános esetben azt szokás feltételezni, hogy a projektek oszthatatlanok, azaz nem lehet például a projektet „félig megvalósítani”. Ekkor xi értéke csak 0 és 1 lehet, azaz a projektet vagy megvalósítjuk, vagy nem. Ezt az LP feladattípust egészértékű programozásnak (integer programming) nevezzük. Ebben az esetben az LP első feltétele:

xi ∈ { 0 ; 1 }

(6.)

Előfordulhatnak azonban olyan projektek is, amelyek valójában oszthatók és a beruházás és a hozzá kapcsolódó pénzáramok arányosan változnak. Ilyenkor a fenti feltétel lazább, csak azt követeljük meg, hogy xi értéke 0 és 1 közé essen:

xi ∈ [ 0 ;1 ]

(7.)

Természetesen xi rendszerint nem folytonos, ezért ez utóbbi esetben további feltételeket is meg kell adni xi lehetséges diszkrét értékeire. Az operációkutatásban ezt diszkrét programozásnak (discrete programming) nevezik. Érdemes megemlíteni, hogy egy-egy feltétel megváltoztatása drasztikusan megváltoztathatja az LP feladatok megoldásához használható algoritmusokat. Ha a beruházások oszthatók, de a hozzá kapcsolódó pénzáramok nem arányosan változnak, akkor érdemesebb a projekteket részprojektekre bontani és feltételként megadni ezen projektek összetartozását, pl. ha a 2, 3 és 4 projektek összetartoznak: x2=x3=x4. Ezek után tetszőleges további korlátozó feltételeket adhatunk meg, mint például tőkekorlát (KCAPEX) a beruházás évében és kapacitáskorlát (pl. gyártósor kapacitás felhasználása) az első évben:

∑F ∑a

x ≤ K CAPEX

0,i i

1,i xi ≤ 1

(8.)

ahol a1,i az első évben az i projekt által lefoglalt kapacitás mértéke. Az LP feladatba lényegében bármilyen további korlát beépíthető. Természetesen itt is igaz, hogy akkor érdemes e kifinomultabb módszereket alkalmazni, ha a bemenő adatok megbízhatósága ezt már indokolttá teszi. A fenti LP feladatok megoldása egyébként nagyobb projektszám (40 db felett) esetén kifejezetten nagy számítási igényt támaszt, hiszen 2i számú kombináció közül kell kiválasztani a legmagasabb összes nettó jelenértéket adó változatot, miközben minden kombinációra a feltételek teljesülését is ellenőrizni kell. További probléma, hogy a hosszú számítási időt csökkenteni hivatott optimalizáló algoritmusok egy része nem ad megbízható eredményt, azaz néha eredmény nélkül, illetve lokális optimumokat megadva fut le. Az ilyen feladatok megoldására csak az utóbbi néhány évben rendelkezünk megfelelő matematikai és technikai háttérrel, így a módszerben rejlő lehetőségek ellenére egyelőre meglepően kevés vállalatnál találkozhatunk portfolió-optimalizálásra valóban alkalmas rendszerrel.1

I.4. Éves egyenértékes mutató Az éves egyenértékes mutatót (AE, annual equivalent) eltérő időtartamú, láncszerűen megismételhető projektek összehasonlítására használjuk. Ezek esetében az éves pénzáramegyenértékesek összevetésével tudunk dönteni. Mivel feltételezzük, hogy a kezdeti projektet – hasonló feltételekkel – újra meg újra meg tudjuk majd valósítani később is, így a projektek időtartama csak annyiban számít, hogy milyen gyakran kell a megújítást megtenni. Olyan éves egyenlő összegeket keresünk tehát, amelyek a projekt élettartamával megegyező ideig jelentkeznek, és NPV-jük megegyezik a projekt NPV-jével. Lényegében „kisimítjuk” a beruházással járó, egyenetlenül jelentkező pénzáramokat. Ezt szemlélteti a következő ábra:

1

Számos portfolió-menedzsment szoftvert kínál a piac, de ezek inkább a projektek ügyvitelét támogatják. Léteznek azért az optimális projekt portfólió kiválasztását támogató szoftverek is (pl: Project Insight, 4c Portfolio Manager, Rational Focal Point, D-Sight stb.), azonban némelyik esetben a mögöttes algoritmus közismerten megbízhatatlan, más esetekben az optimalizálás módszere meglepő: pl. meg kell jelölni az összes projekt-pár tekintetében egy vezetői preferenciát, azaz hogy melyiket választanánk inkább a kettő közül, és ez alapján készül rangsor. Az ötlet szellemesnek tűnhet, mégsem beszélhetünk optimalizálásról.

≡

F1 F2 F3 (F1) (F2) (F3) A F0

A

A (A) (A) (A)

(F0)

6. ábra: Éves egyenértékes.

Az ábrán folytonos vonal mutatja a projekt élettartama alatti pénzmozgásokat (illetve azok éves egyenértékeseit), míg a szaggatott vonal már a következő ciklus pénzáramait szemlélteti. Jól látható, hogy az éves egyenértékest miért nem szabad a nulla időpontra is vetíteni. Az éves egyenértékes számításához az alábbi összefüggéseken keresztül juthatunk el. Egyszeri pénzáramok különböző időpontokra való átszámítása igen egyszerű feladat, csak a két alapképletet kell ismernünk:

F = P(1 + r ) N P=

F (1 + r ) N

(9.)

ahol r a hozam általános jelölése, P a befektetett összeg (jelenérték), F a visszakapott összeg (jövőérték). F

1

2

3

4

N

P 7. ábra: Egyszeri pénzáramok.

Az annuitások (egyenletes pénzáram-sorozatok) a legfontosabb jellegzetes pénzáramsorozatok. Számos gyakorlati gazdasági jelenség modellezhető segítségükkel.1 A

0

1

2

3

4

N

8. ábra: Egyenletes pénzáram-sorozat.

Az annuitás jelenre vetítése az alábbi módon történik: P=

A A A + + ... + (1 + r ) (1 + r ) 2 (1 + r ) N

⎡ (1 + r ) N − 1⎤ = A⎢ N ⎥ ⎣ r (1 + r ) ⎦

(10.)

Az N évig tartó projekt éves egyenértékese a projekt nettó jelenértékéből számítható N évre szóló annuitással azonos. 1

A témáról részletesebben a következő fejezetben esik szó.

⎡ r (1 + r ) N ⎤ AE = A = P ⎢ ⎥ N ⎣ (1 + r ) − 1⎦

(11.)

Brealey és Myers példáját felhasználva tegyük fel, hogy a vállalatnak két gép (A és B) közül kell választania. A két gép különböző fejlesztések eredménye, de azonos a kapacitásuk és pontosan ugyanazt a feladatot képesek ellátni, tehát „hasznuk” megegyezik. Így összehasonlításra csak a költségek alapján vállalkozhatunk. Az A gép ára 15000$ és három évig működik, évi 5000$ működési költséggel. A B gép csak 10000$-ba kerül, működési költsége 6000$ évente, viszont csak két évig használható.

A B

NPV (e$), (r=6%)

Költségek (ezer $)

Gép F0 -15 -10

F1 -5 -6

F2 -5 -6

F3 -5

-28,37 -21,00

8. táblázat: Két gép közötti választás.

Ez azt jelenti, hogy B gépet kell választanunk, mivel költségeinek jelenértéke alacsonyabb? Nem feltétlenül, hiszen a B gépet egy évvel hamarabb kell kicserélni, mint az A-t. Valahogy át kell tehát számítanunk a költségek összes jelenértékét egy évre jutó költségekre, hiszen az ilyen jellegű döntéseknél bennünket az érdekel elsősorban, hogy évenként milyen költségeket várhatunk. Miért? Azért, mert feltételezzük, hogy egy-egy gépet – hasonló feltételekkel – újra meg újra meg tudunk majd venni a jövőben, így élettartamuk csak annyiban számít, hogy milyen gyakran kell lecserélni azokat. Az egy évre jutó költségek kiszámításával már összehasonlíthatóvá válik a két lehetőség. Költségek (ezer $)

A pénzáramai A éves költség-egyenértékesei B pénzáramai B éves költség-egyenértékesei

F0 -15 -10 -

F2 F3 -5 -5 -5 -10,61 -10,61 -10,61 -6 -6 -11,45 -11,45 -

NPV (e$), (r=6%)

F1

-28,37 -28,37 -21,0 -21,0

9. táblázat: Az A jelű gép átlagos éves költsége alacsonyabb.

Láthatjuk, hogy az A gép jobb, mert éves költségei alacsonyabbak. Eddig csak éves költség-egyenértékesekről volt szó. Természetesen ugyanezen az elven számolhatunk éves bevétel- vagy jövedelem-egyenértékeseket is, ha a gazdasági probléma logikája ezt kívánja. Példánkban a berendezések élettartamát adottnak vettük. A gyakorlatban azonban inkább gazdasági megfontolások, nem pedig a gépek teljes fizikai elhasználódása dönti el, hogy mikor cserélünk le egy gépet. Az ún. gazdasági élettartamot (economic life) nekünk kell megállapítanunk. A fentiekhez hasonló módon kell ilyenkor is eljárnunk, csak figyelembe kell venni az egyes kalkulált élettartamok végén berendezésünk ún. maradványértékét (salvage value, terminal value) is, ami berendezésünk akkori piaci értéke (amennyiért el lehetne adni). Lényegében tehát különböző élettartamok mellett – a maradványértéket is figyelembe véve – éves egyenértékeseket számítgatunk, és a legkedvezőbbnél adódik a gazdasági élettartam. Berendezések közötti választás esetén tehát a következő a számítások teljes menete: 1.) meghatározzuk az egyes berendezések gazdasági élettartamát, azaz saját optimumukat; 2.) kiválasztjuk azt a berendezést, amelynek legkedvezőbb az éves egyenértékese. Abban az esetben, amikor már meglévő berendezés hátralévő gazdasági élettartamát vizsgáljuk, annak korábbi beszerzési ára természetesen már elsüllyedt, elveszett költség. Ebben az esetben a berendezés „beruházási költsége” az a piaci maradványérték, amiért az adott pillanatban eladható lenne a gép. Ezek után a vizsgálat algoritmusa már magától értetődik: (1) Határozzuk meg az új berendezés gazdasági élettartamát. (2) Határozzuk meg a régi berendezés

további működtetésének gazdasági élettartamát. (3) Számítsuk ki mindkét változat éves költségegyenértékesét. (4) Amennyiben az új berendezés költség-egyenértékese a kisebb, úgy cseréljük le a berendezést, ellenkező esetben ismételjük meg az elemzést később (egy év múlva) újra. Az alábbi példában egy nyomdagép gazdasági élettartamát határozzuk meg. A piaci értékek és a pótlási/javítási költségek alakulása statisztikák alapján jól becsülhető, a táblázat első két sorában ezek az értékek szerepelnek. (A nyomdagép váza tartós, lassan avul, ellentétben a mozgó alkatrészek drágák és egyre gyakrabban hibásodnak meg.) A nyomdai tevékenység tőkeköltsége 15%. Első lépésben meghatározzuk gép tartásának nettó jelenértékét úgy, hogy mintha a vásárlástól számított 1, 2, …, 10 évig tartottuk volna. Ez után meghatározzuk a gépre fordított átlagos éves költségeket úgy, hogy az NPV-k megfelelő évre vetített éves egyenértékeseit vesszük. Évek Piaci érték Pótlási költségek NPV Éves egyenértékes

0 10000

1 9600 0 -1652 -1900

2 3 4 9200 8800 8400 40 60 80 -3074 -4284 -5313 -1891 -1876 -1861

5 6 7 8000 7600 7200 100 680 1260 -6188 -7173 -8226 -1846 -1895 -1977

8 6800 1840 -9311 -2075

9 10 6400 6000 2420 3000 -10403 -11481 -2180 -2288

10. táblázat: A gép gazdasági élettartama 5 év.

Mivel láncszerűen ismétlődő eseményről van szó, ezért valójában azt vizsgáljuk, hogy a nyomdagépet hány év után érdemes lecserélni egy újra. Az NPV mutató szerint az 1 éves tartás tűnik a legolcsóbbnak, azonban ez a mutató nem reflektál az ismétlődésre. Az AE mutató alapján az 5 éves tartás, majd gépcsere adja az átlagosan legalacsonyabb éves fenntartási költségeket.

I.5. Egyéb gazdasági mutatók

I.5.1. Megtérülési idő A megtérülési idő (PP, payback period) arra ad választ, hogy hány évig kell a befektetésnek működnie ahhoz, hogy a befektetett összeg jövedelmek formájában megtérüljön. Megtérülési időt kétféleképpen számíthatunk. Az egyszerűbb és pontatlanabb lehetőség az egyszerű megtérülési idő számítása. Ekkor a beruházás későbbi pénzáramait nominális értékükön vesszük figyelembe, azaz nem diszkontáljuk őket. Azt a t értéket keressük tehát, amennyi idő alatt a beruházásból származó összegzett pénzáramok pontosan kiadják a befektetett tőke nagyságát. A pontosabb megoldás a diszkontált megtérülési idő (DPP, discounted payback period) mutatójának alkalmazása. Itt a kérdés a következő: milyen t időtáv alatt éri el a beruházás pénzáramainak jelenértéke a kezdetben befektetett tőke értékét. (A diszkontált megtérülési idő használatával kapcsolatosan végül feltehetjük azt a költői kérdést, hogy ha már egy vállalatnál meghatározták a tőkeköltséget és a pénzáramokat is, akkor miért nem inkább NPV-t számítanak?) A mutatók közös hibája, hogy a megtérülési idő után felmerülő pénzáramokat már nem veszik figyelembe. Emiatt lehet, hogy hátrébb soroltatnak olyan beruházások, amelyek a megtérülési idő után még jelentős pénzáramokat biztosítanak. Ezen túlmenően az egyszerű megtérülési idő mutató egyértelmű hiányossága, hogy figyelmen kívül hagyja a pénz időértékét. E mutatók további hiányossága, hogy ha adott megtérülési időben gondolkodunk, ez önmagában is szubjektív elemet visz a döntésbe, s ezzel további döntési hibákat követhetünk el.

I.5.2. Könyv szerinti adatokra épülő mutatók A számviteli kimutatások (könyvek) alapvető dokumentumai a mérleg (balance sheet), az eredménykimutatás (income statement, profit and loss statement) és a cash-flow kimutatás (cash flow statement). A számviteli kimutatásokban minden gazdasági szereplő (szállítók, vevők), minden eszköz és forrás típus, illetve minden bevételi és költség kategória saját számlával rendelkezik, amelyen év közben folyamatosan rögzítik a változásokat. A könyvek ezeknek a számláknak az aktuális egyenlegeit összegzik. Az egyes számlák vagy a mérleghez vagy az eredmény-kimutatáshoz tartoznak. Mérleg (Balance sheet) 1 2 3 4

A I II III

Befektetett eszközök (Fixed assets) Immateriális javak (Intangible assets) Tárgyi eszközök (Tangible assets) Befektetett pénzügyi eszközök (Invested Financial Assets)

5 6 7 8 9

B I II III IV

Forgóeszközök (Current assets) Készletek (Inventories) Követelések (Receivables) Értékpapírok (Securities) Pénzeszközök (Cash)

10 11

C Aktív időbeli elhatárolások (Active accruals) Eszközök összesen (Total assets)

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

D I II III IV V VI VII E F I II III G

Saját tőke (Equity) Jegyzett tőke (Subscribed capital) (-Unpaid subscribed capital) Tőketartalék (Capital reserve) Eredménytartalék (Accumulated profit reserve) Lekötött tartalék (Committed reserve) Értékelési tartalék (Evaluation reserve) Mérleg szerinti eredmény (Retained Earnings) Céltartalékok (Provisions) Kötelezettségek (Liabilities) Hátrasorolt kötelezettségek (Junior Debt) Hosszúlejáratú kötelezettségek (Long-term Debt) Rövidlejáratú kötelezettségek (Short-term Debt) Passzív időbeli elhatárolások (Passive accruals) Források összesen (Total liabilities)

11. táblázat: Mérleg.

A kettős könyvvitel rendszere szerint minden gazdasági esemény két számlát érint. A készletvásárlás például egy adott szállító (a 24-es sor egyik alszámlája) és az adott készlet típus (a 6-os sor egyik alszámlája) számláját érinti: nő a készletek és nő a szállító tartozások értéke is. A fizetés gazdasági esemény szintén két számlát érint: csökken a szállítói tartozások értéke (24) és csökken a pénzeszközök (9) értéke is. Egy rövid lejáratú hitel felvétele esetében nő a rövidlejáratú kötelezettségek (24) állománya és nő a pénzeszközök (9) mennyisége is. A jegyzett tőke (13) emelésekor pl. csökken az eredménytartalék (16) vagy ha friss tőkét von be a társaság (részvénykibocsátás), akkor a pénzeszközök (9) növekednek. A vásárláson túl a gazdasági élet másik alapvető tevékenysége az eladás. Maga a tranzakció több gazdasági eseményt takar. Egyrészt a vevő megvásárolja a vállalat termékét vagy szolgáltatását, ami árbevételt (27) okoz a vállalatnál és vevő tartozik a termék árával (a 7-es sor egyik alszámlája). Másrészt az értékesítés költségeit a vállalat ekkor elszámolhatja, azaz pl. csökken a készletek (6) értéke a termék nyilvántartott árával, ami a termék értékesítésének anyagjellegű ráfordítását növeli (30). Ha a vevő ki is fizeti a tartozását (a 7-es sor csökken), akkor a pénzeszközök (9) növekednek. Hasonlóan a havi bérek a rövid lejáratú kötelezettségek egyik alszámláján gyűlnek, ezzel párhuzamosan a személyi jellegű ráfordításokat (31) növelik. A kifizetéskor a pénzeszközök csökkennek, miközben a rövidlejáratú kötelezettségek is csökkennek. 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

I II III IV V VI VII A VIII IX B C D E XII F

Értékesítés nettó árbevétele (Net sales revenues) Aktivált saját teljesítmények értéke (Capitalized value of own performance) Egyéb bevételek (Other revenues) Anyagjellegű ráfordítások (Material type expenditures) Személyi jellegű ráfordítások (Payments to personnel) Értékcsökkenési leírás (Depreciation charge) Egyéb ráfordítások (Other expenditures) Üzemi/Üzleti tevékenység eredménye (Earnings Before Interest and Tax) Pénzügyi műveletek bevételei (Financial revenues) Pénzügyi műveletek ráfordításai (Financial expenditures) Pénzügyi műveletek eredménye (Financial profit) Szokásos vállalkozási eredmény (Usual Entrepreneurial Profit or Loss) Rendkívüli eredmény (Extraordinary profit) Adózás előtti eredmény (Pre-tax profit/EBT) Adófizetési kötelezettség (Tax liability) Adózott eredmény (After-tax profit/PAT) Jóváhagyott osztalék (Approved dividend) G Mérleg szerinti eredmény (Retained earnings/Balance-sheet net profit)

12. táblázat: Eredménykimutatás.

A befektetett eszközök kezelése némileg eltér. A tárgyi eszközök értéke például az ún. számviteli amortizáció értékével csökken folyamatosan. Az elszámolási időszakban a tárgyi eszköz (a 3-as sor egyik alszámlája) egyenlege csökken, miközben az amortizáció összege növeli a költségeket az értékcsökkenési leírás (32) soron. A tárgyi eszköz esetleges értékesítésekor a vevőkkel szembeni követelés (7) az eladási árral növekszik, ami egyéb bevételt (29) okoz. Az értékesítés költsége pedig a tárgyi eszköz soron kimutatott könyv szerinti érték lesz, ami az egyéb ráfordításokat (33) növeli, miközben a tárgyi eszköz sorról kivezetjük ezt az értéket. 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

I. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

11 12 13 II. 14 15 16 III. 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 IV.

Működési cash flow (Cash-flows from operating activities) Adózás előtti eredmény (Pre-tax profit) Elszámolt amortizáció (Depreciation) (+) Elszámolt értékvesztés és visszaírás (Depletion) (+,-) Céltartalék képzés és felhasználás különbözete (Forming or using provisions) (+,-) Befektetett eszközök értékesítésének eredménye (Profits of selling fixed assets) (-) Szállítói kötelezettség változás (Change in accounts payable) (+) Egyéb rövid lejáratú kötelezettség változása (Change in other short term debts) (+) Passzív időbeli elhatárolás változása (Change in passive accruals and deferred items) (+) Vevőkövetelés változása (Change in accounts receivable) (-) Forgóeszközök (vevőkövetelések és pénzeszközök nélkül) változása (Change in current assets without accounts receivable and cash) (-) Aktív időbeli elhatárolások változása (Change in active accruals) (-) Fizetett, fizetendő adó (Paid, payable tax) (-) Fizetett, fizetendő osztalék, részesedés (Paid dividend) (-) Befektetési cash flow (Cash-flows from investing activities) (-) Befektetett eszközök beszerzése (Investment in plant and equipment) (-) Befektetett eszközök eladása (Proceeds from sale of land, plant and equipment) (+) Kapott osztalék, részesedés (Received profit-sharing and dividend) (+) Finanszírozási cash flow (Cash-flows from financial activities) Részvénykibocsátás, tőkebevonás bevétele (Incomes of public offering) (+) Kötvény, hitelviszonyt megtestesítő értékp. kibocsátás bevétele (Incomes of bond or other security offering) (+) Hitel és kölcsön felvétel (Long-term borrowing) (+) Hosszú lejáratra nyújtott kölcsönök és elh. bankbetétek törl., megszünt., bevált. (Payment of long-term debt) (+) Véglegesen kapott pénzeszközök (Received cash) (+) Részvénybevonás, tőkekivonás (tőkeleszállítás) (Stock withdrawal) (-) Kötvény, hitelviszonyt megtestesítő értékpapír visszafizetése (-) Hitel és kölcsön törlesztése (Payments of debts) (-) Hosszú lejáratra nyújtott kölcsönök és elhelyezett bankbetétek (Long term loans, bank deposits) (-) Véglegesen átadott pénzeszközök (Permanently granted cash) (-) Alapítókkal szembeni, ill. egyéb hosszú lej. ktg-ek változása (Change in claims against founding members) (+) Pénzeszközök változása (Change in cash) 13. táblázat: Cash flow kimutatás.

Ha helyesen végigkövettük a fenti példákat, megfigyelhettük, hogy a mérleg két oldala végig egyensúlyban maradt, hiszen az eredménykimutatás szerinti eredmény (44) mérleg szerinti eredmény (19) néven visszakerül a mérlegbe. A jóváhagyott osztalék (43) például csökkenti a pénzeszközöket (9) de a mérleg szerinti eredmény csökkenésén keresztül a mérleg forrásoldalát is csökkenti. A cash flow kimutatás némileg elkülönül a fenti egységes rendszertől. Itt a cél az, hogy a pénzeszközök időszaki állományváltozása kimutatható legyen. Ez a cash flow rendeltetésében azonos a vállalati pénzügyi tanulmányaink során gyakran használt cash flow fogalommal, kétségtelen azonban, hogy – főként a projekt értékelés során – jelentősen leegyszerűsített formájában közelítjük csak ezt a kimutatást. A tervezés során ugyanis ritkán van szükség számviteli értelemben is igényes kidolgozásra (pl. számviteli elhatárolások, számviteli értékhelyesbítések, áfa nyilvántartások stb.). A számviteli cash flow kimutatás egyébként az adózás előtti eredményből indirekt módon „számolja vissza” a tényleges pénzállomány változást. A számviteli kimutatások egyes számláinak értékeiből képzett mutatószámok használatának – főként a világ fejlődő országaiban – nagy hagyományai vannak, így mi sem kerülhetjük ki ezek alaposabb áttekintését. Ne felejtsük azonban el, hogy az előző pénzügyi paradigma elemeiről van szó, így nem lenne korszerű pusztán ezekre alapozni döntéseinket, de legalábbis meglehetősen szűk az a problémakör, amelyben ezek a mutatók értékes válaszokat képesek nyújtani.

A könyv szerinti hozam (ROA, return on assets; ROI, return on investment) azt mutatja meg, hogy a vállalat vagy befektetés egységnyi átlagos könyv szerinti értékére (average total assets) mekkora kamat és adók előtti eredmény (EBIT, earnings before interest and tax) jut. ROA / ROI =

EBIT Average Total

Assets

=

34 (11t −1 + 11t ) / 2

(12.)

Az év eleji és végi adatok átlagolása reflektál az egyik felmerülő problémára: éven belül jelentősen változhatnak az eszközök és kötelezettségek értékei.1 Ettől azonban még sajnos a mutató továbbra is a könyv szerinti adatokra reflektál, nem pedig a piaciakra. A másik probléma az, hogy változatlan éves teljesítmény mellett a mutató értéke évről évre automatikusan növekedhet, mivel a beruházott eszközök könyv szerinti értéke az amortizáció miatt folyamatosan csökken. Úgy tűnhet, hogy a beruházás egyre „hatékonyabban” használja fel a befektetett tőkét, pedig valójában semmi sem változott. Éppen ezért a könyv szerinti hozam értéke tulajdonosi szemszögből nem bír túl nagy gyakorlati jelentőséggel, legfeljebb a nagyobb vállalatok esetében, ahol egyre inkább kénytelenek vagyunk a számviteli adatokra építeni, mivel a vállalati folyamatok annyira szerteágazóakká válnak, hogy a közvetlen értékelés egyre kevésbé gazdaságos. A ROA, ROI az IRR mutató számviteli analógiája, de párhuzamba állítva a két mutató jelentését könnyen belátható az előbbi esetlegessége. A mutató döntési kritériumként (esetleg a menedzsment bérezési paramétereként) alkalmazása azonban az ún. „preferred early cash” problémához vezethet. A ROI (és változatai) szerint értékelt menedzsment abban érdekelt, hogy ha egy beruházást elindítanak, akkor minél előbb jelentős EBIT jelenjen meg. A ROI alapú projekt/üzletág értékelés tehát előbb-utóbb oda vezet, hogy a menedzsment előnyben fogja részesíteni a rövidtávon jelentős EBIT-et hozó projekteket – akár a magasabb NPV-s projektekkel szemben is. Jó példa erre a kisebb olajtársaságoknál jelentkező probléma: a menedzsment teljesítményét jellemzően a nagyobb társaságok beszámolóiból leolvasható ROI mutatóihoz mérik. Emiatt a menedzsment hajlamos a szénhidrogén lelőhelyeket „megtépni” (túl gyorsan megszivattyúzni), ami oda vezet, hogy a kutak csak a töredékét képesek adni ahhoz képest, mintha türelmesen, kisebb kitermelési mennyiségek mellett üzemeltették volna azokat. Bár a későbbi káros következmények ismertek, a tulajdonosi kört (az „egyszeri részvényeseket”) mindez nem foglalkoztatja: ők csak egy gyors összehasonlítási lehetőséget keresnek a menedzsment teljesítményére vonatkozóan. Mivel a kutak megtépése az állami adóbevételeket is jelentősen csökkenti ezért nemzetközi korlátozó szabályok is megjelentek a jelenség visszaszorítására. A nagyobb vállalatoknál egyébként ez a probléma kevésbé jelentkezik élesen, mivel ott egy-egy beruházás a teljes vállalati beruházási portfólióhoz képest elhanyagolható mértékű (a ROI nevezője nem változik meg jelentősen), így a vállalati/üzletág ROI mutatók egy-egy új beruházásra kevésbé érzékenyek. A befektetett tőke hozama (ROACE, return on average capital employed) az EBIT és a rövid lejáratú kötelezettségekkel csökkentett mérleg szerinti eszközök hányadosa.2 ROACE =

EBIT 34 (13.) = Average Total Assets − Average Current Liabilities [(11t −1 − 11t ) − (24 t −1 − 24 t )]/ 2

A mutató nevezője arra reflektál, hogy az éven belül esedékessé váló kötelezettségek (current liabilities) valójában nem részei a tényleges befektetett tőkének, így az ebből finanszírozott eszközök is csak ideiglenesen vannak jelen a könyvekben. Erre a mutatóra is érvényes, hogy változatlan éves teljesítmény mellett a mutató értéke évről évre automatikusan növekedhet. Az árbevétel arányos jövedelmezőség mutató (ROS, return on sales) egyfajta hatékonyságmutató, ami azt mutatja meg, hogy az árbevétel hány százalékát tudja a vállalat jövedelemmé konvertálni:

1 2

A mutatószámok esetében mindig érdemes tisztázni a számítás pontos módszerét, hiszen a mutatók definíciói nem standardizáltak. A ROCE az átlagolás nélküli év végi adatokra épül.

ROS =

EBIT 34 = Sales 27

(14.)

Az eszközarányos jövedelmezőség (ROE, return on equity) a saját tőkére (stockholders’ equity) eső adózott eredmény (net income, profit after tax). ROE =

Net Income 42 = Stockholde rs ' Equity 12

(15.)

Míg a ROA, ROI a saját tőke és a kötelezettségek összegére eső társasági adóval nem csökkentett jövedelmezőséget méri, addig a ROE a tulajdonosok által befektetett saját tőkére eső tulajdonosok számára elérhető jövedelmezőséget adja meg. Mivel azonban ez a mutató is könyv szerinti értékekre épül, így a tényleges részvényesi jövedelmezőségről (TSR, total shareholder return) nem sokat árul el, ezt inkább az alábbi mutatóval szokás megadni: TSH =

Average Price of a Share + Cash Dividend Beginning Price of a Share

(16.)

A részvények árfolyama (price per share) nagyon ritkán egyezik meg a könyv szerinti saját tőke egy részvényre eső értékével (book value per share), így a két mutató gyakran eltér egymástól. A részvények árfolyama egyébként a számviteli kimutatásokban nem jelenik meg kötelező jelleggel. Mindenesetre a két érték arányát (M/B, market to book ratio) gyakran használják arra, hogy a vállalatban rejlő beárazott növekedési lehetőségeket vagy az ún. mérlegen kívüli tételek (értékes szervezeti tudásbázis, potenciális komparatív előnyök, kimagasló vállalkozói képességek stb.) jelenlétét érzékeltessék. M /B =

Price per Share Book Value per Share

(17.)

Egy másik gyakran alkalmazott mutató a P/E (price to earnings), amit a részvények alul vagy felülárazottságának ökölszabályszerű megítélésére igyekeznek felhasználni: P/E =

Price per Share Earnings per Share

(18.)

A mutató értékelése az örökjáradék jelenértékének analógiájára épül. Ha az értéke meghaladja az iparági tőkeköltség reciprokát, akkor az a részvény pillanatnyi alulértékeltségét vagy információs aszimmetriát jelez. Ez a megközelítés azonban a feltételezések miatt meglehetősen esetleges, inkább arra alkalmas, hogy a kiugró értékek esetében felhívja a figyelmet egy alaposabb vizsgálat szükségességére. Végül a fenntartható növekedés mértéke (SGR, sustainable growth rate), azaz a részvények értékének fenntartható növekedése elsősorban akkor válik fontossá, ha a vállalat nem akar vagy nem tud újabb tulajdonosi tőkét bevonni, ugyanakkor a D/E arányon sem tud vagy akar jelentősebben változtatni. Ilyenkor a növekedés forrása kizárólag a visszaforgatott eredmény (retained earnings). SGR = ROE ∗ (1 − Dividend Payout Ratio − Share Repurchase Rate)

(19.)

Bár számos egyéb számviteli alapú mutatót lehet képezni a beszámoló soraiból, ezek pénzügyi relevanciája egyre elenyészőbb.

I.6. A jelenérték-számítás technikai alapjai

I.6.1. Alapfogalmak, alapjelölések Köznapi használatban hozam alatt általában a következőt értjük:

1+ r =

F1 F0

(20.)

ahol r a hozam általános jelölése, F0 a befektetett összeg (kiadás), F1 a visszakapott összeg (bevétel). A kifejezésben a 0 index a jelen időpillanatot szimbolizálja, míg az 1 index egy későbbi pillanatra (rendszerint egy évvel későbbre) utal. Az összefüggés oldalait 100-zal szorozva kapjuk a %-os formát. Ha tehát, F0 tőkét (principal) r éves kamat (interest) mellett növeljük egy éven (időszakon) át, akkor

F1 = F0 (1 + r )

(21.)

összeget kapunk. A többéves növekedés felírásakor jutunk el a kamatos kamatozás (compound interest) általános képletéhez:

FN = F0 (1 + r ) N

(22.)

ahol N az eltelt évek (időszakok, időegységek) száma. (N-nel mindig az utolsó időszakot jelöljük, míg n az időszak általános jelölése.) Egyelőre elégedjünk meg a fentebb bemutatott diszkrét kamatozással, azaz még egy darabig tételezzük azt fel, hogy a kamatozó alapösszeghez mindig csak diszkrét időpontokban (rendszerint az évek végén) „csapjuk hozzá” a kamatot. Szakszerűbben fogalmazva: csak az egyes időszakok végén tőkésítünk. (A folyamatos kamatozást kívánó esetekkel később foglalkozunk majd.) A következő alfejezetekben alaposabban is elsajátítjuk a jelenérték-számítás technikáit, és megismerkedünk az idekapcsolódó legfontosabb jelölésekkel is. I.6.2. Egyszeri pénzáramok Ahogy már korábban említettük, az egyszeri pénzáramok különböző időpontokra való átszámítása az alábbi két alapképlet alapján történik:

F = P(1 + r ) N P=

F (1 + r ) N

(23.)

Nem kell azonban még ezeket a számításokat sem elvégeznünk, mert a legfontosabb hatványkitevős tényezők (faktorok) táblázatos formában is rendelkezésünkre állnak (ld. jegyzet vége). Ezek használatához, illetve számításaink áttekinthetőségéhez az alábbi jelölésekkel és elnevezésekkel kell megismerkednünk: F = (1 + r ) N = ( F / P, r %, N ) jövőérték faktor (táblázat) P P 1 = = ( P / F , r %, N ) jelenérték faktor (táblázat) F (1 + r ) N

Nem sok szó esett eddig a „jövőértékről” (future value). Jövőértékről beszélünk, ha a projekt utolsó pénzáramának időpontjára számítunk át minden pénzáramot. (Jelölése: F)

F

1

2

3

4

N

P 9. ábra: Egyszeri pénzáramok.

Egyszerű példák: 1. Hány €-t kell 10%-os éves hozam mellett kamatoztatni, hogy öt év múlva az összeg 10000€ legyen? 2. Közelítően hány százalékos éves hozam mellett duplázódik, ill. triplázódik meg egy összeg 5 év alatt? Képlettel:

F F = (1 + r ) N , r = N − 1 P P Oldjuk meg táblázat használatával! 3. Hozzávetőleg hány év alatt tízszereződik meg egy összeg évi 15% mellett?1

I.6.3. Egyenletes pénzáram-sorozat (annuitás) Az annuitások (annuity) a legfontosabb jellegzetes pénzáram-sorozatok. Túl azon, hogy számos gyakorlati jellegű gazdasági jelenség közvetlen módon is modellezhető segítségükkel (bérleti díjak, lízing díjak, fix költségek stb.), több gazdasági elemző módszernek is az alapját adják (pl. a később tárgyalt éves egyenértékes módszernél). A

0

1

2

3

4

N

10. ábra: Egyenletes pénzáram-sorozat.

Alapképletei a következők: P=

A A A + + ... + (1 + r ) (1 + r ) 2 (1 + r ) N

⎡ (1 + r ) N − 1⎤ = A⎢ N ⎥ ⎣ r (1 + r ) ⎦

1

Az ún. 72-es ökölszabály szerint egy összeg megduplázódásának ideje években hozzávetőlegesen 72/r.

(24.)

⎡ (1 + r ) N − 1⎤ F = A⎢ ⎥ r ⎣ ⎦

(25.)

⎡ r (1 + r ) N ⎤ A = P⎢ ⎥ N ⎣ (1 + r ) − 1⎦

(26.)

⎡ ⎤ r A = F⎢ ⎥ N ( 1 + r ) − 1 ⎣ ⎦

(27.)

Nem kell persze ezeket az összefüggéseket sem megtanulnunk, és ezekkel számolnunk sem, mert ebben az esetben is használhatjuk jegyzet végi táblázatainkat. Ismernünk kell azonban itt is a legfontosabb jelöléseket: P = ( P / A, r %, N ) annuitás jelenérték faktor (táblázat) A F = ( F / A, r %, N ) annuitás jövőérték faktor (táblázat) A A . = ( A / P, r %, N ) törlesztési faktor (táblázat) P A = ( A / F , r %, N ) előtakarékossági faktor (táblázat) . F

Egyszerű példák: 1. Határozzuk meg 10 éven keresztüli évi 1000€ jelenértékét és jövőértékét! (r=10%)

2. Mekkora évenkénti egyenlő összegeket szükséges 12%-os éves hozamok mellett félretenni, hogy 20 év múlva 1000000€ legyen? Mekkora ennek a jelenértéke?

3. Hányszor annyi vagyonunk lesz 20 év múlva akkor, ha 15% hozammal kamatoztatjuk évenkénti egyenlő ütemben keresett vagyonunkat annál, mint ha egyáltalán nem kamatoztatnánk azt?

4. Ha 12 év alatt évi 420€ 7813,52€-ra növekedett, mennyi volt az éves kamat? I.6.4. Örökjáradék Az örökjáradék (perpetuity) az egyenletes pénzáram-sorozat olyan speciális formája, ahol N végtelen. A

0

1

2

3

4

11. ábra: Örökjáradék.

Alapképlete igen egyszerű alakig vezethető: P=

A A A + + ... = (1 + r ) (1 + r ) 2 r

(28.)

Egyszerű példa: 1. Mennyit ér évi 1000€ örökjáradék, ha r=10%? I.6.5. Lineárisan növekedő pénzáram-sorozat A lineárisan növekedő pénzáram-sorozatok egyes pénzáramai a következő egyszerű összefüggés szerint számíthatók: Fn = (n −1)G, n ≥ 1

(29.)

(N-1)G (N-2)G 2G

3G

G 1

2

3

4

N

P

12. ábra: Lineárisan növekedő pénzáram-sorozat.

Ennek a pénzáram-sorozat típusnak csak a legegyszerűbb általános képletét írjuk fel: ⎡ (1 + r ) N − rN − 1⎤ P = G⎢ ⎥ 2 N ⎣ r (1 + r ) ⎦

(30.)

Természetesen itt is jegyzetvégi táblázatainkat használjuk majd példamegoldásaink során, bár csak két nevezetes faktort szokás megadni, és a többit ezekből származtatni. A jelenérték faktor mellett, a lineárisan növekedő és az egyenletes pénzáram-sorozatok közötti átszámítás faktorát adjuk meg: P = ( P / G, r %, N ) lineáris növekedés jelenérték faktor (táblázat) G A = ( A / G, r %, N ) lineáris növekedés annuitás faktor (táblázat) . G

Egyszerű példák: 1. Mennyi a jelenértéke a következő pénzáram-sorozatnak: F0 = 0, F1 = 1000€, F2 = 1300€, F3 = 1600€, F4 = 1900€, F5 = 2200€ és F6 = 2500€

2. Mekkora éves pénzárammal rendelkező egyenletes pénzáram-sorozat (N=6) ekvivalens az előző példa pénzáram-sorozatával?

3. Mennyi a jelenértéke a következő pénzáram-sorozatnak? F0 = 0, F1 = 1200€, F2 = 1000€, F3 = 800€, F4 = 600€ és F5 = 400€

I.6.6. Exponenciálisan növekedő pénzáram-sorozat Az exponenciálisan (vagy másképpen: geometrikusan) növekedő pénzáram-sorozatok általános pénzárama a következő képlet alapján kapható meg:

Fn = F1 (1 + g )n−1

(31.)

F1(1+g)N-1 F1(1+g)N-2 F1(1+g)3 F1(1+g)2 F1(1+g)

F1 0

1

2

3

4

N-1 N

13. ábra: Exponenciálisan növekedő pénzáram-sorozat.

Erre az esetre táblázatos megoldást nem kínálunk, így szükség esetén kénytelenek vagyunk az általános képletet használni: ⎧ ⎡1 − (1 − g ) N (1 + r ) − N ⎤ ⎫ ⎪⎪ F1 ⎢ ⎥ ha r ≠ g ⎪⎪ r−g ⎦ P=⎨ ⎣ ⎬ NF ⎪ 1 ha r = g ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ 1+ r

(32.)

I.6.7. (Exponenciálisan) növekvő tagú örökjáradék Az exponenciálisan növekedő tagú örökjáradék (growth annuity) jelenértéke – hasonlóan a „sima” örökjáradékhoz – igen egyszerű alakká vezethető le:

P=

F1 , ha r > g r−g

(33.)

Jól láthatóan a „sima” örökjáradék P = A/r alakja köszön vissza annyi módosulással, hogy az időérték miatti r ütemű csökkenésből le kell vonnunk a pénzáramok g ütemű növekedését. F1(1+g)n-1 F1(1+g)n-2 F1(1+g)3 F1(1+g)2 F1(1+g)

F1 0

1

2

3

4

n-1 n

14. ábra: Exponenciálisan növekedő tagú örökjáradék.

Egyszerű példa: 1. Mekkora a jelenérték, feltételezve, hogy az első évben elért 1000€ nettó pénzáramunk a végtelenségig növekszik évi 10%-kal, mialatt r = 15%?

I.6.8. Havi és folyamatos tőkésítés Mindeddig éltünk azzal a konvencióval, hogy minden évközi pénzáramot az év végére összegeztünk. Legtöbbször szükségtelen ennél pontosabb diszkontálási módszereket alkalmazni, hiszen a kerekítés vagy a pénzáramok teljesülésének vélhető becslési hibái ismeretében ezzel inkább ártanánk. Kivételes esetekben mégis szükség lehet a pontosabb becslésekre, ezért az éves ritmustól eltérő esetekkel is kiegészítjük ez irányú tanulmányainkat. Általános szabálynak mondhatjuk, hogy r százalékos évi kamatláb m-szeri éven belüli kamatfizetése esetén a következő effektív (tényleges) éves kamatot kapjuk: m

r⎤ ⎡ reff = ⎢1 + ⎥ − 1 ⎣ m⎦

(34.)

Talán érdemes külön is kiemelni, hogy a fenti képlet alapján amikor pl. havi kamat-, illetve törlesztésfizetéssel számolhatunk, akkor az éves kamatok helyett havi kamatozást tételezünk fel. Észrevehetjük, hogy a fenti képlet illetve számítás semmi különbséget nem ad a korábban már megszokotthoz képest, csupán az időegység, illetve az időegységre eső kamatnagyság kifejezése más. (Nem azt mondjuk tehát, hogy havi 0,83% kamat, hanem azt, hogy évi 10% havi tőkésítés mellett.) Ezek alapján, mivel a tőkeköltség alatt rendszerint éves kamatokat értünk, a jelenérték számítás a következőképpen alakul: P=

Fm r⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠

(35.) m

ahol m a mai időponttól számított hónapok száma. Ha a tőkésítési időszakokat tovább pontosítjuk, akkor végül folyamatos kamatozással érdemes számolni, ahol i az eltelt napok és az év napjai számának hányadosa.1

P=

Fn e ri

(36.)

Egyszerű példák: 1. Havi kamatozás (tőkésítés) esetén mekkora valós kamatnak felel meg a 10% éves kamat? 2. Érdemes-e 100 forintot fizetni egy másfél év múlva 117 forintot fizető kockázatmentes befektetésért, ha a bankunkban 10% kamatért köthetjük le pénzünket? I.6.9. Harmonikus jelenérték Egyszerű példa: 1. Egy projekt 20 éven keresztül minden évben összesen 100€ összegű pénzáramot termel. (r=25%) Mekkora a projekt jelenértéke periódusvégi és harmonikus konvencióval?

1

Megjegyzendő, hogy általános esetben az eltelt tényleges napok számával és 365 napos évvel kell kalkulálni, azonban pl. a bankok elszámolásaikban az ún. pénzpiaci bázissal, azaz tényleges napok/360 nappal, míg a tőkepiaci befektetések esetében pedig az ún. tőkepiaci bázissal, azaz 30/360 nappal számítják a havi kamatokat.

r=3% Single

Uniform

Gradient

Egyszeri

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1

1.030

0.971

0.971

1.030

1.000

1.000

0.000

0.000

0.000

2 3

1.061 1.093

0.943 0.915

1.913 2.829

0.523 0.354

2.030 3.091

0.493 0.324

0.493 0.980

0.943 2.773

1.000 3.030

4

1.126

0.888

3.717

0.269

4.184

0.239

1.463

5.438

6.121

5 6

1.159 1.194

0.863 0.837

4.580 5.417

0.218 0.185

5.309 6.468

0.188 0.155

1.941 2.414

8.889 13.076

10.305 15.614

7 8

1.230 1.267

0.813 0.789

6.230 7.020

0.161 0.142

7.662 8.892

0.131 0.112

2.882 3.345

17.955 23.481

22.082 29.745

9 10

1.305 1.344

0.766 0.744

7.786 8.530

0.128 0.117

10.159 11.464

0.098 0.087

3.803 4.256

29.612 36.309

38.637 48.796

11 12

1.384 1.426

0.722 0.701

9.253 9.954

0.108 0.100

12.808 14.192

0.078 0.070

4.705 5.148

43.533 51.248

60.260 73.068

13

1.469

0.681

10.635

0.094

15.618

0.064

5.587

59.420

87.260

14 15

1.513 1.558

0.661 0.642

11.296 11.938

0.089 0.084

17.086 18.599

0.059 0.054

6.021 6.450

68.014 77.000

102.877 119.964

16 17

1.605 1.653

0.623 0.605

12.561 13.166

0.080 0.076

20.157 21.762

0.050 0.046

6.874 7.294

86.348 96.028

138.563 158.720

18 19

1.702 1.754

0.587 0.570

13.754 14.324

0.073 0.070

23.414 25.117

0.043 0.040

7.708 8.118

106.014 116.279

180.481 203.896

20 21

1.806 1.860

0.554 0.538

14.877 15.415

0.067 0.065

26.870 28.676

0.037 0.035

8.523 8.923

126.799 137.550

229.012 255.883

22

1.916

0.522

15.937

0.063

30.537

0.033

9.319

148.509

284.559

23 24

1.974 2.033

0.507 0.492

16.444 16.936

0.061 0.059

32.453 34.426

0.031 0.029

9.709 10.095

159.657 170.971

315.096 347.549

25

2.094

0.478

17.413

0.057

36.459

0.027

10.477

182.434

381.975

r=4% Single

Uniform

Egyszeri

Gradient

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1

1.040

0.962

0.962

1.040

1.000

1.000

0.000

0.000

0.000

2 3

1.082 1.125

0.925 0.889

1.886 2.775

0.530 0.360

2.040 3.122

0.490 0.320

0.490 0.974

0.925 2.703

1.000 3.040

4 5

1.170 1.217

0.855 0.822

3.630 4.452

0.275 0.225

4.246 5.416

0.235 0.185

1.451 1.922

5.267 8.555

6.162 10.408

6 7

1.265 1.316

0.790 0.760

5.242 6.002

0.191 0.167

6.633 7.898

0.151 0.127

2.386 2.843

12.506 17.066

15.824 22.457

8 9

1.369 1.423

0.731 0.703

6.733 7.435

0.149 0.134

9.214 10.583

0.109 0.094

3.294 3.739

22.181 27.801

30.356 39.570

10

1.480

0.676

8.111

0.123

12.006

0.083

4.177

33.881

50.153

11 12

1.539 1.601

0.650 0.625

8.760 9.385

0.114 0.107

13.486 15.026

0.074 0.067

4.609 5.034

40.377 47.248

62.159 75.645

13 14

1.665 1.732

0.601 0.577

9.986 10.563

0.100 0.095

16.627 18.292

0.060 0.055

5.453 5.866

54.455 61.962

90.671 107.298

15 16

1.801 1.873

0.555 0.534

11.118 11.652

0.090 0.086

20.024 21.825

0.050 0.046

6.272 6.672

69.735 77.744

125.590 145.613

17

1.948

0.513

12.166

0.082

23.698

0.042

7.066

85.958

167.438

18 19

2.026 2.107

0.494 0.475

12.659 13.134

0.079 0.076

25.645 27.671

0.039 0.036

7.453 7.834

94.350 102.893

191.135 216.781

20 21

2.191 2.279

0.456 0.439

13.590 14.029

0.074 0.071

29.778 31.969

0.034 0.031

8.209 8.578

111.565 120.341

244.452 274.230

22 23

2.370 2.465

0.422 0.406

14.451 14.857

0.069 0.067

34.248 36.618

0.029 0.027

8.941 9.297

129.202 138.128

306.199 340.447

24

2.563

0.390

15.247

0.066

39.083

0.026

9.648

147.101

377.065

25

2.666

0.375

15.622

0.064

41.646

0.024

9.993

156.104

416.148

r=6% Single

Uniform

Gradient

Egyszeri

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1

1.060

0.943

0.943

1.060

1.000

1.000

0.000

0.000

0.000

2 3

1.124 1.191

0.890 0.840

1.833 2.673

0.545 0.374

2.060 3.184

0.485 0.314

0.485 0.961

0.890 2.569

1.000 3.060

4

1.262

0.792

3.465

0.289

4.375

0.229

1.427

4.946

6.244

5 6

1.338 1.419

0.747 0.705

4.212 4.917

0.237 0.203

5.637 6.975

0.177 0.143

1.884 2.330

7.935 11.459

10.618 16.255

7 8

1.504 1.594

0.665 0.627

5.582 6.210

0.179 0.161

8.394 9.897

0.119 0.101

2.768 3.195

15.450 19.842

23.231 31.624

9 10

1.689 1.791

0.592 0.558

6.802 7.360

0.147 0.136

11.491 13.181

0.087 0.076

3.613 4.022

24.577 29.602

41.522 53.013

11 12

1.898 2.012

0.527 0.497

7.887 8.384

0.127 0.119

14.972 16.870

0.067 0.059

4.421 4.811

34.870 40.337

66.194 81.166

13

2.133

0.469

8.853

0.113

18.882

0.053

5.192

45.963

98.036

14 15

2.261 2.397

0.442 0.417

9.295 9.712

0.108 0.103

21.015 23.276

0.048 0.043

5.564 5.926

51.713 57.555

116.918 137.933

16 17

2.540 2.693

0.394 0.371

10.106 10.477

0.099 0.095

25.673 28.213

0.039 0.035

6.279 6.624

63.459 69.401

161.209 186.881

18 19

2.854 3.026

0.350 0.331

10.828 11.158

0.092 0.090

30.906 33.760

0.032 0.030

6.960 7.287

75.357 81.306

215.094 246.000

20

3.207

0.312

11.470

0.087

36.786

0.027

7.605

87.230

279.760

21 22

3.400 3.604

0.294 0.278

11.764 12.042

0.085 0.083

39.993 43.392

0.025 0.023

7.915 8.217

93.114 98.941

316.545 356.538

23 24

3.820 4.049

0.262 0.247

12.303 12.550

0.081 0.080

46.996 50.816

0.021 0.020

8.510 8.795

104.701 110.381

399.930 446.926

25

4.292

0.233

12.783

0.078

54.865

0.018

9.072

115.973

497.742

r=8% Single

Uniform

Gradient

Egyszeri

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1

1.080

0.926

0.926

1.080

1.000

1.000

0.000

0.000

0.000

2 3

1.166 1.260

0.857 0.794

1.783 2.577

0.561 0.388

2.080 3.246

0.481 0.308

0.481 0.949

0.857 2.445

1.000 3.080

4 5

1.360 1.469

0.735 0.681

3.312 3.993

0.302 0.250

4.506 5.867

0.222 0.170

1.404 1.846

4.650 7.372

6.326 10.833

6 7

1.587 1.714

0.630 0.583

4.623 5.206

0.216 0.192

7.336 8.923

0.136 0.112

2.276 2.694

10.523 14.024

16.699 24.035

8

1.851

0.540

5.747

0.174

10.637

0.094

3.099

17.806

32.958

9 10

1.999 2.159

0.500 0.463

6.247 6.710

0.160 0.149

12.488 14.487

0.080 0.069

3.491 3.871

21.808 25.977

43.594 56.082

11 12

2.332 2.518

0.429 0.397

7.139 7.536

0.140 0.133

16.645 18.977

0.060 0.053

4.240 4.596

30.266 34.634

70.569 87.214

13 14

2.720 2.937

0.368 0.340

7.904 8.244

0.127 0.121

21.495 24.215

0.047 0.041

4.940 5.273

39.046 43.472

106.191 127.687

15 16

3.172 3.426

0.315 0.292

8.559 8.851

0.117 0.113

27.152 30.324

0.037 0.033

5.594 5.905

47.886 52.264

151.901 179.054

17

3.700

0.270

9.122

0.110

33.750

0.030

6.204

56.588

209.378

18 19

3.996 4.316

0.250 0.232

9.372 9.604

0.107 0.104

37.450 41.446

0.027 0.024

6.492 6.770

60.843 65.013

243.128 280.578

20 21

4.661 5.034

0.215 0.199

9.818 10.017

0.102 0.100

45.762 50.423

0.022 0.020

7.037 7.294

69.090 73.063

322.025 367.787

22 23

5.437 5.871

0.184 0.170

10.201 10.371

0.098 0.096

55.457 60.893

0.018 0.016

7.541 7.779

76.926 80.673

418.209 473.666

24

6.341

0.158

10.529

0.095

66.765

0.015

8.007

84.300

534.559

25

6.848

0.146

10.675

0.094

73.106

0.014

8.225

87.804

601.324

r=10% Single

Uniform

Gradient

Egyszeri

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1 2

1.100 1.210

0.909 0.826

0.909 1.736

1.100 0.576

1.000 2.100

1.000 0.476

0.000 0.476

0.000 0.826

0.000 1.000

3

1.331

0.751

2.487

0.402

3.310

0.302

0.937

2.329

3.100

4 5

1.464 1.611

0.683 0.621

3.170 3.791

0.315 0.264

4.641 6.105

0.215 0.164

1.381 1.810

4.378 6.862

6.410 11.051

6 7

1.772 1.949

0.564 0.513

4.355 4.868

0.230 0.205

7.716 9.487

0.130 0.105

2.224 2.622

9.684 12.763

17.156 24.872

8 9

2.144 2.358

0.467 0.424

5.335 5.759

0.187 0.174

11.436 13.579

0.087 0.074

3.004 3.372

16.029 19.421

34.359 45.795

10 11

2.594 2.853

0.386 0.350

6.145 6.495

0.163 0.154

15.937 18.531

0.063 0.054

3.725 4.064

22.891 26.396

59.374 75.312

12

3.138

0.319

6.814

0.147

21.384

0.047

4.388

29.901

93.843

13 14

3.452 3.797

0.290 0.263

7.103 7.367

0.141 0.136

24.523 27.975

0.041 0.036

4.699 4.996

33.377 36.800

115.227 139.750

15 16

4.177 4.595

0.239 0.218

7.606 7.824

0.131 0.128

31.772 35.950

0.031 0.028

5.279 5.549

40.152 43.416

167.725 199.497

17 18

5.054 5.560

0.198 0.180

8.022 8.201

0.125 0.122

40.545 45.599

0.025 0.022

5.807 6.053

46.582 49.640

235.447 275.992

19 20

6.116 6.727

0.164 0.149

8.365 8.514

0.120 0.117

51.159 57.275

0.020 0.017

6.286 6.508

52.583 55.407

321.591 372.750

21

7.400

0.135

8.649

0.116

64.002

0.016

6.719

58.110

430.025

22 23

8.140 8.954

0.123 0.112

8.772 8.883

0.114 0.113

71.403 79.543

0.014 0.013

6.919 7.108

60.689 63.146

494.027 565.430

24 25

9.850 10.835

0.102 0.092

8.985 9.077

0.111 0.110

88.497 98.347

0.011 0.010

7.288 7.458

65.481 67.696

644.973 733.471

r=12% Single

Uniform

Gradient

Egyszeri

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1 2

1.120 1.254

0.893 0.797

0.893 1.690

1.120 0.592

1.000 2.120

1.000 0.472

0.000 0.472

0.000 0.797

0.000 1.000

3 4

1.405 1.574

0.712 0.636

2.402 3.037

0.416 0.329

3.374 4.779

0.296 0.209

0.925 1.359

2.221 4.127

3.120 6.494

5 6

1.762 1.974

0.567 0.507

3.605 4.111

0.277 0.243

6.353 8.115

0.157 0.123

1.775 2.172

6.397 8.930

11.274 17.627

7 8

2.211 2.476

0.452 0.404

4.564 4.968

0.219 0.201

10.089 12.300

0.099 0.081

2.551 2.913

11.644 14.471

25.742 35.831

9

2.773

0.361

5.328

0.188

14.776

0.068

3.257

17.356

48.130

10 11

3.106 3.479

0.322 0.287

5.650 5.938

0.177 0.168

17.549 20.655

0.057 0.048

3.585 3.895

20.254 23.129

62.906 80.455

12 13

3.896 4.363

0.257 0.229

6.194 6.424

0.161 0.156

24.133 28.029

0.041 0.036

4.190 4.468

25.952 28.702

101.109 125.243

14

4.887

0.205

6.628

0.151

32.393

0.031

4.732

31.362

153.272

15 16

5.474 6.130

0.183 0.163

6.811 6.974

0.147 0.143

37.280 42.753

0.027 0.023

4.980 5.215

33.920 36.367

185.664 222.944

17 18

6.866 7.690

0.146 0.130

7.120 7.250

0.140 0.138

48.884 55.750

0.020 0.018

5.435 5.643

38.697 40.908

265.697 314.581

19 20

8.613 9.646

0.116 0.104

7.366 7.469

0.136 0.134

63.440 72.052

0.016 0.014

5.838 6.020

42.998 44.968

370.331 433.770

21 22

10.804 12.100

0.093 0.083

7.562 7.645

0.132 0.131

81.699 92.503

0.012 0.011

6.191 6.351

46.819 48.554

505.823 587.522

23

13.552

0.074

7.718

0.130

104.603

0.010

6.501

50.178

680.024

24 25

15.179 17.000

0.066 0.059

7.784 7.843

0.128 0.127

118.155 133.334

0.008 0.007

6.641 6.771

51.693 53.105

784.627 902.782

r=15% Single

Uniform

Gradient

Egyszeri

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1 2

1.150 1.323

0.870 0.756

0.870 1.626

1.150 0.615

1.000 2.150

1.000 0.465

0.000 0.465

0.000 0.756

0.000 1.000

3

1.521

0.658

2.283

0.438

3.473

0.288

0.907

2.071

3.150

4 5

1.749 2.011

0.572 0.497

2.855 3.352

0.350 0.298

4.993 6.742

0.200 0.148

1.326 1.723

3.786 5.775

6.622 11.616

6 7

2.313 2.660

0.432 0.376

3.784 4.160

0.264 0.240

8.754 11.067

0.114 0.090

2.097 2.450

7.937 10.192

18.358 27.112

8 9

3.059 3.518

0.327 0.284

4.487 4.772

0.223 0.210

13.727 16.786

0.073 0.060

2.781 3.092

12.481 14.755

38.179 51.906

10

4.046

0.247

5.019

0.199

20.304

0.049

3.383

16.979

68.691

11 12

4.652 5.350

0.215 0.187

5.234 5.421

0.191 0.184

24.349 29.002

0.041 0.034

3.655 3.908

19.129 21.185

88.995 113.344

13 14

6.153 7.076

0.163 0.141

5.583 5.724

0.179 0.175

34.352 40.505

0.029 0.025

4.144 4.362

23.135 24.972

142.346 176.698

15 16

8.137 9.358

0.123 0.107

5.847 5.954

0.171 0.168

47.580 55.717

0.021 0.018

4.565 4.752

26.693 28.296

217.203 264.783

17 18

10.761 12.375

0.093 0.081

6.047 6.128

0.165 0.163

65.075 75.836

0.015 0.013

4.925 5.084

29.783 31.156

320.501 385.576

19

14.232

0.070

6.198

0.161

88.212

0.011

5.231

32.421

461.412

20 21

16.367 18.822

0.061 0.053

6.259 6.312

0.160 0.158

102.444 118.810

0.010 0.008

5.365 5.488

33.582 34.645

549.624 652.067

22 23

21.645 24.891

0.046 0.040

6.359 6.399

0.157 0.156

137.632 159.276

0.007 0.006

5.601 5.704

35.615 36.499

770.878 908.509

24 25

28.625 32.919

0.035 0.030

6.434 6.464

0.155 0.155

184.168 212.793

0.005 0.005

5.798 5.883

37.302 38.031

1067.786 1251.953

r=18% Single

Uniform

Gradient

Egyszeri

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1 2

1.180 1.392

0.847 0.718

0.847 1.566

1.180 0.639

1.000 2.180

1.000 0.459

0.000 0.459

0.000 0.718

0.000 1.000

3 4

1.643 1.939

0.609 0.516

2.174 2.690

0.460 0.372

3.572 5.215

0.280 0.192

0.890 1.295

1.935 3.483

3.180 6.752

5

2.288

0.437

3.127

0.320

7.154

0.140

1.673

5.231

11.968

6 7

2.700 3.185

0.370 0.314

3.498 3.812

0.286 0.262

9.442 12.142

0.106 0.082

2.025 2.353

7.083 8.967

19.122 28.564

8 9

3.759 4.435

0.266 0.225

4.078 4.303

0.245 0.232

15.327 19.086

0.065 0.052

2.656 2.936

10.829 12.633

40.706 56.033

10 11

5.234 6.176

0.191 0.162

4.494 4.656

0.223 0.215

23.521 28.755

0.043 0.035

3.194 3.430

14.352 15.972

75.118 98.640

12 13

7.288 8.599

0.137 0.116

4.793 4.910

0.209 0.204

34.931 42.219

0.029 0.024

3.647 3.845

17.481 18.877

127.395 162.326

14

10.147

0.099

5.008

0.200

50.818

0.020

4.025

20.158

204.545

15 16

11.974 14.129

0.084 0.071

5.092 5.162

0.196 0.194

60.965 72.939

0.016 0.014

4.189 4.337

21.327 22.389

255.363 316.328

17 18

16.672 19.673

0.060 0.051

5.222 5.273

0.191 0.190

87.068 103.740

0.011 0.010

4.471 4.592

23.348 24.212

389.267 476.335

19 20

23.214 27.393

0.043 0.037

5.316 5.353

0.188 0.187

123.414 146.628

0.008 0.007

4.700 4.798

24.988 25.681

580.075 703.489

21

32.324

0.031

5.384

0.186

174.021

0.006

4.885

26.300

850.117

22 23

38.142 45.008

0.026 0.022

5.410 5.432

0.185 0.184

206.345 244.487

0.005 0.004

4.963 5.033

26.851 27.339

1024.138 1230.482

24 25

53.109 62.669

0.019 0.016

5.451 5.467

0.183 0.183

289.494 342.603

0.003 0.003

5.095 5.150

27.772 28.155

1474.969 1764.464

r=20% Single

Uniform

Gradient

Egyszeri

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1

1.200

0.833

0.833

1.200

1.000

1.000

0.000

0.000

0.000

2 3

1.440 1.728

0.694 0.579

1.528 2.106

0.655 0.475

2.200 3.640

0.455 0.275

0.455 0.879

0.694 1.852

1.000 3.200

4

2.074

0.482

2.589

0.386

5.368

0.186

1.274

3.299

6.840

5 6

2.488 2.986

0.402 0.335

2.991 3.326

0.334 0.301

7.442 9.930

0.134 0.101

1.641 1.979

4.906 6.581

12.208 19.650

7 8

3.583 4.300

0.279 0.233

3.605 3.837

0.277 0.261

12.916 16.499

0.077 0.061

2.290 2.576

8.255 9.883

29.580 42.495

9 10

5.160 6.192

0.194 0.162

4.031 4.192

0.248 0.239

20.799 25.959

0.048 0.039

2.836 3.074

11.434 12.887

58.995 79.793

11

7.430

0.135

4.327

0.231

32.150

0.031

3.289

14.233

105.752

12 13

8.916 10.699

0.112 0.093

4.439 4.533

0.225 0.221

39.581 48.497

0.025 0.021

3.484 3.660

15.467 16.588

137.903 177.483

14 15

12.839 15.407

0.078 0.065

4.611 4.675

0.217 0.214

59.196 72.035

0.017 0.014

3.817 3.959

17.601 18.509

225.980 285.176

16 17

18.488 22.186

0.054 0.045

4.730 4.775

0.211 0.209

87.442 105.931

0.011 0.009

4.085 4.198

19.321 20.042

357.211 444.653

18 19

26.623 31.948

0.038 0.031

4.812 4.843

0.208 0.206

128.117 154.740

0.008 0.006

4.298 4.386

20.680 21.244

550.583 678.700

20

38.338

0.026

4.870

0.205

186.688

0.005

4.464

21.739

833.440

21 22

46.005 55.206

0.022 0.018

4.891 4.909

0.204 0.204

225.026 271.031

0.004 0.004

4.533 4.594

22.174 22.555

1020.128 1245.154

23 24

66.247 79.497

0.015 0.013

4.925 4.937

0.203 0.203

326.237 392.484

0.003 0.003

4.647 4.694

22.887 23.176

1516.184 1842.421

25

95.396

0.010

4.948

0.202

471.981

0.002

4.735

23.428

2234.905

r=25% Single

Uniform

Gradient

Egyszeri

Egyenletes

Lineárisan növekvő

N

F/P

P/F

P/A

A/P

F/A

A/F

A/G

P/G

F/G

1

1.250

0.800

0.800

1.250

1.000

1.000

0.000

0.000

0.000

2 3

1.563 1.953

0.640 0.512

1.440 1.952

0.694 0.512

2.250 3.813

0.444 0.262

0.444 0.852

0.640 1.664

1.000 3.250

4 5

2.441 3.052

0.410 0.328

2.362 2.689

0.423 0.372

5.766 8.207

0.173 0.122

1.225 1.563

2.893 4.204

7.063 12.828

6 7

3.815 4.768

0.262 0.210

2.951 3.161

0.339 0.316

11.259 15.073

0.089 0.066

1.868 2.142

5.514 6.773

21.035 32.294

8

5.960

0.168

3.329

0.300

19.842

0.050

2.387

7.947

47.367

9 10

7.451 9.313

0.134 0.107

3.463 3.571

0.289 0.280

25.802 33.253

0.039 0.030

2.605 2.797

9.021 9.987

67.209 93.012

11 12

11.642 14.552

0.086 0.069

3.656 3.725

0.273 0.268

42.566 54.208

0.023 0.018

2.966 3.115

10.846 11.602

126.265 168.831

13 14

18.190 22.737

0.055 0.044

3.780 3.824

0.265 0.262

68.760 86.949

0.015 0.012

3.244 3.356

12.262 12.833

223.038 291.798

15

28.422

0.035

3.859

0.259

109.687

0.009

3.453

13.326

378.747

16 17

35.527 44.409

0.028 0.023

3.887 3.910

0.257 0.256

138.109 173.636

0.007 0.006

3.537 3.608

13.748 14.108

488.434 626.543

18 19

55.511 69.389

0.018 0.014

3.928 3.942

0.255 0.254

218.045 273.556

0.005 0.004

3.670 3.722

14.415 14.674

800.178 1018.223

20 21

86.736 108.420

0.012 0.009

3.954 3.963

0.253 0.252

342.945 429.681

0.003 0.002

3.767 3.805

14.893 15.078

1291.779 1634.723

22

135.525

0.007

3.970

0.252

538.101

0.002

3.836

15.233

2064.404

23 24

169.407 211.758

0.006 0.005

3.976 3.981

0.251 0.251

673.626 843.033

0.001 0.001

3.863 3.886

15.362 15.471

2602.505 3276.132

25

264.698

0.004

3.985

0.251

1054.791

0.001

3.905

15.562

4119.165

Irodalmi hivatkozások, utalások

i

Forrás: Brealey - Myers: Modern vállalati pénzügyek I-II. Panem McGraw-Hill, Budapest, 1996. ii Forrás: Brealey - Myers: Modern vállalati pénzügyek I-II. Panem McGraw-Hill, Budapest, 1996.