Prˇ edna´sˇka 5
Termodynamika idea´lnı´ho plynu 5.1 Za´kladnı´ vztahy pro idea´lnı´ plyn 5.1.1 Vnitrˇ nı´ energie idea´lnı´ho plynu Aplikujme nynı´ poznatky zı´skane´ v prˇedchozı´m textu na nejjednoduzˇ sˇ´ı termodynamickou soustavu – idea´lnı´ plyn. Mezi vlastnostmi idea´lnı´ho plynu, ktere´ se uva´deˇ jı´ v kineticke´ teorii je, zˇ e molekuly idea´lnı´ho plynu na sebe navza´jem siloveˇ nepu˚ sobı´, kromeˇ nekonecˇ neˇ kra´tky´ch okamzˇ iku˚ vza´jemny´ch sra´zˇ ek. Je–li silove´ pu˚ sobenı´ mezi molekulami idea´lnı´ho plynu prˇi libovolne´ vzda´lenosti molekul nulove´ (kromeˇ sra´zˇ ek), pak take´ celkova´ potencia´lnı´ energie molekul plynu bude nulova´, bez ohledu na to v jake´m objemu je plyn uzavrˇen. Vnitrˇnı´ energie idea´lnı´ho plynu tedy nebude za´viset na jeho objemu, ale pouze na teploteˇ , ktera´ jak uvidı´me pozdeˇ ji souvisı´ s kinetickou energiı´ molekul plynu. Protozˇ e k tomuto za´veru nelze dojı´t cˇ isteˇ termodynamicky´mi u´vahami, zava´dı´ se v termodynamice na´sledujı´cı´ definice idea´lnı´ho plynu: Definice 17 (Termodynamicka´ definice idea´lnı´ho plynu) Vnitrˇ nı´ energie idea´lnı´ho plynu je pouze funkcı´ teploty U=U(T) a neza´visı´ na objemu plynu. Du˚ lezˇ ity´ du˚ sledek te´to definice, ktery´ budeme da´le cˇ asto pouzˇ´ıvat lze shrnout do na´sledujı´cı´ veˇ ty:
5–1
Michal Varady
Prˇ edna´sˇ ka 5: Termodynamika idea´lnı´ho plynu
Veˇ ta 5 Prˇ i libovolne´m termodynamicke´m deˇ ji lze pro zmeˇ nu vnitrˇ nı´ energie idea´lnı´ho plynu v souladu s rovnicı´ (4.6) a definicı´ mola´rnı´ tepelne´ kapacity psa´t: !(2) ∆U = cvm n dT = cvm n∆T = cvm n(T2 − T1 )
[J] ,
(5.1)
(1)
kde cvm je mola´rnı´ tepelna´ kapacita plynu prˇ i konstantnı´m tlaku, n je la´tkove´ mnozˇ stvı´ plynu a T1 , T2 jsou teploty na zacˇ a´tku a konci uvazˇ ovane´ho termodynamicke´ho deˇ je. Pozna´mka: Hodnota hodnota vnitrˇnı´ energie soustavy U v dane´m stavu nema´ velky´ prakticky´ vy´znam, protozˇ e prˇi prakticky´ch aplikacı´ch je du˚ lezˇ ity´ pouze prˇ´ıru˚ stek nebo u´bytek vnitrˇnı´ energie soustavy ∆U .
5.1.2 Stavova´ rovnice idea´lnı´ho plynu Protozˇ e termodynamika neumı´ urcˇ it stavovou rovnici idea´lnı´ho plynu, uvedeme ji zde zatı´m bez odvozenı´, ktere´ necha´me do kapitoly veˇ novane´ kineticke´ teorii. Bez kineticke´ teorie bychom museli stavou rovnici idea´lnı´ho plynu urcˇ it experimenta´lneˇ . Stavovou rovnicı´ idea´lnı´ho plynu nazy´va´me na´sledujı´cı´ du˚ lezˇ ity´ vztah: pV = nRT
⇐⇒
p1 V1 p2 V2 pK VK = = ... = Rn T1 T2 TK
,
(5.2)
kde p je tlak, V objem, T teplota a n la´tkove´ mnozˇ stvı´ plynu. R je mola´rnı´ plynova´ konstanta, ktera´ je pro vsˇ echny plyny stejna´ a je R = 8, 314Jmol−1 K −1
.
Vztah na prave´ straneˇ (5.2) vyjadrˇuje, zˇ e beˇ hem libovolne´ho vratne´ho termodynamicke´ho deˇ je musı´ by´t v kazˇ de´m okamzˇ iku soucˇ in jeho tlaku a objemu vydeˇ leny´ teplotou plynu konstantnı´.
5.1.3 Mayeru˚ v vzorec S pouzˇ itı´m stavove´ rovnice idea´lnı´ho plynu a vztahu pro Cp − Cv (4.8) "# $ %# $ ∂U dV Cp − Cv = +p [JK −1 ] , ∂V T dT p
5–2
Za´kladnı´ vztahy pro idea´lnı´ plyn
Michal Varady
odvod’me nynı´ rozdı´l tepelny´ch kapacit idea´lnı´ho plynu prˇi sta´le´m tlaku a objemu, tedy takzvany´ Mayeru˚ v vzorec. Prvnı´ cˇ len obecne´ho vztahu pro rozdı´l tepelny´ch kapacit je # $ ∂U =0 , ∂V T protozˇ e vnitrˇnı´ energie idea´lnı´ho plynu neza´visı´ na objemu. Druhy´ cˇ len na prave´ straneˇ je tlak idea´lnı´ho plynu a poslednı´ derivaci zı´ska´me takto # $ " # $% d nRT nR dV = = , dT p dT p p p kde za V jsme dosadili ze stavove´ rovnice V = RnT /p a prˇi derivova´nı´ jsme vyuzˇ ili skutecˇ nosti, zˇ e n, R a p1 jsou konstantnı´. Dosadı´me–li nynı´ jednotlive´ vy´sledky pro idea´lnı´ plyn do rovnice (4.8) dostaneme: Cp − Cv = (0 + p)
nR = nR p
[JK −1 ] ,
a tedy pro rozdı´l mola´rnı´ch tepelny´ch kapacit idea´lnı´ho plynu dostaneme du˚ lezˇ ity´ vy´sledek, ktery´ budeme cˇ asto pouzˇ´ıvat v dalsˇ´ım textu cpm − cvm = R
[Jmol−1 K −1 ] ,
(5.3)
takzvany´ Mayeru˚ v vzorec.
5.1.4 Zname´nkova´ konvence Drˇ´ıve nezˇ si uka´zˇ eme vy´pocˇ et pra´ce a tepla pro neˇ kolik za´kladnı´ch deˇ ju˚ s idea´lnı´m plynem, prˇipomeneme si zvolenou zname´nkovou konvenci pro pra´ci: • W > 0 potom zkoumany´ syste´m kona´ pra´ci na okolnı´ch teˇ lesech • W < 0 potom vneˇ jsˇ´ı sı´ly konajı´ pra´ci na zkoumane´m syste´mu, tedy syste´m pra´ci prˇijı´ma´ a pro teplo: 1
Derivujeme prˇi konstanı´m tlaku.
5–3
Michal Varady
Prˇ edna´sˇ ka 5: Termodynamika idea´lnı´ho plynu
• Q > 0 potom zkoumany´ syste´m (plyn) prˇijı´ma´ teplo z okolı´ • Q < 0 potom zkoumany´ syste´m teplo do okolı´ odevzda´va´ Pocˇ a´tecˇ nı´ stav syste´mu budeme znacˇ it (1) a konecˇ ny´ stav (2). Budeme–li syste´m sledovat ve vı´ce nezˇ dvou stavech budeme je znacˇ it dalsˇ´ımi cˇ´ısly v za´vorka´ch, v porˇadı´ ve ktere´m syste´m jednotlivy´mi sledovany´mi stavy procha´zı´.
5.2 Deˇ je s idea´lnı´mi plyny 5.2.1 Izochoricky´ deˇ j Izochoricky´ deˇ j probı´ha´ s konstantnı´m mnozˇ stvı´m plynu (n = konst) prˇi konstantnı´m objemu, tedy V = konst, dV = 0. Upravı´me–li stavovou rovnici idea´lnı´ho plynu tak, zˇ e vsˇ echny konstanty prˇevedeme na pravou stranu rovnice dostaneme Charlesu˚ v za´kon # $ nR p1 p2 pK p = konst = ⇐⇒ = = ··· = , (5.4) T V T1 T2 TK tedy prˇi izochoricke´m deˇ ji je ve vsˇ ech stavech ktery´mi plyn procha´zı´ pomeˇ r tlaku a teploty konstantnı´. Zobrazı´me–li izochoricky´ deˇ j v p − V diagramu dostaneme izochoru. Z diagramu je patrne´, zˇ e pra´ce vykonana´ prˇi tomto deˇ ji je nulova´, tedy !(2) W = p dV = 0 . (1)
S ohledem na tuto skutecˇ nost mu˚ zˇ eme I. termodynamicky´ za´kon pro izochoricky´ deˇ j zapsat ve tvaru d¯Q = dU
po integraci
Q = ∆U = cvm n(T2 − T1 ) ,
(5.5)
tedy teplo prˇijate´ cˇ i odevzdane´ plynem prˇi izochoricke´m deˇ ji je rovno prˇ´ıru˚ stku cˇ i u´bytku vnitrˇnı´ energie plynu.
5–4
Deˇ je s idea´lnı´mi plyny
p p2
Michal Varady
Izochora
Izobara
p
(2)
p0
(1)
(2)
W p1 0
(1) V
V0
0
V1
V2
Obra´zek 5.1: Zobrazenı´ izochoricke´ho a izobaricke´ho deˇ je v p − V diagramu.
5.2.2 Izobaricky´ deˇ j Izobaricky´ deˇ j probı´ha´ s konstantnı´m mnozˇ stvı´m plynu (n = konst) prˇi konstantnı´m tlaku, tedy p = konst, dp = 0. Upravı´me–li stavovou rovnici idea´lnı´ho plynu podobneˇ jako v prˇedchozı´m prˇ´ıpadeˇ dostaneme Gay–Lussacu˚ v za´kon # $ V nR V1 V2 VK = konst = ⇐⇒ = = ··· = . (5.6) T p T1 T2 TK Zobrazı´me–li izobaricky´ deˇ j v p − V diagramu dostaneme izobaru. Pra´ce vykonana´ prˇi tomto deˇ ji je nenulova´ a je da´na vztahem !(2) W = p dV = p∆V = p(V2 − V1 ) . (1)
Integracı´ I. termodynamicke´ho za´kona pro izochoricky´ deˇ j dostaneme vztah pro vy´pocˇ et tepla, ktere´ plyn prˇijme nebo odevzda´ beˇ hem deˇ je Q = ∆U + p∆V = cvm n(T2 − T1 ) + p(V2 − V1 ) . S ohledem na stavovou rovnici idea´lnı´ho plynu platı´ p(V2 − V1 ) = Rn(T2 − T1 ) , a tedy vztah pro teplo prˇi izobaricke´m deˇ ji mu˚ zˇ eme prˇepsat jako Q = ∆U + p∆V = (cvm + R)n(T2 − T1 ) = cpm n(T2 − T1 ) ,
5–5
(5.7)
V
Michal Varady
Izoterma
p p1
Adiabata
p
(1)
p1
(1)
(2)
W
p2 0
Prˇ edna´sˇ ka 5: Termodynamika idea´lnı´ho plynu
V1
p2 V 0
V2
(2)
W V1
V2
Obra´zek 5.2: Zobrazenı´ izotermicke´ho a adiabaticke´ho deˇ je v p − V diagramu. kde jsme vyuzˇ ili Mayeru˚ v vzorec cpm − cvm = R. Samozrˇejmeˇ teplo prˇi izobaricke´m deˇ ji mu˚ zˇ eme pocˇ´ıtat prˇ´ımocˇ arˇeji ze vztahu !(2) Q = cpm n dT = cpm n(T2 − T1 ) .
(5.8)
(1)
Je zrˇejme´, zˇ e ohrˇ´ıva´me–li izobaricky plyn, cˇ a´st dodane´ho tepla se spotrˇebuje na zvy´sˇ enı´ teploty plynu, tedy na na´ru˚ st vnitrˇnı´ energie a cˇ a´st na kona´nı´ pra´ce.
5.2.3 Izotermicky´ deˇ j Izotermicky´ deˇ j probı´ha´ s konstantnı´m mnozˇ stvı´m plynu (n = konst) prˇi konstantnı´ teploteˇ , tedy T = konst, dT = 0. Ze stavove´ rovnice idea´lnı´ho plynu ihned dostaneme Boyle–Marriotteu˚ v za´kon pV = konst (= nRT )
⇐⇒
p1 V1 = p2 V2 = · · · = pK VK
. (5.9) Zobrazı´me–li izotermicky´ deˇ j v p − V diagramu dostaneme izotermu. Matematicky se jedna´ o rovnoosou hyperbolu. Pra´ce vykonana´ prˇi tomto deˇ ji je nenulova´ a je da´na vztahem !(2) !(2) RnT V2 dV = RnT ln W = p dV = V V1 (1)
(1)
5–6
.
V
Deˇ je s idea´lnı´mi plyny
Michal Varady
Protozˇ e dT = 0 −→ ∆T = 0, je podle vztahu (5.1) take´ ∆U = 0 a I. termodynamicky´ za´kon mu˚ zˇ eme psa´t ve tvaru d¯Q = d¯W
po integraci
Q=W
,
(5.10)
tedy vesˇ kere´ teplo dodane´ cˇ i odevzdane´ plynem se prˇemeˇ nı´ na pra´ci vykonanou plynem nebo vneˇ jsˇ´ımi silami.
5.2.4 Adiabaticky´ deˇ j Adiabaticky´ deˇ j je deˇ j ktery´ probı´ha´ s konstantnı´m mnozˇ stvı´m plynu (n = konst) prˇi neˇ mzˇ za´rovenˇ nedocha´zı´ k tepelne´ vy´meˇ neˇ , tedy dQ = 0, Q = 0. Vztahy mezi jednotlivy´mi stavovy´mi velicˇ inami jsou da´ny Poissonovy´m za´konem pV κ = konst
⇐⇒
p1 V1κ = p2 V2κ = · · · = pK VKκ
,
(5.11)
kde Poissonova konstanta κ je rovna podı´lu tepelny´ch kapacit plynu prˇi sta´le´m tlaku a objemu Cp cpm = , κ>1 (5.12) κ= Cv cvm a je tedy vzˇ dy veˇ tsˇ´ı nezˇ jedna. Odvozenı´ Poissonova za´kona nenı´ tak trivia´lnı´ jako v prˇedchozı´ch prˇ´ıpadech, proto ho necha´me do studia termodynamiky. Abychom dostali Poissonu˚ v za´kon ve stavovy´ch promeˇ nny´ch V − T a P − T pouzˇ ijeme stavovou rovnici idea´lnı´ho plynu (prˇ´ıpadneˇ stavovou rovnici umocneˇ nou na κ) a vydeˇ lı´me jı´ Poissonu˚ v za´kon ve stavovy´ch promeˇ nny´ch p − V . Tı´m dostaneme p1−κ T κ = konst .
V κ−1 T = konst
(5.13)
Zobrazı´me–li adiabaticky´ deˇ j v p − V diagramu dostaneme adiabatu. Adiabata je podobna´ izotermeˇ , ale dı´ky tomu, zˇ e objem je umocneˇ n na κ klesa´ rychleji. Pra´ce vykonana´ cˇ i prˇijata´ plynem prˇi tomto deˇ ji lze urcˇ it bud’ prˇ´ımou integracı´ Poissonova za´kona nebo jednodusˇ eji z I. termodynamicke´ho za´kona. Vzhledem k tomu, zˇ e Q = 0 platı´ W = −∆U = −cvm n(T2 − T1 ) . Prˇi adiabaticke´m deˇ ji se tedy pra´ce kona´ vy´hradneˇ na u´kor vnitrˇnı´ energie.
5–7
(5.14)
Michal Varady
Prˇ edna´sˇ ka 5: Termodynamika idea´lnı´ho plynu
p
V
0
Obra´zek 5.3: Mnozˇ ina polytrop lezˇ´ı v p − V diagramu v prostoru mezi izotermou a adiabatou. Adiabata klesa´ rychleji nezˇ izoterma.
5.2.5 Polytropicky´ deˇ j Zatı´mco prˇi adiabaticke´m deˇ ji prˇedpokla´da´me dokonalou tepelnou izolaci plynu od okolı´ aby nedocha´zelo k tepelne´ vy´meˇ neˇ , prˇi izotermicke´m naopak prˇedpokla´da´me dokonaly´ styk plynu s ohrˇ´ıvacˇ em nebo chladicˇ em. U rea´lny´ch deˇ ju˚ , je prakticky nemozˇ ne´ obeˇ tyto krajnı´ alternativy realizovat a uplatnˇ ujı´ se takzvane´ deˇ je polytropicke´, prˇi nichzˇ docha´zı´ k omezene´ tepelne´ vy´meˇ neˇ s okolı´m plynu. Tuto tepelnou vy´meˇ nu lze charakterizovat tepelnou kapacitou C o nı´zˇ prˇi polytropicky´ch deˇ jı´ch prˇedpokla´da´me zˇ e je konstantnı´, tedy C = konst (take´ mnozˇ stvı´ plynu je beˇ hem deˇ je konstantnı´ n = konst). Relace mezi jednotlivy´mi stavovy´mi velicˇ inami jsou da´ny vztahem podobny´m Poissonovu za´konu pV γ = konst
⇐⇒
p1 V1γ = p2 V2γ = · · · = pK VKγ
,
(5.15)
kde konstanta γ je rovna γ=
Cp − C Cv − C
, kde
5–8
γ ∈ (1, κ)
.
(5.16)
Deˇ je s idea´lnı´mi plyny
Michal Varady
Odvozenı´ vy´sˇ e uvedeny´ch vztahu˚ opeˇ t necha´me do studia termodynamiky. Souvislost mezi stavovy´mi promeˇ nny´mi V − T a P − T dostaneme obdobneˇ jako prˇi deˇ ji adiabaticke´m p1−γ T γ = konst .
V γ−1 T = konst
(5.17)
Ve shodeˇ s prˇedesˇ ly´m vy´kladem je videˇ t, zˇ e pro C → 0 prˇecha´zı´ deˇ j polytropicky´ v adiabaticky´, protozˇ e s nulovou tepelnou kapacitou syste´mu je i teplo prˇi tepelne´ vy´meˇ neˇ nulove´, kdezˇ to pro C → ∞, tedy prˇi dokonale´ tepelne´ vy´meˇ neˇ , je γ = 1 a dosta´va´me Boyle–Marriotteu˚ v za´kon a tedy izotermicky´ deˇ j. Zobrazı´me–li polytropicky´ deˇ j v p − V diagramu dostaneme polytropu. Vzhledem ke vztahu˚ m (5.15), (5.16) mnozˇ ina polytrop lezˇ´ı mezi izotermou a adiabatou pro dany´ plyn. Pra´ci vykonanou cˇ i prˇijatou plynem prˇi tomto deˇ ji urcˇ´ıme prˇ´ımou integracı´ rovnice (5.15) !(2) !(2) konst dV , (5.18) W = p dV = Vγ (1)
(1)
kde konstantou je soucˇ in tlaku a objemu umocneˇ ne´ho na γ v libovolne´m okamzˇ iku v pru˚ beˇ hu polytropicke´ho deˇ je. Teplo prˇijate´ nebo odevzdane´ plynem prˇi polytropicke´m deˇ ji dostaneme z I. termodynamicke´ho za´kona Q = ∆U + W = cvm n(T2 − T1 ) + W
5–9
.
(5.19)
Michal Varady
Prˇ edna´sˇ ka 5: Termodynamika idea´lnı´ho plynu
5 – 10
