Tepelná vodivost pevných látek
Přenos tepla – vedení mřížková část tepelné vodivosti Dvouatomový lineární řetězec us-1(B) uS-1(A)
uS(A)
us (B)
přiblížení např. NaCl (100)
us+1 (B) uS+1(A)
Např.
= příčné výchylky k
a – mřížková konstanta krystalu ve směru šíření vlny
d 2u S MA C u S 1( B ) u S ( B ) 2u S ( A ) 2 dt d 2u S MB C u S ( A ) u S 1( A ) 2u S ( B ) 2 dt
Hookův zákon F=-Cu vede na harmonické kmity
d 2u S MA C u S 1( B ) u S ( B ) 2u S ( A ) 2 dt d 2u S MB C u S ( A ) u S 1( A ) 2u S ( B ) 2 dt
𝑢𝑠 𝐴 = 𝑢 𝐴 𝑒 𝑖
𝑞𝑎−𝜔𝑡
𝑢𝑠 𝐵 = 𝑢 𝐵 𝑒 𝑖
𝑞𝑎−𝜔𝑡
DET=0 2 𝑀 + 𝑀 4𝐶 𝑞𝑎 𝐴 𝐵 4 2 2 𝜔 − 2𝐶 𝜔 + 𝑠𝑖𝑛 =0 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝑀𝐴 𝑀𝐵 2
2 𝐶 4𝑀 𝑞𝑎 2 2 𝜔 (𝑞) = 1± 1− 𝑠𝑖𝑛 𝑀 𝑀𝐴 𝑀𝐵 2
Disperzní vztah
1 2
𝑀=
𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵
Dvouatomový lineární řetězec - disperze přiblížení např. NaCl (111)
w
přiblížení
Pohyb v rámci elementární buňky
Optická větev (+) 1 1 𝜔 = 2𝐶 + 𝑀𝐴 𝑀𝐵
𝜔=
1 2
𝜔=
2𝐶 𝑀𝐵 2𝐶 𝑀𝐴
1 2
2 1 2
M A M B
Akustická větev (-)
1 w2 w1 2= 1
Pohyb v rámci celého krystalu
0 0
𝜋 𝑎
q
1. Brillouinova zóna
GAP
Srovnej s vlastní frekvencí oscilátoru (Fyzika 1)
𝑘 𝜔= 𝑚
1 2
Zde jich máme N !
Dvouatomový lineární řetězec - disperze
Akustická větev (1)
Optická větev (2)
Může vést k polarizaci = optická
2= 1 w2 w1
GAP
Vliv struktury na fononové spektrum a tepelnou vodivost w 𝑣𝑔 =
𝑑𝜔 𝑑𝑞
𝑣𝑝ℎ =
0
0
𝑑𝜔 𝜔 𝑣𝑔 = ≠ 𝑑𝑞 𝑞
Vysvětlit rozdíl mezi grupovou a fázovou rychlostí (Lewin, L12)
!
Máme-li N atomů v elementární buňce 3D mřížky, pak
𝜔 𝑞
𝜋 𝑎
q
máme také 3N větví vlastních frekvencí w , 3 akustické a 3N-3 optické. (vždy dvě transverzální a 1 longitudinální)
Více atomů v elementární buňce = = větší/menší tepelná vodivost ? Kinetická teorie
Fázová vs. grupová rychlost
Lze dokumentovat i na zvuku:
Schwebungen.exe
Vliv struktury na tepelnou vodivost – kinetická teorie w
Tok částic v 1. směru x:
𝑣𝑔 =
0
0
Změna teploty podél její dráhy l/x:
𝑑𝜔 𝑑𝑞
𝜋 𝑎
Tok energie tam + zpět:
q
Velký počet fononů = “velká“ tepelná vodivost, ale hlavně také velká pravděpodobnost U- procesu nad TDebye . Optické fonony mají malé vg a tedy málo přispívají k tepelné vodivosti.
q1+q2 = q3
T TD T
q1+q2 = q3+T
𝑑𝑁 𝑑𝑡
𝑥
∆𝑇 = 𝑥
1 = 𝑛𝑣𝑔𝑥 2 𝑑𝑇 𝑑𝑥
𝑑𝑁 𝑑𝑡
=𝑙
𝑑𝑄 𝑑𝑡
=
𝑑𝑄 𝑑𝑡
= cv𝑙𝜈𝑔
1 3
𝑑𝑇 𝑑𝑥
∆𝑇cčastice 𝑑𝑇 𝑑𝑥
Kittel/155
𝑙 = 𝜈 𝑔𝜏
Fourierův zákon:
1 𝜅𝐿 = 𝑐𝜈𝜈𝑔𝑙 3
𝐷𝑒𝑏𝑦𝑒: 𝜈𝑔 = 𝜈𝑧𝑣𝑢𝑘𝑢
tepelná vodivost – umklapp procesy w 𝑑𝜔 𝑣𝑔 = 𝑑𝑞 𝜋 − 𝑎
0
q1+q2 = q3+T
𝜋 𝑎
q
1 𝜅𝐿 = 𝑐𝜈𝜈𝑔𝑙 3
V okolí TDebye strmě stoupá pravděpodobnost Umklapp- procesu . Při U- procesu se mění znaménko grupové rychlosti vg výsledného fononu ( po složení vln jde balíček na druhou stranu). To vede k poklesu tepelné vodivosti.
Všimněte si, že i N-procesy mohou vést k částečnému snížení tepelné vodivosti kvůli poklesu 𝑣𝑔 v důsledku disperze.
L
l = konst.=d
𝐷𝑒𝑏𝑦𝑒𝑜𝑣𝑜 𝑝ř𝑖𝑏𝑙íž𝑒𝑛í:
1 𝜅𝐿 = 𝑐𝜈𝜈𝑔𝑙 3
Teplotní průběh tepelné vodivosti 𝑘𝐵 𝑘𝐵 𝑇 𝜅𝐿 𝑇 = 2 2𝜋 𝜈 ℏ
T3
3
𝜃𝐷 𝑇 0
𝜏𝐶
𝑦4𝑒𝑦 𝑒𝑦 − 1
2
𝑑𝑦
ℏ𝜔 𝑦= 𝑘𝐵 𝑇
0 𝜏𝐶
T −1
𝜈 = + 𝑑 hranice
𝐴𝜔4
+
bodové defekty
𝜃 − 𝐷 2 𝐵𝜔 𝑇𝑒 3𝑇
+
3-fononový umklapp
(𝐶𝜔) elektron-fonon
Teplotní průběh tepelné vodivosti - skla
L
𝑘𝐵 𝑘𝐵 𝑇 𝜅𝐿 𝑇 = 2 2𝜋 𝜈 ℏ 𝜏𝐶 −1 =
3
𝜃𝐷 𝑇 0
𝜏𝐶
𝑦4𝑒𝑦 𝑒𝑦 − 1
2
𝑑𝑦
𝜃𝐷 𝜈 + 𝐴𝜔4 + 𝐵𝜔2 𝑇𝑒 − 3𝑇 + (𝐶𝜔) 𝑑
Vliv ostatních procesů na relaxační čas jsou zanedbatelné
U skelných materiálů chybí uspořádání na dlouhou vzdálenost
volná dráha fononů srovnatelná s meziatomovou vzdáleností
0
T
1 𝜅𝐿 = 𝑐𝜈𝜈𝑔𝑙 3
Elektronová složka tepelné vodivosti Abychom mohli provést analýzu mřížkové tepelné vodivosti musíme od celkové vodivosti odečíst elektronovou část.
Wiedemann – Franzův zákon 𝜅𝑒 = 𝜎𝑇 Lorenzovo číslo: 𝜅𝑒 𝜋 2 𝑘 2 𝐿0 = = 𝜎𝑇 3 𝑒2
Kinetická teorie:
𝑛𝜋 2 𝑘 2 𝑇𝜏𝜅 𝜅𝑒 = 3 𝑛𝑒2𝜏𝜎 𝜎= 𝑚∗
konst.
𝜏 pochází z různých procesů, je třeba vyšetřit, kdy můžeme krátit a kdy ne !
Předpoklad, že vzhledem k vysoké tepelné rychlosti elektronů jsou obě 𝜏 stejná, nemusí být splněn - pochází z různých procesů a je třeba je vyšetřit.
T ⟺TD
Závisí to na teplotě Matthiasenovo pravidlo
1 𝜏
=
1 𝜏1
+
1 𝜏2
+
1 𝜏3
Neplatí přesně pokud =f(q) nebo 1 2
Lorenzovo číslo - analýza – až po el.vodivosti 𝜏𝜎
fFD
𝑗
𝜏𝜅
𝑄
fFD
teplo
chladno
E
E
1) T TD
𝑞𝑓𝑜𝑛𝑜𝑛 kF
𝜏𝜎 , 𝜏𝜅
L = L0
2) TTD
𝑞𝑓𝑜𝑛𝑜𝑛 ≪ kF
L = L0
3) TTD L L0
𝑞𝑓𝑜𝑛𝑜𝑛 < kF
𝜏𝜎 , 𝜏𝜅
1 𝑛𝑓𝑜𝑛𝑜𝑛ů 1 𝑛𝑛𝑒č𝑖𝑠𝑡𝑜𝑡
𝜏𝜎 𝜏𝜅
1 𝑇
fonony 𝐿 < 𝐿0
Tepelná vodivost pevných látek – makroskopický popis Fourierův zákon:
𝑑𝑄 = −𝜅 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 𝑑𝑡
LFA
Wm 2 Wm 1 K 1 K m 1
je tepelná vodivost T je teplota Q je tepelný tok, směr vektoru je směrem plochy Tepelná vodivost je materiálovým parametrem, který může mít a) mřížkovou složku (všechny materiály) b) elektronovou složku (vodiče + polovodiče) c) bipolární složku (polovodiče)
Mikroskopický pohled
Přenos tepla – záření – pozor na “průhledné“ vzorky Stefanův-Boltzmanův zákon:
𝑑𝑄 = 𝜎𝑇 4 𝑆 𝑑𝑡
Pro dvě tělesa s radiační výměnou tepla:
𝑑𝑄 = 𝜀𝜎 𝑇 4 − 𝑇0 4 𝑆 𝑑𝑡
je emisivita (pro a. černé těleso = 1) T 0.0029 m K je S.-B. konstanta
S
max
T0, T je teplota chladnějšího, teplejšího tělesa Q je převedené teplo z plochy S 2 5 k 4 8 1 2 4 5 , 67 10 Js m K 15c 2 h 3
T0
T
Přenos tepla - konvekce Přenos tepla z pevného tělesa do plynu nebo kapaliny Newtonův zákon:
𝑑𝑄 = 𝛽 𝑇 − 𝑇0 𝑆 𝑑𝑡
T0, T je teplota chladnějšího, teplejšího media Q je převedené teplo ze styčné plochy S tělesa
koeficient přestupu tepla (z experimentu) Zjednodušit lze zavedením bezrozměrných kriterií (Biotovo, Prandtlovo, …CHEMING) 𝑉 𝐵𝑖 = 𝑆 𝜅
S T0 T
