Pedologie Přednáška 8
Proudění vody v půdě, hydraulická vodivost proudění vody v nasyceném prostředí, Darcyho zákon, nasycená hydraulická vodivost, proudění v nenasyceném prostředí, proudění v kapiláře, funkce hydraulické vodivosti
Nasycené proudění Henry Darcy (1856) řešil problém filtrace vody pro fontány v Dijonu. Mnoha experimenty zjistil, že průtok vody válcem naplněným pískem je: • přímo úměrný rozdílu hydrostatických tlaků na počátku a konci válce • nepřímo úměrný délce válce • přímo úměrný ploše průřezu válce • závislý na koeficientu lišícím se pro různé materiály
Darcy, H., 1856. Les Fountaines de la Ville de Dijon
Henry Darcy
Darcyho zákon h1
Κ S Α∆Η Q= L
Hi = hi+zi H1
z1 L
h2 H2 z2
srovnávací rovina Q = průtok vody za jednotkový čas [L3.T-1] A = průtočný průřez [L2] Ks = nasycená hydraulická vodivost [L.T-1] H = H1 – H2 (rozdíl hydraulických výšek) [L] L= délka vzorku [L]
platí v plně nasyceném prostředí, například pod pod HPV
pro:
kde: q ... objemový tok [L.T-1] Q ... průtok vody [L3.T-1] A ... plocha průtočného průřezu [L2]
Q q= A Darcyho zákon přejde do podoby:
∆H q = Ks L zobecnění Darcyho zákona:
q = Ks
dH dl
Pro 1D vertikální proudění
dH q = −K s = −K S ∇H dl
poznámka: záporné znaménko proto že grad H směřuje proti směru proudění
poznámka: záporné znaménko proto že grad H směřuje proti směru proudění
Koeficient nasycené vodivosti Ks (EN: saturated hydraulic conductivity) Nazýván také (nesprávně) filtrační koeficient, Darcyho koeficient nebo propustnost Nejčastěji používané jednotky Ks jsou (m.s-1), (cm.d-1), (cm.s-1) Ks je charakteristikou vztahu půda-voda. Pouze vlastnosti půdy charakterizuje:
Propustnost k (EN: permeability) K s µ K sυ k= = ρg g
[L ] 2
kde ν je kinematická viskozita
[L .T ] 2
−1
K (m.s-1)
K (cm.s-1)
k (cm2)
Koeficient nasycené vodivosti Ks a propustnosti pro různé materiály
Zdroj: Císlerová a Vogel, 1998
Příklad 1 : Vertikálně orientovaný válec půdy: q=?
+z konst. hladina b=
1) Definujeme referenční úroveň a souřadný systém
VODA
2
2) Definujeme body 1 a 2 se známými hydraulickými výškami
10cm PŮDA
H2
L=
Ks=100cm/d
3) Určíme ∆H a vypočteme q pomocí Darcyho zákona
H 2 − H1 q = − K s ∇H = − K s = z 2 − z1
100cm = z2
= −100 1 volný výtok
q
H=0 = H1 = z1
110 − 0 = −110 cm.d −1 100 − 0
Příklad 2 Horizontálně orientovaný válec půdy: q = ?
1) Definujeme referenční úroveň a souřadný systém, (x zleva doprava) 2) Definujeme body 1 (vtok) a 2 (výtok). Pak x1 = 0 a h1 = 10 cm, x2=100cm, h2 = 0, z1 = z2 = 0, L = x2 - x1 = 100 cm 3) Hydraulické výšky H1 = h1 + z1 = 10 cm, H2 = h2 + z2 = 0 cm 5) Darcyho zákon
q = −K s
(H − H1 ) = −100 (0 − 10) = 10 cm.d −1 ∆H = −K s 2 L L 100
+x
Příklad 3 : Vertikálně orientovaný válec půdy: grad H = ?, q=?
konst. hladina b=0 cm
2
PŮDA
2) q pomocí Darcyho zákona
Ks=100c m/d
H2
1 volný výtok
q
H=0= = H1 = z1
z2 – z1
=
100 - 0
VODA
L= 100 cm = z2
H2 - H1
1) grad H =
100 - 0
= 1,0
q = - Ks grad H = - Ks.1,0 = - Ks= = -100 cm.d-1 grad H = 1 se nazývá jednotkový gradient potenciálu Hydraulická vodivost je rovna objemovému toku při jednotkovém gradientu potenciálu
Principy měření Ks 1) Měření Ks s konstantním spádem konst. hladina b
Měření na vzorku půdy
VODA
PŮDA
L
Ks= ?
A
H1 = 0 + 0 (spodní okraj) H2 = b + L (horní okraj) ∆H = (b+L) - 0 pak:
qL qL Ks = − =− ∆H (b + L ) V praxi se měří Q, resp. V/t, pak:
volný výtok Q
q
VL VL Ks = = At∆H At (b + L )
Experiment s konstantním spádem konstantní hladina
měření Q
porézní destičky
b
vzorek
přítok
přepad
L
Zvláštní úsilí vyžaduje dokonalé nasycení vzorku. Pokud nasycení není dokonalé neměří se Ks. Obr. : http://www.utdallas.edu/~brikowi/Teaching/Geohydrology/LectureNotes/Darcy_Law/Permeameters.html
Experiment s konstantním spádem Jednoduchý set-up sestavený z „tempských cel“ (EN: Tempe Cell) instalovaný přímo v terénu (povodí Uhlířská)
2) Měření Ks s proměnným spádem (EN: falling-head permeameter) Pokles hladiny b(t)
b0
VODA b1 PŮDA
L
Ks= ?
Měření na vzorku půdy v laboratoři Hladina na počátku v úrovni b0 H1 = 0, H2(t) = L+b(t), ∆H(t) = [b(t) + L] - 0
( db b + L) = −K s q= dt L
upravíme na:
db Ks =− dt b+L L Integrace levé strany b1
volný výtok q
db b1 + L b1 ∫b b + L = ln(b + L ) b0 = ln b0 + L 0
R. pokračování
integrace pravé strany t1
t1
K K Kt − ∫ s dt = − s ∫ dt = − s 1 L L 0 L 0
Ks db =− dt b+L L
po dosazení:
ln
Kt b1 + L =− s1 b0 + L L L b0 + L K s = ln t1 b1 + L
db
Pro různou plochu vzorku a byrety vzorec přechází na tvar:
b0 b1
kde: t1@. je doba poklesu hladiny vody v byretě Ab @ průřez byrety A ... průřez vzorku
Q Porézní destičky
Ab L b0 + L Ks = ln A t1 b1 + L
d
vzorek
L
Zdroj: http://www.utdallas.edu/~brikowi/Teaching/Geohydrology/LectureNotes/Darcy_Law/Permeameters.html
Pokles hladiny
Experiment s proměnným spádem
Příklad 3 : Výpočet průběhu tlakové výšky h(z)=?
2
b
Ks je konstantní, h(z) = ?
VODA
h2 = b, z2=L PŮDA
z
h
h2 − h1 b h= z= z L L
h1 = 0, z1 = 0 0 q
q1z
∆H b+L h+ z q = −Ks = −Ks = −Ks L L z
L
1
Darcyho zákon: q12
h
V homogenním sloupci nasycené půdy je průběh tlakové výšky h lineární
Nasycené 1D proudění ve vícervstvém prostředí b
VODA
L1
Ks
L2
Ks
1
2
Darcyho zákon je formálně shodný s Ohmovým zákonem. Nasycené 1D proudění zvrstveným prostředím je analogické elektrickému obvodu s resistory v sérii. Analogií získáme vztah pro efektivní koeficient nasycené hydraulické vodivosti celého sloupce půdy Kseff . N
LN-1
Ks N-1
LN
Ks N
K seff =
∑L
j
j =1
Lj ∑ j =1 K sj N
..... proudění ve vícervstvém prostředí Pro výpočet průtoku pak můžeme použít Kseff b
VODA
L1
Ks
L2
Ks
b
VODA
1
2
Kseff
L LN-1
Ks N-1
LN
Ks N q
q
pokud bychom měřili Ks na zvrstveném vzorku výsledkem měření bude Kseff
Nehomogenita a anizotropie Ks Nehomogenita: odlišné Ks pro různá místa oblasti
Anizotropie: odlišné Ks v různých směrech Tenzor nasycené hydraulické vodivosti 3D
K sxx KKs = K syx K szx
K sxy K syy K szy
K sxz K syz K szz
2D
K sxx KKs = K syx
K sxy K syy
Měření Ks v terénu – infiltrační experimenty Průtok vody přes topografický povrch do půdy nazýváme infiltrace a rychlost tohoto průtoku je rychlost infiltrace q. Celkové množství zasáklé vody nazýváme kumulativní infiltrace I [L] - jako celková srážka nebo výpar v délkové míře, často v cm. Infiltrace může být stacionární a nestacionární tzn. infiltrační rychlost není (nebo je proměnlivá v čase)
Měření Ks v terénu – Infiltrační pokus – 1D výtopová infiltrace Výtopová infiltrace: dvouválcová metoda;
• •
•
•
• • •
dva soustředné válce povrch půdy uvnitř menšího válce opatříme hrotem v čase t = 0 nalijeme do válce vodu tak, že hrot zatopíme Po vynoření hrotu se přidává známé množství vody měří se čas vynoření hrotu postup se opakuje ze záznamu časových intervalů, známých dávek a známé plochy válce se počítá kumulativní infiltrace a rychlost infiltrace v čase
Měření Ks v terénu – Infiltrační pokus – 1D výtopová infiltrace 45
1.80E-4 Kumulativní infiltrace
35
1.50E-4
Infiltrační rychlost
30 25 20 15
1.20E-4
I = ∫ q (t )dt t
dI q= dt
0
9.00E-5 6.00E-5
10 3.00E-5
lim q (t ) = K s
5 0 0:00:00
0.00E+0 0:30:00
1:00:00
1:30:00
2:00:00
infiltrační rychlost [m/s]
kumulativnivní množství [l]
40
Hydraulická vodivost nenasyceného pórovitého prostředí • θ se může měnit v čase a prostoru • existuje vztah θ(h) tj. retenční čára • hydraulická vodivost závisí na θ resp. na h pro h < 0 • závislost K(θ), resp. K(h) se nazývá funkce hydraulické vodivosti
Zdroj: E. Sulzman
Darcy-Buckinghamův zákon Edgar Buckingham (1907)
q = −K(θ )∇H kde: q je objemový tok H je hydraulický výška
Zdroj: Kutílek et al. 1994
Kapilární modely Teorie kapilárních modelů (Childs and Collis-George, 1950) Založena na retenční čáře půdy Předpokládá, že vztah nasycení-kapilární tlak může být odvozen se statistickým rozdělením velikosti pórů s použitím Laplaceovy rovnice pro kapilární tlak na zakřiveném fázovém rozhraní. Výsledkem jsou vztahy pro snadnou předpověď funkce hydraulické vodivosti. Předpověď funkce hydraulické vodivosti
K (θ ) = K r (θ )K s kde Ks je nasycená hydraulická vodivost získaná měřením
opakování .... retenční křivka a statistické rozdělení velikosti pórů Statistické rozdělení velikosti pórů
distribuční funkce F(r): r
F (r ) = ∫ f (r ) dr 0
f(r)
F(r)
kde f (r) frekvenční funkce relativního zastoupení plochy pórů různých poloměrů Platí:
F ( r ) = S (r )
r
kde r je poloměr pórů (póry s poloměry < r zaplněné vodou)
1
Složením S(r) a h(r) - retenční křivka: F(r) r
S = S (r ) S = S ( hc ) hc = hc ( r )
Hydraulická vodivost jedné kapiláry Kapilára Obecný tvar Poiseuillova zákona pro průměrnou rychlost proudění v kapiláře:
r
ρg 2 dH u= r 8µ dl
u l
Výraz lze přepsat s hydraulickou vodivostí jedné kapiláry K1
u = − K1 (r )
dH ρg 2 , K1 (r ) = r , K1 (r ) = C2 r 2 dl 8µ
Hydraulická vodivost svazku kapilár Střední rychlost ve svazku kapilár je integrací mikroskopických rychlostí přes plochu průřezu zaplněnou vodou
v ( Aw ) =
1 Aw
∫ u dA
Aw
kde Aw je plocha průřezu svazku kapilár naplněného vodou Určení hydraulické vodivosti svazku kapilár předpoklady: - existuje vztah mezi Aw a r
dA dr - a tedy vztah = f (r ) AW F (rW ) Pak střední rychlost ve svazku kapilár < rw je: r
1 W v(rW ) = u (r ) f (r )dr ∫ F (rW ) 0
Hydraulická vodivost svazku kapilár Po dosazení Poiseuillova zákona získáme objemový tok q (q = θv, F = S = θ/θS ): rW dH 2 q (rW ) = −θ S C2 ∫ r f (r )dr dl 0
Nebo jako závislost na tlakových výškách s použitím Laplaceovy rovnice:
kde:
2 θ 1 dH q (θ ) = − C1 C2 ∫ 2 h dl 0
2σ cos ϕ C1 hc = = ρgr r
θ... objemová vlhkost hc...tlaková výška C1, C2 .... konstanty
Laplaceova rovnice
Hydraulická vodivost nenasyceného prostředí dH
pro jednotkový gradient potenciálu = 1 , získáme vztah pro dl hydraulickou vodivost θ
1 K (θ ) = C C2 ∫ 2 dθ h 0 2 1
relativní hydraulická vodivost Kr θ
dθ ∫0 h 2
K (θ ) K r (θ ) = = θS K (θS ) dθ
∫h 0
2
Konstanty C12 a C2 se zkrátí
kde:
K (θ S ) = K S je nasycená hydraulická vodivost
Zavádějí (θ/θs)b ..... vliv relativní tortuozity
θ θ = K r ( ) θs
Mualem (1976):
θ
2
dθ ∫ h2 0 θ dθ ∫ h2 0 s
θ dθ 1/ 2 ∫ θ h K r (θ) = θ0 s θ θ s d ∫ 0 h
h < Hb h ≥ Hb
Po dosazení vztahů pro retenční čáru, a po integraci získáme........................... 2
1 1 + (− αh )n θ e (h ) = 1
(
)
m
h<0 h≥0
van Genuchten
Burdin (1953):
H b λ h θ e (h ) = 1
Brooks a Corey
Nevíce používané modely předpovědi Kr
...... vztahy pro předpověď funkce hydraulické vodivosti z retenční čáry z Brookse a Coreyho
Kr (θe ) = θeb+aλ Hb h
a+b / λ
h < Hb
K r (h) =
1 kde parametry a a b jsou pro kapilární model
θ − θr θe = θs − θr
Efektivní vlhkost
h ≥ Hb Burdina a=2 a b=3 Mualema a=2 a b=2.5
...... vztahy pro předpověď funkce hydraulické vodivosti z retenční čáry z van Genuchtenova vztahu
1 m m 2 e
K r (θe ) = θ [ 1 − ( 1 − θ ) ] 0.5 e
θ − θr θe = θs − θ r
{1− (− αh) [1+ (− αh) ] }
2 n −m
mn
[1+ (− αh) ]
n m/2
K r (h) =
1 Mualemův model
h<0 h≥0
Retenční čára a funkce hydraulické vodivosti některých půdních druhů a různé modely předpovědi Kr funkce hydraulické vodivosti
retenční čára písek hlinitopísčitá půda jílovitohlinitá půda jílovitohlinitá půda
4 3
3
BC
BCM
2
log hc
2
log hc
4
1
1 0
0
VG -1
-1
-2 0.00
-2 0.00
0.10
0.20
0.30
θ (-)
0.40
0.50
VGM 0.20
0.40
0.60
Kr (-)
0.80
1.00
Typické čáry nenasycené hydraulické vodivosti pro různé materiály
Měření funkce nenasycené hydraulické vodivosti v terénu podtlakovým diskovým infiltrometrem v terénu – měření rychlosti ustálené infiltrace v závislosti na nastaveném podtlaku v disku Pod diskem předpokládáme jednotkový gradient potenciálu
Měření funkce nenasycené hydraulické vodivosti – podtlakový infiltrometr
Jury a Horton 2004
Měření K(h) v terénu – příklad výsledků série infiltrací v jedné lokalitě - jílovitohlinitá půda 1.00E-03
soil surface 35 cm below surface 60 cm below surface
K(h) [m/s]
1.00E-04
1.00E-05
1.00E-06
1.00E-07 0.00
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.10
-0.12
-0.14
soil-water suction at the tension disc [m]
-0.16
-0.18
-0.20
Literatura Kutílek, M., Kuráž, V., Císlerová, M. Hydropedologie, skriptum ČVUT 1994 Císlerová, M. Inženýrská hydropedologie, skriptum ČVUT 2001 Císlerová M., Vogel T. Transportní procesy, skriptum ČVUT Jury, W.A. and R. Horton, Soil Physics. Sixth Edition, 2004. M. E Sumner, Handbook of Soil Science 1998 http://edis.ifas.ufl.edu/AE266
Tyto online přednášky vznikly v autorském kolektivu Michal Sněhota a Martin Šanda
Proudění jednou kapilárou Rozdíl hydraulických tlakových výšek ∆H = H2 – H1
kapilára proudové vlákno na poloměru R r
Q
síla způsobená ∆H = = síla třecích sil vody na poloměru R
R H1
Q
ν
H2 L
Bodová rychlost na poloměru R je:
ρw g∆H 2 ( u (R ) = r − R2 ) 4Lµ
Objemový průtok vody kapilárou Poiseuilleův zákon – laminární proudění (průtok kapilárou) Q=-
ρwgπ r4∆H 8µL
µ ..... dynamická viskozita (Pa.s-1)
