Tabulkov´e limity 1
Limity posloupnost´ı 1. (a) n! =0 n→+∞ nn lim
(b) pro a > 1 je
an = 0. n→+∞ n! lim
(c) Pro β > 0 a a > 1 nβ = 0. n→+∞ an lim
(d) Pro α > 0 (tj. libovolnˇe velk´e) a pro β > 0 (tj. libovolnˇe mal´e) lnα n = 0. n→+∞ nβ lim
(e)
1 n 1+ =e n→∞ n lim
2. Necht’ a > 0. (a) lim
√ n
lim
√ n
lim
√ n
n→+∞
(b) n→+∞
(c) n→+∞
(d) lim
n→+∞
1
√ n
a=1
n=1
na = 1
n! = +∞
2
ˇ Rady P∞ n−1 ˇ 1. Rada konverguje pr´avˇe kdyˇz |q| < 1. n=1 q P∞ α ˇ 2. Rada n=1 n konverguje pro α < −1 a diverguje pro α ≥ −1.
ˇ 3. Rada
∞ X
nα lnβ n
n=2
konverguje pr´avˇe tehdy, kdyˇz α < −1 a β ∈ R nebo
α = −1 a β < −1. ˇ Prvn´ı fakt o goniometrick´ ych“ ˇ rad´ ach. Rady ” ∞ ∞ X X cos kx sin kx, k=1
k=1
sice diverguj´ı (mimo x = 0 modulo 2π u sinov´e ˇrady), ale pro kaˇzd´e x ∈ R maj´ı stejnˇe omezen´e ˇc´asteˇcn´e souˇcty.
2
3
Funkce 1. (a) sin x =1 x→0 x lim
(b)
1 1 − cos x = 2 x→0 x 2 lim
(c)
ex − 1 =1 x→0 x lim
(d) lim
x→0
(e)
ln(1 + x) = 1. x
1 x lim 1+ = e. x→±∞ x
2. α > 0, β > 0, a > 1: (a)
lnα x =0 x→+∞ xβ lim
(b) xβ = 0. x→+∞ ax lim
(c) n ∈ N
lim xn ln x = 0
x→0+
3. (a) lim
arcsin x =1 x
lim
arctan x =1 x
x→0
(b) x→0
(c) lim arctan x =
x→∞
(d) lim arctan x =
x→−∞
3
π 2 −π 2
4
Ostatn´ı limity
Limity v t´eto sekci jsou sice zn´ am´e, ale pokud se objev´ı v p´ısemce, je nutno je vyˇreˇsit a nelze je br´at za tabulkov´e. 1. lim
x→1
2.
ln x =1 x−1
tan x =1 x→0 x lim
3.
arccos x √ = 2 lim √ x→1− 1−x
4. lim xarccotg x = 1
x→∞
5. lim (1 + x)1/x = e
x→0
ˇ 6. Rady
∞ X sin kx k=1
kα
,
∞ X cos kx k=1
kα
konverguj´ı absolutnˇe pro α > 1. Sinov´a ˇrada konverguje neabsolutnˇe pro 0 < α ≤ 1 pro vˇsechna x ∈ R, absolutnˇe vˇsak pouze pro x = 2nπ, kde n je cel´e ˇc´ıslo (pak je ˇrada nulov´a). Kosinov´a ˇrada konverguje neabsolutnˇe pro x ∈ R r˚ uzn´ a od 2nπ, kde n je cel´e ˇc´ıslo, pro x = 2nπ diverguje. Pro α ≤ 0 ˇrady vˇzdy diverguj´ı. P P Speci´alnˇe ˇrady k | sin k|/k a k | cos k|/k diverguj´ı.
5
Ostatn´ı vzorce 1. An − B n = (A − B)(An−1 + An−2 B + An−3 B 2 + · · · + B n−1 ) 2. sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α 3. cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
4
4. ab = eb ln a 5. ln a + ln b = ln(ab) 6. ln a − ln b = ln
a b
7. 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2 8. 12 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 9.
∞ X
an =
n=0
10.
1 1 1 = − k(k + 1) k k+1
11. 1−
6
1 1−a
1 k2 − 1 (k − 1)(k + 1) = = k2 k2 k2
N´ avody
6.1
Limity
1. Vˇetu o aritmetice limit pouˇz´ıv´ ame vˇzdy aˇz nakonec. Tedy neust´ ale opisujeme vˇsechny v´ yrazy, pak nap´ıˇceme nad rovn´ıtko VOAL a ”dosad´ıme”. Rozhodnˇe nedosazujeme dˇr´ıv. 2. Limity typu limx→a f (x)g(x) pˇrev´ ad´ıme na lim eg(x) ln f (x)
x→a
a aplikujeme vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce. Vyuˇz´ıv´ ame toho, ˇze vnˇejˇs´ı funkce exp je spojit´ a na R. Tady pozor jedinˇe na pˇr´ıpad, kdy vyjde lim g ln f = ±∞. Pak nelze vyuˇz´ıt spojitosti a je tˇreba pouˇz´ıt podm´ınku (P2). ln y 3. Limity typu 1∞ ˇreˇs´ıme pomoc´ı limity limy→1 y−1 = 1, nebot’ (zkr´acenˇe ps´ano) plat´ı ln f g lim f = exp[lim g ln f ] = exp[lim · lim g(f − 1)] = exp[lim g(f − 1)]. f −1
5
4. VOAL, l’Hospital, VOLSF jsou na dluh. To znamen´a, ˇze je lze pouˇz´ıt za podm´ınky, ˇze prav´a strana existuje. Tedy se nˇekde v textu mus´ı objevit, ˇze jelikoˇz prav´a strana je dobˇre definovan´ a a limity existuj´ı, tak bylo pouˇzit´ı VOAL, l’Hospitala, VOLSF korektn´ı 5. Vyt´ yk´ ame nejrychleji rostouc´ı v´ yraz ve zlomku (ale tˇreba i v logaritmu). 6. Pouˇz´ıv´ an´ı zn´ am´ ych limit sin, cos, tg , ln v 0 (a logarimus i v 1). 7. Vyuˇz´ıv´ ame s v´ yhodou goniometrick´ e vzorce. 8. Sin a cos, tan a cotan v jin´em bodˇe neˇz v 0 lze posunout pomoc´ı substituce (napˇr. yπ/2 − x).
6.2
Limity posloupnost´ı
9. Heineho pouˇz´ıv´ ame u v´ ypoˇctu limity posloupnosti vˇzdy, kdyˇz chceme pouˇz´ıt VOLSF (Vˇetu o limitˇe sloˇzen´e funkce). Pˇrep´ıˇseme vˇsechna n na x a spoˇcteme limitu funkce. V t´eto f´azi pouˇz´ıv´ ame VOLSF a ovˇeˇrujeme jej´ı podm´ınky. Pak z Heineho nap´ıˇseme, ˇze limita posloupnosti je totoˇzn´ a. Mus´ı se tam objevit kl´ıˇcov´e slovo Heine. Tot´eˇz plat´ı, kdyˇz chceme pouˇz´ıt l’Hospitala. Nelze derivovat posloupnost. Analogicky, mus´ıme-li ovˇeˇrit, ˇze je posloupnost monot´ onn´ı, typicky u ˇrad, lze to zjistit za pomoci derivace. Tak´e Heine. √ √ 10. Vid´ıme-li odmocninu, kter´ a d´av´a nedefinovan´ y v´ yraz (napˇr. ∞ − ∞), tak rozˇsiˇrujeme, abychom se j´ı zbavili. 11. Posloupnosti n-t´ e odmocniny nˇeˇceho na n-tou - dva policajti nebo vˇeta, jeˇz to pˇrevede na pod´ıl an+1 /an . 12. Pro absolutn´ı hodnotu je nˇekdy tˇreba poˇc´ıtat limity a derivace nadvakr´at, rozp˚ ulte tu u ´lohu. 13. Cel´ aˇ c´ ast se ˇreˇs´ı obvykle odhadem: x − 1 < [x] ≤ x.
6.3
ˇ Rady
14. U ˇrad d´av´ame velk´ y pozor, zda-li je ˇrada s nez´ aporn´ ymi ˇcleny, a jak´e krit´erium pouˇz´ıv´ ame. 15. Zaˇcneme pr˚ uzkumem, zda m´ a ˇrada nez´ aporn´e ˇcleny ˇci nikoli a vyzkouˇs´ıme nutnou podm´ınku konvergence 16. Pouˇzijeme vhodn´e krit´erium, ˇc´ımˇz to pˇrevedeme na ot´ azku limity posloupnosti a d´ale postupuji jako u posloupnost´ı (Heine, 2 policajti, . . . ) 6
7
Kter´ e vˇ eci si vyˇ zaduj´ı zd˚ uvodnˇ en´ı
Nˇekter´e vˇeci je tˇreba do p´ısemky napsat. Co pouˇz´ıv´ am a ovˇeˇren´e podm´ınky. Prakticky: nepiˇste znˇen´ı vˇet, ale ani ˇc´ısla. Piˇste jejich jm´eno, kaˇzd´ a vˇeta se nˇejak jmenuje (seznam je ve zkouˇskov´ ych poˇzadavc´ıch na webu), tˇreba Vˇeta o aritmetice limit, o dvou policajtech, Rolleova, L’ Hospitalovo pravidlo atd. A pak ovˇeˇren´e pˇredpoklady. Co je nutno zm´ınit: • Vˇeta o artimetice limit, o dvou policajtech, ˇze je nˇeco zn´ am´a limita. • Krit´eria konvergence, nezapomeˇ nte na srovn´avac´ı a na linearitu ˇrad, ˇze absolutnˇe konvergentn´ı ˇrada konverguje • Pˇredpoklady krit´eri´ı (typicky nez´ apornost) • Opˇet aritmetika limit, limita sloˇzen´e funkce. Zn´am´e limity netˇreba dokazovat, ale napsat, ˇze je to zn´ am´a limita. • Aritmetika derivac´ı, limita derivac´ı. Pozor, tak´e aritmetika derivac´ı m´ a nˇejak´e podm´ınky. • L’Hospital a kter´ y (0/0 nebo nˇeco/∞). • Poznatky t´ ykaj´ıc´ı se vztahu derivace a monotonie, konvexity, vˇety o asymptot´ ach. • Souˇcet spojit´ ych funkc´ı je spojit´ y atd. • Obecnˇe nezapomenout na pˇredpoklady (spojitost a tak) a na podm´ınky obecnˇe (ve jmenovateli se obvykle nevyskytuje nula. . . )
8
Co s sebou
Nezbytnˇe nutnˇe: pr˚ ukaz totoˇznosti ˇci index. D´ ale tuˇzka, propiska, guma, hod´ı se i milimetrov´ y nebo ˇctvereˇckovan´ y pap´ır, pastelka (staˇc´ı jedna na obt´ ahnut´ı grafu funkce) a prav´ıtko Co ocen´ıte: tabulky, vzorce, z´apisky z pˇredn´ aˇsky, pozn´amky ze cviˇcen´ı, vˇselijak´e tah´aky, jelikoˇz je lepˇs´ı m´ıt d˚ uleˇzit´e vˇety na jednom pap´ıˇre, neˇz poˇr´ad listovat v mnoˇzstv´ı knih, postup vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ ubˇehu funkce, zn´ am´e limity, nerovnosti a konvergentn´ı (divergentn´ı) ˇrady, ˇreˇsen´e pˇr´ıklady, spoˇc´ıtanou vzorovou p´ısemku, tabulku derivac´ı
7
