Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar e-mail: [email protected]

PPKE-ITK, 2013. április 25.

Szederkényi G. (PPKE)

Computer Controlled Systems

PPKE-ITK

1 / 36

Tartalom

1

Optimális szabályozás: problémafelvetés

2

Variációszámítási alapok

3

Az LQR probléma megoldása

4

Példák



PPKE-ITK

2 / 36

1


2


3


4

Példák



PPKE-ITK

3 / 36

LQR: problémafelvetés Adott egy (MIMO) LTI állapottér-modell x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) , y (t) = Cx(t)

x(0) = x0

egy funkcionál (szabályozási cél) 1 J(x, u) = 2

Z

T

[x T (t)Qx(t) + u T (t)Ru(t)]dt

0

ahol Q T = Q, Q > 0 és R T = R, R > 0. Kiszámítandó beavatkozás: {u(t) , t ∈ [0, T ]}, amellyel J minimális az állapottér-modell megoldásai mentén (megszorítás) Szederkényi G. (PPKE)


PPKE-ITK

4 / 36

1


2


3


4

Példák



PPKE-ITK

5 / 36

Variációszámítás – 1 Probléma: Minimalizáljuk u-ra: J(x, u) =

Z

T

F (x, u, t)dt 0

feltétel: x˙ = f (x, u, t). Megoldás: vektor Lagrange-multiplikátorokkal λ(.) J(x, x˙ , u) =

Z

T

[F (x, u, t) + λT (t)(f (x, u, t) − x)]dt ˙

0

Hamilton-függvény H = F + λT f . J=


Z

T

[H − λT x]dt ˙ 0


PPKE-ITK

6 / 36

Variációszámítás – 2 x˙ parciális integrálással elmininálható [λ ekkor J =

RT 0

T

x]T 0

=

Z

T

λ˙ T x +

Z

T

λT x˙

0

0

[H − λT x]dt-ból ˙ kapjuk: J = −[λ

T

x]T 0

+

Z

T

[H + λ˙ T x]dt 0

x és u variációja: x(t) −→ x(α, t) = x(t) + αη(t) u(t) −→ u(β, t) = u(t) + βγ(t)



PPKE-ITK

7 / 36

Euler-Lagrange egyenletek – 1 Kritériumfüggvény: I (α, β) = −[λT (t)x(α, t)]T 0 + Z T [H(x(α, t), u(β, t), t) + λ˙ T (t)x(α, t)]dt + 0

x-hez és u-hoz I szélsőértéke tartozik, ha ∂I ∂I = 0, =0 ∂α ∂β


∂I = ∂α

Z

∂I = ∂β

Z

T

T

∂H γ(t)dt ∂u

0

0

∂H T ˙ + λ (t) η(t)dt = 0 ∂x


PPKE-ITK

8 / 36

Euler-Lagrange egyenletek – 2

Euler-Lagrange egyenletek

∂H + λ˙ T = 0 ∂x ∂H =0 ∂u



PPKE-ITK

9 / 36

1


2


3


4

Példák



PPKE-ITK

10 / 36

LQR Euler-Lagrange egyenletek Euler-Lagrange egyenletek a H = F + λT f Hamilton-függvénnyel: ∂H + λ˙ T = 0 , ∂x

∂H =0 ∂u

LTI rendszerekre: f = Ax + Bu F = 21 (x T Qx + u T Ru) H = 12 (x T Qx + u T Ru) + λT (Ax + Bu) LQR Euler-Lagrange egyenletek:

∂ T ∂x (x Qx)

λ˙ T + x T Q + λT A = 0 ,

= 2x T Q

λT (T ) = 0

u T R + λT B = 0



PPKE-ITK

11 / 36

Állapotok és társ-állapotok dinamikája Átrendezett Euler-Lagrange egyenletek λ˙ + Qx + AT λ = 0 u = −R −1 B T λ Állapotegyenlet: x˙ = Ax(t) + Bu(t) ,

x(0) = x0

Mátrix-vektor alak x(t) ˙ x(t) A −BR −1 B T = ˙ −Q −AT λ(t) λ(t)

,

x(0) = x0 λ(T ) = 0

Rendszerdinamika + Hammerstein társ-állapot diff.e.



PPKE-ITK

12 / 36

LQR: irányítható&megfigyelhető eset Lemma * Ha (A, B) irányítható, akkor λ(t) = K (t)x(t) , K (t) ∈ Rn×n A módosított állapot- és társ-állapot-egyenletek λ˙ + Qx + AT λ = 0 ⇒ K˙ x + K x˙ = −AT Kx − Qx u = −R −1 B T λ ⇒ u = −R −1 B T Kx x˙ = Ax + Bu ⇒ x˙ = Ax − BR −1 B T Kx K˙ x + K [A − BR −1 B T K ]x + AT Kx + Qx = 0 ∀ x(t).

⇒ Mátrix Riccati differenciálegyenlet K (t)-re K˙ + KA + AT K − KBR −1 B T K + Q = 0



PPKE-ITK

13 / 36

Stacionárius eset

Speciális eset: stacionárius megoldás T → ∞ Z ∞ (x T Qx + u T Ru)dt J= 0

lim K (t) = K

t→∞

i.e. K˙ = 0

Control Algebraic Riccati Equation (CARE) KA + AT K − KBR −1 B T K + Q = 0 Tétel: (R. Kalman) Ha (A, B) irányítható, akkor a CARE-nak egyértelmű pozitív definit szimmetrikus megoldása van (K ).



PPKE-ITK

14 / 36

LQR és tulajdonságai Megoldás:

lineáris statikus teljes állapotvisszacsatolás u 0 (t) = −R −1 B T Kx(t) = −Gx(t)

ahol G = R −1 B T K .

Zárt kör dinamikája

x˙ = Ax − BR −1 B T Kx = (A − BG )x

,

x(0) = x0

A zárt kör tulajdonságai a zárt kör aszimptotikusan stabil függetlenül A, B, C , R, Q értékétől, azaz Re λi (A − BG ) < 0 , i = 1, 2, ..., n a zárt kör pólusai Q és R megválasztásától függnek



PPKE-ITK

15 / 36

1


2


3


4

Példák



PPKE-ITK

16 / 36

1. Példa: az RLC-kör szabályozása Rendszer: RLC kör. A nyitott kör (u = 0V ) válasza x(0) = [1 1]T kezdeti érték esetén. (Pólusok: −5 ± 8.6603i) 1.5 i [A] u [V] C

1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

17 / 36

1. Példa: az RLC-kör szabályozása

Q=

1 0 0 1

, R = 0.1

Visszacsatolási erősítés: G = [2.9539, 2.3166] A zárt kör (A − BG ) pólusai: λ1 = −27.4616, λ2 = −12.0773



PPKE-ITK

18 / 36

1. Példa: az RLC-kör szabályozása A zárt kör működése 1.2 i [A] u [V] C

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

19 / 36

1. Példa: az RLC-kör szabályozása A szabályozó által generált bemenet 1 ube 0

feszültség [V]

−1

−2

−3

−4

−5

−6

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

20 / 36


Q=

1 0 0 1

, R=1

Visszacsatolási erősítés: G = [0.6818, 0.4142] A zárt kör (A − BG ) pólusai: λ1,2 = −8.409 ± 8.409i



PPKE-ITK

21 / 36


1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

22 / 36

1. Példa: az RLC-kör szabályozása A szabályozó által generált bemenet 0.2 ube 0

feszültség [V]

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

−1.2

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

23 / 36


Q=

1 0 0 1

, R = 10

Visszacsatolási erősítés: G = [0.0944, 0.0488] A zárt kör (A − BG ) pólusai: λ1,2 = −5.4718 ± 8.6568i



PPKE-ITK

24 / 36


1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

25 / 36

1. Példa: az RLC-kör szabályozása A szabályozó által generált bemenet 0.04 u

be

0.02

0

feszültség [V]

−0.02

−0.04

−0.06

−0.08

−0.1

−0.12

−0.14

−0.16

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

26 / 36

2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása

Szabályozandó rendszer: egyenáramú motor Paraméterek: J tehetetlenségi nyomaték 0.01 kg m2 /s2 b csillapítási tényező 0.1 Nm s K elektromotoros erő tényező 0.1127 Nm/A R ellenállás 1 ohm L induktivitás 0.5 H állapotváltozók, bemenet, kimenet: x1 = θ˙ szögsebesség [rad/s] x2 = i átfolyó áram [A] u bemenő feszültség [V] y = x1



PPKE-ITK

27 / 36


Állapottér-modell: b K 0 x1 x˙ 1 −J J + 1 u = x2 x˙ 2 −KL −RL L x1 y= 1 0 x2 Pólusok: -9.669, -2.331



PPKE-ITK

28 / 36

2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása A szabályozatlan rendszer működése u(t) = 5V bemenetre: 5 x 1 x 2

4.5

x

4

3.5

3

2.5

2

0

0.5

1


1.5

2 idö [s]

2.5

3


3.5

4

PPKE-ITK

29 / 36


Állapotmegfigyelő tervezése Az állapotmegfigyelő előírt pólusai: -15, -16 ("gyorsabbak" az eredeti rendszer pólusainál) Az L mátrix értéke: 19 L= 15.923



PPKE-ITK

30 / 36


Stabilizáló állapotvisszacsatolás tervezése A tervezendő LQR szabályozó paraméterei: 100 0 Q= , R=1 0 10 A kapott visszacsatolási erősítés: G = 3.807 6.342



PPKE-ITK

31 / 36

2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Az állapotbecslővel kombinált stabilizáló visszacsatolás viselkedése A szabályozó által generált bementi feszültség: 13

12

11

10

u [V]

9

8

7

6

5

4

0

0.5

1


1.5

2 idö [s]

2.5

3

3.5


4

PPKE-ITK

32 / 36

2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása A visszacsatolt rendszer állapotváltozói 5.5

5

4.5

x

4 x 1 x

3.5

2

3

2.5

2

0

0.5

1


1.5

2 idö [s]

2.5

3


3.5

4

PPKE-ITK

33 / 36

2. Példa: a szeparációs elv alkalmazása Az állapotbecslő működése 5.5

5

4.5

4 x (tényleges) 1 x (becsült) 1 x (tényleges) 2 x (becsült)

x

3.5

2

3

2.5

2

1.5

1

0

0.1


0.2

0.3 idö [s]

0.4

0.5


0.6

PPKE-ITK

34 / 36

3. Példa: Inverz inga szabályozása A súlyozómátrixok (tervezési paraméterek): Q = I 4×4 , R = 1 A kiszámított visszacsatolási erősítés: G = −1 −23.227878 −2.1084534 −7.8899369 A zárt rendszer sajátértékei:  −13.169677  −1.0463076 + 0.3589175i λ=  −1.0463076 − 0.3589175i −3.1028591



   

PPKE-ITK

35 / 36

3. Példa: Inverz inga szabályozása

A szabályozó működése: ipend_lq_1.avi



PPKE-ITK

36 / 36

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9

Recommend Documents