Bab 15
SUKU BANYAK ( POLINOM) A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk a n x n
an 1x
n 1
an
2
x
n 2
....
a2 x
2
a1 x
, dengan a n
a0
0 dan n
{bil .cacah }
disebut dengan Suku banyak (Polinomial) dalam x berderajat n ( n adalah pangkat tertinggi dari x) a n , a n 1 , a n 2 , ....., a1
disebut keofisien suku banyak dari masing-masing peubah (variable) x
yang merupakan konstanta real dan a n
0
, sedangkan a 0 konstanta.
B. NILAI SUKU BANYAK Suku banyak dapat ditulis sbg. fungsi f(x) = a n x n
an 1x
n 1
an
2
x
n 2
....
a2 x
2
a1 x
a0
untuk mencari nilai suku banyak f(x) untuk x = k atau f(k) dapat ditentukan dengan cara substitusi atau dengan skema Horner. a. Cara Substitusi. Substitusikan x = k pada suku banyak f(x) = a n x n Diperoleh f(k) = a n k n
a n 1k
n 1
an 2k
n 2
....
an 1x
a2k
2
n 1
a1 k
an
2
x
n 2
....
a2 x
2
a1 x
a0
a0
b. Cara Skema Horner. Langkah skema horner sbb : k
a
b
c
ak
a
ak + b
d
ak 2 +bk
ak 3 +bk 2 +ck
ak 2 +bk+c
ak 3 +bk 2 +ck+d
nilai dari f(k) Contoh : Tentukan nilai dari suku banyak f(x) = x 3 2 x 2
x
1
untuk x = -2
a. Dengan substitusi F(-2) = ( 2) 3
2( 2)
2
( 2) 1
19
b. Dengan Horner x=-2
1
-2
1
1(-2)
-4(-2)
-18
-4
9
-19
1
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
-1
93
C. PEMBAGIAN SUKU BANYAK Jika suatu suku banyak f(x) berderaat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat m , maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S(x) . f(x) dinamakan yang dibagi (deviden)
f(x) = h(x) .g(x) + S(x)
g(x) dinamakan pembagi (divisor) derajat dari h(x) adalah n-m dan derajat s(x) adalah m-1
Pembagian suku banyak lebih praktis dilakukan dengan cara Horner. a. Pembagian suku banyak dengan (x-k) dan (ax+b). Jika f(x) = a n x n
an 1x
n 1
an
2
x
n 2
....
a2 x
2
a1 x
dibagi dengan (x-k) dan
a0
memberikan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S, dapat ditulis dalam persamaan : f(x) = (x-k) h(x) + S f(x) berderajat n dan pembagi (x-k) berderajat 1 , maka hasil bagi h(x) berderajat (n-1) dan sisa pembagiannya S adalah berderajat 0. Nilai S dan koefisien dari h(x) dapat ditentukan dg. cara pembagian Horner untuk x = k b. Pembagian suku banyak dengan (ax+b) Jika f(x) = a n x n
an 1x
n 1
an
2
x
n 2
....
a2 x
2
a1 x
dibagi dengan (ax + b) dan
a0
memberi hasil bagi h(x) serta sisa S, maka didapat persamaan : f ( x)
(x
b
)h( x)
s
a
1
(ax
b)h( x)
S
(ax
b)
h( x)
a
S
a
Nilai S dan koefisien dari h(x) ditentukan dengan cara Horner untuk x = c. Pembagian suku banyak dengan ax 2
bx
c , dengan a
b a
0
Jika f(x) dibagi oleh suku banyak ax 2 + bx + c. Pembagian ini dapat diselesaikan dengan metode Horner jika dapat difaktorkan , dan diselesaikan dengan pembagian biasa jika tidak dapat difaktorkan. a. Misalkan ax 2 + bx + c dapat ditulis sebagai a ( x k1 )( x k 2 ), a b. f(x) dibagi dengan x k1 , maka f ( x )
(x
k1 ) g ( x )
s1
c. Hasil bagi g(x) dibagi lagi dengan x k 2 , maka g ( x ) Jadi, f ( x )
(x
k1 )[( x
k2 )h( x)
s2 ]
k 1 )( x
= (ax 2
bx
k2 )
c)
h(x)
(x
a h(x) a
s2 x
k1 ) s 2
s1
dengan hasil bagi f(x) oleh a x 2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
(x
k2 )h( x)
s2
s1
= ( x k1 )( x k 2 ) h ( x ) ( x k1 ) s 2 =a ( x
0
s1 s1
s 2 k1 bx
c ad alah
h (x ) a
d an sisan ya s 2 x
s1
s 2 k1
94
Contoh :
(x
3
x
2
2x
4) : ( x
2
x
2)
Hasil bagi h(x) dan sisanya S = ax +b f ( x)
-2
(x
2
x
1
1
2) h ( x )
S
(x
2)( x
1) h ( x )
-1
2
-4
-2
6
-16
1
-3
8
-20 = f(-2)
1
-1
2
-4
1
0
2
0
2
-2 = f(1)
1
ax
b
f(-2) = -2a + b = -20 f(1) =
a + b = -2 -3a
= -18
, a = 6 dan b = -8
Jadi sisa pembagiannya S = 6x – 8 Menentukan hasil bagi : -2
1
1
1
1
-1
2
-4
-2
6
-16
-3
8
-20
1
-2
-2
6
Hasil pembagiannya h(x) = x - 2 d. Identitas. Yang dimaksud dengan identitas dalam aljabar ialah dua buah bangun yang tidak sama bentuknya tetapi sama nilainya untuk setiap harga dari variabelnya. Koefisien dari suku-suku yang sejenis pada ruas kiri dan kanan sama. Contoh : Carilah hasil bagi dan sisanya dari (3 x 4 3 x 3
4x
2
5x
10) : ( x
2
x
2)
Pembagi D<0 ( tidak dapat difaktorkan) 3x
4
3x
3
4x
2
5x
10
x
2
3x
4
3x
3
4x
2
5x
10
3x
x 4
2(3 x (A
2
3) x
3
Ax
B)
Px
(6
A
B)x
Q 2
(2 A
B
P)x
Q
2B
maka : A=2 , B = 0 , P = 1 , Q = -10
D. TEOREMA SISA( DALIL SISA) 1) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k) , maka sisanya adalah f(k) 2) Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisanya adalah f
b a
3) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – a )(x – b ), sisanya adalah S
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
x
b
a
b
f (a )
x
a
b
a
f (b )
95
E. TEOREMA FAKTOR Jika pembagian oleh P(x)=x – a menghasilkan sisa = 0 maka F(x) = (x – a ) H(x) dan disimpulkan F(x) habis dibagi oeh P(x) dapat disimpulkan : F(x) habis dibagi oleh P(x) (x – a ) disebut factor dari F(x) x = a disebut akar dari F(x) Menentukan akar-akar polynomial Bila
koefisien = 0 , akar x = - 1
Bila
koefisien genap =
koefisien ganjil , akar x = - 1
Jika kedua kondisi diatas tidak memenuhi, maka dicari dari factor konstanta akhir a n Sifat akar-akar polynomial ax
2
ax
3
x1
ax x1
bx bx
c 2
x2 4
bx x2
0 cx
d b
x3 3
2
x4
b
x2
x1 . x 2
a
c a
0 maka x1 . x 2
a
cx x3
maka x1
dx
e b a
0
x1 x 3
x 2 .x3
c
d
x1 . x 2 . x 3
a
a
maka
x1 . x 2
x1 x 3
x1 . x 4
x 2 x3
x2 x4
x3 x 4
c a
x1 . x 2 . x 3 . x 4
e a
SOAL-SOAL LATIHAN SUKU BANYAK. 1. Nilai suku banyak f(x) = -x3 – 2x2 – 3x untuk x = 3 adalah… a.-36 b.-6 c.0 d.12 e.18 2. Jika f(x) = x3 – 5x2 + x dan g(x) = 2x + 3 sedang h(x) = f(x) g(x) maka… a.h(x) = 2x4 – 13x3 – 12x2 – 3x b.h(x) = 2x4 – 7x3 – 12x2 - 3x c.h(x) = 2x4 – 13x3 – 12x2 + 3x d.h(x) = 2x4 – 7x3 – 13x2 + 3x 4 3 2 e h(x) = 2x – 7x – 17x + 3x 3. Nilai suku banyak –2x4 +5x3 – 7x2 – 5x – 2 untuk x = - 12 adalah… a.-0,75 b.-6,25 c.-5,25 d.-2 e.3 4. Jika x4 - 2x3 – 3x2 – x – 8 dibagi (x – 2) maka hasil bagi dan sisanya adalah. a.H(x) = x3 – 3x –7 dan S = -22 b.H(x) = x3 – 3x –10 dan S = -12 c.H(x) = x3 – 3x –2 dan S = -2 d.H(x) = x3 + 3x + 2 dan S = -12 e.H(x) = x3 + 3x + 2 dan S = -4 5. Jika x3 – 12x + a habis dibagi (x – 2) maka nilai a = … a.16 b.18 c.20 d.28 e.32 6. Jika f(x) = 6x3 + ax2 – 3x + b habis dibagi (2x – 1) dan bersisa 39 jika dibagi (x – 2); maka a dan b berturut-turut adalah… a.-1 dan –1 b.-1 dan 1 c.1 dan –1 d.-1 dan 2 e.1 dan 2 7. Jika (x + 2) merupakan factor dari 2x3 + x2 + px – 8 maka nilai p adalah… Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
96
a.-32
b.-16
c.-10
d.0
e.2
8. Suatu suku banyak, yaitu f(x), jika f(x) dibagi x2 –x – 2 mempunyai sisa 2x + 3, maka jika dibagi (x – 2) mempunyai sisa… a.7 b.4 c.1 d.-1 e.-4 9. Jika (x –1) dan (2x +1) merupakan factor dari 6x3 - 7x2 + ax + b maka a dan b berturutturut adalah… a.-1 dan 2 b.0 dan1 c.-3 dan 4 d.-5 dan6 e.-2 dan 3 10. Jika 6x4 + 7x3 – 3x2 – 6x + 1 dibagi (3x –1), maka hasil bagi dan sisanya adalah… a. 6x3 + 9x2 – 6 dan –1 b. 6x3 + 9x2 – 6x dan 3 c. 2x3 + 3x2 – 2 dan 3 d. 2x3 + 3x2 – 2 dan –1 e. 2x3 + 3x2 – 2 dan – 13 11. Bila x4 - 3x3 + px2 + qx + 8 habis dibagi (3x – 1), maka nilai p dan q berturut-turut adalah… a.6;12 b.6;4 c.6;-12 d.3;9 e.3;3 12. Suku banyak f(x) bila dibagi (2x – 5) sisanya 17 dan bila dibagi (x + 3) sisanya 6.Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 + x – 15) bersisa… a.-2x b.2x +12 c.-2x + 11 d.22x – 1 e.-22x + 13 13. Suku banyak f(x) bila dibagi (x2 – 9) bersisa (2x – 1), bila dibagi x2 – 7x + 6 bersisa 3x + 4, maka bila dibagi x2 – 4x + 3 bersisa… a.x + 6 b.-x + 5 c.-3x + 3 d.-3x +4 e.-x + 8 14. Himpunan penyelesaian dari persamaan x4 + 4x3 + 2x2 – 4x – 3 = 0 adalah… a. 1,-1,3 b. -1,1,-3 c. -1,3 d. 1,-1,3,-3 e. -1,3,-3 15. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1)(9x – 3) bersisa 2x – 5. Jika suku banyak itu dibagi 9X + ) maka sisanya… a.-3 b.-7 c.-12 d.6 e.12 16. Bila x3 - 4x2 + 5x + p dan x2 + 3x – 2 dibagi (x+ 1) memberi sisa yang sama, maka nilai p sama dengan… a.-6 b.-4 c.-2 d.4 e.6 17. Jika x3 - 4x2 + px + q habis dibagi x2 – 3x + 2 maka… a.p = 5, q = 2 b.p = -5, q = 2 c.p = 2, q = -5 d.p = 5, q = -2 e.p = -2, q = 5 18. Jika x4 + 4x3 + 2x2 – 4x b dibagi x2 – 1 bersisa 6x + 5 maka… a.a = -1, b = 6 b.a = -1, b = -6 c.a = 1, b = 6d. d.a = 1, b = -6 e.a = -5, b = 6 19. Jika f(x) dibagi (x –1) sisanya 4 dan dibagi (x – 2) sisanya 5,maka jika f(x) dibagi (x2 – 3x + 2) sisanya… a.x +3 b.x – 3 c.x + 2 d.x – 2 e.x + 1 20. Jika f(x) dibagi x2 – x sisanya 5x + 1, jika dibagi x2 + x sisanya 3x = 1, maka jika f(x) dibagi (x2 –1) sisanya… a.-4x +2 b.4x + 2 c.2x + 4 d.2x – 4 e.8x + 2 21. Himpunan penyelesaian dari persamaan x3 - 3x2 - 10x + 24 = 0 adalah… a. 3,-2,4 b. -3,-2,4 c. 3,2,-4 d. -3,2,-4 e. -3,2,4 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
97
22. Garis singgung pada kurva y = 2x3 –2x + 1 yang dapat ditarik dari titik (0,-3) mempunyai gradien… a.1 b.2 c.3 d.4 e.5 23. Jika x4 - 3x3 + px2 + qx + 8 habis dibagi (x2 – 3x + 2) maka nilai p dan q berturut-turut adalah… a.6;10 b.6;12 c.6;-12 d.0;6 e.1;10 24. x5 - 4x4 - 3x3 +22x2 - 4x – 24 = 0 maka himpunan penyelesaiannya =… a. -1,-2,2,3 b. -1,-2,4,3 c. -1,-2,2,4,3 d. -1,-2,2,-3,4 e. -1,-2,-3,2 25. Jika 2x4 - 8x3 +px2 + qx – 15 habis dibagi (x2 –2x – 3) maka… a.p = 2, q = 7 b.p = 2, q = 5 c.p = 5, q = 2 d.p = 7, q = 2 e.p = 7, q = 5
Kasih itu murah hati Rela menderita
Soal – soal Suku banyak Ujian Nasional 1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah …. a. 8x + 8
b.8x – 8
c.– 8x + 8
d.– 8x – 8
e.– 8x + 6
2. Sisa pembagian suku banyak ( x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1 ) oleh ( x2 – x – 2 ) adalah …. a. –6x + 5
b.–6x – 5
c.6x + 5
d.6x – 5
e.6x – 6
3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …. a. 2x + 2
b.2x + 3
c.3x + 1
d.3x + 2
e.3x + 3
4. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu factor yang lain adalah …. a. x – 2
b.x + 2
c.x – 1
d.x – 3
e.x + 3
5. Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b dibagi oleh ( x2 – 1 ) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …. a. – 6
b.– 3
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
c.1
d.6
e.8
98
6. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 ) sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi ( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …. a. –x + 7
b.6x – 3
c.–6x – 21
d.11x – 13
e.33x – 39
7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang lain adalah …. a. 2x – 1
b.2x + 3
c.x – 4
d.x + 4
e.x + 2
8. Suku banyak P(x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …. a. 20x + 24
b.20x – 16
c.32x + 24
d.8x + 24
5.D
7.D
e.–32x – 16
Kunci Jawaban Suku Banyak 1. A
2. A
3.B
4.A
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
6.E
8.D
99
