STUDIE VAN PEN- EN PLAATFIXATIES VAN
BREKKEN IN HET F E ì a R
R. Rombouts mei 1972
- a -
Inhoudsopgave C
Literatuur
1.
2.
3.
4.
Probleemstelling 1.1
Inleiding
1.2
Het probleem
1.3
Modelvorming
1.4
Mathematisch model
1.5
Materiaal, belasting en geometrie
De elementenmethode
4
2. i
Uitgangspunt
4
2.2
Eet balkelement
5
2.3
Methode van de onbekende verplaatsing
6
2.4
De stijfheidsmatrix
7
2.5
Beschrijving van de totale konstruktie
8
2.6
Oplossing van het probleem
11
Bet gereedschap
12
3.1
Hoofdpr ogramma
12
3.2
Randpr ogramma ' s
13
Medellen van het f e m w
14
4.1
14
De elementen 4.1
~
~~~
' ~
1
l t TRIPI-3
4.1.2
Secos
4.1.3
Becosx
~
4.2
4.3
4.4
Het tweedimensionaal model 4.2. i
Opbouw
4.2.2
Numerieke resultaten
Het driedimensionaal model 403.1
Opbouw
4.3.2
Numer ieke resulkaten
Vergelijking v a n heide modellen
18
18
- b -
Pa8 5.
19
ASKA Job C o n t r o l
5.2
ASKA P r o c e s s o r C o n t r o l
5.2.1 5.2.2
7.
20
Inleiding
De P r o c e s s o r
5.3
De topologische Seschrijving
23
5.4
D e Data
25
,
6.
19
5.1
5.4.1
Inleiding
5.4.2
De d a t a b l o k k e n
D e numerieke gegevens
26
6.1
NPCO
26
6.2
GEDA
27
6.3
ENOD
28
6.4
XPBR
28
Resu 1t a t en
30
7.1
Beschouwing h e e l femur
30
i
7.1.1
Twee m o d e l l e n
7.1.2
Twee b e l a s t i n g e n
7.1.3
R e s u l t a t e n h e e l femur
~
7.2
7.3
Beschouwingen gebroken femur 7.2.1
Breken v a n h e t femur
7.2-2
Resultaten
~ i _ c k . . ~ c ~i-~an i p de 7 I
. 3'5 . 1 I
7.3.2
Tr,-.-.-l:
resilltaten
33
36
:17:nmc1r,-;
-
Y ~ L ~ = : I 1 _ 1 R I I ' h ~ r \ i l I L ~ L ~ U
Hodelvorming v a n d e b r e u k
B i j l a g e n en g r a f ieken
A-
1-
- c -
Litera tuur 1.
Argyris, N.C. ASKA User's aeference manual
ISD report-73,Stuttgart i97 i 2.
Blaimont, P . Contribution à l'étude bioméchanique du férnur liumain Acta Orthopaedica Belgica 34 (1968), pp. 665
3.
- 844
Brekelmans,W.A.M. en Poort, H.W. Numerieke Analyse van de spannings- en vervoEmingstoestand in het femur m.b.v. de methode der eindige elementen T.B. rapport WE 71-27
4. Janssen, J.D. Numerieke Methoden Technische Hogeschool Eindhoven Kollegediktaat, 1970 5.
Koch, J.C.
Laws of bone architecture American Zournal of Anatomy 21 ( 1 9 1 7 ) , pp. 177 - 298 6.
7.
Tomesen, L.B.M. Literatuur studie over materiaaleigenschappen van spongieus en kompakt bot T.K. rapport WE 71-30
1.
Probleemstelling
L I _ h--l e ---iding ~
Voor o r t h o p e d i s c h e i n g r e p e n en onderzoeken i s h e t v a n b e l a n g e e n goed ~~~
i n z i c h t t e hebben i n h e t mechanisch g e d r a g v a n s k e l e t d e l e n onder d e
~~~
optredende b e l a s t i n g s s i t u a t i e s .
Daardoor k a n men het, e f f e k t v i n i n g r e p e n
e n v e r v a n g i n g e n nagaan en h e t g e d r a g onder extreme k o n d i t i e s v o o r s p e l l e n . Ook kan men k r i t e r i a o p s t e l l e n , waaraan v e r v a n g i n g s m i d d e l e n en o s t e o s y n t h e s e m a t e r i a a l v a n u i t mechanisch oogpunt moeten v o l d o e n .
*
'
2 Het-EEobleem I n d e z e s t u d i e hebben w e ons b e p e r k t t o t een b r e u k i n h e t d i j b e e n b o t . B e p a a l d e b o t b r e u k e n kan men goed behandelen d o o r e e n goede r e p o s i t i e gev o l g d door een g i s p i m m o b i l i s a t i e , andere botbreuken lenen z i c h s l e c h t v o o r g i p s i n m o b i l i s a t i e , omdat d e z e b . v .
omgeven i s door e e n u i t g e b r e i d e
s p i e r k o k e r . Een goed v o o r b e e l d h i e r v a n is h e t d i j b e e n b o t ; v o o r e e n g o e d e i m m o b i l i s a t i e zou d e p a t i e n t v a n b o r s t k a s t o t z i j n v o e t e n i n g e g i p s t moet en worden. S i m p e l e b e s c h r i j v i n g v a n h e t Femur(dijbeen)
zie fig.
1.1
en
1.2.
A l e n i g e j a r e n i s h e t g e b r u i k e l i j k d e s c h a c h t f r a k t u r e n v a n h e t femur
o p e r a t i e f t e behandelen. I n p r i n c i p e z i j n h i e r v o o r
a.
penfixatie
b.
p l a a t f i x a t i e m.b.v.
m.b.v.
e e n mergpen i n h e t femur een p l a a t op h e t femur
2
technieken:
-z-
- 3 -
1.3 Modelvorniing ---_-_----_ Het mathematisch model i s een s c h e m a t i s e r i n g v a n d e w e r k e l i j k h e i d en w o r d t weergegeven i n w i s k u n d i g e f o r m u l e r i n g e n . Van b e l a n g i s d a t de e s s e n t i ë l e p a r a m e t e r s i n d e z e modelvorming i n r e k e n i n g g e b r a c h t worden. Van minder b e l a n g z i j n d e
aria bel en, werden z i e t heschmvd ( v e r w â a r l o û s d )
Toch z a l een d e r g e l i j k model d e r e a l i t e i t v o l d o e n d e moeten b e s c h r i j v e n . K e t model moet d e e i g e n s c h a p hebben d a t h e t g e v e r i f e e r d of g e f a l c i f i c e e r d k a n worden m e t behulp v a n e e n experiment aan d e r e a l i t e i t .
(een d e r g e l i j k
e x p e r i m e n t h e e f t een w e z e n l i j k ander d o e l a l s h e t d o e l v a n d e experiment e n b e d o e l d onder d e " e x p e r i m e n t e l e techniek")
e
V o o r d e e l v a n d e z e methode i s , g e s t e l d d a t v a n h e t model i s aangetoond
d a t h e t de r e a l i t e i t v o l d o e n d e b e s c h r i j f t , d a t d e p a r a m e t e r s g e m a k k e l i j k t e w i j z i g e n z i j n , d e i n f o r m a t i e d i e v e r k r e g e n w o r d t , u i t g e b r e i d e r is en d e r e s u l t a t e n g e n e r a l i s e e r b a a r z i j n . L L In Ct L
T . L . LU I.
rappelt
hTE
71-27 w o r d t
D*e'Keimans
en ?oor= - aaqrrtoona
d a t een mat'nematisch moáei op b a s i s van de elementenmethode d e v o o r k e u r v e r d i e n t boven b e s t a a n d e t e c h n i e k e n om h e t mechanisch g e d r a g v a n h e t
b o t t e onderzoeken. I n d e z e s r u d i e i s g e b r u i k gemaakt v a n een mathematisch model op b a s i s v a n d e e 1emen t enme thod e.
1 . 4 Mathematisch model B i j beschouwingen v a n een k o n s t r u k t i e worden o n d e r s c n e i d e n :
I.
belasting
2.
mechanische eigenschappen / g e o m e t r i e 'materiaaleigenschappen
3.
mechanisch g e d r a g
Sc h erna t i s c h w e er gegeven :
mechanisch g e d r a g
A
A l s men een u i t s p r a a k w i l doen o v e r h e t mechanisch g e d r a g z u l l e n er g e g e v e n s moeten z i j n o v e r b e l a s t i n g , g e o m e t r i e en m a t e r i a a l g e d r a g . V e r d e r z a l men een a n a l y s e t e c h n i e k en g e r e e d s c h a p t o t z i j n b e s c h i k k i n g moeten nebben om h e t mechanisch g e d r a g t e b e s c h r i j v e n . D e t w e e l a a t s t genoemde punten v e r d i e n e n a f z o n d e r l i j k e n i g e beschouwing,
t e r w i j1 de
v a n d r i e d a a r v o o r genoemde punten r e s u l t a t e n v a n e e r d e r v e r r i c h t é onderzoeken g e b r u i k t z u l l e n worden.
- 4 1.5 M a t e r i a a i , b e l a s t i n g en g e o m e t r i e
Zo z i j n er p r o e v e n t e r b e p a l i n g v a n d e f y s i s c h e e i g e n s c h a p p e n v a n
b o t m a t e r i a a l u i t g e v o e r d d o o r Gluner 1947, Evans en Lebow 1 9 5 9 , Smith en K a l m s l e y 1960, K i r s c h 1958, S e d l i n 1966, Semb 1966, Contet-KoyerVassal e n Arene 1967, Blaimont en B u r n i e 1968, E i a l l e u s e en Jedwab
e n D a S i l v a 1970. Z i j hebben onder Keer t r e k s t e r k t e ,
1968,
d r u k s t e r k t e , hadd-
h e i d en e l a s t i c i t e i t s m o d u l i v a n h e t materiaal b e p a a l d . V e r g e l i j k i n g v a n d e opgegeven waarden van d e z e l f d e f y s i s c h e g r o o t h e i d tonen g r o c e v e r s c h i l l e n . Vaak i s h e t n i e t d u i d e l i j k welke t e c h n i e k e n g e b r u i k t z i j n , z o d a t h e t m o e i l i j k i s d e opgegeven waarden op hun w a a r d e
t e s c h a t t e n . Vandaar d a t men bedachtzaam d e z e g e g e v e n s moet g e b r u i k e n . Voor b e l a s t i n g s s i t u a t i e s g e l d t ruw gezegd h e t z e l f d e . P u b l i k a t i e s over d e b e l a s t i n g s s i t u a t i e s ( R y d e l l 1966, Chamley, McLeich, J.F. Williams
e.a.
1968, J.P.
P a u l 1970) geven o n d e r l i n g n o g a l a f w i j k e n d e g r o o t h e d e n .
Ge=pLetri&epa1ing c k e l e t d e l e n wy-;dt op h e t o g e n b l i k met bel=Luipv a c = . r_ u- n t g e n - p l a n i g r a f i e v e r r i c h t op T.H. Eindhoven. -v e r d e r i s g e b r u i k gemaakt v a n d e mathematische modellen, opgebouwd m e t behulp v a n a n a l y t i s c h e t h e o r i e , v o o r h e t femur v a n Koch 1917, Blaimont 1968. I n h o o f d s t u k 6 z i j n d e nummerieke gegevens d i e n o d i g z i j n v o o r h e t geb r u i k t e model aangegeven met d e bron v a n herkomst en gemaakte aannamens vermeld.
2.
D e elementenmethode ( a f g e k o r t
E;;ylJ
2 1 HeE-Ui~gangsEUnt-io-be_elernentenmetSobe_~~: v e r d e e l d e k o n s t r u k t i e i n e e n - vaak g r o o t
-
a a n t a l o n d e r d e l e n , elemen-
t e n genaamd, met b e t r e k k e l i j k eenvoudige g e o m e t r i s c h e bepgrenzingen en b e t r e k k e l i j k eenvoudige mechanische eigenschappen; s t e l d e voorwaarden op d i e v o l g e n u i t een
"ZO
goed m o g e l i j k e " o n d e r l i n g e k o p p e l i n g van d e
elementen; t r a c h t a a n d e z e voorwaarden t e v o l d o e n . Wanneer r e e d s i n e e n v r o e g stadium v a n d e a n a l y s e d e computer e f f e k t i e f moet worden i n g e s c h a k e l d , moeten f u n k t i e s v a n v a r i a b e l e n , d i e i n een b e p a a l d g e b i e d i e d e r e waarde kunnen aannemen en differentiaalkoëfficienten vermeden worden. Eet g e d r a g van d e k o n s t r u k t i e z a l i n een op d e computer a f g e s t e m d e methode
n i e t g e k a r a k t e r i s e e r d worden door een a a n t a l f u n k t i e s v a n d e p l a a t s k o s x d i n a t e n , maar d o o r een a a n t a l numerieke waarden v o o r een a a n t a l i n t e r e s s a n t e p a r a m e t e r s i n e e n a a n t a l d i s k r e t e punten v a n d e k o n s t r u k t i e .
De methode zal worden toegelicht aan de hand van balkelementen, omdat dit een type element is aan de hand waarvan de methode van werken met de EM goed geyllustreerd kan worden. De aanpak gebruikt bij dit type element is in wezen dezelfde als die
bij het drie dimensionale balk-model.
Het werken met de EM zal aan de hand van een eenvoudige konstruktie (fig. 2 . 2 . 1 ) wirden toegelicht. ile konstruktie wordt in twee elementen verfeeld, die eenvoudig te beschrijven zijn (fig. 2 . 2 . 2 ) .
We zullen nu een element beschrijven dat van belang is voor vlakke balkkonstrukties. In figmx 2 . 2 3 i s het ke-element uit een balkkonstruktie weergegeven. De knooppunten van dit element zijn aangeduid met 1 en 2 . (Opmerking: in de balkentheorie speelt alleen de axiale richting een beslissende rol; vandaar dat over "punten" gesproken wordt). In de knooppunten zijn de verplaatsingsparameters en de krachtparameters aangegeven.
- 6 -
Wanneer wij de hypothesen van de balktheorie accepteren is het gehele verplaatsings- en spanningsveld bepaald door de 6 verplaatsingsgrootheden uit fig. 2.2.3. Eveneens geldt dat
-
-
op een beweging als star lichaam na N
sings- en spanningstoestand bepaald is door b.v.
1
de verplaat-
er? M
1
i
De drie
andere krachtgrootheden zijn hieraan op grond van evenwichtsbeschouwingen gekoppeld.
2.3 Methode van de onbekende verelaatsingen ............................ ----_-_-_ De methode die hier nu verder uitgelegd zal worden is de "methode van de onbekende verplaatsingen". Dit wil hier zeggen dat de toestand van het element gekarakteriseerd wordt door de verplaatsingsgrootheden tn u2) w2,
+ly
$z.
1) wl' Door 6 getallen kunnen wij de situatie beschrijven.
Dit is een beschrijving die ook door een computer gebruikt kan worden. De
Ó
getaiien vatten we op als komponenten van een vektor: de verplaat D
singsvektor voor het k- element.
op de getransponeerde:
Ak
=
1
W
1 $1
U
2
w 2 $21
Zo ook kunnen we de belastingsvektor definiëren:
pi r
I 1-
fK
=
D
1
?I
1
N2
D2 "21
Om te kunnen werken met de "methode van de onbekende verplaatsingen" is het nodig om de belasringsvektor uit te kunnen drukken in de verplaatsingsvektor. Dit gaat ais volgt: i-
r
....... € 1
$11 i4
1 $1
$I
U
I
1 $1
W
*2
u2
W
W
2
$2,
2
$2
,
- 7 Waarin Q een 6 x 6 matrix i s , genaamd d e " s t i j f h e i d s m a t r i x " .
2.4 D e s t i j f h e i d s m a t r i x k D e matrix Q z i e t er a i s v o l g t u i t : I ,
Q =
s1
O
O
O
12s2
-6S2L
O
-6S2R
-S
4S2R2
o
O
1
O
-12s2
O
-6S2R
I )
- EF S1 -
met:
(E
=
;
S2
-S
O
O
1
O
-12S2R
o
6S22
-6S2R
2S2x2
s1
O
O
6S2R
O
12s2
6S2t
2s R 2 2
o
-
6S2R
4S2R2
- -E I R3
elasticiteitsmoduius,
-I
= o p p e r v i a k t e traagheidsmoment, F = û p p e ï v l a k
d o o r s n e d e ) . Voor d e a f l e i d i n g z i e b i j l a g e
1.
D e komponenten van d e s t i j f h e i d s m a t r i x hebben een d u i d e l i j k f y s i s c h e betekenis.
D i t i s t e z i e n door één van d e komponenten v a n d e v e r p l a a t s i n g e v e k t o r d e waarde
1,
d e a n d e r e d e waarde O t e geven. Dus d o o r a l l e v e r p l a a t s i n g e n
i n d e knooppunten O t e nemen, op één na, waaraan d e waarde 1 wordt t o e g e k kend. Neem b . v . d e eerste komponent v a n u (u ) o n g e l i j k O. Dan k r i j g e n
we de s i t u a t i e u i t f i g . 2.4.1.
1
E.F
e
L
E.F immers: v o l g e n s d e Hl - R UI
=
1
dus:
- E .F R
N1 -
N .R
biet
v a n Hooke: u
1
=
I E.F
Een a n d e r e s i t u a t i e o n t s t a a t door d e z e l f d e gedachtegang u i t t e v o e r e n voor w
1
( z i e f i g . 2.4.2)
en v o o r $ ( z i e f i e ; . 2 . 4 . 3 ) .
H e t s p r e e k t v a n z e l f d a t d e h i e r v o o r g e b r u i k t e gedachtengang om d e termen van d e s t i j f h e i d s m a t r i x t o e t e l i c h t e n ook kar, d i e n e n om d e z e termen t e b e p a l e n . Wanneer d e symmetrie i n d e k o n s t r u k t i e g e b r u i k t w o r d t , z i j n d e d r i e h i e r v o o r g e s c h e t s t e problemen t o e r e i k e n d .
In de s i t u a t i e als in f i g .
2.2.1
geschetst i s leveren de aansluit-
en
o v e r g a n g s k o n d i t i e s geen m o e i l i j k h e d e n op. D e a a n s l u i t k o n d i t i e s v o l g e n u i t h e t f e i t d a t d e v e r b i n d i n g e n s t a r z i j n . Omdat d e s t a a f a s s e n v a n en element
@
i n elkaars v e r l e n g d e g e l e g e n z i j n , z a l g e l d e n f
d a t d e l a a t s t e d r i e komponenten v a n U t g e l i j k z i j n a a n d e eerste komponenten v a n U
2
.
drie
W e kunnen ook zeggen: i n i e d e r knooppunt v a n d e k o n s t r u k t i e ( d i t
z i j n d e p l a a t s e n waar d e k o n s t r u k t i e s star met e l k a a r v e r b o n d e n z i j n ~
~~
~
e n d e p l a a t s e n waar d e k o n s t r u k t i e m e t d e omgeving i s verbonden) z i j n d e z e v e r p l a a t s i n g s g r o o t h e d e n n o o d z a k e l i j k en v o l d o e n d e om h e t g e d r a g v a n d e h e l e k o n s t r u k t i e t e b e s c h r i j v e n . We merken op d a t ook d e verb i n d i n g e n m e t d e vaste w e r e l d a l s knooppunt z i j n g e k a r a k t e r i s e e r d .
I n h e t algemeen z u l l e n sommige v e r p l a a t s i n g s g r o o t h e d e n i n d e z e knooppunten bekend z i j n vanwege d e g e o m e t r i s c h e r a n d k o n d i t i e s v o o r d e kon-
st r u k t i e . Met behulp v a n f i g . U
t
2.5.1
kunnen w e nu d e t o t a l e v e r p l a a t s i n g s v e k t o r
voor d e konstruktie bepalen.
uIwI%
u2w2$2
u3w3s3
Evenzo kunnen we met f i g . 2.5.3 d e t o t a l e b e l a s t i n g s v e k t o r f
f t =
k
XI
k
zl
M
y1
k
x2
k
22
2%
y2
k
x3
k
23
bepalen.
t
M y3
Om d e o v e r g a n g s k o n d i t i e s i n d e k r a c h t g r o o t h e d e n i n knooppunt
2
van d e
k o n s t r u k t i e op t e s t e l l e n b e k i j k e n w i j f i g . 2.5.3.
Opmerking: d e a a n d u i d i n g f ' f',
enz.
4
b e t e k e n t : d e 4e komponent v a n d e v e k t o r
-
10
-
Ket evenwicht van het uitgesneden "zeer kleine" deel van de balk (afmeting in axiale richting infinitesimaal klein) vereist dat geldt:
1
2
(i=4,5,6)
f [ i + f li-31 = ftlil
Bed enken we bovendien dat uit de beschouwing van knooppunt volgt:
1
f. [ i
=
ftlil
1
en 3
(i=l,2,3)
2
(i=7,8,9)
f li-31 = ftli[
dan is de koppeling tot stand gebracht tussen de belastingsvektoren van de elementen en de totale belastingsvektor van de konstruktie. We kunnen de vergelijking afgeleid in 2 . 3 ook anders schrijven door
gebruik te maken van U,.O
0
0
O
0
0
. u
t
O
.O
O
O
De bewering is nu- dat uit de hiervoor gegeven betrekkingen voor de krachtvektoren volgt:
+
O O
I
1 i
i
Ii 1 I
i !
1 i 1
!
D e k o p p e l i n g t u s s e n f _ en U L
waarbij Q
t
t
i s nu bekend.
een 9 x 9 matrix i s .
3 c i
S
L
2 Qt =
3
4
7
2.7
l o s s i n g --------v a n h e t probleem -O g------------
We hebben a f g e l e i d :
ft
= Qt-Ut
B i j d e gegeven k o n s t r u k t i e z i j n 4 komponenten v a n U t bekend ( i n d i t z i j n 5 komponenten bekend. Onbekend geval z i j n d i e z e l f s O ) . Van f
t
z i j n d e r h a l v e 5 komponenten v a n U
t
en 4 v a n f
t
. In
t o t a a l dus 9 onbeken-
-
12
-
den, t e r w i j l we ook b e s c h i k k e n o v e r 9 l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n i n d i e onbekenden. W i j z i j n dus i n s t a a t d e onbekenden t e berekenen. Opmerking
Daar b i j een b e s c h r i j v i n g v a n een g r o t e k o n s t ï ü k t i e , op d i e h i e r b s v e r , genoemde manier, v e l e elernenten nodig z i j n en h i e r d o o r v e l e gegevens v e r w e r k t moeten worden,
z a l d e u i t v o e r i n g v a n d e b e s c h r e v e n methode
hoge e i s e n s t e l l e n a a n :
3.
1.
d e l o g i s c h e opbouw
2.
h e t konsekwent volhouden v a n gemaakte t e k e n a f s p r a k e n ,
3.
h e t goed v e r w e r k e n en r u b r i c e r e n v a n a l l e g e g e v e n s
en
H e t gereedschap
Wil men kunnen werken m e t d e E.M. computer p l u s d e programma's
dan moet men b e s c h i k k e n o v e r een
d i e d e aangeboden i n f o r m a t i e ekonomisch
kan o p s l a a n en h i e r u i t d e g e w a a g d e g r o o t h e d e n berekenen kan. Nu b e s t a a t h i e r v o o r een programma-systeem,
op b a s i s v a n d e E.X.
voor de
a n a l s y e v a n l i n e a i r e l a s t i s c h e k o n s t s u k t i e s onder s t a t i s c h e b e l a s t i n g e n , d a t ASKA h e e t . ASKA i s d e a f k o r t i n g v a n : "Automatic
System f o r K i n e m a t i c Analysis".
H e t systeem i s o n t w i k k e l d d o o r p r o f . d r . van het "Institut tionen" '
(1%))t e
J.H.
A l g y r i s en z i j n medewerkers
f u r S t a t i k und Dynamik der L u f t - und RaumfahrtkonstruikStuttgart.
B e t systeem maakt g e b r u i k v a n d e v e r p l a a t s i n g s m e t h o d e .
De te analyseren
k o n s t r u k t i e w o r d t o p g e d e e l d g e d a c h t i n een e i n d i g a a n t a l elementen met e e n v o u d i g e g e o m e t r i s c h e eigenschappen, A f h a n k e l i j k v a n d e a a r d v a n d e k o n s t r u k t i e kunnen v e r s c h i l l e n d e t y p e elementen worden g e b r u i k t (balkelementen, v l a k k e d r i e h o e k i g e elementen, r i n g e l e m e n t e n ,
prismatische
elementen, e t c . ) .
. I n d e knooppunt e n z i j n d e elementen met e l k a a r verbonden. Binnen e l k element wordt h e t v e r p l a a t s i n g s v e l d g e h e e l bepaald door d e verplaatsingsgrootheden v a n d e b i j d a t element behorende knooppunten. D i t g e b e u r t d o o r h e t k i e z e n v a n i n t e r p o l a t i e f u n k t i e s . De keuze v a n d e i n t e r p o l a t i e f u n k t i e s wordt
-
13
-
b e p e r k t d o o r een a a n t a l e i s e n , waaraan h e t g e k r e ë e r d e v e r p l a a t s i n g s -
v e l d moet v o l d o e n om t o t z i n v o l l e b e n a d e r i n g e n v a n h e t probleem t e kunnen komen
e
Deze methode i s h e t meest z i n v o l t e b a s e r e n op het p r i n c i p e v a n d e minimale p o t e n t i ë l e e n e r g i e . De t o t a l e i n d e k o n s t r u k t i e opgehoopte VormveraEderingsenergie kan u i t g e d r u k t worden i n d e knooppuntsverplaatsirjgen. De p o t e n t i ë l e energie van uitwendige belastingsgrootheden w o r d t u i t g e d r u k t i n d e z e b e l a s t i n g s g r o o t h e d e n en i n knooppuntsverp l a a t s i n g e n . Het s t a t i o n a i r s t e l l e n v a n d e z o t e v e r k r i j g e n u i t d r u k k i n g voor d e p o t e n t i ë l e e n e r g i e r e s u l t e e r t i n e e n s t e l s e l l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n i n d e onbekende v e r p l a a t s i n g e n . N a o p l o s s i n g v a n d i t
s t e l s e l z i j n d e knooppuntsverplaatsingen en dus h e t v e r p l a a t s i n g s v e l d bekend. V i a v e r p l a a t s i n g
-
rek r e l a t i e s en de Wet v a n Hooke kunnen
d e spanningen worden gevonden. ûm m e i h e i programma e e n probleem op t e l o s s e n ,
voeren,
een
uit ' te
i s een h o e v e e l h e i d i n v o e r nodig, d i e een g e s t a n d a r d i s e e r d e
vorm h e e f t .
D e i n v o e r v o o r een ASKA-job
b e s t a a t u i t vier d u i d e l i j k t e s c h e i d e n
b l o k k e n , d i e w e i n h o o f d s t u k 5 nader z u l l e n t o e l i c h t e n a a n d e hand v a n h e t g e b r u i k t e element.
3*2
1. 2.
D e "ASKA P r o c e s s o r C o n t r o l "
3.
D e "Topological Description"
4.
D e "Data"
De "Job-control!
oe-raEdPrograEels Om d e i n v o e r g e g e v e n s v a n ASKA, met name v o o r h e t D a t a - b l o k
en d e Geda ( z i e h o o f d s t u k 5
d e NPCO
), t e berekenen u i t d e l i t e r a t u u r -
g e g e v e n s i s een programma g e s c h r e v e n i n PAlgol en d i t werd verwerkt op d e computer v a n d e T.H.E.
(EL-X8). ( z i e b i j l a g e
D e EL-X8 g e e f t a l l e e n u i t v o e r op "paper
2).
tape" en "print",
ASKA, d a t g e d r a a i d w o r d t op d e I,B.M.-370/75
terwijl
computer v a n h e t P h i l i p s
Rekencentrum, a l l e i n v o e r h e e f t op p o n s k a a r t e n . H i e r werden w e dus g ekonf r on t e e r d m e t e en konver s i e p r ob 1eem "pap er t a p e-pon sk a a r t en". D i t i s o p g e l o s t d o o r een k o n v e r s i e programma t e s c h r i j v e n , d i t i n samenwerking met i r . P i e t e r s e n v a n E l e k t r o a f d e l i n g v a n T.H.E. Op d e genoemde a f d e l i n g w a s ook d e m o g e l i j k h e i d d i t programma t e draaien.
-
4.
14
-
Modellen van het femur
4.1 De elementen -_---------Alvorens het bot te beschouwen is het zinvol om de elementen die in de modellen zijn toegepast nader te beschouwen. Er zullen 2 modellen in dit hoofdstuk besproken worden, te weten:
1.
vlakke model met "TRDf 3" elementen
2.
3-dimensionale model met "BECOS" elementen
Voor de beschrijving van het osteosynthese materiaal zijn 2 elementen gebruikt : 3.
4. 4 1 a
voor de fixatiepen
11
BecosIt e 1ementen
voor de plaatfixatie
11
Bec osx" eiementen
.1
TRU-1-3 ------
TRIM-3 is een driehoekig plaatelement met 3 knooppunten ,p ,p ) , aan ieder knooppunt 3 vrijheidsgraden (u,v,w). 2 3 Het element kan gebruikt worden met lineair verlopende dikte.
(Pl
A l s invoergegevens zijn nodig:
1.
koördinaten van de knooppunten (geometrie)
2.
de bij elk element behorende knooppuntnummers (topologie)
3. de materiaaleigenschappen (eventueel verschillend van element tot element) 4.
de dikte van de elementen
5. gegevens over de wijze waarop en de plaats waar de "konstruktie" aan de vaste wereld vastzit.
-
15
-
M e t d e z e g e g e v e n s i s h e t m o g e l i j k om d e s t i j f h e i d s m a t r i x op t e s t e l l e n . N a h e t s a m e n s t e l l e n v a n d e b e l a s t i n g s v e k t o r kan men h e t verkregen l i n e a i r s t e l s e l oplossen. A l s u i t v o e r kunnen w i j b i j v o o r b e e l d v e r w a c h t e n :
i.
d e b i j e i k knooppunt behorende v e r p l a a t s i n g
2.
d e r e k k e n v o o r e l k element
3.
d e spanningen i n e l k element
N.B.
D e op d e z e w i j z e v e r k r e g e n spanningen p e r element brengen
met z i c h mee d a t v o o r d e " k o n c t r u k t i e "
a l s g e h e e l een d i s -
k o n t i n u s p a n n i n g s v e r l o o p w o r d t gevonden h e t g e e n n i e t met d e r e a l i t e i t i n overeenstemming z a l z i j n . Daarom w o r d t d e gevonden spanning p e r element v a a k s l e c h t s toegekend a a n h e t z w a a r t e p u n t v a n h e t element.
Bet B e c o s element i s een ntassief
c y l i n d r i s c h balkelement m e t
P ) l i g g e n op d e u i t e i n d e n 2 v a n d e a x i a l e as en hebben i e d e r v i j f v r i j h e i d s g r a d e n ( v e r p l a a t k o n s t a n t e d i k t e . D e knooppunten (P
1'
y 4 ) . H e t element houdt r e k e n i n g x y 4, z met S t . Venant t o r s i e maar n i e t m e t s c h e v e b u i g i n g .
s í n g e n u y v y w yr o t a t i e 4
A l s invoergegevens z i j n nodig:
i.
8 g e o m e t r i s c h e g e g e v e n s p e r element: o p p e r v l a k v a n d e doorsne-
de ( A ) ; d e d r i e o p p e r v l a k t e traagheidsmomenten (I I , I ); xy y z t o r s i e k o n s t a n t e v a n S t . Venant (J); k o ö r d i n a t e n v a n een punt PO om e e n l o k a a l a s s e n s t e l s e l vast t e l e g g e n (xo YYo Y z o )
2.
4 t o p o l o g i s c h e gegevens p e r knooppunt: nummer v a n h e t knooppunt + d e k o ö r d i n a t e n
3. Nateriaaleigenschappen per element 4.
Gegevens over de wijze waarop en de plaats waar de "konstruktie" aan de vaste wereld vastzit. (zie ook Hoofdstuk 6)
Xet deze gegevens kan de stijfheidsmalrix opgesteld worden. Na het op de juiste wijze in brengen van de belasting kunnen ook hier de onbekenden berekend worden.
Als uitvoer kunnen we verwachten:
1.
per knooppunt de 3 verplaatsingen + de 3 rotaties
2. per knooppunt de normaalspanning, de schuifspanningen, de buigende momenten en de torsie
4.1.3 Becosx
Het Becosx-element lijkt bizonder veel op het Becos-element. Het enige verschil is dat de knooppunten niet op de as van het element liggen, maar met "starre pootjes" met het element verbonden zijn. Als invoergegevens heeft het Becosx-element de invoergegevens van het Becos-element plus de ligging van G ten
.....,.....,).
opzichte van P (e = x -X x e p' A l s uitvoergegevens kunnen we hetzelfde vexwachten als bij het Becos-element.
- 17
-
4 . 2 Het twee-dimensionale model
4.2.1
-Ogboiiw ---Een twee-dimensionaal model van een femur wordt verdeeld in een aantal driehoekige elementen (TRIî4 3 ) , die van
1
tot M worden
genummerd. l
Alle knooppunten, de hoekpunten van de elementen, nummeren we van
1 tot N. Fig. 4.2.1
geeft een voorbeeld van een dergelijke ver-
deling N = 224 en N = 146.
Figuur 4.2,.
7
4.2.2
18 -
Numerieke resultaten ____-___---______--Voor de resultaten van een twee-dimensionaal model, dat op bovenstaande wijze is opgebouwd, verwijs ik naar het rapport
WE 71-27 van Brekelmans en Poort. In bijlage 3 zijn enkele resultaten van dit rapport weergegeven.
4 . 3 Bet drie-dimensionale model 4.3.1
-----Opbouw Een drie-dimensionaal model van het femur wordt opgebouwd uit massieve cylindrische balkelementen (Becos), die van 1 tot M worden genummerd. Alle knooppunten nummeren we van
1
tot N.
Fig. 4 . 3 . 1 geeft een voorbeeld van een dergelijke verdeling met m=9 en N=lO. z o a l s fig-
,
n
.
Ue3=i
-
l a a t zien kan men met
Becos elenenten slechts de femlrischurht
goed beschrijven. Daar in deze studie de breuken bestudeerd worden die optreden in de schacht, is geen poging gedaan om de andere delen van het femur (eventueel met andere elementen) te beschrijven.
4.3.2
Numerieke resultaten -__________-----I---
In hoofdstuk 7 zijn de resultaten uitgebreid weergegeven.
4 4
~ergel~iking-~ao-deidemodellen Allereerst kunnen we zien dat een "TRIM-3"
model een twee dimensionaal
model is en slechts in één vlak belast kan worden, een verschijnsel als torsie zal in dit model niet beschouwd kunnen worden. Het Becos model dat drie diïaensionaal is, kan ruimtelijk belast worden, torsie problemen kunnen makkelijk verwerkt worden.
- 19
-
2 e t o p o l o g i e v a n een Becos model i s v e e l s i m p e l e r dan d i e v a n een TRIM-3
element en er kan m e t e e n v o u d i g e v e r a n d e r i n g e n i n d e t o p o l o g s i c h e
g e g e v e n s een breuk a a n g e b r a c h t worden ( e v e n t u e e l m e t pen of p l a a t ) ; h e t g e e n b i j een TRIM-3 model g e k o m p l i c e e r d e r i s .
Hier staat t e g e n o v e r d a t d e g e o m e t r i s c h e d a t a v a n h e t TRD4-3 model veel minder omvangrijk i s dan b i j h e t B e c o s model waar
'D.V.
oppervlakte
en o p p e r v l a k t e traagheidsmomenten i n g e v o e r d moeten worden. B i j TRIM-3
kunnen g r i l l i g e kontouren z o a l s b i j d e femurkop e n femurhals
b e t e r b e s c h r e v e n worden a l s b i j een B e c o s model. Konkluderend kan men h i e r zeggen d a t v o o r d e problemen d i e h i e r beschouwd worden, het Becos element g e s c ñ i k t e r i s dan h e t TRIîI-3
5.
element.
ASKA
__.
Het h i e r o p v o l g e n d e i s g e e n s z i n s b e d o e l d om a l s w e g w i j z e r t e d i e n e n b i j h e t g e b r u i k v a n ASRA, Een a a n t a l v a n d e
-
belangrijke
-
f a c i l i t e i t e n v a n ASKA i s n i e t ter s p r a k e
gekomen of s l e c h t s summier b e s c h r e v e n . I n f o r m a t i e o v e r d e v e r s c h i l l e n d e elementen ontbreekt p r a k t i s c h g e h e e l . Voor een meer g e d e t a i l l e e r d e b e s c h r i j v i n g kan h e t b e s t verwezen worden n a a r : AS KA
"User ' s R e f e r e n c e 14anual" (I.S.D.
r e p o r t no. 7 3 )
I n d i t h o o f d s t u k i s a l l e e n gepoogd on: e n i g s z i n s een b e e l d t e k r i j g e n v a n h e t computer-systeem
ASKA en hoe d i t computer-systeem g e b r i ; i k t i s v o o r h e t
b e s c h r i j v e n en berekenen v a n h e t mathematisch model v a n h e t femur. Aan d e hand v a n d e v i e r i n v o e r b l o k k e n z a l h e t programma systeem ASKA b e s p r o ken worden. 5.1
De "Job-Control" ___________----Eenvoudig gezegd worden m e t d e Job-Control
voldoende gegevens aan d e
rekenmachine doorgegeven, om d i e v o o r t e b e r e i d e n op h e t u i t t e v o e r e n programma. I n d e o p d r a c h t e n , w a a r u i t d e Job-Control
bestaat,
staat
o . a . vermeld w i e d e o p d r a c h t g e v e r i s , w e l k e t i j d e n geheugenruimte ver-
e i s t z i j n , w e l k e h o e v e e l h e i d e n w e l k t y p e u i t v o e r worden gewenst. Daar d e u i t v o e r i n g v a n d e benodigde Job-Control
k a a r t e n voortdurend aan
w i j z i g i n g e n o n d e r h e v i g z i j n , i s h e t n i e t z i n v o l om h i e r u i t g e b r e i d op i n t e gaan.
- 20 5.2
D e "ASKA P r o c e s s o r C o n t r o l "
5.2.1
(A.P.C.)
--I n l ----eiding h a n d e l i n g e n d i e i n d e rekenmachine moeten worden v e r r i c h t
Alle
om een kompleet ASKA-programma t e i v e r w e r k e n , moet op v o l g o r d e worden v o o r g e s c h r e v e n d o o r d e g e b r u i k e r z e l f . D i t g e b e u r t i n d e "Processor C o n t r o l " door d e v o o r d e v e r w e r k i n g v a n h e t programma benodigde "processors"
a a n t e r o e p e n . D e APC b e s t a a t
dan ook u i t een r e e k s p o n s k a a r t e n , waarvan e l k e k a a r t een b e p a a l d
"call s t a t e m e n t " b e v a t , v e r g e l i j k b a a r met e e n aanroep v a n een I1
procedure".
gegevens
Een p r o c e s s o r g e b r u i k t en/of g e n e r e e r t b l o k k e n
, die
z i j n opgeborgen i n "books".
Books kunnen b e h a l v e
d o o r een p r o c e s s o r ook d o o r d e g e b r u i k e r z e l f g e k r e ë e r d worden. Wanneer binnen een p r o c e s s o r een b e p a a l d e h a n d e l i n g met een book moet worden u i t g e v o e r d d i e n t d a t book r e e d s e e r d e r d e o r
d i e of T - f - -
I
~
U
PPII L--1.
~U U LU K
..
undere p r ~ r r s s m -g a a u k t t e zijn. r ~ e e z~ i tj n e i g e n l a b e i , b e s t a a n d e u i t een naam d i e
?---K
maximaal v i e r p o s i t i e s i n b e s l a g neemt. D e naam "processor"
kan worden v e r k l a a r d u i t h e t f e i t d a t d o o r
h e t aanroepen v a n een p r o c e s s o r i n een c a l l s t a t e m e n t een b e p a a l d p r o c e s wordt u i t g e v o e r d , d a t nodig i s v o o r d e j u i s t e verwerking v a n h e t g e h e l e ASKA-programma.
D e p r o c e s s o r s kunnen op d e v o l g e n d e w i j z e i n g e d e e l d worden:
1.
één algemene p r o c e s s o r bestemd om "data"
2.
algemene p r o c e s s o r s bestemd (DATEX,
3.
SIGEX,
GPRINT)
i n t e lezen
om P i d a t a Pur i t t e v o e r e n
.
o v e r i g e p r o c e s s o r s , d i e b i j v o o r b e e l d e e n b l o k g e t a l l e n bewerken of i n f o r m a t i e o v e r zo'n
blok verschaffen.
Aan d e hand v a n en i n v o l g o r d e v a n d e g e b r u i k t e p r o c e s s o r s z u l l e n d e d i v e r s e p r o c e s s o r s besproken worden.
CALL START ( 1 ,1 )
v e r p l i c h t h e t eerste s t a t e m e n t . Deze processor b e r e i d t a l l e informatie voor, d i e nodig i s om een ASKA-programma t e s t a r t e n . D e eerste
1
g e e f t aan d a t e r
1 b e l a s t i n g s g e v a l moet worden doorgerekend D e tweede
1
g e e f t a a n d a t er gerekend
w o r d t i n "double p r e c i s i o n " v o o r z o v e r d i t z i n v o l i s ( i n 16 s i g n i f i k a n t e c i j f e r s )
-
21
-
CALL SET ( 4 HDIAS,20)
niet d e z e p r o c e s s o r kan i n h e t algemeen
d e w e r k w i j z e v a n een k o n t r o l e p r o c e s binnen h e t systeem g e w i j z i g d worden.
H i e r zorgt de processor ervoor d a t b i j
1
d e u i t v o e r i n g van d e a n d e r e p r o c e s s o r s hooguit
20
waarschuwingen (warnings)
of kommentaren (comments) worden g e g e v e n ,
t e r w i j l zonder d e z e aanroep h e t a a n t a l maximaal 100 b e d r a a g t . v e r p l i c h t . H i j b e s t a a t u i t een a a n t a l
CALL SA
"sub p r o c es s o r s " waarmee d e t o p o 1og i sc h e b e s c h r i j v i n g i n g e l e z e n , v e r w e r k t en g e k o n t r o l e e r d worden.
CALL DATIE (O,
4HFIN)
v e r p l i c h t . E!iei-mee w m 6 e n a l l p -
vanaf ponskuurten g e l e z e n , t e begiïìïìeïì n a d e kaart $DATA t o t aan d e k a a r t met
$F I N CALL DATEX ( $ , 4 HNPCO) CALL DATEX ( 0 , 4 HGEDA)
niet d e z e p r o c e s s o r s worden op d e r e g e l
d r u k k e r d e "data b l o c k s " d i e m e t d e p r o c e s s o r DATIN z i j n i n g e l e z e n , u i t g e voerd
CALL INE'EL
h i e r d o o r wordt v i a d e r e g e l d r u k k e r i n f or-
-
matie omtrent d e elementen a f g e d r u k t , o.a.
w e l k e knooppunten horen b i j w e l k e
e 1emen t e n CALL INFUNK
h i e r d o o r k r i j g t men i n f o r m a t i e o v e r d e
-
-
v r i j h e i d s g r a d e n (unknowns) v a n e l k knoopp u n t . Met d e l e t t e r s
1
( l o k a l , onbekend),
p (prescribed, voorgeschreven o n g e l i j k
n u l ) en s ( s u p p r e s s e d , o n d e r d r u k t ) w o r d t v o o r e l k e v r i j h e i d s g r a a d i n e l k knooppunt een s p e c i f i k a t i e gegeven.
I
CALL ELCO
22
v e r p l i c h t . Voor e l k element worden d e
coördinaten
I
bepaald van d e b i j d a t e l e -
ment behorende knooppunten, en v o l g e n s d e l o k a l e nummering v a n d a t element opg e s l a g e n i n h e t book ELDA (element d a t a ) CALL TS
deze processor k o n t r o l e e r t a l l e tingonafhankelijke
-
-
beias-
elementgegevens
( u i t book ELDA) op e v e n t u e l e f o u t e n
( t es t ) . TS b l i j f t gedurende h e t h e l e programma werkzaam. CALL SK
v e r p l i c h t . Hiermee wordt v o o r a l l e ele-
-
menten d e s t i j f h e i d s m t r i x k (smagl k) berekend u i t h e t book ELDA
, CALL BK
-
v e r p l i c h t . Deze p r o c e s o o r bouwt d e
- -
g r o t e s t i j f h e i d s m a t r i x op ( b i g K). CALL I E B K
hiermee w o r d t i n f o r m a t i e u i t g e v o e r d o v e r
-
- -
d e t o t a l e s t i j f h e i d s m a t r i x ( b i g R) CALL BR
v e r p l i c h t . Bouwt de v o l l e d i g e b e l a s t i n g s -
matrix op. H i e r i n worden a u t o m a t i s c h meerdere p r o c e s s o r s op geroepen
CALL SR
v e r p l i c h t . L o s t de v e r g e l i j k i n g e n OP
ter b e r e k e n i n g v a n d e v e r p l a a t s i n g e n .
Na d e berekening i s d e t o t a l e v e r p l a a t s i n g s v e k t o r bekend i n i n t e r n e r e p r e s e n -
tatie. CALL USE
v e r p l i c h t i n d i e n men d e v e r p l a a t s i n g e n wenst u i t t e v o e r e n . Hier worden d e verplaatsingen van d e i n t e r n e represen-
t a t i e omgezet n a a r een op d e g e b r u i k e r af gestemde r epr es e n t a t i e . CALL DATEX ( 0 , 4 HUSR)
de v e r p l a a t s i n g e n worden op d e r e g e l d r u k ker uitgevoerd
CALL SP
v e r p l i c h t wanneer men d e spanningen en/of r e s u l t e r e n d e knooppunt sk r a c h t e n wens t
-
23
t e berekenen en u i t t e v o e r e n . Hiertoe dienen n l . de verplaatsingsvektoren bekend t e z i j n , d i e met d e p r o c e s s o r SP worden berekend.
CALL BP
v e r p l i c h t wanneer men d e r e s u l t e r e n d e knooppuntskrachten w i l u i t v o e r e n . U i t d e v e r p l a a t s i n g p e r element wordt met behulp v a n d e s t i j f h e i d s m a t r i x p e r element d e k r a c h t v e k t o r b e p a a l d . D i t
i s t e beschouwen a l s een eerste s t a p ter b e r e k e n i n g v a n d e r e s u l t e r e n d e knooppuntskrachten. CALL BRR
h i e r wordt p e r element u i t d e k r a c h t v e k t o r en d e r es u 1t e r end e knooppunt skr ac h t en berekend
CALL UBW
v e r p l i c h t wanneer men d e b e l a s t i n g s v e k t o r w i l u i t v o e r e n . Hier w o r d t d e b e l a s tingsvektor van interne naar externe r e p r e s e n t a t i e omgezet.
CALL DATEX (0,4 HUBRR)
door d e z e aanroep worden d e knooppuntskrachten via d e regeldrukker uitgevoerd
CALL ST
d e p r o c e s s o r berekend de spanningen
-
(stress) e l e m e n t s g e w i j s . V e r p l i c h t i n d i e n men d e spanningen wenst u i t t e v o e r e n .
CALL SIGEX ( 0 , O )
de spanningen worden op d e l-regeldrukker uitgevoerd
END
d e APC moet v e r p l i c h t worden a f g e s l o t e n door m i d d e l v a n een p o n s k a a r t m e t END
5.3 D ----e t o E --o l o g ------------i s c h e b e s c h r i j v--ing Om een k o n k r e t e k o n s t r u k t i e t o e g a n k e l i j k t e maken v o o r berekeningen met het ASKA-systeem moet d i e k o n s t r u k t i e worden o p g e d e e l d i n elementen.
Daardoor o n t s t a a t e e n n e t w e r k v a n knooppunten en elementen, d i e genummerd en g e k a r a k t e r i s e e r d moeten worden op een w i j z e d i e d o o r h e t pro-
- 24 gramma-systeem
-
g e i n t e r p r e t e e r d kan worden. D a a r t o e d i e n t d e zogenaamde
t o p o l o g i s c h e b e s c h r i j v i n g y i n ASKA "TOPOLOGY" TION"
,
of "TOPOLOGICAL DESCRIP-
genoemd.
Het i s n o g a l m o e i l i j k h e t b e g r i p " t o p o l o g i s c h e b e s c h r i j v i n g "
(in de z i n
w a a r i n h e t i n ASKA g e h a n t e e r d wordt) e n i g e r m a t e nauwkeurig t e omschrijv e n . We z ~ l l e z lons daaroa: beperken t o t een v e r k l a r i n g v a n d e t o p o l o g i e z o a l s d i e i n g e v o e r d moet worden v o o r h e t d o o r ons g e h a n t e e r d e Becos model v o o r een h e e l femur, d i t aan d e hand van d e benodigde p o n s k a a r t e n . kaart
1
"TOPOLOGY"
hiermee w o r d t aangeduid d a t d e volgende ponskaarten informatie g e v e n over d e t o p o l o g i e
kaart
2
N e t (1)(18)
(balkmodel m e t B e c o s elementen) hiermee w o r d t aangeduid d a t i n
1
net
maximaal 18 knooppunten
g e b r u i k t worden
kaart 3 B e c o s (1)(17~(1~1)(2~~)
1
hiernee wirdt elmentgroep
gege-
n e r e e r d ; h e t b e v a t 17 elementen.
H e t l e element h e e f t a l s knooppunten i en
2.
2
D e knooppunten v a n element
vindt
men d o o r h e t eerste knooppunt v a n element I met i t e vermeerder e n en d o o r h e t tweede knooppunt v a n element
1
ook met een t e ver-
meerderen. Zo k r i j g e n w e dus: element i l1
'I
k a a r t 4 Suppress (1y2,3,4y5,6,)(1)(1)
knooppunten 1 , 2
2
It
2Y3
3
II
3,4
hiermee w o r d t v a n element punt
1
enz.
1
knoop-
de vrijheidsgraden i t/m 6
o n d e r d r u k t . Hiermee i s h e t n e t vast a a n d e vaste w e r e l d verbonden. k a a r t 5 END NET
hiermee w o r d t aangeduid d a t d e bes c h r i j v i n g v a n h e t n e t wordt afgesloten
k a a r t 6 END TOPOLOGY
hiermee w o r d t h e t Topology-blok afgesloten
-
25
-
V e r d e r d i e n t er opgemerkt t e worden d a t er i n één n e t w e l v e r s c h i l l e n d e t y p e n elementen ( b . v .
Becos en B e c o s x ) g e b r u i k t mogen worden, maar
n i e t i n één elementgroep.
5.4 D e data ___----. 5.4.1
Inleiding __-----O n m i d d e l l i j k v o l g e n d op d e t o p o l o g y worden d e ''data"
ingevoerd.
D i t z i j n numerieke gegevens omtrent d e r e e d s d o o r m i d d e l v a n d e c o p o l g g i s c h e b e s c h r i j v i n g g e d e f i n i e e r d e elementen en knooppunten, z o a l s b i j v o o r b e e l d d e knooppuntskoördinaten, u i t w e n d i g e b e l a s t i n g e n , m a t e r i a a l e i g e n s c h a p p e n , etc. D e "data"
worden dan ook
o n d e r v e r d e e l d i n een a a n t a l b l o k k e n . D i t z i j n op z i c h z e l f s t a a n d e d e l e n v a n d e "data"
w a a r i n i n f o r m a t i e v a n één s o o r t w o r d t g e g e v e n ,
g e d e f i n i e e r d d o o r d e "data ZQ'II
hl&,
t y p e name" op d e eerste k a a r t v a n
d e "headers card".
Ieder b l o k m e t gegevens b e s t a a t u i t één "header c a r d " g e v o l g d door een of meer " a c t u a l d a t a carcis".
Ook h i e r z a l weer a a n d e
hand v a n d e i n g e v o e r d e d a t a b l o k k e n v o o r h e t Becosmodel d e d a t a i n v o e r v e r k l a a r d worden.
5.4.2
De datablokken Hieronder v o l g e n d e g e b r u i k t e d a t a b l o k k e n . Op d e "header moet en verme I d worden :
$ Data Type Name m e t d e p a r a m e t e r s .
c = 2 E = A NPBR
belastingskrachten i n d e knooppunten
N = 1
L =
1
C = 6 i
card"
-
-
26
Verklaring van d e p a r a a e t e r s :
N = G
=
1: 1:
a l l e gegevens g e l d e n v o o r n e t
1
a l l e g e g e v e n s g e l d e n v o o r elementgroep
C = x:
1
x i s h e t a a n t a l g e t a l l e n v a n h e t t y p e "real"
(met
d e c i m a l e punt of i n " f l o a t i n g p o i n t " n o t a t i e ) d a t e l k e " a c t u a l d a t a card" m e t z i j n e v e n t u e l e v e r v o l g kaart bevat
L =
1:
d e gegevens g e l d e n v o o r b e l a s t i n g g e v a l
E =
A:
d e , met behulp v a n s l e c h t s é é n " a c t u a l d a t a card''
1
i n g e v o e r d e g e g e v e n s g e l d e n v o o r a l l e elementen i n d e g r o e p , d i e g e d e f i n i e e r d i s m e t d e p a r a m e t e r G. I n h o o f d s t u k 6 worden d e " a c t u a l d a t a " v a n d e genoemde blokken beschouwd.
6.
De numerieke gegevens ( v o o r h e t Becos model v a n h e t femur)
D e numerieke gegevens v o o r h e t Becos model v a n h e t femur z u l l e n a a n d e hand v a n d e b l o k k e n d i e
6 . 1 N.P.C.Q.
ASKA n o d i g h e e f t i n d e "data",
worden t o e g e l i c h t .
(Nodal P o i n t C o ö r d i n a t e n )
Benodigde g e g e v e n s : i n d i t b l o k worden d e k o k d i n a t e n v a n d e knooppunten ingevoerd
I
B r on
: t h e Laws of bone A r c h i t e c t u r e (John
C . Koch).
In de s t u d i e
v a n Koch i s een femur beschouwd waarvan d e kontouren z i j n weergegeven i n h e t X-Z v l a k ( z i e f i g . 6 . 1 ) (z-)hoogten
h e e f t men b . v .
v e r d e r h e e f t men i n h e t x-z
Op v e r s c h i l l e n d e
h e t femur doorsneden gemaakt, v l a k i n h e t femur een l i j n aange-
g e v e n waarop d e z w a a r t e p u n t e n v a n d e d o o r s n e d e s l i g g e n . Van d e z e b e i d e g e g e v e n s i s g e b r u i k gemaakt. K e t Becos element
i s opgebouwd v a n d o o r s n e d e t o t d o o r s n e d e en h e t zwaartepunt i s g e l e g d op d e aangenomen l i j n . I n d i e n men b e g i n t b i j doorsnede 2
en d o o r g a a t t o t 2 0 d a n i s d e s c h a c h t v a n h e t femur
goed b e s c h r e v e n . Aannames:
i ) er i s g e b r u i k gemaakt v a n d e d o o r Koch aangenomen l i j n
2)
d e y-kocrdinaat
i s i n d e b e s c h r i j v i n g v a n Koch v e r l o r e n
gegaan, er i s h i e r v o o r aangenomen d a t er geen b u i g i n g op: treedt i n h e t y-z ..
e e n k o ö r d i n a a t y=O
v l a k . H i e r d o o r hebben a l l e knooppunten
-
27
-
6 . 2 Geda ---- ( g e o m e t r i s c h e d a t a ) Benodigde g e g e v e n s : p e r doorsnede: o p p e r v l a k t e ( A ) , 3 o p p e r v l a k t e traagheidsmomenten (I ,I , I
X Y X Y
), t o r s i e k o n s t a n t e v a n St.-Venant
(J), k o ö r d i n a t e n v a n een punt P
O
(om e e n l o k a a l a s s e n s t e l s e l
vast t e l e g g e n ) Br on
: t h e Laws of Bone A r c h i t e c t u r e (John
d i e men gemaakt h e e f t ( z i e f i g . 6 . 1 )
C . Koch).
A l l e daorsnedes
z i j n g e f o t o g r a f e e r d en
i n d e p u b l i k a t i e weergegeven. U i t d e z e f o t o ' s
z i j n d e koör-
d i n a t e n v a n d e b u i t e n r a n d en binnenrand ( g r e n s kompakt b o t en spongieus b o t ) opgemeten. U i t d e z e g e g e v e n s - z i j n d e g r o o t h e d e n A,
.
berekend
52
__
~~~
I
y'
1
xy'
J
Van d e doorsneden h e e f t men d e h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n berekend punt P de I
x'
h e e f t men op d e h o o f d r r a a g h e i d s a c I" g e l e g d . Daar men
O
1b
I
wordt I
Y
XY
en I Xy
nu n u l .
op moet g e v e n t . o . v .
het lokaal assenstelsel
( z i e fLg. 6.2).
Deze keuze v a n h e t l o k a a l a s s e n s t e l s e l i s handig omdat d e u i t v o e r v a n ASKA d e spanningen g e e f t i n h e t l o k a l e assen-
s t e l s e l . Omdat d e h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n s a m e n v a l l e n met h e t l o k a l e a s s e n s t e l s e l kan u i t d e spanningen s n e l i n een w i l l e k e u r i g punt v a n de doorsnede d e spanning berekend worden.
Aannames:
1)
28
-
de binnenrand is vaak zeer moeilijk, omdat de grens van kompakt bot en spongieus bot vaak moeilijk is aan te geven en moest soms zelf worden bepaald. ~
~~
~
2) de bijdrage van het spongieuse bot is geheel verwaarloosd.
6 3 EMOD ---- (Elasticiteits modulus) Benodigde gegevens: de elasticiteits konstante: de Young modulus E en de Poisson konstante D. Br on
: Rapport WE 71-30
(Leon B.M. Tomesen, T.E. Eindhoven).
In dit
rapport (een literatuurstudie over de materiaaleigenschappen van bot) worden de gemeten waarden van de materiaaleigenschappen vergeleken, hieruit blijkt dat de gemeten waarden sterk afhankelijk zijn van vele faktoren en dat men moeilijk nog kan spreken over dé E of dé v . c)m, t e c h met
dit model
te
küïinen werken z i j n do volgende
ZE-
names gemaakt =
Aannames: we veronderstellen het materiaal houogeen, isotroop en lineair met:
E
=
20.000
N/IIIDI~
v = 0,37
6.4
(belastingen) Benodigde gegevens: op het bovenste knooppunt (18) van het model moet worden ingevoerd: F x ’Fy ’ Fz 9 3f x5 Ey 9 M z Br on
: A. Laws of Bone kchitectur (J.C. Koch) (zie fig. 6 . 1 ) .
Dit is een belasting werkend op de femurkop met een werklijn die de verbindingslijn is van het middelpunt van de kop en het midden tussen de kondylis medialis en de condylis lateralis. E. Forces acting on the femoral head-prosthesis (N. Xydell)
Een kracht op de femurkop gericht naar het middelpunt van de kop met een aangrijpingspunt binnen het door Rydell aangegeven gebied op de kop en een kracht op de trochanter major met eveneens door Rydell aangegeven richting, de rich ting van de resultante van de abductor-spieren. De genoemde belastingen moeten naar het: aangrijpingspunt van het model verplaatst worden! (zie fig. 6 . 4 ) .
-
29
-
\ V e r p l a a t s i n g v a n d e b e l a s t i n g ~ 2 a 1knooppunt
Aannames:
1)
18 g e e f t :
d e d r a a i i n g v a n d e femurkop u i t h e t b l o k x.-y
2 12'
is
b u i t e n beschouwing g e l a t e n omdat de k r a c h t slechts 2-dimens i o n a a l bekend i s . Zou men d e d r a a i i n g t o c h i n r e k e n i n g brengen dan zou er b i j d e z e b e l a s t i n g e n e e n t e g r o t e t o r s i e optreden.
2) h e t femur i s aan d e onderkant v a s t g e d a c h t door i n knooppunt
1
a l l e v r i j h e i d s g r a d e n t e onderdrukken ( d i t g e b e u r t
i n d e topolog).
7.
30
-
Resultaten A l v o r e n s d e r e s u l t a t e n t e beschouwen d i e n t opgemerkt t e worden d a t d e b e l a s tingen z o a l s a f g e l e i d i n 6.4 per abuis veranderd z i j n in:
AX.
= -110 N
M
=
O N
M
=
-995 N
Y Pf
F
=
-190 N
M
F
=
O N
F
F
Y
F f
B.
X
Z
X
Y
F
Z
= -290 N
=
X
o
= -11120,OO =
Z
Nmm
o
= O
X
= 147126,4 Ninm
Y
= o
M
Z
Daar d e z e b e l a s t i n g e n n i e t r e ë e l z i j n moeten d e k o n k l u s i e c m e t de n o d i g e v o o r z i c h t i g h e i d g e ï n t e r p r e t e e r d worden. D e g e s c h e t s t e methode v a n onderzoek b l i j f t n a t u u r l i j k z i j n waarde behouden. 7 . 1 Beschouwing
5.1. I Twee modellen B i j h e t maken v a n h e t B e c o s model v a n h e t femur b e s t o n d e n er v o o r de opbouw v a n h e t model
2
mogelijkheden (zie f i g . 7 . 1 . 1 ) .
We kunnen h e t element h e t i n femur l e g g e n ( d i t noemen w e model of femur)
(getrokken).
H e t ie element h e e f t a l s o p p e r v l a k t e grootheden d e oppervlaktegrootheden van doorsnede
2,
enz.
( d i t noemen w e model of femur ( d i t noemen we model of femur
2)
We kunnen ook h e t element z o k i e z e n d a t het femur i n h e t element v a l t ( d i t noemen w e model of femur)
(gestippeld).
Eet l e element h e e f t a l s
o p p e r v l a k t e g r o o t h e d e n d e oppervlaktegrootheden v a n doorsnede I ,
enz.
N a t u u r l i j k kunnen t u s s e n d e z e twee u i t e r s t e n v e l e m o d e l l e n opgebouwd worden, maar v e r g e l i j k i n g v a n h e t g e d r a g v a n d e z e
2
u i t e r s t e n (b.v.
door
b e i d e t e b e l a s t e n m e t b e l a s t i n g P.f ) l e e r t ons d a t h e t v e r s c h i l t u s s e n b e i d e modellen n i e t g r o o t i s . G r a f i e k ( 7 . 1 . 1 . )
maakt een v e r g e l i j k i n g
-
31
-
v a n d e u i t w i j k i n g e n v a n d e knooppunten v a n femur
1
en femur
2
mogelijk.
H i e r u i t kan men l e z e n d a t femur 2 s t i j v e r i s da.n femur 1. I n h e t v e r d e r e b e t o o g i s g e w e r k t m e t model o f femur 2 ,
I
7
i
.2 ---------------~ e b e l a s t i n g e n (A*
x
en E )
B i j v e r g e l i j k i n g v a n d e twee b e l a s t i n g e n A* en Bx ( z i e v o o r b e s c h r i j v i n g 6 . 4 ) b l i j k t d a t b e l s s t i n g B* weliswaar e e n z w a a r d e r e b e l a s t i n g i s dan b e l a s t i n g A*, maar d a t b e i d e b e l a s t i n g e n n i e t p r i n c i p i e e l ver-
1
s c h i len. Grafiek 7.1.2,
waar d e v e r p l a a t s i n g e n v a n d e knooppunten z i j n u i t g e z e t
v o o r d e S e i d e b e l a s t i n g e n , b e v e s t i g t h e t bovenstaande. B i j d e v e r d e r e beschouwingen i s dan ook a l l e e n nog maar m e t b e l a s t i n g
* geierkt.
A
7 . 1 . 3 R e s u l t a t e n "heel"
femur
(een h e e l femur i s een femur zonder breuk)
Van een h e e l femur kunnen w e opmerken d a t d i t inwendig s t a t i s c h b e p a a l d
is, d , w . z , d a t op e l k e w i l l e k e u r i g e doorsnede d e snedegrootheden ( k r a c h t e n en momenten) v o l l e d i g b e p a a l d z i j n d o o r d e e v e n w i c h t s v o o r waarden. We kunnen dus v r i j eenvoudig, zonder d e elementenmethode, v o o r een b e p a a l d e b e l a s t i n g v a n een w i l l e k e u r i g e d o o r s n e d e d e snedeg r o o t h e d e n b e p a l e n u i t d e evenwichtsvoorwaarden. Hieronder wordt d i t L
v o o r Leen d o o r s n e d e u i t g e w e r k t en h e t r e s u l t a a t w o r d t v e r g e l e k e n m e t d e u i t k o m s t v a n ASKA.
18(9,25;0;727,5)
b e l a s t i n g A * , XF ~ =~
-
110 N
O N
O Nmm
7(8,90;0;461,5)
-
32 -
Snedegrootheden i n d o o r s n e d e 7 :
F X
= -110 N =
O N
F
=
-995 N
ivl
=
F
Y Z
X
M
x=z
=
O Nmm
11120
-
110 -(727,5-461,5)
+ 995 -(9,25-890)
-
=
40022 NEUU
O Nmm
AKSA g e e f t u i t v o e r t e n o p z i c h t e v a n l o k a a l assen.stelse1, Dus t-ransformatie naar l o k a a l a s s e n s t e l s e l . Het lokaal assenstelsel
w o r d t b e p a a l d door P
O
of w e 1 d w r de l i g g i n g
van d e hoofdtraagheidsassen. ( z i e f i g . 7.1.4).
4
= arctg
Y
2 = X P
arcty
58 1 + 898
O
;
= 81 , 4
T r a n s f o r m a t i e v a n d e sned e g r o o t h e d e n naar lokaal a s s e n s t e l s e l x'y' g e e f t :
F ' = - 18,9 N
M
X
F ' = Y
108,8 N
F
995 N
Z
= -
X
=
6840 Nmm
M ' = - 3 9 5 0 Nmm Y M'= O Nmm Z
U i t v o e r v a n ASKA v o o r doorsnede 7 :
F F
=
19,37 N
î$
N
M
x .
Y
F
Z
= 108,5 =
-995 N
x
Y M z
= 7048 = -3941 =
Nmm Nm'
O Nmm
-
33
-
D e v e r s c h i l l e n t i i s s e n d e v e r s c h i l l e n d e g e t a l l e n w o r d t v e r o o r z i a k t doord a t b i j d e b o v e n s t a a n d e b e r e k e n i n g g r o f gerekend i s .
D e elementenmethode i s t o c h t o e g e p a s t omdat een femur met pen of p l a a t n i e t meer inwendig s t a t i s c h b e p a a l d i s , waardoor d e b o v e n s t a a n d e methode n i e t meer t o t e e n o p l o s s i n g l e i d t . A l s r e s u l t a a t v a n h e t doorrekenen v a n een h e e l femm kuznen w e opgeven d a t :
1.
d e k r a c h t e n i n a l l e doorsneden g e l i j k z i j n , i n h e t g l o b a l e a s s e n s t e l -
sel, n l . P
x
=
-110 N;
F
Y
=
O N;
F
Z
=
-
995 N b i j b e l a s t i n g A
*.
d e momenten i n d e elementen een v e r l o o p v e r t o n e n ,
i n het globale
a-senstelsel,
Zoals w e konden
2.
z o a l s weergegeven i n g r a f i e k 7 . 1 . 3 .
v e r w a c h t e n t o o n t lYI e e n l i n e a i r v e r l o o p t e r w i j l M en M n u l z i j n . Y x Z (systeem i s inwendig s t a t i s c h b e p a a l d ) .
Beschouwingen
7.2
~
7.2.1
11
gebroken femur"
Breken v a n het femur
D e breuk i n h e t femur i s g e l e g d i n h e t midden v a n d e femurschacht ( i n element 12). D i t g e b e u r t d o o r d e t o p o l o g i e a l s v o l g t op t e bouwen: Becos ( i ) ( i l ) ( l ,
i ) (2, i )
Eecos (1)(7)(i3,1)(1491)
D e s i t u a t i e b i j d e breuk i s getekend i n f i g . 7.2.1. -~
~-~~
~ ~~~~~
~
~~
~
~
I
D e elementen en
knooppunten z i j n nu anders-genummerd a l s b i j e e n "heel"
femur:
I n d e z e f i g u u r i s ook aangegeven hoe d e pen en p l a a t - b e v e s t i g d zijn. &w
i2
D e pen: d e pen i s opgebouwd u i t b e c o s elementen d i e d o o r d e h e l e s c h a c h t l o p e n en d e z e l f d e knooppunten hebben a l s d e femur elementen. Op d e b r e u k z i j n "pen elementen"
en "femur elementen" n i e t ge-
k o p p e l d , Zou men d i t w e l doen dan zouden d e twee femurdelen
-
34
-
gekoppeld worden en d e b r e u k zou verdwenen z i j n . D e pen h e e f t een l e n g t e v a n 315,5 mm en een d i a m e t e r v a n E =
200000
20
mm. ,
N / m 2 en D = 0,37
Ook i s d e s i t u a t i e "heel femur" + "pen"
doorgerekend.
d e p l a a t : d e p l a a t is opgebouwd u i t B e c o s x elementen e n i s z o b e v e s t i g d d a t h i j a a n de laterale (= b u i t e n z i j d e v a n h e t lichaam) z i j d e v a n h e t femur z i t . D e v e r b i n d i n g e n v a n d e p l a a t net h e t femur z i j n v e r k r e g e n d o o r starre v e r b i n d i n g e n m e t e n k e l e knooppunten v a n h e t femur t e maken.
D e l e n g t e v a n d e p l a a t i s 7 5 mm en h e t opp. v a n de d o o r s n e d e i s 8x20 mm. Ook i s d e s i t u a t i e "heel femur"
+ " p l a a t " doorgerekend.
7.2.2 Egsultaten Grafiek 7.2.1
g e e f t d e v e r p i a a E s i n g e n v a n de knoopunten v a n : "gebroken
femur" + "piaat'!, femur 'I
.
G r a f i e k 7.2.2
,
femur"
"gebroken femur" + "pen"
en ter v e r g e l i j k i n g "heel
g e e f t d e v e r p l a a t s i n g e n v a n d e knooppunten v a n "heel
+ "pen",
"heel femur" + ''plaat"
e n ter v e r g e l i j k i n g "heel femur"
Voor de o p t r e d e n d e spanningen i n e e n d o o r s n e d e l e v e r e n d e buigende momenten (t.o.v.
h e t l o k a l e a s s e n s t e l s e l = h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n ) d e balang-
r i j k s t e b i j d r a g e . Daarom z i j n i n - t a b e l -7.2 d e momenten d i e öp-tre-dën i n h e t femur t . o . v .
d e h o o f d t r a a g h e i d a s s e n v o o r sommige doorsneden en
v e r s c h i l l e n d e s i t u a t i e s x e e r g e g e v e n . D e nummers v a n d e d o o r s n e d e s l a a n op d e nummering v a n h e t model v a n h e t gebroken femur. N i e t a l l e doorsneden z i j n h i e r gegeven maar s l e c h t s d i e d i e voor een goed b e e l d v a n b e l a n g z i j n , b . v . d e doorsneden waar g e e n pen of p l a a t z i t g e d r a g e n z i c h p r e c i e s h e t z e l f d e a l s h i j een h e e l femur. Van d e i n t a b e l 7 . 2 beschouwde doorsneden z i j n i n b i j l a g e 4 d e l i g g i n g v a n d e h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n aangegeven.
L.
17i-t
O cV cV
-
v3
P
C
i
3
3 9
3
-
36
-
7.3 g i s k g s s i e van de r e s u l t a t e n
H e t d o e l van deze s t u d i e i s , z o a l s uiteengezet i s i n hoofdstuk i , h e t v e r g e l i j k e n v a n twee behandelingsmethoden b i j breuken i n een femur
t . w . d e p l a a t f i x a t i e en d e p e n f i x a t i e . Om t e kunnen komen t o t u i t s p r a k e n v a n h e t t y p e : "De p l a a t f i x a t i e i s b e t e r dan e e n p e n f i x a t i e " of "de penf i x a t i e 'neef t b e p a a l d e v o o r d e l e n t . 0 . v . d e p l a a t f ixatie",
zullen
w e e e r s t een goed v e r g e l i j k i n g s k r i t e r i u m moeten o p s t e l l e n en aan d e hand h i e r v a n kunnen w e dan u i t s p r a k e n doen. I
! i
II
.
7.3.1 ~ e E g e l j i k i n g s k r i t e r i a
De k r i t e r i a d i e beschouwd worden z i j n a l l e o p g e s t e l d v a n u i t een puur
l i
mechanisch oogpunt, a l l e medische a s p e k t e n z i j n h i e r b u i t e n beschouwing
j
gelaten.
I
,
a, verplaatsingen Een k r i t e r i u m i s de v e r p l a a t s i n g v a n d e knooppunten v a n h e t model. Bestudering van g r a f i e k e n 7.2.1
en 7 . 2 . 2
l e e r t ons e c h t e r a l l e e n
maar d a t h e t "femur m e t p l a a t " of "femur m e t pen" s t i j v e r i s d a n h e t "hele femur''
en d a t h e t "femur m e t pen" stijver i s dan h e t
"femur m e t p l a a t " U i t h e t f e i t d a t h e t "femur m e t pen" s t i j v e r i s \
dan h e t "femur met plaat''
kunnen we konkluderen d a t d e spanningen
i n h e t "femur m e t pen" hoger z i j n dan i n d e "femur m e t p l a a t " . ~~~
Deze i n f o r m a t i e i s onvoldoende om een v o o r k e u r u i t t e s p r e k e n , dus ~
~
~
~
~~~
~
~
~
~
~~~~~
~~~
~
~
~~~
~
~~
~
~~~~~~~
d e v e r p l a a t s i n g e n z i j n geen g e s c h i k t k r i t e r i u m .
b . o p t r e d e n d e buigende momenten een ander k r i t e r i u i n . zou kunnen z i j n de, o p t r e d e n d e buigende momenten i n d e b u u r t v a n h e t b r e u k v l a k omdat d e z e v o o r e e n b e l a n g r i j k d e e l d e spanning i n een punt b e p a l e n . B e s t u d e r i n g v a n t a b e l 7.2
l e e r t ons
d a t rond h e t b r e u k v l a k (doorsnede 12-13)
11
b.v.
i n doorsnede
en i 4
d e buigende momenten v a n "heel f emur+pen" en "heel f emur+plaat" s l e c h t s weinig v e r s c h i l l e n . z i e 7.3.2).
(Voor d e r e s u l t a t e n v a n h e t "femur+breuk"
Op b a s i s v a n d i t k r i t e r i u m kan geen v o o r k e u r b e p a a l d
worden v o o r een v a n b e i d e behandelingsmethoden, d i e beschouwd z i j n . Om t o c h t o t een goed k r i t e r i u m t e komen kunnen w e m.b.v.
d e buigende
momenten en d e g e o m e t r i e v a n d e doorsnede d e spanning beschouwen. D i t l e i d t t o t een goed k r i t e r i u m .
-
37 -
D e spanningen i s een goed k r i t e r i u m omdat w e nu kunnen onderzoeken of
e r g e e n ongewenste s p a n n i n g s k o n c e n t r a t i e s o p t r e d e n en o f i n h e t femur d e maxiaaal t o e l a a t b a r e spanning n e r g e n s w o r d t o v e r s c h r e d e n . h e t u i t w e r k e n v a n d i t k r i t e r i u m i s e e n s t u d i e op z i c h , d i e momenteel v e r r i c h t w o r d t d o o r L.B.M. Tomesen a l s a f s t u d e e r w e r k . domenteel z i j n h i e r v a n nog geen r e s u l t a t e n z o d a t i k h i e r . s i e r h t s
een m o g e l i j k e methode kan aangeven om m.b.v. t e komen t o t e e n u i t s p r a a k . Voor d e spanning i n een punt g e l d t :
een s p a n n i n g s k r i t e r i u m
Mbx-y N -x ----+by - N
F
I
I
X
Y
Voor een b r e u k kan men dan s t e l l e n d a t er geen t r e k s p a n n i n g overgeb r a c h t kan worden!
We kunnen dan 3 g e v a l l e n o n d e r s c h e i d e n : U 3 .
er treedt a l l e e n d r u k op I n d e dûûïsnedex
d i t i s u i t e r a a r d d e meest g u n s t i g e
TI
reuk vlakb.
1
I i
I
_-
s i t u a t i e voor " eoede s t a b i l i s a t i e van d e breuk.
er t r e e d t a l l e e n t r e k op i n d e d o o r s n e d e tltek kan i n een b r e u k n i e t o v e r g e b r a c h t
~
I
worden, d u s v e r w i j d e r e n d e twee breuk-
~
--
-
~
L?eakAdk
~
~
v l a k k e n z i c h . Deze s-i-tuatie
zal-in-
-
d e w e r k e l i j k h e i d n i e t voorkomen. c.
er t r e e d t z o w e l d r u k a l s spanning op i n d e doorsnede d e b r e u k kan a l l e e n druk o v e r b r e n g e n dus moet men t r a c h t e n om m e t d e snedegrootheden e e n a n d e r - spannings-
ver l o o p t e k o n s t r u e r e n i n d i e n e e n v e r l o o p z o a l s i n d e nevens t a a n d e f i g u u r i s g e t e k e n d n i e t t e rea l i s e r e n i s , b e t e k e n t d i t d a t d e breukdelen loslaten.
I s e c h t e r w e l d e g e l i j k v e r l o o p t e k o n s t r u e r e n , dan z a l d e v o l g e n d e s i t u a t i e ontstaan.
-
38
-
er z a l een g e d e e l t e v a n d e d o o r s n e d e d e d r u k o v e r b r e n g e n en e e n ander g e d e e l t e g a a t dan o p e n s t a a n .
U i t e r a a r d kan men dan ook r e k e n i n g houden met h e t f e i t d a t i n werkel i j k h e i d m e t d e p l a a t d e b r e u k onder spanning w o r d t g e b r a c h t . 7 . 3 . 2 Modelvorming v a n d e b r e u k
H e t t o e g e p a s t e model v a n d e breuk i n h e t femur i s i n f i g . 7 . 3 . 2 g e t e kend en f i g . 7 . 3 . 3 g e e f t d e s i t u a t i e ( 2 d i m ) v a n d e b r e u k i n b e l a s t e t o e s t a n d ( s t e r k o v e r d r e v e n ) weer.
I
,R
Y
.(
~
~~~~~
~
~
~
~~~
~~~
~~
~
~
~
~~~
~
-
Ongeacht of de breuk i n h e t femur nu "gespalkt" pen z a l d e g e s c n e t s t e s i t u a t i e i n f i g . 7 . 3 . 3
~~
_.
i s m e t een p l a a t of
i n eïiígermate optreden.
I n d e r e a l i t e i t z a l e e n d e r g e l i j k "kwispel e f f e k t " n o o i t o p t r e d e n ! V e r d e r i s d i t model v a n d e breuk n i e t i n s t a a t om d r u k o v e r t e brengen, h e t g e e n i n d e r e a l i t e i t w e l m o g e l i j k z a l z i j n .
Deze k e n n i s d w i n g t ons dus t o t v e r b e t e r i n g v a n d e modelvorming v a n d e breuk. Een v e r b e t e r i n g is b i j v o o r b e e l d om i n h e t b r e u k v l a k d e v r i j h e i d s g r a d e n v a n knooppunt
12
en 13 v o l l e d i g t e k o p p e l e n . H i e r d o o r o n t s t a a t weer
een h e e l femur. Ook d i t model i s i n d e z e s t u d i e beschouwd. U i t e r a a r d b l i j f t ook d i t model e r g g r o f omdat i n d e r e a l i t e i t d e b r e u k v l a k k e n t.o.v.
elkaar kunnen bewegen. Eet s l e c h t s g e d e e l t e l i j k k o p p e l e n v a n
d e v r i j h e i d s g r a d e n van d e knooppunten
12
en 13 (b.v.
i n d e z-richting
a l l e e n koppelen) g e e f t n a t u u r l i j k weer meer m o g e l i j k h e d e n , maar t o c h
-
39 -
z a l op d e z e w i j z e b . v . n o o i t een e v e n t u e l e k a r t e l i n g v a n d e b r e u k weergegeven kunnen worden. Ee::
v s l g e n d e v e r f i j n i n g v a n h e t model zou b . v .
kunnen z i j n om d e b r e u k
op t e bouwen u i t meerdere elementen. F i g . 7 - 3 . 4 g e e f t h i e r v a n e e n
voorbeeld.
D i t zou b . v .
met behulp v a n
B e c o s x elementen g e r e a l i s e e r d kunnen word en Ook h i e r kan men weer d e v r i j h e i d s g r a d e n w e l of n i e t o n d e r l i n g koppelen.
Iiisïmee i s eefi weg âcriigrgeven d i e t o t v e ï b e t s ï i n g v a n he^ moc2:el -va11
cie breuk kan l e i d e n .
x
o
o
A-l-
Bijlage
1.
Afleiding van d e s t i j f h e i d s m a t r i x In f i g . B . l . l
z i j n d e tekenafspraken voor de verplaatsingsgrootheden t e r p l a a t s e
x aangeduid.
Opmerking: grootheden d i e een f u n k t i e z i j n van d e plaatsko&dinaten i n een element worden aangeduid met
A
.
I n h e t algemeen g e l d t :
U(X)
a
=
1
W(x) = a
3
$(x)
-
=
+ a x
1.1
2
+ a x + a x 2 + a x 3
4%
d W = dx
5
a
- 2 a x - 3 a x 2 4 5 6
T
Het i s d u i d e l i j k d a t U, V en
a l , a2,......,a a'
=
, geordend
6 a
a
1
k
=
Aa
en A =
a = A
-1
k
a 5
a 4
, waarbij
1
0
0
0
0
O
0
1
0
o
'
0
1
Q
0
0
o
0
0
1
%
22
E3
g
o
o
-1
0
k
. De konsizanten
a 6
o o o
0
~~~
-
1
k
e kunnen nu s c h r i j v e n : bepaald. W
A een 6x6 m a t r i x i s , waarvoor g e l d t :
-
,U
0
~
1.3
eenduidig bepaald z i j n door U
bepalen h e t v e r p l a a t s i n g s v e l d en z i j n door U U
~
i n de vektor a: a 3
2
1.2
6
I-
0
-2% -3R
A-2-
en :
1
O
O
O O
-1
3
0 0 1
- IR2
IR
o
3
-2123
G
2
'/E2
112
-'/G
1x3
de Voor de koppeling van het k element aan aangrenzende elementen of de "vaste wereld" is noodzakelijk zoveel aansluitkondities als overgangskonditiies te beschouwen. De aansluitkondities zullen geen moeilijkheden opleveren. Voor de overgangskondities in de krachtgrootheden moeten deze grootheden gekoppeld worden aan de aerplaatsingsvektor. Bij de gekozen tekenafspraken geldt:
I
dl4
B(x)
=
-(x) dx
M(x)
=
d 2G -EI ) x + dx
d 3X -EI (x) dx3
=
(E:elasticiteitsmodulus; I: oppervlakte traagheidsmoment; F: oppervlakte
dwarsdoorsnede). I
a
N2
=
$(a) n
ï12 = D(L)
=
EFa
=
-6 EIa
=
-2 EIa
2
6
A
14
2
= M(R)
Stellen wij : ffk= NI I
dan geldt:
2
5
D
1
- 6 EI
d
1
N2
a 6
D
2
M
2
Oscg
o
&z
o Z s9-
$YZSB
o
O
O
Is
O
zszI-
oz c 9
o
zsz I
OZS9 CZI-
O
I
O
S-
o zs9-
o
ozc9zszI O
o
I3Z
O
O
o
O
o
o
o
139-
o
o
12z-
8.139-
I39+ E'
-
O
0
o
o
o
c
o
o
o
o 6
o
8
C
O O
O
o
O
o
a-
O
-
-€-Y
-xn-
9
'
LL
-
-
-
-
-
I
