Statistika Inferensia: Pendugaan Parameter
Dr. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015
1
Populasi : Parameter Sampel : Statistik Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi Pengetahuan mengenai distribusi sampling
PENDUGA TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM MINIMUM 2
STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER
TARGET
PENDUGA TITIK PENDUGA SELANG
Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan pendugaan dalam bentuk selang interval Dalam setiap pendugaan mengandung PELUANG kesalahan Penduga selang konsep probability SELANG KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL)
3
Pendugaan Parameter Dua Populasi
Satu Populasi
x
p 2
pˆ
s
2
1 2 p1 p2
x1 x2
pˆ1 pˆ 2
2 1 2 2
2 1 2 2
s s
4
Pendugaan Parameter: Kasus Satu Sampel Rataan Populasi
5
Standard Error = Galat Baku
6
2
Rataan contoh ( x ) merupakan penduga tak bias bagi karena E( x ) = .
x
1.96
1.96
x
s2
Sedangkan s2 merupakan penduga tak bias bagi 2
x
SAMPLING ERROR
7
Mendenhall (Example : 8.5), hlm. 304
8
Mendenhall (Example : 8.5), hlm. 304
9
Dugaan Selang Kepercayaan (1-) bagi µ x z 2
n
x z 2
n
Diketahui atau sampel besar
2 diduga dengan s2
x t 2( n1)
s n
x t 2 ( n1)
s n
Syarat :
kondisi 2 Tidak diketahui dan sampel kecil 10
11
Jumlah Sampel
Ragam (σ2)
Sebaran
Besar ( n ≥ 30)
Diketahui
Normal
Tdk Diketahui
Normal
Diketahui
Normal
Tdk Diketahui
t-Student
Kecil ( n < 30)
12
Perlu diingat …! Apabila ukuran contoh (sample size) adalah besar (n 30) maka pada formula selang kepercayaan tersebut dapat menggunakan sebaran NORMAL (Z). Contoh Soal : Mendenhall, Ex. 8.6, hlm. 311
13
14
15
Latihan (1) • Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkan menyebar normal dengan simpangan baku 1.5 desiliter. • Tentukan selang kepercayaan 90% bagi ratarata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh mesin ini, bila suatu contoh acak 36 gelas mempunyai isi rata-rata 22.5 desiliter. • Apa interpretasi selang kepercayaan tersebut? 16
Latihan (2) • Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir mengahsilkan nilai tengah dan simpangan baku nilai mutu rata-rata sebesar 2.6 dan 0.3. • Buat selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah seluruh mahasiswa tingkat akhir!
17
Latihan (2) • Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir mengahsilkan nilai tengah dan simpangan baku nilai mutu rata-rata sebesar 2.6 dan 0.3. • Buat selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah seluruh mahasiswa tingkat akhir!
18
Latihan (3) • Mendenhall (Exercise 8.33), hlm. 316
• Mendenhall (Exercise 8.36), hlm. 317
19
Ukuran contoh optimum z / 2 n d
2
n = ukuran contoh 2 = ragam populasi d = batas kesalahan pendugaan
20
Contoh Kasus • Berapa ukuran contoh yang diperlukan pada tingkat kepercayaan 90% untuk kasus rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh mesin (pada Contoh 1 di atas), bila diinginkan penduga nilai tengah (rata-rata contoh) tidak melebihi 0.3 desiliter perbedaannya dari nilai tengah sebenarnya?
21
Pendugaan Parameter: Kasus Dua sampel saling bebas Selisih rataan dua populasi
22
1 - 2
x1 x2
1.96 x
1 x2
1.96 x
1 x2
1-2 SAMPLING ERROR
23
Dugaan Selang bagi µ1 - µ2 ( x1 x2 ) z 2
12 n1
12 n1
1 2 ( x1 x2 ) z 2
12 n1
12 n1
Diketahui atau sampel besar
Formula 1
sama 1
2&
2
Syarat :
2
Tidak sama
Tidak Diketahui dan sampel kecil
12 & 22
Formula 2 24
Formula 1 a. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan sama: 1 1 2 1 2 1 1 2 ( x1 x2 ) t 2 ( v ) s gab ( x1 x2 ) t 2 ( v ) s gab n1 n2 n1 n2
s
2 gab
(n1 1) s12 (n2 1) s22 dan v n1 n2 2 n1 n2 2
25
Formula 2
b. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:
( x1 x2 ) t 2 ( v )
s12 s22 1 2 ( x1 x2 ) t 2 ( v ) n1 n2
v
s 2 2 1 n 1
2
s s n n 1 2 s 2 2 n1 1 2 n 2 2 1
2 2
s12 s22 n1 n2
n2 1
26
Perlu diingat …! Apabila ukuran contoh (sample size) adalah besar (n 30) maka pada formula selang kepercayaan tersebut dapat menggunakan sebaran NORMAL (Z). Contoh Soal : Mendenhall, Example 8.9 hlm. 319 27
Mendenhall, Example 8.9 hlm. 319 (Sampel Besar)
28
α = 0.01
Zα/2 = Z0.005 = 2.58
29
Untuk Sampel Kecil
Find 95% confidence interval 30
SK 95% α = 0.05 ;
db = n1 + n2 – 2 = 16
Sebaran t-Student: t(α/2; db) = t(0.025; db=16) = 2.120
± 2.120
SK 95% : 3.66 ± 4.7126 = (1.0526 ; 8.3726) 31
Latihan (1) Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui rataan waktu yang dibutuhkan (dalam hari) untuk sembuh darisakit flu. Terdapat dua grup, satu grup sebagai kontrol dan grup lainnya diberi vitamin C dengan dosis 4 mg/hari. Statistik yang diperoleh dari peneltian tersebut sebagai berikut :
Ukuran contoh Rataan contoh Simpangan baku contoh
–
Perlakuan Kontrol Vitamian C : 4 mg 35 35 6.9 5.8 2.9 1.2
Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda rata-rata waktu yang diperlukan untuk sembuh dari group kontrol dibandingkan dengan yang diberi vitamin C (4 mg/hari)
32
Latihan (2) • Mendenhall (Exercise 8.42), hlm. 322 • Mendenhall (Exercise 8.47), hlm. 323 • Mendenhall (Exercise 10.20), hlm. 407 33
Pendugaan Parameter Kasus dua sampel berpasangan
34
Ditimbang kondisi awal : bobot kelinci
Diberi pakan tertentu
Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci
Setelah periode tertentu
Perubahan akibat pemberian pakan : selisih bobot akhir – bobot awal 35
d
d Dugaan selang
d t 2 ( n1)
Selang kepercayaan (1-)100% bagi d
sd sd D d t 2 ( n1) n n
36
Dugaan Selang Beda nilai tengah bagi contoh berpasangan: d
Selang kepercayaan (1-)100% bagi d
d t 2 ( n1)
sd sd D d t 2 ( n1) n n
Pasangan
1
2
3
Sampel 1 (X1)
x11
x12
x13
x1n
Sampel 2 (X2)
x21
x22
x23
x2n
d1
d2
d3
dn
D = (X1-X2)
s
2 d
(d
i
…
n
d )2
i
n 1
dan
d
i
x
1i
x
2i
37
Contoh Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu: Berat Badan
Peserta 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sebelum (X1)
90
89
92
90
91
92
91
93
92
91
Sesudah (X2)
85
86
87
86
87
85
85
87
86
86
D=X1-X2
5
3
5
4
4
7
6
6
6
5
Dugalah rata-rata beda berat badan sebelum dan sesudah mengikuti program diet, lengkapi dengan selang kepercayaan 95%! 38
Jawab Penduga bagi rata-rata beda berat bedan sebelum dan sesudah adalah : Selang Kepercayaan 95%: t(α/2; db=n-1) = t(0.025; db=9) = 2.262
d t 2 ( n1)
sd sd D d t 2 ( n1) n n
5.10 ± 2.262(1.1970)/(√10) (5.10 ± 0.856) 4.2438 < μD < 5.9562 39
Pendugaan Parameter: Kasus Satu Sampel Proporsi
40
p
Proporsi contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi p
pˆ
1.96 pˆ
1.96 pˆ
p SAMPLING ERROR
41
Dugaan Selang Selang kepercayaan (1-)100% bagi p
pˆ z 2
pˆ (1 pˆ ) p pˆ z 2 n1
pˆ (1 pˆ ) n1
Contoh Soal : Mendenhall, hlm. 315
42
43
44
Latihan • The U.S News and World Report menyatakan bahwa suatu obat baru yang diekstrak dari suatu jamur, cyclosporin A, mampu meningkatkan tingkat kesuksesan dalam operasi transplantasi organ.Menurut artikel tersebut, 32 pasien yang menjalani operasi transplantasi ginjal diberikan obat baru tersebut. Dari 32 pasien tersebut, 19 diantaranya sukses dalam operasi transpalntasi ginjal. • Tentukan selang kepercayaan 95% bagi p (proporsi pasien yang sukses dalam operasi dengan menggunakan obat baru)! 45
Pendugaan Parameter: Kasus dua Sampel Selisih dua proporsi
46
p1 - p2
pˆ1 pˆ 2
1.96 pˆ
ˆ2 1 p
1.96 pˆ
ˆ2 1 p
p1-p2 SAMPLING ERROR
47
Dugaan Selang Selang kepercayaan (1-)100% bagi p1 - p2
( pˆ1 pˆ 2 ) z 2
pˆ1 (1 pˆ1 ) pˆ 2 (1 pˆ 2 ) p1 p2 ( pˆ1 pˆ 2 ) z 2 n1 n2
pˆ1 (1 pˆ1 ) pˆ 2 (1 pˆ 2 ) n1 n2
Contoh Soal : Mendenhall, hlm. 325 48
49
50
Latihan • Sebuah penelitian dilakukan untuk menguji pengaruh obat baru untuk viral infection. 100 ekor tikus diberikan suntikan infeksi kemudian dibagi secara acak ke dalam dua grup masingmasing 50 ekor tikus. Grup 1 sebagai kontrol, dan grup 2 diberi obat baru tersebut. Setelah 30 hari, proporsi tikus yang hidup untuk grup 1 adalah 36% dan untuk grup 2 adalah 60%. • Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih proporsi tikus yang hidup dari grup kontrol dengan grup perlakuan! 51
Ringkasan Type of data? Binomial
Kuantitatif
(tertarik pada p)
(tertarik pada ) Satu /dua contoh
Satu/dua contoh Satu contoh Duga p Atau
Satu contoh Dua contoh
Duga Atau
Ukuran contoh Duga (p1 – p2) Atau Ukuran contoh
Ukuran contoh
Dua contoh
Duga 1 - 2 atau Ukuran contoh
52
Latihan • Dari suatu contoh acak 400 bayi, 86 ternyata lebih menyukai susu X. Buat Selang Kepercayaan 90% bagi proporsi populasi bayi yang menyukai susu merk X !
53
Latihan • Sebuah perusahaan minuman ringan menghasilkan dua jenis minuman A dan B. Perusahaan itu mengatakan bahwa penjualan minuman merk A lebih besar 8% daripada merk B. Bila ternyata 42 diantara 200 responden lebih menyukai merk A dan 18 diantara 150 responden lebih menyukai merk B, buat selang kepercayaan 95% bagi selisih persentase penjualan kedua merk tersebut! Simpulkan apakah selisih 8% tersebut dapat diterima atau tidak 54
Jawaban Ringkas Sample A B
X 42 18
N 200 150
Estimator of p 0,21 0,12
Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: 0,09 or 9% 95% CI for difference:
(0,0132480; 0,166752) Or (13.3% ; 16.7%)
Kesimpulan : Selisihnya lebih dari 8% dapat diterima, karena nilai yang tercakup dalam selang semuanya berada lebih dari 8%, yaitu 13.3% hingga 16.7%. 55
Terima Kasih Materi ini bisa di-download di: kusmans.staff.ipb.ac.id
56
