Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Besar X 1 − X 2 − (µ1 − µ 2 ) Catatan: Bila deviasi Statistik uji Z=
Statistika Inferensi Tentang Ratarata Dua Populasi Independen Populasi 1 Sampel 1
σ 12
Ukuran = n1 (besar) Rata-rata = X 1 Deviasi Standar = S1
Rata-rata = µ1 (tidak diketahui)
n1
standar populasi σ tidak ada, dapat digantikan dengan deviasi standar sampel S
σ 22 n2
H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 > µ0 Distribusi Normal Standar
independen Populasi 2
R: Z > Zα
Sampel 2 Ukuran = n2 (besar) Rata-rata = X 2 Deviasi Standar = S2
Rata-rata = µ2 (tidak diketahui)
α
1-α
Z
0
Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Besar (lanjutan)
+
H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 < µ0
Zα
Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Besar (lanjutan)
H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 ≠ µ0 Distribusi Normal Standar R
R
Distribusi Normal Standar
R: Z < -Zα
α
1-α
2
α
1-α
− Zα
0
− Zα
Z
Selang Kepercayaan 100(1-α)% Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen µ1 – µ2 dengan menggunakan Sampel Besar ⎡ σ 12 σ 22 ⎤ + ⎢( X 1 − X 2 ) ± Z α ⎥ n1 n2 ⎥⎦ 2 ⎣⎢ Artinya: ⎛ σ 12 σ 22 σ 12 σ 22 P⎜ ( X 1 − X 2 ) − Z α + ≤ µ1 − µ 2 ≤ X 1 − X 2 ) + Z α + ⎜ n1 n2 n1 n2 2 2 ⎝ = 100(1 − α )% Catatan: Bila deviasi standar populasi σ tidak ada, dapat digantikan dengan deviasi standar sampel S
0
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
α
R : Z > Zα
2
2
Z
Zα 2
Catatan: sebagai alternatif, metode nilai p juga dapat digunakan
Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama X 1 − X 2 − (µ1 − µ 2 ) Statistik uji t= 1 1 S + n1 n2
S = pooled standard deviation
S=
S12 (n1 − 1) + S 22 ( n2 − 1) n1 + n2 − 2
24
Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama (lanjutan)
H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 > µ0
Distribusi t, df = n1 + n2 - 2
H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 < µ0
α
1-α
α
tα
Selang Kepercayaan 100(1-α)% Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen µ1 – µ2 dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua populasi terdistribusi normal dan deviasi standarnya sama
H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 ≠ µ0
⎛ ⎞ ⎜ ( X 1 − X 2 ) ± tα S 1 + 1 ⎟ ⎜ ⎟ n n 1 2 ⎠ 2 ⎝
Distribusi t, df = n1 + n2 - 2 R
R
1-α
− tα 2
0
Derajat bebas t adalah n1 + n2 -2
Artinya: α
R : t > tα
2
2
t
⎛ 1 1 1 1 P⎜⎜ ( X 1 − X 2 ) − t α S + ≤ µ1 − µ 2 ≤ X 1 − X 2 ) + t α S + n1 n2 n1 n2 2 2 ⎝ = 100(1 − α )%
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
tα 2
Catatan: sebagai alternatif, metode nilai p juga dapat digunakan
Contoh Uji Hipotesis Perbedaan Rata-rata 2 Populasi dengan menggunakan Sampel Kecil
t
0
− tα
Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama (lanjutan)
2
1-α
t
0
α
Distribusi t, df = n1 + n2 - 2
R: t < -tα
R: t > tα
Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama (lanjutan)
Sebuah laporan menyebutkan bahwa rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih tinggi dari pada di Bandung. Untuk menyelidiki kebenaran hal ini, seorang peneliti mengumpulkan data yang diambil secara acak di Jakarta dan di Bandung, sebagaimana tercantum dalam data berikut (dalam juta rupiah). Dengan menggunakan taraf keterandalan α = 5%, kesimpulan apa yang dapat ditarik mengenai laporan tersebut di atas.
Data
Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Jakarta 5.6 7.1 6.8 10.2 12.5 13.5 6.8 5.8 9.9 10.2 15.6 7.7 9.8 6.8 5.8 6.8 8.9 9.4 10.5 12.6
Bandung 8.1 7.9 5.4 4.5 5.6 6.8 9.2 8.1 7.2 4.5 5.2 6.8 6.7 5.7 5.8 5.8 10.3 4.5 5.8 10.2 9.8 5.8 5.5 5.6 7.2
25
Solusi (asumsi: gaji bulanan direktur bank di Bandung dan Jakarta terdistribusi normal) Ho: µJ – µB = 0 vs H1: µJ – µB > 0
Solusi (asumsi: gaji bulanan direktur bank di Bandung dan Jakarta tidak terdistribusi normal) -> Statistika Nonparametrik Ho: µJ – µB = 0 vs H1: µJ – µB > 0
Two-sample T for j vs b N 20 25
j b
Mean 9.12 6.72
StDev 2.83 1.75
Mann-Whitney Test and CI: Jakarta, Bandung SE Mean 0.63 0.35
Difference = mu j - mu b Estimate for difference: 2.395 95% lower bound for difference: 1.240 T-Test of difference = 0 (vs >): T-Value = 3.48 P-Value = 0.001 DF = 43 Both use Pooled StDev = 2.29 Kesimpulan: tolak Ho: µJ – µB = 0. Jadi: laporan bahwa rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih tinggi dari pada di Bandung didukung data.
Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Terkait (related) dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi: Perbedaan tersebut Terdistribusi Normal Banyak data: n pairs
Jakarta N = 20 Median = 9.150 Bandung N = 25 Median = 5.800 Point estimate for ETA1-ETA2 is 2.100 95.2 Percent CI for ETA1-ETA2 is (0.899,3.800) W = 593.5 Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 > ETA2 is significant at 0.0012 The test is significant at 0.0012 (adjusted for ties) Kesimpulan: tolak Ho: µJ – µB = 0. Jadi: laporan bahwa rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih tinggi dari pada di Bandung didukung data.
Contoh Aplikasi. Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Terkait (related) dengan menggunakan Sampel Kecil
Populasi Yang Terkait (related)
Sampel 1
Sampel 2
“Before”
“After”
Hitung d = perbedaan antara before dan after untuk setiap pasang data. Selanjutnya, lakukan uji t 1 sampel dengan data d tersebut.
Data
Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Krywan Adi Budi Cica Dedi Edi Feri Gina Hedi Iwan Joni Kia Lena
Before
After
D
450 503 400 435 370 550 525 378 440 510 522 533
470 535 433 450 450 570 555 410 480 555 535 566
20 32 33 15 80 20 30 32 40 45 13 33
Sebuah lembaga kursus Bahasa Inggris mengklaim bahwa apabila seseorang mengikuti kursus selama 2 bulan di lembaga tersebut, maka nilai TOEFL orang tersebut akan meningkat sedikitnya 30. Untuk menguji klaim tersebut, 11 orang diukur nilai TOEFL mereka sebelum dan sesudah mengikuti kursus Bahasa Inggris di lembaga tersebut. Data terlampir. Dengan menggunakan α = 10%, kesimpulan apakah yang dapat ditarik mengenai klaim lembaga tersebut? Asumsikan perbedaan nilai TOEFL seblm dan sesdh kursus terdistribusi normal
D = after - before Untuk menghitung D, Calc -> Calculator
26
MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1 Sample t
Output MINITAB T-Test of the Mean Test of mu = 30.00 vs mu > 30.00 Variable D
N 12
Mean 32.75
StDev 17.77
SE Mean 5.13
T 0.54
P 0.30
Nilai p = 0.30 dan α = 0.10. Ternyata nilai p > α, maka terima H0. Kesimpulan: klaim lembaga kursus Bahasa Inggris bahwa setelah kursus peningkatan nilai TOEFL sedikitnya 30, tidak didukung data.
Estimasi Interval untuk d, sampel kecil. Asumsi: Populasi terdistribusi Normal
Selang kepercayaan 100(1-α)% untuk d pada sampel kecil: Artinya:
d ± tα 2
, n −1
sd n
Bagian 9
⎛ sd sd ⎞ ⎟ = 100(1 − α )% P⎜⎜ d − t α ≤ d ≤ d + tα , n −1 , n −1 n n ⎟⎠ 2 2 ⎝ distribusi t dengan df = n-1
α
Anova
α
2
2
1-α
− tα 2
0 , n −1
t
tα 2
, n −1
Anova Satu Arah (One Way Anova)
Membandingkan C (>2) populasi independen (completely randomized design) Asumsi:
Populasi
terdistribusi normal
Sampel diambil secara acak dari masing-masing populasi
Varians semua populasi sama
H0: µ1 = µ2 = µ3 = …… = µC H1: sedikitnya ada 1 rata-rata populasi yang berbeda
Anova Satu Arah (lanjutan) Populasi 1
Populasi 2
Varians σ2
Varians σ2
Rata-rata = µ1
Rata-rata = µ2
Sampel 1
Sampel 2
Ukuran n1
Ukuran n2
Populasi C
…..
Varians σ2 Rata-rata = µC
Sampel C
…..
Ukuran nc
27
Anova Satu Arah (lanjutan)
Contoh Aplikasi Anova Satu Arah
Source
DF
SS
MS
F
Treatment (C =Column)
C-1
SSC
MSC =
SSC C −1
Error
N–C
SSE
MSE =
SSE N -C
Jumlah
N–1
SST
MSC MSE
F=
C
Catatan:
N = ∑ ni
Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan suatu produk kecantikan terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat kecantikan melakukan pengujian dengan membuat 4 macam kemasan, yaitu A, B, C, D. Penjualan selama beberapa bulan (dalam juta rupiah) untuk masing-masing kemasan dicatat (terlampir). Dengan menggunakan α = 5%, kesimpulan apakah yang dapat ditarik?
i =1
Derajat bebas F adalah C-1 (pembilang) dan N-C (penyebut)
Row
Data A
B
C
15 11 10 9
8 8 7 9 11 8
11 11 8 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
D 14 11 10 9 11 12 12 10
Sale 15 11 10 9 8 8 7 9 11 8 11 11 8 8 9 10 14 11 10 9 11 12 12 10
Tr
Output MINITAB
Dengan Metode Nilai Kritis Fα
One-Way Analysis of Variance Analysis of Variance for Sale Source DF SS MS Tr 3 31.21 10.40 Error 20 56.62 2.83 Total 23 87.83
Level 1 2 3 4
N 4 6 6 8
Pooled StDev =
Mean 11.250 8.500 9.500 11.125 1.683
StDev 2.630 1.378 1.378 1.553
MINITAB: Stat -> ANOVA -> One Way
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4
F 3.67
P 0.029
F dengan derajat bebas = C-1 dan N-C R: F > Fα
Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev -----+---------+---------+---------+(--------*--------) (------*-------) (------*-------) (------*-----) -----+---------+---------+---------+8.0 10.0 12.0 14.0
Dengan metode nilai p: Nilai p = 0.029, sedangkan α = 0.05, sehingga nilai p < α. Tolak H0. Artinya sedikitnya ada satu rata-rata penjualan produk kecantikan yang berbeda dengan yang lainnya
Distribusi F f (F )
α 1-α 0
Fα
Pada contoh ini: F = 3.67 dan F0.05 = 3.0984 untuk derajat bebas 3 dan 20. Karena F > F0.05, maka tolak H0 (sama dengan kesimpulan di atas)
28
Anova Dua Arah (lanjutan)
Anova Dua Arah (Two Way Anova)
Variabel Independen Tunggal
Membandingkan C (>2) populasi sekaligus membandingkan efek blok (randomized block design) Asumsi: Populasi terdistribusi normal Sampel diambil secara acak dari masing-masing populasi Varians semua populasi sama
Variabel Blocking
H0: µ1 = µ2 = µ3 = …… = µC H1: sedikitnya ada 1 rata-rata treatment yang berbeda denga yang lain H0: µ1 = µ2 = µ3 = …… = µR H1: sedikitnya ada 1 rata-rata blok yang berbeda dengan yang lain
.
.
.
. . . . .
.
Catatan: Setiap sel hanya berisi satu pengamatan
Anova Dua Arah (lanjutan)
Contoh Aplikasi Anova Dua Arah
Source
DF
SS
MS
Block (R =Row)
R-1
SSR
MSR =
SSR R −1
F=
MSR MSE
Treatment (C =Column)
C-1
SSC
MSC =
SSC C −1
F=
MSC MSE
Error
(C-1)(R-1)
SSE
Jumlah
N–1
SST
MSE =
F
SSE (C - 1)(R - 1)
• N = RC = total banyaknya data yang diamati • Untuk pengujian efek Blok: derajat bebas F adalah R-1 (pembilang) dan (C-1)(R-1) (penyebut) • Untuk pengujian efek Treatment: derajat bebas F adalah C-1 (pembilang) dan (C-1)(R-1) (penyebut)
Data
Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan (warna dan ukuran kemasan) suatu produk kecantikan terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat kecantikan melakukan pengujian dengan membuat kemasan berwarna: merah, kuning, biru, dan hijau dengan ukuran kemasan kecil, sedang, dan besar. Banyaknya produk kecantikan yang terjual selama satu minggu untuk masing-masing kemasan dicatat (terlampir). Dengan menggunakan α = 5%, kesimpulan apakah yang dapat ditarik mengenai pengaruh ukuran kemasan? Kesimpulan apa pula yang dapat ditarik mengenai pengaruh warna kemasan?
MINITAB: Stat -> ANOVA -> Two Way
Merah
Kuning
Biru Hijau
Kecil
6
5
6
7
Sedang
7
9
6
8
Besar
9
8
10
12
Row
NSale
Ukuran
Warna
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 7 9 5 9 8 6 6 10 7 8 12
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
29
Output MINITAB
Topik-topik Lanjut
Two-way Analysis of Variance Analysis of Variance for NSale Source DF SS MS Ukuran 2 28.50 14.25 Warna 3 6.25 2.08 Error 6 9.50 1.58 Total 11 44.25
F 9.00 1.32
P 0.016 0.353
Efek Blok (ukuran kemasan): F = 14.25/1.58 = 9.00. F0.05 = 5.1433 untuk df = 2 dan 6. Jadi F > F0.05, kesimpulan: Tolak H0. Artinya: ada pengaruh ukuran terhadap penjualan. Efek Treatment (warna kemasan): F = 2.08/1.58 = 1.32. F0.05 = 4.7571 untuk df = 3 dan 6. Jadi F < F0.05, kesimpulan: Pertahankan H0. Artinya: tidak ada pengaruh warna kemasan terhadap penjualan Metode nilai p juga akan menghasilkan kesimpulan yang sama.
Regresi Linear Sederhana Regresi Berganda Deret Waktu Statistika Nonparametrik dan lain-lain
Daftar Pustaka Black, K. 2003. Business Statistics for Contemporary Decision Making. 4th Ed. West Publishing Co. MINITAB, Inc. 2003. Meet MINITAB Release 14 for Windows Lind, D.A. 2002. Basic Statistics for Business and Economics . 4nd Ed. McGraw-Hill Companies
Terima kasih
30
