INFERENSI STATISTIK Inferensi statistik mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi



INFERENSI STATISTIK Inferensi statistik mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi.

Inferensi Statistik

Pendugaan Parameter

Pengujian Hipotesis

PENDUGAAN PARAMETER Pendugaan parameter berarti melakukan estimasi terhadap nilai dugaan/taksiran suatu parameter tertentu, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui  Contoh : Seorang calon dalam suatu pemilihan ingin menduga proporsi yang sebenarnya pemilih yang akan memilihnya, dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai calon tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi yang sebenarnya. 

Metode Pendugaa n Parameter 



Metode Pendugaan Klasik Metode Pendugaan Bayes

Metode Pendugaan Klasik : Pendugaan dilakukan berdasarkan sepenuhnya pada informasi sampel yang diambil dari populasi. Metode Pendugaan Bayes : Pendugaan dengan menggabungkan informasi yang terkandung dalam sampel dengan informasi lain yang telah tersedia sebelumnya yaitu pengetahuan subyektif mengenai distribusi probabilitas parameter.

METODE STATISTIKA Statistika Inferensia: Pengujian Hipotesis

UNSUR PENGUJIAN HIPOTESIS

Hipotesis Nol  Hipotesis Alternatif  Statistik UJi  Daerah Penolakan H0 

HIPOTESIS 



 Suatu pernyataan / anggapan yang mempunyai nilai mungkin benar / salah atau suatu pernyataan /anggapan yang mengandung nilai ketidakpastian Misalnya:   

Besok akan turun hujan  mungkin benar/salah Penambahan pupuk meningkatkan produksi  mungkin benar/salah Varietas A lebih baik dibandingkan dengan varietas B  mungkin benar/salah

HIPOTESIS STATISTIK Suatu pernyataan tentang nilai suatu parameter populasi H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan yang bersifat “status quo” (tidak ada beda , tidak ada perubahan)  H1 (hipotesis tandingan): pernyataan lain yang akan diterima jika H0 ditolak (”ada” perbedaan, ”terdapat perubahan”) 

DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN MEMUNGKINKAN UNTUK TERJADI KESALAHAN H0 benar

H0 salah

Tolak H0

Peluang salah jenis I (Taraf nyata; )

Kuasa pengujian (1-)

Terima H0

Tingkat kepercayaan (1-)

Peluang salah jenis II ()

P(salah jenis I) = P(tolak H0/H0 benar) =  P(salah jenis II) = P(terima H0/H1 benar) = 

Daerah PEnolakan H0

Daerah Penerimaan H0

ˆ

H0: =20  = P(Terima H0 | H1 benar)  = P( < 22 |  = 24)

H1: =24

22

 = P(tolak H0 | Ho benar)  = P( > 22 |  = 20)

 Merupakan sembarang parameter

CONTOH (1) Sampel diambil secara acak dari populasi normal(;2 = 9), berukuran 25. Hipotesis yang akan diuji, H0 :  = 15 H1 :  = 10 Tolak H0 jika rata-rata kurang dari atau sama dengan 12.5 Berapakah besarnya kesalahan jenis I dan II ? Jawab: P(salah jenis I) = P(tolak H0/ = 15) = P(z  (12.5-15)/3/25)) = P(z  - 4.167 )  0 P(salah jenis II) = P(terima H0/ = 10) = P(z  (12.5-10)/3/25)) = P(z  4.167 ) = 1 - P(z  4.167 )  0

SIFAT  DAN 

H1

H0 

H1

H0 



 



 



Jika n   dan  akan menurun lihat KURVA KATERISTIK OPERASI



H1

H0 



HIPOTESIS YANG DIUJI H0 :  = 0

H0 :   0

H1 :   0

H1 :  < 0

Hipotesis dua arah

Statistik uji :

H0 :   0 H1 :  > 0

Hipotesis SATU arah

v

ˆ sˆ

 merupakan sembarang parameter v merupakan sembarang statistik uji

WILAYAH KRITIK DAERAH PENOLAKAN H0 Tergantung dari H1.

Misalkan v = z  N (0,1)

H1 :   0

/2

Nilai kritik -z/2

Daerah Penerimaan H0

Daerah Penolakan H0

/2

z/2

Tolak H0 jika v < -z/2 atau v > z/2

H1 :  < 0 Daerah Penerimaan H0

 Daerah Penolakan H0

-z

Tolak H0 jika v < -z/2 H1 :  > 0

Daerah Penerimaan H0

Tolak H0 jika v > z



z

Daerah Penolakan H0

 & NILAI P  = taraf nyata dari uji statistik  Nilai p = taraf nyata dari contoh  peluang  merupakan suatu ukuran “kewajaran” untuk menerima H0 atau menerima H1  Jika nilai p <  maka Tolak H0 

Nilai p = P (Tolak H0 | contoh) Misalnya : nilai p = P(Z > zh)



Nilai p

z zh

Tujuan pengujian Satu Populasi Nilai Tengah()

Dua populasi Satu Populasi (p)

Data saling bebas

2 diketahui

Uji z

1 - 2 Tidak diketahui

Uji t

Uji z

12 & 22 Tidak diketahui

diketahui

Data berpasangan p1 - p2

d

Uji z

Uji t

12 & 22

Uji z sama

Tidak sama

Uji t Formula 1

Uji t Formula 2

PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS 1.

Rumuskan hipotesis yang akan diuji : H0 dan Ha

2.

Tentukan derajat kemaknaan (α) atau kesalahan tipe 1 Tentukan uji statistik yang akan digunakan (z atau t) Tentukan nilai titik kritis atau daerah penerimaan – penolakan H0

3. 4. 5.

Hitung nilai statistik sampel dengan uji statistik pada derajat kemaknaan yg telah ditentukan

6.

Buatlah kesimpulan yang tepat pada populasi bersangkutan  menerima atau menolak H0

STEP 1 : RUMUSKAN HIPOTESIS UJI (H0 DAN HA) 

Pada pengujian hipotesis, parameter yang akan kita uji disebut hipotesis nol  H0 yang secara statistik berarti tidak ada perbedaan antara kedua variabel yang dibandingkan. H0 : μ = 500 (satu populasi) H0 : μ1 = μ2 (dua populasi)

• Bila dalam uji statistik kita menolak hipotesis nol, berarti ada hipotesis lain yang diterima. Hipotesis ini disebut hipotesis alternatif  Ha yang sifatnya berlawanan dengan hipotesis nol. Ha : μ # 500 (satu populasi) Ha : μ1 > μ2 (dua populasi)

HIPOTESIS NOL DAN HIPOTESIS ALTERNATIF H0 -> Hipotesis Nol Ha -> Hipotesis Alternatif  Hipotesis selalu menyinggung parameter atau karakteristik populasi daripada karakteristik sampel.  Artinya populasi, bukan sampel, bahwa kita ingin membuat sebuah kesimpulan (inference) dari data yang terbatas.

Contoh Hipotesis  Untuk

menguji apakah ada perbedaan ratarata hasil UTS Biostatistik mahasiswa reguler dan mandiri. H0  u1 = u2 Tidak ada perbedaan rata-rata hasil UTS Biostatistik antara mahasiswa reguler dgn mandiri.

Ha  u1 # u2 (dua arah) Ada perbedaan rata-rata hasil UTS Biostatistik antara mahasiswa reguler dgn mandiri.

Ha  u1 > u2 atau u1 < u2 (satu arah) Rata-rata hasil UTS Biostatistik mahasiswa reguler

lebih besar dari mandiri atau sebaliknya.

Step 2 : Tentukan Derajat Kemaknaan keputusan

Ho benar

Ho salah

Terima Ho

Tepat (1-α)

Salah tipe II (β)

Tolak Ho

Salah tipe I (α)

Tepat (1-ß)

Probabilitas Kesalahan Tipe I (α)  adalah probabilitas menolak H0 ketika H0 benar (Significance level / derajat kemaknaan) Probabilitas Kesalahan Tipe II (ß)  adalah probabilitas menerima H0 ketika H0 salah

DERAJAT KEMAKNAAN (SIGNIFICANCY LEVEL)  Tidak

ada ketentuan yang baku untuk besarnya derajat kemaknaan.

• Tetapi yang lazim digunakan adalah :

α = 0,05 (CI=95%) atau α = 0,01 (CI=99%) CI = Confidence Interval (Tingkat Kepercayaan) = komplemen dari α =1-α

P-VALUE (OBSERVED SIGNIVICANCE LEVEL) 

Peluang variabel yang dibandingkan pada sampel berbeda secara bermakna pada derajat kepercayaan yang telah ditetapkan  simbol (p) value  actual signicance level.

• Bandingkan p –value hasil uji statistik dengan α Jika

: P < α  Tolak H0

Dan jika

: P ≥ α  Gagal tolak H0

Step 3 : Tentukan Uji Statistik Beberapa Uji Hipotesis pada Statistika Parametrik 1. Uji rata-rata dari sampel besar  Uji z 1 sampel 2. Uji rata-rata dari sampel kecil  Uji t 1 sampel 3. Uji beda rata-rata dari 2 sampel besar  Uji z 2 sampel

4. Uji beda rata-rata dari 2 sampel kecil  Uji t 2 sampel 5. Uji korelasi  Uji Korelasi Pearson 6. Uji regresi  Uji regresi linear

H0 1.μ = μ0 Sampel besar n>30 2. μ = μ0

Sampel kecil n<30

Nilai uji statistik _ Z = x - μ0 s/√n

_ t = x - μ0 s/√n

Ha

Wilayah kritis

μ < μ0

z < -zα

μ > μ0

z > zα

μ = μ0

z < -zα/2 dan z > zα/2

μ < μ0

z < -z(db;α)

μ > μ0

z > z(db;α)

μ = μ0

z < -z(db;α/2) dan z > z(db;α/2)

H0 3. [μ1 - μ2] = d0

Sampel besar n1 ≥ 30 n2 ≥ 30 4. [μ1 - μ2] = d0

Sampel kecil n1 ≤ 30 n2 ≤ 30

Nilai uji statistik _ _ Z = [x1 – x2] – d0 √(s12/n1)+(s22/n2)

Ha

Wilayah kritis

[μ1 - μ2] < d0 z < -zα [μ1 - μ2] > d0 z > zα [μ1 - μ2] = d0 z < -zα/2 dan z > zα/2

_ t = [x1 – x2] – d0 √(s12/n1)+(s22/n2)

[μ1 - μ2] < d0 t < -tα [μ1 - μ2] > d0 t > tα [μ1 - μ2] = d0 t < -tα/2 dan t > tα/2

UJI NILAI TENGAH POPULASI ()

PENDUGAAN MEAN

Penduga titik bagi mean populasi  adalahX statistik . Bila adalah mean sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan ragam 2 diketahui maka selang kepercayaan 100(1-)% bagi  adalah x  z 2



n

   x  z 2

x



n

CATATAN : Jika 2 tidak diketahui, tetapi sampel berukuran besar (n≥30), 2 dapat diganti dengan s2.



Adapun penduga selang kepercayaan 100(1-)% bagi  untuk sampel kecil (n<30); bila 2 tidak diketahui adalah s s x  t( n1, 2 )    x  t( n1, 2 ) n n dengan t( n1, / 2 ) adalah nilai t yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva seluas  / 2 .

HIPOTESIS YANG DAPAT DIUJI: Hipotesis satu arah  H0 :   0 vs  H0 :   0 vs Hipotesis dua arah  H0 :  = 0 vs 

H1 :  < 0 H1 :  > 0 H1 :   0

Statistik uji:  Jika ragam populasi (2) diketahui 

Jika ragam populasi

(2)

: th 

tidak diketahui

x  0 s/ n

: zh 

x  0

/ n

CONTOH (2) Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk mennetukan apakah perusahaan tersebut laya diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data didapatkan, rata-ratanya 55 dan ragamnya 4.2. Dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkah perusahaan tersebut mendapat ijin?

One-Sample T Test of mu = 50 vs > 50 95% Lower N Mean StDev SE Mean Bound T P 20 55.0000 2.0494 0.4583 54.2076 10.91 0.000

PENGUJIAN HIPOTESIS UNTUK SELISIH DUA NILAI TENGAH POPULASI

HIPOTESIS  Hipotesis

satu arah: H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0 H0: 1- 2  0 vs H1: 1- 2 >0  Hipotesis dua arah: H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0

STATISTIK UJI zh 

( x1  x2 )   0

 ( x x ) 1

diketahui

Formula 1

sama

2

1

2&

2

Syarat :

2

Tidak sama

12 & 22 Tidak diketahui

Formula 2

PENDUGAAN SELISIH DUA MEAN 

Bila kita mempunyai dua populasi saling bebas dengan mean 1 dan 2 dan ragam 12 dan 22 maka x2 penduga titik bagi selisih antaraX11Xdan 2 xdiberikan 1 2 oleh statistik . Bila dan masing-masing adalah mean sampel acak bebas berukuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi dengan ragam 12 dan 22 diketahui, maka selang kepercayaan 100(1-)% bagi 1-2 adalah  12  22  12  22 ( x1  x2 )  z   1   2  ( x1  x2 )  z  2





n1

n2

2

n1

dengan z / 2 adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah  / 2 . CATATAN : Jika 12 dan 22 tidak diketahui, tetapi n1 dan n2 lebih besar dari 30, maka 12 dan 22 dapat diganti dengan s12 dan s22.

n2



Adapun penduga selang kepercayaan100(1-)% bagi 1-2 untuk sampel kecil; bila 12=22 tapi nilainya tidak diketahui adalah ( x1  x2 )  t 2 s p



1 1   1   2  ( x1  x2 )  t 2 s p n1 n2

1 1  n1 n2

dengan derajat bebas untuk distribusi t = v =n1 + n2 – 2 dan 2 2 s 2p 

(n1  1) s1  (n2  1) s2 n1  n2  2



Selang kepercayaan 100(1-)% bagi 1-2 untuk sampel kecil; bila 1222 tapi nilainya tidak diketahui ( x1  x2 )  t 2



s12 s22  n1 n2

dengan derajat bebas untuk distribusi t adalah v



s12 s22   1   2  ( x1  x2 )  t 2 n1 n2

[( s12 n1 ) 2

( s12 n1  s22 n2 ) 2 (n1  1)]  [( s22 n2 ) 2 (n2  1)]

Bila kita mempunyai dua populasi yang tidak saling bebas (berpasangan), selang kepercayaan 100(1-)% bagi D=1-2 untuk pengamatan berpasangan tersebut adalah d  t ( n1, ) sd   D  d  t ( n1, 

2

n



sd 2)

n

Formula 1 a. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan sama: s x1  x2  s

1 1     n1 n2 

th 

( x1  x2 )   0 s( x1  x2 )

2 s gab

(n1  1) s12  (n2  1) s22  dan v  n1  n2  2 n1  n2  2

2 gab

FORMULA 2 b. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama: ( x  x2 )   0 th  1 s( x1  x2 )

s x1  x2

 s 2  2  1 n  1 

2

s  s  n  n  1 2    s 2  2 n1  1   2 n  2   2 1

v

 s12 s22       n1 n2 

2 2

 n2  1 

CONTOH (3) Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya sebagai berikut:

Perush A Perush B



30 35 50 45 60 25 45 45 50 40 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55

Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsi ragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%!

CONTOH (3) Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui rataan waktu yang dibutuhkan (dalam hari) untuk sembuh darisakit flu. Terdapat dua grup, satu grup sebagai kontrol dan grup lainnya diberi vitamin C dengan dosis 4 mg/hari. Statistik yang diperoleh dari peneltian tersebut sebagai berikut : Kontrol Ukuran contoh Rataan contoh Simpangan baku contoh 

Perlakuan Vitamian C : 4 mg 35 35 6.9 5.8 2.9

1.2

Ujilah apakah rata-rata lama waktu sembuh untuk grup yang diberi vitmin C lebih pendek dibandingkan grup kontrol! Asumsikan data menyebar normal dan gunakan α=5%

*Sumber : Mendenhall, W (1987)

PENGUJIAN HIPOTESIS UNTUK DATA BERPASANGAN

HIPOTESIS –Hipotesis

satu arah:

H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0 atau H0: D 0 vs H1: D<0 H0: 1- 2  0 vs H1: 1- 2 >0 atau H0: D  0 vs H1: D>0

–Hipotesis

dua arah:

H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0 atau H0: D = 0 vs H1: D0

Statistik uji :

th 

d 0 s/ n

CONTOH (4)

Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu: Berat Badan

Peserta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sebelum (X1)

90

89

92

90

91

92

91

93

92

91

Sesudah (X2)

85

86

87

86

87

85

85

87

86

86

D=X1-X2

5

3

5

4

4

7

6

6

6

5

Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!

PENYELESAIAN 

Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka: Hipotesis: H0 : D  5 vs H1 : D < 5



Deskripsi:



d d n



i

51   5,1 10

n d i2   d i 

2

s  2 d

n(n  1)

10(273)  (51) 2   1,43 10(9)

s d  1,43  1,20

Statistik uji:

d  d d  d 5,1  5 t    0,26 sd sd 1,20 / 10 n



Daerah kritis pada =5% Tolak H0, jika th < -t(=5%,db=9)=-1.833



Kesimpulan: Terima H0, artinya program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg

PENDUGAAN PARAMETER:

KASUS SATU SAMPEL Proporsi

HIPOTESIS YANG DAPAT DIUJI: Hipotesis satu arah  H0 : p  p0 vs  H0 : p  p0 vs Hipotesis dua arah  H0 : p = p0 vs 

Statistik uji:

zh 

H1 : p < p0 H1 : p > p0 H1 : p  p0

pˆ  p0 p0 (1  p0 ) n

PENDUGAAN PROPORSI 



Penduga titik bagi proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistik Pˆ  X / n , sedangkan X menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan. Dengan demikian, proporsi sampel pˆ  x / n akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi parameter p tersebut. Bila pˆ adalah proporsi keberhasilan dalam suatu sampel acak berukuran n, dan qˆ  1  pˆ , maka selang Kepercayaan 100(1-)% bagi p untuk sampel besar adalah pˆ qˆ pˆ qˆ pˆ  z 2  p  pˆ  z 2 n n dengan z / 2 adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah  / 2 .

CONTOH(4) 





Menurut suatu artikel suatu obat baru yang diekstrak dari suatu jamur, cyclosporin A, mampu meningkatkan tingkat kesuksesan dalam operasi transplantasi organ. Menurut artikel tersebut, 22 pasien yang menjalani operasi transplantasi ginjal diberikan obat baru tersebut. Dari 22 pasien tersebut, 19 diantaranya sukses dalam operasi transpalntasi ginjal. Apakah sampel tersebut cukup secara statistik? Sebagai informasi ahwa keberhasilan dengan menggunakan prosedur yang standar adalah sekitar 60%! Jika kemudian dilakukan pengamatan terhadap 35 pasien dan 25 diantaranya berhasil menjalani transplantasi ginjal, apakah dapat dikatakan bahwa obat baru tersebut lebih baik dari prosedur yang standar? *Sumber : Mendenhall, W (1987)

*sedikit modifikasi soal

PENDUGAAN PARAMETER:

KASUS DUA SAMPEL Selisih dua proporsi

BESAR PERBEDAAN ANTARA DUA PROPORSI (0 (P1-P2)) >0 Hipotesis (1) klik

0 =0

Hipotesis (2) Klik

HIPOTESIS (1) 

Hipotesis satu arah:

H0: p1- p2 0 vs H1: p1- p2 <0 H0: p1- p2  0 vs H1: p1- p2 >0 

Hipotesis dua arah:

H0: p1- p2 =0 vs H1: p1- p2 0 Statistik uji :

zh 

( pˆ 1  pˆ 2 )   0 pˆ 1 (1  pˆ 1 ) pˆ 2 (1  pˆ 2 )  n1 n2

HIPOTESIS (2)  Hipotesis

satu arah: H0: p1  p2 vs H1: p1 < p2 H0: p1  p2 vs H1: p1 > p2  Hipotesis dua arah: H0: p1 = p2 vs H1: p1 p2 Statistik uji :

zh 

( pˆ 1  pˆ 2 ) 1 1 pˆ (1  pˆ )(  ) n1 n2

pˆ 

x1  x2 n1  n2

PENDUGAAN SELISIH DUA PROPORSI 

Bila pˆ1 dan pˆ 2 masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam sampel acak yang berukuran n1 dan n2 serta qˆ1  1  pˆ1 dan qˆ 2  1  pˆ 2 , maka penduga titik bagi selisih antara kedua proporsi populasi p1 – p2 adalah pˆ1  pˆ 2 . Sedangkan selang kepercayaan 100 (1-)% bagi p1 - p2 untuk sampel besar adalah ( pˆ 1  pˆ 2 )  z 2



pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2 pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2 ˆ ˆ   p1  p 2  ( p1  p 2 )  z 2  n1 n2 n1 n2

dengan z / 2 adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah  / 2

CONTOH(6) 

Sebuah penelitian dilakukan untuk menguji pengaruh obat baru untuk viral infection. 100 ekor tikus diberikan suntikan infeksi kemudian dibagi secara acak ke dalam dua grup masing-masing 50 ekor tikus. Grup 1 sebagai kontrol, dan grup 2 diberi obat baru tersebut. Setelah 30 hari, proporsi tikus yang hidup untuk grup 1 adalah 36% dan untuk grup 2 adalah 60%. Apakah obat tersebut efektif? Obat dikatakan efektif jika perbedaan antara grup perlakuan dengan grup kontrol lebih dari 12%

*Sumber : Mendenhall, W (1987) *sedikit modifikasi soal

PENYELESAIAN  Diketahui

 Ditanya

: Grup Kontrol

Grup perlakuan

p1

p2

n1 =50

n2 =50

ˆ 1  0.36 p

ˆ 2  0.6 p

: p2-p1 > 0.12?

PENYELESAIAN 

JAwab :

p2- p1  0.12 vs H1: p2- p1 > 0.12  = 5% H0:

Statistik uji :

zh 

(0.6  0.36)  0.12  1.23 0.6(1  0.6) 0.36(1  0.36)  50 50

Wilayah kritik : Tolak H0 jika zh > z0.05 = 1.645 Kesimpulan: karena zh=1.23 < z0.05 = 1.645 maka Terima H0 (belum cukup bukti untuk Tolak H0) dengan kata lain berdasarkan informasi dari sampel yang ada belum menunjukkan bahwa obat tersebut efektif

PENDUGAAN VARIANS 

Bila s 2 adalah penduga titik bagi varians sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi normal dengan varians 2, maka selang kepercayaan 100(1-)% bagi 2 adalah ( n  1) s 2

 

2 ( n 1, 2 )



 (2n 1, / 2)

2



( n  1) s 2

 (2n1,1

2)

dengan adalah nilai  2 dengan derajad bebas v = n-1 yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar  / 2

PENDUGAAN RASIO DUA VARIANS 



s12

s 22

Bila dan masing-masing adalah varians sampel acak bebas berukuran n1 dan n2 yang  12 diambil dari populasi normal dengan varians 2 dan  2 , maka penduga titik bagi rasio  12 /  22 adalah s12 / s 22 , dan selang kepercayaan 100(1)% bagi 212/22 adalah 2 s1 1 1 s12  2  2 f  2 ( v2 ,v1 ) 2 s2 f  2 ( v1 ,v2 )  2 s2

dengan f / 2(v1, v2 ) adalah nilai f untuk derajad bebas v1 dan v2 yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar  / 2 .

SOAL 





Rata-rata Indeks Prestasi (IP) sampel acak 36 mahasiswa tingkat sarjana adalah 2,6. Hitunglah selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa tingkat sarjana. Anggap simpangan baku populasinya 0,3. Suatu ujian kimia diberikan kepada 50 siswa wanita dan 75 siswa laki-laki. Siswa perempuan mendapat nilai rata-rata 76 dengan simpangan baku 6, sedangkan siswa laki-laki memperoleh rata-rata 82 dengan simpangan baku 8. Tentukan selang kepercayaan 96% bagi selisih rata-rata nilainya. Dari suatu sampel acak 500 keluarga yang memiliki TV disebuah kota kecil, ditemukan bahwa 340 memiliki TV berwarna. Carilah selang kepercayan 95% bagi proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tersebut.

SOAL 





Suatu pengumpulan pendapat umum dilakukan terhadap penduduk kota dan di pinggiran kota untuk menyelidiki kemungkinan didirikannya suatu pabrik kimia. Ternyata 2400 di antara 5000 penduduk kota, dan 1200 di antara 2000 penduduk di pinggiran kota menyetujui rencana tersebut. Buat selang kepercayaan 90% bagi selisih proporsi sebenarnya yang menyetujui rencana tersebut. Seorang peneliti yakin bahwa alat pengukurnya mempunyai simpangan baku  = 2. Dalam suatu eksperimen dia mencatat pengukuran 4,1; 5,2; 10,2. Buat selang kepercayaan 90% bagi . Apakah data ini sesuai dengan asumsinya ? Berdasarkan contoh soal nomor 4, buat selang kepercayaan 98% untuk 12/22. Apakah anggapan bahwa 1222 dapat dibenarkan ?