Bab I Dasar Teori
Inferensi Statistik Inferensi statistik adalah pengambilan kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan analisa pada sampel. Beberapa hal yang perlu diketahui berhubungan dengan inferensi statistik yaitu estimasi titik, estimasi interval dan uji hipotesis. Estimasi titik adalah menduga nilai tunggal parameter populasi. Estimasi Interval adalah menduga nilai parameter populasi dalam bentuk interval. Uji hipotesis adalah
suatu
proses
untuk
menentukan
apakah
dugaan
tentang
nilai
parameter/karakteristik populasi didukung kuat oleh data sampel atau tidak. Hipotesis dalam inferensi statistik di bedakan menjadi hipotesis nol (Ho), yaitu hipotesis yang akan diuji oleh suatu prosedur statistik, biasanya berupa suatu pernyataan tidak adanya perbedaan atau tidak adanya hubungan, dan hipotesis alternativ (H1), yaitu hipotesis yang merupakan lawan dari Ho biasanya berupa pernyataan tentang adanya perbedaan atau adanya hubungan, yang selanjutnya digunakan untuk menunjukan bahwa pernyataan mendapat dukungan kuat dari data. Tahap-tahap uji hipotesis secara umum, yaitu: 1. Tentukan model probabilitas yang cocok dari data, 2. Tentukan hipotesis Ho dan H1, 3. Tentukan statistik penguji, 4. Tentukan tingkat signifikansi, 5. Tentukan daerah kritik berdasarkan tingkat signifikansi, 6. Hitung statistik penguji, 7. Alternatif, hitung p-value berdasarkan statistik penguji, dan 8. Ambil kesimpulan berdasarkan poin 6 dan 7.
Inferensi Statistik Mean Satu Populasi Variansi Diketahui Uji hipotesis untuk mean jika variansi diketahui atau juga dikenal juga sebagai uji Z yaitu: Hipotesis Uji dua sisi, Uji satu sisi,
H0
:
H1
:
µ = µ µ ≠ µ
H0
:
µ ≤ µ
0
H1
:
µ >µ
0
0 0
atau
H0
:
µ ≥ µ
H1
:
µ <µ
0 0
Signifikansi α _
x− µ Z= σ n Z < -Z α / 2 Z > Zα Z < -Z α
Statistik penguji Daerah kritik
atau Z > Z α
Variansi tidak diketahui Uji hipotesis untuk mean jika variansi tidak diketahui atau juga dikenal juga sebagai uji t yaitu: •
Hipotesis Uji dua sisi, Uji satu sisi,
H0 H1
: :
µ = µ µ ≠ µ
H0
:
µ ≤ µ
0
H1
:
µ >µ
0
•
Tingkat signifikansi α
•
x− µ Staistik Penguji t = s n
_
0 0
atau
H0
:
µ ≥ µ
H1
:
µ <µ
0 0
/2
•
Daerah Kritik, Ho ditolak jika: 1. t > t 2. t > t
( n − 1;α / 2 )
3. t < t
( n − 1; α )
atau
t < -t
( n − 1;α / 2 )
( n − 1; α )
Inferensi Proporsi Satu Populasi Uji hipotesis untuk inferensi proporsi satu populasi yaitu: •
Hipotesis: Uji dua sisi, Uji satu sisi,
•
H0 H1
:
H0 H1
:
:
:
P = P0 P ≠ P0 P ≤ P0 P > P0
atau
H0 H1
: :
P ≥ P0 P < P0
Tingkat signifikansi α ^
•
P− P0 Statistika uji dengan :
•
:
Z =
P 0(1 − P 0) n
^
P adalah proporsi sukses dari sampel x ^ P = n, x = jumlah sukses n = ukuran sampel
Daerah kritik, Ho ditolak jika, p value yang diperoleh dengan menggunakan minitab < α
Dua populasi Uji hipotesis untuk inferensi proporsi dua populasi yaitu: •
Hipotesis: Uji dua sisi, Uji satu sisi,
•
H0 H1
:
H0 H1
:
Tingkat signifikansi α
:
:
P1 – P2 = P0 P1 – P2 ≠ P0 P1 – P2 ≤ P0 P1 – P2 > P0
atau
H0 H1
: :
P1 – P2 ≥ P0 P1 – P2 < P0
^
^
( P 1 − P 2 ) − P0 •
Statistik penguji
^
Z =
^
^
^
P 1 (1 − P 1 ) P 2 (1 − P 2 ) + n1 n2 jika P0 tidak diketahui, maka P0 dianggap = 0, ^
^
P1 − P 2 sehingga Z =
•
^
1 1 P 0 (1 − P 0 ) + n1 n 2 ^
^
dengan nilai P 0 =
x1 + x 2 n1 + n2
Daerah kritik, Ho ditolak jika, p value yang diperoleh dengan menggunakan minitab < α
Interferensi Dua Rata-rata Uji Rata-rata 2 populasi Independent Untuk data yang saling independent satu sama lain, uji hipotesisnya yaitu: •
H0 H1
: :
µ = µ 0 (kedua rata-rata relativ sama) µ ≠ µ 0
•
Signifikansi α = 5%
•
Statistik hitung
Kesamaan
Statistik Penguji
Keterangan
variansi _
_
( x1 − x 2 ) − (µ 1 − µ 2 )
σ
2 1
= σ
2 2
t=
1 1 S p2 + n1 n2 _
~ t n1 + n2 − 2
_
( x1 − x 2 ) − (µ 1 − µ 2 )
σ
2 1
≠ σ
2 2
t=
s12 s 22 + n n 2 1
~ tk
S p2 =
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22 n1 + n 2 − 2 s12 s 22 + n n 2 1
k = s2 2 1 n1 + n1 − 1
2
2
s 22 n2 n2 − 1
Uji Rata-rata 2 populasi Dependent Uji rata-rata 2 populasi yang saling dependent ini dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan dimana suatu sampel dikenai dua perlakuan yang berbeda, dan kita akan melihat keterkaitan kedua perlakuan tersebut. Uji hipotesis untuk rata-rata 2 populasi dependent yaitu: • •
H0 H1
: :
µ 1- µ µ 1- µ
2 2
=d0 ≠ d0
Tingkat signifikansi α _
• •
_ d − d0 ∑ d i dan Sd = ∑ Statistika uji : t = dengan d = Sd n n Daerah Kritis, Ho ditolak jika nilai Signifikansi yang
_ d − d i n− 1
2
diperoleh dari
penggunaan SPSS data editor (sig) atau P-value yang diperoleh dari penyelesaian dengan minuitab < α
Bab II Permasalahan
Adapun permasalahan yang akan kami selesaikan dengan menggunakan alat Bantu SPSS dan atau Minitab pada kesempatan kali ini, yaitu: 1. The mean reaction time for a certain species of pigs were given a stimulus is 0,9 second. After 18 pigs were given 3 oz of alcohol, their reaction time slowed to 1,1 second with a standard deviation 0,26 second. At the 0,05 level, did intake alcohol significantly increase reaction time ??? 2. Two different firms design their own IQ test and a psychologist administers both versions 10 randomly selected subject. the result are given below. At the 0,02 level significance, test the claim that both versions produce the same mean score. Subject
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Tes I
98
94
111
102
108
105
92
88
100
99
Tes II
105
103
113
98
112
109
97
95
107
103
3. Data berikut adalah data tentang umur pasangan yang menikah : Laki-laki
28,1
Perempuan 28,4
33
29,8
53,1
56,7
41,6
50,6
21,4
62
19,7
27,6
32,7
52
58,1
41,2
50,7
20,6
61,1
18,1
•
Apakah ada perbedaan antara rata-rata umur mempelai pria dan wanita ?
•
Jika ada, rata-rata umur siapakah yang lebih tua ?
•
Apakah perbedaan rata-ratanya sama dengan 3 tahun ?
4. An advertiser studies the proportion of radio listeners who prefer country music. In region A 95 of 250 listeners surveyed indicated a preference for countri music. In region B, country music was preferred by 14 % of the 400 listeners surveyed. At the 0,02 level significance, test the claim that region A has a greater proportion of listeners who prefer country music.
Bab III Pembahasan 1. based on the question above, we can conclude that: •
Ho : µ ≤ µ
µ > µ
H1 :
0 0
•
Signification α = 0,05
•
x− µ Statistic test: t = s , with n = 18, n
_
2. Critical area, Ho is denied if t < t
( n − 1; α )
By seeing the table, we get the values of -t ( n − 1; α ) = -1,74, And by calculating, we got
1,1 − 0,9 t = 0,26 18 =
0,2 0,061
= 3,27 Based on the calculation above, we know that t > t
( n − 1; α )
namely, 3,27 > -1,74 so, Ho is not denied, it means that the alcohol intakes is not increase the reaction time 2. The second question is a dependent samples t- test, with: •
Ho
: µ = µ
0
H1
:
µ ≠ µ
0
•
Signification α = 0,02
•
Critical area, Ho denied if the p-value < α
•
Statistic test
To get the P-Value, we can use the minitab with this follow ways: 1. activate the minitab program, 2. Insert the data from the question 2, and the output is :
3. click stats basic stats paired t , then shown this pictures:
4. after that, insert C1 as the firs sample, C2 as the second sample, klik options, and insert 98 as the confidence level, test mean “0,00” , and alternative “not equal” click continue click OK, and the output is:
From the output above, we got that the P-value = 0,004 is greater than the significance ( α ) = 0,02 So, the conclucion is Ho is not denied, it means both companies produce the same mean score. 3. Berdasarkan table pada soal nomor 3, dapat disimpulkan bahwa data tersebut merupakan data independent sample t test, dan kita dapat menyusun suatu hipotesis untuk: a. mengetahui ada tidaknya perbedaan antara rata-rata umur mempelai pria dan wanita Ho
:
µ
1
=
µ
2
H1
:
µ
1
≠
µ
2
Signifikansi 0,05 (karena media yang akan kita gunakan adalah SPSS data editor yang mana sebagai default untuk tingkat kepercayaan, SPSS menggunakan tingkat kepercayaan 95% atau tingkat signifikansi 100%95% = 5 % atau 0,05) Ho ditolak jika nilai dari sig ≤ 0,05 Lalu, kita akan menyelesaikan dengan menggunakan SPSS data editor untuk memperoleh nilai sig, dengan langkah-langkah: 1. aktifkan SPSS data editor, kemudian entrikan data pada table soal nomor 3, dan outputnya:
2. Klik analyze compare means independent samples t test dan muncul kotak dialog sebagai berikut:
3. Setelah itu, insertkan variable nikah ke test variables, dan sumber ke grouping variable klik define groups, dan muncul kotak dialog berikut;
4. ketik 1 pada group 1, 2 pada group 2 klik continue klik OK, dan outputnya sebagai berikut:
Berdasarkan output tersebut, kita memperoleh bahwa nilai sig = 0,899 sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua populasi mempunyai variansi yang sama. Dengan demikian anggapan kesamaan variansi dipenuhi, dan Ho Tidak ditolak. Selain itu, kita juga dapat melihat nilai sig dari uji kesamaan rata-rata, yaitu 0,938 atau nilai t = 0,079 yang berarti masuk daerah penerimaan Ho. Sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua rata-rata dapat dianggap realatif sama. b. rata-rata umur yang lebih tua, oleh karena hasil pada pertanyaan a mengindikasikan bahwa kedua data memiliki rata-rata yang relative sama, jadi tidak ada rata-rata umur yang paling tua. c. mengetahui apakah perbedaan rata-rata sama dengan 3 tahun Oleh karena kedua rata-rata relative sama, maka selisih keduanya tidak mungkin sama dengan 3
4. from the fourth question, we got that: -
95 of 250 listeners in the region A prefer country music
-
14% (56) of 400 listeners in the region B prefer country music
-
Ho: p1 ≤ p2 H1 : p1 > p2
-
Significance level is 0,02 it mean the confidence level is 98%
-
Critical area , Ho is denied if p-value < α
-
Statistic test
To know the p value, we can use the Minitab, with this follow ways: 1. activate the minitab programme click stats basic stats 2 proportions and be shown this box :
2. click summarized data insert 250 into number of trials in the first sample, 95 into successes insert 400 into number of trialws in the second sample, 56 into successes click options insert 98 into confidence level box choose alternative greater than click OK click OK, and the output is:
from the output, we get that the p-value is 0,000 and means that it is less than α and indicate that Ho is denied and we can conclude that region A has a greater proportion of listeners who prefer country music.
Bab IV Kesimpulan Inferensi statistik adalah pengambilan kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan analisa pada sampel. Beberapa hal yang perlu diketahui berhubungan dengan inferensi statistik yaitu estimasi titik, estimasi interval dan uji hipotesis. Tahap-tahap uji hipotesis secara umum, yaitu: 1. Tentukan model probabilitas yang cocok dari data, 2. Tentukan hipotesis Ho dan H1, 3. Tentukan statistik penguji, 4. Tentukan tingkat signifikansi, 5. Tentukan daerah kritik berdasarkan tingkat signifikansi, 6. Hitung statistik penguji, 7. Alternatif, hitung p-value berdasarkan statistik penguji, dan 8. Ambil kesimpulan berdasarkan poin 6 dan 7. Inferensi statistik dibedakan menjadi : •
Inferensi statistik mean satu populasi, terdiri atas: 1. Uji Z (jika variansi diketahui dan ukuran sampel kecil (<30)) 2. Uji T (jika variansi tidak diketahui, dan ukuran sampel besar (>30))
•
Inferensi proporsi, terdiri atas: 1. 1 populasi 2. 2 populasi
•
Inferensi dua rata-rata, terdiri atas: 1. Uji rata-rata 2 populasi dependent 2. Uji rata-rata 2 populasi independent
Permasalahan inferensi statistik dapat diselesaikan dengan menggunakan bantuan program SPSS Data Editor for windows dan Minitab. Kedua program ini dapat mempermudah pekerjaan kita dalam menyelesaikan permasalahan inferensi statistik, karena dilengkapi dengan option-option permasalahan inferensi yang akan kita selesaikan.
yang sesuai dengan jenis
