Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan
N: 1,2,3,….
N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional
Z: …,-2,-1,0,1,2,.. Q:
a q , a, b Z , b 0 b
R Q Irasional Contoh Bil Irasional
R : bilangan real
2 , 3, Mohammad arif napia
2
Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1
Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
Mohammad arif napia
3
Selang Jenis-jenis selang Himpunan
{x x < a} {x x a} {x a < x < b} {x a x b} {x x > b} {x x b} {x x }
selang
(- , a )
Grafik
(- , a]
a
(a, b)
a
[a, b]
a
b
a
b
(b, )
b
[b, )
b
(, ) Mohammad arif napia
4
Sifat–sifat bilangan real • Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
Mohammad arif napia
5
Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A(x ) D(x ) < B( x ) E ( x )
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0 Mohammad arif napia
6
Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( x) <0, Q( x)
dengan cara : Mohammad arif napia
7
Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat 3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul Mohammad arif napia
8
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1
13 2 x - 3 5 13 3 2 x 5 3 16 2 x 8
8 x4 4 x8 Hp = [4,8]
4 Mohammad arif napia
8 9
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 2
- 2 < 6 - 4x 8 - 8 < -4 x 2
8 > 4 x -2 - 2 4x < 8
1 - x<2 2
1 Hp - ,2 2
- 12
Mohammad arif napia
2
10
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 3
2 x 2 - 5x - 3 < 0
(2x 1)(x - 3) < 0
1 Titik Pemecah (TP) : x 2 ++
--
-
1
dan
x3
++ 3
2
1 Hp = - ,3 2 Mohammad arif napia
11
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 4 2 x - 4 6 - 7 x 3x 6
2x - 4 6 - 7 x
2x 7 x 6 4 9 x 10 10 x 9 10 x 9
dan 6 - 7 x 3x 6
dan - 7 x - 3x -6 6
dan
- 10 x 0
dan
10 x 0
dan
x0 Mohammad arif napia
12
10 Hp = - , [0, ) 9
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
10 Hp = 0, 9 Mohammad arif napia
13
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 2 < 5. x 1 3x - 1 1 2 <0 x 1 3x - 1
--
-1
(3x - 1) - (2 x 2) < 0 (x 1)(3x - 1) x -3 <0 (x 1)(3x - 1) 1 ,3 TP : -1, 3
++ -1
--
++
3 3
1 Hp = (- ,-1) - ,3 3
Mohammad arif napia
14
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 6.
x 1 x 2- x 3 x x 1 x 0 2- x 3 x
(x 1)(3 x ) - x(2 - x ) 0 (2 - x )(3 x ) 2x2 2x 3 0 (2 - x )(x 3) Mohammad arif napia
15
Untuk pembilang 2 x 2 2 x 3 mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3 Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. --
++
-3
Hp =
--
2
(,-3) (2, ) Mohammad arif napia
16
Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :
x ,x 0 x - x , x < 0
Mohammad arif napia
17
Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak:
1 2
x x2
4
x y
5
x x y y
x a, a 0 - a x a x -a 3 x a, a 0 x atau a x2 y 2
6. Ketaksamaan segitiga
x y x y
x- y x - y Mohammad arif napia
18
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh :
1. 2 x - 5 < 3 Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
-3 < 2 x - 5 < 3 5 - 3 < 2x < 3 5 2 < 2x < 8 1< x < 4 Hp = (1,4)
1 Mohammad arif napia
4 19
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2.
2x - 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
(2 x - 5) < 9 2 4 x - 20 x 16 < 0 2
4 x 2 - 20 x 25 < 9 2 2 x - 10 x 8 < 0
(2 x - 2)(x - 4) < 0
++
-1
++ 4
Hp = (1,4)
TP : 1, 4 Mohammad arif napia
20
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian pake definisi 3. 2 x 3 4 x 5
Kita bisa menggunakan sifat 4
(2 x 3) (4 x 5) 2
2
4 x 2 12 x 9 16 x 2 40 x 25 -12 x 2 - 28x - 16 0 2 3x 7 x 4 0 TP :
4 , -1 3 Mohammad arif napia
21
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++
--4
3
++ -1
Hp = - 4 , (- ,-1] 3
Mohammad arif napia
22
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4.
x 7 2 2
x 7 2 2 x -5 2
x -10
atau atau atau
x 7 -2 2 x -9 2
x -18
Hp = [- 10, ) (- ,-18]
-18
-10
Mohammad arif napia
23
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. 3 x - 2 - x 1 -2 Kita definisikan dahulu : x 1 x -1 x 1 - x - 1 x < -1
x - 2 x 2 x-2 2 - x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval : I (- ,-1)
II
III
[- 1,2) -1
[2, ) 2 Mohammad arif napia
24
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian I. Untuk interval x < -1
atau
(- ,-1)
3 x - 2 - x 1 -2 3(2 - x ) - (- x - 1) -2
6 - 3x x 1 -2 7 - 2 x -2 -2 x -9
2x 9 9 x 2
atau
9 - , 2 Mohammad arif napia
25
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 9 Jadi Hp1 = - , (- ,-1) 2
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (- ,-1) sehingga Hp1 = (- ,-1)
Mohammad arif napia
26
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval - 1 x < 2 atau
[- 1,2)
3 x - 2 - x 1 -2
3(2 - x ) - (x 1) -2 6 - 3x - x - 1 -2 5 - 4 x -2 -4 x -7
4x 7 7 x 4
7 atau - , 4 Mohammad arif napia
27
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 Jadi Hp2 = - , [- 1,2)
-1
4
7
2 4
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan 7 bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
- 1, 4
7 sehingga Hp2 = - 1, 4 Mohammad arif napia
28
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval
x 2 atau [2, )
3 x - 2 - x 1 -2 3(x - 2) - (x 1) -2
3x - 6 - x - 1 -2
2 x - 7 -2 2x 5 5 x 2
atau
5 2 , Mohammad arif napia
29
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp3 = 5 , [2, )
2
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga 2 , 5 Hp3 = ,
2
Mohammad arif napia
30
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 Hp2 Hp3 7 5 Hp (- ,-1) - 1, , 4 2 Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan
Mohammad arif napia
31
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
-1
7
4
5
2
5
-1
7
-1
7
4
4
5
2
2
7 5 Jadi Hp = - , , 4 2 Mohammad arif napia
32
Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x 2 1- x 4 - 2x
x - 2 x 1 2 2 x x3
3 2 - x 3 - 2x 3 4 x 1 2 2 x 2 2 5 2x 3 4x 5 6 x 3x 2 Mohammad arif napia
33
