SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY
1
a) A B A B b) A B A B c) A B C A B A C d) A B C
1. Proměnná, výroky, množiny Další dovednosti a znalosti: - hypotéza - tautologie - kvantifikátory a kvantifikované výroky - výrokový forma - druhy matematických vět - obměna, negace, a obrácení matematické věty - úsudek - základní typy matematických důkazů- přímý, nepřímý, sporem, mat. indukcí - diagramy pro dvouprvkové a tříprvkové mnoţiny a jejich vyuţití - kartézský součin dvou mnoţin - binární relace - zobrazení - pojem funkce
2. Vyslovte a dokaţte hypotézu o dělitelnosti rozdílu druhých mocnin dvou po sobě jdoucích přirozených lichých čísel. 3. Ze dvou manţelů půjde na SRPŠ nejvýše jeden. To vyjadřuje pravdivostní formule: A B B A kde A znamená manţel přijde, B ţena přijde. Rozhodněte o správnosti úsudku: a) Nepřijde-li manţel, přijde manţelka. b) Nepřijde-li manţel, nepřijde manţelka. 4. V dílně jsou tři stroje, které pracují podle těchto podmínek: Pracuje-li první stroj, pracuje i druhý stroj. Pracuje druhý nebo třetí stroj. Nepracuje-li první stroj, nepracuje ani třetí stroj. Jaké jsou moţnosti pro práci těchto strojů?
Moţné maturitní otázky: Výroky a výrokové formy Základní typy matematických důkazů Mnoţiny a operace s nimi
5. Ivan řešil úlohu. Předpokládal, ţe daná věta V neplatí a vyvozoval z toho důsledky. Došel k tomu, ţe V´ V je pravdivá. Dokázal tím pravdivost věty V? 6. Pro kaţdý trojúhelník platí: Jestliţe je rovnostranný, pak je rovnoramenný. Vyslovte negaci, obměnu a obrácenou větu.
Úlohy: 1. Určete pravdivostní hodnotu výrokové formule a určete, zda se jedná o tautologii či ne:
2
2 l) n N ;4 / n 2 / n m) Pro ţádnou dvojici přirozených čísel neplatí: 2x 2 5 y 2 7 6 2 n) n N ;15 / n n
7. Dokaţte, ţe platí: 10 11 1 10 11 (Upravíme:
10 11 10 11 1 19 2 100 11
2
2
19 2 4 * 89
o) Platí:
a to platí) Dokázali jsem tím platnost původního výroku?
b) n N ;3 / 10 4 2 c) n N ;7 / n n d) 100 / 11 1 n
10
n n n n N ; ... 2 n 0 0 n e)
n N ;12 32 5 2 ... 2n 1 2
f) g)
9. Rozhodněte, zda platí: a) A B A C A B C b) A B C A B C A B
n 4n 2 1 3
3n 1 1 2
10. Ze 35 ţáků bylo 7 v Chorvatsku a právě tolik jich bylo v Bulharsku. Rumunsko navštívilo 5 ţáků. V ţádné z těchto zemí nebylo 21 ţáků. Všechny tři země navštívil jeden ţák.V Bulharsku i v Rumunsku byli 2 ţáci, v Rumunsku a Chorvatsku byl jeden ţák. Kolik ţáků bylo: a) v Chorvatsku nebo v Bulharsku b) v Rumunsku nebo v Chorvatsku c) v Bulharsku nebo v Rumunsku
1 n N ;1.2 2.3 3.4 ... nn 1 nn 1n 2 3 h) x2 1 2 2 i) 1 x
2 4 n 1 7 4n j) n N ;100 / 7 7 ... 7 k) n N ;3ne / n2 1 6ne / n
3 s) r Z ;2 / r 2 / r n t) n N ; cos i sin cos n i sin n
7
n N ;1 31 32 ... 3n
7 7 1 7 7
8 6 2 8 6 p) Platí: q) n N ;10 / n 2 6 5ne / n 1 1 a, b R; a b 4 a b r)
8. Dokaţte: n a) n N ;6 / 13 7 n
3
11. Jsou dány: Určete:
J1 ; 3 , J 2 2;8, J 3 1;
d) Zajíţdí-li auto k chodníku, dává znamení o změně směru jízdy.
J 1 J 2 , J 1 J 2 , J 1 J 3 , J 2 J 1 , J 1 J 2 , J 1 J 2 J 3
17. Pro provozní dobu tří benzínových stanic A, B, C v určitém městě platí tyto podmínky. Vţdy je v provozu benzínová stanice A nebo C. Stanice C je mimo provoz, právě kdyţ je otevřeno ve stanici A. Má-li prodejní dobu stanice C, pak stanice A není v provozu a je v činnosti stanice B. Určete všechny moţnosti provozu těchto tří benzínových stanic.
12. Zapište pomocí absolutní hodnoty intervaly: 5;1, ;3 5;8,... 13. Znázorněte A B, A B je-li: 2 2 a) A x; y RxR;4 x 0 ; B x; y RxR; x 3x0
18. K implikaci: Je-li součin dvou činitelů sudý, pak nejsou oba činitelé lichá čísla; vyslovte obměněnou a obrácenou implikaci. Určete negaci dané implikace.
b) A x; y RxR; x 2 9 y 2 9; B x; y RxR; y x 2 1 0 14. Dokaţte, ţe
19. Negujte: a) Daná rovnice má aspoň tři reálné kořeny b) Nejvýše čtyři ţáci získali vyznamenání. c) Aspoň jeden ţák řeší matematickou olympiádu. d) Kaţdý den je důvod k radosti.
11; 7 je iracionální číslo.
15. Je dána mnoţina: A 1;2;3; B 2;4 a) Určete AxB, AxA, BxB, BxA. . b)
A 1; 3; B 2; 4
A ; 2 , B 1; c) Najděte alespoň jednu binární relaci, která je zobrazením. 16. Určete negace sloţených výroků: X Y; X Y; X Y; X Y a vyslovte negace těchto výroků: a) Budu-li mít volno, půjdu do divadla nebo k přátelům. b) Máme barevný televizor a staré auto. c) Budu-li obědvat vepřové,dám si po obědě pivo.
4
4. Dokaţte, ţe: n n a) n N ;9 / 7 3n 1
2. Dělitelnost přirozených čísel
6. Vypočtěte: 3
2 b) n N ;12 / n n 4 2 c) n N ;4 / n 3n
5 3 d) n N ;12 / n n 3 e) n N ;3 / n 2n
2
Další příklady viz kapitola 1.
2. Rozhodněte, které číslo je prvočíslem: 667, 677, 439.
128 * 35 16 * 35 : 94 81 * 8
Úlohy: 1. Převeďte do dvojkové, trojkové soustavy číslo 53.
4
5. Dokaţte,ţe rozdíl druhých mocnin kaţdých dvou za sebou jdoucích lichých přirozených čísel je dělitelný číslem 8.
Moţné maturitní otázky: Číselné obory Elementární teorie čísel Mocniny a odmocniny
11
b) n N ;30 / 11 2n n 2 n c) n N ;11 / 6 3 3
Další dovednosti: - převod čísla z desítkové soustavy do jiné a obráceně - pravidla o mocninách
3. Dokaţte, ţe platí: 4 2 a) n N ;4 / n n
4 n 1
5
Zjednodušte výraz:
3.
3. Číselné obory
a) 2 180 20 3 320 : 28
1
2
1 12 6 3 6 ; 1 2 2 ; 12 6 2 3 6 b)
Další dovednosti a znalosti: - dělení číselných oborů podle desetinného rozvoje - důkaz iracionality a konstrukce iracionálních čísel - počet % - sloţený zlomek - pravidla o mocninách a odmocninách - částečné odmocnění a odstranění iracionality ze jmenovatele - pravidla platná pro absolutní hodnotu čísla - intervaly na číselné ose - vřazení oboru komplexních čísel do číselných oborů - zavedení mocnin pro různé druhy exponentů a s tím související definiční obor - mocninné funkce, graf odmocnin, inverzní fce
4.
2
1 2 2 2 1 2 a) 7 5 20 7 5 b) 5. 6.
Moţné maturitní otázky: Elementární teorie čísel Mocniny a odmocniny Číselné obory
2.
Určete číslo jehoţ 4% jsou: 2 1 3 : 0,09 : 0,15 : 2 5 2 0,32.6 0,03 5,3 3,88 0,67
b)
Převeďte na tvar zlomku: 3,012;0, 27 Dokaţte, ţe čísla:
7 , 6 , 11
Sestrojte:
7. Vypočtěte: 4 a) A log 2 8. log 2 8 log 2 0,25. log 2 4
Úlohy: 1.
Upravte:
B log 2 1 log 4 2 log
2
4 1,25
8. Určete, kolik racionálních členů má rozvoj:
3, 7 jsou iracionální.
6
2 3 3
50
9. Zapište pomocí absolutní hodnoty intervaly ; 4 10; a) 6;10 b) c) 5;1 a opačně: 3 x 6 9 d) 2 x 10 e) pomocí intervalů. 10. Halenka byla slevněna o 20%, pak zdraţena o 10% a v závěru slevněna o 15%. Koupil jsem ji za 320,-Kč. Kolik stála původně a o kolik % byla celkem slevněna.
1
2 2
1 2 3
14. Určete, pro která xR je definován výraz:
A
12. Kruţnici je vepsán a opsán pravidelný 6-ti úhelník. Rozdíl jejich obsahů je 83. Vypočtěte poloměr kruţnice.
x 1
1 x2 . x 1
15. Dokaţte, ţe platí vztah a2 + b2 = c2, je-li: r r a 5 1;b 10 2 5 ; c 2r 2 2
13. Upravte a stanovte podmínky: 3
13 12 10 8 3 : 2 4 a) 2 3 14 18 24 8 24 8 x3 x 2 43 x x 2 x.3
1
a3 b1 : 3 b2 . a 6 b : b
e) f)
b)
1 12 a b 2 a b a b 2 c) 1 a.b a ab a ab a a b b 2 b d) ab : a b a b a b 1
16. Které číslo je větší?
4 7 ; 6 3
1 x
3x x
1 3
4 3
4 3
17. Určete hodnotu výrazu a 3.4 3.8 3.16 3.....
18. Obdélník má rozměry a, b. O kolik % se zmenší obsah, zmenší-li se rozměry obdélníku o x%?
7
19. Smícháme 800g 7% roztoku soli s 600 g 11 % roztoku téţe soli. Kolika % bude výsledný roztok?
4. Algebraické výrazy
20. Máme 700g 12% roztoku. Kolik musíme přidat 100% čisté látky, abychom dostali 15% roztok?
Další dovednosti: -práce s mocninami a odmocninami -Pascalův trojúhelník -binomická věta -vztahy mezi goniometr. funkcemi -vlastnosti logaritmů -kombinatorické vztahy
Moţná maturitní otázka: Algebraické výrazy Úlohy: 1. Napište ve tvaru součinu: a) sin sin 2 sin 3 b) tg 2 1 c) 4 sin 2 1 2. Zjednodušte: a)
log a 4 ax log x 4 ax
cot g 2 x cos 2 x sin 2 x b) 1 sin x
8
a b aa b 8. a : 1 1 ab 1 ab
1 3 u2 4 u! (u 1)! (u 2)! u 1 d) u 1 c)
9.
3. Zjednodušte: x 2 xy x 1 2 xy 3 2 : 2 3 2 2 3 2 2 3 x x y xy y x y x y x x y xy y
1
ab 1 ab
a b
a 2 ab b a b
10. Dělte: a) 3x3 5x 2 x 2 : x 2 b) 5x5 7 x4 20 x3 11x 2 23x 6 : x 2 x 3
4. Upravte: rs rs a) r s 2 r 2 s r s 1 2 r s2 x2 x2 y x 2 b) x x y y 5.
a 2 ab b
11. Upravte výraz tak, aby neobsahoval absolutní hodnoty: a) 2 x 1 2 x 2 x b)
x x2 x
12. Upravte: a x 2 ax ax* a x
1 ab
2
2
13. Určete definiční obor a zjednodušte: a 3 1 a : a) a1 a 1 a 1 a 1 a
2 a 2 a 2 a 2 a 2 3 6. u 1 a 3a u 4a 2 4 a 2 1
a a b b 2 b ab : a b b) a b a b
3 3 1 x : 1 7. 1 x 1 x2
9
a x ax ax* a x
2
a 3 ab 2 b3 b a 2 2ab 2b 2 b c) * 3 a b a 2 ab b 2 a a b
x2 2x 3 3 4 3 x2 x 3 17. Určete hodnotu výrazu: pro 3 x 3 2
14. Proveďte:
a)
18. Proveďte:
a3 a a
1 1 12 1 15 10 2 5 2 5 : 5 2 b)
3
1 4 m3 1 m2m 1 c) 6 10 3 3 d) 2 2 5
a ax a 1 a x 3 a 1 a a 2
3
2
19. Proveďte: a 1 1 b 0 , 5 b 2 a 3 ab ab 3 3 : 1 1 a b 8 1 a2
15. Zjednodušte a určete podmínky:
1 a 2 : 2a 2 a 4 4 2a 1 4
1 2
1 34 a 5 * 6a 2 * 2 6 27
1 2 5 3 2 2 x 2 x 3x x 3 20. Je dán výraz: x x určete definiční obor a vyjádřete jedním zlomkem
1
3
21. Určete hodnotu výrazu: 3 3a a 2 ab b 2 2a b 3 * : * 3 3 2 2 ab a 2ab b a b a b a b
1 x2 2 2 16. Určete hodnotu výrazu: x pro x a 1 a
pro a = 0,3; b = 0,003.
10
22. Dokaţte, ţe pro přípustné hodnoty proměnných platí: 2 2 ab ab a b a b a b 1 * 2 2 a b a b a b 2ab a b
5. Algebraické rovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -grafické řešení rovnic -základní věta algebry (řešení v oboru R a C) -lineární rovnice s parametrem -kvadratické rovnice s parametrem -reciproké rovnice obou druhů -binomická rovnice
23. Zjednodušte: 1 1 a 3 b3 a 2 b2 a b * * * 9a 4 b 4 a b3 a b3 a b3 a3 b3
24. Zjednodušte sloţený zlomek: 1 1 1 2 1 3 x
Moţné maturitní otázky: Lineární a kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice Rovnice s parametrem Rovnice řešené vhodnou substitucí
25. Proveďte: 1 b 2 c 2 a 2 1 1 2bc a b c 1 1 a bc
Úlohy: 1. Rovnice x2 x.cos cos 2 0 má kořeny r,s. Vyjádřete r.s výraz 2 funkcemi úhlu . r s 2 r.s 2. Při které hodnotě parametru a je součet čtverců kořenů kvadratické rovnice x 2 (a 2).x a 1 0 nejmenší?
11
3. Bronzová mince má objem 0,4cm3 a hmotnost je 3,566g. Vypočtěte kolik Cu a kolik Sn obsahuje, je-li Cu=9,09g/cm3 a Sn =7,3g/cm3.
b) jsou převrácené 2 6 x 13x 6 0
x
b)
rovnice
x x x x 4
12. Pro která m bude mít rovnice: 9 x2 18mx 8m 16 0 jeden kořen 2-krát větší neţ druhý?
5. Vojenský oddíl jde po cestě rychlostí 3km/hod. Cyklista jedoucí v opačném směru rychlostí 15 km/h minul tento oddíl za 2 min. Jak dlouhý je oddíl?
13. Je dána rovnice x2 2 x 3 0 . Bez řešení dané rovnice urči rovnici, která má kořeny dvojnásobné.
6. Jedna odvěsna pravoúhlého trojúhelníka je 24, druhá je o a kratší neţ přepona. Určete velikosti neznámých stran.
14. Řešte: a) 2 x 2 1 4 x 2
7. Z místa A vyjde chodec rychlostí 6 km/h; z místa vzdáleného 27 km od A v opačném směru vyjede současně s ním cyklista rychlostí 24 km/h. Kdy a kde ho dohoní?
2 1 3 2 2 b) 1 3x 3x 11 3x 1 3x 11 2 2 x x 1 c) 1,5 x 1 x
8. Jeden kolektiv vykoná určitou práci o 4 hod., druhý kolektiv o 9 hod. později, neţ by ji zvládli při společné práci. Jak dlouho trvá práce kaţdému z nich?
2
d) x 2 5x 3x 2 15x 28 e) x 2 5x 2 6 x 2 5x 1 14 0
9. Dva traktory zorají pole za 4 hod.. Kdyby první traktor zoral polovinu pole a pak druhý traktor práci dokončil, trvala by 9 hodin. Za kolik hodin zorá pole kaţdý traktor zvlášť? 10. Sestavte kvadratickou rovnici, jejíţ kořeny jsou: a) rovny druhým mocninám kořenů 2 3x 15x 2 0
kořenů
x x x x x 4
11. Řešte: a)
4. Délka obdélníkovitého pozemku je o 8 menší neţ trojnásobek šířky. Zvětšíme-li šířku o 5% délky a zmenšíme-li délku o 14% šířky, zvětší se obvod pozemku o 30m. Jaké jsou rozměry pozemku?
hodnoty
2
15. Řešte: 2 8 x4 0 a) 2 2 x 4 2x x x 2 2x b) x 2 2 x 3 x 2 2 x 4 6 0
rovnice
12
17. Řešte: a) x 19 x 11
c) x 6 5x 3 24 0 2 2 d) xx 3 8x 2 x1 x 8; x Z 2x 27 6 e) 1 2 x 4 2x 7x 4 2x 1 2 8 7 1 f) 9 3x 2 4 1 8 9 6 2 3 5x 3 x g) 2 x 2 x 4 x 2 4 x2 2 2x 5 4x 1 2 2 2. x 3 h) x 2 x2 x2 1 1 1 1 5 ch) x 2 x 3x 4 x 12 2 2 6 3 y 5 2 y 3 5 y 2 y 2 i) 24 3x 10 x 2 3x 1 22 x 1 2 2x 5 j) 10 x 29 x 10 5 x 2
b) 2 x 3 4 x c)
x3 x7 x3
d) x x 2 2 x 2 0 e) x 2 3x 4 0 18. Řešte: x 4 x 1
a)
x4
x2 x3 5 x3 x2 6 1 x 2 5 x 5 x 4 2 x 1 3x 1 x 5 1 3 x 5 1
b) c) d) e)
16. Řešte: a) x 2 x 3 2 x 8 3
15
f) 3x 5 9 x 2 5 36 x 2 62 x 5
b) x 1 x 2 1
g) 2 x 1 4 x 2 8x 5
3 x 2 4 2x 3 c) d) 2 x 2 2 x 3 0
h) i)
e) x 5 x 2 x x 7
j)
f) 3 x 1 2 x 2 x 10 g) 2 x 1 2 x 1 3
ch)
13
6 x 15 2 x 3
63 x2 2 36 x9 x x9
5 x 1 2x 2 x 3 1
xa xa ;a R 2a 2a 2a 2 g) ;a R a x 1
19. Velikosti stran trojúhelníka jsou vyjádřeny v centimetrech třemi za sebou jdoucími přirozenými čísly. Obsah trojúhelníku je 84 cm2. Vypočtěte velikosti stran.
f)
20. Řešte:
3x 2 1 2 x 1
a)
3x 1 2 x 1 2
2 5
24. Řešte parametrické rovnice, kde x je neznámá: a) a 2x 2 a 2 2a x 2a 0 b) 2k 1x 2 k 1x k 4 0 1 2x 4x a 6 c) x 2a ax a ax a x 2a
x 2 4 x x 2 4 x 16 2 x 2 8x 16
b)
2 21. m 1.x 2m 1.x m 2 0 , kde m je parametr. Stanovte, kdy jsou její kořeny: a) oba kladné b) jeden záporný a druhý kladný
25. Řešte v R: a) x 3 x 3 7 12 18 x 3
3x 4
4
625 x 64 0 2 x 5 x 4 3 x 3 3x 2 x 2 0 5x 4 2 x 3 x 2 2 x 5 0 5 x 2 3 x 3 13 f) 3 x3 5x 2 6 3 2 g) x 6 x 15x 14 0
b) c) d) e)
22. Najděte všechny hodnoty parametru a, pro které má rovnice 2a a 2 5 vţdy kladné řešení. x 3 x 23. Řešte následující parametrické rovnice: xa ax 1; a R a) a kx 1 kx 1 b) ;k R x2 x2 c) 2ax a 2x 12; a N 2 4 a; a R d) x 1 e) k 2 1 x k 1; k R
6
26. Řešte v R: 2 1 5 4 x x 3 33 3 2 3 2 x 1 x 2 3
14
27. Sestavte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, je2i x1 1 i . jímţ jedním kořenem je imaginární číslo
b) 8x3 1 0 32. Doplněním na čtverec odvoďte vzorec pro řešení obecné kvadratické rovnice.
2 28. Určete kvadratickou rovnici x px q 0 s racionálními 2 3 x1 2 3. koeficienty, jejímţ jedním kořenem je číslo
33. Jsou-li x1, x2 kořeny kvadratické rovnice: x 2 px q 0 , najděte kvadratickou rovnici, jejíţ kořeny jsou x1 + x2 , x1 * x2 .
29. Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny i koeficienty z oboru komplexních čísel, jestliţe platí: 5 5 x1 cos i sin 4 4 x2 2 2i 30. Řešte: 2 x 1 16 5 * 21 a) 4
2 x 1
25 x 3 x 3x3 4 3 x 25 x 2 2 26 5 * 52 x 10x 11 * 5x 5 x 7 25 0 5 x x x 15x 311 3x x xlog x log10 101 x log x 3
b) c) d) e)
3x 2 x 1 3x 2 2 * 1 f) 3 x 1 3x 2 1 x 31. Řešte v C: a) x 6 1 0
15
x2 1 x x2 1 x x 1 h) y log x2 4 g) y
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: - iracionální nerovnice - lineární nerovnice s parametrem - kvadratické nerovnice s parametrem
i) y 4
x4 x2 8
2. Řešte:
2 x 17 x 5 x5 x2 2 x x2 b) 0 2 x 1x 5 x 2 3x 2 c) 0 x3 a) 4
Moţné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice Nerovnice s absolutní hodnotou Iracionální nerovnice Nerovnice s parametrem Úlohy: 1. Určete definiční obor výrazu či funkce: x 1 a) x 2 3x 2 10 9 x x 2 b)
3. Řešte: 2 a) x 1 x 3 3x 6 x 2 0
x 5x 4 0 x 2 6x 5 1 11 2 c) 2 x 2 x 15 x x 2 2
b)
x 2 x 1
c) y x 2 5x 4 log x 2 d) y log x 2 3x 2 e) y log 5x 2 8x 4 1 f) y x 2 3x 2 3 2x x2
4. Řešte: a) x x 5 4x 3
b) x x 1 c) x 2 3 x 2 0
16
d) x x 1 3x 2 0
e)
1 2 x 2 x 1 x 1 f) 1 x 1 g) 2 x 5 4 x 7 0
e)
7. Řešte v oboru R: a) ax b 0 px x 1 2x 3 b) p2 3 4 p x x 2 c) 2 p 2 p
h) x 2 10 x 2 16 i) x 2 x 6 j)
5x 3 4x 7
d) x 2 3mx m 0 e) mx 2 2m 1x m 2 0 f) ax 1 xa 1 a x
3
k) x 1 2 x x
;a, b parametr ;p parametr ;p parametr ;m parametr ;m parametr ;a parametr
8. Řešte: 2 3 4 a) xx 1 x 3x 2 x 1 0 b) 2 x 3 5x 2 2 x 0 c) x 4 10 x 3 35x 2 50 x 24 0
ch) x 2 x 1 0 5. Řešte: a) x 2 5x 24 x 2 b) x 1 x 12 x 1 c) d)
x 2x 5 8 x
9. Určete číslo k tak, aby rovnice : x 2 2k 4x k 2 6k 0 měla reálné kořeny.
x 1 2x 4 x 18 2 x
10. Řešte: 2 x x 2 3x 2 2 x 1 x 1 a) kde x M 2x 1 1 1 x 3 b)
6. Řešte: a) x 61 x 3 2 x b) 3 x 3 1 x 2 c) x 3 x 1 2 x 1 d) x 7 2 x 1
x 2 x 15 2
c)
17
3 x
7
11. Řešte nerovnice: a)
7. Soustavy rovnic a nerovnic s více neznámými
x 2 x 16 x
b) x 3 x 4 0 c) 2 x 6 3 5x d)
x 2 8x 12 3
e)
x 2 5x 4 x 3
f)
x 24 x
Další dovednosti: - řešit rovnice kde je více neznámých, neţ rovnic - řešit rovnice kde je méně neznámých, neţ rovnic - zvláštní soustavy
Moţné maturitní otázky: Soustavy rovnic a nerovnic Nerovnice s absolutní hodnotou Úlohy: 1. Nádrţ se plní 3-mi přívody A, B, C. Současně otevřenými přívody A, B se naplní za 1 hodinu, přívody A, C za 45 minut, přívody B, C za 1,5 hodiny. Jak dlouho by se plnila kaţdým přívodem zvlášť. 2. Dva konvexní mnohoúhelníky mají dohromady 24 stran a 109 úhlopříček. Které to jsou? 3. Dva dělníci společně odvedou práci za 12 dní. Po osmi dnech společné práce jeden onemocněl a druhý dokončil tuto práci za dalších 10 dnů. Za kolik dní by ji udělal kaţdý sám?
18
3 2 1 tg x - tg y 2
f) tg x + tg y
4. Řešte soustavu rovnic: a) xy + yu + ux = xyu xz + zu + ux = xzu xz + xy + yz = xyz yz + xy + yz = yzu
g) x y 400
b) (x+3)(y-1) = (x-1)(y+2) (x-2)(y+4) = (x+7)(y-2)
x log y 16 log x
5log y 14 32 log x 52 log y 56
h) 3
5. Řešte: 1 1 3 a) x y x y 2 1 1 1 x y x y 2
x
ch) y 64
b) 7x + 3y - 6z = -1 2x - 4y + 9z = 28 7x + 9y - 9z = 5 c) 4
tgx tgy
16
x 1 y x 1
16
2
2
i) x y 74 x-y=2
8 8
j) x + y = 5 x2-y2=5
tg 2 x tg 2 y
d) 8x - 7y + 6z - 5u = 16 x:y:z:u=1:2:3:4
k) x2 + xy + y2 = 37 x-y=1
e) sin x - sin y = 0,62 x + y = 44°40’
l) x y x 3
x3 y 3
19
m) x 3 y 5
10. Řešte soustavy rovnic: a) x 2 y 3z 4 2x 3y 4z 5 3x 3 y 2 z 10
x 3 2y 1
6. Řešte: a) 2x + y - z = 1 2x + 5y + z = 30
b) b) 4x - 2y = 1 x + y = -2 2x - 3y = 1
x 2 y 3z 4 2x y z 3 3x 4 y 5 z 6
c)
7. Řešte: 3x - 1 > x + 3y x (1 - 3x) > 4x - 3x2 - 2y
x2 y2 4x 2 y 0 x y2 0
8. Řešte graficky v R*R soustavu: 5x + 2y 10; 3x + 4y 12; 6x + 10y 60; 3x - 2y 6 Dále určete pro která [x, y] nabývá výraz: V[x, y] = 3x + 5y maximální hodnoty.
11. Řešte graficky v RxR: x 1 x y 3 0 y 2x 3 12. Řešte graficky v RxR: 2 y 3 0 x 2 y 3 0 3x y 0
9. Graficky řešte: y - x x + 3y 5 3x + y 15 3x + y 7 Zjistěte, kde má funkce y = 2x - 3 maximum.
13. Vlak pojíţdí tunelem dlouhým 220 m. Od okamţiku, kdy vjede do tunelu lokomotiva, aţ do okamţiku, kdy poslední vagón opustí tunel, uplyne 19 sekund. Od tohoto okamţiku uplyne dalších 42 sekund, neţ lokomotiva přijede k návěšti, která je 1 km od tunelu. Vlak jede stálou rychlostí. Určete jeho rychlost a délku vlaku.
20
14. V pravoúhlém trojúhelníku je součet délek stran 132 cm, součet obsahů čtverců nad jeho stranami je 6050 cm2. Jak dlouhé jsou jeho strany?
8. Geometrické útvary v rovině
15. Znázorněte graficky mnoţinu A B , jestliţe: A x; y : x R y R 2 x y 2
Další dovednosti: - Eukleidova věta o výšce a odvěsnách - mocnost bodu ke kruţnici - čtvrtá měřická úměrná - konstrukce úseček (Eukleidova věta, Pythagorova věta, čtvrtá.geometrická úměrná) - tětivový tečnový čtyřúhelník - sinová a kosinová věta
B x; y : x R y R 4 x 2 9 y 2 36
16.
Řešte soustavu nerovnic 2 x x 2 x 2 x
o
jedné
neznámé:
2
x x 1
Moţné maturitní otázky: Rovinné útvary Mnoţiny bodů dané vlastnosti Úlohy: 1. Sestrojte rovnoběţník, znáš-li velikost sousedních stran a, b a velikost úhlu určeného úhlopříčkami. 2. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány strany a,b,c,d ( a d ) a úhlopříčka AC je osou úhlu stran AB a AD. 3. Sestrojte čtverec, je-li dáno: a) a + e = 8 b) e - a = 2 4. Sestrojte kruţnici, která prochází dvěma různými body A, B a dotýká se přímky t. 21
5. Sestrojte trojúhelník: a) a + b + c, b) va, d, od
13. Najděte GMB: Je dána kruţnice a na ní bod A. Bodem A veďte všechny tětivy dané kruţnice. Nalezněte gmb všech středů těchto tětiv. 14. Rozdělte kruh dvěma soustřednými kruţnicemi na tři části stejného obsahu.
2
6. Kosočtverec má plochu S= 864 cm . Jedna úhlopříčka je o 12 cm kratší, neţ druhá. Určete úhlopříčky a stranu
15. Sestrojte trojúhelník ABC: a) r, va,
7. Vypočtěte obsah plochy ohraničené opsanou a vepsanou kruţnicí trojúhelníku ABC: a = 16, b = 49, c = 55.
b) c, tc,
8. Trojúhelník ABC rozdělte rovnoběţkou se stranou AB na dvě části stejného obsahu.
Jsou dány přímky a, b a kruţnice k(S;r). Sestrojte kruţnici, která se dotýká obou přímek a s kruţnicí k má vnější dotyk.
9. Kruţnici je vepsán a opsán pravidelný 6-ti úhelník. Rozdíl jejich obsahu je 83. Vypočtěte poloměr kruţnice.
18. Sestrojte ABC: o
a) c = 4, = 60 , vc= 3
10. Vypočtěte strany pravoúhlého trojúhelníka, je-li ta= 8,
b) tb= 6, vb= 5, c = 5,5
tb= 12
c) ta= 6, tb= 9, tc= 12 d) vc= 3, b = 4, *= 1
11. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) c, tc,
e) a + b = 9, c = 5,7= 75o f) a - b,
b) a, va,
g) a - b = 4, c = 5,5, = 45
c) a+b, va, c
o
19. Sestrojte lichoběţník: a) a = 10, c = 5, e = 6,f = 12 b) b = 4, c = 9, f = 7, v = 3,5,
12. Z které výšky h je vidět 1% povrchu Země. (poloměr Země 6370 km)?
20. Sestrojte různoběţník (čtyřúhelník): a) a, b, e, f, 22
b) a = 8, c = 5, e = 8,5; f = 6, = 45
o
9. Shodnosti v rovině
21. Jsou dány dvě soustředné kruţnice k1(O;1),k2(O;4) a bod A
Další dovednosti: - skládání zobrazení - přímá a nepřímá shodnost - věty o shodnosti trojúhelníků
(OA=3). Sestroj všechny kruţnice, které se dotýkají k1, k2 a prochází bodem A.
22. V obecném trojúhelníku ABC je dáno: a = 47,3 cm, vc = 26,8 cm. Určete zbývající strany a úhly. 23. V obecném trojúhelníku ABC je dáno: c = 18 cm, vc = 16 cm, = 16°20´. Určete zbývající strany a úhly.
Moţné maturitní otázky: Shodná zobrazení v rovině Úlohy: 1. Společným bodem dvou kruţnic veďte přímku tak, aby na ní kruţnice vyťaly shodné tětivy. 2. Dané jsou dva různé body A,B leţící v jedné z polorovin určených přímkou p. Sestrojte bod Xp tak, aby AX+ BX bylo minimální. 3. Daná je kruţnice a bod A leţící uvnitř. Sestrojte tětivu XY dané délky, která prochází bodem A. 4. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány velikosti jeho stran a, b, c, d ( ad ) a úhlopříčka AC je osou úhlu alfa. 5. Sestrojte trojúhelník ABC: a) ta, tb, b) , tb, a
23
c) ta,
12. Sestrojte čtyřúhelník ABCD: a = 5, c = 3,5 e = 6, f = 5,5; o
=120 (= úhlu AEB).
6. Jsou dány tři soustředné kruţnice. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby vrcholy leţely postupně na soustředných kruţnicích.
13. Jsou dány dvě rovnoběţné přímky a, b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby Aa, Bb.
7. Je dána úsečka AA1 (např. 5 cm). Sestrojte všechny trojúhel-
14. Do daného rovnoběţníku KLMN vepište čtverec ABCD tak, aby AL, BLM, CMN, DKN.
níky ABC, pro které je AA1= ta a pro které platí: a) c = 4, b = 7,
15. Je dána kruţnice k(S;r), bod B a úsečka délky d. Sestrojte tětivu XY kruţnice k délce d tak, aby byla vidět z bodu B
o
b) b = 6, = 45 c) b = 6, tb= 6,
o
pod úhlem 60 .
8. Sestrojte lichoběţník ABCD je-li dáno: a, c, e, f.
16. Sestrojte kruţnici k, která se dotýká dané přímky p v bodě A a dané kruţnice l(O;r1).
9. Jsou dány rovnoběţné přímky a, b a bod M (leţící v pásu přímek a, b). Sestrojte kruţnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. (Řešte úlohu dvěma způsoby).
17. Sestrojte kruţnici k, která se dotýká dané kruţnice k1(S1;r1) v bodě M a dané kruţnice k2 (S2;r2).
10. Jsou dány dvě různé rovnoběţky a, b a bod M uvnitř pásu (a, b). Sestrojte všechny úsečky AB kolmé k přímkám a, b s krajními body A, B na přímkách a, b, které z bodu M vidíme o
pod úhlem 60 . 11. Vyhledejte místo na řece šířky d, ve kterém by měl stát most tak, aby cesta z obce A do obce B byla co nejkratší.
24
4. Sestrojte společné tečny ke dvěma kruţnicím.
10. Podobnost a stejnolehlost
5. Sestrojte kosočtverec ABCD: e : f = 3 : 4 a=5,5. 6. Pomocí stejnolehlosti sestrojte čtverec: a) a + e = 6 b) e - a = 2.
Další dovednosti: - Apollóniovy úlohy - Pappovy úlohy
7. Do daného trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tak, aby KL AB, M a, N b. Moţné maturitní otázky: Stejnolehlost a podobnost
8. Uvnitř čtverce se stranou a sestrojte rovnostranný trojúhelník se stranou délky a.
Úlohy: 1. Sestrojte ABC: a) = 60o, = 75o, = 1,6
9. Je dán bod M, přímka p a kruţnice k(S;3cm), Sp= 4cm, Mp = 1cm, MS = 7 cm, body M,S leţí v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte všechny úsečky XY, pro které platí: Xp, Yk, MXY, MY = 2. MX .
b) tc c) b a= 5 : 4, = 60o, vc= 5 d) a : b = 4 : 7, = 45o,tc = 4,5
10. Bodem M uvnitř ostrého úhlu AVB veďte přímku tak, aby její úsek mezi rameny úhlu byl dělen bodem M v poměru 2 : 3.
e) a : b : c = 7 : 4 : 5, vb= 4 f) 45o, , = 5
11. Je dán čtverec ABCD o straně 5cm a bod M uvnitř čtverce ( M BD, MB = 2cm). Sestrojte všechny úsečky XY, které mají krajní body X, Y na hranici čtverce tak, aby platilo: MX : MY = 4 : 3.
2. Sestrojte kruţnici, která se dotýká dané přímky t v jejím bodě A a dané kruţnice k, která přímku t neprotíná. 3. Je daná kruţnice k a na ní bod T. Sestrojte kruţnici, která má s danou kruţnicí dotyk v bodě T a dotýká se dané přímky p.
12. Jsou dány dvě kruţnice se stejnými poloměry k1(O1,r), k2(O2, r), které se protínají. Bod O je středem úsečky 25
O1O2. Veďte bodem O přímku tak, aby její průsečíky s kruţnicemi k1, k2 byly krajními body tří shodných úseček.
a) vnitřní b) vnější 20. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) = 60°, = 35°, t c = 5cm b) = 45°, = 55° , vc = 4cm
13. Je dán konvexní úhel AVB a bod M, který leţí uvnitř daného úhlu. Bodem M veďte přímku m, která protíná ramena VA, VB úhlu AVB po řadě v bodech X,Y a přitom platí: VX : VY = 2 : 3.
21. Je dána kruţnice k(S;4cm), její tečna t a bod M k tak, ţe Mt = 2cm. Sestrojte úsečku XY procházející bodem M tak, aby X k, Y t a MX : MY = 3:2.
14. Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno: a) a : c = 4 : 7, = 45°; tc = 4,5cm b) a : b : c = 7 : 4 : 5 , vb = 4cm
22. Jsou dány dvě protínající se kruţnice. Jedním jejich průsečíkem veďte takovou přímku, která na kruţnicích vytíná tětivy, jejichţ poměr délek je 3:2.
c) = 45°, = 60°, r = 5cm, kde r je poloměr kruţnice opsané d) b + c = 14cm, = 75°, = 45°. 15. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: e : f = 3 : 4 , a = 5,5cm.
23. Je dána kruţnice k a její dva navzájem kolmé průměry. Sestrojte tětivu kruţnice k, kterou dané průměry rozdělí na tři shodné úsečky.
16. Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: a : b = 5 : 3, = 75°, f = 6cm.
24. Sestrojte všechny úsečky XY, které mají krajní body na hranici čtverce a jsou bodem M děleny v poměru 4:3.
17. Do půlkruhu s průměrem AB vepište čtverec XYUV tak, aby jeho strana XY leţela na průměru AB.
25. Ve vnitřní oblasti kruţnice k zvolte bod T. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC vepsané kruţnici k, které mají těţiště T.
18. Do kruţnice k(S;4cm) vepište obdélník ABCD, pro který platí: AB : BC = 3 : 4.
26. Narýsujte dvě rovnoběţné přímky p, q a bod T. Sestrojte všechny trojúhelníky MNP, které mají vlastnosti: M AB, N BC, P CA, MN p, NP m, PM n.
19. Jsou dány různoběţky a, b a kruţnice l(O;r) leţící uvnitř jednoho úhlu určeného přímkami a, b. Sestrojte kruţnici, která se dotýká přímek a, b a s kruţnicí l má dotyk:
26
27. Do rovnoběţníku ABCD vepište aspoň jeden kosočtverec MNPR tak, ţe MN BD, NP AC, M AD, N AB, P BC, R CD .
11. Základní poznatky o funkcích
28. Do daného útvaru vepište aspoň jeden čtverec tak, ţe všechny jeho vrcholy leţí na hranici útvaru a čtverec má s útvarem společnou osu souměrnosti. Je dán: a) rovnoramenný trojúhelník b) kosočtverec c) kruhová výseč d) půlkruh e) kruhová úseč
Další dovednosti: - rovnost funkcí - periodičnost - inverzní funkce - druhy extrémů, stacionární body, inflexní body - limita funkce a její spojitost; jejich vztah - druhy limit - asymptoty grafu funkce - rozdělení funkcí - posuny grafu funkce
29. Do daného rovnostranného trojúhelníku vepište jiný rovnostranný trojúhelník, jehoţ strany jsou kolmé na strany daného trojúhelníku.
Moţné maturitní otázky: Obecné vlastnosti funkcí Obecné vlastnosti posloupností Úlohy:
1. Dokaţte, ţe funkce f : y log x x 2 1 je lichá. 2. Určete zda jsou si rovny funkce: 1 ; f 1 : y log x 1 x 1 f 2 : y log 2 x 1
27
3. Určete, která z funkcí je sudá a která lichá: a) y 2 x 2 cos x b) y 2 x 2 x x 2 cos x; x 0;
8. Určete obory hodnot těchto funkcí: a) y 1 x b) y
4. Určete definiční obor funkce: 3x 1 a) y log 0,1 2x 1
x c) y 2 2 2 d) y x 2 x 3 1 e) y 2 sin 2 x 2 f) y 3 log 2
b) y 1 log x 2 1 1 c) y 1 tg 2 x
d) y log x 2 2 x 3
9. Určete všechna x, pro která funkce nabývají stejné hodnoty: a) y 1 x y x 1
e) y x 2 5x 4 log x 2 f)
y
g) y
2 x
2 b) y x 2 x 2
x 6 3x 1 x x 2 3 12
c) y sin 2 x cos 2 x d) y 1 x 1 e) y 3x 1 3x 2
x 1
5. Je dána funkce y 4 2 . Určete: a) definiční obor b) obor funkčních hodnot c) graf d) graf a rovnici inverzní funkce. 6. Načrtněte graf funkce: y
10. Řešte graficky rovnice:
y x2 2 x 2 x 2 yx2 y 13 3x y lox 2
a) log x x 1 b) log x x x
3 sin 2 x 1 2 3
c)
7. S vyuţitím vlastností inverzní funkce sestrojte graf funkce f : y x 4
x 2 5x 6 1 x 2 5x 6
d) 4 2 x 4
28
a) f : y 2 log x 1 b) f : y 2 sin2 x
10. Vypočtěte limitu: x 1 a) lim x 1 x5 2 x2 x 6 b) lim 2 x2 x x 2 c) lim x 2 5 x 7 x 1
13. Daná je funkce f f 1 f 2 f 3 kde
f1 : y x; x ,1
f 2 : y x 2 2; x 1,2)
f3 : y 4 x ,
x tg d) lim 2 x 0 tg 2 x
Sestrojte jej a sestrojte i f
lim 4 x
h)
x
3
x2
1
.
14. Načrtněte binární relaci: a) x y 4
3tg 2 x e) lim x 0 2 x 2 x3 f) lim 2 x 2 x x 5 g) lim 4 x3 x 2 x 2 x
x 2, )
b) x 2 y 2 x y 1 c) x 2 y 2 0 d) x 2 y 2 1
x 2
15. Sestrojte grafy relací T : y x 2 4 x 7 U : y x3
2 x3 x 2 5 x x 2 x 2 4 x3 x 2 i) lim 3 x 3 x x 2 x 2 x2 2x 5 j) lim 3 x 2 x x 2 4 x 6x k) lim x 3x 1 ch) lim
16. Zjistěte, zda funkce f : y x 2 x 1 pro x 1 je prostá. Sestrojte f 1 . Určete definiční obor a obor funkčních hodnot u obou funkcí. 17. Určete asympoty ke grafům funkce: x2 1 y x3 a)
12. Načrtněte graf funkce:
29
x3 2( x 1) b) x y x 2x 1 c) 3 y 3x x2 d) 2 x y x2 e) 1 y 2 x f)
3n 1 a) n 2 1
y
n 2 1 b) 2 n 1 1
2n c) 2 n 2 1
5 ( 1) n . n d) n 1
n3 4 e) 2 5n 1
x2 1 18. Dokaţte, ţe funkce f: y 4 x R je ve svém D(f) x 1 ; omezená.
(n 3)(2n 1) f) 2 (n 1) 1
3n 2 4n 5 g) 3 2 4n 2n 1
19. Určete, zda je posloupnost monotónní:
2n 2 a) 2n 1 1 b)
5n 2 4n 3 h) 2 3n 2n 1 1
log n logn 11
21. Určete intervaly, kdy je funkce rostoucí-klesající: a) y 2 x3 3x 2 12 x 6 b) y 3x 4 4 x3 c) y 4 x 2 x 1 d) y x
20. Vypočtěte limitu posloupnosti. Určete, zda je konvergentní či divergentní:
30
2. Určete rovnici kvadratické funkce, jejíţ graf prochází body A0-3,5, B2-7,5, C516,5 a) zjistěte bod, v němţ má tečna směrnici 2 b) určete vrchol a ohnisko paraboly c) načrtněte graf d) určete všechna x R pro něţ je f (x) 0
12. Racionální funkce Další dovednosti: - aplikovat diferenciální počet na průběh kvadratické funkce - umět najít ohnisko paraboly a hyperboly - posuny grafu funkce - nalezení asymptot hyperboly limitním přechodem - nalezení tečen v bodě grafu i mimo něj - vztah funkce a paraboly či hyperboly
3. Sestrojte graf funkce f : y x 2 5 x 6 a určete: a) její monotónnost b) definiční obor c) obor funkčních hodnot d) načrtněte graf 4. Zemědělec chce postavit výběh pro ovce tvaru pravoúhlého čtyřúhelníku. Má 160 m pletiva a jedna strana výběhu bude stěna budovy. Určete délku výběhu tak, aby měl maximální plochu.
Moţné maturitní otázky: Mocniny a odmocniny Lineární a kvadratické funkce Funkce s absolutní hodnotou
5. Do trojúhelníku ABC v němţ délka strany AB je 4 cm a výška na stranu AB je 5 cm, je vepsán obdélník EFGH. Určete funkci, jejíţ D(f) je (0;4) a jeţ vyjadřuje závislost obsahu obdélníku na délce strany EF.
Úlohy: 1. Sestrojte grafy funkcí: a) y x 2 2 x b) y x x 2 c) y
6. Pro které parametru a mají grafy funkcí: f(x) = 2 ax + 1 a 2 g(x) = (a – 6)*x - 2 alespoň jeden společný bod?
x 2x x x 2 2
d) y x 1 x
2
7. Sestrojte graf funkce : a) y
31
3 x 12 3 4
13. Máme vyrobit plechovku tvaru válce s víkem. Její objem je 3 2 dm . Určete funkci vyjadřující závislost spotřeby plechu na poloměru podstavy. 3x 4 14. Je dána funkce y 2x 3 a) určete D(f) b) načrtněte graf c) určete v bodě 2;? tečnu a normálu
b) y 2 x 2 5x 1 8. Určete mnoţinu N všech funkcí, z nichţ kaţdá je určena rovnicí y = ax + b a pro něţ platí : a) uspořádaná dvojice 0;- 4patří ke kaţdé z funkcí b) f N x 3;3 je f (x) - 6 9. Určete mnoţinu L všech funkcí tvaru y x b pro něţ platí : f L x0;8je f(x) 32 2
10. Sestrojte graf funkce:
a) y b) y
x 1 . Určete: D(f), H(f), rovnice asymptot, x3 rovnici inverzní funkce, ohniska.
15. Je funkce y
x 1 x
16. Načrtněte grafy funkcí : a) y 2 x 1 x 2
2x 2 x 1
b) y x 5 x 2 x 2 x 2
3x 1 2x a) vypočtěte souřadnice středu, ohniska, rovnice asymptot b) určete monotónnost funkce c) načrtněte graf d) najděte tečnu v bodě, kde graf protne osu x
11. Je dána funkce g : y
c) y
3 x x2
d) y 1 x 2 x 2 x Určete intervaly monotónnosti, extrémy, asymptoty. 17. Vypočtěte D(f) funkce y
2x 3 x 1 a) určete hodnotu funkce v bodech 5; -2 b) určete D(f) c) načrtněte graf d) určete všechna x, pro která f(x) = 12
12. Je dána funkce: y
18. Řešte graficky rovnice: a) x 2 2 x 2 x 1 0 b) x 2 6 x log x 8
32
1 x x
25. Určete předpis pro lineárně-lomenou funkci, jejímţ grafem je hyperbola se středem v bodě S-1;2 a procházející bodem A-2;-1.
19. Zjistěte všechna mR, pro která má rovnice x 3 2 m s neznámou xR dva různé kořeny. 20. Načrtněte graf funkce: a) y log x b) y log x 1
1 1 c) y cos x 6 2 3 tgx d) y tgx 21. Vyšetřete lokální extrémy funkce y x 1 2 x 3 22. Načrtněte graf funkce f: y log x 1 1 a určete D(f), H(f) a další vlastnosti. xb a g: y 2 x 1. Pro které 3 x hodnoty parametru b mají grafy funkcí f a g: a) společné dva body b) jeden společný bod
23. Jsou dány funkce f: y
24. Řešte graficky nerovnice: x 1 a) 1 x b)
13. Exponenciální a logaritmická funkce a rovnice
2x 3 3 x2
33
Další dovednosti: - najít rovnici tečny a normály v bodě grafu funkce - načrtnout sloţitější funkci na základě diferenciálního počtu
x
a 1 5. Pro která čísla a je funkce y klesající? a 1
6. Určete a, b tak, aby funkce f: y a2 x b procházela body A0;0, B1;1. Určete, zda body C3;7,D5;10 patří grafu funkce.
Moţná maturitní otázka: Exponenciální a logaritmická funkce, logaritmy Exponenciální rovnice Logaritmické rovnice
3x 7. Řešte: a) 3 .27
Úlohy: 1. 2400 metrů dlouhý drátek ze zlata váţí 1 kg. Jaký má průměr, je-li = 19,2 g/cm3?
b)
2. Vypočtěte povrch Země, je-li r = 6,378*106 m. Vypočtěte i délku rovníku.
1 2
c) y 3
f) y log log 1 x
2x 4 x
1 27 3
1 8 2x
ln x x b) y 2 x 2 ln x
9. Určete průběh funkcí: a) y
g) y log 1 1 x 3
d) y 1 3
1 64
b) y 0,5 x 4
2
x
.4 x 1
8. Určete D(f): a) y
3. Sestrojte grafy funkcí: a) y 2 x 1 2 e) y log 3 x b) y 2 x 2 x
x2
1 3
x
c) y x 2 .e x 10. Určete D(f): 1 a) y log x 1 x
4. Určete obor, ve kterém je definovaná funkce: u 4 13u 2 18 y log x x; y 0.z 1; je-li x 1 18
34
b) y 1
2 log 4 x 2 x 1
17. Řešte rovnice nebo jejich soustavy: x. y 400 a) log y x 16 x b) 4 3x 4 4x 3 3x 2 c) xlog x 10 x log x 11
11. Řešte graficky následující rovnice: x
a) b) c) d)
1 x 1 2 2x 1 x 2 log 2 x 1 x x x 2 log 9 3
12. Vypočtěte: log 4
18. Řešte rovnice nebo jejich soustavy: 4tgx tgy 8 a) 2 2 16tg x tg y 8 x
b) 22 x 1 4 x 1 16 2 28 c) 51 x 7 x 1
1 log10 10 log 3 243 256
13. Zlogaritmujte výraz: V
d) x x x x 2 x 3.3x 2 9 x 2 e) 7 x x 1 6 .8 3 2 3 x 1 5x f) 3
185.a 3 .134 b .108. 3
log 5 x log 8 x log x 5 b) log x 8
14. Vypočtěte: a)
g) x 1 3 23 x 1 3 x 7 8x 3 h) xlog x 100 x i) x3 log x 5 x 4 7 log x
15. Vypočtěte: a) log 3 7 log 7 3 b) log 4 2 log 1 5 log 6 8
34 x 1 2.34 x 3 5
k)
53 x 19 53 x 4 1 4 x.3 y 18
l)
3
16. Určete x, je-li log x
j)
9 x.5 y 75 m) 4 x 2.52 x 10 x 0 n) 49 x 6.7 x 5 0
2 log u log b 2 log 7 3
35
o) 10.2 x 4 x 16 p) 4 x 2 16 10.2
x2
0
19. Řešte rovnice nebo jejich soustavy: a) log x 3 log x 2 2 log 2
3log x 5log y 14 b) c) d)
32 log x 5 2 log y 56 log 2 x 2 log 4 x 15
xlog x 10
e) log x
log x
1
f) log 3x 4 log 7 x 3 1 log 0,11 g)
1 2 1 5 log x 1 log x
log x 2 y 2 1 log 13 log x y log x y 3log 2 i) 2 log 3x2 3log 4 x3 4 log 2 x2 4 log 6 x h)
j) log 1 x 3log 1 x 2 log 1 x 2 8 k) log x log x log 4 x log x ... 2
14. Goniometrie a trigonometrie
l) log x 2. log x 2 log x 2 16
64
m) log x 3. log x 3 log x 2 3 3
Další dovednosti: - vzorce pro výpočet plochy trojúhelníku (včetně Heronova vzorce) - řešení sloţitějších goniometrických rovnic
9
n) log x 10. log x 10 log x 2 10 10
100
36
- nalezení grafu pomocí diferenciálního počtu
1 1 cos 2 x sin 2 x c) 1 cos x d) log 1 tx 2 x 2 log cos x b)
Moţná maturitní otázka: Goniometrické funkce a jejich vlastnosti Goniometrické vzorce Goniometrické rovnice Trigonometrie Uţití trigonometrie v úlohách z praxe
5. Určete hodnotu výrazu: tgx cot gx 6 a) je-li tgx 2 tgx cot gx sin x cos x 1 b) je-li tgx sin x cos x 3
Úlohy: 1. Určete hodnoty ostatních goniometrických funkcí, je-li: 8 3 a) cos ; ; 17 2
6. Je známo, ţe sin x cos x 0,5 . Určete: a) sin x. cos x b) sin 3 x cos 3 x c) sin x cos x d) sin 2 x cos 2 x
3 1 b) tg ; ; 4 2 2. Vypočtěte: a3tg
4 5 a 2btg 2 9ab 2 cot g 2 2b3 cos 4 3 3 3
7. Je známo, ţe tgx cot gx 2 . Určete: a) tgx cot gx b) tg 3 x cot g 3 x 8. Načrtněte grafy funkcí: a) y sin x
3. Určete D(f) a H(f): a) y 2 cos x b) y 1 sin 2 x
b) y sin x sin x
4. Upravte výrazy a stanovte podmínky existence: a) tg 2 x cot g 3 x tg x cot g x 2
2
c) y
37
cos x cos x
1 d) y 1 cos 2 x 2 3
16. Zjednodušte: sin x. 1 sin x cos 2 x a) cos 2 x.1 sin x
9. Určete, která z funkcí je sudá a která lichá: a) y x cos x b) y sin x. cos x 3 sin x c) y 1 2 sin 2 x 10. Určete hodnotu výrazu f ( x)
1 sin 3 x cos 3 x b) cos 2 x sin x cos 2 x cos 3 x sin x sin 2 x cos 3x cos x c) : 1 cos x cos 2 x sin 3x sin x 1 cos 2 x sin 2 x d) sin 2 x 1 cos 2 x cos 3x cos x sin 3x sin x e) cos 4 x cos 2 x sin 4 x sin 2 x x x 2 cot g sin 2 2 2 f) 2 x 2 x sin cos 2 2 2 1 cot g x . sin 2 x g) 1 tg 2 x . cos 2 x Nezapomeňte stanovit podmínky existence.
5 sin x cos x , je-li 2 cos x 3sin x
tgx = 5. 11. Upravte:
sin sin 2 1 cos cos 2
12. Je-li 180 , dokaţte: sin sin sin 4 cos
2
cos
2
cos
2
13. Určete sin 4 x cos 4 x , je-li sin x cos x a 17. Dokaţte, ţe platí: sin x sin 2 x tgx a) 1 cos x cos 2 x 1 2 sin 70 1 b) 2 sin 10 cos x cos 3x tg 2 x c) sin 3x sin x
x x 14. Určete sin , cos , je-li tgx 0,75 a x 0; 2 2 2
15. Vyjádřete jako součin: a) sin x cos x b) 1 cos x c) sin 3x sin 2 x. cos x 38
p)
18. Určete vnitřní úhly v pravoúhlém trojúhelníku, je-li jedna odvěsna aritmetickým průměrem druhé odvěsny a přepony.
sin x sin y 0,62 x y 4440´
21. Vypočtěte úhly pravoúhlého trojúhelníka, platí-li mezi straab 3 nami vztah: . c 2
19. Určete vnitřní úhly pravoúhlého trojúhelníka, jestliţe pro velikost odvěsny a a přepony c platí vztah: 4a 2 8ac 3c2 0
22. Jaké úhly svírají síly o velikosti F = 40N, F = 60N, F = 80N, jsou-li v rovnováze a vycházejí z jednoho bodu.
20. Řešte následující goniometrické rovnice nebo soustavy: a) 2 sin 2 x cos 2 x 4 sin x 2 2 2 2 b) 42 sin x 1 42 cos x 1 10 c) 2 cos 2 x 3 cos x 1 0 d) cos 2 x 2 sin x e) 2tgx 4 cot gx 9 f) cos x cot gx 1 sin x x g) 5 cos 9 sin x 2 h) sin x sin 2 x sin 3x sin 4 x 0 i) Rovnice typu a sin x b cos x c např. 7 sin x 4 cos x 8 tg 2 x j) tg 2 x 2tgx tg 2 x
23. Vypočtěte velikost strany c v trojúhelníku ABC, je-li dáno a, b, osa úhlu 24. V trojúhelníku ABC platí :: = 3 : 4 : 5. Strana a 2 . Vypočtěte b, c. 25. V lichoběţníku ABCD: AB= 8, BC= 5, = 60°, = 105°. Vypočtěte ostatní strany lichoběţníku. 26. Vypočtěte obsah rovnoběţníku ABCD: a = 25, b = 15, a úhel úhlopříček = 5530. 27. V obecném trojúhelníku ABC je dáno: a = 32,5; c = 47,3; vc = 26,8. Určete zbývající strany a úhly.
k) sin 2 x cos x 1 0 l) sin x cos x 1 0 x m) sin cos x 1 2 n) sin 2 x cos 2 x 1 tgx o) cos 2 x 3sin x 3 0
28. V obecném trojúhelníku ABC je dáno: c = 18; vc = 16; = 16°20´. Určete zbývající strany a úhly. 29. V trojúhelníku ABC platí: o = 156, a = 44, r = 31,8. Vypočtěte ostatní prvky včetně plochy.
39
30. Určete velikosti vnitřních úhlů ABC platí-li a : b = 2 : 3, : = 1 : 2. 31. Na vrcholku kopce stojí rozhledna 25m vysoká. Její patu a vrchol vidíme z místa M pod úhly = 30°, = 32°. Jak vysoko je kopec nad místem M? 32. Tři síly, jejichţ velikosti jsou v poměru 4 : 7 : 9 působí v rovině v jednom bodě tak, ţe jsou v rovnováze. Určete velikosti svíraných úhlů.
39. Určete vzdálenost nedostupných bodů A, B, víte-li, ţe:DC= 2000 m, = 52°40´, = 42°1´, = 86°40´, = 81°15´.
33. Pozorovatel vidí patu věţe 69 m vysoké v hloubkovém úhlu = 30°10´a vrchol v hloubkovém úhlu = 20°50´. Jak vysoko je pozorovatelovo stanoviště nad horizontální rovinou, na níţ stojí věţ? 35. Vypočtěte šířku řeky, jestliţe na jednom břehu byla změřena vzdálenost AB= 240m a úhly BAC = 45°, ABC = 30°, přičemţ bod C je na druhém břehu. 36. Síly 125 N a 75 N mají společné působiště a svírají úhel 50°. Určete výslednici těchto sil.
39. V ABC platí:a = 12, b = 15, c = 10. Určete , , , va, vb, vc, ta, tb, tc, r,
37. Těleso o hmotnosti 1563 kg je zavěšeno dvěma lany různých délek na vodorovném trámu. Lana svírají s trámem úhly 48°26´ a 62°54´. Vypočtěte namáhání lan v tahu. 38. Určete vzdálenost bodů U a V, bylo-li změřeno: = 115°30´, = 104°20´, UK = 120m, KL = 65 m
40
- umět odvodit jednoduché vzorce pro objem pomocí integrálního počtu - aplikovat integrální počet při výpočtu objemu rotačních těles
Moţné maturitní otázky: Polohové vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Objem a povrch mnohostěnů Objem a povrch rotačních těles Úlohy: 1. Je dán kvádr ABCDÁ´BĆ´D. Střed hrany CĆ je E, střed hrany DD´ je F. Sestrojte je-li =ADE´, = AB´F. 2. Zobrazte řez roviny = KLM s pravidelným šestibokým jehlanem ABCDEFV. Body K, L, M jsou vnitřní body hran AF, BV, CV tak, ţe platí AK = FK , BL = 2 VL VM = 2 CM. 3. Určete řez roviny tělesem:
15. Základy geometrie v prostoru
a)
Další dovednosti: - aplikovat znalosti analytické geometrie pro výpočet vzdáleností a odchylek
41
6. Daná je krychle ABCDEFGH, bod K je střed hrany D. Určete odchylku přímky DF od roviny ACK. 7. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV je AB = 5, AV = 5. Určete: a) odchylku dvou sousedních stěn b) vzdálenost bodu A od přímky VC
b)
8. Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD o hraně 5. Určete: a) jeho objem b) odchylku bočních stěn od podstavy c) odchylku bočních hran od podstavy 9. Bod M je střed hrany AV a bod S střed podstavy pravidelného šestibokého jehlanu ABCDEFV, v němţ platí: AB = 2, VS = 6. Určete: a) odchylku BM od roviny podstavy b) odchylku CM od roviny podstavy
c)
10. Je dána krychle ABCDEFGH a rovina , která prochází bodem K a je kolmá k přímce DG. Bod K leţí na AB tak, ţe 3 AK = /2AB a) Sestrojte řez krychlí b) vypočtěte obsah řezu, je-li AB = a.
4. Je dána krychle ABCDEFGH. Určete průnik rovin = ABM, = CNP v krychli. Body M, N, P jsou po řadě středy hran HD, EF, AB. 5. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou = EHG, kde E je střed AB, H leţí na hraně DV tak, ţe DH = 3HV, G leţí na hraně CV tak, ţe VG = 2CG.
11. Pravidelný 6-ti boký hranol má tělesové úhlopříčky u1= 15 cm, u2= 17 cm. Vypočtěte jeho povrch a objem.
42
12. Rozměry hran kvádru jsou v poměru
3 2 5 : : a objem 4 3 6
20. Ze dvou koulí o poloměrech r1 = 1 a r2 = 5 je ulita nová koule. Vypočtěte její poloměr a povrch.
3
V = 0,72 m . Určete jeho rozměry.
21. Vypočtěte objem koule, kterou vidíte ze vzdálenosti 15,7 m
13. Vypočtěte objem pravidelného trojbokého jehlanu, který má podstavné hrany a = 20 cm, a´= 12 cm a obsah pláště je roven součtu obsahů obou podstav.
o
od jejího středu v zorném úhlu 30 40´. 22. Vrcholem rotačního kuţele prochází rovina, která s rovinou
14. Pravidelný čtyřboký komolý jehlan má podstavné hrany
o
podstavy svírá úhel 60 . Tato rovina protne podstavu kuţele v tětivě AB = 12 cm. K této tětivě přísluší ostrý středový
o
a = 10, a´ = 4. Jeho boční hrany svírají s podstavou úhel 60 . Vypočtěte jeho objem a odchylku bočních stěn od podstavy.
o
úhel o velikosti téţ 60 . Vypočtěte objem kuţele.
15. Je dána krychle ABCDEFGH, kde AB = 5. Určete povrch a objem tělesa ACHF.
23. V trojúhelníku ABC je dána strana a = 5 a úhel o
o
= 30 = 45 . Určete objem tělesa, které vznikne rotací tohoto trojúhelníku kolem strany c.
16. Délky stěnových úhlopříček kvádru jsou v poměru 3 10 : 17 : 5 . Jeho objem je V= 96 cm . Určete jeho rozměry.
24. Vrchlíky z téţe koule jsou v poměru 2 : 3. Jaký je poměr jejich objemů?
17. Pravidelný čtyřboký jehlan jehoţ podstavné i boční hrany 3 jsou stejně dlouhé, má V= 100 cm . Vypočtěte délky hran a povrch jehlanu.
25. Do koule o poloměru r = 10, je vepsán rovnostranný kuţel. Určete jeho objem a povrch. 26. Kolik % Země (r = 6370 km ) vidí kosmonaut z výšky 350 km nad Zemí?
18. Do pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, jehoţ hrany podstav jsou a = 9 , b = 6 je vloţena koule, která se dotýká všech stěn. Vypočtěte objem komolého jehlanu. 19. Polokulovitá nádoba je naplněna vodou. Nakloníme-li ji o 30°, vyteče z ní 5,5l vody. Kolik litrů vody zůstalo v nádobě?
43
Moţné maturitní otázky: Variace a permutace Kombinace Binomická věta Úlohy: 1. Zkraťte:
10! 2!.3!.4!.5!
2. Kolik přirozených čísel větších neţ 300 lze vytvořit z cifer 1, 2, 3, 4 (bez opakování, s opakováním). 3. Z kolika prvků lze vytvořit 5040 variací čtvrté třídy bez opakování. 4. Zjednodušte:
n 1! n 2! n! n! n 1! n 2! n 3! n 3!
5. Řešte: log x 6! log x 5! 2 log x 6. Dokaţte, ţe platí: 1!2 * 2!3 * 3!... n * n! n 1!1
16. Kombinatorika
7. Kolik přirozených čísel menších neţ 5000 lze vytvořit z cifer 0, 3, 4, 5 bez opakování.
Další dovednosti: - permutace s opakováním - kombinace s opakováním (při min.14-ti hod.dotaci) - základní pojmy pravděpodobnosti - důkazové úlohy na základě binomické věty
8. Řešte rovnici:
x 1! 4 x! 2!x 2! 2!x 3!
9. Kolik přirozených čísel lze vytvořit z cifer 0, 1, 2, 3 , 5
44
větších, neţ 15 (bez opakování).
b) 6 bodů leţí v jedné rovině
10. Jsou dány cifry 0, 1, 2, 3, 4, 5. Kolik lze sestavit čtyřciferných čísel (přirozených,bez opakování), dělitelných šesti (čtyřmi).
18. Ze šesti muţů a čtyř ţen se má vybrat sedmičlenná skupina: a) kolika způsoby je to moţné b) kolika způsoby je to moţné, mají-li tam být právě dvě ţeny c) vypočtěte v % pravděpodobnost, ţe v náhodně vybrané sedmičlenné skupině budou aspoň tři ţeny.
11. Je dána čtvercová síť 5x4 v obdélníku ABCD tak, ţe AB= 5 dílků. Kolik cest vede z A do C, jestliţe mohu jít jen vpravo a nahoru? Kolik těchto cest vede bodem Q3;2?
19. Pro jaké x je v rozvoji výrazu člen roven 168?
x x x2 1 12. Řešte: 2 x 1 x 2
20. Vypočtěte:
x x x 13. Řešte: 5 x 1 2 3
3
4 2x 6 3 2x
9
sedmý
4
2 3 .
21. Vypočtěte přibliţně 1,0312.
14. Kolika přímkami můţeme spojit 10 bodů, jestliţe tři z nich leţí na jedné přímce?
22. Vypočtěte třetí člen rozvoje: 2 i 3
9
23. Určete komplexní číslo x, pro které je sedmý člen rozvoje
15. Zvětší-li se počet prvků o 1, zvýší se počet kombinací třetí třídy o 21. Kolik bylo prvků?
výrazu x i 2
10
roven 105.
16. Test zkoušky se skládá z 5 otázek. Budou tam dvě otázky z dějepisu, (připraveno je 30), dvě ze zeměpisu (připraveno je 25), a jedna otázka z občanské výchovy (připraveno je 20). Kolik variant testu je moţných?
24. Určete absolutní člen v rozvoji výrazů:
17. Je dáno 10 různých bodů. Zjistěte, kolik je jimi určeno rovin, jestliţe: a) ţádné 4 neleţí v jedné rovině
25. Najděte všechny členy rozvoje, které obsahují:
a)
x 3
2
5 x3
b) 4 x 3x
20
1 8
a) x3 v rozvoji 2 x 2 x 1
45
12
b) x6 v rozvoji 2 x 3 x 1
10
26. Pro které x se čtvrtý člen rozvoje 4 x 3x 14.
1 8
rovná číslu
Moţné maturitní otázky: Obecné vlastnosti posloupností Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Nekonečná geometrická řada
n
1 27. V rozvoji výrazu x x 4 je součet prvních tří koefix cientů 67. Určete absolutní člen ruzvoje.
28. Určete kolik racionálních členů má rozvoj
2 3 3
50
Úlohy:
2n 1 1. Vypočtěte limitu posloupnosti n 3 2 1
.
29. Dokaţte, ţe platí: a) 100 / 1110 1 b) 7 / 6 2 n 1
5 3n 2. V posloupnosti 2 n 1 1 a) zjistěte monotónnost b) určete limitu
c) pro která n jsou členy této posloupnosti větší neţ
23 15
1 3. Dokaţte, ţe posloupnost 3 je monotónní a vypočn 1 1 těte její limitu.
17. Posloupnosti a řady
Další dovednosti a znalosti: - umět převést poslední ze zadání n-tým členem na rekurentní vztah a obráceně - aktivně ovládat důkaz matematickou indukcí - znát jednoduché a sloţené úrokování při spořících účtech - znát výpočet splatnosti úvěrů
46
n 1
4. Je dána posloupnost log 2 a) dokaţte, ţe je rostoucí b) určete rekurentní vzorec.
1 2 3 ...... n n 5. Vypočtěte lim n n2 2
11. Součet prvních deseti členů aritmetické posloupnosti je 190, součin prostředních členů je 357. Určete je!
6. U posloupnosti rozhodněte o monotónnosti a vypočtěte její
12. V aritmetické posloupnosti 30, 27, 24, 21,... najděte člen, jenţ je roven 1/8 součtu všech předcházejících členů aritmetické posloupnosti.
1 2 3 .... n limitu: 9u 4 1 1
13. Velikosti stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Velikost větší odvěsny je 24. Vypočtěte velikost stran a úhlů.
7. Určete první a osmý člen posloupnosti: a) a n 1 a n 3
a4 0 b) a n 2 a n a n 1 a5 10 a6 9
14. Částka se má rozdělit tak, aby první osoba dostala 100,- a kaţdá další o 5,- více. Kolik osob lze podělit při částce 1225,- a kolik dostane poslední z nich. 15. Urči aritmetickou posloupnost je-li: a2 a5 a3 10 a1 a6 17
8. Mezi čísla 4 a 37 vloţte čísla tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost o součtu 246. Určete počet vloţených čísel a její diferenci.
16. Je dána aritmetická posloupnost: an 80 d 8 sn 416 Určete: a1 , n
9. Čísla a1, a2, a3, a4, a5 mají tu vlastnost, ţe první tři tvoří geometrickou posloupnost a poslední 4 tvoří aritmetickou posloupnost. Určete tato čísla, jestliţe: a2 a3 a4 a5 4
a2 .a5 8
17. Určete geometrickou posloupnost v níţ platí: s4 15 a1 a4 9
10. Určete velikosti vnitřních úhlů pravoúhlého trojúhelníka, jestliţe jeho strany tvoří po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. 47
18. Určete velikost nejmenšího vnitřního úhlu pravoúhlého trojúhelníka, jestliţe jeho strany tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.
25. Původní cena stroje byla 40000,- Kč. Jakou cenu bude mít stroj za 20 let, je-li ročně amortizován 20%. 26. Vkladatel si uloţil v bance 20000,- Kč na termínovaný vklad dvou let, při pololetním úrokovacím období. Roční úroková míra je 11% a daň z úroků je 15% . Kolik bude mít vkladatel za dva roky?
19. Určete počet prvních n-členů geometrické posloupnosti, jeli: a1 2
q 3
s n 80 3 1
27. Občan si zaloţil osobní konto v bance v úvodu roku vkladem 1500,- Kč. Kaţdý měsíc pak vkládal 1500,- po dobu 5 let, Úroková míra banky byla 9%, úroky byly připisovány na konci kaţdého roku. Daň z úroků je 15%. Kolik měl střadatel na konci pátého roku?
20. V geometrické posloupnosti je: a1 1 an 512 sn 1023 Určete n.
28. Banka poskytla podnikateli počátkem roku úvěr ve výši jeden milion korun na dobu tří let s úrokovou mírou 14% při úrokovacím období 1 roku. Podnikatel zaplatí dluh ve třech stejných splátkách a to vţdy na konci roku. Kolik bude kaţdým rokem splácet?
21. Mezi čísla 5 a 640 vloţte n čísel tak, aby součet vloţených čísel byl 630 aby všechna tvořila geometrickou posloupnost. 22. Pro která tR existuje:
lim n
t 1 t 1
29. Určete geometrickou posloupnost, je-li: a1 2 an 13122 sn 19682
n
23. Povrch kvádru je 78 cm2 , součet délek hran jdoucích z jednoho vrcholu je 13 cm. Vypočtěte objem kvádru, jsou-li hrany tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.
30. V geometrické posloupnosti je: a1 a3 a5 105
24. Určete tři kladná čísla, aby byla za sebou jdoucími členy geometrické posloupnosti, víme-li, ţe jejich součet je 21 a součet jejich převrácených hodnot je 7/12.
a2 a4 50
48
31. V geometrické posloupnosti je: a1 a 4 7 a 2 a3 3 a1 48 a2 Určete a1 a q.
a) 1 tgx tg 2 x tg 3 x ...
b) 23 x 23 x 1 23 x 2 ... 12 * 23 x 8 1 x x log x ... log 4 x 14 c) 2 2 4 2 2 2 d) 2 3 9 27 ... log 2 x 1 log 2 x 1
32. V geometrické posloupnosti je: a7 a5 48 a6 a5 48 sn 1023 Určete a1, q, n. 33. Určete čtyři čísla, z nichţ tři tvoří aritmetickou posloupnost a poslední tři geometrickou posloupnost. Přitom součet krajních dvou čísel je 37 a součet prostředních je 36.
38. Do rovnostranného trojúhelníka o délce hrany a je vepsán kruh, do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník, do něj zase kruh atd. Vypočtěte součet obsahů takto vzniklých: a) trojúhelníků b) kruhů 39. Řešte:
34. Vyjádřete zlomkem čísla: -0,34; 0,375; 3,5135
a)
35. Řešte rovnici: x 1 x 1 x 1 ... 1 36. Určete součet:
b)
2
a)
sin
n
1
3 1 b)
2
nx
1
sin
2n 2
n 1
3
x 2tgx
n 1
x x ... log 4 x 14 2 4 x 2 x3 x 4 3x 1 ... d) x 2 4 8 3 c) log x
x
3 1
2
2 2 2 c) 1 cos x cos 4 x ...
...
3 1 2
tg 2 x 1 tg 2 x
3
40. Vypočtěte: 1 2 3 ... n a) n n n ... 2 4
37. Řešte rovnici:
49
b)
52
2
52
Vektorová algebra
3
5 2 ...
41. Stanovte podmínku pro hodnotu součinu v R:
Úlohy: 1. Určete vektor v , který je kolmý k u (5;12) a má velikost v 32,5 .
x. x 3 .4 x 3 .8 x 3 .....
2. Určete úhly v ABC: A-1;0, B2;5, C4;1. Vypočtěte jeho plochu. 3. V trojúhelníku ABC je AB u , BC v . Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory AM , BN , CP, kde M, N, P jsou středy stran proti vrcholům A, B, C. 4. Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF a vektory: u = B-A, v =E-F. Vyjádřete pomocí vektorů u , v vektory: a = F-C, b = E-D, c = F-D, d = B-F, e = C-E. Dále určete součet vektorů a b c .
5. Vektor u (0;2;4) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů a (2;2;3) , b (1;1;2) , c (0;4;2) .
18. Vektorová algebra
6. Jsou dány body A1;1, B2;-1,C3;2: a) dokaţte, ţe body A, B, C jsou vrcholy b) vypočtěte vzdálenost těţiště T od vrcholu C.
Další dovednosti: -
7. Jsou dány vrcholy ABC: A0;5, B6;-2 a těţiště T3;6. Určete souřadnice vrcholu C. Moţná maturitní otázka: 50
16. Jsou dány vektory a 2;5;1; b 1;2;3; c 2;1;1 .
8. Vypočtěte souřadnice vzdálenost těţiště MNQ: M1;3, N0;4, Q-1;4.
Určete souřadnice vektoru, který je kolmý k vektorům a, b a dále platí: x.c 6.
9. Dokaţte, ţe ABCD je lichoběţník a v jakém poměru jsou velikosti základen a velikost úhlu BAD; A1;1, B3;5,C7;9, D4;3.
17. V trojúhelníku ABC jsou dány vrcholy A0;0, B2;0 a 2 2 3 těţiště T ; . Dokaţte, ţe trojúhelník ABC je pravo3 3 úhlý a vypočtěte velikosti všech jeho úhlů.
10. Dokaţte, ţe ABCD jsou vrcholy kosočtverce; A0;0, B3;-4, C6;0, D3;4. Vypočtěte velikosti jeho hran, úhlopříček a velikosti vnitřních úhlů.
18. Určete všechny body přímky p: x - 7y + 36 = 0, ze kterých je vidět úsečka AB v zorném úhlu 90°, je-li A0;-2, B6;6.
11. Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF. Dokaţte, ţe: AB AC AD AE AF 3 AD .
19. Určete vektor v , který je kolmý k vektoru u 5;12 a jehoţ velikost je 4.
12. Zjistěte, zda body A, B, C, D leţí v rovině (vyuţijte lineární kombinace vektorů): a) A2;-3;1, B6;-10;2, C-3;-1;-5, D1;-8;-4 b) A1;0;1, B2;2;-1, C4;6;-2, D1;2;5.
20. Je dána krychle ABCDEFGH. Dokaţte, ţe platí: 2(C - A) +3(A´- D) = 2(B´- A) + (B´- C).
13. Vektory u , v svírají úhel 30° a přitom platí u 3 , v 1 . Určete úhel vektorů a u v a vektoru b u v .
21. Je dána kruţnice k a na ní bod A. Bodem A veďte všechny tětivy dané kruţnice. Najděte MVBDV všech středů těchto tětiv.
14. Rozhodněte, zda dané body leţí v jedné rovině: A1;2;-1, B1;1;5, C-1;2;1, D2;1;3.
22. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehoţ podstavná hrana má velikost a = 4, výška jehlanu v = 6 a střed hrany BC je bod E. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a řešte úlohy: a) vypočtěte velikost boční hrany jehlanu b) určete velikost úhlu vektorů v V E a u D A c) určete velikost úhlu vektorů u a w C A
15. Určete úhel vektorů u , v je-li u 5 , v 8 a u v 7 .
51
Moţné maturitní otázky: Analytická geometrie v rovině Analytická geometrie v prostoru Úlohy: 1. Bod S1;-1 je střed čtverce,jehoţ strana leţí na přímce p: x – 2y + 12 = 0. Najděte rovnice přímek, na kterých leţí ostatní strany čtverce. 2. V ABC je vrchol A-2;-4, B4,-2 a průsečík výšek V2;-1. Určete souřadnice vrcholu C a těţiště T. 3. Jsou dány body A2;5, B9;-3, C-4;2. Dokaţte, ţe se jedná o trojúhelník, určete jeho vnitřní úhly a obsah. 4. Na přímce x - 2y + 3 = 0 najděte body, které mají od bodu A1;-2 vzdálenost 10. 5. Určete souřadnice bodu A´ souměrně sdruţeného s bodem A8;1 podle přímky p: P1;0, u (1;3).
19. Analytická geometrie lineárních útvarů
6. Napište obecnou rovnici přímky q, která prochází bodem A a má od přímky p odchylku : a) A6;1; p: 3x - 3.y – 7 = 0; = 30° b) A5;3; p: x + 3.y – 1 = 0; = 60°
Další dovednosti: - znát zavedení soustavy souřadnic u plošných a prostorových útvarů - úsekový tvar přímky v rovině a jeho geometrický význam - vzájemný převod jednoho druhu rovnice přímky na jiný
7. Napište rovnici přímky p, která prochází bodem A1;2 a má 3 2 od bodu B1;-1 vzdálenost v . 2 52
b) najděte souměrně sdruţený bod D´ podle roviny ABC c) vypočtěte objem tohoto jehlanu.
8. Na přímce 5x - 4y – 28 = 0 najděte bod, který má stejnou vzdálenost k bodům M1;5, N7;-3.
16. V prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehoţ podstavná hrana AB = 3 a výška v = 5. Určete: a) vzdálenost středu S podstavy od hrany AV b) vzdálenost středu S podstavy od roviny ADV c) objem jehlanu.
9. Jsou dány body M-2;3, A5;-1, B3;7. Určete všechny přímky, které procházejí bodem M a mají od bodů A,B stejnou vzdálenost. 10. Jsou dány body A2;-3, B1;4, C2;2. Najděte souřadnice bodu D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběţník.
17. Je dán čtyřstěn ABCD: A0;1;3, B1;0;2, C-2;-1;5, D0;-2;-6. Vypočtěte odchylky: a) AD a ABC b) ADC a ABC c) DC a ABD
11. Bodem A2;3;-1 veďte přímku, která je kolmá na rovinu : x = 2 + r y = -1 + s z= r-s Určete souřadnice paty této kolmice.
18. Jsou dány body A1;-1;3, B-2;-13;2 a rovina : 2x – 3y + 8z –6 = 0. Najděte rovinu jdoucí body A a B takovou, ţe je kolmá k .
12. Dokaţte, ţe vrcholy A4;-1;2, B-8;0;4, C8;2;2 tvoří vrcholy trojúhelníku. Urči jeho obsah a vnitřní úhly (těţiště, rovnici osy strany...). 13. Určete obraz bodu A1;10;-8 v osové souměrnosti podle přímky p: x = 1 - 2t y=3+t z = -1 + 3t
19. ABC je určen vrcholy A2;0;4, B4;-2;0 a těţištěm T1;1;1. Určete souřadnice vrcholu C. 20. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A1;3;2, B2;-3;5 a je kolmá k rovině : 4x+y-3z+7=0.
14. Určete obraz bodu A3;-4;-6 v rovinné souměrnosti učené rovinou x – y - 4z - 13 = 0.
21. Průsečnicí p dvou rovin , prochází rovina kolmá ke třetí rovině . Napište obecnou rovnici roviny , je-li: : 3x-2y+z-1=0 : x+y-2z+1=0 : x-y-z+2=0
15. Jsou dány body A1;-2;-2, B2;-1;-1, C1;-1;-2, D0;2;-2. a) vypočtěte vzdálenost bodu D od roviny ABC
53
22. Je dána rovina : x-y+z-1=0 a přímka p: x = 1 + t y=-t z=1 a) Určete vzájemnou polohu a společné body přímky a rovi ny b) Napište rovnici přímky q, která je pravoúhlým průmětem přímky p do roviny 23. Jsou dány vrcholy ABC: A5;8, B-2;9, C-4;5. Zjistěte, zda průsečík výšek, těţiště a střed kruţnice opsané leţí v téţe přímce. 24. Jsou dány vrcholy čtyřstěnu A6;0;0, B0;5;0, C5;6;0 D2;3;8. Určete: a) odchylku rovin ABC a BCD b) odchylku mimoběţek AB a CD 25. Na přímce p určete bod, který má od přímky q vzdálenost d = 3; q: 5x + 12y + 5 = 0 26. V soustavě souřadnic je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, ţe A2;3;0, B4;3;0, C4;1;0, D2;1;0, V3;1;4. Vypočtěte: a) vzdálenost středu S podstavné hrany BC od přímky AV b) výšku jehlanu, kdyţ V je jeho vrchol.
20. Analytická geometrie kvadratických útvarů Další dovednosti: -znát zavedení soustavy souřadnic u plošných a prostorových útvarů -úsekový tvar přímky v rovině a jeho geometrický význam -vzájemný převod jednoho druhu rovnice přímky na jiný
54
6. Je dána elipsa 25x 2 36 y 2 100 a přímka y 3x 2 . Napište rovnici tečny elipsy, která má od dané přímky odchylku 45°.
Moţné maturitní otázky: Analytická geometrie v rovině Analytická geometrie v prostoru
7. Je dána elipsa 3x 2 6 y 2 18 a bod M4;-1: a)dokaţte, ţe M je vnějším bodem b) nejděte tečny z bodu M k elipse c) určete úhel tečen
Úlohy: 1. Určete číslo a tak, aby přímka p p: x 7 at y 17 t byla tečnou ke křivce x 2 y 2 169 .
8. Na elipse 4 x 2 9 y 2 36 najděte body, které mají od přímky 2 x 3 y ?15 0 maximální a minimální vzdálenost. Určete ji.
2. Najděte rovnici kruţnice, která se dotýká přímky p: 7 x y 5 0 v bodě T1;2 a přímky q: x y 13 0
9. Elipse je vepsán čtverec. Vypočtěte velikosti jeho stran.
3. Určete souřadnice společných bodů křivek: k: x 2 y 2 25 l: x 2 y 2 8x 4 y 65 0 Dále určete, pod jakým úhlem se tyto křivky protínají.
10. Je dána elipsa 4 x 2 9 y 2 36 a bod Q1;1. Najděte přímku, která vytíná na elipse tětivu, která je půlená bodem Q. 11. Najděte odchylku křivek: a) 9 x 2 25 y 2 900 a x 2 y 2 64 b) 8x 2 9 y 2 72 a y 2 4 x c) y 2 4 x a x 2 4 y
4. Najděte rovnici kruţnice souměrně sdruţené s kruţnicí k podle přímky p; 2 2 k: x 1 y 2 1 p: x y 3 0 2
12. Vypočtěte souřadnice bodů, která leţí na parabole y 2 8 x a mají od jejího ohniska vzdálenost 20.
2
x y 1 najděte body, které mají od jejího 5. Na elipse 100 36 pravého ohniska F vzdálenost 14.
13. Z bodu K-2;0 veďte tečny k parabole y 2 8 x . 14. Najděte společné tečny křivek: y 2 7 x a y 2 11x 9 . 55
a) prochází středy stran trojúhelníka ABC: A1;5, B3;9, C5;-3. Určete její průsečíky se stranami trojúhelníku ABC b) má střed v bodě S5;4 a dotýká se přímky p p: 5x – 12y – 29 = 0 c) prochází bodem M2;4 a dotýká se obou souřadnicových os.
15. Napište osovou rovnici hyperboly, která prochází bode M15;6 a má asymptotu 2 x 3 y 0 . 16. Určete rovnici tečny hyperboly x. y 12 , která je rovnoběţná s přímkou 3x 4 y 5 0 . Vypočtěte souřadnice dotykových bodů. Dále vypočtěte souřadnice ohnisek.
23. Určete rovnice tečen elipsy, které mají od jejího středu vzdálenost d = 3.
17. Je dána hyperbola x 2 9 y 2 1 a bod M3;1: a) určete velikost poloos, ohniska a vrcholy b) zjistěte polohu bodu M vzhledem k hyperbole c) určete všechny přímky jdoucí bodem M a mající s hyperbolou společný právě jeden bod.
24. Na elipse 4x2 +9y2 = 36 najděte body, které mají nejmenší nebo největší vzdálenost od přímky p: 2x + 4y – 15 = 0. 25. Je dána elipsa 5x2 +9y2 = 45 a bod M0;-3: a) dokaţte, ţe M je bodem vnější oblasti elipsy b) napište rovnice tečen elipsy procházející bodem M c) vypočtěte odchylku těchto tečen
18. Je dána H: x. y 2 a K: x 2 y 2 4 . Určete úhel, pod kterým se křivky protínají. 19. Určete mnoţinu všech bodů, které mají od počátku soustavy souřadnic třikrát větší vzdálenost neţ od přímky p: x 4 .
26. Napište osovou rovnici elipsy, která má excentricitu e = 22 a prochází bodem M2;6. Stanovte, pro která hodnoty reálného parametru m je přímka p o rovnici p: m.x + y – 4 = 0 sečnou elipsy.
20. Dokaţte, ţe součin vzdáleností libovolné tečny hyperboly od ohnisek hyperboly je konstantní. 21. Jsou dány kruţnice k: x2 + y2 – 18x –4y + 60 = 0 a l: x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 a) určete průsečíky daných kruţnic b) napište rovnice tečen kruţnic k, l v jejich průsečících c) vypočtěte odchylku těchto tečen
27. Je dána hyperbola x2 – 9y2 – 9 = 0 a bod M5;0. Napište rovnice všech přímek, která procházejí bodem M a mají s hyperbolou právě jeden společný bod. 2
28. Je dána parabola o rovnici y – 6x + 4y + 4 = 0 a přímka p: 3x – y + 7 = 0. Napište rovnici tečny t p k dané para-
22. Napište rovnici kruţnice, která:
56
bole. U paraboly určete vrchol, ohnisko, rovnici řídící přímky a zakreslete ji v soustavě souřadnic.
4. Ve třídě je 30 ţáků. 7 z nich nemá domácí cvičení. Učitel vyvolá náhodně 6 ţáků. Jaká je pravděpodobnost, ţe aspoň 4 z nich mají domácí cvičení? 5. Hrají dva stejně dobří hráči šachový zápas. Musí jej předčasně ukončit v okamţiku, kdy prvnímu chybějí k vítězství 2 partie a druhému 3 partie. Jaká je pravděpodobnost, ţe vyhraje první hráč?
21. Pravděpodobnost Další dovednosti: Rozsah bude při počtu hodin 3-3-3-4 stačit
6. Ţárovka svítí se spolehlivostí 0,8. Jaká je spolehlivost (tj. ţe proud projde zapojením) následujících zapojení: a) b)
Moţné maturitní otázky: Pravděpodobnost a statistika Úlohy: 1. Házíme třemi kostkami. S jakou pravděpodobností padnou na kostkách vzájemně různá čísla?
a)
d)
2. V zásilce je 18 dobrých výrobků a 2 vadné. Náhodně vybereme 5 výrobků. S jakou pravděpodobností je : a) všech 5 dobrých b) 4 dobré a jeden vadný c) 3 dobré a 2 vadné 7. Určete pravděpodobnost, ţe při náhodném výběru tří karet z 32 karetní hry: a) jedna karta bude eso b) alespoň jedna karta bude eso c) kaţdá karta bude jiné barvy
3. Určete pravděpodobnost, ţe při hodu 6-ti kostkami padnou aspoň 4 šestky.
57
8. Jaká bude pravděpodobnost výhry čtvrté (třetí) ceny ve sportce.
a) b)
9. Určete pravděpodobnost ,ţe hráč mariáše dostane do rukou z 10 karet: 3 zelené, 3 červené, 2 kule a 2 ţaludy
5 vadných 10 vadných kusů?
17. 10 studentů, mezi nimiţ jsou Adam a Boris, má ze svého středu vylosovat tříčlennou komisi. Jaké je pravděpodobnost, ţe Adam nebo Boris budou mezi vylosovanými?
10. Určitá osoba sází ve Sportce kaţdý týden jednu sázenku. S jakou pravděpodobností během jednoho roku vyhraje čtvrtou cenu? P(4.ceny) = 0,01765
18. Dřevěnou krychli o hraně 4 cm, natřenou červeně, natřeme na jednotkové krychličky. Jaká je pravděpodobnost, ţe náhodně vybraná krychlička a) má právě 2 červené stěny b) nemá ţádnou červenou stěnu?
11. V tombole je 100 losů, z nich bude vylosováno 10 vyhrávajících losů. Jaké jsou moţné výsledky losování a jaké mají pravděpodobnosti?
19. Na výrobku se objevují 3 druhy vad; vada 1. druhu s pravděpodobností 0,1; vada 2. druhu s pravděpodobností 0,05; vada 3. druhu s pravděpodobností 0,02. Jsou-li výskyty vad všech tří druhů nezávislé jevy, jaká je pravděpodobnost, ţe výrobek je bez vady.
12. Jaká je pravděpodobnost výhry v 5. pořadí ve sportce? 13. 40 studentů má být při testu rozděleno na 4 stejně početné skupiny. Mezi studenty jsou i Adam a Eva. Jaká je pravděpodobnost, ţe budou oba zařazeni do stejné skupiny?
20. Na vysoké škole technické propadá v 1. ročníku v průměru 15% studentů z matematiky, 10% propadá z fyziky a 5% propadá z obou předmětů. Jsou jevy „student propadne z M“ a „student propadne z F“ nezávislé?
14. V bedně je 30 výrobků, z nichţ 3 jsou vadné. Jaká je pravděpodobnost jevu A, ţe mezi 5 náhodnými výrobky bude nejvýš 1 vadný? 15. Je při hodu 3 kostkami pravděpodobnější součet 11 (jev A) nebo součet 12 (jev B)? 16. Odběratel dostává kaţdý týden dodávku 50 kusů zboţí. Dodávku přijme, jestliţe mezi namátkou vybranými a zkontrolovanými 10 kusy není ani jeden vadný. Jaká je pravděpodobnost, ţe dodávka bude přijata, obsahuje-li ve skutečnosti:
58
22. Statistika 23. Diferenciální počet
Stačí rozsah v maturitním minimu, včetně příkladů
Další dovednosti: - implicitní derivace funkce a její vyuţití - objasnit pojem limity funkce a limity posloupnosti - umět definovat pojem spojitosti na základě limity - L´Hospitalovo pravidlo pro limity - pouţití diferenciálního počtu: a) nalezení asymptot b) přibliţné řešení rovnic metodou tečen c) aplikace v analytické geometrii d) nalezení minima a maxima v praktických úlohách - výpočet limit v nevlastních bodech - stanovení nevlastních lomit
Moţné maturitní otázky: Pravděpodobnost a statistika Úlohy:
Moţné maturitní otázky: 59
Obecné vlastností funkcí a posloupností Derivace funkce Určení monotónnosti a extrémů funkce Vyšetření průběhu funkce Řešení reálných situací s vyuţitím extrémů funkce
g)
lim x 7
c)
lim x 2
d)
lim x 0
4
2x2 x 1
x
2 x3 x 2 5 lim x2 x 2 x 4 x3 x 2 i) lim 3 2 x 3 x x x 2 x2 2x 5 j) lim 3 2 x 2 x x 4 x 6x k) lim 3x 1 x x 13 2 x 1 l) lim x2 9 x 3 6 x 6 x m) lim x x 0 n) lim x. cot gx h)
Úlohy: 1. Vypočtěte limitu funkce: x3 a) lim x 4 1 x 3 b)
lim 3x
2 x3 x 2 49 x2 x 2 x2 5x 6 sin 4 x x 1 1
x 0
1 cos 2 x x.sin x x 0 sin 2 x p) lim x2 2 x 0 sin x cos x r) lim 1 tgx x
2. Vypočtěte limitu: 1 cos 2 x a) lim x2 x 0 b) lim 4 x3 x 2 x 2
c) lim 4 x x x 2 d) lim 4 x x x 2 e) lim 4 x x x 2 f) lim 3x 2 x x 1 x
3
2
x
3
o)
lim
s)
lim 4
2
x
3
x
2
x
4
t)
2
x
60
2x2 x x
x3 2 x lim x x 1
u)
lim 4 x x
3
7x 9
a) Napište rovnici tečny a normály ke křivce: a) y 2 x v bodě 4;-2
x 1 x x 1 x 1 cos 2 x tg 2 x w) lim x.sin x x 0 v)
lim
2
2
2
b) y 3 x 3 2 v bodě 1;1 c)
x2 y 2 1 v bodě x0;y0 a 2 b2
10 6 v bodě ; . Dále určete, 4 4 ve kterých bodech je tečna křivky rovnoběţná s osou x. -1 e) 9 x 2 16 y 2 54 x 64 y 127 0 v bodě T8; /4 1 f) y v bodě x0 = -1 x
d) x 2 y 2 3. Určete asymptoty ke grafům funkcí: x2 1 a) y x3 x3 b) y 2 2x 1 x x c) y 2x 1 3 d) y 3x x2 x2 e) y x2 1 f) y 2 x g) y x3 6 x 2 9 x
2
4 x2 y 2
b) Najděte rovnici tečny a normály ke křivce: 3x 4 a) y v bodě 2;? 2x 3 b) y ln x 1 v bodě 0;?
c) y 2 2 sin x v bodě /4;? d) y e x . cos 2 x v bodě 0;? e) y x 4 ; x0 = 2
f) y tgx ; x0 = /4
2x2 1 g) y ; x 0 = /2 x 1 8 h) y 2 ; x0 = 2 x 4 i) y x. ln x ; x0 = e
x2 h) y x 1 ln x i) y x 2 x j) y x .e
61
j) x 2 y 2 2 ; T1;-1 k) x 2 y 2 2 x 24 0 2 ; T3;3
l) y 1
f) Derivujte: a) y sin 4 x b) y sin 3 x 2 c) y sin 3x 2
c) Najděte rovnici normály ke grafu funkce y x. ln x , která je rovnoběţná s přímkou 2 x 2 y 3 0 . d) Najděte taková číslo a, aby se přímka o rovnici y x dotýkala grafu funkce y a x .
2
d) y e x 2 x 1 e) y ln 3 x 2 1 f) y tg 3 2 x x g) y 3 x 2 x3 h) y 3 x 1 i) y x 2e x 2 j) y x e x
e) Derivujte funkce: a) y x 4 7 sin x 2 cos x 3e x b) y x x3 1 x 2 c) y 3x 2 ln x d) y tgx cot gx
e) y
1 x 2x 2
2x 3 x 3 x 3
x x x2 g) y x sin x cos x
k) y 5x
1 h) y x.e x ln x x 2 2 x4 1 i) y x2 1 j) y x3 3 x
m) y x 2 1 x 2
f) y
x
k) y 1 x3
2
1
3
l) y x 2 4 x
2
n) y 2 x 4 o) y sin x.tgx sin 2 x p) y cos x 2 r) y lnln ln x s) y ln sin 2 x 7
2
t) 62
y sin ln x 2
2
u) y ln sin x .sinln x
ln x x 2 p) y xe x o) y
2
2x 3x ln x ln 2 x.sin x 2 w) y cos 2 x 2 v) y
r) y cos 2 x ; x , 2 2 s) y sin 3 x cos 3 x ; x 0, 2 t) y x ln x ; x 1; e
g) Určete intervaly monotónnosti , body nespojitosti a extrémy funkcí: a) y 5x6 6 x5 15x 4 b) y 3x x3 2x c) y 2 x 1 d) y x5 x3 1 e) y x x x f) y 1 x2 2 g) y e x h) y x sin x i) y xe x ln x j) y x k) y 2 x 3 x 2 x 1 l) y 3x 2 2 x
u) y x 2 ln x ; x 1; e
x2 2 x2 x w) y ln 4 x 2 v) y
h) Vyšetřete průběh funkce: a) y x3 6 x 2 9 x b) c) d) e) f) g) h)
m) y sin 2 x ; x , 2 2 2 n) y ln x
x2 y x 1 ln x y x y x 2e x y x3 2 x y x4 6x2 5 y x3 2 x y 5 x 3 3x 5
i) y
63
x2 x 1
9x 1 x2 1 x3 k) y x2 x3 l) y x 12 j) y
1 x m) y x 1
l) Najděte rovnoramenný trojúhelník, který má při daném obsahu minimální obvod. m) Najděte pravoúhelník, který má při daném obvodu nejkratší úhlopříčku. n) Do kruţnice o poloměru r vepište pravoúhelník maximálního obsahu.
4
o) Do půlkruţnice o poloměru r vepište pravoúhelník maximálního obsahu.
i) Vyšetřete průběh funkce: 1 a) y 1 x2 b) y ln 4 x 2
c) y e
19. Najděte pravidelný trojboký hranol, který má při daném povrchu maximální objem.
x2
20. Najděte pravidelný trojboký hranol, který má při daném objemu maximální povrch.
d) y sin 2 x ; x ;
1 ; x ; sin x f) y sin x cos x ; x 0;2 e) y
21. Najděte rotační válec, který má: a) při daném povrchu maximální objem. b) při daném objemu minimální povrch.
2
g) y e x h) y 2 x 2 ln x
22. Najděte rotační kuţel, který má povrchu maximální ob-
i) y cos x ln cos x ; x ;
jem. 23. Do koule o poloměru r vepište rotační válec maximálního objemu.
j) V kterém bodě má graf funkce y 1 x 2 tečnu se měrnicí 1. Napište rovnici tečny a normály v tomto bodě.
24. Do rotačního kuţele o poloměru r a výšce v vepište rotační válec maximálního objemu.
k) Najděte pravidelný čtyřboký hranol, který má při daném povrchu maximální objem. 64
25. Tvrdý papír tvaru obdélníku o rozměrech 60 x 25 cm upravte vystřihnutím čtverců v rozích obdélníku tak, aby sloţená krabice měla maximální objem. 26. Na parabole o rovnici 2 x 2 2 y 9 0 najděte bod, jehoţ vzdálenost od počátku soustavy souřadnic byla minimální. 27. Průmyslový závod Z je vzdálen 5 km od silnice vedoucí do města M. Vzdálenost závodu Z od města M je 13 km. Určete, pod jakým úhlem je třeba vybudovat novou cestu k silnici, aby doprava materiálu ze Z do M byla nejlevnější. Náklady na přepravu 1 t na 1 km jsou po staré silnici 5 Kč, po nové silnici 15 km.
24. Integrální počet Další dovednosti: - integrování metodou per-partés - integrování substituční metodou - vyuţití součtových vzorců goniometrických funkcí k výpočtu sloţitějších integrálů - výměna mezí u integrálů - výpočet obsahu a objemu rotačních těles
28. Najděte kořen rovnice v daném intervalu: a) x4 4 x 1 0 v intervalu 0;1 b) x3 5x 2 2 x 10 0 v intervalu 1;2
Moţné maturitní otázky: Primitivní funkce Určitý integrál Uţití určitého integrálu Úlohy: 1. a) x3 6 x 7 dx
b)
65
x 2 x 2
2
1 dx
5x 2x 3x 1dx b) 2 x 3 dx c) x 1x 2 dx d) 5a 2 x dx
2 x5 3x3 1 4 x3 dx x 2 .3 x 2 5.4 x d) dx x. x
2
x
2
x
2
3
x b) 5
5. a)
4 x 2 3ax 1 dx x3 f) tg 2 xdx
1 4
7
2
2
x2. x 5 dx
f)
x.3 x 2 x
3
2
3 x 5sin xdx b) a 3 cos x dx 3a 1 dx c) 2 sin x
3
e)
5
x x dx
6. a)
dx
3 5
2
x dx d) x . x dx c)
5
x 2 . x 3 xdx
4 x3 dx d) x
3. a) 3x5dx
x
4
2 3 4 x3 dx c) 3 x2 x
e)
b)
2
2
x
x
4
2
3.2 5sin x 1dx b) 2k.e ax t dx c) 2k.e ax t da d) 2k.e ax t dt
2. a)
6
4. a)
c)
5k
d)
3 cos
2
f)
2.5
4 cos x k dx
dx x 5 e) 7.e x dx x
dx
x
7. a) cot g 2 xdx
66
2x 3 dx x 1 x2 6x 7 f) dx x6 x 3x 2 dx g) x 1 2 x3x 1 h) dx 5x 2 5x 2 x i) dx 3x
sin 2 x
b)
cos x dx
c)
sin x
d)
cos
sin 2 x
e)
dx
cos 2 x dx 2 x
cos 2 x sin 2 x dx 1 dx f) 2 sin x. cos 2 x e)
x g) sin 2 dx 2 x h) cos 2 dx 2 2 i) 3sin x 3 cos 2 x dx
j)
9. a)
cos 2 x
cos x sin x dx
x b) sin dx 3 c) sin 3x 5dx
dx
1 cos 2 x
tgx
dx 1 tg 2 x cos 2 x dx e) 1 sin x 1 sin x
d)
x4 4x2 3 x2 1 dx x3 2 x 2 7 x 14 dx b) x2 x 2.3 x 2 1 c) dx 4 x 1 d) 1 2 x x dx x
8. a)
f) tg 2 xdx
dx
g)
sin x
h)
cos x
dx
10. Určete primitivní funkci k dané funkci, která jde bodem A
67
o) e x cos xdx
x2 1 a) y ; A1;1 x2 2 b) y 3 ; Ae;2 x
p) sin 2 xdx r)
c) y sin x cos x ; A ;3 2
12. a)
xsin xdx b) ln xdx ; x 0; c) x e dx d) x ln xdx ; x 0; e) x cos xdx f) x.e dx g) x sin xdx h) x.e dx i) x . ln xdx j) x. ln xdx ln x dx k) x l) ln xdx m) e sin xdx n) cos xdx
11. a)
b)
ln x dx x
1
x 1
3
x
2
dx
x dx 1
x 1 x dx d) tgxdx e) 10 xx 13 dx f) 2 sin x cos xdx 2
c)
2 x
3
12
2
3
x
g) 5 x 2 e x dx 3
2
2x
h)
2
2
ln 2 x x dx
13. a) 3x.4 x 2 5dx
b) sin 2 x cos 3 xdx
2
2
x
2 x 3 dx
d)
2 x 3
2
e)
68
5
c)
5
4
dx
2 x 5 dx 7
f) 8 x 2 x3 2 dx
cos xdx j) 1 x dx
5
g) 5 x x 2 1dx 3x
h)
x
i)
7 5x dx
j)
3x
2
4
3
2
cos 3 x dx k) sin 5 x l) sin 5 x cos 2 xdx
dx
4
5x dx 2 1
3e dx dx m) 2e n) 5 xe dx x
3 x 1
x2
14. a)
4 x 3x e
5
2
sin x cos x e) x 4 x dx f) x 1 x dx d)
3
5
5
1
g)
i)
sin 4 x cos 5xdx
dx 2x 3 2 h) 2 x sin x 1dx
sin xdx e) cos xdx f) sin x cos xdx g) sin x cos xdx h) sin x cos xdx 4
dx
2
3 ln x x dx 7 ln 4 x c) dx x
3
2
2
dx
b)
d)
dx
9 x2 sin x cos x dx b) cos 2 x c) sin x 1 cos x dx
15. a)
k) sin 7 xdx l)
3
i)
3
16. Vypočtěte hodnotu určitého integrálu: 1
3
a)
3
3
69
dx
x
2
3
b)
4 x
3
x 2 x 5 dx 2
1 sin 2 x dx l) 2 cos x 0 4
3 8
c)
dx
3
1
x 3x dx x4
1
4
d)
4
1
m)
2
2 sin xdx
17. a)
cos xdx
b)
c)
2
2 x dx g) cos 2
x
d)
dx
1
2
dx
dx
x ln x cos x 0 1 sin x dx 1
1
2
e)
4e x dx
x2 x
2
10
1 dx
0
1
0 e
f)
3 j) 2 dx x 1 k)
2
2
0
1
x
x
e
2
3x
1
x sin xdx
1
i)
2
3
3e
cos 0
0
h)
dx
0
0
2
f)
3
0
e)
x 1 x
x 0
0
5
x 1 x 2 dx
g)
sin x cos xdx
70
2x dx 1
2
2
22. Vypočtěte plochu omezenou křivkou
1
ex dx h) x e 1 0
y x 2 5x 6
v intervalu 1;5 a souřadnicemi koncových bodů intervalu s osou x.
e
18. a)
ln xdx
23. Vypočtěte obsah mnoţiny ohraničené křivkami: y x2 2x
1 2
b)
y 4x x2
3x 2 ln xdx 1 e
c)
x
3
24. Určete obsah mnoţiny ohraničené parabolou y 2 x a přímkou x y 2 0 .
ln xdx
1
25. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací mnoţiny ohraničené křivkami:
2
d)
x cos xdx
y 1 x2
0
y x2
19. Vypočtěte plochu obrazce omezeného oblouky parabol, které jsou částmi grafů funkcí:
kolem osy x.
y x2 x
26. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou:
y 2x
y
x2 3x 4 osou x, osou y a rovnoběţkou s osou y 2
v bodě M5;0.
20. Vypočtěte plochu vymezenou funkcí y sin x a úsečkou na ose x s krajními body A0;0, B2;0.
27.
Vypočtěte
obsah obrazce omezeného y x 4x 2 a y x2 6x 6 .
parabolami
2
21. Odvoďte vzorec pro objem: a) rotačního válce b) komolého rotačního kuţele c) koule
28. Vypočtěte obsah útvaru, který je omezen křivkami: a) y x a y x 2 b) y 2 x 2 a y x
71
c) y x 2 a y 1 x 2 a y 4 4
d) y x 2 x 6 a y x 2 5x 14
72
3i 1 i 3 ; z 1 3i 1 i 3 a) z vyjádřete z v algebraickém tvaru b) z vyjádřete v geometrickém tvaru c) určete z , z z , z * z d) vypočítejte z10 a výsledek zapište v algebraickém i goniometrickém tvaru e) vypočítejte vzdálenost obrazů čísel z a z v Gaussově rovině C 1 i n , kde nN 4. Vypočtěte: 1 i n 2
z
25. Komplexní čísla Další dovednosti: - řešení reciprokých rovnic v oboru komplexních čísel - základní věta algebry
Moţné maturitní otázky: Základní vlastnosti komplexních čísel Geometrické znázornění komplexních čísel Řešení rovnic v oboru komplexních čísel
5. Odvoďte s pouţitím Moivreovy věty sin3cos3sin4 cos4 a vyjádřete pomocí funkcí jednoduchého argumentu.
Úlohy: 1. Převeďte na goniometrický tvar: a) z 3 4i 2 b) z 1 i 2i 3i c) z 2i
3 4i 2i 5i 1 2i 6. Vypočtěte: 1 2i 7. Vypočtěte: 60
1 i a) i
2. Určete reálnou a imaginární část komplexního čísla: 1 ix a) a 1 ix b) a i i 2 i3 ... i50
b)
3 i
8
8. Upravte: a) 2 3i 2 3i 2
3. Je dáno komplexní číslo z jako podíl komplexních čísel:
73
2
b) 1 i
1 2i 3i
12. Řešte v C: a) z 4 z 3 z 2 z 1 0 1 b) 5 z z 1 i 12 i 1 c) 5 z 2 z 22i i 6 d) i2 z 1 3 i xi x3 e) 1 3i x 2i x 2i 1 1 f) x i x i 2 g) z z 0
9. Zobrazte všechna C, pro která platí: 1 a) 1 i z 2 b) z i z 1 2i z z 2 z
c)
d) 2 3i z 1 2i e) z 2 3i z
12
4 h) x 1 i 3 2i 3i i) x i 1 i 2 3i x 1 x 3 j) 1 x2 x4 k) z 6 1 0 l) 8z 3 1 0
10. Výpočtem najděte v rovině C obor pravdivosti rovnice: z 1 z 4 4
2
11. Řešte rovnice v C: a) x 2 ix 2 0 b) z 2 4iz 3 0 c) x 2 i d)
3
z 4 33 z 2 54
e) z 3 z i 4 f) z 2 2iz 1 2i g) x 4 i 0 h) z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 0 2
2
13. Určete reálná čísla a, b tak, aby platilo: a) 1 i a 2 i b 5 2i b)
74
3 i 2 a
2 i 3 b 1 i2 i