Rekenles in beeld; het ontwerpproces van een interactieve leeromgeving Jaap den Hertog, Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht Bert Zwaneveld, Ruud de Moor Centrum, Open Universiteit met medewerking van Karin van den Driesche, Filterdesign Samenvatting In this article we give an overview of the design principles, the process of designing and developing and the theoretical background of the website with the name Rekenles in beeld. This Rekenles in beeld is an interactive learning environment for primary teachers and prospective teachers and their teacher educators. The focus of this website is that the users build up their knowledge of the pupils learning processes with respect to their mathematical activities of which their way of attacking numerical problems is the most important one. Hans Freudenthal’s didactical phenomenology is our inspiration source. 1 Inleiding In recente ontwikkelingen met betrekking tot reken-wiskundeonderwijs ligt het accent op de verhoging van het niveau. Daardoor dreigt een belangrijk aspect ‘vergeten’ te worden: de betekenis van het wiskundige denken in dit onderwijs. Vaak gaat het in de huidige trend om verenging van wiskunde tot algoritmische aspecten, waardoor de leerlingen weinig inzicht ontwikkelen in belangrijke aspecten van wiskundige aard. De uitgangspunten voor verantwoord reken-wiskundeonderwijs zijn destijds verwoord door Freudenthal (1984) in zijn Didactische fenomenologie van wiskundige structuren. Hij stelde dat ‘de wiskundige begrippen, structuren, ideeën er zijn om complexen van verschijnselen te ordenen – verschijnselen uit de concrete wereld, maar evenzeer uit de wiskunde.’ In zijn uiteenzettingen over de didactische fenomenologie in het rekenwiskundeonderwijs benadrukte Freudenthal dat het enerzijds gaat om ‘verschijnselen die om zeker ordeningsmiddel vragen’, anderzijds om ‘de constitutie van mentale objecten’. Een grote rol in zijn denken speelde het duiden van verschijnselen. In de toepassing van Freudenthal’s ideeën zal de leraar daarom oog voor verschijnselen met een numeriek aspect hebben. Hoe kunnen deze ideeën gerealiseerd worden? In de interactieve ‘webbased’ leeromgeving met de titel Rekenles in beeld, die het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht en het Ruud de Moor Centrum van de Open Universiteit ontwikkelen, wordt gepoogd dit ‘vergeten’ aspect tot zijn recht te laten komen. Maar het project biedt meer: het beoogt tevens het project een platform te creëren voor leerkrachten, pabostudenten en hun docenten waar ze ideeën en ervaringen met betrekking tot leerprocessen van wiskundige aard kunnen plaatsen en uitwisselen. In dit artikel zal een en ander nader worden uitgewerkt. In paragraaf 2 wordt verslag van de ontwerpuitgangspunten van het project gedaan, in paragraaf 3 wordt het ontwerpproces beschreven en in paragraaf 4 gaat het over de (theoretische) overwegingen die bij het ontwikkelen van Rekenles in beeld een rol spelen. 2 Uitgangspunten voor het ontwerp Bij het ontwerp voor Rekenles in beeld waren de volgende drie, elkaar aanvullende uitgangspunten leidend: - Welke informatie en kennis over leerprocessen van wiskundige aard verwachten leerkrachten en pabo-studenten (en hun docenten) op een website te kunnen vinden? - Welke kenniselementen uit de didactische fenomenologie willen we via die site uitdragen?
1
- Hoe kunnen we deze elementen integreren in het kennis- en het handelingsrepertoire van studenten en leraren? Het project richt zich tot leraren en toekomstige leraren (en hun docenten). Hoe zouden zij het beste kunnen worden benaderd? Hiervoor is een apart traject ingezet: het usercentered design traject, waarover later in dit artikel meer gezegd wordt. De keuze voor dit traject is vooral ingegeven door de positieve ervaringen met het ontwerpen van webgebaseerde producten van het Ruud de Moor Centrum. Bij de uitwerking van de drie uitgangspunten is vooral het eerste van belang. Het tweede en derde wordt gerealiseerd door ze in het eerste in te vlechten. Ten aanzien van het tweede uitgangspunt zullen als bron teksten en fragmenten uit het videomateriaal van MILE gebruikt worden. Ook over het derde uitgangspunt werden enkele ideeën ontwikkeld voor een interactieve leeromgeving waarbij enerzijds ideeën en materiaal vanuit het project werden aangedragen en anderzijds mensen uit de doelgroep hun ervaringen kenbaar konden maken, zodat anderen er vervolgens hun voordeel mee zouden kunnen doen. Bijvoorbeeld door er op deze ervaringen te reageren. De drie uitgangspunten voor het ontwerp hebben tot de volgende globale opzet voor een leeromgeving geleid: Verwachtingen van gebruikers: studenten en hun docenten, leerkrachten Rekenles in beeld
Communitiy van gebruikers
Onze ideeën: fenomenologie, teksten en videoclips figuur 1: globale ontwerp opzet voor Rekenles in beeld
Het resultaat De elementen van het globale ontwerp zijn als volgt in een webpagina Rekenles in beeld te herkennen, zie figuur 2. De verwachtingen van de doelgroep en de ideeën die uit het project, voor zover in teksten verwoord, naar voren worden gebracht, zijn vormgegeven door de acht tabbladen onderaan. In de teksten van die tabbladen proberen we de fenomenologische benadering te verwoorden, zodat het gebruikers helpt bij hun voorbereiding en reflectie op hun rekenlessen. We komen later nog op deze indeling in acht tabbladen terug (zie het Ontwerpproces). Centraal staan situaties uit de onderwijspraktijk in de vorm van videofragmenten. De gemeenschap van gebruikers kunnen op twee manieren aan deze webpagina deelnemen.In de eerste plaats door de balk bovenaan en in de tweede plaats rechtsboven, waar gebruikers gelegenheid vinden om eigen video’s en ervaringen up te loaden. Midden bovenaan is te zien dat het in dit geval om groep 4 gaat. Boven het videofragment is te zien dat het om het onderwerp ‘Vermenigvuldigen’ gaat met het daaraan gekoppelde wiskundige activiteit ‘automatiseren van tafels’.
2
figuur 2 Een pagina uit Rekenles in beeld
3 Ontwikkelproces In het ontwikkelproces zijn er nog allerlei beslissingen genomen. Verschillende onderdelen van het ontwikkelproces komen hier aan de orde: het user-centered design traject, inclusief de resultaten en conclusies, de keuze om nadruk te leggen op activiteiten van leerlingen, de opbouw van kennis door studenten en leraren, in het bijzonder via teksten en videofragmenten, en hoe we de ideeën daarmee in overeenstemming hebben gebracht. Om ervoor te zorgen dat de leeromgeving zo goed mogelijk aansluit bij de praktijk van het reken-wiskundeonderwijs, hebben we het user-centered design gebruikt (De Troyer & Leune, 1998). Deze methodiek gaat uit van de activiteiten die mensen in hun dagelijkse beroepspraktijk uitvoeren. Welke informatie gebruiken zij daarbij en welke stappen nemen ze om tot goede resultaten te komen? In dit ucd-traject, zoals we het verder zullen noemen, is gekozen voor een les in het domein ‘rekenen tot 100’. In stappen beschrijven deelnemers hun voorbereidingen, de informatie dat ze raadplegen, het klaarzetten van de materialen, de organisatie en inrichting van de les, enzovoorts. Nadat de deelnemers hun voorbereiding zo volledig mogelijk hebben beschreven, krijgen ze de gelegenheid om op beschrijvingen van anderen te reageren. Alle informatie (zoals de stappen in de voorbereiding, de commentaren van henzelf en van collega’s) worden onmiddellijk opgeslagen in een computerbestand; de gesprekken worden op band opgenomen en naderhand geprotocolleerd. Hierdoor ontstaat een coherent beeld van de ideeën die deelnemers hebben ten aanzien van de activiteiten tijdens een rekenles in het
3
gekozen domein. Ook kunnen uit het materiaal – na analyse – hun opvattingen worden afgeleid. Gewapend met deze informatie stelt de ontwerper een gebruikersprofiel op waarin professionele aanpakken, rollen en bijbehorende taken worden weergegeven, met inachtneming van motieven, visies en opvattingen. Ook wordt rekening gehouden met de rol van externe actoren zoals het Freudenthal Instituut en begeleidingsdiensten. Na bespreking van die profielen in het projectteam wordt het zogeheten mentale model van de gebruikers ontworpen, zoals weergegeven in figuur 3.
figuur 3 Mentaal model, boven het volledige mentale model (helaas niet leesbaar af te drukken), onder het middelste deel ervan
In dit mentale model wordt weer gegeven hoe de voorbereiding en het uitvoeren van lessen rekenen en wiskunde in zijn werk gaat. Globaal gesproken gaat het hier om welke doelen de (aankomende) leerkrachten stellen en welke ze denken te behalen, wat hun aanpak bepaalt, hoe het werk gefaseerd is, hoe ze met probleemgevallen denken om te gaan, hoe het lesgeven in een stagesituatie verloopt, en dergelijke. In dit mentale model viel overigens op dat de samenwerking tussen de pabo en de stageschool ontbrak. Geen van de deelnemers heeft daar althans nadrukkelijk aandacht aan geschonken. Op de concrete inhoud van dit mentale model komen we in de volgende paragraaf de resultaten van de sessies uit het ucd-traject terug: Het mentale model is bedoeld om de hoofdstructuur en de hoofdnavigatie in de leeromgeving vast te stellen. Vanuit het model worden ‘wireframes’ ontworpen. Dit zijn papieren schema’s die aangeven waar de belangrijkste interactie-elementen komen te staan, nog zonder dat daar een grafisch ontwerp aan toegevoegd is. Die wireframes zijn door het projectteam van commentaar voorzien. Op grond daarvan zijn ze aangepast. Vervolgens zijn deze wireframes voorgelegd aan gebruikers uit de beoogde doelgroepen (men noemt dat early usability testing). Aan hen werd de opdracht gegeven eerst hardop te vertellen wat zij dachten dat de functies van de verschillende elementen zouden zijn, vervolgens werd hen gevraagd een en ander te becommentariëren. Ook van deze sessie is alle geschreven en mondelinge informatie opgeslagen. Op basis van die informatie zijn de
4
wireframes verbeterd en is een eerste grafisch ontwerp gemaakt dat weer door het projectteam is becommentarieerd en vervolgens aangepast. Daarna is dit alles uitgewerkt in een definitief grafisch ontwerp. In dit ontwerp is ook het format voor de wiskundige en didactische ondersteuning, zoals door ons bedacht, uitgewerkt. De doelgroepen bij deze website zijn, zoals gezegd, de leraren, studenten en hun docenten. Bij de eerste sessie, bedoeld om het gebruikersprofiel te bepalen, kan vanuit de methodiek van het user-centered design worden volstaan met vier deelnemers uit elke doelgroep. Door omstandigheden was het moeilijk om voldoende studenten bij elkaar te brengen, vandaar dat er maar twee studenten hebben meegedaan. Bij de eerste sessie waren er dus vier pabo-docenten, vier leerkrachten en twee studenten. Aan de (papieren) early usability tests hebben vier pabo-docenten meegedaan. In totaal zijn dus veertien mensen uit de doelgroep bij dit traject betrokken. Resultaten van de sessies uit het ucd-traject We geven hier de belangrijkste zaken uit de sessies. In de eerste sessie kregen de tien deelnemers dezelfde vraag voorgelegd: wat doe je als je een les zou moeten geven over een optelling onder de 50? Uiteraard verwachtten we verschillen tussen de doelgroepen. Een les op een pabo wordt immers anders ingericht dan een les op de basisschool waarbij het weer uitmaakt of je altijd voor de klas staat of dat je een stageles verzorgt. In de eerste sessie bleek dat de pabodocenten zich vooral richten op wat hun studenten nodig zouden hebben om adequaat rekenlessen te geven. Daarbij gaat het niet om één specifieke les, maar eerder om een reeks lessen over een bepaald onderwerp. Een van de deelnemers vroeg zich meteen af: ‘Gaan de studenten daadwerkelijk de les geven of gaat het er om dat ze een overzicht over het domein krijgen?’ Een ander merkte op dat de basisschoolleerlingen centraal zouden moeten staan, want die moeten het uiteindelijk toch leren. Deze docenten willen vooral hun studenten helpen om op didactisch verantwoorde wijze les te gaan geven. Al snel kwam aan bod welke kennis er nodig is om je adequaat op dit terrein te bewegen. ‘Ook van de wiskunde... !’ werd er gezegd. Nadrukkelijk werden genoemd didactische ideeën als het rijgen en het gebruik van de getallenlijn, inclusief wat in de handleiding staat. Daarbij werd overigens ook de wiskunde niet vergeten. Iemand tekende hierbij een zekere fasering aan: ‘Eerstejaars studenten dienen eerst de wiskunde te snappen, terwijl ouderejaars ook nog moeten beseffen hoe kinderen leren. Ook het leren van de studenten als zodanig kwam aan de orde. ‘Studenten dienen de structuren te doorzien’ vond een docent. Verder werd genoemd dat studenten betekenis moeten kunnen geven aan hun stage-ervaringen, inclusief praktische zaken als tips en suggesties krijgen en kennis nemen van oefenprogramma’s. En studenten moeten leren te reflecteren. Bovendien dient in de opleiding niet zozeer de concrete situatie centraal te staan, als wel de ideeën erachter, zodat de studenten leren te generaliseren. Al is een groep van twee pabostudenten volgens de methodiek van het ucd-traject eigenlijk te klein, hun meningen gaven toch voldoende stof om over door te denken. De studenten brachten naar voren dat ze, voorafgaand aan een les, de handleiding doorlezen. Ze vonden dat de instructie en de verlengde instructie van groot belang zijn om tot een goed lopende les te komen. De studente bracht in dat ze, voorafgaand aan een opgave over rekenen on der de 50, eerst gaat controleren of de leerlingen (in groep 4) wel tot 100 kunnen tellen: ‘we leren het ze wel, ook in sprongen, ik maak het boeiend en interactief. Dat is echt iets van de pabo. Helemaal geweldig als je dat doet, dat is er echt helemaal ingeramd om het zo maar eens te zeggen. En dat wordt ook bij elke les gevraagd. Als je dat niet doet dan is het sowieso onvoldoende. […] Als we iets op de pabo doen, dan is het: ‘jongens, zorg dat het boeiend is.’ De student zei: ‘Ik maak het boeiend door de sommen in een context te plaatsen’. Beiden vonden ze: ‘visualiseren is ongelooflijk belangrijk’. Een van hen zei: ‘Ik laat ze [de leerlingen] flitskaarten maken. Dat kost best wel wat tijd, maar het helpt.’ ‘Laat kinderen zelf bedenken en uitleggen, dat vinden ze leuk. En dan ter controle nog een rijtje sommen’.
5
Op de vraag of ze ook online iets zouden willen uitzoeken wat betreft het rekenen tot 100: ‘nee, niet dat ik iets tegen internetsites heb over onderwijs, maar ik kijk er eigenlijk niet.’ De vier leerkrachten gaven aan dat ze grotendeels de rekenmethode volgen. ‘Als we iets anders doen zijn wij bang dat het ergens misloopt.’ Ze benadrukten dat ze het te druk hebben met allerlei organisatorische zaken om op een website allerlei materialen en ideeën te zoeken. Op onze vraag naar eventuele behoeften kwamen als reacties: ‘als het om kale sommen gaat, zoeken we contexten’ en ‘leuke startactiviteiten zijn we altijd voor in’. ‘Hoe houden we rekening met de verschillen in de klas (de zwakkere en de sterkere leerlingen). Daar maken we ons zorgen over.’ Een van de leerkrachten, tevens coördinator rekenen, merkte op: ‘Ik merk steeds meer dat stagiaires ontzettend veel in hun stage opzuigen als een spons’. De directe begeleiding op de werkvloer spreekt studenten kennelijk aan. Onze (voorlopige) conclusies Vanuit de methodiek van het ucd-traject is tien deelnemers op zich genoeg om tot een verantwoord design te komen, want de gesprekken bieden de deelnemers voldoende ruimte om creatief met ideeën voor een multimediale leeromgeving voor de dag te komen.
-
-
Voor ons zijn de belangrijkste conclusies: Het grote verschil tussen enerzijds pabodocenten en studenten en anderzijds leerkrachten. Het belang dat de leerkrachten en de studenten hechten aan de handleiding bij de rekenmethode: een onmisbare steun vanwege de uitleg die ze denken nodig te hebben, terwijl de docenten veel belang toekennen aan het verwerven van een adequaat theoretisch overzicht (zonder het belang van die handleiding te bagatelliseren). Studenten onderstrepen dat rekenlessen vooral leuk en aantrekkelijk moeten zijn. Daarbij noemen ze middelen als: Niet zozeer kale sommen, als wel het gebruik van een context. Inzet van rekenmaterialen, die de leerlingen bij voorkeur zelf maken. Uitleg door de leerlingen aan elkaar: ‘dat is leuker dan dat de leerkracht instrueert’. De leerkrachten leunen sterk op de rekenmethode, maar ze willen (meer) hulp krijgen voor onder- en bovenpresteerders. Alle partijen benadrukken de rekenmanieren, de strategieën en rekenprocedures. De achterliggende betekenis van die manieren werd nauwelijks genoemd, wat natuurlijk niet zonder meer wil zeggen dat ze die niet belangrijk vinden. Nadruk op activiteiten van leerlingen Deze conclusies versterkten ons idee dat een fenomenologische benadering van het rekenonderwijs een goede aanvulling kan zijn bij het voorbereiden en uitvoeren van rekenlessen. We gebruiken bewust de term ‘aanvulling’, want de bestaande hulpmiddelen als de rekenmethode zelf, de handleiding daarbij, een groot aantal websites, onderwijsmaterialen van de pabo, behouden hun waarde. Zoals eerder gezegd, gaat het dan over kennis van hoe leerlingen omgaan met numerieke problemen, hoe ze die aanpakken, welke betekenis ze geven aan de notaties en symbolen voor de getallen en de operaties, maar ook aan representaties als de getallenlijn en pijlen. De ideeën van de leerkrachten en studenten zoals die in het ucd-traject naar voren komen wijzen eerder op een instrumentele dan op een betekenisgevende benadering van de wiskunde. Toch proeven wij een grote betrokkenheid op wat kinderen beweegt en welke problemen zij hebben. Wij denken dat een fenomenologische benadering hen kan helpen te begrijpen wat er werkelijk in de hoofden van de leerlingen omgaat. De kern wordt gevormd door de wiskundige activiteiten die de kinderen uitvoeren. Die kunnen op diverse niveaus beschreven worden. Ga je uit van wat er concreet en situatiegebonden in de klas gebeurt of kies je voor een meer wiskundige beschrijving? Bijvoorbeeld, je kunt kiezen voor: ‘het gebruik van eierdozen om de groepering van de tientallen aanschouwelijk te maken’, maar ook voor: ‘de tienstructuur als basis voor ons telsysteem’. Beide benaderingen komen in Rekenles in beeld aan de orde, wij stellen echter vooral het
6
wiskundige denken van leerlingen achter die concrete activiteiten centraal. Ook hebben we gekozen voor beschrijvingen van wiskundige activiteiten als procedures, ordenen en aanpakken van problemen. Didactiek is voor ons dan een vorm van ondersteuning om de wiskundige leerprocessen zo optimaal mogelijk te doen verlopen. We proberen dan ook een puur didactische benadering te vermijden. Binnen het gekozen domein van Rekenles in beeld, het rekenen tot 100, is het aantal wiskundige activiteiten beperkt. Er zijn echter oneindig veel manieren mogelijk om die te vertalen in concrete activiteiten als opdrachten, gevarieerde contextsituaties, opgaven, werkvormen. Zo zijn er in de rekenmethoden voor het splitsen van getallen heel wat variaties op het zelfde thema te vinden. Wij hebben ervoor gekozen steeds een wiskundig idee, aanpak, procedure, techniek of iets dergelijks centraal te stellen. Een voorbeeld hiervan is het thema ‘automatiseren van tafels’ als een onderdeel van het onderwerp ‘vermenigvuldigen’. Dit heeft geleid tot de navigatiestructuur in de linkerkolom van figuur 2. We hebben daar zeven onderwerpen gedefinieerd: opbouwen van getalkennis, telactiviteiten, symbolen en representaties, toepassen, optellen/aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Elk van deze is weer vanwege de overzichtelijkheid onderverdeeld in drie tot zes thema’s, in totaal zo’n dertigtal. Bij elk thema geven we voorbeelden van wiskundige activiteiten. Zo gaat het bij optellen/aftrekken over de aanpak met doortellen of met terugtellen. Wiskundige activiteiten kunnen op verschillende niveaus uitgevoerd worden met als gevolg dat de tijdsspanne die het duurt voordat de leerling het hoogste niveau bereikt behoorlijk groot kan zijn. Dit heeft als consequentie dat de beschrijvingen van de activiteiten zijn niet gekoppeld aan een vast, beperkt aantal lessen. Onze beschrijvingen van de activiteiten sporen dan ook lang niet altijd met de uitwerkingen van de leerlijnen in de rekenmethoden. Die zijn vaak nogal longitudinaal van karakter, cyclische leerprocessen, zoals wij voorstaan, ontbreken daar meestal. Naarmate leerkrachten de wiskundige activiteiten beter begrijpen, zullen ze ongetwijfeld proberen nog beter recht te doen aan de individuele leerlingen. Om ook tegemoet te komen aan de wensen van de leerkrachten en studenten naar praktisch bruikbare informatie hebben we wat wij naar voren willen brengen, in acht categorieën opgedeeld, weergegeven in de acht tabbladen van figuur 2: introductie, belang, activiteiten, strategie, (lees: leerlingenaanpakken), opstarten, fasen, vragen stellen en oefenen. We komen op deze categorieën nog terug. Bestaande kennisbronnen en hun belemmeringen In het ucd-traject is naar voren gekomen dat er geen gebrek is aan kennisbronnen voor het onderwijs in rekenen en wiskunde die online zijn te raadplegen of die bij allerlei instanties te koop zijn. De studenten en leerkrachten uit ons onderzoek lijken behoefte te hebben aan goede ideeën en kant en klare tips. Zo vroegen ze zich af: wat doe je om het oefenen aantrekkelijker te maken? Welke hulp is er voor mijn zwakkere leerlingen? Welke voor mijn betere? De pabodocenten versterkten dit met hun opmerking dat studenten oefenprogramma’s zouden moeten kennen en dat ze op de hoogte moeten zijn van allerlei rekenmaterialen. Maar dergelijke materialen en programma’s zijn vaak niet pasklaar voor de situatie. Het is dan ook de vraag of men met ‘ready made’ materialen meteen aan de slag kan. Je moet dan weten wat je gebruikt, wanneer en waarvoor. Dat betekent dat je de meeste materialen nog moet bewerken, of op zijn minst moet bedenken op welke wijze je ze in de concrete lessituatie gaat inzetten. Met andere woorden, verantwoord kiezen en pasklaar maken van materialen, tips op bruikbaarheid in de eigen situatie beoordelen en vervolgens in al dan niet aangepaste vorm opvolgen stelt eisen aan het kennisniveau. En dit nog allemaal afgezien van de vraag of ze het wiskundig denken ondersteunen. Ook de schoolcultuur ten aanzien van het rekenonderwijs speelt een niet te onderschatten rol. Als de rekenmethode nogal onvoorwaardelijk wordt gevolgd, zal er weinig ruimte zijn voor alternatieven of zelfs voor aanpassingen. Tips, ideeën en materialen kunnen dan in
7
een behoefte voorzien, als ze vergezeld gaan van aanwijzingen hoe ze toe te passen. Dienen de leerkrachten deze materialen zelf aan te passen dan zal er snel een afweging worden gemaakt: hoeveel inspanning kost het me en wat zijn de baten? Hier is er wel een verschil tussen studenten en leerkrachten. De eerstgenoemde categorie kan immers door de opleiding worden verplicht om dergelijke inspanningen te verrichten zonder er persoonlijk de baten van in te zien. Overigens willen we hier niet de indruk wekken dat studenten en leerkrachten niet bereid zouden zijn tot inspanningen om op creatieve manier hun lessen in te richten. Onverlet blijft echter dat in het ucd-traject tijdgebrek nogal eens werd aangevoerd als argumentatie achter de geuite wensen. Anders geformuleerd, het rekenprogramma is al zo overladen, dat men (te) weinig ruimte ervaart voor eigen initiatief. Het is daarom aan ons als ontwikkelaars om – gegeven deze wensen – niet alleen praktisch bruikbare informatie te verschaffen, maar ook de leerkrachten en de studenten te verleiden van onze ideeën over de wiskundige activiteiten van de leerlingen kennis te nemen en die in hun kennisbasis en handelingsrepertoire te integreren. Daarbij richten we de aandacht op de wat langere termijn in plaats van op de enkele les. Kortom, wat betreft de kennis die op een website beschikbaar wordt gesteld zijn er dus spanningsvelden. Gedacht vanuit de gebruikers is directe bruikbaarheid van belang. Maar voor leerkrachten die expert willen worden op hun terrein, is het van belang dat zij via een goed overzicht inzicht krijgen in de ontwikkeling van het wiskundige denken van de leerlingen en hoe daar didactisch mee om te gaan. Opbouw van kennis via video Bij een website zal men wellicht in eerste instantie denken aan kennisoverdracht of tenminste als middel om informatie te verschaffen, en vooral dan in tekstuele vorm. Vandaag de dag lijkt video een nog sterker medium. YouTube Broadcast YourselfTM is een voorbeeld hoe je allerlei ideeën leert kennen door filmpjes te bekijken. Het is daarmee een belangrijk communicatiemiddel geworden. Als men video voor instructieve doelen gebruikt kan men een boodschap overbrengen, bijvoorbeeld door ze sterk te chargeren of door ze op de een of andere manier aantrekkelijk te maken. Dat lijkt voor menig video op YouTube op te gaan. Humor, metaforen en overdrijving werken prikkelend en hebben soms veel effect. Voor de professionele ontwikkeling zijn echter authentieke beroepssituaties met stimulansen tot competentieontwikkeling van groter belang. Hierbij is goed observeren een noodzakelijke voorwaarde. Dolk, Gravemeijer, & Den Hertog (2002) hebben een voorstel gedaan voor het gebruik van multimediale casussen voor de initiële lerarenopleiding, waarbij ze het gebruik van de MILE-video’s voor rekenen en wiskunde op het oog hadden. In figuur 4 staat hun voorstel voor een zesstapsframework om studenten te helpen bij het ontwikkelen van een kennisbasis en vooral van narratieve kennis waarbij ook ervaringen gekoppeld aan de situatie een rol spelen (Dolk & Den Hertog, 2008). Het observeren staat centraal. Het discussiëren over de waarnemingen bevorderen het gericht kijken en dus het zien. Met een goed zicht op de videocasus kan men deze analyseren en evalueren. Om kennisontwikkeling tot stand te laten komen is immers nodig de situatie goed te begrijpen. Vervolgens kan men (het opbouwen van) kennis van (wiskundige en didactische) theorieën koppelen aan de geobserveerde en begrepen gebeurtenissen. Zo kunnen studenten de kloof tussen theorie en praktijk leren te overbruggen. Natuurlijk is deze aanpak beter te realiseren in een onderwijssituatie met een docent dan dat in een situatie met (alleen) een website. Dit is een belangrijk punt van specifieke aandacht voor ons als ontwikkelaars.
8
Figuur 4 Zesstapsframework voor het opzetten van een ontwerp voor een multimediale leeromgeving Toen we probeerden geschikt videomateriaal voor de website te selecteren, bleek het lang niet altijd mogelijk in MILE-videomateriaal fragmenten te vinden die deze aanpak ondersteunen. We zijn dan ook van plan nieuw materiaal opnemen om in Rekenles in beeld te gaan gebruiken.
-
Opbouw van kennis via teksten Het voordeel van een website boven een boek is dat de informatie niet lineair hoeft te worden verwerkt, maar parallel kan worden geordend. Daardoor kan men veel verschillende soorten informatie aanbieden, zonder een hiërarchische ordening aan te brengen. De gebruiker kiest dan zelf wat hij belangrijk vindt. Bij de opzet van Rekenles in beeld willen we in iedere geval de volgende aspecten naar voren brengen: een korte omschrijving van de wiskundige aspecten het belang daarvan voor het doorlopende leerproces didactische aspecten die voor de leerkracht relevant zijn activiteiten van de leerlingen die voor hun leren relevant zijn. Vanuit dit kader komen we dan tot de volgende opzet van de informatie (gerangschikt in tabbladen): Introductie Algemene beschrijving activiteit. Waar gaat het over? Belang Wat zijn de doelen die met de betreffende activiteit worden beoogd, zowel van de kortere als de langere termijn? We hebben dit de titel ‘belang’ gegeven omdat we willen benadrukken dat elke activiteit een bouwsteen is om te komen tot een goede beheersing van het domein. Activiteiten In dit onderdeel beschrijven we de kern van de wiskundige activiteiten en hun verschillende verschijningsvormen. Hier komen allerlei wiskundige ideeën, concepten, procedures, algoritmes, en dergelijke, aan bod. Soms verwijzen we hier ook naar concrete uitwerkingen die een rol spelen bij de wiskundige activiteiten, al was het maar om niet al te zweverig te worden. Fasen Hier gaat de aandacht vooral uit naar de verschillende niveaus van denken: van concreet tot formeel. Strategieën
9
Wij denken hier niet primair aan de rekenstrategieën. Het gaat hier om een planmatige aanpak om het wiskundige probleem op te lossen. Ook kan het gaan om het leren als zodanig, zoals de manieren waarop leerlingen op gerichte wijze kunnen automatiseren en memoriseren. Opstarten Hoe introduceer je de wiskundige activiteiten zodat leerlingen doelgericht de wiskunde kunnen leren? Het gaat hier om de algemene aanpak. Wellicht is het volgende kopje dan ook beter, maar zeker niet korter: hoe initieer je processen gericht op niveauverhoging? Vragen stellen In de handleidingen van rekenmethodes zijn steeds voorbeelden van vragen opgenomen. In onze website wijzen we op de rol van vragen: wat is die in het stimuleren van het wiskundig denken, wat zijn de effecten zijn ervan voor het leerproces? Productief oefenen Gedacht vanuit de wiskundige activiteiten is de vraag: hoe gaan leerlingen gericht automatiseren en memoriseren? Vandaar dat wij ons op het productief oefenen richten. Geen eindeloze herhalingen, geen rijtjes sommen, maar oefeningen die ervoor zorgen dat leerlingen al denkend oefenen in de betreffende activiteit. Ook schenken we aandacht aan ‘eigen producties’, zodat leerlingen zelf hun ideeën kunnen construeren. In deze lijst ontbreken enkele belangrijke onderwerpen. Zo hebben we (nog) niet gekozen voor zaken als: onderpresteren, aandacht voor bollebozen, taalaspecten (wiskunde- en informele taal). We willen eerst zorgen voor een basis, daarna kunnen zulke onderwerpen gericht aan de orde komen. In onze onderverdeling in tabs zou men gemakkelijk een hiërarchie kunnen zien. Als men de teksten in die volgorde zou lezen, ontstaat in elk geval het begin van een lokale onderwijstheorie over het betreffende onderwerp. Toch is dit niet primair onze bedoeling. Eerder hopen we dat elk tekstblok functioneert als een inspiratiebron. Ten overvloede, deze basisteksten zijn niet het enige doel van de website. Wij denken dat Rekenles in beeld pas gaat leven als gebruikers er hun eigen ervaringen aan toevoegen zodat er (uiteindelijk) ook praktijkkennis in Rekenles in beeld te vinden is. Onze, misschien wel belangrijkste gevolgtrekking, na het ucd-traject en onze verdere overwegingen, is dat het de ‘kunst’ zal zijn van het verdere ontwikkeltraject van Rekenles in beeld onze ideeën zo slim mogelijk te vertalen naar voor (aanstaande) leerkrachten concreet uitvoerbare activiteiten. 4 Theoretische achtergrond In deze paragraaf geven we vanuit de theorie een verantwoording voor de door ons gemaakte keuzen. We gaan in bijzonder in op drie aspecten: de wiskundige activiteiten van de leerlingen, de professionele ontwikkeling van de studenten en leerkrachten, en het gebruik van videofragmenten bij die professionele ontwikkeling. Wiskundige activiteiten van leerlingen Ons uitgangspunt is dat leerkrachten en studenten tijdens hun stage de stap moeten maken van ‘hoe moeten leerlingen dat doen?’ naar ‘waarom doen ze dat?’.Voor dit punt sluiten we ons aan bij Ball (http://ncrtl.msu.edu/http/craftp/html/pdf/cp903.pdf), Lampert (1990), Gravemeijer (2004) en Van den Heuvel-Panhuizen (2001). Deborah Ball stipuleert dat leerkrachten vooral de leerprocessen van de leerlingen dienen te ondersteunen, met als uiteindelijk doel het leren begrijpen van de wiskunde: wat helpt kinderen om zelfvertrouwen te ontwikkelen bij het doen van wiskunde? Zij is sterk geïnspireerd door Maggie Lampert die als uitgangspunt voor het leren neemt dat leerlingen contexten uit de
10
alledaagse wereld moeten verkennen. Zo komen ze in ieder geval tot horizontaal mathematiseren. De leerkracht geeft leiding aan een proces waarbij de leerlingen veronderstellingen opperen, patronen en ideeën onderzoeken en waarbij ze de concrete situatie op een wat meer abstract niveau gaan modelleren. Zo komen zij geleidelijk aan tot meer formele aanpakken. Professionele ontwikkeling Ook voor leerkrachten geldt dat zij in hun professionele ontwikkeling de stap moeten maken van ‘hoe doe je dat?’ naar ‘waarom doe je dat?’ Lampert (2001) heeft op de complexiteit van het lesgeven in rekenen en wiskunde gewezen. Ze heeft voorstellen gedaan hoe leerkrachten greep op de problemen die daarbij spelen kunnen krijgen en hoe ze effectieve strategieën en oplossingen gaan bedenken. De aanpak van Ball en Lampert heeft sterke gelijkenissen met die van de instructietheorie van het zogeheten realistische rekenen en wiskunde, zoals beschreven door Koeno Gravemeijer en Marja van den Heuvel-Panhuizen. De professionele kennisbasis van de leerkracht voor rekenen en wiskunde start met de kennis van het wat en het hoe. Gedurende de professionele ontwikkeling wordt deze kennis verrijkt met ervaringen, maar vooral met kennis van het waarom. Door reflectie op deze vier elementen worden het eigen lokale handelings- en kennisrepertoire (verder) opgebouwd (Mathijsen, 2006; Steele, 2005). Michael Steele verwoordt dit als volgt: One of the great complexities of teaching [mathematics] is the coordination of multiple knowledge bases from moment to moment in the classroom. Effective teachers must move flexibly between knowledge of the content they are teaching and knowledge of teaching, both in general and as it relates specifically to the content at hand. Er zijn verschillende niveaus van kennisconstructie te onderscheiden (Oonk, 1999). We gebruiken hier een indeling in vier niveaus. Op het laagste niveau zal men kennis tamelijk letterlijk overnemen. Zo breidt men vooral zijn handelingsrepertoire uit. Op een hoger niveau wordt kennis aangepast aan de eigen behoeften en aan de omstandigheden. Op het volgende niveau legt men verbanden tussen feiten en spelen redeneren en argumenteren een grote rol. Op het hoogste niveau bouwen de lerenden hun eigen theorieën op en opereren ze op een conceptueel niveau. Bij de professionalisering van leerkrachten speelt deze stapsgewijze kennisconstructie een centrale rol. Daarbij zijn de leerstijlen van de lerenden een belangrijke factor (Koldeway, 2007). Iemand met een reproductieve leerstijl zal eerder kennis construeren op de lagere niveaus. Iemand met een betekenisgerichte leerstijl kan gemakkelijk opereren op het hoogste niveau. We proberen deze ideeën op twee manieren in het ontwerp toe te passen. De eerste manier loopt via de teksten en de videofragmenten. De tweede manier is door in de teksten de activiteiten van de leerkrachten en van de leerlingen te onderscheiden. Verder besteden we expliciet aandacht aan de rol die de ervaring speelt bij het opbouwen van kennis door middel van de reflectie daarop. De site biedt de gebruikers de mogelijkheid hun ervaringen te uploaden.. Videogebruik Uit veel studies blijkt hoe zinvol videocases kunnen zijn voor een competentiegerichte aanpak. Wang & Hartley (2003) vonden dat het gebruik van videocases effectiever is om kennis en vaardigheden te ontwikkelen dan schriftelijke casusbeschrijvingen. Bij een onderzoek van Sherin (2004) bleken studenten inderdaad beter zicht te krijgen op de ideeën van leerlingen en welke processen daarbij spelen. Een aandachtspunt bij het observeren van andermans praktijk is in hoeverre er transfer mogelijk is naar de eigen praktijk. Stockero (2008) constateerde dat pabostudenten die het reflecteren als zodanig
11
hebben geoefend, geneigd zijn reflectiever om te gaan met de eigen praktijk, zie ook Abell, Bryan & Anderson (1998). Het eerder beschreven zesstapsframework kan ons helpen over de vraag hoe we leerkrachten nog bewuster kunnen leren analyseren. Dat vergt een gestructureerd leerproces, waarvan het niet waarschijnlijk is dat dit alleen met een multimediale leeromgeving kan worden geïnitieerd. Door aan Rekenles in beeld een community te koppelen, denk bijvoorbeeld aan peer assessment en een forum, hopen we reflecteren en analyseren te stimuleren. Vragen en suggesties kunnen gebruikers prikkelen tot verdere verdieping. Ook hier speelt de mogelijkheid om ervaringen via uploaden met anderen te delen een belangrijke rol. Uiteraard verwachten wij dat de pabodocenten dit gaan stimuleren. Videocases zijn een geschikt hulpmiddel om te komen tot professionalisering. Wel is een setting nodig waarin uitwisseling van ideeën, onderlinge discussie en overleg tot stand komen. Uiteraard is dat binnen een schoolsituatie mogelijk door lessituaties en groepsbijeenkomsten te arrangeren. De vraag is of dat ook mogelijk is met websites. Wij denken van wel. Daartoe kunnen de criteria gebruiken die Lin & Gregor (2006) hebben genoemd voor een dergelijke leeromgeving. De website moet leren stimuleren en het plezier in leren verhogen. (Lin & Gregor schreven overigens over websites voor musea): 1. Een aantrekkelijk design 2. Interactiviteit, bijvoorbeeld door het toevoegen van een forum, spelletjes, e-cards, stemmogelijkheden, enzovoort 3. Goede functionaliteit en gebruiksgemak 4. Hoge toegankelijkheid 5. Eenvoud, geen ingewikkelde tools 6. Samenwerking tussen organiserende partners. Voor de geïnteresseerde lezer is in Brouwer (2007) een uitgebreid overzicht van het gebruik van videomateriaal in de lerarenopleiding te vinden. 5 Tot slot We hebben inmiddels twee expertbijeenkomsten gehad, waarbij met name mensen van pabo’s hun licht over Rekenles in beeld hebben laten schijnen. De eerste keer was tijdens de Panama-conferentie van januari 2009. De tweede expertmeeting was in juni 2009. De experts oordeelden onze uitgangspunten en de verwerking daarvan als goed. Waar echter nog vraagtekens bij gezet werden waren het niveau (is dat niet te hoog?) en het onderscheid ten opzichte van andere sites. Een belangrijke aanbeveling van de experts is: probeer met name de openingspagina, waarover we in dit artikel niets gezegd hebben, zo aantrekkelijk mogelijk te maken. Wat voor ons echter het meeste telt is hoe onze doelgroepen, en dan met name leerkrachten en studenten, met Rekenles in beeld omgaan. Vooralsnog (november 2009) is Rekenles in beeld een site in ontwikkeling. Voor een ‘sneak preview’, zie http://portal.rdmc.ou.nl/rib/. Literatuur Abell, S.A., L.A. Bryan & M.A. Anderson (1998). Investigating Preservice Elementary Science Teacher Reflective Thinking Using Integrated Media Case-Based Instruction in Elementary Science Teacher Preparation. Science Teacher Education, 491-510. Bakker, A. (2004). Design research in statistics education; On symbolizing and computer tools. Utrecht, the Netherlands: CD-Beta Press. Ball, Deborah Loewenberg. With an eye on the mathematical horizon: Dilemma’s of teaching elementary school mathematics. http://ncrtl.msu.edu/http/craftp/html/pdf/cp903.pdf. (Geraadpleegd 7 februari 2006).
12
Brouwer, N. (2007). Verbeelden van onderwijsbekwaamheid. Heerlen, Open Universiteit Nederland/Ruud de Moor Centrum. Dolk, M., Hertog, J. den, & Gravemeijer, K. (2002). Using Multimedia Cases for Educating the Primary School Mathematics Teacher Educator: a Design Study. International Journal of Educational Research, 37(2), 161-178. Dolk, M.L.A.M. & Hertog, J.B. den (2008). Narratives in Teacher Education. Interactive Learning Environments, 16(3), 215-229. Freudenthal, H. (1984). Didactische Fenomenologie van Wiskundige Structuren. Vakgroep onderzoek wiskunde onderwijs en onderwijscomputercentrum rijksuniversiteit Leiden. Onderzoek Wiskunde Onderwijs. Publicatie 4. Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. China Lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 201 pp. Gravemeijer, K. (2004). Local instruction theories as means of support for techers in Reform mathematics education. In Douglas H. Clements, Julie Sarama. Hypothetical Learning Trajectories: A Special Issue of Mathematical Thinking and Learning. Gepubliceerd door Routledge. 105-128. Hertog, J.B. den (2005). Towards guided reinvention in a multimedia learning environment. Paper for the Taiwan-The Netherlands Seminar, 2-6 November 2005. Chinshu-City. Heuvel-Panhuizen, M. van den (2001). Realistic Mathematics Education as work in progress. In F. L. Lin (Ed.) Common Sense in Mathematics Education, Proceedings of 2001 The Netherlands and Taiwan Conference Education, Taipei, Taiwan, 19 – 23 November 2001, 1-43. Jones I, & D.Pratt (2006). Connecting the equals sign. In International Journal of Computers for Mathematical Learning, 11(3). 301-325. Kaldeway, J. (2007). Leerstijlen, dan wel denkstíjlen als uitgangspunt voor vakdidactische ontwikkeling. Tijdschrift Leven de talen, 8(1), 11-22. Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the answer is not the solution. American Educational Research Journal, 27, 29-64. Lampert, M. (2001). Teaching problems and the problems of teaching. New Haven: Yale U.P. Lin, A. C. H. & S. D. Gregor (2006). Designing Websites for Learning and Enjoyment: A study of museum experiences. The International Review of Research in Open and Distance Learning, 7(3), ISSN: 1492-3831 Mathijsen, I.C.H. (2006). Denken en handelen van docenten. Utrecht University. Ivlosreeks. Mcnamara, O, B. Jaworski, T. Rowland, J. Hodgen & S. Prestage (2002), Developing mathematics teaching and teachers. A Research Monograph. http://mathsteachdev.mathsed.org.uk/pdf/mathsdev.pdf (geraadpleegd op 7 februari 2006).
13
Oonk, W. (1999). Pioniers in MILE. Een exploratief onderzoek. Mile-reeks 9. Utrecht: Freudenthal Instituut. Putten, C.M. van (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In Janssen J., F. van der Schoot, B. Hemker (2005) Balans van het reken- wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. PPON-reeks nr. 32.Arnhem, Citogroep, 125-132. Schaaf, M.F. (2005). Construct validation of teacher portfolio assessment: Procedures for improving. Utrecht: Universiteit Utrecht, Afdeling Onderwijskunde. Sherin, M.G. (2004). New perspectives on the role of video in teacher education. In J. Brophy (Ed.), Using video in teacher education. New York: Elsevier Science, 1-27 Steele, Michael D. (2005). Comparing knowledge bases and reasoning structures in discussions of mathematics and pedagogy. Journal of Mathematics Teacher Education 8, 291–328. Stockero,,S.L. (2008). Using a video-based curriculum to develop a reflective stance in prospective mathematics teachers. Journal of mathematics teacher education, 11(5), 373394. De Troyer, O.M.F., & C.J. Leune (1998). WSDM: a user centered design method for Web sites. Computer Networks and ISDN Systems 30, 85-93. Wang, J. & Hartley, K. (2003). Video Technology as a Support for Teacher Education Reform. Journal of Technology and Teacher Education. 11(1). Norfolk, VA: AACE, 105138.
14
