Rekeninzicht en betrokkenheid creëren in het rekenonderwijs op basisschool Het Palet

Onderzoeksverslag Schoolontwikkelingsproject

Rekeninzicht en betrokkenheid creëren in het rekenonderwijs op basisschool Het Palet

2011-2012 ’s-Hertogenbosch

1

I Colofon Onderzoeksverslag juni 2012 Titel: Onderzoeksverslag Schoolontwikkelingsproject Rekeninzicht en betrokkenheid creëren in het rekenonderwijs op basisschool Het Palet.

Opdrachtgever:

Basisschool Het Palet Eekbrouwersweg 2 5233 VG ’s-Hertogenbosch

Ontworpen door onderzoeksgroep: Hans Asbreuk Noud Wonders Marion Guikers Ad Grootswagers Eva Schaepkens Contactgegevens:

Eva Schaepkens [email protected] 2

II Samenvatting eindrapport Aan de hand van de probleemstelling die er door basisschool Het Palet is geformuleerd is er een onderzoek gestart in het jaar 2011-2012. De volgende onderzoeksvraag stond centraal: Hoe kunnen leerkrachten van basisschool Het Palet n.a.v. de PARWO-Quickscan, PARWO didactiek inzetten om het inzicht en de betrokkenheid van leerlingen van groep 7 op het domein "grote getallen/ kommagetallen" te vergroten? Dit Schoolontwikkelingsproject is een adviesrapport waarin staat hoe leerkrachten PARWOdidactiek kunnen gaan inzetten om inzicht en betrokkenheid te vergroten. De adviezen die gegeven worden, kunnen ervoor zorgen dat er een impuls gegeven wordt met het werken aan drijfvermogen en het stimuleren van betrokkenheid tijdens de rekenlessen met behulp van PARWO-didactiek. Binnen het onderzoek is het begrip betrokkenheid vooral aangestipt. Wanneer er namelijk sprake is van intrinsieke betrokkenheid, is er ook een groter leerrendement. Naar aanleiding van de interviews/observaties m.b.v. een expert op betrokkenheid komt naar voren dat de PARWO-manier van werken betrokkenheid stimuleert en dus leerrendement oplevert. Ook wordt er ingespeeld op de zogenaamde vier niveaus van handelen, de vier matrixlagen van PARWO. Door hier dieper op in te gaan en weten op welke lagen een leerling zich bevindt, kun je als leerkracht specifieker insteken op drijfvermogen en rekeninzicht. In het hoofdstuk “Eindconclusie en aanbevelingen” staat uiteengezet wat er precies gedaan moet worden om op de PARWO-manier van denken te gaan werken aan drijfvermogen/rekeninzicht met stimulerende factoren voor betrokkenheid.

Rekeninzicht

Dynamiek

Leerkracht Betrokkenheid

vaardigheden

Organisatie

3

III Inhoudsopgave I Colofon II Samenvatting eindrapport III Inhoudsopgave IV Voorwoord 1. Inleiding 2. De projectopdracht 3. Probleemstelling en onderzoeksvraag 3.1 Basisschool Het Palet 3.2 Basisschool Het Palet en PARWO 3.3 Probleemstelling en onderzoeksvraag 3.3.1 Waarom wil basisschool Het Palet dit onderzoek? 3.3.2 Hoe past het onderzoek bij de visie van de school? 3.3.3 De probleemstelling 3.3.4 De onderzoeksvraag met bijbehorende deelvragen 4. Theoretisch kader 4.1 Betrokkenheid is essentieel voor leren 4.2 Hoe is betrokkenheid bij leerlingen te zien? 4.3 Betrokkenheid en PARWO-didactiek 4.4 Wat verstaat de literatuur onder rekeninzicht? 4.5 PARWO-didactiek: Bouwstenen voor een rekenaanbod 4.6 PARWO Quickscan 4.7 Domein ‘Grote getallen/Kommagetallen’ 4.8 Groep 7 op de leerlijn ‘Grote getallen/Kommagetallen’ 5. Opzet en uitvoering van het onderzoek 5.1 Onderzoeksgroep, inbedding en keuze van onderzoekseenheden 5.1.1 Onderzoeksgroep 5.1.2 Inbedding 5.1.3 Keuze van onderzoekseenheden? 5.2 Dataverzamelingsmethoden en materiaal verzamelen 5.2.1 Interviews/Observaties van betrokkenheid 5.2.2 Interview met de rekencoördinator 5.2.3 Interview met de directeur 5.2.4 Aanvullende activiteiten 5.3 Registratie, verwerking en preparatie van de gegevens 5.4 Beschrijving en verantwoording van de analysebeslissingen 5.5 Betrouwbaarheid en validiteit 5.6 Onderzoeksconclusies 6. Eindconclusie en aanbevelingen 6.1 Conclusie 6.2 Aanbevelingen 7. Discussie en evaluatie 8. Literatuur

2 3 4 5 6 7 9 9 10 12 12 13 13 14 15 15 18 20 22 24 27 29 31 44 44 44 46 49 54 54 54 54 55 56 57 58 59 60 60 63 69 71

9. Bijlagen zijn toegevoegd in bijbehorend bijlagenboek.

4

IV Voorwoord Zoals Albert Einstein al eens zei: “Als we wisten wat we deden, heette het geen onderzoek.” Ik ben natuurlijk geen Albert Einstein, maar ik vind wel dat deze uitspraak de kern raakt waarom dit onderzoek in gang is gezet. PARWO1 is namelijk niet iets wat je zomaar in gang kan zetten. Je geeft PARWO niet aan de leerkrachten en zegt: doe het maar, probeer maar. Er zitten namelijk zoveel verschillende aspecten aan. Elke keer als je ermee werkt, ervaar je iets nieuws of krijg je weer een helder inzicht. Wanneer dat gebeurt denk je: logisch maar het zit toch ingewikkelder in elkaar dan je in eerste instantie denkt. Ik denk dat leerkrachten hetzelfde ervaren als ze geconfronteerd worden met de PARWO-manier van denken. De vraag Hoe moet ik dit gaan doen? met de nadruk op hoe, is een essentiële. Daarom vind ik dit onderzoek zo leuk en uitdagend om te doen. Ik vind het een eer om anderen naar het doel te begeleiden dat PARWO heet. Dat was mijn persoonlijke drive om dit onderzoek te voltooien. Daarnaast kon dit onderzoek gedegen uitgevoerd worden doordat er voldoende ondersteuning en interesse was vanuit de directeur, de leden van de onderzoeksgroep, de rekencoördinator, de bovenbouwleerkrachten en de rekenwerkgroep. Mijn dank hiervoor. Wie ik daarnaast wil benoemen zijn Frans Moerlands, Lucy Moerlands en Dirk van Straaten. Zonder hun visie, inzicht en kennis die ze aan mij overgedragen hebben, was mij dit nooit op deze manier gelukt. Ik wens u hetzelfde enthousiasme toe tijdens het lezen van dit onderzoek zoals ik het heb ervaren, Eva Schaepkens

1 PARWO: passend rekenen wiskundeonderwijs; een project dat door de Primair Onderwijsraad gesubsidieerd wordt. Het is in samenwerking met ontwerpbureau Edumat en met SSOT (Stichting Speciaal Onderwijs Tilburg).

5

1. Inleiding Voor u ligt het ontwikkelingsproject voor de medewerkers van basisschool Het Palet. Hierin wordt u meegenomen door het onderzoektraject dat is uitgevoerd in het schooljaar 2011/2012. In het volgende hoofdstuk wordt de context beschreven waarin het onderzoek is verricht. In hoofdstuk 3 vindt u de probleemstelling en de achterliggende gedachten bij de onderzoeksvraag. In hoofdstuk 4 worden de verschillende theorieën beschreven die gedurende dit onderzoek zijn gebruikt en van belang waren voor het onderzoek. De bronnen van deze theorieën zijn terug te vinden in hoofdstuk 8. Hoofdstuk 5 geeft een omschrijving van de opzet en de uitvoering van het onderzoek. Hierin komt naar voren uit welke personen de onderzoeksgroep bestond en welke rol zij hadden in dit onderzoek. Daarnaast wordt er omschreven op welke wijze de data voor dit onderzoek tot stand gekomen zijn. In dit hoofdstuk wordt ook aangegeven wat er met deze gegevens is gedaan om tot de conclusies en aanbevelingen te komen. Naar aanleiding van de verwerking en resultaten van dit onderzoek is er een conclusie getrokken en zijn er aanbevelingen gedaan. Deze vindt u terug in hoofdstuk 6. Tot slot leest u in hoofdstuk 7 de evaluatie van dit onderzoek. De bijlagen van dit onderzoeksverslag vindt u in het bijgevoegde bijlagenboek.

6

2. De projectopdracht Vooronderzoek voor dit project Er is door de onderzoeksgroep eerst vooronderzoek verricht over hoe het drijfvermogen bij kinderen in de bovenbouw (groepen 7) op het domein van grote getallen, kommagetallen ervoor staat. Daarvoor zijn de Quickscans2 van PARWO gebruikt. Het doel is om op de PARWO manier van denken (PARWO-didactiek) een rekenaanbod samen te stellen op het gebied grote getallen, kommagetallen op basis van de Quickscan-uitkomsten. Wat wil de onderzoeksgroep hier precies mee onderzoeken? Er heerst een vermoeden dat het inzicht bij het rekenen van de leerlingen van basisschool Het Palet nog niet sterk genoeg is. De onderzoeksgroep wil ten eerste weten hoe het drijfvermogen ervoor staat rond de eindperiode van de basisschool (groep 7). Want daar zou je een opbouw van inzicht en drijfvermogen moeten zien:

Figuur 1: Verkregen via Frans Moerlands, PARWO

Of zou het er zo uitzien?


2

Meetinstrument van PARWO op vier domeinen: getallen tot 10, getallen tot 20, getallen tot 100 en grote getallen/kommagetallen.

7

En hoe moeten we dat herstellen?


Daarna probeert de onderzoeksgroep vast te stellen hoe de PARWO-didactiek kan worden ingezet om het rekeninzicht en de betrokkenheid van de leerlingen van groep 7, op het domein “grote getallen, kommagetallen” te kunnen vergroten. Naar aanleiding van dit onderzoek kan een traject worden aanbevolen. Welke stappen neem je als school, als bouw en als leerkracht om de PARWO manier van denken en de bijbehorende didactiek in te voeren in je dagelijkse rekenpraktijk? Ook het waarom en het belang van PARWO wordt door dit onderzoek nog een keer benadrukt.

8

3. Probleemstelling en onderzoeksvraag 3.1 Basisschool het Palet Basisschool Het Palet ligt in ’s-Hertogenbosch-Noord tussen De Slagen, Orthen, De Herven en De Buitenpepers. Het adres is Eekbrouwersweg 2, 5233 VG. De meeste kinderen komen uit de omliggende wijken. Het aantal leerlingen op dit moment is 462. Deze kinderen zijn verdeeld over 18 groepen waarvan groepen 1 en 2 bestaan uit heterogene groepen en een groep 7-8. Aan het hoofd van het team staat de directeur. Deze heeft de uiteindelijke verantwoordelijkheid voor alles rondom en in de school. De taken van de directeur zijn vooral gericht op de schoolorganisatie en de onderwijsvernieuwingen. Samen met de bouwcoördinatoren (onderbouw en bovenbouw) vormt hij het managementteam voor schoolontwikkeling en leerlingenzorg. Het team bestaat uit 35 personeelsleden. Er is dus een directeur en 31 leraren waarvan er 16 een deeltijdbaan hebben. Er is een lerarenondersteuner en een onderwijsassistent. Verder is er ook een schoolassistent en een vakdocent gym. Daarnaast is er een interne begeleider voor groep 1 t/m 3 (Kees van den Boer) en een interne begeleider voor groep 4 t/m 8 (Fred van den Grint). Er is ook een leraar die zorg heeft voor de coördinatie van informatie- en communicatietechnologie (ICT-er). Het Palet is van oorsprong een katholieke basisschool. De school staat echter open voor alle godsdiensten en levensbeschouwelijke achtergronden. Het Palet wil onderwijs bieden, waarbij de leerlingen stap voor stap alle aspecten van hun persoonlijke groei doorlopen. Zij hebben oog voor de verstandelijke, sociale, emotionele, motorische en creatieve ontwikkeling van individuele kinderen. Samen met ouders willen zij zo een bijdrage leveren aan de ontwikkeling van ieder kind, op ieder niveau. Daarbij wordt rekening gehouden met de eigenheid van het kind. Er wordt gelet op de verschillen in ontwikkeling van kinderen, verschillen in begaafdheid, hun belangstelling en motivatie. In de aanpak en organisatie van hun onderwijs, heeft Het Palet voortdurend oog voor die verschillen tussen kinderen. In 2007 t/m 2011 is het begrip passend onderwijs3 geïntroduceerd. Daarbij laat de school het leerstofaanbod en het leerproces aansluiten bij de ontwikkelingsbehoefte van de leerlingen. Vanaf schooljaar 2010-2011 werkt basisschool Het Palet volgens de principes van het handelingsgericht werken4 om aan het passend onderwijs te voldoen. De derde ontwikkeling is het gegeven kindcentrum 0-13. Dat betekent dat basisschool Het Palet en de kinderopvang De Toverhoedt samenwerken onder een dak. Zo ontstaat er een doorgaande ontwikkelingslijn van 0 tot 13 jaar.

3

Passend Onderwijs: maatwerk in onderwijs, waarin zoveel mogelijk kinderen in het reguliere onderwijs terecht kunnen en met echte uitzondering in het speciaal onderwijs. 4 Handelingsgericht werken: een begrip uit het EGO, ervaringsgericht onderwijs. Hierbij wordt het onderwijsaanbod afgestemd op de basisbehoeften en onderwijsbehoeften van ieder kind.

9

Het aanbod bestaat uit: • Kinderopvang 0-4 • Peuterarrangementen • Primair Onderwijs • Buitenschoolse opvang • Tussenschoolse opvang Een andere belangrijke ontwikkeling op Het Palet is het organisatiemodel “Slim Fit”. Uitgangspunt: door het inzetten van andere functie-invullingen zijn ze in staat efficiënter te werken en beter aan te sluiten bij ontwikkelingsbehoeften van kinderen. Dit houdt in dat er professionals zullen komen op het gebied van rekenen, taal en gedrag. Het leerstofjaarklassensysteem wordt losgelaten. Er zal steeds meer groepsdoorbrekend gewerkt gaan worden en er zullen daardoor kleinere instructie- en verwerkingsgroepen ontstaan. Daardoor krijgt het handelingsgericht werken een kwaliteitsimpuls. Vanuit een pedagogisch optimisme wordt voor elke leerling vastgesteld wat deze nodig heeft om het volgende doel te bereiken. Op dit moment wordt de leerlingenzorg vooral ondersteund door het werken met groepsplannen, waarbij de ontwikkeling van de kinderen het startpunt is. Dit schoolontwikkelingsproject zal ook een ondersteunende factor zijn in deze ontwikkelingsprocessen op Het Palet, op het gebied van rekenen. Vorig jaar is er al een aantal conclusies en aanbevelingen gekomen door het schoolontwikkelingsproject van Annelies Swarts. Zij gaf aan dat er een verhoging van de rekenopbrengsten bewerkstelligd zou kunnen worden door het juist toepassen van het activerende directe instructiemodel tijdens de rekenlessen. De invalshoek was dus via de leerkrachten. In dit schoolontwikkelingsproject wordt er bekeken wat het huidige drijfvermogen5 van de leerlingen is op het gebied van rekenen en hoe we dit drijfvermogen kunnen gaan verstevigen. De invalshoek is nu dus via de leerlingen. 3.2 Basisschool Het Palet en PARWO Tijdens het inspectiebezoek op 12 januari 2010 is naar voren gekomen dat het gemiddelde rekenniveau van de leerlingen van Het Palet lager ligt dan het landelijk gemiddelde. (“Ruim 17 procent van de leerlingen in de huidige groep 8 heeft voor rekenen een individuele, naar beneden afbuigende lijn.6”) Een deel van dat probleem ligt in het feit dat er een toename is van leerlingen met een eigen verlaagde leerlijn. Daarom was er besloten onderzoek te doen naar het rekenonderwijs in basisschool Het Palet. Het eerste onderzoek in dit kader was van Annelies Swarts in 2010/2011. Een belangrijk onderdeel in haar onderzoek was het element PARWO: PARWO wil het huidige rekenonderwijs in Nederland nieuwe impulsen geven.

5

Drijfvermogen: de metafoor van de ijsberg. Wat onder water zit, is wel nodig om het topje van de ijsberg te kunnen zien/begrijpen. 6 Rapport: Onderzoek in het kader van het onderwijsverslag 2009-2010 op basisschool Het Palet; onderwijsinspectie; 12 januari 2010; pagina 8.

10

7

Met het PARWO-project wordt geprobeerd ‘passend reken- wiskundeonderwijs te ontwikkelen: - Onderwijs dat ‘past’ bij de aard en het vermogen van zowel ‘gewone’ als ‘speciale’ leerlingen. - Onderwijs dat doelen durft te stellen die passen bij de eisen van deze tijd. - Onderwijs dat wiskundige redzaamheid voorop stelt en dit uitgangspunt serieus doorvertaalt naar ‘gecijferdheidsdidactiek’. - Onderwijs gebaseerd op een visie over leren, met gevoel voor kinderen en oog voor de gevoelige fases in het leerproces. - Onderwijs waarin de ontwikkeling van de leerlingen centraal wordt gesteld en niet het vakgebied. - Onderwijs dat goed geoutilleerd (toegerust) is, waar vaklui met verstand van zaken en voorzien van goed gereedschap aan het werk zijn. Deze theorie van PARWO heeft Annelies Swarts verwerkt in het directe instructiemodel. Maar dit is voorlopig nog niet genoeg. Het directe instructiemodel gekoppeld aan de rekentheorieën wordt nog niet dusdanig toegepast in de rekenlessen op Het Palet. Ook is er nog de invalshoek vanuit de leerling die belicht moet worden. Het Palet wil erachter komen: - Wat het huidige drijfvermogen is bij leerlingen op het gebied van rekenen; - Hoe aan dat drijfvermogen een impuls gegeven kan worden; - Welke elementen van het directe instructiemodel/PARWO gekoppeld moeten worden aan het fenomeen: drijfvermogen creëren. - Hoe zij de atletenrol die nu vooral wordt uitgedragen, door de leerkrachten meer in evenwicht kunnen brengen met de andere rollen van PARWO Rollen van PARWO: • De verzamelaar • De onderzoeker • De atleet • De ondernemer • De professor Het concrete projectresultaat wordt dan: - Een plan van aanpak om rekenresultaten op individueel, groepen schoolniveau te verhogen met behulp van PARWO-elementen.

7

http://www.PARWO.nl; Quickscans met de PARWO-matrix. (Bronkopij voor een artikel in het vakblad Volgens Bartjens); 5 oktober 2011; 16:59.

11

3.3 Probleemstelling en onderzoeksvraag 3.3.1 Waarom wil basisschool Het Palet dit onderzoek?

Basisschool Het Palet heeft vorig schooljaar (2010/2011) een onderzoek laten verrichten door Annelies Swarts. Zij heeft onderzocht welke elementen van het directe instructiemodel onderbelicht waren bij het geven van de rekenlessen door leerkrachten op basisschool Het Palet. Dit onderzoek was geïnitieerd omdat het rekenniveau volgens de onderwijsinspectie lager lag dan het landelijk gemiddelde. Annelies Swarts ging daarom in op de didactische rol van de leerkracht. Welke krachten en welke ontwikkelpunten vertoonden de leerkrachten op het gebied van rekenlessen geven met het activerende directe instructiemodel? Uit dit onderzoek kwam naar voren dat bepaalde punten van het directe instructiemodel te weinig voorkwamen zoals: doel van de les aangeven, differentiëren tijdens een instructieles, het gebruik van materialen tijdens de instructie, gebruik van materialen tijdens de begeleide inoefening, samenwerkend leren, controleren of het lesdoel is bereikt, laten weten dat hun werk gecontroleerd wordt, de les in een reeks plaatsen, de leerlingen elkaar uitleg geven en het proces bespreken. (Natuurlijk waren deze gegevens specifieker per bouw, maar hiervoor verwijs ik naar het onderzoek van Annelies Swarts: Toepassing van het activerende directe instructiemodel tijdens de instructielessen van rekenen.) Omdat Annelies Swarts inging op de rol van de leerkracht in verband met het directe instructiemodel, wil Het Palet nu onderzoeken ingaan op de rol van de leerling. Hoe zit het met het drijfvermogen bij leerlingen? Hoe kan daar op ingespeeld worden met de PARWOdidactiek?

Rol van de leerkracht * directe instructiemodel * PARWO?

Rol van de leerling * Intrinsieke leermotivatie *Inzicht *Drijfvermogen

Ook betrokkenheid, de intrinsieke motivatie van leerlingen is belangrijk. Tijdens de rekenles moet een intrinsieke leermotivatie worden gecreëerd om goede rekenopbrengsten te verkrijgen. Maar hoe wek je die intrinsieke leermotivatie op bij leerlingen? En hoe doe je dat met een PARWO-manier van denken? Ook de maatschappij verwacht een basiskwalificatie op het gebied van rekenen van basisscholen in de vorm van referentieniveaus die opgesteld zijn in opdracht van het ministerie van OC&W. Bij die referentieniveaus wordt ook een bepaalde mate van inzicht verwacht. En voor die individuen die al een stap verder zijn met rekenen weer méér inzicht, zogenaamde streefniveaus. Leerkrachten moeten die niveaus kunnen aanbieden en tussen die niveaus kunnen differentiëren. (Voor meer informatie over referentieniveaus: zie 12

theoretisch kader.) Hoe kun je dan met de PARWO-didactiek inzicht/drijfvermogen creëren in je klas? En hoe creëer je dan draagvlak bij collega’s voor dit fenomeen? Daar wil dit onderzoek aan bijdragen. 3.3.2 Hoe past het onderzoek bij de visie van de school?

Volgens de visie van Het Palet, letten zij op de verschillen in ontwikkeling van kinderen, verschillen in begaafdheid, belangstelling en motivatie. In de aanpak van de organisatie van hun onderwijs hebben zij voortdurend oog voor die verschillen tussen kinderen.8 Ook stichting Signum wil dat grenzen worden verlegd, dat kinderen worden uitgedaagd en dat kinderen elkaar uitdagen. Maak ze leergieriger. Signum gaat daarbij uit van de visie, dat ieder kind van nature in staat en geneigd is tot leren. “Leren is niet passief maar actief (het kind leert zelf).” 9 Rekenen geleerd krijgen met PARWO houdt in dat kinderen zelf (wiskundige) patronen en oplossingsstrategieën gaan ondervinden en doorgronden en dit ook delen met en verdedigen t.o.v. hun klasgenoten. Er wordt dus uitgedaagd. Dit houdt in dat kinderen zelf actief leren en dat er gewerkt wordt met oog voor verschillen tussen kinderen. Daarbij nog de letterlijke overgenomen uitspraak: “Gecijferdheidsonderwijs is per definitie actief.”10 (Moerlands, 2009) Dit onderzoek past dus zeer zeker in de visie van de school en de stichting waarbij zij is aangesloten. 3.3.3 De probleemstelling:

De onderzoeksgroep onderzoekt hoe leerkrachten n.a.v. de PARWO Quickscan, de PARWOdidactiek kunnen inzetten. Zien de leerkrachten, die deze didactiek tijdens dit onderzoek moeten toepassen, dat de intrinsieke leermotivatie wordt aangesproken, wat weer een groter leerrendement oplevert? Dit wordt onderzocht omdat de school wil weten hoe het rekeninzicht bij leerlingen vergroot kan worden. Ze willen namelijk bereiken dat leerlingen voldoen aan de referentie- en eventuele streefniveaus van rekenen. Dit zorgt er namelijk voor dat de leerlingen hun wiskundige en rekenkundige inzichten kunnen toepassen en ontplooien in hun toekomstige schoolloopbaan en maatschappelijke ontwikkeling.

8

Schoolgids Basisschool Het Palet, schooljaar 2011-2012, blz. 9. Strategisch beleidsplan 2009-2013: Grenzen verleggen. 10 Moerlands, F. & Straaten, van der. H. (2009). Passend reken-/wiskundeonderwijs voor alle leerlingen. Binnengehaald 9 november 2011 van http://www.parwo.yurls.net/nl/page 9

13

3.3.4 De onderzoeksvraag met bijbehorende deelvragen:

Hoe kunnen leerkrachten van basisschool Het Palet n.a.v. de PARWO-Quickscan, PARWO didactiek inzetten om het inzicht en de betrokkenheid van leerlingen van groep 7 op het domein "grote getallen/ kommagetallen" te vergroten? • • • • • • • • •

Wat is de visie van basisschool Het Palet op het gebied van rekendidactiek? Welke rekenmethode gebruikt basisschool Het Palet nu en welke didactische visie heeft die rekenmethode? Wat is de PARWO-Quickscan? Hoe zet je de PARWO-Quickscan op de juiste manier in? Wat houdt PARWO-didactiek in? Wat verstaat men onder betrokkenheid? Wat verstaat de literatuur onder rekeninzicht? Wat houdt het gehele domein van “grote getallen/kommagetallen” in? Wat moeten leerlingen van groep 7 kennen en kunnen van het domein: “grote getallen/kommagetallen”?

14

4. Theoretisch kader 4.1 Betrokkenheid is essentieel voor leren Er zijn meerdere onderzoeken verricht om te bewijzen dat betrokkenheid van leerlingen zorgt voor betere leerprestaties. Als je leerlingen intrinsiek kunt motiveren is er meer leerrendement te behalen. Dit eerste hoofdstuk beschrijft wat betrokkenheid is en hoe je daar als leerkracht voor kan zorgen. Synthese onderzoek Bloom, 1976

Fredercick, 1980 Lysakowski en Walberg, 1982 Walberg 1982

Focus Algemene effecten van betrokkenheid Algemene effecten van betrokkenheid Algemene effecten van betrokkenheid Algemene effecten van betrokkenheid

Aantal effectgroottes 28

Gemiddelde effectgrootte 0,75

Percentiele toename 27

20

0,82

29

22

0,88

31

10

0,88

31

Figuur 4 Onderzoeksresultaten met betrekking tot betrokkenheid en prestaties.11

Bovenstaande figuur is een samenvatting van een aantal onderzoeksbevindingen met betrekking tot betrokkenheid en prestaties. Het laat zien dat de verschillende onderzoekers een percentiele toename zien van effecten van betrokkenheid. Maar wat houdt betrokkenheid nu precies in? Robert Marzano haalt onderzoeker Reeve aan: “Betrokkenheid behelst taakgericht gedrag, maar het legt tevens de nadruk op de centrale rol van emotie, cognitie, en inspraakmogelijkheden van de leerlingen… Wanneer betrokkenheid gekenmerkt wordt door het complete scala van taakgericht gedrag, positieve emoties, aangeleerde cognities en persoonlijke inspraak, fungeert het als de motor voor het leren en de ontwikkeling.” Betrokkenheid is volgens Marzano dat de leerlingen de onderwijsactiviteiten tijdens de les aandachtig volgen. Hoewel de dynamiek van factoren volgens Marzano ook heel complex is, heeft hij aan de hand van de onderzoekers Pashler en Styles, die onderzoek gedaan hebben naar betrokkenheid, de volgende vijf domeinen naar boven gehaald waarop leraren de betrokkenheid van leerlingen kunnen verhogen: • • •

Hoog energieniveau Ontbrekende informatie Self-system (het zelfsysteem)

11

Marzano, R.J, (2011) Hoe krijg ik betrokken leerlingen? In (F. Coert, V. Zaal en J. Maarschaalkerweerd, A. Boin, K. de Jong, D. Kopmels, A.M. Dogger-Stigter. De kunst en wetenschap van het lesgeven. Een evidence-based denkkader voor goed, opbrengstgericht onderwijs. Tien vragen (en antwoorden) om uw lessen sterker te maken, (blz. 146-171). Vlissingen: Bazalt.

15

• •

Lichte druk Milde geschillen en competitie.

Hoog energieniveau als prikkel voor betrokkenheid Volgens Marzano bewijzen theorieën en onderzoeken dat het logisch is dat leerlingen op een bepaald energieniveau moeten zitten om te kunnen opletten. De volgende drie punten kunnen dit ondersteunen. 1. Lichaamsbeweging 2. Tempo in de les. 3. Enthousiasme en passie van de leerkracht. Lichaamsbeweging Hier haalt Marzano de onderzoekers, Dwyer, Blizzard & Dean en Jensen aan. ‘ Zuurstof is essentieel voor het functioneren van de hersenen: bij een betere doorbloeding neemt de hoeveelheid zuurstof die naar de hersenen vervoerd wordt toe.’ (Dwyer, Blizzard en Dean) Jensen merkt op: “Het is opmerkelijk dat beweging en leren in hetzelfde deel van onze hersenen wordt verwerkt.” Rekenlestip: Probeer je rekenles dus actief te maken of voeg momenten voor activiteit toe in je les. Als kinderen mogen lopen om bijvoorbeeld te overleggen of om iets uit te zoeken, laat dat dan toe. Tempo in de les Met tempo is het vooral belangrijk dat de overgang van de ene activiteit naar de andere soepel verloopt en niet te traag. Anders geeft dat te weinig prikkels om de aandacht van de leerlingen te wekken. (Marzano, 2011) Bij een effectieve overgang kunnen leerlingen doorgaans snel inspelen op korte signalen of tekens die ze geleerd en geoefend hebben. (Marzano, 2011) Rekenlestip: Zodra je ziet dat de kinderen hun aandacht er niet meer bij kunnen houden schakel je over naar het volgende onderdeel van je rekenles. Enthousiasme en passie van de leerkracht Er zijn volgens de onderzoeker Rosenshine positieve associaties tussen het enthousiasme van de leraar en de leerlingenprestaties. Dit komt volgens diezelfde onderzoeker “omdat geanimeerd gedrag het aandachtsveld van de leerlingen prikkelt.” (Marzano, 2011) Rekenlestips: Draag rekenen met enthousiasme over. Geef eigen redenen aan waarom een onderwerp interessant, belangwekkend of nuttig kan zijn. Ook is het leuk om opmerkelijke informatie of weetjes te vertellen die met het onderwerp te maken hebben. Dit wekt interesse. Bijvoorbeeld: Een mier kan 50 keer zijn eigen gewicht tillen of mensen zoeken gemiddeld een jaar van hun leven naar spullen die ze kwijt zijn.

16

Ontbrekende informatie als prikkel voor betrokkenheid “Een mogelijke verklaring voor onze interesse in puzzels en spelletjes is dat ze onze nieuwsgierigheid prikkelen en ze een gevoel van verwachting creëren.” (Marzano, 2011) Daarna haalt Marzano, Jensen aan: “Nieuwsgierigheid en verwachting behoren tot een ‘hongerige’ staat, omdat ze de mentale honger prikkelen.” Jensen zou volgens Marzano bewijzen dat het stimuleren van deze honger de aandacht prikkelt. De mens heeft de neiging de ‘lege vakjes in te vullen’ wanneer hij onvolledige informatie krijgt voorgeschoteld.” (Marzano,2011) Dan haalt Marzano Weiner aan: “Doelzoekende systemen zoals de mens trachten altijd het verschil te verkleinen tussen wat zij voorspellen dat zal gebeuren en wat werkelijk gebeurt.“ Rekenlestip: Laat kinderen zelf onderzoeker en verkenner zijn. Frustreer ze liefdevol met een vraag waar ze niet zomaar een kant-en-klaar antwoord voor hebben. Geef hen hypotheses en laat hen de voorspelling geven op die hypothese. Maak ze nieuwsgierig! Self-system (het zelfsysteem) Het systeem dat bepaalt waar je besluit aandacht aan te besteden heet: het zelfsysteem. Je hebt daarin twee categorieën: het ‘mij-zelf’ en het ‘ik-zelf’. Het ‘mij-zelf’ is meer gericht op specifieke situaties. Een voorbeeld kan zijn dat vanuit zo’n mij perspectief een leerling een zeer laag beeld kan hebben van zijn vermogen om goed te presteren in een wiskundeles. De onderwerpen die in een wiskundeles behandeld worden zullen deze persoon niet direct aanspreken. Het ‘ik-zelf’ is wat algemener en betreft alle elementen die iemand belangrijk vindt. “Alles wat beschouwd wordt als behorend tot het ‘ik-zelf’, zal onze directe belangstelling hebben.” (Marzano, 2011) Rekenlestip: Kinderen dus aanspreken op wat zij belangrijk vinden! Zoek die elementen en verwerk die in jouw rekenles! Laat kinderen hun eigen ervaringen delen die te maken hebben met dit rekenonderwerp. Laat ze associaties zoeken met hun eigen leven en laat hen dit vertellen. Lichte druk Een lichte druk onder de juiste omstandigheden kan een positieve invloed op het leren hebben. Dit komt omdat onder lichte druk de aandacht naar de oorzaak daarvan wordt ‘gedwongen’. Als de druk echter te zwaar wordt of te lang aanhoudt, wordt het denken en het leren belemmerd. Let dus op de intensiteit en de duur van de activiteit. (Marzano, 2011) Rekenlestips: - Geef leerlingen minstens drie seconden de tijd om de vraag te beantwoorden. Of geef aan dat ze rustig de tijd er voor mogen nemen. Geef dus denktijd. - Als je als leraar veel informatie aan het geven bent, geef dan ook soms pauzemomenten aan de leerlingen om de informatie te verwerken en de gedachten/vragen over de stof te formuleren. - Je kunt zelfs voor een stiltemoment zorgen. Dit kweekt namelijk een gevoel van verwachting bij leerlingen: Wat zal er gebeuren? 17

Milde geschillen en competitie Als het op de juiste manier wordt ingezet, kunnen milde geschillen tot meer betrokkenheid leiden. Marzano verwijst in dit geval naar Jensen. Jensen heeft het over ‘georganiseerde controverse’. Meningsverschillen in een milde vorm, zoals in een gestructureerd debat kunnen het leren bevorderen. Ook een lichte vorm van competitie kan de betrokkenheid stimuleren. Daarbij is het belangrijk dat de verliezer niet in verlegenheid gebracht wordt of als zondebok wordt aangewezen. (Marzano, 2011) Rekenlestip: Verwerk in je rekenles een licht geschil of competitie-element. Bijvoorbeeld: “Hier hoor ik deze oplossing maar jij had toch een geheel andere oplossing? Wie heeft nu gelijk? Laat de leerlingen met argumenten komen en zorg ervoor dat de discussie in goede banen wordt geleid en een lichte discussie/licht debat blijft. 4.2 Hoe is betrokkenheid bij leerlingen te zien? Basisschool Het Palet werkt met het leerlingvolgsysteem Parnassys. Het bedrijf Driestar onderwijsadvies heeft samen met Parnassys het observatie-instrument genaamd Zien ontwikkeld. Zien gebruikt schaalwaarden/observatie-instrumenten om sociaal-emotioneel gedrag van kinderen weer te geven. Zij hebben het dan over: welbevinden en betrokkenheid en daaromheen hangen de begrippen: sociaal initiatief, inlevingsvermogen, impulsbeheersing, sociale flexibiliteit en sociale autonomie.

18

Waar gaat het bij betrokkenheid om volgens Zien? De gerichtheid op een onderwerp, concentratie. Dat is één van de duidelijkste waarneembare signalen van betrokkenheid volgens Zien. “Een kind dat betrokken bezig is, richt de aandacht op een relatief beperkt gebied. Er is een geringe afleidbaarheid en grote mate van persistentie, doorzettingsvermogen.” (Zien, 2012) Dit zijn de kenmerken van betrokkenheid volgens Zien: - Het kind laat de activiteit niet los ook al is er drukte om hem heen; - Intrinsieke motivatie in de activiteit; - Vertekende tijdservaring; - Er komt energie vrij bij het kind; - Het kind ervaart voldoening; - Het kind geeft in mimiek en houding plezier/belangstelling aan; Zien gebruikt daarna schaalwaarden om betrokkenheid (maar ook om andere sociaalemotionele inhouden) te meten:

De schaalwaarden worden door een leerkracht toegekend aan een leerling aan de hand van de volgende vier uitspraken als het gaat om betrokkenheid: Betrokkenheid 1. Heeft plezier in het schoolwerk (de kernvakken!). 2. Gaat geconcentreerd op in het werk op school (kernvakken). 3. Toont belangstelling voor de kernvakken. 4. Toont doorzettingsvermogen bij de kernvakken. Onder deze vier uitspraken liggen kenmerken van betrokkenheid waardoor een leerkracht weet welke schaalwaarde hij moet toekennen voor betrokkenheid bij een leerling. (Voor de onderliggende kenmerken van betrokkenheid: zie bijlage E.) 19

4.3 Betrokkenheid en PARWO-didactiek Kinderen krijgen met de PARWO-didactiek de gelegenheid om het rekenen in het hiervoor genoemde ‘zelfsysteem’ toe te voegen. Daardoor wordt de leerling weer eigenaar van zijn eigen rekenproces. Ze worden uitgedaagd met hypotheses, mogen hun oplossingsstrategieën beargumenteren voor hun klasgenoten, zijn actief aan het onderzoeken en krijgen daar ook de tijd voor. Allemaal elementen die voor betrokkenheid zorgen en dus voor intrinsieke motivatie. Dit zorgt voor een groter leerrendement. Maar hoe zorgt de PARWO-didactiek dan precies voor betrokkenheid? Dat gebeurt door het begeleiden van de leerlingen door een traject van karakters: - De verzamelaar - De onderzoeker - De atleet - De ondernemer - De professor Door bij elk karakter goed stil te staan en daar gerichte aandacht aan te geven hebben leerlingen de juiste ondersteuning om rekeninzicht te verkrijgen. (Voor uitgebreide uitleg karakters van PARWO: zie bijlage.) Er liggen drie fases ten grondslag aan deze karakters12: • Eerste fase: een nieuw thema verkennen • Tweede fase: ontwikkelen van vaardigheden en bouwen aan kracht • Derde fase: vaardigheden in de vingers krijgen Eerste fase: een nieuw thema verkennen Rollen: De verzamelaar en De onderzoeker Volgens de auteurs van het artikel Faseren bij het leren rekenen en wiskunde, zijn er twee soorten vaardigheden in het rekenen te onderscheiden. Het instrumenteel begrijpen en het relationeel begrijpen. Bij het instrumenteel begrijpen, weet je welke stappen je moet volgen om resultaat te krijgen maar je weet eigenlijk niet waarom het nu net die stappen zijn. Bij het relationeel begrijpen weet je juist wel waarom je bepaalde werkwijzen hanteert en kun je ze dus flexibel inzetten. Er kunnen zelfs verbanden worden gelegd die te maken hebben met andere aanpakken. Je weet bij het relationeel begrijpen dus ook waarom je iets doet. (Vermeulen, 2008) Betrokkenheid kan volgens de uitspraken van Marzano gecreëerd worden door kinderen te confronteren met een puzzel waarvan een stukje ontbreekt of onvolledige informatie voor te houden. De rekendidactiek van deze verkennende fase is eigenlijk die puzzel voorhouden: “Kinderen worden in deze fase namelijk geconfronteerd met onzekerheden, verwarring en soms onbegrip. Kinderen moeten uitzoeken wat er bedoeld wordt of hoe iets in elkaar zit.” (Vermeulen, 2008) 12

Vermeulen, W., Moerlands, F. & Wert, P. (2008) Faseren bij het leren van rekenen en wiskunde. JSW 92, 7-11. Binnengehaald 4 februari 2012 van www.parwo.nl

20

Wat betekent dit voor je didactiek? Hoe zorg je in die rekenles voor deze voor kinderen verwarrende maar ook motiverende fase? Ik citeer Vermeulen, Moerlands en Wert: - “Kinderen moeten in ieder geval voldoende tijd en ruimte krijgen om zich te oriënteren en het nieuwe een plaats te kunnen geven aan hun al bestaande kennis. - Het nieuwe moet niet onbegrijpelijk zijn maar ook niet te eenvoudig. (Zorgen voor uitdaging.) - Het onderwerp mag vragen oproepen en verwarring scheppen. Maar er moet ook vertrouwen gewekt worden dat leerlingen niet op het verkeerde been gezet worden. - De leerlingen mogen worden aangemoedigd en gemotiveerd worden door hun leerkracht. - Leerlingen moeten niet het gevoel krijgen dat ze de stof gelijk geheel moeten beheersen. - De leerkracht denkt mee zonder voor te zeggen. - Het juiste materiaal moet voorhanden zijn om de situatie concreet te maken. - Er moet een uitnodigend klassenklimaat heersen. (Veilig en goed ingericht.) - De leerkracht moet dit kunnen en willen begeleiden.” Deze bovenstaande elementen komen ook terug in de theorie van Marzano in het eerste hoofdstuk over betrokkenheid. Leerlingen mogen namelijk een lichte druk ervaren en de tijd krijgen om die druk en verwarring te ervaren. Dat zorgt voor betrokkenheid. Tweede fase: ontwikkelen van vaardigheden en bouwen aan kracht Rollen: De onderzoeker, De atleet, De ondernemer Als de leerstof in eerste instantie begrepen is, is het daarna tijd voor de leerlingen om te ontdekken in welke verschillende situaties de leerstof kan worden gebruikt. Dit zorgt voor versteviging en verzekering van het rekeninzicht. In deze fase is er ook een groei aan zelfvertrouwen. Ook hier koppel ik terug naar het eerste hoofdstuk over betrokkenheid: het zogenaamde ‘zelf-systeem’. Als een leerling ervaringen opdoet die hem sterker maken, groeit dus het zelfvertrouwen maar wordt het ook vele malen interessanter om aan bijvoorbeeld rekenen te werken. Heb je namelijk geen zelfvertrouwen op een bepaald gebied, dan zal het ‘zelf-systeem’ afhaken. “Door allerlei situaties te onderzoeken, ontwikkelen de leerlingen al doende de vaardigheid om tot goede oplossingen te komen.” (Vermeulen, 2008) Wat betekent dit voor je didactiek? Ik citeer Vermeulen, Moerlands en Wert: - “Reik probleemsituaties aan waarin het nieuwe inzicht moet worden gebruikt. - Geef ruimte voor uitproberen maar geef ook bijtijds feedback en voorkom dat leerlingen vastlopen. - Stimuleer het ontwikkelen van handige aanpakken en laat de leerlingen nauwgezet werken. - Observeer, stimuleer en geef suggesties om de kwaliteit te verbeteren.”

21

Derde fase: vaardigheden in de vingers krijgen Rollen: De atleet, De ondernemer, De professor “Wanneer er is geëxperimenteerd en vaardigheid is ontwikkeld, kan de vaardigheid worden geperfectioneerd, verkort en verinnerlijkt door regelmatig oefenen.” (Vermeulen, 2008) In deze fase wordt versnelling bereikt en je kunt altijd teruggrijpen op eerdere vaardigheden en die weer zichtbaar maken. Wat betekent dit voor je didactiek? Ik citeer Vermeulen, Moerlands en Wert: - “Regelmatig, gevarieerd oefenen om te leiden tot flexibiliteit en uitbreiding. - Zorg voor competitiespelletjes en zelfcorrigerend materiaal. Dit stimuleert verkorting en versnelling. - Geef voldoende opdrachten en zelfstandigheid tijdens die opdrachten (autonomie). - Laat de leerlingen weten dat de opgedragen taken, accuraat en vlot ten uitvoer moeten worden gebracht.” Denk hierbij ook weer aan de uitspraken van Marzano om betrokkenheid te stimuleren. Stimuleer lichte competitie maar ook lichte tijdsdruk. De zelfstandigheid van deze fase zorgt weer voor een toegevoegde waarde aan het ‘zelf-systeem.’ Het kind mag immers autonomie ervaren en krijgt daardoor vertrouwen. 4.4 Wat verstaat de literatuur onder rekeninzicht? Een artikel genaamd: Verschil maken van Het Freudenthal Instituut, legt duidelijk uit wat voor perioden van didactische visies wij in Nederland hebben doorlopen op gebied van rekendidactiek. Waar het eerst alleen ging om het goede antwoord en de goede manier van rekenen zijn wij gegroeid naar het willen onderbouwen van rekeninzicht. Hieronder is weergegeven hoe in drie verschillende perioden, het didactisch omgaan met verschillen, is ontwikkeld. Overzicht van de drie perioden13 1 Leren als stapelen van kennis • Leerstof centraal, leerling als object. • Tempodifferentiatie. 2 Leren als mentale activiteit • Leerling actieve rol bij uitbouwen van kennis. • Diagnostisch onderwijzen. 3 Leren als sociale activiteit • Perspectief van de leerling centraal: ervaringen, verwachtingen, gevoelens. • Samenwerkend leren. De eerste periode was het mechanistisch rekenen, waarbij men vooral keek naar de uitkomsten van leerlingen. Er werd niet stilgestaan bij het gedachteproces van een leerling 13

Gravemeijer, K.P.E. & Eerde, van H.A.A. (2004) Verschil maken. Freudenthal instituut. Pag. 13- 27. Binnengehaald 10 februari 2012 van http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/6148.pdf

22

achter de uitkomst van die rekenopgaven. Waren de opgaven en uitkomsten van de leerlingen vaak zeer correct uitgevoerd tijdens deze periode? Het antwoord is ja. Maar hebben de leerlingen begrepen wat ze hebben uitgerekend? Dat was nog maar de vraag. Hoogleraar in de wiskunde en maatschappij Prof. Jan van de Craats vindt echter dat veel basale vaardigheden te veel in het realistische rekenen om worden gezet. Hij heeft ook een pleidooi gehouden over waarom leerlingen van tegenwoordig niet meer kunnen rekenen. Hij vindt dat er soms te veel contexten, prachtige rekenplaatjes, mooie voorbeelden en uitdagende rekenpuzzeltjes worden gegeven in rekenmethoden en in recente didactiek. Hij zou meer focus willen zien op vaardigheden aanleren. Hij is het er niet mee eens dat er eerst moet worden begrepen wat je doet en dat je dan pas gaat oefenen. Craats geeft aan dat door oefening geleidelijk aan steeds meer begrip ontstaat. Dit is volgens hem het proces dat doorlopen moet worden (Craats, 2008): 1. Oriëntering (context, voorbeelden) 2. Oefenen, eerst gemakkelijk, dan iets moeilijker. Geen contexten! 3. Verdieping met contexten en voorbeelden 4. Meer oefeningen, zonder contexten 5. Verdere verdieping, voorbeelden, contexten, . . .

Hij geeft ook aan dat juist fase 1 door scholen veel meer behandeld moet worden met voorbeelden uit de dagelijkse rekenpraktijk. Het oefenen in fase 2 gebeurt volgens hem met meer ‘uitgeklede opgaven’, want contexten zouden te veel afleiden van de essentie. (Craats, 2008) In fase 3 is er weer een verdiepingsfase. De praktijkvoorbeelden en de contexten keren weer terug. Er wordt gekeken naar wat je geleerd hebt en de docent legt opnieuw uit waarom de methode werkt. Dit valt volgens Craats in vruchtbare aarde en zo kan begrip toenemen bij leerlingen. Bij fase 4 en 5 wordt er weer verder uitgediept. Eigenlijk komt dit beeld van Prof. Jan van de Craats erg overeen met de PARWO-didactiek. PARWO pleit er ook voor om juist veel aandacht te besteden aan oriëntatie in de eerste fase (verzamelaar - onderzoeker) PARWO geeft daarnaast ook aan om dit goed te beoefenen en vooral de structuur van het rekenen en de structuur van getallen goed door te krijgen (onderzoeker - atleet). Daarna wordt de kennis pas weer uitgediept (ondernemer, professor). We keren terug naar de perioden van rekendidactiek volgens het artikel van Freudenthal. Bij de tweede periode werd het gedachteproces van de leerling beter bekeken en de leerling werd meer betrokken bij het proces. Er werd vooral beter diagnostisch getoetst. Een valkuil bleef echter dat de leerlingen in niveaugroepen werden ondergebracht en zij zich alleen binnen hun niveaugroep konden ontwikkelen. Er werd echter met het realistische onderwijs gestreefd om verschillen tussen leerlingen in positieve zin uit te buiten om daarmee onnodige verschillen te voorkomen. Dus geen differentiatie naar leerstof maar differentiatie naar niveau van werken. (Gravemeijer, 2004) Volgens Gravemeijer heeft differentiëren naar niveau het volgende kenmerk: 23

“ Kenmerkend hiervoor is om wel voor hetzelfde aanbod te kiezen, maar het onderwijs zo in te richten dat er ruimte is voor oplossingen op verschillende niveaus.” Het gaat er bij PARWO bijvoorbeeld ook om dat je tijdens een rekenaanbod verschillende differentiatievragen klaar hebt liggen om op verschillende niveaus te werken met hetzelfde aanbod. Daar zijn de volgende bouwstenen in een dergelijk aanbod voor nodig: – pedagogisch-didactisch klimaat (betrokkenheid stimuleren); – modellen; – contexten; – bouwstenen. De PARWO-didactiek streeft namelijk ook naar: differentiëren naar niveau van werken binnen een aanbod. Deze didactiek gebruikt namelijk de bovengenoemde bouwstenen. We kunnen dus concluderen dat de PARWO-didactiek elementen bevat van zowel goede eigenschappen van het ‘mechanistisch’ rekenen als van het ‘realistisch rekenen’. 4.5 PARWO-didactiek: Bouwstenen voor een rekenaanbod De PARWO-didactiek hanteert dus vier bouwstenen voor een gedegen rekenaanbod: – Pedagogisch-didactisch klimaat (betrokkenheid stimuleren); – Modellen; – Contexten; – Bouwstenen. Pedagogisch-didactisch klimaat Het met rust doorlopen van alle ‘karakters’ om kinderen de ruimte te geven aan hun onderzoekende houding. 14 “Kritische vragen (van de leerkracht) zorgen ervoor, dat inzichten naar een hoger plan worden getild en elementaire inzichten met zinvolle oefeningen worden geconsolideerd. De leerlingen kunnen zo als jonge onderzoekers de wiskunde herontdekken. In dit proces is het van essentieel belang, dat kinderen de ruimte krijgen uitdrukking te geven aan hun verwarring, aan het niet begrijpen en aan niet zeker weten. Mits goed begeleid door de leerkracht leidt juist die verwarring tot verder op zoek gaan naar hoe het dan wel in elkaar zit.” (Moerlands, 2009)

14

Moerlands, F. & Straaten, van der. H. (2009). Passend reken-/wiskundeonderwijs voor alle leerlingen. Binnengehaald 9 november 2011 van http://www.parwo.yurls.net/nl/page

24

Modellen De analyse van het getalbegrip om te helpen bij de vormgeving van het leerproces. Getallen hebben een uiterlijk (hoe kom je ze tegen), een functie (wat duiden we er mee aan), een inhoud (de waarde) en structuur (hoe is het getal samengesteld).” (Moerlands, 2009)

Contexten “De eerste verkenning speelt zich af op het niveau waar je de echte werkelijkheid tegenkomt. In de laag daarboven zie je modelmaterialen, die inhoud en structuur illustreren. Op het derde niveau zie je getallen in verschillende samenstellingen. De kinderen leren op dit niveau de getallen te combineren, uiteen te leggen en ontwikkelen daarmee breed toepasbare getalrelaties zoals: samenstellen, splitsen, aanvullen, verschil bepalen, wisselen. Het is als het ware van beneden naar boven een abstractieproces.” (Moerlands, 2009)

Figuur 5 Verkregen via Frans Moerlands, PARWO

25

Bouwstenen Zo werkt deze didactiek uiteindelijk aan bouwstenen van inzicht m.b.v. de zone van naaste ontwikkeling:


26

4.6 PARWO-Quickscan Wat is de PARWO-Quickscan? De PARWO Quickscan is een instrument om de cruciale rekenvaardigheden (drijfvermogen) van individuele leerlingen of groepen leerlingen in beeld te brengen. De in het vorige hoofdstuk afgebeelde ijsberg is vertaald naar een matrix van vier lagen.


De groei van drijfvermogen kan in de matrix op twee manieren weergegeven worden. • “In horizontale richting vind je de uitbouw in domein en complexiteit. (Van tellen tot • 10, naar 20, naar 100 tot grote getallen/kommagetallen)15 • In verticale richting vind je de niveauverhoging, waarin op steeds algemenere en abstractere wijze greep op het terrein van wiskundige elementen wordt verkregen.” • (Moerlands, 2008)

Je kunt met de Quickscan per domein (domein tot 10, 20, 100 of grote get allen/kommagetallen) bekijken op welke laag zich drijfvermogen of juist ontbrekend drijfvermogen bevindt. Het an bijvoorbeeld zijn dat een leerling op de vierde formele laag ‘groen’ scoort. Dat houdt in dat deze leerling hier goed op scoort. Maar op de andere lagen daaronder ‘oranje’ en/of ‘rood’ scoort. Dit houdt dan in dat deze leerling het trucje begrijpt maar eigenlijk niet weet waar hij mee bezig is. Andersom kan natuurlijk ook. De leerling kan op laag 1, 2 en 3 ‘groen’ scoren in de domeinen 10, 20, 100 en GK. Maar is nog oranje of rood op laag 4. Dan weet deze leerling wel waar hij mee bezig is, maar moet met de formele opgaven gewoon nog oefenen/automatiseren. Een andere reden kan zijn dat de formele opgaven nog onvoldoende zijn aangeboden. 15

Moerlands, F., Straaten, D. van, Straaten, H. van. (2008), Quickscans met de PARWO-matrix. (Bronkopij voor een artikel in het vakblad volgens Bartjens)

27

Hoe zet je de PARWO-Quickscan in? Het is zeker niet de bedoeling om elk domein van onder naar boven af te werken. Maar om in laag 1 ook al te oriënteren naar tellen tot 20, 100 of zelf met grote getallen en kommagetallen. Bijvoorbeeld: Een kind kan beredeneren dat 7+2, 9 is. Maar doorziet ook al dat 17+2, 19 is. Dit kind is zowel in het domein van 10 als van 20 bezig met inzichtelijk rekenen. Als er goed gewerkt wordt aan drijfvermogen zou dat er zo uitzien:


Maar stel je voor dat het er zo uit zou zien:


28

Dan kan de PARWO-Quickscan laten zien aan welke lagen er gewerkt moet worden of misschien zelfs gerestaureerd moet worden.


Per cel in de Quickscan-matrix zijn competenties beschreven waaraan kinderen kunnen laten zien, dat zij een bepaalde stap in hun ontwikkeling hebben gezet. Het is onmogelijk om voor ieder kind al die stapjes op elk moment te observeren en te registreren. Daarom zijn er per cel Quickscans ontwikkeld om die vaardigheden te meten. Zo krijg je snel en efficiënt in beeld of kinderen rekenvaardigheden beheersen en kennis kunnen toepassen. (Moerlands, 2008) Daarnaast geeft het je als leerkracht aanwijzingen aan welke inzichtelijke vaardigheden er gewerkt moet worden in de rekenles. (Voor individuele kinderen of misschien zelfs voor de gehele klas.) 4.7 Domein “grote getallen/kommagetallen” Bij dit onderzoek is er een rekendomein gekozen om het PARWO-aanbod op te baseren, namelijk: grote getallen/kommagetallen. Dit is gekozen omdat hier ook een Quickscan voor ontwikkeld is (zie vorige hoofdstuk) en dit domein het meest aansluit bij het aanbod in de bovenbouw. De overheid heeft voor rekenen referentieniveaus opgesteld waaraan kinderen aan het eind van het primair onderwijs en het voortgezet onderwijs moeten voldoen. Deze niveaus zijn uitgeschreven voor vier domeinen: • getallen; • verhoudingen; • meten en meetkunde; • verbanden. Elk van deze domeinen is opgebouwd uit de onderdelen: 29

• notatie, taal en betekenis; • met elkaar in verband brengen van getallen en dagelijks spraakgebruik; • gebruiken van de kennis om problemen op te lossen. Van elk onderdeel wordt beschreven: • wat een leerling aan kennis paraat moet hebben. • welke kennis functioneel gebruikt moet worden. • wat een leerling moet weten over de context van de kennis (het waarom). Omdat in het domein Getallen, grote getallen/kommagetallen verwerkt is, wordt deze hieronder beschreven. Voor het uitgebreide referentiekader zie bijlage. De leerlijn Getallen in het kort16: Getallen Hele getallen

Kommagetallen

- Getallen en bewerkingen tot 100

- Kommagetallen verkennen

- Optellen en aftrekken: hoofdrekenen

- Structuur van kommagetallen

- Getallen tot 1000

- Rekenen met kommagetallen

- Vermenigvuldigen en delen: hoofdrekenen

Onderhoud

- Optellen en aftrekken: standaardprocedures

- Rekenvaardigheden onderhouden

- Vermenigvuldigen en delen: standaardprocedures - Schattend rekenen - Grote getallen en het rekensysteem - Uitbreiding getalsysteem - Eigenschappen van bewerkingen - Negatieve getallen Breuken - Breuken: ervaringen vooraf - Breuken: begrip en taalontwikkeling - Gelijkwaardigheid en vergelijken - Samenhang breuken en kommagetallen - Bewerkingen met breuken

16

Binnengehaald 20 december 2011 van http://www.fi.uu.nl/rekenlijn/leerlijnen/

30

4.8 Groep 7 op de leerlijn “grote getallen/kommagetallen” Om de leerlijn van groep 7 in het domein “grote getallen/kommagetallen” te verduidelijken heb ik gebruik gemaakt van de leerlijn zoals die omschreven is in de kerndoelen. “grote getallen/kommagetallen” worden gebruikt met wiskundig inzicht en handelen, in getallen en bewerkingen maar ook in de meet en meetkunde. De informatie komt van www.tule.slo.nl/RekenenWiskunde. Daarnaast leg ik de niveaus van PARWO van Grote Getallen/Kommagetallen zoals die worden weergegeven in de matrix van PARWO. Bron hiervan is: www.parwo.nl/.../POM-5-referentieniveau-matrixcompetenties.pdf Een letterlijk citaat van de site: http://www.parwo.nl/parwoposter/competenties/ “Het SLO heeft een flinke inspanning geleverd om de referentieniveaus van de commissie Meijerink uit te werken naar doelen voor het onderwijs (let wel, het gaat hier om het fundamenteel niveau 1F). Deze doelen herkennen wij ook terug in onze competenties, maar we merken wel op dat veel van de doelen zich bevinden in het domein Grote getallen Kommagetallen (GK) en slechts in algemene zin in de lagen 1 t/m 3 terug te vinden zijn. Je ziet hier hoe we de koppeling met het Fundamenteel niveau 1F hebben gemaakt met onze competenties in de matrix. We laten daarmee zien dat we én de minimum streefdoelen willen behalen én zicht bieden op competenties die de weg daarnaartoe mogelijk maken.” Dit houdt in dat wanneer je aan de slag gaat met de matrix van PARWO - en de daarbij behorende competenties voor rekenen die geformuleerd zijn in die matrix – je ook aan de referentieniveaus van de overheid werkt. Op de volgende bladzijde lees je de koppeling tussen de kerndoelen voor grote getallen/kommagetallen gekoppeld aan de PARWO-competenties grote getallen/kommagetallen (+ eventuele ondersteuning voor grote getallen/kommagetallen vanuit andere domeinen zoals getallen tot 20 of getallen tot 100).

31

WISKUNDIG INZICHT EN HANDELEN Kerndoel 24 De leerlingen leren praktische en formele rekenwiskundige problemen op te lossen en redeneringen helder weer te geven. •

problemen in verband met kommagetallen (bijv. Welk getal is het grootst: 0,446 of 0,45?)

PARWO WISKUNDIG INZICHT EN HANDELEN • Kennen, begrijpen en gebruiken van wiskundetaal, dat wil zeggen begrippen die voorkomen in de rekenen wiskundewereld begrijpen en toepassen, zowel in spreektaal als in wiskundetaal (kerndoel 23) Dit inzicht wordt in de gehele matrix opgebouwd • Kunnen vertalen van een eenvoudige situatie naar een berekening en omgekeerd (kerndoel 24) 20.4.1 vertaalt een concrete situatie naar een optel- of aftreksom (en omgekeerd) • Eenvoudige, praktische en formele wiskundige problemen kunnen oplossen en hierbij een passende redenering geven (kerndoel 24) GK 4.5 heeft een repertoire van handige, op inzicht gebaseerde rekenstrategieën • Uit beschrijvingen in woorden eenvoudige patronen herkennen Is gerelateerd aan structuurverkenning in laag 2 van de matrix Kerndoel 25 De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van rekenen wiskundeproblemen te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen. •

kommagetallen, breuken en verhoudingen, kennis maken met de formele kant van het rekenen (bijv. beredeneren waarom je als je deelt door 100 de komma twee plaatsen naar links mag zetten)

PARWO WISKUNDIG INZICHT EN HANDELEN • Oplossingsmanieren bij rekenproblemen kunnen toelichten en ook oplossingen van anderen kunnen beoordelen (kerndoel 25) Dit inzicht wordt in de gehele matrix opgebouwd

32

GETALLEN EN BEWERKINGEN

Kerndoel 26 De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen. HOEVEELHEDEN, GROOTTES EN HUN RELATIES • het beredeneren van aantallen of grootte uit gegevens, zoals: een winkelier heeft 2,65 kg euromunten. Eén euromunt weegt volgens de bank 7,50 gram. Hoeveel munten zijn dat? Bij natellen blijken het er 355 te zijn. Hoe kun je dat verklaren PARWO GETALLEN EN GETALRELATIES HELE GETALLEN: • Kunnen koppelen van uitspraak en schrijfwijze van getallen GK 1.1 kan grote getallen en kommagetallen correct schrijven / benoemen PARWO GETALLEN EN GETALRELATIES KOMMAGETALLEN: • Koppelen van uitspraak en schrijfwijze van veelvoorkomende eenvoudige kommagetallen GK 1.1 kan grote getallen en kommagetallen correct schrijven / benoemen STRUCTUUR VAN DE TELRIJ EN GETALSTRUCTUUR • tellen tot in miljoenen en miljarden • afronden van getallen; nauwkeurigheid van afronden; nauwkeurigheid van getallen • negatieve getallen (thermometer) • termen om getalgrootte aan te geven: zoals kilo-, mega-, giga-, mili-, en micro• kennis van het talstelsel gebruiken bij het veranderen van maat, zoals bij 150 centimeter is 1,5 meter of bij 10.000 meter is hetzelfde als 10 kilometer PARWO GETALLEN EN GETALRELATIES HELE GETALLEN: • De telrij tot 100.000 'kunnen opzeggen' op basis van de structuur in de telrij en de structuur van getallen GK 2.1 kent de telrij tot 1000 (en verder) • Kunnen doortellen en terugtellen vanaf willekeurige getallen onder ±10.000 met sprongen van 1, 10, 100,1000 GK 2.1 kent de telrij tot 1000 (en verder) • Doortellen en terugtellen met mooie ronde getallen zoals 20, 50, 200, vanaf ronde getallen GK 2.2 kan dooren terugtellen tot 1000 (en verder) met verschillende maten • Betekenis kunnen geven aan getallen door ze te relateren aan toepassingssituaties uit het dagelijks leven, waaronder ook begrip hebben van 'miljoen' en 'miljard'; kunnen denken in orde van grootte van getallen GK 2.3 beschikt over referentiematen, en heeft gevoel voor de orde van grootte van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud 33

•

Kunnen vergelijken en ordenen van getallen onder ±10.000

GK 2.5 vergelijkt / ordent willekeurige getallen op grootte • Getallen tot ±10.000 globaal en precies kunnen plaatsen op een getallenlijn (Het gaat bij globaal plaatsen alleen om heel voor de handliggende afrondingen.) GK 3.2 positioneert op een getallenlijn (komma-)getallen tussen hele (grote) getallen GK 3.3 kan meetwaarden aflezen INZICHT IN DE BEWERKINGEN MET GEHELE GETALLEN Uitbreiding van betekenis van de basisbewerkingen in: • allerlei praktische contexten • het rekenen met kommagetallen • het meten en rekenen met maten PARWO GETALLEN EN GETALRELATIES HELE GETALLEN: • Weten hoe ons tientallig positiestelsel is opgebouwd en de betekenis en waarde van cijfers en hun plaats in getallen kennen en toepassen in contexten (samenstellen en splitsen in duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden) GK 3.1 kan getallen decimaal uiteen leggen en opbouwen GK 3.4 kent de onderlinge relaties van de (dagelijks gebruikte) maten GK 3.5 betaalt, wisselt en geeft geld terug; bij koop- en verkoopsituaties met hele euro's en centen GK 3.6 kent het positie stelsel en het metriek stelsel en doorziet de relatie daartussen PARWO GETALLEN EN GETALRELATIES KOMMAGETALLEN: • Weten hoe ons decimale positiestelsel is opgebouwd met hele getallen en kommagetallen en de betekenis en waarde van cijfers en hun plaats in kommagetallen kennen GK 3.6 kent het positie stelsel en het metriek stelsel en doorziet de relatie daartussen KOMMAGETALLEN,HUN STRUCTUUR EN HUN RELATIES • redeneren over nauwkeurigheid van kommagetallen (maatgetallen), zoals bij: - waarom staat op een melkpak soms 1000 ml e en soms 1l e? - wat betekent 1,65 miljoen en waarom schrijft men niet 1.650.000? • verband tussen positiewaarden van cijfers in kommagetallen en het metriek stelsel • samengestelde bewerkingen • rekenregels, zoals bij het werken met haakjes en de volgorde van bewerkingen PARWO GETALLEN EN GETALRELATIES KOMMAGETALLEN: • Elementaire kommagetallen kunnen plaatsen op een getallenlijn, zowel precies als globaal (kale getallenlijn of maatlijn) GK 3.3 kan meetwaarden aflezen GK 3.2 positioneert op een getallenlijn kommagetallen tussen hele getallen • Elementaire kommagetallen kunnen vergelijken en ordenen GK 2.5 vergelijkt / ordent willekeurige getallen op grootte 34

PERCENTAGES • percentage als kommagetal: 75% = 0,75

Kerndoel 28 De leerlingen leren schattend tellen en rekenen. S C H A T T E N D R E K E N E N EN R E D E N E R E N • kunnen afronden; eerst met hele getallen later ook met kommagetallen • redeneren met orden van grootte (bijv. 1.500.000 euro of € 1,5 miljoen, nadruk op 1,5 miljoen als 1500 duizenden of op één en een half miljoen) • kritisch analyseren van en betekenis geven aan berekeningen met geschatte of afgeronde getallen; zijn de juiste keuzes gemaakt en correcte conclusies getrokken? • schatten bij bewerkingen met kommagetallen, waarbij de positie van de komma en het effect van de cijfers achter de komma worden herkend. Dit geldt voor zowel benoemde als onbenoemde kommagetallen • schatten van de uitkomsten van cijfersommen bij hele en vooral bij kommagetallen PARWO GETALLEN EN GETALRELATIES HELE GETALLEN: • Kunnen afronden van getallen tot ±10.000, waarbij het doel (en eventueel context) bepaalt wat de nauwkeurigheid van die afronding is algemeen in GK3: - is op basis van kennis van getalrelaties in staat afrondingen te maken - veronderstelt ook gevoel voor functionaliteit van getallen; GK1 PARWO GETALLEN EN GETALRELATIES KOMMAGETALLEN: • Kunnen afronden van eenvoudige kommagetallen binnen contexten die zich daartoe lenen algemeen in GK3: - is op basis van kennis van getalrelaties in staat afrondingen te maken - veronderstelt ook gevoel voor functionaliteit van getallen ; GK1 PARWO HOOFDREKENEN, HANDIG REKENEN: OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN, DELEN (Kladblaadje is toegestaan) • Globaal kunnen optellen en aftrekken (schattend rekenen) als controle voor rekenen op de rekenmachine of als een globaal antwoord voldoet in de context met getallen die zich hiervoor lenen. Notaties op papier zijn toegestaan. GK 4.6 schattend rekenen; kan antwoorden van optel- en aftreksommen benaderen met een nauwkeurigheid van 20% Dit geldt natuurlijk ook voor de eerdere domeinen PARWO BEWERKINGEN: OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN, DELEN, (Notities toegestaan) 35

Globaal schattend kunnen optellen/ aftrekken als controle voor rekenen op de rekenmachine of als een globaal antwoord voldoet in de context met getallen die zich hiervoor lenen. Notaties op papier zijn toegestaan. GK 4.6 schattend rekenen; kan antwoorden van optel- en aftreksommen benaderen met een nauwkeurigheid van 20% Dit geldt natuurlijk ook voor de eerdere domeinen •

Kerndoel 29 De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. HANDIG REKENEN • toepassen van de strategieën op grotere getallen en kommagetallen; zowel met kale getallen als in contextsituaties • het handig kiezen voor het onderling omzetten van breuken, kommagetallen, percentages en verhoudingen, ook in situaties waarin deze begrippen door elkaar voorkomen (bijv. van de 1500 ondervraagden bleek 25% voor de nieuwe snelweg te zijn, 2/5 deel was tegen, en de rest had geen mening) Voorbeelden van dergelijke omzettingen zijn: - 0,75 = 3/4 - 1/3 ≈ 0,33 - 3/4 deel is '3 op 4' of 75% - 20% = 1/5 deel - 48% = 50% - 2% dus bij 48% van € 250,00 kun je denken aan 'de helft min 2 x € 2,50' (€ 125,- - € 5,- = € 120,-) PARWO GETALLEN EN GETALRELATIES HELE GETALLEN: • Aanvullen tot (en splitsen van) ronde getallen op basis van het tientallig stelsel (100, 500, 1000, 10.000) Zoals in lagere domeinen beschreven rond samenstellen / aanvullen In domein GK met grotere getallen en kommagetallen PARWO BASISOPERATIES: SPLITSEN, OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN, DELEN, AUTOMATISEREN EN MEMORISEREN (Zonder kladblaadje) • Uit het hoofd berekenen van optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen naar analogie (met beperkt aantal nullen) GK 4.2 lost eenvoudige sommen met grote getallen uit het hoofd op PARWO HOOFDREKENEN, HANDIG REKENEN: OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN, DELEN (Kladblaadje is toegestaan) • Handig en efficiënt optellen waarbij een doelmatige oplossingsmanier wordt gekozen op basis van inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van getallen. Dit met eenvoudige getallen die zich specifiek voor de oplossingsstrategieën lenen: verwisselen, hergroeperen, compenseren, rijgen, splitsen zonder rekenmachine, notaties op papier zijn toegestaan. 36

GK 4.5 heeft een repertoire van handige, op inzicht gebaseerde rekenstrategieën Dit geldt natuurlijk ook voor de eerdere domeinen • Handig, efficiënt aftrekken waarbij een doelmatige oplossingsmanier wordt gekozen op basis van inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van getallen. Dit met eenvoudige getallen die zich specifiek voor de oplossingsstrategieën lenen: hergroeperen, hergroeperen en samennemen, verschil bepalen/aanvullen, compenseren, rijgen Zonder rekenmachine, notaties op papier zijn toegestaan. GK 4.5 heeft een repertoire van handige, op inzicht gebaseerde rekenstrategieën Dit geldt natuurlijk ook voor de eerdere domeinen Kerndoel 30 De leerlingen leren schriftelijk optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens meer of minder verkorte standaardprocedures. OPTELLEN • verkenning en inoefening van de cijferprocedure voor het optellen met kommagetallen vanuit het inzicht in en de vaardigheid met het cijferend optellen van hele getallen AFTREKKEN • verder oefenen van de cijferprocedure voor het aftrekken van hele getallen • verkennen en inoefenen van de cijferprocedure voor het aftrekken van kommagetallen, op basis van de verworven inzichten en vaardigheden bij het cijferend aftrekken met hele getallen PARWO BEWERKINGEN: OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN, DELEN, (Notities toegestaan) • Kunnen optellen en aftrekken (waaronder ook verschil bepalen) met getallen onder ±1000. (Procedures kunnen zijn: rijgen, splitsen, handig rekenen, kolomsgewijs rekenen, cijferen) Zonder rekenmachine, notaties op papier zijn toegestaan. GK 4.4 rekent optel- en aftreksommen met kommagetallen uit m.b.v. een kladblaadje GK 4.3 rekent optel- en aftreksommen met hele getallen uit m.b.v. een kladblaadje • Kunnen optellen en aftrekken (waaronder ook verschil bepalen) van grotere getallen boven ±1000 en kommagetallen. (Procedures kunnen zijn: rijgen, splitsen, hoofdrekenen, cijferen of oplossen met de rekenmachine) GK 4.4 rekent optel- en aftreksommen met kommagetallen uit m.b.v. een kladblaadje GK 4.3 rekent optel- en aftreksommen met hele getallen uit m.b.v. een kladblaadje Kerndoel 31 De leerlingen leren de rekenmachine met inzicht te gebruiken. HELE GETALLENENBASISBEWERKINGEN • kennismaking met de machine, in het bijzonder wat betreft de wijze waarop je getallen in het venster invoert, en bewerkingen uitvoert. De aandacht gaat hierbij met name ook uit naar afwijkingen in het symboolgebruik, zoals bij de 37

•

bewerking delen en de puntnotatie van kommagetallen onderzoekjes naar het in het venster zetten van hele grote getallen, aandacht voor het feit dat de machine een afwijkende notatie gebruikt in de zin dat de duizendtallen en miljoentallen veelal niet door een punt of een spatie van elkaar gescheiden zijn zoals dat 'op papier' veelal gebeurt

B R E U K E N, K O M M A G E T A L L E N, P R O C E N T E N ENVERHOUDINGEN • verkenning van een algemene procedure voor het omzetten van een breuk in een kommagetal door de breuk als deling te interpreteren en deze deling op de rekenmachine uit te voeren

PARWO REKENMACHINE: • Kunnen uitvoeren van eenvoudige bewerkingen met hele getallen en kommagetallen op de rekenmachine met behulp van de meest elementaire operatietoetsen (+, -, x, :, =) GK 4.1 rekent m.b.v. een rekenmachine optel- en aftreksommen uit (inclusief kommagetallen) • Kritisch kunnen controleren van uit te voeren/uitgevoerde bewerkingen op de rekenmachine op leesfouten en intypfouten, eventueel via schatten GK 4.6 schattend rekenen; kan antwoorden van optel- en aftreksommen benaderen met een nauwkeurigheid van 20% • Weten of reeks van bewerkingen wel of niet achter elkaar mag worden uitgevoerd op de rekenmachine; correct kunnen uitvoeren van deelhandelingen en samenvoegen van deeluitkomsten GK 4.5 heeft een repertoire van handige, op inzicht gebaseerde rekenstrategieën

38

METEN EN MEETKUNDE

Kerndoel 33 De leerlingen leren meten en leren te rekenen met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en temperatuur. LENGTE EN OMTREK • oefenen in het kaal herleiden op basis van inzicht in de onderlinge relaties: 2 meter is .... cm, 0,5 dm = ... cm. 350 cm is 3,5 meter. Het gaat hier uitsluitend om omzettingen van veel voorkomende maten. PARWO METEN: LENGTE EN OMTREK • Kunnen meten en vaststellen van lengtes met meetinstrumenten als liniaal, meetlat, rolmaat, huishoudcentimeter, kilometerteller, enzovoort en uitdrukken in meters, centimeters en/of millimeters en omgekeerd: kunnen afpassen/ aangeven van een bepaalde lengte in meters, centimeters en/of millimeters door gebruik te maken van passende meetinstrumenten GK 1.3 is in staat om met basale meetinstrumenten voorwerpen te meten • Kunnen afpassen van lengtes met behulp van een eenvoudige schaallijn en werkelijke afstanden bepalen 100.3.1 meet lengtes met een centimeter en kan getallen t.o.v. elkaar positioneren Dit geldt ook al voor de lagere domeinen • Kennen van de lengtematen kilometer (km) meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm) en millimeter (mm), de samenhang tussen deze maten zien in betekenisvolle situaties; en hiermee veelvoorkomende herleidingen kunnen maken - van km naar m; - van m naar dm, cm en mm; - van dm naar m en cm; - van cm naar m en mm - van mm naar cm, in betekenisvolle contexten, ook met daarbij behorende kommagetallen; zowel precies als via afronden GK 2.5 vergelijkt / ordent willekeurige getallen op grootte GK 2.4 kan de eenheden per grootheid rubriceren en ordenen GK 2.3 beschikt over referentiematen, en heeft gevoel voor de orde van grootte van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud GK 2.2 kan dooren terugtellen tot 1000 (en verder) met verschillende maten • Vergelijken en ordenen van lengtes op basis van schatten of van gegeven aanduidingen 10.2.2 kan hoeveelheden vergelijken en ordenen 20.2.2 kan aantallen tot 20 vergelijken en ordenen GK 2.5 vergelijkt / ordent willekeurige getallen op grootte 100.2.5 zet getallen systematisch in bij het ordenen en coderen van voorwerpen • Kennen van de begrippen lengte, breedte en omtrek en de omtrek globaal en precies kunnen bepalen van figuren, op basis van meten, schatten en rekenen Deze begrippen worden integraal ontwikkeld in de ontwikkeling van getalbegrip, m.n. in laag 1 (en 2) • Kunnen berekenen van de omtrek van rechthoekige figuren door gebruik te maken van de kennis dat de omtrek 2x de lengte en 2x de breedte is (geen formule) of lengte+lengte+breedte+breedte of varianten hierop (dit met eenvoudige getallen) Dit komt eigenlijk neer op het begrip van omtrek en het kunnen optellen van 2 getalparen. Daarmee past het vooral bij getalrelaties in laag 3 39

Kennen en notie hebben van enkele veel voorkomende referentiematen bij lengte en afstanden en kunnen kiezen van de juiste maat in de gegeven context GK 2.3 beschikt over referentiematen, en heeft gevoel voor de orde van grootte van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud •

OPPERVLAKTE • verkennen van de onderlinge relaties tussen oppervlaktematen binnen het metriek stelsel en eenvoudige, veel voorkomende omzettingen kunnen maken (1 m2 is ..... dm2 of .... cm2 ) PARWO METEN: OPPERVLAKTE • Kennen van het begrip oppervlakte en weten dat oppervlakte uitgedrukt wordt in 'vierkante' km, dm, cm en mm en wordt genoteerd als km2, m2, dm2, cm2, mm2 • Oppervlakten globaal en precies kunnen vergelijken, ordenen en berekenen door gebruik te maken van een natuurlijke maat (rooster, voorwerpen) • Kunnen berekenen van de oppervlakte van rechthoekige figuren door gebruik te maken van informele strategieën en van de kennis dat de oppervlakte de lengte x de breedte is (dit met eenvoudige getallen, geen abstracte formule) • Eenvoudige problemen waarin oppervlakte voorkomt, oplossen • Kennen en notie hebben van enkele veelvoorkomende referentiematen bij oppervlakte en kunnen kiezen van de juiste maat in de gegeven context INHOUD • verkenning van de zuiver decimale structuur van het geheel van deze twee stelsels; introductie van de eigenlijke betekenis van de termen 'deci' (tiende), 'centi' (honderdste) en 'milli' (duizendste) PARWO METEN: INHOUD • Inhouden kunnen vergelijken en ordenen van weinig naar veel op basis van - de vorm en grootte van verpakkingen, - overgieten, passen en meten, al dan niet met behulp van een maatbeker - de gegevens op de verpakkingen GK 1.5 weet hoe grote getallen en kommagetallen gebruikt worden GK 1.2 doorziet dat de waarde van een getal mede wordt bepaald door de maat die erachter staat • Kunnen aflezen van de inhoud van voorwerpen waarop een maatverdeling staat, zoals maatbekers en kunnen afpassen van een gewenste hoeveelheid/inhoud (zoals in recepten) met behulp van een maatbeker GK 1.3 is in staat om met basale meetinstrumenten voorwerpen te meten • Aantal verpakkingen in een grote verpakking bepalen door gebruik te maken van tellen en van begrip van de relatie tussen de inhoud, de lengte, de hoogte en de breedte van een verpakking • Weten dat inhouden van verpakkingen ook in gewicht kunnen worden uitgedrukt en dat inhouden zowel vloeibaar als vast kunnen zijn

40

GK 1.4 kent de (dagelijks gebruikte) eenheden van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud • Kennen van de begrippen liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) en milliliter (ml), de samenhang hiertussen kennen in betekenisvolle situaties en veelvoorkomende herleidingen kunnen maken: - van l naar dl, cl en ml; - van cl naar ml en l; - van ml naar cl en l, waarbij het gaat om betekenisvolle situaties (recepten, verpakkingen) GK 3.6 kent het positie stelsel en het metriek stelsel en doorziet de relatie daartussen GK 3.4 kent de onderlinge relaties van de (dagelijks gebruikte) maten • Weten dat inhouden ook uitgedrukt worden in kubieke maten, zoals m3, dm3 en cm3 Weten hoe groot de inhoud van 1 m3, 1 dm3 en 1 cm3 is en hoe ze zich tot elkaar verhouden • Kennen en notie hebben van enkele veelvoorkomende referentiematen bij inhouden en kunnen kiezen van de juiste maat in de gegeven context GK 2.3 beschikt over referentiematen, en heeft gevoel voor de orde van grootte van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud GEWICHT • bewustwording welke eenheid (ton, kilogram, gram, milligram) in welke context het meest geëigend is en desgewenst daarbij omzettingen maken PARWO METEN: GEWICHT • Vaststellen (globaal en precies) van het gewicht van voorwerpen/mensen met behulp van het juiste weeginstrument (personenweegschaal; keukenweegschaal, winkelweegschaal), inclusief het interpreteren van de cijfers achter de komma. Kunnen afwegen van een gewenste hoeveelheid GK 1.4 kent de (dagelijks gebruikte) eenheden van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud GK 1.3 is in staat om met basale meetinstrumenten voorwerpen te meten GK 1.2 doorziet dat de waarde van een getal mede wordt bepaald door de maat die erachter staat • Kunnen vergelijken en ordenen van voorwerpen naar gewicht, door te schatten op basis van met de hand wegen, met een instrument wegen, aflezen van gegevens op de verpakking GK 2.5 vergelijkt / ordent willekeurige getallen op grootte GK 2.4 kan de eenheden per grootheid rubriceren en ordenen GK 2.3 beschikt over referentiematen, en heeft gevoel voor de orde van grootte van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud • Kennen van de begrippen ton, kilogram, gram en milligram, kennen van de samenhang tussen deze maten in betekenisvolle situaties; en hiermee veelvoorkomende herleidingen kunnen maken:- van ton naar kilogram; - van kilogram naar gram (en in beperkte mate omgekeerd); - van gram naar milligram GK 3.6 kent het positie stelsel en het metriek stelsel en doorziet de relatie daartussen GK 3.4 kent de onderlinge relaties van de (dagelijks gebruikte) maten • Kennen en notie hebben van enkele veelvoorkomende referentiematen bij gewicht en kunnen kiezen van de juiste maat in de gegeven context GK 2.3 beschikt over referentiematen, en heeft gevoel voor de orde van grootte van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud

41

GELD • • • • • • •

kennismaken met buitenlandse valuta (dollar, yen) en het begrip 'koers' rekenen met geld in combinatie met andere grootheden zoals gewicht, lengte, oppervlakte (prijs per kg, per strekkende meter, per vierkante meter) verkennen van betalingsverkeer (overmaken, afschriften, sparen, lenen) zakgeld, besteding van zakgeld, plannen, budgetteren ontwikkeling van kritische blik op reclame (abonnementen op mobieltjes, leningen, sparen, betalen in termijnen) toepassen van geldrekenen: winst, rente, korting (met name met percentages) vergelijken van aanbiedingen (rekenen met geld in verhoudingssituaties)

PARWO GELD: • Weten welke eurobiljetten en euromunten er zijn en welke waarde ze hebben 100.1.4 weet waar getallen voor gebruikt worden • Uitspraak en notatiewijzen van geld- bedragen kennen en kunnen interpreteren GK 1.5 weet hoe grote getallen en kommagetallen gebruikt worden GK 1.1 kan grote getallen en kommagetallen correct schrijven / benoemen Dit geldt natuurlijk ook voor hele eurobedragen in laag 1. • Veel voorkomende bedragen kunnen samenstellen met (zo min mogelijk) biljetten en munten, handelend en via afbeeldingen/beschrijvingen op papier 100.3.5 betaalt, wisselt en geeft geld terug; bij koop- en verkoopsituaties met hele euro's tot 100 / of centen tot 1 euro 100.3.4 maakt samenstellingen tot 100 met 1, 2, 5 en tienvouden • Van concrete, afgebeelde of in tabellen of met woorden aangegeven samenstellingen van biljetten en munten het totaal bepalen 100.3.4 maakt samenstellingen tot 100 met 1,2, 5 en tienvouden • Aangeven met welke biljetten en munten terugbetaald kan worden in winkelsituaties GK 3.5 betaalt, wisselt en geeft geld terug; bij koop- en verkoopsituaties met hele euro's en centen • Kunnen wisselen van eenvoudige bedragen in één biljet/muntsoort en wisselen van de ene biljet/muntsoort in een ander biljet/ muntsoort GK 3.1 kan getallen decimaal uiteen leggen en opbouwen • Globaal schatten van het totaal van enkele bedragen; GK 4.6 schattend rekenen; kan antwoorden van optel- en aftreksommen benaderen met een nauwkeurigheid van 20% • Enig inzicht hebben in de orde van grootte van veel voorkomende prijzen in het dagelijks leven GK 2.3 beschikt over referentiematen, en heeft gevoel voor de orde van grootte van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud

42

Verder besteedt PARWO nog aandacht aan de volgende meetkundige begrippen: PARWO METEN: TEMPERATUUR • Kunnen aflezen van de thermometer, ook onder nul en van een in tienden verdeelde analoge koortsthermometer, aflezen van digitale thermometers (koorts, oven) en weten dat dit uitgedrukt wordt in graden Celsius (0C) GK 1.3 is in staat om met basale meetinstrumenten voorwerpen te meten • Kennen van enkele referentiematen bij temperatuur (lichaamstemperatuur/koorts; rond het vriespunt; vorst; warm/heet; kamertemperatuur) GK 2.3 beschikt over referentiematen, en heeft gevoel voor de orde van grootte van hoeveelheid, lengte, gewicht en inhoud (en dus ook temperatuur) PARWO METEN: SAMENGESTELDE GROOTHEDEN • Weten dat grootheden ook aan elkaar gekoppeld kunnen worden: - snelheid: afstand en tijd; - prijs per stuk, per gewichtseenheid, per lengte-eenheid, per inhoudseenheid, per oppervlakte-eenheid, per tijdseenheid • Eenvoudige berekeningen kunnen uitvoeren met afgeronde getallen in contexten waarin het gaat om samengestelde grootheden, zowel precies als ongeveer GK 4.2 lost eenvoudige sommen met grote getallen uit het hoofd op

43

5. Opzet en uitvoering van het onderzoek 5.1 Onderzoeksgroep, inbedding en keuze van onderzoekseenheden 5.1.1 Onderzoeksgroep

Dit project is uitgevoerd door een onderzoeksgroep. Deze groep bestaat uit de volgende mensen met de omschreven functie binnen deze groep: Hans Asbreuk Functie: - Directeur basisschool Het Palet Rol: Hans Asbreuk is op de hoogte van alle ontwikkelingen maar ook verbeterpunten in zijn basisschool. Hij is dus hoofdverantwoordelijk voor de school. Zijn taken zijn vooral gericht op de schoolorganisatie en de onderwijsvernieuwingen. Ook op het gebied van het rekenen wiskundeonderwijs op basisschool Het Palet geeft hij aan wat de goede punten zijn maar ook wat de ontwikkelpunten zijn. Zijn rol in dit onderzoek is het stellen van een behoeftevraag op het gebied van rekenen wiskundeonderwijs in deze basisschool. Daarbij blijft hij zijn visie voor de school op dit gebied verwoorden ter bevordering voor dit onderzoek. Noud Wonders Functies: - Basisschoolcoach - Lid van de rekenwerkgroep, - Leerkracht groep 4B - ICT-coördinator. Rol: Noud Wonders heeft eigenlijk twee tot drie rollen te vervullen in deze onderzoeksgroep. Ten eerste is hij basisschoolcoach. Dat houdt in dat hij meedenkt met/voor de student op allerlei gebieden. In dit geval met het uitvoeren van onderzoek. Daar komt bij dat hij lid is van de rekenwerkgroep. Op het gebied van rekenen kan hij dus ook extra ondersteuning geven in de vorm van denken visiewerk. Het kan ook zo zijn dat er ICT te pas gaat komen aan dit onderzoek. Het is dan goed om te weten dat Noud de ICT coördinator is. Marion Guikers Functies: - Rekencoördinator - Leerling begeleider/ondersteuner Rol: Marion Guikers is de coördinator van de rekenwerkgroep. Deze zal als eerste betrokken worden bij het onderzoek. De rekenwerkgroep kan benaderd worden voor praktische zaken en dient ook als klankbord. 44

In de rekenwerkgroep zitten: Karolien de Munnik (groep 1-2), Paulette van Muijen (groep 4A) en Noud Wonders (groep 4B) en Monique Burhenne (groep 7-8). Zij is het aanspreekpunt voor collega’s op het terrein van het rekenen wiskundeonderwijs. Samen met de IB’ers werkt zij aan de verbeteringen op het gebied van rekenen. Zij zorgt ook voor materiaal en begeleiding op het gebied van Remedial-Teaching. Zij weet welke materialen er beschikbaar zijn in de orthotheek en is hierin een specialist om advies te geven welk materiaal voor welk probleem nodig is. Ook houdt zij zich samen met de ICT-er bezig met diverse computerprogramma’s die ter bevordering en ondersteuning zijn van het rekenonderwijs. Een belangrijke taak van Marion Guikers is dat zij ondersteuning biedt bij het opstellen en uitvoeren van handelings- en groepsplannen voor rekenen en wiskunde. Wanneer er vanuit het team voorstellen en deskundigheid gevraagd wordt op gebied van ontwikkelingen van rekenen wiskundeonderwijs, is zij het aanspreekpunt. Natuurlijk informeert zij ook ouders over het rekenonderwijs op Het Palet. Ad Grootswagers Functie: - Expertdocent vanuit de Pabo. - SOP17-begeleider Rol: De begeleiding vanuit de Pabo zal plaatsvinden via Ad Grootswagers. Hij is ook een onderdeel van de Academische Kenniskring en daarom een expertdocent. Ik kan bij hem terecht met vragen over de voortgang/inhoud van dit onderzoek. Ad is een onderdeel van de onderzoeksgroep en zal dan ook bij een groot aantal bijeenkomsten aanwezig zijn. Eva Schaepkens Functies: - Hoofdonderzoeker - Stagiaire in groep 6 t/m november 2011 - Stagiaire in groep 7-8 vanaf november tot einde schooljaar 2012 Rol: Haar rol bestaat uit het beantwoorden van een behoeftevraag vanuit de school/directeur. Zij zal de onderzoeksgroep moeten bevragen en aansturen om tot de kern van het probleem, de aanpak en resultaten te komen. Uiteindelijk zorgt zij dan ook voor het geheel van het onderzoek. Het is haar verantwoordelijkheid om van alle puzzelstukjes een complete puzzel te maken en een antwoord te geven op de behoeftevraag/onderzoeksvraag.

17

Schoolontwikkelingsproject.

45

De data dat deze onderzoeksgroep bij elkaar gekomen is: • Maandag 07-11-2011 16.00-17.30 uur (Probleemverheldering) • Maandag 12-12-2011 16.00-17.30 uur (Probleemanalyse) • Maandag 9-1-2012 16.00-17.30 uur (Concept onderzoekvraag rond) • Maandag 06-02-2012 16.00-17.30 uur (Onderzoekmethoden bepalen) • Maandag 5-03-2012 16.00-17.30 uur (Afspraken rondom dataverzameling) • Maandag 26-03-2012 16.00-17.30 uur (Bespreken van de Analyse) • Maandag 7-05-2012 16.00-17.30 (Analyse/Implementatie) Vanuit de Academische Kenniskring wordt onder begeleiding van deskundigen ondersteuning gegeven voor opleidingsscholen om een onderzoek op te zetten en uit te voeren. Deze ondersteuning vond plaats op de Fontys PABO ’s-Hertogenbosch. De ondersteuningsdata vanuit de Academische kenniskring waren: • • • •

Dinsdag 22-11-2011 Dinsdag 10-01-2012 Dinsdag 27-03-2012 Dinsdag 15-05-2012

13.00-15.00 uur (Wat is onderzoek?) 13.00-15.00 uur (Opzet van onderzoek) 13.00-15.00 uur (Uitvoering van onderzoek) 13.00-15.00 uur (Implementatie van het onderzoek)

5.1.2 Inbedding

Referentieniveaus rekenen

ministerie van OC&W

Visie op rekenontwikkeling

Stichting Signum

Verwezelijking visie rekenontwikkeling

Basisschool Het Palet

46

Onderzoeksgroep+ Rekenwerkgroep

Onderzoek

Projectgedeelte onderzoek

Onderbouw

Middenbouw

Bovenbouw

Uitvoering

Groep 1-2

Groep 3-4

Groep 5-6

Groep 7-8

Ondersteuning

rekenwerkgroep

rekenwerkgroep

rekenwerkgroep

rekenwerkgroep

47

Wat is relevant op: - Het niveau overheid/ministerie OC&W: Het ministerie verwacht dat alle basisscholen in Nederland gaan voldoen aan de opgestelde referentieniveaus op het gebied van rekenen. - Het niveau van het schoolbestuur/de stichting: Het schoolbestuur/SIGNUM creëert een visie op schoolontwikkeling om aan de eisen van de overheid te voldoen. Maar is toepasbaar op alle vakgebieden dus ook rekenen. - Het niveau, Basisschool Het Palet: voert de visie van stichting SIGNUM uit en onderzoekt waarmee en hoe de beste resultaten behaald kunnen worden op rekengebied. Daarvoor is tevens dit onderzoek in gang gezet. - Het niveau, de bouwen: zorgen voor de dagelijkse praktijk van rekenen. In de bouwen wordt lesgegeven maar zij moeten zichzelf ook blijven ontwikkelen op gebied van lesgeven in rekenen. Ook zorgen zij voor een organisatorisch ingerichte leeromgeving waarin alle doelen en de visie van de school/de stichting zo optimaal mogelijk verwezenlijkt wordt. Dit onderzoek draagt daar aan bij door te onderzoeken of PARWO een onderdeel van die leeromgeving kan worden op rekengebied. Er wordt ook onderzocht op welke wijze PARWO gedragen kan worden door de leerkrachten. - Het niveau, de rekenwerkgroep: ondersteunt de bouwen op het gebied van rekenen door projecten te ontwikkelen waardoor de bouwen zich weer kunnen ontwikkelen op rekengebied of ontwikkelingen kunnen toepassen op hun ingerichte leeromgeving. Dit onderzoek is zo’n project waarbij de projectgroep rekenen een ondersteunende functie heeft. - Het niveau, de groepen: Wordt de rekenpraktijk met de klas uitgevoerd. Op dit level proberen leerkrachten leerlingen te leren rekenen. De daarbij behorende inzichten worden zo optimaal mogelijk overgebracht, leerlingen worden begeleid. Leerkrachten controleren leerlingen en reflecteren samen met de leerlingen op hun rekenproces. Op dit niveau wil het onderzoek bekijken in hoeverre de leerlingen inzicht/drijfvermogen hebben en of de PARWO manier van werken daar een bijdrage aan kan leveren.

Onderzoeksverslag Schoolontwikkelingsproject – Basisschool Het Palet ‘s-Hertogenbosch

5.1.3 Keuze van onderzoekseenheden

Waarom onderzoek in groep 7? Omdat deze onderzoeksgroep nieuwsgierig was naar het drijfvermogen op rekengebied richting het einde van de basisschool, is besloten om het onderzoek (zie hoofdstuk 2) te laten plaatsvinden in groep 7. De leerkracht van groep 7A is Monique Burhenne. De leerkracht van groep 7B is Maurice Smit. De afgenomen Quickscans: domein grote getallen/kommagetallen In deze twee groepen 7 zijn de zogenaamde Quickscans afgenomen op het gebied van grote getallen, kommagetallen. (Zie het theoretisch kader en bijlage G. in bijlageboek voor uitleg Quickscans.) Hiervoor is gekozen omdat dit het domein is waar groep 7 op de leerlijn mee bezig is. Oefenversie en afnameversie Er is eerst geoefend met een zogenaamde versie a. Dit is gedaan vanwege het feit dat de leerlingen om moesten leren gaan met de Quickscan van PARWO. N.B. er bestaat geen Quickscan voor Matrixlaag 1 (verkenning van uiterlijk en functionaliteit) omdat dit gaat om het meest concrete rekenen. Dit kun je alleen observeren bij leerlingen en niet meten. Hier nogmaals de matrix van PARWO weergegeven.

Matrixlaag 1: Verkenning van uiterlijk en functionaliteit Matrixlaag 2: Verkenning van inhoud en structuur Matrixlaag 3: Werken met getalrelaties Matrixlaag 4: Formele opgaven

49


Dit zijn de afgenomen data van de oefenversie in beide groepen 7: Datum

Domein

Inhoud

Donderdag 8-3-2012

Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 2: Verkenning en inhoud en structuur Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 2: Verkenning en inhoud en structuur Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 3: Werken met getalrelaties Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 3: Werken met getalrelaties Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 4: Formele opgaven Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 4: Formele opgaven

Grootste getal bepalen.

Donderdag 8-3-2012

Vrijdag 9-3-2102

Vrijdag 9-3-2102

Maandag 12-3-2012

Maandag 12-3-2012

Welk getal is op de getallenlijn?

Samenstellingen

Aanvullen (kommagetallen)

Optellen en aftrekken met kommagetallen Optellen en aftrekken met grote getallen

Daarna is de afnameversie afgenomen (versie b). Deze versie is ingevoerd in het PARWOregistratieprogramma. Dit zijn de afgenomen data van de oefenversie in beide groepen 7: Datum

Domein

Inhoud

Dinsdag 13-3-2012

Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 2: Verkenning en inhoud en structuur Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 2: Verkenning en inhoud en structuur Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 3: Werken met getalrelaties Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 3: Werken met getalrelaties Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 4: Formele opgaven Grote getallen/Kommagetallen PARWO Matrixlaag 4: Formele opgaven

Grootste getal bepalen.

Dinsdag 13-3-2012

Woensdag 14-3-2012

Woensdag 14-3-2012

Donderdag 15-3-2012

Donderdag 15-3-2012

Welk getal is op de getallenlijn?

Samenstellingen

Aanvullen (kommagetallen)

Optellen en aftrekken met kommagetallen Optellen en aftrekken met grote getallen

50


Waarom het PARWO-registratieprogramma? Het PARWO-registratieprogramma geeft een beeld voor de gehele groep waarbij je de Quickscans hebt afgenomen. Met dit programma kun je als leerkracht per domein zien op welke matrixlaag er aan drijfvermogen gewerkt moet worden. Je kunt dit zowel per groep als per leerling bekijken. Deze gegevens geven de betreffende leerkracht handvatten om te bepalen wat voor soort aanbod er gegeven moet worden en op welke vaardigheden er getraind moet worden. Daarom is voor dit meetinstrument gekozen. Zie hieronder de uitkomsten van het PARWO-registratieprogramma: M1 = Matrix 1 GK = Grote getallen/Kommagetallen 2,3 of 4= Laag van de PARWO-matrix Onderzoeksgroep A:

Onderzoeksgroep B:

51


Deze leerling heeft nog geen drijfvermogen voor leerlijn groep 7

Deze leerling Is nog drijfvermogen aan het opbouwen en heeft structuur nodig op laag 2 en laag 3.

Deze leerling is een goede rekenaar met rekeninzicht

52


Deze leerling heeft een andere rekenleerlijn en heeft nog geen drijfvermogen of rekeninzicht in het domein grote getallen/kommagetallen. Differentiatievragen naar aanleiding van de uitkomsten PARWO-registratieprogramma Met deze gegevens kun je dan als leerkracht aan de slag en de gegevens interpreteren. Welke leerlingen scoren op alle vier de lagen zwak? Welke leerlingen scoren op alle lagen goed? Welke leerlingen scoren op laag 4 (formele opgaven) misschien goed, maar op laag 2 en 3 zwak? Geldt dit voor het grootste deel van mijn leerlingen of zijn het uitzonderlijke gevallen? Aan de hand van dit soort vragen kun je als leerkracht een passend PARWOaanbod maken met behulp van de leerlijn van jouw leeftijdgroep. In dat aanbod stel je zogenaamde differentiatievragen op. Voor elke matrixlaag die van toepassing is, bedenk je vragen voor die desbetreffende leerling of leerlingen. PARWO-aanbod Voor dit onderzoek is aan de hand van de uitkomsten van de PARWO-registratiegegevens van onderzoeksgroep A en B een PARWO-aanbod gecreëerd voor groep 7A en 7B met het domein van grote getallen/kommagetallen. Dit aanbod is samengesteld door Eva Schaepkens en besproken in de onderzoeksgroep maar ook met de bovenbouwleerkrachten ter goedkeuring. Echter de materialen en inhouden van dit PARWO-aanbod zijn afkomstig van Frans Moerlands. Hij is de projectleider van PARWO. (Zie bijlage M. en N. in bijlageboek voor bijbehorend PARWO-aanbod.) Betrokkenheid meten m.b.v. een professional Het PARWO-aanbod is uitgevoerd door beide leerkrachten van groep 7 op donderdag 29-32012. Op deze dag was er ook een extern adviseur aanwezig op basisschool Het Palet. Deze adviseur is professional op het gebied van betrokkenheid. Dit was Bertine van den Oever van de IMON Adviesgroep. Haar taak voor de schooljaren ’11-’12 en ’12-‘13, is leerkrachten op Het Palet bewust te maken om betrokkenheid bij leerlingen te leren zien. Daarbij leert ze hen ook stimulerende en belemmerende factoren voor betrokkenheid te herkennen bij leerlingen. De onderzoeksgroep heeft gebruik gemaakt van haar expertise op het gebied van betrokkenheid omdat betrokkenheid een groot deel uitmaakt van dit onderzoek. Verder is zij een professioneel en objectief persoon om de betrokkenheid waar te nemen bij de leerlingen in groep 7 aan de hand van de Leuvense betrokkenheidschaal. (Zie bijlage E. in bijlageboek voor Leuvense betrokkenheidschaal.)

53


5.2 Dataverzamelingsmethoden en materiaal verzamelen 5.2.1 Observaties/interviews van betrokkenheid

De extern adviseur heeft op 29-3-2012 het PARWO-aanbod bij Monique Burhenne (7A) en bij Maurice Smit (7B) gefilmd. Zij heeft voornamelijk de leerlingen gefilmd om te bekijken of ze betrokkenheid toonden tijdens het PARWO-aanbod. Ze is bij beide leerkrachten 10 minuten komen filmen. Na de gegeven les heeft zij samen met de leerkrachten van groep 7 het filmmateriaal geobserveerd en besproken. 50 minuten met Monique Burhenne en 50 minuten met Maurice Smit. Zij liet de leerkrachten benoemen wat voor gedrag ze waarnamen. Daarna liet zij de leerkrachten beoordelen op welk niveau van de Leuvense betrokkenheidschaal een kind betrokkenheid toonde. De adviseur benoemde welke elementen bij kinderen een hoge betrokkenheid weergaven of een lager(e) betrokkenheid weergaven en welke factoren hiervan de oorzaak waren. Het verschil tussen betrokkenheid laag 3 en 4 de adviseur het belangrijkste omdat dit aangaf of het intrinsieke betrokkenheid (betrokkenheid vanuit het kind zelf) was of extrinsieke betrokkenheid (omdat het moet). Zowel het gesprek tussen de adviseur en Monique Burhenne en het gesprek tussen de adviseur en Maurice Smit, is gefilmd en letterlijk uitgetypt, zodat deze interviews/ observaties objectief blijven en niet achteraf geïnterpreteerd zijn. Dit onderdeel van dataverzameling zit tussen een observatie en een interview in, omdat de interviewer en de geïnterviewde gefilmd worden terwijl zij samen aan het observeren zijn. Deze interviews/deze observaties dragen bij om de deelvraag: ‘Wat verstaat men onder betrokkenheid?’ nog duidelijker te kunnen beantwoorden. Elementen van deze vraag kunnen zodoende gebruikt worden voor de aanbevelingen en conclusies om te gaan werken met PARWO-didactiek en op welke manier. 5.2.2 Interview met de rekencoördinator

Dit interview is afgenomen om erachter te komen wat de huidige visie op basisschool Het Palet is op het gebied van rekendidactiek. Daarvoor is de rekencoördinator benaderd omdat zij in alle bouwen van de school de leerkrachten ondersteunt op rekengebied. Dit interview draagt bij aan het onderzoek omdat de huidige visie van de school en de werkwijze van de leerkrachten met de daarbij behorende obstakels en verwachtingen in de school dan duidelijk geschetst worden. De interviewvragen komen voort uit het theoretisch kader en met de onderzoeksvraag als hoofdlijn. 5.2.3 Interview met de directeur

Dit interview is afgenomen om erachter te komen wat de huidige visie op basisschool Het Palet is op het gebied van rekendidactiek. Daarvoor is de directeur van de school benaderd omdat hij zicht heeft op alle leerkrachten en de daarbij behorende onder-, midden- of bovenbouw. Ook weet de directeur naar welk doel hij wil werken met de ontwikkelingen op het gebied van rekenen. Dit interview draagt bij aan het onderzoek omdat de huidige visie van de school en de werkwijze van de leerkrachten met de daarbij behorende obstakels en verwachtingen in de school dan duidelijk geschetst worden. De interviewvragen komen voort uit het theoretisch kader en met de onderzoeksvraag als hoofdlijn.

54


5.2.4 Niet- onderzoekmatige activiteiten

Buiten dit onderzoek om heeft de hoofdonderzoeker zich extra verdiept in PARWO door twee keer het PARWO-lab van Frans Moerlands te bezoeken en met hem en Lucy Moerlands in gesprek te gaan. De tweede keer was de rekencoördinator meegegaan. De hoofdonderzoeker heeft zich extra verdiept rondom het begrip betrokkenheid door twee studiedagen die begeleid werden door de extern adviseur bij te wonen en actief te participeren. Verder heeft de hoofdonderzoeker twee rekenwerkgroepvergaderingen bijgewoond om de leden van deze werkgroep te informeren over dit onderzoek en ze ‘tools’ te geven om alvast een start te maken in school met het experimenteren met PARWO. Daarvoor heeft zij ook een korte reader gemaakt over de inhoud van PARWO-didactiek, die de leerkrachten als handvat konden gebruiken.

55


5.3 Registratie, verwerking en preparatie van de gegevens Welke stappen zijn ondernomen? • Stap 1: Tekstbestand gemaakt van filmmateriaal (interviews/observaties door extern adviseur met leerkrachten van groep 7) en geluidsmateriaal (Interview met rekencoördinator: Marion Guikers en interview met directeur: Hans Asbreuk). Dit is letterlijk uitgetypt om interpretaties te vermijden. Aanvullingen zoals over welke leerling wordt gepraat met zijn bijbehorende kenmerken zijn tussen haakjes gezet. • Stap 2: Tekstbestand geordend en gereduceerd. Er is tekst geschrapt die niet relevant is voor dit onderzoek. Daarvoor is de onderzoeksvraag er steeds naast gehouden. • Stap 3: Labelen van analyse-eenheden. Voor dit onderzoek zijn er een aantal kernbegrippen herleid vanuit het theoretisch kader. Deze kernbegrippen zijn op een rijtje gezet. Deze kernbegrippen kwamen in alle vier de interviews/observaties terug, daarom is de keuze gemaakt om deze vijf kernbegrippen te gebruiken. Vervolgens zijn in alle interviews/observaties dezelfde kleuren gebruikt om te labelen: - Blauw: Er wordt gesproken over betrokkenheid in zijn algemeenheid. - Geel: Er wordt gesproken over dynamiek /de rollen van de leerlingen. - Roze: Er wordt gesproken over de rol van rekeninzicht - Groen: Er wordt gesproken over leerkrachtvaardigheden. - Lichtgroen: Er wordt gesproken over de manier van organiseren van het aanbod. • Stap 4: Vier tabellen gemaakt (2 interviews en 2 interviews/observaties) met een voorlopige opdeling van de interviews/observatie in fragmenten. Daarin ook de vijf labels met bijbehorende kleuren verwerkt per fragment. • Stap 5: De fragmenten van elk interview/observatie zijn onderverdeeld per kernbegrip: betrokkenheid,dynamiek, rekeninzicht, leerkrachtvaardigheden, organisatie met de bijbehorende uitspraken van het interview/de observatie. De volledige registratie, verwerking en preparatie van de gegevens zijn terug te vinden in het bijlageboek: Bijlage I. t/m L. .

56


5.4 Beschrijving en verantwoording van de analysebeslissingen •

Stap 6: Doordat de interviews/observaties in vier tabellen zijn gezet en deze fragmenten onderverdeeld zijn in vijf hoofdlabels konden de uitspraken verwerkt worden in één overzichtelijke samenvatting per kernbegrip

Voorbeeld: Betrokkenheid Hoge mate van betrokkenheid

Je ziet een bepaalde mate van gretigheid om de puzzel te willen oplossen. Ook gretig tempo bij handelingen leerling geeft betrokkenheid aan. Uitzondering van drie leerlingen. Oorzaak: andere leerlijn, vorm autisme en sociaal welbevinden.

Humor Etc.

Druk bezig met de activiteit zelf. Kind dat altijd hoge mate van betrokkenheid laat zien gebruiken als graadmeter voor je les. ….

Dynamiek Afleidbaarheid van een kind Onzekerheid van een kind Etc.

…. ….

Leerkrachtvaardigheden Differentiëren Stimuleren om elkaar te laten controleren Etc.

… …

Organisatie Niet dagelijks onderwijs Coöperatieve werkvorm Etc.

… …

Die tabellen zijn van alle vier de interviews/observaties naast elkaar gezet en op de vijf labels geëvalueerd. Er is besloten om niet te benoemen hoe vaak iets is genoemd. Dit was namelijk te vaag, soms werd een label namelijk twee keer benoemd over dezelfde leerling of een keer genoemd over een gehele klas.

57


5.5 Betrouwbaarheid en validiteit Valide Wat dit onderzoek valide maakt is dat het is uitgevoerd door een onderzoeksgroep die professioneel begeleid wordt via de Academische Kenniskring. Alle fasen van dit onderzoek zijn voorgelegd aan de onderzoeksgroep en besproken in de Academische Kenniskring. Verder heb ik als hoofdonderzoeker al veel voorkennis en ervaring met PARWO. (Geparticipeerd in een didactische film over PARWO.) Tijdens dit onderzoek kon ik daardoor Frans Moerlands in het PARWO-lab bezoeken. Hij heeft ook adviezen gegeven over hoe wij dit onderzoek konden inrichten. De vragen voor de interviews met de directeur en de rekencoördinator zijn geformuleerd op basis van het theoretisch kader en de probleemstelling. Ik heb alle deelvragen kunnen beantwoorden ook door een gedegen theoretisch kader en ik had genoeg aan alle gegevens die ik had verzameld. Ik heb dus gemeten wat ik wilde meten. Hiervoor heb ik triangulatie toegepast. Ik heb vier verschillende personen in basisschool Het Palet benaderd met behulp van interviews (directeur en rekencoördinator) en interviews/observaties (leerkrachten van groep 7) van de extern adviseur. Betrouwbaar Ik ben neutraal geweest doordat de combinatie van literatuuronderzoek, observaties/interviews en gewone interviews letterlijk zijn uitgeschreven. Daarbij zijn de gefilmde interviews/observaties met de leerkrachten van groep 7 afgenomen door een extern adviseur, een onafhankelijk persoon. Zij heeft objectief naar leerling-gedrag gekeken samen met de leerkrachten van groep 7. Er is dus ook voor video-opname gekozen omdat dit verhelderde over welke situaties in de gefilmde klas gesproken werd. Daarbij moet vermeld worden dat de laatste vijf minuten van het gesprek tussen Bertine van den Oever en Maurice Smit niet meer op film stonden. Echter had ik genoeg gegevens op basis van het materiaal dat er was. De interviews met de directeur en de rekencoördinator zijn met geluid opgenomen. Dit om sociaalwenselijk gedrag te voorkomen. Verder is de datapreparatie en de data-analyse via een officiële onderzoeksmatige wijze doorlopen. Hiervoor heb ik de stappen uit het boek: Basisboek kwalitatief onderzoek van Baarda, 2009 gevolgd. Wanneer een ander dit onderzoek zou uitvoeren, zou het niet hetzelfde onderzoek worden. Dit komt doordat er een samenloop van omstandigheden was ontstaan op Het Palet met betrekking tot studiedagen rondom betrokkenheid en dit onderzoek.

58


5.6 Onderzoeksconclusies Uit de interviews met de directeur en de rekencoördinator blijkt dat het team al een tendens laat zien richting de PARWO-manier van werken en denken. Leerkrachten van BS Het Palet laten bijvoorbeeld al zien dat zij bereid zijn om additionele materialen en hulpmiddelen uit te testen in de klas. Daarentegen legt de methode de lat hoog en vergt het volgen van de methode veel tijd. Leerkrachten weten niet hoe zij naast de methode, die veel tijd in beslag neemt, ook nog volgens de PARWO-manier van denken kunnen werken. Dit volle programma vergt namelijk veel van leerkrachten. Uit de interviews/observaties van een extern adviseur met de leerkrachten van groep 7 blijkt echter de grote mate van betrokkenheid tijdens een PARWO-aanbod. Aan de hand van de Leuvense betrokkenheidschaal die loopt van 1 t/m 5 - waarbij het verschil tussen 3 en 4 hem zit in extrinsieke motivatie (3) of intrinsieke motivatie (4) - benoemden de leerkrachten dat de betrokkenheid bij de leerlingen eerder richting de 4 en 5 ging. Dan is er dus sprake van intrinsieke betrokkenheid. Daarbij moet worden gezegd dat de betrokkenheid richting het eind van het aanbod richting de 3 ging van de Leuvense betrokkenheidschaal. Welke factoren daarmee te maken hadden en hoe je dit zou kunnen voorkomen, wordt in het volgende hoofdstuk toegelicht. Waarom is dit nu belangrijk om te weten? In het theoretisch kader is al benoemd dat intensieve betrokkenheid zorgt voor een groter leerrendement. Wanneer de leerkrachten ruimte gaan inplannen voor gedegen PARWO-aanbod, werken zij aan een groter leerrendement. Verder is in de theorie beschreven en in de interviews met de directeur en rekencoördinator beaamd, dat PARWO-aanbod zorgt voor beter rekeninzicht en drijfvermogen, dit betaalt zich later terug en is niet direct waar te nemen. Er komt een beter drijfvermogen doordat er ingespeeld wordt op vier handelingsniveaus (matrixlagen) van rekenvaardigheden bij leerlingen. Het is belangrijk dat de leerkrachten leren hoe zij hun leerkrachtvaardigheden en organisatorische kennis kunnen inzetten met betrekking tot die vier handelingsniveaus en het stimuleren van intrinsieke betrokkenheid. Daar zal in het volgende hoofdstuk dieper op ingegaan worden.

59


6. Eindconclusie en aanbevelingen 6.1 Eindconclusie De hoofdvraag van dit onderzoek was: Hoe kunnen leerkrachten van basisschool Het Palet n.a.v. de PARWO-Quickscan, PARWO -didactiek inzetten om het inzicht en de betrokkenheid van leerlingen van groep 7 op het domein "grote getallen/ kommagetallen" te vergroten? In dit onderzoek is naar aanleiding van de PARWO-Quickscan een PARWO- aanbod gecreëerd. Tijdens de uitvoering van dit aanbod is de betrokkenheid geobserveerd aan de hand van beeldmateriaal. Dit deed de adviseur samen met de leerkrachten van groep 7. Na deze gegevens verwerkt te hebben was zichtbaar dat dit PARWO-aanbod de betrokkenheid van leerlingen sterk vergrootte. Het rekeninzicht wordt vergroot doordat er met PARWO-aanbod/PARWO-didactiek specifiek op bepaalde rekenvaardigheden ingespeeld wordt en gedifferentieerd wordt tussen verschillende leerlingniveaus. In hoofdstuk 3.3.4 zijn een aantal deelvragen gesteld. Hieronder wordt hier beknopt antwoord op gegeven. • Wat is de visie van basisschool Het Palet op het gebied van rekendidactiek? Realistisch rekenen, wiskundig rekenen en functioneel rekenen. Het rekenen koppelen aan het dagelijks leven en kinderen redzaam maken met basisvaardigheden voor de maatschappij. Daarbij mogen er meerdere oplossingsstrategieën ontdekt, toegepast en vergeleken worden door de leerlingen. Zo ontdekken leerlingen verschillen tussen strategieën. Welke rekenmethode gebruikt basisschool Het Palet nu en welke didactische visie heeft die rekenmethode? Het Palet gebruikt de methode Pluspunt. De opbouw is zorgvuldig en stapsgewijs. Pluspunt spreekt over evenwichtig rekenen. Er is veel aandacht voor oefenen, herhalen en automatiseren. De handleiding geeft aan de goede dingen van het realistisch rekenen behouden te hebben zoals het werken met modellen, de getallenlijn en de verhoudingstabel. Verder biedt Pluspunt een duidelijke differentiatie. Tijdens de instructie is er veel interactie door het uitwisselen van ideeën en oplossingsstrategieën. Voor rekenzwakke kinderen geeft Pluspunt één duidelijke oplossingsstrategie. •

• Wat is de PARWO-Quickscan? De PARWO-Quickscan meet de cruciale rekenvaardigheden in de domeinen: rekenen tot 10, rekenen tot 20, rekenen tot 100 en grote getallen/kommagetallen op vier niveaus die lopen van concreet naar steeds abstracter. Matrixlaag 1: Verkenning van uiterlijk en functionaliteit

60


Matrixlaag 2: Verkenning van inhoud en structuur Matrixlaag 3: Werken met getalrelaties Matrixlaag 4: Formele opgaven • Hoe zet je de PARWO-Quickscan op de juiste manier in? Stap 1: Je bekijkt welk domein van toepassing is voor jouw leeftijdsgroep. Voor dit onderzoek was dat bijvoorbeeld groep 7 en dus het domein grote getallen/kommagetallen. Stap 2: Je neemt de Quickscan af bij het gewenste aantal leerlingen. Stap 3: Je voert de gegevens in het PARWO-registratieprogramma in. Deze gegevens kun je analyseren op groepsniveau en leerlingniveau. (Stap 4): Zo nodig neem je de Quickscans in een eerder domein of lagere matrixlaag af voor bepaalde leerlingen. Dit doe je wanneer zij dermate slecht scoren in hun huidige domein. Zo kun je terugtoetsen in hoeverre deze leerlingen de rekenvaardigheden nog wel beheersen. Stap 5: Je bekijkt op welke matrixlaag je voor de groep of voor bepaalde individuele leerlingen moet gaan handelen. Stap 6: Je verdiept je in de bijbehorende leerlijn en koppelt de matrixlaag met rekenvaardigheden aan die leerlijn. Stap 7: Je bedenkt een passend aanbod op basis van je bevindingen. Stap 8: Je bedenkt vragen bij dit aanbod om te differentiëren op de verschillende matrixlagen en dus tussen verschillen leerlingniveaus. (Vragen van matrixlaag 1 t/m 4.) Deze vragen zijn essentieel voor de structuur die de leerlingen nodig hebben tijdens een PARWO-aanbod. (Stap 9): Wanneer je gericht hebt gewerkt aan bepaalde rekenvaardigheden kun je na een tijd checken of er vooruitgang is geboekt. • Wat houdt PARWO-didactiek in? Het gaat er bij PARWO bijvoorbeeld ook om dat je tijdens een rekenaanbod verschillende differentiatievragen klaar hebt liggen om op verschillende niveaus te werken met hetzelfde aanbod. Daar zijn de volgende bouwstenen in een dergelijk aanbod voor nodig: – pedagogisch-didactisch klimaat (betrokkenheid stimuleren); – modellen; – contexten; – bouwstenen. De PARWO-didactiek streeft naar: differentiëren naar niveau van werken binnen een aanbod. Daarvoor gebruikt PARWO de vier handelingslagen weergegeven in een matrix. (Zie vorige bladzijde: Wat is de PARWO-Quickscan?) • Wat verstaat men onder betrokkenheid? In het theoretisch kader haalt Marzano de onderzoeker: Reeve aan: “Betrokkenheid behelst taakgericht gedrag, maar het legt tevens de nadruk op de centrale rol van emotie, cognitie, en inspraakmogelijkheden van de leerlingen… Wanneer betrokkenheid gekenmerkt wordt door het complete scala van taakgericht gedrag, positieve emoties, aangeleerde cognities en persoonlijke inspraak, fungeert het als de motor voor het leren en de ontwikkeling.” Volgens het leerlingvolgsysteem Zien houdt betrokkenheid het volgende in: “Een kind dat betrokken bezig is, richt de aandacht op een relatief beperkt gebied. Er is een geringe afleidbaarheid en grote mate van persistentie, doorzettingsvermogen.”

61


Dit zijn de kenmerken van betrokkenheid volgens Zien: - Het kind laat de activiteit niet los ook al is er drukte om hem heen; - Intrinsieke motivatie in de activiteit; - Vertekende tijdservaring; - Er komt energie vrij bij het kind; - Het kind ervaart voldoening; - Het kind geeft in mimiek en houding plezier/belangstelling aan; • Wat verstaat de literatuur onder rekeninzicht? Grip op het dagelijks leven om je heen in de vorm van rekenen. Er zijn twee visies over hoe rekeninzicht gevormd kan worden namelijk: realistisch rekenen en mechanistisch rekenen. Verschil: - Realistisch rekenen baseert zich op rekenen vanuit een context en/of de belevingswereld - Mechanistisch baseert zich op aanleren van de rekenvaardigheid zonder de context er direct bij te halen. • Wat houdt het gehele domein van “grote getallen/kommagetallen” in? Voor deze vraag verwijs ik terug naar hoofdstuk 4. In het theoretisch kader is dit uitgebreid behandeld. Wat moeten leerlingen van groep 7 kennen en kunnen van het domein: “grote getallen/kommagetallen”? Voor deze vraag verwijs ik terug naar hoofdstuk 4. In het theoretisch kader is dit uitgebreid behandeld. Belangrijk om te vermelden is dat de PARWO-competenties van grote getallen/kommagetallen gekoppeld zijn aan de leerlijnen en kerndoelen. •

62


6.2 Aanbevelingen Hoe zet een leerkracht de PARWO-didactiek juist in om het inzicht en de betrokkenheid van leerlingen te vergroten? Uit alle interviews/observaties kwamen er vijf kernbegrippen die van belang zijn: rekeninzicht, dynamiek, organisatie en leerkrachtvaardigheden en betrokkenheid. Wanneer er een goede balans is tussen de eerste vier kernbegrippen in een aanbod dan creëer je betrokkenheid. In de aanbevelingen worden deze kernbegrippen stuk voor stuk behandeld. Aan welke elementen moeten leerkrachten denken om PARWOdidactiek juist in te zetten?

Rekeninzicht

Leerkracht Dynamiek

Betrokkenheid

vaardigheden

Organisatie

63

Betrokkenheid Rekeninzicht

Dynamiek

Realistisch/functioneel rekenen

Kindkenmerken Sociaal welbevinden

Wiskundig

Leerkracht vaardigheden Enthousiasme van de leerkracht

Doel van de les

Organisatie

Patronen doorbreken

Quickscans afnemen en interpreteren

Zelf strategieën ontwikkelen

Kindrollen in sociaal proces

Werken aan Drijfvermogen

Differentiëren tussen niveaus

Vier niveaus van handelen

Samenwerken/Samen verantwoordelijk voor einddoel

Sturen van proces

Coöperatief aanbod baseren op basis van Quickscan

Self-system: welbevinden in rekenen

Informatie delen met elkaar en elkaar overtuigen

Stimuleren om zelf na te denken

Materialen en additionele hulpmiddelen zoeken

Kennis van de leerlijn

Aanbeveling 1: Inspelen op rekeninzicht Schoolbreed PARWO stappen ondernemen Uit de interviews met de directeur en de rekencoördinator bleek dat de visie van Het Palet functioneel rekenen is op basis van een realistische context. Dan moet er ook op die manier gewerkt worden. Aanbeveling 1 is dus dat leerkrachten gaan werken aan drijfvermogen door zich te gaan verdiepen in de vier niveaus van handelen bij leerlingen (de vier matrixlagen van PARWO). Daar hoort functioneel en realistisch rekenen bij. Aangeraden wordt dat iedere bouw een parallelvergadering inplant en de volgende ondernemingsstappen worden besproken. Vooral over hoe je dit doet en aanpakt. Dit kan ook door middel van een studiedag. De studiedag heet dan: Hoe zet je de PARWOQuickscan juist in? Hoe ga ik handelen aan de hand van deze gegevens? De stappen die in dit onderzoek zijn ondernomen om een PARWO-aanbod te creëren, kunnen kan dan als voorbeeld dienen: van Quickscan tot PARWO-aanbod. In bouwvergaderingen kunnen de stappen dan besproken worden en kunnen leerkrachten elkaar coachen. Hierbij is er een belangrijke taak voor de rekencoördinator en de rekenwerkgroep. Zij zullen in deze bouwvergaderingen het voortouw moeten nemen en zich vooraf goed moeten voorbereiden op de theoretische achtergrond van PARWO. Stap 1: Je bekijkt welk domein van toepassing is voor jouw leeftijdsgroep. Voor dit onderzoek was dat bijvoorbeeld groep 7 en dus het domein grote getallen/kommagetallen. Stap 2: Je neemt de Quickscan af bij het gewenst aantal leerlingen. Stap 3: Je voert de gegevens in, in het PARWO-registratieprogramma. Deze gegevens kun je analyseren op groepsniveau en leerlingniveau. (Stap 4): Zo nodig neem je de Quickscans in een eerder domein of lagere matrixlaag af voor bepaalde leerlingen. Dit doe je wanneer zij slecht scoren in hun huidige domein. Zo kun je terugtoetsen in hoeverre deze leerlingen de rekenvaardigheden nog wel beheersen. Stap 5: Je bekijkt op welke matrixlaag je voor de groep of voor bepaalde individuele leerlingen moet gaan handelen. Stap 6: Je verdiept je in de bijbehorende leerlijn en koppelt de matrixlaag met rekenvaardigheden aan die leerlijn. Stap 7: Je bedenkt een passend aanbod op basis van je bevindingen. Stap 8: Je bedenkt vragen bij dit aanbod om te differentiëren op de verschillende matrixlagen en dus tussen verschillen leerlingniveaus. (Vragen van matrixlaag 1 t/m 4.) Deze vragen zijn essentieel voor de structuur die de leerlingen nodig hebben tijdens een PARWO-aanbod. (Stap 9): Wanneer je gericht hebt gewerkt aan bepaalde rekenvaardigheden kun je na een tijd checken of er vooruitgang is geboekt. Doordat je als leerkracht meer gaat leren inspelen op de vier niveaus van handelen zul je leerlingen ook aanspreken op hun niveau en verliezen ze geen grip op rekenen. Dit gaat ervoor zorgen dat in het ‘self-system’ van de leerlingen meer welbevinden ontstaat i.p.v. onnodige frustratie. Maak dus gebruik van de volgende rekenlestip (theorie betrokkenheid Marzano): • ‘Self-system’ stimuleren: Kinderen dus aanspreken op wat zij belangrijk vinden! Zoek die elementen en verwerk die in jouw rekenles! Laat kinderen hun eigen ervaringen delen die te maken hebben met dit rekenonderwerp. Laat ze associaties zoeken met hun eigen leven en laat hen dit vertellen.


Aanbeveling 2: Gebruik maken van dynamiek tussen/van leerlingen In de interviews/observaties met de leerkrachten van groep 7 kwam naar voren, dat wanneer een kind zich niet lekker in zijn vel voelt er ook weinig van een les binnenkomt. Blijf daarom alert op het welbevinden van de leerlingen. Maak verder gebruik van bepaalde kindkenmerken. Als je weet dat een leerling vaak betrokkenheid toont maar tijdens een bepaalde les niet, dan kan hij of zij de graadmeter zijn voor jouw les. Je kunt ook op een andere manier gebruik maken van bepaalde kindkenmerken en kindrollen herkennen. Wie zijn de denkers, doeners en leiders? Zorg ervoor wanneer je groepjes maakt voor rekenen dat er een goede mix is van deze soorten rollen. Wie zijn de controleurs, doeners of leiders? Wie kunnen goed samenwerken? Wie kunnen goed rekenen? Zorg dat van elk element iets in een groepje zit. Maak leerlingen samen verantwoordelijk voor het einddoel. Hierdoor moeten ze met elkaar overleggen en informatie delen. Dit geeft ze een gevoel van autonomie en competentie. Aanbeveling 3: Gebruik maken van specifieke leerkrachtvaardigheden Zelf enthousiasme uitstralen Uit de interviews/observaties met de leerkrachten van groep 7 kwam naar voren dat enthousiasme en humor de betrokkenheid flink stimuleerde. Maak dus gebruik van de volgende rekenlestip (theorie betrokkenheid Marzano): • Rekenlestip enthousiasme: Draag rekenen met enthousiasme over. Geef eigen redenen aan waarom een onderwerp interessant, belangwekkend of nuttig kan zijn. Ook is het leuk om opmerkelijke informatie of weetjes te vertellen die met het onderwerp te maken hebben. Dit wekt interesse. Voorbeelden: Een mier kan 50 keer zijn eigen gewicht tillen of mensen zoeken gemiddeld een jaar van hun leven naar spullen die ze kwijt zijn. Doel van de les Kennis van de leerlijn Zorg dat je het deel van de leerlijn waar je in een bepaald blok mee bezig bent van tevoren bestudeerd hebt of desnoods in de buurt van je rekenmethode hebt liggen. Print het uit. Zorg dat je er op kunt terugvallen. Deze kennis helpt je namelijk om stappen vooruit of juist bepaalde stappen terug te zetten met leerlingen. Ook ben je zelf dan meer bewust van het doel van je les. Differentiëren tussen niveaus/sturen van het proces Ben je bewust van de verschillen in niveaus. Probeer te leren wanneer je een proces moet sturen of een proces moet laten lopen. Welke tips of aanwijzingen geef je aan leerlingen tijdens een PARWO-aanbod? Weet je van de leerling op welk handelingsniveau hij zit? Welke bijbehorende differentiatievraag stel je aan die leerling? De van tevoren bedachte differentiatievragen zijn hierbij van cruciaal belang. Zie jezelf in dit proces als een coach, niet als een overdrager. Kinderen zelf laten nadenken Om kinderen wiskundig sterk te maken moet je ze zelf laten nadenken. Als leerkracht moet je hun denken stimuleren. Probeer in je dagelijkse rekenpraktijk niet te veel voor te zeggen of onnodig te herhalen. Laat kinderen zelf strategieën ontwikkelen, daarvoor kun je een lichte druk uitoefenen. Behoud tempo in je rekenlessen. Zorg verder voor milde geschillen en competitie zodat kinderen elkaar leren overtuigen. Bijvoorbeeld: “Heeft Pietje gelijk of klopt het antwoord van Pietje? Waarom wel of niet? Wie is het niet eens met Pietje? Wie is het wel eens met Pietje? Waarom?”

66


Maak dus gebruik van de volgende rekenlestips (theorie betrokkenheid Marzano): • Rekenlestip voor tempo: Zodra je ziet dat de kinderen hun aandacht er niet meer bij kunnen houden schakel je over naar het volgende onderdeel van je rekenles of maak je tempo in het uitrekenen van de opgaven. • Rekenlestip voor milde geschillen en competitie: Verwerk in je rekenles een licht geschil of competitie-element. Bijvoorbeeld: “Hier hoor ik deze oplossing maar jij had toch een geheel andere oplossing? Wie heeft nu gelijk?” Laat de leerlingen met argumenten komen en zorg ervoor dat de discussie in goede banen wordt geleid en een lichte discussie/licht debat blijft. Voor competitie: “Wie heeft het snelst deze rekenpuzzel af?” • Rekenlestip voor lichte druk: - Geef leerlingen minstens drie seconden de tijd om de vraag te beantwoorden. Of geef aan dat ze rustig de tijd er voor mogen nemen. Geef dus denktijd. - Als je als leraar veel informatie aan het geven bent, geef dan ook soms pauzemomenten aan de leerlingen om de informatie te verwerken en de gedachten/vragen over de stof te formuleren. - Je kunt zelfs voor een stiltemoment zorgen. Dit kweekt namelijk een gevoel van verwachting bij leerlingen: Wat zal er gebeuren? • Liefdevol frustreren: laat kinderen zelf onderzoeker en verkenner zijn. Frustreer ze liefdevol met een vraag waar ze niet zomaar een kant-en-klaar antwoord voor hebben. Geef hen hypotheses en laat hen de voorspelling geven op die hypothese. Maak ze nieuwsgierig! Aanbeveling 4: Organisatie aanpassen komend schooljaar. PARWO-aanbod inpassen Patronen doorbreken Uit de interviews met de directeur en de rekencoördinator bleek dat leerkrachten deze manier van werken wel moeten willen. Anders zal het PARWO-aanbod ook niet lopen. Blijf elkaar op de hoogte houden van ideeën, werkwijze en enthousiasme. Dit werkt aanstekelijk. Vraag hulp aan de rekenwerkgroep of een andere collega als het inrichten van een aanbod te veel kruim kost. Het is ook een kwestie van oefening en ervaring. Hoe vaker je dit doet, hoe beter het zal gaan. Vertrouw erop dat de PARWO-manier van werken uiteindelijk zorgt voor betere rekenvaardigheden. Quickscans afnemen en leren interpreteren Uit de literatuurstudie en het interview met de directeur kwam het volgende naar boven: Doordat je de Quickscans afneemt in de klas of bij bepaalde leerlingen en deze gegevens leert interpreteren zul je ook beter weten op welk handelingsniveau je moet insteken. Misschien heeft een leerling nog een concreet beeld nodig maar een andere leerling wil al uitgedaagd worden op abstract niveau. Het benoemen en weten van deze verschillen helpt je tijdens de les maar ook ter voorbereiding van jouw les. Coöperatief aanbod Schoolbreed de afspraak maken om PARWO te gaan uitvoeren: Bijvoorbeeld: een keer per twee weken of een keer per week. Daar moet dan in de organisatie ook een vaste tijd voor worden ingepland. Dit PARWO-aanbod kan gebaseerd worden op een methodeles, maar je gebruikt bijvoorbeeld materialen die uit de echte wereld komen en verschillende samenwerkingsvormen. Maak bijvoorbeeld gebruik van coöperatieve werkvormen. In de interviews/observaties stond dat dit voor grote betrokkenheid zorgt. Er wordt in ieder geval handelend gewerkt en niet aan de hand van de methode. Je richt bijvoorbeeld wekelijks een onderdeel van de methode op een PARWO-manier in. 67


Een andere manier is om het doel van een methodeles als leidraad te nemen en dan je PARWO- aanbod aan de hand van dat doel in te richten. Uiteraard moeten de leerkrachten en de bouwen onderling elkaar hierin ondersteunen. Ook moeten de leerkrachten terug kunnen vallen op de rekenwerkgroep bij het inrichten van PARWO-aanbod. Er wordt ook sterk aangeraden om in dit schooljaar 2011/2012 aan te kondigen dat leerkrachten gaan nadenken over PARWO-aanbod voor module 1. Bijvoorbeeld in week drie of vier in schooljaar 2012/2013. Dit geeft leerkrachten ook de ruimte en de tijd om na te gaan denken over PARWO. Maak verder gebruik van de volgende rekenlestip: • Actieve les: probeer je rekenles actief te maken of voeg momenten voor activiteit toe in je les. Als kinderen mogen lopen om bijvoorbeeld te overleggen of om iets uit te zoeken, laat dat dan toe. Lawaai/geluid is niet gelijk kwalijk. • Ontbrekende informatie: zorg in je les ervoor dat leerlingen ergens achter moeten komen. Er is geen kant en klare oplossing of antwoord. Laat ze als het ware een puzzel oplossen. Materialen en additionele hulpmiddelen Er moet wel genoeg materiaal in de school aanwezig zijn om op een PARWO-manier te gaan werken. Dit kan officieel PARWO-materiaal zijn en dan moet er dus budget komen om dit schoolbreed aan te schaffen, maar je kunt ook denken aan het verzamelen van kosteloos materiaal. Aangeraden wordt om dit materiaal te verzamelen maar ook geordend op te slaan in de school zodat iedereen van dit materiaal gebruik kan maken. Denk bijvoorbeeld aan: folders, klokjes, meetlinten, kralen, kaartjes, landkaarten, krantenknipsels over rekenen etc. Het zou ook een taak van de rekenwerkgroep kunnen zijn om dit te verzamelen en te ordenen op een vaste plek in de school.

68


7. Discussie en evaluatie Discussie Met de verzamelde gegevens was de onderzoeksvraag goed te beantwoorden. Vooral het onderliggend theoretisch kader en een goede opzet van het projectplan heeft hieraan bijgedragen. Er was een gericht kader en een gerichte visie over waar dit onderzoek naartoe moest werken. In tegenstelling tot vorig jaar (rol van de leerkracht) was het dit jaar van belang om in te zoemen op de rol van de leerlingen en de balans tussen leerling en leerkracht. Dit is het aspect stimuleren van betrokkenheid van leerlingen geworden. Dat er in dit schooljaar toevallig ook studiedagen waren rondom betrokkenheid en betrokkenheid stimuleren en we een expert in huis hadden was een uitkomst. De waarde van dit onderzoek ligt in de aanbevelingen en het doorlopen van een traject van Quickscan tot PARWO-aanbod. Er is aan den lijve ervaren wat er moet gebeuren om een gedegen PARWO-aanbod te geven. Er komt namelijk meer bij kijken dan alleen het gebruik van materialen tijdens je rekenles. De aanbevelingen zijn echt op de werkvloer gericht en zijn actief geformuleerd ook in de vorm van rekentips die weer gekoppeld zijn aan betrokkenheidtheorieën van Marzano. Het zijn geen onmogelijke aanbevelingen maar er heerst wel de achterliggende gedachte: nu is het een kwestie van doen, handelen en patronen doorbreken. Ik geef daarom ook geen advies voor vervolgonderzoek. Wat een van de mooiste conclusies was, was de grote waarde van betrokkenheid tijdens een rekenles. Tijdens het PARWO-aanbod was te zien dat leerlingen betrokken waren vanuit zichzelf tijdens een rekenles. Ze wilden oplossingen vinden. Er was intrinsieke motivatie en dit kwam door een andere manier van inrichten van het onderwijs op gebied van begeleiding en organisatie. Uit die observaties/interviews zijn ook de meeste aanbevelingen gekomen. In eerste instantie wilden we vier soorten leerlingen observeren per groep 7, die verschilden in niveau en in doen en laten wat betreft rekenen. Echter, het paste niet in de werkwijze van de expert om alleen vier kinderen te filmen ter observatie. De leerlingen werden gefilmd in groepen en opvallende leerlingen in betrokkenheid. Dit hebben we dus moeten aanpassen. Dat was jammer omdat je anders nog specifieker kon bepalen of leerlingen door het PARWO-aanbod en het handelen van de leerkracht werden aangesproken op hun rekenniveau en daardoor betrokkenheid lieten zien. Wat wel bleek uit de observaties was wanneer een kind grip verloor aan het eind van een PARWO-aanbod en dat door het missen van rekenniveau er ook sprake was van vermindering van betrokkenheid. Dit was een belangrijk inzicht en geeft ook het belang aan van de leerkracht op zo’n moment. Dan moet de leerkracht sturen en vragen stellen om het kind weer grip te laten krijgen op de stof. Evaluatie Er is in de onderzoeksgroep erg goed samengewerkt. We vulden elkaar goed aan en reikten elkaar ideeën en aanvullingen voor het theoretisch kader en het projectplan aan. Ik werd als hoofdonderzoeker gedegen ondersteund. Obstakels die ik ben tegengekomen waren het formuleren van de onderzoeksvraag, het beperken van het theoretisch kader (en deze rapportage) en het feit dat alle leerlingen gefilmd werden i.p.v. 8 leerlingen. Ik vond het formuleren van de onderzoeksvraag erg lastig. Er bleven haken en ogen aan zitten. Zelfs toen we al begonnen waren met de dataverzameling. We waren namelijk erg met betrokkenheid bezig en opeens zagen we dat dit begrip niet eens in onze onderzoeksvraag stond. Dit hebben we overlegd met Linda Keuvelaar (Academische Kenniskring) en Ad Grootswagers (begeleider SOP) en daarna aangepast. 69


Wat ik als hoofdonderzoeker lastig vind is om kort en bondig te schrijven. Ik wil geen detail overslaan, bang om iets te vergeten. Daarom was mijn theoretisch kader omvangrijk. Uiteindelijk heb ik Ad Grootswagers om hulp gevraagd om de belangrijke aspecten van de minder belangrijke aspecten te onderscheiden. Het idee om acht leerlingen te selecteren met verschillende niveaus op rekengebied en verschillende uitkomsten van de Quickscan had misschien een nog helderder beeld gegeven. Echter, ik heb deze leerlingen in het gefilmd materiaal teruggezien en alsnog een helder beeld gekregen over de betrokkenheid van leerlingen met verschillende niveaus. Er was gelukkig onderzoeksmateriaal genoeg om dat eruit te kunnen halen. Wat ik fijn vond was dat er een expert voor betrokkenheid aanwezig was en dat zij aspecten van betrokkenheid kon waarnemen bij leerlingen en leerkrachten daarop kon bevragen. Als ik weer onderzoek zou doen, zou ik weer een onafhankelijk persoon inschakelen. Daar leer je zelf ook veel van. Ook het doorlopen van Quickscan tot PARWO-aanbod zou ik de volgende keer weer doen. Daar leer je zoveel van waardoor het voor mij gemakkelijker was om aanbevelingen te doen. Ik ben namelijk zelf tegen lastige aspecten aangelopen en kan die ervaringen nu omzetten in tips. Als ik meer tijd had gehad zou ik in alle bouwen een Quickscan hebben uitgevoerd om aan de hand daarvan aanbod creëren samen met de leerkrachten. Dan was het nog meer schoolbreed geweest. Dit was organisatorisch en door tijdsgebrek niet mogelijk. Voor mijn persoonlijke ontwikkeling heeft dit onderzoek er vooral aan bijgedragen dat ik me bewust werd van mijn schrijfstijl en formulering. Hoe houd ik het begrijpelijk voor anderen? Ook ben ik me nog meer gaan verdiepen in de rekendidactiek van PARWO en hebben de bezoeken aan het PARWO-lab mij weer meer inzicht gegeven in hoe je rekenonderwijs vormgeeft. Ik merkte ook dat collega’s van de rekenwerkgroep mij al vaak om advies vroegen rondom het begrip PARWO. Dat wil zeggen dat ze me vertrouwden in mijn kennis. Verder heeft alle kennis die ik verkregen heb op het gebied van betrokkenheid mij erg gestimuleerd gedurende dit onderzoek. Ik heb gewoon met eigen ogen gezien dat het inspelen op inzicht en betrokkenheid werkt. Dat is geweldig. Ook het leren analyseren en conclusies trekken uit alle gegevens was voor mij weer erg leerzaam. Verbanden leggen vind ik altijd erg leuk maar als je het dan ook op papier ziet maakt je dat erg vrolijk. Ik kijk dus met plezier terug op dit onderzoekavontuur en wil vooral de onderzoeksgroep en collega’s bedanken die mij hebben ondersteund tijdens dit avontuur.

70


8. Literatuur Artikelen en boeken: • Craats, van de J. (2008) Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Zwartboek rekenonderwijs. Binnengehaald 24 februari 2012 van http://www.science.uva.nl/~craats •

Graaff, F. (2011) Schoolontwikkelproject: Welke mogelijkheden biedt de afname van de Quickscans van PARWO om de rekenvaardigheden in beeld te brengen? Binnengehaald 9 november 2011 van http://www.parwo.yurls.net/nl/page

•

Gravemeijer, K.P.E. & Eerde, van H.A.A. (2004) Verschil maken. Freudenthal instituut. Pag. 13- Binnengehaald 10 februari 2012 van http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/6148.pdf

•

Marzano, R.J, (2011) Hoe krijg ik betrokken leerlingen? In F. Coert, V. Zaal en J. Maarschaalkerweerd,A. Boin, K. de Jong, D. Kopmels, A.M. Dogger-Stigter. De kunst en wetenschap van het lesgeven. Een evidence-based denkkader voor goed, opbrengstgericht onderwijs. Tien vragen (en antwoorden) om uw lessen sterker te maken, (blz. 146-171). Vlissingen: Bazalt

•

Moerlands, F. & Straaten, van der D. (2009) PARWO Quickscan handleiding , Grip op ontwikkeling blz. 8-9.

•

Moerlands, F. & Straaten, van der H. (2009). Passend reken-/wiskundeonderwijs voor alle leerlingen. Binnengehaald 9 november 2011 van http://www.parwo.yurls.net/nl/page

•

Moerlands, F., Straaten, D. van, Straaten, H. van. (2008), Quickscans met de PARWO-matrix. (Bronkopij voor een artikel in het vakblad volgens Bartjens)

•

Vermeulen, W., Moerlands F. & Wert, P. (2008) Faseren bij het leren van rekenen en wiskunde. JSW 92, 7-11. Binnengehaald 4 februari 2012 van http://www.parwo.yurls.net/nl/page

•

Zien: artikelen en handleidingen, een observatie-instrument voor sociaal-emotioneel welbevinden. Ontwikkeld door leerlingvolgsysteem Parnassys en Driestar onderwijsadvies. Binnengehaald 12 maart 2012 van https://start.parnassys.net/bao/groups.zien.informatief.m?5

Websites: • http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/6148.pdf • http://www.fi.uu.nl/rekenweb/referentiekader/ • http://www.fi.uu.nl/rekenlijn/leerlijnen/ • http://www.malmberg.nl/Basisonderwijs/Methodes/Rekenen/Pluspunt/ • http://www.parwo.nl/parwoposter/competenties/ • www.parwo.nl/.../POM-5-referentieniveau-matrixcompetenties.pdf • http://www.parwo.yurls.net/nl/page • http://www.rijksoverheid.nl/onderwerpen/taal-en-rekenen/duidelijke-eisen-aan-taal-enrekenen/referentieniveaus-rekenen • http://www.science.uva.nl/~craats • https://start.parnassys.net/bao/groups.zien.informatief.m?5 • www.tule.slo.nl/RekenenWiskunde

71

Rekeninzicht en betrokkenheid creëren in het rekenonderwijs op basisschool Het Palet

Recommend Documents