Inhoudsopgave
Inleiding .................................................................................................................................................. 4 Onderzoeksvragen............................................................................................................................... 5 Hoofdstuk 1
Het rekenonderwijs op de basisschool.................................................................. 8
Inleiding .............................................................................................................................................. 8 Een controverse: realistisch versus traditioneel rekenen ........................................................... 8 De wereld in getallen, groep 8...................................................................................................... 13 Breuken ........................................................................................................................................ 16 Verhoudingstabel........................................................................................................................ 19 Volgorde bij berekeningen......................................................................................................... 19 Iets over andere methodes ........................................................................................................... 20 Hoofdstuk 2
Rekenen op het 4e gymnasium............................................................................. 22
Inleiding ............................................................................................................................................ 22 Getal en ruimte 1 vwo 1en 2 ......................................................................................................... 23 De rekenhoofdstukken ................................................................................................................... 24 Volgorde bij berekeningen............................................................................................................. 24 Eenvoudige bewerkingen met breuken................................................................................... 25 Complexe bewerkingen met breuken ...................................................................................... 28 Werken met verhoudingstabellen............................................................................................. 28 Sommen in context......................................................................................................................... 30 De eigen didactiek .......................................................................................................................... 30 Samenvattend ................................................................................................................................. 31 Hoofdstuk 3
Het belang van rekenvaardigheden..................................................................... 33
Inleiding ............................................................................................................................................ 33 De kerndoelen. Een stukje geschiedenis.................................................................................... 33 Concretisering van de kerndoelen ............................................................................................... 34 PPON en de vertaling van kerndoelen........................................................................................ 34 Een paar voorbeeldsommen. Deelvraag 8 ................................................................................. 35 Concretisering van kerndoelen. Expertgroep doorlopende leerlijnen. ................................... 38 Over de resultaten van het reken- en wiskundeonderwijs in Nederland................................ 39 Het belang van rekenvaardigheden............................................................................................. 40 2
Hoofdstuk 4
Praktijkgedeelte....................................................................................................... 45
Inleiding ............................................................................................................................................ 45 Opzet en doelstellingen van de cursus Eerste Hulp Bij Breuken............................................ 45 Opzet ................................................................................................................................................ 45 Didactiek .......................................................................................................................................... 46 Experimentele opzet....................................................................................................................... 46 Tijdspad............................................................................................................................................ 47 Verloop ............................................................................................................................................. 47 Resultaten........................................................................................................................................ 48 Direct cursusresultaat. De toets van 10 februari........................................................................ 48 De toets van 24 maart. 1D versus 1E.......................................................................................... 49 Enquête ............................................................................................................................................ 50 Hoofdstuk 5
Conclusies en aanbevelingen............................................................................... 52
Inleiding ............................................................................................................................................ 52 Deelvragen 1 tot en met 4 en hoofdvraag .................................................................................. 52 Deelvragen 5 tot en met 9 ............................................................................................................. 54 Hoofdvraag van het praktijkdeel. Deelvraag 10......................................................................... 56 Discussie en aanbevelingen. Deelvraag 11 ............................................................................... 57 Slotwoord ......................................................................................................................................... 59 Literatuurlijst ........................................................................................................................................ 60 Bijlage 1 Overzicht niveaus 1F en 1S voor het subdomein Verhoudingen. Bron: Over de drempels met rekenen, blz. 54 ......................................................................................................... 62 Bijlage 2 Voorbeelden van sommen die zonder rekenmachine kunnen worden gemaakt en in SO’s voor de eerste en tweede klassen werden ingezet. ........................................................ 63 Bijlage 3
Cursusresultaten 10 februari in vergelijking met het SO van 14 oktober............... 65
Bijlage 4
De grote Ik reken mij een breuk toets.......................................................................... 68
Bijlage 5
D E G R O T E I K R E K E N M I J E E N B R E U K T O E T S .................. 77
Bijlage 6
De sommen uit het SO van 14 oktober, en resultaten per klas............................... 80
Bijlage 7
Toets van 10 februari ..................................................................................................... 81
Bijlage 8
Voorbeeld cursusmateriaal............................................................................................ 84
Bijlage 9
Enquête en resultaten.................................................................................................... 88
3
Inleiding
In deze afsluitende opdracht van de opleiding tot tweedegraads wiskundedocent wil ik mij richten op de beheersing van basisrekenvaardigheden van de eersteklassers. e Ik werk op het 4 gymnasium te Amsterdam, de leerlingen op deze school mag je typeren als intelligent, en zeker de eersteklassers als gemotiveerd en leergierig, maar sommen waarin verschillende bewerkingen met breuken een rol spelen, en sommen waarbij de volgorde van berekeningen wordt geoefend of getoetst, worden slecht tot zeer slecht gemaakt. Ook het toepassen van verhoudingstabellen is moeilijk voor de leerlingen. Ik ben mij ervan bewust dat het thema in de media de afgelopen jaren zeer veel aandacht heeft gekregen. Er is brede twijfel ontstaan over de kwaliteit van het rekenonderwijs op met name de basisscholen, maar ook in de eerste jaren van het voortgezet onderwijs. In deze afstudeeropdracht zullen wij aandacht besteden aan de discussie zoals die in de media is gevoerd. Ik meen zeker niet op grond van al die aandacht voetstoots te mogen aannemen dat die basale rekenvaardigheden zo belangrijk zijn en dat er tegelijk veel schort aan die vaardigheden. In deze studie moet duidelijk worden welk belang er in de betreffende literatuur gehecht wordt aan basisrekenvaardigheden. In hoofdstuk 3 zullen we zien dat aan die vaardigheden een algemeen maatschappelijk belang wordt gehecht. Daarnaast is het idee algemeen geaccepteerd dat de studie rekenen en wiskunde sterk cumulatief van karakter is en rekenen als vaardigheid de basis vormt van het vakgebied. Schort het bij de huidige generatie middelbare scholieren aan rekenvaardigheden? Is wat ik signaleer als een veel breder probleem herkenbaar in het huidige basisonderwijs? 9 van 26 leerlingen hebben slechts 2 of minder van 4 sommen over de volgorde van berekeningen ( voorbeeld 8 × 6 − (3 − 1) ) goed. Pittige sommen met breuken en verschillende bewerkingen ( voorbeeld 2
1 4 8 ) worden heel × + 5 11 22
slecht gemaakt: 4 leerlingen van 26 hebben alle 3 de sommen goed, 7 leerlingen hebben ze allemaal fout. Breuken optellen en vereenvoudigen gaat beter, 17 van 26 leerlingen maakt alle 3 de opgaven ( voorbeeld
7 1 + 15 10
) goed. Een som
waarin een verhoudingstabel moet worden toegepast wordt door 6 van 26 leerlingen niet goed gemaakt. Ik verwacht hier een hogere score, zulke sommen sluiten goed aan bij het rekenonderwijs op de basisschool. Alle typen sommen zijn vooraf behandeld en geoefend. Wat zegt onderzoek hierover? Deze vragen moeten, lijkt me, in dit werkstuk beantwoord worden. Kan ik de geconstateerde rekenproblemen verbeteren? Ik zal materiaal ontwikkelen waarmee ik probeer dit te bereiken en het resultaat toetsen in een experimentele groep en een controlegroep. In hoofdstuk 1 van dit werkstuk zult u lezen dat het oefenen van verhoudingstabellen uiteindelijk niet in de cursus is opgenomen. Reden is dat we de meer formele rekentechnieken willen ontwikkelen. De verhoudingstabel is weliswaar een zeer nuttig hulpmiddel dat didactisch steeds weer zijn nut bewijst, maar tegelijk willen we dat de leerlingen hun rekenvaardigheid met breuken naar een niveau tillen waarbij
4
toepassing van die verhoudingstabel niet langer nodig is. In hoofdstuk 1 zien we bovendien hoe de aandacht die in de methode Getal en Ruimte aan het onderwerp wordt besteedt een voorbereiding blijkt te zijn op de introductie van lineaire grafieken door het punt (0,0). Onderzoeksvragen
De centrale probleemstelling voor het theoriegedeelte luidt:
Welke verklaring kan ik geven voor de tegenvallende rekenvaardigheden van leerlingen in de eerste klas van het gymnasium?
De centrale probleemstelling voor het praktijkgedeelte luidt:
Kan ik deze rekenvaardigheden verbeteren binnen de normale lestijd?
Om deze vragen te kunnen beantwoorden en wat meer diepte te geven moet een aantal deelvragen worden beantwoord. ik specificeer alvast het volgende:
• •
Het gaat om eersteklas gymnasiasten De rekenvaardigheden waar het met name om draait zijn o Het vereenvoudigen van breuken o Bewerkingen met breuken o Toepassen van verhoudingstabellen o Volgorde van bewerkingen (haakjes wegwerken en de basisbewerkingen: optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen)
Deelvragen
1. Hoe ziet het rekenonderwijs op de basisschool er globaal uit? Ik denk met name aan kenschetsing in termen van contextrijk versus contextarm, realistisch versus traditioneel, gericht op situationele toepassing of op beheersing van schoolse rekenregels? 2. Hoe ziet het rekenonderwijs in de methode Getal en Ruimte in het eerste jaar van het vwo (deel 1 vwo 1 editie 2003) eruit? Is de methode realistisch of traditioneel, contextrijk of contextarm? Met welk type sommen in de methode Getal en Ruimte zijn de leerlingen vanuit het primair onderwijs vertrouwd, welke zijn nieuw voor ze?
5
3. Welke didactische technieken worden veelal gebruikt in het basisonderwijs, met name bij het aanleren van rekenen met breuken? 4. Sluit mijn eigen didactiek hierop aan? 5. Sluit de didactiek van de methode Getal en Ruimte (in met name het eerste jaar) aan op de didactiek van de gebruikte methodes in het primair onderwijs? 6. Wat valt er nu te zeggen over de aansluiting van het rekenonderwijs op de e basisschool op het rekenonderwijs van het 4 gymnasium? 7. Welk niveau van rekenvaardigheid mogen we voor onze doelgroep volgens de overheid eigenlijk veronderstellen? En wat zegt de literatuur hierover? 8. Sluiten de door mij geconstateerde rekenproblemen aan op wat in den lande wordt aangetroffen? 9. Wat zegt de literatuur over het aanleren en onderhouden van rekenvaardigheden en wat betekent dit voor het onderwijs in rekenvaardigheden bij ons op het 4e? 10. Welke concrete voorstellen kan ik na evaluatie van het praktijkdeel en gelet op wat in de literatuur hierover gezegd is doen om de rekenvaardigheden te verbeteren en te onderhouden?
Voor de deelvragen 1 en 3 beperk ik mij tot een studie van de gebruikte methodes, en dan vooral de methode de wereld in getallen van uitgeverij Malmberg. Ik erken dat er tussen basisscholen onderling grote verschillen zijn, afhankelijk van met name de leekracht die voor de klas staat. Een studie van de lespraktijk op basisscholen valt echter buiten het bestek van deze scriptie. De vragen 1 tot en met 5 zijn deelvragen die moeten helpen om de belangrijke deelvraag 6 te beantwoorden: Wat valt er nu te zeggen over de aansluiting van het rekenonderwijs op de basisschool e op het rekenonderwijs van het 4 gymnasium? Hier gaat natuurlijk een hypothese achter schuil: Wellicht verklaart een gebrekkige aansluiting van primair en voortgezet onderwijs op het gebied van rekenvaardigheden het tegenvallende prestatieniveau? Een andere hypothese zou zijn dat hetzij het primair onderwijs niet voldoet aan e verwachtingen die je redelijkerwijs mag koesteren, of dat wij op het 4 , hierin gestuurd door de gebruikte methode, Getal en Ruimte, te hoge verwachtingen koesteren. Om hier iets over te kunnen zeggen gaan we in deze afstudeeropdracht opnieuw te rade bij de literatuur over dit onderwerp. e
Op het 4 gymnasium streven wij ernaar om in de eerste twee leerjaren de rekenmachine zoveel mogelijk ongebruikt te laten. Bij toetsen geldt dat de rekenmachine alleen mag worden ingezet bij speciale opgaven, verder gebeurt al het rekenwerk met de hand (of uit het hoofd). Vraag 9 geeft misschien zicht op de vraag of dit streven een goed idee is, en vooral of het genoeg is om rekenvaardigheden te onderhouden. Of is er meer nodig? In hoofdstuk 5 worden alle bevindingen uit het werkstuk aan de hand van deze deelvragen nog eens op een rijtje gezet. Ik geef les aan twee eerste klassen, ik wil graag één van de twee een cursus basisrekenvaardigheden aanbieden. Gebleken tekorten in die vaardigheden zal de lesstof van de cursus uitmaken. Ik denk aan wekelijkse sessies van ongeveer 20 minuten. Geringe vertraging in de behandeling van de reguliere lesstof zal ik accepteren, hier en daar kan ik misschien iets uit de lesstof schrappen, maar een
6
lichte verhoging van de werkdruk voor deze experimentele groep is desondanks wellicht onvermijdelijk. Als nultoetsing kan een SO dienen dat reeds is afgenomen in beide klassen en waarin de rekenvaardigheden die hierboven zijn genoemd aan bod zijn gekomen. Op basis van dit SO worden de prestaties van de leerlingen nauwkeurig in kaart gebracht. Ik vind het belangrijk om de cursus gedifferentieerd aan te bieden, met andere woorden: er moet ook iets te leren zijn voor die leerlingen die moeiteloos breuken vermenigvuldigen, vereenvoudigen en delen. Door mij reeds bestudeerde literatuur onderstreept het belang van differentiatie. Er komt een eindmeting ongeveer twee maanden na het afsluiten van de cursus. Het is natuurlijk duidelijk wat het doel is van de tussenliggende periode: ik wil graag weten of de leerlingen een langer durend profijt hebben van de cursus, niet slechts een kort durend. De resultaten leest u in hoofdstuk 4.
7
Hoofdstuk 1
Het rekenonderwijs op de basisschool.
Inleiding
We zullen in dit hoofdstuk aan de hand van de gebruikte rekenmethodes een beeld proberen te geven van stijl en inhoud van het rekenonderwijs op de basisscholen in Nederland. Welke sommen worden de kinderen aangeboden? Met welke technieken wordt ze geleerd op te tellen en af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen? Krijgen ze veel rijtjessommen of juist veel verhaaltjessommen? Wat is het aanbod aan sommen met name op het gebied van breuken, verhoudingen en volgorde bij berekeningen, in aard, omvang en niveau? Vragen die voor ons relevant zijn en waarop we een antwoord zullen proberen te geven aan de hand van relevant onderzoek en een studie van de op de basisscholen gebruikte rekenmethodes. Als voorbeeld voor het aanbod aan reken- en wiskundeonderwijs gebruik ik ‘De wereld in getallen’ van uitgeverij Malmberg. In de loop van dit hoofdstuk zal ik rekenboek b voor groep 8 uit deze methode uitgebreid bespreken. Ook de belangrijkste overige rekenmethodes komen in dit hoofdstuk ter sprake. Volgens onderzoek van de Stichting Cito Instituut voor toetsontwikkeling, de vierde Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON 2004), beheersen in 2004 drie methodes driekwart van de markt voor rekenonderwijs op de basisscholen. Deze methodes zijn Pluspunt, met een aandeel van 40 %, De Wereld in Getallen met een aandeel van bijna 20 %, en Rekenrijk met een aandeel van ongeveer 15 %. Daarnaast geven twee van de drie leerkrachten aan ook andere methodes te gebruiken. De gemiddelde lestijd besteed aan rekenen en wiskunde in de bovenbouw van het primair onderwijs is volgens ditzelfde onderzoek 5 uur per week, maar op scholen waar relatief veel allochtone leerlingen zitten komt daar een half uur per week bij. Mijn zoon (7 jaar oud) heeft in een doorsnee schoolweek vier lesdagen van ongeveer 5 ½ uur, de woensdag is 3 uur school, dus samen zo’n 25 uur. Een sommetje leert dat in het primair onderwijs ongeveer 1/5 van de lestijd aan rekenen wordt besteed. We ontkomen er niet aan (willen dit ook niet) iets te zeggen over de controverse die in de media heerst over het rekenonderwijs. Wij zullen proberen ruimte te scheppen voor een genuanceerde opstelling in dezen. Een controverse: realistisch versus traditioneel rekenen
Alom wordt het beeld bevestigd dat de realistische rekenmethode het pleit heeft gewonnen en in het primair onderwijs overheerst ten nadele van het traditionele rekenen. Marja van den HeuvelPanhuizen bijvoorbeeld, hoogleraar didactiek reken-wiskundeonderwijs aan het Freudenthal Instituut en verdediger van de realistische methode zegt dat we voor een vergelijking van de resultaten van realistisch reken en traditioneel rekenen terug moeten naar gegevens van het Cito van vóór de invoering van de nieuwe methodes (NRC 5 november 2009). Volgens de stichting BON (Beter Onderwijs Nederland) verpakken alle rekenmethodes in het basisonderwijs hun opgaven in een ‘realistische context’ zodat veel tijd wordt besteed aan lezen, tijd die ten koste gaat van het daadwerkelijke rekenen. Vergelijkend onderzoek is niet mogelijk want, zo klinkt het ook hier, andersoortige methodes dan de realistische ter vergelijking zijn er domweg niet (http://rekenhulpbasisschool-pabo.nl/methodeAnalyse/methodeAnalyse.html).
8
Nu is inderdaad met name de staartdeling, als icoon van het traditionele rekenen, zo goed als verdwenen uit het rekenpakket, althans volgens het PPON 2004-onderzoek. (Een stuk of 5 leerlingen in elk van mijn twee eerste klassen kennen de staartdeling echter wel, zo bleek me in oktober bij navraag). Toch is het niet zo dat traditionele cijferalgoritmes verdwenen zijn uit het rekenonderwijs. Ze worden alleen anders geïntroduceerd. De methodiek is, conform de opvattingen van het realistisch rekenen, gebaseerd op begrip, compacte algoritmes worden ontwikkeld vanuit meer inzichtelijke strategieën. In het reeds genoemde onderzoek (PPON 2004) spreekt men van een aanvankelijk kolomsgewijze rekenstrategie die bijvoorbeeld voor het optellen en aftrekken in groep 6 wordt vervangen door een traditioneel cijferalgoritme. Voor vermenigvuldigen volgt die overstap in groep 7. Voor de hoofdbewerking ‘delen’ wordt eigenlijk alleen nog de kolomsgewijze aanpak geleerd. Ofwel, nogmaals: exit staartdeling. Laten we eens een voorbeeldje geven van zo’n kolomsgewijze deelsom.
Figuur 1
Hier de staartdeling.
Figuur 2
Onder wiskundigen en docenten is de controverse tussen de aanhangers van het realistisch rekenen en het traditioneel rekenen uitentreuren bekend. Maar leken kan aan de hand van bovenstaande voorbeelden van de aanpak van een deelsom goed worden uitgelegd waarop die controverse zich toespitst. De opgave waarom het gaat is: deel 341 door 12. De eerste kolomsgewijze deelsom, linksboven, laat de aanpak zien van een beginnende leerling, die daarnaast van een gevorderde leerling. De laatste ziet in één keer dat je best 30 x 12 kunt nemen en is sneller bij zijn doel. De kolomsgewijze aanpak is inzichtelijk, dit in tegenstelling tot de staartdeling, die uitblinkt in beknoptheid maar waarbij voor de leerling niet duidelijk is waarom-d-ie werkt. Er wordt handig gebruik gemaakt van de positie van de cijfers in het getal. Je moet wel goed je tafels kennen, als je verkeerd instapt gaat het mis. Kijk maar:
9
Figuur 3
Zo’n ‘verkeerde’ instap is bij de kolomsgewijze aanpak geen probleem, zoals in het voorbeeld te zien is. De meer geoefende staartdelingrekenaar merkt het overigens meteen als zijn eerste stap niet goed is: zijn rest na eerste vermenigvuldiging is groter dan 12 (19 in ons voorbeeld). De voorstanders van het traditionele rekenen zeggen dat het kunnen voorop moet staan, het begrip zal bij veel leerlingen later volgen. De realistische methode kiest voor een rekenaanpak ontwikkeld vanuit inzicht in de techniek van het rekenen. Een vlotte en efficiënte aanpak komt dan later. Inderdaad: de controverse spitst zich hierop toe. Maar controverses werken bewustzijnsvernauwend, en de verdedigers van het realistische rekenen hebben moeite om de veel bredere inzet van hun rekendidactiek voor het voetlicht te brengen. In de kranten wordt de strijd voor een publiek van leken uitgelicht en geweldig versimpeld, net als bijvoorbeeld in het BON-kamp waar de zwakke punten van de realistische benadering nadruk krijgen en de goede onbenoemd blijven. Je kunt voor sommetjes die bij uitstek worden getraind bij het traditionele rekenen heel goed aantonen dat leerlingen die…traditioneel rekenen, ze goed maken, beter dan de realistische rekenaars die juist excelleren in contextsommen. Je kunt de staartdeling bejubelen, maar de niet-inzichtelijke werkwijze is wel degelijk een nadeel. Tegelijk is het niet moeilijk de lachers op de hand te krijgen en de scepsis tegen de ‘nieuwerwetse rekenmethodes’ te mobiliseren als de PABO-student dit in zijn rekenhandboek aantreft:
10
Figuur 4
Als wiskundedocent neem ik mijn petje af voor wie zich zonder haperen van deze aanpak weet te bedienen. Het voorbeeld komt van Jan van de Craats, hoogleraar wiskunde en maatschappij aan de Universiteit van Amsterdam en hoogleraar wiskunde, in het bijzonder het wiskundeonderwijs, aan de Open Universiteit. Het is te vinden in zijn lezing Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen, een titel die provocerend klinkt wat dan ook zo bedoeld is. Deze kolomsgewijs uitgevoerde deelsom schiet zijn doel (inzichtelijkheid) voorbij omdat de procedure te ingewikkeld is. Maar omgekeerd kun je het traditionele rekenonderwijs te kijk zetten door erop te wijzen dat al die rijtjes oefensommen voor de leerlingen een zinloze oefening vormen als ze vervolgens niet weten hoe ze deze ‘rekentrucs’ moeten toepassen in uiteenlopende contexten. Het jongste geluid in de discussie over het rekenonderwijs op de Nederlandse basisscholen stelt heel deze controverse terzijde en beweert dat niet de gebruikte methode debet is aan het slechte rekenpeil van de leerlingen van groep 8, maar de ontbrekende rekenvaardigheid van de onderwijzers. Het gaat hier om het rapport ‘Rekenonderwijs op de basisschool’, op 4 november 2009 gepresenteerd door Robbert Dijkgraaf, president van de KNAW. Ik wil daar in hoofdstuk 3 op terugkomen als we het belang van rekenvaardigheden, zowel voor de wiskunde als in bredere maatschappelijke zin, aan de orde stellen. Voor nu wil ik concluderend samenvatten wat tot nog toe is gezegd over de heersende
11
controverse tussen realistisch en traditioneel rekenen en verder gaan met een verkenning van de in het basisonderwijs gebruikte rekenmethodes. Samenvattend: In het realistische rekenen staan inzicht, creativiteit en toepassing centraal. Men biedt oplossingsstrategieën aan die inzichtelijk zijn, die door de leerling deels zelf worden ontworpen en dus per leerling kunnen verschillen. Er is aandacht voor schattend rekenen en voor getallen en getalrelaties. Sommen worden van een context voorzien, hetzij met tekst of plaatjes. Het traditionele rekenen legt de nadruk op het aanleren van rekenvaardigheden met behulp van algoritmes die snel en efficiënt zijn maar niet altijd inzichtelijk. Het inslijten van de verlangde vaardigheden gebeurt door herhaalde oefening. Toepassing van de geleerde vaardigheden in een gevarieerde context krijgt verhoudingsgewijs minder aandacht. De controverse in de media over de rekenmethodes in het basisonderwijs geven soms een karikaturaal en eenzijdig beeld van met name de realistische rekenmethode. Ik besluit met een citaat uit het eerder genoemde KNAW-rapport:
‘Samenvattend concludeert de commissie dat het door haar bestudeerde materiaal geen algemene wetenschappelijk gefundeerde uitspraken over de relatie tussen rekendidactiek en rekenvaardigheid rechtvaardigt. In het bijzonder zijn er geen harde onderzoeksresultaten die de claims van enige partij in de discussie over traditioneel versus realistisch rekenen op overtuigende wijze ondersteunen.’
12
De wereld in getallen, groep 8. Op zo’n 20 % van de basisscholen in Nederland wordt de methode ‘De wereld in getallen’ van uitgeverij Malmberg gebruikt. Wij willen in deze paragraaf proberen een zo concreet mogelijk beeld te geven van het rekenonderwijs op de Nederlandse basisscholen door uit te gaan van het rekenboek voor groep 8 van deze methode. Waarom juist deze methode? Wel, we moeten in elk geval een keuze maken want uitgebreide en van voorbeelden voorziene bespreking van alle drie de genoemde methodes, samen goed voor 75 % van het marktaandeel, voert eenvoudig te ver. Aangezien alle drie de methodes realistisch van opzet zijn werd de keuze vervolgens bepaald door de beschikbaarheid in de bibliotheek van de ehva, vestiging Wenckebachweg. Waarom groep 8? Het antwoord is niet moeilijk: we willen verderop in deze studie iets kunnen zeggen over aansluitingsproblemen tussen het rekenonderwijs op de basisschool en het wiskundeonderwijs op het gymnasium en moeten dus weten op welk niveau en met welke bagage onze leerlingen bij ons aan de poort verschijnen.
13
Figuur 5
Ik bespreek rekenboek b groep 8. Het boek is uitgevoerd in een formaat dat iets afwijkt van een a4-tje. Dat levert ruime bladzijden op. Tegenover het colofon een paginagrote kleurenprent in vogelperspectief van een levendig straatje waarin van alles gebeurt: de weg is opgebroken, een straatlantaarn wordt gerepareerd door een arbeider in een hoogwerker, over de schutting van een kunstijsbaan trekken schaatsers hun rondjes, een bestelbusje laadt uit, een postbode doet haar werk. Kortom, het boek wil uitnodigend zijn en is dat ook: veel plaatjes bij de rekenopgaven, de bladspiegel is nooit eender, de opgaven zelf zijn gevarieerd van opzet. De opgaven worden per taak aangeboden, een taak beslaat meestal 2 bladzijden. Er zijn opgaven die alle kinderen moeten maken, en differentiatieopdrachten voor ‘de betere rekenaars’. Achterin het boek bevinden zich extra opgaven voor, opnieuw, de betere rekenaars. Terugkerende onderdelen bij de meeste taken zijn ‘handig rekenen’, ‘vlug en goed’ , en ‘cijferen’. Bij handig rekenen gaat het om het uit het hoofd uitrekenen van eenvoudige opgaven, gebruikmakend van een handige strategie. Vlug en goed presenteert opgaven waarbij de kinderen routinematig rekenen: het gaat om het onderhouden van verworven kennis en vaardigheden. Cijferen ten slotte geeft sommen op die de kinderen veelal met pen en papier te lijf moeten, bijvoorbeeld
14
vermenigvuldigingen met lastige getallen. Dan zijn er opgaven die een specifiek rekenkundig domein behandelen, bijvoorbeeld breuken, verhoudingen of procenten. Opgaven worden regelmatig rond een thema gegroepeerd, bijvoorbeeld schaatsen, voetbal, het openbaar vervoer of de energierekening. Er zijn rijtjesopgaven, verhaaltjessommen, puzzels waarbij vaak in tweetallen gewerkt mag worden, en raadsels. Figuur 5 geeft een voorbeeld dat representatief is voor het gehele boek. We zien de opgaven 3 en 4 van taak 12. Taak 12 behandelt breuken in een rijke variatie aan problemen. Er zijn rijtjessommen en verhaaltjessommen. De met een sterretje aangeduide sommen zijn, zo legt de handleiding uit, differentiatiesommen: het zijn moeilijker sommen voor de betere rekenaars. De minder goede rekenaars hoeven ook som 4e en som 4g niet te doen. Meer sommen voor de betere rekenaars bevinden zich, zoals reeds gezegd, achterin het boek. Voor we onze aandacht richten op breuken en verhoudingen, en op ‘volgorde bij berekeningen’ wil ik hier een niet uitputtende opsomming geven van de rekenvaardigheden die in dit leerboek worden aangeboden aan de kinderen. •
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen komen ruimschoots aan bod in verschillende soorten sommen (bijvoorbeeld rijtjessommen, tabellen, puzzels en verhaaltjessommen). Vaak kan de som zonder pen en papier worden opgelost, maar ook berekeningen met lastiger getallen die vragen om een aanpak met pen en papier worden gevraagd. Bij deelsommen hoeven geen decimalen te worden berekend.
•
Volgorde bij berekeningen wordt gevraagd in sommen als ( 22 + 23 + 25 ) : 5 en
8 + 10 : 2 .
Ingewikkelder opgaven als ( 364 − 239 ) × 8 : 5 tref je ook aan maar die worden gedaan op de •
rekenmachine. Omgaan met het decimale stelsel en met kommagetallen wordt uitgebreid en gevarieerd geoefend. De kinderen moeten de waarde van de cijfers in een getal afhankelijk van hun plaats kennen, bijvoorbeeld het cijfer 3 in het getal 431 staat voor 30. Ze moeten kommagetallen als breuken kunnen schrijven en in eenvoudige voorbeelden dat ook 3
andersom kunnen, dus bijvoorbeeld 4 = ...? Ze moeten een getal vlot met 10, met 100 enzovoorts kunnen vermenigvuldigen. Vermenigvuldigen en delen met kommagetallen leren de kinderen door eerst de komma’s weg te werken en ze eventueel later weer terug te plaatsen. Voorbeeld: 24 × 2,82 wordt kolomsgewijs uitgevoerd als
24× 282 waarna de komma wordt teruggeplaatst. 556 ,5 : 7 wordt omgezet in 5565 : 70 en dan berekend.
•
•
•
•
Omrekeningen in het metrieke stelsel komen aan de orde. Voorbeeld: 3 m 3 = ... dm 3 . Zo wordt ook het rekenen met oppervlaktematen, lengtematen en gewichtsmaten geoefend. Naast deze rijtjessommen zijn er verhaaltjessommen. Rekenen met procenten wordt geoefend in rijtjessommen en verhaaltjessommen. Prijsverhogingen en kortingen komen aan bod, rentesommen, omzettingen van procenten naar breuken, en ook terugrekensommen. Voorbeeld: 25 % van mijn zakgeld is € 7,50. Wat is het totaal? Bij 60 % wordt deze som lastiger. Als uitleg bij dit type sommen wordt een dubbele getallenlijn gebruikt, een variant op de verhoudingstabel. Ik zal hier straks uitgebreider op ingaan. Met verhoudingen wordt geoefend in sommen waarin schaal een rol speelt, maar ook in rijtjessommen waarin verhoudingen van gehele getallen moeten worden omgezet naar procentverhoudingen ( 3 : 2 = ....% : ....% ). De meetkunde komt aan bod in oppervlakte- en inhoudsberekeningen. Op het einde van het boek wordt in de extra opgaven aandacht besteed aan de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel, aan het getal en de inhoud van cilinders.
π
dus. De oppervlakte van cirkels wordt behandeld
15
Bovenstaand overzicht is, zoals gezegd, niet uitputtend maar geeft de lezer hopelijk een indruk van wat zich in het besproken leerboek afspeelt aan rekenkundige activiteiten.
Breuken
Laten we nu heel specifiek de blik richten op de vaardigheden waar het ons in dit werkstuk vooral om gaat: bewerkingen met breuken, volgorde bij berekeningen en hanteren van verhoudingstabellen. Gelijknamig maken, optellen en aftrekken Wordt er geoefend met het gelijknamig maken en vervolgens optellen of aftrekken van breuken? De techniek wordt doorgaans geïntroduceerd in groep 7 van het basisonderwijs, en in ons boek voor 1
groep 8 geoefend als rijtjessommen in taak 25. Het gaat om 10 sommen, bijvoorbeeld 2 2 3
+ 14 = ... en
− 12 = .... . In taak 24 doen de kinderen 5 sommen zoals 0,75+ 12 = ... . Het gaat steeds om
breuken die een eindige decimale notatie toestaan en waarbij het antwoord een kommagetal is. Dergelijke oefeningen laat ik verder buiten beschouwing. Maar er zijn ook sommen van een andere opzet:
Figuur 6
Figuur 6 toont opgave 4d van taak 3. Hier moeten breuken gelijknamig worden gemaakt om de goede uitkomsten te vinden. Dat geldt ook voor onderstaande opgave:
16
Figuur 7
Figuur 7 toont een opgave waarbij het volstaat om goed te begrijpen wat de relatieve waarde is van bijvoorbeeld ½ en 1/3. zo kun je de opgaven oplossen zonder in veel gevallen een precieze berekening te maken. We zien dat de makers van het leerboek zich veel moeite getroosten om gevarieerde sommen aan te bieden en een puzzelelement te introduceren.
Figuur 8
Vermenigvuldigen en delen
Figuur 5 toont de sommen 3 en 4 van taak 12. Om de sommen 4b t/m 4f te kunnen maken volstaat het om een geheel getal te vermenigvuldigen met een breuk. Het is belangrijk op te merken dat de uitleg die in de handleiding wordt aangeboden bij som 4a niet de 3
4
formele rekenaanpak laat zien ( 4 deelis 15 dus geheel= 3 ×15 ) maar werkt met een dubbele getallenlijn (zie figuur….). Eenzelfde didactisch hulpmiddel wordt ingezet bij sommen van eenzelfde opzet, maar met procenten in plaats van breuken. De lijn wordt dan een procentenlijn genoemd. Het is feitelijk een variatie op de verhoudingstabel en een uitstekende manier om inzicht te bieden in de voorgelegde opgaven.
17
Figuur 9
De formele aanpak bij deze opgave hebben velen van ons gememoriseerd in de regel: delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde ( de omgekeerde breuk). In de handleiding bij de besproken methode, noch in andere rekenmethodes voor het basisonderwijs komt deze regel aan bod (zie Jan van de Craats, ‘Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen’). Taak 12 som 1 geeft een rijtje van 5 sommen zoals
3: 15 = ...: ...= …
De aanpak die hier wordt
aangeleerd is om aan beide zijden van het deelteken te vermenigvuldigen met het getal dat in de noemer staat. Alle tellers in het sommenrijtje zijn 1. In opgave 4g van taak 12 (zie opnieuw figuur 5) moeten de kinderen breuken delen door een geheel getal. 3
5
Sommen als 4 × 6 komen in geen enkele vorm voor. Vereenvoudigen Het vereenvoudigen van breuken wordt weinig geoefend in het boek. De handleiding geeft als advies om, bij wijze van instapoefening, enkele van de volgende rijtjes samen met de kinderen te maken:
1 3
= 62 = 93
3
en 4
= 86 = 12 16
Taak 3 geeft rijtjessommen met eenvoudige breuken waarbij ook de helen eruit gehaald moeten 20
worden, bijvoorbeeld 6
= ...
Een andersoortige opgave vinden we in som 5b en c van taak 21:
Figuur 10
18
Verhoudingstabel
In veel sommen is de verhoudingstabel een prima manier om de som aan te pakken. Soms wordt de verhoudingstabel in de som aangeboden en moet de leerling hem verder afmaken.
Figuur 11
Volgorde bij berekeningen
Zoals hierboven al opgemerkt worden sommen als ( 22 + 23 + 25 ) : 5 = ... en
8 + 10 : 2 = ...
aangeboden om te oefenen met volgorde van berekenen. Ingewikkelder opgaven als ( 364 − 239 ) × 8 : 5 tref je ook aan maar die worden gedaan op de rekenmachine. In het boek zijn maar heel weinig opgaven te vinden waarin deze vaardigheid wordt geoefend.
Voordat we conclusies trekken zullen we nog wat informatie over de andere rekenmethodes op een rijtje zetten. We maken gebruik van gegevens die op een site van stichting BON te vinden zijn (http://rekenhulp-basisschool-pabo.nl/methodeAnalyse/methodeAnalyse.html).
totaal aantal keer een klein rijtje sommetjes zoals: totaal aantal uren oefenen gedurende methode drie jaar
gedurende drie jaar
19
Pluspunt
13
2 uur
9
2 uur
8
1 uur
De wereld in getallen
Alles telt
Ik vond voor de methode De wereld in getallen in rekenboek b voor groep 8 één rijtje van dergelijke sommen, waarvan weliswaar de helft tellers bevat van 1… Iets over andere methodes Laten we er vanuit gaan dat de verhoudingen in de geleverde aantallen kloppen en constateren dat Pluspunt het er beter vanaf brengt dan De wereld in getallen, in een verhouding van 13 : 9 om precies te zijn. De methode Alles telt laten we verder buiten beschouwing omdat het geen veelgebruikte methode is. Helaas geeft de site geen vergelijkbare cijfers voor de methode Rekenrijk. Een bespreking van die methode door Henk Pfaltzgraff, te vinden via een link vanuit de eerder genoemde site, geeft geen aanleiding te veronderstellen dat Rekenrijk zich onderscheidt door een meer traditionele aanpak. Uit een ander overzicht, eveneens via een link vanaf de site te vinden, blijkt dat in Pluspunt, net zomin als in De wereld in getallen, vermenigvuldigen met breuken wordt behandeld, op een paar sommen na. Met het leren optellen en aftrekken van breuken met een verschillende noemer wordt begonnen halverwege het schooljaar in groep 7. Op basis van onze studie van rekenboek B voor groep 8 van De wereld in getallen, aangevuld met overzichtsgegevens voor de methode Pluspunt en een kleine studie door Henk Pfaltzgraff van de methode Rekenrijk, wil ik de bevindingen samenvatten en enige conclusies trekken die voor ons onderwerp van belang zijn. De rekenmethode De wereld in getallen biedt het oefen- en leermateriaal op een aantrekkelijke en gevarieerde manier aan. Allerlei typen sommen worden aangeboden en afgewisseld, waaronder rijtjessommen. Ik noem verder verhaaltjessommen, puzzels van allerlei vorm, schema’s, tabellen. Het zogenaamde cijferen, waarbij met pen en papier lastiger berekeningen moeten worden gedaan, wordt niet verwaarloosd. Uit met name het PPON 2004 onderzoek weten we dat een aanvankelijk kolomsgewijze rekenstrategie voor het optellen en aftrekken in groep 6 wordt vervangen door een traditioneel cijferalgoritme. Voor vermenigvuldigen volgt die overstap in groep 7. Voor de hoofdbewerking ‘delen’ wordt eigenlijk alleen nog de kolomsgewijze aanpak geleerd. Er is genoeg materiaal voor differentiatie. Samenvattend : Het algoritme voor het optellen en aftrekken van breuken met ongelijke noemer wordt geleerd in groep 7, ergens na de kerstvakantie. Er wordt weinig mee geoefend. Dat geldt in versterkte mate voor het vermenigvuldigen van breuken. Daar oefenen de kinderen bijna niet mee, net zomin als met het vereenvoudigen van breuken. Het is niet zo dat ‘breuken’ als thema niet aanwezig is in het rekenboek,
20
maar meestal gaat het om vragen waarbij verhoudingstabellen of een dubbele getallenlijn de weg naar het antwoord wijzen. Er wordt steeds geappelleerd aan een basaal inzicht in wat een breuk als getal of als verhouding betekent. De volgende stap, het aanleren van het bijbehorend algoritme, wordt niet gemaakt. Ook hebben we gezien dat bij het behandelen van het onderwerp ‘vereenvoudigen van breuken’ de (in de handleiding) gevolgde didactiek het wegstrepen van gelijke factoren onder en boven de breuklijn niet onder de aandacht brengt. De rekenregel ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk’ komt in het geheel niet aan bod. Ook sommen waarbij wordt geoefend met volgorde bij berekeningen biedt de hier onderzochte methode weinig aan.
21
Hoofdstuk 2
e
Rekenen op het 4 gymnasium
Inleiding
De leraar die zonder kennis van het rekenonderwijs op de basisschool zijn leerlingen door hoofdstuk 2 van deel 1vwo 1 van de methode getal en ruimte probeert te loodsen zal zich niet minder verbazen dan zijn leerlingen, zij het niet over hetzelfde. De leerlingen verbazen zich over zijn ondoorgrondelijke uitleg, de leraar over hun onbegrip. Zolang het niet te moeilijk wordt kunnen de leerlingen het vereenvoudigen van breuken prima aan, maar dat zij hierbij feitelijk teller en noemer door eenzelfde getal delen is veel leerlingen niet duidelijk. Pas je diezelfde techniek toe bij de vermenigvuldiging van breuken, een handigheid die je een hoop rekenwerk bespaart, dan haken bijna alle leerlingen af. Maar ook sommen waarbij geoefend wordt met de volgorde bij berekeningen blijken voor de leerlingen bijzonder moeilijk. De leraar erkent van lieverlee dat een beknopte uitleg niet volstaat. In dit hoofdstuk zullen wij kijken wat bij deel 1vwo 1 van de methode getal en ruimte het instapniveau is van met name rekenen met breuken, volgorde van berekeningen en het toepassen van verhoudingstabellen. We zullen zien of de rekenproblemen overwegend contextrijk, of contextarm worden aangeboden, of dat hierin wordt afgewisseld. We willen inzicht geven in hoe dit rekenonderwijs wordt vervolgd in het verloop van het eerste schooljaar. Aan het einde van het hoofdstuk zullen we de vraag beantwoorden hoe de aansluiting is van het rekenonderwijs op de e basisschool met het rekenonderwijs op het 4 gymnasium, toegespitst op de onderwerpen rekenen met breuken en volgorde bij berekeningen. We beginnen met een beschrijving van de vormgeving en verdere opzet en inrichting van de op het 4 gymnasium gebruikte methode. De keuze voor deze methode, ooit gedaan door de sectie wiskunde bij oprichting van de school, behandelen wij binnen het kader van deze scriptie als een gegeven.
22
e
Figuur 12
Getal en ruimte 1 vwo 1en 2
Voor het eerste schooljaar wordt gewerkt met twee boeken, waarin de stof wordt aangeboden in tien thematische hoofdstukken. Elk hoofdstuk wordt geïntroduceerd middels een prikkelende opgave die past bij de thematiek, en voorts met een korte opsomming van wat je leert en wat je nodig hebt. Ook staat vermeld wat het hoofdstuk aan ICT-opdrachten biedt. De bijbehorende software is vooralsnog op school niet geïnstalleerd, we maken dus geen gebruik van deze faciliteit en ik laat haar verder buiten beschouwing. De hoofdstukken zijn verdeeld in 5 of 6 paragrafen en worden steeds afgesloten met een samenvattende paragraaf, een diagnostische toets en herhalingsopgaven. De opgaven zijn per hoofdstuk doorlopend genummerd. Tussen de opgaven door staan meestal korte blokken theorie, waarvan de kern wordt samengevat onder een rode balk. Theorieblokken worden voorafgegaan door oriënterende opgaven. Afsluitende opgaven bevatten de kern van een paragraaf en geven het beoogde beheersingsniveau aan.
23
De bladspiegel is verlucht met tekeningen en foto’s die niet altijd inhoudelijk van belang zijn maar die de stof op een aantrekkelijke manier presenteren. Figuur 1 geeft een indruk.
De rekenhoofdstukken
Er zijn in dat eerste jaar twee hoofdstukken die vooral over rekenen gaan. Die bespreek ik als eerste, daarna zullen we zien welk rekenwerk in de overige hoofdstukken aan de orde komt. Hoofdstuk twee, Getallen, behandelt een heel scala aan rekenkundige problemen en begrippen, waaronder belangrijke begrippen uit de getaltheorie. De begrippen product, quotiënt, som, factor en term worden geïntroduceerd en uitgelegd. Verder de begrippen deler, priemgetal en priemfactor. De volgorde bij berekeningen wordt uitgelegd voor haakjes, vermenigvuldigen en delen, en optellen en aftrekken. Decimale getallen komen aan de orde en de regels van het afronden. Er wordt uitgebreid gerekend met breuken. (Ik zal straks verder ingaan op het niveau van de sommen). De behandeling van breuken op de rekenmachine krijgt aandacht. Een volledige paragraaf is gewijd aan rekenen in alledaagse situaties. De verhoudingstabel komt aan bod in contextvragen met decimale getallen. In hoofstuk 6, het eerste hoofdstuk van het tweede boek, worden een aantal rekenvaardigheden opnieuw geoefend bij de uitleg over vermenigvuldigen met, en delen door negatieve getallen. Volgorde bij berekeningen
In paragraaf 2.1 wordt onder een rode balk de theorie voor volgorde bij berekeningen voor de leerlingen kernachtig samengevat in de volgende drie regels:
1. werk binnen de haakjes 2. vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3. optellen en aftrekken van links naar rechts
Getal en ruimte geeft bij elk van de drie regels een voorbeeldsom met uitwerking. Opvallend in de instructie is dat niet wordt voortgegaan op de twee bladzijden eerder heel kort geïntroduceerde term ‘term’ (excusez). Door de leerling erop te wijzen dat eerst de getallen binnen de term moeten worden behandeld, dan de resterende som, zou een stap worden gezet naar een abstracter begrip van de rekenregels. De methode kiest echter voor het hiervoor genoemde rijtje van drie pragmatische rekenregels. Vervolgens biedt het boek negen rijtjessommen aan waarin deze vaardigheid wordt geoefend. Ik kies twee voorbeelden:
9 × (6 + 5) − 1
24
20 − 2 × 8 + 4
Deze sommen zijn net een tikje ingewikkelder dan de sommen op de basisschool. Het niveauverschil is klein en zeker verantwoord. Vergelijk een voorbeeld uit rekenboek b van Wereld in getallen voor groep 8:
8 + 10 : 2
Na de negen oefensommen volgt een afsluitende som over het huren van een bestelauto waarin de leerling dit type som kan toepassen. Vol uitgeschreven in één som zou dat het volgende resultaat geven:
6 × 40 + 0, 25 × ( 450 − 6 × 50 )
…Maar leerlingen zullen de som niet op deze manier maken. Ze zullen het probleem in drie of vier losse sommen behandelen en oplossen. Daarbij zullen de uitwerkingen in het schrift minimaal zijn. Althans, dat is mijn ervaring en ik teken aan dat ik de leerlingen keer op keer op het hart druk om bij alle afsluitende sommen een volledige berekening op te schrijven. De bereidheid om dit ook werkelijk te doen is maar moeilijk te mobiliseren. We zullen hierop terugkomen. Een aantal leerlingen zal in het schrift het beruchte ‘breien’ laten zien. Diagnostische toets en herhaling bieden nog eens 10 oefensommen. Achterin het eerste deel voor het leerjaar vinden we nog eens 9 oefensommen voor de vaardigheid volgorde bij berekeningen. In deel twee vinden we in paragraaf 6.1 bij de behandeling van het onderwerp vermenigvuldigen met negatieve getallen 12 oefensommen met volgorde bij berekeningen, en nog eens 8 in de daaropvolgende paragraaf. De diagnostische toets en de herhalingsparagraaf van hoofdstuk 6 bieden nog eens 14 oefensommen. Eenvoudige bewerkingen met breuken
In paragraaf 2.3 worden breuken geïntroduceerd op een wijze die zonder meer aansluit op het niveau van de basisschool. De openingsbladzijde van de paragraaf is hieronder afgebeeld.
25
Figuur2
In de openingsopgaven zullen de leerlingen in staat zijn om in één oogopslag de gevraagde antwoorden te geven, de uitleg over teller en noemer is een welkome opfrisser van reeds bestaande kennis. Meteen op de volgende bladzijde vinden we onder een rode balk: Je mag teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal delen.
26
Na een paar voorbeeldsommetjes krijgen de leerlingen 10 oefensommen aangeboden, voorafgegaan door de afspraak:
1. Breuken moet je zover mogelijk vereenvoudigen. 2. Helen eruit halen is niet verplicht. Net als eerder bij het thema volgorde bij berekeningen zijn de sommen net een stukje lastiger dan het 28
56
35
materiaal op de basisschool. Voorbeelden zijn de breuken 35 , 40 en 90 . De leerlingen ‘zien’ de oplossing niet in één keer en weten dan niet hoe ze verder moeten. De theorie onder de rode balk (Je mag teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal delen op blz. 43) lijkt nieuw voor velen, wordt in elk geval niet herkend als ‘wel eens gehad’. Uitleg wekt verbijstering. De getallen in teller en noemer eerst ontbinden in priemfactoren voegt toe aan de verwarring. …De leraar moet pas op de plaats maken en extra tijd reserveren voor deze sommen. Ik wil op deze plek drie mogelijke verklaringen geven voor de moeite die veel leerlingen met de sommen hebben.
1. Tot nog toe hebben ze breuken vereenvoudigd op basis van onmiddellijke herkenning. 20
2. Ze gaan op zoek naar het rijtje waarin de breuk thuishoort ( 25 past in het rijtje 4 8 5 10 enzovoorts).
,
3. Ze beheersen de tafels van vermenigvuldiging niet goed.
Voor het vereenvoudigen van breuken worden in de twee boeken voor het eerste jaar geen aparte oefensommen aangeboden, buiten de 10 oefensommen van paragraaf 2.3. Aansluitend op het vereenvoudigen van breuken behandelt theorie B het optellen en aftrekken van breuken. De theorie beschrijft hoe bij gelijknamige breuken de tellers kunnen worden opgeteld terwijl de noemer niet verandert. Vervolgens wordt kort uitgelegd hoe het gelijknamig maken van breuken in zijn werk gaat, uiteraard onder het tonen van enige voorbeelden. Er volgen 16 oefensommen, en in de diagnostische toets en herhalingsparagraaf nog eens 10. Op bladzijde 34 deel 2 staan nog eens 4 oefensommen. De procedure bij het gelijknamig maken van breuken is precies omgekeerd als bij het vereenvoudigen van breuken. Bij het vereenvoudigen delen we teller en noemer door eenzelfde getal met als resultaat twee kleinere gehele getallen in teller en noemer. Bij het gelijknamig maken vermenigvuldigen we juist teller en noemer van de op te tellen breuken, om twee nieuwe breuken te krijgen met (bij voorkeur) het kleinste gemene veelvoud in de noemer. Overigens wordt dit laatste begrip niet in de eigenlijke stof behandeld maar wel in de extra opgaven die voor elk hoofdstuk zijn toegevoegd. In dezelfde paragraaf wordt het vermenigvuldigen van breuken behandeld. Het boek gebruikt twee in 1
3
stukken verdeelde staven om de vermenigvuldiging van 2 met 4 te demonstreren. De uitleg sluit goed aan op het basisschoolniveau. Het boek vat samen onder een rode balk:
breuk x breuk =
teller × teller noemer × noemer
27
Na een afsluitende opmerking over het terugplaatsen van helen in de breuk alvorens met 2
7
1
2
vermenigvuldigen te beginnen volgen 8 oefensommen zoals 9 × 5 en 1 4 ×1 5 . We hebben in hoofdstuk 1 gezien dat deze sommen in het primaire onderwijs in de gangbare methodes niet of zo goed als niet worden aangeboden. Het vermenigvuldigen gaat over het algemeen goed zolang er geen grote getallen worden gebruikt en het niet nodig is door middel van het zogenaamde wegstrepen de som hanteerbaar te maken. Het doortrekken van de breukstreep en de plaatsing van het vermenigvuldigingsteken onder en boven de breukstreep vinden veel leerlingen verwarrend. Diagnostische toets en herhalingsparagraaf bij dit hoofdstuk bieden in totaal 10 herhalingsopgaven voor dit thema. We vinden nog eens 4 opgaven in de gemengde opgaven achterin het boek. In deel twee wordt de vaardigheid niet meer apart geoefend. Complexe bewerkingen met breuken
Tenslotte is in paragraaf 2.3 als afsluitende opgave een viertal sommen opgenomen waarin de verschillende vaardigheden met breuken worden geïntegreerd. Volgorde bij berekeningen speelt eveneens een rol. Met name som c wordt erg slecht gemaakt. Het gaat om deze som:
(2 14 − 13)× 1223 In de gemengde opgaven worden nog drie van dergelijke sommen aangeboden. In deel twee worden deze sommen niet geoefend. Je zou kunnen zeggen dat de leerlingen het moeten zien klaar te spelen om in bestek van een handvol oefensommen hun vaardigheden op het gebied van rekenen met breuken naar een fors hoger niveau te tillen. Ik wil opnieuw een aantal mogelijke verklaringen aandragen waarom deze sommen, ook na herhaalde uitleg, erg moeilijk blijven voor veel leerlingen.
1. De basisvaardigheden bij rekenen met breuken zijn weinig geoefend. Zodra de leerlingen deze vaardigheden moeten combineren en afwisselen ontstaat verwarring. 2. De techniek van het doortrekken van de breukstreep bij vermenigvuldiging van breuken is onbekend. 3. Het wegstrepen van getallen in teller en noemer is een onbekende (en onbegrepen) techniek.
Werken met verhoudingstabellen
Paragraaf 2.6 heeft als titel Verhoudingen. In een drietal verhaaltjessommen wordt met een verhoudingstabel gewerkt. Eerst moeten de leerlingen een verhoudingtabel afmaken waarvan de getallen in de bovenste rij al zijn ingevuld. In de volgende twee sommen maken ze de tabel zelf. De uitleg is duidelijk en op een goed niveau voor de leerling die van de basisschool komt.
28
Figuur 3
We hebben gezien dat de verhoudingstabel in het basisonderwijs veel wordt gebruikt. De getallen zijn wat lastiger, en daarin vind ik de enige verklaring voor het feit dat ook in dit type sommen de resultaten tegenvallen. Diagnostische toets en herhalingsparagraaf bieden samen drie extra oefenopgaven. De herhalingsopgaven achterin deel 1 bieden nog eens één opgave. De verhoudingstabel gaat vanaf hoofdstuk 4 op in de theorie over de lineaire grafiek. Op bladzijde 120 meldt een theorieblok onder een rode balk: Bij een verhoudingstabel hoort een bijzondere grafiek. Deze grafiek is een rechte lijn die door (0,0) gaat.
Hier ligt de verklaring voor het feit dat in Getal en Ruimte een aparte paragraaf wordt gewijd aan verhoudingen en de verhoudingtabel. De verhoudingstabel wordt gezien als een voorbereiding op de theorie over lineaire grafieken. Voor de leerlingen is het een forse stap. Ze kennen de verhoudingstabel als een hulpmiddel om een bepaald type vraagstukken op te lossen, vooral geschikt als de getallen wat lastiger zijn en je geen rekenmachine mag gebruiken. En opeens gaat het over grafieken! Hier worden plotseling dwarsverbanden gelegd die een niveau van abstractie vragen of aanmoedigen waar elders steeds voor is teruggeschrikt. De verhoudingstabel raakt in de praktijk van rekenen en wiskunde gaandeweg in onbruik. Incidenteel wordt zij nog wel ingezet en als didactisch instrument blijft zij zo nu en dan haar waarde bewijzen, maar verder zullen de leerlingen zodra dat is toegestaan met de rekenmachine een stel delingen uitvoeren. In de te ontwikkelen cursus zal het streven zijn om het rekenen met breuken naar een
29
niveau te tillen waarbij de verhoudingstabel niet langer nodig is. Daarom zullen oefeningen met verhoudingstabellen niet worden opgenomen in het praktijkdeel.
Sommen in context
We hebben voor het eerste leerjaar gedetailleerd in kaart gebracht hoe de theorie over volgorde bij berekeningen en bij het rekenen met breuken in het boek wordt verwoord en welke en hoeveel oefensommen aan de verschillende vaardigheden worden gewijd. Daarnaast biedt met name hoofdstuk 2, het rekenhoofdstuk waarin het rekenen met breuken wordt behandeld, een aantal sommen waarin de verschillende vaardigheden in verhaaltjessommen worden toegepast. Dit is in het algemeen de opzet van de methode: nadat de leerling stapsgewijs heeft kennisgemaakt met de benodigde theorie en heeft geoefend met een aantal rijtjessommen worden praktijkvraagstukken en fantasieproblemen aangereikt waarin de leerling de vaardigheden toepast en de vertaalslag maakt naar concrete problemen. Bij het gelijknamig maken en optellen van breuken bijvoorbeeld zijn dat sommen over toeschouwers in een voetbalstadion, over de bevolkingsverdeling in Azië en, het mocht niet ontbreken, het verdelen van een taart in een gezelschap van 6 mensen die elk een stuk van andere grootte willen. De lezer kan aan de hand van de figuren in dit en het vorige hoofdstuk zelf beoordelen of de wijze van presenteren, dus de manier waarop rekenen en wiskunde worden aangereikt, veel verschillen bij de bestudeerde methodes. Ik durf zelf te beweren dat dit niet het geval is en dat de leerling in dit opzicht zeker geen cultuurschok te verwerken heeft. De eigen didactiek
Bij de uitleg over volgorde bij berekeningen laat ik als aanvulling op de theorie uit het boek extra oefeningen doen. Deze theorie wordt gegeven in de vorm van een voorschrift in drie stappen. Ik herhaal het hier nog eens:
1. werk binnen de haakjes 2. vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3. optellen en aftrekken van links naar rechts
Elke stap wordt met een voorbeeld geïllustreerd. De regels worden niet verder verantwoord. In de extra oefeningen laat ik de leerlingen termen onderstrepen. Zo wordt duidelijk voor de leerlingen dat het hanteren van de regels uit het boek betekent dat je eerst binnen de termen moet werken en pas daarna de termen onderling verbindt, door ze op te tellen of van elkaar af te trekken. De leerlingen maken deze oefeningen goed, maar om te beklijven zou meer herhaling nodig zijn. Bij het rekenen met breuken maak ik bij een eerste uitleg gebruik van cirkels en staven, bijvoorbeeld bij de uitleg van het vereenvoudigen van breuken. Verder leg ik uit dat je elke deelsom kunt schrijven als een breuk, maar dat die breuk pas het antwoord is als-ie is vereenvoudigd. Dat is geheel conform de regel uit het boek die stelt dat je breuken altijd moet vereenvoudigen. Volgens het boek hoef je niet de helen eruit te halen en doorgaans hou ik me aan die regel. Ik leg nadruk op het feit dat een deelsom de omkering is van een vermenigvuldiging.
18 : 3 = 6 omdat 6 x 3 = 18. Zo ook met de breuken:
30
20 4
= 5omdat 4 × 5 = 20
Met vereenvoudigen moet dat natuurlijk ook kloppen:
2 6
= 13 want 13 ×6 = 2 .
Bij het vermenigvuldigen met breuken leg ik het voordeel uit van wegstrepen om vreselijke rekenpartijen te voorkomen.
Tijdens de uitleg wordt duidelijk dat de leerlingen niet volgen. Ik verwijs naar de procedure bij het vereenvoudigen van breuken en een aantal leerlingen is daarmee geholpen. Er rest echter een aanzienlijke groep die de procedure niet snapt. Ik probeer dit:
3 7
× 149 = 37××149 = 147××93 = etc
Ook dat brengt een klein groepje leerlingen dichter bij begrip maar een verbijsterde restgroep blijft achter en paniekt. Samenvattend
In het algemeen valt de opzet van getal en ruimte te kenmerken als realistisch, met name als het gaat om het veelvuldig aanbieden van contextsommen. Aanvankelijk wordt uitleg aangeboden op een niveau en met hulpmiddelen (bijvoorbeeld staven als het gaat om breuken ) die de leerling vanuit de basisschool bekend zullen voorkomen. Maar al snel worden de sommen lastiger en omvangrijker en worden regels geïntroduceerd die nieuw zijn voor de leerlingen en waar ze moeite mee hebben. Overigens worden die regels als een soort praktische tips en voorschriften gegeven, er wordt geen formele verantwoording of afleiding gegeven. Zo probeert de methode om alles zo concreet mogelijk te houden. Het ontbreken van routine in het rekenen met breuken maakt het moeilijk voor leerlingen om aan te haken als de sommen bewerkelijker, de getallen moeilijker worden. De totale onbekendheid met het wegstrepen van gelijke factoren onder en boven de breuklijn vormt een probleem. Ik zou willen zeggen dat aanvankelijk de aansluiting tussen basisschoolmethode en getal en ruimte goed is, maar dat de leerling al snel in een stroomversnelling wordt meegezogen van formele
31
rekenregels en lastiger sommen waarbij met name het ontbreken van routine in het (meer formele ) rekenen zich wreekt.
32
Hoofdstuk 3
Het belang van rekenvaardigheden
Inleiding
Wie bepaalt welk rekenonderwijs we aanbieden op onze scholen? Welke eisen stellen we aan rekenvaardigheden, welk niveau van beheersing willen we voor en met onze leerlingen realiseren? Ziedaar de kernvragen van dit hoofdstuk. We zullen de rol van de kerndoelen bespreken en beknopt hun wordingsgeschiedenis vertellen. In dit hoofdstuk werpen we ook een licht op de verdere concretisering van die kerndoelen. Hoe gebeurt dat, welke partijen zijn daarbij betrokken? Kunnen we met deze concretiseringen iets zeggen over het niveau van rekenvaardigheid dat we voor onze doelgroep, klas 1 VWO, mogen veronderstellen? Ook gaan we in op een studie die ons iets vertelt over de positionering van het Nederlandse reken- en wiskundeonderwijs in het internationale veld. En ten laatste: hoe belangrijk vinden we rekenvaardigheden eigenlijk? De kerndoelen. Een stukje geschiedenis.
Tot 1993 zijn er geen landelijke afspraken over welke vakken een school moet aanbieden aan zijn leerlingen en over wat in deze vakken precies aan bod moet komen. Scholen maken zelf keuzes en bij de overheid heerst het idee dat er teveel verschillen ontstaan. Daarom worden tegelijk met de basisvorming in augustus 1993 ook de kerndoelen ingevoerd. Het zijn er ongeveer 300. Zij moeten meer eenheid in het onderwijsaanbod realiseren, de aansluiting tussen primair onderwijs en de bovenbouw van het voortgezet onderwijs verbeteren en het onderwijs in de onderbouw beter en doelgerichter maken. (© 2007 Stichting leerplanontwikkeling (SLO), Enschede). In 1999 publiceert de Inspectie van het Onderwijs haar evaluatierapport Werk aan de basis waarin de invoering van de basisvorming en de kerndoelen wordt geëvalueerd. Men had gehoopt op inhoudelijke en didactische aanpassingen in het onderwijs, op verbetering van de kwaliteit van het onderwijsleerproces, maar kan deze aanpassingen en verbeteringen helaas niet of slechts onvoldoende constateren. Voor alle vakken samen is zeker sprake van overladenheid, concludeert het rapport, en de algemene vaardigheidsdoelen krijgen te weinig aandacht. Een tweede generatie kerndoelen wordt ontwikkeld en is van kracht vanaf 1 augustus 1998 tot 1 augustus 2003. Het zijn er 115. Ze zijn concreter geformuleerd, een aantal overlappingen is verwijderd, er is meer duidelijkheid over vakoverstijgende leerdoelen. Maar de overladenheid blijft en docenten en scholen bieden vaak een selectie uit de kerndoelen in hun onderwijs aan. De regelgeving past zich in de jaren na 2000 bij deze praktijk aan. In 2006 verschijnt een derde generatie kerndoelen. Het zijn er 58. Veel meer dan eerder het geval was heeft men de samenwerking gezocht met scholen en leraren. Scholen krijgen de ruimte de kerndoelen gedifferentieerd uit te werken. In de onderbouw van het voortgezet onderwijs moet tweederde van de onderwijstijd gewijd zijn aan de kerndoelen, de overige tijd kan op andere wijze worden besteed, naar inzicht en keuze van iedere school afzonderlijk. Overigens lopen in de literatuur over de kerndoelen het ideaal van de basisvorming (tot en met het tweede jaar van het voortgezet onderwijs) en de praktijk van onze onderwijsinrichting (met het primaire onderwijs tot en met groep 8 georganiseerd in basisscholen, waarna de 8-ste groepers
33
uitzwermen naar de verschillende vormen van voortgezet onderwijs) elkaar nogal eens voor de voeten. Voor wie zich inleest in het onderwerp blijft lange tijd onduidelijk of de kerndoelen er zijn voor het onderwijs op wat we gewoonlijk de basisschool noemen, of dat ze gelden bij afsluiting van de eerste twee jaar voortgezet onderwijs. In het kerndoelenboekje uit 2006 lezen we: Naast de kerndoelen PO worden ook de kerndoelen VO aangepast en wel zo dat ze naadloos op elkaar aansluiten. Welnu, het ministerie van onderwijs en cultuur heeft inderdaad twee lijsten met elk 58 kerndoelen ontwikkeld voor het primair onderwijs (tot en met groep 8) enerzijds en de eerste twee jaar van het voortgezet onderwijs anderzijds. Concretisering van de kerndoelen
Zijn de kerndoelen voor afzonderlijke scholen of vakgroepsecties te vertalen naar een concrete leerlijn? En kunnen we op basis van de kerndoelen precieze verwachtingen formuleren over het gewenste rekenniveau van leerlingen aan het einde van groep 8? Het antwoord op beide vragen luidt ontkennend. Daarvoor zijn de doelen te globaal geformuleerd. Bij het Cito zeggen ze het zo: De functie van kerndoelen is vooral een wettelijk toetsingskader te scheppen voor kwaliteitscontrole op onderwijsinhouden door de overheid. Door de globale wijze waarop ze geformuleerd zijn, fungeren kerndoelen vooral als richtlijnen voor verdere invulling door onderwijsgevenden, onderwijsontwerpers en onderwijskundig onderzoekers. http://www.cito.nl/po/vakken/wo-alg/domeinb/Cito_domeinbeschrijving_algemeen.pdf Voor een volgende stap in de concretisering van de kerndoelen gaan wij te rade bij SLO. SLO is het nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling. In het kerndoelenboekje voor het primair onderwijs wordt naar dit centrum verwezen. SLO heeft in opdracht van het ministerie de kerndoelen geconcretiseerd binnen het project TULE. Deze concretisering in een beschrijving van onderwijsinhouden en -activiteiten vormen géén onderwijsprogramma, geen methode en geen leerplan, zo lezen we bij de inleiding van het project. Het is niet meer en niet minder dan een beschrijving van een mogelijke verdeling van onderwijsinhouden over een aantal jaren. Om echt onderwijs te geven heeft de leraar in de eerste plaats de eigen vakkennis nodig, zijn of haar ervaring, inventiviteit en creativiteit, en natuurlijk ook leermiddelen die helpen om een uitdagende leeromgeving voor kinderen te creëren. TULE laat zien hoe het onderwijsaanbod er in de opeenvolgende groepen uit zou kunnen zien en geeft veel voorbeelden van interactieve vormen van onderwijs. Het is niet bedoeld om ons een idee te geven van het niveau van beheersing van de stof dat je, gekoppeld aan percentielgetallen, van leerlingen in bijvoorbeeld groep 8 mag verwachten. En ofschoon daarover op de betreffende sites van het ministerie zelf af en toe tegenstrijdige berichten te lezen zijn wil men met de kerndoelen toch vooral iets zeggen over aanbod van leerstof door scholen, niet over een te behalen eindniveau van leerlingen. Willen we daar meer over te weten komen, dan moeten we ons wenden tot studies waarin het onderwijsniveau wordt gepeild: de Periodieke Peilingen van het Onderwijsniveau, uitgevoerd door de Stichting Cito voor Toetsontwikkeling.
PPON en de vertaling van kerndoelen
Het project Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau, kortweg PPON, ging in 1986 van start in opdracht van de Minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen. Het belangrijkste doel van het project is het periodiek verzamelen van gegevens over het onderwijsaanbod en de
34
onderwijsresultaten in het basisonderwijs en het speciaal basisonderwijs. Zo kunnen de gegevens uit het onderzoek een empirische basis bieden voor de algemene maatschappelijke discussie over de inhoud en het niveau van het onderwijs op onze basisscholen. De hoofdvragen van het onderzoek richten zich op het onderwijsaanbod, op de resultaten in termen van kennis, inzicht en vaardigheden (of competenties zo men wil) per leerstofgebied en op het traceren van veranderingen en ontwikkelingen in aanbod en opbrengst van het primaire onderwijs. In aparte publicaties wordt ingegaan op de verworven reken- en wiskundevaardigheden van leerlingen aan het einde van de basisschool. De meest recente peiling in dit vakgebied is van mei-juni 2004. Eerdere peilingen zijn uitgevoerd in 1987, in 1992 en in 1997. Om een beschrijving van de resultaten van leerlingen te kunnen geven zijn binnen het project standaarden ontwikkeld. Want weliswaar is het van belang om na te gaan of de kerndoelen voor het basisonderwijs worden gerealiseerd op onze scholen, maar kerndoelen, aldus PPON 2004, zijn vrij globale beschrijvingen van kennis en vaardigheden in een leerstofgebied, waaruit niet rechtstreeks het gewenste niveau van beheersing is af te leiden. We zagen dit hierboven al. PPON heeft middels standaardenonderzoek voor de verschillende onderwerpen drie vaardigheidsniveaus of standaarden vastgesteld, waarbij achtereenvolgens sprake is van een minimum niveau, een voldoende niveau en een gevorderd niveau van beheersing. De standaarden hebben geen voorschrijvend karakter maar zijn bedoeld als evaluatief referentiekader voor de discussie over de kwaliteit van de opbrengsten van het onderwijs in het licht van de kerndoelen basisonderwijs. (PPON 2004, blz. 29). De werkwijze bij dit standaardenonderzoek zullen wij hier kort weergeven. Allereerst specificeert PPON 2004 wat onder de drie niveaus verstaan moet worden. Met de standaard Voldoende beoogt men een voldoende beheersing van de gerelateerde kerndoelen vast te stellen dat door 70 % tot 75 % van de leerlingen aan het einde van de basisschool bereikt zou moeten worden. Analoog geldt voor de standaard Minimum een percentage van 90 % tot 95 %. De standaard Gevorderd is van een andere orde en overstijgt het curriculum van de basisschool. De bijbehorende opgaven hoeven niet aan alle leerlingen te worden voorgelegd. De standaarden zijn de neerslag van het oordeel van deskundigen die, gegroepeerd in twee panels van ongeveer 25 beoordelaars, elk de helft van de reken- en wiskundeonderwerpen voor hun rekening namen. In deze panels hebben leraren basisonderwijs (de grootste groep) zitting, Pabo-docenten, schoolbegeleiders en onderzoekers. In een gefaseerde werkwijze komen zij tot hun oordelen, uitmondend in een confrontatie van de (voorlopige) oordelen van het panel met een feitelijke vaardigheidsverdeling in de populatie. In een laatste discussie komt het definitieve oordeel tot stand.
Een paar voorbeeldsommen. Deelvraag 8 Deelvraag 8 luidt: Welk niveau van rekenvaardigheid mogen we voor onze doelgroep eigenlijk veronderstellen? Wat zegt de literatuur hierover? Uitgebreide tests om deze vraag definitief te beantwoorden heb ik in het kader van deze studie niet gedaan. Maar een aantal voorbeeldsommen uit PPON 2004 kan ons helpen om in elk geval enige redelijke veronderstellingen te doen. Het gaat om drie voorbeeldsommen uit het domein verhoudingen, breuken en procenten die in PPON 2004 op blz. 138 zijn terug te vinden. Op blz. 139 wordt besproken hoe deze sommen aan het einde van de basisschool gemaakt worden door e percentiel-90 leerlingen. De leerlingen van het 4 Gymnasium mogen verondersteld worden tot deze groep te behoren. De sommen staan hieronder. Vraag 5
35
Dit is het etiket van een blik muurverf. Koos voegt water toe volgens het voorschrift. Hij gebruikt de hele bus verf. Hoeveel liter water voegt hij toe?
Vraag 6 Een toren van 30 meter geeft een schaduw van 12 meter. Naast de toren staat een boom die een schaduw geeft van 5 meter. Hoe hoog is die boom? Vraag 7 Recept voor witbrood. Nodig:
3 4
kg meel
25 à 30 gram gist
4
1 2
dl water
1 lepel zout Een bakker gebruikt 60 kg meel. Hoeveel water moet hij daaraan toevoegen?
Deze vragen heb ik in een toets op 14 maart voorgelegd aan de klassen 1D en 1E. Ik heb echter voor vraag 6 de getallen en de tekst iets aangepast: Een boom is 45 meter hoog. Zijn schaduw is 36 meter lang. De schaduw van het flatgebouw ernaast is 42 meter. Hoe hoog is het flatgebouw?
PPON 2004 meldt dat de vragen 5 en 6 matig worden beheerst door percentiel-90 leerlingen. Matig wil zeggen dat de individuele leerling tussen de 5 en 8 van dergelijke sommen per 10 goed maakt. Vraag 7 is ook voor percentiel-90 leerlingen te moeilijk, dat wil zeggen dat de kans op een goed antwoord bij dergelijke vragen minder dan 50 % is.
14-mrt-10 Vraag 5 Muurverf Gemiddelden 1D (n=25) Gemiddelden 1E (n=26)
Vraag 6 Schaduw 68 73
36
Vraag 7 Recept 24 15
56 27
Goedpercentages
1D had toen de cursus eerste hulp bij breuken (zie hoofdstuk 4) al gehad, 1E is al een heel eind gevorderd in het curriculum van het eerst jaar gymnasium. Voor het beantwoorden van deelvraag 8 letten we eerst op de prestaties van 1 E. Het goedpercentage voor de muurverfvraag valt met 73 als matig te omschrijven en dat komt overeen met het PPON-onderzoek. Wel moeten we opmerken dat hier de prestatie van een groep wordt becijferd, niet die van individuele leerlingen. Zolang we uitgaan van normaalverdelingen is dit geen probleem, en dat lijkt een redelijke veronderstelling. De schaduwsom heb ik getalsmatig lastiger gemaakt, zodat de uitkomst niet een geheel getal is maar een breuk bevat (de uitkomst is 52 ½ meter). Ik heb dat gedaan omdat ik meende dat de oorspronkelijke opgave wel te gemakkelijk zou zijn. Dat is een misvatting gebleken. Deze lastiger getallen verklaren misschien de tegenvallende score. Vraag 6 had ik achteraf beter zonder veranderingen kunnen overnemen uit het PPON-onderzoek. Een score van minder dan 50 % zou in dat geval tot de conclusie hebben moeten leiden dat wellicht het niveau van de leerlingen toch te wensen over laat… Veel leerlingen (14, dus meer dan de helft) geven een antwoord tussen de 48 en 55 meter, wat in de goede orde van grootte is. De helft van die groep antwoordt 51 meter, één leerling verraadt de gehanteerde strategie: de schaduw van de boom is 9 meter korter dan de boom, dus de flat is 9 meter + schaduw = 51 meter hoog. Dat is geen strategie die wij willen honoreren. De receptsom is te moeilijk voor de leerlingen van 1E, conform verwachting. De leerlingen van 1D weten als groep een score van 56 te behalen, maar dat kan worden toegeschreven aan de cursus die ze achter de rug hebben.
e
Deze kleine test noopt ons niet aan te nemen dat de leerlingen van het 4 gymnasium afwijken van wat je landelijk van deze groep mag verwachten. Laten we ook kijken naar de resultaten van de schriftelijke overhoring op 14 oktober, over onder meer rekenen met breuken. Dit SO vormde mede de aanleiding om deze studie te doen. Helaas geeft PPON 2004 geen voorbeeldsommen met optellen en aftrekken van (ongelijksoortige) breuken. De cijfers voor 1D en 1 E samen laten zien dat deze sommen meer dan goed worden beheerst (goedpercentage 89 %). In het rapport Over de drempels met rekenen van de expertgroep doorlopende leerlijnen lezen we:
Het conceptuele netwerk rond Getallen wordt voor het grootste deel ontwikkeld in het basisonderwijs. Het gaat daar om verstand hebben van drie soorten getallen (geheel, decimaal, breuken) en om de operaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen daarmee. Daarnaast is het gebruiken van getallen in praktische situaties van belang. In 2006 zijn de volgende kerndoelen po geformuleerd op het gebied van getallen en bewerkingen: Kerndoel 26: De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen.
37
Leerlingen kiezen vaker voor uit het hoofd rekenen op een moment dat schriftelijk rekenen gewenst is, met slechtere resultaten als gevolg. Schriftelijk rekenen volgens standaardprocedures op de vier bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen behoort tot de nationale kerndoelen. Blz. 42. KNAW rapport
Laten we hieruit concluderen dat we het genoemde goedpercentage van 89 % ook zeker mogen e verwachten voor de leerlingen van het 4 gymnasium. In het citaat wordt gesteld dat de leerling ook moet kunnen vermenigvuldigen en delen met breuken. We hebben in hoofdstuk 1 al gezien dat delen met breuken op de basisschool nauwelijks aan de orde komt en dat de formele techniek helemaal niet wordt aangeleerd. Is dit een lacune in het onderwijsaanbod of interpreteren wij de tekst uit het rapport verkeerd? In elk geval worden sommen waarbij de leerling verschillende bewerkingen moet toepassen bij het rekenen met breuken slecht gemaakt. 1D en 1 E komen tot goedpercentages van 49 en 40 %, respectievelijk. Wij ontberen hier een standaard om deze prestaties te kunnen beoordelen. Afgaande op wat in de methodes voor het basisonderwijs wordt aangeboden en dit als standaard gebruikend (zie hoofdstuk 1) mogen we zeker niet verwachten dat de betreffende sommen zelfs maar matig worden beheerst. Concretisering van kerndoelen. Expertgroep doorlopende leerlijnen.
In 2008 verscheen de eindrapportage van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Voor de vakgebieden rekenen en wiskunde was de opdracht van de expertgroep om heldere referentieniveaus in kaart te brengen voor leerlingen van 12 jaar, 16 jaar en omstreeks 18 jaar. Bij de omlijning van een minimumniveau moesten uiteraard de kerndoelen gedekt zijn. De groep onderscheidt vier subdomeinen die samen het leergebied bestrijken, te weten 1. 2. 3. 4.
Getallen Verhoudingen Meten en Meetkunde Verbanden
Voor deze studie is het subdomein verhoudingen van belang en de bijbehorende referentieniveaus voor leerlingen van 12 jaar. Men benadrukt de cumulatieve structuur van het vakgebied waarin begrippen en rekenprocedures op elkaar voortbouwen. De expertgroep construeert twee niveausporen. Het eerste spoor richt zich op het functioneel gebruiken van bestaande kennis en algoritmes in allerlei situaties uit het dagelijks leven, inclusief andere vakgebieden en problemen uit de beroepspraktijk. Dit wordt het F-spoor genoemd (van fundamentele kwaliteit). Het S-spoor (van streefkwaliteit) accentueert het verder verdiepen van de bestaande kennis in de richting van formaliseren, abstraheren en generaliseren, aansluitend bij de wiskundevakken in het voortgezet onderwijs. 2F bijvoorbeeld staat in deze systematiek voor de fundamentele kwaliteit op 16-jarige leeftijd. We kunnen stellen dat het S-spoor van toepassing is op de leerlingen die na de basisschool uitstromen naar havo en vwo. Voor streefkwaliteit 1S heeft de expertgroep zich gericht op de prestaties van leerlingen tussen percentielgroepen 50 en 75 uit de PPON-onderzoeken. De leerlingengroep die uitstroomt naar de gymnasia zit daar nog boven, maar voor deze groep zijn geen andere, scherper omlijnde criteria voorhanden. In de bijlage is een overzicht opgenomen van de niveaus 1F en 1S voor het subdomein verhoudingen. Ik wil hier een paar korte kanttekeningen bij maken: •
Veel leerlingen kijken onwennig als je op bord schrijft dat ingebakken en moet regelmatig herhaald.
38
1 260 . Het zit bepaald niet × 260 = 4 4
• •
Omgaan met opgaven waarin schaal een rol speelt vinden veel leerlingen lastig. Veel leerlingen gaan niet soepel om met de relatie tussen breuken, verhoudingen en percentages.
Deze opmerkingen maak ik hier voor wat ze waard zijn: observaties tijdens het lesgeven, indrukken die verder niet cijfermatig getoetst en onderbouwd zijn. Behoudens deze kanttekeningen is het mijn indruk dat de leerlingen aan wie ik lesgeef ruimschoots voldoen aan het niveau 1S zoals dat wordt beschreven door de expertgroep. Over de resultaten van het reken- en wiskundeonderwijs in Nederland
De zogenaamde teloorgang van het rekenonderwijs in Nederland is in de afgelopen jaren in de media keer op keer onder de aandacht gebracht en groeide uit tot een fel dispuut tussen met name voor- en tegenstanders van de realistische rekenmethode. In hoofdstuk 1 heeft de lezer een indruk kunnen krijgen van deze discussie. Inmiddels lijkt het erop dat de studie van het KNAW, eveneens genoemd in hoofdstuk 1, de controverse (voorlopig) heeft beslecht. In die studie wordt nuchter geconstateerd dat enig verband tussen de gebruikte rekenmethode en het prestatieniveau van leerlingen niet is aangetoond, terwijl tegelijk een forse lacune wordt blootgelegd in het rekenonderwijs op de PABO’s, met tekortschietende rekenvaardigheden bij het onderwijzend personeel in het primaire onderwijs als gevolg. Eveneens in hoofdstuk 1 is betoogd dat de huidige kritiek op het rekenonderwijs ons ertoe zou kunnen brengen om eenzijdig de aandacht te richten op het aanleren en onderhouden van compacte en handzame algoritmes, voor bijvoorbeeld het rekenen met breuken en het uitvoeren van delingen, en te vergeten dat uiteindelijk de correcte toepassing van zulke technieken bij uiteenlopende vraagstukken en problemen het doel vormt van het rekenonderwijs! Streefniveau 1S is het niveau voor leerlingen die naar vmbo theoretische leerweg(voorheen mavo), havo en vwo gaan. Dit niveau wordt thans door 50 procent van de leerlingen gehaald, maar moet volgens de commissie Meijerink in de toekomst door 65 procent van de leerlingen gehaald worden. De bedoeling is dat de referentieniveaus bij wet worden vastgelegd. Ze zijn daarmee een aanvulling op de kerndoelen die ‘slechts’ een inspanningsverplichting formuleren.De referentieniveaus formuleren een opbrengstverplichting. Blz.41 KNAW rapport Wat zegt relevant onderzoek over het peil van het Nederlandse reken- en wiskundeonderwijs op de basisschool en in de eerste jaren van het voortgezet onderwijs? De PPON-studies geven een beeld van het rekenpeil in het primair onderwijs vanaf 1987. Het is een omvangrijke en belangrijke reeks studies, maar tegelijk moeten we constateren dat de tijdspanne beperkt is: zij omspant nog geen generatie. Voor het onderwerp verhoudingen, breuken en procenten concludeert PPON 2004 dat er op het gebied van verhoudingen en breuken geen noemenswaardige toe- of afname in vaardigheid geconstateerd kan worden. Voor het onderwerp procenten is sprake van een geringe toename in vaardigheid over de periode vanaf 1987. Andere opvallende conclusies zijn een duidelijke toename van de vaardigheid in het schattend rekenen en, voor ons onderwerp wellicht relevant, een sterke achteruitgang van de vaardigheid van de leerlingen op het gebied van bewerkingen. Het gaat dan om rekenproblemen die te omvangrijk of te lastig zijn om uit het hoofd te worden gedaan en waarbij de leerling dus gebruik moet maken van pen en papier. De vraag die rijst naar aanleiding van deze conclusie is of hier (een deel van) de verklaring ligt voor de tegenvallende prestaties van de onderzochte leerlingengroep op met name de sommen die als ‘bewerkingen met breuken’ zijn opgevoerd in hoofdstuk 1. Helaas is het niet mogelijk om de leerresultaten aan het einde van de basisschool internationaal te vergelijken. Het ontbreekt aan geschikt onderzoeksmateriaal (Reken-wiskunderesultaten van
39
leerlingen aan het einde van de basisschool, E. Harskamp, 2007). Het omvangrijke PISA-onderzoek naar wiskundevaardigheden van 15-jarigen in OESO-landen laat zien dat gemiddeld genomen het vaardigheidsniveau in Nederland hoog is. Echter, percentiel 75 leerlingen scoren niet beter dan andere aangesloten landen, deze groep bevindt zich in de middenmoot. TIMMS (Trends in International Mathematics and Science Studies) is een grote internationale studie voor het wiskundeonderwijs die loopt vanaf 1982. Jaarlijks wordt op eenzelfde tijdstip in een groot aantal landen eenzelfde toets afgenomen onder tweedeklassers in het voortgezet onderwijs, over de volle breedte van het onderwijsaanbod. Er wordt gewerkt met een representatieve steekproef van 2000 leerlingen. De studie stelt in staat om over de genoemde periode uitspraken te doen over de positie van het Nederlandse reken- en wiskundeonderwijs ten opzichte van andere landen, waaronder een grote groep Aziatische landen, onze directe buurlanden, de VS etcetera. De toets wordt niet in Nederland samengesteld en bevat veel ‘kale‘ sommen (Rekenen door Nederlandse tweedeklassers in internationaal perspectief (1982-2003): zijn de prestaties voor- of achteruit gegaan? P. Vos, 2007). In deze periode weet Nederland zich met zijn rekenonderwijs steeds in de internationale subtop en vlak onder de Aziatische landen te handhaven. Voorts concludeert Pauline Vos na correctie van de cijfers in verband met enige methodologische problemen dat ook in absolute zin het reken- en wiskundepeil in Nederland in de bestudeerde tijdspanne niet significant is veranderd. Voor alle zekerheid meld ik: rekenen met breuken en verhoudingen maakt deel uit van de studie. Er is wel een type opgaven waarin Nederlandse leerlingen relatief slecht scoren. Een voorbeeld:
3 3 4 + × = 5 10 15 De overige opgaven waarin Nederland slecht scoort worden geheim gehouden. Het gaat steeds om breuken. Maar dit rechtvaardigt niet de conclusie, aldus Pauline Vos, dat Nederlandse leerlingen slecht zijn in breuken. In andere sommen met breuken presteren ze namelijk wel goed. Het is echter wel opvallend, dat de drie opgaven allen ‘bewerkingen tussen breuken’ betreffen: het is dus mogelijk dat de Nederlandse leerlingen wel een goed conceptueel begrip hebben van breuken (in de internationale vergelijking dus), maar dat de procedurele vaardigheden achterblijven.
De bevinding past bij één van de conclusies van PPON 2004 waarin, zoals we hierboven zagen, een sterke achteruitgang geconstateerd wordt op het gebied van bewerkingen. PPON 2004 verklaart deze achteruitgang uit de strategiekeuze van leerlingen: zij kiezen er vaak voor een opgave uit het hoofd op te lossen in plaats van pen en papier te gebruiken. In lijn met deze bevindingen zagen we in hoofdstuk 1 dat veel van de rekenopgaven met breuken uit de basisschoolmethode voor groep 8 zich prima lenen voor een dergelijke strategie. Daarnaast, aldus PPON 2004, blijkt ook het gebruik van zowel het kolomsgewijze als traditionele algoritme minder succesvol. Niet alleen bij bewerkingen met breuken, ook bij sommen waarin de vaardigheid volgorde bij berekeningen wordt geoefend werden tegenvallend gemaakt, met gemiddeld een goedpercentage van 72 % voor de leerlingen van de klassen 1D en 1 E. Ook deze vaardigheid valt te karakteriseren als procedureel en past zodoende in het patroon dat hierboven is geschetst. Het belang van rekenvaardigheden
In het rapport Rekenonderwijs op de basisschool dat recent is verschenen naar aanleiding van de maatschappelijke commotie rond het onderwerp verontschuldigt de Koninklijke Academie voor de
40
Wetenschappen zich welhaast voor haar bemoeienis met iets wat, zou je zeggen, zo ver van datzelfde academische onderwijs afstaat. En zij verdedigt zich door erop te wijzen dat voor elke academische carrière de basis nog altijd gelegd wordt in het primair onderwijs. Dit geldt heel sterk voor een deelvak als rekenen dat als onderdeel van de wiskunde behoort tot een vakgebied dat sterk cumulatief van aard is. Steeds wordt voortgebouwd op eerder opgedane kennis en vaardigheden. Men begint elke som zogezegd met een schone lei, maar elk nieuw hoofdstuk, elke nieuwe verdieping rust op de pijlers van het 1 + 1. Daarbij menen de voorstanders van het traditionele rekenen dat bij grondige oefening van de basisvaardigheden van de rekenkunde inzicht en begrip vanzelf zullen volgen. In tegenspraak hiermee stelt een veelgehoorde karakterisering van de wiskunde, die je bij vakdocenten zowel als bij leerlingen kunt beluisteren, dat het in dit vakgebied bij uitstek gaat om inzicht en begrip. Ook de Expertgroep doorlopende leerlijnen benadrukt het cumulatieve karakter van de wiskunde. De expertgroep verzet zich, bij monde van de National Research Council van de Verenigde Staten (rapport over de drempels blz. 15), tegen de dichotomisering van vaardigheid en begrip. Een citaat: 1. Ten onrechte wordt vaardigheid soms tegenover inzicht geplaatst. Begrijpen maakt het leren van vaardigheden gemakkelijker, minder gevoelig voor fouten en het beklijft beter. Aan de andere kant is een zeker beheersingsniveau van vaardigheden noodzakelijk om nieuwe wiskundige begrippen en methoden met begrip te leren en ontwikkelen. 2. Zonder een goede routine stranden leerlingen bij het verdiepen van wiskundige ideeën of het oplossen van wiskundige problemen. De aandacht die zij dan nodig hebben om hun resultaten uit te werken in plaats van die paraat op te roepen gaat ten koste van de aandacht voor de aanpak van het probleem of het zoeken naar onderliggende relaties. 3. Leerlingen die een vaardigheid zonder begrip leren hebben heel veel oefening nodig om de stappen niet te vergeten. Als leerlingen de operaties begrijpen, dan zijn ze beter in staat om ze te reconstrueren en in samenhang met andere operaties te zien. 4. Als vaardigheden zonder begrip worden geleerd, dan blijven het geïsoleerde brokjes kennis. Nieuwe begrippen of vaardigheden kunnen dan niet voortbouwen op een bestaand netwerk aan kennis. Dat leidt ertoe dat leerlingen voor elke kleine variatie in opgaven weer nieuwe oplossingsprocedures moeten leren. We zullen in het volgende hoofdstuk zien dat de resultaten van het eigen onderzoek deze opmerkingen lijken te ondersteunen. Dat de expertgroep een behoorlijk niveau van rekenkundige vaardigheden niet alleen wiskundig, maar ook maatschappelijk belangrijk acht blijkt wel uit de naam die is gegeven aan het niveau 2F, dat is het functionele niveau van beheersing dat we van leerlingen op 16-jarige leeftijd verwachten en middels onderwijs willen helpen realiseren: het burgerschapsniveau. De expertgroep meent dat een zekere cijfermatige geletterdheid nodig is om de wereld om ons heen te kunnen begrijpen, om als burger actief en kritisch te kunnen participeren en verantwoorde keuzes te kunnen maken. Daarbij teken ik aan dat op dit burgerschapsniveau de sommen die aanleiding vormden voor dit werkstuk naar mijn mening van minder belang zijn. Een goede leesvaardigheid, het kunnen rekenen met percentages, schattend rekenen, inzicht in de relatieve aard van verhoudingen, de interpretatie van grafieken en het omgaan met grote getallen lijken mij met name belangrijk. Angst voor cijfers en cijferen is bij dit alles natuurlijk fnuikend. Nieuwsgierigheid, genuanceerd denken, het zoeken naar inzicht zijn aspecten van
41
een meer algemene kritische houding die schoolbreed gestimuleerd moet worden en dus ook binnen het vak wiskunde. Aangezien het in dit werkstuk met name gaat om de vaardigheden volgorde bij berekenen en bewerkingen met breuken is het goed ons hier af te vragen of juist bij deze vaardigheden een meer algemeen wiskundig en didactisch belang gediend is. Dat lijkt bij de eerstgenoemde vaardigheid van grotere evidentie dan bij de tweede. Volgorde bij berekenen betekent het kunnen uitvoeren van een wiskundig voorschrift dat alomtegenwoordig is in cijferen en bij letterrekenen. Het gaat om zoveel als het lezen van de eerste, eenvoudige wiskundige zinnen. Het ontsluit de wereld van formules en rekenprocedures. In een later stadium zal de leerling op basis van deze vaardigheid in staat zijn om zelf op een beknopte en ondubbelzinnige wijze formules en rekenprocedures op te stellen en zo te communiceren. Bewerkingen met breuken is een meer specifieke vaardigheid. In de sommen waarom het gaat en in de ontwikkelde cursus wordt de breuklijn niet alleen gebruikt om een vereenvoudigde breuk aan te duiden ( en in die zin een voltooide operatie en een eenduidig getal op de getallenlijn), maar ook om opgaven te noteren die verschillende getallen en de operaties vermenigvuldigen en delen behelzen. Of ter oplossing van een vergelijking waarin delingen staan. De breuklijn als notatie kan dus bij een tamelijk breed scala aan problemen worden ingezet. Nu is volgens de interpretatie van de expertgroep het toepassen van de vier basisoperaties op breuken sowieso een vereiste volgens de kerndoelen primair onderwijs. We hebben gezien dat hiermee niet veel geoefend is op de basisschool. Oefeningen in bewerkingen met breuken is alleen al gewenst omdat hiermee een inhaalslag wordt gemaakt. De expertgroep benadrukt de noodzaak van het onderhouden van rekenvaardigheden. Juist in de onderbouw van het voortgezet onderwijs zou het hieraan ontbreken. Bij bewerkingen met breuken oefenen de leerlingen tegelijk ook de tafels van vermenigvuldiging voor de getallen 1 tot en met 15, en het delen met die getallen. De oefeningen scherpen het getalbegrip van de leerling, want zij worden uitgedaagd om van grotere getallen de factoren op te sporen. De relevantie van het begrip grootste gemene deler, al dan niet actief gebruikt, wordt duidelijk. De sommen nopen de leerling om tussenstappen te noteren. Dit werken met pen en papier is een belangrijke vaardigheid (of heuristisch hulpmiddel) waarin het de huidige leerling ontbreekt aan een stuk gewoonteontwikkeling, zoals we hierboven gezien hebben. Ten slotte valt over het ontwikkelen en bijhouden van rekenvaardigheden in het algemeen nog het volgende te zeggen. Al zullen we er niet aan ontkomen deze vaardigheden apart te oefenen, tegelijk geldt dat hoe meer we dit geïntegreerd in het wiskundig onderwijs en in het onderwijs in andere vakken kunnen doen, hoe efficiënter het leerproces en – naar mijn stellige mening – hoe gemakkelijker de leerling is te motiveren om zijn rekenvaardigheden op peil te houden. Idealiter ziet de leerling zijn rekenvaardigheid als een hulpmiddel waarop hij kan vertrouwen bij de oplossing van getalsmatige problemen. Dat lukt alleen als die vaardigheid breed is ontwikkeld en op een goed niveau is. Binnen het wiskundeonderwijs wordt het, mits aan die voorwaarde voldaan is, mogelijk om voor bijna alle stof uit de eerste twee leerjaren toetsen te ontwikkelen die zonder rekenmachine gemaakt kunnen worden. De op peil gebrachte rekenvaardigheid kan op die manier zonder veel extra moeite in stand worden gehouden. In de lessen zal er een extra motivatie zijn voor de leerling om sommen zoveel mogelijk zonder rekenmachine op te lossen. Bijlage 2 geeft voorbeelden van sommen die zonder rekenmachine kunnen worden gemaakt en in SO’s voor de eerste en tweede klassen werden ingezet.
42
43
44
Hoofdstuk 4
Praktijkgedeelte
Inleiding
Hoe kun je te weten komen of iets voor verbetering vatbaar is? Hoe snoer je pessimisten de mond? Hoe bied je weerwerk aan het geklaag over de staat van ons rekenonderwijs? Wel, door te proberen die verbeteringen te realiseren. Door de pessimisten en klagers vrijmoedig de resultaten van je werk voor te leggen. En dat is het programma voor dit hoofdstuk. We zullen laten zien hoe we geprobeerd hebben om de vaardigheid in het rekenen met breuken en in volgorde van berekeningen bij leerlingen in de eerste klas van het gymnasium te verbeteren. Het tijdspad wordt geschetst, het aantal cursussessies, datums van toetsing worden gespecificeerd. We zullen vertellen wat we bereikt hebben en de resultaten verantwoorden. In bijlagen ziet de lezer hoe de cursus die we ontwikkeld hebben er concreet uitzag en wordt het cijfermateriaal getoond. Opzet en doelstellingen van de cursus Eerste Hulp Bij Breuken
In de eerste plaats wilden wij met deze cursus het rekenen met breuken in bredere zin op een hoger plan brengen. Doel was om alle basisoperaties met breuken aan bod te laten komen, dus optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen en hierbij formele, rekenkundige technieken aan te reiken en te laten oefenen. De sommen die zo’n groot struikelblok vormden voor veel leerlingen zijn mede in de cursus opgenomen. Het zijn de opgaven waarbij de som van twee ongelijknamige breuken wordt vermenigvuldigd met een derde breuk en waarbij de techniek van het wegstrepen van gelijke factoren onder en boven de breuklijn moet worden toegepast om te voorkomen dat de opgave uitmondt in een onoverzienbare rekenpartij. Maar er zijn bijvoorbeeld ook opgaven waarin een reeks vermenigvuldigingen en delingen handig worden herschreven in getallen onder en boven een breuklijn, waarna de leerling opnieuw de techniek van het wegstrepen kan toepassen. De oefening is op zichzelf waardevol maar kan ook worden toegepast bij toetsen over procentrekenen, omtrekberekeningen etcetera. Doel is hier dus mede om de leerlingen rekentechnieken te leren die de integratie van rekenen in het wiskundeonderwijs vergemakkelijken. Daarbij kan dan de rekenmachine in de tas blijven. Tweede hoofddoel is het vergroten van de vaardigheid volgorde bij berekeningen. Dit was die andere vaardigheid waarvoor de resultaten tegenvielen bij de toets van 14 oktober. Het gaat om niets meer of minder dan het kunnen lezen van rekenkundige (en algebraïsche) zinnen in hun grammaticale samenhang. Intussen worden met deze oefeningen tegelijk de basisoperaties geoefend met getallen tot de 100. Ze moeten op zoek naar gemene delers, zo wordt het getalinzicht bevorderd. Derde hoofddoel is een stuk gewoonteontwikkeling in het gebruik van pen en papier bij rekenopgaven. De cursus stuurt aan op oplossingmethodes waarbij met behulp van algebraïsche technieken de rekenopgaven tot een goed einde worden gebracht. Overigens is consequent bij elke oplossingsmethode ook een stuk uitleg gegeven die verklaart waarom ze werkt. Opzet
De verschillende opgaven in de cursus lopen op in moeilijkheidsgraad. Maar de cursus voorziet ook in herhaling van eerder geoefende vaardigheden, bijvoorbeeld in modules waarin verschillende typen
45
opgaven die eerder aan bod zijn geweest door elkaar worden gepresenteerd. De leerling oefent ze zodoende opnieuw, en de wendbaarheid wordt geoefend. Korte modules zorgden voor afwisseling. Differentiatie geschiedde wekelijks na een nakijkronde. Op grond van de prestaties van de leerling werden modules overgedaan of kon hij of zij verder. Een aantal keer is gebruik gemaakt van het expertmodel. Goed presterende leerlingen werden gekoppeld aan leerlingen die dreigden achterop te geraken. Zo werden koppels gevormd waarbij de minder presterende leerling extra uitleg kreeg terwijl de goede leerling tegelijk zijn voorsprong niet verder uitbouwde. Didactiek
Bij de uitleg schroomde ik niet om taartvormen en staven op het bord te tekenen om zo de breuk als deel van een geheel in aanschouwelijke vorm te presenteren. Al snel echter verdween deze manier van uitleggen en maakte plaats voor eenvoudige sommetjes die de leerlingen prima konden oplossen maar waarbij ze de gehanteerde strategie niet altijd rekenkundig konden verantwoorden. Ik geef twee voorbeelden van de soort vragen die ik stelde: waarom is 13 + 12 = 56 of waarom is 26 = 13 ? Door lastiger getallenvoorbeelden te kiezen waarbij intuïtie en ervaring de leerling in de steek lieten demonstreerde ik dat een correcte rekenkundige techniek nodig is om tot een oplossing te komen. Deze methode, beginnen met een eenvoudig getallenvoorbeeld waarvan iedereen inziet dat het klopt en dan de techniek blootleggen die vervolgens bij lastiger getallen wordt ingezet, gebruikte ik veel. Bij het delen door een breuk liet ik de dubbele getallenlijn zien die in hoofdstuk 1 ter sprake is geweest en die veel leerlingen kennen uit het basisonderwijs, om daarna de overstap te maken, via een verhoudingentabel, naar de truc delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk. Belangrijk om op te merken is dat ik ook leerlingen die na herhaalde uitleg de rekenregels niet begrepen de sommen liet maken, ondanks de soms pittige weerstand die dit opriep. Soms ijlde het inzicht dan na, soms ook niet. Al met al kun je zeggen dat de uitleg een stuk abstracter was dan de leerlingen gewend waren op de basisschool. Een conceptueel probleem voor veel leerlingen van een geheel eigen karakter is dit: is een breuk een uitkomst of een sommetje? Met andere woorden: is een breuk het resultaat van een operatie, of is het zelf een operatie? Skemp (blz. 176) vat de breuk als uitdrukking van een verhouding zelfs op als een 6
dubbele operatie: 9 betekent dat we ‘iets’, een willekeurige eenheid, in 9 gelijke delen hebben 2
6
verdeeld en daar 6 van hebben genomen. Deze dubbele operatie is equivalent aan 3 , dus 9 6
6
≅ 23 .
2
Als breukgetal is het een getal en is 9 gelijk aan 23 , dus 9 = 3 . Daar hoeven we onze leerlingen niet mee lastig te vallen. Afspraak voor hen is, in aansluiting op het boek, dat een breuk(getal) steeds vereenvoudigd moet worden. En een deelsom kan met het deelteken (:) of met een breukstreep worden geschreven.
Experimentele opzet
Ik geef les aan twee eerste klassen, 1D en 1E. De resultaten in beide klassen bij de toets van 14 oktober 2009 waren vergelijkbaar. Ik besloot om aan klas 1D, als experimentele groep, een cursus eerste hulp bij breuken aan te bieden terwijl klas 1E, als controlegroep, het gewone curriculum zou vervolgen. Conform de centrale vraagstelling bij het praktijkgedeelte werd de cursus aangeboden binnen de gewone lestijd.
46
De cursus werd aangeboden in wekelijkse sessies van 30 tot 40 minuten. Na een uitleg van ongeveer 10 minuten werden de opgaven verstrekt en werkten de leerlingen 20 minuten aan de opgaven. Ik gebruikte voor de sessies het blokuur met een lesduur van 90 minuten. De cursus werd afgesloten met, voor de experimentele groep, een (aangekondigde) toets in de week na de laatste cursussessie en een enquête. Vervolgens werd na een periode van anderhalve maand een controletoets afgenomen (onaangekondigd) bij 1D en 1E waarbij de oorspronkelijke opgaven uit de toets van 14 oktober werden herhaald, enige opgaven uit de cursus en opgaven waarbij op inzichtelijke wijze met breuken of verhoudingstabellen moest worden gerekend (verhaaltjessommen).
Tijdspad
De cursus ging van start op woensdag 18 november en werd wekelijks gegeven in reguliere onderwijsweken. Er waren in totaal 9 sessies, de laatste op 3 februari 2010. De aangekondigde afsluitende toets werd gegeven op woensdag 10 februari. Een week later volgde voor 1D een evaluerende enquête. De onaangekondigde eindtoets werd in beide klassen afgenomen op woensdag 24 maart. Verloop
Ik hield er rekening mee dat de cursus met enige tegenzin zou worden ontvangen. Nu, dat viel erg mee. Tijdens het verdere verloop is door een kleine groep leerlingen weliswaar flink geklaagd dat het erg moeilijk was en dat ze het niet begrepen, maar tegelijk leek iedereen erop gebrand de opgaven onder de knie te krijgen. Misschien niet in de laatste plaats omdat ik gezegd had dat hun prestaties zouden meetellen voor een cijfer. Dat cijfer zou deels worden bepaald door het bereikte eindniveau, deels door het resultaat bij de afsluitende Schriftelijke Overhoring. Het viel me op hoe moeilijk het voor een aantal leerlingen is om van het vertrouwde en concreet inzichtelijke (de vereenvoudiging van vertrouwde breuken) de stap te maken naar een rekenkundige procedure die je ook kunt gebruiken bij lastiger breuken. Daarbij lijken demonstraties met herkenbare voorbeelden nog het meest te overtuigen, de (abstractere) opmerking dat je bij wegstrepen van gelijke factoren onder en boven de breukstreep feitelijk vermenigvuldigt met het getal 1 komt bij veel leerlingen niet aan. Ik ben dit in de uitleg wel steeds blijven herhalen. Een aantal keer ontstond bij leerlingen paniek tijdens de uitleg en heb ik noodgedwongen de instructietijd verlengd. Bij sommige leerlingen wisselden opluchting en paniek elkaar beurtelings af, anderen beheersten opeens een vaardigheid niet meer waarmee ze voordien geen probleem hadden. In de werkfase vroeg ik de leerlingen om niet te overleggen, maar toch gebeurde dit wel. Soms stond ik het oogluikend toe als dit overleg rustig plaatsvond en als ik wist dat de betrokken leerling het rekenwerk erg moeilijk vond. Bij een aantal sessies zijn koppels gevormd, volgens plan, van leerlingen die erg goed presteerden en leerlingen die achterop raakten of te veel fouten maakten. Dat koppelen verliep in de praktijk goed en riep geen weerstand of hilariteit op. Ik beloofde de experts dat hun inzet in het eindcijfer zou worden beloond (en dat is ook gebeurd). Het werk werd wekelijks nagekeken, opnieuw volgens plan, op basis waarvan de leerlingen nieuw werk kregen aangeboden. Natuurlijk is dat een flinke tijdsinvestering, maar tegelijk wil ik opmerken dat het nakijken erg vlot ging omdat het rijtjessommen zijn. Tijdens de cursusperiode is aan de controlegroep, klas 1E, één keer extra stof aangeboden, in de vorm van een werkblad dat ze moesten maken in een enkel lesuur van 45 minuten. De kerstvakantie en een toetsweek medio januari zorgden voor onderbreking van het weekritme van de cursus.
47
Resultaten Voorafgaand aan de bespreking van de resultaten moeten we de vraag beantwoorden of het beginniveau van klas 1D en dat van 1E vergelijkbaar is. Alleen als we die vraag bevestigend kunnen beantwoorden is vergelijking van de verdere resultaten van de experimentele groep, 1D, met de controlegroep, 1E, zinvol. Welnu, de gemiddelden van beide klassen voor de Schriftelijke Overhoring van 14 oktober waren gelijk, namelijk een 7,2. Figuur ….laat ook de gemiddelde goedpercentages zien per klas bij volgorde bij berekeningen, breuken optellen en bewerkingen met breuken. We zien dat op de eerste 2 onderdelen 1E het iets beter deed, bij bewerkingen met breuken scoorde 1D juist beter. Bij de bespreking van de verdere resultaten zullen we hieraan refereren.
SO 14 oktober. Gemiddelden per klas Eindresultaat
Volgorde bij berekeningen
Breuken optellen
Bewerkingen met breuken
Cijfer
Goedpercentage
Goedpercentage
Goedpercentage
1D
7,2
70
87
50
1E
7,2
74
92
42
Hebben de overige wiskunderesultaten van klas 1D geleden onder de extra werklast die de cursus de leerlingen bezorgde? Om die vraag te beantwoorden ziet u in onderstaande figuur de resultaten van 1D en 1E van de toetsen die werden afgenomen tijdens de cursusperiode.
Resultaten bij wiskundetoetsen gedurende de cursus. Gemiddelden per klas. Proefwerk 2 december
Mini-SO 6 januari
SO 1 februari
1D
8,2
8,7
7,2
1E
8,1
7,8
7,3
Opvallend is de dip bij 1E op 6 januari, bij een kleine overhoring over letterrekenen. De tabel laat zien dat de wiskunderesultaten van de experimentele groep niet hebben geleden onder de cursus.
Direct cursusresultaat. De toets van 10 februari Klas 1D telt 27 leerlingen, aanvankelijk alle opgenomen in de experimentele groep. Door ziekte misten 2 leerlingen veel cursuslessen. Een liet verstek gaan bij het SO van 10 februari, de ander bij de toets op 24 maart. Beide zijn uit de steekproef verwijderd. Een leerling uit 1E miste de toets op 24 maart en is eveneens verwijderd uit de steekproef. Zodoende telt de experimentele groep uiteindelijk 25 leerlingen, de controlegroep 26. De verwachting is dat direct na de cursus de leerlingen beter presteren als het gaat om rekenen met breuken, en om opgaven waarin volgorde bij berekeningen wordt getoetst. Onderstaande figuur laat zien dat die verwachtingen ook worden bevestigd.
48
Vergelijking resultaten 1D 14 oktober en 10 februari. Gemiddelde Goedpercentages. Volgorde bij berekeningen
Goed
Breuken optellen
Bewerkingen met breuken
14 oktober
10 februari
14 oktober
10 februari
14 oktober
10 februari
70%
88%
87%
97%
49%
76%
Beide toetsen zijn te vinden in de bijlagen. In alle gevallen laat de Wilcoxon Signed Rank Test bij eenzijdige toetsing een significant resultaat zien (significantieniveau < .05 ) bij de hypothese dat de leerlingen hun vaardigheid hebben verbeterd (zie bijlage). Zowel in de toets van 14 oktober als in de toets van 10 februari gaat het in de categorie breuken optellen om 3 eenvoudige sommen. De moeilijkheidsgraad is naar mijn idee vergelijkbaar. In de categorie volgorde bij berekeningen ging het bij de begintoets om 4 sommen, op 10 februari waren dat er 3. Daarbij moesten dit keer ook delingen worden uitgevoerd en deden er negatieve getallen mee. Dat maakt deze sommen bij de tweede toets moeilijker. Echter, in het gewone curriculum is ook met dit type sommen geoefend. Voor de laatste categorie, bewerkingen met breuken, gaat het in de toets van 14 oktober om vraag 4, in de afsluitende toets om de onderdelen E en H. Bij het vergelijken van de scores wil ik niet verbloemen dat het type sommen deels verschilt. Ik vind de bewering meer dan plausibel dat de opgaven in deze categorie bij de eindtoets moeilijker zijn dan bij de toets van 14 oktober, maar de sceptische lezer kan vraagtekens plaatsen bij de vergelijkbaarheid überhaupt van de data op dit punt.
De toets van 24 maart. 1D versus 1E Anderhalve maand na beëindiging van de cursus is in de experimentele groep en in de controlegroep een onaangekondigde toets afgenomen met het doel na te gaan of de vaardigheden die in de cursus geoefend zijn op middellange termijn beklijven, en om te zien of generalisatie heeft plaatsgevonden. Daarom zijn niet alleen rijtjessommen in de toets opgenomen, maar ook verhaaltjessommen. Dat de bedoelde vaardigheden tijdens de cursus zijn toegenomen is inmiddels duidelijk geworden. Als ze op termijn van anderhalve maand beklijven mogen we voor het rekenen met breuken bij 1D een E significant grotere vaardigheid verwachten dan bij 1 . Enige resultaten worden gepresenteerd in figuur …. De toets is te vinden in de bijlage.
E
De toets van 24 maart. 1D versus 1 . Gemiddelden per klas. ste
Eindresultaat Aantal punten van 45
Score 1 deel Aantal punten van 26
de
Score 2 deel Aantal punten van 19
Volgorde bij berekeningen
Breuken optellen
Bewerkingen met breuken
Goedpercentage
Goedpercentage
Goedpercentage
1D
29
19,3
9,7
92%
85%
50%
1E
23,5
17,4
6
94%
85%
37%
49
Er is geen statistische toets uitgevoerd op de resultaten van het eerste deel van de toets. De gegevens laten evident zien dat er nauwelijks verschil is tussen beide groepen. Het flinke verschil in goedpercentages in de categorie bewerkingen met breuken kan worden verklaard uit het verschil in beginniveau (zie figuur….). Toch maakt 1 D de toets beter dan 1 E, het verschil is significant. De leerlingen behalen de meeste winst niet in het eerste gedeelte, maar in het tweede! Dit resultaat is wat mij betreft paradoxaal: een cursus die eenzijdig gericht is op het aanleren van mechanische rekenvaardigheden levert op dit gebied op de middellange termijn schijnbaar niets op, maar geeft wel een verbetering van de prestaties te zien bij sommen waarin deze vaardigheden kunnen worden toegepast. Ik gebruik het woord schijnbaar omdat de toets van 24 maart alleen het vermogen meet om onmiddellijk, onder een zekere tijdsdruk en onvoorbereid te presteren op heel specifieke rekenvaardigheden die sinds anderhalve maand niet meer zijn geoefend. Wat de resultaten van de toets ons vertellen is dat dat in elk geval niet lukt. Maar mogelijk – en waarschijnlijk – hebben de leerlingen weinig oefening nodig om het vaardigheidspeil van vlak na de cursus te herwinnen. We kunnen nu in elk geval concluderen dat het op peil houden middels herhaalde oefening van rekenvaardigheden zeker noodzakelijk is, zoals ons in de literatuur steeds wordt voorgehouden en zoals de expertgroep herhaald benadrukt. Blijft de vraag waarom de experimentele groep op de toets als geheel beter presteert. Een verklaring zou kunnen zijn dat het oefenen met breuken en deelsommen heeft geleid tot een beter begrip – in brede zin – van deze operaties, op basis waarvan de leerlingen vervolgens in het tweede deel van de toets beter presteerden. Daarbij moeten we dan aannemen, en dit lijkt alleszins plausibel, dat dit verworven begrip duurzamer is dan het tijdens de cursus verworven vaardigheidspeil. Een andere verklaring is dat klas 1D zich meer dan 1 E uitgedaagd voelde om goed te presteren. Zij immers hadden een cursus breuken gehad. Met andere woorden: verschil in motivatie kan een rol hebben gespeeld. Als laatste mogelijke verklaring opper ik dat 1D het eerste gedeelte van de toets niet veel beter, maar wel veel vlotter afrondde en zodoende meer tijd had voor het tweede deel. De cijfers (zie bijlage ) laten zien dat inderdaad gemiddeld de leerlingen van 1D wat minder in tijdnood verkeerden dan hun lotgenoten van 1 E.
Enquête Een probleem bij het op peil brengen en onderhouden van rekenvaardigheden zou zijn dat de oefeningen die ervoor nodig zijn zoveel weerstand oproepen bij de leerlingen. De motivatie van de leerlingen zou te wensen overlaten met als gevolg het uitblijven van resultaten. In een enquête na afsluiting van de cursus heb ik geprobeerd om over de motivatie van de leerlingen voor de cursus en voor het rekenen met breuken iets te weten te komen. De enquête is te vinden in de bijlagen. 21 van 25 aanwezige leerlingen leverden de (op basis van anonimiteit afgenomen) enquête na afloop van de les correct ingevuld in. De motivatie van de leerlingen voor cursus en cursusonderwerp is geoperationaliseerd in de vragen 7, 10, 11 en 12. 7
Ik heb meer zelfvertrouwen gekregen bij het rekenen met breuken
10
Ik wil rekenen met breuken blijven oefenen
11
Bij het vak wiskunde is het een voordeel om goed te kunnen rekenen met breuken
12
Bij sommige andere vakken is het een voordeel om goed te kunnen rekenen met breuken
Voor vraag 7 is gekozen omdat toegenomen zelfvertrouwen motiverend werkt. Vraag 10 is een directe vraag naar toekomstige motivatie voor het rekenen met breuken. De vragen 11 en 12 informeren ons
50
over hoe nuttig de leerlingen het rekenen met breuken vinden, als indirecte maat voor hun motivatie. De respons laat voor alle vragen een licht positief beeld zien. Hoe beoordeelden de leerlingen de inhoud van de cursus? Met onderstaande stellingen is getracht hiervan een beeld te krijgen. 1 Ik heb beter leren rekenen met breuken. 2 Ik heb in de cursus vooral trucjes geleerd. 8 Ik begrijp na deze cursus de rekenregels bij breuken beter. De stellingen 1 en 8 formuleren het inhoudelijke doel van de cursus. In stelling 2 wordt de eenzijdigheid van de cursus, die wij verder niet geproblematiseerd hebben, nog eens blootgelegd. De leerlingen vinden overwegend dat ze in de cursus vooral trucjes hebben geleerd. Tegelijk is geen enkele leerling het oneens met stelling 8. Slechts 1 leerling vindt niet dat hij beter heeft leren rekenen met breuken. Is de opzet van de cursus geslaagd te noemen? Hiermee doel ik vooral op het gebruik van korte modules en de geboden mogelijkheid om in eigen tempo de cursus te doorlopen. Wat vinden de leerlingen hiervan? Zelf merkte ik met name in de instructiefase dat het niveau van de opgaven erg hoog lag. Incidentele raadpleging van vergelijkbaar cursusmateriaal voor dezelfde doelgroep bevestigde die indruk. De stellingen 4, 5, 6 en 9 zijn hier relevant. 4 Ik vond de sommen in de cursus EHBB (makkelijk versus moeilijk) 5 Ik vond het tempo van de cursus (langzaam versus snel) 6
Er bleef voldoende tijd over voor de wiskunde uit het boek (eens versus oneens)
9 Ik heb meer hulp en oefening nodig om goed te leren rekenen met breuken (eens versus oneens) 15 respondenten vonden de sommen in de cursus precies goed, 6 vonden ze te moeilijk. Het tempo was voor 12 leerlingen precies goed, 9 vonden het te snel gaan. De leerlingen vonden dat er voldoende tijd overbleef voor de wiskunde uit het boek. Voor de laatste vraag liggen de antwoorden aardig gespreid, met toch een zwaartepunt in de richting van de mening dat meer hulp en oefening niet nodig zijn. Gezien de andere antwoorden ligt dat niet in de lijn der verwachting. Misschien is het voor leerlingen vervelend of confronterend hier bevestigend te antwoorden. Ik ben geneigd te concluderen dat de opzet van de cursus goed is, maar dat de moeilijkheidsgraad erg hoog ligt en misschien iets omlaag moet. De algehele indruk is zeker niet dat een aanzienlijke groep leerlingen tijdens de cursus heeft afgehaakt. Anderzijds beschik ik met deze enquête over de antwoorden van 21 van 25 aanwezige leerlingen. Wellicht waren de 4 leerlingen die geen correct formulier hebben ingevuld heel negatief over de cursus? Terughoudendheid lijkt op zijn plaats bij de interpretatie van de enquêteresultaten.
51
Hoofdstuk 5
Conclusies en aanbevelingen
Inleiding
In dit werkstuk hebben we aandacht besteed aan de controverse tussen realistisch rekenen en traditioneel rekenen, een discussie die de gemoederen zeer heeft beziggehouden de afgelopen tijd. We hebben een rekenmethode voor het primair onderwijs bestudeerd en met name gekeken naar de wijze waarop in groep 8 met breuken en met volgorde bij berekeningen wordt geoefend. Dezelfde onderwerpen inventariseerden we voor de methode Getal en Ruimte in de eerste twee jaar van het vwo. We hebben aandacht besteed aan de kerndoelen, die van overheidswege voorschrijven welk onderwijs een school (basis en eerste jaren VO) in elk geval moet aanbieden. De PPON-studies en het werk van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen hebben ons een beeld gegeven van wat landelijk het niveau is waarop leerlingen met name aan het einde van de basisschool kunnen rekenen. Er zijn door deze expertgroep functionele en streefniveaus beschreven voor opeenvolgende leeftijden die kracht van wet zullen krijgen. Internationaal vergelijkend onderzoek geeft een beeld van het peil van het Nederlandse onderwijs ten opzichte van ons omringende landen. In het praktijkgedeelte hebben we binnen een experimentele opzet een klas extra laten oefenen met breuken en met volgorde bij berekeningen en de resultaten vergeleken met een controlegroep. De verzamelde informatie en inzichten zullen we nu inzetten om de deelvragen en de hoofdvraag van dit werkstuk te beantwoorden.
Deelvragen 1 tot en met 4 en hoofdvraag
Deelvraag 1 luidt: •
Hoe ziet het rekenonderwijs op de basisschool er globaal uit? Ik denk met name aan kenschetsing in termen van contextrijk versus contextarm, realistisch versus traditioneel, gericht op situationele toepassing of op beheersing van schoolse rekenregels?
Realistische rekenmethoden beheersen de markt voor het basisonderwijs. Dat is al tientallen jaren zo. Een veelgebruikte methode, De wereld in getallen van uitgeverij Malmberg, hebben we nader bestudeerd. Een rijk scala aan rekenvaardigheden komt aan bod in een veelal contextrijke setting. De methode maakt veel gebruik van allerlei speelse opzetten bij het aanbieden van oefeningen. Rijtjessommen zijn er weinig, de gebruikte rekentechnieken zijn realistisch. Deelvraag 2 luidt: •
Hoe ziet het rekenonderwijs in de methode Getal en Ruimte in het eerste jaar van het vwo (deel 1 vwo 1 editie 2003) eruit? Is de methode realistisch of traditioneel, contextrijk of contextarm?
De methode biedt veel contextsommen aan en aparte paragrafen met als thema ‘rekenen in alledaagse situaties’ en schattend rekenen. De methode mag op grond hiervan als realistisch worden aangemerkt. Alle uitleg wordt heel concreet gehouden. Tegelijk is het onvermijdelijk dat met het
52
complexer worden van de sommen het rekenen formeler wordt. Een goed voorbeeld is de uitleg dat je teller en noemer door hetzelfde getal mag delen, de manier om met behulp van pen en papier breuken te vereenvoudigen, maar tegelijk een techniek die op de basisschool in de methodes niet aan bod kwam. Formele rekentechnieken worden zo stap voor stap geïntroduceerd. Deelvraag 3 luidt: •
Met welk type sommen in de methode Getal en Ruimte zijn de leerlingen vanuit het primair onderwijs vertrouwd, welke zijn nieuw voor ze?
Vanuit de basisschool zijn leerlingen gewend sommen in allerlei vormen aangeboden te krijgen: verhaaltjessommen, verschillende puzzelvormen, sommen waarin het ‘eindantwoord’ staat maar iets anders ontbreekt enzovoorts. En ook rijtjessommen kennen ze. De combinatie van haakjessommen en breuken is weliswaar nieuw maar dit hangt samen met het moeilijker worden van de stof. In het algemeen zal de manier waarop in Getal en Ruimte sommen worden aangeboden voor leerlingen geen obstakel vormen voor een goed begrip, in het licht van wat ze op dat gebied gewend zijn. Deelvraag 4 luidt: •
Welke didactische technieken worden veelal gebruikt in het basisonderwijs, met name bij het aanleren van rekenen met breuken?
De didactiek in het basisonderwijs richt zich op het snel herkennen van gelijkwaardige breuken, en op het onderkennen van de relatieve waarde van breuken en verhoudingen. De didactische aanpak en de aangeboden problemen zijn gericht op onmiddellijke inzichtelijkheid en aanschouwelijkheid. Formele rekentechnieken worden vermeden. Een goed voorbeeld is het delen door een breuk dat als zodanig (de formele techniek) niet wordt geleerd en geoefend, terwijl problemen waarbij die techniek zou kunnen worden ingezet worden opgelost met behulp van een dubbele getallenlijn. Rijen gelijkwaardige breuken worden veel gebruikt als didactisch hulpmiddel, de bijbehorende formele techniek komt in de methodes niet aan bod. Onze hoofdvraag luidt: •
Welke verklaring kan ik geven voor de tegenvallende rekenvaardigheden van leerlingen in de eerste klas van het gymnasium?
De tegenvallende prestaties gelden de vaardigheden optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken (kortweg optellen van breuken), volgorde bij berekeningen en bewerkingen met breuken. Voor optellen van breuken valt te bezien of de kwalificatie tegenvallend mag worden gehandhaafd. Slechts 73 % van de leerlingen van beide onderzochte klassen had alle 3 de sommen goed, en dat is een tegenvallend cijfer. Echter, het goedpercentage van alle sommen, van alle leerlingen tesamen komt op 90, en daarmee staat de vaardigheid, volgens de normen van PPON, op een goed niveau. Wij komen hier in de discussie op terug. In de toets van 14 oktober was het goedpercentage voor volgorde bij berekeningen 72 %, een matige score. Dat voor bewerkingen met breuken was 46 %, een slechte score. Met beide vaardigheden is weinig geoefend in het primair onderwijs, tegelijk zijn de in de toets aangeboden sommen, naar voorbeeld uiteraard van de behandelde stof, moeilijker dan op de basisschool. Het ontbreken van een in het basisonderwijs opgedane routine kan de tegenvallende prestaties deels verklaren. Maar voor de slechte prestaties bij bewerkingen met breuken lijkt die verklaring toch niet afdoende. Het ontbreken van kennis van formele rekenregels bij het rekenen met breuken is een aanvullend gemis voor de leerlingen. Zonder toepassing van die regels kunnen de lastiger sommen in deze categorie vaardigheden niet worden opgelost. Het gaat dan met name om het wegstrepen van gelijke factoren in teller en noemer van te vermenigvuldigen breuken. Extra aandacht en uitleg in de lessen compenseren deze onbekendheid onvoldoende.
53
Onze studie biedt aanwijzingen voor nog een aanvullende verklaring. Zowel nationaal als internationaal onderzoek legt tegenvallende prestaties bloot op het gebied van bewerkingen. Leerlingen zijn afnemend geneigd om met pen en papier een berekening te maken in gevallen waarin dit de aangewezen strategie is om een opgave tot een goed einde te brengen. De vaardigheden waarin wij op tegenvallende prestaties stuiten vragen nu juist om zo’n aanpak. Het blijft een open vraag of er wellicht een samenhang is met het realistische rekenen, met de bijbehorende nadruk op inzichtelijkheid en aanschouwelijkheid zodat een papieren strategie niet lijkt te worden aangemoedigd.
Deelvragen 5 tot en met 9 Deelvragen 5, 6 en 7 gaan nader in op didactische thema’s. • • •
Sluit mijn eigen didactiek aan op de gebruikte didactiek in het basisonderwijs? Sluit de didactiek van de methode Getal en Ruimte (in met name het eerste jaar) aan op de didactiek van het primair onderwijs? Wat valt er nu te zeggen over de aansluiting van het rekenonderwijs op de basisschool op het e rekenonderwijs van het 4 gymnasium?
Aan de beantwoording van bovenstaande vragen willen wij enige opmerkingen en overwegingen vooraf laten gaan. Tot op zekere hoogte kun je inderdaad spreken van de (reken)didactiek in het primair onderwijs, en wel voor zover daarmee bedoeld wordt dat de aangeboden rekenmethodes zich bedienen van het realistisch rekenen als didactiek. In het rapport Rekenonderwijs op de Basisschool van de KNAW wordt deze eenzijdigheid betreurd. Men ziet liever meer keuzemogelijkheden voor de scholen. Tegelijk wordt in datzelfde rapport de tegenstelling tussen realistisch rekenen en traditioneel rekenen sterk gerelativeerd. Voor enig verband tussen realistische of traditionele methode enerzijds, en rekenprestaties anderzijds ontbreekt elk bewijs. Des te duidelijker is de invloed van de leerkracht. Haar of zijn grip op de stof, het vermogen om te enthousiasmeren, klassenmanagement, gebruik van werkvormen zijn factoren die tellen. Het gebrekkige rekenonderwijs op de PABO’s wordt aan de kaak gesteld. In de enquête na afloop van de rekencursus is een vraag opgenomen over mijn manier van uitleggen. U ziet de resultaten hieronder.
Ik vond de uitleg van de leraar
Heel verhelderend
Verhelderend
Weet niet
1
10
7
Onduidelijk Heel onduidelijk 3
0
Gezien de moeilijkheidsgraad van de aangeboden stof is dit leerlingenoordeel mijns inziens bevredigend, zij het tegelijk voor verbetering vatbaar. In mijn uitleg heb ik – en dit is een direct gevolg van deze studie – steeds verwezen naar of gebruik gemaakt van manieren van uitleg die ik in de wereld in getallen tegenkwam. Maar al snel zette ik de stap naar abstractere rekenregels die steeds met hulp van eenvoudige, herkenbare getallenvoorbeelden werden geadstrueerd. Als antwoord op de eerste van de drie bovenstaande deelvragen concludeer ik: ik zocht didactisch aansluiting bij methodes uit het basisonderwijs om van daaruit een nieuwe rekenaanpak op te bouwen. De rekenmethodes zelf (de in het primair onderwijs gebruikte, en Getal en Ruimte) kunnen beide als realistisch worden gekarakteriseerd. De methodes sluiten didactisch dus prima op elkaar aan. Wat betreft het rekenen met breuken moeten de leerlingen een fors verschil in moeilijkheidsgraad overbruggen en missen ze een stuk routine. Deelvraag 7 vat de deelvragen 5 en 6 samen en is in het bovenstaande eigenlijk reeds beantwoord. In het voortgezet onderwijs en zeker op het vwo worden rekenproblemen ingewikkelder en omvangrijker. Het aanreiken van steeds meer formele rekenregels is onvermijdelijk om aan die toenemende e complexiteit het hoofd te kunnen bieden. Getal en Ruimte, de methode waarmee wij op het 4
54
gymnasium werken, geeft die regels maar houdt de uitleg tegelijk zo concreet mogelijk. De balansmethode is een mooi voorbeeld van het middels een aanschouwelijk beeld uitleggen van een in wezen abstracte procedure. De functieleer wordt opgebouwd vanuit woord- en later letterformules gekoppeld aan concrete, herkenbare situaties. Een dergelijke benadering zijn de leerlingen vanuit het basisonderwijs gewend. Deelvraag 8 luidt: •
Welk niveau van rekenvaardigheid mogen we voor onze doelgroep volgens de overheid eigenlijk veronderstellen? En wat zegt de literatuur hierover?
In 58 kerndoelen voor het primair onderwijs, en eenzelfde aantal voor de eerste twee jaar van het voortgezet onderwijs, schrijft de overheid voor welk onderwijsaanbod scholen in Nederland in elk geval voor hun leerlingen moeten realiseren. Via een aantal vertaalslagen van deskundigen, waaronder sinds de eerste lancering van de kerndoelen in 1993 gelukkig in toenemende mate mensen uit het veld (leerkrachten dus) leidden deze kerndoelen vervolgens tot onderwijsprogramma’s en tot de beschrijving van bekwaamheidsniveaus. Bij dat laatste zijn de PPON-rapporten en het werk van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen van groot belang. Deze expertgroep meent op grond van de kerndoelen dat je van leerlingen aan het einde van de basisschool in elk geval mag verwachten dat ze de vier basisoperaties – optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen – kunnen toepassen op breuken. Tegelijk weten we dat het vermenigvuldigen met breuken te weinig, en het delen door een breuk helemaal niet wordt geoefend in de gangbare methodes. Overheid en deskundigen, kortom, vinden dat leerlingen deze vaardigheden op enig niveau zouden moeten beheersen, maar het primair onderwijs, althans de gangbare methodes, bieden hiertoe niet genoeg oefenstof. De expertgroep heeft een systeem van referentieniveaus ontwikkeld dat, anders dan de kerndoelen, wel degelijk bedoeld is om voor taal en rekenen vaardigheidsstandaarden te bieden. Het lijkt erop dat deze referentieniveaus zullen worden verankerd in wetgeving. Voor deze studie is het systeem echter helaas niet fijnmazig genoeg. Het referentieniveau dat nog het meest in de buurt komt van ijkpunt voor onze doelgroep, streefniveau 1, geldt voor 12-jarigen in de 50- tot 75 percentielgroep. De leerlingen van 1D en 1 E voldoen aan dat niveau, zo hebben wij geconstateerd. In het PPON-rapport 2004 vonden wij een drietal voorbeeldsommen met prestatieprofiel voor percentiel-90 leerlingen in groep 8. Deze sommen (en een aantal andere uit datzelfde rapport ) geven een idee van wat we van eerste klas gymnasiasten op het gebied van breuken mogen verwachten. De drie sommen zijn opgenomen in hoofdstuk 3 van dit werkstuk. Deelvraag 9 luidt: •
Sluiten de door mij geconstateerde rekenproblemen aan op wat in den lande wordt aangetroffen?
Zowel het PPON-rapport 2004 als internationale studies (TIMMS) laten een achteruitgang, dan wel relatief slechte prestaties zien van Nederlandse leerlingen op het gebied van bewerkingen. Bij TIMMS betrof dat steeds bewerkingen met breuken, maar hieruit mogen we volgens Pauline Vos niet concluderen dat het de leerlingen schort aan inzicht in breuken. Daarvoor zijn verder immers geen aanwijzingen. Het lijken veeleer procedurele vaardigheden te zijn waarin de Nederlandse leerlingen tekort schieten. PPON 2004 constateert dat leerlingen steeds minder vaak kiezen voor een oplosstrategie met pen en papier en steeds meer voor uit-het-hoofd-rekenen, ook bij opgaven die juist vragen om schriftelijke berekeningen. Jongens hebben die neiging sterker dan meisjes. Eerder is reeds opgemerkt dat de opgaven waarin wij tegenvallende prestaties zagen bij uitstek opgaven zijn waarin een stapsgewijze schriftelijke uitwerking gewenst of zelfs noodzakelijk is.
55
Het lijkt erop dat procedurele vaardigheden in het huidige Nederlandse rekenonderwijs op de basisscholen niet goed worden ontwikkeld. Dit kan een verklaring vormen voor de geconstateerde e tegenvallende rekenprestaties op het 4 gymnasium. Meer in het algemeen wil ik de constatering (TIMMS) niet onvermeld laten dat, terwijl over de hele linie het Nederlandse rekenonderwijs internationaal goed meekan, de betere leerlingen relatief onderpresteren. Hier ligt misschien een grond voor het gevoel van teleurstelling over de rekenprestaties van onze gymnasiasten. Zij zouden beter kunnen.
Hoofdvraag van het praktijkdeel. Deelvraag 10 De hoofdvraag van het praktijkdeel luidt:
•
Kan ik deze rekenvaardigheden verbeteren binnen de normale lestijd?
Deze rekenvaardigheden zijn het optellen en aftrekken van (ongelijknamige) breuken, bewerkingen met breuken en volgorde bij berekeningen. Een belangrijke aanvulling op de hoofdvraag luidt: …zonder dat overige prestaties hieronder lijden. In hoofdstuk 4 hebben we gezien dat aan deze cruciale randvoorwaarde wordt voldaan. Hieronder nog eens de resultaten van de cursus zoals gemeten een week na de laatste sessie. Vergelijking resultaten 1D 14 oktober en 10 februari. Gemiddelde Goedpercentages. Volgorde bij berekeningen
Goed
Breuken optellen
Bewerkingen met breuken
14 oktober
10 februari
14 oktober
10 februari
14 oktober
10 februari
70%
88%
87%
97%
49%
76%
In hoofdstuk 4 hebben we gezien dat statistische toetsing de hypothese bevestigt dat het niveau van alle drie de vaardigheden na de cursus is toegenomen. Laten we ook de resultaten van 24 maart ter vergelijking tonen: E
De toets van 24 maart. 1D versus 1 . Gemiddelden per klas. ste
Eindresultaat Aantal punten van 45
Score 1 deel Aantal punten van 26
de
Score 2 deel Aantal punten van 19
Volgorde bij berekeningen
Breuken optellen
Bewerkingen met breuken
Goedpercentage
Goedpercentage
Goedpercentage
1D
29
19,3
9,7
92%
85%
50%
1E
23,5
17,4
6
94%
85%
37%
We zien dat ook 1 E op volgorde bij berekeningen nu goed presteert. We moeten concluderen dat de oefening die in het gewone curriculum voor dit type sommen wordt geboden voldoende is om het aanvankelijk matige niveau van beheersing te verbeteren. Het blijft een open vraag of de leerlingen van 1 E bij de veel moeilijkere sommen van dit type zoals getoetst op 10 februari in 1D, in de week na de laatste sessiecursus, het prestatieniveau van 1D zouden hebben geëvenaard. Dat lijkt niet waarschijnlijk maar kan niet worden uitgesloten. Overigens lag hier ook zeker niet het belangrijkste aandachtspunt van de cursus. Kijken we naar de scores bij breuken optellen, dan zien we voor 1D
56
een duidelijke terugval in prestaties anderhalve maand na de cursus. Dat geldt nog dramatischer voor bewerkingen met breuken. Dat brengt ons bij deelvraag 10.
Deelvraag 10 luidt: •
Wat zegt de literatuur over het aanleren en onderhouden van rekenvaardigheden en wat betekent dit voor het onderwijs in rekenvaardigheden bij ons op het 4e?
Illustratief bij deze vraag zijn enige citaten uit het werkveld die de expertgroep doorlopende leerlijnen belangrijk en tekenend genoeg vinden om op te nemen in haar rapport over de drempels met rekenen. ‘Het aanleren van de vaardigheden is niet het probleem, het onderhoud dat is het probleem’. ‘Als je rekenen wilt onderhouden dan is [wekelijks ] een extra uur nodig’. Onze resultaten bevestigen nog eens het belang van het onderhouden van vaardigheden dat algemeen in de door mij bestudeerde literatuur wordt bepleit. Daarbij is de expertgroep van mening dat in de onderbouw havo-vwo niet meer systematisch gewerkt wordt aan het onderhouden en uitbreiden van de verworven kennis en vaardigheden op het gebied van het rekenen (over de drempels met rekenen, blz. 19). Voor wat betreft breuken worden de observaties die we zelf eerder deden nog eens bevestigd: er wordt weinig mee geoefend en kennis en vaardigheden op dit gebied worden in de onderbouw niet systematisch verder ontwikkeld. De expertgroep bepleit het gebruiken van de verworven kennis en vaardigheden juist ook buiten de lessen rekenen en wiskunde. e
De conclusie lijkt onontkoombaar dat het rekenonderwijs op het 4 gymnasium nieuwe impulsen en meer aandacht moet krijgen. Ik wil gerichte aanbevelingen bewaren voor de afsluiting van dit hoofdstuk. Discussie en aanbevelingen. Deelvraag 11
Eigen verwachtingen en ervaringen, maar ook nooit gestaafde veronderstellingen wegen mee in mijn waardering van de rekenvaardigheden van leerlingen. Zo beoordeelde ik de prestaties bij eenvoudige sommen met optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken als matig terwijl volgens maatstaven die je in de literatuur vindt dezelfde prestaties als goed mogen gelden. Ik veronderstelde dat op de basisschool veel meer met het vermenigvuldigen van breuken geoefend zou zijn dan feitelijk het geval is. De ene - zeer ervaren - docent binnen de sectie vindt de rekenvaardigheid van de leerlingen de afgelopen jaren erg meevallen, de ander – met net zoveel ervaring – verbaast zich over de onbeholpenheid van het rekenwerk van leerlingen in het eerste jaar van de bovenbouw. Uitzoemend van eigen verwachtingen en die van directe collega’s naar onderwijsland Nederland zien we een inmiddels breed gedragen initiatief om het rekenpeil op basisscholen en in de onderbouw van het voortgezet onderwijs te verbeteren. Met bijvoorbeeld aandacht voor het rekenniveau van de leerkrachten zelf, een pleidooi voor meer oefenmateriaal, rekenmethodes die er hun boeken op aanpassen, een verplichte rekentoets ter afsluiting van de middelbare school, referentieniveaus die bij wet vastleggen welke vaardigheden op het gebied van rekenen geëist mogen worden. e
Ik heb op het 4 gymnasium onderzocht of het rekenpeil van de leerlingen in de eerste klas op een beperkt aantal gebieden kan worden verbeterd. Dit blijkt goed mogelijk binnen de normale lestijd en zonder dat de behandeling van het reguliere curriculum eronder lijdt. Zonder onderhoudsinspanning zakt het nieuw gewonnen vaardigheidsniveau ook weer snel weg. De modulaire opzet, de
57
mogelijkheid van differentiatie die dit biedt, het incidenteel toepassen van het expertisemodel blijken heel werkbaar: het is praktisch goed uitvoerbaar en leerlingen met een uiteenlopend vaardigheidsniveau vinden tempo en moeilijkheidsgraad van de cursus goed. Toch is in zijn huidige vorm de cursus vooral geschikt om het vaardigheidspeil van leerlingen snel te verbeteren. Binnen die beperkte doelstelling acht ik het gevoel van veel leerlingen dat zij slechts trucjes leren niet problematisch. Op langere termijn echter is het dat wel. De leerling moet inzicht ontwikkelen in de samenhang van de verschillende vaardigheden die hij oefent, anders blijven het inderdaad losse trucjes die hij alleen binnen herkenbare, strikt afgebakende oefeningen kan toepassen en niet in andere contexten. Ik stel voor de cursus te verrijken met oefeningen waarin de volgende begrippen een rol spelen en ook worden geëxpliciteerd: deler, veelvoud, grootste gemene deler, kleinste gemene veelvoud, term, factor, priemfactor. In de instructiefase gebruikt de docent deze begrippen steeds vaker bij uitleg over rekenen met breuken. De methode Getal en Ruimte besteedt uiteraard aandacht aan het gebruik van de rekenmachine, maar ook aan afbakening van dat gebruik. Vaak worden oefeningen met de rekenmachine in aparte paragrafen aangeboden, bij andere sommen wordt duidelijk vermeld dat je de rekenmachine niet mag gebruiken. Deze aanpak bevordert de hoofdrekenvaardigheden en de rekenvaardigheden met pen en papier van de leerlingen. Belangrijk is dat ook bij toetsmomenten deze rekenvaardigheden geëist en beloond worden. Hoe breder ontwikkeld de rekenvaardigheden van de leerlingen zijn, hoe makkelijker dit gerealiseerd kan worden. Ik pleit daarom voor het aanbieden van de staartdeling als algoritme om deelsommen snel en accuraat uit te voeren. Natuurlijk is een kolomsgewijze aanpak ook goed, mits een leerling die goed beheerst. Waar het om gaat is dat een incidentele deling met lastiger getallen geen reden mag zijn om het gebruik van de rekenmachine bij toetsen toe te staan. Het streven moet zijn om in de eerste twee jaar van het wiskundeonderwijs toetsen te ontwerpen die zonder rekenmachine kunnen worden gemaakt. Uitzonderingen op deze regel moeten incidenteel zijn en onderwerpgebonden, bijvoorbeeld procenten en grafieken, een hoofdstuk waarin realistische contexten een belangrijke rol spelen. Tot mijn verbazing presteerde de experimentele groep bij de toets van 14 maart vooral veel beter (dan de controlegroep) bij de verhaaltjessommen. Zij hadden daar geen extra oefening voor aangeboden gekregen. Een verklaring zou kunnen zijn dat er toch een generalisatie- of transfereffect is opgetreden. Dat neemt niet weg dat een dergelijk leereffect in de cursus veel sterker kan worden opgewekt door incidenteel verhaaltjessommen aan te bieden die illustreren hoe de geleerde trucjes kunnen worden toegepast. Het mes snijdt hier aan twee kanten: de leerlingen worden gestimuleerd om hun rekenvaardigheden toe te passen in nieuwe situaties en hun motivatie om te rekenen neemt toe. Dat laatste veronderstel ik op basis van het idee dat ontdekken dat je iets wat je geleerd hebt kunt toepassen intrinsiek stimulerend is. Gerekend wordt er ook in andere vakken. In de wandelgangen hoor ik wel eens klachten van collega’s over het rekenpeil van de leerlingen. Maar gericht inventariseren van problemen op dit gebied gebeurt niet. Ik stel voor vertegenwoordigers van andere (bêta)vakken uit te nodigen na te denken over rekenproblemen in de eerste klassen en behoefte aan ondersteuning hierbij. Als die behoefte bestaat wordt vervolgens in een periodiek, laagfrequent overleg een inventarisatie gemaakt van de rekenproblemen en wordt gekeken hoe en wanneer deze problemen in de rekencursus kunnen worden opgenomen. Deelvraag 11 luidt: •
Welke concrete voorstellen kan ik na evaluatie van het praktijkdeel en gelet op wat in de literatuur hierover gezegd is doen om de rekenvaardigheden te verbeteren en te onderhouden?
58
Welnu, met bovenstaande aanbevelingen beoog ik een verbreding en verdieping van de rekencursus te bereiken. Verbreding: er komen meer onderwerpen aan bod. Natuurlijk moet gekeken worden naar andere rekenvaardigheden in het repertoire van de leerlingen waarvan het peil te wensen overlaat. Één daarvan is in elk geval rekenen in het metrieke stelsel, zoals in dit curriculum is gebleken. En andere vakdocenten zullen een bijdrage kunnen leveren aan die verbreding. Verdieping: een stuk wiskundige theorie legt een basis onder en toont de samenhang tussen de verschillende rekenkundige oefeningen. Maar de cursus wordt ook omvangrijker en zal in elk geval het gehele eerste jaar beslaan. Overigens is dat niet genoeg om de rekenvaardigheden ook in de jaren 2 en 3 van de onderbouw op peil te houden. Het rekenen zal meer geïntegreerd worden in andere vakken, conform één van de aanbevelingen van de expertgroep. De gehanteerde opzet van de cursus zal worden gehandhaafd, met als enige verschil het incidenteel toevoegen van ‘toepassingssommen’. Natuurlijk moet voor deze plannen draagvlak worden gecreëerd en moeten ze uitvoerbaar zijn. Het toeval wil dat de vakgroep het komende schooljaar wat betreft formatie ruim in het jasje zit en dat thans actief gezocht wordt naar een goede invulling van de ontstane formatiereserve. Binnen de vakgroep heb ik reeds de mogelijkheid geopperd om bovenstaande plannen te realiseren. Verder overleg volgt. Slotwoord
Ik heb de indruk dat na jaren van controverse, van gechargeerde stellingnames en karikaturisering over en weer door voor- en tegenstanders van het realistische rekenen, nu met name door het werk van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen en de KNAW er voor het rekenonderwijs schoon schip is gemaakt. De discussie erover is niet gestaakt, maar wel een stuk opbouwender, de praktijk is met een aantal constructieve initiatieven flink vooruit geholpen. We moeten voor het reken- en wiskundeonderwijs een nieuwe balans vinden tussen inzicht en vaardigheid, tussen creativiteit en routine en, voor het vwo, tussen vergezicht en basis. Tweede-klassers hebben zojuist bewezen – het werk ligt hier voor mij – dat ze technieken beheersen voor de oplossing van tweedegraads 1
vergelijkingen. Als ze vervolgens 2 ⋅ basis ⋅ hoogte moeten intikken op de rekenmachine aarzelen ze vanwege de breuk, en vragen mij om raad. Dat is een discrepantie die we naar mijn idee moeten proberen op te heffen.
59
Literatuurlijst
Streun, prof. dr. A van, en anderen, werkgroep rekenen en wiskunde, onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, (2008), Over de drempels met rekenen, Enschede Kramer, J-M., Janssen, J., Schoot, F. van der, Hemker, B, (2005), Balans [31] van het rekenwiskundeonderwijs halverwege de basisschool 4 (PPON 2003), Stichting Cito, Arnhem Janssen, J., Schoot, F. van der, Hemker, B, (2005), Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4 (PPON 2004), Stichting Cito, Arnhem Harinck, F., Basisprincipes praktijkonderzoek , (2009), Antwerpen – Apeldoorn, Garant Vos, P., (2007), Rekenen door Nederlands tweedeklassers in internationaal perspectief (1982 – 2003): Zijn de prestaties voor- of achteruitgegaan?, Opgenomen als bijlage bij Over de drempels met rekenen Skemp, R.R., (1971), The psychology of learning mathematics, penguin books London Huitema, S., en anderen, (2001), De wereld in getallen , rekenboek groep 8, Den Bosch : Malmberg Noether, G. E., (1976), Introduction to Statistics, U.S.A, Houghton Mifflin Company Craats, J. van de, (2007), Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen, NAW 5/8 nr. 2 juni 2007 Rreichard, L.A., en anderen, (2003), Getal en Ruimte (voor de eerste en tweede klassen van het vwo), Houten, EPN Plas, L. van der, Peletier, M., (2008), BON rekenhulp voor ouders en anderen, internetpublicatie, http://rekenhulp-basisschool-pabo.nl/methodeAnalyse/methodeAnalyse.html Bijl, Prof. dr. ir. H., en anderen, (2009), Rekenonderwijs op de basisschool, Amsterdam, publicatie in opdracht van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Greven, J., Letschert, J., (2006), kerndoelenboekje primair onderwijs, Den Haag, ministerie van OCW Nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling (SLO),(?), Leerlijnen rekenen/wiskunde, http://tule.slo.nl/index.html
60
Bijlagen
61
Bijlage 1 Overzicht niveaus 1F en 1S voor het subdomein Verhoudingen. Bron: Over de drempels met rekenen, blz. 54
62
Bijlage 2 Voorbeelden van sommen die zonder rekenmachine kunnen worden gemaakt en in SO’s voor de eerste en tweede klassen werden ingezet.
Tweede jaar
Vraag 2
Een vrachtwagen nadert een klein viaduct. De boog van het viaduct is een parabool met 2
h = -0,5x + 5. Hierin is h de hoogte in meters vanaf het wegdek. De vrachtwagen is 2,40 meter breed en 4 meter hoog. Op de tekening lijkt de vrachtwagen niet onder het viaduct door te kunnen, maar dat is een perspectivische vertekening! a) b)
Bereken de hoogte van de boog van het viaduct. Laat je berekening zien. Bereken of de vrachtwagen onder het viaduct doorkan. Laat je berekening zien.
Vraag 5
Het voorste bassin van een waterzuiveringsinstallatie heeft een diameter van 60 meter. De arm draait 180 rondjes per dag. a) Bereken de omtrek van het voorste bassin. Vereenvoudig breuken en laat π staan. Laat een berekening zien.
63
b)
Wat is de snelheid in meters per seconde aan het uiteinde van de arm? Laat een berekening zien.
Vraag 5
Om een zwembad van 11 bij 25 meter wordt een tegelpad aangelegd. Het tegelpad is overal even 2 breed. Het totale oppervlak van het tegelpad is 252 m . Stel de breedte van het pad x meter. a) 5p Stel een vergelijking op bij deze situatie b) 6p Los de vergelijking op en geef de breedte van het pad
Eerste jaar
Bonusvraag Laat een berekening zien.
2p
Een aquarium is 40 cm breed, 60 cm lang en 20 cm hoog. Het wordt gevuld met 38,4 liter water. Hoe hoog komt het water? Geef je antwoord in cm en laat zien hoe je aan je antwoord komt.
64
Bijlage 3
Cursusresultaten 1D 10 februari in vergelijking met het SO van 14 oktober
SO 14 oktober
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Gemiddelden
Volgorde bij berekeningen
Breuken optellen
Pittige sommen met breuken
Goedpercentage 100 25 100 0 100 100 25 100 100 25 50 100 75 100 75 100 50 100 100 75 25 100 25 25 75 70
Goedpercentage 67 33 100 100 100 100 100 67 100 67 67 100 100 100 100 100 67 67 67 100 100 67 100 100 100 86,76
Goedpercentage 67 67 0 67 67 67 0 67 0 67 33 33 100 100 67 100 100 67 33 0 0 67 67 0 0 49,44
65
Cursusresultaten 1D 10 februari in vergelijking met het SO van 14 oktober
Cursusresultaten 10 februari
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Gemiddelden
Volgorde bij berekeningen
Breuken optellen
Pittige sommen met breuken
Goedpercentage 67
Goedpercentage 100
Goedpercentage 60
100 100 100 100 100 100 100 67 100 100 100 100 67 67 100 100 100 67 67 100 67 100 100 33 88,08
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 67 100 100 100 100 100 100 100 100 67 100 100 97,36
100 60 100 80 80 60 80 0 100 40 80 100 100 60 100 80 80 60 80 80 100 80 100 60 76,8
66
Cursusresultaten 10 februari in vergelijking met het SO van 14 oktober
Wilcoxon Signed Rank Test VbB
Som
n = 18
Verschil Rank -33 6 75 14,5 0 100 18 0 0 75 14,5 0 6 -33 75 14,5 50 10,5 0 25 3 -33 6 -8 1,5 0 50 10,5 0 -33 6 1,5 -8 75 14,5 -33 6 75 14,5 75 14,5 -42 9 452 171
Breuken optellen
n = 11
Pittige sommen
n = 21
Verschil 33 67 0 0 0 0 0 33 0 33 33 0 0 -33 0 0 33 33 33 0 0 33 -33 0 0 265
Rank 5,5 11
Verschil -7 33 60 33 13 13 60 13 0 33 7 47 0 0 -7 0 -20 13 27 80 80 33 13 100 60 684
Rank 2 12,5 17 12,5 6 6 17 6
W - = 42 α' = .027
5,5 5,5 5,5
5,5
5,5 5,5 5,5
5,5 5,5
66 W - = 11 α' = .021
67
12,5 2 15
2 9 6 10 19,5 19,5 12,5 6 21 17 231 W - = 13 α' = <.005
Bijlage 4
De grote Ik reken mij een breuk toets.
Resultaten voor 1D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Gemiddelden
Totaalscore 27,5 34,5 25,5 30 36,5 22 23,5 38,5 21 30 21 24 36 25 31,5 28 29 29,5 19 39 34,5 26,5 40,5 29 24 29,02
Gewerkt t/m som 11 12 12 12 12 8 11 10 12 12 12 10 12 12 12 12 12 12 8 12 12 10 12 12 12 11,36
68
14 okt. 2009
24 mrt. 2010
Volgorde bij berekeningen: Goedpercentage 100 25 100 0 100 100 25 100 100 25 50 100 75 100 75 100 50 100 100 75 25 100 25 25 75 70
Volgorde bij berekeningen: Goedpercentage 100 100 88 100 75 100 100 100 75 100 100 100 75 50 88 75 100 100 100 100 100 100 100 75 100 92,04
Resultaten voor 1D.
14 okt. 2009
24 mrt. 2010
Breuken optellen: Breuken optellen: Goedpercentage Goedpercentage 1 67 67 2 33 92 3 100 58 4 100 67 5 100 100 6 100 100 7 100 75 8 67 100 100 67 9 10 67 100 11 67 100 12 100 100 13 100 67 14 100 100 15 100 58 16 100 100 17 67 92 18 67 100 19 67 33 20 100 100 21 100 100 22 67 50 23 100 100 24 100 100 25 100 100 Gemiddelden 86,76 85,04
69
14 okt. 2009
24 mrt. 2010
Pittige sommen met breuken: Goedpercentage 67 67 0 67 67 67 0 67 0 67 33 33 100 100 67 100 100 67 33 0 0 67 67 0 0 49,44
Pittige sommen met breuken: Goedpercentage 67 100 0 67 58 33 0 100 0 0 0 67 100 100 67 50 25 0 0 67 100 67 67 67 50 50,08
Resultaten voor 1D.
24-mrt-10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Gemiddelden
Muurverf 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0,68
Schaduw Recept 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0,24 0,56
70
Resultaten voor 1 E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Gemiddelden
Gewerkt Totaalscore t/m som 17 9 29 12 22,5 10 30 12 28 12 16 12 19 6 18 11 22,5 8 23,5 6 30 11 13 4 30,5 9 25,5 12 45 12 21,5 12 15,5 12 16 12 18,5 11 29 10 19 11 23 11 22,5 12 12 12 37 11 26 8 23,5 10,0
14 okt. 2009
24 mrt. 2010
Volgorde bij berekeningen: Goedpercentage 0 25 75 50 100 75 100 100 100 75 75 50 100 100 100 25 100 25 75 100 100 50 100 50 100 75 74,1
Volgorde bij berekeningen: Goedpercentage 100 100 100 100 100 25 100 100 100 100 75 75 100 100 100 100 100 100 75 100 100 100 100 100 100 100 94,3
71
Resultaten voor 1 E
14 okt. 2009
24 mrt. 2010
14 okt. 2009
24 mrt. 2010
Breuken Breuken Pittige sommen Pittige sommen optellen: optellen: met breuken: met breuken: Goedpercentage Goedpercentage Goedpercentage Goedpercentage 1 100 100 0 0 2 33 92 33 75 3 100 67 67 58 4 67 100 33 67 5 100 100 100 50 6 100 83 0 0 7 100 67 33 17 8 100 100 100 17 9 67 75 100 33 10 100 100 67 92 11 100 100 67 67 12 100 50 0 33 13 100 100 100 67 14 67 67 33 42 15 100 100 67 100 16 100 75 67 33 17 100 58 0 0 18 100 100 0 17 19 67 92 0 0 20 100 100 0 0 21 100 67 33 0 22 100 92 0 58 23 100 100 33 50 24 100 33 33 0 25 100 100 100 67 100 100 33 17 26 Gemiddelden 92,4 85,4 ,342 37,0
72
Resultaten voor 1 E
24-mrt-10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Gemiddelden
Muurverf 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
Schaduw 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
Recept 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0,73
0,15
0,27
73
Gemiddelden 1 D en 1 E
14 okt. 2009
Gemiddelden 1D Gemiddelden 1E
24 mrt. 2010
Volgorde bij Volgorde bij Gewerkt t/m berekeningen: berekeningen: Totaalscore som Goedpercentage Goedpercentage 29,02 11,36 70,26 92,04 23,47 10,01 74,11 94,33
14 okt. 2009
24 mrt. 2010
14 okt. 2009
Pittige sommen Breuken optellen: Breuken optellen: met breuken: Goedpercentage Goedpercentage Goedpercentage Gemiddelden 1D 87,36 85,04 50,17 Gemiddelden 1E 92,44 85,39 42,31
24-mrt-10
Muurverf
Gemiddelden 1D Gemiddelden 1E
Schaduw
0,68 0,73
Recept
0,24 0,15
74
0,56 0,27
24 mrt. 2010 Pittige sommen met breuken: Goedpercentage 50,08 36,96
Test voor het prestatieniveau van klassen 1 D en 1 E bij de toets van 24 maart
Totaalscores 1D en 1E voor de toets van 24 maart
1D
1E
19 21 21 22 23,5 24 24 25 25,5 26,5 27,5 28 29 29 29,5 30 30 31,5 34,5 34,5 36 36,5 38,5 39 40,5
Berekening relevante parameters voor de Wilcoxon Twosample Test
U(1D)
12 13 15,5 16 16 17 18 18,5 19 19 21,5 22,5 22,5 22,5 23 23,5 25,5 26 28 29 29 30 30 30,5 37 45
d=
1 2
[mn + 1 − z
One-sided test at significance level ,0495: z = 1,65
9 10 10 11 15,5 16 16 16 16,5 18 18 18,5 20 20 21 22 22 24 24 24 24 24 25 25 25
0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0,5 3 4 4 4 4 4,5 8,5 9 11,5 13 13 16 16 17 22 25 175,5
U(1E) is 175,5 en dus veel kleiner dan d (= 237,9). De hypothese dat 1E en 1D even goed scoren bij deze toets kan worden verworpen ten gunste van het alternatief dat 1D beter scoort dan 1E, bij een significantieniveau van 0,05.
U(1D): Aantal keren dat de 1 D-score hoger is dan 1 E-scores U(1E): Aantal keren dat de 1 E-score hoger is dan 1 D-scores
1 2
[25 ⋅ 26 n + 1 − 1,65
]
U(1E)
474,5
d =
mn(m + n + 1) ÷ 3
]
25 ⋅ 26 (25 + 26 + 1) ÷ 3 = 237 ,9 75
76
DE GROTE IK REKEN MIJ EEN BREUK TOETS
Bijlage 5
• • •
Gebruik breuken. Gebruik geen decimale getallen Vereenvoudig in je antwoord de breuk en haal de helen eruit Laat overal een berekening of tussenstap zien
Vraag 1 Neem de som over en bereken. Schrijf minstens één tussenstap. a)
8 ⋅ 6 − (3 − 1)
b) c) d)
3 + 7 ⋅ 2 − 3⋅ 5 (5 − 4 ) ⋅ 13 − 3 ⋅ 4 9 − 4 − (3 − 1) ⋅ 2
Vraag 2 Neem de som over en bereken. Schrijf minstens één tussenstap.
6 1 − 8 4 7 1 b) + 15 10 7 9 c) + 8 56 a)
Vraag 3 Welk getal moet je invullen voor de letter? Voorbeeld:
x 4
a)
7=
b)
3a = 20
c)
p 3 = 3 5
Vraag 4 Bereken
3 8 ⋅ 13 6 1 4 8 b) 2 ⋅ + 5 11 22 a)
77
a = 5 dus 5 ⋅ 3 = a dus a = 15 3
c)
1 1 5 3 − ⋅ 5 2 9
Vraag 5
Dit is het etiket van een blik muurverf. Koos voegt water toe volgens het voorschrift. Hij gebruikt de hele bus verf. Hoeveel liter water voegt hij toe?
Vraag 6 Een boom is 45 meter hoog. Zijn schaduw is 36 meter lang. De schaduw van het flatgebouw ernaast is 42 meter. Hoe hoog is het flatgebouw?
Vraag 7 Recept voor witbrood. Nodig:
3 kg meel 4 25 à 30 gram gist
4
1 dl water 2
1 lepel zout
Een bakker gebruikt 60 kg meel. Hoeveel water moet hij daaraan toevoegen?
Vraag 8 Basra gaat met haar klas een dagje naar Artis. De helft van de klas komt op de fiets. Een zevende deel wordt met de auto gebracht door één van de ouders. De overige tien kinderen komen met het openbaar vervoer. Hoe groot is de klas van Basra?
Vraag 9 3
Een berg zand van 3360 m moet worden vervoerd naar de bouwplaats. Er zijn acht vrachtwagens die 3 elk 30 m kunnen vervoeren. Hoe vaak moeten ze op en neer rijden?
78
Vraag 10
Ipke doet aan topsport. Hij gebruikt elke dag 15 % van zijn tijd om keihard te trainen. Hoeveel minuten zijn dat per dag? Zet bij je berekening het percentage om in een breuk.
Vraag 11
2
Een plein van 1600 m is voor de helft in gebruik als speelveld voor kinderen tot 7 jaar. Een achtste van dat speelveld wordt ingenomen door een groot springkussen. Bereken de oppervlakte van het springkussen.
Vraag 12
Wesley loopt tijdens trainingen 11 km per uur. Hoeveel minuten doet hij over 1 km? Laat de breuk staan, je hoeft geen seconden te berekenen.
79
Bijlage 6
De sommen uit het SO van 14 oktober, en resultaten per klas.
Neem de som over en bereken. Schrijf de tussenstappen erbij. a)
3p
8 × 6 − (3 − 1)
b)
3p
3 + 7 × 2 − 3× 5
c)
3p
(5 − 4 ) × 13 − 3 × 4
d)
3p
9 − 4 − (3 − 1) × 2
Neem de som over en bereken. Vereenvoudig zo nodig je antwoord. a)
3p
6 1 − 8 4
b)
3p
7 1 + 15 10
c)
3p
7 9 + 8 56
Neem de som over en bereken. Vereenvoudig zo nodig je antwoord. a)
3p
3 8 × 13 6
b)
3p
1 4 8 2 × + 5 11 22
c)
4p
1 1 5 3 − × 5 2 9
14 okt. 2009
Gemiddelden 1D Gemiddelden 1E
14 okt. 2009
14 okt. 2009
Volgorde bij Pittige sommen berekeningen: Breuken optellen: met breuken: Goedpercentage Goedpercentage Goedpercentage 70,26 87,36 50,17 74,11 92,44 42,31
80
Bijlage 7
Toets van 10 februari
Volgorde bij berekeningen: onderdeel C Optellen van breuken: onderdeel B Bewerkingen met breuken: onderdelen E en F
EERSTE
HULP
Naam:
A
B
BIJ Klas:
BREUKEN Datum:
Vereenvoudig deze breuken. Haal de helen eruit als het kan.
4 6
28 70
3 12
36 108
Maak de breuken gelijknamig en tel ze op. Vereenvoudig waar nodig.
1 1 + 3 5 3 2 + 4 3 2 2 + 7 3
C Bereken.
8 + 27 : 3 − 5x2
(15 − 3 ) : 4 x ( 7 − 2 )
7 + 3 x 6 : ( − 4 + 7 ) − (3 − 5)
81
D
Bereken. Streep eerst weg.
E
5 36 x 6 25
6 38 x 19 8
14 9 x 3 21
15 34 x 17 6
Bereken. Voorbeeld:
63 : 5x25 : 7
36 : 5x6x15 : 12
52 : 12 x 72 : 13
F
Bereken
(145 + 13)x 587 ( 73 + 23 )x 1446
G
H
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. Bereken:
3: 14
7: 2 12
2 3
25: 3 12
: 15
Bereken het ontbrekende getal.
82
?× 5 = 32
2 9
= 5?
3× ? = 16
3 4
= 5?
83
Bijlage 8
Voorbeeld cursusmateriaal
EERSTE
HULP
Naam:
E
BIJ Klas:
BREUKEN Datum:
Schrijf als product van factoren en streep weg.
Voorbeeld:
14 35
36 54
48 108
52 78
63 81
34 85
F Bereken.
− ( 9 − 4 ) x 4 − (8 : 3 ) x 9
9 + 3 x 7 : ( − 4 + 7 ) − (3 − 10 )
( 7 x 4 − ( 3 − 7 )) x 5
− 8 − (11 − 26 : 2 + 7 ) x 5
G
Schrijf als breuk en bereken door weg te strepen. Voorbeeld:
84
52 : 12 x 72 : 13
48 : 5 x6 x 20 : 12
63 : 5x25 : 7
15 : 150 x 24 x 60
4 ,5 x 60 : 100 x 30
H
Bereken
(145 + 23)x 587 ( 23 + 14 )x 448 ( 73 + 23 )x 1446 (83 + 25 )x 6562
I
Hoeveel is
5: 3 12 ? Dat is gelijk aan 10 : 7 dus
10 7
=173 . Hoeveel is 11: 13 ? Vermenigvuldig
links en rechts van het deelteken met 3. Je krijgt 33. Bereken:
3: 16
7 : 3 12
2 1 7 5
25: 5 12
:
85
4: 14
2: 53
2 2 3 7
6: 2 12
:
J
Gemengde opgaven. Bereken:
3 4 + 5 7
− 8 − (11 − 28 : 4 + 6 ) x 3
2: 43
(74 + 82 )x 1223
2 7 7 3
Hoeveel is 4 van 5 ?
65 : 12 x60 : 13
Neem 2 van 7 van 13. Hoeveel is dat?
:
K
L
1
1
Bereken het ontbrekende getal.
?× 6 = 22
3 ?
= 45
3× ? = 16
3 7
= 5?
1 2
= 6?
2 4
= 5?
Maak zelf 2 sommen als in E, 2 als in G, en 2 als in H.
86
2
2
87
Bijlage 9
Enquête en resultaten
Evaluatie eerste hulp bij breuken Datum: woensdag 17 februari 2010 1 Ik heb beter leren rekenen met breuken.
2 Ik heb in de cursus vooral trucjes geleerd.
3
Ik vond de uitleg van de leraar
4 Ik vond de sommen in de cursus EHBB
5 Ik vond het tempo van de cursus
6 Er bleef voldoende tijd over voor de wiskunde uit het boek
7
Ik heb meer zelfvertrouwen gekregen bij het rekenen met breuken
8 Ik begrijp na deze cursus de rekenregels bij breuken beter.
9
Ik heb meer hulp en oefening nodig om goed te leren rekenen met breuken
10 Ik wil rekenen met breuken blijven oefenen
11
12
Bij het vak wiskunde is het een voordeel om goed te kunnen rekenen met breuken Bij sommige andere vakken is het een voordeel om goed te kunnen rekenen met breuken
Totalen
Geheel mee eens
Mee eens
Weet niet
Mee oneens
Geheel mee oneens
7
9
4
1
0
Geheel mee eens
Mee eens
Weet niet
Mee oneens
Geheel mee oneens
1
12
7
1
0
Heel verhelderend
Verhelderend
Weet niet
Onduidelijk
Heel onduidelijk
1
10
7
3
0
Veel te moeilijk
Te moeilijk
Precies goed
Te makkelijk
Veel te makkelijk
0
6
15
0
0
Veel te langzaam
Te langzaam
Precies goed
Te snel
Veel te snel
0
0
12
9
0
Geheel mee eens
Mee eens
Weet niet
Mee oneens
Geheel mee oneens
7
12
1
1
0
Geheel mee eens
Mee eens
Weet niet
Mee oneens
Geheel mee oneens
2
5
11
3
0
Geheel mee eens
Mee eens
Weet niet
Mee oneens
Geheel mee oneens
4
13
4
0
0
Geheel mee eens
Mee eens
Weet niet
Mee oneens
Geheel mee oneens
1
4
6
7
3
Geheel mee eens
Mee eens
Weet niet
Mee oneens
Geheel mee oneens
3
8
3
2
5
Geheel mee eens
Mee eens
Weet niet
Mee oneens
Geheel mee oneens
10
9
2
0
0
Geheel mee eens
Mee eens
Weet niet
Mee oneens
Geheel mee oneens
3
6
7
4
1
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21 van 25 aanwezige leerlingen hebben de enquête correct ingevuld en ingeleverd.
88
89
