Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti

1

Reálné posloupnosti Intervaly • otevřený interval (a, b) = {x ∈ R, a < x < b}; • polouzavřený interval (a, bi = {x ∈ R, a < x ≤ b}; • uzavřený interval ha, bi = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b}; • otevřený neomezený interval (a, ∞) = {x ∈ R, a < x}; • otevřený neomezený interval (−∞, a) = {x ∈ R, a > x}; • uzavřený neomezený interval ha, ∞) = {x ∈ R, a ≤ x}.

1. Pojmy Okolí bodu a, které značíme o(a) je otevřený interval (případně otevřený neomezený interval) obsahující bod a. Toto okolí může být symetrické i nesymetrické.

Obrázek 1: Nesymetrické okolí bodu a Epsilon okolí bodu a: oε (a) = {x ∈ (a − ε, a + ε)}.

Obrázek 2: Epsilon okolí bodu a Ryzí okolí bodu a: o(a) = o(a) − {a}.

Obrázek 3: Ryzí okolí bodu a

2. Definice Řekneme, že reálná posloupnost {an }∞ n=1 konverguje k a ∈ R, jestliže ∀ o(a) bodu a ∈ R ∃ N ∈ N tak, že ∀ n ≥ N je an ∈ o(a). lim an = a = lim an . n→∞

3. Definice Řekneme, že posloupnost {an }∞ n=1 diverguje k +∞ jestliže ∀ K ∈ R ∃ N ∈ N tak, že ∀ n ≥ N je an > K. lim an = ∞. 4. Definice Řekneme, že posloupnost {an }∞ n=1 diverguje k −∞ jestliže ∀ K ∈ R ∃ N ∈ N tak, že ∀ n ≥ N je an < K. lim an = −∞. 5. Definice Pokud posloupnost ani nediverguje ani nekonverguje pak osciluje. SA1

ÚM FSI VUT v Brně, 16. ledna 2008


2

Například: 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . 6. Definice Posloupnost je shora omezená, jestliže ∃ K ∈ R takové, že an ≤ K. Posloupnost je zdola omezená, jestliže ∃ K ∈ R takové, že an ≥ K. Posloupnost je omezená, jestliže je omezená shora i zdola zároveň. 7. Definice Posloupnost je: • rostoucí: an < an+1 ; • klesající: an > an+1 ; • stacionární: an = an+1 ; • neklesající: an ≤ an+1 ; • nerostoucí: an ≥ an+1 .

8. Definice Říkáme, že je posloupnost monotónní, či ryze monotónní(pokud je rostoucí nebo klesající). 9. Definice Řekneme, že posloupnost má hromadný bod a ∈ R, jestliže v každém okolí o(a) existuje nekonečně mnoho členů an ∈ o(a). Hromadných bodů může být i více. 10. Příklad

Určete hromadné body daných posloupností:

1. {an }∞ n=1 = 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . 2. {an }∞ n=1 = 1, −2, 3, −4, 5, −6, . . . 1 3. {an }∞ n=1 = 2 ,

2 hromadné body: 1 a 0. 2 hromadné body: +∞ a −∞.

1 1 2 1 3 1 4 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, . . .

2 hromadné body: 0 a 1.

11. Věta Každá posloupnost má alespoň 1 hromadný bod. Důkaz 1. Předpokládejme, že posloupnost není shora omezená. Hromadný bod je pak ∞. 2. Předpokládejme, že posloupnost není zdola omezená. Hromadný bod je pak −∞. 3. Předpokládejme, že posloupnost není omezená → nekonečně mnoho členů této posloupnosti je prvK+L kem intervalu hK, Li. Uvažujeme intervaly hK, K+L 2 i a h 2 , Li. Přinejmenším v jednom z těchto intervalů je nekonečně mnoho bodů posloupnosti. Tento interval opět rozpůlíme. Průnik nekonečně mnoha „ půlenýchÿ intervalů je bod → hromadný bod. 12. Definice Suprémum ze všech hromadných bodů posloupnosti {an }∞ n=1 značíme lim sup an a nazýváme limes superior. Infimum ze všech hromadných bodů posloupnosti {an }∞ n=1 značíme lim inf an a nazýváme limes inferior. 13. Příklad 1. {an }∞ n=1 = 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . lim sup an = 1 lim inf an = 0 lim an neexistuje SA1



3

2 1 3 1 4 1 1 1 2. {an }∞ n=1 = 0, − 2 , 2 , 0, − 3 , 3 , 0, − 4 , 4 , 0, − 5 , 5 , . . . 2 hromadné body: 0, −1 1 1 3 1 3 5 7 1 3. {an }∞ n=1 = 0, 1, 2 , 4 , 4 , 8 , 8 , 8 , 8 , 16 , . . . nekonečně mnoho hromadných bodů Dochází k postupnému „zahušťováníÿ na ose v intervalu h0, 1i. lim sup an = 1,

lim inf an = 0

14. Poznámka Vybraná podposloupnost posloupnosti {an }∞ n=1 je posloupnost. 1 1 3 1 3 5 7 1 15. Příklad {an }∞ n=1 = 0, 1, 2 , 4 , 4 , 8 , 8 , 8 , 8 , 16 , . . . vybraná podposloupnost:

{aki }∞ n=1 ,

k1 < k2 < . . . < ki < ki+1 < . . . ,

1 1 1 1 ,... {aki }∞ n=1 = 1, , , , 2 4 8 16

(k1 = 2, k2 = 3, k3 = 4, k4 = 6, k5 = 10, . . .).

16. Věta Má-li posloupnost {an }∞ n=1 hromadný bod a ∈ R, pak existuje vybraná podposloupnost {aki }∞ , která konverguje k a. n=1 17. Věta (Bolzano, Weierstrass) Pro každou omezenou posloupnost existuje její vybraná konvergentní podposloupnost. 1 n→∞ n

Vybrané limity: lim

= 0, lim n = ∞. n→∞

Neurčité výrazy: 0 · ∞, 1∞ , ∞0 , 00 , 0∞ , 18. Vlastnosti limit

∞ 0 ∞, 0,

∞ − ∞.

Pokud jsou an , bn vlastní limity, pak platí: lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn lim(an · bn ) = lim an · lim bn lim

lim an an = , bn lim bn

lim bn 6= 0

Pokud P, Q jsou polynomy, pak platí: P • lim Q = ±∞ pokud deg P > deg Q P • lim Q = 0 pokud deg P < deg Q P • lim Q =

19. Příklad

p q

kde p, q jsou vedoucí koeficienty polynomů P a Q při deg P = deg Q

(k předchozímu výčtu):

n3 n3 = lim 2 2 n→∞ n + 1 n→∞ n (1 +

1. lim

lim n

1 n2 )

=

n→∞

1 lim 1 + lim 2 n→∞ n→∞ | {z n }

= lim n = ∞ n→∞

0

0

z }| { 1 1 lim n2 n→∞ n3 n3 2. lim 5 = lim 5 = n→∞ n + 1 n→∞ n (1 + 15 ) lim 1 + lim n n→∞

SA1

1 5 n→∞ n

=0



4

0

0

z }| { z }| { 1 4 1 4 lim (1 + n − n3 ) lim 1 + lim − lim 3 n3 (1 + n1 − n43 ) n3 + n2 − 4 n→∞ n→∞ n→∞ n n→∞ n = = 3. lim = lim 3 = 1 2 n→∞ 2n3 − n + 2 n→∞ n (2 − 12 + 23 ) lim (2 − n12 + n23 ) n n lim 2 − lim 2 + lim 3 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ | {z n } | {z n } 0

0

1 2 20. Věta Reálná posloupnost je konvergentní ⇔ je cauchyovská. Důkaz „⇒ÿ:Předpokládejme, že posloupnost {an }∞ n=1 je konvergentní k číslu a ∈ R, tzn. ∀ ε > 0, tedy i pro 2ε ∃N ∈ N tak, že ∀ n ≥ N je |an − a| < 2ε a také ∀ m ≥ N je |am − a| < 2ε . Platí tedy: ε ε ε |am − an | = |am − a + a − an | ≤ |am − a| + |a − an | = + = |{z} |{z} | {z } 2 2 0 00 „⇐ÿ:Předpokládejme, že posloupnost {an }∞ n=1 je cauchyovská a že má dva vlastní hromadné body (a , a ∈ ∞ 0 ∞ R). Pak existuje vybraná podposloupnost {aki }n=1 , která má limitu a a vybraná podposloupnost {ali }n=1 , která má limitu a00 . Tzn. existuje ∀ ε > 0 tedy i pro 3ε číslo N1 ∈ N tak, že ∀ ki ≥ N1 je |aki − a0 | < 3ε . A existuje ∀ ε > 0 tedy i pro 3ε číslo N2 ∈ N tak, že ∀ li ≥ N2 je |ali − a00 | < 3ε . Protože je posloupnost cauchyovská existuje ∀ 3ε > 0 číslo N ∈ N tak, že ∀ m, n ≥ N je |am − an | < 3ε . Vezměme N0 = max{N, N1 , N2 }. Pak ∀ ki , li ≥ N0 je ε ε ε |a0 − a00 | = |a0 − aki + aki − ali + ali − a00 | ≤ |a0 − aki | + |aki − ali | + |ali − a00 | = + + = |{z} ε |{z} | {z } 3 3 3

Tedy pro libovolné ε je |a0 −a00 | ≤ ε. Odtud máme a0 = a00 . Jediný hromadný bod znamená, že posloupnost konverguje. 21. Důsledek

R je úplný metrický prostor.

22. Věta (Stolz) Předpokládejme, že {bn }∞ n=1 je (alespoň od nějakého indexu) rostoucí posloupnost a lim bn = ∞. {an }∞ je další posloupnost. Pak platí: n=1 lim

an an − an−1 = lim . bn bn − bn−1

n−1 Důkaz Předpokládejme, že lim abnn −a −bn−1 = l ∈ R. Pak pro každé ε > 0, tedy i pro

že ∀ n ≥ N je l −

ε 2

ε 2

∃ N ∈ N tak,

−an−1 < abnn −b < l + 2ε . Tedy ať vezmeme jakékoliv n > N (představme si n pevné), n−1 aN +1 −aN aN +2 −aN +1 an−1 −an−2 an −an−1 ε ε bN +1 −bN , bN +2 −bN +1 , . . . , bn−1 −bn−2 , bn −bn−1 mezi hranicemi l − 2 , l + 2 . Tedy mezi těmito hranicemi ({bn }∞ n=1 je rostoucí ⇒ všechny jmenovatelé jsou kladní).

jsou všechny zlomky N i zlomek abnn −a −bN leží an −aN Tzn. | bn −bN − l| < 2ε . Platí an aN − lbN bN an − aN aN − lbN bn − bN an − aN aN − lbN −l = + 1− −l = + −l = + bn bn bn bn − bN bn bn bn − bN bn an − aN lbN − lbn aN − lbN an − lbn −aN + lbN + = + + bn bn bn bn bn Dále platí 1 − bbNn ≤ 1, a tak dostaneme |

an aN − lbN an − aN − l| ≤ | |+| − l| bn bn b −b | {z } | n {zN } < 2ε

< 2ε

(pro vhodný index). Celkem | abnn −l| < ε. Tedy věta je dokázána pro případ vlastní limity. Předpokládáme, n−1 ∞ že lim abnn −a n − an−1 > bn − bn−1 (alespoň od určitého indexu). Vidíme, že {an }n=1 je −bn−1 = ∞. Tzn., že a | {z } | {z } >0

SA1

>0



5

bn −bn−1 n−1 rostoucí posloupnost a dokonce lim an = ∞. lim abnn −b −an−1 = 0 a pro posloupnost { an −an−1 } jsou splněny předpoklady Stolzovy věty.

23. Příklad

an =

1K + 2K + 3K + . . . + nK ; K∈N nK+1

např. pro K = 2: 1, 85 , 14 27 Dle Stolzovy věty: 1K + 2K + 3K + . . . + nK (1K + 2K + 3K + . . . + nK ) − (1K + 2K + 3K + . . . + (n − 1)K ) lim = lim = K+1 n nK+1 − (n − 1)K+1 nK nK lim K+1 = lim = K−1 + K nK−2 + . . . + 1) n − (n − 1)K+1 n · nK + (n − 1)(nK − K 1 n 2 nK 1 = lim = . K 1 + K nK+1 − nK+1 + nK + nK + nižší mocniny 1 | {z } K

Děkujeme Lence Zavíralové za pečlivé vysázení poznámek z přednášky. Tento text zatím neprošel výraznějšími úpravami, proto přivítáme jakékoli upozornění na případné nepřesnosti. Připomínky adresujte na [email protected]

SA1


Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Recommend Documents