Rangkuman Suku Banyak Oleh: Novi Hartini
Pengertian Suku banyak Perhatikan bentuk aljabar dibawah ini i. ii. iii.
Suku banyak π₯π₯ 2 + 4π₯π₯ + 9 berderajat 2, sebab pangkat tertinggi peubah x adalah 2 Suku banyak 4π₯π₯ 3 + π₯π₯ 2 β 16π₯π₯ + 2 berderajat 3, sebab pangkat tertinggi peubah x adalah 3 Suku banyak 2π₯π₯ 5 β 10π₯π₯ 4 + 2π₯π₯ 3 + 3π₯π₯ 2 + 15π₯π₯ β 6 berderajat 5, sebab pangkat tertinggi peubah x adalah 5
Secara umum, fungsi suku banyak atau polinom dalam peubah x yang berderajat n secara umum dapat ditulis sebagai berikut: ππ(π₯π₯) = ππππ π₯π₯ ππ + ππππβ1 π₯π₯ ππβ1 + ππππβ2 π₯π₯ ππβ2 + β― + ππ1 π₯π₯ + ππ0
Di mana: β’ ππππ , ππππβ1 , ππππβ2 , β¦ , ππ1 , ππ0 adalah bilangan-bilangan real dengan ππππ β 0, ππππ adalah β’
koefisien dari π₯π₯ ππ , ππππβ1 adalah koefisien dari π₯π₯ ππβ1 , ππππβ2 adalah koefisien dari π₯π₯ ππβ2 , ...., dan seterusnya. ππ0 disebut suku tetap. ππ adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak
Suku banyak yang dibicarakan diatas adalah suku banyak univariabel karena hanya mempunyai satu variabel. Selain itu ada suatu suku banyak dengan variabel lebih dari satu yang disebut suku banyak multivariabel. Contoh: i. ii.
Suku banyak π₯π₯ 3 + π₯π₯ 3 π¦π¦ 4 + 2π¦π¦ β 10, merupakan suku banyak dalam dua peubah/ variabel (variabel π₯π₯ dan π¦π¦) Suku banyak π₯π₯ 2 + π¦π¦ 2 + π§π§ 2 + 5π₯π₯π₯π₯ + 5π₯π₯π₯π₯ β π¦π¦π¦π¦ + 7, merupakan suku banyak dalam tiga peubah/ variabel (variabel π₯π₯, π¦π¦, dan π§π§)
Nilai Suku Banyak Dengan menuliskan atau menyatakan suatu suku banyak sebagai fungsi dalam peubah π₯π₯. Maka nilai suku banyak itu dapat dengan mudah ditentukan. Secara umum, nilai suku banyak ππ(π₯π₯) untuk π₯π₯ = ππ adalah ππ(ππ)
dengan ππadalah bilangan-bilangan real. Nilai dari ππ(ππ) dapat dicari dengan metode subtitusi dan metode bagan/skema. Metode Subtitusi Misalkan, ππ(π₯π₯) = 5π₯π₯ 4 + 3π₯π₯ 3 β 7π₯π₯ 2 β 2π₯π₯ + 5. Nilai suku banyak ππ(π₯π₯) untuk π₯π₯ = β1 ditulis ππ(β1). Nilai ππ(β1) diperoleh dengan menyubtitusikan nilai variabel π₯π₯ dalam ππ(π₯π₯) dengan -1. Dengan demikian, ππ(β1) = 5(β1)4 + 3(β1)3 β 7(β1)2 β 2(β1) + 5 = 5-3-7+2+5 =2
Berdasarka contoh diatas, nilai suku banyak dapat dicari dengan menggunakan metode subtitusi sebagai berikut: Nilai suku banyak ππ(π₯π₯) = ππππ π₯π₯ ππ + ππππβ1 π₯π₯ ππβ1 + ππππβ2 π₯π₯ ππβ2 + β― + ππ1 π₯π₯ + ππ0 untuk π₯π₯ = ππ (ππ β bilangan real) detentukan oleh ππ(ππ) = ππππ (ππ)ππ + ππππβ1 (ππ)ππβ1 + ππππβ2 (ππ)ππβ2 + β― + ππ1 (ππ) + ππ0
Metode Bagan/Skema Misalkan, untuk menentukan nilai suku banyak ππ(π₯π₯) = ππ3 π₯π₯ 3 + ππ2 π₯π₯ 2 + ππ1 π₯π₯ + ππ0 dengan π₯π₯ = ππ, dapat dilakukan dengan cara menyederhanakan suku banyak tersebut sehingga pangkat setiap variabel π₯π₯ satu (kecuali untuk ππ0 ). Dengan demikian, akan diperoleh ππ(π₯π₯) = οΏ½(ππ3 π₯π₯ + ππ2 )π₯π₯ + ππ1 οΏ½π₯π₯ + ππ0
Persamaan diatas dikenal sebagai persamaan bentuk bagan. Jadi, nilai suku banyak ππ(π₯π₯) untuk π₯π₯ = ππ dapat ditulis ππ(π₯π₯) = οΏ½(ππ3 ππ + ππ2 )ππ + ππ1 οΏ½ππ + ππ0
Persamaan bentuk bagan tersebut dapat anda nyatakan sebagai langkahlangkah sebagai berikut: β’ Kalikan ππ3 dengan ππ, lalu tambah dengan ππ2 β’ Kalikan hasilnya dengan ππ, lalu tambah dengan ππ1 β’ Kalikan hasilnya dengan ππ, lalu tambah dengan ππ0
Berdasarkan langkah diatas, dapat dibuat bagan sebagai berikut:
ππ3 ππ
ππ3
ππ2
Γ ππ
Nilai π₯π₯ = ππ
ππ3 ππ
ππ1
Γ ππ
(ππ3 ππ + ππ2 )
(ππ3 ππ + ππ2 )ππ
ππ0
Γ ππ
οΏ½(ππ3 ππ + ππ2 )ππ + ππ1 οΏ½
baris 1
οΏ½(ππ3 ππ + ππ2 )ππ + ππ1 οΏ½ππ baris 2 οΏ½(ππ3 ππ + ππ2 )ππ + ππ1 οΏ½ππ + ππ0 baris 3 Nilai ππ(ππ)
Catatan: β’
β’ β’
Baris 1 merupakan daftar koefisien suku-suku dengan pangkat turun dan konstanta. Jika ada suku dengan pangkat tidak ada, tetapkan nilai koefisiennya nol. Baris 3 merupakan hasil penjumlahan antara baris 1 dan 2. Nilai terakhir dari baris 3 merupakan nilai ππ(ππ) tanda merupakan perkalian dengan k
Operasi Antar Suku banyak
Penjumlahan atau pengurangan sukubanyak ππ(π₯π₯) dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku dari kedua buah sukubanyak itu. Dalam menjumlahkan atau mengurangkan sukusuku kedua buah sukubanyak itu ada aturan bahwa suku-suku yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan hanyalah suku-suku sejenis. Contoh: ππ(π₯π₯) = π₯π₯ 3 + 3π₯π₯ 2 β 2π₯π₯ + 6 dan ππ(π₯π₯) = π₯π₯ 2 + 4π₯π₯ + 10 ππ(π₯π₯) + ππ(π₯π₯) = π₯π₯ 3 + 4π₯π₯ 2 + 2π₯π₯ + 16
ππ(π₯π₯) β ππ(π₯π₯) = π₯π₯ 3 + 2π₯π₯ 2 β 6π₯π₯ β 4
Sedangkan untuk perkalian sukubanyak ππ(π₯π₯) dengan sukubanyak ππ(π₯π₯) dapat ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua sukubanyak itu. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua buah sukubanyak itu digunakan sifat distriutif perkallian, baik distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan. Contoh:
ππ(π₯π₯) . ππ(π₯π₯) = (π₯π₯ 3 + 3π₯π₯ 2 β 2π₯π₯ + 6)(π₯π₯ 2 + 4π₯π₯ + 10) = π₯π₯ 5 + 7π₯π₯ 4 + 20π₯π₯ 3 + 28π₯π₯ 2 + 4π₯π₯ + 60
Catatan: Misalkan ππ(π₯π₯) Β± ππ(π₯π₯) adalah masing-masing merupakan sukubanyak berderajat ππ dan ππ, maka: o ππ(π₯π₯) Β± ππ(π₯π₯) adalah sukubanyak berderajat maksimum ππ atau ππ o ππ(π₯π₯). ππ(π₯π₯) adalah sukubanyak berderajat (ππ + ππ)
Kesamaan Suku Banyak Suku banyak ππ(π₯π₯) dikatakan memiliki kesamaan dengan sukubanyak ππ(π₯π₯), jika kedua suku bnayak itu mempunyai nilai yang sama untuk peubah π₯π₯ bilangan real. Kesamaan dua suku bnayak ππ(π₯π₯) dan ππ(π₯π₯) itu ditulis sebagai ππ(π₯π₯) β‘ ππ(π₯π₯)
Misal diketahui dua buah sukubanyak ππ(π₯π₯) dan ππ(π₯π₯) yang dinyatakan dalam bentuk umum ππ(π₯π₯) = ππππ π₯π₯ ππ + ππππβ1 π₯π₯ ππ β1 + ππππβ2 π₯π₯ ππβ2 + β― + ππ1 π₯π₯ + ππ0 dan
g(π₯π₯) = ππππ π₯π₯ ππ + ππππβ1 π₯π₯ ππβ1 + ππππβ2 π₯π₯ ππβ2 + β― + ππ1 π₯π₯ + ππ0
jika ππ(π₯π₯) kesamaan dengan ππ(π₯π₯), ditulis ππ(π₯π₯) β‘ ππ(π₯π₯), maka berlaku hubungan: ππππ = ππππ , ππππβ1 = ππππβ1 , β¦ . , ππ1 = ππ1 , ππππππ ππ0 = ππ0
Pembagian Suku Banyak Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pebagian Konsep pembagian bilangan dengan metode bersusun pendek. Misalnya:
7
146 1.026 7 32 28 46 42 4
Hasil tersebut dapat ditulis 1.026= (146Γ7)+4 Bilangan yang dibagi = (pembagiΓhasil bagi)+sisa
Algoritma pembagian suku banyak oleh (x-k) Contoh: Pembagian ππ(π₯π₯) = 3π₯π₯ 2 β 8π₯π₯ 2 + 7π₯π₯ + 2 oleh bentuk linier (π₯π₯ β 2). Langkahlangkahnya dapat ditulis sebagai berikut: π₯π₯ β 2
3π₯π₯ 2 β 2π₯π₯ + 3 3π₯π₯ 2 β 8π₯π₯ 2 + 7π₯π₯ + 2 3π₯π₯ 2 β 6π₯π₯ 2 β2π₯π₯ 2 + 7π₯π₯ β2π₯π₯ 2 + 4π₯π₯ 3π₯π₯ + 2 3π₯π₯ β 6 8
Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa dapat dinyatakan dengan kesamaan berikut: 3π₯π₯ 2 β 8π₯π₯ 2 + 7π₯π₯ + 2 = (π₯π₯ β 2)(3π₯π₯ 2 β 2π₯π₯ + 3) + 8 Polinom yang dibagi = pembagi Γ hasil bagi + sisa
Secara umum, pada pembagian sukubanyak ππ(π₯π₯) oleh bentuk linier (π₯π₯ β ππ) diperoleh hubungan berikut: ππ(π₯π₯) = (π₯π₯ β ππ) β(π₯π₯) + π π
Pembagi
hasil bagi
sisa
Catatan: o o
β(π₯π₯) adalah hasil bagi dan s adalah sisa derajat hasil bagi β(π₯π₯) maksimum satu lebih kecil dari pada derajat suku banyak ππ(π₯π₯). Sisa s merupakan konstanta
Algoritma pembagian suku banyak oleh (ππππ + ππ)
Contoh pembagian ππ(π₯π₯) = 6π₯π₯ 4 + 5π₯π₯ 3 β 6π₯π₯ 2 + 5 oleh (2π₯π₯ β 1) (2π₯π₯ β 1)
3π₯π₯ 3 + 4π₯π₯ 2 β π₯π₯ β
1
βπ₯π₯ +
1
4
3
2
2
6π₯π₯ + 5π₯π₯ β 6π₯π₯ + 5 6π₯π₯ 4 β 3π₯π₯ 3 8π₯π₯ 3 β 6π₯π₯ 2 8π₯π₯ 3 β 4π₯π₯ 2 β2π₯π₯ 2 + 5 β2π₯π₯ 2 + π₯π₯ βπ₯π₯ + 5 2 1
4
2
Hasil ini dapat dinyatakan dengan kesamaan berikut: 1 1 6π₯π₯ 4 + 5π₯π₯ 3 β 6π₯π₯ 2 + 5 = (2π₯π₯ β 1) οΏ½3π₯π₯ 3 + 4π₯π₯ 2 β π₯π₯ β οΏ½ + 4 2 2
Algoritma pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat ππππ 2 + ππππ + ππ dengan ππ β 0 Contoh: pembagian 4π₯π₯ 3 β 2π₯π₯ 2 + π₯π₯ β 1 oleh 2π₯π₯ 2 + π₯π₯ + 1
2
2π₯π₯ + π₯π₯ + 1
2π₯π₯ β 2 4π₯π₯ 3 β 2π₯π₯ 2 + π₯π₯ β 1 4π₯π₯ 2 + 2π₯π₯ 2 + 2π₯π₯ β4π₯π₯ 2 β π₯π₯ β 1 β4π₯π₯ 2 β 2π₯π₯ β 2 π₯π₯ + 1
Hasil pembagian dapat ditulis 4π₯π₯ 3 β 2π₯π₯ 2 + π₯π₯ β 1 = (2π₯π₯ 2 + π₯π₯ + 1 )(2π₯π₯ β 2) + (π₯π₯ + 1)
