Mieke van Groenestijn
Van informeel handelen
Preventie van ernstige rekenwiskundeproblem de eerste dag communiceren ouders met hun kind en brengen zij structuur in het dagelijkse leven van hun kind. Baby’s ontwikkelen zo gevoel voor het dagelijkse ritme van eten, slapen, in bad gaan, spelen, wandelen, dag en nacht. Ook herkennen zij vrij snel gezichten en geluiden, en raken zo vertrouwd met de omgeving om hen heen. Peuters ontdekken de wereld met hun hele lijf. Zij ontwikkelen zich door te kijken, te luisteren en te voelen en door dingen te doen. Zij bewegen de hele dag en pakken alles wat ze maar kunnen pakken, bekijken het en leren het benoemen.
In opdracht van het Ministerie van OCW werkt de Nationale Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken/Wiskundeonderwijs (NVORWO) aan de ontwikkeling van een landelijk protocol voor preventie van rekenproblemen en het begeleiden van leerlingen met ernstige rekenwiskunde-problemen en dyscalculie (Protocol ERWD). Dit project is het vervolg op de publicatie Dyscalculie in discussie (Dolk en Van Groenestijn, 2006) waarin experts hun visie geven op dyscalculie. Het moet uitmonden in een protocol, waaraan wordt gewerkt door een team van deskundigen, dat is bedoeld voor leerlingen in primair en voortgezet onderwijs. In 2008 verscheen het verslag van de eerste resonansconferentie in Dyscalculie in discussie, deel 2 (Van Groenestijn en Vedder, 2008) en in het tijdschrift Remediaal (Van Groenestijn, Borghouts en Janssen, 2007). Tijdens de Panama conferentie van 2009 zijn de uitgangspunten van het protocol uitgebreid beschreven1. Een belangrijk onderdeel van het landelijk protocol is preventie van rekenproblemen en de noodzaak van vroegtijdige signalering. Daar gaat de auteur in dit artikel wat uitgebreider op in.
Baby’s en peuters De ontwikkeling van taal en rekenen begint in de wieg. Vanaf
22
Volgens Bartjens... Jaargang 29 2009/2010 nr. 1
Frank Roosendaal
Preventie De ontwikkeling van taal en rekenen gaat hand in hand. Het één kan niet zonder het ander. Taal is nodig om te communiceren met de medemens. Rekenen is nodig om onze leefwereld te kunnen ordenen, in te richten en verder te ontwikkelen. Bij de meeste kinderen verloopt de ontwikkeling globaal langs dezelfde mijlpalen met verschillen in tempo en diepgang. Daar waar de ontwikkeling van kinderen vragen oproept, of daar waar zich knelpunten voordoen, is het wenselijk al in een vroeg stadium deskundige hulp in te roepen. Vroegtijdig signaleren van mogelijke problemen kan grotere problemen voorkomen. De belangrijkste schakels hierbij zijn de ouders, de peuterleidsters en de leraren in de onderbouw van het basisonderwijs. Het is daarom uiterst belangrijk dat peuterleidsters en leraren goed weten hoe kinderen zich ‘normaal’ ontwikkelen op gebied van taal en rekenen. Daarnaast is het van groot belang om de ontwikkeling van kinderen goed te volgen, dat wil zeggen: observeren, registreren, interpreteren en, daar waar nodig, specifieke begeleiding afstemmen op het kind. De meeste rekenproblemen worden al zichtbaar in de eerste zes levensjaren. In groep 3 kunnen we vaak al voor de kerstvakantie kinderen aanwijzen die het tempo van de groep niet kunnen bijhouden en mogelijk zullen vastlopen. Signalen hiervoor zijn soms al duidelijk aanwezig in groep 1 en 2. Scholen die fasenonderwijs hebben ingevoerd proberen deze leerlingen al in een vroeg stadium op te vangen. Ook de snelle leerlingen komen zo al in beeld en krijgen betere kansen.
Kleuters Kleuters in groep 1 en 2 gaan al bewuster om met de dingen. Zij kijken, voelen en luisteren al heel gericht en steken hele verhalen af bij alles wat ze doen. Ze leren analyseren, tellen, ordenen, vergelijken, combineren, construeren en structureren. Zij ontdekken de wereld en bouwen tegelijkertijd hun eigen wereld. Daardoor krijgen zij greep op hun omgeving. Door het tellen, ordenen, vergelijken en structureren ontstaat kennis over hoeveelheden en over begrippen als meer, minder, evenveel: ontwikkeling van het getalbegrip. Door het analyseren, vergelijken, combineren en construeren ontstaat kennis over meten en maten en over begrippen als langer, korter, lichter, zwaarder: ontwikkeling van het maatbegrip.
Door zich te bewegen in de ruimte leren kinderen zich oriënteren in de ruimte en ontstaat kennis over de grootte van de ruimte, voorwerpen in de ruimte, vormen, patronen, bouwsels en over begrippen als voor, achter, onder, tussen, naast, groter, kleiner, lager, hoger, links, rechts, enzovoort: ontwikkeling van ruimtelijke oriëntatie en meetkundige begrippen. Tijdens het handelen leren kinderen de wereld om zich heen benoemen en ontstaan woordenschat, zinsbouw, logisch redeneren, discussiëren: communicatie. Hieronder valt ook de rekentaal.
naar formeel rekenen Groep 3 Met deze informele kennis en informele procedures komen de kinderen in groep 3 en dan gaan zij (officieel) leren lezen en rekenen. Hier krijgen wij te maken met de overgang van het informele handelen naar het formele rekenen. Dit proces is veel complexer dan wij ons vaak realiseren. Vanaf groep 3 wordt meestal gewerkt met een methode en krijgen de kinderen een boek en een werkschrift. Vanaf dat moment wordt rekenen gekoppeld aan het werken op papier. Dat is verraderlijk: er kan een scheiding ontstaan tussen het informele handelen in werkelijkheidssituaties en het formele schoolse rekenen. Wij nemen als voorbeeld de ontwikkeling van het getalbegrip. Bij de ontwikkeling van het getalbegrip spelen drie belangrijke factoren een rol: - het tellen - het geven van betekenis aan getallen, onder andere aan hoeveelheden - het koppelen van getallen aan symbolen, ofwel: het leren van de cijfers, het lezen en schrijven van getallen, inzicht in de structuur van getallen. Voor het uitvoeren van bewerkingen op papier komen daar de bewerkingstekens bij. Tellen Goed kunnen tellen is een belangrijke basis voor de ontwikkeling van het getalbegrip. In groep 1 en 2 wordt het tellen geleerd aan de hand van spelletjes en liedjes, vaak auditief. Vanaf groep 3 wordt er gewerkt met de getallenlijn. Daar wordt meestal flink mee geoefend. De getallenlijn is echter een wiskundige structuur op een hoog abstract niveau en heeft niets met de werkelijke wereld van de kinderen te maken. Het tellen wordt daardoor losgekoppeld van de belevingswereld van kinderen. Om het tellen betekenis te geven kan gebruik worden gemaakt van de kinderen zelf en van alle voorwerpen die in de klas aanwezig zijn. Ook de kapstok in de gang is bruikbaar. Deze kan dienen als verbindende schakel tussen het functionele tellen in de werkelijkheid en het tellen op de getallenlijn. Op veel scholen krijgen de kinderen een eigen haak aan de kapstok met een eigen nummer. Hiermee kunt u vanaf de eerste dag in groep 3 allerlei teloefeningen doen en daarmee de kinderen laten wennen aan het idee van een getallenlijn. Enkele voorbeelden: De kinderen tellen het aantal kinderen in de groep. Alle kinderen krijgen een nummer en gaan op volgorde van hun nummer staan. Ze noemen elk om de beurt op volgorde hun getal en bepalen of de volgorde klopt.
Frank Roosendaal
men
Hoeveel kinderen zijn er?
In eerste instantie is dat tellen tot 10, 11 12.... en hoe gaat het dan verder? Hoeveel kinderen zijn er? Hoeveel nummers? Wie kan dat op de kapstok tellen? Tot hoever komt dat op de kapstok? U kunt vervolgens, samen met de kinderen, allerlei oefeningen bedenken, zoals bijvoorbeeld: • Op volgorde de jas ophangen • Telkens eentje overslaan • U kunt de nummers van de kapstok op een avond weghalen en alleen de nummers 5, 10, 15 en 20 laten staan. Welke kinderen kunnen nu hun jas ophangen?Wie komen naast nummer 5? Wie is ervoor? Wie komt erna? Welke nummers zijn dat? • Dit kunt u ook doen met de nummers 10, 15 en 20, afhankelijk van het aantal kinderen in de groep. • U kunt de kinderen heen en terug laten tellen. Bijvoorbeeld, als we naar huis gaan halen de kinderen hun jas in omgekeerde volgorde van de kapstok af, dus terugtellen vanaf bijvoorbeeld 24. • Alle kinderen met rode jassen mogen hun jas ophangen. Op welke nummers hangen die jassen? • Alle kinderen met een nummer onder de 10 mogen hun jas ophangen. Zo kunt u nog veel meer oefeningen bedenken. Daarnaast kunt u in het lokaal met de getallenlijn doen alsof dit de kapstok is en kunt u daar dezelfde oefeningen doen. Op deze wijze raken kinderen vertrouwd met de getallenlijn en kunt u de oefeningen in de methode oppakken. U kunt de oefeningen in de methode ook koppelen aan oefeningen op de kapstok in de gang. Eventueel kunt u aanvullend materiaal maken met foto’s van de jassen van uw eigen leerlingen aan de kapstok in de gang.
Volgens Bartjens... Jaargang 29 2009/2010 nr. 1 23
Een kapstok is een handig hulpmiddel
Hoeveelheden Voor de ontwikkeling van getalbegrip is het van belang dat kinderen getallen leren koppelen aan verschillende betekenissen, zoals hoeveelheden, nummers, maten, tijd en kalender. In deze paragraaf gaan we in op het onderdeel hoeveelheden. Ook al kunnen kinderen vlot tellen, dat wil nog niet zeggen dat zij dit direct kunnen koppelen aan hoeveelheden. Tellen wordt vaak op auditieve wijze geleerd door telspelletjes, liedjes en aftelversjes en door het opzeggen van de telrij. Kinderen kunnen de telrij uit hun hoofd leren zonder enig besef van de betekenis en orde van grootte van getallen. De ontwikkeling van het begrip van hoeveelheden ontstaat door zichtbare (visuele) en tastbare aantallen te tellen, te vergelijken en aan elkaar te koppelen, bijvoorbeeld vier tafels en vier stoelen voor vier kinderen. Als er drie stoelen zijn is er één te weinig. Bij vijf kinderen heb je een tafel en een stoel meer nodig. Daarom is het belangrijk dat er vanaf het begin in groep 1 en 2 het tellen ook wordt gekoppeld aan concrete, visuele hoeveelheden. De begrippen meer, minder en evenveel zijn nodig om hoeveelheden te kunnen vergelijken. We nemen als voorbeeld het tellen van eieren in een eierdoos. De paastijd is hiervoor bij uitstek een zeer geschikte periode. Er zijn dan ook vaak plastic eieren te koop. Er kunnen 10 eieren in een doos. Er zitten er zeven in. Hoeveel kunnen er nog bij? Het is belangrijk dat de kinderen zelf de eieren in een doos doen en het verschil bepalen. Het zelf doen en het zelf vertellen en redeneren leidt tot inzicht. Het is maar de vraag of de kinderen het doel van deze activiteiten begrijpen als de juf het voordoet met enkele kinderen en vervolgens de sommen op het bord schrijft.
Als kinderen voldoende ervaringen hebben opgebouwd kunnen zij dit ook koppelen aan concrete afbeeldingen (foto’s en herkenbare tekeningen) op papier. Kinderen kunnen hierbij de afbeeldingen naleggen met fiches, bijvoorbeeld 7 eieren in de doos. Zij krijgen een vel papier met daarop een rechthoek met 5x2 hokjes getekend (de eierdoos). Daarop kunnen zij ‘eieren’ leggen (fiches). Zo leren zij hoeveelheden herkennen en tellen op papier. Ook kunnen zij hiermee bewerkingen uitvoeren, bijvoorbeeld: er zitten 10 eieren in de doos. We eten er 4 op. Hoeveel zitten er nog in de doos? Ditzelfde kunt u natuurlijk ook doen met andere typen eierdozen, bijvoorbeeld van 6 eieren. Bij 12 eieren kunt u vragen: Hoeveel eieren passen er niet in de doos? En hoe is dat bij een doos waar 10 eieren in passen? Bij al deze handelingen kunt u nagaan of de kinderen voldoende kennis van hoeveelheden en getallen ontwikkelen en vlot kunnen tellen. Daarna gaan de kinderen de eierdozen zelf tekenen. Dit is de fase van de overgang naar abstractie. Voor kinderen is het lastig om eierdozen te tekenen en het kost tijd. Veelal gaan zij vanzelf over naar meer schematische tekeningen en kiezen al snel voor de rechthoek met 10 hokjes. Dit schematiseren is de overgang naar abstract denken en redeneren en is de basis voor het maken van berekeningen op papier. Symbolen Het tellen van de eieren, het bepalen van het resultaat (de hoeveelheid) en het koppelen daarvan aan het getal dat er bij past, bijvoorbeeld het getal 7, is een enorme denkstap die niet voor alle kinderen even makkelijk is. Vooral bij aantallen groter dan 5 vraagt dit soms al veel oefening. Kinderen vergissen zich soms bij het tellen van grotere aantallen. Bij getallen boven de 10 vraagt het om inzicht in het positionele stelsel. Er wordt al vrij snel van kinderen gevraagd dat zij het verschil begrijpen tussen bijvoorbeeld 1, 2, 12 en 21. Zij moeten hiervoor begrijpen dat de cijfers 1 en 2 in verschillende combinaties kunnen voorkomen en daardoor ook verschillende betekenissen hebben: de 1 in 12 is eigenlijk een 10, en de 2 bij 21 een 20. In de meeste methodes wordt met deze denkstap wel zorgvuldig omgegaan, maar de leraar is de verbindende schakel die goed moet controleren of elk kind in haar groep deze denkstappen begrijpt. Visualisering van de kwantiteit in combinatie met de symbolen is hierbij een onmisbare stap.
Frank Roosendaal
Wizwijs, blok 3-8 werkboek, pag. 15 en 22
Eieren tellen
24
Volgens Bartjens... Jaargang 29 2009/2010 nr. 1
Bewerkingen De laatste stap is de koppeling van hoeveelheden of aantallen aan symbolen en het kunnen uitvoeren van bewerkingen (sommen maken). Dit vraagt om kennis van de cijfersymbolen, inzicht in de structuur van getallen en kennis van de bewerkingssymbolen, maar ook om inzicht in de handelingen. Wat gebeurt er bij een som als 8+6 of 21- 3? Het gaat hier niet alleen om het
Handelingsmodel Bovenstaande globale schets van de ontwikkeling van het getalbegrip in combinatie met het leren rekenen in de onderbouw, kan theoretisch worden onderbouwd en ondersteund met het handelingsmodel (Van Oers, 1987, Van Groenestijn, 2002) Dit model is afgeleid van de oorspronkelijke handelingstheorie van Galperin (Van Parreren en Nelissen, 1977) Dit model kan de leraar ondersteunen bij het observeren van kinderen tijdens bovenstaand ontwikkelingsproces en bij het bepalen van de hulp die nodig is voor een optimale ontwikkeling van het leren rekenen. In de praktijk wordt wel de ijsbergmetafoor gebruikt om de leraar erop te wijzen dat onderliggende, concrete handelingen het drijfvermogen bepalen voor het leren rekenen. De ijsbergmetafoor is in feite afgeleid van de handelingstheorie. Het model in afbeelding 3 laat veel meer in detail en systematisch de opbouw en de samenhang zien van de verschillende handelingsniveaus en biedt mogelijkheden voor observaties in de klas.
Afbeelding 3: Handelingsmodel, van Groenestijn, 2002
Kinderen leren rekenen op verschillende niveaus van handelen. Dat kan zijn door samen iets te doen (concreet, informeel handelen), door gebruik te maken van afbeeldingen van de werkelijkheid (concreet voorstellen), door schematische voorstellingen van de werkelijkheid te maken (schematiseren), al dan niet in combinatie met tekst of getallen of beide symboliseren). Dit proces wordt aangestuurd door het mentale handelen, maar het mentale handelen wordt ook steeds verder ontwikkeld tijdens het doorlopen van deze stadia. Door te communiceren met anderen en de eigen handelingen te verwoorden ontwikkelt het kind het logisch redeneren. Het verwoorden ondersteunt ook het mentale handelen. Het mentale handelen bestaat uit handelingen als waarnemen, identificeren, analyseren, structureren (ordenen), construeren, reconstrueren, redeneren, interacteren en reflecteren. Hierdoor ontwikkelen kinderen concepten (begrippen). Voor een goede ontwikkeling van concepten is het
Jasper oostlander
maken van sommen, oefenen en automatiseren, maar vooral om het begrijpen en het kunnen beredeneren wat er gebeurt, dus nadenken over het uitrekenen. Belangrijk hierbij is dat de kinderen de handelingen zelf kunnen uitvoeren, bijvoorbeeld met de eierdozen en daarbij hardop kunnen vertellen wat er gebeurt en hoe ze dit opschrijven. En ook hier is de leraar de cruciale persoon om te zien of het kind werkelijk begrijpt wat er gebeurt. Het maken van sommen is niet zo simpel als het lijkt.
doorlopen van alle vier de handelingsniveaus noodzakelijk. Communicatie en interactie met andere kinderen in de groep en met de leraar is noodzakelijk. Laat de kinderen vaak hardop vertellen wat ze doen tijdens deze handelingen. U kunt dan horen en zien of ze echt begrijpen wat ze doen. Jonge kinderen doorlopen deze vier niveaus aanvankelijk van concreet, informeel handelen in werkelijkheidssituaties, via concreet voorstellen en schematiseren naar het werken met symbolen, maar al vrij snel ontstaat er een iteratief proces waarbij kinderen van het ene niveau kunnen teruggaan of vooruitspringen naar een ander niveau van handelen. Naarmate zij meer geleerd hebben, kunnen zij op een hoger niveau instappen, maar bij nieuwe leerstof (zoals bijvoorbeeld bij breuken en procenten) zijn alle vier de stadia weer noodzakelijk voor het ontwikkelen van een goed concept (van breuken en procenten). Het concrete handelen blijft een onmisbare stap in dit proces. De belangrijkste taak van de leraar is het bewaken van dit proces tijdens de overgang van het ene niveau naar het andere niveau. Komen de leerlingen echt van het informele handelen naar het formele rekenen? En hoe gaat dat? Ontwikkelen zij voldoende inzicht? Zijn er kinderen die moeite hebben met het nemen van de tussenliggende stappen? Hoe kunnen we die begeleiden? Met behulp van dit model kunt u ook uw rekenmethode analyseren. Biedt de rekenmethode voldoende houvast om van het informele handelen naar het formele rekenen te komen? Hoe wordt dit in uw methode opgepakt en uitgewerkt? Waar moeten extra oefeningen worden ingebouwd? Welke stappen kunt u bij sommige leerlingen overslaan? Bij problemen kunt u weer teruggrijpen naar dit model en teruggaan naar een lager handelingsniveau.
Tot slot Voordat kinderen aan het echte rekenen met kale sommen toe zijn, doorlopen zij een heel proces van informeel concreet handelen naar het formele rekenen op papier. De leraar is hierbij de belangrijke schakel. De leraar bewaakt het doorlopen van de stappen en ziet erop toe dat de leerling zich optimaal binnen deze stappen ontwikkelt. Bij onvoldoende ontwikkeling kan fragmentarische kennis ontstaan en dit verhoogt de kans op problemen.
Volgens Bartjens... Jaargang 29 2009/2010 nr. 1 25
Door het handelingsmodel (zie afbeelding 3) te gebruiken als observatieschema en als planningsmodel voor het doorlopen van de juiste stappen tijdens het leren rekenen, kunnen mogelijke problemen vroegtijdig worden gesignaleerd en hopelijk tijdig worden verholpen door op het juiste handelingsniveau hulp te bieden en de leerlingen te helpen bij de overstap van het ene naar het volgende niveau. Bij hardnekkige problemen kan, in overleg met deskundigen, gerichte hulp worden geboden om de ontwikkeling weer op gang te helpen. Dit handelingsmodel wordt in het landelijk protocol ERWD gebruikt als basis voor een optimale ontwikkeling bij het leren rekenen, als observatieschema om rekenproblemen te voorkomen en als analysemodel voor het analyseren van rekenproblemen en het begeleiden van leerlingen met rekenproblemen. U kunt de ontwikkelingen van het protocol volgen op de website www.nvorwo.nl Mieke van Groenestijn is Lector Gecijferdheid aan de Hogeschool Utrecht, Faculteit Educatie Literatuur Dolk, M. & M. van Groenestijn (red) (2006). Dyscalculie in discussie. Assen: Koninklijke Van Gorcum.
Effectieve aanpakken voor versterking van het rekenonderwijs Tijdens de regionale rekenconferenties die het Projectbureau Kwaliteit van de PO-raad organiseert, staat het verspreiden van deze kennis centraal. 22 september 2009 Utrecht 24 september 2009 Eindhoven 29 september 2009 Assen Leerkrachten, schoolleiders, ib’ers en bestuurders - van scholen die deelnemen aan de rekenpilots én overige belangstellenden - zijn van harte welkom. http://www.rekenpilots.nl/conferenties/regionaleconferenties Volgens Bartjens Studentendag 2010 Ieder jaar organiseert NVORWO samen met SLO en PANAMA een studentendag rond rekenen-wiskunde. De laatste keer was het met het thema ‘Spel in de rekenles’ weer een zinvolle en gezellige dag. Begin 2010 is al weer de zesde Volgens-Bartjens Studentendag, weer in Nijmegen. De datum wordt in september bekend gemaakt. Houd dus de site in de gaten! http://www.nvorwo.nl/ en http://www.volgens-bartjens.nl/
Panama-Conferentie Op 20, 21 en 22 januari 2010 wordt de 28e Panama-conferentie voor opleiders, ontwikkelaars en begeleiders in het rekenonderwijs gehouden. Zie voor meer informatie de website: http://www.fi.uu.nl/panama/ De Grote Rekendag De achtste Grote Rekendag (21 april 2010) zorgt ervoor dat de leerlingen een dagdeel lang maar weinig kans krijgen om op hun stoel te blijven zitten, want ‘meten te lijf’ betekent vooral het toepassen van hun rekenkennis in tal van alledaagse en praktische situaties. Via de website van het RekenWeb kunt u zich nu al aanmelden. http://www.fi.uu.nl/rekenweb/leraren/welcome.html De Nationale Rekendagen Als leerkracht, RT-er, IB-er, directeur, opleider of onderwijsadviseur moet je van tijd tot tijd nieuwe ideeën op kunnen doen en creatief en actief met je vak bezig zijn. De NRD (18 en 19 maart) biedt u deze mogelijkheid. Houd de aankondiging in de gaten of kijk op de website: http://www.fi.uu.nl/rekenweb/leraren/welcome.html
Het Bartjens Rekendictee Op 20 november wordt voor de 6e keer de finale van het Bartjens Rekendictee gehouden. In oktober zijn de voorrondes op internet. http://www.bartjens.net/
26
Groenestijn, M. van & J. Vedder (red) (2008). Dyscalculie in discussie, deel 2. Assen: Koninklijke Van Gorcum. Groenestijn, M. van, C. Borghouts & C.n Janssen. (2007). Verslag werkconferentie ‘Ernstige rekenproblemen en dyscalculie’ (5 juni 2007). In: Remediaal, tijdschrift voor leer- en gedragsproblemen in het vo/bve, pg. 24-26. Jaargang 7, nummer 6, 2006/2007 Groenestijn, Mieke van, Ceciel Borghouts en Cristien Janssen (2009). Op weg naar een protocol voor het begeleiden van leerlingen met Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie (Protocol ERWD). in: Zanten, M. van, (2009), (eindredactie). ‘Leren van evalueren - de lerende in beeld bij reken-wiskundeonderwijs’. Groenestijn, M. van (2002). A Gateway to Numeracy. A Study of Numeracy in Adult Basic Education (Doctoral Dissertation) CD ß Press, Centrum voor Didactiek van Wiskunde, Universiteit Utrecht, 2002 Oers, B. van (1987). Activiteit en begrip. Proeve van handelings-psychologische didactiek. Amsterdam, VU Uitgeverij. Parreren, C.F. van, and J.M.C. Nelissen (1977) Rekenen. Groningen, Wolters-Noordhoff.
Volgens Bartjens... Jaargang 29 2009/2010 nr. 1
