Po£etní geometrie Pythagorova v¥ta Obsah £tverce nad p°eponou je roven sou£tu obsah· £tverc· nad ob¥ma odv¥snami. Výpo£et délky p°epony: Výpo£et délky odv¥sny:
c 2 = a 2 + b2 a2 = c2 − b2 , b2 = c2 − a2
P°íklad 1: Vypo£t¥te p°eponu
a=3
cm,
b=4
c
v trojúhelníku s odv¥snami
cm.
e²ení:
c2 = 32 + 42 c2 = 25 c = 5 cm P°íklad 2: Jak daleko od svislé st¥ny je pata ºeb°íku dlouhého je op°ený o st¥nu ve vý²ce
6
8
m, který
m ?
e²ení:
x2 = 82 − 62 x2 =√28 x = 28 m ≈ 5, 3
m
tverec tverec je pravoúhlý rovnob¥ºník, má 4 shodné strany, dv¥ na sebe kolmé shodné úhlop°í£ky, které se protínají v t¥ºi²ti a navzájem se p·lí, t¥ºi²t¥ je st°edem soum¥rnosti £tverce, úhlop°í£ka p·lí úhel u vrcholu. tverci se dá opsat i vepsat kruºnice.
Obvod £tverce: O = 4a [jednotky délky] Obsah £tverce: S = a2 √ [jednotky plochy] Délka úhlop°í£ky: u =
√ 2a2 = a 2
P°íklad 3: Vypo£t¥te délku strany £tverce, jehoº úhlop°í£ka má délku
6
cm.
e²ení:
u2 = a2 + a2 u2 a2 = r2 62 cm ≈ 4, 2 a= 2
cm
P°íklad 4: Vypo£t¥te obsah £tverce o obvodu
20
cm.
e²ení:
O = 4a O =5 a= 4
cm
O 2 O2 ) = ) 4 16 2 2 2 S = 5 cm = 25 cm S = a2 (= (
Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 2014
Obdélník Obdélník je pravoúhlý rovnob¥ºník, má dv¥ shodné úhlop°í£ky, které se protínají v t¥ºi²ti a navzájem se p·lí, obecn¥ nejsou na sebe kolmé. Úhlop°í£ky jsou shodné, ale nejsou na sebe kolmé. Obdélníku se dá opsat kruºnice, ale nemá kruºnici vepsanou. tverec je zvlá²tním p°ípadem obdélníka.
Obvod obdélníka: O = 2(a + b) [jednotky délky] Obsah obdélníka: S = a p· b [jednotky plochy] Délka úhlop°í£ky: u =
a2 + b2
P°íklad 5: Jaký obsah má £tverec, který má stejný obvod jako obdélník o stranách
a=8
cm,
cm ?
b = 12
e²ení: Obvod obdélníka: O1 = 2(a + b) O1 = 2(8 + 12) = 40 cm Obvod £tverce: O2 = 4a O1 = O2 4a = 40 a = 10 cm 2 Obvod £tverce: S = a S = 102 S = 100 cm2 P°íklad 6: Vypo£t¥te délky stran obdélníka o obsahu
200
cm2 , jestliºe jsou v pom¥ru
a : b = 1 : 2.
e²ení: Obsah obdélníka:
1 a = b 2 b = 2a S = a · 2a = 2a2 200 = 2a2 a2 = 100 a = 10 cm, b = 20
S = ab
cm.
Trojúhelník Trojúhelník má t°i strany. Pro jejich velikost platí trojúhelníková nerovnost: sou£et velikostí dvou stran je v¥t²í neº velikost t°etí strany. Trojúhelník má t°i vnit°ní úhly. Sou£et v²ech vnit°ních úhl· je
180◦ .
V závislosti na
velikostech stran a úhl· lze trojúhelníky rozd¥lit na obecné (v²echny t°i strany i úhly r·zné), rovnoramenné (dv¥ shodné strany, dva shodné úhly), rovnostranné (t°i shodné strany, t°i shodné úhly), ostroúhlé (kaºdý úhel men²í neº
90◦ ),
pravoúhlé (jeden pravý úhel, dva ostré úhly), tupoúhlé (jeden úhel v¥t²í neº
90◦ ).
Trojúhelník
má t°i vý²ky, t°i t¥ºnice a t°i st°ední p°í£ky. Vý²ka trojúhelníka je kolmice spu²t¥ná z vrcholu na prot¥j²í stranu. V²echny t°i vý²ky se protínají v jednom bod¥ (ortocentru). V ostroúhlém trojúhelníku je ortocentrum uvnit°, v tupoúhlém vn¥. Ortocentrum pravoúhlého trojúhelníka je ve vrcholu, u kterého je vnit°ní úhel o velikosti
90◦ .
T¥ºnice trojúhelníka je spojnice vrcholu a st°edu prot¥j²í strany. T¥ºnice se protínají v t¥ºi²ti. T¥ºi²t¥ se nikdy nenachází vn¥ trojúhelníka. T¥ºi²t¥ d¥lí t¥ºnici v pom¥ru
1 : 2.
U rovnostranného trojúhelníka splývá t¥ºi²t¥ s
ortocentrem, pr·se£íkem os vnit°ních úhl· a pr·se£íkem os stran. St°ední p°í£ka trojúhelníka je spojnice st°ed· jeho stran. Kaºdá st°ední p°í£ka je rovnob¥ºná s jednou stranou trojúhelníka a její velikost je polovinou p°íslu²né strany. Trojúhelníku se dá opsat i vepsat kruºnice. St°ed kruºnice opsané je v pr·se£íku os stran, st°ed kruºnice vepsané je v pr·se£íku os vnit°ních úhl·.
Obvod trojúhelníka o stranách a, b, c: O = a + b + c [jednotky délky] Obsah trojúhelníka o stran¥ a a vý²ce va na stranu a: S =
a · va 2
[jednotky plochy]
P°íklad 7: Rovnoramenný trojúhelník má základnu
a = 12 cm
a ramena
b = c = 10 cm.
Ur£ete velikost vý²ky na stranu
e²ení:
a va2 = b2 − ( )2 2 va2 = 100 − 36 = 64 va = 8 cm
Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 2014
a.
P°íklad 8: Ur£ete obsah pravoúhlého trojúhelníku s p°eponou
c = 17
cm a odv¥snou
a = 15
cm.
e²ení:
b2 = c2 − a2 b2 = 172 − 152 = 289 − 225 = 64 b = 8 cm S =a·b S = 15 · 8 S = 120 cm2
Kosodélník Kosodélník (rovnob¥ºník) je £ty°úhelník, jehoº prot¥j²í strany jsou shodné a rovnob¥ºné, sou£et vnit°ních úhl· je
360◦ ,
prot¥j²í úhly jsou shodné, úhlop°í£ky
nejsou obecn¥ shodné ani na sebe nejsou kolmé. Zvlá²tním p°ípadem kosodélníka je £tverec, obdélník, koso£tverec. Kosodélníku nelze vepsat ani opsat kruºnici.
Obvod kosodélníka: O = 2(a + b) [jednotky délky] Obsah kosodélníka: S = a · va [jednotky plochy]
P°íklad 9: Rovnob¥ºník má vnit°ní úhel
α = 50◦ .
Ur£ete velikosti ostatních vnit°ních úhl·.
e²ení:
α=γ β + δ = 360◦ − (α + γ) = 360◦ − (50◦ + 50◦ ) = 260◦ α = γ = 50◦ , β = δ = 130◦ .
Koso£tverec Koso£tverec je rovnob¥ºník, má 4 shodné strany, které nesvírají pravý úhel, má dv¥ na sebe kolmé úhlop°í£ky, které se protínají ve st°edu koso£tverce a navzájem se p·lí. Koso£tverci lze vepsat kruºnici.
Obvod koso£tverce: O = 4a [jednotky délky] Obsah koso£tverce: S = a · va = p°í£ky.
u1 · u2 2
[jednotky plochy],u1 , u2 jsou úhlo-
P°íklad 10: Ur£ete velikost strany koso£tverce, jehoº úhlop°í£ky mají velikost
8
cm a
6
cm.
e²ení:
u1 2 u2 ) + ( )2 2 2 a2 = 42 + 32 = 25 a = 5 cm
a2 = (
Lichob¥ºník Lichob¥ºník je £ty°úhelník, jehoº dv¥ prot¥j²í strany jsou rovnob¥ºné (základny) a dal²í dv¥ strany jsou r·znob¥ºné (ramena). Úhlop°í£ky obecného lichob¥ºníka se navzájem nemusí p·lit. Speciálními typy jsou lichob¥ºníky pravoúhlé (dva pravé úhly) a lichob¥ºníky rovnoramenné (shodná ramena, shodné úhlop°í£ky). Rovnoramenný pravoúhlý lichob¥ºník neexistuje. Spojnice st°ed· ramen lichob¥ºníka je st°ední p°í£ka.
Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 2014
(a) obecný lichob¥ºník
(b) pravoúhlý lichob¥ºník
(c) rovnoramenný lichob¥ºník
Obvod lichob¥ºníka: O = a + b + c + d [jednotky délky]
(a + c) · v [jednotky 2 (a + c) St°ední p°í£ka lichob¥ºníka: S = 2
Obsah lichob¥ºníka: S =
plochy]
P°íklad 11: Vypo£t¥te obvod rovnoramenného lichob¥ºníka o obsahu
4
cm a ramena mají velikost
5
S = 36
cm2 , jehoº základna má velikost
8
cm, vý²ka
cm. e²ení:
c = 8 cm, b = d = 5 cm (a + c) · v S= 2 2S 2 · 36 a= −c= −8 v 4 a = 10 cm O = a + b + c + d = 10 + 5 + 5 + 8 O = 28 cm Kruºnice, kruh Kruºnice je mnoºina v²ech bod· v rovin¥, které mají stejnou vzdálenost (polom¥r) od jednoho pevného bodu (st°ed). Kruh je mnoºina v²ech bod· v rovin¥, jejichº vzdálenost od st°edu je men²í nebo rovna polom¥ru. Spojnice libovolných dvou bod· na kruºnici je t¥tiva. Nejdel²í t¥tiva kruºnice prochází st°edem a nazývá se pr·m¥r kruºnice. Pr·m¥r kruºnice
d má dvojnásobnou velikost neº její polom¥r r. Plocha omezená t¥tivou a p°íslu²ným
obloukem se nazývá kruhová úse£. Spojnice krajních bod· t¥tivy a st°edu omezí spole£n¥ s p°íslu²ným kruhovým obloukem kruhovou výse£. Pokud je t¥tivou pr·m¥r, je úse£ (výse£) p·lkruh. Mezikruºí je mnoºina v²ech bod· v rovin¥, které mají od st°edu mezikruºí vzdálenost mezi hodnotami r a R (polom¥ry dvou soust°edných kruºnic). 2
Obvod kruhu (délka kruºnice): O = 2πr = π d4 [jednotky délky] Obsah kruhu: S = πr 2 [jednotky plochy] Obsah mezikruºí: S = π(R2 − r 2 )
(a) kruºnice
(b) kruhová úse£
(c) kruhová výse£
(d) mezikruºí
P°íklad 12: Kruhová výse£ p°íslu²ná úhlu
120◦
má obsah
3π
cm2 . Ur£ete polom¥r kruºnice.
e²ení: Zadaná kruhová výse£ tvo°í t°etinu obsahu kruhu. Pro obsah kruhu tedy platí:
r=3
S = 9π ,
ale také
S = πr2
cm
Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 2014
(a) kvádr
(b) krychle
(c) trojboký hranol
Hranol, kvádr, krychle Hranol má dv¥ shodné rovnob¥ºné podstavy, jejichº tvar ur£uje typ hranolu. Podstavou je
n−úhelník. n = 4 (podstavou je £ty°úhelník) mluvíme o £ty°bokém hranolu atd. Pokud je podstava tvo°ena pravidelným n−úhelníkem, jde o pravidelný n−boký Pro
n=3
(podstavou je trojúhelník) mluvíme o trojbokém hranolu, pro
hranol. Podstavou pravidelného trojbokého hranolu je tedy rovnostranný trojúhelník, podstavou pravidelného £ty°bokého hranolu je £tverec. St¥ny hranolu tvo°í jeho plá²´. Vý²ka hranolu je kolmá vzdálenost jeho podstav. Hranoly jsou kolmé nebo kosé.
Objem hranolu: V = Sp · v [jednotky objemu], Sp je obsah podstavy, v je vý²ka hranolu Povrch hranolu: S = Sp + Spl [jednotky plochy], Sp je obsah podstavy, Spl je obsah plá²t¥ Kvádr je kolmý hranol, podstavou je obdélník. Prot¥j²í st¥ny kvádru jsou shodné a rovnob¥ºné. Kvádr je rovnob¥ºnost¥n. Kvádr má 6 st¥n, 8 vrchol· a 12 hran. Kvádr má t°i r·zné délky st¥nových úhlop°í£ek. T¥lesové úhlop°í£ky mají stejnou velikost.
Objem kvádru: V = a · b · c [jednotky objemu] Povrch kvádru: S = 2(ab + bc + ac) [jednotky p plochy]
Délka st¥nové úhlop°í£ky kvádru: u1 = p a2 + b2 , u2 = Délka t¥lesové úhlop°í£ky kvádru: u = a2 + b2 + c2
p
b2 + c2 , u3 =
p a2 + c2
Krychle (pravidelný ²estist¥n) je zvlá²tní p°ípad kvádru. St¥ny jsou tvo°eny shodnými £tverci. Krychle má v²echny st¥ny i hrany shodné.
Objem krychle: V = a3 [jednotky objemu] Povrch krychle: S = 6a2 [jednotky plochy] p
√
Délka st¥nové úhlop°í£ky krychle: u1 = p a2 + a2 = a 2 √ Délka t¥lesové úhlop°í£ky krychle: u = a2 + a2 + a2 = a 3 P°íklad 13: Objem krychle je stejný jako její povrch. Ur£ete délku hrany krychle. e²ení:
V = a3 , S = 6a2 a3 = 6a2 a3 − 6a2 = 0 a2 (a − 6) = 0 a = 6 cm P°íklad 14: Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odv¥snami
a = 3 cm, b = 4 cm. Velikost vý²ky
hranolu se rovná velikosti p°epony podstavy hranolu. Vypo£t¥te objem hranolu. e²ení: P°epona podstavy:
c2 = a2 + b2 = 32 + 42
c = v = 5 cm V = Sp · v a·b 3·4 Sp = = 2 2 Sp = 6 cm2 V =6·5 V = 30 cm3
Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 2014
Rota£ní válec Rota£ní válec je tvo°en dv¥ma rovnob¥ºnými shodnými kruhovými podstavami a plá²t¥m. Spojnice st°ed· podstav je kolmá na podstavy. Vzdálenost podstav je vý²ka válce.
Objem válce: V = Sp h = πr 2 h [jednotky objemu] Povrch válce: S = 2Sp + Spl = 2πr 2 + 2πrh [jednotky plochy]
P°íklad 15: Rovnostranný válec (h
= 2r)
má objem
V = 2000π
cm3 . Ur£ete jeho povrch.
e²ení: 2 3 V =r πr2 h = πr r (2r) = 2πr √ 3 V 3 3 2000π = = 1000 = 10 r= 2π 2π S = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πr(2r) = 2πr2 + 4πr2 = 6πr2 S = 6π(102 ) S = 600π cm2
Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 2014
