Pˇr´ıklady 2 - Kinematika - 27.9.2007 1. Poˇc´ateˇcn´ı poloha m´ıˇcku je d´ ana polohov´ ym vektorem ~r1 = (−3, 2, 5), koncov´a poloha je urˇcena vektorem ~r2 = (9, 2, 8). Urˇcete vektor posunut´ı m´ıˇcku. Urˇcete velikost a smˇer tohoto posunut´ı. 2. Poloha iontu se bˇehem 10 s zmˇen´ı z hodnoty ~r1 = (5, −6, 2) na ~r2 = (−2, 8, −2) (v metrech). Jak´ a je jeho pr˚ umˇern´a rychlost v tomto ˇcasov´em intervalu? 3. Poloha elektronu je d´ ana vztahem ~r(t) = (3t, −4t2 , 2). (a) Urˇcete ˇcasovou z´avislost elektronu ~v (t). (b) Jakou rychlost m´a elektron v okamˇziku t = 2 s? (c) Urˇcete pr˚ umˇernou rychlost a pr˚ umˇern´e zrychlen´ı v ˇcasov´em intervalu [1, 2] s. ˇ astice se pohybuje v rovinˇe xy. Jej´ı poloha se mˇen´ı s ˇcasem podle vztahu ~r(t) = (2t3 − 5t, 6 − 7t4 ). Urˇcete 4. C´ ~v (t) a ~a(t). Urˇcete polohu, rychlost a zrychlen´ı v ˇcase t = 2 s. 5. Urˇcete z´avislost vektoru rychlosti ~v (t) a vektoru zrychlen´ı ~a(t) hmotn´eho bodu na ˇcase, jestliˇze ~r(t) = (2t sin(t) + 1, e−3t cos(t2 ), ln(5t2 − t + 2)). Pozn.: Obr´ acen´ au ´loha
6. Urˇcete z´avislost polohy automobilu na ˇcase, jesliˇze jeho pohyb je rovnomˇern´ y pˇr´ımoˇcar´ y, je urˇcen vektorem rychlosti ~v0 = (2, 3), a jestliˇze jeho poloha v ˇcase t = 0 s byla ~r0 = (0, 1). Jak´e je zrychlen´ı automobilu? 7. Naleznˇete ~v (t) a ~r(t) ˇc´ astice, jestliˇze jej´ı vektor zrychlen´ı se nemˇen´ı. 8. Pˇr´ıklad 7. aplikujte na pohyb ˇc´ astice v homogenn´ım t´ıhov´em poli Zemˇe, kde ~a = (0, 0, −g), g = 9, 81 ms−2 . Jak´a je rovnice trajektorie ˇc´ astice v pˇr´ıpadˇe voln´eho p´adu, ˇsikm´eho vrhu? Jak´ y je v tˇechto pˇr´ıpadech vztah pro rychlost? Z´ıskan´e v´ ysledky interpretujte. ˇ astice pad´ 9. C´ a voln´ ym p´ adem z v´ yˇsky 100 m nad zem´ı s poˇc´ateˇcn´ı rychlost´ı 3 ms−1 . S jakou rychlost´ı dopadne, za jak dlouho a s jak´ ym zrychlen´ım? [4, 2 s; 44, 4 ms−1 ] 10. Vystˇrel´ıme–li n´ aboj z pistole rychlost´ı 500 ms−1 proti smˇeru t´ıhov´eho zrychlen´ı Zemˇe, jak´e v´ yˇsky dos´ahne a za jak dlouho. S jakou rychlost´ı dopadne na m´ısto v´ ystˇrelu a s jak´ ym zrychlen´ım? [51 s; 12 742 m] 11. Pˇri filmov´an´ı honiˇcky m´ a kaskad´er bˇeˇz´ıc´ı rychlost´ı 4, 5 ms−1 skoˇcit na stˇrechu sousedn´ı budovy, kter´a je 4, 8 m ve svisl´em smˇeru pod kaskad´erem. Budovy jsou vzd´aleny 6, 2 m. Zvl´adne to? [4, 5 m; ne] 12. Adam a Petr soutˇeˇz´ı v tom, kdo d´ al hod´ı snˇehovou koul´ı. Adam hodil kouli rychlost´ı 14 ms−1 pod elevaˇcn´ım ◦ u ´hlem 70 , Petr hodil kouli rychlost´ı 12 ms−1 pod elevaˇcn´ım u ´hel 50◦ . Kdo hodil kouli d´al? Jak´e jsou rychlosti dopadu obou koul´ı? Jak´e je zrychlen´ı obou koul´ı pˇri dopadu? 13. Pir´atsk´a lod’ je zakotvena 560 m od pobˇreˇzn´ı pevnosti, kter´a chr´an´ı vjezd do ostrovn´ıho pˇr´ıstavu. Obr´ anci maj´ı k dispozici dˇelo um´ıstˇen´e v u ´rovni moˇrsk´e hladiny, kter´e m˚ uˇze vystˇrelit n´aboj rychlost´ı 82 ms−1 . Pod jak´ ym elevaˇcn´ım u ´hlem mus´ı b´ yt nastavena hlaveˇ n, aby zas´ahla pir´atkou lod’? Jak dlouho n´aboj polet´ı? Jak´a je nejvˇetˇs´ı v´ yˇska nad hladinou, j´ıˇz n´ aboj dos´ahne pˇri letu? [27◦ ; 63◦ ; 7, 7 s; 17, 5 s; 71 m; 272 m] Pozn.: Rovnomˇern´ y pohyb po kruˇznici
14. Rovnomˇern´ y pohyb po kruˇznici lze parametricky popsat jako x(t) = r cos(ωt), y(t) = r sin(ωt) (r = konst., ω = konst.). Naleznˇete ~v (t). Pˇresvˇedˇcte se, ˇze ~v = ω ~ ×~r, kde ω ~ = (0, 0, ω) je vektor u ´hlov´e rychlosti. Naleznˇete ~a(t). Jak´e jsou velikosti rychlosti a zrychlen´ı? Jak´ y smˇer maj´ı ~v a ~a? Jak´a je perioda tohoto pohybu? 15. Sprinter bˇeˇz´ı rychlost´ı 9, 2 ms−1 po kruhov´e dr´aze. Dostˇrediv´e zrychlen´ı m´a velikost 3, 8 ms−2 . Jak´ y je polomˇer dr´ ahy? Jak´ a je perioda pohybu? 16. Vrtule ventil´ atoru se ot´ aˇc´ı 1200kr´ at za minutu. Sledujeme bod na konci listu vrtule ve vzd´alenosti 0, 15 m od osy ot´aˇcen´ı. Jakou dr´ ahu op´ıˇse tento bod pˇri jedn´e ot´aˇcce vrtule? Jak´a je velikost jeho rychlosti? S jak´ ym zrychlen´ım se pohybuje? Jak´ a je perioda pohybu? 17. Kosmonaut se ot´ aˇc´ı na centrifuze s polomˇerem 5 m ve vodorovn´e rovinˇe. Jakou rychlost´ı se pohybuje, m´a–li dostˇrediv´e zrychlen´ı 7g? Kolikr´ at za minutu se centrifuga otoˇc´ı? Jak´a je perioda jej´ıho pohybu?
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 4 – 4.10.2007 1. Lod’ pluje proti proudu ˇreky rychlost´ı 14 kmh−1 vzhledem k vodn´ımu proudu. Voda v ˇrece teˇce rychlost´ı 9 kmh−1 . a) Jakou rychlost´ı pluje lod’ vzhledem k bˇreh˚ um? b) Chlapec na lodi jde po palubˇe od pˇr´ıdˇe k z´adi rychlost´ı 6 kmh−1 . Jak´ a je jeho rychlost vzhledem k bˇreh˚ um? 2. Kameraman stoj´ı na otevˇren´e ploˇsinˇe dod´avky a filmuje bˇeˇz´ıc´ıho geparda. Dod´avka jede rychlost´ı 65 kmh−1 z´apadn´ım smˇerem, gepard bˇeˇz´ı ve stejn´em smˇeru a je o 48 kmh−1 rychlejˇs´ı. N´ahle se gepard zastav´ı, otoˇc´ı se a bˇeˇz´ı zpˇet na v´ ychod rychlost´ı 97 kmh−1 vzhledem k zemi. Cel´ y obrat trv´a 2 s. Urˇcete pr˚ umˇern´e zrychlen´ı zv´ıˇrete vzhledem ke kameramanovi i vzhledem k zemi. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 5 – 18.10.2007 1. Napiˇste pohybov´e rovnice pro tˇelesa s hmotnost´ı m a M . Pˇredpokl´adejme, ˇze zavˇeˇsen´e tˇeleso na obr´ azku v´aˇz´ı 75 N. Rozhodnˇete, zda je hodnota T , resp. T 0 stejn´a, vˇetˇs´ı nebo menˇs´ı neˇz 75 N, pohybuje–li se tˇeleso smˇerem dol˚ u a) se vzr˚ ustaj´ıc´ı rychlost´ı, b) s klesaj´ıc´ı rychlost´ı.
2. Kostka na prov´ azku je pˇripevnˇena na provaze uchycen´em ke sloupku, kter´ y je pevnˇe spojen s naklonˇenou rovinou. Rozhodnˇete, zda velikosti n´ asleduj´ıc´ıch sil rostou, klesaj´ı ˇci z˚ ust´avaj´ı nemˇenn´e, nar˚ ust´a–li u ´hel sklonu θ od nulov´e hodnoty: a) sloˇzka t´ıhov´e s´ıly p˚ usob´ıc´ı na kostku mˇeˇren´a pod´el naklonˇen´e roviny, b) s´ıla nap´ınaj´ıc´ı provaz, c) sloˇzka t´ıhov´e s´ıly p˚ usob´ıc´ı na kostku mˇeˇren´a ve smˇeru kolm´em k naklonˇen´e rovinˇe, d) norm´alov´a s´ıla, j´ıˇz p˚ usob´ı naklonˇen´ a rovina na kostku. 3. Na obr´azku jsou ˇctyˇri kostky taˇzen´e po dokonale hladk´e vodorovn´e podloˇzce silou F~ . Jak´a celkov´a hmotnost je urychlov´ ana smˇerem vpravo a) silou F~ , b) vl´aknem 3, c) vl´aknem 1? d) Sestavte sestupn´e poˇrad´ı kostek podle velikosti jejich zrychlen´ı. e) Sestavte sestupn´e poˇrad´ı vl´aken podle velikosti taˇzn´e s´ıly.
4. Na obr´azku jsou tˇri kostky tlaˇcen´e po dokonale hladk´e podloˇzce vodorovnou silou F~ . Jak´a celkov´a hmotnost je urychlov´ ana smˇerem vpravo a) silou F~ , b) silou F~21 , j´ıˇz p˚ usob´ı kostka 1 na kostku 2, c) silou F~32 , j´ıˇz p˚ usob´ı kostka 2 na kostku 3? d) Seˇrad’te kostky sestupnˇe podle velikosti jejich zrychlen´ı. e) Seˇrad’te sestupnˇe s´ıly F~ , F~21 , F~32 podle jejich velikosti.
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 6 – 25.10.2007 1. Mince leˇz´ı na knize, kter´ a je sklonˇena vzhledem k vodorovn´e rovinˇe o u ´hel θ. Zkusmo jsme zjistili, ˇze pˇri zv´ yˇsen´ı u ´hlu θ na 13◦ zaˇcne mince klouzat. Jak´ y je koeficient statick´eho tˇren´ı fs mezi minc´ı a knihou? 2. Automobil jede po silnici konstantn´ı rychlost´ı v0 . V jist´em okamˇziku zaˇcne brzdit. Urˇcete, jak dlouh´a bude ˇ ste obecnˇe, pak jeho brzdn´a dr´ aha, jestliˇze koeficient dynamick´eho tˇren´ı mezi silnic´ı a pneumatikami je fd . Reˇ −1 pro hodnoty fd = 0, 6, v0 = 150 kmh . 3. Hokejov´ y kotouˇc o hmotnosti 110 g klouˇze po ledov´e ploˇse a uraz´ı 15 m, neˇz se zastav´ı. Velikost jeho poˇc´ateˇcn´ı rychlosti je 6, 0 ms−1 . Urˇcete velikost tˇrec´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na kotouˇc a koeficient tˇren´ı mezi kotouˇcem a ledem. 4. Koeficient statick´eho tˇren´ı mezi pneumatikami automobilu a silnic´ı je 0, 25. Jakou nejvˇetˇs´ı rychlost´ı m˚ uˇze automobil projet bez smyku vodorovnou zat´aˇckou o polomˇeru 47, 5 m? 5. Mal´a kuliˇcka o hmotnosti 50 g zavˇeˇsen´ a na niti d´elky 1, 2 m tvoˇr´ı konick´e kyvadlo. Kuliˇcka ob´ıh´a po vodorovn´e kruˇznici o polomˇeru 25 cm. Jak velk´ a je rychlost kuliˇcky? Jak´e je jej´ı zrychlen´ı? Jak velk´a je tahov´a s´ıla niti? 6. Tˇel´ısko o hmotnosti m leˇz´ı na dokonale hladk´em stole a je spojeno se z´avaˇz´ım o hmotnosti M prov´azkem provleˇcen´ ym otvorem ve stole. Urˇcete rychlost, kterou se mus´ı tˇel´ısko m pohybovat, aby z´avaˇz´ı M bylo v klidu. 7. Dokaˇzte, ˇze funkce sin(ωt) a cos(ωt) a tak´e jejich line´arn´ı kombinace vyhovuj´ı diferenci´aln´ı rovnici x ¨(t) + ω 2 x(t) = 0.
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 7 – 1.11.2007 1. Voln´ y elektron (m = 9, 11.10−31 kg) v mˇedi m´a pˇri nejniˇzˇs´ı dosaˇziteln´e teplotˇe kinetickou energii 6, 7.10−19 J. Jak velk´a je jeho rychlost? 2. Kostka o hmotnosti m = 1, 5 kg leˇz´ıc´ı na dokonale hladk´em stole je tlaˇcena silou F = 10 N. Spoˇctˇete pr´aci t´eto s´ıly, jestliˇze na kostku zaˇcneme tlaˇcit, kdyˇz je v˚ uˇci stolu v klidu, a skonˇc´ıme po 15 sekund´ach. 3. Chlapec tlaˇc´ı pˇred sebou bednu o hmotnosti 20 kg silou 100 N. Bedna se pohybuje konstantn´ı rychlost´ı 1 ms−1 . Jakou pr´ aci vykonaj´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na bednu, jestliˇze se posune do vzd´alenosti 50 m? Jak´a je celkov´a pr´ace vykonan´ a bednou? Jak´ a je pr´ ace vykonan´a tˇrec´ı silou? Jak´ y je v´ ykon t´eto s´ıly? 4. Vepˇr´ık se chce skouznout po tˇrech dokonale hladk´ ych skluzavk´ach. Seˇrad’te sestupnˇe skluzavky podle pr´ace vykonan´e t´ıhovou silou po skouznut´ı vepˇr´ıka. 5. Kuliˇcka se pohybuje v rovinˇe po kruˇznici o polomˇeru r. Vypoˇctˇete pr´aci v´ ysledn´e s´ıly p˚ usob´ıc´ı na kuliˇcku pˇri jednom obˇehu. Jak´ y je v´ ykon t´eto s´ıly? 6. V´ ykon s´ıly p˚ usob´ıc´ı na ˇc´ astici se mˇen´ı jako funkce P (t) = 2 cos(0, 3πt) + 3t. Spoˇctˇete jej´ı pr´aci. Jak´a je stˇredn´ı hodnota tohoto v´ ykonu v ˇcasov´em intervalu [0, 10] s? 7. S´ıla, kterou je tˇreba vl´eci lod’, aby se pohybovala rovnomˇernˇe, je u ´mˇern´a okamˇzit´e rychlosti lodi. (Tato s´ıla mus´ı kompenzovat odporovou s´ılu vody.) Jej´ı v´ ykon pˇri rychlosti 4 kmh−1 je 7, 5 kW. Jak´ y okamˇzit´ y v´ ykon taˇzn´e s´ıly odpov´ıd´ a rychlosti 12 kmh−1 ? 8. Jak´a je pr´ace pruˇzn´e s´ıly? Kdy je nulov´a? Z´avaˇz´ı o hmotnosti 200 g leˇz´ıc´ı na stole, v jehoˇz rovinˇe se m˚ uˇze pohybovat bez tˇren´ı, je spojeno s pruˇzinkou o tuhosti 10 Nm−1 . Z rovnov´aˇzn´e polohy je vych´ yleno o 5 cm a n´ahle puˇstˇeno. Jak´ a je frekvence tohoto kmit´an´ı? 9. Jak´a je pr´ace a v´ ykon t´ıhov´e s´ıly pˇri pohybu ˇc´astice v homogenn´ım t´ıhov´em poli Zemˇe? Za jak´ ych podm´ınek bude pr´ace vykonan´ a t´ıhovou silou nulov´a? Jak´a je stˇredn´ı hodnota v´ ykonu t´eto s´ıly v ˇcasov´em intervalu [0, T ]? 10. Jak dlouho mus´ıme sv´ıtit 100 W ˇz´ arovkou, abychom spotˇrebovali 1 kWh energie? Kolik Kˇc bude st´at 1 hodina sv´ıcen´ı, jestliˇze 1 kWh stoj´ı 4, 20 Kˇc?
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 8 – 8.11.2007 ˇ 10:00 – 11:50, F2, skupina F1040/04 Ct Z´ akon zachov´ an´ı mechanick´e energie 1. V konzervativn´ım silov´em poli, kter´e m´ a potenci´al ve tvaru φ(x, y, z) = o hmotnosti 1, 6 kg. Jak velk´ a s´ıla na nˇej p˚ usob´ı v bodˇe (1, 1, 1)?
2y (x+1)2
+ cos(πyz), se nach´az´ı kvˇetin´aˇc
2. Aniˇcka se dohodla s kamar´ ady, ˇze p˚ ujdou na baz´en. Tam uvidˇela novou skluzavku a rozhodla se, ˇze se na n´ı sveze. Skluzavky m´ a tvar spir´ aly, m´ısto, ze kter´eho se na skluzavku nastupuje, je 4, 8 m nad zem´ı. S jakou rychlost´ı sklouzne do baz´enu, jestliˇze tˇren´ı mezi podloˇzkou a Aniˇckou a odpor prostˇred´ı m˚ uˇzeme zanedbat? Aniˇcka v´aˇz´ı 41 kg. Jak se tato rychlost zmˇen´ı, jestliˇze vlivem tˇren´ı a odporu okoln´ıho prostˇred´ı ztrat´ı 50 J energie? Kdyby Aniˇcka omylem vypadla z n´astupn´ıho m´ısta, s jakou rychlost´ı by spadla na zem (kdyby padala voln´ ym p´adem)? 3. K pruˇzince o tuhosti k = 100 Nm pˇripevn´ıme misku o hmotnosti 700 g. S jakou rychlost´ı projde miska rovnov´aˇznou polohou, jestliˇze ji vych´ yl´ıme z rovnov´aˇzn´e polohy o 50 cm? Kolikr´at se tato rychlost zmˇen´ı, jestliˇze ji vych´ yl´ıme o dvojn´ asobnou vzd´ alenost? 4. Koule o hmotnosti m1 = 3, 0 kg a kostka o hmotnosti m2 = 3, 0 kg jsou um´ıstˇeny v konfiguraci podle n´asleduj´ıc´ıho obr´ azku. D´elka prov´ azku je l = 50 cm, tuhost pruˇziny je k = 80 Nm, polomˇer koule 10 cm. Kouli v jist´em okamˇziku pust´ıme. Za urˇcitou dobu naraz´ı do kostky a ta vlivem n´arazu zaˇcne kmitat. Jak´a je amplituda tohoto kmit´ an´ı, kdyˇz v´ıte, ˇze koule po n´arazu z˚ ustane na m´ıstˇe? Jak´a je frekvence kmit´an´ı kostky po n´arazu?
5. S jakou rychlost´ı byste museli vyskoˇcit z povrchu Zemˇe, abyste se dostali do v´ yˇsky stˇredn´ıho polomˇeru Zemˇe nad Zem´ı? Hmotnost Zemˇe je 5, 97.1024 kg, stˇredn´ı polomˇer 6 373 km, t´ıhov´e zrychlen´ı se mˇen´ı se vzd´alenost´ı −11 Z h od povrchu Zemˇe podle vztahu a(h) = κ (RZM+h) Nm2 kg−2 je gravitaˇcn´ı konstanta. 2 , κ = 6, 67.10 6. Tˇeleso o hmotnosti m je na naklonˇen´e rovinˇe o d´elce l a sklonem α tak, ˇze jeho tˇeˇziˇstˇe je nad hranou naklonˇen´e roviny. Jeho poˇc´ ateˇcn´ı rychlost je v0 (viz obr´azek).
Jakou rychlost bude m´ıt, kdyˇz jeho tˇeˇziˇstˇe bude: (a) nad bodem 1, (b) nad bodem 2, (c) nad bodem 3. D´elka d˚ ulku je d, hloubka h. Tˇeˇziˇstˇe 7. Tˇri ˇc´astice o hmotnostech m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg a m3 = 3, 4 kg jsou um´ıstˇeny ve vrcholech rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka o stranˇe a = 140 cm.Urˇcete polohu tˇeˇziˇstˇe soustavy. 8. HRW str. 211/pˇr. 9.3: Zbytek homogenn´ı kruhov´e kovov´e desky o polomˇeru 2R, z n´ıˇz byl vyˇr´ıznut kotouˇc o polomˇeru R. Vznikl´e tˇeleso oznaˇcme X. Jeho tˇeˇziˇstˇe leˇz´ı na ose x a v obr´azku je oznaˇceno teˇckou. Urˇcete jeho souˇradnici.
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 9 – 15.11.2007 ˇ 10:00 – 11:50, F2, skupina F1040/04 Ct Rychlost a zrychlen´ı tˇeˇziˇstˇe soustavy 1. Osobn´ı automobil o hmotnosti 1 000 kg stoj´ı pˇred semaforem. Rozsv´ıt´ı se zelen´a a automobil se rozj´ıˇzd´ı s konstantn´ım zrychlen´ım 4, 0 ms−2 . V tomto okamˇziku jej pˇredjede n´akladn´ı dod´avka o hmotnosti 2 000 kg, kter´a jede st´ alou rychlost´ı 8, 0 ms−1 . (a) Jak´a je vzd´alenost tˇeˇziˇstˇe soustavy automobil + dod´avka od semaforu v okamˇziku t = 3, 0 s? (b) Jak´ a je v tomto okamˇziku rychlost tˇeˇziˇstˇe soustavy? (c) Jak´e je jeho zrychlen´ı? 2. Dvˇe ˇc´astice P a Q o hmotnostech 0, 1 kg a 0, 3 kg jsou zpoˇc´atku v klidu ve vzd´alenosti 1, 0 m a pˇritahuj´ı se konstantn´ı silou o velikosti 1, 0.10−2 N. Vnˇejˇs´ı s´ıly na soustavu nep˚ usob´ı. (a) Popiˇste pohyb tˇeˇziˇstˇe soustavy. (b) V jak´e vzd´ alenosti od p˚ uvodn´ı polohy ˇc´astice P se obˇe ˇc´astice setkaj´ı? ´ N´ 3. HRW 9:21U aboj je vystˇrelen s poˇc´ ateˇcn´ı rychlost´ı 20 ms−1 pod elevaˇcn´ım u ´hlem 60◦ . Ve vrcholu sv´e trajektorie se roztrhne na dvˇe ˇc´ asti o stejn´e hmotnosti. Jedna ˇc´ast, jej´ıˇz rychlost je bezprostˇrednˇe po v´ ybuchu nulov´a, pad´ a svisle dol˚ u. Jak daleko od dˇela dopadne druh´a ˇc´ast, stoj´ı–li dˇelo na vodorovn´em ter´enu a zanedb´ame–li odpor vzduchu? Hybnost, z´ akon zachov´ an´ı hybnosti 4. Na obr´azku jsou zakresleny ˇcasov´e v´ yvoje dvou ˇc´astic. Urˇcete, kter´a z nich m´a vˇetˇs´ı hybnost, jestliˇze prvn´ı ˇc´astice v´aˇz´ı 3 kg a druh´ a 1 kg.
5. v 1D: Z dˇela o hmotnosti M = 1 300 kg byla ve vodorovn´em smˇeru vyp´alena koule o hmotnosti m = 72 kg. Rychlost koule vzhledem k zemi je v = 50 ms−1 . Pˇri zpˇetn´em r´azu se dˇelo pohybuje vzhledem k Zemi rychlost´ı V . (a) Urˇcete V . (b) Jak´ a je rychlost koule vzhledem k dˇelu? (c) Jestliˇze by se dˇelo pohybovalo na poˇc´atku rychlost´ı vD = 2 ms−1 , jak´ a by potom byla rychlost koule a dˇela po v´ ystˇrelu vzhledem k zemi? ´ Ploˇsinov´ 6. HRW 9:44U y ˇzelezniˇcn´ı v˚ uz o hmotnosti 2 140 kg, kter´ y se m˚ uˇze pohybovat po kolej´ıch tak, ˇze energiov´e ztr´ aty vznikl´e tˇren´ım jsou zanedbateln´e, stoj´ı v klidu u n´astupiˇstˇe. Z´apasn´ık o hmotnosti 242 kg bˇeˇz´ı rychlost´ı 5, 3 ms−1 po n´ astupiˇsti soubˇeˇznˇe s trat´ı a vyskoˇc´ı na v˚ uz. Urˇcete rychlost vozu v tˇechto pˇr´ıpadech: (a) Z´apasn´ık z˚ ustane na voze st´ at, (b) bˇeˇz´ı vzhledem k vozu st´alou rychlost´ı 5, 3 ms−1 p˚ uvodn´ım smˇerem, (c) otoˇc´ı se a bˇeˇz´ı vzhledem k vozu rychlost´ı 5, 3 ms−1 opaˇcn´ ym smˇerem. ˇ ~ a nep˚ 7. ve 2D: Srapnel o hmotnosti M = 30 kg se pohybuje v rovinˇe rychlost´ı V usob´ı na nˇej ˇz´adn´e vnˇejˇs´ı s´ıly. V jist´em okamˇziku vybouchne a rozpadne se na dvˇe ˇc´asti. Jedna jeho ˇc´ast m´a hmotnost m1 = 12 kg a pohybuje se rychlost´ı ~v1 = (20, 12) ms−1 , jeho druh´ a ˇc´ast m´a hmotnost m2 a pohybuje se rychlost´ı ~v2 = (−10, 18) ms−1 . Urˇcete velikost a smˇer rychlost´ı ˇsrapnelu pˇred v´ ybuchem. Jak´ y je vektor rychlosti tˇeˇziˇstˇe soustavy obou ˇc´ast´ı po v´ ybuchu? Sr´ aˇzky 8. Na dokonale hladk´em stole jsou dvˇe kostky, jedna m´a hmotnost m1 = 1 kg a je v˚ uˇci stolu v klidu, druh´a se pohybuje smˇerem k n´ı rychlost´ı v2 = 5 ms−1 a v´aˇz´ı m2 = 2 kg. (a) Jak´e budou rychlosti obou kostek po sr´aˇzce (velikosti a smˇery)? (b) Jak´ a by musela b´ yt hmotnost druh´e kostky, aby se prvn´ı po sr´aˇzce pohybovala rychlost´ı v2 ? (c) Co se stane, kdyˇz prvn´ı kostka bude tˇeˇzˇs´ı neˇz druh´a? (d) Jak se zmˇen´ı (a), kdyˇz bˇehem sr´aˇzky dojde ke ztr´ atˇe E0 = 30 J energie? 9. Kulka o hmotnosti 100 g let´ı rychlost´ı 40 ms−1 a pronikne do dˇrevˇen´eho kv´adru o hmotnosti 2 kg vis´ıc´ıho v klidu na 50 cm dlouh´em lanku zanedbateln´e hmotnosti. Vypoˇctˇete, do jak´e maxim´aln´ı v´ yˇsky nad p˚ uvodn´ı polohou se kv´ adr dostane. O jak´ y maxim´aln´ı u ´hel se vych´ yl´ı lanko z p˚ uvodn´ı polohy? Sr´aˇzku povaˇzujte za dokonale nepruˇznou. 10. Kuleˇcn´ıkov´ a koule naraz´ı rychlost´ı 2, 2 ms−1 do jin´e koule, kter´a byla v klidu. Po sr´aˇzce se jedna z koul´ı pohybuje rychlost´ı o velikosti 1, 1 ms−1 ve smˇeru, kter´ y sv´ır´a s p˚ uvodn´ım smˇerem pohybu koule u ´hel 60◦ . Urˇcete rychlost druh´e koule (velikost a smˇer). Hmotnosti obou koul´ı jsou stejn´e.
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 10 – 22.11.2007 ˇ 10:00 – 11:50, F2, skupina F1040/04 Ct ´ Uhlov´ a rychlost, u ´hlov´e zrychlen´ı ˇ astice se pohybuje po kruˇznici tak, ˇze u 1. C´ ´hel z´avis´ı na ˇcase podle vztahu ϕ(t) = 4t − t3 . Vypoˇctˇete u ´hlovou rychlost a u ´hlov´e zrychlen´ı v ˇcase t = 2 s. Kdy jsou v´ yˇse uveden´e veliˇciny nulov´e? 2. HRW str. 286/pˇr. 1 Moment setrvaˇcnosti 3. Na konc´ıch nehmotn´e homogenn´ı tyˇce d´elky L jsou um´ıstˇeny koule, kaˇzd´a o hmotnosti m. Spoˇctˇete moment setrvaˇcnosti vzhledem k tˇeˇziˇsti t´eto soustavy. O koul´ıch uvaˇzujte jako o hmotn´ ych bodech um´ıstˇen´ ych na konc´ıch tyˇce. S pomoc´ı Steinerovy vˇety vypoˇctˇete moment setrvaˇcnosti vzhledem k ose rotace proch´azej´ıc´ı jedn´ım z hmotn´ ych bod˚ u kolmo na jejich spojnici. 4. Ukaˇzte, ˇze moment setrvaˇcnosti homogenn´ıho v´alce o hmotnosti m a polomˇeru podstavy R je vzhledem k jeho ose symetrie J = 12 mR2 . 5. HRW str. 287/ pˇr. 11 Kinetick´ a energie 6. Koule o hmotnosti 1 kg a polomˇeru 10 cm rotuje kolem sv´e osy symetrie u ´hlovou rychlost´ı 1, 2 rad.s−1 . Vypoˇctˇete jej´ı kinetickou energii a velikost obvodov´e rychlosti ˇc´astice nach´azej´ıc´ı se na jej´ım povrchu. 7. Vypoˇctˇete pomˇer kinetick´ ych energi´ı v´ alce rotuj´ıc´ıho s u ´hlovou rychlost´ı ω kolem osy symetrie a kolem osy rovnobˇeˇzn´e s osou symetrie proch´ azej´ıc´ı jeho pl´aˇstˇem. Jak´ y je tento pomˇer, jestliˇze osa ve druh´em pˇr´ıpadˇe bude vzd´alena od osy symetrie o α–n´ asobek polomˇeru podstavy v´alce? 8. Homogenn´ı prstenec, kotouˇc a koule o stejn´e hmotnosti a stejn´em polomˇeru R jsou souˇcasnˇe uvolnˇeny v nejvyˇsˇs´ım bodˇe naklonˇen´e roviny o d´elce L = 2, 5 m a u ´hlu sklonu θ = 12◦ . Kter´e z tˇeles doraz´ı na konec naklonˇen´e roviny nejdˇr´ıve? Urˇcete rychlost kaˇzd´eho z tˇeles na konci naklonˇen´e roviny.
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 11 – 29.11.2007 ˇ 10:00 – 11:50, F2, skupina F1040/04 Ct Kinetick´ a energie 1. V´alec o hmotnosti 1 kg a polomˇeru 10 cm rotuje kolem sv´e osy symetrie u ´hlovou rychlost´ı 1, 2 rad.s−1 . Vypoˇctˇete jeho kinetickou energii a velikost obvodov´e rychlosti ˇc´astice nach´azej´ıc´ı se na jej´ım povrchu. 2. Homogenn´ı koule je uvolnˇena z klidov´e polohy v nejvyˇsˇs´ım bodˇe dr´ahy zn´azornˇen´e na obr. a val´ı se po n´ı bez klouz´an´ı. Dr´ aha konˇc´ı nad bodem A, kter´ y je v obr´azku vyznaˇcen. V okamˇziku, kdy koule opust´ı dr´ahu, m´a jej´ı rychlost vodorovn´ y smˇer. Pro hodnoty H = 6, 0 m a h = 2, 0 m zjistˇete, jak daleko od bodu A dopadne koule na podlahu. 3. Homogenn´ı prstenec, kotouˇc a koule o stejn´e hmotnosti a stejn´em polomˇeru R jsou souˇcasnˇe uvolnˇeny v nejvyˇsˇs´ım bodˇe naklonˇen´e roviny o d´elce L = 2, 5 m a u ´hlu sklonu θ = 12◦ . Kter´e z tˇeles doraz´ı na konec naklonˇen´e roviny nejdˇr´ıve? Urˇcete rychlost kaˇzd´eho z tˇeles na konci naklonˇen´e roviny. Moment hybnosti, moment s´ıly 4. Hmotn´ y bod o hmotnosti m = 2 kg, kter´ y je ve vzd´alenosti 1 m od souˇradn´e soustavy, m´a okamˇzitou rychlost o velikosti 3 ms−1 sv´ıraj´ıc´ı s kladn´ ym smˇerem osy y u ´hel 45◦ . Urˇcete jeho moment hybnosti. 5. Na hmotn´ y bod o hmotnosti m = 2 kg, kter´ y je ve vzd´alenosti 1 m od souˇradn´e soustavy, p˚ usob´ı v jist´em okamˇziku s´ıla o velikosti 3 N v kladn´em smˇeru osy y. Vypoˇctˇete moment t´eto s´ıly. 6. Petr a Jirka se jsou houpat na houpaˇcce. Sed´atka jsou vzd´alena od osy ot´aˇcen´ı a = 2 m. V jak´e vzd´alenosti od Jirky se mus´ı posadit Alena, aby houpaˇcka byla v klidu, kdyˇz se na ni vˇsichni tˇri souˇcasnˇe posad´ı (kdyˇz je houpaˇcka rovnobˇeˇzn´ a se zem´ı)?
7. Na konc´ıch tyˇce zanedbateln´e hmotnosti d´elky l = 50 cm vis´ı z´avaˇz´ı o hmotnostech m1 = 1 kg a m2 = 3 kg. Jak daleko od z´ avaˇz´ı o hmotnosti m2 je tˇreba tyˇc podepˇr´ıt, aby obˇe z´avaˇz´ı byla v klidu (v homogenn´ım t´ıhov´em poli Zemˇe)? Co by se stalo, kdybychom ji podepˇreli v polovinˇe? 8. (ZZMH) Dvˇe ˇc´ astice o stejn´e hmotnosti m = 3 kg jsou vzd´aleny od osy rotace r = 50 cm naproti sobˇe a otoˇc´ı se jednou za 4 s. Jestliˇze v jist´em okamˇziku se jejich vzd´ alenost od osy rotace zmˇen´ı na 10 cm, kolikr´at se nyn´ı otoˇc´ı za sekundu? 9. Koule m´a hmotnost m, polomˇer R a ot´ aˇc´ı se s u ´hlovou rychlost´ı ω. V okamˇziku t = 0 s se zaˇcne smrˇst’ovat 1 tak, ˇze jej´ı hmotnost se bude zachov´ avat a polomˇer se bude mˇenit s ˇcasem jako funkce R(t) = R(0).e− 2 t . (a) Jak by se musela mˇenit u ´hlov´ a rychlost s ˇcasem, aby se moment hybnosti zachov´aval? (b) Jak by se musela mˇenit u ´hlov´ a rychlost, aby se moment hybnosti vyv´ıjel s ˇcasem jako L(t) = 2 sin π2 t. 10. Homogenn´ı kotouˇc o hmotnosti mK = 2, 5 kg a polomˇeru R = 20 cm je pˇripevnˇen na pevnou vodorovnou osu. Z´avaˇz´ı o hmotnosti m = 12 kg vis´ı na vl´aknˇe zanedbateln´e hmotnosti navinut´em na obvodu kotouˇce. Z´avaˇz´ı pad´ a svisle dol˚ u a kotouˇc se rozt´ aˇc´ı. Vypoˇctˇete zrychlen´ı z´avaˇz´ı, u ´hlov´e zrychlen´ı kotouˇce a tahovou s´ılu vl´akna. Pˇredpokl´ adejte, ˇze vl´ akno po obvodu kotouˇce neklouˇze a zanedb´av´ame tˇren´ı v ose. 11. Tˇeleso kruhov´eho pr˚ uˇrezu o hmotnosti m a polomˇeru R se val´ı po naklonˇen´e rovinˇe se sklonem α. Vypoˇctˇete jeho (a) zrychlen´ı, (b) u ´hlov´e zrychlen´ı a (c) velikost tˇrec´ı s´ıly. 12. Naleznˇete podm´ınku rovnov´ ahy pro opˇren´ y ˇzebˇr´ık o hmotnosti m.
Tlak 13. Jak´ ym tlakem p˚ usob´ı ˇzelezn´ y kv´ adr o rozmˇerech 10 × 20 × 30 cm poloˇzen´ y na st˚ ul jednotliv´ ymi plochami? Hustota ˇzeleza je 7 860 kg.m−3 . Hydrostatika 14. V U–trubici zn´ azornˇen´e na obr´ azku (HRW str. 389 pˇr. 15.3) se nach´azej´ı dvˇe kapaliny ve statick´e rovnov´aze: voda s hustotou ρv se nach´ az´ı v prav´em rameni, olej s nezn´amou hustotou ρx v lev´em rameni. Mˇeˇren´ım zjist´ıme, ˇze l = 135 mm a d = 12, 3 mm. Jak´a je hustota oleje?
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 12 – 6.12.2007 ˇ 10:00 – 11:50, F2, skupina F1040/04 Ct 1. Lidsk´e pl´ıce vyvinou pˇretlak nejv´ yˇse jednu dvacetinu atmosf´ery. Kdyˇz potapˇeˇc uˇz´ıv´a sac´ı trubky, jak nejhloubˇeji pod hladinou m˚ uˇze plavat? 2. Vypoˇctˇete v´ yˇsku sloupce vody, na jehoˇz z´akladnˇe bude tlak 1 atm. T´ıhov´e zrychlen´ı je 9, 81 ms−2 . Pascal˚ uv z´ akon 3. HRW 15:29C V hydraulick´em lisu se p´ıstem o mal´e ploˇsce s obsahem S1 p˚ usob´ı na kapalinu silou F1 . Spojovac´ı trubka vede kapalinu k p´ıstu o podstatnˇe vˇetˇs´ım obsahu S2 . (a) Jak velk´a s´ıla F2 p˚ usob´ı na vˇetˇs´ı p´ıst? (b) Jak velk´a s´ıla F1 p˚ usob´ıc´ı na mal´ y p´ıst vyv´aˇz´ı na velk´em p´ıstu t´ıhu pˇredmˇetu o hmotnosti 2 tuny, kdyˇz mal´ y p´ıst m´a pr˚ umˇer 4 cm a velk´ y 56 cm. Archim´ed˚ uv z´ akon 4. Hustota ledovce je 917 kgm−3 , hustota vody, v n´ıˇz je ponoˇren, je 1 025 kgm−3 . Urˇcete, jak´a ˇc´ast ledovce je ponoˇrena ve vodˇe. 5. Kus dˇreva m´ a hmotnost 3, 67 kg a hustotu 600 kg.m−3 . Pˇrid´ame k nˇemu tolik olova, aby 90% objemu dˇreva bylo potopeno. Jak´e mnoˇzstv´ı olova je zapotˇreb´ı, (a) kdyˇz olovo je pˇrid´ano na vrchn´ı ˇc´ast dˇreva (nen´ı potopeno), (b) kdyˇz olovo je pˇrid´ ano na spodn´ı ˇc´ ast dˇreva (je potopeno)? Hustota olova je 1, 13.104 kg.m−3 . Rovnice kontinuity ˇ 6. Reka ˇsirok´a 20 m a hlubok´ a 4 m odvodˇ nuje u ´zem´ı o rozloze 3 000 km2 . Pr˚ umˇern´e roˇcn´ı sr´aˇzky na tomto u ´zem´ı −2 ˇ ˇcin´ı 505 mm.m . Ctvrtina sr´ aˇzek se vypaˇr´ı. Jak´a je pr˚ umˇern´a rychlost proudu vody? Bernoulliova rovnice 7. Do jak´e v´ yˇsky vystoup´a. . . 8. HRW 15:60C Vstup do potrub´ı spojuj´ıc´ıho n´adrˇz pˇreˇcerp´avac´ı elektr´arny s elektr´arnou m´a obsah 0, 75 m2 . Voda do nˇej vstupuje rychlost´ı 0, 4 ms−1 . V budovˇe elektr´arny, kter´a je o 200 m n´ıˇze, je v´ ystup z trubice uˇzˇs´ı a voda z nˇej vyt´ek´ a rychlost´ı 9, 5 ms−1 . Jak´ y je rozd´ıl tlaku mezi vstupem a v´ ystupem? Jak´a je plocha potrub´ı v elektr´arnˇe? ´ N´ 9. HRW 15:74U adrˇz na pitnou vodu je za pˇrehradn´ı hr´az´ı 15 m hlubok´a. Vodorovn´a trubka o pr˚ umˇeru 4, 0 cm proch´az´ı hr´az´ı v hloubce 6, 0 m pod vodn´ı hladinou. Trubka je zavˇrena z´atkou. (a) Najdˇete nejmenˇs´ı nutnou velikost s´ıly tˇren´ı mezi trubkou a z´ atkou. (b) Z´atku odstran´ıme. Jak´ y objem vody vyteˇce trubkou za tˇri hodiny? 10. Voda vyt´ek´a z kohoutku o pr˚ uˇrezu 3, 1 cm2 rychlost´ı 1, 5 ms−1 . Vypoˇctˇete, v jak´e svisl´e vzd´alenosti od v´ ystupu bude m´ıt vodn´ı sloupec poloviˇcn´ı pr˚ uˇrez. Jak by zmˇenila tato vzd´alenost, kdyby m´ısto vody vyt´ekal z kohoutku olej. Jak´a bude rychlost vody a oleje v tomto m´ıstˇe? Teplotn´ı d´elkov´ a, ploˇsn´ a a objemov´ a roztaˇznost 11. Jestliˇze teplota T kovov´e tyˇcky vzroste o ∆T , tak jej´ı d´elka l vzroste o ∆l = lα∆T . Dokaˇzte, ˇze d´elka tyˇce z´avis´ı na teplotˇe vztahem l(T ) = l(T0 ). exp [α(T − T0 )] (α je koeficient d´elkov´e roztaˇznosti). Analogicky zv´ yˇs´ı–li se teplota pevn´e l´ atky nebo kapaliny o teplotˇe T o ∆T , bude pˇr´ır˚ ustek objemu ∆V = βV ∆T (β je koeficient objemov´e roztaˇznosti). Ukaˇzte, ˇze β = 3α. Jak´ y vztah bude platit pro z´avislost plochy na teplotˇe? 12. Hlin´ıkov´ y stoˇz´ ar je 33 m vysok´ y. O kolik se prodlouˇz´ı, stoupne–li teplota o 15◦ C (αAl = 23.10−6 (C◦ )−1 )? 13. Tyˇc z lehk´e slitiny m´ a d´elku 10, 000 cm pˇri 20, 000◦ C. Pˇri jak´e teplotˇe m´a tyˇc d´elku 10, 009 cm (αslitina = −6 ◦ −1 0, 7.10 (C ) )? 14. Sklenˇen´e okno m´ a pˇri teplotˇe 10◦ C rozmˇer pˇresnˇe 20 × 30 cm. O kolik vzroste jeho plocha pˇri teplotˇe 40◦ C −6 (αsklo = 9.10 (C◦ )−1 )?
Pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı ˇc. 13 – 13.12.2007 ˇ 10:00 – 11:50, F2, skupina F1040/04 Ct Tepeln´ a kapacita 1. Do hlin´ıkov´e n´ adoby ve tvaru v´ alce s vnitˇr´ımi rozmˇery pr˚ umˇeru 16 cm a v´ yˇskou 20 cm a o teplotˇe 20◦ C je nalita vˇr´ıc´ı voda zcela po okraj. Vypoˇctˇete teplotu vody po nast´an´ı tepeln´e rovnov´ahy mezi n´adobou a vodou. Soustavu n´adoba–voda povaˇzujte za izolovanou. Mˇern´a tepeln´a kapacita vody je 4 184 J.kg−1 .K−1 a hlin´ıku 896 J.kg−1 .K−1 . Hlin´ıkov´ a n´ adoba m´ a hmotnost 300 g. Jak´a by byla v´ ysledn´a teplota, kdybychom n´adobu naplnili jen z poloviny? 2. Jak´e mnoˇzstv´ı tepla je tˇreba dodat ˇzelezn´emu kv´adru o hmotnosti 10 kg a teplotˇe 50◦ C, aby se roztavil? Mˇern´a tepeln´ a kapacita ˇzeleza je 452 J.kg−1 .K−1 , mˇern´e skupensk´e teplo t´an´ı ˇzeleza je 13, 8 kJ.mol−1 , atomov´a hmotnost ˇzeleza je 55, 85 amu, teplota t´ an´ı ˇzeleza je 1 538◦ C. Kolik je to kWh? Jak dlouho by vydrˇzela sv´ıtit jedna 100 W ˇz´ arovka, kdybychom ji dodali vypoˇcten´e hmoˇzstv´ı energie? 3. Z´avaˇz´ı o hmotnosti 6, 00 kg pad´ a z v´ yˇsky 50, 0 m. Prostˇrednictv´ım lanka rozt´aˇc´ı vrtulku, kter´a je ponoˇrena v 0, 600 kg vody. Teplota vody je 15, 0◦ C. O kolik C◦ se nanejv´ yˇs voda zahˇreje? Zvl´ aˇstn´ı pˇr´ıpady 1. z´ akona termodynamiky 4. Pˇri rozp´ın´an´ı plynu z objemu 1, 0 m3 do objemu 4, 0 m3 kles´a tlak ze 40 Pa na 10 Pa. Jakou pr´aci vykonal plyn, kdyˇz tlak se mˇen´ı s objemem tˇremi zp˚ usoby podle obr´azku 1?
Obr´ azek 1 (´ uloha 4)
Obr´ azek 2 (´ uloha 5)
Obr´ azek 3 (´ uloha 7)
5. Plyn se rozepne z objemu 1, 0 m3 na ˇctyˇrn´asobek dle kˇrivky b podle obr´azku 2. Potom je stlaˇcen zpˇet na objem 1, 0 m3 dle kˇrivky a nebo c. Urˇcete pr´ aci, kterou plyn vykonal. 6. Soustava pˇrijala 200 J pr´ ace a odevzdala 70 cal pr´ace. S uv´aˇzen´ım 1. z´akona termodynamiky vyj´adˇrete hodnoty a znam´enka W , Q a ∆U . 7. Plyn vykonal cyklus podle obr´ azku 3. Vypoˇc´ıtejte teplo dodan´e plynu bˇehem dˇeje C −A, kdyˇz QA−B = 20, 0 J je teplo dodan´e bˇehem dˇeje A − B, dˇej B − C je adiabatick´ yau ´hrnn´a pr´ace plynem vykonan´a bˇehem cyklu je 15, 0 J. ´ Soustava bˇehem dˇeje Ci − A − Cf podle obr´azku 19.40 pˇrijala teplo Q = 50 cal a vykonala 8. HRW 19:78U pr´aci W = 20 cal. Bˇehem dˇeje Ci − B − Cf pˇrijala teplo Q = 36 cal. (a) Jak´a je vykonan´a pr´ace bˇehem dˇeje Ci − B − Cf ? (b) Jak´e teplo pˇrijme soustava bˇehem dˇeje popsan´eho kˇrivkou Cf − Ci , jestliˇze je vykonan´a pr´ace W = −13 cal? (c) Jak´ a je vnitˇrn´ı energie Uf , jesliˇze Ui = 10 cal? (d) Jak velk´e je teplo pˇrijat´e bˇehem dˇej˚ u Ci − B a B − Cf , je–li UB = 22 cal? Stavov´ a rovnice ide´ aln´ıho plynu, rovnice adiabaty 9. Ide´aln´ı plyn zauj´ım´ a pˇri teplotˇe 10, 0 ◦ C a tlaku 100 kPa objem 2, 50 m3 . (a) Kolik mol˚ u plynu tam je? (b) Jak´ y objem bude plyn zauj´ımat, zv´ yˇs´ı–li se jeho tlak na 300 kPa a jeho teplota na 30 ◦ C? 10. Vod´ık a dus´ık jsou uzavˇreny v krabic´ıch o stejn´ ych rozmˇerech 20 × 20 × 20 cm. Jejich tlak je 1 atm. Jak moc je tˇreba stlaˇcit v´ıko krabice u obou plyn˚ u, aby se tlak v krabici zv´ yˇsil na desetin´asobek atmosf´erick´eho tlaku v pˇr´ıpadˇe (a) izotermick´eho a (b) adiabatick´eho stlaˇcen´ı? 11. Nezn´am´ y plyn m´ a teplotu 250, 0 K, zab´ır´a objem 300 cm3 a je izolov´an od okoln´ıho prostˇred´ı (tj. nedoch´az´ı k tepeln´e v´ ymˇenˇe s okol´ım). Plyn stlaˇc´ıme na objem 120 cm3 , pˇriˇcemˇz jeho teplota vzroste na 360, 7 K. Je nezn´am´ ym plynem argon, kysl´ık nebo metan? 12. Ukaˇzte, ˇze pr´ ace vykonan´ a ide´ aln´ım plynem je rovna W = nRT ln dus´ıku pˇri dˇeji zn´ azornˇen´em na obr´ azku 4.
Vf Vi
. Vypoˇctˇete pr´aci vykonanou 150 g
´ cinnost tepeln´ych stroj˚ Uˇ u 13. Spoˇctˇete u ´ˇcinnost Carnotova cyklu. D´ ale pˇredpokl´adejte, ˇze u ´ˇcinnost Carnotova cyklu je 22 %. Pracuje s ohˇr´ıvaˇcem a chladiˇcem, jejichˇz rozd´ıl teplot je 75 C◦ . Jak´e jsou teploty chladiˇce a ohˇr´ıvaˇce? 14. Jeden mol jednomolekulov´eho plynu o teplotˇe 250 K a objemu 11 dm3 se izotermicky rozepne na objem 0, 6 m3 , pak je izobaricky stlaˇcen na p˚ uvodn´ı objem a nakonec se izochoricky rozepne. Spoˇc´ıtejte (a) jeho tlak na zaˇc´ atku a teplotu na konci izobarick´eho stlaˇcov´an´ı, (b) jak´e mnoˇzstv´ı tepla plyn pˇrijal bˇehem tohoto cyklu, (c) jak´e mnoˇzstv´ı tepla odevzdal, (d) jakou pr´aci vykonal plyn, (e) jak´a je u ´ˇcinnost cel´eho cyklu. 15. Jeden mol ide´ aln´ıho plynu je pracovn´ı l´ atkou pro motor, kter´ y pracuje na cyklu zn´azornˇen´em na obr´azku 3. Kˇrivky BC a DA popisuj´ı vratn´e adiabaty. (a) Je plyn jednoatomov´ y, dvouatomov´ y nebo v´ıceatomov´ y? (b) Jak´a je u ´ˇcinnost motoru?
Obr´ azek 4 (´ uloha 12)
Obr´ azek 5 (´ uloha 15)
