Kinematika tuhého tělesa

Kinematika tuhého tělesa Petr Šidlof

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

Kinematika tuhého tělesa 2 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření

Počet stupňů volnosti (DOF) SV – množina nezávislých posunů / rotací systému, které jednoznačně specifikují polohu tělesa

2D

3D

bod

2 SV

3 SV

tuhé těleso

3 SV

6 SV

soustava N tuhých těles (bez vazeb)

N * 3 SV

N * 6 SV Courtesy robotmatrix.org

Obecně tuhé těleso v n-dim prostoru:

n (n + 1) SV 2

Robotická ruka se 6 stupni volnosti Vazby – odebírají stupně volnosti


Základní druhy pohybu A. Translační pohyb (není totéž co přímočarý pohyb!) B. Rotace kolem osy ve 2D totéž C. Rotace kolem bodu D. Obecný rovinný pohyb E. Obecný prostorový pohyb


A. Translační pohyb Trajektorie všech bodů stejné, vzájemně posunuté křivky

→ rychlosti i zrychlení všech bodů stejné → stačí řešit jeden bod (ekvivalentní kinematice hmotného bodu)


B. Rotace kolem osy Vhodné řešit v polárních souřadnicích RYCHLOST r r r v P = ω × rp r r r v P = ω rp .. v = ω r

v ≡ v ϕ .. tečná (tangenciální) rychlost radiální rychlost vr = 0 ZRYCHLENÍ Tečné zrychlení r r r a t = ε × rp .. a t = ε rp Normálové (dostředivé) zrychlení r r r r an = ω × (ω × rp ) .. an = ω2 r


D. Obecný rovinný pohyb (ORP) Přístup k řešení: • analýza pohybu jako celku z geometrických vazeb (zejména soustavy těles) • relativní pohyb - rozklad → základní rozklad ORP: translace + rotace .. zvolím referenční bod (A) – unášivý pohyb, rotace kolem bodu

POLOHA:

r r r rB = rA + rAB

r r r r r dr v B = v A + v AB = rA + ω × rAB dt r r r r r r r r d r ZRYCHLENÍ: aB = a A + a AB = v A + ε × rAB + ω × ω × rAB 1 424 3 14243 dt

RYCHLOST:

(

tečné z.

)

(

dostředivé z.

)


Příklad 1: řešení ORP pomocí geometrických vazeb Kliková hřídel má konstantní úhlovou rychlost ω. Určete pohyb pístu x(t) a rychlost pístu v(t). Zadáno: L = 500 mm, r = 50 mm, ω .. 3600 RPM Řešení: 1. pohyb bodu B .. xB(t), yB(t) 2. z vazby L = konst. řešíme xC(t) →

x C (t ) = L2 − r 2 sin2 (ω t ) − r cos(ω t )


Příklad 2: řešení pomocí základního rozkladu ORP (1) Železniční kolo vlaku jedoucího konstantní rychlostí v se odvaluje bez prokluzu po kolejnici. Vypočtěte pohyb bodu B na poloměru rAB a vykreslete trajektorii pro a) rAB < r1, b) rAB = r1, c) rAB > r1. Řešení: Rozklad: translace bodu A + rotace bodu B kolem bodu A

vektorově

po složkách

Dráha:

r r r rB = rA + rAB

x B (t ) = v t + rAB cos ϕ(t )

Rychlost:

r r r r v B = v A + ω × rAB

v B,x (t ) = v − ω rAB sin ϕ(t )

r r r aB,t = ε × rAB = 0 r r r r aB,n = ω × ω × rAB → aB,n = ω2 rAB

aB,x (t ) = − ω2 rAB cos ϕ(t )

Zrychlení:

(

y B (t ) = −rAB sin ϕ(t )

)

v B,y (t ) = − ω rAB cos ϕ(t )

aB,y (t ) = − ω2 rAB sin ϕ(t )


Příklad 2: řešení pomocí základního rozkladu ORP (2) a) rAB < r1 .. zkrácená cykloida


Příklad 2: řešení pomocí základního rozkladu ORP (3) b) rAB = r1 .. prostá cykloida


Příklad 2: řešení pomocí základního rozkladu ORP (4) c) rAB > r1 .. prodloužená cykloida


Pól pohybu Pól pohybu .. bod, který je při ORP v daném okamžiku v klidu

• leží na průsečíku normál trajektorií všech bodů • těleso koná v daném okamžiku rotaci kolem pólu

Příklad: valení válce po rovině


Pohyb ve 3D (rotace kolem bodu, obecný 3D pohyb)

Rozklad: posun + rotace kolem bodu posun + rotace kolem 3 os

Pro rotaci kolem osy opět platí: r r r r r r r r r v = ω× r a = (ε × r ) + ω × (ω × r )

Kinematika tuhého tělesa

Recommend Documents