PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Dari gambar orang bersepeda di atas jelas terlihat bahwa jalan yang dilalui sepeda selalu menyinggung roda sepeda, baik depan maupun belakang masing-masing di titik A dan B. Garis dijalan yang dilalui sepeda dapat disebut garis singgung dan titik persentuhan antara roda sepeda dan jalan disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A dan B selalu tegak lurus dengan jalan. Garis
singgung
adalah
garis
yang memotong lingkaran tepat disatu
titik.
Titik
D>0
g ≡ Garis singgung
tersebut
disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran
yang
melalui
titik
singgung
selalu
tegak
lurus
dengan
garis
P(a,b)
singung.
A(x 1, y1)
Perhatikan gambar berikut : O(0,0)
g ≡ Garis singgung A(x1,y1) Æ titik singung AP ⊥ g
r
Persamaan garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c, sehingga secara umum mencari Persamaan garis singgung adalah mencari nilai m dan c tersebut, seperti sudah dibahas sebelumnya mencari m dan c dapat dilakukan dengan cara mensubtitusikan persamaan garis tersebut pada persamaan lingkaran, menyusun persamaan kuadrat , menentukan Diskriminan dan menentukan nilai dari D = 0. Tetapi cara ini sangat melelahkan karena tingkat kesulitannya hampir sama dengan menurunkan rumusnya. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini :
y =m2 x +c2
y = m+c2
y =mx +c
T (x1,y1)
y = m+c1 Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran
R(x1,y1)
y =m1 x +c1
Garis singgung melalui r suatu titik diluar lingkaran
Garis singgung bergradien m
Persamaan Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran Rumus Persamaan Garis Singung ini dapat dirangkum sebagai berikut : Persamaan Lingkaran
Persamaan garis singgung
x2 + y2 = r2
xx1 + yy1 = r2
(x-a)2+(y-b)2= r2
(x-a) (x1-a)+(y-b)(y1-b)=r2
x2+y2 +Ax + By +C = 0
xx1 + yy1+
1 1 A(x + x1) + B(y + y1) + C = 0 2 2
Rumus tersebut hanya berlaku untuk Persamaan Garis singgung melalui titik pada lingkaran, jika rumus ini digunakan untuk titik diluar lingkaran maka persamaan garis yang didapat bukan garis singgung tetapi garis polar, yang akan dibahas kemudian.
Contoh. Tentukan Persamaan Garis Singgung pada lingkaran x2 + y2 = 8, dititik A(-2,2) Jawab Titik A(-2,2) Æ (-2)2+ 22 = 8 Æ 8 = 8 ,
gs ≡ y = x + 4
Jadi titik A pada lingkaran Persamaan Garis Singgung, xx1 + yy1 = r2
A(-2,2)
Æ x.(-2) + y.2 = 8 -2x + 2y =8 O(0,0
y = x +4
L ≡ x2 + y 2 = 8
Contoh 2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik berabsis -1 pada lingkaran 2
2
lingkaran x + y + 4x -2y -5 = 0
Jawab. Berabsis -1 Æ x = -1 Æ (-1)2 + y2 + 4(-1) -2y -5 = 0 y2 + -2y - 8 = 0 (y - 4) (y + 2)=0, y = 4 atau y = -2 Titik singgung (-1,4 ) dan (-1,-2) persamaan garis singgung 1 (GS1)
2
2
L ≡ x + y +4x -2y -5=0
Titik singgung (-1,4 ) B(-1,4)
xx 1 + yy1 + 2(x+x1) -1(y+y1) -5 = 0 x.(-1) + y.4 + 2(x-1) -1(y+4) -5 = 0 -x + 4y + 2x - 2 – y - 4 -5 = 0
P(-2,1)
x +3y -11 = 0
O(0,0)
persamaan garis singgung 2 (GS2)
Titik singgung (-1,-2 ) xx 1 + yy1 + 2(x+x1) -1(y+y1) -5 = 0 x.(-1) + y.(-2) + 2(x-1) -1(y-2) -5 = 0 -x -2y + 2x - 2 – y +2 -5 = 0 x +3y - 5 = 0
C(-1,-2)
Gs1≡ x + 3y -11=0
Persamaan Garis singgung bergradien m Rumus Persamaan Garis Singung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang garidenya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsur lain yang berhubungan dengan gradien, rumus-rumus yang digunakan dapat dirangkum sebagai berikut : Persamaan Lingkaran
Persamaan garis singgung
x2 + y2 = r2
y= mx ± r
(x-a)2+(y-b)2= r2
y-b= m(x-a) ± r
x2+y2 +Ax + By +C = 0
1+ m2 1+ m2
Ubah bentuk persamaan ke (x-a)2+(y-b)2= r2 gunakan rumus, y-b= m(x-a) ± r
1+ m2
Contoh Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 yang sejajar dengan garis l ≡ y+ 3x = 6 Jawaban Garis y+ 3x = 6, Æ y = -3x +8, m1=-3 Gradien Garis singgung m2=m1=-3 ( dua garis sejajar jika gradien sama) m= -3, r =
10
persamaan garis singgung
GS1≡ Y= -3X +10
1+ m2
y= mx ± r y= -3x ±
GS2≡ Y= -3X-10
10 1 + 9
y= -3x ± 10 GS1 ≡ -3x +10 GS2 ≡ -3x -10
O(0,0)
x2 + y2 =10
Persamaan Garis Singgung melalui titik diluar lingkaran Ada beberapa metode atauy teknik untuk memyelesaiakan masalah ini antara lain: Menggunakan rumus, menggunakan rumus garis singgung bergradien m dan menggunakan persamaan garis polar. Menggunakan rumus Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran (x-a)2+(y-b)2= r2 adalah y-y1=m(x-x1) dengan m=
( y1 − b)( x1 − a) ± ( y1 − b) 2 + ( x1 − a ) 2 − r 2 ( x1 − a) 2 − r 2
Rumus ini sangat praktis digunakan tetapi sangat sulit dihafal, sehingga disarankan rumus ini hanya digunakan untuk mengecek hasil dari perhitungan cara 2 atau 3 Contoh Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1) jawab 72 + 12 = 50>r2 titik A diluar lingkaran y-1 = m(x-7) Æ y=m(x-7) +1 x2 + y2 = 25, a=0, b=0 , r=5, y1= 1, x1=7
m=
m=
(1 − 0)(7 − 0) ± (1 − 0) 2 + (7 − 0) 2 − 5 2 (7 − 0) 2 − 5 2
7 ± 25 24
m1=
GS2 ≡ 3x + 4y = 25
L ≡ x2 + y2 =25
4 3 , m2=- , 3 4 A(7,1)
Persamaan garis singgung 1 m1= y=
4 , 3
4 (x-7)+1 3
3y=4x-28+3 4x-3y=25
O(0,
GS1 ≡ 4x –3y = 25
Persamaan garis singgung 2 m2=y= -
3 , 4
3 (x-7)+1 4
4y=-3x+21+4 3x+4y=25 Menggunakan rumus persaan garis singgung bergradien m Teknik ini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui A(x1,y1) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgung bergradien m. Contoh Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1) jawab persamaan 1 Æ y-y1 = m(x-x1) y-1 = m (x-7) y= mx –7m +1 persamaan 2 Æ y= mx ± r y= mx ± 5
y= mx ± 5
5
1 + m2
1 + m 2 Æ y= mx –7m +1
1 + m 2 = –7m +1
25 ( 1+m2)= 49m2- 14m +1 25+ 25m2= 49m2- 14m +1 24 m2 –14m-24 =0 (4m+3)(3m-4)=0 m1= -
1+ m2
3 4 atau m2 = 4 3
Persamaan GS1 m1=
y= mx –7m +1 y= -
3 3 x –7.( - )+1 4 4
4y=-3x+21+4 3x+4y =25 Persamaan GS2 m1=
y= mx –7m +1 y=
4 4 x –7.( )+1 3 3
3y=4x-28+3 4x-3y =25 Menggunakan persamaan garis polar Teknik ini menggunakan rumus garis polar xx1 + yy1 = r2 , rumus ini adalah rumus garis singgung tetapi jika yang disubtitusikan
adalah
titik
GS2
GS1
Garis polar
diluar T2
lingkaran, persamaan garis polar ini memotong
lingkaran
berbeda,
garis
dimaksud
dapat
di
dua
singgung dicari
titik
A(x1,y1)
yang dengan
O(0,0)
persamaan garis singgung di suatu titik
T1
pada lingkaran, menggunakan dua titik tersebut (T1 dan T2) Contoh Contoh Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1) jawab Persamaan garis polar xx1 + yy1 = r2 Æ 7x + y = 25 Æ y= 25-7x Titik potong garis polar dengan lingkaran x2 + (25-7x)2 = 25 x2 + 625-350x +49 x2 = 25 50x2 -350x +600 = 0
x2 –7 x +12 = 0 (x-3)(x-4)=0 x=3 atau x=4 x=3 Æ y= 25-7.3 , y= 4, titik potong ( 3,4) x=4 Æ y= 25-7.4 , y= -3, titik potong ( 4,-3) Persamaan garis singgung 1 Titik singgung ( 3,4 ) xx1 + yy1 = 25 3x + 4y = 25 Persamaan garis singgung 2 Titik singgung ( 4,-3 ) xx1 + yy1 = 25 4x - 3y = 25
