PENGENDALIAN OPTIMAL PENGGUNAAN INSEKTISIDA DAN VIRUS PENGINFEKSI PADA HAMA SERANGGA Oleh : Nur Aini S. 1206 100 003 Dosen Pembimbing : Drs. Kamiran, M.Si. Drs. M. Setijo Winarko, M.Si.
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2010 ABSTRAK Dalam bidang pertanian dan perkebunan, pemerintah menetapkan suatu kebijakan dalam hal perlindungan tanaman yang dilakukan dengan sistem Pengendalian Hama Terpadu (PHT) yang mengusahakan pengintegrasian berbagai teknik pengendalian yang kompatibel satu sama lain sehingga populasi hama dan penyakit tanaman dapat dipertahanan di bawah ambang yang secara ekonomis tidak merugikan, serta melestarikan lingkungan dan menguntungkan bagi petani. Pengendalian terhadap hama dapat dilakukan secara kimia maupun secara biologi. Dalam Tugas Akhir ini akan dibahas pengendalian hama secara kimia yang dilakukan dengan penyemprotan insektisida dan pengendalian hama secara biologi yang dilakukan dengan menginfeksi virus yang merupakan patogen untuk hama. Dengan menggunakan teori singular control dan bang-bang control akan dicari bentuk optimal kontrol dari model supaya didapatkan suatu kondisi yang diperlukan baik di bidang ekonomi maupun di bidang ekologi sehingga keuntungan yang didapat bisa maksimal. Kata kunci : Pengendalian Hama Serangga, Bang – bang Control dan Singular Control
pestisida. Setelah swasembada pangan tercapai tahun 1984, metode pengendalian hama mengalami perubahan mendasar karena diketahui bahwa penggunaan pestisida yang tidak tepat sangat merugikan. Sejak pestisida digunakan secara besar-besaran, masalah hama menjadi semakin rumit. Beberapa spesies hama kurang penting berubah status menjadi sangat penting dan yang lebih menghawatirkan adalah kemungkinan terjadinya pencemaran lingkungan oleh residu pestisida yang mengancam kehidupan termasuk manusia. Selain itu juga biayanya mahal [8][4]. Mengingat dampak negatif dari penggunaan pestisida yang tidak terkendali, pemerintah menetapkan suatu kebijakan dalam hal perlindungan tanaman yang dilakukan dengan sistem Pengendalian Hama Terpadu (PHT) yang berwawasan lingkungan. Dalam Tugas Akhir ini akan dibahas pengendalian hama secara kimia yang dilakukan dengan penyemprotan insektisida dan
1. Pendahuluan Dalam pengembangan produksi pertanian dan perkebunan di Indonesia, petani dihadapkan kepada beberapa kendala baik yang bersifat fisik, sosio-ekonomi maupun kendala yang bersifat biologi. Salah satu kendala biologi adalah gangguan spesies organisme yang menyebabkan penurunan kuantitas maupun kualitas produk bahkan sampai menggagalkan panen. Berbagai jenis organisme pengganggu yang dikenal sebagai hama telah banyak ditemukan di lahan pertanian maupun lahan perkebunan. Hama pengganggu ini umumnya berupa serangga, seperti belalang, tungau, kumbang dan lain sebagainya. Tindakan pengendalian hama dapat dilaksanakan dengan cara fisis, teknis, biologi, kimia, atau dengan cara lain sesuai dengan perkembangan teknologi. Sebelum swasembada pangan, kebijaksanaan pemerintah dalam pengendalian hama sangat mengandalkan pada penggunaan 1
1,2,3 adalah proporsi jumlah insektisida yang digunakan pada masing – masing spesies S, I, dan P dengan ∑ 1
pengendalian hama secara biologi yang dilakukan dengan menginfeksi virus yang merupakan patogen untuk hama. Dengan menggunakan teori singular control dan bangbang control akan dicari bentuk optimal kontrol dari model supaya didapatkan suatu kondisi yang diperlukan baik di bidang ekonomi maupun di bidang ekologi sehingga keuntungan yang didapat bisa maksimal.
3.2 Kestabilan Titik Tetap Pandang persamaan diferensial , , 2.2 , merupakan titik Sebuah titik kesetimbangan dari persamaan (2.2) jika memenuhi , , 0 0. Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan , adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan (2.2) untuk semua t. Definisi 2.1 [4] Titik kesetimbangan , dari persamaan (2.2) disebut stabil jika untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian hingga setiap penyelesaian (x(t), y(t)) yang diambil saat t = 0 memenuhi : 0 0 δ Akan berakibat ε untuk semua ≥ 0
2. Metode Penelitian Metode yang digunakan pada tugas akhir dalam menyelesaikan permasalahan adalah : 1. Studi literatur 2. Analisis model 3. Penyelesaian optimal control 4. Penarikan kesimpulan 3. Tinjauan Pustaka 3.1 Model Pengendalian Hama Serangga 1 2.1
3.3 Stabil Asimtotis Lokal Teorema 2.1 [2] Titik setimbang , stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik matriks
dengan : adalah populasi hama yang rentan terhadap penyakit adalah populasi hama yang terinfeksi oleh virus adalah populasi predator atau musuh alami adalah populasi virus adalah jumlah maksimum dari populasi hama adalah rata – rata penyemprotan pestisida adalah parameter replikasi virus adalah laju kelahiran intrinsik pada hama adalah laju efektivitas kontak antara hama dengan virus adalah laju kematian pada hama yang terinfeksi oleh virus adalah laju pencarian predator pada hama yang terinfeksi virus adalah laju kematian pada predator adalah faktor ketergantungan antara preypredator adalah laju kematian pada virus adalah koefisien untuk hama yang rentan terhadap penyakit adalah koefisien untuk hama yang terinfeksi adalah koefisien untuk predator
, mempunyai tanda negatif pada bagian realnya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya. 3.4 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akarakar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut
a0λ n+a1λ n−1+a2λ n−2+a3λ n−3+.......... . +an = 0 Kemudian susun koefisien persamaan karakteristik sehingga menjadi sebuah tabel sebagai berikut:
2
λ
n
λ
n −1
a1 a3 a5
λ
n−2
b1 b2 b3
a0
a2
a4
......
c1 c 2
......
.... .... .....
......
.... ..... .....
Didefinisikan persamaan Hamiltonian yaitu H = f ( x, u , t ) + λ g ( x, u , t ) Untuk kondisi pada persamaan Hamiltonian tersebut digeneralisasi dengan memaksimalkan kendala (2.9) yang dapat dinyatakan sebagai berikut: Maks H = f ( x, u , t ) + λg ( x, u , t ) (2.18) (2.19) Kendala a ≤ u ≤ b Persamaan Lagrangian yang terbentuk dari (2.18) dan (2.19) adalah L = f ( x, u , t ) + λg ( x, u , t ) + w1 (b − u ) + w2 (u − a) dengan w1 ≥ 0, w2 ≥ 0 w1 (b − u ) = 0 w2 (u − a) = 0 Supaya optimal jika memenuhi persamaan 1. Kondisi stasioner ∂L = f u ( x, u , t ) + λg u ( x, u , t ) − w1 + w2 = 0 ∂u (2.20) 2. Persamaan keadaan
c3
dimana nilai bi, ci, ....... didefinisikan sebagai berikut: b1 =
a a a 2 − a0 a3 a1
b3 =
a1 a 6 − a 0 a 7 .............. a1
c1 =
b1 a 3 − a1 a 2 b1
c3 =
b1 a 7 − a1b4 ................. b1
b2 =
c2 =
a1 a 4 − a 0 a 6 a1
b1 a5 − a1b3 b1
Tabel tersebut dilanjutkan mendatar dan menurun hingga diperoleh nilai nol. Semua akar tersebut dilanjutkan bernilai negatif pada bagian realnya jika dan hanya jika elemen-elemen dari kolom pertama tabel mempunyai tanda yang sama.
∂L ∂λ ∂L λ& = − ∂x dengan x (t 0 ) = x 0 dan λ (t1 ) = 0 x& =
3.5 Teori Optimal Control Dalam teori kontrol modern, persoalan optimal control adalah untuk mendapatkan kontrol pada sistem dinamik yang sesuai dengan target atau variabel keadaan dan pada waktu yang sama dapat dilakukan optimasi maksimum/minimum pada performance index. Pada prinsipnya, tujuan dari optimal control adalah menentukan signal yang akan diproses dalam plant (sistem) dan memenuhi konstrain fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan kriteria performance index.
Dari Persamaan (2.20) dapat diperoleh bentuk optimal control (u * ) . 3.7 Bang-bang Control dan Singular Control Kesulitan dalam menerapkan prinsip Pontryagin dapat diatasi dengan menggunakan singular control dan bang-bang control. Hal ini muncul ketika persamaan Hamiltonian bergantung secara linear dengan kontrol u, dapat dinyatakan dalam bentuk: , , Jika kontrol mempunyai batas atas dan batas bawah , maka untuk memaksimalkan diperlukan untuk membuat u sebesar dan sekecil mungkin, bergantung pada tanda , , yang didefinisikan sebagai fungsi switching, secara rinci dapat ditulis: , , , 0 , , , 0 , , , 0 Fungsi switching dapat bernilai positif, negatif, dan nol. Sehingga penyelesaian ini disebut dengan bang-bang control. Perubahan kontrol dari b ke a terjadi ketika berubah nilai dari negatif ke positif. Dalam kasus ini, bernilai nol pada interval waktu terbatas
3.6 Prinsip Maksimum Pontryagin Maximum Principle merupakan suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian optimal control yang sesuai dengan tujuan (memaksimalkan performance index). Hal ini, telah dikembangkan pada tahun 1950 oleh L. S. Pontryagin dan rekan kerjanya, yang diaplikasikan untuk semua masalah kalkulus variasi. Misal diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang terbatas sebagai berikut: t1
max ∫ f ( x, u , t )dt t0 kendala x& = g ( x, u , t ) , x(t 0 ) = x0
a≤u≤b
(2.9) (2.10) (2.11) 3
yang disebut sebagai singular control. Pada interval tersebut, kontrol u dapat yang dicari dari hasil derivatif berulang bergantung terhadap waktu sampai kontrol u tampak secara eksplisit. Sehingga kontrol pada interval ini disebut syarat kondisi kesingularan kontinu. Kontrol ini akan menghasilkan busur singular yang akan optimal jika memenuhi: 1. Persamaan Hamiltonian 0 2. Kondisi Kelley yang dinyatakan oleh persamaan sebagai berikut: 1
0 ,
0,1, …
target. Jadi predator tidak akan terinfeksi oleh Baculoviruses. e. Pengendalian terhadap hama juga dilakukan dengan penyemprotan insektisida (u) pada sistem. Dengan demikian model pengendalian hama serangga dapat ditulis sebagai berikut: 1 4.1 4.2 4.3 4.4
2.21
Kondisi ini disebut juga kondisi Generalisasi Legendre-Clebs. Dengan kata lain, Generalisasi Legendre-Clebs akan menjamin bahwa di sepanjang busur tunggal, persamaan Hamiltonian akan optimal. Dalam permasalahan
4.1.2 Penormalan Model Untuk memudahkan analisis matematika, persamaan (4.1) – (4.4) dapat disederhanakan menjadi bentuk persamaan tak berdimensi dengan mendefinisikan variabel baru yaitu merupakan bentuk tak berdimensi dari fungsi waktu, , , , ,
kontrol singular, jika , , adalah order derifatif total terkecil pada saat u tampak secara eksplisit maka q adalah derajat dari busur singular, dengan
,
,
, 4. Hasil Penelitian 4.1 Model Pengendalian Hama 4.1.1 Deskripsi Model dan Asumsi a. Populasi hama dibagi menjadi dua kelas yaitu kelas S yang terdiri dari individu – individu susceptible (sehat tetapi rentan terhadap virus) dan kelas I yang terdiri dari individu – individu infectious (terinfeksi virus) dengan menunjukkan jumlah populasi hama. b. Populasi hama yang susceptible (S) saja yang mampu bereproduksi dengan pertumbuhan logistik. Sedangkan hama yang terinfeksi (I) mati sebelum bereproduksi karena ketidakmampuan bersaing untuk mempertahankan hidup. Namun hama yang susceptible akan menjadi terinfeksi ketika terkontaminasi oleh virus. c. Partikel virus (V) akan mengalami kematian alami akibat perubahan suhu, pH, serangan enzimatik, dan lain sebagainya. Namun virus juga mempunyai kemampuan untuk bereplikasi. d. Musuh alami atau predator (P) hanya mengkonsumsi mangsa (hama) yang terinfeksi (I) karena mangsa yang terinfeksi lebih rentan terhadap pemangsaan daripada mangsa yang sehat. Namun virus patogen serangga (Baculoviruses) tidak memiliki dampak negatif pada tanaman, mamalia, burung, ikan, atau pada serangga yang bukan
,
, ,
, , dan
Hasil penormalan adalah sebagai berikut : 1 4.5 4.6 4.7 –
4.8
4.1.3 Keterbatasan Penyelesaian Berdasarkan analisis model pada persamaan (4.5) – (4.8) diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut: Ω
0
, , ,
:0
1, 0
1,
, 0
4.1.4 Titik Setimbang dari Model Bentuk Normal Titik Setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Dengan demikian titik – titik setimbang diperoleh dari 0, 0, 0 dan 0 sehingga diperoleh titik – titik kesetimbangan antara lain: a. Titik setimbang bebas penyakit yaitu 0,0,0,0 dan 1 , 0,0,0 b. Titik setimbang bebas predator yaitu , , 0, dengan 4
1
1 1
c. Titik setimbang endemik yaitu , , , dengan 1 1
− as −s⎤ 0 ⎡a − 2as − ai − v − q1m1u ⎢ −η − p − q2m2u −i v s ⎥⎥ J =⎢ ′ ′ ⎢ − d − 2εp + c i − q3m3u 0 ⎥ 0 cp ⎢ ⎥ − μ⎦ 0 κη 0 ⎣
′
Selanjutnya nilai eigen didapatkan dengan menyelesaikan persamaan karakteristik | | 0 dengan I adalah matriks identitas.
′
4.1.5.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Penyakit a. Titik setimbang 0,0,0,0 mempunyai matriks jacobian 0 0 0 ⎤ ⎡a − q1m1u ⎢ − η − q2 m2u 0 0 0 ⎥⎥ J E0 = ⎢ ⎢ − d − q3 m3u 0 ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ − μ⎦ 0 κη 0 ⎣
Keadaan endemik terjadi pada saat nilai dari , dan semuanya positif sehingga diperoleh 4.12 1
4.13 4.14
0
Nilai eigen diperoleh dari maka
Dari persamaan (4.12), (4.13) dan (4.14) dapat ditetapkan suatu ambang , dan dimana kesetimbangan endemik tetap berada pada daerah penyelesaian. 4.1.5 Kestabilan Lokal Model Bentuk Normal Setelah menentukan titik setimbang model normal, selanjutnya ditentukan kestabilan setiap titik setimbang. Untuk itu dicari nilai eigen matriks Jacobian dari model normal. Akan ditinjau tiga kasus yaitu kestabilan titik setimbang bebas penyakit (disease-free equilibrium), kestabilan titik setimbang bebas predator dan kestabilan titik setimbang endemik. Misal , , , 1 , , , , , , , , , – dengan , , , adalah fungsi nonlinier maka matriks Jacobiannya adalah
λ − a + q1m1u
0
0
0
0
λ +η + q2m2u
0
0
0
0
λ + d + q3m3u
0
0
−κη
0
λ+μ
sehingga didapat
3 3
0 0 0
0 Nilai eigen dapat bernilai positif atau negatif tergantung dari nilai . Jika maka bernilai positif sehingga menjadi tidak stabil. Sebaliknya jika maka bernilai negatif sehingga menjadi stabil. b. Titik setimbang 1 mempunyai matriks jacobian
5
, 0,0,0
=0
0 dan . 0 Karena maka dan salah satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif.
q mu ⎤ ⎡ 0 − (1 − 1 1 )⎥ ⎢− (a − q1m1u) − (a − q1m1u) a ⎢ q1m1u ⎥ ⎢ 0 ( η ) 0 ( 1 )⎥ q m u − + − J E1 = 2 2 a ⎥ ⎢ 0 0 0 − (d + q3m3u) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 κη 0 μ − ⎦ ⎣
Oleh karena itu, kesetimbangan stabil ketika dan .
akan
0
Nilai eigen diperoleh dari maka
q mu a − q1m1u 0 (1 − 1 1 ) λ + (a − q1m1u) a q1m1u 0 0 − (1 − ) =0 λ + (η + q2 m2u) a 0 0 0 λ + (d + q3m3u) 0 − κη 0 λ+μ
4.1.5.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Predator Pada titik setimbang , , 0, dengan
1
sehingga didapat
2 2
0
2 2
1
maka matriks Jacobiannya adalah
1 1
J E2
1 0 diberikan oleh persamaan
dan
0
1
−v 0 0
,
dan
.
1
maka 0
s
λ + (η + q2 m2u)
i
−s
0
λ + (d + q3m3u) − c′i
− κη
0
0 λ+μ
=0
0
dengan
2 2 Persamaan karakteristik tersebut mempunyai akar – akar persamaan ′
. dan tiga akar lainnya diberikan oleh persamaan 0 dengan menggunakan aturan Routh-Hurwitz maka dapat dibuat tabel sebagai berikut: d2 0 0 λ3 1
0. Karena . 0 dan 0 maka dan keduanya bernilai negatif Jika nilai maka 0 sehingga persamaan karakteristiknya menjadi 0 dan akar – akarnya adalah 0 , Jika nilai Nilai 1
0
′
1
iii.
as
sehingga didapat
0 1 dan . yang mempunyai akar – akar dan diperoleh hasil sebagai Analisa berikut: i. Jika nilai maka 0 sehingga . 1 . dan Berdasarkan analisis pada , nilai 1 sehingga nilai negatif jika
ii.
λ + as 0
1
0, maka
Nilai eigen diperoleh dari
0
1
− as −s⎤ 0 ⎡− as ⎢ v − (η + q m u) −i s ⎥⎥ 2 2 ⎢ = ⎢ 0 − (d + q3m3u) + c′i 0 ⎥ 0 ⎢ ⎥ − μ⎦ κη 0 ⎣ 0
λ2 λ
1
λ
0
0. sehingga 0 dan 0.
λ
−1
6
d1
(d1 d2 − d3 )/ d1 d3 (d1 d2 − d3 ) / (d1 d2 − d3 ) 0
d3
0
0
0
0
0
0
0
0
Supaya akar-akar karakteristik bernilai negatif pada bagian realnya maka kolom pertama pada harus mempunyai tanda yang sama yaitu : i. d 1 > 0 ii.
iii.
, ,
setimbang sehingga
,
yaitu
d1 d 2 − d 3 > 0 ⇒ d1 d 2 − d 3 > 0 d1 d1 d 2 > d 3 supaya memenuhi maka nilai
d2 > 0 d 3 (d1 d 2 − d 3 ) > 0 ⇒ d3 > 0 d1 d 2 − d 3
Jadi titik setimbang , 0 ,
disebut Matriks Liapunov 2
0 2 0
2
0 2
0
adalah stabil jika 0 , 0 dan
2
0 2 2
0
0 0
4.1.5.3 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik Pada titik setimbang , , , dengan 1 1
0 0 Matriks adalah matriks simetri berorde 4x4, adalah definit positif. Artinya maka matriks mempunyai sub matriks utama dari determinan – determinan positif. Jadi kesetimbangan adalah stabil asimtotik pada
′
′
saat 4.2 Penyelesaian Optimal Control pada Model Pengendalian Hama Serangga Pengendalian hama serangga dapat dilakukan dengan berbagai macam cara, misalnya dengan penyemprotan insektisida sebagai pengendalian secara kimia dan penggunaan virus penginfeksi sebagai pengendalian secara biologi. Model pengendalian hama serangga pada persamaan (4.5) – (4.8) dapat dikendaliakan sesuai dengan yang dikehendaki. Namun hal tersebut berpengaruh terhadap biaya yang dikeluarkan selama proses pengendalian dan keuntungan yang diperoleh. Oleh karena itu akan dicari optimal kontrol dari model supaya didapatkan suatu kondisi yang diperlukan baik di bidang ekonomi maupun di bidang ekologi sehingga dapat memaksimalkan keuntungan. Model pengendalian hama serangga pada persamaan (4.5) – (4.8) dapat ditulis sebagai berikut:
maka matriks Jacobiannya adalah ⎡− as* − as* 0 − s* ⎤ ⎢ * ⎥ − ( p* +η + q2 m2 u) − i * s * ⎥ v ⎢ J E3 = ⎢ 0 − εp* 0 ⎥ c′p* ⎢ ⎥ κη 0 − μ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 Nilai eigen diperoleh dari 0, maka Selanjutnya didefinisikan fungsi Liapunov , , , dimana 0 Berdasarkan Teorema Liapunov, titik setimbang endemik , , , stabil asimtotik jika memenuhi:
0, 0,
(i) (ii)
2
0
dan
, , , 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
0
1
D adalah matriks diagonal simetri, maka matriks D adalah definit positif sehingga 0, dan 0 Sistem tak linear pada persamaan (4.5), (4.6), (4.7) dan (4.8) dapat dilinearkan di sekitar titik
4.15 4.16 4.17
–
7
4.18
dengan 1,2,3,4 adalah pengontrol untuk masing – masing persamaan , , dan ). Performance index dari fungsi keuntungan adalah sebagai berikut:
3
3 3
4 4
4.19
dengan adalah biaya per unit pestisida kimia adalah biaya dari persiapan laboratorium virus adalah harga tanaman hasil panen yang ditargetkan berdasarkan pembasmian terhadap hama s adalah harga tanaman hasil panen yang ditargetkan berdasarkan pembasmian terhadap hama i adalah harga tidak langsung per unit predator yang diukur dalam ketentuan harga tanaman hasil panen adalah harga tidak langsung per unit jumlah virus yang diukur dalam ketentuan harga tanaman hasil panen Dengan menggunakan bang-bang control dan singular control maka diperoleh: , jika , jika
0 0
, jika
0
, jika , jika
0 0
, jika
0
, jika , jika
0 0
, jika
0
0
0
0
, jika , jika
0 0
, jika
0
2
, , 2
, ,
Selanjutnya kontrol singular akan menjamin persamaan Hamiltonian optimal secara lokal sepanjang busur singular jika memenuhi syarat cukup (sufficient condition) yaitu memenuhi kondisi Generalisasi Legendre – Clebsh order satu yaitu: 0
1 1 , maka
untuk
0
1 2 1
0
0
2 0
2
0
0 0
0
0
2
0
0 0
0
Dengan kata lain matriks W adalah matriks definit positif. Artinya sub matriks utama dari mempunyai determinan – determinan positif.Sehingga diperoleh kondisi yang diperlukan supaya fungsi keuntungan menjadi optimal yaitu:
dengan ,
,
0
1
(i). 4
0
(ii).
32 0 (iii).
0
8
sedikit bertambah. Hal ini dikarenakan karena jumlah virus juga sedikit bertambah.
4.3 Simulasi Pada simulasi ini diberikan nilai awal dan parameter sebagai berikut [1]: 14.2 , 7.14 , 3.57 , 0.28 , 70 , 7.14 , 0.35 , 0.33 0.32 , 0.31 , 0.42 , 0.27
dan didefinisikan
yaitu nilai
ambang batas untuk kekuatan infeksi. Pada percobaan pertama diberikan nilai 7 dan 0 yang artinya tidak ada penyemprotan insektisida sehingga didapatkan nilai 7.14
Gambar 4.3a
Gambar 4.1
Pada Gambar (4.1) terlihat bahwa populasi hama yang susceptible bergerak naik mendekati nilai maksimalnya yaitu 1. Sedangkan populasi hama yang terinfeksi menuju nol. Hal ini menunjukkan bahwa pada sistem tidak terjadi endemik karena nilai yang sehingga virus tidak diberikan kurang dari cukup kuat untuk menginfeksi hama.
Gambar 4.3b
Untuk kappa yang semakin besar yaitu 50, populasi virus semakin meningkat (Gambar 4.3b) sehingga menyebabkan populasi hama yang susceptible menjadi berkurang menuju nilai 0.48 dan populasi hama yang terinfeksi semakin bertambah yaitu menuju nilai 0.12 (Gambar 4.3a). Semakin besar nilai yang diberikan maka semakin banyak hama susceptible menjadi hama yang terinfeksi virus dan akhirnya populasi hama menjadi berkurang. Namun peningkatan nilai berpengaruh pada faktor biaya, yaitu biaya menjadi tidak ekonomis. Sehingga dengan memberikan nilai yang merupakan parameter penyemprotan insektisida maka akan mengurangi populasi hama tanpa harus memberikan nilai yang berlebihan.
Gambar 4.2 Gambar 4.2
Pada saat nilai 7.14 maka populasi hama yang susceptible menjadi sedikit berkurang dan populasi hama yang terinfeksi 9
Gambar 4.5b
Gambar 4.4a
Pada saat penyemprotan insektisida diberikan pada sistem yaitu dengan nilai 10 50 (Gambar 4.4a), maka populasi hama dan yang susceptible akan lebih cepat berkurang dibandingkan dengan gambar 4.3.3a. Semakin besar nilai yang diberikan yaitu pada saat 20 dengan nilai yang sama yaitu 50, maka populasi hama yang susceptible akan semakin cepat berkurang (Gambar 4.5a). 5. Penutup 5.1 Kesimpulan Dari analisis yang dilakukan pada model pengendalian hama serangga, maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Pada penyelesaian kontrol optimal dapat diketahui bahwa bentuk optimal kontrol yang diperoleh dari model pengendalian hama serangga adalah
Gambar 4.4b
0
0
0
Gambar 4. 5a
10
, jika , jika
0 0
, jika
0
, jika , jika
0 0
, jika
0
, jika , jika
0 0
, jika
0
, jika , jika
0 0
, jika
0
0
,
dengan 1
penggunaan insektisida dan virus penginfeksi pada hama serangga dengan performance index yang linear. Diharapkan pada penelitian selanjutnya bentuk optimal kontrol pada model pengendalian hama serangga dapat diselesaikan dengan bentuk performance index kuadratik dengan menggunakan pendekatan Homotopyc (Continuation).
,
dan
2.
6.
[1]
[2]
[3]
dengan 2
[4]
[5] 2
[6] [7] 3. Kondisi yang diperlukan supaya fungsi keuntungan menjadi maksimal yaitu: (i). 4
0
[8]
(ii). 0
(iii).
0 5.2 Saran Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah dijelaskan bentuk optimal kontrol dari
11
Daftar Pustaka
Bhattacharyya, S. dan Bhattacharyya, D.K. 2006. Pest Control Through Viral Diseases: Mathematical Modeling and Analysis, J. Theor. Biol. 238 (2006) 177-179. Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Ghosh, S. & Bhattacharya, D.K. 2009. Optimization in microbial pest Control: An Integrated approach. School of Bioscience and Engineering. Jadavpur University. Kolkata. India. James, J.R. Tweedy, B.G. and Newby, L.C. 1993. Efforts by industry to improve the environmental safety of pesticides. Ann. Rev. of Phytopathol., 31:423-439. Kamien, M.I. & Schwarz, N.L. 1991. Dynamic Optimization: the calculus of variations and optimal control in economics and management. NorthHolland. Amsterdam. Naidu, D.S. 2002. Optimal Control Systems. USA: CRC Presses LCC. Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009. Computational Optimal Control: Tools and Practice. UK: John Wiley & Sons Ltd. Sudarmo,S. 1992. Pestisida Untuk Tanaman. Kanisius. Yogyakarta.
