PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan yang merupakan bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Banyak cara untuk mendapatkan faktor prima dari sebuah bilangan, diantaranya yang paling populer adalah dengan menggunakan pohon faktor. Akan tetapi penggunaan pohon faktor ini perlu didasari dengan penguasaan terhadap materi keterbagian sebuah bilangan. Untuk itu, Anda yang berminat agar membaca Aksioma Keterbagian yang ditulis oleh penulis yang sama. Contoh 1: Uraikan 321 atas faktor-faktor primanya! Penyelesaian: 321 tidak dapat dibagi 2, tetapi habis 321 dibagi 3. Karena itu, langsung bagi dengan 3 hasilnya 10. 107 tidak habis dibagi dengan 2, 3, 5, dan 7. Karena itu faktor 3 107 prima dari 321 hanya 3 dan 107. Contoh 2: Uraikan 424 atas faktor-faktor primanya! Penyelesaian: 424 424 habis dibagi 2 (karena bilangan genap) hasilnya 212. 212 habis dibagi 2 212 2 hasilnya 106. 106 habis dibagi 2 hasilnya 53. 53 tidak habis dibagi 2, 3, 2 106 5, 7, 11, dan 13. Karena itu faktorfaktor prima 424 adalah 2 dan 53 atau 2 53 424 = 23 × 53. Contoh 3: Uraikan 30.030 atas faktor-faktor primanya! Penyelesaian: 30.030 30.030 habis dibagi 2 hasilnya 15.015. 15.015 habis dibagi 3 2 15.015 hasilnya 5.005. 5.005 habis dibagi 5 hasilnya 1.001. 1.001 habis dibagi 7 3 5.005 hasilnya 143. 143 habis dibagi 11 5 1.001 hasilnya 13. Karena itu, fakor prima dari 30.030 adalah 2, 3, 5, 7, 7 143 11, dan 13 atau dapat ditulis 11 13 30.030 = 2.3.5.7.11.13 . D:\KARYA TULIS\PENERAPAN FAKTOR PRIMA.doc Created by ANDI SYAMSUDDIN Created on 09/04/2006 16:13:00

Penerapan faktor prima yang banyak dikenal adalah untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan, dan menentukan Faktor Pesersekutuan Terbesar (FPB) dari dua atau lebih bilangan. Bagian ini tidak akan dibahas dalam tulisan ini. Tulisan ini akan membahas penerapan faktor prima untuk menyelesaikan bentuk aljabar khususnya pemfaktoran bentuk aljabar dan peneyederhanaan pecahan bentuk aljabar, penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, dan penyelesaian bentuk a2 − b2 = c, a, b, dan c ∈ asli. B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar Bentuk a2 − b2 Bentuk a2 − b2 dikenal dengan nama selisih dua kuadrat. Bentuk ini faktor-faktornya adalah (a + b) dan (a − b). Karena itu, a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) .............................................................. (1) Beberapa penerapan bentuk a2 − b2 Sering kita menjumpai soal-soal seperti berikut 512 − 492 = ....? 232 − 222 = ....? 1032 − 1022 = ....? Nampaknya soal ini bila diselesaikan secara biasa akan membutuhkan waktu yang agak lama. Namun, dengan menggunakan faktor-faktor selisih dari dua kuadrat, maka soal ini ternyata dapat diselesaikan hanya dalam hitungan detik. Perhatikan bentuk soal di atas bila diubah menjadi bentuk seperti berikut: 512 − 492 = (51 + 49) (51 − 49) = 100 . 2 = 200 232 − 222 = (23 + 22) (23 − 22) = 45 . 1 = 45 1032 − 1022 = (103 + 102) (103 − 102) = 205 . 1 = 205 Soalnya amat mudah bukan? Tripel Pythagoras Salah satu teorema dalam matematika yang banyak digunakan adalah teorema Pythagoras. Teorema ini berbunyi “pada segitiga siku-siku kuadrat hypotenusa sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya”. Perhatikan gambar berikut: ABC siku-siku di titik C. AC = b B satuan, BC = a satuan, dan AB = c satuan. Menurut Pythagoras berlaku a c hubungan: c 2 = a 2 + b 2 , akibatnya: a 2 = c 2 − b 2 dan C A b2 = c2 − a2 b

D:\KARYA TULIS\PENERAPAN FAKTOR PRIMA.doc Created by ANDI SYAMSUDDIN Created on 09/04/2006 16:13:00

Perhatikan bahwa bentuk a 2 = c 2 − b 2 yang dapat diubah menjadi a 2 = (c + b)(c − b) , dan bentuk b 2 = c 2 − a 2 dapat diubah menjadi b 2 = (c + a )(c − a ) . Dengan demikian, a=

(c + b)(c − b) =

(c + b) . (c − b) , ................................................ (2) dan

b = (c + a )(c − a ) = (c + a) . (c − a ) ................................................. (3) Bentuk (2) dan (3) masing-masing adalah panjang sisi a dan sisi b pada segitiga siku-siku dengan panjang hypotenusa c. Contoh 1: Tentukanlah panjang sisi ketiga pada sebuah segitiga sikusiku bila diketahui panjang hypotenusa 13 cm dan salah satu sisi siku-sikunya berukuran 12 cm! Penyelesaian: Perhatikan gambar! x = 13 + 12 . 13 − 12 . 12 13 ⇒ x = 25. 1 ⇔ x = 5 .1 ∴ x = 5 cm x = ...? Contoh 2: Segitiga ABC siku-siku di titik B. Bila AC = 25 cm dan AB = 24 cm, berapakah panjang BC? Penyelesaian: Perhatikan gambar di samping! A BC = (25 + 24)(25 − 24) 24

⇒ BC = 49 . 1 ⇔ BC = 7.1 ∴ BC = 7 cm

25

B BC = ...?

C

Garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah garis singgung persekutuan dua buah lingkaran. Garis singgung persekutuan dua buah lingkaran yang dikenal ada 2, yaitu; (1) garis singgung persekutuan dalan (gd), dan (2) garis singgung persekutuan luar (gl).


Untuk menemukan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut: A' gd

R P

r

A d

O

gd

R B

Perhatikan gambar! Lingkaran P pusatnya di titik P dengan jari-jari r, dan lingkaran O pusatnya di titik O dengan jari-jari R. Jarak antara kedua pusat lingkaran yaitu OP = d. Panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah AB = gd satuan. Berapakah AB?

Untuk menemukan jawabannya, maka garis AB ditranslasikan oleh tranlasi B → O sehingga titik B berimpit dengan titik O, titik A akan berimpit dengan A’. Dengan demikian, AA’ = R, A’O = gd, dan PA' = r + R . Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: A' R gd A r d P O Perhatikan bahwa segitiga siku-siku PA’O siku-siku di titik A’. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masingmasing adalah panjang garis singgung dalam (gd) dan jumlah jari-jari kedua lingkaran (r + R). Dengan demikian didapatkan hubungan: d2 = (gd)2 + (r + R)2 yang mengakibatkan : (gd)2 = d2 − (r + R)2, ...................................................................... (4) dan (r + R)2 = d2 − (gd)2 ...................................................................... (5) Persamaan (4) dapat diubah menjadi: (gd)2 = d2 − (r + R)2 ⇒ (gd)2 = (d + r + R)(d − r − R) ∴ g d = (d + r + R ) . (d − r − R ) .............................................. (6) Persamaan (5) dapat diubah menjadi: (r + R)2 = d2 − (gd)2 ⇒ (r + R)2 = (d + gd)(d − gd) ∴ (r + R ) = (d + g d ) . (d − g d ) .............................................. (7) Persamaan (6) dan (7) inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan dalam.

Contoh 1:


Perhatikan gambar di bawah ini! Panjang PQ = 20 cm, PA = 8 cm, dan AB = 16 cm. Tentukan perbandingan luas lingkaran I dan II !. A 8 P

16

Q

20 B

I

II

gd = 16

Penyelesaian: Agar soal ini mudah diselesaikan, digambarkan dalam bentuk segitiga siku-siku, sedemikian sehingga didapatkan hubungan : (r + R) = (d + g d ) . (d − g d )

d = 20 r = ....?

⇒ (r + 8) =

R=8

(20 + 16) . (20 − 16)

⇔ (r + 8) = 36 . 4 ⇔ (r + 8) = 6.2 = 12 ∴ r= 4 Perbandingan Luas I : Luas II = R2 : r2 = 82 : 42 = 64 : 16 = 4 : 1. Contoh 2: Perhatikan gambar di samping! D Bila AB = 25 cm, AC = 2 cm dan A B BD = 5 cm, berapakah panjang C CD? Penyelesaian:

gd = ...?

Agar soal ini mudah diselesaikan, digambarkan dalam bentuk segitiga siku-siku, sedemikian sehingga didapatkan hubungan :

d = 25 r=2 R=5

gd =

(d + r + R) . (d − r − R)

gd =

(25 + 7) . (25 − 7)

gd =

32 . 18

gd =

2 4.2 . 2.3 2

g d = 2 4 . 2 2.3 2 g d = 4.2.3 g d = 24 ∴Panjang CD = 24 cm. Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut: D:\KARYA TULIS\PENERAPAN FAKTOR PRIMA.doc Created by ANDI SYAMSUDDIN Created on 09/04/2006 16:13:00

Perhatikan gambar! Lingkaran A pusatnya di titik A C dengan jari-jari r, dan lingkaran B gl D pusatnya di titik B dengan jari-jari R r gl E R. Jarak antara kedua pusat d A lingkaran yaitu AB= d. Panjang B garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah AE = gl satuan. Berapakah AE? Untuk menemukan jawabannya, maka garis CD ditranslasikan oleh tranlasi D → A sehingga titik D berimpit dengan titik A, titik C akan berimpit dengan E. Dengan demikian, CE = DA = r, AE = gl, dan BE = R − r . Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: C r g l

D r

E gl

R-r

A d B Perhatikan bahwa segitiga siku-siku ABE siku-siku di titik E. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masing-masing adalah panjang garis singgung luar (gl) dan selisih jari-jari kedua lingkaran (R − r). Dengan demikian didapatkan hubungan: d2 = (gl)2 + (R − r)2 yang mengakibatkan : (gl)2 = d2 − (R − r)2, ...................................................................... (8) dan (R − r)2 = d2 − (gl)2 ...................................................................... (9) Persamaan (8) dapat diubah menjadi: (gl)2 = d2 − (R − r)2 ⇒ (gl)2 = (d + R − r)(d − (R − r)) ∴ g d = (d + R − r ) . (d − R + r ) .............................................. (10) Persamaan (9) dapat diubah menjadi: (R − r)2 = d2 − (gl)2 ⇒ (R − r)2 = (d + gl)(d − gl) ∴ ( R − r ) = (d + g l ) . (d − g l ) .............................................. (11) Persamaan (10) dan (11) inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan luar. Contoh 1: Lingkaran M berjari-jari 3 satuan dan lingkaran N berjari-jari 10 satuan memiliki garis singgung persekutuan luar PQ. Bila D:\KARYA TULIS\PENERAPAN FAKTOR PRIMA.doc Created by ANDI SYAMSUDDIN Created on 09/04/2006 16:13:00

MN = 25 satuan, berapakah panjang garis singgung persekutuan luar PQ? Penyelesaian: Q

?

P 3

10

R

M

25

N

Perhatikan gambar di atas. PQ = MR. ∆MRN siku-siku di titik R. NR = 10 − 3 = 7. Karena itu, MR =

MN 2 + NR 2

⇒ MR =

( MN +

NR ) ( MN − NR )

⇔ MR =

(25 + 7)(25 − 7)

⇔ MR =

32.18

⇔ MR =

2 4.2.2.3 2

⇔ MR = 2 2.2.3 ∴ MR = 24 Jadi, panjang garis singgung PQ = 24 satuan. Contoh 2: Dua buah lingkaran memiliki garis singgung persekutuan luar dengan panjang 35 cm. Jarak kedua titik pusat lingkaran itu 37 cm. Bila jari-jari lingkaran pertama 15 cm, berapakah panjang jari-jari lingkaran yang kedua? Penyelesaian: C

35

D ? A

Perhatikan gambar! ∆ABE siku-siku di titik E. AB = 37 adalah hypotenusa. AE = DC = 35. BE = BC − AD. Karena itu,

E 37

BE =

15 B

AB 2 − AE 2

⇒ BE =

37 2 − 35 2

⇔ BE =

(37 + 35)(37 − 35)

⇔ BE =

72.2

⇔ BE = 144 ∴ BE = 12

Karena BE = BC − AD, maka BC − AD = 12. AD = BC − 12 ⇔ AD = 15 − 12 D:\KARYA TULIS\PENERAPAN FAKTOR PRIMA.doc Created by ANDI SYAMSUDDIN Created on 09/04/2006 16:13:00

⇔ AD = 3 ∴AD = 3 cm Panjang jari-jari lingkaran yang kedua 3 cm. Bentuk ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ Real Bentuk ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ Real sering juga disebut bentuk kuadrat. Bentuk ini dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut: (ax........)(ax.........) 1. Tuliskan ax2 + bx + c = a 2. Carilah nilai a.c. 3. Carilah faktor prima dari a.c. 4. Dari faktor-faktor prima itu carilah pasangan faktor a.c yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b. 5. Pasangan faktor yang didapatkan dimasukkan untuk mengisi titik-titik pada langkah 1. 6. Perhatikan faktor pembilang dari langkah 1. Tentukan faktor yang habis dibagi dengan a. 7. Faktor-faktor dari ax2 + bx + c akan didapatkan. Contoh 1: Tentukanlah faktor-faktor dari x 2 + 7 x + 12 ! Penyelesaian: Perhatikan bentuk x 2 + 7 x + 12 . a = 1, b = 7 dan c = 12. ac = 12 . Faktor prima dari 12 = 2.2.3. Karena itu 12 = 1 × 12, 12 = 2 × 6, 12 = 3 × 4. Tuliskan ( x........)( x..........) x 2 + 7 x + 12 = ...................................(I) 1 Sekarang, pilihlah faktor dari 12 yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b = 7. Didapatkan +4 dan +3. Karena itu + 4 dan + 3 menggantikan titik-titik pada bentuk (I) sehingga ( x + 4)( x + 3) x 2 + 7 x + 12 = 1 2 ⇒ x + 7 x + 12 = ( x + 4)( x + 3)

Contoh 2: Tentukanlah faktor-faktor dari 2 x 2 − 5 x + 2 ! Penyelesaian:


(2 x.........)(2 x..........) 2 (2 x − 1)(2 x − 4) ⇒ 2 ⇔ (2 x − 1)( x − 2) 2x 2 − 5x + 2 =

∴ 2 x 2 − 5 x + 2 = (2 x − 1)( x − 2)

ac = 4 4 = 1.4 = − 1.(− 4) 4 = 2.2 = − 2.(− 2) Pasangan faktor yang jumlahnya −5 adalah −1 dan −4. Karena itu yang menggantikan titik-titik adalan −1 dan −4.

Contoh 3: Tentukanlah faktor-faktor dari 3 x 2 Penyelesaian: (3 x......)(3 x.....) 3 x 2 − 11x + 6 = 3 (3 x − 2)(3 x − 9) ⇒ 3 ⇔ (3 x − 2)( x − 3) ∴ 3x 2 − 11x + 6 = (3 x − 2)( x − 3)

− 11x + 6 ac = 18 18 = 1.18 = − 1.( − 18) 18 = 2.9 = − 2.( − 9) 18 = 3.6 = − 3.(− 6) Pasangan faktor yang jumlahnya −11 adalah − 2 dan −9.

Penyederhanaan pecahan aljabar Lanjutan dari pemfaktoran bentuk kuadrat di SMP adalah penyederhanaan pecahan bentuk aljabar. Bila pemfaktoran bentuk ax 2 + bx + c belum dipahami dengan baik, maka berlatihlah sebelum melanjutkan pada penyederhanaan pecahan aljabar. Contoh 1: Sederhanakanlah bentuk

21x 2 + 38 x + 5 ! 12 x 2 + 29 x + 15

Penyelesaian:  Pembilangnya adalah 21x 2 + 38 x + 5 . Karena itu, ac = 105. 105 dapat dituliskan dalam bentuk perkalian faktor primanya sebagai 105 = 3.5.7. Pasangan-pasangan faktor dari 105 adalah 105 = 1 × 105 , 105 = 3 × 35 , 105 = 5 × 21 , dan 105 = 7 × 15 . Pasangan faktor yang jumlahnya 38 adalah 3× 35 . Bila pasangan faktor ini dibagi dengan 21, sama artinya bila dibagi dengan 3× 7 . Sehingga didapatkan:


(21x......)(21x......) 21 (21x + 3)(21x + 35) ⇒ 21x 2 + 38 x + 5 = 3× 7 2 ⇔ 21x + 38 x + 5 = (7 x + 1)(3 x + 5) ∴ Pembilang dapat ditulis dalam bentuk (7 x + 1)(3 x + 5) .  Penyebutnya adalah 12 x 2 + 29 x + 15 . Nilai ac = 180. Bila ditulis dalam bentuk perkalian faktor primanya, maka 180 = 2 2.3 2.5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 . Pasangan faktor yang mungkin untuk 180 adalah 180 = 1 × 180 , 180 = 2 × 90 , 180 = 3 × 60 , 108 = 1 × 180 , 180 = 4 × 45 , 180 = 5 × 36 , 180 = 6 × 30 , 180 = 9 × 20 , 180 = 10 × 18 , dan 180 = 12 × 15 . Pasangan faktor yang jumlahnya 29 adalah 9 × 20 . Bila pasangan faktor ini dibagi dengan 12 = 3 × 4 , maka didapatkan bentuk seperti berikut: (12 x....)(12 x....) 12 x 2 + 29 x + 15 = 12 (12 x + 9)(12 x + 20) ⇒ 12 x 2 + 29 x + 15 = 3× 4 2 ⇔ 12 x + 29 x + 15 = (4 x + 3)(3 x + 5) ∴Penyebut dapat ditulis dalam bentuk (4 x + 3)(3x + 5) . Jadi, bentuk sederhana dari: 21x 2 + 38 x + 5 (7 x + 1)(3x + 5) = 12 x 2 + 29 x + 15 (4 x + 3)(3 x + 5 21x 2 + 38 x + 5 =

Contoh 2:

21x 2 + 38 x + 5 7 x + 1 = 12 x 2 + 29 x + 15 4 x + 3

Sederhanakan bentuk Penyelesaian:

2 x 2 − 6 x − 20 ! 2 x 2 + 14 x + 20

( 2 x.....)( 2 x......) 2 x 2 − 6 x − 20 2 = ( 2 x......)( 2 x......) 2 x 2 + 14 x + 20 2 ( 2 x + 4)( 2 x − 10) 2 x 2 − 6 x − 20 2 ⇒ = ( 2 x + 4)( 2 x + 10) 2 x 2 + 14 x + 20 2 2 2 x − 6 x − 20 ( 2 x + 4)( x − 10) ⇔ = ( 2 x + 4)(( x + 10) 2 x 2 + 14 x + 20 ∴

2 x 2 − 6 x − 20 x − 10 = x + 10 2 x 2 + 14 x + 20


Penjelasan pembilang. ac = −40. Faktor yang jumlahnya b = − 6 adalah − 40 = 4 × (− 10) . Penjelasan Penyebut. ac = 40. Faktor yang jumlahnya b = 14 adalah 40 = 4 × 10 . Contoh 3: Sederhanakan bentuk Penyelesaian:

3 x 2 − 5 x − 12 ! 3 x 2 − 11x − 20

(3 x......)(3 x......) 3 x 2 − 5 x − 12 3 = 3 x 2 − 11x − 20 (3 x......)(3 x......) 3 (3x + 4)(3 x − 9) 2 3x − 5 x − 12 3 ⇒ = 2 3x − 11x − 20 (3 x + 4)(3 x − 15) 3 2 3 x − 5 x − 12 (3 x + 4)( x − 3) ⇔ = 3x 2 − 11x − 20 (3 x + 4)( x − 5) 3 x 2 − 5 x − 12 x− 3 = 2 3x − 11x − 20 x − 5 Penjelasan pembilang. ac = −36. Faktor yang jumlahnya b = − 5 adalah − 36 = 4 × (− 9) . Penjelasan Penyebut. ac = −60. Faktor yang jumlahnya b = − 11 adalah 40 = 4 × (− 15) .

∴

C. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, a, b, dan c ∈ Real. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu dengan (1) memfaktorkan; (2) melengkapkan kuadrat sempurna; dan (3) dengan menggunakan rumus. Dalam tulisan ini yang akan dibahas hanya penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan hampir sama dengan menyelesaiakan bentuk kuadrat ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, dan c ∈ Real dengan memfaktorkan yang sudah di bahas pada bagian terdahulu. Karena itu, untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai berikut:


ax 2 + bx + c = 0 ⇒ ax 2 + bx + c =

(ax......)(ax......) = 0 a

(ax....)(ax....) = 0 a Bandingkan dengan langkah-langkah berikut: Langkah I: Kalikan a dengan c hasilnya ac. Langkah II: Faktorkan ac atas faktor-faktor primanya. Langkah III: Pilihlah pasangan faktor ac yang jumlahnya sama dengan b. Langkah IV: Bagilah pasangan faktor ac yang memenuhi dengan a, kemudian masing-masing kalikan dengan −1. Hasil dari Langkah IV adalah penyelesaian yang dicari. Contoh 1: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 ! Penyelesaian: ac = 6 ∧ b = 5 2x 2 + 5x + 3 = 0 6 = 1.6 (2 x......)(2 x......) ⇒ 2 x 2 + 5x + 3 = = 0 6 = 2.3 → b = 5 = 2 + 3 2 (2 x + 3)(2 x + 2) 2 3 ⇔ = 0 x= − ∨ x= − 2 a a ⇔ (2 x + 3)( x + 1) = 0 2 3 ⇒ x= − ∨ x= − ⇔ 2x + 3 = 0 ∨ x + 1 = 0 2 2 ⇔ 2x = − 3 ∨ x = − 1 3 ∴ x= − ∨ x= −1 3 2 ∴ x= − ∨ x= −1 2 ⇔

∴ Nilai x yang memenuhi persamaan 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 adalah 3 − atau −1. 2 Penjelasan: Pasangan faktor ac = 6 yang jumlahnya b = 5 adalah 2×3. Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda.


Contoh 2:

Tentukan nilai 2 3 x − 13 x + 12 = 0 ! Penyelesaian: 3 x 2 − 13 x + 12 = 0 ⇒ 3x 2 − 13x + 12 =

x

yang

memenuhi

persamaan

ac = 36 ∧ b = − 13 (3 x.....)(3 x......) = 0 3

36 = − 4 × ( − 9) − 13 = − 4 + (− 9) 4 9 x= ∨ x= a a 4 9 ⇒ x= ∨ x= 3 3 4 ∴ x= ∨ x= 3 3

(3x − 4)(3 x − 9) = 0 3 ⇔ (3x − 4)( x − 3) = 0 ⇔ 3x − 4 = 0 ∨ x − 3 = 0 ⇔ 3x = 4 ∨ x = 3 4 ∴ x= ∨ x= 3 3 ∴ Nilai x yang memenuhi persamaan 3 x 2 − 13x + 12 = 0 4 adalah atau 3. 3 Penjelasan: Pasangan faktor ac = 36 yang jumlahnya b = −13 adalah −4×(−9). Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda. ⇔

Contoh 3: Tentukan nilai x yang 2 2 x − 3 x − 20 = 0 ! Penyelesaian: 2 x 2 − 3x − 20 = 0 (2 x......)(2 x......) ⇒ 2 x 2 − 3x − 20 = = 0 2 (2 x + 5)(2 x − 8) ⇔ = 0 2 ⇔ (2 x + 5)( x − 4) = 0 ⇔ 2x + 5 = 0 ∨ x − 4 = 0 ⇔ 2x = − 5 ∨ x = 4 5 ∴ x= − ∨ x= 4 2


memenuhi

persamaan

ac = − 40 ∧ b = − 3 − 40 = 5 × (− 8) − 3 = 5 + (− 8) 5 8 x= − ∨ x= a a 5 8 ⇒ x= − ∨ x= 2 2 5 ∴ x= − ∨ x= 4 2

A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b,dan c ∈ Real. Fungsi kuadrat akan memotong sumbu x bila ordinatnya sama dengan 0 (y = f(x) = 0). Karena itu, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, sama dengan mencari nilai-nilai x yang membuat fungsi f(x) bernilai 0, sehingga terbentuk persamaan f ( x) = ax 2 + bx + c = 0 . Bentuk ax 2 + bx + c = 0 adalah bentuk umum dari persamaan kuadrat. Dengan demikian, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, sama dengan mencari penyelesaian persamaan kuadrat. Contoh 1: Tentukan titik potong fungsi f ( x) = − 6 x 2 + 17 x − 5 dengan sumbu x! Penyelesaian: Fungsi f ( x) = − 6 x 2 + 17 x − 5 memotong sumbu x bila y = f ( x) = 0 . Karena itu, ac = 30 ∧ b = 17 f ( x) = − 6 x 2 + 17 x − 5 = 0 30 = 2 × (15) ⇒ − 6 x 2 + 17 x − 5 = 0

17 = 2 + 15 (− 6 x......)(− 6 x......) = 0 2 15 − 6 x= − ∨ x= − (− 6 x + 2)(− 6 x + 15) a a ⇔ = 0 − 2× 3 2 15 ⇒ x= − ∨ x= − ⇔ (3 x − 1)(− 2 x + 5) = 0 −6 6 ⇔ 3x − 1 = 0 ∨ 2 x + 5 = 0 2 15 ⇔ x= ∨ x= − 6 6 ⇔ 3x = 1 ∨ 2 x = − 5 1 5 1 5 ∴ x= ∨ x= − ∴ x= ∨ x= − 3 2 3 2 Jadi, titik potong fungsi f ( x) = − 6 x 2 + 17 x − 5 dengan sumbu 5 1 x adalah di titik (− ,0) dan ( ,0) . 2 3 Perhatikan pada kolom kanan dalam penyelesaian di atas. Mengapa nilai x1 dibagi dengan −6, sedang x2 dibagi dengan 6? ⇔


Contoh 2: Tentukan koordinat titik potong f : x → x 2 − 2 x − 3 dengan garis y = 0! Penyelesaian: f : x → x 2 − 2 x − 3 dapat ditulis sebagai f ( x) = y = x 2 − 2 x − 3 . Karena itu didapatkan, x 2 − 2x − 3 = 0 ( x......)( x......) ⇒ = 0 1 ⇔ ( x + 1)( x − 3) = 0 ⇔ x+ 1= 0∨ x− 3= 0 ∴ x = − 1∨ x = 3 Jadi, titik potong fungsi dengan garis y = 0 masing-masing di titik (−1, 0) dan (3, 0). Contoh 3: f ( x) = 2 x 2 − 3x − 4 berpotongan dengan garis Fungsi y = − 5 x − 4 di titik A dan B. Tentukanlah koordinat titik A dan titik B! Penyelesaian: Bila y = f ( x) = 2 x 2 − 3 x − 4 berpotongan dengan garis y = − 5 x − 4 berarti keduanya memiliki titik persekutuan yang dilalui oleh fungsi f(x) dan garis y. Perhatikan bahwa, y = 2 x 2 − 3x − 4 .............................................. (1) dan y = − 5 x − 4 ..................................................... (2) Persamaan (1) dan persamaan (2) memiliki ruas kiri yang sama, yaitu y. Karena itu, (1) = (2). Sehingga didapatkan persamaan berikut: 2 x 2 − 3x − 4 = − 5x − 4 ⇒ 2 x 2 − 3x + 5 x − 4 + 4 = 0 ⇔ 2x 2 + 2x = 0 ⇔ 2 x( x + 1) = 0 ⇔ 2x = 0 ∨ x + 1 = 0 ∴ x = 0∨ x = − 1 Nilai-nilai x yang diperoleh disubstitusi ke persamaan (1) atau persamaan (2). Untuk x = −1 didapatkan y = −5(−1) − 4 = 1 → A (−1, 1) Untuk x = 0 didapatkan y = −5(0) − 4 = −4 → B (0, −4) Jadi, titik perpotongannya adalah A (−1, 1) dan B (0, −4).


A. Bentuk a2 − b2 = c, a, b, dan c ∈ Asli (Pengayaan) Bentuk a2 − b2 = c, a, b, dan c ∈ Asli memiliki n buah pasangan penyelesaian bila c memiliki 2n buah faktor. Faktor-faktor dari c dapat dengan mudah dicari dengan menggunakan kombinasi perkalian dari faktor prima yang dimiliki oleh c. Karena itu, bila c adalah bilangan prima, maka bentuk a2 − b2 = c, a, b, dan c ∈ Asli hanya memiliki satu pasang penyelesaian. Contoh 1: Diketahui a2 − b2 = 75, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu! Penyelesaian: a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi 1 persamaan itu sama dengan dari banyaknya faktor 2 yang dimiliki oleh 75. Untuk mengetahui semua faktor dari 75, terlebih dahulu 75 difaktorkan atas faktor-faktor primanya. Semua faktor dari 75 (kecuali 1 dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 75. Bilangan 75 dapat ditulis sebagai 75 = 3×5×5. Dalam bentuk pasangan faktor-faktornya 75 = 1×75, 75 = 3×25, dan 75 = 5×15. Jadi, ada 3 pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b. Pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut:  Untuk pasangan faktor 1×75 = 75×1. Karena a2 − b2 = (a + b)(a − b), maka (a + b) = 75 dan 75 ≈ 38 . (a − b) = 1 dicari 2 Sehingga a2 − b2 = (38 + 37)(38 − 37) = 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (38, 37).  Untuk pasangan faktor 3×25 = 25×3. 25 (a + b) = 25 dan (a − b) = 3 . Perhatikan bahwa ≈ 13 . 2 (a + b) = (13 + 12) = 25 ⇔ (a − b) = 13 − 12 = 1 (a + b) = (14 + 11) = 25 ⇔ (a − b) = 14 − 11 = 3 Sehingga a2 − b2 = (14 + 11)(14 − 11) = 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (14, 11).


 Untuk pasangan faktor 5×15 = 15×5. (a + b) = 15 dan (a − b) = 5 . Perhatikan bahwa

15 ≈ 8. 2

(a + b) = (8 + 7) = 15 ⇔ ( a − b) = 8 − 7 = 1 (a + b) = (9 + 6) = 15 ⇔ (a − b) = 9 − 6 = 3 (a + b) = (10 + 5) = 15 ⇔ (a − b) = 10 − 5 = 5 Sehingga a2 − b2 = (10 + 5)(10 − 5) = 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (10, 5). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a2 − b2 = 75, a, dan b adalah bilangan asli adalah (38, 37); (14, 11); dan (10,5). Contoh 2:

Diketahui a2 − b2 = 23, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan itu! Penyeleaian: a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu hanya 1 pasang, karena 23 adalah bilangan prima yang ditulis sebagai 23 = 23 × 1. 23 ≈ 12 . Sehingga : b. Untuk faktor 23 × 1, maka 2 a + b = 12 + 11 = 23 ↔ a − b = 12 − 11 = 1 Pasangan yang memenuhi a2 − b2 = (12 + 11)(12 − 11) = 23. Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (12, 11) Contoh 3: Diketahui a2 − b2 = 135, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu! Penyelesaian: a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi 1 persamaan itu sama dengan dari banyaknya faktor 2 yang dimiliki oleh 135. Untuk mengetahui semua faktor dari 135, terlebih dahulu 135 difaktorkan atas faktorfaktor primanya. Semua faktor dari 135 (kecuali 1 dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 135. Bilangan 135 dapat ditulis sebagai 135 = 3×3×3×5. Dalam 135 = 1 × 135 , bentuk pasangan faktor-faktornya 135 = 3 × 45 , 135 = 5 × 27 , dan 135 = 9 × 15 . D:\KARYA TULIS\PENERAPAN FAKTOR PRIMA.doc Created by ANDI SYAMSUDDIN Created on 09/04/2006 16:13:00

Jadi, ada 4 pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b.Pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut:  Untuk pasangan faktor 135 = 1 × 135 = 135 × 1 . (a + b) = 135 dan (a − b) = 1 . Perhatikan bahwa 135 ≈ 68 . 2 (a + b) = (68 + 67) = 135 ⇔ (a − b) = 68 − 67 = 1 Sehingga a2 − b2 = (68 + 67)(68 − 67) = 135. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (68, 67).  Untuk pasangan faktor 135 = 3 × 45 = 45 × 3 . 45 (a + b) = 45 dan (a − b) = 3 . Perhatikan bahwa ≈ 23 2 . (a + b) = ( 23 + 22) = 45 ⇔ (a − b) = 23 − 22 = 1 (a + b) = ( 24 + 21) = 45 ⇔ (a − b) = 24 − 21 = 3 Sehingga a2 − b2 = (24 + 21)(24 − 21) = 135. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (24, 21).  Untuk pasangan faktor 135 = 5 × 27 = 27 × 5 . 27 (a + b) = 27 dan (a − b) = 5 . Perhatikan bahwa ≈ 14 2 . (a + b) = (14 + 13) = 27 ⇔ (a − b) = 14 − 13 = 1 (a + b) = (15 + 12) = 27 ⇔ (a − b) = 15 − 12 = 3 (a + b) = (16 + 11) = 27 ⇔ (a − b) = 16 − 11 = 5 Sehingga a2 − b2 = (16 + 11)(16 − 11) = 135. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (16, 11).  Untuk pasangan faktor 135 = 9 × 15 = 15 × 9 . 15 (a + b) = 15 dan (a − b) = 9 . Perhatikan bahwa ≈ 8. 2 (a + b) = (8 + 7) = 15 ⇔ ( a − b) = 8 − 7 = 1 (a + b) = (9 + 6) = 15 ⇔ (a − b) = 9 − 6 = 3 (a + b) = (10 + 5) = 15 ⇔ (a − b) = 10 − 5 = 5 (a + b) = (11 + 4) = 15 ⇔ ( a − b) = 11 − 4 = 7 (a + b) = (12 + 3) = 15 ⇔ (a − b) = 12 − 3 = 9 Sehingga a2 − b2 = (12 + 3)(12 − 3) = 135. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) = (12, 3). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a2 − b2 = 135, a, dan b adalah bilangan asli adalah (12, 3); (16, 11); (24, 21); dan (68, 67).


D. Latihan 1. Hitunglah : a. 132 − 122 b. 262 − 192 c. 352 − 252 d. 512 − 492 2. Bila pasangan bilangan (a, b, c) berikut merupakan tripel Pythagoras, carilah bilangan yang belum diketahui: a. b = 12, c = 13 b. a = 15, c = 17 c. b = 20, c = 29 d. a = 45, c = 53 3. Garis singgung lingkaran a. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 11 cm dan 3 cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran 17 cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan luarnya? b. Jarak dua pusat lingkaran 13 cm. Bila panjang jari-jari masingmasing lingkaran 3 cm dan 2 cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan dalamnya? 4. Pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ Real Faktorkanlah : a. 2 x 2 − 7 x + 3 b. 3 x 2 + 7 x + 4 c. 2 x 2 − 5 x − 3 d. 4 x 2 + 13x + 3 5. Penyederhanaan pecahan aljabar Sederhanakanlah: 2 x 2 − 6 x − 20 a. 2 x 2 + 14 x + 20 2 x 2 − 17 x + 30 b. 2 x 2 + 3x − 20 3 x 2 + 10 x − 8 c. 6 x 2 − 28 x + 16 3x 2 + 4 x + 1 d. 2x 2 + 5x + 3 6. Carilah nilai-nilai yang memenuhi persamaan kuadrat berikut: a. 2 x 2 + x − 1 = 0 b. 2 x 2 − 7 x + 3 = 0 c. 2 x 2 + 9 x + 10 = 0 d. 3 x 2 + x − 2 = 0


7. Tentukan titik potong fungsi kuadrat berikut, dengan sumbu x : a. f ( x) = x 2 + 6 x + 10 b. f ( x) = − 7 + 6 x − 2 x 2 8. Tentukanlah pasangan (a, b) dengan a, b ∈ bilangan asli, sedemikian sehingga memenuhi persamaan berikut: a. a2 − b2 = 560 b. a2 − b2 = 756 c. a2 − b2 = 2646 d. a2 − b2 = 5250 B. Kunci


PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)

Recommend Documents