PENERAPAN AKSIOMA KETERBAGIAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP Oleh : Andi Syamsuddin*

PENERAPAN AKSIOMA KETERBAGIAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP Oleh : Andi Syamsuddin* A. Aksioma Keterbagian Sebuah bilangan dikatakan habis dibagi (terbagi) dengan sebuah bilangan yang lain, bila hasil pembagiannya memberikan sisa 0. 1. Terbagi Dengan 4 Sebuah bilangan habis dibagi 4, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 4. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 4 ( 2 × 2 ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan 2 sebanyak 2 kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 4, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan 2 menghasilkan bilangan genap lagi. Sehingga pembagian dengan 4 cukup dengan memperhatikan dua angka terakhir dari sebuah bilangan (puluhan dan satuan saja). Contoh 1 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 4! a. 235642356 c. 1124645654798648

b. 6324512536486 d.

45565254556556532474

Penyelesaian : a. Bilangan 235642356 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi 4, maka 235642356 juga habis dibagi dengan 4. b. Bilangan 6324512536486 dua angka terakhirnya adalah 86. Karena 86 tidak habis dibagi 4 (memberi sisa 2), maka 6324512536486 juga tidak habis dibagi dengan 4.

Andi Syamsuddin Penerapan Aksioma Keterbagian Dalam Pembelajaran Konsep Akar Pangkat Dua SMP Negeri 8 Kota Sukabumi Created on 25/08/2005 18:27:00 Untuk Anakku Lala dan Fakhry

1

c. Bilangan 1124645654798648 dua angka terakhirnya adalah 48. Karena 48 habis dibagi 4, maka 1124645654798648 juga habis dibagi dengan 4. d. Bilangan 45565254556556532474 dua angka terakhirnya adalah 74. Karena

74

tidak

habis

dibagi

4

(memberi

sisa

2),

maka

45565254556556532474 juga tidak habis dibagi dengan 4.

Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya memperhatikan puluhan dan satuan saja? Karena,

mulai dari ratusan,

ribuan, sepuluhribuan, dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 4. Catatan : Pada Contoh 2, pembagian dengan 4 yang bersisa hanya memberikan sisa 2, sebab bilangan-bilangan yang dibagi dengan 4 yang memberikan sisa 1 atau 3 pasti bilangan ganjil, dan sebuah bilangan ganjil pasti tidak habis dibagi 4. Ingat bahwa 4 = 2 × 2 . 2. Terbagi Dengan 9 Sebuah bilangan habis dibagi 9, bila jumlah angka-angka pembentuk bilangan itu habis dibagi 9. 9 sama artinya dengan 3 × 3 . Membagi sebuah bilangan dengan 9 hampir sama dengan membagi bilangan itu dengan 3 sebanyak 2 kali (bagi 3, kemudian bagi 3 lagi). Meskipun 9 = 3 × 3 tidak berarti bahwa syarat keterbagian dengan 3 yang digunakan untuk menentukan apakah sebuah bilangan habis dibagi dengan 9. Karena menentukan sebuah bilangan habis dibagi 3, tidak menghasilkan hasil pembagian bilangan itu dengan 3. Contoh 2 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 9! a. 235642266 c. 1124645655798648

b. 6324512536486 d.

45565254556556532472


2

Penyelesaian : a. Bilangan 235642266 jumlah angka-angkanya adalah 36. Karena 36 habis dibagi dengan 9, maka bilangan 235642266 juga habis dibagi dengan 9. b. Bilangan 6324512536486 jumlah angka-angkanya adalah 55. Karena 55 ÷ 9 menghasilkan 6 sisa 1, maka bilangan 6324512536486 tidak

habis dibagi dengan 9. c. Bilangan 1124645655798648 jumlah angka-angkanya adalah 81. Karena 81 habis dibagi dengan 9, maka bilangan 1124645655798648 juga habis dibagi dengan 9. d. Bilangan 45565254556556532472 jumlah angka-angkanya adalah 91. Karena 91 ÷ 9 menghasilkan 10 sisa 1, maka bilangan 45565254556556532472 tidak habis dibagi dengan 9.

3. Terbagi Dengan 16 Sebuah bilangan habis dibagi 16, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 4, dan bila dibagi dengan 4 menghasilkan bilangan yang habis dibagi dengan 4. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 16 ( 4 × 4 ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan 4 sebanyak 2 kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 16, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan 4 menghasilkan bilangan yang habis dibagi dengan 4. Sehingga pembagian dengan 16 cukup dengan memperhatikan dua angka terakhir dari sebuah bilangan (puluhan dan satuan saja), dan hasil pembagiannya dengan 4. Contoh 3 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 16! a. 235642356 c. 24645654798656

b. 6324512536486 d.

45565254556556532474 Andi Syamsuddin Penerapan Aksioma Keterbagian Dalam Pembelajaran Konsep Akar Pangkat Dua SMP Negeri 8 Kota Sukabumi Created on 25/08/2005 18:27:00 Untuk Anakku Lala dan Fakhry

3

Penyelesaian : a. Bilangan 235642356 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi 4, maka 235642356 juga habis dibagi dengan 4. 235642356 ÷ 4 = 58910589 . Selanjutnya, 89 tidak habis dibagi dengan

4. Karena itu, 235642356 tidak habis dibagi 16. b. Bilangan 6324512536486 dua angka terakhirnya adalah 86. Karena 86 tidak habis dibagi 4 (memberi sisa 2), maka 6324512536486 juga tidak habis dibagi dengan 16. c. Bilangan 24645654798656 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi 4, maka 24645654798656 juga habis dibagi dengan 4. 24645654798656 ÷ 4 = 6161413699664 . Selanjutnya, 64 habis dibagi

4. Karena itu, 24645654798656 habis dibagi 16. d. Bilangan 45565254556556532474 dua angka terakhirnya adalah 74. Karena 74 tidak habis dibagi 4 (memberi sisa 2), maka 45565254556556532474 juga tidak habis dibagi dengan 16.

Selain cara seperti di atas, dapat juga dengan hanya memperhatikan 4 angka terakhir dari sebuah bilangan. Atau kurang lebih dapat dikatakan demikian, “Bila 4 angka terakhir sebuah bilangan habis dibagi dengan 16, maka bilangan itu juga habis dibagi dengan 16”. Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya perlu memperhatikan ribuan, ratusan, puluhan dan satuan saja? Karena, mulai dari sepuluhribuan, dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 16. 4. Terbagi Dengan 25 Sebuah bilangan habis dibagi 25, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 25. Perhatikan barisan kelipatan 25 berikut; 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, .... Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, ‘mengapa kita hanya memperhatikan puluhan dan satuan saja?’ Karena mulai dari ratusan, ribuan, sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 25. Andi Syamsuddin Penerapan Aksioma Keterbagian Dalam Pembelajaran Konsep Akar Pangkat Dua SMP Negeri 8 Kota Sukabumi Created on 25/08/2005 18:27:00 Untuk Anakku Lala dan Fakhry

4

Contoh 4 : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 25! a. 235642355

b. 6324512536475

c. 112464565479800

d.

45565254556556532475

Penyelesaian : a. Bilangan 235642355 dua angka terakhirnya adalah 55. Karena 55 tidak habis dibagi 25 (memberikan sisa 5), maka bilangan 235642355 juga tidak habis dibagi 25. b. Bilangan 6324512536475 dua angka terakhirnya adalah 75. Karena 75 habis dibagi 25, maka bilangan 6324512536475 juga habis dibagi 25. c. Bilangan 112464565479800 dua angka terakhirnya adalah 00. Karena 00 habis dibagi 25 ( 0 ÷ 25 = 0 ), maka bilangan 112464565479800 juga habis dibagi 25. d. Bilangan 45565254556556532475 dua angka terakhirnya adalah 75. Karena 75 habis dibagi 25, maka bilangan 45565254556556532475 juga habis dibagi 25. B. Akar Pangkat Dua (Kuadrat) Akar pangkat dua adalah operasi invers (kebalikan) dari pangkat dua (kuadrat). Karena itu, untuk memahami akar pangkat dua sebuah bilangan, perhatikan tabel berikut: Bilangan Kuadrat Bilangan Kuadrat

Bilangan

Akar

0

0

11

121

0

Kuadrat 0

1

1

12

144

1

2

4

13

169

4

3

9

14

196

4

16

15

225

5

25

16

256

6

36

17

7

49

8

64

Bilangan

Akar

121

Kuadrat 11

1

144

12

2

169

13

9

3

196

14

16

4

225

15

25

5

256

16

289

36

6

289

17

18

324

49

7

324

18

19

361

64

8

361

19


5

Bilangan Kuadrat Bilangan Kuadrat 9

81

20

Bilangan

400

81

Akar Kuadrat 9

Bilangan 400

Akar Kuadrat 20

Kenyataan di lapangan menunjukkan bahwa, peserta didik mulai kesulitan menentukan akar pangkat dua sebuah bilangan (khusus bilangan kuadrat sempurna), bila bilangan itu sudah lebih dari 400. Salah satu cara yang mungkin dapat memudahkan peserta didik untuk mencari akar pangkat dua sebuah bilangan adalah dengan menuliskan bilangan yang akan dicari akar pangkat duanya dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat sempurna. Karena itu, penulis berpendapat syarat keterbagian sebuah bilangan dapat dijadikan sebagai prasyarat untuk mempelajari akar pangkat dua (kuadrat) sebuah bilangan. Bilangan kuadrat yang sering digunakan untuk menuliskan bilangan yang akan dicari akar pangkat duanya dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat sempurna adalah 4, 9, 16, dan 25. B. Penerapan Dalam Pembelajaran Tulisan ini dimaksudkan untuk memudahkan peserta didik untuk menentukan akar pangkat dua sebuah bilangan dalam pembelajaran konsep akar pangkat dua di Kelas VII SMP. Contoh 5: Tentukan akar pangkat dua dari bilangan-bilangan berikut: a. 576

d. 12544

b. 1296

e. 15876

c. 2025

f. 32400

Penyelesaian: a. 576

ditulis

dalam

bentuk

perkalian

bilangan

kuadrat

576 = 4 × 144 = 4 × 4 × 36 = 16 × 36 .

576 =

16 × 36 =

16 ×

yaitu Jadi,

36 = 4 × 6 = 24 .


6

b. 1296

ditulis

dalam

bentuk

perkalian

bilangan

kuadrat

1296 = 4 × 324 = 4 × 4 × 81 .

1296 =

4 × 324 =

yaitu Jadi,

4 × 4 × 81 =

4×

4×

81 = 2 × 2 × 9 = 36 .

c. 2025 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu 2025 = 25 × 81 . Sehingga, d. 12544

2025 =

ditulis

25 ×

dalam

81 = 5 × 9 = 45 .

bentuk

perkalian

bilangan

kuadrat

12544 = 4 × 4 × 4 × 49 .

12544 = e. 15876

4×

ditulis

4×

Jadi, 4×

dalam

4× bentuk

49 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 = 112 . perkalian

bilangan

kuadrat

15876 = 4 × 3969 = 4 × 9 × 441 = 4 × 9 × 9 × 49 .

15876 = f.

4×

9×

yaitu

9×

yaitu Jadi,

49 = 2 × 3 × 3 × 7 = 126 .

32400 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu 32400 = 100 × 324 = 100 × 4 × 81 . Jadi,

32400 =

100 ×

4×

81 = 180

. C. Metode Akar Pangkat Dua Dengan Menghitung


7

PENERAPAN AKSIOMA KETERBAGIAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP Oleh : Andi Syamsuddin*

Recommend Documents