PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK
SYAMSURI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini
Bogor, 19 Desember 2007
Syamsuri G551050131
ABSTRACT SYAMSURI. Estimation of the First and Second Derivatives of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI. We can find stochastic process in our daily activities in various sectors. Stochastic process can be distinguished into stochastic process with discrete time and stochastic process with continuous time. A specific form of stochastic process with continuous time is a periodic Poisson process. A periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. This process, for example, can be used to model the arrival process of customers in a service centre with period one day. In this process, the local intensity function (λ(s)) expresses the rate of the process at time s. In this paper, we study the construction of estimators for the first and second derivatives of the intensity function of a periodic Poisson process using general kernel function. We proved consistency of these estimators. We compute the asymtotic bias, variance, and the mean-squared error of the estimators when the window indefinitely expands. These estimations are needed, for example, for constructing asymptotic optimal bandwidth and for estimating the Fisher information.
ABSTRAK SYAMSURI. Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI. Proses stokastik banyak kita temukan dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal (λ(s)) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s. Pada karya ilmiah ini dipelajari perumusan penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan menggunakan fungsi kernel umum. Selanjutnya dicari syarat minimal agar penduga-penduga yang dihasilkan konsisten, serta dirumuskan pendekatan asimtotik bagi bias penduga dan bias ragam. Diperlihatkan secara komputasi bahwa teori yang dikemukakan benar. Pendugaan ini antara lain diperlukan untuk tujuan seperti penentuan bandwidth optimal asimtotik dan untuk pendugaan informasi Fisher.
© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2007 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK
SYAMSURI
Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
Judul Tesis Nama
: Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik : Syamsuri
NRP
: G551050131
Disetujui, Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Ketua
Ir. Retno Budiarti, MS Anggota
Diketahui, Ketua Departemen Matematika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Berlian Setiawaty, MS
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal Ujian : 11 Desember 2007
Tanggal Lulus :
PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah Ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2007 ini adalah Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik Sebuah karya sebenarnya sulit dikatakan sebagai usaha satu orang, tanpa bantuan orang lain. Demikian pula karya ilmiah ini, tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritik membangun dari berbagai pihak. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. I Wayan Mangku, MSc dan Ir. Retno Budiarti, MS selaku pembimbing serta Dr. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang banyak memberikan saran. Demikian pula, penulis mengucapkan terima kasih sedalam-dalamnya kepada Pimpinan Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Jakarta yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk belajar dan menyelesaikan Program Magister Matematika Terapan di Sekolah Pascasarjana IPB. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Desember 2007 Syamsuri
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 7 Mei 1980 sebagai anak ke-6 dari 8 bersaudara , anak dari pasangan H. Masyim dan Hj. Rochmah (alm). Pada awal tahun 2006, penulis menikah dengan Frida Rezania dan telah dikaruniai seorang putra bernama ’Ukasyah ’Abdurrahman Syam. Penulis menempuh pendidikan dasar dan menengah di Bekasi hingga tahun 1998. Pada tahun yang sama, penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - IPB dan lulus pada tahun 2002. Selanjutnya, pada tahun 2005 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan studi pada Program Magister Matematika Terapan IPB. Saat ini, penulis aktif sebagai pengelola Lembaga Mathematics Study Club (MSC) yang didirikan oleh penulis bersama rekan-rekannya pada awal tahun 2000. Selain itu, sejak tahun 2005 penulis tercatat sebagai staf pengajar pada Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
DAFTAR ISI Halaman LEMBAR PERNYATAAN ..........................................................................
i
ABSTRAK .....................................................................................................
ii
LEMBAR PENGESAHAN .......................................................................... vi RIWAYAT HIDUP ....................................................................................... vii PRAKATA ..................................................................................................... viii DAFTAR ISI .................................................................................................. ix BAB I
PENDAHULUAN ....................................................................
1
1.1. Latar Belakang ...............................................................................
1
1.2. Tujuan ............................................................................................
2
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA ...........................................................
3
2.1. Proses Poisson Periodik ................................................................
3
2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik .................
6
BAB III
KEKONSISTENAN ................................................................
3.1. Perumusan Penduga Bagi λ ( s )
...................................................
8 8
3.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Nilai Harapan λˆn ,K (s ) .................. 10
3.3. Aproksimasi Asimtotik untuk Ragam λˆn ,K (s ) 3.4. Perumusan Penduga Bagi λ ′( s )
.............................. 14
.................................................. 16
3.5. Perumusan Penduga Bagi λ ′′( s ) .................................................... 21 BAB IV
SIFAT-SIFAT STATISTIKA ................................................. 28
4.1. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam λˆn' ,K (s )
.......... 28
4.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam λˆn′′, K (s )
........ 31
BAB V
SIMULASI ................................................................................. 34
5.1 Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Pertama .......... 35 5.2 Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Kedua ............. 38 KESIMPULAN ............................................................................................... 41 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 43 LAMPIRAN ................................................................................................... 45
