1
Pemodelan Biaya Tak Langsung Proyek Konstruksi di PT Wijaya Karya (Studi Kasus: Proyek Konstruksi Di Provinsi Kalimantan Timur) 1
Odik Fajrin Jayadewa, 2Dr. Irhamah, S.Si, M.Si, dan 3Dwi Endah Kusrini, S.Si, M.Si Jurusan Statistika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail:
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Abstrak—Salah satu faktor yang menentukan keberhasilan perusahaan jasa konstruksi dalam mengikuti tender proyek dan menyelesaikan proyek konstruksi dengan tetap menghasilkan profit yang cukup adalah seberapa akurat biaya konstruksi yang diestimasi. Biaya tak langsung merupakan salah satu komponen biaya konstruksi. Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan biaya tak langsung proyek (Y) berdasarkan variabel-variabel yang mempengaruhinya yaitu nilai proyek (X1) dan durasi waktu pelaksanaan proyek (X2). Pemodelan yang dilakukan pada penelitian ini diantaranya yaitu pemodelan regresi linear serta pemodelan regresi non linear dengan menggunakan Algoritma Levenberg-Marquardt dan Algoritma Genetika sebagai metode penaksir parameter model. Selanjutnya ketiga model tersebut dibandingkan berdasarkan kriteria kebaikan model yaitu nilai RMSE. Dari hasil analisis disimpulkan bahwa model yang menggunakan Algoritma Genetika sebagai metode estimasi parameter merupakan model yang paling tepat untuk memodelkan hubungan antara rasio biaya tak langsung proyek dengan nilai proyek dan durasi waktu pelaksanaan proyek karena memiliki nilai RMSE terkecil. Kata Kunci—Algoritma Genetika, Algoritma LevenbergMarquardt, Biaya tak langsung, Regresi Linear, Regresi Nonlinear.
I. PENDAHULUAN
A
KURASI estimasi biaya konstruksi merupakan salah satu hal terpenting yang menentukan keberhasilan perusahaan jasa konstruksi dalam mengikuti tender proyek dan menyelesaikan proyek konstruksi dengan tetap menghasilkan profit yang cukup. Komponen biaya konstruksi terdiri dari biaya langsung dan biaya tak langsung [1]. Berbeda halnya dengan biaya langsung, pada biaya tidak langsung mengandung unsur ketidakpastian yang cenderung lebih tinggi. Hal ini dikarenakan biaya tak langsung sangat dipengaruhi oleh beberapa faktor yaitu lokasi, waktu pelaksanaan, nilai proyek serta situasi dan kondisi dimana proyek berada. Estimasi biaya tak langsung yang dilakukan oleh perusahaan jasa konstruksi seringkali didasarkan pada pengalaman maupun intuisi dari seorang estimator [2]. Penentuan biaya tak langsung tanpa melalui pendekatan ilmiah yang logis dan sitematis seperti itu tidak jarang menyebabkan terjadinya kesalahan dalam penawaran harga ketika mengikuti tender maupun dalam pelaksanaan proyek di lapangan. Pentingnya akurasi estimasi biaya tak langsung memicu munculnya penelitian mengenai pemodelan biaya tak langsung. Penelitian mengenai estimasi biaya tidak langsung pada proyek konstruksi dilakukan oleh Soemardi dan Kusumawardani [3] serta Rahadian [4] dan Yusuf [5] yang memodelkan hubungan biaya tak langsung dengan nilai proyek konstruksi. Sementara itu pada penelitian tentang pemodelan biaya tak langsung proyek-proyek
bangunan air [2], selain menggunakan nilai proyek sebagai variabel prediktor juga melibatkan faktor-faktor lain yang mempengaruhi biaya tak langsung seperti jenis proyek, lokasi proyek dan durasi proyek. Penelitian ini menggunakan analisis regresi linear berganda untuk memodelkan biaya tak langsung berdasarkan variabelvariabel prediktor tersebut. Mengacu pada penelitian Rahadian [4] dan Yusuf [5] diduga penyebab kecilnya nilai R2 pada model tersebut disebabkan karena adanya hubungan nonlinear antara biaya tak langsung dengan variabelvariabel yang mempengaruhi. Metode alternatif untuk menjelaskan hubungan nonlinear antara variabel respon dan prediktor yaitu regresi nonlinear. Penaksiran parameter regresi nonlinear dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan Ordinary Least Square (OLS) yaitu dengan meminimumkan Sum Square Error (SSE). Salah satu metode yang sering digunakan untuk menaksir estimator kuadrat terkecil dalam regresi nonlinear yaitu Algoritma Levenberg-Marquardt. Namun dalam prakteknya terdapat kesulitan dalam mengestimasi nilai parameter dari suatu model regresi non linear. Agar lebih praktis dalam menentukan titik optimum maka perlu digunakan metode optimasi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut yaitu dengan menggunakan pendekatan Algoritma Genetika. PT Wijaya Karya merupakan salah satu perusahaan konstruksi milik pemerintah yang memainkan peran utama dalam pembangunan nasional. Proyek-proyek konstruksi yang dikerjakan oleh PT Wijaya Karya meliputi irigasi, jalan tol, jembatan, pelabuhan, bandara, gedung bertingkat, apartemen, pembangkit tenaga listrik, pabrik dan fasilitas industri lainnya. Proyek yang ditangani oleh PT Wijaya Karya tersebar di beberapa wilayah di Indonesia diantaranya yaitu Provinsi Kalimantan Timur. Berdasarkan uraian di atas maka pada penelitian ini dilakukan estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan Algoritma Genetika pada pemodelan biaya tak langsung proyek konstruksi di PT Wijaya Karya yang berada di Provinsi Kalimantan Timur. Hasil dari pemodelan tersebut akan dibandingkan dengan pemodelan biaya tak langsung proyek konstruksi dengan metode regresi linear dan metode regresi non linear yang menggunakan Algoritma Levenberg-Marquardt dalam estimasi parameternya. II. TINJAUAN PUSTAKA A. Analisis Regresi Analisis regresi merupakan salah satu alat statistika yang menggunakan hubungan antara dua atau lebih variabel kuantitatif untuk memprediksi salah satu variabel dari variabel lainnya [6].
2 Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + β3 X3 + … + βp Xp + ε Keterangan: Y X1, X2, X3, …, Xp β0, β1 , β2, …., βp
ε
= = = =
(1)
variabel respon variabel prediktor parameter regresi error
B. Pengujian Parameter Model Regresi Dalam pengujian parameter regresi terdapat dua uji yang harus dilakukan untuk mengetahui signifikansi dari variabel bebas yaitu : pengujian secara serentak, serta pengujian secara individu. Koefisien regresi diuji secara serentak dengan menggunakan ANOVA, untuk mengetahui apakah secara bersama-sama mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap model. Hipotesis dari pengujian ini adalah : H0: β1 = β2 = … = βp = 0 H1: minimal terdapat satu βj ≠ 0, j = 1,2,3,…, p p merupakan jumlah parameter yang terdapat di dalam model regresi. Statistik uji yang digunakan adalah :
RK Regresi
FHitung =
(2)
RK Residual
Apabila FHitung > Fα(v1,v2) maka H0 ditolak artinya paling sedikit ada satu βp yang tidak sama dengan nol atau paling sedikit ada satu dari variabel bebas yang memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon. Uji individu digunakan untuk menguji apakah nilai koefisien regresi mempunyai pengaruh yang signifikan. Hipotesis dari pengujian secara individu adalah : H0: βi = 0 H1: βi ≠ 0, i = 1,2,…, k Statistik uji yang digunakan adalah : t Hitung =
βˆ i
( )
stdev βˆ i
(3)
C. Evaluasi Kesesuaian Model Regresi Linear Dalam evaluasi kesesuaian model regresi linear uji asumsi yang dilakukan antara lain uji Durbin-Watson, Uji Glejser, Uji Kolmogorov-Smirnov, Nilai VIF (Variance Inflation Factor) dan Uji Ramsey’ RESET. Nilai Durbin-Watson (d) dapat dihitung sebagai berikut.
d=
∑ (e i =2
i
− ei −1 )
14
∑e i =2
D = sup |S(x)-F0(x)|
2
(4)
VIF =
1 1 − R 2 (x1 )
(6)
Langkah-langkah dalam Uji Ramsey’s RESET adalah sebagai berikut: i. Meregresikan yt pada 1, x1, …, xp dan menghitung nilai‐nilai taksiran variabel respon yˆ t yaitu (7)
ii. Menghitung koefisien determinasi dari model regresi pada poin (i), yaitu R2, dan selanjutnya dinotasikan dengan R2old . iii. Meregresikan yt pada 1, x1, …, xp dan 2 prediktor tambahan, yaitu yˆ t 2 dan yˆ t 3 , dengan model 2 3 yˆ t = β 0 + β1 x1 + ... + β p x p + α 1 yˆ t + α 2 yˆ t
(8)
iv. Menghitung koefisien determinasi dari model regresi pada poin (ii), yaitu R2, dan selanjutnya dinotasikan dengan R2new . v. Menghitung nilai uji F, yaitu
2 i
Uji Glejser dilakukan dengan meregresikan variabelvariabel prediktor terhadap nilai absolut residual dari model regresi yang diperoleh sebelumnya dengan meregresikan variabel-variabel prediktor terhadap variabel respon. interpretasi heteroskedastisitas dilakukan dengan melihat signifikansi antara setiap variabel prediktor secara parsial
(5)
Keterangan: D = jarak vertikal terjauh antara F0 (x) dan S(x) S(x) = fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari data sampel F0(x) = fungsi distribusi yang dihipotesiskan (distribusi normal) F(x) = fungsi distribusi yang belum diketahui Hipotesis nol ditolak jika D > D(1-α, n) dengan α adalah taraf signifikansi dan n adalah ukuran sampel. Nilai VIF digunakan untuk mendeteksi multikolinearitas. VIF mengukur seberapa besar varians dari suatu koefisien regresi yang diestimasi meningkat apabila variabel prediktor berkorelasi. Nilai VIF diperoleh dengan cara meregresikan setiap variabel prediktor dengan variabel-variabel prediktor yang lain. Misal untuk prediktor x1 nilai VIF dapat dihitung sebagai berikut.
yˆ t = β 0 + β1 x1 + ... + β p x p
Apabila nilai tHitung > t(α/2,n-k), maka H0 ditolak artinya variabel independen ke i memberikan pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon.
14
terhadap nilai absolut residual. Gangguan heteroskedastisitas terjadi jika minimal ada satu variabel prediktor yang berpengaruh yang signifikan terhadap nilai absolut residual. Uji Kolmogorov-Smirnov dilakukan untuk mengetahui apakah residual berdistribusi normal atau tidak. Hipotesis yang akan diuji adalah sebagai berikut. H0 : F(x) = F0 (x) H1 : F(x) ≠ F0 (x) Statistik uji yang digunakan adalah sebagai berikut.
F=
(R
2
new
(1 − R ) 2
new
)
− R 2 old m (n − p − 1 − m )
Keterangan: m = banyaknya prediktor tambahan p = banyaknya prediktor awal n = jumlah pengamatan yang digunakan
(9)
3 Hipotesis yang digunakan dalam uji non‐linearitas adalah : H0 : f (X ) adalah fungsi linear dalam X atau model linear H1 : f (X ) adalah fungsi non‐linear dalam X atau model non‐linear H0 ditolak yang berarti model non‐linear adalah yang sesuai, jika F > Fα ;(df1=m, df2=n− p−1−m) . D. Regresi Nonlinear Model regresi nonlinear tidak linear dalam parameter dan tidak dapat di-linear-kan dengan cara transformasi [6]. Jika suatu model tidak linear dalam parameter maka model tersebut merupakan suatu model regresi nonlinear. Beberapa model kelihatan nonlinear dalam parameter namun secara instrinsik linear karena dengan transformasi yang tepat model tersebut dapat di-linear-kan dalam parameter model regresi. Akan tetapi apabila model tersebut tidak dapat dilinear-kan dalam parameter maka disebut model regresi nonlinear secara intrinsik [7]. Secara umum model regresi nonlinear dapat ditulis sebagai berikut [8]:
Y = f ( X ,θ ) + ε
(10)
Keterangan: Y = variabel dependen X = vektor dari variabel independen berukuran n x 1 θ = vektor dari parameter nonlinear berukuran k x 1 ε = random error Dalam penelitian ini digunakan beberapa model regresi non linear yaitu model dalam persamaan (11) dan (12) berikut.
y = αe
β1 x1 + β 2 x2
+ε
(11)
y = α − β1 (ln (x1 + β 2 ) − ln ( x 2 ))
(12)
E. Algoritma Levenberg-Marquardt Dasar penerapan dari Algoritma Levenberg-Marquardt adalah dalam permasalahan pencocokan kurva kuadrat terkecil yaitu apabila dari sekumpulan m pasangan data variabel independen dan variabel dependen (xi, yi), ingin dilakukan pengoptimalan parameter β dari kurva model f(x,β) sehingga jumlah kuadrat dari deviasi pada persamaan (13) menjadi minimal. m
S (β ) = ∑ [ y i − f ( xi , β )]
2
(13)
i =1
Seperti halnya algoritma minimasi numerik yang lain, Algoritma Levenberg-Marquardt merupakan suatu prosedur iteratif. Untuk memulai suatu minimasi, peneliti harus menyediakan suatu nilai taksiran inisial untuk vektor parameter β. Dalam kasus dengan hanya satu minimum, suatu taksiran standart yang tak diinformasikan seperti βT = (1,1,...,1) akan bekerja dengan baik. Sementara itu dalam kasus dengan minima ganda, algoritma hanya akan konvergen jika nilai taksiran inisial telah mendekati solusi akhir. F. Algoritma Genetika Algoritma Genetika ditemukan pertama kali oleh John Holland dengan tujuan awal untuk pembelajaran formal mengenai fenomena adaptasi yang terjadi di alam dan
mengembangkan mekanisme tentang adaptasi alami yang diterapkan dalam sistem komputer. Algoritma Genetika yang digagas oleh Holland adalah metode pemindahan kromosom dari satu populasi ke populasi lain menggunakan seleksi alam dengan operator inspirasi genetik tentang cross over, mutasi dan inversi [9]. Ada 7 komponen dalam Algoritma Genetika, yaitu [10]: i. Skema Pengkodean ii. Nilai Fitnes iii. Seleksi Orang Tua iv. Pindah Silang (Crossover) v. Mutasi vi. Elitisme vii.Penggantian Populasi (Generational Replacement). G. Biaya Tak Langsung Biaya tak langsung adalah biaya yang tidak terkait langsung dengan volume pekerjaan yang meliputi biaya overhead, pajak, dan biaya contingency [1]. Komponenkomponen biaya tidak langsung yaitu: i. Pajak (Taxes) ii. Kondisi Umum (General Condition) iii. Biaya Resiko (Risk) yang terdiri dari dua kategori yaitu Keuntungan (Profit) dan Biaya Tak Terduga (Contigency Fee). Adapun faktor-faktor yang mempengaruhi biaya tak langsung proyek antara lain [11]: Jenis Proyek, Lokasi Proyek, Durasi Proyek dan Nilai Kontrak Proyek. III. METODOLOGI PENELITIAN A. Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari data proyek konstruksi PT Wijaya Karya di Provinsi Kalimantan Timur dengan unit observasi yaitu proyek pada tahun 2010-2012. B. Variabel Penelitian Variabel penelitian yang digunakan dalam penelitian ini terdiri dari variabel respon (Y) yaitu rasio biaya tak langsung proyek konstruksi (%) serta nilai proyek konstruksi (miliar rupiah) (X1) dan durasi waktu pelaksanaan proyek (hari) (X2) sebagai variabel prediktor. C. Metode Analisis Data Dalam penelitian ini dilakukan langkah-langkah analisis data sebagai berikut. 1. Untuk memperoleh model regresi linear biaya tak langsung proyek konstruksi dilakukan langkah-langkah analisis sebagai berikut : a. Mendeskripsikan data proyek konstruksi dengan statistika deskriptif. b. Melakukan analisis hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor. c. Memodelkan variabel respon y dengan variabel respon x dengan metode regresi linear. d. Mengevaluasi kesesuaian model regresi linear. 2. Melakukan penaksiran parameter model regresi nonlinear dengan menggunakan Algoritma Levenberg-Marquardt. 3. Melakukan penaksiran parameter model regresi nonlinear dengan menggunakan Algoritma Genetika. 4. Menghitung nilai RMSE dari masing-masing model dengan menggunakan nilai parameter yang diperoleh dari langkah 2 dan 3.
4
5. Membandingkan model regresi linear, model regresi nonlinear yang diperoleh dari langkah 2 dan model regresi nonlinear yang diperoleh dari langkah 3 berdasarkan nilai RMSE. IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A. Analisis Hubungan antara Variabel Respon dan Variabel Prediktor
proyek. Sedangkan koefisien korelasi antara Y dan X2 yaitu 0,554 dan bernilai negatif yang berarti semakin lama durasi waktu pelaksanaan proyek maka semakin rendah rasio biaya tak langsung proyek begitu pula sebaliknya. Dengan menggunakan taraf signifikansi (α) sebesar 0,05 diperoleh kesimpulan tolak H0 karena P-value < α yang berarti ada hubungan linear antara durasi waktu pelaksanaan proyek dan rasio biaya tak langsung proyek.
90
Rasio Biaya Tak Langsung (%)
80
Variabel Respon Y Y
70 60 50 40 30 20 10 0 0
10
20
30 40 50 Nilai Proyek (miliaran rupiah)
60
70
80
Gambar 1. Scatterplot Hubungan antara Nilai Proyek (X1) dan Rasio Biaya Tak Langsung Proyek (Y)
Gambar 1 menunjukkan bahwa pola hubungan antara nilai proyek (X1) dan rasio biaya tak langsung proyek (Y) tidak linear. Scatterplot pada Gambar 1 menunjukkan bahwa terdapat hubungan yang negatif antara nilai proyek dan rasio biaya tak langsung proyek. Sementara itu hubungan antara durasi waktu pelaksanaan proyek (X2) dan rasio biaya tak langsung proyek (Y) memiliki pola yang tidak linear dan hubungan yang negatif yang ditampilkan pada Gambar 2. Pola hubungan yang tidak linear pada Gambar 1 dan Gambar 2 mengindikasikan bahwa terdapat pencilan yakni data proyek subkontraktor dan joint operation.
N o 1 2
Rasio Biaya Tak Langsung (%)
70
3
60 50
4
40
P-value 0,152 0,040
B. Model Regresi Linear Ada 4 pemodelan regresi linear, yang pertama dan kedua adalah model regresi antara variabel respon dan masingmasing variabel prediktor ( Y dengan X1 dan Y dengan X2). Model ketiga adalah model regresi antara variabel respon dengan kedua variabel prediktor (Y dengan X1 dan X2). Dan model keempat merupakan bentuk linear dari model regresi nonlinear y = αe β1x1 + β 2 x2 + ε . Karena adanya data pencilan yakni data proyek subkontraktor dan joint operation maka pada pemodelan regresi linear ini dilakukan dua pemodelan, yang pertama tanpa melibatkan data proyek subkontraktor dan joint operation (n=12) dan yang kedua melibatkan semua data proyek (n=14). Masing-masing pemodelan nantinya terdiri dari 4 model regresi linear seperti yang disebukan di atas.
90 80
Tabel 1. Nilai Korelasi antar Variabel Penelitian Variabel Nilai Korelasi Pearson Prediktor X1 -0,404 X2 -0,554
Tabel 2. Output Model Regresi Linear Tanpa Melibatkan Data Proyek Subkontraktor dan Joint Operation PModel Prediktor Koefisien RMSE value Konst. 11,3 0,000 Y = β0 + β1 X1 X1 -0,0187 0,720 4,1147 +ε Konst. 13,0 0,005 Y = β0 + β1 X2 X2 -0,0067 0,514 4,05073 +ε Konst. 13,0 0,008 Y = β0 + β1 X1 X1 0,0008 0,991 4,2698 + β2 X2 + ε X2 -0,0068 0,605 Konst. 2,7 0.000 ln Y = ln β0 + X1 0,00302 0,682 4,5383 β1 X1 + β2 X2 X2 -0,00143 0,337 +ε
R2 0,013 0,044 0,044
0,181
30 20 10 0 100
200
300 Durasi (hari)
400
500
Gambar 2. Scatterplot Hubungan antara Durasi Waktu Pelaksanaan Proyek (X2) dan Rasio Biaya Tak Langsung Proyek (Y)
Berdasarkan hasil perhitungan nilai korelasi pada Tabel 1 diketahui bahwa hubungan antara X1 dan Y memiliki koefisien korelasi negatif yang rendah antara yaitu sebesar 0,404 dengan P-value sebesar 0,152. Hal ini menunjukkan bahwa adanya peningkatan nilai proyek akan disertai dengan adanya penurunan rasio biaya tak langsung proyek begitu pula sebaliknya. Dengan menggunakan taraf signifikansi (α) sebesar 0,05 diperoleh kesimpulan tidak ada hubungan linear antara nilai proyek dan rasio biaya tak langsung
Tabel 3. Output Model Regresi Linear Dengan Melibatkan Semua Data Proyek N PModel Prediktor Koefisien RMSE R2 o value Konst. 26.3 0,005 Y = β0 + β1 X1 1 X1 -0.326 0,152 19,0077 0,163 +ε Konst. 42.3 0.003 Y = β0 + β1 X2 2 X2 -0.0782 0.040 17,3070 0,306 +ε Konst. 41,8 0,007 Y = β0 + β1 X1 3 X1 -0,052 0,851 18,0464 0,309 + β2 X2 + ε X2 -0,0722 0,157 Konst. 3,6 0.000 ln Y = ln β0 + X1 0,0016 0,874 18,7951 0,142 4 β1 X1 + β2 X2 X2 - 0,0035 0,067 +ε
Tabel 2 menunjukkan bahwa dari keempat model regresi linear tidak ada model yang memiliki prediktor yang signifikan (α = 0,05). Oleh karena itu dapat dikatakan kedua variabel prediktor pada pemodelan tanpa melibatkan data pro proyek subkontraktor dan joint operation yakni nilai
5 proyek subkontraktor dan joint operation yakni nilai proyek dan durasi waktu pelaksanaan proyek tidak signifikan berpengaruh terhadap rasio biaya tak langsung proyek. Hal tersebut didukung oleh rendahnya nilai R2 dari keempat model. Sementara itu dari Tabel 3 diketahui bahwa dari keempat model regresi linear hanya pada model kedua yaitu y = 42,3 - 0,0782 x2 yang memiliki prediktor yang signifikan (α = 0,05). Sementara itu berdasarkan nilai RMSE dari keempat model regresi linear yang disajikan pada Tabel 4, dapat dikatakan bahwa model kedua merupakan model yang terbaik karena memiliki nilai RMSE terkecil yaitu 17,070. Hal ini didukung oleh hasil pemodelan regresi linear terbaik dengan metode stepwise dimana hanya terpilih variabel prediktor X2 yang masuk dalam model. Dari hasil tersebut dapat dikatakan hanya durasi waktu pelaksanaan proyek yang mempengaruhi rasio biaya tak langsung proyek. Interpretasi dari model regresi tersebut yaitu setiap peningkatan durasi waktu pelaksanaan proyek sebesar 1 hari akan menyebabkan penurunan rasio biaya tak langsung sebesar 0,0782%. Dengan nilai R2 sebesar 30,6% berarti model regresi tersebut hanya mampu menjelaskan hubungan antara variabel respon (Y) dan variabel prediktor (X2) sebesar 30,6% dari keragaman data. Rendahnya nilai R2 dapat disebabkan karena adanya hubungan yang tidak linear antara variabel prediktor dengan variabel respon. Apabila mempertimbangkan nilai proyek selain durasi waktu pelaksanaan proyek sebagai variabel prediktor sesuai dengan penelitian yang telah dilakukan, maka berdasarkan Tabel 3 model regresi linear yang paling tepat adalah model ketiga yaitu y = 41,8 – 0,052 x1 - 0,0722 x2 + ε. Interpretasi dari model regresi tersebut yaitu setiap peningkatan nilai proyek sebesar 1 miliar rupiah akan menyebabkan penurunan rasio biaya tak langsung sebesar 0,052% dan setiap peningkatan durasi waktu pelaksanaan proyek sebesar 1 hari akan menyebabkan penurunan rasio biaya tak langsung sebesar 0,0722%. Adapun nilai RMSE dan R2 dari model tersebut masing masing sebesar 18,0464 dan 30,9%. Nilai R2 dari model tersebut mengindikasikan bahwa model regresi tersebut hanya mampu menjelaskan hubungan antara variabel respon (Y) dan variabel prediktor (X1 dan X2) sebesar 30,9% dari keragaman data. Rendahnya nilai R2 dapat disebabkan karena adanya hubungan yang tidak linear antara variabel prediktor dengan variabel respon. Berdasarkan Tabel 3 diinformasikan bahwa nilai P-value untuk masing-masing variabel prediktor X1 dan X2 yaitu 0,851 dan 0,157. Pada taraf signifikansi 0,05 disimpulkan bahwa gagal tolak H0 yang berarti variabel X1 dan X2 tidak memiliki pengaruh signifikan terhadap variabel respon. C. Evaluasi Kesesuaian Model Regresi Linear Dalam analisis regresi linear berganda yang berbasis Ordinary Least Square (OLS) terdapat beberapa asumsi klasik diantaranya yaitu εi ~ IIDN(0,σ2), tidak terjadi multikolinearitas dan linearitas model. Dari hasil evaluasi kesesuaian model regresi linear tanpa melibatkan data proyek Subkontraktor dan Joint Operation diketahui bahwa tidak terjadi kasus autokorelasi, tidak terjadi kasus heteroskedastisitas, residual berdistribusi normal dan tidak terjadi kasus multikolinearitas. Sementara itu pada model regresi linear dengan melibatkan semua data proyek diperoleh hasil evaluasi yaitu tidak terjadi kasus autokorelasi, terjadi kasus heteroskedastisitas, residual tidak berdistribusi normal, tidak terjadi kasus multikolinearitas.
Selain itu dari hasil Uji Ramsey’s RESET disimpulkan bahwa model yang sesuai untuk menjelaskan hubungan antara nilai proyek (X1) dan durasi waktu pelaksanaan proyek (X2) dengan rasio biaya tak langsung (Y) adalah model non linear. Oleh karena itu dalam analisis selanjutnya akan dilakukan pemodelan regresi nonlinear yang melibatkan semua data proyek. D. Estimasi Parameter Model Regresi Nonlinear dengan Menggunakan Algoritma Levenberg-Marquardt Estimasi parameter model regresi nonlinear dengan menggunakan metode Algoritma Levenberg-Marquardt menghasilkan output yang ditampilkan pada Tabel 4. Adapun nilai inilisiasi parameter untuk model regresi nonlinear yang digunakan merupakan parameter yang diperoleh dari pemodelan regresi linear yakni α = 41,8; β1 = -0,052 dan β2 = -0,0722. Tabel 4. Output Model Regresi Nonlinier dengan Menggunakan Algoritma Levenberg-Marquardt No Model Parameter RMSE R2 α = 142,626 1 β1 = -0,2075 10,2616 0,776 y = αe β1x1 + β 2 x2 + ε β2 = -0,0048 α = -174,575 y = α –β1(ln(x1 + β2) - ln(x2)) 2 β1 = -24,4237 16,7286 0,406 +ε β2 = 736970
Pada Tabel 4 diinformasikan bahwa nilai RMSE untuk masing-masing model 1 dan model 2 berturut-turut yaitu 10,2616 dan 16,7286. Sementara itu nilai R2 untuk model 1 sebesar 0,776 dan untuk model 2 sebesar 0,406. Nilai RMSE model 1 yang lebih kecil daripada model 2 dan nilai R2 model 1 yang lebih besar daripada model 2 menunjukkan bahwa model 1 merupakan model yang paling tepat dari kedua model tersebut untuk memodelkan hubungan antara X1 dan X2 dengan Y. E. Estimasi Parameter Model Regresi Nonlinear dengan Menggunakan Algoritma Genetika Dalam penaksiran parameter model regresi nonlinear dengan menggunakan Algoritma Genetika terdapat beberapa tahapan yaitu 1) representasi dan inisialisasi, 2) menentukan fungsi objektif dan nilai fitness, 3) seleksi roulette wheel, dan 4) pindah silang. β2. Tahapan-tahapan iterasi akan berhenti ketika nilai fitness minimum sudah konvergen dari generasi sebelumnya dan selanjutnya. Tahapan-tahapan dalam Algoritma Genetika diuraikan sebagai berikut. 1. Representasi dan inisialisasi Nilai inisialisasi yang digunakan merupakan nilai parameter dari pemodelan regresi nonlinear yaitu: a. Untuk model y = αe β1 x1 + β 2 x2 + ε digunakan nilai inisialisasi α = 142,626; β1 = -0,2075 dan β2 = -0,0048 b. Untuk model y = α − β1 (ln (x1 + β2 ) − ln (x2 )) + ε digunakan nilai inisialisasi α = -174,575; β1 = 24,4237 dan β2 = 736970 Untuk mencari nilai RMSE yang minimum digunakan ukuran populasi sebanyak 100. Struktur kromosom tersebut dapat diilustrasikan pada Gambar 3. Kromosom
142,626
Gambar 3. Contoh Struktur Kromosom
-0,2075
-0,0048
6 2. Fungsi objektif dan nilai fitness Dalam penelitian ini digunakan fungsi RMSE sebagai fungsi objektif sedangkan nilai fitness yang digunakan adalah nilai RMSE. Nilai fitness tersebut dijadikan sebagai acuan untuk menyeleksi individu. Contoh untuk nilai fitness disajikan dalam Tabel 5.
kromosom induk yang menghasilkan kromosom anak seperti yang diilustrasikan pada Gambar 5. Induk 1
143,1586
-0,0734
-0,2921
Induk 2
144,3359
-0,4738
-0,0618
Gambar 4. Kromosom Induk Tabel 5. Contoh Nilai Fitness Kromosom
Individu
Nilai Fitness
1
143,1586
-0,0734
-0,2921
29,4632
2
144,3359
-0,4738
-0,0618
29,4400
100
143,0908
-0,2075
-0,0048
10,2610
3. Seleksi roulette wheel Pada seleksi ini dilakukan perhitungan nilai fitness relatif (rk) masing-masing kromosom terlebih dahulu. Sebagai contoh untuk nilai fitness sebesar 29,4632 maka nilai fitness relatif (rk) dapat dihitung sebagai berikut. r1 = Fitness1/Total Fitness = 0,01000 r2 = Fitness2/Total Fitness = 0,01001 dan seterusnya hingga r100. Kemudian menghitung nilai fitness kumulatif (kk) sebagai berikut. k1 = r1 = 0,01000 k2 = r1 = 0,02001 dan seterusnya hingga k100. Hasil perhitungan nilai fitness relatif (rk) dan nilai fitness kumulatif (kk) disajikan dalam Tabel 6. Tabel 6. Contoh Nilai Fitness Relatif dan Nilai Fitness Kumulatif Kromosom Fitness Relatif (rk) Fitness Kumulatif (kk) 1 0,01000 0,01000 2 0,01001 0,02001
100
0,01012
1
Setelah menghitung nilai fitness relatif dan nilai kumulatif untuk masing-masing kromosom selanjutmya yaitu membangkitkan bilangan random antara 0 dan 1 seba-nyak ukuran populasi yaitu 100. Contoh bilangan acak yang digunakan disajikan pada Tabel 7. Bilangan acak pertama mempunyai nilai sebesar 0,00410. Nilai tersebut kurang dari k1 sehingga kromosom 1 terpilih sebagai kromosom baru yang pertama. Dengan cara yang sama dapat diperoleh 100 kromosom baru.
No 1 2
Tabel 7. Contoh Bilangan Acak Untuk Seleksi Bilangan Acak 0,00410 0,83200
100
0,01755
4. Pindah silang Jenis pindah silang yang digunakan adalah single-point cross. Langkah pertama yang dilakukan pada penyilangan satu titik yaitu menentukan satu titik dimana akan terjadi pindah silang. Contoh dari penentuan satu titik pada kromosom induk diilustrasikan pada Gambar 4. Dari titik pada Gambar 4 akan dilakukan pindah silang dua
Induk 1
143,1586
-0,4738
-0,0618
Induk 2
144,3359
-0,0734
-0,2921
Gambar 5. Kromosom Anak
Dari Tabel 8 diketahui hasil pemodelan regresi nonlinear dengan menggunakan algoritma genetika. Diperoleh informasi bahwa nilai rata-rata RMSE untuk model 1 yaitu 15,0304 sedangkan untuk nilai RMSE model 2 sebesar 8,9064. Model 2 merupakan model yang paling tepat dari kedua model tersebut untuk memodelkan hubungan antara rasio biaya tak langsung proyek dengan nilai proyek dan durasi waktu pelaksanaan proyek karena rata-rata RMSE model 2 yang lebih kecil daripada model 1. Sementara itu berdasarkan hasil estimasi terbaik diketahui nilai RMSE untuk model 2 yaitu 8,4048. Nilai RMSE tersebut lebih kecil daripada RMSE dari hasil estimasi terbaik pada model 1. Tabel 8. Output Model Regresi Nonlinier dengan Menggunakan Algoritma Genetika Rata-Rata Hasil Estimasi Terbaik No Model RMSE Parameter RMSE α = 143,0932 10,2610 1 β1 = -0,2075 10,2610 y = αe β1x1 + β 2 x2 + ε β2 = -0,0048 α = -0,9500 y = α –β1(ln(x1 + β2) 8,7334 2 β1 = 4,8880 8,3298 ln(x2)) + ε β2 = -0,2100
F. Perbandingan Model Regresi Linear, Model Regresi Nonlinear dengan Menggunakan Algoritma LevenbergMarquardt dan Model Regresi Nonlinear dengan Menggunakan Algoritma Genetika Selanjutnya dilakukan perbandingan antara model regresi linear, model regresi nonlinear dengan menggunakan Algoritma Levenberg-Marquardt dan model regresi nonlinear dengan menggunakan Algoritma Genetika. Kriteria model terbaik dilihat berdasarkan nilai RMSE. Berdasarkan Tabel 9 diperoleh informasi bahwa model 8 memiliki nilai RMSE terkecil yaitu 8,3298. Hal ini menunjukkan bahwa model y = -0,95 - 4,888(ln(x1 - 0,21) ln(x2)) + ε dengan menggunakan Algoritma Genetika dalam estimasi parameternya merupakan model yang paling tepat untuk memodelkan hubungan antara rasio biaya tak langsung proyek dengan nilai proyek dan durasi waktu pelaksanaan proyek. Semakin besar nilai proyek maka rasio biaya tak langsung semakin kecil. Sementara itu apabila durasi waktu pelaksanaan proyek semakin lama rasio biaya tak langsung yang dikeluarkan semakin besar. Apabila dimisalkan nilai proyek sebesar 10 miliar rupiah dan durasi pelaksanaaan proyek selama 100 hari maka rasio biaya tak langsung dari proyek tersebut sebesar 10,41%.
7
No
Tabel 9. Perbandingan Kriteria Nilai RMSE Model
DAFTAR PUSTAKA RMSE
1
y = 26,3 -0,326x1 + ε
19,0077
2
y = 42,3 -0,0782x2 + ε
17,3070
3
y = 41,8 -0,052x1 -0,0722 x2 + ε
18,0464
4
ln y = ln 3,6 + 0,0016x1 -0,0035x2 + ε
18,7951
5
y = 142,626.e
-0,2075x1-0,0048x2
+ε
10,2616
6
y = -174,575 + 24,4237(ln(x1 + 736970) - ln(x2)) + ε
16,7286
7
y = 143,0932.e-0,2075x1-0,0048x2 + ε
10,2610
8
y = -0,95 - 4,888(ln(x1 - 0,21) - ln(x2)) + ε
8,3298
V. KESIMPULAN Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan diperoleh kesimpulan pemodelan dengan melibatkan data proyek subkontraktor dan joint operation memberikan hasil yang lebih baik dilihat dari signifikansi parameter dibandingkan dengan pemodelan dengan melibatkan semua data proyek. Adapun model regresi linear yang melibatkan semua data proyek yang memodelkan hubungan antara rasio biaya tak langsung proyek (Y) dengan nilai proyek (X1) dan durasi waktu pelaksanaan proyek (X2) yaitu y = 41,8 – 0,052 x1 0,0722 x2 + ε dengan nilai RMSE dan R2 masing masing sebesar 18,0464 dan 0,309. Rendahnya nilai R2 disebabkan karena adanya hubungan yang tidak linear antara variabel prediktor dengan variabel respon. Selain itu dari evaluasi kesesuaian model regresi linear tersebut terdapat beberapa asumsi yang tidak terpenuhi yaitu kondisi homoskedastisitas pada residual, residual tidak berdistribusi normal dan linearitas model. Dari uji signifikansi parameter model juga diketahui bahwa kedua variabel prediktor (X1 dan X2) tidak memiliki pengaruh signifikan terhadap variabel respon (Y). Hasil pemodelan regresi nonlinear dengan menggunakan Algoritma Levenberg-Marquardt sebagai metode estimasi parameter yaitu y = 142,626.e-0,2075x1-0,0048x2 + ε dan y = -174,575 – 24,4237(ln(x1 + 736970) - ln(x2)) + ε. Sementara itu hasil pemodelan regresi nonlinear dengan menggunakan Algoritma Genetika sebagai metode estimasi parameter yaitu y = 143,0932.e-0,2075x1+-0,0048x2 + ε dan y = -0,95 + 4,888(ln(x1 - 0,21) - ln(x2)) + ε. Dari perbandingan antara model regresi linear, model regresi nonlinear dengan menggunakan Algoritma Levenberg-Marquardt dan model regresi nonlinear dengan menggunakan Algoritma Genetika disimpulkan bahwa model y = -0,95 + 4,888(ln(x1 - 0,21) - ln(x2)) + ε yang menggunakan Algoritma Genetika sebagai metode estimasi parameter merupakan model yang paling tepat untuk memodelkan hubungan antara rasio biaya tak langsung proyek dengan nilai proyek dan durasi waktu pelaksanaan proyek karena memiliki nilai RMSE terkecil. Untuk penelitian selanjutnya sebaiknya data proyek yang digunakan lebih banyak dan ditambahkan jenis proyek sebagai variabel dummy sehingga model yang dihasilkan nanti lebih sesuai untuk mengestimasi biaya tak langsung proyek konstruksi.
[1] AACE International, Skills & Knowledge of Cost Engineering 5th Edition. Morgantown: AACE International (2004). [2] M. Suryanto dan K. D. Handayani, “Pemodelan Biaya Tak Langsung Proyek-Proyek Bangunan Air”. Jurnal Teknika Universitas Negeri Surabaya, Vol. 9 No. 1. (2008). [3] B.W. Soemardi dan R. G. Kusumawardani, “Studi Praktek Estimasi Biaya Tidak Langsung pada Proyek Konstruksi”, Konferensi Nasional Teknik Sipil 4 (KONTEKS4) (2010). [4] D. Rahadian, “Kajian Terhadap Praktek Estimasi Biaya Tidak Langsung Proyek Konstruksi pada Perusahaan Kontraktor Menengah di Daerah Bandung dan Jakarta”, Tesis Program Magister Institut Teknologi Bandung (2010). [5] D. Yusuf, “Studi Estimasi Biaya Tidak Langsung Proyek Konstruksi Pada Perusahaan Konstraktor Kualifikasi Besar di Daerah Bandung dan Jakarta”, Tesis Program Magister Institut Teknologi Bandung (2010). [6] J. Neter, W. Wasserman, dan M. H. Kutner, Applied Linear Regression Models. Illinois: Richard D. Irwin, Inc (1983). [7] D. N. Gujarati, Basics Econometrics Fourth Edition. New York: McGraw Hill International (2004). [8] M. Zeltkevic, Nonlinear Models and Linear Regression. Massachusetts Institute of Technology (1998). [9] M. Mitchell, An Introduction to Genetic Algoritms. London: Cambridge (1999). [10] Suyanto, Algoritma Genetika Dalam Matlab. Yogyakarta: Andi Offset (2005). [11] I. Dipohusodo, Manajemen Proyek & Konstruksi. Yogyakarta: Kanisius (1996).
