Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 2011 1. Diketahui vektor u = (a, −2, −1) dan v = (a, a, −1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah ... a. −1
b. 0
c. 1
d. 2
e. 3
Jawaban : c Karena u tegak lurus v maka 0 = u · v = a2 − 2a + 1 = (a − 1)2 . Jadi, a = 1. 2. Pernyataan berikut yang benar adalah ... a. Jika sin x = sin y maka x = y b. Untuk setiap vektor u, v, w berlaku u · (v · w) = (u · v) · w c. Jika
Rb a
f (x)dx = 0 maka f (x) = 0
d. Ada fungsi f sehingga lim f (x) 6= f (c) untuk suatu c x→c
e. 1 − cos(2x) = 2 cos2 x Jawaban : d Opsi a. salah, ambil counter example x = 30◦ dan y = 150◦ Opsi b. salah karena u · v hasilnya skalar sehingga operasi (u · v) · w tak terdefinisi. Opsi c. salah, ambil counter example a = 0, b = 2π(dan f (x) = sin x x, x 6= 0; Opsi d. benar, definisikan fungsi f yaitu f (x) = dan c = 0 sehingga 1, x = 0. lim f (x) = 0 6= 1 = f (0). x→0 Opsi e. salah, karena seharusnya 1 + cos(2x) = 2 cos2 x 3. Luas daerah di bawah y = −x2 + 8x dan di atas y = 6x − 24 serta terletak di kuadran I adalah ... 1
Tutur Widodo a.
R4
b.
R4
c.
R6
d.
R6
e.
R4
0
Matematika IPA SNMPTN 2011 R6
(−x2 + 8x)dx +
4
R6
(−x2 + 8x)dx + 0
0
(−x2 + 8x)dx +
(6x − 24) + 4
0
(6x − 24) +
R8 6
R6 4
(x2 − 2x − 24)dx
4
R8 6
(−x2 + 2x + 24)dx
(−x2 + 2x + 24)dx
(−x2 + 8x)dx
(−x2 + 8x)dx
Jawaban : b Perhatikan gambar di bawah ini! 16
y = −x2 + 8x y = 6x − 24
14
12
10
d
8
e
6
4
2
0
2
4
6
8
10
Titik potong kedua kurva yaitu, −x2 + 8x = 6x − 24 ⇐⇒ x2 − 2x − 24 = 0 ⇐⇒ (x − 6)(x + 4) = 0 Jadi, titik potong kedua kurva di x = −4 atau x = 6. Sedangkan titik potong garis y = 6x − 24 denga sumbu X adalah di x = 4. Misal, luas daerah yang dicari adalah L, R4 R6 didapat L = 0 (−x2 + 8x)dx + 4 (−x2 + 2x + 24)dx 4. sin 35◦ · cos 40◦ − cos 35◦ · sin 40◦ = · · · a. cos 5◦
b. sin 5◦
c. cos 95◦
d. cos 75◦ 2
e. sin 75◦
Tutur Widodo
Matematika IPA SNMPTN 2011
Jawaban : c sin 35◦ · cos 40◦ − cos 35◦ · sin 40◦ = cos 55◦ · cos 40◦ − sin 55◦ · sin 40◦ = cos 95◦ 5. Diketahui suku banyak f (x) bersisa −2 jika dibagi (x + 1), bersisa 3 bila dibagi (x − 2). Sedangkan suku banyak g(x) bersisa 3 jika dibagi (x+1) dan bersisa 2 bila dibagi (x−2). Jika h(x) = f (x) · g(x) maka sisa h(x) jika dibagi oleh x2 − x − 2 adalah ... a. 4x − 2
b. 3x − 2
c. 3x + 2
d. 4x + 2
e. 5x − 2
Jawaban : a Misal, sisa pembagian tersebut adalah ax + b maka diperoleh hubungan, h(x) = H(x)(x2 − x − 2) + ax + b = H(x)(x + 1)(x − 2) + ax + b Sehingga didapat, − 6 = −2 · 3 = f (−1) · g(−1) = h(−1) = −a + b
(1)
6 = 3 · 2 = f (2) · g(2) = h(2) = 2a + b
(2)
dan
dari pers.(1) dan pers.(2) didapat a = 4 dan b = −2. Jadi sisa pembagiannya adalah 4x − 2 6. Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.DEF dengan panjang AB = s dan AD = t. Jika titik G terletak di tengah - tengah sisi EF , maka panjang AG adalah ... r √ 3s2 a. t2 − d. t2 − s2 4 r r 2 3s s2 2 2 e. t + b. t + 4 4 √ c. t2 + s2 Jawaban : b
√ s 3 Misal tinggi segitiga sama sisi ABC = a, diperoleh a = sin 60 · s = . r 2 √ 3s2 2 2 2 Sehingga dengan dalil pythagoras, kita dapat AG = t + a = t + 4 ◦
7. Jika 0 < x < π dan x memenuhi sin2 x + sin x = 2 maka nilai cos x adalah ... a. 1
d. 0
√
3 2
b. c.
e. −1
1 2
3
Tutur Widodo
Matematika IPA SNMPTN 2011
Jawaban : d Dari pers. sin2 x + sin x − 2 = 0 ⇐⇒ (sin x − 1)(sin x + 2) = 0, kita dapatkan sin x = 1 atau sin x = −2(tidak mungkin). Jadi diperoleh sin x = 1 dan karena 0 < x < π maka x = π2 sehingga cos x = 0. 8. Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik - titik sudut dari titik - titik tersebut adalah ... a. 56
d. 84
b. 58
e. 96
c. 64 Jawaban : a Banyaknya segitiga adalah
! 8 = 56 3
9. Panitia jalan sehat akan membuat sebuah kupon bernomor yang terdiri atas empat angka yang disusun oleh angka - angka 0, 1, 3, 5 dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah ... a. 600
d. 620
b. 605
e. 625
c. 610 Jawaban : a Misal, A adalah kejadian angka pertama atau terakhir tidak 0, maka Ac adalah kejadian angka pertama dan terakhir 0. Jadi Ac = 5x5 = 25. Sehingga A = 54 −25 = 625−25 = 600 10. Vektor u = 4i + bj + ck tegak lurus w = 2i − 2j + 3k dan |u| = 2|w|, maka nilai b memenuhi ... a. 13b2 − 32b + 404 = 0
d. 13b2 + 32b + 404 = 0
b. 13b2 + 32b − 404 = 0
e. 3b2 − 10b − 402 = 0
c. 13b2 − 32b − 404 = 0 Jawaban : c Karena u⊥w didapat 0 = u · w = 8 − 2b + 3c ⇐⇒ 3c = 2b − 8. Selain itu, |u| = 2|w|
4
Tutur Widodo
Matematika IPA SNMPTN 2011
sehingga kita dapat, √
16 + b2 + c2 = 2 ·
√
17 ⇔ b2 + c2 = 52 ⇔ 9b2 + (3c)2 = 468 ⇔ 9b2 + (2b − 8)2 = 468 ⇔ 13b2 − 32b − 404 = 0
11. Diberikan kurva y = x3 + 2x2 − x + 5. Jika garis singgung kurva di titik (a, b) sejajar garis y − 3x − 4 = 0, maka nilai b yang mungkin adalah ... a. 12
d. 8
b. 10
e. 7
c. 9 Jawaban : e Misal gradien garis singgung tersebut adalah m, maka didapat m = 3. Selain itu kita punya, 3 = m = f 0 (a) = 3a2 + 4a − 1 ⇔ (3a − 2)(a + 2) = 0 Sehingga a = 32 atau a = −2. Jika a = −2 maka b = 7 12. Grafik y = f 0 (x) ditunjukkan seperti gambar berikut! 4
y=f’(x)
−4
−2
2
0
2
4
Pernyataan yang benar adalah ... a. fungsi f mempunyai titik minimum (0, −1)
5
Tutur Widodo
Matematika IPA SNMPTN 2011
b. fungsi f naik pada interval (0, ∞) c. titik minimumlokal f terjadi di x = −2 d. fungsi f bernilai positif pada selang (−∞, −2) e. titik minimum lokal terjadi di x = 2 Jawaban : e Dari gambar diperoleh informasi sebagai berikut : • Fungsi f naik pada interval (−∞, −2) dan (2, ∞) • Fungsi f turun pada interval (−2, 2) • Maksimum lokal terjadi di x = −2 • Minimum lokal terjadi di x = 2 13. Diberikan lingkaran dengan persamaan (x − 5)2 + (y − 122 ) = 142 . Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titi asal ialah ... a. 14 b. c.
d. 1
√ 3 √
e.
1 2
2
Jawaban : c Diketahui pusat lingkaran P (5, 12) dan jari - jari R = 14. Maka |OP | = 13 dan jarak minimal lingkaran dengan titik asal O adalah R − |OP | = 14 − 13 = 1. 14. Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah ... a. 12
√ d. 18 2
√ b. 16 2
e. 18
c. 16 Jawaban : c Misal, V menyatakan volume kerucut, a menyatakan jari-jari dan t tinggi kerucut. Perhatikan gambar di bawah ini!
6
Tutur Widodo
Matematika IPA SNMPTN 2011
a
4 t
Kita dapatkan hubungan sebagai berikut, 4=
at √ a + a2 + t2
setelah sedikit operasi aljabar akan diperoleh, a2 =
16t t−8
(3)
Selain itu kita juga punya, 1 V = π · a2 t 3
(4)
Dari pers.(3) dan pers.(4) diperoleh 16t2 1 V = π· 3 t−8 Misalkan V 0 menyatakan turunan pertama V terhadap t didapat 1 V = π 3 0
32t(t − 8) − 16t2 (t − 8)2
1 Agar V minimum haruslah V = 0 yang berakibat π 3 equivalen dengan 16t − 256 = 0 sehingga t = 16. 0
32t(t − 8) − 16t2 (t − 8)2
= 0 atau
15. Diketahui vektor u = (1, −3a + 1, 2) dan v = (a3 − 3a2 , 3, 0) dengan −2 < a < 4. Nilai maksimum dari u · v adalah ... a. 27
d. 1
b. 8
e. -24
c. 3 Jawaban : b
7
Tutur Widodo
Matematika IPA SNMPTN 2011
Misal , u · v = T (a). Kita dapat, T (a) = a3 − 3a2 + 3(−3a + 1) = a3 − 3a2 − 9a + 3 sehingga, T 0 (x) = 3a2 − 6a − 9 Agar T maksimal maka T 0 = 0 yang berarti 3a2 − 6a − 9 = 0 ⇔ (a + 1)(a − 3) = 0 sehingga didapat a = −1 atau a = 3. Jadi, nilai u · v maksimum dicapai saat a = −1 yaitu u · v = T (−1) = 8.
8
