Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132 Oleh Tutur Widodo 1. Lingkaran (x − 6)2 + (y + 1)2 = 4 menyinggung garis x = 4 di titik ... a. (4, 6)
d. (4, 1)
b. (4, −6)
e. (4, −1)
c. (4, 4) Jawaban : e Substitusikan nilai x = 4 ke pers.lingkaran (4 − 6)2 + (y + 1)2 = 4 ⇔ (−2)2 + (y + 1)2 = 4 ⇔ (y + 1)2 = 0 ⇔ y = −1 Jadi, lingkaran (x − 6)2 + (y + 1)2 = 4 menyinggung garis x = 4 di titik (4, −1). 2. Jika suku banyak 2x3 − kx2 − x + 16 dibagi x − 1 mempunyai sisa 10, maka nilai k adalah ... a. 7
d. 15
b. 10
e. 17
c. 12 Jawaban : a Misal P (x) = 2x3 − kx2 − x + 16. Berdasarkan teorema faktor diperoleh P (1) = 10, padahal P (1) = 2 − k − 1 + 16 = 17 − k. Oleh karena itu diperoleh 17 − k = 10 ⇔ k = 7. 3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 , y = 1 dan x = 2 adalah ... a.
R2
(1 − x2 )dx
d.
−1
b.
R2 R2
(1 − x2 )dx
−1
(x2 − 1)dx
−1
c.
R1
e.
R2
(x2 − 1)dx
0
(x2 − 1)dx
1
1
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
Jawaban : c Perhatikan ilustrasi di bawah ini! 5 4 3 2 1
−1
0
1
2
3
R2 Luas daerah yang diarsir yaitu (x2 − 1)dx. 1
4.
(cos x + sin x)2 =... (cos x − sin x)2 a.
1 1 − cos 2x
d.
1 + 2 sin x 1 − 2 sin x
b.
1 1 − sin 2x
e.
1 + sin 2x 1 − sin 2x
c.
1 + cos 2x 1 − cos 2x
Jawaban : e (cos x + sin x)2 cos2 x + 2 sin x cos x + sin2 x = (cos x − sin x)2 cos2 x − 2 sin x cos x + sin2 x 1 + sin 2x = 1 − sin 2x 5. Lingkaran (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25 memotong sumbu X di titik A dan B. Jika titik P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠AP B = ... 7 25 8 b. 25 12 c. 25
a.
16 25 18 e. 25 d.
Jawaban : a 2
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
P
4 3 2 1
−2
−1
A0
1
2
T3
4
5
B
6
7
8
−1
Karena P adalah pusat lingkaran yang dimaksud maka koordinat P yaitu P (3, 4). Selain itu lingkaran memotong sumbu X saat y = 0 maka diperoleh, (x − 3)2 + (0 − 4)2 = 25 ⇔ x2 − 6x + 9 + 16 − 25 = 0 ⇔ x2 − 6x = 0 ⇔ x(x − 6) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 6 Jadi, titik A(0, 0) dan B(6, 0). Misalkan T titik tengah AB maka T (3, 0). Perhatikan pula ∠AP B = 2∠AP T maka diperoleh, cos ∠AP B = 2 cos2 ∠AP T − 1 2 4 =2 −1 5 16 =2 −1 25 7 = 25 6. Grafik fungsi f (x) = ax3 − bx2 + cx + 12 turun, jika ... a. b2 − 4ac < 0 dan a > 0
d. b2 − 3ac < 0 dan a < 0
b. b2 − 4ac < 0 dan a < 0
e. b2 − 3ac < 0 dan a > 0
c. b2 − 3ac > 0 dan a < 0 Jawaban : d Agar fungsi f (x) = ax3 − bx2 + cx + 12 turun maka f 0 (x) = 3ax2 − 2bx + c < 0. Itu sama artinya fungsi f 0 definit negatif. Oleh karena itu harus dipenuhi dua syarat 3
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
yaitu 3a < 0 ⇔ a < 0 dan D = (−2b)2 − 4 · 3a · c < 0 ⇔ 4b2 − 12ac < 0 ⇔ b2 − 3ac < 0 1 − cos2 x = ... x→0 x2 cot x + π 3
7. lim
√
a. −1
d.
b. 0
e.
2 2
√
3
c. 1 Jawaban : e sin2 x · tan x + 1 − cos2 x lim 2 = lim x→0 x cot x + π x→0 x2 3 π = 12 · tan 3 √ = 3
π 3
8. Enam orang bepergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Masing - masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing - masing adalah 5 orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusul penumpang di kedua mobil tersebut adalah ... a. 10
d. 16
b. 12
e. 18
c. 14 Jawaban : d Dua orang pemilik mobil akan mengemudikan mobilnya sendiri - sendiri sehingga tinggal 4 orang lagi yang perlu di atur. Akan tetapi masing - masing dari keempat orang tersebut dapat memilih mobil mana yang dikehendaki. Jadi masing - masing punya dua pilihan. Sehingga dari keempat orang tersebut total ada 24 = 16 kemungkinan. 9. Di dalam kotak terdapat 3 bola biru, 6 bola merah dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil tiga kali banyak bola putih yang terambil adalah ... 4
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
7 12 4 b. 33 3 c. 30
2 33 1 e. 12
a.
d.
Jawaban : b Banyaknya ruang sample kejadian tersebut adalah C711 = 330. Sedang kemungkinan kejadian yang mungkin yaitu terambil 1 bola putih, 3 bola merah dan 3 bola biru. Banyaknya kemungkinan ada C12 · C36 · C33 = 2 · 20 · 1 = 40. Jadi, peluang banyak bola 40 4 merah yang terambil tiga kali banyak bola putih yang terambil adalah = . 330 33 10. Diberikan bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang sisi 6. Jarak dari titik T ke bidang ABC adalah ... √ a. 2 3 b.
√
d.
√
33
√ e. 2 6
6
√ c. 3 2 Jawaban : e Misalkan O adalah pusat lingkaran luar 4ABC maka AO jari - jari lingkaran luar √ 6 = 2 tersebut. Sehingga AO = 3. Selanjutnya berdasarkan dalil phitago2 sin 60◦ ras pada 4AOT diperoleh OT 2 = AT 2 − AO2 √ = 62 − (2 3)2 = 36 − 12 = 24 √ Jadi OT = 2 6. 11. Nilai sin x − cos x < 0, jika ... a.
5π 4
b.
π 6
<x<
3π 2
c.
π 5
<x<
3π 2
<x<
7π 4
d.
π 5
<x<
2π 3
e.
π 7
<x<
5π 4
Jawaban : a √ Ingat kembali bahwa a cos x + b sin x = k cos(x − α) dengan k = a2 + b2 dan 5
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
√ √ α = arctan ab . Sehingga sin x−cos x = 2 cos(x−135◦ ). Oleh karena itu, 2 cos(x− 135◦ ) < 0 terjadi ketika 90◦ < k · 360◦ + (x − 135◦ ) < 270◦ yang ekivalen dengan 225◦ < k · 360◦ + x < 405◦ dan untuk k = 0 diperoleh 225◦ < k < 405◦ − − 12. Diketahui vektor → u dan vektor → v membentuk sudut θ. Jika panjang proyeksi → − − − − u pada → v sama dengan empat kali panjang → v , maka perbandingan panjang → u → − terhadap panjang v adalah ... a. 1 : 4 cos θ
d. 1 : cos θ
b. 4 : cos θ
e. cos θ : 4
c. 4 cos θ : 1 Jawaban : b → − − u ·→ v = 4|v| ⇔ |v| ⇔
|u||v| cos θ = 4|v| |v| |u| 4 = |v| cos θ
− 13. Vektor → x dicerminkan terhadap garis y = −x. Kemudian hasilnya diputar terhadap − − − titik asal O sebesar θ > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor → y . Jika → y = A→ x maka matriks A = · · · " #" # " #" # cos θ sin θ 0 1 cos θ sin θ 0 −1 a. d. − sin θ cos θ −1 0 sin θ − cos θ 1 0 " #" # " #" # cos θ sin θ 0 −1 cos θ sin θ 0 1 b. e. − sin θ cos θ −1 0 − sin θ cos θ 1 0 " #" # cos θ − sin θ 0 −1 c. − sin θ cos θ −1 0 Jawaban : b Rotasi dengan pusat (0, " # 0) sebesar θ > 0 searah jarum jam bersesuaian dengan cos θ sin θ matriks . Sedangkan matriks transformasi untuk refleksi terhadap − sin θ cos θ " # " #" # 0 −1 cos θ sin θ 0 −1 garis y = −x adalah . Oleh karena itu, A = −1 0 − sin θ cos θ −1 0 6
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
14. Diberikan persamaan sin x =
1, 5 − a 0, 5a − 2
Banyak bilangan bulat a sehingga persamaan tersebut mempunyai selesaian adalah ... a. 1
d. 4
b. 2
e. 6
c. 3 Jawaban : d Karena batasan nilai fungsi sinus adalah −1 ≤ sin x ≤ 1 maka agar persamaan di atas memiliki penyelesaian haruslah −1 ≤
1, 5 − a ≤1 0, 5a − 2
Sehingga diperoleh pertidaksamaan 1, 5 − a ≥ −1 ⇔ 0, 5a − 2 ⇔
1, 5 − a + 0, 5a − 2 ≥0 0, 5a − 2 −1 − a ≥0 a−4
sehingga diperoleh batasan −1 ≤ a < 4 · · · · · · · · · (1).
1, 5 − a ≥1 ⇔ 0, 5a − 2 ⇔
1, 5 − a − 0, 5a + 2 ≥0 0, 5a − 2 7 − 3a a−4
sehingga diperoleh batasan a ≤ 37 atau a > 4 · · · · · · · · · (2). Dari (1) dan (2) diperoleh −1 ≤ a ≤ 73 sehingga nilai bilangan bulat a yang memenuhi ada 4 yaitu −1, 0, 1, 2. 15. Diberikan suku banyak P (x) = x2 + bx + a. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0, 4], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah ... a. 0 b.
1 3
c.
2 3
d.
5 6
e. 1
7
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
Jawaban : c P (x) tidak mempunyai akar jika nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut kurang dari 0, yaitu b2 − 4a < 0. Dengan kata lain akan dicari pasangan (a, b) 2 sedemikian sehingga a > b4 dengan 0 ≤ a, b ≤ 4. Yang sama dengan luas daerah 2 yang dibatasi oleh kurva y = x4 , x = 0, x = 4, y = 4 seperti gambar di bawah ini.
4 3 2 1
0
1
2
3
4
Luas daerah yang diarsir yaitu Z 0
4
4 x2 x3 4 − dx = 4x − 4 12 0 16 = 16 − 3 32 = 3
Jadi, peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah
32 3
2 = . 16 3
Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via email ke
[email protected] Terima kasih. Website: www.pintarmatematika.net
8