Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483 Oleh Tutur Widodo 1. Di dalam kotak terdapat 2 bola biru, 6 bola merah dan 2 bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil tiga kali banyak bola putih yang terambil adalah ... 1 60 1 e. 75
1 15 1 b. 30 1 c. 45
d.
a.
Jawaban : c Karena mengambil 8 bola maka kemungkinan terambil bola merah tiga kali banyak bola putih hanya 1 yaitu terambil 2 putih dan 6 merah. Sedangkan ruang sampel dari kasus ini adalah C810 = 45. Jadi, peluang banyak bola merah yang terambil 1 tiga kali banyak bola putih yang terambil adalah 45 2. Grafik fungsi f (x) = ax3 − bx2 + cx + 25 naik, jika ... a. b2 − 4ac < 0 dan a > 0
d. b2 − 3ac < 0 dan a > 0
b. b2 − 4ac < 0 dan a < 0
e. b2 − 3ac < 0 dan a < 0
c. b2 − 3ac > 0 dan a < 0 Jawaban : d Agar fungsi f (x) = ax3 − bx2 + cx + 25 naik maka f 0 (x) = 3ax2 − 2bx + c > 0. Itu sama artinya fungsi f 0 definit positif. Oleh karena itu harus dipenuhi dua syarat yaitu 3a > 0 ⇔ a > 0 dan D = (−2b)2 − 4 · 3a · c < 0 ⇔ 4b2 − 12ac < 0 ⇔ b2 − 3ac < 0 3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 , y = 1 dan x = 2 adalah ... a.
R2
(1 − x2 )dx
d.
−1
b.
R2 −1
R1
(1 − x2 )dx
−1
(x2 − 1)dx
e.
R2
(x2 − 1)dx
0
1
Tutur Widodo
c.
R2
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
(x2 − 1)dx
1
Jawaban : c Perhatikan ilustrasi di bawah ini! 5 4 3 2 1
−1
0
1
2
3
R2 Luas daerah yang diarsir yaitu (x2 − 1)dx. 1
(cos x + sin x)2 4. =... (cos x − sin x)2 a.
1 1 − cos 2x
d.
1 + 2 sin x 1 − 2 sin x
b.
1 1 − sin 2x
e.
1 + sin 2x 1 − sin 2x
c.
1 + cos 2x 1 − cos 2x
Jawaban : e cos2 x + 2 sin x cos x + sin2 x (cos x + sin x)2 = (cos x − sin x)2 cos2 x − 2 sin x cos x + sin2 x 1 + sin 2x = 1 − sin 2x 5. Lingkaran (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25 memotong sumbu X di titik A dan B. Jika titik P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠AP B = ... 7 25 8 b. 25 12 c. 25
a.
16 25 18 e. 25 d.
2
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
Jawaban : a P
4 3 2 1
−2
−1
A0
1
2
T3
4
5
B
6
7
8
−1
Karena P adalah pusat lingkaran yang dimaksud maka koordinat P yaitu P (3, 4). Selain itu lingkaran memotong sumbu X saat y = 0 maka diperoleh, (x − 3)2 + (0 − 4)2 = 25 ⇔ x2 − 6x + 9 + 16 − 25 = 0 ⇔ x2 − 6x = 0 ⇔ x(x − 6) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 6 Jadi, titik A(0, 0) dan B(6, 0). Misalkan T titik tengah AB maka T (3, 0). Perhatikan pula ∠AP B = 2∠AP T maka diperoleh, cos ∠AP B = 2 cos2 ∠AP T − 1 2 4 =2 −1 5 16 =2 −1 25 7 = 25 6. Himpunan A memenuhi hubungan {1, 7} ⊂ A ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Jika 2 adalah anggota A maka banyak himpunan A yang mungkin adalah ... a. 4
d. 24
b. 8
e. 32
c. 16
3
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
Jawaban : c Karena 2 anggota A dan {1, 7} ⊂ A, itu berarti A = {1, 2, 7}∪ subset dari {3, 4, 5, 6}. Oleh karena subset dari {3, 4, 5, 6} ada 24 = 16, maka banyaknya himpunan A yang mungkin juga ada 16. 7. Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 4 menyinggung garis x = −4 di titik ... a. (−4, 6)
d. (−4, 1)
b. (−4, −6)
e. (−4, −1)
c. (−4, 10) Jawaban : e Substitusikan nilai x = −4 ke pers.lingkaran (−4 + 6)2 + (y + 1)2 = 4 ⇔ 22 + (y + 1)2 = 4 ⇔ (y + 1)2 = 0 ⇔ y = −1 Jadi, lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 4 menyinggung garis x = −4 di titik (−4, −1). 8. Jika suku banyak 5x3 + 21x2 + 9x − 2 dibagi 5x + 1 maka sisanya adalah ... a. −3
d. 6
b. −2
e. 33
c. 2 Jawaban : a Misal P (x) = 5x3 + 21x2 + 9x − 2, maka sisa dari 5x3 + 21x2 + 9x − 2 jika dibagi 5x + 1 adalah P − 15 = −3. 1 − cos2 2x = ... x→0 x2 tan x + π 4
9. lim
√
a. −2
d.
b. 0
e. 4
c.
√
3
2
4
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
Jawaban : e sin2 2x 1 − cos2 2x = lim x→0 x2 tan x + π x→0 x2 tan x + π 4 4 ! sin2 2x 1 = lim lim x→0 x→0 tan x + π x2 4 lim
=4·1=4 10. Diberikan suku banyak P (x) = x2 + bx + c. Jika b dan c dipilih secara acak dari selang [0, 3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah ... a. 1 b.
3 4
c.
2 4
d.
1 4
e. 0
Jawaban : d P (x) tidak mempunyai akar jika nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut kurang dari 0, yaitu b2 − 4c < 0. Dengan kata lain akan dicari pasangan (b, c) 2 sedemikian sehingga c > b4 dengan 0 ≤ b, c ≤ 3. Yang sama dengan luas daerah 2 f yang dibatasi oleh kurva y = x4 , x = 0, x = 3, y = 3 seperti gambar di bawah ini. 4 3 2 1
0
1
2
3
Luas daerah yang diarsir yaitu Z 0
3
3 x2 x3 3 − dx = 3x − 4 12 0 9 =9− 4 27 = 4
Jadi, peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah
27 4
3 = . 9 4 5
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
11. Diketahui segitiga dengan titik sudut (−6, 0), (6, 0) dan (6 cos θ, 6 sin θ) untuk 0 ≤ θ ≤ 2π. Banyak nilai θ yang mungkin sehingga luas segitiga tersebut 12 adalah ... a. 8
d. 2
b. 4
e. 1
c. 3 Jawaban :
A
B
Misal A(−6, 0), B(6, 0) dan C(6 cos θ, 6 sin θ). Titik C terletak pada lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari - jari 6. AB adalah alas 4ABC. Karena panjang AB sama dengan 12, maka agar luasnya 12 haruslah tingginya yaitu jarak C ke AB adalah 2. Ada 4 kemungkinan letak titik C yang mungkin. Jadi, terdapat 4 nilai θ yang mungkin. − 12. Vektor → x diputar terhadap titik asal O sebesar θ > 0 searah jarum jam. Kemudian − − − hasilnya dicerminkan terhadap garis y = 0, menghasilkan vektor → y . Jika → y = A→ x maka matriks A = · · · " #" # " #" # cos θ sin θ 1 0 1 0 cos θ − sin θ a. d. − sin θ cos θ 0 −1 0 −1 sin θ cos θ " #" # " #" # −1 0 cos θ sin θ 1 0 cos θ sin θ b. e. 0 1 − sin θ cos θ 0 −1 − sin θ cos θ " #" # cos θ − sin θ −1 0 c. sin θ cos θ 0 1
6
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
Jawaban : e Rotasi dengan pusat (0, " # 0) sebesar θ > 0 searah jarum jam bersesuaian dengan cos θ sin θ matriks . Sedangkan matriks transformasi untuk refleksi terhadap − sin θ cos θ " # " #" # 1 0 1 0 cos θ sin θ sumbu X adalah . Oleh karena itu, A = 0 −1 0 −1 − sin θ cos θ − − − − − 13. Jika → u dan → v adalah vektor satuan membentuk sudut 45◦ , maka (→ u +→ v )· → v = ··· a. b. c.
1 2
√
√ 1 2
2+1
d. 2
2+1
e.
3 2
√
2+1
√ 2−1
Jawaban : a − − − − − − − (→ u +→ v)·→ v =→ u ·→ v +→ v ·→ v = |u||v| cos 45◦ + |v|2 1√ = 2+1 2 14. Diberikan kubus ABCD.EF GH. Jika α adalah sudut antara bidang ACF dan alas ABCD maka sin α − cos α = · · · √ √ 3−2 3−1 d. a. √ 2 6 √ √ √ 3−1 3− 2 √ b. √ e. 5 6 √ 23 − 1 √ c. 3 Jawaban : c Perhatikan gambar kubus di bawah ini,
7
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
H
G
E
F
D
C P α
A
B
1 √ Misalkan panjang rusuk kubus ABCD.EF GH adalah t. Panjang BP = t 2 dan 2 1 √ panjang P F = t 6. Sehingga diperoleh 2 sin α − cos α = = = = =
15. Nilai
BF BP − PF PF√ 1 t 2 t √ − 21 √ 1 t 6 t 6 2 √ 2 2− 2 √ 6 √ 2 2−2 √ 2 3 √ 2−1 √ 3
√ 3 cos x − sin x < 0, jika ...
a.
π 3
<x<
5π 12
d.
π 7
b.
π 3
<x<
5π 3
e.
5π 6
c.
2π 3
<x<
<x< <x<
5π 7 5π 3
5π 3
Jawaban : a √ Ingat kembali bahwa a cos x + b sin x = k cos(x − α) dengan k = a2 + b2 dan √ α = arctan ab . Sehingga 3 cos x−sin x = 2 cos(x−330◦ ). Oleh karena itu, 2 cos(x− 330◦ ) < 0 terjadi ketika 90◦ < k · 360◦ + (x − 330◦ ) < 270◦ yang ekivalen dengan 420◦ < k · 360◦ + x < 600◦ dan untuk k = 1 diperoleh 60◦ < k < 240◦ 8
Tutur Widodo
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012
Alhamdulillah Selesai. Semoga Bermanfaat. Salam.
Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via email ke
[email protected] Terima kasih. Website: www.pintarmatematika.net
9
