Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012 1. Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik... A. ( -6, 4 ) B. ( 6 , 4)
C. ( -1, 4 ) D. ( 1, 4 )
E. ( 5 , 4 )
Jawab: BAB XI Lingkaran Masukkan nilai y=4 pada persamaan (x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25 (x + 6)2 = 25 – 25 = 0 x = -6 Didapat titik x = -6 dan y = 4 (-6,4) Jawabannya A 2. Jika 2x3 – 5x2 – kx + 18 dibagi x - 1 mempunyai sisa 5, maka nilai k adalah... A. -15 B. -10
C. 0 D. 5
E. 10
Jawab: BAB XII Suku Banyak
Metoda Horner
x= 1
x3
x2
x
2
-5
-k
18
2
-3
-3 - k
= kalikan dengan x =1
2
-3
( -3- k)
+
(15 – k) sisa =5
15 – k = 5 k = 15 – 5 = 10 Jawabannya E
www.purwantowahyudi.com
Hal - 1
3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, y = 1, dan x = 2 adalah... A. ∫ (1 − B. ∫ (
)
C. ∫ (
− 1)
− 1)
D. ∫ (1 −
E. ∫ (
− 1)
)
Jawab BAB XVI Integral Buat sketsa gambar untuk mengetahui batas luas:
terlihat bahwa bidang luasnya (arsiran) bagian atasnya adalah y = x2 dan bagian bawahnya y = 1 dengan dibatasi oleh batas atas x = 2 dan batas bawah x =1. Dalam notasi integralnya : b
b
L = y2 dx a
∫ (
b
y1 dx = ( y 2 y1) dx a
a
− 1)
Jawabannya C 4.
(
)
(
)
A. B.
= ....
www.purwantowahyudi.com
C. D.
E.
Hal - 2
Jawab: BAB VII Trigonometri (
)
(
)
= = =
+ 2 sin cos
=1 = 2
Jawabannya E 5. Lingkaran (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25 memotong sumbu –x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠APB = ... A.
C.
B.
D.
E.
Jawab: BAB XI Lingkaran dan BAB VII Trigonometri
Sketsa gambar: Lingkaran dengan pusat (3,4) APB merupakan segitiga.
www.purwantowahyudi.com
Hal - 3
Untuk menjawab soal ini digunakan teorema di bawah ini: Aturan sinus dan cosinus C b
a
A
c
B
Aturan cosinus 1. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos 2. b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos 3. c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos Kita pakai rumus (3) c = AB = 6 a = b = AP = PB = √3 + 4 = √25 = 5 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos P 2ab cos P = + − cos P = = . . .
=
=
Jawabannya A 6. Grafik fungsi f(x) = ax3 – bx2 + cx + 12 naik jika.... A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0 B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0 C. b2 – 3ac > 0 dan a < 0
D. b2 – 3ac < 0 dan a > 0 E. b2 – 3ac < 0 dan a < 0
Jawab: BAB XV Differensial
www.purwantowahyudi.com
Hal - 4
Syarat fungsi naik ( )>0 3ax2 - 2bx + c > 0 fungsi naik ( - , 0, + )
* variabel x2 > 0 3a > 0 a>0
( ) > 0 , maka tidak ada titik potong dan singgung di sb x sehingga D < 0
karena
*D<0
(-2b)2 – 4.3a.c < 0 4b2 – 12.a.c < 0 b2 – 3 ac < 0 didapat a > 0 dan b2 – 3 ac < 0 Jawabannya D 7.
→0
= ....
A. -1
C. 1
B. -0
√
D.
E. √3
Jawab: XIV Limit Fungsi
→0
=
→0 =
→0
= =
→0
1 . 1.
=
= =1
Jawabannya C
www.purwantowahyudi.com
Hal - 5
8. Enam orang bepergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. masingmasing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah 4 orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah... A. 10 B. 14
C. 24 D. 54
E. 96
Jawab: BAB X Peluang Dari 6 orang, 2 orang sebagai pemilik mobil dan mengemudikan mobil masingmasing. Sehingga yang dicari adalah probabilitas untuk 6 – 2 = 4 orang. Masing-masing mobil mempunyai kapasitas untuk 4 orang termasuk pengemudi.
Jumlah cara yang mungkin: Mobil 1 1. 2. 3.
Mobil 2
3 orang 2 orang 1 orang
1 orang 2 orang 3 orang
ada 3 cara penyusunan : C 34 , C 24 dan C14
Banyak cara penyusunan adalah total 3 cara penyusunan tsb: C 34 + C 24 + C14 =
4! 4! 4! + + 3!(4 3)! 2!(4 2)! 1!(4 1)!
= 4 + 6 + 4 = 14 cara Jawabannya B 9. Di dalam kotak terdapat 3 bola biru, 4 bola merah dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah .... A.
C.
B.
D.
www.purwantowahyudi.com
E.
Hal - 6
Jawab: BAB X Peluang
Peluang banyak bola merah terambil = PM Peluang banyak bola putih terambil = PP Peluang banyak bola biru terambil = PB Peluang yang dicari adalah peluang terambilnya 4 bola merah, 2 bola putih dan 1 bola biru. Peluangnya = P (PM ∩ PP ∩ PB ) =
!
=
!(
!(
)!
!(
! )!
! !(
=
!
)!
=
)!
=
Jawabannya B 10. Diberikan limas T.ABC dengan AB = AC = BC = 12 dan TA = TB = TC = 10. Jarak dari titik T ke bidang ABC adalah.... A. 2 √13 B. √13
C. 8 D. 5 √3
E. 4 √3
Jawab: BAB VIII Dimensi Tiga T
10
10
C 12 A
TO = √
D O 12
B
−
www.purwantowahyudi.com
Hal - 7
Teorema titik berat: TA = 10 AO = AD DO = AD −
AD = √
BD = ½ BC = ½ .12 = 6
AD = √12 − 6 = √144 − 36 =√108 = 6√3 AO = AD = .6 √3 = 4√3 −
TO = √ =
10 − (4√3 )
= √100 − 48 = √52 = 2√13 Jawabannya A
11. Nilai cos x – sin x > 0 jika .... A.
<x<
D.
B.
<x<
E.
C.
<x<
<x< <x<
Jawab: BAB VII Trigonometri cos x – sin x > 0 cos x – sin x = 0 cos x = sin x x = 450 =
atau x = 2250 =
www.purwantowahyudi.com
Hal - 8
gunakan garis bilangan: cos x – sin x > 0
++ --- ------
-- ++
++++
π
0
<x ≤ 2π
atau
daerahnya adalah 0≤ x <
jawaban yang memenuhi adalah
2π
<x<
karena masuk di daerah
<x ≤ 2π
Jawabannya E
⃗ dan vektor ⃗ membentuk sudut . Jika panjang proyeksi ⃗ pada ⃗ sama dengan dua kali panjang ⃗, maka perbandingan panjang ⃗ terhadap panjang ⃗ adalah...
12. Diketahui vektor
A. 1 : 2cos B. 2 : cos
C. 2cos : 1 D. 1 : cos
E. cos : 2
Jawab: BAB XX Vektor
Proyeksi skalar ortogonal / Panjang Proyeksi U
⃗ ⃗
⃗
0
| OR | = | ⃗ | =
R ⃗ . ⃗ | |⃗
V Proyeksi skalar ortogonal
⃗ pada ⃗
Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi
| ⃗| = 2 | ⃗| 2 | ⃗| = =
⃗ . ⃗ | |⃗ ⃗ ⃗ |
cos |⃗
www.purwantowahyudi.com
Hal - 9
⃗ cos
2 | ⃗| = =
cos
⃗
| ⃗|
2 : cos
Jawabannya B
⃗ dicerminkan terhadap garis y = x. Kemudaian hasilnya diputar terhadap titik 0 sebesar > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor ⃗ . Jika ⃗ = A ⃗, maka
13. Vektor
asal matriks A = ... A.
cos − sin
sin cos
0 1
1 0
D.
cos − sin
sin cos
B.
0 1
cos sin
− sin cos
E.
1 0
cos − sin
C.
cos sin
1 0
− sin cos
0 1
0 −1
0 −1 −1 0 sin cos
1 0
Jawab: BAB XXI Transformasi Geometri dan BAB VII Trigonometri 0 1 Pencerminan terhadap garis y = x, Matriksnya = M1 = 1 0 Rotasi terhadap titik asal 0 sebesar > 0 searah jarum jam, Matriksnya =M2 = Teori yang ada adalah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam: x = r cos α y = r sin α Jika rotasi searah dengan arah jarum jam maka: x = r cos α y = - r sin α sehingga : = r cos ( α + ) = r cos α cos - r sin α sin = x cos + y sin =- - r sin ( α + ) = - r sin α cos - r cos α sin = y cos - x sin
www.purwantowahyudi.com
Hal - 10
x' cos ' = y sin
sin cos
cos Matriknya = M2 = sin Matriks A = M2. M1 cos = sin
x y sin cos
sin 0 1 cos 1 0
Jawabannya A 14. Diberikan persamaan sin x =
,
. Banyak bilangan bulat a sehingga persamaan , tersebut mempunyai penyelesaian adalah.... A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
E. 6
Jawab: BAB V Pertidaksamaan Persamaan mempunyai penyelesaian jika | sin x | ≤ 1
-1 ≤ sin x ≤ 1 ,
-1 ≤
≤ 1
,
,
Untuk
,
≤ 1
− 1,5 ≤ 2 − 0,5 a – 1,5 – 2 + 0,5a ≤ 0 1,5a – 3,5 ≤ 0 1,5a ≤ 3,5 a≤ a≤
, ,
........(1)
www.purwantowahyudi.com
Hal - 11
Untuk -1≤
, ,
− (2 − 0,5 ) ≤ − 1,5 −2 + 0,5a ≤
− 1,5
-2 + 0,5a – a + 1,5 ≤ 0 -0,5 – 0,5a ≤ 0 -0,5 ≤ 0,5a -1 ≤ a ⟺ a ≥ -1....(2) dari (1) dan (2) didapat nilai a: -1 ≤ a ≤ Himpunan Penyelesaian yang merupakan bilangan bulat adalah {-1, 0, 1, 2 } Jumlahnya adalah 4 Jawabannya D 15. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0,3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah... A. 1
C.
B.
D.
E. 0
Jawab: p(x) = ax2 + bx + 1 p(x) tidak mempunyai akar apabila D < 0 b2 – 4. a. 1 < 0 b2 < 4a
⟺ a >
asumsikan bahwa y = a dan b = x sehingga dapat dibuat grafik sbb:
www.purwantowahyudi.com
Hal - 12
a>
adalah daerah yang diarsir (nilai a dan b yg memenuhi)
ingat bahwa range a dan b adalah 0 s/d 3 sehingga banyak kemungkinan sampelnya adalah : luas persegi = 3 x 3 =9 n(S)
Luas yang diarsir = luas persegi – luas yg tidak terarsir Luas yang tidak terarsir = ∫ = Luas yang diarsir = 9 P(A) =
( ) ( )
=
=
=
db | =
. 33 =
=
n(A)
=
=
Jawabannya B
www.purwantowahyudi.com
Hal - 13
