Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2008
1. Dalam bentuk pangkat positif,
x 2 y 2 =…. ( xy ) 2 C. ( x – y ) 2 D. x ( x – y )
A. ( x + y ) ( x – y ) B. - ( x + y ) ( x – y )
E. - x( x – y )
Jawab:
x 2 y 2 ( xy ) 2
1 1 y2 x2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 = = = . (xy) 2 = y 2 - x 2 = ( y – x ) ( y + x ) 2 1 1 (xy ) 2 2 ( xy ) ( xy ) = - (-y+ x) ( y + x ) = - (x -y) ( x + y )
Jawabannya adalah B
1 2 2. Jika 1 2
1 5 = a + b 5 , maka a + b = …. 1 5
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
E. 5
Jawab: cara 1:
1 2 1 2
1
1 2 5 = 1 1 2 5
1
1 5 2 1 1 5 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 54 1 4 2 5 2 5 5 4 20 5 5 5 5 = = = 1 1 1 1 54 1 4 5 4 5 20 5
1
9 5 20 9 1 9 5 20 9 5 20 20 20 20 20 5 5 = = = . 20 = =9=9–( . 1 1 20 5 5 5 5 20 20 20 5 = 9= 9 - 4 5 = a + b 5 a = 9 ; b = -4 5 maka a + b = 9 – 4 = 5
www.purwantowahyudi.com
5 5
)
Hal - 1
cara 2:
1 2 1 2
1
52
5 = 1
52 2 5 2 5 = . = 2 5 52 52
5
52 52
=
52 52
.
52 52
=
52 5 2 5 4 54
2 5
= 9 - 4 5 = a + b 5 a = 9 ; b = -4 maka a + b = 9 – 4 = 5 Jawabannya adalah E 3. Garis ax + by + c = 0 melalui titik A( 1,-2 ), B(-5,2), dan C(10,-8). Jika a, b dan c tidak mempunyai factor persekutuan selain 1, maka a + b + c = …. A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
E. 11
Jawab: persamaan garis melalui 2 titik:
y y1 x x1 = y 2 y1 x 2 x1 melalui titik A( 1,-2 ) dan B(-5 , 2) : x1 y1 x2 y2 y2 x 1 = 2 2 5 1
-6 (y+2) = 4 (x-1) -6y – 12 = 4x – 4 4x – 4 + 6y + 12 = 0 4x + 6y + 8 = 0 dibagi 2 2x + 3y + 4 = 0 didapat a = 2, b=3 dan c = 4 maka a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9 Jawabannya adalah C bukti lain: Jika menentukan persamaan garis melalui titik B(-5,2) dan C(10,-8) y2 x5 = 8 2 10 5
www.purwantowahyudi.com
Hal - 2
15 (y-2) = -10 (x+ 5) 15y – 30 = -10x – 50 15y – 30+10x +50 = 0 10x + 15y + 20 = 0 dibagi 5 2x + 3y + 4 = 0 didapat a = 2, b=3 dan c = 4 hasilnya sama 4. Parabol: y = 2x 2 - 16x+ 24 memotong sumbu y di titik A, jika garis singgung di titik A pada parabol memotong sumbu x di titik (a,0), maka a = …. A. -1
1 2
B. -1
C. 1
1 2
E. 2
1 2
D. 2
Jawab: menentukan titik A: memotong sumbu y jika x = 0 , y = 2x 2 - 16x+ 24 = 2 . 0 – 16.0 + 24 = 24 titik A adalah ( 0 , 24 ) gradien di titik A: y ' = 0 dengan x = 0 y ' = 4x – 16 dengan x = 0 maka y ' = 4.0 – 16 = -16 persamaan garis di titik A ( 0 , 24 )dengan gradien -16: rumus persamaan garis singgung: y – y 1 = m ( x - x 1 ) y – 24 = -16 ( x - 0 ) y – 24 = -16x y = -16x + 24 memotong sumbu x di titik (a,0): memotong sumbu x jika y= 0 0 = -16. a + 24 16 a = 24
www.purwantowahyudi.com
Hal - 3
a=
24 1 =1 16 2
Jawabannya adalah C 5. Persamaan kuadrat x 2 - ax + 1 = 0 mempunyai akar x 1 dan x 2 . Jika persamaan kuadrat 3
3
x x x + px + q = 0, mempunyai akar 1 dan 2 , maka p = … x2 x1 2
A. -a 4 + 4a 2 - 4 B. -a 4 + 4a 2 - 4
C. a 4 - 4a 2 - 4 D. a 4 + 4a 2 - 4
E. a 4 + 4a 2 + 4
Jawab: ax2 + bx + c = 0 b c x1 + x 2 = dan x 1 . x 2 = a a x 2 - ax + 1 = 0 mempunyai akar x 1 dan x 2 maka: x 1 + x 2 = - (-a) = a ; x 1 . x 2 = 1 3
x 2 + px + q = 0, mempunyai akar 3
3
x1 x dan 2 ; x2 x1
3
x x misal = 1 dan = 2 maka x2 x1
+ =-p 3
3
x1 x + 2 = -p x2 x1 x1 x 2 x 2 x1 4
4
= -p ;
x1 x 2 = 1
x1 4 + x 2 4 = - p (x 1 2 + x 2 2 ) 2 - 2 (x 1 x 2 ) 2 = - p {(x 1 + x 2 ) 2 -2 x 1 x 2 } 2 -2 (x 1 x 2 ) 2 = - p {(a) 2 -2 } 2 -2 (1) 2 = - p a 4 - 4a 2 + 4 – 2 = -p a 4 - 4a 2 + 2= -p p = -a 4 + 4a 2 - 2 Tidak ada jawaban yang tepat www.purwantowahyudi.com
Hal - 4
6. Nilai maksimum dari P = 2x + 3y pada daerah 3x + y 9 , 3x + 2y 12, x 0 dan y 0 adalah ….. A. 6 C. 13 E. 27 B. 12 D. 18 Jawab: membuat grafik: daerah: 3x + y 9 3x + y = 9 ….(1) titik potong dengan sumbu x jika y = 0 3x + 0 = 9 x=3 didapat titik (3, 0) titik potong dengan sumbu y jika x = 0 3.0 + y = 9 y=9 didapat titik (0, 9) daerah: 3x + 2y 12 3x + 2y = 12 ….(2) titik potong dengan sumbu x jika y = 0 3x + 0 = 12 x=4 didapat titik (4, 0) titik potong dengan sumbu y jika x = 0 3.0 +2y = 12 y=6 didapat titik (0, 6)
Perpotongan (1) dan (2) eliminasi x: 3x + y = 9 3x + 2y = 12 - y = -3 y = 3 3x+ y = 9 3x + 3 = 9 3x = 6 x=2 www.purwantowahyudi.com
Hal - 5
Didapat titik potong ( 2, 3) grafiknya sbb:
daerah yang diarsir adalah 3x + y 9 dan 3x + 2y 12
titik pojok (3, 0) (4, 0) ( 2, 3)
P = 2x + 3y 6 8 4 + 9 = 13
didapat nilai maksimum adalah 13 Jawabannya adalah C 7. Jika garis g menyinggung kurva y= sin x + cos x di titik yang absisnya
1 , maka garis g 2
memotong sumbu y di titik …. A. (0,
1 ) 2
B. (0 , 1)
1 ) 2 1 D. (0, 1 + ) 2
C. (0, 1 -
E. (0, )
Jawab: garis g menyinggung kurva y= sin x + cos x di x =
www.purwantowahyudi.com
1 2
Hal - 6
1 1 + cos 2 2 =1+0 =1
y = sin
1 menyinggung kurva di titik ( , 1) 2 1 gradien di titik ( , 1) : 2
y ' = 0 dengan x =
1 2
y ' = cosx – sinx dengan x =
1 1 1 maka y ' = cos – sin = 0 – 1 = -1 2 2 2
1 persamaan garis di titik ( , 1)dengan gradien -1 2
y–b=m(x–a) 1 y – 1 = -1 ( x – ) 2 1 y – 1 = -x + 2 1 y = -x +1+ 2 garis g memotong sumbu y jika x = 0 1 y = 0 + 1+ 2 1 jadi garis g memotong sumbu y di titik ( 0, 1+ ) 2
Jawabannya adalah D 8. Jika sin + cos = 1 2 3 B. 4
A.
1 , maka sin 3 + cos 3 = … 2 9 C. 16 5 D. 8
www.purwantowahyudi.com
E.
11 16
Hal - 7
Jawab: 1 …..(1) 2 sin 3 + cos 3 = (sin + cos ) 3 - 3 sin cos (sin + cos ) …..(2)
sin + cos =
1 4
(sin + cos ) 2 =
sin 2 + cos 2 + 2 sin cos =
1 4
1 4 1 2 sin cos = -1 4 3 2 sin cos = 4 3 sin cos = ….(3) 8
1 + 2 sin cos =
masukkan nilai (1) dan (3) ke persamaan (2) : sin 3 + cos 3 = (
=
1 3 3 1 ) - 3 ( ) ( ) 2 8 2
1 9 29 11 + = = 8 16 16 16
Jawabannya adalah E 9. Jika BC = 16, AC = 10, dan luas ABC = 40 3 , maka AB = … A. 11 B. 12
C. 13 D. 14
E. 15
Jawab: Cara 1 : A ?
10
B
C
16 1 L ABC = BC. AC. sin 2
www.purwantowahyudi.com
Hal - 8
1 . 16 . 10 . sin 2 80 3 1 3 sin = = 160 2 = 60 0
40 3
=
aturan cosinus: AB 2 = BC 2 + AC 2 - 2.BC. AC cos = 16 2 + 10 2 - 2.16 . 10. cos 60 0 1 = 256 + 100 – 320. 2 = 356 - 160 = 196 AB = 196 = 14 Cara 2: A ?
10 D
B
C 16
L ABC =
1 1 alas x tinggi = BC. AD 2 2
1 16. AD 2 80 3 AD = =5 3 16
40 3 =
DC =
AC 2 AD 2
= 10 2 (5 3 ) 2 = 100 75 =
25 = 5
BD = 16 – 5 = 11 AB =
BD 2 AD 2
= 112 (5 3 ) 2 = 121 75 = 196 = 14 Jawabannya adalah D www.purwantowahyudi.com
Hal - 9
lim 1 2 sin x cos x 1 10. =… x sin x cos x 4 1 2 1 B. 2
A.
C. 1
2
E. -1
D. 0
Jawab: Cara 1 : Dengan menggunakan metoda L’Hospital
lim 1 2 sin x cos x 1 x sin x cos x 4 =
lim 1 sin 2 x 1 x sin x cos x 4
=
lim 2 cos 2 x 1 ; pembilang dan penyebut didifferensialkan x cos x sin x 4
1 2 cos 2. 2 .0 4 = = =0 1 1 1 1 cos sin 2 2 4 4 2 2 Cara 2 : faktorisasi
lim 1 2 sin x cos x 1 x sin x cos x 4 lim sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x 1 x sin x cos x 4 lim (sin x cos x) 2 1 = x sin x cos x 4 lim 1 1 1 = sin x cos x = 2 2 =0 x 2 2 4 Jawabannya adalah D =
www.purwantowahyudi.com
Hal - 10
11.
lim 3 x x x 4 = …. x 1 x 1 A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
E. 10
Jawab: hasilnya adalah bentuk tak tentu
0 0
gunakan metoda L’Hospital:
lim 3 x x x 4 x 1 x 1 1
lim 3 x x( x) 2 4 = 1 x 1 ( x) 2 1 x 3 x lim 2 x = 1 x 1
2 x 1
1 2 1 = 2 = 9.2=9 = 1 1 2 2 2 1 Jawabannya adalah D 3 1
3 1
12. Volum balok terbesar yang luas semua bidang sisinya 96 cm 2 dan alasnya persegi adalah…. A. 54 cm 3 B. 64 cm 3
C. 74 cm 3 D. 84 cm 3
E. 94 cm 3
Jawab:
t s s Luas Balok = 2 s 2 + 4 s.t 96 = 2 s 2 + 4 s.t 4.s.t = 96 – 2s 2 www.purwantowahyudi.com
Hal - 11
2st = 48 - s 2 24 s t= s 2 Volume balok = s 2 . t 24 s - ) s 2 1 3 = 24s s 2 Volum balok terbesar apabila V ' = 0 ;
= s 2 .(
3 2 s =0 2 3 24 = s 2 2 48 s2 = = 16 3
V ' = 24 -
s = 16 = 4 t=
24 s 24 4 = =6–2=4 s 2 2 4
Volume balok terbesar = s 2 . t = 4 2 . 4 = 16 .4 = 64 cm 3 Jawabannya adalah B 13. Nilai minimum dari fungsi y = (x-3) x adalah…. A. -2 B. -1
C. 0 D. 1
E. 2
Jawab: nilai minimum jika y ' = 0
y' = u' v + v' u
y = u. v
u = (x-3) ; v = x y'=
x + (x-3)
x =-
x =
1 2 x
=0
( x 3) 2 x 3 x 2 x
www.purwantowahyudi.com
Hal - 12
2x = 3 – x 3x = 3 x=1 titik minimum di x = 1 y = (x-3) x = (1-3) 1 = -2 Jawabannya adalah A 14. Turunan pertama dari fungsi y =
cos x sin x adalah…. cos x sin x
1 (cos x sin x) 2 2 B. (cos x sin x) 2
3 (cos x sin x) 2 1 D. 2 cos x sin x 2
A.
C.
E.
2 cos x sin x 2 2
Jawab: y=
u v
y' =
u ' v v' u v2
u = cos x – sin x u ' = -sinx – cosx = -(sin x + cos x) v = cos x + sin x v ' = -sin x + cos x = cos x – sin x y'= =
=
=
(sin x cos x)(sin x cos x) (cos x sin x)(cos x sin x) (cos x sin x) 2
(sin x cos x) 2 (cos x sin x) 2 (cos x sin x) 2 (sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x) (cos 2 x sin 2 x 2 sin x cos x) (cos x sin x) 2 (1 2 sin x cos x) (1 2 sin x cos x) 1 2 sin x cos x 1 2 sin x cos x) = 2 (cos x sin x) (cos x sin x) 2 2 = (cos x sin x) 2
Jawabannya adalah E
www.purwantowahyudi.com
Hal - 13
3
15. Nilai x yang memenuhi persamaan ` A. -4 B. -1
4 5 x 1 `= 2 x 1 adalah….. 8 2 1 C. 2 1 D. 4
E. 2
Jawab: 3
4 5 x 1 `= 2 x 1 8 2
3
2 2 ( 5 x ) `= 2 2 x 1 23
2
10 2 x 3
.2 3 `= 2 2 x 1
10 9 2 x
2 3 . `= 2 2 x 1 1 2x = -2x – 1 3 1 – 2x = -6x – 3 -2x+ 6x = -1 – 3 4x = - 4 x=-1
Jawabannya adalah B 16. Jika
7
log 2 = a dan
2
log 3 = b, maka 6 log 98 = ….
A.
a ab
C.
a2 a (b 1)
B.
a2 b 1
D.
a 1 b2
E.
a2 b(a 1)
Jawab: 2 log 2.49 log 2 2 log 7 2 = 2 2 log 2.3 log 2 2 log 3 2 2 a2 2 1 1 2 . log 7 1 7 log 2 a = a = a2 = = = 1 b 1 b 1 b 1 b a (1 b) 2
6
log 98 =
log 98 = 2 log 6
2
Jawabannya adalah C
www.purwantowahyudi.com
Hal - 14
1 bagian dari uang yang masih dimilikinya dan ia tidak mempunyai 3 32 penghasilan lagi. Jika pada saat belanja terakhir sisanya kurang dari uang semula, maka 243 Adi paling sedikit sudah membelanjakan uangnya,,,,
17. Adi selalu membelanjakan
A. 4 kali B. 5 kali
C. 7 kali D. 10 kali
E. 14 kali
Jawab: misal: uang yang masih dimiliki adalah x : Pengeluaran untuk belanja pertama : Pengeluaran untuk belanja kedua :
1 3
Pengeluaran untuk belanja ketiga :
1 3
1 1 2 x maka sisa uangnya x - x = x 3 3 3 2 2 x = x maka sisa uangnya: 3 9 2 2 62 4 xx= x= x 3 9 9 9 4 4 x = x maka sisa uangnya: 9 27 4 4 12 4 8 xx= x= x 9 27 27 27
cara 1: 2 n ) x 3 32 32 saat belanja terakhir sisanya kurang dari uang semula = .x 243 243 2 32 ( )n x = .x 3 243 2 32 ( )n = 3 243 2 n 2 ( ) = ( )5 3 3 didapat n = 5
terlihat bahwa sisa setiap belanja dapat dirumuskan dengan : (
Cara 2: Sisa belanja membentuk baisan geometri: 2 4 8 x, x, x, … 3 9 27 4 x 2 2 9 a= x;r= = 2 3 3 x 3
www.purwantowahyudi.com
Hal - 15
U n = ar n 1 U n = sisa belanja terakhir =
32 .x 243
32 2 2 .x= x . ( ) n 1 243 3 3 32 2 2 = . ( ) n 1 243 3 3 32 2 = ( )n 243 3 2 2 ( )5 = ( )n 3 3 n=5
Jawabannya adalah B
18. Jika 2p + q, 6p + q dan 14p + q adalah tiga suku deret geometri yang berurutan, maka rasio deretnya adalah…. 1 2 1 B. 3
A.
C.
2 3
E. 3
D. 2
Jawab: Deret geometri: 2p + q, 6p + q , 14p + q r=
Un 6p q 14 p q = = U n 1 2p q 6p q
r=
6 p q 14 p q 2p q 6p q
=
8p =2 4p
Jawabannya adalah D
www.purwantowahyudi.com
Hal - 16
19. Jumlah n suku pertama deret: b2 1 b 5 log + 5 log + 5 log + …. a a a adalah….. n
(b n 1 ) 2 A. 5 log an n
B.
5
log
(b ) a
C. 5 log
n
(b n ) 2 E. 5 log a 2n
a
n 2
D.
n 2
n
(b n 1 ) 2
5
n 2
n n 1 2
log
(b ) a 2n
Jawab: Deret merupakan deret aritmetika : beda = U n - U n 1 = 5 log
b2 5 b 5 1 b - log = 5 log - log a a a a
b b2 = 5 log a = 5 log a 1 b a a = 5 log b = 5 log b U 1 = 5 log
Sn =
=
=
1 a
n (2a +(n-1) b) 2 n (2 U 1 +(n-1) b) 2 n 5 1 (2 log +(n-1) 5 log b) 2 a
=
n 5 1 ( log ( ) 2 + 5 log b n 1 ) 2 a
=
n 5 1 ( log ( ) 2 . b n 1 ) 2 a
www.purwantowahyudi.com
Hal - 17
b n1 n 5 ( log 2 ) 2 a
=
n
b n1 2 = log ( 2 ) a 5
n
=
5
log
(b n 1 ) 2 2
(a )
n 2
n
(b n 1 ) 2 = 5 log an
Jawabannya adalah A
1 1 dan I = 20. Jika P = 2 1
1 0 , maka -p 4 + 2p 3 + 3p 2 + 4 I = …. 0 1
A. - P B. P
C. 2P D. – 2P
E. I
Jawab:
1 1 ; I = P = 2 1
1 0 0 1
1 1 1 1 1.1 (1).2 1.(1) (1).(1) 1 0 . = = = P 2 = P . P = 2 1 2 1 2.1 (1).2 2(1) (1)(1) 0 1 1 0 1 1 1 1 . = = P 3 = P 2 .P = 0 1 2 1 2 1
1 0 = - I 0 1
1 1 = - P 2 1
1 1 1 1 1 0 . = = I P 4 = P 3 .P = 2 1 2 1 0 1 -p 4 + 2p 3 + 3p 2 + 4 I = - I + 2 (-P)+ 3 (-I)+ 4 I = - I – 2P – 3 I + 4 I = -2P Jawabannya adalah D
1 2 , B = 21. Transpos dari matriks A ditulis A T . Jika matriks A = 2 0 A T = B + X, maka invers dari X adalah….. 3 1 4 1 1 1 1 B. 3 4 3 A.
1 7
www.purwantowahyudi.com
1 1 4 3 1 1 2 D. 9 1 3
C.
1 4
2 1 , dan X memenuhi 2 3
E.
1 2
1 1 4 2
Hal - 18
Jawab:
1 2 1 2 A T = A = 2 0 2 0 a b X = c d 1 2 2 1 a = + A T = B + X 2 0 2 3 c a b 1 2 2 = - c d 2 0 2 a = 1 – 2 = -1 b = -2 – (-1) = -1 c = 2 – (-2) = 4 d = 0 – 3 = -3
b d 1 3
a b 1 1 = X = c d 4 3 1 ad bc
X 1 =
d b 1 = c a .3 (4)
3 1 1 3 1 = 4 1 .7 4 1
Jawabannya adalah A 22. Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, peluang munculnya dua mata dadu tidak lebih dari 6 adalah….. 5 5 2 A. C. E. 18 12 3 1 1 B. D. 3 2 Jawab: P(A) =
n( A) n( S )
p(A) = peluang kejadian n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A
1 2
1 (1,1) (2,1)
2 (1,2) (2,2)
3 (1,3) (2,3)
4 (1,4) (2,4)
5 (1,5) (2,5)
6 (1,6) (2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
www.purwantowahyudi.com
Hal - 19
jumlah kemungkinan mata dadu tidak berjumlah lebih dari enam terlihat pada tabel di atas berjumlah = 15 = n(A) n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 6 x 6 = 36 15 5 n( A) = = 36 12 n( S )
P(A) =
Jawabannya adalah C
23. Dari tabel hasil ujian matematika di bawah, jika nilai rata-ratanya adalah 6, maka x = …. Nilai Ujian Frekuensi
4 20
5 40
6 70
8 x
A. 0 B. 5
10 10 C. 10 D. 15
E. 20
Jawab: Rata-rata = x =
fx f
=
20.4 40.5 70.6 x.8 10.10 800 8.x = =6 20 40 70 x 10 140 x
6 (140+x) = 800 + 8x 840 + 6x = 800 + 8x 840 – 800 = 8 x – 6x 40 = 2x x = 20 Jawabannya adalah E
24. Persamaan kuadrat x 2 - 6x + a = 0 mempunyai akar x 1 dan x 2 . Jika x 1 , x 2 dan x 1 + x 2 adalah tiga suku pertama deret aritmetika, maka konstanta a = …. A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
E. 10
Jawab: x 2 - 6x + a = 0 x1 + x 2 = x1. x 2 =
6 = 6 x1 = 6 - x 2 1
a =a 1
www.purwantowahyudi.com
Hal - 20
Tiga suku pertama deret aritmetika: x1 , x 2 , x1 + x 2 beda deret = x 1 + x 2 - x 2 = x 2 - x 1 x1 = x 2 - x1 2 x1 = x 2 ; x1 = 6 - x 2 2(6 - x 2 ) = x 2 12 - 2 x 2 = x 2 12 = 3 x 2 x2 = 4 x1= 6 - x 2 = 6 – 4 = 2 a = x1. x 2 = 2 . 4 = 8 Jawabannya adalah D 25. Deret geometri tak hingga : (log(x-5)) 2 + (log(x-5)) 3 + (log(x-5)) 4 + ….. Mempunyai jumlah untuk x yang memenuhi….. A. -1 <x < 1 B. 4 <x < 6
C. 5 <x < 6 D. 5,1 <x < 6
E. 5,1 <x < 15
Jawab: Rasio deret (r) =
Un U2 (log( x 5)) 3 = = = log(x-5) U1 U n 1 (log( x 5)) 4
Syarat deret tak hingga mempunyai nilai (konvergen) bila : |r| < 1 atau -1 < r < 1 Sehingga -1
Hal - 21
